Unidad01 Mod

TECSUP - PFR Matemtica I

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Unidad I

PPRROOPPOOSSIICCIIOONNEESS LLOOGGIICCAASS YY SSUU CCLLAASSIIFFIICCAACCIIOONN

1. DEFINICION DE LOGICA

La lgica es la teora de la deduccin; la deduccin consiste en pasar de la verdad de las premisas a la verdad de la conclusin.

1.1 PROPOSICIONES LOGICAS Y SU CLASIFICACION

LAS PROPOSICIONES SIMPLES. Son proposiciones que no tiene conectivos entre sus miembros; nos permite hacer una solo afirmacin o negacin, Ejm. El hombre es mortal.

a. Predicativas Son las proposiciones simples que afirman o niegan una cualidad, propiedad o caracterstica de un sujeto u objeto, Ejm. El profesor es puntual.

b. Relaciones.- Son los que indican una relacin entre dos o ms sujetos u objetos, Ejm. Pedro es mayor que Juan.

PROPOSICIONES COMPUESTAS O COLIGATIVAS. Son proposiciones que resultan de la unin de dos o ms proposiciones simples, unin que es gracias a que se posee conectivo que pueden ser. i, o y si... entonces etc

1.2 PRINCIPIOS LGICOS

PRINCIPIO DE IDENTIDAD: Fue enunciada por Parmnides. Si toda proposicin es verdadera entonces es verdadera.

Ejm. Si Friedrich Nietzsche ha ejercido influencia entonces Friedrich Nietzsche ha ejercido influencia.

Se formaliza: p p p V V F V

Matemtica I TECSUP - PFR

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PRINCIPIO DE LA NO CONTRADICCIN: Fue enunciada por Platn: Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas.

Ejm. El cura es casto y el cura no es casto. Se formaliza:

p ~ ( p ~ p ) V V F F V F

PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO: Fue enunciado por Aristteles: Una proposicin es verdadera o falsa, no cabe tercera posibilidad.

Ejm: Friedrich Nietzsche ha ejercido o no ha ejercido influencia. Se formaliza as

p p ~ p V V V F F F V V

BREVE HISTORIA DE LA LOGICA La primera piedra de la lgica formal se encuentra en los trabajos de Aristteles (Organon), quien elabor la silogstica, la que comprenda la clasificacin de las proposiciones por su cantidad y su cualidad y el planteamiento de la investigacin segn el mtodo deductivo. La ilteror aportacin al progreso de la lgica formal la dan los Megricos al descubrir la lgica coligativa. En la edad Media, los escolsticos: Duns escoto, Alberto de Sajonia, Raimundo Lulio, Guillermo de Occam y otros. La multisecular tradicin en el estudio de los problemas de la lgica deductiva clsica se rompe cuando se investiga la induccin y se intenta formular las reglas de los razonamientos inductivos, esto sucede a partir de Francis Bacon (Siglo XVI XVII). Sin embargo la lgica deductiva clsica va a mantener su influencia hasta la segunda mitad del siglo XIX, cuando se registra un viraje a fondo en el desarrollo de la lgica formal, al empezar a estructurarse la lgica matemtica o simblica. Se considera que Leibniz (siglo XVII) fue quien por primera vez formul la idea de clculo lgico. No puede dejarse de mencionar a Euler (siglo XVIII) quien introdujo los diagramas que llevan su nombre para ilustrar Geomtricamente los silogismos. Pero la lgica matemtica slo se constituye como disciplina independiente a partir de los trabajos de George Boole (1815 1864). Quien inicia el desarrollo de la denominada lgebra de la lgica.el trabajo de Boole fue complementado por Venn (1834 1923) quien va a representar los procedimientos algebraicos de Boole mediante diagramas. A fines del siglo XIX se inicia una nueva direccin relacionada con las investigaciones de la matemtica tendiente a fundamentar sus conceptos y sus procedimientos demostrativos. En las fuentes de la direccin aludida, se encuentra los trabajos de Gottlob Frege (1848


