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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS DE TASAS DE INTERÉS PARA EL CASO DE LAS OPCIONES INCRUSTADAS EN DEUDA HIPOTECARIA.

UNA APLICACIÓN AL MERCADO CHILENO

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN GESTIÓN DE OPERACIONES

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL

YONATAN MEYER SHEVAT

PROFESOR GUIA: SR. JOSE MIGUEL CRUZ GONZÁLEZ

MIEMBROS DE LA COMISIÓN

SR. RAFAEL EPSTEIN NUMHAUSER

SRA. VIVIANA FERNANDEZ MATURANA SR. CHRISTIAN LARRAIN PIZARRO

SANTIAGO DE CHILE NOVIEMBRE, 2007

TEMA DE TESIS PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL Y GRADO DE MAGÍSTER EN GESTION DE OPERACIONES. ALUMNO : YONATAN MEYER SHEVAT PROF. GUIA : JOSE MIGUEL CRUZ FECHA : 12/11/07

Análisis Comparativo de Modelos de Tasas de Interés Aplicado al Mercado Chileno de Opciones Incrustadas en Créditos Hipotecarios

La venta reciente en Chile de créditos hipotecarios a tasa variable con techo, ha generado la necesidad, por regulación, de evaluar la opción incrustada implícita que se genera. El objetivo de esta tesis es evaluar los modelos de valorización de estas opciones aplicándolos al mercado chileno. Los modelos a implementar son Black (1976) debido a su simpleza y popularidad, y una metodología más compleja como la de los modelos de no arbitraje, que comprenden, entre otros, al modelo de Black Derman Toy (1990) en su versión a volatilidad constante (BDT 1) y a volatilidad variable (BDT 2), Ho Lee (HL) (1986) y Hull and White (HW) (1993). La pregunta a analizar es, si las características que presenta cada uno de los modelos, en términos de sus supuestos y grado de complejidad, compensan el costo de su implementación dadas las características del mercado chileno. Este trabajo analiza, para los diferentes modelos mencionados, el valor de mercado obtenido, así como su sensibilidad y estabilidad a cambios en las estructuras de tasas de interés (nivel, pendiente y curvatura) y a la estructura de volatilidad. Los resultados indican que los factores que mayor influencia tienen en el valor de la opción son, la volatilidad, y en menor medida, el nivel de la parte larga de la estructura de tasas. Los resultados muestran que el modelo más popular, es decir Black, entrega resultados similares a los otros modelos en condiciones relativamente normales. Esto es una ventaja dado que su naturaleza analítica lo hace más fácil de implementar, ya que el resto de los modelos requieren usar la técnica de árboles binomiales. Por otra parte, BDT 1 muestra gran robustez a escenarios de stress. En contraste, BDT 2 a pesar de tener más grados de libertad, resulta menos estable dada la alta volatilidad de la parte corta de la estructura de tasas reales del mercado chileno. A su vez, HW a volatilidad constante presenta la ventaja de poseer reversión a la media lo cual es consistente con diversos estudios que muestran que las tasas tienden a un valor de equilibrio. A pesar de esto, el modelo se comporta de manera inestable ante volatilidades bajas. Finalmente, HL es similar a BDT, con la salvedad que los retornos son absolutos, lo que implica que el árbol de tasas puede entregar estructura de tasas negativas, lo cual resulta inconsistente para tasas largas reales. Los resultados muestran que al estresar la parte larga de la estructura de tasas y volatilidad, los resultados de este modelo son cada vez más sensibles y menos estables numéricamente. Aunque bajo condiciones normales, todos los modelos entregan resultados razonables, bajo condiciones de stress, la mayoría de los modelos muestra debilidades en su implementación. Sin embargo, es el modelo BDT 1 quien presenta las mayores fortalezas al momento de enfrentar un importante desafío del mercado chileno cual es la alta volatilidad de las tasas reales en la parte corta de la curva.

DEDICATORIA A mi familia que me ha apoyado incondicionalmente en todo momento.

“ Las casualidades más banales son las que finalmente dan sentido a la vida”

AGRADECIMIENTOS Al profesor José Miguel Cruz le agradezco su apoyo durante todo este largo trabajo. En gran parte gracias a él, hoy en día tengo certeza de cual es el área de trabajo a la cual me quiero dedicar y desarrollar profesionalmente. A Gonzalo Maturana, que ha sido de alguna u otra forma el socio emprendedor que he tenido en el mundo de las finanzas. Quisiera agradecer su excelente disposición y entrega, en todo momento. A Juan Pablo Risco y Rafael Zúñiga, por su disponibilidad, sugerencias y valiosos comentarios.

TABLA DE CONTENIDOS DEDICATORIA.............................................................................................................................................2 AGRADECIMIENTOS.................................................................................................................................4 TABLA DE CONTENIDOS.........................................................................................................................5 ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................................................7 ÍNDICE DE TABLAS ...................................................................................................................................9 RESUMEN...................................................................................¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................11 CAPÍTULO I................................................................................................................................................17 1. DEFINICIÓN Y CONTEXTO DEL DERIVADO A ESTUDIAR..............................................17

1.1. MERCADO HIPOTECARIO EN CHILE ............................................................................................17 1.2. CRÉDITO HIPOTECARIO MIXTO CON TECHO MÓVIL ..................................................................22

1.2.1. Caracterización del crédito...................................................................................................23 1.2.2. Teoría de opciones en créditos hipotecarios con techo .......................................................26 1.2.3. Incorporando la opción incrustada en el crédito .................................................................28

1.3. MARCO NORMATIVO ..................................................................................................................29 CAPÍTULO II ..............................................................................................................................................32 2. MODELOS DE TASAS.....................................................................................................................32

2.1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MODELOS DE TASA DE INTERÉS...............................................32 2.2. COMPORTAMIENTO ESTOCÁSTICO DE LAS TASAS .......................................................................34 2.3. MODELOS DE NO ARBITRAJE .......................................................................................................36

CAPÍTULO III.............................................................................................................................................40 3. MODELOS A IMPLEMENTAR.....................................................................................................40

3.1. BLACK DERMAN TOY .................................................................................................................41 3.1.1. Construyendo árboles para tasas cortas con BDT..............................................................43 3.1.2. Implementación de BDT 1.....................................................................................................46 3.1.3. Implementación de BDT 2.....................................................................................................48

3.2. HO LEE........................................................................................................................................51 3.3. HULL AND WHITE .......................................................................................................................51

3.3.1. Introducción a árboles trinomiales.......................................................................................51 3.3.2. Implementación de Hull y White ajustado por retorno ........................................................53

CAPÍTULO IV.............................................................................................................................................56 4. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LA OPCIÓN............................................................56

4.1. COMPLICACIONES PARA EL CÁLCULO DE LA OPCIÓN..................................................................56 4.1.1. Criterio de granularidad.......................................................................................................56 4.1.2. Base 100.................................................................................................................................57

4.2. CONSTRUYENDO LA DINÁMICA DEL CRÉDITO ...........................................................................58 4.2.1. Valor presente de la opción usando paso anual...................................................................60 4.2.2. Valor presente de la opción usando paso mensual ..............................................................66 4.2.3. Cálculo de griegas.................................................................................................................74

CAPÍTULO V...............................................................................................................................................78 5. BLACK................................................................................................................................................78 CAPÍTULO VI.............................................................................................................................................81 6. INPUTS NECESARIOS PARA LA VALORIZACIÓN ...............................................................81

6.1. CARTERA HIPOTECARIA..............................................................................................................81 6.2. INPUTS DE MERCADO...................................................................................................................81

6.2.1. Estructura de tasas................................................................................................................82 6.2.2. Volatilidad .............................................................................................................................83 6.2.3. Coeficiente de reversión α.....................................................................................................89 6.2.4. Griegas ..................................................................................................................................89

CAPÍTULO VII ...........................................................................................................................................92 7. METODOLOGÍA Y RESULTADOS DE LA VALORIZACIÓN...............................................92

7.1. VALIDACIÓN DE LOS MODELOS...................................................................................................92 7.2. METODOLOGÍA............................................................................................................................93

CAPÍTULO VIII........................................................................................................................................101 8. CONCLUSIONES............................................................................................................................101

8.1. RESULTADOS OBTENIDOS.........................................................................................................101 8.1.1. Valorización anual ..............................................................................................................101 8.1.2. Valorización mensual ..........................................................................................................114

8.2. CONCLUSIONES .........................................................................................................................118 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................................124 ANÉXOS.....................................................................................................................................................127 A. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON...........................................................................................127

A.1. NEWTON RAPHSON UNIDIMENSIONAL ......................................................................................127 A.2. NEWTON RAPHSON BIDIMENSIONAL.........................................................................................130

B. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HO LEE .................................................................................133 C. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HULL & WHITE..................................................................134 D. OBTENCIÓN DE TASAS A DISTINTO PLAZO VÍA BDT1 MENSUAL .............................135 E. VP CRÉDITO SIN TECHO USANDO FORWARD...................................................................138 F. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO ANUAL -............................................................................140

F.1. VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β0..................................................................................140 F.2. VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β1..................................................................................140 F.3. VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Β2..................................................................................141 F.4. VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE Τ. ..................................................................................141 F.5. VALOR DE LA OPCIÓN EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD..........................................................142

G. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO MENSUAL – .....................................................................143 G.1. RESULTADOS DE BDT 1 MENSUAL VS. BDT 1 ANUAL ............................................................143 G.2. GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β0 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................144 G.3. GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β1 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................145 G.4. GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Β2 ANUAL VS. MENSUAL ..............................................................146 G.5. GRÁFICA DE GRIEGAS CASO Τ ANUAL VS. MENSUAL................................................................147 G.6. GRÁFICA DE GRIEGAS CASO VOLATILIDAD ANUAL VS. MENSUAL ...........................................148

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos hipotecarios no

endosables según montos.....................................................................................................................21 Figura 1-2: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos hipotecarios no

endosables según número de operaciones. ..........................................................................................22 Figura 1-1-3: Dinámica de pagos. .................................................................................................................25 Figura 1-1-4: Valor de la call determinado por la ecuación (1.1) para un determinado mes de un caplet en

función del nivel de r al momento de fijación.....................................................................................27 Figura 2-1: Reversión a la media...................................................................................................................36 Figura 2-2: Familia de modelos para valorizar derivados de la tasa de interés............................................39 Figura 3-1: Primeros tres pasos en un árbol binomial para la tasa corta. .....................................................44 Figura 3-2: Discretización binomial de Modelos de Trayectorias Brownianas independientes..................46 Figura 3-3: Ramificación en árboles trinomiales. .........................................................................................52 Figura 4-1: Esquema general del proceso de valorización de la opción y griegas para un crédito particular.

..............................................................................................................................................................60 Figura 4-2: Sentido de la recurrencia en los flujos que definen la ganancia del crédito..............................65 Figura 4-3: Árbol de cuotas mensuales. ........................................................................................................70 Figura 4-4: Flujos de las cuotas mensuales...................................................................................................70 Figura 7-1: Estructura de tasas asociada a la fecha de valorización.............................................................94 Figura 7-2: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β0. ....................................................................96 Figura 7-3: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β1. ....................................................................97 Figura 7-4: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β2.....................................................................98 Figura 7-5: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de τ. ......................................................................98 Figura 7-6: Diagrama de flujo que resume el proceso de valorización anual de los modelos de no arbitraje

en función de los capítulos anteriores..................................................................................................99 Figura 7-7: Diagrama de flujo con el resumen del proceso de valorización mediante Black. La letra k

simboliza la griega utilizada. 1: Delta, 2: Gamma, 3: Vega. ............................................................100 Figura 8-1: Valor de la opción en función de β0. ........................................................................................101 Figura 8-2: Delta en función de β0. ............................................................................................................102 Figura 8-3: Gamma en función de β0. .........................................................................................................103 Figura 8-4: Vega en función de β0...............................................................................................................104 Figura 8-5: Valor de la opción en función de β0. ........................................................................................104 Figura 8-6: Delta en función de β1. ............................................................................................................105 Figura 8-7: Gamma en función de β1. ........................................................................................................106 Figura 8-8: Vega en función de β1...............................................................................................................106 Figura 8-9: Valor de la opción en función de β2. ........................................................................................107 Figura 8-10: Delta en función de β2. ...........................................................................................................108 Figura 8-11: Gamma en función de β2. .......................................................................................................108 Figura 8-12: Vega en función de β2.............................................................................................................109 Figura 8-13: Valor de la opción en función de τ.........................................................................................109 Figura 8-14: Delta en función de τ. .............................................................................................................110 Figura 8-15: Gamma en función de τ. .........................................................................................................111 Figura 8-16: Vega en función de τ. .............................................................................................................111 Figura 8-17: Valor de la opción en función de la volatilidad. ....................................................................112 Figura 8-18: Delta en función de la volatilidad. .........................................................................................113 Figura 8-19: Gamma en función de la volatilidad. .....................................................................................113 Figura 8-20: Vega en función de la volatilidad...........................................................................................114 Figura 8-21: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β0........................................................................115 Figura 8-22: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β1........................................................................115 Figura 8-23: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β2........................................................................116 Figura 8-24: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando τ. ........................................................................117 Figura 8-25: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando la volatilidad......................................................117 Figura A-1: El método de Newton extrapola la derivada local para encontrar la siguiente estimación

de la raíz. En este ejemplo, se encuentra la raíz y converge cuadráticamente. ................................127 Figura D-1: Árbol de tasas mensuales usando BDT 1. ...............................................................................135 Figura D-2: Árbol respectivo de precios contingentes. ..............................................................................135 Figura D-3: Ejemplo de recalibración del árbol de precios elementales para encontrar tasas a un

determinado plazo consistentes con el mercado para cualquier nodo (i,j). ......................................136 Figura D-4: Árbol recalibrado. Aplicar (3.11) para obtener la tasa requerida. ..........................................137

Figura G-1: Delta anual vs. Delta mensual variando β0..............................................................................144 Figura G-2: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β0. ....................................................................144 Figura G-3: Vega anual vs. Vega mensual variando β0. .............................................................................144 Figura G-4: Delta anual vs. Delta mensual variando β1..............................................................................145 Figura G-5: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β1. ....................................................................145 Figura G-6: Vega anual vs. Vega mensual variando β1. .............................................................................145 Figura G-7: Delta anual vs. Delta mensual variando β2..............................................................................146 Figura G-8: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β2. ....................................................................146 Figura G-9: Vega anual vs. Vega mensual variando β2. .............................................................................146 Figura G-10: Delta anual vs. Delta mensual variando τ. ............................................................................147 Figura G-11: Gamma anual vs. Gamma mensual variando τ. ....................................................................147 Figura G-12: Vega anual vs. Vega mensual variando τ..............................................................................147 Figura G-13: Delta anual vs. Delta mensual variando la volatilidad..........................................................148 Figura G-14: Gamma anual vs. Gamma mensual variando la volatilidad. ................................................148 Figura G-15: Vega anual vs. Vega mensual variando la volatilidad. .........................................................148

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1-1: Caracterización de los actores del mercado de mutuos hipotecarios no endosables según el

monto y el número de operaciones. .....................................................................................................21 Tabla 3-3-1: Modelos consistentes con las estructuras de mercado a implementar y sus principales

características. ......................................................................................................................................40 Tabla 6-1: Resumen inputs de la cartera de créditos hipotecarios mixtos con tas techo móvil necesarios

para valorizar la opción........................................................................................................................81 Tabla 7-1: Detalle de la estructura de mercado correspondiente a la valorización......................................95 Tabla 7-2: Resultados de la estimación de parámetros de la curva usando Nelson Siegel..........................96 Tabla F-1: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β0...............................................140 Tabla F-2: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β1...............................................140 Tabla F-3: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β2...............................................141 Tabla F-4: Valor de la opción para los distintos modelos en función de τ.................................................141 Tabla F-5: Valor de la opción para los distintos modelos en función de la volatilidad . ...........................142 Tabla G-1: Resumen comparación resultados BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual. .....................................143

Resumen

Análisis Comparativo de Modelos de Tasas de Interés Aplicado al Mercado Chileno de

