Unidad_I_PERT_CPM

5/17/2018 Unidad_I_PERT_CPM - slidepdf.com

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Unidad I: Programación de proyectos con PERT-CPM

Un Proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ser ejecutadasen un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Estas actividades seinterrelacionan en una secuencia lógica en el sentido en que algunas de ellas no pueden comenzarhasta que otras se hayan terminado. Una actividad en un proyecto, puede verse como un trabajoque requiere tiempo y recursos para ser llevada acabo.

El objetivo de la programación de un proyecto es proponer fechas de iniciación y finalización parasus actividades, de tal manera que éste se ejecute en el menor tiempo posible.

PERT y CPM son técnicas cuantitativas para manejar proyectos con el enfoque analítico de lainvestigación de operaciones. PERT corresponde a las siglas en inglés de: Técnicas de Revisión yEvaluación de Programas (Program Evaluation and Technique Review ) y CPM corresponde a siglasde: Método del Camino Crítico ( Crítical Path Method ). PERT fue creado por una firma asesora dela marina norteamericana para el desarrollo del proyecto Polaris, no ejecutado con anterioridad.CPM fue desarrollado por los investigadores Du Pont y Sperry Rand para proyectos deconstrucción, que se han ejecutado siempre. De allí surgen diferencias iniciales que existieron enambas técnicas.

PERT usa tiempos probabilísticos en proyectos que no se han ejecutado nunca o se han ejecutadopocas veces. CPM usa tiempos determinísticos o conocidos, debido a que proyectos similares sehan ejecutado muchas veces. Pero ambas técnicas de manejo de proyectos tienen el mismoobjetivo, que es ahorrar el mayor tiempo posible en la ejecución de un proyecto; es decir, sontécnicas tiempo- orientadas.

El manejo de un proyecto con PERT-CPM puede considerarse didácticamente dividido en tresfases: Planeamiento, Programación y Control.

Planeamiento en esta fase se divide el proyecto en actividades distintas; se establece el tiemponecesario para ejecutarlas, se determinan las relaciones de precedencia entre ellas y se concluyecon la elaboración del modelo del proyecto llamado Diagrama de Flechas o Red del Proyecto. Este

diagrama representa la interdependencia entre las actividades

Programación: en esta fase se calculan los tiempos de ocurrencia de los eventos, los tiemposmás tempranos y más tardes de iniciación y finalización de las actividades. Se calculan lasholguras de tiempo disponible y se aíslan las Actividades Críticas, con holgura cero, queconformarán el Camino Crítico de la Red. Todo ello se muestra en los Programas de Tiempos deOcurrencia de Eventos y de Ejecución de Actividades. El Camino Crítico de una Red es uncamino conformado por actividades en secuencia en la red. Dichas actividades tienen la mayorduración total de tiempos de ejecución. La importancia de una actividad crítica radica en el hechode que su retraso en el tiempo programado para ejecutarla, retrasará todo el proyecto.

La etapa de Control corresponde a la etapa de supervisión ejecutada en cualquier actividadadministrativa. En PERT-CPM se realiza utilizando lo obtenido en etapas previas; es decir, el

Diagrama de Flechas y el Programa de Tiempos de Ejecución de las Actividades. No puedeplanearse y programarse sin realizar la supervisión necesaria que garantice el cumplimiento de loestablecido.

Fase de PlaneaciónFormulación del modelo del proyecto. Representación con Diagrama de flechas

El diagrama de flechas o redes representa la interdependencia y relaciones de precedencia entrelas actividades del proyecto.



Elementos del Diagrama de Flecha

• Arcos de flecha o segmentos continuos de línea ( ________ ), cada uno de los cualesrepresenta a una única actividad del proyecto.

• Puntas de las flechas (>) que representan la secuencia en que deben ser ejecutadas lasactividades del proyecto.

• Nodos ( O ), que representan el momento o la fecha calendario en que han concluido lasactividades que concurren a él, y pueden ser iniciadas las actividades siguientes en lasecuencia establecida. Se les denomina “Eventos”. Los puntos de inicio y terminación de unaactividad están descritos por dos eventos usualmente conocidos por evento inicial (i) yterminal(j)

• Actividades ficticias. Estas no consumen tiempo ni recursos; se representan con segmentosde línea entrecortada para diferenciarlas de las actividades reales ( --------- )

• Numeración de eventos que debe ser progresiva y continua. Sobre la Red deben colocarsetambién los tiempos necesarios para ejecutar cada actividad.

