UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA … dimensionalmente la validez de una ecuación física. ......

Documento elaborado por: M.Sc. Jaime Malqui Cabrera Medina.

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA PROGRAMA DE INGENIERIA

CURSO TECNICA DE MEDICION DE VARIABLES FISICAS GUIA DE ESTUDIO 3. CONVERSION DE UNIDADES Y ANALISIS

DIMENSIONAL

INTRODUCCION.

En la actualidad existen gran cantidad de unidades para medir cada magnitud física. Esto es debido

a que, por un lado, en determinadas regiones se usaban sus propias unidades lo que ha propiciado

que existan gran número de ellas, y por otro, en ocasiones es necesario emplear unidades que nos

permitan obtener valores más pequeños y con lo que nos sea más sencillo trabajar.

En cualquier caso, la comunidad científica recomienda utilizar únicamente las unidades del Sistema

Internacional y si nuestras magnitudes no se encuentran en este sistema, por lo general deberemos

convertirlas a un valor equivalente.

La conversión de unidades es la transformación de una unidad en otra. El análisis de dimensiones es un pprocedimiento muy útil para verificar o deducir una fórmula

empírica o para determinar las dimensiones de las constantes de una ecuación, además, es un

proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los fenómenos físicos y de las ecuaciones

asociadas, para tener una nueva visión de sus soluciones.

En la vida diaria constantemente se hacen mediciones, por ejemplo: el tiempo que toma trasladarse

de un lugar a otro, la cantidad de mercancías que se compran, etc. Las mediciones son importantes,

tanto en la vida cotidiana como en la experimentación en donde permiten reunir información para

después organizarla y obtener conclusiones.

El científico inglés William Thomson Kelvin (1824 – 1907) resumió la importancia de la medición

como parte esencial del desarrollo de la ciencia, en el siguiente comentario: “con frecuencia digo

que cuando se puede medir y expresar con números aquello sobre lo cual se está hablando, se sabe

algo del tema; pero cuando no se puede medir, es decir, cuando no es posible expresarlo con

números, el conocimiento es insuficiente”.

Si utilizamos cualquier objeto para medir, los resultados serán diferentes, dependiendo el objeto

para comparar. Para evitar esto se utilizan los patrones de medida, que son acuerdos

internacionales para medir y obtener el mismo resultado.

Objetivos.

Realizar conversión de unidades entre los sistemas de unidades: SI – CGS - PLS o Ingles.

Aprender a utilizar la conversión para resolver problemas y que sus unidades coincidan.


Analizar dimensionalmente la validez de una ecuación física.

Determinar las unidades de algunas constantes utilizadas en ciencias naturales.

CONTENIDO.

Necesidades e importancia de las mediciones.

Las mediciones es la forma de interpretar, estudiar y conocer un grupo de hechos del mundo

natural, llamados hechos físicos. Los hechos físicos se agrupan con base en los siguientes aspectos:

tiempo, espacio, masa, volumen, movimiento, torque, energía, trabajo, potencia, ondas, luz, sonido,

presión, densidad, carga electrica, corriente electrica, voltaje, resistencia, electricidad, magnetismo,

calor, temperatura, radiación, …

La medición es un proceso básico de las ciencias que consiste en comparar un patrón seleccionado

con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está

contenido en esa magnitud.

Conceptos previos.

Magnitud: es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número y que

puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que observan, miden, representan, …)

Medida: es el resultado de medir, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos con

la unidad de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante un numero seguido de la unidad

que hemos utilizado: 4 m, 200 km, 5 Kg, 120 km/h, 34,87 min, … La medida de una cantidad física

puede ser directa o indirecta.

Medida directa: es la que se realiza comparando el patrón de medida con el objeto a medir

mediante un proceso visual.

Ejemplo 1: medir el ancho de un salón, se compara el patrón de medida de longitud metro con el

objeto a medir ancho del salón.

Ejemplo 2: medir la longitud de un objeto, se puede usar un calibrador. Obsérvese que se compara

la longitud del objeto con la longitud del patrón marcado en el calibrador, haciéndose la

comparación distancia-distancia.


Medida indirecta: es la que se realizad mediante el empleo de fórmulas matemáticas o el uso de

aparatos sofisticados.

Ejemplo 1: Se quiere medir la temperatura de un litro de agua, pero no existe un medidor de

comparación directa para ello. Así que se usa un termopar, la cual, al ingresar los alambres de metal

al agua, se dilatan y dicha dilatación se convierte en una diferencia de voltaje gracias a un

transductor, que es función de la diferencia de temperatura. En síntesis, un instrumento de

medición indirecta mide los efectos de la variable a medir en otra instancia física, cuyo cambio es

análogo de alguna manera.