Opciones Incrustadas en Créditos Hipotecarios La venta reciente en Chile de créditos hipotecarios a tasa variable con techo, ha generado la necesidad, por regulación, de evaluar la opción incrustada implícita que se genera. El objetivo de esta tesis es evaluar los modelos de valorización de estas opciones aplicándolos al mercado chileno. Los modelos a implementar son Black (1976) debido a su simpleza y popularidad, y una metodología más compleja como la de los modelos de no arbitraje, que comprenden, entre otros, al modelo de Black Derman Toy (1990) en su versión a volatilidad constante (BDT 1) y a volatilidad variable (BDT 2), Ho Lee (HL) (1986) y Hull and White (HW) (1993). La pregunta a analizar es, si las características que presenta cada uno de los modelos, en términos de sus supuestos y grado de complejidad, compensan el costo de su implementación dadas las características del mercado chileno. Este trabajo analiza, para los diferentes modelos mencionados, el valor de mercado obtenido, así como su sensibilidad y estabilidad a cambios en las estructuras de tasas de interés (nivel, pendiente y curvatura) y a la estructura de volatilidad. Los resultados indican que los factores que mayor influencia tienen en el valor de la opción son, la volatilidad, y en menor medida, el nivel de la parte larga de la estructura de tasas. Los resultados muestran que el modelo más popular, es decir Black, entrega resultados similares a los otros modelos en condiciones relativamente normales. Esto es una ventaja dado que su naturaleza analítica lo hace más fácil de implementar, ya que el resto de los modelos requieren usar la técnica de árboles binomiales. Por otra parte, BDT 1 muestra gran robustez a escenarios de stress. En contraste, BDT 2 a pesar de tener más grados de libertad, resulta menos estable dada la alta volatilidad de la parte corta de la estructura de tasas reales del mercado chileno. A su vez, HW a volatilidad constante presenta la ventaja de poseer reversión a la media lo cual es consistente con diversos estudios que muestran que las tasas tienden a un valor de equilibrio. A pesar de esto, el modelo se comporta de manera inestable ante volatilidades bajas. Finalmente, HL es similar a BDT, con la salvedad que los retornos son absolutos, lo que implica que el árbol de tasas puede entregar estructura de tasas negativas, lo cual resulta inconsistente para tasas largas reales. Los resultados muestran que al estresar la parte larga de la estructura de tasas y volatilidad, los resultados de este modelo son cada vez más sensibles y menos estables numéricamente. Aunque bajo condiciones normales, todos los modelos entregan resultados razonables, bajo condiciones de stress, la mayoría de los modelos muestra debilidades en su implementación. Sin embargo, es el modelo BDT 1 quien presenta las mayores fortalezas al momento de enfrentar un importante desafío del mercado chileno cual es la alta volatilidad de las tasas reales en la parte corta de la curva.

INTRODUCCIÓN Un derivado es un instrumento financiero cuyo flujo efectivo de pagos en el futuro dependerá del valor que tome un activo subyacente. Este activo puede ser una acción, un commodity, la tasa de interés o alguna moneda, entre otros. Dentro de los derivados más conocidos se encuentran los contratos forwards, swaps y opciones. Una revisión de todos estos productos se puede revisar en Hull (2005). La evolución del mercado de derivados ha implicado la incorporación de nuevos productos, cada vez más complejos. Un cuestionamiento natural que surge es cuánto valen estos productos y cómo se valorizan.

El mercado mundial de instrumentos derivados ha tenido un explosivo crecimiento en los últimos años alcanzando a Junio del 2004 un tamaño de aproximadamente 270 trillones de dólares entre los mercados tradicionales y los de transacciones fuera de bolsa (Over the Counter).

En esta tesis se requiere valorizar una opción que se genera en un crédito hipotecario relativamente nuevo en el mercado chileno, y muy demandado a la vez. Este crédito tiene la particularidad de ofrecer una tasa variable acotada superiormente por un techo. Es decir, la tasa que determina la cuota a pagar es función del mínimo entre la tasa variable vigente (tasa de interés de mercado) y una tasa techo fijada por la institución financiera y que permanece fija durante toda la vida del crédito. La cuota fijada es válida por un año y se paga mes a mes. La tasa de mercado y techo son tasas anuales. El pago de cuotas se vuelve a determinar cada doce meses bajo el mismo mecanismo y así sucesivamente hasta que se termina de pagar la totalidad de la deuda. Por lo tanto, si aumenta la tasa de mercado a tal punto que ésta sobrepasa la tasa techo, el deudor paga la tasa techo y por ende, se protege al riesgo de alza de tasas. Este crédito hipotecario es conocido en el mercado como un crédito hipotecario con tasa techo móvil.

De lo anterior, se desprende que este crédito posee un conjunto de

opciones incrustadas cada vez que se redefine la tasa. La opción incrustada se genera como la diferencia entre lo que se hubiera pagado si es que no hubiese existido una tasa techo (su costo de oportunidad) y lo que realmente se paga, es decir, considerando el mínimo entre la tasa variable acordada y la tasa techo. El valor presente del conjunto de opciones define el valor total de la opción. En este trabajo el valor presente del conjunto de opciones se denominará el valor de la opción.

Hay que recalcar que la Superintendencia de Bancos e Instituciones Financieras (SBIF), como ente fiscalizador de este mercado, ha exigido llevar a cabo un importante proceso de capacitación a todo banco o institución financiera que ofrezca este tipo de créditos con el fin de que éstos implementen un modelo para valorizar la opción. La SBIF ha fiscalizado y validado los modelos utilizados por las instituciones financieras.

Desde la aparición de Black y Scholes (1973), diversos modelos han surgido en la literatura para valorizar opciones. La teoría de opciones ha tenido un vertiginoso desarrollo con modelos cada vez más complejos y que involucran como principal marco conceptual la aplicación de cálculo estocástico y en particular, la teoría de valorización neutra al riesgo. Un análisis formal se puede ver en Shreve (2004).

En mercados más desarrollados, una de las vertientes más populares para valorizar opciones sobre tasas de interés es la de modelos de estructuras de tasas de no arbitraje. Estos modelos tienen dos características principales. Estudian la dinámica ó estructura temporal de tasas de interés (curva cero cupón) a través del tiempo asumiendo que las tasas se comportan de manera aleatoria y segundo, permiten deducir estructuras de tasas para cualquier instante futuro de forma tal que los precios de los bonos cero cupón que se generan ínter temporalmente son consistentes con las estructura temporal de mercado spot al momento de la valorización. En esta tesis se denomina estructuras de mercado a la estructura de tasas y de volatilidad spot. En particular, se ajustan a la estructura de tasas vigentes y en modelos más complejos a la estructura de volatilidades.

Lo anterior permitirá establecer una metodología para simular el

valor futuro de la tasa de interés variable y generar además, los factores de descuento que harán posible calcular el valor presente del conjunto de opciones. La tasa variable por convención de mercado es la TAB, que puede estar en pesos o en unidades de fomento dependiendo el crédito. El desafío es precisamente modelar implícitamente como se comporta la TAB mediante la construcción de su estructura de tasas y volatilidad teórica, en donde, bajo este contexto, la tasa variable ofrecida por la institución financiera, al momento de redefinición de la cuota debiera ser la tasa anual de su respectiva curva cero vigente más un spread que se le cobra al deudor para generar una ganancia

Matemáticamente, se modela el comportamiento de la tasa de interés

en el tiempo mediante una ecuación diferencial estocástica (E.D.E.) que se

redefine en el tiempo de manera de ser consistente con las estructuras de mercado. Cada modelo representa una E.D.E. distinta.

En muchos casos, debido a la naturaleza de estos modelos, se pierde

el tratamiento analítico para valorizar la opción. Es por ello que se deben realizar simulaciones de Montecarlo o métodos numéricos. En esta tesis, se escoge el segundo enfoque. De esta forma, se implementarán estos modelos mediante un enfoque discreto o reticulado usando árboles de tasas. Con ello será posible simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa a través del tiempo discretizando la E.D.E. En esta tesis, se discretiza la E.D.E. usando un paso1 anual. Esto implica considerar árboles de flujos de pagos anuales y para ello se considerará una cuota anual como aproximación de doce cuotas mensuales.

Usar un paso anual puede llevar a errores de precisión dado que se

requiere que la discretización del proceso involucre una granularidad pequeña (paso mensual, diario, etc.). Mientras más granular sea la discretización, mayor es la probabilidad de converger a un estacionario que defina el valor de la opción de manera precisa. La ventaja de usar un paso anual es que el árbol entrega de manera directa la tasa variable a un año y los procesos de cálculo requieren menos tiempo de computación. Sin embargo, el enfoque no está en la precisión si no en realizar un análisis comparativo entre los modelos. Además, construir un árbol con paso mensual implica generar tasas anuales consistentes con ese árbol mensual lo que es complejo y requiere mayor tiempo computacional.

Una vez determinada la dinámica de la tasa, se debe agregar la

información financiera asociada al crédito como el spread del deudor, plazo residual del crédito, etc., y con ello será posible calcular los árboles de cuotas, saldos insolutos y ganancias que permitirán obtener el valor de la opción.

Además, es interesante realizar un análisis de sensibilidad del valor

de la opción. Esto implica cuantificar en cuánto varía la opción al haber una fluctuación en las estructuras de mercado. En finanzas, estas sensibilidades se conocen como griegas. En particular, las griegas a analizar son Delta, Gamma y Vega2. Las griegas tienen un significado financiero mucho más potente en el sentido que permiten crear estrategias de cobertura. En consecuencia, mediante el cálculo de griegas es posible

1 O granularidad. 2 Delta es el valor de la variación lineal en el valor de la opción cuando las tasas de mercado fluctúan. Gamma es la variación cuadrática en el valor de la opción ante un mismo evento. Vega identifica en cuanto varía la opción al haber una fluctuación en la volatilidad de mercado.

tomar posiciones en determinados instrumentos financieros con el fin de inmunizar la exposición al riesgo de fluctuación de tasas.

En la literatura existe una amplia variedad de modelos de no arbitraje, cada uno consta de E.D.E. distintas. Entre los modelos más conocidos y utilizados por parte de académicos y profesionales en mercados más desarrollados como EE.UU. se pueden encontrar los de Black Derman Toy (1990), Hull y White (1993), Ho Lee (1986), Black y Karasinski (1991), Heath, Jarrow y Morton (1992), entre otros. De manera arbitraria, se ha escogido implementar los primeros tres modelos. Sin embargo, el primer modelo se implementará en dos modalidades. La primera se hará ajustando la dinámica de tasas a la estructura de tasas tomando la volatilidad constante y la segunda, ajustando por estructura de tasas y de volatilidad. Black Derman Toy a volatilidad constante, es el único modelo de no arbitraje implementado en el mercado chileno, aunque las instituciones financieras que lo han adoptado son pocas. El resto de los modelos se implementará de manera consistente con la curva cero y a volatilidad constante.

Es importante notar que el principal modelo utilizado en el mercado

chileno para valorizar derivados de la tasa de interés es Black (1976). Este es un modelo analítico que no considera la consistencia futura en la dinámica ínter temporal de tasas. Por su simpleza es considerada el referente en el mercado local para ser implementada en desmedro de los modelos de no arbitraje. Por lo tanto, se implementa este modelo para ser usado como referencia del mercado.

El objetivo principal de esta tesis es realizar un análisis costo beneficio que indique si existe realmente una diferencia importante en los resultados entregados por los modelos tales que estos compensen el costo de su implementación. Para ello, se implementarán los tres modelos de no arbitraje anteriormente mencionados y Black (1976). Estos cuatro modelos se contrastarán mediante el cálculo del valor de la opción y las griegas de una cartera de créditos hipotecarios mixtos con techo móvil en Chile. El término mixto implica que en una primera etapa, la tasa que determina los pagos es fija por un número determinado de años y luego se produce la redefinición de tasa cada año.

De acuerdo a lo anterior, como objetivos específicos se establecen:

• Aprender sobre la aplicación de estos modelos y estudiar el marco

teórico que los subyace.

• Encontrar ventajas y desventajas de cada uno de estos modelos y poder entregar una recomendación.

• Estudiar la estabilidad de los modelos. Se requiere ver como se ajustan éstos ante determinados inputs. Esto quiere decir que para determinadas estructuras de mercado, el valor de la opción no se puede calcular ya que el árbol se indefine en el método de ajuste a la estructura de tasas o por que pueden haber probabilidades de transición de estados negativas. No es el objetivo proponer o corregir el modelo usando una metodología conocida, el fin es dar a conocer cuando sucedan estos problemas en la valorización.

• Implementar Black Derman y Toy (1990) a volatilidad constante con un paso mensual y anual para ver si los errores de precisión son significativos.

La metodología se divide en 5 partes. Las primeras 3 partes asumen

que los inputs y parámetros necesarios para realizar la valorización son conocidos.

La primera parte consiste en modelar la dinámica de tasas de interés de acuerdo a los procesos estocásticos que rigen los modelos a implementar. Tal como se mencionó, la implementación de estos modelos se realizará en un enfoque discreto o reticulado mediante árboles de tasas. Con ello será posible simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa a través del tiempo.

La segunda parte consiste en calcular la opción y griegas. La importancia de simular las distintas trayectorias esperadas de la tasa, representada por estos árboles de tasas, permitirán definir la dinámica de tasas y factores de descuento. Agregando la información financiera de cada crédito de la cartera será posible determinar la dinámica de cada uno de estos lo cual permitirá construir árboles de cuotas, saldos insolutos y ganancia y con ello, calcular el valor presente del valor esperado de la opción y griegas.

La tercera parte, valoriza la opción y griegas usando la fórmula de

Black (1976). El tratamiento de la opción según Black (1976) se ve en un capítulo aparte ya que el cálculo de ésta difiere en gran parte con respecto a la metodología utilizada en los modelos de no arbitraje.

La cuarta parte detalla el tratamiento y supuestos de todos los inputs

necesarios para la valorización de la opción y sus griegas.

La quinta parte consiste en realizar un análisis comparativo de estos modelos en función de la estructura de marcado asociada a la fecha de la cartera. Para realizar este análisis en el caso de la estructura de tasas, se parametriza la curva y con ello será posible obtener variantes de la curva original en términos de nivel, pendiente y curvatura. Para ello, se ha escogido usar el método de Nelson y Siegel (1987). Además se varía la volatilidad en función del nivel. De este modo, es posible ver como se adapta cada uno de los modelos ante determinadas estructuras de mercado, en términos de su estabilidad y el valor de la opción y griegas. Finalmente, se entregan las conclusiones que identificarán las ventajas y/o desventajas de cada uno de estos modelos.

Hasta la fecha, no se han encontrado trabajos realizados por académicos nacionales usando esta metodología para valorizar este tipo de derivados.

La estructura de este informe consta de las siguientes partes:

En el capítulo I se hace un contexto del mercado hipotecario en Chile y se procede a explicar el producto crédito hipotecario mixto con tasa techo móvil mediante la construcción de la dinámica de flujos y la opcionalidad que se genera en cada fecha donde se redefine la tasa mediante teoría de opciones. Además se presenta el marco normativo que motiva el cálculo de la opción. El capítulo II procede a explicar el enfoque de los modelos de tasas los cuales permiten simular la estructura temporal de tasas de interés y por ende, aportan la data necesaria para definir el nivel de tasas y factores de descuento para cualquier instante futuro y a cualquier plazo. En particular, se revisan los modelos de no arbitraje y la forma de modelar la dinámica de tasas en el tiempo de manera genérica. En el capítulo III se detallan los distintos modelos a implementar en un marco teórico. El capítulo siguiente muestra como se construye la dinámica del crédito en base a sus flujos y se muestra el cálculo del valor presente de la opción y el cálculo de griegas. En el capítulo V se calcula el valor de la opción usando la fórmula de Black (1976). El capítulo VI se introduce la cartera de créditos a analizar y se muestra como se obtienen los parámetros de los distintos modelos a implementar con los supuestos que hay por detrás. El capítulo VII muestra la metodología de trabajo para valorizar la opción y las griegas y el análisis de sensibilidad sobre las estructuras de mercado. Finalmente, en el capítulo VIII, se presentan los resultados más relevantes y las conclusiones.

