2.1) Integrales que contienen suma o resta de cuadrados, completando el trinomio cuadrado perfecto.

Existen integrales con polinomios de segundo grado con tres términos, ésta se puede reducir a una expresión de dos términos completando el trinomio cuadrado perfecto por sumas y restas.

Metodología para completar un trinomio a un trinomio cuadrado perfecto:

CASO I: Cuando el coeficiente de x2 es 1

x2+2x+5Se tiene un polinomio de segundo

grado con tres términos.Forma General del Trinomio

cuadrado perfecto a2+2ab+b2= (a+b )2

√ x2=x Se cálcula el primer término (a ) √a2=a2ab=2x

b=2x2a

=2x2x

=1Se calcula el segundo término (b ) b

b2=1

x2+2x+5+1−1

Se completa el trinomio cuadrado perfecto sumando y restando el

cuadrado de b al polinomio originalb2−b2

(x2+2x+1 )+5−1 Se reordena el polinomio para proceder a factorizar el T.C.P. a2+2ab+b2= (a+b )2

x2+2x+5=( x+1 )2+4 FACTORIZACION DEL T. C. P. completando con sumas y restas

Factorizar los siguientes trinomios, completando el trinomio cuadrado perfecto:

x2+4 x−21

√ x2=x

2ab=4 x

b=4 x2a

=4 x2 x

=2

b2=4

x2+4 x−10+4−4

(x2+4 x+4 )−21−4

x2+4 x−21=( x+2 )2−25

x2−12 x+40

√ x2=x

2ab=−12x

b=−12x2a

=−12x2x

=−6

b2=36

x2−12 x+40+36−36

(x2−12 x+36 )+40−36

x2−12 x+40= (x−6 )2+4

CASO II: Cuando el coeficiente de x2 no es 1

2 x2−20 x+18Se tiene un polinomio de segundo

grado con tres términos.Forma General del Trinomio

cuadrado perfecto a2+2ab+b2= (a+b )2

2 (x2−10 x+9 )Se factoriza el coeficiente del

trinomio a factorizar que esta entre paréntesis.

√ x2=x Se cálcula el primer término (a ) √a2=a2ab=−10 x

b=10 x2a

=−10x2x

=−5Se calcula el segundo término (b ) b

b2=25

2 (x2−10 x+9+25−25 )

Se completa el trinomio cuadrado perfecto sumando y restando el

cuadrado de b al polinomio original (entre paréntesis)

b2−b2

2 [ (x2−10 x+25 )+9−25 ] Se reordena el polinomio para proceder a factorizar el T.C.P. a2+2ab+b2= (a+b )2

2 x2−20 x+18=2 [ ( x−5 )2−16 ] FACTORIZACION DEL T. C. P. completando con sumas y restas

4 x2+20 x+5

4 [ x2+5x+ 54 ]√ x2=x

CASO III: Cuando el coeficiente de x2 es negativo

5−20x−x2Se tiene un polinomio de segundo

grado con tres términos.Forma General del Trinomio

cuadrado perfecto a2+2ab+b2= (a+b )2

−1 (−5+20 x+x2)=¿

¿−1 (x2+20 x−5 )Se factoriza el coeficiente −1 del trinomio a factorizar y se reordena

√ x2=x Se cálcula el primer término (a ) √a2=a2ab=20 x

b=20x2a

=20 x2x

=10Se calcula el segundo término (b ) b

b2=100

−1 (x2+20 x−5+100−100 )Se completa el trinomio cuadrado perfecto sumando y restando el

cuadrado de b al polinomio originalb2−b2

−1 [ (x2+20x+100 )−100−5 ] Se reordena el polinomio para proceder a factorizar el T.C.P. a2+2ab+b2= (a+b )2

5−20x−x2=−1 [ ( x+10 )2−105 ]5−20x−x2=105−( x+10 )2

Se reordena y se tiene la FACTORIZACION DEL T. C. P.