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1925),. Quien es considerado el padre de la lgica moderna por su aportes novedosos como la distincin entre variable y constante, los conceptos de funcin lgica, de cuantificadores, etc, en su obra Conceptografa. Un continuador de Frege es Peano (1848 1925), quien cre un lenguaje simblico para las demostraciones matemticas y propuso el uso de los puntos auxiliares en reemplazo de los otros signos de agrupacin y un modo de simbolizar los cuantificadores y otros signos ms que fueron usados ms tarde por B. Russell y A. N. Whitehead en su obra Principia mathemthica. En esta obra se reuna y sistematizaba todo lo conocido hasta el momento respeto a la teora de la inferencia y se demuestra como diversos tipos de inferencias se aplicaban a la derivacin de los teoremas de todas las ciencias matemticas. Se reconoce tambin importantes los trabajos de Hilbert, quien mostr los defectos de Principia mathemthica, debido a la falta de rigor en el empleo del lenguaje, y que para poder estudiar la inferencia se requera de lo que posteriormente se denomin metateoras o metalenguaje. Tambin son trabajos de trascendencia los de post, Godel, Tartski y Wittgenstein, este ltimo redujo la lgica de predicados y la matemtica al sistema de clculo proposicional, adems introdujo el mtodo de las tablas de verdad para evaluar frmulas en el clculo proposicional.

EL LENGUAJE

Funciones bsicas del lenguaje. El lenguaje es aquel conjunto de signos, seales o formas convencionales que el sujeto utiliza para comunicarse, gracias al lenguaje es posible que el pensamiento se materialice y pueda estar al alcance de todos los hombres. Dependiendo de lo que se quiere comunicar. El lenguaje cumple tres funciones bsicas:

F. Informativa, referencial o descriptiva. Es aquella que se encarga de comunicar informacin que proviene de la realidad que nos rodea; hace referencia o describe al Mundo Objetivo, mediante el uso de oraciones verdaderas o falsas (proposiciones) Es el lenguaje utilizado por las ciencias. Ejemplos: - No es cierto que Jaime use lentes - Zoila tiene los pies grandes - No hay agua

F. Expresiva. Se encarga de comunicar acontecimientos que ocurren en el Mundo Subjetivo, es decir vivencias que todo sujeto tiene. Mediante ella informamos nuestros sentimientos, emociones, pasiones, deseos, actitudes y es el lenguaje utilizado por los poetas, novelistas, oradores, etc. Ejemplos: - Que perro ms gracioso! - Su mirada....blsamo de mi alma enferma - Pena! pena!.....vendido! - Gracias, gracias a todos ustedes


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- Uff!

F. Directiva, Apelativa y Actitudinal. Se encarga de modificar, inducir o impedir la realizacin de accin determinada utilizando para ello oraciones exclamaciones; clasificndose en rdenes, pedidos, sugerencias, preguntas, consejos, mandatos, splicas, insinuaciones etc. Ejemplos: - Cmo te llamas? - No des un paso ms! - Por favor, cierra la puerta cuando salgas - Perdname, te lo suplico. - Mrchate ya.

BLOQUE I

1. Los principios de la lgica: A. Identidad B. No contradiccin C. Tercio excluido D. Transitividad E. A, B y C

2. propone el principio de identidad: A. Scrates B. Parmnides C. Platn D. Herclito E. Aristteles

3. propone el principio de la no contradiccin: A. Scrates B. Parmnides C. Platn D. Herclito E. Aristteles

4. propone el principio del tercio excluido: A. Scrates B. Parmnides C. Platn D. Herclito E. Aristteles

5. creador de la lgica paraconsistente: A. Hilbert B. Engels C. Lee D. Newton da Costa E. Juan PabloII

6. Son proposiciones lgicas: . eres homosexual? . la UNI es la mejor Universidad del Peru . 91 es un nmero primo

. Ingrese a la UNSA!

. x+3>5 A.1 B.2 C.3 D.4 E.5


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BLOQUE II

1. "Un hombre est al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitacin con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitacin, que est inicialmente apagada. Cmo se puede saber con seguridad qu interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?"

Rpta:...........

2. Un grupo de policas est investigando a una banda de delincuentes que trafican en un local bien protegido. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar a un agente de paisano, pero hace falta una contrasea para entrar en el local. En ese momento llega un cliente al local. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: 18. El cliente responde: 9. La puerta se abre y el cliente entra. Los policas se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar. Viene otro cliente. Desde dentro le dicen: 8. l responde: 4. La puerta se abre. Los policas sonren. Ya lo tenemos. Se trata de responder la mitad del nmero que te dicen desde dentro. Llega otro cliente. Desde dentro dicen: 14. El cliente contesta: 7. La puerta se abre. No hay duda dice el Jefe de polica. Deciden enviar a un agente. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: 6. El polica contesta muy convencido: 3. La puerta no se abre. Se oye un disparo y el polica muere. En que consiste la verdadera contrasea?

Rpta:...........

3. EL VENDEDOR VERDICO. "Este lorito es capaz de repetir todo lo que oiga", le asegur a la seora el dueo de la pajarera. Pero una semana despus, la seora que lo compr estaba de vuelta en la tienda, protestando porque el lorito no deca ni una sola palabra. Y sin embargo, el vendedor no haba mentido. Podr Vd. explicarlo?

Rpta:...........

4. LA BOTELLA Y EL CORCHO. Una botella de vino, taponada con un corcho est llena hasta la mitad. Qu podemos hacer para beber el vino sin sacar el corcho ni romper la botella?

Rpta:...........


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5. LA CESTA DE LOS HUEVOS: A la seora se le cay al suelo la cesta de los huevos, y alguien quera saber cuntos huevos haba en la cesta. - Cuantos huevos llevaba? - le preguntaron. - No lo s, recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4 respectivamente.

Rpta:...........

6. EL TAXISTA ERA MUY VIVO. Una seora ha tenido la rara fortuna de encontrar taxi libre. De camino, la seora result tan charlatana, que el taxista casi pierde la paciencia. Taxista: Lo siento mucho seora, pero, no oigo nada de lo que me dice. Soy sordo como una tapia y mi audfono se ha estropeado. Al enterarse la pasajera cort la chchara. Mas apenas baj del taxi se dio cuenta de que el taxista no haba dicho la verdad. Cmo pudo darse cuenta?

Rpta:...........

7. QU BARBERO ELEGIR? Carlos iba de camino a la Costa del Sol, a pasar unas vacaciones, cuando, al atravesar un pueblo, se le averi el coche. Mientras se lo arreglaban, decidi hacerse cortar el pelo. El pueblo slo tena dos barberas, la de Pepe y la de Tony. Carlos ech una ojeada por la luna de la barbera de Pepe. El espectculo no fue de su agrado. Carlos: Vaya suciedad! Hay que limpiar el espejo, el suelo est lleno de pelo, el barbero est sin afeitar, y lleva un corte de pelo horrible. No es de extraar que Carlos se marchara de all, y fuera a dar un vistazo a la peluquera de Tony. Carlos mir a travs del escaparate. Carlos: Qu diferencia! El espejo est limpio, el suelo bien barrido y Tony lleva un corte de pelo perfecto. Pero Carlos no entr. Regres en cambio a la otra peluquera, pese a lo sucia que estaba, para que le cortaran el pelo all. A qu obedece su conducta?

Rpta:...........

8. COMBINACIN EXPLOSIVA. Para abrir la puerta del laboratorio que contiene el producto secreto hay que pulsar cuatro botones en un orden determinado, en caso contrario el mecanismo de seguridad elimina al intruso.

2 4 1 3

El agente 007 ha descubierto las siguientes pistas: Todos los nmeros colocados sobre los botones son incorrectos. El ltimo botn en ser pulsado no est en un extremo.


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El primer botn que se ha de pulsar y el ltimo no estn juntos. Coloque encima de cada botn el nmero que le corresponde para abrir la puerta.

Rpta:...........

9. PRESTAR Y RECUPERAR 50 DOLARES. Un seor de Oriente presto 50 dlares a un palestino y otros 50 a un judo. El prstamo deba ser devuelto en cuatro plazos, con las cantidades libremente elegidas por cada uno y sin ningn tipo de recargo. En su librera apunto todos los pormenores de cada una de las operaciones:

PALESTINO JUDO Plazos Paga Debe Plazos Paga Debe 1 20 30 1 20 30 2 15 15 2 19 12 3 10 5 3 3 9 4 5 0 4 8 0 Total 50 50 Total 50 51 Conforme Me habr

engaado el judo?

Por ms que repaso en la segunda suma siempre obtengo 51 dlares. Ud. Qu opina? Le habr engaado el judo? Por qu? Rpta:...........

10. NI EN UNA SEMANA. Qu representa la siguiente secuencia? O, S, S, S, S, S, O Apuesto a que no lo saca Vd. ni en una semana. Rpta:...........