Reglas para la construcción del Diagrama de Flecha

1. Cada actividad está representada por una y sólo una flecha en la red. No pueden existir doso más flechas que representen la misma actividad.

2. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos inicio y terminal.Esto puede ocurrir si dos actividades deben ejecutarse simultáneamente, para resolver estásituación se resuelve introduciendo las actividades ficticias.

3. A fin de asegurar la relación de precedencia sea la correcta, al agregar una actividad a la red,se debe responder:

a. ¿Qué actividades deben terminar, estar listas, antes de que esta actividad comience?

b. ¿Qué actividades deben seguir a esta actividad?

c. ¿Qué actividades deben efectuarse simultáneamente con esta actividad?

Ejemplos:

• Representación típica de una actividad (i,j) con suevento inicio (i) y su evento terminación (j).

• Las actividades (1,3) y (2,3) deben terminar antes quepueda iniciarse la actividad (3,4). La dirección de avancede cada actividad se especifica asignando un númeromás pequeño al evento inicial comparado con el número

de su evento terminar.

Las actividades ficticias no consumen tiempo y se usan por las razones siguientes:a) Para evitar que dos o más actividades tengan el mismo Evento inicial y final yb) Para representar relaciones de precedencia que de otra manera no pueden ser representadas.Una red puede contener cualquier cantidad de actividades ficticias. Una red bien elaborada debecontener el mínimo necesario de este tipo de actividades.

i j

1

i

2 j

3

j 4

j



Ejemplos:1)

Las actividades A y B tienen los mismos eventos de inicio y fin. Para representar este caso seintroduce una actividad ficticia.

Soluciones posibles:

2) En cierto proyecto los trabajos A y B deben preceder a C. Por otra parte el trabajo D está

precedido por el trabajo B solamente.

3) Construya el diagrama de flechas (Red) que comprenda las actividades A, B, C, D, E, F, G, H, Iy J que satisfaga las siguientes relaciones:

a. A y B son las actividades iniciales del proyecto y comienzan simultáneamenteb. C comienza inmediatamente después de Bc. A precede a E y Dd. Las actividades G y H comienzan después que C y D hayan terminado

e. Las actividades F e I siguen a E, pero no pueden empezar hasta que C y D terminenf. J comienza después que G y F termineng. Las actividades H, I y J son las actividades finales del proyecto.

i j

A

B

1 3

A

B

2F

(a)

1 3

A

B

2F

(b) (c) (d)



Solución

4) Construya el diagrama de flechas (Red) que comprenda las actividades A, B, C, D, E, F, G, H,I, J, K y L que satisfaga las siguientes relaciones:

a. A, B y C son las actividades iniciales del proyecto y comienzan simultáneamenteb. A y B preceden a Dc. B precede a E, F y H

d. F y C preceden a Ge. E y H preceden a I y Jf. C, D, F y J preceden a Kg. K precede a Lh. I, G y L son las actividades finales del proyecto

Solución

Fase de programaciónLa determinación de los tiempos de inicio y terminación, requiere de cálculos especiales que sehacen directamente en el diagrama de flechas usando aritmética simple. El objetivo es clasificarlas actividades en críticas y no críticas.

Una actividad es crítica si una demora en su comienzo causará una demora en la fecha determinación de todo el proyecto completo.

Una actividad no crítica es tal que el tiempo entre comienzo más próximo y de terminación mástardío (como lo permita el proyecto) es más grande que su duración real y se dice que la actividadno crítica tiene un tiempo de holgura.

Determinación de la Ruta Crítica



Una ruta crítica define una cadena de actividades críticas, las cuales conectan los eventos inicial yfinal del diagrama de flechas.

1) Identificar las actividades críticas del proyecto. Se realiza es dos fases: - fase hacia adelante para obtener el tiempo de ocurrencia más próximo del

evento. Se coloca al lado del evento en un cuadrado.

- fase hacia atrás para obtener el tiempo de ocurrencia más tardío delevento. Se coloca sobre el cuadrado en un triangulo.

Para identificar las actividades críticas:

Cálculos de la fase hacia adelante

Sea TIPi el tiempo de inicio más próximo de todas las actividades que se originan en el evento i(nodo). En el evento de inicio, su tiempo de ocurrencia más próximo es igual a cero. Si i=0,

TIP0=0.