Ejemplo 2: Se desea medir las alturas de un edificio demasiado alto, dadas las dificultades de realizar

la medición directamente, emplearemos un método indirecto. Colocaremos en las proximidades del

edificio un objeto vertical, que sí podamos medir, así como su sombra. Mediremos también la

longitud de la sombra del edificio. Dada la distancia del Sol a la tierra los rayos solares los podemos

considerar paralelos, luego la relación de la sombra del objeto y su altura, es la misma que la relación

entre la sombra del edificio y la suya.

Dimensión: la palabra dimensión se refiere a la naturaleza física de una cantidad. Por ejemplo, un

espesor, un diámetro, una altura, un radio, etc. son cantidades físicas que se expresan en cm, m,

km, ft, in, etc. y todas ellas tienen por dimensión longitud L.

Importancia de la medición en los procesos tecnológicos.

El ser humano desarrolla tecnologías, para ello emplea estudios científicos que requieren de

medición ya sea en medir cantidades, tamaños, etc. Dependiendo de la actividad que se está

realizando. En definitiva, la actividad del ser humano en casi todo momento implica medición de

cosas o comparación.

SISTEMA DE UNIDADES.

Es un conjunto consistente de unidades de medida formado por las unidades de las cantidades

fundamentales, llamadas unidades fundamentales, y por las unidades de las cantidades derivadas,

llamadas unidades derivadas, que se obtienen por la operación matemática que define a la

respectiva cantidad. Los sistemas de unidades más usuales son:


SISTEMA INTERNACIONAL - SI

En este sistema se consideran siete magnitudes fundamentales:

Las unidades de las magnitudes derivadas se obtienen operacionando las unidades fundamentales teniendo en cuenta las respectivas dimensiones de la magnitud derivada, por ejemplo:

de esta manera las unidades de velocidad en este sistema son m / s SISTEMA CEGESIMAL - CGS Este sistema se define en función de las unidades de las magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo


Como ejemplo las unidades de velocidad son cm/s

SISTEMA PLS o INGLES

En este sistema se consideran como magnitudes fundamentales: longitud, fuerza y tiempo.

OBSERVACION: En este sistema de unidades la unidad de MASA es el Slug

Como ejemplo la velocidad se expresa en ft / s o in / s.

PREFIJOS En el SI se acostumbra a usar múltiplos y submúltiplos multiplicando cada unidad por factores de

10. Estos factores se simbolizan con letras universalmente aceptadas como prefijos, los más usuales

son:


Estos son algunos ejemplos del uso de estos prefijos al expresar una cantidad:

Medida + Unidad Notación científica Notación decimal Lectura

3,85 Tm 3,85 x 1012 m 3.850.000.000.000 m 3,85 terámetros

9,40 nm 9,40 x 10-9 m 0,0000000094 m 9,40 nanómetros

6,52 Mg 6,52 x 106 g 6.520.000 g 6,52 megagramos

8,74 pg 8,74 x 10-12 g 0,00000000000874 g 8,74 picogramos

2,06 Ps 2,06 x 1015 s 2.060.000.000.000.000 s 2,06 petasegundos

5,70 µs 5,70 x 10-6 s 0,0000057 s 5,70 microsegundos

Ejercicios para afianzar conocimientos.

Especificar el nombre y la equivalencia de las siguientes expresiones:

9,08 Zm 5,64 Gg 4,80 Eg 12400 ym

4200 fs 7,13 Ys 680000 yg 0,75 hm

74000 zm 0,36 Ms 34,98 Tg 123 ms

CONVERSION DE UNIDADES.

Frecuentemente debemos expresar una cantidad física en diferentes sistemas de unidades, en este

proceso se utilizan los factores de conversión y la conversión en cadena.

Factor de Conversión Se define como el cociente de dos cantidades equivalentes, por lo tanto, siempre es igual a 1.

Ejemplos:


Las siguientes equivalencias serán usadas en el taller de ejercicios:

En el siguiente ejemplo se muestra el uso de esta herramienta en la conversión de unidades:

1. Expresar 860 cm en in

Solución: Como 2,54 centímetros representan la misma longitud que 1 pulgada entonces se tiene

2. Expresar 25 m / s en km / h

Solución: como 1 km es igual a 1000 m y 1 h = 3600 s entonces se tiene

𝟐𝟓 𝒎

𝒔 = 𝟐𝟓

𝒎

𝒔 𝑥 (

𝟏 𝒌𝒎

𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎) 𝒙 (

𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔

𝟏 𝒉) = 𝟗𝟎

𝒌𝒎

𝒉

3. Expresar la masa de 10 litros de mercurio (densidad del mercurio 13,6 kilogramos por decímetro

cubico).

Solución: Nótese que un litro es lo mismo que un decímetro cúbico.