CUESTIONARIO

01. Modernamente la lgica, es la ciencia que tiene por objeto el estudio de: a) La naturaleza del entendimiento humano. b) La deduccin. c) La naturaleza del pensamiento y del conocimiento. d) La verdad, y el como se obtiene. e) Las capacidades psquicas como el conceptuar, enjuiciar y raciocinar.

02. El ms grande lgico de la antiguedad, fue: a) Parmnides. b) Scrates. c) Aristteles. d) Zenn de Elea e) Herclito de Efeso.


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03. Se llama deduccin, al proceso por el cual: a) Se obtiene una conclusin combinando premisas de acuerdo a ciertas

reglas. b) Se obtiene una verdad completa. c) Se generaliza verdades singulares d) Se arriba al conocimiento de las leyes de la naturaleza. e) Se detectan en la ciencia, las falsedades o las falsificaciones.

04. La lgica, como ciencia se origino en: a) Egipto. b) Asiria. c) China. d) India. e) Grecia.

05. La obra de lgica ms importante de la antigedad, es: a) Las nubes. b) Edipo Rey c) El Organon. d) El libro de los muertos. e) El Rig veda.

06. El Principia Matemtica, es uno de los libros ms importantes de la historia de la lgica y fue escrito por: a) Aristteles. b) Bertrand Russell y Arnold N. Whitehead. c) Santo Toms de Aquino. d) Manuel Kant. e) Giusepe Penao.

07. Otro nombre de la lgica simblica, es: a) Semntica. b) Lgica dialctica.

c) Lgica matemtica. d) lgebra e) Filosofa.

08. Otro nombre de la lgica formal es: a) Lgica dialctica. b) Lgica simblica. c) Lgica trascendental. d) lgebra. e) Filosofa.

09. El filsofo y lgico que intent convertir a la lgica en una ciencia similar a la matemtica, reclamando para ella un lenguaje especial, fue: a) Scrates. b) Kant. c) Leibniz. d) Aristteles e) Hegel.

10. Son lgicos de la poca medieval: a) Abelardo, Ockam, Duns Scoto. b) Scrates, Platn, Aristteles. c) Leibniz, Descartes, Kant. d) Frege, Peano, Boole. e) Tarski, Rusell, Quine.


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11. Es una funcin esencial y primaria de todo lenguaje: a) La creacin literaria. b) El clculo. c) La comunicacin d) La elaboracin de razonamientos. e) La construccin de la ciencia.

12. La posicin Hoy llueve mucho, expresa la funcin del lenguaje: a) Expresiva. b) Informativa. c) Directiva d) Simblica. e) Normativa.

13. El enunciado: Me siento muy feliz, expresa fundamentalmente la funcin del lenguaje, denominada: a) Expresiva. b) Informtica. c) Directiva. d) Simblica. e) Literaria.

14. La expresin Joven, Cierra el libro!, traduce fundamentalmente la funcin del lenguaje, denominada: a) Expresiva. b) Informativa. c) Directiva. d) Simblica. e) Esttica.

15. El concepto: consiste en comunicar sentimientos, emociones, y actividades pertenece a la funcin del lenguaje natural llamada: a) Informativa b) Expresiva c) Directiva d) Combinativa e) Imperativa.

16. Una proposicin tal como: la mitad de ocho es cuatro expresa una funcin del lenguaje denominada: a) Informativa o representativa b) Expresiva o desiderativa c) Directa o apelativa d) Metalingstica o potica e) Literaria o esttica

17. Cul de las afirmaciones no muestra claramente que el lenguaje se usa en funcin expresiva: a) El agua contiene dos molculas de hidrgeno y una de oxgeno. b) Quiero que modifiques tu conducta c) Qu desgracia lo sucedido en Cusco. d) Cusco es una ciudad arqueolgica muy interesante. e) Los gnomos o duendes son seres imaginarios.


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18. El ejemplo lgico se caracteriza por tener: a) Uso cotidiano b) Gramtica vaga c) Reglas son muchas excepciones d) Escritura formalizada y rigurosa e) Escritura fontica

19. La expresin: Alto, zona militar! Se encuentra en funcin ........ del lenguaje a) Directiva b) Apelativa c) Expresiva d) Emotiva e) a y b.

ANOTACIONES

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