Sea Dij la duración de la actividad (i,j). Los cálculos hacia delante se obtienen a partir de lafórmula,

definidas j)(i,sactividadelastodas paraijii

j DTIPmaxIP +=Τ

Para calcular TIP j, para el evento j, se debe calcular previamente los eventos de iniciación de lasactividades (i,j) definidas (las actividades que terminan en el nodo j).

Cálculos de la fase hacia atrás

Sea TTTi, el tiempo de terminación más tardío de todas las actividades que terminan en el eventoi. En el evento final, el tiempo de terminación más tardío es igual al Tiempo de iniciación máspróximo en ese nodo. Si el último nodo es el n-ésimo, entonces TTTn = TIPn.

Los cálculos se inician comenzando en el último nodo, después de tener TTTn usando la fórmula,

definidas j)(i,sactividadelastodas paraij j j

i DTIPminTT −=Τ

2) Identificar la Ruta Crítica

Una actividad (i,j) está en la ruta crítica si satisface las siguientes condiciones:

1. TIPi = TTTi

2. TIP j = TTT j

3. TIP j – TIPi = TTT j – TTTi = Dij

Determinación de las Holguras

Las holguras se calculan a las actividades no críticas, las críticas tienen holgura cero.

IT: Tiempo de inicio más tardío

ijiij

ij jij

DTIPTT

DTTTIT

+=

−=



TT: Tiempo de terminación más próximo

Tipos de HolguraHolgura Total, HT: Diferencia entre el máximo tiempo disponible para realizar la actividad y suduración. Máximo tiempo para realizar una actividad.

( )( ) ij jiji jij

iijiij jij

iji jij

TTTTTDTIPTTTHT

TIPITTIPDTTTHT

DTIPTTTHT

−=−−=

−=−−=

−−=

Holgura Libre, HL: Se define suponiendo que las actividades deben comenzar tan pronto comosea posible. La HL es el exceso de tiempo disponible de las actividades menos su duración.

iji jij DTIPTIPHL −−=

Nota: • Una actividad crítica debe tener HT=HL=0• Una actividad no crítica puede tener HL=0

Construcción del Diagrama de Tiempo

Luego de tener todos los cálculos previos en la red, procedemos a construir el diagrama deflechas, el cual se puede convertir en un programa calendario apropiado para el uso de personalque ejecutará el proyecto.

Para facilitar la realización de este diagrama se recomienda resumir toda la información obtenidaen una tabla.

Actividad(i,j)

DuraciónDij

Más Próximo Más Tardío HolgurasInicio Término Inicio Término Total Libre

TIPi TTij ITij TTT j HTij HLij

Para construir el Diagrama de Tiempo; primero se consideran las actividades críticas indicando suduración con líneas llenas. Luego se consideran las no críticas usando una línea punteadas, desdesu límite TIP hasta el TTT. La línea punteada significa que tales actividades se pueden programardentro de este intervalo de tiempo, siempre y cuando no se alteren las relaciones de precedencia.Al inicio y fin de cada intervalo de tiempo de cualquier actividad se coloca el número querepresenta su nodo inicial y final. Sobre la línea punteada de las actividades no críticas se colocasu duración.

Programación de las actividades no críticas. Función de las holguras total y libre

1) Si la HT = HL, la actividad no crítica se puede programar en cualquier parte entre los tiemposTIP y TTT.

2) Si la HL < HT, el inicio de la actividad no crítica no se puede demorar en relación con sutiempo de inicio más próximo (TIP), en una cantidad no mayor que el monto de su HL, sin afectarla programación de sus actividades inmediatamente sucesivas.

Nivelación de Recursos



La construcción del diagrama de tiempo debe hacerse dentro de las limitaciones de los recursosdisponibles, ya que no es posible realizar actividades simultáneas debido a las limitaciones depersonal o equipos. Aquí es donde las holguras totales de las actividades no críticas son utilices,ya que se puede mover la actividad (hacia delante o hacia atrás) entre los límites de tiempopermitido, satisfaciendo los requerimiento de los recursos. En cualquier caso, aun en ausencia derecursos limitados, se deben nivelar los recursos sobre la duración del proyecto. Esto significa unafuerza de trabajo o utilización de equipos más estable comparada con el caso donde el uso de los

recursos variara drásticamente de una unidad de tiempo a otra.

