UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS F ISICAS Y … · 2012. 3. 23. · En el modelo de Ising...

UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

ESTADOS SATISFACTORIOS DEL MODELO DE ISING

ANTIFERROMAGNÉTICO EN TRIANGULACIONES

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

MENCIÓN MODELACIÓN MATEMÁTICA

ANDREA PATRICIA JIMÉNEZ RAMÍREZ

PROFESOR GUÍA:

MARCOS KIWI KRAUSKOPF

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:

MARTIN LOEBL

MARTÍN MATAMALA VÁSQUEZ

GELASIO SALAZAR ANAYA

SANTIAGO DE CHILE

ENERO 2012

Resumen de la Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la

Ingenieŕıa mención Modelación Matemática

Andrea Jiménez

Enero, 2012

Esta tesis se aboca al estudio de los aśı llamados estados satisfactorios del modelo de Ising

antiferromagnético en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas y orientables. En el

modelo de Ising antiferromagnético, los estados satisfactorios corresponden a estados de mı́ni-

ma enerǵıa. Si un estado satisfactorio existe, todo estado de mı́nima enerǵıa es precisamente

un estado satisfactorio. En f́ısica estad́ıstica, el número de estados de mı́nima enerǵıa que un

sistema admite es de gran interés, debido a la información termodinámica que provee.

En teoŕıa de grafos, cada estado satisfactorio en una triangulación se identifica con algún

emparejamiento perfecto del dual geométrico de dicha triangulación el cual es siempre un grafo

cúbico sin puentes. Mas aún, para toda triangulación que admite un estado satisfactorio, la

cantidad de estos estados es a lo más dos veces el número de emparejamientos perfectos que

admite el grafo cúbico sin puentes en dualidad, siendo esto una igualdad para triangulaciones

planas. Esta relación, conecta el número de estados satisfactorios en triangulaciones con una

famosa conjetura de Lovász y Plummer, recientemente probada, que afirma la exponencialidad

de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.

En la primera parte de esta investigación se desarrollan técnicas para contar estados satis-

factorios del modelo de Ising antiferromagnético en dos familias distintas de triangulaciones.

Inicialmente, se adapta el método de la matriz de transferencia para demostrar que el número

de estados satisfactorios en la clase de triangulaciones de un n-ágono es exponencial en n. A

continuación, se elabora un método recursivo y se obtiene una cota inferior exponencial para

la cantidad de estados de mı́nima enerǵıa para la familia de triangulaciones apiladas.

Luego, se estudia la complejidad computacional de los problemas asociados a la existen-

cia y cantidad de estados satisfactorios en triangulaciones. Se prueba que, cuando el género de

la superficie en la cual se incrustan las triangulaciones es arbitrario, los problemas de decidir

existencia y enumerar estados satisfactorios son NP-completo y #P-completo, respectivamente.

Finalmente, para cada superficie fija, de género positivo, cerrada y orientable, se construyen

secuencias vértice-creciente de triangulaciones incrustadas en la superficie con exactamente un

par de estados de mı́nima enerǵıa. Este resultado, discrepa de la exponencialidad del número

de estados de mı́nima enerǵıa en triangulaciones planas obtenido a consecuencia de la exponen-

cialidad de los emparejamientos perfectos y a la identificación en dualidad, aśı como también

difiere de la intuición en f́ısica estad́ıstica acerca de la gran cantidad de estados de mı́nima

enerǵıa que los sistemas geométricamente frustrados exhibiŕıan.

A mis padres Benjamı́n y Angélica, por su amor y apoyo

incondicional

Agradecimientos

En primer lugar, agradezco sinceramente a todas aquellas personas que de una u otra forma

han sido parte de este importante proceso de aprendizaje y crecimiento.

Por su dedicada orientación, su apoyo generoso, sus valiosos consejos y sus cŕıticas tre-

mendamente constructivas, agradezco de corazón a Marcos Kiwi, mi director de tesis. Muchas

gracias por que cada reunión que tuvimos fue siempre una ganancia profesional y una motiva-

ción personal para continuar con esta investigación. Estoy segura que sin su ayuda y tiempo

este sueño no seŕıa realidad.

Quiero agradecer a Martin Loebl, quien informalmente guió este trabajo de tesis y a quien

considero un pilar fundamental en mi crecimiento matemático. Gracias por todo el apoyo que

me ha brindado, por creer en mi, por darme la oportunidad de trabajar juntos e integrarme en

su comunidad cient́ıfica. Gracias por enseñarme que un matemático brillante es también una

gran persona. Gracias infinitas por su amistad y paciencia.

A Mihyun Kang agradezco por motivarme a seguir aprendiendo y a continuar por la senda

de la investigación en los momentos de debilidad e inseguridad. Gracias por confiar en mis

capacidades, por el gran apoyo, por cada una de las reuniones de trabajo y las conversaciones

que tuvimos.

A todos los docentes del DIM y miembros del CMM con quienes he tenido el privilegio de

tener clases y compartir seminarios, agradezco por inculcarme el amor por las matemáticas.

También quisiera agradecer a los profesores del KAM y miembros del ITI por acogerme gene-

rosa y cordialmente en su comunidad. Muchas gracias a todos por darme la oportunidad de

aprender de sus enseñanzas y experiencias.

A Gelasio Salazar y a Mart́ın Matamala agradezco por aceptar ser parte de la comisión de

este trabajo de tesis, por su tiempo, disposición, comentarios y correcciones.

Agradezco especialmente a Michel Curé, quien hace poco más de cuatro años fue la persona

que me incentivó a continuar estudios doctorales.

Aśı también deseo agradecer el apoyo económico que me han brindado distintas instituciones

y proyectos. Entre otros, agradezco al Programa MECESUP que ha financiado mis cuatro años

de estudio doctoral, a CONICYT v́ıa Programa Basal en Modelamiento Matemático, a FON-

DECYT 1090227 y al Institute for Theoretical Computer Science Charles University, Prague. A

CONICYT por mi beca de pasant́ıa doctoral en el extranjero y al Núcleo Milenio Información

y Coordinación en Redes ICM/FIC P10-024F.

De corazón agradezco a todos los funcionarios del DIM, en especial a Eterin, Silvia, Regina,

Don Oscar y Don Luis, quienes con su gran vocación y buena voluntad, han estado siempre

dispuestos a ayudar de la mejor manera cuando uno lo necesita.

Agradezco sinceramente a todas las maravillosas personas que conoćı mientras estuve en

Praga. A Eva, Tomas, Honza H., Honza B., Andrew y Mayumi mil gracias por todos los mo-

mentos compartidos, por la hermosa Navidad en Tábor, las cenas, los paseos, los bailes, las

fiestas, las risas y sobretodo por su amistad que no sabe de tiempo ni de lugar. A Nana, que

tal vez nunca se entere de estos agradecimientos, le agradezco su bondad, cariño y gran voluntad.

A mis amigos y compañeros del doctorado, agradezco por los buenos momentos que hemos

vivido juntos, por las conversaciones y almuerzos. A Naty, Maxy, Lucho, Flavio, José Aliste,

José Zamora, Alvaro Daniel, Alvarito y Pablo agradezco por su ayuda y amistad. A Clarita

agradezco por ser mi gran amiga, por su lealtad, sinceridad y su apoyo incondicional. A Jairo

agradezco por nuestra amistad y por todas aquellas veces que me subió el ánimo con su alegŕıa.

Quiero agradecer a Oscar, quien a sido un apoyo fundamental en todo sentido. Gracias por

tu amor y comprensión, por levantarme en los malos momentos, por escucharme, acompañarme

y por la paciencia, por vivir y disfrutar junto a mi los momentos felices.

Finalmente, deseo agradecer a aquellas personas que han estado siempre en mi vida, mi

familia. Les doy gracias por apoyarme, por comprender y respetar mi poco tiempo, por darme

tantos momentos de alegŕıa y por ser mi fuente de enerǵıa cuando flaqueo. A mis abuelos Nena

y Tata, agradezco su enseñanza de amor y respeto para toda la vida. A mi hermano Jaime,

agradezco su generosidad, nobleza y gran corazón. A mi herma Paula, agradezco su amistad, su

gran valent́ıa y por darme la felicidad de tener dos sobrinos maravillosos. A mi papá, agradezco

por tanto amor que me ha entregado, por sus sacrificios para darnos siempre lo mejor, por su

apoyo constante y por estar siempre presente. A mi mamá, agradezco por ser mi mejor amiga,

por su amor infinito, por su vocación de madre, por su optimismo, su apoyo imprescindible, por

todas las conversaciones y por tener siempre las palabras justas que reconfortan mi esṕıritu.

