UNIDAD  3:    Análisis  en  regimen  estacionario  senoidal    Tema  3.1.  Regimen  estacionario  senoidal  •  1ª  parte:  Conceptos  fundamentales  de  AC  •  2ª  parte:  Potencia  en  AC  Tema  3.2.  Resonancia  serie  y  paralelo  Tema  3.3.  Acoplamiento  magné?co,  transformadores  y  máquinas  eléctricas.  Tema  3.4.  Sistemas  trifásicos  

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UNIDAD  3:    Análisis  en  regimen  estacionario  senoidal    

Tema  3.1.  Regimen  estacionario  senoidal    1ª  parte:  Conceptos  fundamentales  de  AC  

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Régimen  permanente  vs.  transitorio  

�  Régimen   permanente   o   estacionario:   es  la   respuesta   de   un   circuito   para   ?empos  que  ?enden  a  ∞.  

 �  Régimen   permanente   en   DC:   las   tensiones   y  corrientes  son  constantes.  

 �  Régimen   permanente   en   AC:   las   tensiones   y  corrientes  son  funciones  cosenoidales.  

 

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Regimen  estacionario  senoidal  

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�  Términos  u?lizados  para  AC:  ◦  Régimen  permanente  estacionario  senoidal  ◦  CA  (Corriente  Alterna,  en  español)  ◦  AC    (Alterna?ng  Current,  en  inglés)  ◦  Alterna  

 

Regimen  estacionario  senoidal  

�  Se   estudia   el   comportamiento   en   regimen   permanente   o  estacionario  (para  t→∞)  

�  Se   analizan   circuitos   eléctricos   con   resistencias,   bobinas   y  condensadores  con  fuentes  senoidales.  

 

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~  +  

Ig=A·∙cos(ωt+ϕ)   Vg=A·∙cos(ωt+ϕ)  

Fuente  de  corriente  de  AC:   Fuente  de  tensión  de  AC:  

Caracterís?cas  de  las  señales  senoidales  (I)  

x(t)=A·∙cos(ωt+ϕ)  � A  =  amplitud  o  valor  de  pico  [V]  o  [A]  � ϕ  =  ángulo  de  fase  [rad]  � ω  =  frecuencia  angular  [rad/s]  � f  =  frecuencia  [s-­‐1];  ω=2πf  � T  =  periodo  [s];  T=1/f  

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x(t)  

t  

A  

T  

Caracterís?cas  de  las  señales  senoidales  (II)  �  El  ángulo  de  fase  se  u?liza  para  comparar  dos  señales  de  igual  frecuencia:  

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T  

x2(t)=A·∙cos(ωt+ϕ2)  x1(t)=A·∙cos(ωt+ϕ1)  

x1(t)=A·∙cos(ωt+ϕ1)  

x2(t)=A·∙cos(ωt+ϕ2)  Si  ϕ1>  ϕ2  à  ϕ=  ϕ1-­‐ϕ2    

�  Se  dice  que  x1(t)  está  adelantada  ϕ  radianes  respecto  de  x2(t),  o  que  x2(t)  está  retrasada  ϕ  radianes  respecto  de  x1(t)    

�  La  señal  adelantada  en  el  ?empo  es  la  señal  desplazada  hacia  la  izquierda  en  el  gráfico  (la  de  color  verde).  

Elementos  pasivos  en  AC  

Elementos  pasivos  

Resistencias  

Bobinas  

Condensadores  

Vamos  a  analizar  el   comportamiento  de   los  elementos  pasivos  en  el  regimen  estacionario  senoidal  (AC)  

Elementos  pasivos:  Resistencia  �  Elemento  que  disipa  energía  en  forma  de  calor.  

�  Unidades:  Ohmios  [Ω]  �  1Ω=1V/1A  �  La  resistencia  depende  de  la  resis?vidad  (ρ),  la  longitud  (L)  y  la  sección  (S)  del  material:  

R A B I

R Ley  de  Ohm:  VA-­‐VB  =  VAB  =  IR  

𝑅=𝜌𝐿/𝑆   L

S

Elementos  pasivos:  Bobina  �  Elemento  que  almacena  energía  magné?ca.  �  Compuesto  por  un  hilo  conductor  devanado  en  forma  helicoidal.  

�  L  =  inductancia.  �  Unidades:  Henrios  [H].  