CAPÍTULO I

1. DEFINICIÓN Y CONTEXTO DEL DERIVADO A ESTUDIAR

1.1. Mercado Hipotecario en Chile

Según la definición de la SBIF un crédito hipotecario (C.H.) es:

“Un préstamo a mediano o largo plazo que se otorga para la compra, ampliación, reparación o construcción de una vivienda, compra de sitios, oficinas o locales comerciales, o para libre disponibilidad.

La propiedad adquirida queda en garantía a favor del Banco (o hipotecada) para asegurar el cumplimiento del crédito.

Los plazos a los cuales se otorgan estos créditos son de varios años, lo cual debe ser informado dentro de las características del crédito, debido a que hacen variar los costos y tasas de interés.”

En Chile, en la mayoría de los casos, estos créditos se emiten en unidades de fomento (UF) y en pocos casos, en pesos.

Los créditos hipotecarios se distinguen por el tipo de documento que da

origen a la obligación del pago y se pueden clasificar en3:

Crédito Hipotecario con Letras de Crédito: Se financia con un instrumento que emite el banco, llamado "letras hipotecarias". Éstas pueden ser transadas por el banco en la Bolsa de Valores o ser adquiridas por éste o un tercero, obteniéndose así los recursos que financian el crédito otorgado al deudor. El precio que se obtiene por la venta de estas letras varía de acuerdo a las condiciones del mercado, por lo que puede generarse una diferencia positiva o negativa entre el valor de la letra ("valor par") y el precio al que ésta se transa. En la escritura debe precisarse la parte contratante que se hará cargo o se beneficiará de esta diferencia. En caso que resulte ser el deudor, éste deberá pagar la diferencia negativa que eventualmente se produzca. Algunas características son:

• Plazo de crédito: superior a un año.

3 Algunos de los datos han sido obtenidos de un estudio realizado por Flores (2006).

• Monto máximo del crédito: Hasta el 75% del menor valor de tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de venta del mismo.

• Monto máximo del dividendo: Para viviendas cuyo valor de tasación sea menor igual a 3.000 UF, el dividendo no puede exceder el 25% de los ingresos del prestatario.

• Período de gracia: El primer dividendo vence el mes subsiguiente a aquel en que se celebra el contrato de crédito.

• Tasa de interés: Fija o flotante. La tasa flotante no puede superar en más de 3 puntos porcentuales con respecto a la tasa de interés que se aplique en la fecha en que comience la vigencia del crédito.

• Condiciones de prepago: El deudor está facultado para realizar reembolsos parciales o totales.

• Securitización: No son susceptibles de ser securitizados.

Una descripción detallada del mercado de letras hipotecarias en Chile se puede ver en Vucina (2004).

Mutuo Hipotecario endosable: En este caso el Banco financia el préstamo con recursos propios. El solicitante del crédito recibe el monto aprobado y no se genera una diferencia como puede ocurrir en los créditos otorgados con letras hipotecarias. Este tipo de crédito puede ser transferido por parte del banco mediante endoso, el que queda registrado en la escritura pública respectiva. Sin perjuicio de lo anterior, la administración del crédito queda radicada en el banco, por lo que, el canal de comunicación del deudor para todos los efectos sigue siendo éste.

• Plazo de crédito: De uno a treinta años. • Monto máximo del crédito: Hasta el 80% del menor valor de

tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de venta del mismo.

• Monto máximo del dividendo: No existen restricciones regulatorias al respecto.

• Período de gracia: No puede ser superior a 3 meses después de la fecha de otorgamiento.

• Tasa de interés: Fija o flotante. • Condiciones de prepago: Se deben considerar la disposiciones de la

ley N° 18.010, en su artículo N° 10, para pagos anticipados, modificados en la ley N° 19.528, artículo 3 N°5 del 04.11.1997.

• Securitización: Existe autorización expresa para la securitización de tales tipos de créditos.

Mutuo Hipotecario No Endosable: En este caso el Banco también financia el préstamo con recursos propios, pero a diferencia del anterior no puede ser transferido mediante endoso. Es posible securitizar y las condiciones de prepago también están normadas por la misma ley que los mutuos hipotecarios endosables. En general, las condiciones de plazo, monto máximo del dividendo, monto máximo del crédito, seguros, tasas, períodos de gracia y otros, se ajustan a las condiciones que las partes fijen libremente. Aquí es posible encontrar alguno de estos productos según tipo de tasa:

• Crédito Hipotecario a tasa fija: La tasa aplicada al crédito es fija y por lo tanto el dividendo permanece invariable durante todo el plazo del crédito. En el caso de créditos en UF, el dividendo es fijo pero en términos de pesos varia con el IPC

• Crédito Hipotecario a tasa variable: La tasa cambia una vez al año de acuerdo a un índice de referencia lo cual implica que el dividendo varía cada cierto tiempo.

• Crédito Hipotecario a tasa variable con techo móvil: Al cambiar la tasa cada año, ésta se compara con una tasa denominada techo y fija durante todo el plazo del crédito. La tasa a aplicar corresponderá al mínimo entre estas dos.

• Crédito Hipotecario a tasa variable con techo fija: Al cambiar la tasa cada año, ésta se compara con una tasa denominada techo y fija durante todo el plazo del crédito. Si es que llega a ocurrir que la tasa variable supera la tasa techo, entonces la tasa a aplicar se transforma en fija durante todo el plazo residual del crédito y corresponderá a la tasa techo.

• Crédito Hipotecario mixto: En una primera etapa, que típicamente son 1, 3 o 5 años, la tasa aplicada al dividendo permanece fija y posteriormente la tasa aplicada es variable.

• Crédito Hipotecario mixto con tasa techo móvil: Posee las mismas características que el crédito hipotecario mixto solo que en la etapa de tasa variable, cada vez que cambia ésta, la tasa a aplicar corresponderá a un mínimo entre la tasa variable una tasa techo que es fija.

• Crédito Hipotecario mixto con tasa techo fija: La salvedad con el crédito anterior es que en la etapa a tasa variable, si ésta supera la tasa techo al momento de cambio de tasa, entonces la tasa a aplicar corresponderá a la tasa techo por todo el plazo residual del crédito.

Dependiendo de la tasa del crédito y éste es para vivienda o fines

generales, se pueden encontrar algunas de las siguientes opciones:

• Plazos desde 5 a 40 años. • 1 a 12 meses de gracia para el pago del primer dividendo. • Opción de no pagar uno o dos dividendos al año a partir del

segundo año. • Sin costo de prepago a partir del 15° mes dadas ciertas

condiciones. • Financiamiento desde el 75% al 100% del menor valor de

tasación del inmueble ofrecido en garantía y del precio de venta del mismo.

• Primeros 3 años solo se pagan intereses. • Posterga un 50% del pago del crédito para pagarlo más

adelante.

La composición de la cartera de créditos ha tenido un notorio cambio. En 1995, el 86% de los créditos hipotecarios vigentes en el mercado correspondía a letras de crédito hipotecarias. A junio del 2006, este porcentaje se redujo a un 35%, con mutuos hipotecarios endosables ocupando un 10% y con mutuos hipotecarios no endosables mostrando un notable crecimiento que los ha llevado a ocupar un 55% de la composición de la cartera. Esto se debe a la mayor demanda en el mercado por créditos hipotecarios, lo que ha llevado a los bancos a ofrecer productos más variados, por lo que los mutuos hipotecarios no endosables se han visto potenciados ya que ofrecen mayor flexibilidad que las letras hipotecarias.

En Chile, el financiamiento habitacional equivale en capital a $MM 9.773.820 lo que representa aproximadamente un 20% del total de colocaciones bancarias. Los créditos hipotecarios para vivienda superan largamente a los de fines generales. A fines del 2005, había aproximadamente un millón y medio de deudores habitacionales en créditos de vivienda. A diciembre del 2005, el 99% del financiamiento habitacional es entregado por los bancos y sus filiales pese a la aparición de otros actores como compañías de seguro y las sociedades de leasing habitacional no bancario. A continuación, se presentan las principales características del mercado de los mutuos hipotecarios no endosables en función de los institutos emisores de este tipo de créditos:

Tabla 1-1: Caracterización de los actores del mercado de mutuos hipotecarios no

endosables según el monto y el número de operaciones. ,

Participación de Mercado de los bancos en Mutuos Hipotecarios no Endosables en términos de montos

Chile15%

Estado9%

BCI12%

Santander37%

BBVA14%

Otros13%

Figura 1-1: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos

hipotecarios no endosables según montos. En términos de montos, el líder indiscutido es el banco Santander Santiago con aproximadamente un 37% del mercado. Sin embargo, en la figura siguiente, se puede apreciar la cuota de mercado del número de operaciones donde es posible ver que el que líder el mercado es el banco Estado y esto tiene que ver principalmente con el mercado objetivo al cual apunta éste, que es un estrato socio económico medio bajo, por lo que el monto de sus créditos es más bajo comparativamente.

Participación de Mercado de los bancos en Mutuos Hipotecarios no Endosables en términos del n° de

operaciones

Chile10%

Estado30%

BCI8%

Santander27%

BBVA9%

Otros16%

Figura 1-2: Participación de mercado relevante para bancos en el mercado de créditos

hipotecarios no endosables según número de operaciones.

Desafortunadamente, no hay información disponible sobre el mercado de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil.

1.2. Crédito Hipotecario Mixto con Techo Móvil

En esta sección se presenta el crédito a estudiar en esta tesis. Para

efectos de este trabajo, este crédito quedará exclusivamente caracterizado por las condiciones descritas en esta sección.

En los últimos años se ha comenzado a comercializar en el mercado

chileno un tipo de crédito hipotecario que goza de gran popularidad debido a las ventajosas condiciones que éste ofrece a las personas o entidades que lo contraen.

Este crédito consiste en endeudarse a una tasa variable de mercado acotada por una tasa techo4. Es decir, se paga la tasa variable siempre y cuando esta sea menor que la tasa techo. Si la tasa variable es mayor que el techo, entonces se paga la tasa techo. En general, estos créditos tienen un plazo mayor a 20 años, por lo que a mediano o largo plazo es perfectamente posible que pudieran darse las condiciones tal que la tasa de mercado tenga un alza considerable y por lo tanto, si no hubiera tasa techo, el deudor debiera pagar más intereses. Sin embargo, al haber tasa techo, el 4 En Mayo del 2006 se pueden encontrar en la SBIF tasas techos ofrecidas por bancos que varían entre un 6.9% hasta un 7.9% anual.

deudor como máximo, pagará los intereses definidos por ésta. Esto es altamente beneficioso para él, debido al ahorro generado en el no pago de más intereses, en caso de que en el futuro las tasas sean mayores a la tasa techo.

En comparación con créditos definidos netamente a tasa variable en

donde el riesgo de tasas lo asume en su totalidad el deudor, en este caso, parte de este riesgo se traspasa al banco que debe asumir un costo de oportunidad por el diferencial entre la tasa variable y la tasa techo, en caso de que la primera tasa sea mayor a la segunda. En el caso del deudor, el riesgo de pagar más intereses queda acotado por la tasa techo.

1.2.1. Caracterización del crédito

El crédito anterior se caracteriza de la siguiente forma al ser emitido; Primero hay un período5 en donde el pago del crédito se determina mediante una tasa fija. Una vez que expira esta etapa, el pago del capital insoluto remanente en ese momento se determina mediante el mínimo entre una tasa variable y una tasa techo que se va actualizando cada año. Este tipo de créditos se denominan en el mercado como créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil.

El pago del crédito se produce mensualmente en donde las cuotas a

pagar en la etapa a tasa fija, quedan determinadas al momento de ser emitido el crédito mediante esta tasa. Una vez que termina el período a tasa fija, el pago mensual de los próximos doce meses se definirá mediante una cuota en función de una tasa que corresponderá al mínimo entre la tasa variable de mercado vigente en ese momento, y la tasa techo (momento de fijación). Al fijarse la tasa variable y determinar la tasa a utilizar, se puede asumir entonces que habrá un año más de pagos a tasa fija. Estas doce cuotas serán iguales ya que todas se definen con esta misma tasa, saldo insoluto y plazo residual al momento de fijación. Este momento de fijación de la tasa se denomina fecha de repricing. Cuando se cumpla un año del momento de fijación, entonces vendrá una nueva fecha de repricing que definirá el pago de las próximas doce cuotas y así sucesivamente hasta que se termine de pagar la totalidad crédito.

En el caso chileno, la tasa variable a la cual se endeuda la persona o institución que contrae el crédito es la tasa TAB a 360 días. Típicamente, es la tasa bancaria (TAB) en unidades de fomento (UF) ya que, por lo general, 5 Típicamente 3 o 5 años según información recogida de la SBIF.

los créditos hipotecarios están indexados a la UF para corregir por inflación. La tasa TAB es una tasa interbancaria activa y que determina la tasa marginal a la cual se colocaría un nuevo crédito. Esta tasa se calcula como un promedio sobre la encuesta de la industria ponderado por tamaño.

Por el argumento anterior se asume la TAB como el costo de

oportunidad de la entidad bancaria emisora. Por lo tanto, la tasa variable que debiera pagar el deudor será la TAB más un spread, que dependerá de su factor de riesgo crediticio. Además, el spread del deudor es constante durante toda la duración del crédito. Por lo tanto, se considera el spread del deudor como la ganancia financiera del banco por sobre su costo (TAB).

La TAB tanto nominal como en UF es una tasa activa (es decir,

siempre positiva) ya que no tiene sentido endeudarse a una tasa negativa. A lo largo del marco teórico de esta tesis, se hará mención a la tasa variable de mercado como r, para no caracterizarla exclusivamente como la tasa TAB.

A continuación se explica detalladamente el flujo de pagos que caracteriza este crédito. Sin pérdida de generalidad, se analiza una parte del total de los flujos. Suponiendo que se ha emitido el crédito hoy, sea:

- t1: Tiempo que duran los pagos determinados a tasa fija al momento

de emitirse el crédito. Al igual que el plazo original del crédito, este período es siempre un entero al momento de emitirse el crédito, por ejemplo, 3 años, 4 años, etc. ¾ años a tasa fija no es válido. En el futuro, el plazo residual a tasa fija y el plazo residual del crédito si pueden ser fracciones de años. La condición es que la diferencia entre el plazo residual del crédito y el plazo residual de pagos a tasa fija es siempre un número entero en años.

- t2, t3, t4 : Fechas de repricing. ocurre solamente una vez al año y así sucesivamente hasta tn en donde ocurre la totalidad de pago del crédito. Entre cada ti hay 12 meses de diferencia (incluyendo el tiempo entre t1 y t2). Gráficamente el flujo de pagos (representado por las flechas

verticales) queda representado por la siguiente figura:

Figura 1-1-3: Dinámica de pagos.

Hay que recordar que las cuotas se pagan mensualmente, por lo tanto, las flechas asociadas a las cuotas siempre caen en el próximo mes con respecto a la flecha anterior.

La figura 1-1 se interpreta así:

Hoy, el banco o institución financiera presta el monto requerido

definido como el nocional. Mediante una anualidad en función de la tasa fija, el plazo del crédito y el nocional, se determinará la cuota a ser pagada por el deudor mes a mes hasta que expire el plazo a tasa fija t1. Por lo tanto, durante t1 se pagarán 12*t1 cuotas iguales, mes a mes. Una vez que se cumple el plazo a tasa fija, comienzan las fechas de repricing en donde quedará fijada la cuota mensual válida por los siguientes 12 meses mediante una anualidad en función del mínimo entre la tasa variable r(t1) vigente en t1 y por ende, desconocida hoy, más el spread sp del deudor y la tasa techo K, además del saldo insoluto remanente en t1 y el plazo residual del crédito en t1.

Cuando pase el año se llegará a t2. Ahí ocurrirá el próximo repricing

y se determinará la cuota mensual que se pagará en los próximos 12 meses existentes entre t2 y t3 en función del mínimo entre la tasa r(t2) más sp y K,

además del saldo insoluto remanente en t2 y el plazo residual del crédito en t2. Esto ocurrirá sucesivamente hasta que llegue el período de maduración del crédito, donde se fijarán las últimas 12 cuotas que determinarán el pago total del crédito. El detalle de estos cálculos se verá en las próximas secciones.