Ejemplo: Dado el diagramade flecha:- obtenga el diagrama detiempo.

- Suponga que se especifican los siguientes requisitos de trabajadores para las diferentesactividades. Elabore un diagrama de tiempo que nivele los requerimientos de mano de obra

mientras dure el proyecto.

Actividad (0,1) (0,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)Nº de trabajadores 0 5 0 7 3 2 1 2 5 6

Ejercicio: Suponga que las actividades (0,1) y (1,3) requieren de 8 y 2 trabajadoresrespectivamente

Consideraciones de Probabilidad en la programación de ProyectosManejo de incertidumbre en la duración de las actividades

Suponga que existe una incertidumbre importante acerca de cuanto tiempo será en realidadnecesario para realizar cada actividad. En la practica, la duración de cada actividad es unavariable aleatoria que tiene alguna distribución de probabilidad.

La estimación de tiempo para cada actividad está basada en tres valores diferentes:

O: Tiempo optimista, necesario si la ejecución de la actividad va extremadamente bien.P: Tiempo Pesimista, que se requerirá si la ejecución va muy mal.M: Tiempo más Probable, el cual se necesitará si todo va normal.

Ya que el intervalo formado por el tempo optimista y pesimista encierra toda estimación posible yel tiempo más probable no necesariamente debe coincidir con el punto medio de tal intervalo, ypuede estar ubicado a la derecha o a la izquierda. Debido a esta propiedad se puede considerarintuitivamente que cada actividad sigue una distribución beta con su punto unimodal en M y suspuntos extremos O y P. La media y la varianza de la distribución estan dadas por las expresiones:

2

6

POVy

6

M4POD

−

=++

= :media La

Ahora es posible estimar la probabilidad de ocurrencia de cada evento en la red.

0 2

1 3

4

5 63

22

2

32

56

7

3



Sea μi el tiempo de ocurrencia más próximo del evento i, ya que los tiempos de las actividadesque se suman hasta i son variable aleatorias, μ i es también una variable aleatoria. Suponiendoque todas las actividades en la red son estadísticamente independientes, se obtienen la media y lavariancia de μi de la siguiente forma:

• Si existe únicamente una ruta que lleva desde el evento de inicio hasta el evento i, entonces

{ }iE µ está dado por la suma de las duraciones esperadas, D para las actividades a lo largo

de la ruta y la { }ivar µ es la suma de las variancias de las actividades.

• Si existe mas de una ruta lleva desde el evento de inicio hasta el evento i, entonces { }iE µ y la

{ }ivar µ son iguales a las de la ruta más larga que lleve al evento i y que tenga la suma mayor

de las duraciones esperadas de las actividades.

• Si 2 o más rutas tienen el mismo { }iE µ , se elige aquella que tenga la suma de las variancias

mas grande.

Como μi es una variable aleatoria independiente , de acuerdo el teorema del límite central μ i es

casi normalmente distribuida con media { }iE µ y variancia { }ivar µ . Ya que μi representa el tiempode ocurrencia más próximo, el evento i va ha satisfacer un cierto tiempo programado por elanalista TPi con probabilidad

{ }{ }

{ }

{ }

{ }{ }i

i

ii

i

iii K zP

var

ETP

var

EPTPP ≤=

µµ−

≤µµ−µ

=≤µ i

donde z es la distribución normal estándar con media 0 y variancia 1 y{ }

{ }i

iii

var

ETPK

µµ−

=

Por lo general se calcula la probabilidad de que el evento i ocurra no más tarde que su TTTi. Estasprobabilidaes represenatan la posibilidad de que los siguientes eventos ocurran dentro dentro dela duración (TIPi, TTTi).

Ejemplo. Considere en el ejemplo anterior.

Suponiendo los siguientes tiempos estimados

Actividad (0,1) (0,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)

TiemposEstimados

O 1 2 1 1 0.5 1 1 6 3 4P 3 8 3 11 7.5 7 3 8 11 8M 2 2 2 1.5 1 2.5 2 7 4 6

Consideraciones de Costo en la programación de proyectos

0 2

1 3

4

5 6



A veces se requiere reducir el tiempo calculado para la duración de un proyecto y esto se obtieneacelerando el tiempo de ejecución de las actividades críticas.

