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FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALCURSO: ANALISIS MATEMATICO IIDOCENTE: FREDDY ANDIA HERRERA

Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)

Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:

Longitud de arco

La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.

Longitudes de arco(EJEMPLO)

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

dxxfxgxgxfdxxgxf ''

)(

)(

xgv

xfu

dxxgdv

dxxfdu

)('

)('

vduuvudv

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

dxxsenxxudxdu

dxxsendv )(xv cos

dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos

Csenxxcosx

SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:

es una integral mas difícil de calcular.

dxxsenx

dxxxsenxx

dxxsenx cos21

22

2

dxcosxx2

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.

dxex x 2

2xuxdxdu 2

dxedv xxev

dxxeexdxex xxx 222

dxxexxu dxdu dxedv x xev

Cexedxexedxxe xxxxx 2

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222

1xxx2 C2e2xeex CC 21

Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase

Resuelva las siguientes integrales:

1.

2.

3.

4.

dxxln

dxsenxexdxxx ln2

dxx 3sec

Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas

b

a

b

a

ba vduuvudv

EjemploEjemplo

De donde:

Por lo tanto:

dxxex1

0

dxdu

xu

x

x

ev

dxedv

101

0

1

0

1

0

1

0

xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee

Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea

Resuelva las siguientes integrales:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

dxxe x 2

dxxx cos

dxxsen 1

dxsen cos

dxxx2

0

2cos

dxx4

1

ln

dxxx 1

0

1tan

GRACIAS POR SU ATENCION

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