completando con sumas y restas

4 x2+20 x+5

4 [ x2+5x+ 54 ]√ x2=x

2−3 x−4 x2

−4[−24 + 3 x4

+x2]

−4[( x2+ 3 x4 + 964 )−12− 9

64 ]2−3 x−4 x2=−4[( x+ 38 )

2

−4164 ]

2−3 x−4 x2=4[ 4164−(x+ 38 )2]

Ejercicio:Verifique las siguientes integrales:

∫ √x2+2x+5dx=( x+12 )(√x2+2 x+5 )+2 ln [ ( x+1 )+√x2+2 x+5 ]+C

∫√x2+2x+5dx=∫√( x+1 )2+4 dx=∫ √ (x+1 )2+(2 )2dx=¿¿

¿( x+12 ) (√ x2+2x+5 )+ 42ln [ (x+1 )+√x2+2x+5 ]+C

¿( x+12 ) (√ x2+2x+5 )+2 ln [ ( x+1 )+√ x2+2x+5 ]+C

∫ dxx2+4 x−21

= 110ln [ x−3x+7 ]+C

∫ dx

x2−12x+40=12ArcTg ( x−62 )+C

∫ dx

√3x−x2−2=Arc Sen (2x−3 )+C

∫ 3x−1

√4 x2+9dx=3

4√4 x2+9−1

2ln [2x+√4 x2+9 ]+C

Tarea 2.1 bVerifique las siguientes integrales:

∫ dx

2 x2−2x+1dx=Arc Tg (2 x−1 )+C

∫ dx

√2−3 x−4 x2=12Arc Sen( 8 x+3√41 )+C

∫ dx

x2+2x=14ln( xx−4 )+C

∫ 2 x+5x2+2x+5

dx=ln (x2+2x+5 )+ 32Arc Tg( x+12 )+C

2−3 x−4 x2

−4[−24 + 3 x4

+x2]

∫ √u2+a2du=¿ u2√u2+a2+ a

2

2ln (u+√u2+a2 )+C ¿

u=x+1a2=4

∫ (1−x )4 x2−4 x−3

dx=−18ln (4 x2−4 x−3 )+ 1

16ln( 2x−32 x+1 )+C

2.2) Integrales de diferenciales trigonométricas.Las integrales de diferenciales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas, con la aplicación de fórmulas e identidades trigonométricas para evaluar integrales que contienen productos de potencias de funciones trigonométricas.

CASO I: Integrales de la forma ∫ SenmuCo snudu.

Cuando m o n es un número entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, esta integral se puede

realizar aplicando el modelo ∫undu= un+1

n+1+C, para ello la potencia impar se descompone en un factor

de una potencia par por una potencia impar.

Algunas de las fórmulas e identidades trigonométricas utilizadas son:

Sen2u=1−Co s2u; Co s2u=1−Sen2u d (Senu )=cosudu d (cosu )=−Senudu

∫cos udu=Senu+C ∫ Senudu=−cosu+C

Evalúe las siguientes integrales:

∫ Sen3 x dx=¿

∫ Sen3 x dx=∫ Se n2 x Sen x dx=∫ (1−Co s2 x )Sen x dx=∫ Sen x dx−∫ (cos x )2 (Sen x dx )=¿¿

∫ Sen3 x dx=∫ Sen x dx−¿¿¿

∫ Sen22 xCo s52 x dx=¿¿

CASO II: Integrales de la forma ∫T gnudu, ó ∫Ct gnudu.

Cuando n es un número entero se aplican los siguientes modelos e identidades trigonométricas:

T gnu=(T gn−2u ) (T g2u )=(T gn−2u ) (Se c2u−1 ) Ct gnu=(Ct gn−2u ) (Ct g2u )=(Ct gn−2u ) (Csc2u−1 ) d (Tgu )=Sec2u du d (Ctgu )=−Csc2udu ∫ Sec2udu=Tgu+C ∫Csc2udu=−Ctgu+C

Evalúe las siguientes integrales:

∫T g4 x3 dx=¿

∫Ct g5θdθ=¿¿

CASO III: Integrales de la forma ∫ Secnudu, ó ∫Cscnudu.