Índice general

1. Introducción 1

2. Marco teórico y resultados 6

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. El modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2. Estados satisfactorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3. Emparejamientos perfectos: dual geométrico de los estados satisfactorios 9

2.2. Método de la matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Triangulaciones de un n-ágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2. Triangulaciones apiladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Complejidad computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Estado fundamental no degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Conclusiones 15

Bibliograf́ıa 18

A. Estados satisfactorios en triangulaciones de un n-ágono 20

B. Modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones aplicado a contar em-

parejamientos perfectos 38

C. Dificultad computacional del problema de enumerar estados satisfactorios en

triangulaciones 62

D. Estado fundamental no degenerado en el modelo de Ising antiferromagnético

en triangulaciones 83

Caṕıtulo 1

Introducción

Este trabajo de tesis se centra en el estudio del comportamiento de los aśı llamados estados

satisfactorios del modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones incrustadas en super-

ficies cerradas y orientables. Estos estados, como se verá más adelante, corresponden a una

clase particular de estados fundamentales o de mı́nima enerǵıa del modelo de Ising antiferro-

magnético, uno de los tópicos más extensamente estudiado en el área de la f́ısica estad́ıstica. Las

razones para estudiar estos elementos son diversas, una de ellas es que expĺıcitamente conectan

dos notables ramas de la ciencia: la matemática discreta y como ya ha sido mencionado, la f́ısica

estad́ıstica. En este sentido y de una manera precisa que se establecerá rigurosamente en los

preliminares de este trabajo, los estados satisfactorios del modelo de Ising antiferromagnético en

triangulaciones, se identifican con los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.

Un estado satisfactorio no necesariamente existe, pero si existe entonces todo estado de

mı́nima enerǵıa corresponde a un estado satisfactorio. En f́ısica estad́ıstica, al número de es-

tados de mı́nima enerǵıa se le conoce como la degenerancia del estado fundamental y es un

parámetro vastamente estudiado y de gran interés f́ısico, debido a que, entre otros, determina

la entroṕıa del sistema. En particular, el modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones

está fuertemente caracterizado por una alta degenerancia del estado fundamental, lo cual se

traduce en entroṕıa no nula.

Una incrustación de un grafo en una superficie es un dibujo del grafo en la superficie (i.e. los

vértices están representados por puntos y las aristas por curvas continuas) tal que cada arista

conecta los vértices que la componen y el interior de cada arista es disjunto del resto del dibujo.

Además, una triangulación incrustada en una superficie cerrada y orientable Ω, o simplemente

una triangulación, es un grafo incrustado en Ω con cada cara acotada por un 3-ciclo (triángulo)

del grafo.

En el contexto de dualidad geométrica en incrustaciones de grafos, la degenerancia del es-

tado fundamental en triangulaciones que admiten un estado satisfactorio, se conecta con una

1

famosa conjetura de Lovász y Plummer, recientemente demostrada, la cual afirma que el núme-

ro de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes es exponencial en función de la

cantidad de vértices del grafo. En este aspecto y de acuerdo a un resultado que estableceremos

en este trabajo, se tiene que la cantidad de estados satisfactorios que admite una triangulación

es a lo más dos veces el número de emparejamientos perfectos que tiene su dual geométrico, el

cual es siempre un grafo cúbico sin puentes. Además, esta relación es una igualdad cuando se

considera la clase de triangulaciones planas.

De manera resumida y en palabras, las principales contribuciones de esta tesis, se pueden

dividir en tres tópicos distintos, los cuales están relacionados. En una primera instancia se desa-

rrolla la adaptación de la técnica de la matriz de transferencia para la obtención de cotas inferio-

res para el valor del número de estados satisfactorios de dos familias distintas de grafos planos

irregulares. El método de la matriz de transferencia, es la base de diversas técnicas de cálculo

que estudian fenómenos cŕıticos en la f́ısica estad́ıstica. De forma intuitiva y a grandes rasgos, si

suponemos que un sistema de part́ıculas puede ser descompuesto en bloques conexos que inter-

actúan solamente con aquellos bloques que intersectan su frontera, es posible definir una matriz

que codifica las propiedades locales de cada bloque, de manera que determinadas operaciones

sobre esta matriz entregan la información global del sistema. Esta herramienta ha sido utilizada

principalmente para solucionar problemas en donde la distribución de las part́ıculas (del sistema

analizado) describe estructuras regulares, t́ıpicamente reticulados. Aqúı justamente radica la

importancia de la adaptación desarrollada en este trabajo, puesto que se presenta una forma de

emplear el método de la matriz de transferencia en estructuras geométricamente más complejas.

La dificultad para aplicar el método recién descrito en los casos que se detallan en este

trabajo, radica en que no es posible fijar una única matriz para codificar localmente la informa-

ción, y más aún, dependiendo de la configuración local de la estructura, ni siquiera es factible

la definición de una matriz. A cambio, para alcanzar el objetivo, la adaptación del método se

apoya fuertemente en la construcción recursiva de las estructuras en cuestión. Básicamente, a

este procedimiento constructivo se le asocian operaciones y vectores que transfieren informa-

ción, los cuales codifican la cantidad de estados satisfactorios de la estructura obtenida en cada

paso de la construcción.

Como ya se ha dicho, el análisis de sistemas f́ısicos en donde las part́ıculas describen es-

tructuras geométricamente complejas, es un tema poco dominado tanto por f́ısicos como por

matemáticos. Ciertamente, solamente se conocen soluciones del modelo de Ising, lo cual significa

calcular su función de partición, para algunos reticulados planos. Por esto, se hace sumamente

interesante, explorar el modelo de Ising en triangulaciones incrustadas en superficies orienta-

bles, cerradas y de género positivo.

2

Por lo ya comentado, no es sorprendente, que el segundo tópico de este trabajo se enfo-

que en clasificar, según su dificultad computacional, los problemas derivados de la existencia y

cantidad de estados satisfactorios en triangulaciones incrustadas en superficies orientables, ce-

rradas y de género positivo. En conjunto, se estudia el problema de decidir si una triangulación

admite o no un estado satisfactorio y el problema de enumerar estados satisfactorios en una

triangulación, donde las triangulaciones están incrustadas en superficies orientables, cerradas,

de género positivo y arbitrario. En este punto, la arbitrariedad del género de la superficie, juega

un rol esencial, pues, se sabe que ambos problemas se pueden resolver en tiempo polinomial si

se fija el género de la superficie. Acá, se muestra que tanto el problema de decisión, como el

problema de enumeración son computacionalmente dif́ıciles cuando la triangulación está incrus-

tada en una superficie de género arbitrario. En ĺıneas generales, se prueba que decidir si una

triangulación admite o no un estado satisfactorio, es un problema NP-completo y que enume-

rar dichos estados es un problema #P-completo. Ambos resultados, se establecen mediante una

reducción débilmente parsimoniosa desde la variante positiva del 3-SAT de “no todos iguales”,

comúnmente abreviado como Positive-NAE-3SAT.

Para la confección de las reducciones mencionadas, fue necesario el diseño de gadgets, es

decir de triangulaciones incrustadas en superficies orientables y con bordes que satisfacieran

condiciones no triviales de existencia y de unicidad de estados satisfactorios. Las propiedades

de unicidad en un principio de la investigación no se pensaron factibles, debido a la alta degene-

rancia del estado fundamental que caracteriza a estos sistemas. En efecto, contrariamente a lo

intuido por la f́ısica estad́ıstica, la elaboración de estos gadgets, gúıa sutilmente la construcción

de triangulaciones con una cantidad arbitraria de vértices y pocos estados fundamentales. En

este contexto, este trabajo aporta en distintas direcciones, entre ellas, con el diseño particu-

lar y global de las gadgets dotadas de delicadas y “rebuscadas”propiedades f́ısicas que pueden

eventualmente ser útiles para estudiar la dificultad computacional de otros problema de tipo

Ising relacionados y además, como veremos a continuación, da un primer paso para una mejor

comprensión de la intrincada relación entre la frustración geométrica1 y la degenerancia del

estado fundamental en f́ısica estad́ıstica.

El último tema que se trabaja en esta tesis, nace como consecuencia de la confección de

las recién mencionadas gadgets. Dado que en dicho estudio se encontraron triangulaciones de

tamaño arbitrario y una cantidad pequeña de estados satisfactorios, surgió la inquietud de saber

si el mismo fenómeno se tiene cuando se fija el género de la superficie en la que las triangulaciones

están incrustadas. Nuevamente, según los postulados de la f́ısica estad́ıstica, en estos casos, se

espera que la degenerancia del estado fundamental sea exponencial en función del número de

1 propiedad f́ısica que exhiben algunos sistemas de part́ıculas, comúnmente caracterizada por una alta

degenerancia del estado fundamental; en particular, las triangulaciones analizadas en este trabajo presentan

frustración geométrica.