L

A B I L

I

vAB (t) = Ldi(t)dt

i(t) = i(t0 )+1L

vAB (t)t0

t∫ ⋅dt

Comportamiento  de  L  en  con?nua  �  En  corriente  con?nua  (y  régimen  permanente)  las  tensiones  e  

intensidades  del  circuito  son  constantes.  �  En  una  bobina,  vAB(t)  =  L·∙di(t)/dt  =  L·∙0  =  0  �  vAB(t)=0  -­‐>  La  bobina  equivale  a  un  cortocircuito.  

�  Para  estudiar  un  circuito  en  corriente  con?nua  y  régimen  permanente,  se  sus?tuyen  las  bobinas  por  cortocircuitos  :  

+ - 5V   6KΩ  +

- 5V  

10mH  

6KΩ  

Tipos  de  bobinas  

¿Dónde  hay  bobinas?  

Ferrita  (interferencias)  

Transformador  

Circuito  electrónico  

Cocina  inducción  

Motor  eléctrico  

Elementos  pasivos:  Condensador  �  Elemento  que  almacena  energía  en  forma  de  carga  eléctrica,  

proporcional  a  la  tensión  entre  sus  extremos.  �  Compuesto  por  dos  placas  conductoras  separadas  por  un  material  

aislante.  

�  C  =  capacidad  �  Unidades:  Faradios  [F]  �  1F=1C/1V  

C

A B

I

C

q =C ⋅ vAB

i(t) =C dvAB (t)dt

vAB (t) = vAB (t0 )+1C

i(t)t0

t∫ ⋅dt

Comportamiento  de  C  en  con?nua  �  En  corriente  con?nua  (y  régimen  permanente)  las  tensiones  e  

intensidades  del  circuito  son  constantes.  �  En  un  condensador,  i(t)  =  C·∙dvAB(t)/dt  =  C·∙0  =  0  �  i(t)=0  -­‐>  El  condensador  equivale  a  un  circuito  abierto.  

�  Para  estudiar  un  circuito  en  corriente  con?nua  y  régimen  permanente,  se  sus?tuyen  los  condensadores  por  circuitos  abiertos:  

+ - 5V  

2KΩ  

6KΩ  5mF   + - 5V  

2KΩ  

6KΩ  

Tipos  de  condensadores  

¿Dónde  hay  condensadores?  

Flash  

Vehículo  eléctrico  

Equipo  corrección  factor  potencia  Circuito  electrónico  

Principio  de  dualidad  �  Bobinas  y  condensadores  son  elementos  duales.  ◦  Su  modelo  matemá?co  coincide  con  sólo  cambiar  C  por  L  y  V  por  I:  

 �  Condensador:      

�  Bobina:      

◦  En  DC,  un  condensador  es  un  circuito  abierto.  ◦  En  DC,  una  bobina  es  un  cortocircuito.  

i(t) =C dv(t)dt

v(t) = L di(t)dt

Asociación  de  bobinas  en  serie  �  Elementos  en  serie:  ◦  Dos  elementos  en  serie  comparten  un  nodo  al  que  no  llega  ningún  otro  elemento.  ◦  Por  todos  los  elementos  conectados  en  serie  circula  la  misma  corriente.  

◦  Elemento  equivalente:  se  puede  sus?tuir  por  el  conjunto  de  los  elementos  en  serie.  

 

L1   L2  A   B   C  

Leq  A   C  

Las  inductancias  en  serie  se  suman.  

 Leq  =  L1  +  L2  

 

19  

Asociación  de  bobinas  en  paralelo  

�  Elementos  en  paralelo:  ◦  Dos  elementos  en  paralelo  están  conectados  a  dos  nodos  comunes.  ◦  En  todos  los  elementos  conectados  en  paralelo  cae  la  misma  tensión.  

           

A  

L1   L2  B  

Leq  

A  

B  

Los  inversos  de  las  inductancias  en  paralelo  se  suman.    

20  

       

1Leq

=1L1+1L2

Asociación  de  condensadores  en  serie  �  Elementos  en  serie:  ◦  Dos  elementos  en  serie  comparten  un  nodo  al  que  no  llega  ningún  otro  elemento.  ◦  Por  todos  los  elementos  conectados  en  serie  circula  la  misma  corriente.  

◦  Elemento  equivalente:  se  puede  sus?tuir  por  el  conjunto  de  los  elementos  en  serie.  

 

C1   C2  A   B   C  

Ceq  A   C  

Los  inversos  de  las  capacidades  en  serie  se  suman.  

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1Ceq

=1C1+1C2

Asociación  de  condensadores  en  paralelo  

�  Elementos  en  paralelo:  ◦  Dos  elementos  en  paralelo  están  conectados  a  dos  nodos  comunes.  ◦  En  todos  los  elementos  conectados  en  paralelo  cae  la  misma  tensión.  

 

 

          Las  capacidades  en  paralelo  se  suman.  

 

C1   C2  

A  

B  

Ceq  

A  

B  

 Ceq  =  C1  +  C2  

 

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Comportamiento  de  los  elementos  pasivos  en  AC  

�  Se   estudia   el   comportamiento   en   regimen   permanente   o  estacionario  (para  t→∞)  

�  Se   analizan   circuitos   eléctricos   con   resistencias,   bobinas   y  condensadores  con  fuentes  senoidales:  

 

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~  +  

Ig=A·∙cos(ωt+ϕ)   Vg=A·∙cos(ωt+ϕ)  

Fuente  de  corriente  de  AC:   Fuente  de  tensión  de  AC:  

Comportamiento  de  R  en  AC  

Conocida  I=Ai·∙cos(ωit+ϕi),  u?lizando  la  ley  de  Ohm:  V=R·∙I  tenemos  que:  V=R·∙I=R·∙Ai·∙cos(ωit+ϕi).  Si  en  general,  V=Av·∙cos(ωvt+ϕv).  Se  cumple  que:  V=Av·∙cos(ωvt+ϕv)=R·∙Ai·∙cos(ωit+ϕi).    Por  tanto:  � ωi  =  ωv            (frecuencias  iguales)  � Av    =R·∙Ai          (la  amplitud  R  veces  mayor)  � ϕv=ϕi                (fases  iguales)      

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A   B  

I  

+                  V            -­‐  

R  

Comportamiento  de  L  en  AC  

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A B I

+ V -

I

L  

AV=L·∙ωi·∙Ai  

Comportamiento  de  C  en  AC  

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A B

I

+      V    -­‐  C  

� 

Comportamiento  general  en    AC  �  En  todos  los  casos  (R,  L  y  C)  se  man?ene  la  misma  frecuencia  (ω)  y  

pueden  variar  la  amplitud  (A)  y  la  fase  (ϕ).  �  En   general,   en   un   circuito   con   fuentes   senoidales   en   regimen  

permanente,   se   cumplirá   que   tensiones   e   intensidades   en  cualquier   punto   del   circuito,   serán   funciones   senoidales   con  frecuencia  igual  a  la  de  las  fuentes.  

�  En  el  siguiente  circuito,  se  pide  la  tensión  en  el  nodo  A,  las  únicas  incógnitas  son  el  módulo  de  la  tensión  en  el  nodo  y  su  fase.  

   

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Representación  fasorial  

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x(t)=A·∙cos(ωt+ϕ)   Nº  complejo:  módulo  A  y  fase  ϕ  

Función  del  Pempo   Fasor  

Im  

Re  

A  ϕ  

�  Dado  que  las  únicas  incógnitas  son  A  y  ϕ,  se  puede  buscar  una  representación  más  cómoda  para  tensiones  e  intensidades:    

la  representación  en  FASORES    

Impedancia  Z  

�  La  impedancia  Z  es  un  número  complejo  que  relaciona  I  y  V  para  un  elemento  en  AC:  

V=Z·∙I    �  Impedancias  de  R,  L  y  C:  ◦  Resistencia  à  Z=R  ◦  Bobina  à  Z=jωL  ◦  Condensador  à  Z=  1/jωC  

�  Impedancia  genérica:  parte  real  +  parte  imaginaria  Z=  R+jX  

R  =  resistencia  [Ω]  X  =  reactancia[Ω]  

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Admitancia  Y  

�  La  admitancia  Y  es  la  magnitud  inversa  de  la  impedancia  Z:  V=(1/Y)·∙I  V=Z·∙I      

�  Admitancia  genérica:  parte  real  +  parte  imaginaria  Y=  G+jB  

G  =  conductancia  [S]  B  =  susceptancia  [S]  

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Asociaciones  de  impedancias  �  Impedancias  en  serie:  ◦  Dos  impedancias  en  serie  comparten  un  nodo  al  que  no  llega  ningún  otro  elemento.  ◦  Por  todos  los  elementos  conectados  en  serie  circula  la  misma  corriente.  

◦  Impedancia  equivalente:  se  puede  sus?tuir  por  el  conjunto  de  las  impedanciasen  serie.  

�  Las  impedancias  en  serie  se  suman:  

Zeq  =  Z1  +  Z2    �  Impedancias  en  paralelo:  ◦  Dos  impedancias  en  paralelo  están  conectadas  a  dos  nodos  comunes.  

◦  En  todos  los  elementos  conectados  en  paralelo  cae  la  misma  tensión.  

�  Los  inversos  de  las  impedancias  en  paralelo  se  suman:  1/Zeq  =  1/Z1  +  1/Z2  

�  Transformación  triángulo-­‐estrella:  idén?ca  fórmula  que  para  las  resistencias  

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Asociaciones  de  impedancias  

�  Ejemplo:    

         ◦  RESOLUCIÓN:  

�  Paso  al  dominio  complejo  �  Resolución  en  el  dominio  complejo  �  Paso  de  la  solución  al  dominio  temporal  

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Vg=200·∙cos(100t)  [V]  

Impedancias  y  su  fase  

◦  ZR=R  

◦  ZL=jωL  

   ◦  ZC=  1/jωC  

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Im  

Re  ZR  

Im  

Re  

I   V   ϕ=0  

Im  

Re  

ZL  

Im  

Re  I  

V   ϕ=π/2  

Im  

Re  ZC  

Im  

Re  I  V  

ϕ=-­‐π/2  

Impedancia  induc?va  ◦  Impedancia  inducPva:  

     Zeq=R+jX,  donde  X>0  

   

 

34  

Im  

Re  

Zeq  Im  

Re  I  

V  0<ϕ<π/2  ϕ  ϕ  

◦  Podemos  asegurar  que  una  impedancia  es  inducPva  si:  �  está  compuesta  sólo  por  resistencias  y  bobinas  �  ?ene  parte  imaginaria  (reactancia)  posi?va  (X>0)  �  la  tensión  va  adelantada  respecto  de  la  intensidad  un  ángulo  cuyo  

valor  está  entre  0  y  π/2.  

   

 

Impedancia  capaci?va  ◦  Impedancia  capaciPva:  

     Zeq=R+jX,  donde  X<0  

   

 

35  

Im  

Re  Zeq  

Im  

Re  I  

V  

-­‐π/2<ϕ<0  ϕ  ϕ  

◦  Podemos  asegurar  que  una  impedancia  es  capaciPva  si:  �  está  compuesta  sólo  por  resistencias  y  condensadores  �  ?ene  parte  imaginaria  (reactancia)  nega?va  (X<0)  �  la  tensión  va  retrasada  respecto  de  la  intensidad  un  ángulo  cuyo  valor  

está  entre  0  y  π/2.  

   

 

Transformación  de  fuentes  en  AC  

�  De  la  misma  forma  que  en  DC:  

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+ - V  (t)

Z

A  

B  

I(t) Z

A  

B  

 V  =  I·∙Z  

Equivalentes  Thevenin  y  Norton  en  AC  

�  De  la  misma  forma  que  en  DC:  

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+ - VTH  (t)

ZTH

A  

B  

IN(t) ZN

A  

B  

ZTH=ZN    

VTH=IN·∙ZTH  

EQUIVALENTE  THEVENIN   EQUIVALENTE  NORTON  

Análisis  por  nodos  y  mallas  en  AC  

�  El   análisis   por   nodos   y  mallas   se   realiza   del  mismo  modo  que  en  DC  pero  u?lizando  fasores  (número  complejos)  para  los   valores   numéricos   de   las   tensiones,   corrientes   e  impedancias.  

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Problemas  de  circuitos  en  AC  

◦  RESOLUCIÓN:  �  Paso  al  dominio  complejo:    esto  es,  representar  en  el  dominio  complejo  los  valores  de   los   componentes   del   circuito   (resistencias,  bobinas,  condensadores  y  fuentes).  

�  Resolución  en  el  dominio  complejo:  esto  es,  aplicar  las  leyes  de  nodos  y  mallas  o  cualquier  otro   método   de   análisis   y   operar   con   número  complejos.  

�  Paso  de  la  solución  al  dominio  temporal:  finalmente,  se  debe  expresar  la  solución  en  el  dominio  del  ?empo.  

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