UNIDAD VIII. FUNCIONES

[Nota: Se sugiere se utilice Geogebra de ser posible durante el desarrollo del siguiente capítulo,

particularmente para representar gráficamente los ejemplos de funciones, la composición de

funciones, mostrar en conjunto una función con su inversa y para construir geométricamente a

partir de su definición las funciones trigonométricas.]

8.1 Introducción

Una gran parte de las matemáticas y de las ciencias naturales está dominada por

relaciones entre magnitudes. En la naturaleza esto puede explicarse por que los distintos

objetos y fenómenos que observamos suelen estar relacionados unos con otros. El

hombre conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de este tipo, y este

conocimiento se halla expresado en las leyes de la física, las cuales indican que las

diferentes magnitudes, aunque a veces aparentemente sean muy distintas, están tan

íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas o

están en “función” de los valores de las demás. Una relación de este tipo se llama

relación funcional.

Ejemplos:

1. PRINCIPIO DE ARQÍMIDES

“Un cuerpo sólido al ser sumergido en un líquido, sufre una disminución de peso igual

al volumen del líquido desplazado”. La disminución del peso se interpreta actualmente

como una fuerza o empuje que el líquido ejerce sobre el sólido. Si llamamos F a esta

fuerza y P al peso del volumen del líquido desplazado, el principio de Arquímedes

queda expresado por la fórmula:

Tenemos un sólido sumergido en un líquido y podemos efectuar diversas mediciones.

Por una parte, mediante una balanza, podemos medir la diferencia entre el peso del

objeto cuando se halla fuera del líquido y cuando se encuentra dentro de él. Por otra

parte, podemos ver la diferencia entre el nivel del líquido cuando el sólido esta fuera y

dentro de él. Con esto podemos saber el volumen del líquido desplazado y pesar un

volumen igual de líquido. Obtendremos así dos magnitudes que quedarán expresadas en

números y cada uno de ellos los obtenemos por métodos diferentes. El principio de

Arquímedes nos dice que estos dos números, que no tenían por que guardar alguna

relación, si están relacionadas: ¡Los dos son iguales!

2. LEY DE LAS PALANCAS

“En una palanca en equilibrio:

Los pesos colocados son sumamente proporcionales a las longitudes de los

brazos de las palancas :

Aquí, nuevamente dos números que se pueden obtener por métodos diferentes

, resultan ser iguales.

Si fijamos y tomamos para cada peso la distancia a la cual debe colgarse

para que la palanca este en equilibrio. La relación entre queda expresada así:

Siendo una constante. En la expresión anterior se ve claramente cómo es

función de . Arquímedes, quien también descubrió esta ley, no llegó a expresarla en

esta forma y esto puede deberse a que los griegos no trabajaban con números reales,

sino sólo con magnitudes. Ellos sabían qué significaba multiplicar dos distancias: un

área. Pero ¿Qué significaba multiplicar dos magnitudes tan distintas como un peso y

una longitud?

3. LEY DE HOOKE

“El alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se ele cuelga”

Si representamos con el alargamiento de un resorte y por el peso que se le cuelga,

la ley de Hooke señala que existe un número que no depende del peso (sólo depende

del resorte) tal que para cada valor de , hay un único valor de determinado por la

fórmula:

Es decir, es función de .

4. LA LEY DE LA GRAVITACÓN UNIVERSAL (Newton)

“Dados dos cuerpos de masa de y situados en una distancia entre ellos, se atraen

con fuerza

Donde es una constante que no depende de , de ni de ”. La fórmula anterior

expresa cómo está función de , y : a cada terna de valores, uno para , otro

para y otro para , le asigna un único valor para F.

5. LEY DE CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS (Galileo)

“Supongamos que en un cierto instante un cuerpo que estaba reposo comienza a caer

por la acción de la gravedad. La distancia recorrida por el cuerpo en el tiempo esta

expresado por la formula

Donde es la aceleración de la gravedad y es una constante que no depende del

tiempo”

La formula de la caída libre permite calcular el valor para cualquier valor dado de ,

es decir esta determinado por . También nos asegura que no depende la masa del

cuerpo (como creían los griegos).

Podemos también considerar el agrupamiento de una varilla metálica como función de

su temperatura, la presión de un gas como función de su densidad y de la temperatura,

etc.

En general, siempre que los valores de ciertas cantidades están determinados

completamente por los valores de otras cantidades A las cantidades

suele llamárseles variables dependientes y a los valores de variables

independientes.

En la formula de las palancas, está expresada en función de . es la variable

independiente y es la variable dependiente, aunque también podemos considerar a

como variable independiente y a como variable dependiente, por que depende

también de : por cada valor de (distinto de cero) tiene un único valor determinado

por la fórmula

La formula de la caída libre expresa en función de , es decir, , es la variable

independiente y es la variable dependiente. ¿Se puede considerar a como la variable

independiente y a como la variable dependiente?, es decir, ¿Podemos expresar a en

función de ? La respuesta es No, si no restringimos los valores que puede tomar que

satisfacen la ecuación 5 a saber:

Sin embargo, la fórmula la caída libre es una ley física en la que la variable representa

el tiempo transcurrido desde que un objeto comienza a caer por la acción de la gravedad

y esta interdependencia física limita los valores que puede tomar con esta

restricción, está completamente determinada por mediante la fórmula

Y así es la variable independiente y es la variable dependiente.

Ejemplos:

a) A partir de un cartón cuadrado de 40 cm de lado hagamos una caja rectangular

sin tapa, de altura . Esto lo hacemos recortando cuadrados de igual tamaño en

las cuatro esquinas del cuadrado y doblando las cejas con el fin de formar los

lados de la caja.

40 cm

Las dimensiones de la caja serán:

.

El volumen de la caja será el producto de estas tres dimensiones:

Esta fórmula expresa como función de y es muy útil para encontrar cuáles deben

ser las dimensiones de la caja (cuál debe ser ) para que su volumen sea máximo. El

problema se resuelve con métodos de cálculo.

b) Tenemos que proyectar una lata de aceite en la forma de un cilindro circular

recto y se nos dice que debe contener un litro de aceite.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tapa para que su manufactura requiera de la

mínima cantidad de metal?

Queremos que la superficie de la lata tenga área mínima. No es difícil encontrar una

formula para el área de dicha superficie en términos de radio de la lata y de su altura

. La tapa y el fondo de la lata son disco de radio . Consecuentemente el área de la

tapa es y también es el área del fondo. Para hallar el área lateral de la lata

imaginémonos que la cortamos sin tapa no fondo desde arriba hasta abajo y después la

aplanamos para formar un rectángulo, como se muestra en la figura siguiente:

La altura del rectángulo es la misma altura de la lata, mientras que el ancho del

rectángulo es igual a la circunferencia de la lata que es . El área de este rectángulo

es y es el área lateral de la lata. Si es el área total de la lata, tenemos entonces

que

Es decir .

Hemos logrado expresar en función de y de .

EJERCICIOS

1. Cada una de las siguientes ecuaciones describe la relación entre dos variables.

Decir en cada caso cuál es (o cuáles pueden ser ) la variable (o variables)

dependiente (s):

Cortamos la lata sin tapas La aplanamos

Encontramos la superficie del rectángulo

a) b)

c) d)

e) f)

2. Dada la formula

a) ¿Cuáles pueden ser las variables dependientes?

b) ¿Qué restricción se le debe imponer a y a sea función de (y de y )?

3. ¿En cuáles de las siguientes relaciones se define como función de ?

a) b) c)

4. Una bola de boliche de 8 cm de radio está cubierta con una capa de hielo;

expresar el volumen de hielo como una función de espesor ( recordar que el

volumen de una esfera, el área es )

5. Expresar el área de un tetraedro como función de su arista.

8.2 Formas de definir una función

La dependencia de con respecto de por medio de una función (regla funcional) , es

indicada por la expresión y suele escribirse es

alguna expresión que nos indican como están relacionadas las variables y es

decir, nos explica como se le asocia a cada valor de un único valor de . Por eso

también usaremos la notación

Para indicar que es el valor asociado a por la función o regla de

correspondencia Si, por ejemplo, escribimos con ello queremos

decir que depende de y que esta dependencia esta expresada mediante la función o

regla que a cada valor de le asocia el único valor Así al valor de

, f le asocia el valor de si , valdrá

y si valdrá . Note que no es variable, sino que es una regla

que relaciona dos variables.

Si escribimos , sobreentendremos que depende de mediante una función

que a cada le asocia el valor , es decir

Si y es una función de las variables mediante una función f, se escribirá

.

Ejemplos:

a) La formula para el volumen de la caja que construimos con un cartón de 40 cm

pos lado, expresa el volumen de una caja en función de su

altura . Estas cantidades están realcionadas mediante la función o regla de

correspondencia que a cada valor de le asocia un único valor de dado por

la siguiente fórmula:

Esta fórmula es una expresión algebraica de la función . Podemos escribir

simplemente , para indicar que depende de y que es

el volumen de la caja cuando su altura vale , por ejemplo:

Si y * representan números

(a) Cuando .

b) La formula para el problema del cilindro:

Indica que es una función . Si escribimos

Queremos decir con ello que es una función de y que las variables y están

relacionadas mediante una función que asocia a cada valor de (distinto de cero) un

único valor de dado por la formula.

La función se puede expresar mediante la formula algebraica

Se tiene también

c) En el plano cartesiano con ejes X y Y (conjunto de parejas , donde

tenemos un punto con

Demostremos ahora una regla de correspondencia o función que asociará a cada

número real distinto de un único número real Tomemos un número real

cualquiera y diremos como le asociaremos un número perfectamente definido

por Nuestra función será la regla que a cada le asocia

Sea entonces un número real distinto de El punto es un punto del eje X en el

plano.Sea la recta que pasa por y . intersecta al eje Y en un único punto

Sea

Si hacemos variar por todos los reales, menos al real variará dependiendo de

mediante la función expresada por medio de construcción que hicimos.

No es difícil convencerse de que esta función puede también expresarse

algebraicamente. Dado el punto ( ), la ecuación de recta que pasa por los puntos

es

Esta recta intersecta al eje Y cuando . Pero en este caso

Así que:

Por lo tanto:

es la expresión algebraica para .

Vemos entonces que una función puede expresarse de maneras diferentes.

Definición. Función es una regla que asocia a cada elemento de un cierto conjunto

un único elemento de un conjunto . Al conjunto suele llamársele dominio de la

función y al con junto codominio o contradominio de la función.

Para indicar que es una función con dominio y codominio , se escribe

. a veces escribiremos Dom y Cod para diferirnos al codominio.

Ejemplos:

a) La función al que para cada . Aquí es un conjunto

cualesquiera. Esta función es llamada función identidad en

b) si , la función tal que para cada se llama la inclusión

de en

c) Si y son conjuntos no vacíos y podemos definir una función

tal que para todo . Tal función es llamada función constante

d) Si es una función , entonces también es función tal que

para toda . Esta función se llama la restricción de a y se

denota por .

Ahora, dada la función La naturaleza de los conjuntos y está

estrechamente relacionada con la regla de correspondencia .

El dominio de una función debe ser un conjunto tal que si , mediante la función, un

elemento bien definido y único del codominio.

Ejemplos:

1. Si es la función dada por la formula

Donde y son número reales y y toman valores reales, no sabemos

mediante dicha fórmula que valor real de le corresponde al valor de esta

suerte, si el codominio es , el dominio no pude ser pues no esta

relacionada con ningún elemento del codominio, es decir, no esta en el

dominio.