3

vértices de la triangulación, lo cual implica entroṕıa positiva en el ĺımite termodinámico y

coincide con la caracterización de los sistemas geométricamente frustrados. Cuando el género

de la superficie es cero, se tiene dicha exponencialidad como consecuencia de la conocida,

previamente mencionada, exponencialidad de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.

En este trabajo se muestra que un fenómeno más complejo e inesperado, surge cuando el género

de la superficie se incrementa. Concretamente, se prueba que para toda superficie fija, cerrada,

orientable Ω y de género arbitrario, existe una secuencia vértice creciente de triangulaciones

incrustadas en Ω sin degeneración del estado fundamental, es decir que admiten exactamente

un par de estados de mı́nima enerǵıa. Además, se da a conocer una estrategia para construir

tales secuencias justamente basadas en la unicidad de pares de estados satisfactorios. Este

sorprendente resultado deja muchas preguntas por responder y problemas abiertos, no solo

en f́ısica sino también en matemática. Asimismo, se espera que tanto la construcción de estas

secuencias de triangulaciones como la estrategia para obtenerlas aporte notablemente al estudio

de los sistemas geométricamente frustrados y encuentren aplicación en otras áreas.

Estructura de la Tesis

Esta tesis consta de tres caṕıtulos, el primero es introductorio, el segundo contiene el marco

teórico y los resultados obtenidos a partir del trabajo de tesis y el último, las conclusiones

globales y particulares de este estudio, aśı como también las posibles ĺıneas de investigación a

seguir.

En la Sección 2.1 enunciamos formalmente el modelo de Ising en triangulaciones, introdu-

ciendo definiciones y propiedades fundamentales que ayuden al lector a familiarizarse con el

modelo y a comprender la relevancia del trabajo que se realiza en esta tesis. En esta misma

sección, se presenta una relación entre los estados satisfactorios en triangulaciones y los empa-

rejamientos perfectos en grafos cúbicos, junto con una breve discusión acerca de la conjetura de

Lovász y Plummer. Esto último si bien no es expĺıcitamente parte de las secciones posteriores,

es otra de las motivaciones para este estudio, que vale la pena incluir y tener en cuenta.

La Sección 2.2 de esta tesis se enfoca en la adaptación del método de la matriz de trans-

ferencia. Básicamente, esta sección se divide en dos partes: la Subsección 2.2.1 en donde se

explora la cantidad de estados satisfactorios de la familia de triangulaciones de un n-ágono y la

Subsección 2.2.2 que da a conocer la adaptación del método de la matriz de transferencia para

calcular una cota inferior para la degenerancia del estado fundamental de la clase de triangu-

laciones apiladas. Cada apartado está compuesto por un breve comentario y por un apéndice

(Apéndices A y B respectivamente) en donde se adjunta un art́ıculo cient́ıfico que contiene el

desarrollo de la teoŕıa.

4

La Sección 2.3 tiene por objetivo el estudio de la complejidad computacional de los proble-

mas de decidir existencia de estados satisfactorios en triangulaciones y enumerar dichos estados.

Al igual que en la sección anterior, se añade un art́ıculo cient́ıfico, el cual se encuentra en el

Apéndice C, con el trabajo realizado y los resultados pertinentes, precedido por una debida

discusión acerca del tema.

En la Sección 2.4 se presenta la construcción de las secuencias de triangulaciones dotadas de

un estado fundamental no degenerado. De la misma forma que en los caṕıtulos anteriores, este

trabajo se exhibe mediante la incorporación de un art́ıculo cient́ıfico en un apéndice, a saber el

Apéndice D.

Finalmente, en el Caṕıtulo 3 se presenta un breve resumen del trabajo logrado en esta tesis

y se concluye con el planteamiento de problemas abiertos y las posibles ĺıneas de investigación

que los resultados obtenidos y las técnicas desarrolladas en este trabajo arrojan.

5

Caṕıtulo 2

Marco teórico y resultados

2.1. Preliminares

2.1.1. El modelo de Ising

El modelo de Ising es uno de los modelos de part́ıculas que interactúan entre śı más estudia-

dos en f́ısica estad́ıstica. Históricamente, el modelo de Ising, ha jugado un papel fundamental

en el desarrollado de la comprensión del ferromagnetismo, del antiferromagnetismo y de las

transiciones de fase. Su aparición data del año 1925, fecha en que se publicó la tesis doctoral

de Ising [11]. A pesar de la simpleza y naturalidad del planteamiento del modelo de Ising, su

solución, es decir la obtención de su aśı llamada función de partición, está lejos de ser conocida,

salvo para casos especiales de reticulados planos [3, 11, 22]. Hoy en d́ıa, el modelo de Ising

y sus generalizaciones se emplean para explicar fenómenos no solamente f́ısicos, sino también

biológicos y sociales [10, 17].

Por otro lado, el estudio del modelo de Ising (y en general de la f́ısica estad́ıstica) ha estado

fuertemente asociado a las matemáticas discretas. Técnicas, métodos y avances desarrollados

en el área de las matemáticas discretas han sido de gran utilidad para atacar problemas de

la f́ısica estad́ıstica y vice versa (ver por ejemplo [9, 19]). Dicha inter-relación es una de las

razones que motivan este trabajo. En efecto, en la siguiente sección se establece una particular

conexión entre el modelo de Ising y los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.

T́ıpicamente, para estudiar el modelo de Ising, las part́ıculas se sitúan en los vértices de un

grafo y el tipo de interacción entre ellas queda determinado por la existencia y peso de las aristas

de tal grafo. En esta tesis, se analiza el modelo de Ising en donde las part́ıculas y su interacción

describen triangulaciones incrustadas en superficies cerradas orientables con aristas con peso -1.

Vamos ahora a describir el modelo de Ising en triangulaciones. Dada una triangulación T ,

un estado de T en el modelo de Ising es una función que asigna a cada vértice de la triangula-

6

ción T un valor en el conjunto {1, -1}. Los valores 1 y -1 son comúnmente llamados espines.Si V (T ) denota el conjunto de vértices de T , un estado de T puede ser representado por un

elemento del conjunto {1, -1}|V (T )|.

Para cada estado σ ∈ {1, -1}|V (T )|, la enerǵıa o Hamiltoniano del modelo de Ising en unatriangulación T , está dada por la ecuación

H(σ) = -∑

uv∈E(T )Juvσuσv (2.1)

donde E(T ) denota el conjunto de aristas de la triangulación T y para cada arista uv en E(T )

el parámetro Juv es llamado constante de acoplamiento (Juv básicamente define el tipo de in-

teracción entre los nodos u y v). En general, la constante de acoplamiento puede variar de

positiva a negativa dependiendo del sistema que se quiera estudiar. En particular, como se ha

mencionado previamente, en este trabajo se estudia el tipo de interacción antiferromagnética,

para lo cual se considera una constante de acoplamiento igual a -1 para cada arista. A esta

variante del modelo de Ising se le conoce como modelo de Ising antiferromagnético.

Dos problemas matemáticos surgen naturalmente a partir del modelo de Ising. El primero

es el estudio de los estados que proveen la mı́nima enerǵıa posible al sistema, conocidos como

estados fundamentales, y el segundo es el cálculo de la función de partición, la cual encapsula

toda la información f́ısica del sistema en cuestión. La función de partición del modelo de Ising

en un grafo G, se define como

f(t, G) =∑

σ∈{1,-1}|V (G)|exp [−H(σ)/Kt], (2.2)

donde K es la constante de Boltzman y t la temperatura. Este trabajo se enfoca en el primer

tópico, es decir en el estudio de estados fundamentales, por lo cual no vamos a entrar en detalles

acerca de la función de partición. Sin embargo, vale la pena al menos conocer su definición para

tener una visión de la dificultad que implica su cálculo exacto. Relacionado al análisis de los

estados de mı́nima enerǵıa, se encuentra la degenerancia del estado fundamental, que por defi-

nición corresponde al número de estados de mı́nima enerǵıa que admite un sistema. Vale notar

que el cálculo de la función de partición determina inmediatamente la degenerancia del estado

fundamental. Por diversos motivos, la degenerancia del estado fundamental es una cantidad

de gran interés en la f́ısica estad́ıstica (ver [25] para mayor información y más referencias), lo

que ha implicado que por muchos años se desarrollen e implementen técnicas que permitan su

cálculo [16, 20]. En este trabajo, veremos la adaptación de uno de los métodos más renombrados

en dicha área, llamado el método de la matriz de transferencia, para determinar cotas inferiores

de la degenerancia del estado fundamental de dos clases de triangulaciones planas.