Por lo tanto, en cada fecha de repricing el deudor va a definir el pago de sus próximas 12 cuotas con la tasa definida como el mínimo entre la tasa variable vigente más su spread y la tasa techo. Notar que la tasa techo es siempre la misma durante toda la duración del crédito.

Condiciones mencionadas en la sección 1.1 como no pago de

dividendos, opciones de prepago, o incluso no mencionadas como la posibilidad de que el deudor entre en mora, renegocie o incumpla en el pago del crédito, entre otros, no son consideradas en esta tesis. Solo se tomará en cuenta la caracterización del crédito explicada en toda la sección 1.2.

1.2.2. Teoría de opciones en créditos hipotecarios con techo

Este tipo de créditos pueden ser visualizados como un derivado sobre

la tasa de interés ya que dependiendo del valor que tome la tasa al momento de repricing es que se genera una opción incrustada en el crédito.

Esta opción equivale a la diferencia entre lo que el deudor hubiera

pagado si es que no hubiese existido una tasa techo y lo que realmente paga, es decir, considerando el mínimo entre la tasa variable fijada más el spread y la tasa techo. Claramente, si la tasa variable más el spread no exceden el techo, la opción vale cero.

En términos más formales, opciones de tasas techo se denominan

caps, lo cual implica que la tasa de pago acordada queda acotada superiormente, por una tasa techo.

Notar que se produce una opción para todas las fechas futuras de repricing. La opción en cada fecha de repricing se denomina caplet y la secuencia entera de los caplets representa el valor de la cap, que en este trabajo, también se denominará valor de la opción. A pesar de que en cada fecha de repricing se produzca una opción, cuando se hable del valor de la opción se referirá al valor de la cap, a menos que se indique lo contrario.

Dado que cada año se define el pago al fijarse la tasa para los próximos doce meses es que la fecha de repricing puede verse como el período de “expiración”6 por lo que se puede considerar cada caplet como una call de tipo europeo.

Siguiendo la notación de esta sección, se puede demostrar que en la

fecha de repricing t, la componente de opcionalidad incrustada en el crédito para un pago particular (un mes cualquiera dentro de ese año) se calcula como una call de tipo europeo:

})(,0max{)( KsptrtCall −+= (1.1)

La ecuación (1.1) se puede interpretar como una posición corta en

una call ya que esta representa el costo de financiarle la cobertura de tasas al deudor. De manera gráfica, esto se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura 1-1-4: Valor de la call determinado por la ecuación (1.1) para un determinado

mes de un caplet en función del nivel de r al momento de fijación. La línea remarcada en negro en la figura 1-1-4 muestra el valor de la

call para un determinado mes de un caplet. Esta opción por lo tanto, genera un costo para el banco ya que debe asumir el costo de oportunidad por el no pago de la tasa r de mercado más el spread lo cual análogamente, se puede ver como el ahorro para el deudor por el no pago de intereses definido

6 Es decir, el período acordado de pago.

como r+sp-K en el caso de que la tasa variable más el spread excedan la tasa techo al momento de fijación o fecha de repricing.

El objetivo es valorizar el conjunto de opciones en una cartera de

créditos hipotecarios mixtos con techo móvil. Cada crédito de esta cartera puede tener spreads, plazos residuales a tasa fija y del crédito distintos, entre otros. En capítulo VI se describe con detalle la información financiera de la cartera de créditos a valorizar. A continuación, se describe el cálculo de la opción incrustada en el crédito.

1.2.3. Incorporando la opción incrustada en el crédito

Sea:

- s: meses. - t: fecha de repricing cualquiera, equivalente a un mes s particular del

año. - r(t): Tasa variable de mercado anual, compuesta anualmente, vigente

en t y por lo tanto, desconocida hoy. Esta tasa se fija en t, para determinar la cuota que será pagada mes a mes por los próximos 12 meses.

- sp: Spread crediticio del deudor a cobrar por sobre la tasa cero cupón.

- SI(s): Saldo insoluto al comienzo de s. - I(s): Interés a pagar por sobre el saldo insoluto en s. - K: Tasa techo máxima a pagar por el deudor.

En un crédito hipotecario mixto con techo, dado t, los intereses que

recibe el banco o la institución financiera para un mes s posterior a t pero anterior a t+12, se determinarán mediante el mínimo entre la tasa techo y r(t) más el spread:

},)(min{*)()( KsptrsSIsI += (1.2)

Sumando y restando r(t) + sp y arreglando términos:

}),)(min{)])(()(([*)()( KsptrsptrsptrsSIsI +++−+=

}0),)((min{*)(])([*)()( sptrKsSIsptrsSIsI +−++=

}))((,0max{*)(])([*)()( KsptrsSIsptrsSIsI −+−+= (1.3)

Aquí claramente se puede apreciar la opción que corresponde al segundo término de (1.3) y corresponde a una posición corta en una call, tal como se aprecia en la ecuación (1.1), luego en cada mes s, se produce una opción que viene incrustada en el crédito:

)(*)(])([*)()( tcallsSIsptrsSIsI −+= (1.4)

De (1.3) es fácil ver que si Ksptr <+)( , la call es igual a cero y el

banco recibe en s:

])([*)()( sptrsSIsI += (1.5)

Bajo el mismo razonamiento anterior, si Ksptr >+)( , la call vale Ksptr −+)( y el banco recibe:

KsSIsI *)()( = (1.6)

El flujo de intereses definido en (1.4) es el mismo para los próximos

doce meses posteriores a una fecha de repricing, por lo tanto, lo verdaderamente relevante es analizar que sucede en cada momento de fijación, que es cuando se determinan estos flujos, luego, esta opcionalidad se debe analizar para cada caplet, es decir, al momento en que se fija la tasa, y existirán al momento de pago a tasa variable, tantas fechas de repricing como años residuales de crédito.

1.3. Marco Normativo

El siguiente informe se enmarca dentro de las normas financieras de

operación, intermediación y control del sistema financiero y mercado de capitales sobre el control del crédito y captación, del compendio de normas financieras en relación a las operaciones activas y pasivas de los bancos e instituciones financieras presentadas por el Banco Central de Chile en el capítulo III.B.2. y el capítulo 12-9 de la Superintendencia de Bancos e Instituciones Financieras (SBIF).

Esta se refiere a que las instituciones financieras regidas por esta

normativa tienen regulada su exposición a las pérdidas que puedan incurrir como resultado de cambios adversos en las tasas de mercado, moneda ó unidades (índices) de reajustabilidad que están expresadas en los instrumentos, contratos y demás operaciones que registren en el activo o en

el pasivo. Dicha exposición deberá mantenerse en todo momento conforme a los límites establecidos en esta normativa. En el caso particular de los créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil, es necesario medir la exposición a los riesgos de tasas de interés. Se propone una metodología estandarizada para la medición de la exposición de estos riesgos, aunque la SBIF permite al banco o institución financiera escoger el modelo a implementar para incorporar las opciones incrustadas. Eso sí, el modelo adoptado por el banco o la institución financiera deberá pasar estándares de calidad mínimos y ser aprobado por el organismo fiscalizador en base a criterios técnicos y comerciales7.

Para medir estos riesgos, es necesario cuantificar los flujos asociados a la brecha temporal existente entre flujos de activos y pasivos de este crédito que generan requerimientos netos de liquidez a fin de que la institución pueda cumplir oportunamente con sus obligaciones financieras conforme a los respectivos vencimientos, tanto en condiciones normales como en situaciones excepcionales debido a cambios no previstos en las condiciones generales de mercado o debido a alguna situación particular de la institución. Algunos de los inputs necesarios para realizar esta cuantificación, dependerán del valor de la dinámica del crédito y más aún, de las griegas (y por lo tanto, claramente también del valor de la opción) generadas por el modelo escogido. Se exige implementar una política de administración de liquidez en concordancia con las normas y criterios sobre evaluación de gestión y solvencia establecidos por la SBIF. Esto permite adoptar medidas cuando la situación de liquidez se aparte de la política aprobada y ponga en riesgo el oportuno cumplimiento de las obligaciones de la institución. Lo anterior tiene su fundamento en relación a los fines declarados en Basilea (1996), que sugiere un estándar internacional de “buenas prácticas” para cuantificar el capital necesario de un banco. Luego, una posible fluctuación en las estructuras de mercado implica una exposición al riesgo de tasas de interés8 que puede conllevar a pérdidas no esperadas. La cuantificación de estos riesgos permitirá levantar el capital necesario de acuerdo a los criterios establecidos en los compendios financieros anteriormente mencionados que permita a la institución financiera tener el respaldo financiero que haga frente a estas posibles pérdidas.

7 Circular N°3.325 de la SBIF, emitido el 18-7-2005. 8 También hay un riesgo de reajustabilidad ya que típicamente los créditos hipotecarios están indexados a la Unidad de Fomento (UF). En este informe se omite este análisis.

Cabe destacar entonces, que la medición de este capital necesario es un trabajo complementario al realizado en esta tesis y que dependerá en gran parte de la valorización de la dinámica del crédito, la opción y sus griegas que servirán como inputs y que dependerán del modelo implementado.

CAPÍTULO II 2. MODELOS DE TASAS

2.1. Introducción a la teoría de modelos de tasa de interés

Los modelos de tasas de interés son esenciales para valorizar

derivados de la tasa. Lo primero que asume este tipo de modelos es que la evolución de las tasas de interés se encuentra inmersa en un ambiente estocástico. Esto se refiere con la incertidumbre de saber en el futuro cuál será el valor de la tasa. Es por ello que se asume una distribución de probabilidad para la tasa de interés.

Esto es consistente con la forma débil de la hipótesis de eficiencia de los mercados financieros en el cual cualquier patrón en precios detectado - y en consecuencia tasas - es destruido por un mercado eficiente, luego es imposible definir un patrón futuro para el nivel de la tasa a ciencia cierta. A medida que el mercado es afectado por nueva información, los precios se reajustan de acuerdo a las nuevas expectativas. Como la aparición de nueva información ocurre de manera aleatoria, entonces la variación de precios también lo debe ser.

Los modelos que simulan el comportamiento futuro de las tasas de interés mediante un proceso estocástico se denominan modelos de la tasa corta, que es el retorno obtenido en un tiempo infinitesimalmente corto.

Estos modelos son ampliamente usados para valorizar instrumentos

derivados que dependen del comportamiento que siga la tasa como caps, floors, opciones europeas sobre bonos o swaps de tipo europeo sobre bonos, entre otros. El principal supuesto, es que el proceso estocástico que sigue la tasa se encuentra inmerso en un mundo neutro al riesgo según Black y Scholes (1973). Esto significa que los individuos son indiferentes al riesgo, es decir, no exigen una prima por riesgo y por ende, todos los activos deben rentar la tasa libre de riesgo9.

Definiendo la tasa corta igual a r, en el tradicional mundo neutro al

riesgo, en un período muy corto entre t y ∆t, inversionistas ganan en promedio r(t)∆t. 9 Ver Hull (2004). Este autor recomienda para un estudio más detallado de la teoría de valoración neutra al riesgo a Cox, J.C y S.A. Ross(1976) y Smith (1976).

Por lo tanto, a partir de r, es posible deducir el precio teórico de un bono cero cupón para cualquier instante del tiempo. Usualmente, se define P(t,T) como el precio en t de un bono cero cupón que paga $1 al momento de su maduración T. Si se considera *r como el valor promedio de r entre t y T, el valor del bono en t será igual a:

][ˆ),( )*( tTreETtP −−= (2.1)

En donde E representa el valor esperado del bono.

La ventaja de usar r, es que no es necesario determinar directamente

la curva de expectativas del agente económico ya es que al ser un mundo neutro al riego, el precio del riesgo de mercado es cero y por lo tanto, los cálculos se simplifican ya que cualquier flujo de caja futuro puede ser valorizado descontando el valor esperado de sus flujos a la tasa libre de riesgo. La formulación de la teoría de valorización neutra al riesgo se debe a Ross (1976).

Sin embargo, para poder construir la dinámica de la tasa corta, es

necesario definir los parámetros que rigen el proceso estocástico que sigue r. Para ello, se deben analizar estructuras de mercado que supuestamente también sean libres de riesgo en el mundo real (adverso al riesgo). En Chile, el Banco Central poseen los riesgos crediticios más bajos de la economía. Usualmente, los retornos que generan los instrumentos emitidos por esta institución se consideran libres de riesgo ya que la probabilidad de default es prácticamente despreciable. En consecuencia, a partir de estos instrumentos es posible generar las estructuras de mercado y por lo tanto, los inputs relevantes para definir la dinámica de la tasa corta.

En la práctica, la tasa que determina los pagos del crédito es la tasa

TAB anual. Por lo tanto lo ideal sería obtener estructuras de mercado de la tasa TAB. Esto presenta dos problemas:

• Esta curva de mercado no existe ya que en la práctica, esta tasa tiene un plazo máximo de un año. Lo cual es contraproducente en la valorización ya que por lo general, estos créditos tienen plazos mayores a veinte años por lo que se necesitan estructura de mercado a esos plazos.

• La tasa TAB no es libre de riesgo ya que tiene un retorno mayor a otros papeles como, por ejemplo, del Banco Central.

Estos dos problemas se tratarán con mayor detalle en el capítulo VI.

De aquí en adelante se asume que existen estructuras de mercado para la

tasa TAB que están bien definidas, es decir, se encuentran disponibles para todos los plazos relevantes y son libres de riesgo.

Por lo tanto, en el mundo real, estos retornos libres de riesgo se

determinan a partir de los precios de los bonos libres de riesgo transados en el mercado. Si se considera la tasa R(t,T) como la tasa de interés compuesta continuamente de un bono cero cupón de mercado libre de riesgo P´(t,T) en t con maduración en T, entonces:

))(,(),´( tTTtReTtP −−= (2.2) de forma tal que

),(ln1),( TtPtT

TtR−

−= (2.3)

Luego P = P´ y usando la ecuación (2.1) con (2.3) se llega a que: ][ˆln1),( )( tTreE

tTTtR −−

−−= (2.4)

(2.4) implica que para determinar la dinámica de tasas definida por

R(t,T) basta determinar el logaritmo natural del valor esperado de la tasa corta para el intervalo de tiempo entre t y T. Por lo tanto, una vez definido el proceso estocástico para r, la estructura de curvas cero al inicio y su evolución a través del tiempo quedan completamente caracterizadas. Un desarrollo formal de la teoría neutra al riesgo se puede apreciar en Shreve (2004). Una versión para principiantes puede ser vista en Hull(2005).

2.2. Comportamiento estocástico de las tasas

En esta sección se muestra entonces como se define el proceso estocástico para r. Para la tasa corta, típicamente se asumen procesos de tipo Markovianos10, lo que implica que para predecir su evolución futura la información relevante compete a su estado actual y no a la información pasada. En esta tesis se abordan modelos de un factor, lo cual envuelve una sola fuente de incertidumbre que viene dado por el nivel futuro de la tasa.

10 Ver Hull(2003) ó Ross (1996)

Sin embargo, estos modelos se pueden generalizar a n factores. En un enfoque reticulado, la implementación de modelos multi factoriales puede llegar a ser muy compleja por lo que su implementación se basa típicamente en simulación de montecarlo11.

En este caso particular, el proceso estocástico de un factor que sigue la tasa corta se conoce como un proceso de Ito, tal que: dztrdttrdr ),(),( σµ += (2.5) En donde µ es la media de la tasa corta, σ representa la desviación estándar de la tasa corta y z(t) es un proceso de Wiener (usualmente llamando Movimiento Browniano) que representa la incertidumbre y está definido como:

ttz *)( ε= (2.6) En donde ε se distribuye Normal con media 0 y varianza 1. Por lo

tanto, z(t) se distribuye Normal con media 0 y varianza t. Si µ y σ son constantes, al distribuirse ε como una N(0,1), dr se distribuye N(µ,σ2). Sin embargo, para casos más generales, el hecho de que µ y σ pueden tomar distintas formas funcionales implica que la distribución de probabilidad del incremento de tasas dr pueda distribuirse de distinta forma. Típicamente puede ser normal, lognormal, chi cuadrado, etc. La ecuación (2.5) se puede interpretar de la siguiente forma; la variación de la tasa corta depende de una componente determinística (tendencia o drift) proporcional a la variación del tiempo y una componente estocástica o el ruido que se produce en torno a esa tendencia a través del tiempo (dz) reflejado en la desviación estándar (volatilidad o difusión). Por último, es importante notar que la evidencia empírica internacional sugiere que las tasas revierten a un valor de equilibrio, por lo que la implementación de modelos reticulados con reversión a la media se hacen necesarios. El argumento es el siguiente; cuando las tasas son altas, la economía se estanca y las inversiones declinan. Esto implica que hay menos demanda por dinero por lo que las tasas bajan. Cuando las tasas están bajas, es relativamente barato invertir, por lo que el exceso de demanda por dinero implica que las tasas deberían debieran subir.

11 El modelo más genérico que se conoce es el de Heath, Jarrow y Morton (1992). Sin embargo, este modelo asume que el proceso que sigue la tasa corta no es Markoviano .

A continuación se aprecia como la tendencia puede reflejar esta reversión, para un proceso particular de la tasa corta: dtrdr )( −= µα (2.7) Al resolver la EDO (2.7) se obtiene: tertr αµµ −−+= )()( 0 (2.8) Claramente, en t = 0, el valor de la tasa corta es r0, es decir, el valor de la tasa spot, y α es la tasa de reversión a la media. Notar que si t→∞, r = µ, lo cual se puede interpretar como el nivel de la tasa a largo plazo. Lo anterior se puede apreciar en la figura 2-1. Si se agrega la componente estocástica a (2.8), el proceso para r queda definido por: dzdtradr σµ +−= )( (2.9) En valor esperado, el proceso descrito en (2.9) sigue cumpliendo las características descritas de reversión a la media.

Figura 2-1: Reversión a la media.

2.3. Modelos de no arbitraje

Los modelos de tasas se pueden subdividir en 2 ramas.

La primera y por cierto la más antigua, son los modelos de equilibrio. El primero modelo propuesto se debe a Vasicek (1977) que describe el proceso que sigue la tasa corta según la ecuación (2.9). Otros modelos de equilibrio más sofisticados son los de Cox, Ingersoll y Ross (1985) ó Fong y Vasicek (1992). Sin embargo, el problema de los modelos de equilibrio es que la valorización de derivados de tasas no incluye información de mercado suficiente lo que puede llevar a valorizar de manera inapropiada el instrumento ya que la tasa corta no se ajusta temporalmente a la estructura de mercado observada si no a una curva teórica definida por los parámetros del proceso.

Es por ello que a partir del trabajo de Ho Lee (1986) se empieza a

desarrollar la segunda rama de modelos de tasas llamados modelos de no arbitraje (también conocidos como consistentes con las estructuras de mercado).

Estos modelos están diseñados para ser consistentes con la

estructura temporal de mercado vigente ya que consideran la tendencia como dependiente del tiempo12. Esto es por que la forma inicial de la curva cero rige la trayectoria promedio tomada por la tasa. Si la curva cero tiene pendiente positiva entre t1 y t2, r tiene una tendencia positiva entre estos tiempos. Si la curva cero tiene pendiente negativa, entonces r tiene tendencia negativa. Es decir, el proceso que sigue r no queda determinado solamente por el drift y la difusión si no también toma en cuenta las expectativas de mercado, representadas por las curvas cero de modo de valorizar instrumentos financieros de manera consistente a éstas.

Los modelos de no arbitraje se dividen en 2 familias. La primera

reside en modelos que ajustan solo la tendencia de manera de ser consistentes con la estructura de tasas y toman la volatilidad constante como un parámetro dentro del proceso estocástico que sigue la tasa. Estos modelos de no arbitraje se pueden caracterizar como modelos de volatilidad equilibrada.

La segunda familia son modelos que automáticamente se adaptan a las estructuras de mercado observadas, por lo cual, son consistentes con las estructuras de tasas y también de volatilidades.

12 En contraste con los modelos de equilibrio en que la tendencia no depende del tiempo.

Estos modelos también han tenido sus críticas. Gibson et al. (2001) dice que ciertas restricciones implicarían que estos modelos no serían consistentes con la dinámica histórica de tasas y además, los parámetros estimados día a día podrían ser poco estables lo cual rompería la consistencia estadística del modelo.

Aunque tanto los modelos de equilibrio como los de no arbitraje permiten determinar la dinámica de tasas, a diferencia de los modelos de equilibrio, los modelos de no arbitraje usan la estructura de tasas y volatilidad vigente como un input y se ajustan a éstas de tal forma que la dinámica de tasas generada por el modelo para cualquier instante de tiempo (t,T) sea consistente con las estructuras de mercado actuales. En cambio en los modelos de equilibrio, las estructuras de mercado vigentes son un output. Es por ello que al incluir un drift y una difusión que dependen del tiempo, varios modelos de equilibrio pueden ser convertidos a modelos de no arbitraje. Lo relevante es que estos últimos son los más utilizados en mercados desarrollados.

Sin embargo, para implementar estos modelos y sus supuestos, se necesitan inputs que efectivamente representen las estructuras de mercado. Obtener éstas de un mercado poco desarrollado como el chileno puede ser muy complejo ya que la cantidad de transacciones es baja lo que puede llevar a que no haya información sobre estructuras de mercado para determinados plazos todos los días. Esto generaría distorsiones en la valorización a mercado del derivado ya que los inputs no están representando de manera exacta las expectativas de mercado. Uno de los problemas entonces es poder encontrar la data disponible para encontrar las estructuras de mercado vigentes. Típicamente se deben realizar interpolaciones para poder completar estas curvas. Dentro de los más utilizados están los llamados modelos estáticos que realizan interpolaciones para completar la curva para una fecha determinada. Entre los más populares se encuentran Nelson y Siegel (1987), Svensson (1994), o métodos de Splines como el desarrollado por McCulloch (1971). Una descripción detallada del marco teórico y su implementación se puede apreciar en Molinare (2002) para determinar la estructura de tasas a partir de pagarés reajustables con pagos en cupones del Banco Central. Una metodología más compleja incluye filtros de Kalman. Esta metodología recursiva permite realizar estas interpolaciones utilizando no solo la información de una determinada fecha si no también considerando su correlación con información histórica. Una descripción de esta metodología se muestra y aplica en Manieu (2005) para estimar la dinámica de la curva

cero real en Chile. En esta tesis se asumirán mercados completos y la data financiera será obtenida de la base de datos de un banco local. Nelson y Siegel (1987) se retoma en el capítulo VII. Hay que notar que también existen modelos generados a partir de las estructuras de mercado pero que difieren de los modelos de tasas ya que asumen que la tasa es determinística, pero la variable que genera la opción es estocástica. En el capítulo V, debido a Black (1976) se habla de manera más detallada de este tipo de modelos.

En esta tesis se desarrollarán tres modelos de no arbitraje a volatilidad equilibrada, un modelo consistente con la estructura de tasas y de volatilidades y un modelo generado a tasa determinística.

En la siguiente figura se puede apreciar un resumen de la familia de

modelos que permiten valorizar derivados de la tasa de interés. El grado de complejidad aumenta de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. Entre paréntesis y en letras cursivas se aprecia el nombre de los modelos que se implementan y la familia a la cual pertenecen.

Figura 2-2: Familia de modelos para valorizar derivados de la tasa de interés.

CAPÍTULO III 3. MODELOS A IMPLEMENTAR

Hoy en día, la literatura presenta una amplia gama de modelos consistentes con las estructuras de mercado. Se han escogido 4 modelos a implementar debido a su gran popularidad entre académicos y profesionales.

La metodología consiste en implementar estos 4 modelos en un

enfoque reticulado o lattice usando árboles de tasas. La tabla 3-3-1 muestra la E.D.E. del proceso que rige la tasa para

cada uno de estos modelos y sus principales características.

Modelo Árbol Proceso Distribución de r Consistente13 Black Derman Toy 1 Binomial dzdttrd σθ += )(ln Lognormal ET

Black Derman Toy 2 Binomial dztdttrd )()(ln σφ += Lognormal ET y EV

Hull & White Trinomial dzdtrtdr σαθ +−= ])([ Normal ET

Ho Lee Binomial dzdttdr σθ += )( Normal ET

Tabla 3-3-1: Modelos consistentes con las estructuras de mercado a implementar y sus principales características.

Black Derman Toy no tiene solución fundamental del la E.D.E., por

lo que el cálculo del valor de la opción debe realizarse numéricamente. En el caso de Hull y White y Ho Lee, es posible encontrar soluciones fundamentales para la E.D.E. Luego, estos procesos tienen solución analítica con lo que es posible determinar la dinámica de la tasa y de la opción de manera analítica. Sin embargo, se decide continuar con el enfoque reticulado.

Un problema en Ho Lee y Hull y White es que al distribuirse el proceso Normal, las tasas pueden tomar valores negativos con una probabilidad positiva. Esto es contraproducente con la evidencia empírica, ya que la tasa TAB es una tasa activa. La ventaja de Hull and White es que al haber reversión a la media, la probabilidad de tasas negativas es mucho menor.

A continuación se describe en detalle el marco teórico de cada uno de estos modelos para su implementación. Esta es una extracción de la 13 ET = Estructura de tasas. EV = Estructura de volatilidad.

metodología sugerida por Clewlow y Strickland (1998). La convención de tasas a utilizar son tasas compuestas anualmente, base 30/360. Esto es válido para todos los modelos a menos que se indique lo contrario.

3.1. Black Derman Toy

El primer modelo a implementar para estimar la estructura temporal

de tasas de interés es el propuesto por Black, Derman y Toy (1990) (BDT), muy popular en EE.UU. y ampliamente usado por profesionales y académicos. A continuación se describe BDT en términos generales y en la sección 3.1.1 y 3.2.2 se describe en particular BDT 1 y BDT 2 respectivamente. Este es un modelo de un factor que permite ajustar la estructura observada de tasas de interés así como la estructura de volatilidades de la tasa spot14.

Algunos supuestos que contempla la teoría de BDT implican cambios en los retornos de los bonos perfectamente correlacionados, retornos esperados en un período iguales (mundo neutro al riesgo) y la tasa corta se distribuye log normal. Esto previene tasas cortas negativas.

Este modelo se desarrolla algorítmicamente, describiendo la evolución de la totalidad de la estructura temporal en un enfoque discreto de tiempo mediante un marco de aplicación binomial de tipo reticulado15. El objetivo es construir un árbol binomial para la tasa corta de forma tal que el árbol automáticamente entregue la función de retornos observada y las volatilidades de los diferentes retornos. Jamshidian (1991) muestra que en el continuo, el nivel de la tasa corta en BDT se comporta de la siguiente forma: )()()()( tztetUtr σ= (3.1) Con U(t) definida como la mediana de la distribución lognormal en un instante t, σ(t) es el nivel de volatilidad de la tasa corta y z(t) representa 14 Recordar que el análisis se sustenta en un mundo neutro al riesgo 15 También denominado Lattice

el nivel del movimiento Browniano. Para un desarrollo más acabado sobre este tipo de distribuciones ver Aitchson y Brown (1957). Tomando el logaritmo natural en (3.1) )()()(ln)(ln tzttUtr σ+= (3.2) Y diferenciando, se obtiene: dtttztdztdt

ttUtrd )´()()()()(ln)(ln σσ ++

∂∂

= (3.3)

Despejando z(t) de (3.2) y reemplazando en (3.3),

)()()](ln)([ln)()´()(ln)(ln tdztdttUtr

tt

ttUtrd σ

σσ

+

−+∂

∂= (3.4)

Definiendo )(ln

)()´()(ln)( tU

tt

ttUt

σσθ −

∂∂

= (3.5)

Se obtiene BDT:

)()()(ln)()´()()(ln tdztdttr

ttttrd σ

σσθ +

+= (3.6)

)()()()(ln tdztdtttrd σφ +=

La ventaja de (3.6) es que permite entender algunos supuestos implícitos en el modelo. BDT incorpora dos funciones dependientes del tiempo, Ø(t) y σ(t), escogidos de forma tal que el modelo se ajusta a la estructura de tasas spot y a la estructura de volatilidades de la tasa corta. En este modelo, la variación en la tasa corta se distribuye lognormal, lo cual implica que las tasas no pueden ser negativas. Por ende, una vez que Ø(t) y σ(t) son escogidos, la futura volatilidad de la tasa corta queda completamente determinada. Una consecuencia negativa de lo anterior es que para ciertas especificaciones de σ(t) la tasa corta puede no revertir a la media.

El modelo tiene la ventaja que la unidad de volatilidad es en porcentaje, lo que está enmarcado dentro de las convenciones usuales de mercado. Desafortunadamente, debido a la Log Normalidad, no existen soluciones analíticas para el modelo por lo que se requieren procedimientos numéricos para derivar el árbol de la tasa corta y correctamente entregar las estructuras temporales de mercado correspondientes. Muchos profesionales prefieren ajustar solamente la estructura de tasas, lo cual implica dejar constante la volatilidad futura de la tasa corta, lo que implica que (3.6) se puede expresar como: )()()(ln tdzdtttrd σθ += (3.7)

La razón por la cual algunos profesionales prefieren usar (3.7) tiene que ver con la simplicidad de los modelos de un factor, que no pueden generar una amplia variedad de estructuras temporales para la volatilidad debido a la simpleza de su estructura estocástica. Es por ello que la curva de volatilidades generada está restringida y puede ser bastante irreal con la evolución futura de la estructura de volatilidades. Los modelos de dos factores en este sentido presentan una ventaja ya que pueden construir estructuras de volatilidades más diversas, tal como se muestra en Clewlow y Strickland (1998).

3.1.1. Construyendo árboles para tasas cortas con BDT

Desafortunadamente, para modelos log normales, se pierde el tratamiento analítico. El enfoque a utilizar para valorizar derivados de la tasa de interés consiste en discretizar el modelo continuo y trabajar con árboles binomiales sobre la tasa corta que deberán ser construidos hasta el período de maduración del instrumento subyacente al derivado. Se supone que las curvas de tasas y volatilidades vigentes (t = 0) ya han sido especificados, es decir, ya se han determinado los precios de los bonos de descuento y sus asociadas volatilidades para cada ∆t. Para este modelo, se asumen las probabilidades libres de riesgo16 iguales a ½.

16 Se denominan probabilidades libres de riesgo ya que independiente del estado de la naturaleza en que la tasa corta se encuentre, el valor presente del valor esperado de los flujos debe rentar la tasa libre de riesgo

Cabe constatar, que por definición, la tasa corta inicial r es el retorno de un bono que madura al final del primer período ∆t. El siguiente paso consiste en determinar rU y rD en los nodos que se denominarán U y D, para poder ajustarlas curvas iniciales especificadas. Para poder ajustar las curvas iniciales de tasas se necesita que el árbol correctamente valore el precio de un bono a 2 períodos, es decir, un bono que valga $1 en cada uno de los 3 períodos en t = 2. (rUU, rUD, rDD). Esto queda representado gráficamente en la figura 3-1.

Figura 3-1: Primeros tres pasos en un árbol binomial para la tasa corta.

Ahora, para ajustar la curva inicial de volatilidad en cada paso del

tiempo se necesita satisfacer la siguiente relación:

=

abajo

arriba

retornoretorno

ln21σ (3.8)

donde retornoarriba y retornoabajo están determinados por el árbol como

los rendimientos vistos en los nodos U y D respectivamente. Las tasas rU y rD son escogidas de acuerdo a un proceso de prueba y

error en base a una técnica de búsqueda numérica para satisfacer estos 2 requerimientos17.

17 Ver Black, Derman y Toy (1990)

El resto del árbol se llena análogamente. Las tasas rUU, rUD y rDD son escogidas de forma que se ajusten al precio y a la volatilidad del rendimiento de un bono a tres períodos. Según Black, Derman y Toy (1990), se puede usar la siguiente relación para limitar la búsqueda a dos tasas cortas en vez de tres:

DDUUUDDDUDUDUU rrrrrrr =⇒= 2// (3.9)

Por lo que rUD queda determinado por las otras 2, lo que típicamente

garantizará una solución única. Se procederá a usar la técnica de inducción hacia adelante

implementada por Jamshidian (1991) para construir el árbol de manera eficiente.

Se considera el tiempo t = i y se consideran j estados correspondiente

a los nodos ramificados del árbol para cada i, por lo tanto, para el tiempo i habrán (i+1) estados j = -i, -i+2, ..., i-2, i. En i = N, j tiene una distribución normal centralizada con media 0 y varianza N. De este modo, tj ∆ se distribuye normal con media 0 y varianza t, lo cual es lo mismo que un paseo al azar18, lo que implica que al tender ∆t a cero el proceso binomial

tj ∆ converge al proceso de Wiener z(t). Usando los resultados anteriores, se representa el nivel de la tasa

corta de la ecuación (3.1) en el árbol como:

tjiji eiUr ∆= )(

, )( σ (3.10) es decir, reemplazar t por i y z(t) por tj ∆ . Al referirse a ri,j como la

tasa corta (en un período ∆t) esta es la tasa en el nodo i, j. Para construir el árbol para la tasa corta (es decir, determinar ri,j para todo i, j) se requiere determinar U(i) y σ(i).

Una representación más didáctica se puede apreciar en el gráfico 3-2:

18 Para una mayor profundización en la teoría del paseo al azar ver Ross ( 1996)

Figura 3-2: Discretización binomial de Modelos de Trayectorias Brownianas

independientes. En la siguiente sección se aplicará la metodología para implementar los modelos BDT 1 ajustado por estructura de tasa a volatilidad constante y BDT 2 ajustado por estructura de tasas y volatilidad.

3.1.2. Implementación de BDT 1

Para determinar ri,j se debe determinar U(i) solamente ya que σ es

constante. Para ello, se usan precios de estado19. Se define Qi,j tal que en el tiempo 0, este activo paga de la siguiente forma: $1 si el nodo (i , j) es alcanzado $0 si no

Por definición, Q0,0 = 1.

Se puede demostrar que el precio de un bono cero cupón que madura en el tiempo (i+1)∆t puede ser expresado en términos de los precios de estado descontados a la tasa relevante, es decir:

∑=+j

jiji dQiP ,,)1( (3.11)

19 También conocidos como precios contingentes, elementales ó Arrow-Debreu (1954).

donde di,j representa el precio en el tiempo i ∆t en el estado j de un bono cero cupón que madura en el tiempo (i+1)∆t. Con tasas compuestas, se tiene:

( ) tji

ji rd ∆+

=,

, 11 (3.12)

Recordando que los precios de los bonos cero cupón P(i) ya se

conocen a partir de la estructura inicial (de hoy) de retornos (usando R(i) a partir de (2.2) y suponiendo la misma convención de tasas que la usada en (3.12)), entonces (3.11) obedece a una relación de no arbitraje. A priori está relación de no arbitraje no es directa. Al final de esta sección se explica con más detalle (3.11). Por ahora, se requiere asumir esta relación. El proceso de inducción hacia adelante implica ir acumulando precios de estado a medida que se va progresando a través del árbol. Los precios de los activos puros se van actualizando en cada (i, j) de los valores conocidos en i - 1 de acuerdo a la siguiente ecuación:

1,11,11,11,1, 21

21

+−+−−−−− += jijijijiji dQdQQ (3.13)

(3.13) es válida para cualquier nodo (i, j) menos para los nodos

extremos (i, i) y (i, -i). En este caso, hay una trayectoria única de transición y se tiene:

1,11,1, 21

−−−−= iiiiii dQQ (3.14)

1,11,1, 2

1+−−+−−− = iiiiii dQQ (3.15)

BDT ajustado solamente por retorno implica imponer σ igual a una constante. Lo anterior, implica usar (3.7):

)()()(ln tdzdtttrd σθ += (3.16)

y cambiar (3.10) a:

tjji eiUr ∆= σ)(, (3.17)

Usando (3.17) y (3.11), en el tiempo i + 1 los bonos cero cupón

pueden ser construidos como:

( )∑ ∆+=+

jt

jiji r

QiP,

, 11)1( (3.18)

( )∑ ∆∆+

=+j

tjitjiU

QiP)exp()(1

1)1( ,σ

Solo U(i) en (3.18) es desconocido, y desafortunadamente, despejar U(i) no es directo. Luego, se aplica Newton Raphson Unidimensional. Para ver el detalle del algoritmo, ver anexo A.1. Por lo tanto, una vez que se conocen para cada estado del tiempo U(i), se obtiene ri,j para cada nodo j asociado al instante de tiempo i y así progresivamente se avanza al estado i + 1. Finalmente si se combina (3.11), (3.13), (3.14) y (3.15) se llega a:

∑=j

jiQiP ,)( (3.19)

Lo que dice (3.19) es que sumando todos los precios contingentes

sobre j para cualquier instante i se recuperan los factores (bonos) de descuento que permiten recuperar la tasa acorde la ecuación (2.2). De esta forma, el “precio esperado ó teórico” del bono cero cupón generado por el árbol con maduración en el instante i debe ser igual al precio del bono de mercado. Luego la tasa corta generada en cualquier estado (i,j) del árbol será tal que no haya arbitraje ya que el árbol se ha calibrado a la curva de retornos de mercado.

3.1.3. Implementación de BDT 2 En este caso se debe usar (3.10) donde ahora σ(i) no es constante:

tji

ji eiUr ∆= )(, )( σ (3.20)

Se denotará el primer paso del tiempo (nodo (1,1) en la figura 3-2) por U y el nodo de abajo (nodo (1, -1)) será denotado por D. Además, sean PU(i) y PD(i) ( para todo 1≥i ) las correspondientes funciones de descuento evaluadas en los nodos U y D respectivamente, con RU(i) y RD(i) los correspondientes retornos de los bonos de descuento derivados según la ecuación (2.3) a convención de tasas compuestas. Especificando ambos, las curvas del retorno de la tasa spot y su volatilidad en el tiempo i = 0, es equivalente a especificar en i = 1 las dos funciones de descuento, PU(i) y PD(i) ( para todo 1≥i ). Para que el árbol de la tasa corta pueda ser construido y ajustado a las curvas iniciales de retorno y volatilidad, PU(i) y PD(i) deben ser consistentes con los valores conocidos de P(i) y σR(i), en donde P(i) y σR(i) son datos a partir de la estructura inicial (de hoy) de retornos (usando R(i) a partir de (2.2) y suponiendo tasas compuestas)) y volatilidades respectivamente. El primer paso para construir el árbol es determinar PU(i) y PD(i) para todo 2≥i . Los valores conocidos en el período inicial, P(i) y las nuevas funciones definidas PU(i) y PD(i) son relacionadas vía los valores esperados descontados20: ( ) NiiPiPiP

r DUt ,...,2)()](5.0)(5.0[1

1

0,0

==++ ∆ (3.21)

Las volatilidades iniciales pueden ser recuperadas aplicando la ecuación (3.8), que puede ser expresada en términos de PU(i) y PD(i) como:

=∆

)(ln)(ln

ln21)(

iPiP

tiD

URσ (3.22)

(3.21) y (3.22) permiten encontrar PU(i), como solución de: )1)((2)()( 0,0

))(2exp( triPiPiP tiUU

R ∆+=+ ∆− σ (3.23) Y por lo tanto, PD(i) se expresa como: ))(2exp()()( ti

UDRiPiP ∆−= σ (3.24)

20 Usando el principio de no arbitraje

PU(i) y PD(i) pueden ser encontradas usando Newton Raphson Unidimensional. (Ver anexo A.1) Nuevamente se usa inducción hacia adelante para determinar las funciones dependientes del tiempo que aseguren consistencia con los datos de la curva inicial de rendimientos y volatilidades. Sin embargo, ahora los precios de estado son determinados desde los nodos U y D requiriendo la siguiente notación:

jiUQ ,, : El valor visto del nodo U, de un activo que paga $1 si el nodo (i, j) es alcanzado y $0 si no.

jiDQ ,, : El valor visto del nodo D, de un activo que paga $1 si el nodo (i, j) es alcanzado y $0 si no.

Por definición, QU1,1 = 1 y QD1,-1 = 1. El árbol es construido desde ∆t hacia delante usando un procedimiento similar al visto en la sección 3.1.2. Ahora se tienen dos ecuaciones similares a (3.18):

∑=+j

jijiUU dQiP ,,,)1( (3.25)

∑=+j

jijiDD dQiP ,,,)1( (3.26)

con:

( ) ttji

jitjiiUr

d ∆∆∆+

=+

=))(exp()(1

1)1(

1

,,

σ (3.27)

(3.25) y (3.26) se resuelven usando Newton Raphson bidimensional. (Ver anexo A.2).

Una vez que se conoce U(i) y σ(i) a partir de (3.25) y (3.26), se puede determinar ri,j en el árbol para ese paso del tiempo particular y así sucesivamente hasta que se determina para todo nodo (i,j) del árbol.

3.2. Ho Lee

La E.D.E. que sigue la tasa corta en el caso de Ho Lee (1986) es:

)()()( tdzdtttdr σθ += (3.28)

Y la tasa se construye entonces como:

tjiUr ji ∆+= σ)(, (3.29) El proceso descrito en (3.28) puede ser visto como la versión normal

de BDT 1 o un caso particular de Hull y White con α igual a cero. En este caso, al tomar la volatilidad constante, el ajuste es solamente en estructura de tasas.

La metodología utilizada consiste en construir el árbol usando Ho

Lee como la versión normal de BDT 1. Por lo tanto, se debe cambiar (3.16) y (3.17) por (3.28) y (3.29) respectivamente para luego realizar exactamente el mismo procedimiento que en BDT 1. La solución analítica de Ho Lee se puede apreciar en el anexo B.

3.3. Hull and White

3.3.1. Introducción a árboles trinomiales

En árboles trinomiales además de fijar el paso del tiempo (∆t) también se fija el paso del espacio (∆r), lo que implica ajustar las probabilidades para ajustar el orden en que el cambio en r en el árbol tenga la media y desviación estándar correctas en cada intervalo ∆t del proceso que se requiere aproximar.

De este modo, los valores que toma la tasa corta en los nodos

distintos al del estado inicial están igualmente espaciados y tienen la forma r0,0 + j ∆r, donde j es un entero positivo. El valor del tiempo sigue siendo t = i ∆t. Por lo tanto, el nodo en el árbol donde t = i ∆t y r0,0 +j ∆r está referido como el nodo ( i, j).

Según Hull y White (1993), el enfoque trinomial es básicamente un esquema basado en finitas diferencias, y por condiciones de estabilidad y convergencia, se sugiere la siguiente relación entre ∆t y ∆r:

tr ∆=∆ 3σ (3.30)

La forma en que está dada la ramificación en árboles trinomiales se muestra en la figura 3-3:

Figura 3-3: Ramificación en árboles trinomiales.

El proceso de ramificación en (a) dice que la dinámica en la tasa corta r se puede dar con un alza o una baja en r en magnitud ∆r o puede mantenerse igual. (b) dice que r puede subir en magnitud 2∆r (rama más alta), subir en magnitud ∆r (rama intermedia) o mantenerse en el mismo nivel. (c) muestra la misma idea, solo que en este caso lo que se grafica es la baja en el nivel de la tasa.

La implicancia anterior es que el extra grado de libertad permite modelar la reversión a la media. Es decir, al haber niveles de tasa muy altos, estos deberían ajustarse a la baja y viceversa, al haber niveles de tasa bajos, estos debieran ajustarse al alza. Lo anterior es consistente con la evidencia empírica registrada en los mercados financieros.

3.3.2. Implementación de Hull y White ajustado por retorno El proceso a modelar viene dado por la siguiente E.D.E.:

dzdtrtdr σαθ +−= ])([ (3.31)

En este proceso el drift es conocido pero contiene la función

desconocida Ө(t) que es la que permite consistencia con la estructura de tasas inicial. La volatilidad σ se asume constante y α es el coeficiente de reversión a la media. La solución analítica de Hull y White se puede apreciar en el anexo C.

Para poder construir el árbol, Ө(t) debe ser determinado de forma tal que todos los bonos cero cupón R estén valorizados correctamente.

A continuación, se define la siguiente notación:

Ө(i∆t): Valor de Ө en el tiempo i∆t. µi,j: tasa del drift r en el nodo (i,j).

PU,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama de arriba del nodo (i,j) pM,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama del medio del nodo (i,j) pD,i,j: probabilidad de ramificación asociada a la rama de abajo del nodo (i,j)

Para el modelo considerado, µi,j viene dado por µi,j = [Ө(i∆t) –αri,j]∆t. La tasa corta al inicio del árbol (r0,0) es por definición el rendimiento del bono cero cupón que madura en el primer ∆t. La metodología propuesta asume convención de tasas continuas para el factor de descuento de un período. Esto implica que la convención de tasas cambia a composición continua. Recordar que a partir de la tasa spot R compuesta anualmente y usando la misma base, es posible obtener la tasa spot de una tasa con composición continua Rc para cualquier plazo i mediante la siguiente identidad: ( ) ))(exp()(1 iRiR c=+ (3.32)

Suponga que el árbol ya ha sido construido para el período n∆t. La tasa corta en el tiempo i∆t que se aplica entre el período i∆t y (i+1)∆t y por ende un árbol construido hasta i∆t refleja los valores del rendimiento del bono cero cupón R(n) para n ≤ i + 1. En construir las ramas entre i∆t y (i+1)∆t un valor para Ө(i∆t) debe ser calculado de forma tal que el árbol sea consistente con el rendimiento de un bono cero cupón que madura en el tiempo i+2 (Es decir, R(i+2)). Una vez que Ө(i∆t) ha sido determinado, los valores del drift µi,j pueden ser obtenidos. Las ramas que emanan de los nodos al tiempo i∆t y sus respectivas probabilidades de transición son entonces elegidas para ser consistentes con el término del drift del proceso y la volatilidad de la tasa corta, σ. Los 3 nodos a partir del nodo (i,j) son entonces (i+1,k+1) -nodo superior, (i+1,k) -nodo intermedio y (i+1,k-1) -nodo inferior) con k (entero) tal que el valor de éste para ri+1,k sea lo más cercano posible al valor esperado de r, que por definición es ri,j + µi,j

21. Notar que para un proceso normal, j = k y que para el proceso descrito en (a) y (b) en la figura 3-3, k = j+1 y k = j-1 respectivamente. Las probabilidades asociadas a cada nodo son:

rrtp jiU ∆

+∆

+∆=

22 2

22

,,ηησ

2

22

,, 1rtp jiM ∆

+∆−=

ησ (3.33)

jiMjiUjiD ppp ,,,,,, 1 −−=

donde rkjji ∆−+= )(,µη . Para derivar Ө(i∆t), se debe usar nuevamente inducción hacia delante, derivando los precios contingentes a medida que el árbol se va construyendo, a partir de valores conocidos del paso del estado del tiempo anterior, vía la siguiente relación:

∑ −−=s

sijssiji dpQQ ,1,,1, (3.34)

Con ps,j la probabilidad de moverse del nodo (i-1,s) al nodo (i,j), Q

los precios contingentes y d el factor de descuento asociado a un período.

21 Esto definirá si el proceso de ramificación es de acorde la figura 3-3 según (a), (b) ó (c).

Una vez determinado (3.34), se puede calcular Ө(i∆t) que para este modelo en el tiempo i-ésimo, viene dado por:

∑ ∆+∆−∆

+∆

+++∆

=∆j

jijiji trtrQt

tiRit

ti )2exp(ln12

)2()2(1)( 2,,,2

2

ασθ (3.35)

Para el primer nodo, (3.35) se escribe como:

20,0

20,0

2 22

)2(21)0(t

trtrtiRt

t∆

∆−∆+

∆++

∆=∆

ασθ (3.36)

A continuación se presenta el procedimiento completo para construir

el árbol. Asumiendo i > 0 y que Ө((i-1)∆t),Qi-1,j, µi,j , pi-1,j, ri-1.j y di-1,j han sido calculados para todo j en tiempo i-1, con r0,0 = R(1), Q0,0 = 1: Paso 1: A partir de µi-1,j y el proceso implícito de ramificación, obtener la tasa corta y el factor de descuento en el tiempo i:

trji

ji

jied

ienjrjrr∆−=

∀∆+=,

,

0,0,

Asumiendo tasas compuestas continuamente. Paso 2: Actualizar los precios de estado en el tiempo i de acuerdo a (3.34). Paso 3: Determinar Ө(i∆t) a partir de (3.35). Paso 4: Usando Ө(i∆t) y ri,j determinar µi,j para todo j. trti jiji ∆+∆= ])([ ,, αθµ Paso 5: Decidir el proceso de ramificación (determinar k). Paso 6: Calcular las probabilidades de transición usando (3.33).

CAPÍTULO IV 4. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LA OPCIÓN

A partir de ahora se asume un enfoque de trabajo basado en árboles de tasas, cuotas, saldo insolutos y ganancias. Se requiere calcular el valor presente del conjunto de opciones que se generan en cada caplet. En todo este capítulo se asumirá que el árbol de tasas ya ha sido construido usando cualquiera de los modelos descritos en el capítulo III por lo que el nivel de la tasa para cualquier nodo (i,j) del árbol, es conocido. Por lo tanto, ya que se conocen las tasas para cualquier instante del tiempo, sólo resta calcular los respectivos árboles de cuotas, saldos insolutos y ganancias que permitirán determinar el valor de la opción para cualquier crédito.

4.1. Complicaciones para el cálculo de la opción

Sin embargo, surgen 2 dificultades para llevar a cabo los cálculos. Estos tienen que ver con la granularidad (paso escogido) del proceso para construir el árbol y segundo, la trayectoria que sigue la tasa. En un árbol de tasas, dado el formato de recombinación del árbol, es imposible saber cual es la trayectoria seguida.

A continuación se define un criterio de granularidad y segundo, se

trata el problema de la dependencia en la trayectoria de la tasa.

4.1.1. Criterio de granularidad

El hecho de que los créditos se desarrollen de forma mensual

implicaría a priori, generar un árbol de tasas mensuales con flujos de pagos mensuales (árboles de cuotas, saldo insoluto, ganancia mensuales).

El problema radica en que la tasa que define la cuota y el saldo

insoluto, es una tasa anual. Por lo tanto, a partir de un árbol mensual se deben encontrar tasas anuales para todos los posibles estados en donde haya una fecha de repricing, y además que éstas se ajusten a las estructuras de mercado.

Esto puede ser muy complejo debido al tipo de calibraciones y la cantidad de iteraciones que se deben efectuar en el árbol de precios elementales para que efectivamente estas tasas sean consistentes. El tipo de calibración dependerá del modelo escogido.

Por lo tanto, el análisis se realizará construyendo árboles anuales y

flujos anuales ya que al escoger un paso anual, el árbol de tasas entrega directamente las tasas anuales de manera consistente y que permiten calcular la opción. Esto podría, a priori, implicar una pérdida de precisión en la valorización de la opción en el crédito, sin embargo, el enfoque no está en la precisión si no en realizar un análisis comparativo entre modelos.

La SBIF no permite la valorización anual tomando en cuenta que esta es una aproximación de la valorización mensual. A medida que se genere un paso pequeño, la aproximación permite tender al resultado continuo lo cual garantiza precisión. Al discretizar la E.D.E. en un espacio anual es posible que se generen diferencias en el resultado.

Se construirá el crédito usando BDT 1 con paso anual y mensual para verificar si estas diferencias son significativas. En los modelos restantes se tratará el crédito de forma anual. Si los resultados indican que efectivamente BDT 2 o Hull y White son los modelos a recomendar y se pierde mucha precisión usando un paso anual, entonces como trabajo futuro quedará la posibilidad de efectivamente implementar estos modelos con paso mensual.

4.1.2. Base 100

Existe una complicación adicional. La cuota y el saldo insoluto

dependen de la trayectoria pasada de la tasa a través del árbol por lo que en este caso se debe realizar un ajuste ya que no es posible determinar esta trayectoria, sin que el árbol mantenga su formato de recombinación En efecto, las cuotas generadas en un nodo de tasas que suben y luego bajan serán diferentes si la trayectoria de tasas resultara ser que primero bajan y luego suben.

El supuesto que se hace es que para cada instante i, el banco presta

una base, que en este caso se define en 100. Es decir, en cada año, el banco presta 100 unidades monetarias y por lo tanto, la cuota estará siempre bien definida como una anualidad que dependerá del saldo insoluto (siempre se prestan 100) que es igual a la base, el plazo residual y la tasa asociada a la

fecha de repricing que define la cuota. Análogamente el saldo insoluto de cada nodo corresponderá a los 100 que se prestan menos el capital amortizado. (Cuota calculada menos los intereses sobre el saldo insoluto ó la base 100)

Finalmente, lo que se hace es definir período a período la ganancia

que se obtiene por cada 100 unidades monetarias prestadas, y devueltas. Lo anterior se hace para cada nodo, y luego todas estas ganancias se traen a valor presente y con ello se obtiene la ganancia total del crédito.

La analogía con el cálculo de la ganancia de un crédito, por ejemplo,

mediante tasas forward es que período a período el saldo insoluto de la fecha de otorgamiento va disminuyendo a medida que se paga el crédito y la cuota de cada período está en función de ese saldo insoluto. Es decir, lo único que cambia es que en cada período el banco presta X unidades monetarias (en vez de 100).

Como el resultado final es proporcional al valor prestado, basta

ponderar el saldo insoluto efectivo del crédito por el valor del saldo insoluto base 100 (y dividido por 100) para recuperar el saldo insoluto de cada período. En el caso del árbol, es lo mismo, solo que acá se está ponderando de manera inversa en función del saldo insoluto calculado.

4.2. Construyendo la Dinámica Del Crédito

A partir de esta sección se detalla el proceso que genera los outputs, es decir, se muestran los cálculos necesarios para valorizar la opción y las sensibilidades (griegas) para un crédito hipotecario mixto con tasa techo móvil. A continuación de este capítulo, se asume que la dinámica del activo subyacente ya ha sido determinada mediante cualquiera de los modelos detallados en el capítulo anterior. Incorporando la información financiera del crédito hipotecario se podrán conocer los árboles de cuotas, saldos insolutos y ganancias en cada nodo que permitirán finalmente valorizar en valor presente la opción y las griegas (Delta, Gamma y Vega). Para ello, se desarrollará la siguiente metodología:

1. Construir el árbol de cuotas, saldos insolutos de un crédito

hipotecario mixto sin techo. Este crédito es el mismo que el definido en la sección 1.2 solo que la tasa que determina los pagos en la etapa variable está determinada netamente por la tasa variable más el spread, o sea, no considera la tasa techo. En función del árbol de

cuotas y saldos insolutos, determinar el valor presente de la ganancia de este crédito. Esta ganancia se denomina valor presente de la ganancia financiera del crédito sin opción (VPSO).

2. Construir los mismos 3 árboles de las partes 1 y 2, pero incorporando

la tasa techo. Es decir, la tasa variable que determina los pagos será la mínima entre la tasa variable más el spread versus la tasa techo para cada momento de fijación de tasa. En este caso, la ganancia financiera se denomina valor presente de la ganancia financiera del crédito con opción (VPCO).

3. Determinar el valor de la opción (VO) mediante la transformación de

la resta entre VPSO y VPCO desde la base 100 a la base original.

El VO representará entonces, el valor presente del costo de oportunidad para el banco en términos de lo que hubiese recibido si el pago fuese en función de la tasa de mercado relevante de cada fecha de repricing más el spread (VPSO) y lo que realmente recibe (VPCO) debido a que esta tasa de mercado está acotada por un techo.

La forma en que se construye el crédito difiere si el paso es anual o mensual. En la sección 4.2.1 se desarrolla esta metodología considerando un paso anual, es decir, los flujos son anuales considerando una cuota anual como aproximación de las 12 cuotas mensuales descritas. En la sección 4.2.2 se muestra el mismo cálculo anterior, pero esta vez mediante el modelo BDT 1 con paso mensual y con flujos mensuales determinados por cuotas mensuales tal como se describe en la sección 1.2. A partir de los cálculos realizados en estas secciones, en la sección 4.2.3 se explica el cálculo de las griegas, que es independiente del paso escogido.

En la valorización usando paso anual, todas las tasas expresadas son

anuales, base anual 30/360, compuestas anualmente, a menos que se indique lo contrario. En la valorización usando paso mensual, todas las tasas expresadas son mensuales, base anual 30/360, compuestas anualmente, a menos que se indique lo contrario. La siguiente figura muestra un esquema general de los inputs, el proceso y los outputs que generan los modelos.

Figura 4-1: Esquema general del proceso de valorización de la opción y griegas para un

crédito particular.

4.2.1. Valor presente de la opción usando paso anual

Se define:

- i: número entero entre 0 y n. i está expresado en años. i = 0

representa la fecha de valorización de la opción (hoy) y n es el plazo residual del crédito. n puede ser cualquier número entre 1 y 30 años. Cuando el crédito se encuentra en su etapa a tasa variable, i se interpreta también como la fecha de repricing. Notar que en cada fecha de repricing i, en el caso binomial habrán (i+1) estados j, en los cuales se fijará la tasa. En el caso trinomial, no se puede

determinar a priori debido a que el árbol ramifica de manera no estándar, pero de seguro más de (i+1) estados j.

- j: estado del árbol j asociado al instante i. En conjunto, conforman el nodo (i,j).

- x: número entero mayor a cero expresado en años. Es igual al plazo residual de pagos a tasa fija desde i = 0 hasta el próximo repricing. Siempre se cumple que x es menor que n. El caso límite implica x igual a n, lo cual es irrelevante ya que no hay opción. Típicamente es igual a 3 ó 5 años al momento de emisión del crédito.

- r(i,j): Tasa cero cupón (tasa corta) anual, con composición anual o continua dependiendo del modelo22, vigente para el estado de la naturaleza (i,j) y por lo tanto, desconocida hoy en el caso en que i es positivo, pero calculada por el árbol de la tasa corta para cada nodo (i,j).

- fix: Tasa fija residual. Esta puede ser igual al plazo residual de pagos a tasa fija o el plazo residual de la tasa variable fijada para la próxima fecha de repricing.

- sp: Spread crediticio del deudor a cobrar por sobre la tasa cero cupón.

- K: Tasa techo o tasa cap. - C(i,j): Cuota anual (Aproximación de 12 cuotas mensuales) del

crédito definida en el nodo (i,j) y pagadera al final de i (un año después), en base 100. Esta cuota se define en función de las 100 unidades monetarias (u.m) prestadas al inicio de i, la tasa corta vigente en (i,j) compuesta anualmente y el plazo residual del crédito n-i.

- SI(i,j): Saldo o capital insoluto al final de i, definido en (i,j) en base 100 correspondiente a las 100 unidades monetarias prestadas al inicio de (i,j).

- G(i,j): Ganancia en valor presente a recibir al final de i, en base 100 y definida en (i,j).La ganancia financiera del banco son los intereses que genera el banco por sobre el capital prestado en función del spread financiero que se le cobra al deudor por sobre su costo, representado por la tasa variable.

La cuota, el saldo insoluto y la ganancia de cada nodo (i,j) dependen exclusivamente del nodo (i,j) donde se generó el pago, ya que en cada nodo, se prestan 100 unidades monetarias (u.m) al inicio, que son devueltas al final del instante i. Esto es debido a la dependencia en la trayectoria pasada de la tasa23. 22 Es compuesta anualmente para todos los modelos menos para Hull y White donde la tasa corta es continua. Ver sección 3.2.2. 23 Ver Sección 4.1.2.

En esta tesis, al considerar un modelo anual se ha decidido que siempre x será un entero positivo24. Luego, siempre va a existir por lo menos un año de pagos a tasa fija.

Primero, se calculará el árbol de cuotas, saldos insolutos y ganancias

considerando un crédito mixto sin tasa techo. La cuota anual a pagar durante el período a tasa fija x se determina

considerando una anualidad con respecto a la maduración del crédito y el saldo insoluto inicial (100), es decir:

fixjiC

fixfixjiC

in

),()1(

1),(100 −+−= (4.1)

Despejando ),( jiC , se obtiene:

]1)1[()1(100),(

−++

= −

−

in

in

fixfixfixjiC (4.2)

Las cuotas a tasa fija debieran ser las mismas para todo el período a

tasa fija. Si x es igual a 1, entonces solo habrá una cuota para el período (0,0). Pero si x es mayor a 1, las cuotas se deben reajustar debido a la incerteza de la trayectoria, por eso el plazo residual de la anualidad cambia (depende de i en (4.2)).

Notar que esta cuota es anual. Ya que la tasa está compuesta

anualmente y el tiempo está en años, esta cuota es una aproximación de 12 cuotas mensuales. Esta aproximación es válida para todo el caso anual.

A partir de i = x los pagos dejan de ser conocidos ya que estos

dependen ahora de r(i,j) por lo cual se redefine la cuota anual, es decir:

]1))),((1[())),((1)(),((*100),(

−+++++

= −

−

in

in

spjirspjirspjirjiC (4.3)

24 Recordar que en la práctica, los flujos y por lo tanto los inputs, son mensuales. El modelo anual asume x menor a 1 año como 1 año cerrado. Por ejemplo, si le quedan 0,3 o 0,7 años para la próxima fecha de repricing, el modelo asume que le queda 1 año para el próximo repricing. Con esto, siempre la tasa fija o la variable fijada a un año vendrán determinadas como inputs del modelo de forma estándar para todos los créditos. En cambio si x es mayor a 1, significa que el crédito se encuentra todavía en su etapa a tasa fija. En este caso el redondeo es hacia el número entero más cercano.

(4.3) es válida para todo i, tal que i está entre x ≤ i ≤ n-1 y para todo j asociado a i. Recordar que al utilizar base 100, al comienzo de cada instante i, el saldo insoluto es siempre 100 u.m.

Para el cálculo del saldo insoluto se requiere la siguiente lógica. Sin considerar el árbol, para algún inicio de período i+1 (o fecha de repricing), el saldo insoluto es:

)()()1( iAiSIiSI −=+ (4.4)

donde A(i) es la amortización de capital en i.

)(*))(()( iSIspiriI += (4.5)

e I (i) es el interés total a pagar en i.

Y finalmente, la cuota anual, que es fija en ese período es igual a: )()()( iAiIiC += (4.6)

Remplazando I(i) en (4.6) según la expresión de (3.11) y usando A(i) en (4.5) se llega a que el saldo insoluto en i+1 se puede expresar como:

)()))((1)(()1( iCspiriSIiSI −++=+ (4.7)

Haciendo la analogía con el árbol se razona de la siguiente manera; El saldo insoluto al comienzo de cada nodo (i,j) es igual a las 100 unidades monetarias prestadas y con ello se determina el saldo insoluto al final de i asociado al nodo (i,j) que, en términos del árbol de tasas, se escribe como:

),())),((1(*100),( jiCspjirjiSI −++= (4.8)

Como condiciones de borde, en el último período, la última cuota

debe ser igual al saldo insoluto del período anterior ya que es lo que resta por pagar, es decir C(n,j) = SI(n-1,j) = 100 para todo j y dado que en el período de maduración, el crédito se paga en su totalidad, SI(n,j)=0 para todo j.

Además, el cálculo del saldo insoluto para cualquier nodo (i, j)

perteneciente al período de pagos a tasa fija es igual a sustituir en (4.8) (r(i,j) + sp) por fix.