2. Las leyes de la naturaleza no siempre son ciertas para todos los valores de las

magnitudes que en ella aparecen. Por ejemplo, la ley de Hooke que expresa que

el alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se le cuelga

sólo se cumple, si el peso es relativamente pequeño. Cuando ponemos un

peso demasiado grande la ley no se cumple, si el peso es excesivo, incluso se

rompe el resorte. Sólo podemos asegurar que la ley es válida en un cierto

intervalo: cuando varía entre 0 7 10 Kg, por ejemplo. En este caso la función

que a cada le asocia el alargamiento , no tiene sentido si o si

Así que esta función tiene un dominio que está contenido en el

intervalo

3. La formula expresa el área de la superficie de un lata en

función de su radio Dicha área es un número real, así que el codominio de

esta función es un subconjunto de , ya que en está penada la división entre

cero y se impone la restricción Además, como representa la longitud de

una lata real y no puede tomar valores negativas, el dominio de la función debe

estar contenido en el conjunto .

Como se ve, restricciones algebraicas y físicas suelen limitar el dominio y el codominio

de una función.

Aunque generalmente la descripción de una función incluye una definición de su

dominio y de su codominio, en cálculo, en donde se trabaja casi siempre con números

reales, suela no mencionarse explícitamente el dominio y el codominio de las funciones.

Esto se debe al que el dominio puede ser bastante claro según el contexto o el problema

que estamos resolviendo y el codominio casi siempre es . Por ejemplo al resolver el

problema de construir un caja de volumen máximo a partir de un cuadrado de cartón de

lado 40 cm. Esta formula es la expresión algebraica de una función que asigna a cada

altura un volumen . La regla

,

Independientemente de la interpretación física de , tiene sentido para cada numero

real (es decir, si el dominio es , no hay restricciones algebraicas). Pero nuestro

problema, representa una longitud y por lo tanto, no puede tener un valor negativo.

También como el cartón es de 40 cm de lado, es imposible recortarle cuadrados en las

esquinas de más de 20cm de ancho. Estas limitaciones físicas implican que debe tener

un valor entre 0 y 20 cm.

Entonces si no se mencionan explícitamente el dominio y codominio de , supondremos

En este problema que el codominio es el y el dominio es el intervalo:

En cálculo es usual hacer la siguiente convención, que algunos autores conocen con el

nombre de regla del máximo dominio:

“El dominio de cualquier función que se nos presente como una fórmula algebraica para

números reales fuera de cualquier contexto físico determinado, suponemos

automáticamente que consta de todos los elementos posibles para los cuales tiene

sentido la formula, a menos que sean mencionadas explícitamente restricciones

adicionales “

Por ejemplo, ¿Cuál es el dominio de la función dada por la fórmula

En esta formula hay dos consideraciones de tipo algebraico que afectan los posibles

valores de .Primera, el denominador no puede ser igual a cero y, segunda, la cantidad

bajo el signo del radical no puede ser negativa. Estas condiciones se deben cumplir para

poder calcular a partir de .

Combinadas estas condiciones nos dicen que debe ser positiva

Pero,

Por lo tanto, debe ser escogido de tal suerte que

Lo cual se satisface si y sólo si

En el primer caso las dos desigualdades pueden escribirse como

Y en el segundo caso, las dos desigualdades son equivalentes a estas otras

Que, juntas representan una contradicción.

Así los únicos valores que puede tomar en el presente ejemplo, son los descritos por

las desigualdades

Es decir, el intervalo (-2,3) es el dominio máximo de la función .

Finalmente observamos que (¿Por qué?) y la pregunta es

¿para todo existe tal que ?

Veamos: para y se tiene que

Y esta última ecuación

Lo cual es equivalente a y esto último es valido si y sólo si o ,

y como tenemos la condición de que , entonces tendrá

solución sólo si:

y por lo tanto el conjunto

Es igual a

A este conjunto se le conoce como la imagen de . En general tenemos la siguiente

definición.

Sea una función al conjunto

se le llama la imagen de

Ejercicios:

1. Use la regla para encontrar

a) b) c)

d) e)

2. Use la regla para calcular

a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. La regla tal que

¿Es función? Si lo es, encuentra y

4. Sean:

Diga cuáles de las siguientes reglas son funciones (en este problema esta denotado por

a alguna regla entre los elementos de A y los de C, aunque no sea función).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

5. Determinar el dominio máximo de cada una de las siguientes funciones:

a) c)

b) d)

f) g)

Hallar la imagen de las siguientes funciones:

a)

b)

8.3 Igualdad de funciones

Supongamos que y que , es la función que a cada

natural par le asocia el entero . Si cambiamos el dominio de esta regla, a en vez de

deja de ser función dado que y no le asocia ningún entero.

Análogamente, si cambiamos el codominio, aunque la regla de correspondencia y el

dominio permanezcan iguales , la función cambia o incluso la relación deja de ser

función: por ejemplo:, la función: que a cada le asocia el número ,

deja de ser función si en vez de ponemos a como dominio.

Ahora, ¿Por qué no son iguales las funciones y dadas por

?. Porque tienen, en cierto modo, propiedades distintas. Por ejemplo,

puede ser “partida”, en el sentido de que podemos formar una nueva función

dada por , y esta construcción no se puede hacer con sin alterar su

codominio.

Así que dos funciones que no tengan el mismo dominio, o no tengan el mismo

codominio, aun teniendo la misma regla de correspondencia, para nosotros serán

diferentes.

Definición: Dos funciones, y son iguales si y

si para cada

Ejemplos:

Las funciones definidas por

Y

Son iguales ¿Por qué?

8.4 Gráfica de Funciones

A menudo es necesario en matemáticas y en las ciencias, construir gráficas de función

que se expresan mediante algunas formulas algebraicas.

Hablaremos de las gráficas de funciones reales de variable real (funciones con dominio

y codominio en . Resulta útil hacer los dibujos en el plano cartesiano de estas

gráficas con sus ejes ,perpendiculares: el primero que representa los valores de la

variable independiente y el otro que representa los valores de la variable dependiente.

La gráfica de una función entonces un conjunto Aclaremos cual es.

Definición. Sean y Una función. La gráfica de es el conjunto de

puntos del plano, con y .

Podemos obtener una interpretación geométrica de la gráfica de las funciones reales,

localizando en un sistema de coordenadas, los elementos de la gráfica de la función.

Ejemplos:

1. Sea la función dada mediante la siguiente regla:

Por ejemplo, por que 4 letras tienen la palabra tres.

La gráfica dela función es:

Y su interpretación geométrica son los puntos que se muestran en la figura.

2. Sean y dada por . Los elementos de la gráfica de

son:

Algunos elementos de se ilustran en la siguiente figura:

3. Sea a de g es

Algunos elementos de se pueden obtener haciendo la siguiente tabla:

1 2 3 0 -1 -2 -3

1 2 3 0 1 2 3

Localicemos estos puntos en el plano, los restantes elementos de la gráfica

los suponemos situados en la semirecta que unen los puntos

localizados y “Dibujamos” la gráfica de , como una línea continua que une estos

puntos:

En general, dibujar la gráfica de una función no es sencillo, y con sólo las ideas que

hemos dado se pueden cometer serios errores, como se

list a en el siguiente ejemplo:

Construyamos la gráfica de la función dada por la fórmula:

Una tabla de valores para y es la siguiente:

1 2 3 0 -1 -2 -3

1

En la siguiente figura se exponen dichos puntos.

Al unir los puntos marcados con una línea continua obtenemos la gráfica:

Sin embargo si calculamos para el valor , obtenemos . Esto

contradice estrepitosamente nuestro dibujo. Trazando muchos más puntos de la

gráfica podríamos observar con más precisión la forma de ella, que es más o menos

así:

Aunque marcamos muchos puntos de la gráfica, nunca podríamos estar tan seguros

de saber si nuestro dibujo se acerca siquiera a la verdadera gráfica de la función.

Como subconjuntos de , las gráficas pueden tener muchas formas, pero no todo

conjunto de puntos en el plano es la gráfica de una función. Por ejemplo considere

el siguiente ejemplo, considerando el siguiente conjunto:

Este conjunto se representa en el plano por medio de una circunferencia con centro

en (0,0 ) y radio .

Este circulo no es la gráfica de ninguna función ya que si existiera una función de

la cual fuera la gráfica, entones:

Ahora bien, los puntos (2,1) y (2,1) están en el círculo por que satisfacen la ecuación

Esto quiere decir que y al estar en , son de la forma

. Por lo tanto y y este hecho ruin contradice

nuestra definición de función, según la cual debe tener un único valor bien

definido. Así que no es la gráfica de ninguna función real . Sin embargo, el

semicírculo superior

Es la grafica de , con dominio . Análogamente, el

semicírculo inferior es la gráfica de también con dominio máximo

.

Ejercicios:

1. Demuestre que las funciones dados por

y

Son iguales.

2. Trace aproximadamente las gráficas de las siguientes funciones, si suponemos

que su dominio es .

a) b)

c) d) g(x)=

3. Trace las gráficas de las siguientes funciones

A)

B)

C)

D)

E) La siguiente gráfica representa una función con dominio en Encuentre en

dicha función

F) Dibuje las graficas de cada una de las siguientes funciones:

G) Haga un dibujo de la gráfica de las siguientes ecuaciones. Entonces aplicando el

criterio de la recta vertical, decida si esa gráfica representa o no una función.

a)

b)

c)

d)

Actividad complementaria:

La siguiente actividad tiene como objetivo reforzar el concepto de función así como su

representación gráfica y analítica se sugiere se trabaje en Geogebra de ser posible:

Enunciado de la actividad:

“Dado el perímetro de un rectángulo ¿cuántos rectángulos que tengan ese perímetro

existen? “ En el caso particular de que el perímetro de un rectángulo sea igual a 12 cm

¿puede representar gráficamente y algebraicamente todos los perímetros que cumplan

dicha condición? ¿Todos los perímetros con el mismo perímetro tienen también la

misma área?

Solución:

Se puede pensar en un segmento rectilíneo que mida 6 cm de longitud, que representa

en general el semiperímetro de todos los rectángulos buscados; dicho de otra forma,

para que un rectángulo tenga perímetro igual a 12 cm, la suma de sus lados (largo mas

altura) debe ser igual a 6 cm.

En Geogebra se puede proceder, construyendo primero un rectángulo dinámico que

represente a todos los rectángulos con perímetro igual a 12 cm, para esto, dibuje

primero un segmento que mida 6 cm (como se muestra en la figura), posteriormente

coloque un punto “C” intermedio en el segmento que pueda mover libremente; los dos

segmentos (en la figura ) representan las posibles longitudes de los lados de los

rectángulos buscados.

Construya usando como medidas de referencia los valores de ; un rectángulo

dinámico (GHED), deberá observar que si modifica la posición del punto “C” en el

segmento original, el rectángulo cambiará de forma y dimensiones, pero su perímetro

seguirá siendo 12 cm, Esto porque .

Solicite al software que le muestre el área del rectángulo GHED; como ya se dijo, si

mueve el punto “C” a lo largo del segmento , el rectángulo modificará sus atributos

de longitud de lados y también de área, sin embargo el perímetro permanecerá fijo en 12

cm; lo cual significa que el área es función de la longitud de los lados ¿cómo

representamos esto gráficamente?

Sobre el sistema de referencia (plano cartesiano) Transporte sobre el eje de las abscisas

con ayuda del compás, la longitud de uno de los lados, por ejemplo, esta es la

variable independiente; también con el compás sobre el eje de las ordenadas transporte

ahora el área del rectángulo GHED, esta es la variable dependiente; por medio de rectas

paralelas a los ejes, encuentre la intersección de los valores de longitud de lado con

área; este punto es el que describe el lugar geométrico que representa la función área del

rectángulo. Con el comando lugar geométrico trace dicho lugar, obtendrá una curva

abierta en forma de “U” parecida a las parábolas estudiadas en el capitulo VII

(geometría analítica) ¿cómo demostrar que el lugar geométrico obtenido es una

parábola?

Procedemos a “algebrizar” los datos y condiciones del problema (capítulo IV, lenguaje

algebraico); designemos como “x” por ejemplo a la longitud de la base del rectángulo, y

como “y” a la longitud de la altura (en nuestro caso, ); se puede expresar:

(Condición del perímetro)

Aparentemente, el área depende de dos variables “xy” sin embargo, la expresión del

perímetro, nos permite expresar una de las variables en términos de la otra, esto es:

Con la última expresión, denotamos que el área es función exclusiva de la longitud de

uno de los lados (en este caso, la base, a la que denominamos como “x”) y que

efectivamente el lugar geométrico que describe cómo varía el área es una parábola, por

el tipo de expresión que obtuvimos (capítulo VII, parábola).

Adicionalmente, y sin meternos aún en terrenos del cálculo diferencial, se puede

observar en la gráfica, que el mayor valor de área que se obtiene es 9, y esto sucede

cuando el largo es igual al ancho, ( Esto significa que de todos los

rectángulos con perímetro fijo, el de mayor área es siempre el cuadrado.

8.5 Composición de Funciones

Definición Sean dos funciones. La composición de con ,

denotada por o , es la función o tal que o .

Notemos que:

1) Del hecho que y sean funciones, podemos asegurar que o también lo es,

esto es, la regla o tiene las propiedades que definen una función.

2) Dadas cualquieras dos funcione o o s y , no necesariamente se puede

ahablar de la función composición o , como lo muestra el siguiente ejemplo:

esta dada por y es tal que

, entonces si aplicamos la definición anterior sin detenernos a reflexionar un

momento diríamos que es la “Función” dada por (

. Sin embargo, al considerar tendríamos que o

, es decir, esta “función” no asocia a -1 n en ningún

número real e contradicción con nuestra definición de función.

Entonces, dadas las dos funciones y ¿Cuándo vamos a poder hablar de o ?

.

Ejemplos:

1. Consideremos definida por – 1 y

y esta dad por . Entonces y esta

dada por

Particularmente

¿Se podría definir o ? ¿por qué?

2. Como antes, sea tal que y dadas por

Podemos definir las funciones y y las reglas que la definen son:

A partir de este último ejemplo puede observarse que la composición de

funciones no es conmutativa.

Algunas propiedades que sí satisface la composición de funciones son las

siguientes:

1. Sean Funciones. Se cumple que

, esto es, la composición de funciones es

asociativa.

En efecto, sea Entonces

2. Sea cualquier función, se cumple que:

(a) Sea

(b)

La demostración de esta afirmación es un ejercicio.

Ejercicios

1. Sea P el conjunto de palabras del idioma español y sea dadas por

la función definida por

Obtenga

(a)

(b)

2. A continuación se dan las reglas de correspondencia de funciones y .

Siguiendo el criterio del “dominio máximo” de definición, determinar si se

puede (n) definir y/o y en este caso de que así sea determinar su

dominio, codominio y regla de correspondencia.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3. Defina dos funciones tales que e

4. Investigue alguna condición para que : son funciones, se cumpla

que (¿Cómo debe ser y ?)

8.6 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Estamos ahora interesados en clasificar a las funciones en base a ciertas propiedades

que les sean características.

Sean el conjunto de las personas que trabajan y que perciben un salarios.

Consideramos la función definida como sigue:

Esta función tiene sus “particularidades”, entre ellas la más “desagradable” es que nos

convierte a muchos en “gentes del montón”. Esto ocurre sencillamente por que, un gran

número de elementos de , tiene la misma imagen, o sea, ganan el mismo salario. Por

ejemplo,

.

Otro ejemplo:

que tiene depositado su dinero en el “Manhatan

City Bank of U. S. A”, y (la es de ricos) la función tal que

.

Por las características de la función,no puede ocurrir que más de un elemento de

tenga igual imagen, pues sería catastrófico para Don Miguel E. Templos que al tratar de

retirar “sus lanas”, Don Jorge Díaz C. se le hubiera adelantado(si pudiera tener el

mismo número de cuenta).

Son particularmente importantes las funciones que tienen la propiedad del último

ejemplo. A ellas les daremos un nombre.

Definición: Una función: se dirá inyectiva si elementos distintos de tienen

siempre imágenes distintas, esto es

Ejemplos:

1. Sea definida por . Afirmamos que esta función

es inyectiva. En efecto, si , entonces y ,

por siguiente y por lo tanto .

2. Mas generalmente, dados fijos, la función

“lineal” dada por , es inyectiva pues si

y como se

concluye que .

3. En cambio ninguna función cuadrática de tipo con

puede ser inyectiva, dado que cualquiera que sea , tenemos

que , y si .(demuestrelo)

4. La función identidad es claramente inyectiva( ¿está usted

de acuerdo?). análogamente , si La función inclusión

dada por es inyectiva.

5. En cambio la función valor absoluto dada por no

es inyectiva; por ejemplo . Pero se define

como entonces sí es inyectiva¿ puede usted,

explicar por qué?

Dada la función puede comprobarse si es o no inyectiva observando ssu

gráfica, de la siguiente manera:

Si alguna recta horizontal corta en más de un punto, dicha función no puede ser

inyectiva y recíprocamente.

Para ver que esto es cierto, recordemos que

Y que cada recta horizontal es un conjunto de puntos en el plano de la forma ,

donde y es constante. Estas rectas pueden representarse analíticamente

mediante la ecuación . Si una tal recta corta a en más de un punto, se tendrán

un par de puntos distintos de en la recta; por lo tanto dichos

puntos deben satisfacer que sus segundas coordenadas deben ser iguales al número ,

esto es con por lo cual no es inyectiva.

Recíprocamente, supongamos que no es inyectiva. Esto significa que existen

tales que . Entonces la recta horizontal que pasa

por contiene por lo menos estos puntos .

Según este criterio, la funciones cuya gráfica es la siguiente puede ser inyectivas:

He aquí algunas de las propiedades importantes de las funciones inyectivas

Teorema:

(a)

(b)

Demostración:

(a) Sean tales que ; queremos concluir que

. Para esto apliquemos y obtenemos , que es

equivalente a , y puesto que es inyectiva,

debe tenerse , como pretendíamos.

Sean nuevamente tales que esta igualdad es,

por definición, equivalente a y como es inyectiva,

debe ser y como también lo es,

Ejercicios

Determinar cual de las siguientes funciones son inyectivas:

(a)

(b)

(c)

(d) Si

, la función tal que

Construya ejemplos donde

(a) F o g sea inyectiva y f no lo sea

(b) F sea inyectiva y f o g no lo sea

(c) G sea inyectiva y f o g no lo sea.

Determinar si dada por

Es inyectiva.

Sea una función inyectiva. ¿Puede encontrar x1, x2 R para los que se cumpla

que:

(a) x1<x2 y (b) ?

¿Por qué?, ¿qué puede concluir de su respuesta?

Descomponga la función dada por , como la

descomposición de dos funciones , esto es, tal que .

no es inyectiva, ¿Cuál de las dos, ó no es inyectiva?

Funciones suprayectivas

A manera de comentario previo, estudiemos la siguiente función: sea A el conjunto de

casas administradas por el INFONAVIT y B el conjunto de personas con derecho a

tener una de estas casas. Sea la función con regla de correspondencia:

Propietario (legal) de a.

Nos preguntamos: ¿ocurre que cada elemento de B es imagen de algún elemento de A?,

esto es, ¿cada persona con derecho a tener una de estas casas la tiene? Ustedes saben

que no es así.

Una situación distinta se da en el siguiente ejemplo: sea A el conjunto de personas para

que aun vive su madre y sea B el conjunto de mujeres que tienen hijos vivos. Si

es la función tal que madre de a, en este caso si ocurre que dado

cualquier , existe con . Por cierto que una expresión muy nuestra

se empña en negar esto.

Las funciones con esta propiedad se llaman funciones suprayectivas. Precisamos esto

por la siguiente definición.

Definición Una función se dirá que es suprayectiva ( o función sobre o

sobreyectiva) si para cada , puede hallarse con la propiedad de que

.

Los siguientes ejemplos son principalmente funciones con dominio y codominio

subconjuntos de R, esto es así porque las funciones que estudiaremos con mas detalle en

este capítulo.

Ejemplos:

1. La función definida por es no suprayectiva porque para

cada cualquier , . Así, no existe tal que

, a pesar de que codominio de .

2. Sea ahora dada por . Igual que en los ejemplos

anteriores, nos interesa investigar si esta función es o no suprayectiva. Con este

propósito observemos que . Analizando

los factores podemos ver que:

,

Y también que

;

Se infiere aquí que si , ambos factores son positivos y que si , ambos

factores son negativos. Así que:

si ó y

si .

Pero

y

y

,

Es decir, hemos demostrado que y por tanto,

que esta función no es suprayectiva.

3. Definimos aquí una función con la misma regla que en el ejemplo 1, a saber,

, pero ahora elijamos el codominio de como , así . La

función así definida es ahora suprayectiva, claramente (¿o no?).

Este último ejemplo muestra que el codominio de una función influye de manera

importante para que esta sea o no suprayectiva. De esto podemos ver lo

importante que es, que en la definición de una función no solo se dé la regla de

la asociación, sino que también se den el dominio y condominio de la función.

Igual que para las funciones inyectivas, tenemos un “método” geométrico que nos

permite decir cuándo una función es sobreyectiva, éste es como sigue: si la

grafica de , , es tal que cualquier recta horizontal la corta en al menos un punto,

entonces es sobreyectiva y viceversa.

Justifiquemos esta afirmación: Sea cualquier número real. Suponiendo que

cualquier recta horizontal corta a , queremos hallar un tal que . Con

este propósito, consideremos la recta horizontal . Como esta recta corta a ,

existe un punto de la recta, que está en . Por lo tanto, y

por ende , como queríamos.

Si ahora es sobre y es la recta horizontal dada por , existe tal que

. Con esto, el punto está en y . Coincidimos que corta a

.

Por ejemplo, si no es sobre: la recta no la corta

Dos propiedades sobresalientes que cumplen las funciones sobreyectivas, las

establecemos en el siguiente teorema:

Teorema

(a) es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

(b)

Demostración:

(a) Sea cualquiera, queremos encontrar

Sabemos que es sobre, así que exite tal que , y puesto que

es el elemento buscado.

Ejercicio

1. Considere la función dada por

Decida si esta función es sobreyectiva y /o inyectiva.

2. Estudie la gráfica de para decidir

(a) Si es inyectiva

(b) Si es sobreyectiva

Donde esta dada por

3. De un ejemplo de funciones , tales que es suprayectiva y no lo es.

4. Comprobar que la función cuadrática dada por

, no es suprayectiva.

5. Analiza si la función definida por es inyectiva y/o

suprayectiva.

Funciones biyectivas

Como se ha visto, hay funciones que son: (a) Inyectivas pero no suprayectivas:

(b) Suprayectivas pero no inyectivas:

dada por

(c) No suprayectivas y no inyectivas:

dada por

(d) Suprayectivas y suprayectivas:

Las funciones dada por una regla de .

Definición.Una función se dirá biyectivasi es suprayectiva e inyectiva.

La definición anterior puede también establecerse diciendo que una función

des biyectiva si y sólo si para cada existe un único tal que .

Las funciones de en dadas por una regla son

funionesbiyectivas.

8.7 Función inversa

Sea una función. Consideremos la siguiente regla para asociar elementos de con

elementos de

“Si le asociamos un elemento que tenga la propiedad de que ”

Esta regla evidentemente no siempre define una función; depende de las características

de . Por ejemplo, si es no suprayectiva, hay al menos un elemento tal que

. En este caso de acuerdo con nuestra regla que define una función, no ocurre

que cada elemento de tenga asociado uno de . Ahora, si es suprayectiva pero no

inyectiva, existen dos elementos distintos en que cumplen que

.

Conforme nuestra regla, a debemos asociarle y también , con lo que la

regla que estamos considerando tampoco define una función.

Supongamos ahora que es suprayectiva e inyectiva, es decir biyectiva. Entonces

nuestra regla define una función porque:

1. Para cada siempre existe tal que , es el asociado de .

2. El asociado a es único puesto que si y son asociados de ,

y por lo tanto , ya que es inyectiva.

La siguiente definición resume los anteriores comentarios. Suprayectiva

Definición. Sea , una función biyectiva. La función , definida

mediante la regla donde es tal que , se llama la función inversa

de y la denotaremos por

A manera de ejemplo, si es cualquier función, también lo es

definida igual que , esto es, es siempre suprayectiva, de tal

suerte que si es inyectiva, es biyectiva y entonces existe .

Podemos también, en algunos casos, restringir el dominio de una función a

un subconjunto de tal manera que se tenga una función inyectiva

y si es también suprayectiva, se tienen las condiciones para le existencia de

. Ejemplifiquemos esto:

Sea definida por . Esta función es suprayectiva (para

cada existe al menos una raíz cuadrada), pero no es inyectiva; recordemos que

.

Sea ahora . Afirmamos que es inyectiva.

Recordemos que si y entonces .

Además también es suprayectiva. Ya que para cada existe tal que .

es asíbiyectiva y existe .

La regla algebraica que define a es

Cuando se estudian funciones con dominio y codominio subconjuntos de , si una

función

Es tal que existe , es útil conocer alguna formula algebraica que defina a . En

algunas ocasiones esto puede obtenerse “despejando” de la ecuación . Por

ejemplo, si es la función dada por , es biyectiva y por

consiguiente existe . Obtenemos la formula que define como sigue:

Y es la fórmula buscada.

Como otro ejemplo, si Está dad por es

biyectiva. Luego existe su invesrsa , cuya regla de

correspondencia la obtenemos ”resolviendo” para la ecuación

Y por lo tanto

Si es una función biyectiva, obtenemos la grafica de a partir de la

gráfica de como sigue:

Si

El caso particular en el que y son subconjuntos de , en un sistema de cordenadas

cartesiano lo anterior significa que para cualquier punto en la grafica de

, existe un punto en la gráfica de que es simétrica a con respecto a la recta

. Se obtiene entonces reflejando con respecto a la recta como si

esta fuera un espejo.

La siguiente figura ilustra esta afirmación.

Ejercicios:

1. Determine, si existe, la inversa de la función dada por

(denotemos por el conjunto de los números naturales pares).

2. Sea

(a) Encuentre

(b) Evalúe

(c) encuentre

3. Si la regla de correspondencia para una función es

, pruebe que si y , existen las

inversas de . Determine una fórmula para éstas y trace su gráfica.

4. Una función se dice monotona creciente si

Demuestre que si es biyectiva y monotona creciente entonces es también

monotona creciente. 5. Si es una función, demuestre que

8.8 TEMA ESPECIAL: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ÁNGULOS EN RADIANES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son las que se establecen con los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo.

La medida de los catetos de un triángulo rectángulo, cuando la hipotenusa es constante

(por ejemplo, en el caso de que sea el radio de una circunferencia, como se observa en

la siguiente figura), depende o está en función del ángulo.

Si el ángulo aumenta, el cateto opuesto aumenta también, pero el cateto adyacente

disminuye.

La longitud de los catetos es la variable dependiente; el valor del ángulo es la variable

independiente.

)()( senf

FUNCIÓN SENO DE UN ÁNGULO

Ángulo en radianes

)(sen La relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa; como la hipotenusa

es constante y vale uno; simplemente es el valor del cateto opuesto.

NOTA:

Los ángulos no necesariamente son números positivos, un ángulo negativo es aquel que

se mide en sentido de las manecillas del reloj; tampoco es necesario que el ángulo valga

entre cero y 360º; por ejemplo se puede hablar de un ángulo de 2300º.

En este ejemplo, se concluye que un ángulo de 2300º equivale a un ángulo de 140º; el

punto sobre la circunferencia después de dar seis vueltas, y lo que resta para 2300º,

6360

2300 2160360)6( 14021602300

),(

Df

xDf

1,1

2

3

queda en la misma posición que si simplemente se hubiera recorrido desde el inicio

140º.

En general nos damos cuenta que cada 360º; la función seno vuelve a tomar los mismos

valores, por ejemplo:

La función seno es una función periódica, y su periodo es igual a un ángulo de 360º= 2

2300º=115/9; 140º=7/9; por lo tanto:

sen(115/9)=sen(7/9)

El dominio de la función seno son todos los números reales, porque un ángulo puede

tomar el valor de cualquier número real.

El contradomino de la función seno es cualquier número real del intervalo

La función seno toma su máximo valor en 2

y su mínimo valor en

)º140()º2300( sensen

.);º140()º500();º40()º400();º1()º361( etcsensensensensensen

FUNCIÓN COSENO:

Se define como la función con variable independiente un ángulo medido en radianes y

con variable dependiente, el cociente del cateto adyacente de un triángulo rectángulo

entre su hipotenusa. Como la hipotenusa es constante (radio de una circunferencia) y

vale la unidad, simplemente se grafican los valores del ángulo en radianes contra la

longitud del cateto adyacente, obteniendo la siguiente gráfica:

Su Dominio son todos los números reales, (-,∞); en otras palabras, existe el coseno de

cualquier ángulo, recordando que un ángulo puede ser cualquier número real.

Su contradominio es el intervalo [-1,1]; significa que el coseno de un ángulo lo menos

que puede valer es -1 y lo más que puede valer es +1; esto se debe a que el cateto

adyacente lo más que puede llegar a valer es igual a la hipotenusa (radio del círculo); y

lo menos que puede llegar a valer es cero.

El coseno de un ángulo será positivo siempre que se encuentre en el intervalo [0,90º); es

decir

2,0

; también dentro del intervalo (270º,360º]; es decir

2,

2

3.

Por otro lado, el coseno de un ángulo será negativo, si cae en el intervalo (90º,270º); es

decir

2

3,

2

.

La función coseno es periódica, con periodo igual a 2; la única diferencia con la

función seno, es que existe un desfase entre ambas.

Las funciones seno y coseno se intersectan en su gráfica; para el intervalo 2,0 ;

se cruzan por primera vez en un ángulo de 45º

4

; y se vuelven a cruzar en 225º

4

5.

2

1

44cos;

44);cos()();()(

sengfxxgxsenxf

2

1

4

5cos

4

5;

4

5

4

5

sengf

)tan()( xxf a

btan

Expresándolo como funciones que son evaluadas en esos valores de su dominio:

¿En qué valor las funciones seno y coseno vuelven a valer 2

1?

Como sabemos que las funciones son periódicas con periodo igual a 2; basta con

agregarle el periodo al valor del ángulo en el que son iguales; por ejemplo si sabemos

que 2

1

4cos

4

sen ; entonces para saber cuando vuelven a valer lo mismo

ambas funciones:

etc;4

172

4

9;

4

92

4

También funciona hacia la izquierda:

.;4

152

4

7;

4

72

4etc

FUNCIÓN TANGENTE

Se define como la relación que existe entre el ángulo medido en radianes y el cociente

del cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo.

A diferencia de las funciones seno y coseno, es fácil notar que el cateto opuesto puede

ser muchas veces más grande que el adyacente o muchas veces más pequeño, por lo

cual no debemos esperar un comportamiento similar a las funciones seno y coseno; ya

que la función tangente sí podrá tomar valores mayores que la unidad o menores que -1.

Otra observación importante es que el dominio de la función tangente no puede ser el de

todos los números reales, ya que como se ha visto para la función coseno, para ciertos

ángulos, el cateto adyacente se hace cero, entonces al ser la tangente el cociente de

cateto opuesto entre adyacente; la tangente no existirá para esos valores.

,...2

9,

2

7,

2

5,

2

3,

2,

2,

2

3,

2

5,

2

7,

2

9...,

La gráfica de la función tangente también es periódica, con periodo igual a ; es una

función siempre creciente, conforme el ángulo aumenta, el valor de la función también

aumenta.

La función tangente no está definida en 2

; porque se dispara al infinito positivo y

negativo.

El dominio de la función tangente, como ya se dijo, no son todos los números reales, se

deben excluir del dominio los valores en los que el cateto adyacente valga cero; dicho

de otro modo, si el coseno de un ángulo es cero, la tangente de ese ángulo no está

definida; por lo cual los valores que se deben excluir son:

El dominio de la función tangente se puede expresar entonces de la siguiente forma:

xDf Excepto ,...4,3,2,1,0;2

)12(

k

k

Para el caso del contradominio de la función tangente, como ya se ha mencionado, va

desde -∞, hasta +∞; por lo cual se puede afirmar que son todos los números reales.

En otras palabras, y aunque suena contradictorio, no existe la tangente de cualquier

número real, pero cualquier número real puede ser la tangente de un ángulo.

En la anterior gráfica, se puede observar que para los valores de ángulo en que la

función seno vale cero: (0, , la función tangente también vale cero, mientras

que los valores de ángulo en los cuales coseno vale cero: ( , la función

tangente no está definida.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Una vez que se definen las tres funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente); a

partir de cada una de ellas, se puede definir una nueva función, que será la función

recíproca.

Si la función seno fue definida como aquella que relaciona el ángulo en radianes con el

cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa; definiremos una nueva función:

La función cosecante de un ángulo, se definirá como el cociente de la hipotenusa entre

el cateto opuesto.

Si la función coseno fue definida como el cociente entre el catato adyacente y la

hipotenusa; ahora definimos una nueva función:

La función secante se define como la que tiene de variable independiente el ángulo

medido en radianes y de variable dependiente el cociente entre hipotenusa y cateto

adyacente.

Si la función tangente se definió como el cociente entre cateto opuesto y cateto

adyacente, se define a partir de esta la función:

La función cotangente es la recíproca de la tangente y se define como el cociente del

cateto adyacente entre opuesto.

NOTA IMPORTANTE:

Se sugiere que sea muy específico con los estudiantes en la diferencia que existe entre

las funciones trigonométricas recíprocas (secante, cosecante y cotangente) y las

funciones inversas de las funciones trigonométricas (arcoseno, arcocoseno y

arcotangente) muchas veces representadas de forma equivocada como

. Recuerde que la función inversa por ejemplo de la función seno,

(según la definición de funciones inversas dada en este capítulo), es otra función que

toma como valores de su dominio números en el intervalo ; y regresa como valor

de la función o contradominio, el ángulo cuyo seno equivale al valor tomado.

Tal confusión se debe en buena medida a que las calculadoras tienen representada la

tecla para calcular la inversa de una función trigonométrica como elevada al exponente

(-1), lo cual es un error de notación.

Actividad:

Haga un análisis de las funciones recíprocas (secante, cosecante y cotangente) y

establezca: Dominio, contradominio, periodo, intervalo en que es creciente, intervalo en

que es decreciente, máximo y mínimo valor que puede tomar.