Cuando n es un número entero positivo par se aplican los siguientes modelos e identidades trigonométricas:

Secnu=(Secn−2u ) (Se c2u )=¿

Cscnu=(Cscn−2u ) (Csc2u )=( (Ct g2u+1 )n−22 ) (Csc2u )

d (Tgu )=Sec2u du d (Ctgu )=−Csc2udu

∫ Sec2udu=Tgu+C ∫Csc2udu=−Ctgu+C

Evalúe las siguientes integrales:

∫ Sec6 xdx=¿

∫Csc4 x dx=¿

CASO IV: Integrales de la forma ∫T gmu Secnudu, ó ∫Ct gmuCscnudu.

Cuando el exponente de la secante o cosecante es un número entero positivo par, se procede como en el caso anterior (caso III).

Cuando el exponente de la tangente o cotangente son impares y la secante o cosecante también son impares, la secante o cosecante se descomponen en el producto:

Secn−1u Secu ó Cscn−1uCscu

y la tangente o cotangente se descomponen en una potencia par por una impar y se sustituye la identidad trigonométrica correspondiente:

T g2u=Sec2u−1. Ct g2u=Csc2u−1

Los siguientes modelos también pueden aplicarse:

d (Tgu )=Sec2u du d (Ctgu )=−Csc2udu

d [Sec u¿ ]=SecuTgudu d [Cscu ]=−Csc uCtgu du

∫ Sec2udu=Tgu+C ∫Csc2udu=−Ctgu+C

∫ Sec vTg v dv=Sec v+C ∫Csc v Ctgv dv=−Csc v+c

∫ Sec v dv=ln [ Sec v+Tg v ]+c ∫Csc v dv=ln [Csc v−Ctg v ]+c

Evalúe las siguientes integrales:

∫T g5 x Se c3 x dx

∫Ct g3 xCsc5 xdx=¿¿

CASO V: Integrales de la forma ∫ SenmuCo snudu, mediante ángulos múltiplos.

Cuando los exponentes mon son números impares, enteros y positivos, el método más corto es el aplicado en el CASO I.

Cuando los exponentes mon son ambos números pares, enteros y positivos, la expresión diferencial dada puede transformarse, mediante sustituciones trigonométricas, en una expresión que contenga a los senos y cosenos de ángulos múltiplos.

Algunas de las fórmulas e identidades trigonométricas utilizadas son:

Senucos u=12Sen2u Sen2u=2Senucosu

Sen2u=12−12cos2u Co s2u=1

2+ 12cos2u

d (Senu )=cosudu d (cosu )=−Senudu

∫cos udu=Senu+C ∫ Senudu=−cosu+C

Evalúe las siguientes integrales:

∫ Sen2 xC os2 x dx=¿¿

∫ Sen4 x Co s2 x dx=¿

Tarea 2.2 Resolver las siguientes integrales aplicando el método correspondiente de integrales de diferenciales trigonométricas

CASO I

∫ Sen36 xCo s46 x dx=¿¿

∫Co s52x dx=¿¿

CASO II

∫T g53 x dx=¿¿

∫ Co s5 x

Se n5 xdx=¿¿

CASO III

∫T g43 xdx=¿¿

∫ Co s4 x

Se n4 xdx=¿¿

CASO IV

∫T g5 x3 Se c5 x3dx=¿¿

∫ Ct g5 x

Sen3 xdx=¿¿

CASO V

∫ (Sen2 x−Cosx )2dx=¿¿

∫ Sen2 xCo s4 x dx=¿¿

EXAMEN QUE COMPRENDE:- INTEGRALES DIRECTAS TRIGONOMÉTRICAS.- INTEGRALES COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.- INTEGRALES DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS.