Universidad de Alcalá (UAH) Madrid - Tema 2: Fracciones y … · 2015-08-20 · Fracciones...

$: Universidad de Alcalá (UAH) Madrid - Tema 2: Fracciones y … · 2015-08-20 · Fracciones equivalentes. Suma y resta El concepto defracciones equivalenteses uno de los m as importantes$
Pedro Ramos. Matematicas I. Grado de Educacion Primaria. Universidad de Alcala. Curso 2014-2015

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Tema 2: Fracciones y proporciones

? Fracciones? Numeros racionales? Numeros decimales


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Las fracciones: un objeto, varias interpretaciones

(1) Parte de un todo

Hemos coloreado los 3/5 de ...

(2) Un reparto (division)

Queremos repartir 3chocolatinas entre 5 ninos.¿A cuanto toca cada uno?

(3) Un punto de la recta numerica (un numero)

0 1 2 3¿3

4?

1/4 3/4

El denominador fija la unidad El numerador, cuantas unidades tomo


3

Algunos ejemplos

(d)

(b)

∗ ¿Que fraccion del area total esta coloreada en cada una delas figuras?

(a)

(c)

1/3 2/3

2/5

3/4


4

Algunos ejemplos

∗ Juan leyo 2/5 de las paginas de un libro el lunes, el martesestaba ocupado y solo pudo leer la tercera parte que ellunes, y el miercoles, que tenıa mas tiempo, acabo el libroleyendo 140 paginas. ¿Cuantas paginas tenıa el libro?

∗ He comido 2/3 de los bombones de una caja y me quedan12 bombones. ¿Cuantos bombones tenıa la caja?


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Definicion de fraccion. Opcion 1

∗ Una fraccion es un cociente de dos numeros enteros, esdecir, una expresion de la forma a/b, con b 6= 0.

∗ Interpretaciones:

? partes de un todo.? solucion a un problema de reparto.

∗ Las fracciones 2/3, 4/6, 6/9, . . . representan la mismacantidad, es decir, son el mismo numero racional.

∗ Def: Diremos que un numero es racional si se puedeexpresar como cociente de dos numeros enteros, es decir, sise puede expresar en forma de fraccion.

El conjunto de numeros racionales se denota por Q.


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∗ Recurriendo a la recta numerica.Dados dos numeros enteros a y b (con b 6= 0), la fracciona/b representa el siguiente punto de la recta:? tomamos el segmento [0, 1] y lo dividimos en b partes

iguales.? contamos a partes de las obtenidas.

∗ La gran ventaja de esta opcion es que deja claro, desde elprimer momento, que las fracciones son una ampliacion delos conjuntos de numeros ya conocidos.

∗ Haciendo ejercicios como Representa en la recta 6/7 y13/5 se puede desarrollar mas facilmente la intuicion sobrelas fracciones.


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∗ Si hemos presentado las fracciones de esta forma, podemosplantear directamente el problema:

¿Cuanto es1

2+

1

3?

∗ Para un nino que trabaja este problema sobre la rectanumerica (y en papel cuadriculado, claro) es mucho masfacil entender la imposibilidad de sumar fracciones quetienen distinto denominador.

0 1 2


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Fracciones equivalentes. Suma y resta

∗ El concepto de fracciones equivalentes es uno de los masimportantes de este tema.

Dada la fraccion a/b, las que se obtienen multiplicando (odividiendo) numerador y denominador por el mismo numeroentero (distinto de cero) se dice que son equivalentes a lafraccion a/b.

0 1

3/4

∗ Es esencial que se entienda que las fracciones equivalentesrepresentan la misma “parte”, o el mismo punto de la rectanumerica.


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Fracciones equivalentes. Suma y resta

∗ Una vez entendidos los conceptos de fraccion y fraccionequivalente, la suma y resta deberıan ser inmediatas.

a) No se pueden sumar (ni restar) fracciones con distintodenominador.

b) Lo que hay que hacer es buscar fracciones equivalentesque tengan el mismo denominador.

∗ Ejemplo:2

3+

3

4=

8

12+

9

12=

17

12


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Fracciones impropias, numeros mixtos, division entera.