𝟏𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒖𝒓𝒊𝒐 𝑥 𝟏 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒖𝒓𝒊𝒐

𝟏 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒖𝒓𝒊𝒐 𝑥

𝟏𝟑, 𝟔 𝒌𝒊𝒍𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔

𝟏 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒖𝒓𝒊𝒐= 𝟏𝟑𝟔 𝒌𝒈

Conversión en cadena

Es un proceso que implica la conversión sucesiva de unidades y, por lo tanto, el uso de dos o más

factores de conversión. Ejemplos:

1. Expresar 0,76 mi en ft

2. Expresar en 2500000 in3 en ft3

3. Las fumarolas oceánicas son respiraderos volcánicos calientes que emiten agua termal (a 250°C)

en las profundidades del lecho oceánico. En ellas pueden encontrarse diversas formas de vidas, y

existen teorías científicas que afirman que la vida en la Tierra pudo haberse originado alrededor de

esos respiraderos. Las fumarolas varían en profundidad de unos 1500 m a 3200 m por debajo de la

superficie. Si una fumarola está a 2000 m de profundidad entonces las criaturas que viven en sus

alrededores deben soportar una presión absoluta de 20.289.300 N/m2 (Newton por metro

cuadrado). Esta presión es aproximadamente 200 veces superior a la que soportamos a nivel del

mar. Un científico británico observa este resultado y para continuar con sus investigaciones debe

expresar la presión absoluta en lb / in2. Ayude a este científico en su labor, tenga en cuenta que:


TALLER DE EJERCIICOS – TRABAJO INDIVIDUAL – TRABAJO COLABORATIVO

1. Realizar las siguientes conversiones.

2. Una cancha de tenis tiene 100m de largo y 80m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura de la cancha en pies?

3. Un cubo tiene 7 pulgadas por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en pies y en metros cúbicos?

4. Un carro viaja a una velocidad de 87mi/h. ¿A cuánto equivale su rapidez en pies/s?

5. El transbordador espacial es un programa de la Nasa que se caracteriza porque las naves

espaciales son reutilizables. El 28 de enero de 1986 a las 11:38 horas de la mañana, el

Transbordador Espacial Challenger despegó de su base de lanzamiento en Cabo Cañaveral

y 73 s después, cuando se encontraba a 14.600 m de altura, explotó trayendo como

consecuencia la muerte de sus 7 ocupantes. En la investigación sobre las causas de ese

accidente participó el Premio Nobel de Física Richard Feynmann, los resultados ocasionaron


una gran controversia entre los agentes del gobierno y los científicos independientes como

el Doctor Feynmann. Este accidente y su posterior investigación originó una película de

Hollywood. Como parte de los datos suministrados para la investigación se encontraba la

rapidez máxima que la nave podía alcanzar: 28.968 km / h. Expresar esta rapidez en in / s y

en m / s

6. En una autopista interestatal en una región rural de Wyoming, un automóvil viaja con una rapidez

de 38.0 m/s. ¿El conductor rebaso el límite de velocidad de 75,0 mi/h?

7. Suponga que su cabello crece a una proporción de 0.03125 in / día. Encuentre la proporción a la que crece en nm/s

8. Se suministra gasolina a un tanque a razón de 4,29 galones / min. Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en m3 / s. c) Determine el intervalo, en horas, que se requiere para

llenar un volumen de 7,5 µmi3 a la misma rapidez.

9. Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la superficie. Convierta esta

relación a lb / s

10. ¿Cuántos años más viejo será usted dentro de 1,25 Ts?

11. Mientras va conduciendo en un país extranjero, observa un letrero que indica el límite de velocidad en una carretera como 180,000 estadios (furlongs) por quincena. ¿Cuánto es esto en millas por hora? Tenga en cuenta que

12. La aceleración de un objeto en caída libre es de 32 ft / s2. Exprese este resultado en

leguas / h2

13. La densidad del mercurio es de 849,19 lb / ft3. Exprese este resultado en slug / in3

14. OPCIONAL: Realice en grupo de tres estudiantes un video donde explique con ejemplos el

proceso para convertir unidades de un sistema de unidades a otro.


ANALISIS DE DIMENSIONES

La palabra dimensión se refiere a la naturaleza física de una cantidad. Por ejemplo, un espesor, un

diámetro, una altura, un radio, etc. son cantidades físicas que se expresan en cm, m, km, ft, in, etc.

y todas ellas tienen por dimensión longitud L. De esta manera la dimensión es el tipo de variable

que puede medirse.

Cada cantidad física fundamental tiene asociada su respectiva dimensión:

Para las cantidades derivadas su dimensión se expresa encerrando la cantidad física entre

corchetes. Ejemplo: si v es velocidad, su dimensión se expresa en la forma [v], si es densidad, su

dimensión se expresa en la forma [].

Toda cantidad derivada puede ser expresada mediante el producto de potencias de las cantidades

fundamentales, de esta manera cualquier cantidad derivada Y puede expresarse dimensionalmente

mediante la expresión

Donde a, b, c, d, e, f y h son números racionales

Al trabajar en el campo de la Mecánica sólo se consideran tres cantidades fundamentales: Longitud,

Masa y Tiempo, entonces la fórmula dimensional de una cantidad derivada en Mecánica es un

monomio formado por potencias de las dimensiones de las cantidades fundamentales:


Las leyes físicas se expresan mediante lenguaje matemático, esto es, mediante ecuaciones que

relacionan diversas cantidades físicas (fundamentales y/o derivadas). Al expresar cada cantidad

derivada en función de las dimensiones de las cantidades fundamentales se obtiene una ecuación

dimensional donde cada término resultante contiene la misma potencia de las cantidades

fundamentales, de esta manera las ecuaciones son dimensionalmente homogéneas lo que implica

que todos sus términos tienen las mismas dimensiones. Así, al dividir la ecuación por uno de sus

términos se obtiene una ecuación adimensional en la que cada uno de sus términos queda sin

dimensiones.

Existen dos tipos de constantes que pueden hacer parte de una ecuación: dimensionales y

adimensionales. Las dimensiones de las primeras están formadas por potencias de las dimensiones

de las cantidades fundamentales.

En el Análisis Dimensional se analizan las dimensiones de una ecuación física, en este proceso se

establecen las relaciones entre las cantidades derivadas y las cantidades fundamentales, se

reemplazan estas equivalencias en la ecuación que las relaciona y se opera algebraicamente entre

ellas atendiendo a las reglas del cálculo dimensional. Este análisis es una herramienta muy útil en

las ciencias y la ingeniería pues ayuda a la comprensión de fenómenos que involucran varias

cantidades físicas.

Las funciones del Análisis Dimensional son:

Comprobar la validez de las fórmulas físicas.

Detectar errores en los cálculos científicos obtenidos al realizar conversiones de unidades y

o al sustituir cantidades físicas.

Diseño y estudio de modelos a escala (como túneles de viento).

Reglas del Análisis Dimensional

Principio de Homogeneidad: Una ecuación o ley física es dimensionalmente homogénea si todos

sus términos tienen la misma dimensión.


Casos Especiales: Los números, exponentes, ángulos, las funciones logarítmicas, exponenciales,

potenciales y trigonométricas, no tienen dimensiones, para los efectos del cálculo se asume que

su dimensión es 1. Ejemplo:

Suma y Resta: En las operaciones dimensionales no se cumplen las reglas de la adición y sustracción:

Producto, División Y Potenciación: Se conserva la aplicación de las reglas conocidas

Constante Adimensional: Si k es una constante adimensional entonces

Tabla de Dimensiones

A partir de las ecuaciones con que se definen las cantidades físicas que se especifican a continuación

determine sus dimensiones y complete la tabla 1.


TABLA 1. Cantidades Físicas, Dimensiones y Unidades


TALLER DE EJERCIICOS – TRABAJO INDIVIDUAL – TRABAJO COLABORATIVO

Aplique las reglas del análisis dimensional para resolver los siguientes planteamientos:


16. OPCIONAL: Realice en grupo de tres estudiantes un video donde explique el trabajo de análisis

de dimensiones en una expresión matemática o formula física.

Bibliografía.

SERWAY, Raymond y JEWETT, John. Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna, 7a Ed.,

Vol. 1, Cengage Learning, México, 2009. 896p. ISBN 978-607-481-358-6.

SEARS y ZEMASKY. Física Universitaria, Volumen 1, Decima segunda edición, Pearson Educación,

México, 2009 Cengage Learning, México, 2009. 760p. ISBN 978-607-442-288-7.

YOUNG, Hugh y FREEDMAN, Roger. Física Universitaria con Física Moderna, 12a Ed., Vol. 1,

Pearson Educación, México, 2009. 896p. ISBN 978-607-442-304-4.

Webgrafía.

http://www.fismec.com/introduccion_fisicaymedicion_conversiondeunidades

http://www.fismec.com/introduccion_fisicaymedicion_analisisdimensional

http://www.fismec.com/introduccion_fisicaymedicion_conversiondeunidades

http://www.fismec.com/introduccion_fisicaymedicion_analisisdimensional


https://prezi.com/daavzvlaktjy/importancia-de-la-medicion-en-la-vida-cotidiana/

lectura recomendada.

¿Porque es importante la conversión de unidades?

http://utmdavidfisica.blogspot.com.co/2013/05/porque-es-importante-la-conversion-de.html

https://prezi.com/daavzvlaktjy/importancia-de-la-medicion-en-la-vida-cotidiana/

http://utmdavidfisica.blogspot.com.co/2013/05/porque-es-importante-la-conversion-de.html

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