Cuando los tiempos usados para las actividades son determinísticos, se asume que el tiemponormal para ejecutar una actividad puede lograrse a un costo normal. Esa actividad puede seracelerada reduciendo su tiempo de ejecución, mediante un incremento en los costos directos de laactividad. El costo directo de una actividad incluye gastos que son imputables a una actividad

específica; por ejemplo, los ladrillos para una determinada pared. La suma de costos directos delas actividades totales constituye el costo directo total del proyecto. Por otro lado, el costoindirecto del proyecto incluye gastos no imputables a una actividad en particular. Por ejemplo, losgastos de alquiler de equipos, locales y gastos administrativos. Se calculan para todo el proyecto.

Cuando se acelera el tiempo de ejecución de un proyecto, acelerando el tiempo de ejecución delas actividades, los costos directos se incrementan y los costos indirectos del proyecto tienden abajar.

Los tiempos y costos para una actividad que ha sido acelerada se le denominan tiemposacelerados y costos acelerados, en contraposición a los tiempos y costos normales. El punto deaceleración de una actividad, en contraposición al punto normal, indica el momento en que unaactividad cualquiera no puede reducir más su tiempo de ejecución aunque se incrementen suscostos directos.

La pendiente de costo de una actividad, existente entre el punto normal y el de aceleración, midela variación en el costo directo por cada unidad de tiempo en que se acelere el tiempo deejecución de esa actividad; se calcula matemáticamente como cualquier pendiente. Para obtenerun valor positivo, que es el que realmente existe, la pendiente de costo se calcula dividiendo elresultado de la resta entre el Costo Acelerado y el Costo Normal, entre el resultado de la restaentre el tiempo normal y el acelerado.

DaDn

CnCaPendiente

−

−=

Ca

Cn

Costo

DuraciónDnDa

Punto

Normal

Punto

Aceleración



En el proceso de aceleración de un proyecto, actividades no críticas pueden volverse críticas. Lapendiente de costo permite determinar cuál actividad crítica incrementa en menor cantidad loscostos directos. La aceleración total de un proyecto resulta siempre muy costosa. En general seacelera un proyecto de tal manera que los costos totales se incrementen lo menos posible.También puede reducirse hasta aquel tiempo que cumpla algún propósito, tal como permitirparticipar en una licitación de tiempo establecido o lanzar un producto al mercado antes que la

competencia. Siempre con el menor incremento en los costos.

1. Calcular la pendiente de costos para cada actividad del proyecto

2. Encontrar la o las rutas críticas en condiciones normales e identificar las actividades críticas. Siexiste más de una ruta se reducen todas simultáneamente.

3. Seleccionar la actividad o actividades críticas con menor pendiente de costo, menor costo deaceleración por unidad de tiempo.

4. Se calcula el límite de reducción:

{ }

{ }

{ }mlibreholgura Lím ,libre2,...holgura Límlibre1,holgura Límmín Librerupturade Límite

nruptura Límites ..,ruptura2,. Límitesruptura1, Límitesmínrupturade Límite

:donde

Libreholgurade Límitesruptura,de Límitesmínreducciónde Límite

=

=

=

El límite de ruptura es igual a la diferencia entre el tiempo de duración normal o la últimareducción y la duración acelerada.

El límite de holgura libre se calcula reduciendo una unidad (considerando cada actividad porseparado) la actividad y calculando la HL de las ANC, aquellas cuya HL es igual se reduce enuna unidad indican que el límite de holgura libre es igual al valor de la HL menor antes de lareducción.Si el Límite de ruptura mínimo (o único) es 1 no se calcula el límite de holgura libre y el límitede reducción es igual a 1.

5. Se hacen nuevamente los cálculos de la red con la reducción y se calcula el tiempo deduración del proyecto y el nuevo costo de la siguiente manera:

) pendientesvieja)( Duraciónnueva -(DuraciónviejoCostonuevoCosto ∑+=

6. Repetir desde el paso 2 hasta que una o las rutas críticas no se puedan reducir más su tiempoo se ha alcanzado la meta de tiempo propuesta.

Ejercicio: A continuación se presenta una red y la información correspondiente a los puntosnormal y acelerado. Se requiere calcular los diferentes programas de costo mínimo que puedenocurrir entre estos dos puntos.

ActividadNormal AceleradoDn Cn Da Ca

(1,2) 8 100 6 200(1,3) 4 150 2 350(2,4) 2 50 1 90(2,5) 10 100 5 400(3,4) 5 100 1 200(4,5) 3 80 1 100

3

5

4

1

2

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