∗ La fraccion 17/12 (y, en general, las fracciones a/b dondea ≥ b) a veces se llaman fracciones impropias y se puedenrepresentar como numeros mixtos:

17

12= 1

5

12

∗ En general, si a = q · b+ r, la fraccion a/b se puede

representar tambien como qr

b.

∗ Es importante tener presente que, si se ha utilizado laopcion 1, la idea de fraccion impropia supone unageneralizacion relevante desde el punto de vista conceptual:¿que significa ocho septimos de algo?


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Multiplicacion de fracciones

∗ Desde el punto de vista del algoritmo, multiplicarfracciones es mas sencillo que sumarlas.Sin embargo, desde un punto de vista conceptual es muchomas complicado.

∗ Una buena posibilidad es generalizar desde los naturales, dela siguiente forma:

? 2 · 18 es “el doble de 18”

?1

3· 18 es “la tercera parte de 18”, es decir,

18

3

∗ Aparece aquı una relacion fundamental entre lasoperaciones de multiplicar y dividir:

multiplicar por1

nes lo mismo que dividir por n


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Multiplicacion de fracciones

∗ Una vez que sabemos multiplicar 1/n por un entero, yentendemos que estamos dividiendo por n, podemosmultiplicar 1/n por otra fraccion:

a)1

4· 1215

= b)1

4· 1315

=3

15

13

60

∗ Ası es mas sencillo entender que 34 ·X significa 3

4 de X:

3

4· 28 = 3 ·

(14· 28

)= 3 · 7

3

4· 1314

= 3 ·(14· 1314

)= 3 · 13

4 · 14=

3 · 134 · 14


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Multiplicacion de fracciones. Opcion 2

1

2/3

0 13/4

2

3× 3

4=

6

12

1

0 13/4

Tambien aquı se puede verque 2

3 ×34 significa

2/3 de 3/4.2/3


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Division de fracciones

∗ Primero, lo que creo que no es una buena alternativa.


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∗ Opcion 1: Reducir a comun denominador.

Repartir “cuartos” entre “cuartos” ya es intuitivo.

∗ Se puede recurrir a la recta numerica (y a la division

cuotativa):15

8:3

4→ ¿cuantas veces “cabe”

3

4en

15

8?

3

4

0 1 2

15

8=

6

8

15

8:3

4=

15

8:6

8=


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∗ Opcion 2: la division y la multiplicacion son operacionesinversas o, lo que es lo mismo, dividir es lo mismo quemultiplicar por el inverso.

∗ Ya nos hemos encontrado antes la idea:

multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n.

∗ El inverso de un numero racional a es un numero b tal quea · b = 1.

∗ Todo numero racional distinto de cero tiene inverso.

a) El inverso de un numero natural n es 1/n.b) El inverso de un numero racional p/q es q/p


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∗ Por tanto,2

3:7

5=

2

3· 57=

10

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∗ Por supuesto, una vez definida la operacion, la forma dedarle sentido es recurrir a problemas. Por ejemplo:

Tenemos un barril de 350 l. de agua, y con el rellenamosbotellas de 3/8 de litro. ¿Cuantas botellas llenamos?

∗ Una vez asimiladas las operaciones, se pueden abordar problemascomo este:

Una persona deja en herencia 2/3 de su capital a su unico hijo, ledeja a un tıo lejano 4/5 partes del resto, debe pagar a hacienda porimpuestos 1/20 de la herencia, y dona el resto, 12000 euros, a unaobra de beneficencia. ¿Cual era su capital?


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Ejercicio

∗ Calcula y expresa como fraccion irreducible

1

3+

2

3× 4

7× 9

8− 2×

(1

12− 7

3

)− 1


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Orden en Q∗ El orden en Q se define igual que en los enteros:

dados dos numeros racionales a y b, se dice que a < b sib− a > 0.

∗ Propiedades de monotonıa:

a) Si a < b entonces a+ c < b+ c (para cualquier numeroracional c).

b) Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c.

c) Si a < b, entonces −a > −b.

Por tanto, si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c

∗ Ejercicio: Encuentra los numeros racionales que verifican la

desigualdad2

3− x <

7

5


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Orden en Q∗ Los racionales son “densos”: en Q se pierde el concepto de

“siguiente”.

Observacion: entre dos numeros racionales cualesquieraexisten infinitos numeros racionales.

∗ Pero no “llenan” toda la recta:Teorema:

√2 no es un numero racional.

∗ Un ultimo resultado: Se puede hacer una lista (infinita)que contenga todos los numeros racionales.


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Problemas sobre numeros racionales

∗ La poblacion urbana de cierta provincia es 5/8 del total, yla rural los 3/8 restantes. Se sabe que la cuarta parte de laurbana y la sexta parte de la rural son menores de edad.¿Que proporcion de la poblacion es menor de edad?

∗ Solucion aritmetica (algebraica)

∗ Solucion geometrica:

5/8 3/8

1/4 · 5/81/6 · 3/8


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Problemas sobre numeros racionales

∗ Un leon se comerıa una oveja en 4 horas; un leopardotardarıa 5 horas y un oso 6 horas ¿En cuanto tiempo secomerıan una oveja entre los tres?

∗ El grifo del agua caliente tarda 1 hora en llenar mi banera yel grifo del agua frıa tarda 30 minutos. Si abro los dosgrifos a la vez, y el caudal de cada grifo es el mismo queantes, ¿cuanto tardara en llenarse la banera?

∗ Preparamos una sangrıa con 6 vasos de zumo, 4 vasos devino (que tiene 1/8 de alcohol) y 1 vaso de ginebra (quetiene 2/5 de alcohol). ¿Cual sera la proporcion de alcoholen la sangrıa?


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Los numeros decimales

∗ Numeros decimales con expresion finita: fraccionesdecimales.

Una fraccion decimal es una fraccion que es equivalente aotra cuyo denominador es una potencia de 10.

∗ Ejemplo: 3/4 es una fraccion decimal porque es equivalentea 75/100.

∗ ¿Como es el denominador de una fraccion decimal?

∗ En 1585 un matematico belga (Simon Stevin) propusorepresentar cantidades menores que la unidad dividiendolaen decimas, centesimas, milesimas, ... Por ejemplo:

237 +4

10+

5

100+

7

1000


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Numeros decimales

∗ La expresion decimal surge de generalizar a potenciasnegativas de 10 la expresion conocida en base 10.

237 +4

10+

5

100+

7

1000= 237.457

donde

237.457 = 2·102+3·101+7·100+4·10−1+5·10−2+7·10−3

∗ Repaso de la aritmetica elemental con numeros decimales.

∗ El calculo mental vuelve a ser aquı instructivo. Por ejemplo:

a) 2.3÷ 0′1 b) 4÷ 0.2 c) 27× 0.01


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Los decimales en la recta numerica

7 8

¿7.08? ¿7.93?

6.01 6.02

¿6.0105? ¿6.0198?


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Numeros decimales. Fracciones decimales

∗ Para fracciones decimales (numeros decimales finitos) laconversion entre las expresiones como numero racional ynumero decimal es inmediata.

Ejemplos:

a)3

80= b) 2.87302 =


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Numeros racionales con expresion infinita

∗ Muchos numeros racionales no admiten una expresioncomo numero decimal con un numero finito de decimales.

Ejemplo: 1/3, 2/7, 4/9, ...

∗ A la expresion 0.333 · · · se le llama numero decimalperiodico, y se denota 0.3.

∗ En un numero decimal con expresion periodica, toda laparte decimal puede ser periodica

0.376 = 0.376376376 · · · decimal periodico puro

o no

0.405376 = 0.405376376376 · · · decimal periodico mixto


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Expresion decimal de numeros racionales

∗ Teorema: La expresion decimal de cualquier numeroracional es, o bien finita, o bien periodica (pura o mixta).

∗ Ejemplos:

1

6= 0.16

1

7= 0.142857

2

17= 0.1176470588235294

∗ Expresion de un decimal periodico en forma de fraccion:fraccion generatriz.

∗ Ejercicio: expresar en forma de fraccion

a) 2.375 b) 2.375


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Observaciones finales

∗ La expresion decimal de un numero no es unica.

a) 0.23 = 0.23000

b) 1 0.9999 · · · = 0.9

c) 0.23 = 0.229

=

∗ El conjunto de numeros decimales mayores que cero ymenores que uno no se puede poner en una lista (infinita).

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