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En el modelo de Ising antiferromagnético, dado un estado σ ∈ {1, -1}|V (T )|, se dice quela arista uv ∈ E(T ) es frustrada por σ o que σ frustra uv si σu = σv. Cualquier estadoσ ∈ {1, -1}|V (T )| frustra al menos una arista de cada cara de la triangulación, ya que cada caraes acotada por un 3-ciclo. Los sistemas con la propiedad de que todo estado frustra al menos

una arista de cada cara, se conocen como sistemas geométricamente frustrados, y están carac-

terizados por una alta degenerancia del estado fundamental (ver [21] para más detalles acerca

del término f́ısico frustración geométrica y sus propiedades). En otras palabras, en sistemas

geométricamente frustrados la degenerancia del estado fundamental es t́ıpicamente exponen-

cial en función de la cantidad de vértices del grafo subyacente (ver [21, 23, 28]; en [23] se

encuentran más referencias). Dentro de este contexto, en este trabajo de tesis se exhibe un

fenómeno inusual e inesperado, espećıficamente, se presentarán sistemas geométricamente frus-

trados que tienen un estado fundamental no degenerado (i.e. el sistema admite solamente un par

de estados fundamentales: si σ es un estado fundamental de un sistema que presenta un estado

fundamental no degenerado, entonces los únicos estados fundamentales del sistema son σ y -σ).

En el siguiente apartado vamos a definir un tipo especial de estado fundamental, el cual

será crucial no solamente para comprender el trabajo realizado y las técnicas desarrolladas para

lograr cada uno de los resultados que presentamos en esta tesis sino también para introducir

una interesante relación que conecta la degenerancia del estado fundamental con la cantidad

de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.

2.1.2. Estados satisfactorios

En el modelo de Ising antiferromagnético, se tiene que la enerǵıa de un estado σ de la

triangulación T está dado por la expresión∑

uv∈E(T ) σuσv. La máxima enerǵıa es alcanzada

por el estado que frustra todas las aristas de la triangulación, es decir el estado que asigna a

cada vértice esṕın 1. En el otro extremo, la mı́nima enerǵıa la entrega un estado que frustre la

mı́nima cantidad posible de aristas. Como ya sabemos, cada estado antiferromagnético de una

triangulación T frustra al menos una arista de cada una de sus caras. Dicho esto, si un estado

σ frustra exactamente una arista de cada cara de T , es un estado fundamental (de mı́nima

enerǵıa), a este tipo de estados fundamentales los llamamos estados satisfactorios. A saber, σ

es un estado satisfactorio de T si y solo si frustra exactamente |F (T )|/2 aristas, donde F (T )denota el conjunto de caras de la triangulación T .

Si una triangulación admite un estado satisfactorio (veremos que no toda triangulación

admite uno), entonces todo estado fundamental corresponde a un estado satisfactorio. Por lo

tanto, si una triangulación admite un estado satisfactorio, la degenerancia del estado funda-

mental es justamente la cantidad de estados satisfactorios.

8

En esta tesis utilizaremos también la definición de estado satisfactorio en pseudo-triangu-

laciones, es decir en grafos planos tales que cada cara excepto la cara exterior está acotada por un

3-ciclo o triángulo (que será el caso de las triangulaciones de un n-ágono en la Subsección 2.2.1

de la Sección 2.2) o bien en triangulaciones incrustadas en superficies orientables con bordes

(lo cual se verá en el diseño de las gadgets de la Sección 2.3 y en la construcción de las

triangulaciones de la Sección 2.4).

2.1.3. Emparejamientos perfectos: dual geométrico de los estados

satisfactorios

En esta sección, se expone una relación v́ıa dualidad geométrica entre la degenerancia del

estado fundamental del modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones y la cantidad de

emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.

Emparejamientos perfectos en grafos cúbicos

Un grafo se dice cúbico si cada uno de sus vértices tiene tres aristas incidentes. Un puente

en un grafo es una arista tal que su eliminación incrementa el número de componentes del

grafo. Además, un emparejamiento perfecto de un grafo es una colección de aristas del grafo

que incide en cada vértice del grafo exactamente una vez.

Un clásico teorema de Petersen del año 1891 establece que todo grafo cúbico sin puentes ad-

mite un emparejamiento perfecto. A mediados de los años setenta, Lovász y Plummer afirman

que el número de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes es exponencial en

función de la cantidad de vértices del grafo. Esta conjetura se mantuvo abierta durante cuatro

décadas y hubieron pocos pero significativos avances parciales durante ese peŕıodo.

La veracidad de la conjetura para grafos bipartitos fue demostrada por Voorhoeve en

1979 [27], quien probó que todo grafo cúbico bipartito con n vértices tiene al menos 6(4/3)n2−3

emparejamientos perfectos. Luego Schrijver en 1998 extendió este resultado a la clase de grafos

bipartitos k-regulares [24].

Uno de los resultados más importantes en el avance de esta conjetura fue obtenido por

Chudnovsky y Seymour en el 2008 [4]. Ellos probaron la conjetura para la clase de grafos pla-

nares. Para precisar, mostraron que todo grafo planar, cúbico sin puentes con n vértices admite

al menos 2cn emparejamientos perfectos, donde c = 1/655978752. A pesar de la relevancia de

su resultado, la prueba es considerada extremadamente compleja por las técnicas utilizadas y

por el empleo del teorema de la cuatro coloración en grafos planares.

9

Además, como parte de los avances en la conjetura algunas cotas inferiores fueron obtenidas,

pero ninguna exponencial, sino hasta comienzos del 2011. Esperet, Kardoš, King, Král y Nori-

ne [7], presentaron una prueba para la conjetura de Lovász y Plummer. Ellos demostraron que

todo grafo cúbico sin puentes con n vértices tiene al menos 2n/3656 emparejamientos perfectos.

Su demostración utiliza técnicas probabilistas para probar existencia y se basa fuertemente en

la caracterización del poĺıtopo de emparejamientos perfectos de Edmonds.

Dualidad geométrica

Dada la incrustación de un grafo G en una superficie Ω, se define su dual geométrico, el cual

corresponde a un grafo G∗ incrustado en la misma superficie Ω obtenido de la siguiente manera:

dentro de cada cara f de la incrustación de G en Ω, se dibuja un vértice f ∗ de G∗, luego por cada

arista e de G perteneciente a las caras f1 y f2 de la incrustación de G en Ω (donde f1 y f2 no son

necesariamente caras distintas) se dibuja una arista de G∗ conectando los vértices f ∗1 y f∗2 . Una

incrustación de un grafo en una superficie es llamada fuerte si es 2-celular, es decir si cada cara

de la incrustación es homeomorfa a un disco abierto y si además, cada cara es acotada por un

ciclo del grafo. En particular, en una incrustación fuerte cada arista pertenece a exactamente

dos caras distintas de la incrustación y el dual geométrico de tal grafo incrustado no tiene loops.

En 1985, Jaeger conjeturó que todo grafo 2-conexo admite una incrustación fuerte en una

superficie cerrada orientable [12] — esta conjetura es equivalente a la versión dirigida de la

famosa conjetura del ciclo de doble cobertura para la clase de grafos cúbicos sin puentes.

Asumiendo que la conjetura de Jaeger es cierta, todo grafo cúbico sin puentes admite tal

incrustación y por lo tanto su dual geométrico es una triangulación. Por otro lado, el dual

geométrico de una triangulación es siempre un grafo cúbico sin puentes.

Emparejamientos perfectos y estados satisfactorios

Un conjunto M de aristas de una triangulación se dice que es un conjunto de intersección

de aristas si contiene exactamente una arista de cada cara (triángulo) de la triangulación.

En general, asumiendo la conjetura de Jaeger tenemos que, dado G un grafo cúbico sin

puentes, M es un conjunto de intersección de aristas de G∗ si y solo si M es un emparejamiento

perfecto de G. En particular, la relación se tiene para grafos cúbicos planares, sin necesidad de

utilizar la conjetura de Jaeger.

Por otro lado, en una triangulación, el conjunto de aristas frustradas por un estado satis-

factorio es un conjunto de intersección de aristas. Observemos que, dos estados satisfactorios

distintos, definen el mismo conjunto de aristas frustradas si y solamente si uno es igual a menos

el otro. Dado esto, el número de estados satisfactorios que admite una triangulación es a lo más

10

dos veces la cantidad de conjuntos de intersección de aristas. En general, esta relación no es una

identidad. Para triangulaciones planas la equivalencia es cierta: el grafo obtenido a partir de la

eliminación de un conjunto de intersección de aristas de una triangulación plana, es un grafo

bipartito pues cada cara del grafo queda acotada por un ciclo de largo cuatro. La bipartición

determina precisamente un par de estados satisfactorios, simplemente asignando espines iguales

y contrarios a cada bipartición.

En resumen, se tiene que si un estado satisfactorio existe, entonces la degenerancia del es-

tado fundamental de una triangulación T es a lo más dos veces el número de emparejamientos

perfectos que admite su dual geométrico T ∗. Siendo esta relación una igualdad cuando se añade

la condición de planaridad.

Esta conexión entre estados satisfactorios y emparejamientos perfectos es en un principio

una de las motivaciones para el estudio que realizamos y nos abre paso hacia el desarrollo de una

interesante teoŕıa entorno al comportamiento de los estados satisfactorios en triangulaciones.

2.2. Método de la matriz de transferencia

El método de la matriz de transferencia es una técnica clásica que se ha utilizado exten-

samente en la f́ısica estad́ıstica. Este método ha sido de particular relevancia en el desarrollo

teórico de los modelos de part́ıculas que interactúan entre śı, entre otros, hace manejable las

ecuaciones fundamentales de las teoŕıas cuántica y electromagnética. Sin ir más lejos, el modelo

de Ising en una dimensión (cadena en ĺınea recta), fue resuelto por Ising [11] utilizando como

técnica principal el método de la matriz de transferencia y luego, en diversas áreas de la cien-

cia, una gran cantidad de problemas en donde las part́ıculas que interactúan entre śı describen

reticulados, se han resuelto empleando cŕıticamente este método (ver por ejemplo [6, 18]). Asi-

mismo, se ha aplicado esta herramienta para atacar el problema de determinar la degenerancia

del estado fundamental [20]. En general, las técnicas, métodos y adaptaciones del método de

la matriz de transferencia desarrollados para determinar cotas de la degenerancia del estado

fundamental han sido centradas y exitosas en estudios de reticulados planos, no aśı en sistemas

más complejos, probablemente debido a la mayor dificultad que implica trabajar con estructu-

ras (grafo subyacente) que presentan una geometŕıa más irregular.

En esta sección se discute la adaptación del método de la matriz de transferencia para estu-

diar la cantidad de estados satisfactorios de una familia de pseudo-triangulaciones planas y la

degenerancia del estado fundamental de una familia de triangulaciones planas. Cabe mencionar,

que para cada clase de grafos estudiada la implementación del método es diferente, básicamente

en una primera instancia se adecuan los fundamentos de la técnica de la matriz de transferencia

a cada tipo de estructura a analizar y luego, se aplica una estrategia particular para cada caso.

11

2.2.1. Triangulaciones de un n-ágono

La primera familia de grafos planos que se explora, corresponde a la clase de triangulaciones

de un n-ágono. A partir de este primer estudio, se escribió un art́ıculo que lleva por t́ıtulo Satisf-

ying States of triangulations of a Convex n-gon, publicado en marzo del 2010 por la revista The

Electronic Journal of Combinatorics y que es incluido como parte de esta tesis en el Apéndice A.

Mediante una adaptación no trivial del método de la matriz de transferencia, se obtiene pri-

mero una fórmula exacta para el número de estados satisfactorios de una subclase de las trian-

gulaciones de un n-ágono, la cual está formada por un tipo particular de pseudo-triangulaciones

que llamamos cadenas de triángulos y luego, una cota inferior exponencial para la cantidad de

estados satisfactorios de la familia de triangulaciones de un n-ágono. Espećıficamente, deno-

tando por Fk el k-ésimo número en la serie de Fibonacci y ϕ = (1 +√

5)/2 ≈ 1,61803 la razónde oro, se establecen los siguientes resultados:

Teorema 2.1 Si T es una cadena de triángulos con |V (T )| = n, entonces la cantidad deestados satisfactorios de T en el modelo de Ising antiferromagnético es igual a 2Fn+1.

Teorema 2.2 Si T es una triangulación de un n-ágono, entonces la cantidad de estados

satisfactorios de T en el modelo de Ising antiferromagnético es al menos ϕ2(√ϕ)n. Donde,

√ϕ ≈ 1,27202.

2.2.2. Triangulaciones apiladas

En esta parte se desarrolla una técnica para obtener una cota inferior para la degenerancia

del estado fundamental de la clase de triangulaciones apiladas, la cual corresponde a una fami-

lia de triangulaciones planas. Esta técnica en un principio tiene sus bases en el método de la

matriz de transferencia, para luego pasar a ser una técnica autónoma que puede eventualmente

ser aplicada para calcular cotas en otros tipos de estructuras irregulares.

Este estudio también generó un trabajo escrito, titulado Antiferromagnetic Ising model in

triangulations with applications to counting perfect matchings. Dicho trabajo fue sometido para

publicación en noviembre del 2011 a la revista Discrete Applied Mathematics y también está in-

cluido como parte de este trabajo en el Apéndice B.

Denotando por ϕ = (1 +√

5)/2 ≈ 1,61803 la razón de oro, se obtuvieron los siguientesresultados:

Teorema 2.3 Sea T una triangulación apilada con |V (T )| = n, la degenerancia del estadofundamental de T en el modelo de Ising antiferromagnético es al menos 6ϕ

136

(n+3).

Además, como una consecuencia directa del teorema precedente, se tiene lo siguiente.

12

Corollary 2.2.2.1 El número de emparejamientos perfectos de un grafo cúbico G, cuyo grafo

dual es una triangulación apilada es al menos 3ϕ172|V (G)|

2.3. Complejidad computacional

Muchos problemas en f́ısica estad́ıstica son computacionalmente dif́ıciles. En particular, los

problemas de tipo Ising son comúnmente problemas pertenecientes a la famosa clase NP o bien

a su análoga de enumeración, la clase #P [2, 5]. Informalmente, un problema de decisión per-

tenece a la clase NP si existe una máquina de Turing M no determinista y a tiempo polinomial

de manera que el problema de decisión admite una solución x si y solo si M acepta x; de

forma análoga, un problema de enumeración pertenece a la clase #P si existe una máquina de

Turing M no determinista y a tiempo polinomial de manera que el problema de enumeración

se resuelve contando el número de aceptaciones de M (definiciones formales de las clases NP y

#P se encuentran en [1, Caṕıtulos 2 y 17]). Por ejemplo, en este trabajo veremos que contar es-

tados satisfactorios en una triangulación está en #P puesto que es posible reconocer en tiempo

polinomial si una asignación o configuración de espines dada es o no satisfactoria. Al igual que

en NP, los problemas más dif́ıciles de la clase #P son los llamados problemas #P-completos.

En este contexto y a modo de ejemplo, en general, el problema de contar emparejamientos

perfectos en un grafo es un clásico problema #P-completo, dado que se reduce a determinar

la permanente de una matriz [26]. Paradójicamente, el problema de contar emparejamientos

perfectos en grafos planares puede ser ejecutado en tiempo polinomial pues se reduce a evaluar

el Pfaffian de una matriz, lo cual equivale a calcular un determinante [14, 15].

Por otro lado, es sabido que la función de partición (ver ecuación 2.2) del modelo de Ising

en un grafo se puede reescribir en términos del polinomio de Tutte de dicho grafo evaluado

en una hipérbola [8]. En general, determinar el polinomio de Tutte de un grafo e incluso la

evaluación del polinomio en un punto en particular es un problema #P-dif́ıcil excepto en casos

muy especiales donde la evaluación puede ser ejecutada en tiempo polinomial [13]. En relación a

esto, dada una superficie fija, cerrada y orientable Ω, la función de partición del modelo de Ising

antiferromagnético en grafos incrustados en Ω puede ser calculada en tiempo polinomial [9].

Esto implica que decidir existencia de estados satisfactorios y calcular la degenerancia del es-

tado fundamental (impĺıcitamente contar estados satisfactorios) en triangulaciones incrustadas

en Ω son problemas que se pueden resolver en tiempo polinomial.

Como ya anticipamos, en este caṕıtulo estudiamos la complejidad computacional del pro-

blema de decidir si una triangulación (incrustada en una superficie cerrada orientable arbi-

traria) admite o no un estado satisfactorio y además, el problema de enumeración asociado.

Concretamente, probamos que es NP-completo decidir si una triangulación admite o no un

estado satisfactorio y que es #P-completo determinar el número de estados satisfactorios de

13

una triangulación. Junto con esto, estudiamos también la dificultad computacional de calcular

la degenerancia del estado fundamental en triangulaciones, demostrando que es un problema

#P-dif́ıcil. Además, a consecuencia de los resultados obtenidos en este trabajo y debido a la

biyección entre pares de estados del modelo de Ising antiferromagnético y cortes de aristas en

una triangulación (en particular, los estados fundamentales corresponden a cortes de aristas

maximales), se tiene que el problema de determinar el número de cortes de aristas maximales,

conocido como MAX-CUT en triangulaciones es #P-dif́ıcil.

Producto de la investigación relacionada con la complejidad computacional de los problemas

asociados a los estados satisfactorios en triangulaciones, se escribió el trabajo que tiene por t́ıtulo

Computational Hardness of Enumerating Satisfying Spin-Assignments in Triangulations el cual

sometimos para publicación en Julio del 2011 a la revista Theoretical Computer Science. Dicho

art́ıculo es incorporado en el Apéndice C.

2.4. Estado fundamental no degenerado

Discutiremos ahora sobre una estrategia para construir triangulaciones incrustadas en super-

ficies cerradas orientables con un estado fundamental no degenerado. Como ya fue mencionado

en el Caṕıtulo 2.1, debido a la biyección que existe entre pares de estados fundamentales en

triangulaciones planas y emparejamientos perfectos en grafos planares cúbicos sin puentes, la

degenerancia del estado fundamental en triangulaciones planas es exponencial en función de la

cantidad de vértices de la triangulación. Al principio de esta investigación, motivados por la

Conjetura de Lovász y Plummer y en gran parte por la hipótesis de la f́ısica estad́ıstica acerca

de la alta degenerancia del estado fundamental en sistemas geométricamente frustrados [21], se

teńıa como finalidad desarrollar técnicas para mostrar la exponencialidad de la degenerancia

del estado fundamental en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas, orientables y de

género positivo que admiten estados satisfactorios.

Sorprendentemente, este estudio dio un giro cuando al concluir el trabajo de complejidad

computacional notamos que a partir de la construcción de los gadgets involucrados era posible

obtener triangulaciones con pocos estados satisfactorios y una gran cantidad de vértices. Luego

de esto, rápidamente surgió la interrogante de si el mismo fenómeno se tiene al fijar la superficie

en la cual las triangulaciones están incrustadas. El trabajo que se adjunta en el Apéndice D

responde a esta pregunta afirmativamente y actualmente se encuentra disponible “on-line” en

el repositorio cient́ıfico ArXiv.

14

Caṕıtulo 3

Conclusiones

Las conclusiones de esta tesis se dividen en tres secciones: resultados, contribuciones y

futuras ĺıneas de investigación.

Resultados

En la Figura 3.1, se muestra una tabla comparativa que exhibe el ya conocido comporta-

miento de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes junto con los resultados

que se han obtenido en este trabajo de tesis concernientes al comportamiento de los estados

satisfactorios en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas y orientables.

Relación Grafo Primal Dual geométrico

tipos de grafos triangulación grafo cúbico sin puentes

objetos estado satisfactorio emparejamiento perfecto

existencia de objetos no siempre existe un estado satisfac-

torio; salvo en triangulaciones planas

todo grafo cúbico sin puentes admite

un emparejamiento perfecto

cantidad de objetos exponencial en el número de vérti-

ces para triangulaciones planas; exis-

ten familias de triangulaciones que ad-

miten una cantidad constante de esta-

dos satisfactorios.

exponencial en el número de vértices

dificultad computacio-

nal del problema de

existencia asociado

NP-completo (género arbitrario) P

dificultad computacio-

nal del problema de

conteo asociado

#P-completo (género arbitrario) #P-completo

Figura 3.1: Estados satisfactorios contra emparejamientos perfectos

15

Contribuciones

Las contribuciones más relevantes de este trabajo de tesis se pueden resumir concretamente

en los siguientes cuatro ı́tems:

Planteamiento de una relación entre emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin

puentes y estados satisfactorios en triangulaciones, junto con una completa descripción

acerca de las diferencias y similitudes que caracterizan dicha relación.

Desarrollo de adaptaciones no triviales del método de la matriz de transferencia para

contar estados satisfactorios en familias de triangulaciones irregulares.

Elaboración de exclusivas y originales gadgets que permiten la clasificación, según su di-

ficultad computacional, de los problemas asociados a la existencia y cantidad de estados

satisfactorios en triangulaciones, aśı como también del problema de calcular la degene-

rancia del estado fundamental en triangulaciones.

Descubrimiento y diseño de una estrategia para la construcción de triangulaciones con un

estado fundamental no degenerado.

Trabajo a futuro

En los siguientes puntos se discuten las posibles ĺıneas de investigación y los problemas

abiertos que surgen a partir de este trabajo de tesis.

En cuanto a las técnicas desarrolladas para contar estados satisfactorios en triangulacio-

nes, seŕıa interesante buscar familias de triangulaciones incrustadas en superficies cerra-

das, orientables y de género positivo, tales que, el método que se utilizó en este trabajo

pueda ser extendido y aplicado con el fin de demostrar exponencialidad de la degeneran-

cia del estado fundamental para dichas familias de triangulaciones. A grandes rasgos, un

primer requisito que debieran cumplir estas triangulaciones es que admitan un tipo de

construcción recursiva.

Relativo a la clase de grafos cúbicos sin puentes con un dual geométrico que no admite un

estado satisfactorio, una pregunta que surge naturalmente es si esta clase de grafos cúbicos

corresponde o no a alguna familia especial de grafos y/o se pueden describir mediante

alguna propiedad combinatorial no trivial.

Un problema abierto que nace a partir de los resultados de este trabajo de tesis, es encon-

trar una completa caracterización de las triangulaciones que tienen un estado fundamental

no degenerado. Junto con esto, es también interesante estudiar el otro extremo, es decir

explorar la posibilidad de dar una caracterización de las triangulaciones que admiten una

cantidad exponencial de estados satisfactorios.

16

Dado que en este trabajo se ha demostrado que en general la degenerancia del estado

fundamental en triangulaciones no es exponencial, ni siquiera polinomial en el número

de vértices de la triangulación, queda abierto saber que sucede con la degenerancia del

estado fundamental en triangulaciones aleatorias.

Un problema algo más particular, es estudiar, en aquellas triangulaciones que tienen

un estado fundamental no degenerado, el comportamiento de la degenerancia del estado

fundamental si se cambia la constante de acoplamiento (de -1 a 1) en exactamente una

arista.

La última discusión está motivada justamente por el punto anterior y por los sistemas

llamados vidrios de esṕın. En los vidrios de esṕın tipo Ising, las constantes de acoplamien-

to son aleatoriamente distribuidas; t́ıpicamente, cada constante de acoplamiento es 1 o

-1 con igual probabilidad. En este sentido, el caso del modelo de Ising antiferromagnéti-

co es el caso para el cual cada constante de acoplamiento es -1 con probabilidad 1,

i.e. P[Je=-1] = 1 para toda arista e. Luego, un tema interesante para analizar es elmodelo de Ising en triangulaciones dentro de este contexto aleatorio. Más precisamente,

es de particular relevancia investigar el comportamiento de la degenerancia del estado

fundamental en las triangulaciones que tienen un estado fundamental antiferromagnético

no degenerado, a medida que la probabilidad P[Je=-1] decrece. Por ejemplo, que sucedecon la degenerancia del estado fundamental si P[Je=1]=1/n, donde n denota el númerode vértices de la triangulación en cuestión.

17

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19

Apéndice A

Estados satisfactorios en

triangulaciones de un n-ágono

20

Satisfying states of triangulations of a convex n-gon

A. Jiménez∗

Departamento de Ingenieŕıa MatemáticaUniversidad de Chile

[email protected]

M. Kiwi†

Departamento de Ingenieŕıa Matemática &Centro de Modelamiento Matemático UMI 2807, CNRS-UChile

Universidad de Chilewww.dim.uchile.cl/∼mkiwi/

M. Loebl‡

Department of Applied Mathematics &Institute for Theorical Computer Science

Charles Universitykam.mff.cuni.cz/∼loebl/

Submitted: Dec 23, 2009; Accepted: Feb 26, 2010; Published: Mar 8, 2010

Mathematics Subject Classification: 05C30

Abstract

In this work we count the number of satisfying states of triangulations of aconvex n-gon using the transfer matrix method. We show an exponential (in n)lower bound. We also give the exact formula for the number of satisfying states ofa strip of triangles.

1 Introduction

A classic theorem of Petersen claims that every cubic (each degree 3) graph with nocutedge has a perfect matching. A well-known conjecture of Lovasz and Plummer from the

∗Gratefully acknowledges the support of Mecesup via UCH0607 Project, CONICYT via Basal-FONDAP in Applied Mathematics, FONDECYT 1090227 and the partial support of the Czech ResearchGrant MSM 0021620838 while visiting KAM MFF UK.†Gratefully acknowledges the support of CONICYT via Basal-FONDAP in Applied Mathematics and

FONDECYT 1090227.‡Partially supported by Basal project Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile.

the electronic journal of combinatorics 17 (2010), #R39 1

mid-1970’s, still open, asserts that for every cubic graph G with no cutedge, the numberof perfect matchings of G is exponential in |V(G)|. The assertion of the conjecture wasproved for the k−regular bipartite graphs by Schrijver [Sch98] and for the planar graphsby Chudnovsky and Seymour [CS08]. Both of these results are difficult. In general, theconjecture is widely open; see [KSS08] for a linear lower bound obtained so far.

We suggest to study the conjecture of Lovasz and Plummer in the dual setting. Thisrelates the conjecture to a phenomenon well-known in statistical physics, namely to thedegeneracy of the Ising model on totally frustrated triangulations of 2−dimensional sur-faces.

In order to explain this we need to start with another well-known conjecture, namelythe directed cycle double cover conjecture of Jaeger (see [Jae00]): Every cubic graph withno cutedge can be embedded in an orientable surface so that each face is homeomorphicto an open disc (i.e., the embedding defines a map) and the geometric dual has no loop.

By a slight abuse of notation we say that a map in a 2−dimensional surface is atriangulation if each face is bounded by a cycle of length 3 (in particular there is noloop); hence we allow multiple edges. We say that a set S of edges of a triangulation T isintersecting if S contains exactly one edge of each face of T.

Assuming the directed cycle double cover conjecture, we can reformulate the conjectureof Lovasz and Plummer as follows: Each triangulation has an exponential number ofintersecting sets of edges.

We next consider the Ising model. Given a triangulation T = (V,E), we associate thecoupling constant c(e) = −1 with each edge e ∈ E. A spin-assignment of U ⊆ V is afunction σ : U→ {+, -} where + denotes 1 and - denotes −1. Each spin-assignment of Uis naturally identified with an element from {+, -}|U|. A state of the Ising model is anyspin-assignment of V. The energy of a state s is defined as −∑{u,v}∈E c(uv) · σ(u) · σ(v).The states of minimum energy are called groundstates. The number of groundstates isusually called the degeneracy of T, denoted g(T), and it is an extensively studied quantity(for regular lattices T) in statistical physics (see for example [LV03]). Moreover, a basictool in the degeneracy study is the transfer matrix method.

We further say that a state σ frustrates edge {u, v} if σ(u) = σ(v). Clearly, eachstate frustrates at least one edge of each face of T, and a state is a groundstate if itfrustrates the smallest possible number of edges. We say that a state σ is satisfying if σfrustrates exactly one edge of each face of T. Hence, the set of the frustrated edges of anysatisfying state is an intersecting set defined above, and we observe: The number of thesatisfying states is at most twice the number of the intersecting sets of edges. Moreover,the converse also holds for planar triangulations: if we delete an intersecting set of edgesfrom a planar triangulation, we get a bipartite graph and its bipartition defines a pair ofsatisfying states.

We finally note that a satisfying state does not need to exist, but if it exists, then theset of the satisfying states is the same as the set of the groundstates.

Summarizing, half the number of satisfying states is a lower bound to the number ofintersecting sets. We can also formulate the result of Chudnovsky and Seymour by: Eachplanar triangulation has an exponential degeneracy. This motivates the problem we study


as well as the (transfer matrix) method we use.

Given Cn a convex n-gon, a triangulation of Cn is a plane graph obtained from Cn byadding n−3 new edges so that Cn is its boundary (boundary of its outer face). We denoteby ∆(Cn) the set of all triangulations of Cn. An almost-triangulation is a plane graph sothat all its inner faces are triangles. Note that if n > 3, then ∆(Cn) is a subset of theset of almost-triangulations with n− 2 inner faces. For T an almost-triangulation, we saythat a state σ is satisfying if σ frustrates exactly one edge of each triangular face of T. Wedenote by s(T) the number of satisfying states of an almost-triangulation T. The maingoal of this work is to show that the number of satisfying states of any triangulation of aconvex n-gon is exponential in n.

Organization: We first recall, in Section 2, a known and simple bijection between trian-gulations of a convex n-gon and plane ternary trees with n− 2 internal vertices. We thenformally state the main results of this work. In Section 3 we give a constructive step bystep procedure that given a plane ternary tree Γ with n− 2 internal vertices, sequentiallybuilds a triangulation T of a convex n-gon by repeatedly applying one of three differentelementary operations. Finally, in Section 4 we interpret each elementary operation interms of operations on matrices. Then, we apply the transfer matrix method to obtain,for each triangulation of a convex n-gon T, an expression for a matrix whose coordinatesadd up to the number of satisfying states of T. We then derive a closed formula for thenumber of satisfying states of a natural subclass of ∆(Cn); the class of “triangle strips”.Finally, we establish an exponential lower bound for the number of satisfying states oftriangulations of a convex n-gon. Future research directions are discussed in Section 5.

2 Structure of the class of triangulations of a convex

n-gon

Let T be a triangulation of a convex n-gon. Denote by F(T) the set of inner faces of Tand let {I(T),O(T)} be the partition of F(T) such that ∆ ∈ I(T) if and only if no edge of∆ belongs to the boundary of T (i.e. to Cn). We henceforth refer to the elements of I(T)by interior triangles of T. Consider now the bijection Γ between ∆(Cn) and the set of allplane ternary trees with n− 2 internal vertices and n leaves that maps T to ΓT so that:

(i) {γ∆, γ∆′} is an edge of ΓT if and only if ∆ and ∆′ are inner faces of T that sharean edge, and

(ii) e is a leaf of ΓT adjacent to γ∆ if and only if e is an edge of Cn that belongs to ∆.

(See Figure 1 for an illustration of how Γ acts on an element of ∆(Cn).) The bijectionΓ induces another bijection, say γ, from the inner faces of T (i.e. F(T)), to the internalvertices of ΓT. In particular, inner faces ∆ and ∆

′ of T share an edge if and only if{γ∆, γ∆′} is an edge of ΓT which is not incident to a leaf. Hence, γ identifies interiortriangles of T with internal vertices of ΓT that are not adjacent to leaves.


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Figure 1: A triangulation of a convex 9-gon T and the associated tree ΓT.

2.1 Main results

Say a triangulation of a convex n-gon T is a strip of triangles provided |I(T)| = 0.Our first result is an exact formula for the number of satisfying states of any strip oftriangles. Our second main contribution gives an exponential lower bound for the numberof satisfying states of any triangulation of a convex n-gon. Specifically, denoting by Fkthe k-th Fibonacci number and ϕ = (1 +

√5)/2 ≈ 1.61803 the golden ratio, we establish

the following results:

Theorem 1 If T is a triangulation of a convex n-gon with |I(T)| = 0, then s(T) = 2Fn+1.

Theorem 2 If T is a triangulation of a convex n-gon, then s(T) > ϕ2(√ϕ)n. Moreover,√ϕ ≈ 1.27202.

3 Construction of triangulations of a convex n-gon

In this section we discuss how to iteratively construct any triangulation of a convex n-gon.First, we introduce two basic operations whose repeated application allows one to buildstrips of triangles. Then, we describe a third operation which is crucial for recursivelybuilding triangulations with a non-empty set of interior triangles from triangulations withfewer interior triangles.

3.1 Basic operations

Let T = (V,E) be a triangulation of a convex n-gon. We will often distinguish a boundaryedge of T to which we shall refer as bottom edge of T and denote by bTc.

We now define two elementary operations (see Figure 2 for an illustration):


Operation WInput: (T, bTc) where T ∈ ∆(Cn) and bTc = (β1, β2).Output: (T̂, bT̂c), where T̂ ∈ ∆(Cn+1) is a triangulation obtained from

T by adding a new vertex β̂1 to T and two new edges {β̂1, β1}and {β̂1, β2}. Moreover, bT̂c = (β̂1, β2).

Operation ZInput: (T, bTc) where T ∈ ∆(Cn) and bTc = (β1, β2).Output: (T̂, bT̂c), where T̂ ∈ ∆(Cn+1) is a triangulation obtained from

T by adding a new vertex β̂2 to T and two new edges {β1, β̂2}and {β̂2, β2}. Moreover, bT̂c = (β1, β̂2).

Henceforth, we also view operations W and Z as maps from inputs to outputs. Abusingterminology, we consider two nodes joined by an edge to be a degenerate triangulationwhose bottom edge is its unique edge. Let T0 be a degenerate triangulation. Say that bT0cis the top edge of T, denoted dTe (see Figure 2), if there is a sequence R1, . . . ,Rl ∈ {W,Z}such that (T, bTc) is obtained by evaluating Rl ◦ · · · ◦R2 ◦R1 at (T0, bT0c). When bottomedges are clear from context, we shall simply write

T = Rl ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T0) .

bTc

dTe dTe

bTc

W Z

α1 α2

β2β1 β1 β2

α2α1

bβ2bβ1Figure 2: An arbitrary strip of triangles T with dTe = (α1, α2) and bTc = (β1, β2).Operations W and Z evaluated at (T, bTc).

3.2 The |I(T)| = 0 caseOur goal in this section is to show that any triangulation of a convex n-gon with nointerior triangles can be obtained by sequentially applying basic operations of type Wand Z starting from a degenerate triangulation.

Let T be a triangulation such that |I(T)| = 0. Note that each internal vertex of ΓTis adjacent to at least one leaf. Hence, ΓT has two internal vertices each one adjacent


to exactly two leaves, and n − 4 internal vertices adjacent to exactly one leaf. Thisimplies that ΓT is made up of a path P = γ∆1 . . . γ∆n−2 with two leaves connected toeach γ∆1 and γ∆n−2 , and one leaf connected to each internal vertex of the path P (seeFigure 3). To obtain T from ΓT we choose one of the two endnodes of the path (say γ∆1)and sequentially add the triangles ∆1, . . . ,∆n−2 one by one, according to the bijectionγ, starting from γ∆1 and following the trajectory of the path P . Consequently, we canconstruct T from a pair of vertices (α1, α2) of ∆

1 by applying a sequence of n−2 operationsR1,R2, . . . ,Rn−2 ∈ {W,Z}, where the choice of each operation depends on the structureof ΓT. For example, for the triangulation in Figure 3, provided dTe = (α1, α2) andbTc = (β1, β2), we have that R1 = W, R2 = Z, R3 = Z, and so on and so forth.

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α1

α2

β2

β1

γ∆4

γ∆n−5

γ∆n−3

γ∆n−2

∆1

∆2

∆3

∆4

∆n−5

∆n−3

γ∆3

γ∆2

γ∆n−4

γ∆1

Γ̃ T̃

∆n−2

∆n−4

Figure 3: A tree Γ̃ in the range of bijection Γ and construction of triangulation T̃ suchthat ΓeT = Γ̃.

The next result summarizes the conclusion of the previous discussion.

Lemma 3 For any T ∈ ∆(Cn) it holds that |I(T)| = 0 if and only if there is a degeneratetriangulation T0 and basic operations R1,R2, . . . ,Rn−2 ∈ {W,Z} such that

T = Rn−2 ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T0) .

In fact, there are non–negative integers w1, . . . , wm, z1, . . . , zm adding up to n − 2 suchthat wj > 1 for j 6= 1, zj > 1 for j 6= m, and

T = Zzm ◦Wwm ◦ · · · ◦ Zz2 ◦Ww2 ◦ Zz1 ◦Ww1(T0) .


3.3 The |I(T)| > 1 caseWe now consider the following additional basic operation (see Figure 4 for an illustration):

Operation •Input: (Ti, bTic) where Ti ∈ ∆(Cni), i ∈ {1, 2} and bTic = (βi1, βi2).Output: (T, bTc), where T ∈ ∆(Cn1+n2−1) is a triangulation obtained

from T1 and T2 by identifying β21 with β

12 and adding the edge

{β11 , β22}. Moreover, bTc = (β11 , β22).

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β11β11

β22β22

β21

T1 T2β = β12 = β

21

T1 T2•

β12

T = T1 • T2

Figure 4: Building an interior triangle by means of operation •.

Assume T is such that |I(T̃)| = 1. In particular, let I(T) = {∆}. Clearly, the tree ΓTcontains exactly one internal vertex that is not adjacent to a leaf. Hence, in ΓT there mustbe three internal vertices each of them adjacent to two leaves, and n− 6 internal verticesadjacent to exactly one leaf. Thus, we can identify in ΓT three paths P1 = γ∆11 . . . γ∆1n1 ,P2 = γ∆21 . . . γ∆2n2 , and P3 = γ∆

3n3. . . γ∆31 with end-vertices γ∆1n1 = γ∆

2n2

= γ∆3n3 = γ∆, and

such that: (1) n1 + n2 + n3 = n and n1, n2, n3 > 2, (2) each γ∆j1 with j ∈ {1, 2, 3} isadjacent to two leaves of ΓT, and (3) each γ∆jij

with j ∈ {1, 2, 3} and ij ∈ {2, . . . , nj − 1}is adjacent to a single leaf of ΓT.

Given ΓT, we can construct T by means of the following iterative step by step proce-dure:

1. For i ∈ {1, 2}, add triangles ∆i1, . . . ,∆ini−1 according to the bijection following thetrajectory from γ∆i1 to γ∆ini−1

given by Pi, thus obtaining a triangulation Ti such

that ΓTi is the minimal subtree of ΓT containing Pi \ γ∆. Moreover, note thatTi ∈ ∆(Cni+1) is such that |I(Ti)| = 0, and that there is a degenerate triangulationTi,0 which is an edge of triangle ∆

i1, and basic operations R

i1, . . . ,R

ini−1 ∈ {W,Z}

such thatTi = R

ini−1 ◦ . . . ◦ Ri2 ◦ Ri1(Ti,0) .

Also, note that bTic is an edge of ∆ini−1.

2. Apply operation • in order to construct T̂ = T1 • T2 ∈ ∆(Cn1+n2+1). Note that∆ ∈ F(T̂) and bT̂c is the unique edge of ∆ which is in the boundary of T̂.


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Steps 1 and 2

Step 3

Figure 5: Sketch of construction of an arbitrary T with |I(T)| = 1.

3. Finally, starting from T̂ add triangles associated to vertices of the path P3. This isdone by performing a sequence of n3− 1 operations W and Z along P3 \ γ∆ startingfrom (T̂, bT̂c). Given that T̂ ∈ ∆(Cn1+n2+1), we obtain T ∈ ∆(Cn1+n2+n3) (recallthat n1 + n2 + n3 = n).

We summarize the previous discussion as follows:

Lemma 4 Let T be a triangulation of a convex n-gon such that |I(T)| = 1. For somen1, n2, n3 > 2 such that n1+n2+n3 = n, there are triangulations T1 and T2 of convex (n1+1) and (n2+1)-gons such that |I(T1)| = |I(T2)| = 0, and basic operations R1, . . . ,Rn3−1 ∈{W,Z} such that

T = Rn3−1 ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T1 • T2) .

Now, we state the main result concerning the recursive construction of an arbitrarytriangulation of a convex n-gon that we will need.

Lemma 5 Let T be a triangulation of a convex n-gon such that |I(T)| = m > 2. Then,there are n̂ > 5, ñ > 3 and l > 1 such that ñ+n̂+l−1 = n, and triangulations T̃ ∈ ∆(Cen)and T̂ ∈ ∆(Cbn) satisfying:the electronic journal of combinatorics 17 (2010), #R39 8

1. |I(T̃)| = 0,

2. (T̂, bT̂c) is either:

(a) The output of operation W or Z and |I(T̂)| = m− 1, or(b) The output of operation • and |I(T̂)| = m− 2.

3. There are basic operations R1, . . . ,Rl ∈ {W,Z} for which T = Rl◦· · ·◦R2◦R1(T̃•T̂).

Proof: Observe that there must be an internal vertex of ΓT, say γ∆, such that if ΓbT, ΓeTand ΓTl+2 are the three sub-trees of ΓT rooted in γ∆, then all internal vertices of ΓeT \ γ∆and ΓTl+2 \ γ∆ are adjacent to at least one leaf. In particular, |I(T̃)| = |I(Tl+2)| = 0, andcondition 1 of the statement of the lemma is satisfied.

Let γb∆ be the neighbor of γ∆ in ΓbT. Note that one of the following two situations mustoccur:

Case 1: In ΓbT \ γ∆, the vertex γb∆ is adjacent to a leaf (see Figure 6.(a)). Inparticular, ΓbT has exactly m−1 internal vertices which are not adjacent to any leaf,or

Case 2: None of the neighbors of γb∆ in ΓbT \ γ∆ are adjacent to leaves (see Figu-re 6.(b)). In particular, ΓbT has exactlym−2 internal vertices which are not adjacentto any leaf.

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