Recordar que en Hull y White, el árbol construido es en función de la tasa compuesta continuamente rc. Sin embargo, la cuota y el saldo insoluto se fijan con la tasa compuesta anualmente. Basta aplicar a la tasa corta anual rc de Hull y White la siguiente relación para poder usar (4.3) y (4.8):

1)),(exp(),( −= jirjir c (4.9)

Finalmente, el cálculo del valor presente de la ganancia G(i,j) del

C.H. mixto sin techo móvil se determina mediante la técnica de valoración neutra al riesgo. Del capítulo II se sabe que cualquier flujo de caja futuro puede ser valorizado en valor presente descontando el valor esperado de sus flujos a la tasa libre de riesgo, luego para cada nodo (i,j), se tendrá que la ganancia respectiva acumulada en ese nodo es igual a (caso binomial válido para Ho Lee, BDT 1 y BDT 2) la siguiente recurrencia:

)),(1())1,1()1,1((5.0

100),(

100)),(1(

),(),(),(

jirjiGjiGjiSI

jirjiSjiCjiG

+−++++

+

−+

+=

(4.10)

Como condición de borde de la ganancia, en el período n no hay

ganancia ya que se está pagando el capital en forma instantánea (se presta y se devuelve en el mismo instante) 25 , por lo que G(n,j) = 0, para todo j.

Los primeros 2 términos a la izquierda del lado derecho de la igualdad

en la ecuación (4.10), tienen relación al interés que se obtiene en el nodo (i,j) como ganancia financiera debido a las 100 u.m. prestadas al inicio del período.

Tal como se explicó, la cuota se recibe al final de i (también se puede

interpretar como al principio de (i+1), por lo que el valor presente de la ganancia del nodo (i,j) es igual a esta cuota descontada a la tasa corta anual del nodo (i,j) menos la amortización del capital que corresponde.

El tercer término, corresponde a las ganancias de nodos futuros que se

traen a valor presente de manera recursiva como el valor esperado de sus flujos, período a período. Nuevamente, se hace notar que al ser el resultado final proporcional al valor prestado, basta ponderar el saldo insoluto del crédito en base 100 y dividirlo por 100 para recuperar el nivel del saldo insoluto de cada período. Finalmente, G(0,0) representará el VPSO en base 25 Ver las condiciones de borde de la cuota y el saldo insoluto.

100. De manera ilustrativa, se muestran los flujos de un árbol de ganancias de 3 períodos. El sentido de la fecha apunta hacia donde van estos flujos dados por (4.10).

Figura 4-2: Sentido de la recurrencia en los flujos que definen la ganancia del crédito.

En el caso de Hull y White, la ganancia procede la misma lógica, solamente que la tasa corta es continua, por lo tanto, (4.10) se rescribe como:

)exp()1,1(),1()1,1(

*100

),(

100)exp(

),(),(),(

11

c

kkk

c

rkiGpkiGpkiGpjiSI

rjiSjiCjiG

+++++−++

−+

=

+−

(4.10b)

En este caso k = j-1 ó k = j ó k = j+1 dependiendo de la ramificación con la que se generó el árbol.

Ya se tiene entonces el VPSO del crédito. Para calcular VPCO, simplemente se debe reemplazar en el cálculo de la cuota y el saldo insoluto, r(i,j)+sp por el mín{r(i,j)+sp, K} en las ecuaciones (4.3) y (4.8).

Notar que el descuento en los flujos siempre se realiza usando el árbol de tasas. Esto tanto en el caso con y sin opción, sin contar el spread del deudor, ya que se ve el cálculo desde la perspectiva del costo de oportunidad del instituto emisor del crédito.

Finalmente, la diferencia entre VPSO menos VPCO determinarán el

valor de la opción en base 100. Para obtener el valor de la opción en

función del saldo insoluto vigente al momento de la valorización se debe ponderar por el saldo insoluto original (nocional) y dividir por 100. Luego, el valor de la opción será igual a:

VO = (VPSO– VPCO) * nocional / 100 (4.11)

4.2.2. Valor presente de la opción usando paso mensual

A continuación se proceden a explicar los cálculos necesarios para calcular el VO usando flujos mensuales, por lo que el árbol de la tasa corta usando BDT 1, está construido con paso mensual. En este caso, la representación de los flujos es tal como se da en la práctica, pero desafortunadamente, el tratamiento se hace más complejo.

El árbol de la tasa corta ya ha sido calculado, por lo que ya se

conocen las tasas mensuales para cualquier nodo. Se deben obtener las tasas anuales para todos los nodos en donde haya una fecha de repricing para poder calcular el árbol de cuotas, saldo insolutos y ganancias para cualquier estado de la naturaleza (i,j). La complejidad está en encontrar estas tasas anuales y que sean consistentes, a su vez, con las estructuras de mercado.

En este contexto, el instante de tiempo i, a diferencia de la sección

anterior, se expresa en meses. Por lo que el paso ∆t es igual a 1/12.

4.2.2.1. Búsqueda de tasas a un año plazo Se desean obtener las tasas anuales que permitan determinar todas las cuotas mensuales válidas por un año a partir de cada fecha de repricing. Esta tasa debe obtenerse a partir del árbol de la tasa corta mensual que representa la dinámica de tasas usando el modelo BDT 1. A continuación, se muestra cómo encontrar la tasa a cualquier plazo, y en particular a un año, para cualquier estado (i,j) recalibrando el árbol de precios elementales. Para ello, recordar del capítulo III la ecuación (3.19) que se rescribe a continuación:

∑=

jjiQiP ,)( (4.12)

Lo que dice (4.12) es que situando la valorización hoy (nodo (0,0)), y dado que P(i) es el precio spot del bono cero cupón de mercado con maduración en i, entonces es posible reencontrar todos los factores de descuento ( bonos cero cupón de mercado) para cualquier plazo i a partir de la suma de precios contingentes sobre todos los estados j generados a partir de este estado inicial determinado y por lo tanto, reobtener el vector de tasas spot. Esto es ciertamente válido al ser BDT un modelo que se ajusta a la estructura de tasas.

Recordar que Q(i,j) representa el valor presente de un bono cero cupón que paga $1 si se llega al nodo (i,j) y $0 si no. Por lo tanto, fijando Q(i,j) = 1 para algún nodo (i,j) y recalculando todos los precios elementales26 del árbol que se genera a partir de (i,j) mediante las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.15) hasta el plazo posterior a i que se requiera, será posible calcular la estructura de tasas asociada a ese nodo futuro (i,j) y además, de manera consistente con las estructuras de mercado.

La ecuación (4.12) es válida solamente para el caso en que se desee

obtener la estructura de tasas spot de mercado, ya que esta parte del nodo (0,0). De manera genérica, para obtener la estructura de tasas asociada a cualquier nodo (i,j) del árbol, se debe rescribir (4.12) de la siguiente manera:

∑−+

−−=

=−)(

)(,, )(

ikj

ikjllkji QikP (4.13)

Con 0 ≤ i < k ≤ n. Además, sea Y(k-i) la tasa al plazo k-i asociada al nodo (i,j). Luego,

de (4.13) y, asumiendo tasas compuestas, se tiene que:

1)(

1)( 121)*(

1

),(),( −

−=−

−ik

jiji ikP

ikY (4.14)

Imponiendo la condición inicial de Q(i,j) = 1 y recalculando todo el

árbol de precios elementales hasta el instante k, lo que quiere decir (4.13) es que si se requiere encontrar para un nodo (i,j) la tasa a un plazo k-i, entonces, se deben sumar todos los estados l generados a partir del nodo (i,j). Es decir, los estados pertenecientes al instante k que van desde l = j -

26 Se recalculan solo los precios contingentes. El árbol de la tasa corta según BDT es consistente con las estructura de tasas, luego r(i,j) y en consecuencia d(i,j) permanecen intactos.

(k-i) hasta l = j + (k-i) con l el salto de estado a paso doble27. Luego, se aplica (4.14) y con ello se encuentra la tasa a ese plazo. En el anexo D se puede encontrar un ejemplo.

Por lo tanto, aplicando (4.13) y (4.14) para el caso particular k-i =

12, será posible obtener la tasa anual en cada nodo (i,j) donde i sea una fecha de repricing tal que estas tasas permitan calcular los valores de cada cuota mensual válida por un año a partir del momento de fijación (y en consecuencia, el saldo insoluto al final de estos 12 meses).

4.2.2.2. Cálculo de la cuota mensual y el saldo insoluto usando tasas anuales

Una vez que se obtiene la tasa anual al recalibrar los precios

contingentes, el cálculo de la cuota y el saldo insoluto difieren en ciertos aspectos de la metodología anual.

En este caso, se debe calcular la cuota como una anualidad con respecto

a la maduración del crédito pero divide la tasa anual por 12 para obtener una cuota mensual.

Se sigue utilizando la notación de la sección 4.2.1, pero se redefinen las

siguientes variables:

- r(i,j): Tasa compuesta cero cupón (tasa corta) mensual, compuesta anualmente, vigente en i y asociada al nodo (i,j) y por lo tanto, desconocida hoy para el instante futuro i pero predicha por el árbol de tasas para cada nodo (i,j).

- C(i,j): Cuota mensual del crédito definida en el nodo (i,j) a pagar mensualmente durante los próximos 12 meses a partir de i. Está expresada en base 100.

- SI(i,j): Saldo o capital insoluto vigente un año después de (i,j) en base 100, con SI(0,0) = 100. Es decir, SI(i,j) es el saldo insoluto 12 meses después de la fecha de repricing, una vez que se han pagado las 12 cuotas correspondientes a ese repricing28.

27 Recordar la notación del árbol usada para esta tesis en donde j va de dos en dos (Ver figura 3-2). 28 También se puede interpretar como el saldo insoluto vigente al momento del próximo repricing.

En este caso i, x están expresados en meses. A diferencia del caso anual, en donde i en el período igual o posterior a x, es siempre una fecha de repricing, en esta ocasión, al ser un modelo con granularidad mensual, se hace hincapié entre un mes cualquiera i, y un mes en donde hay fijación de tasa i*.

Además, se agrega la tasa anual necesaria para definir los árboles de

cuotas y saldos insolutos:

- Y(i*,j): Tasa anual, compuesta anualmente, vigente en cada nodo (i*,j) donde i* es una fecha de repricing. Obtenida del árbol de la tasa corta mensual.

Por lo tanto, en el cálculo de la cuota en el período a tasa fija, el

razonamiento es análogo al caso anual, solo que en este caso, la cuota es mensual. Luego, el valor de ésta es:

]1)12/1[()12/1(12/*100),(

−++

= −

−

in

in

fixfixfixjiC (4.15)

Pero cuando finaliza x y comienzan las fechas de repricing, el flujo

temporal en el árbol de las 12 cuotas generadas desde un nodo (i*,j) se dificulta al ser imposible determinar la trayectoria de las tasas, por lo que se realiza el siguiente análisis:

Las 12 cuotas son iguales, solamente cambian al ser descontadas. Por lo

tanto, si se recalcula la estructura de tasas usando la metodología descrita en la sección 4.2.2.1 mediante la ecuación (4.13) para el nodo (i*,j) hasta un año, se pueden obtener los factores de descuento que permitan descontar las 12 cuotas de manera consistente con el mercado y con ello, eliminar el problema de la dependencia en la trayectoria.

Por lo tanto, los nodos en los cuales se debe calcular la cuota son todos

tales que i = i*. En el resto, las cuotas son cero. A continuación se presenta la solución de este problema de manera ilustrativa para un caso particular. Tomando un extracto de un árbol de cuotas, gráficamente esto se ve así:

Figura 4-3: Árbol de cuotas mensuales.

En este caso, se muestra un árbol de cuotas sin tasa techo de un crédito

con n = 38 meses y x = 2 meses. Luego, el repricing ocurre en i* = 14, 26. El nodo (i*,j) muestra el valor de la cuota en base 100 que se deberá pagar por los próximos 12 meses. Pero detrás de eso, haciendo un zoom para el nodo (14,14) en la figura 3-4, en donde la cuota definida es igual a 4,47, el flujo real es el siguiente:

Figura 4-4: Flujos de las cuotas mensuales.

La figura 4-4 dice que cualquier nodo en donde se generen las cuotas mensuales positivas, será mostrado en el árbol de cuotas como una cuota única. Sin embargo, cuando se quiera valorizar la ganancia en el crédito, estas cuotas estarán descontadas por los factores de descuento asociados a ese nodo (i*,j) de manera temporalmente correcta, y de forma consistente con las estructuras de mercado.

Sea: 12/)),((),( spjiYji +=Ψ (4.16) Luego, el cálculo de cuotas es el siguiente:

xi

iisiji

jiji

jiCin

in

≥

=

−Ψ+Ψ+Ψ

=

−

−

quetalnosi0

*]1)),(1[()),(1)(,(*100

),( (4.17)

Para calcular el saldo insoluto se razona de la siguiente forma. Sin

tomar en cuenta el árbol de tasas, y dado que el proceso es mensual, se puede readaptar la ecuación (4.8) tal como se indica a continuación:

)()12/))((1)(()1( iCspiriSIiSI −++=+ (4.18)

Luego, en el primer mes se tiene SI(0).

En el segundo mes,

)()12/)(1)(0()1( iCsprSISI −++= En el tercer mes, el saldo insoluto es igual a:

CsprCsprSCsprSISI −++−++=−++= )12/)(1]()12/)(1)(0([)12/)(1)(1()2(

Y así sucesivamente, hasta el último mes previo a la próxima fecha

de repricing en donde resolviendo la recurrencia se puede escribir el saldo insoluto al final de los 12 meses en función del saldo insoluto inicial:

∑=

+

+−

+

+=

−

+

+=

11

0

12

12)(1

12)(1)0()12(

12)(1)11()12(

i

isprCsprSSI

CsprSISI

(4.19)

El último término puede expresarse de manera más simple ya que la sumatoria converge29, luego, SI(12) puede expresarse como:

12)(

12)(11

12)(1*)0()12(

12

12

spr

spr

CsprSISI+

+

+−

−

+

+= (4.20)

Haciendo la analogía con el árbol de tasas, interesa conocer el saldo

insoluto justo antes del próximo período de repricing, es decir 12 meses después del último repricing. La justificación es la misma que se usó para definir la cuota mensual para poder eliminar el problema de dependencia en la trayectoria30. Luego, la cuota positiva definida en (4.17) será el parámetro que permitirá determinar el saldo insoluto 12 meses después de la fijación ocurrida en el nodo (i*,j):

xi

iisiji

jijiCji

jiSI ≥

=

Ψ−Ψ+

−Ψ+

= quetalnosi0

*),(

}1)],(1{[*),()),(1(100

),(

1212

(4.21)

Como condiciones de borde, en el último período, la última cuota

debe ser igual al saldo insoluto del año anterior ya que es lo que resta por pagar, es decir C(n,j) = SI(n-12,j) = 100 para todo j y dado que en el período de maduración, el crédito se paga en su totalidad, SI(n,j) = 0 para todo j.

29 Recordar que la sumatoria:

∑=

+

−−

=n

i

ni

aaa

0

1

11

30 No olvidar que implícitamente, la razón de fondo es que se está aplicando base 100, luego, los períodos se ven de manera “independiente” como si en cada fecha de repricing, el banco prestara 100 unidades monetarias.

Si se está en período a tasa fija entonces, para un estado j, el saldo insoluto al final de cada mes i (al comienzo de i + 1) es igual a:

),(12/)1(*100),( jiCfixjiSI −+= (4.22)

La ganancia en el caso de BDT 1 mensual difiere de la ganancia con paso anual. Primero, en los casos que i es distinto a i* solo se descuentan los flujos futuros de cada fecha i*. Sin embargo, cuando i = i* se deben descontar la ganancia recibida de esa fecha y las futuras. Por lo tanto, la ganancia mensual es igual a:

xi

jirjiGjiG

iisijir

jiGjiGjiSIjifdjiSjifdjiC

jiG ≥

+−++++

=+

−+++++

−+

= quetal

nosi)),(1(

))1,1()1,1((5.0

*)),(1(

))1,1()1,1((5.0100

),(100),(),(),(),(

),(

12/1

12/1

12

(4.23)

con fd(i,j) los factores de descuento asociados a la estructura de tasas del nodo (i,j) para poder descontar las doce cuotas y poder valorizarlas en valor presente del nodo (i,j) tal como se muestra en la figura 4-4.

∑=−

−=12

1, )(),(

ikji ikPjifd (4.24)

Y en particular, fd12(i,j) el factor de descuento a un año del saldo

insoluto asociado al nodo (i,j):

)12(),( ,12 jiPjifd = (4.25)

En el caso de nodos a tasa fija, es decir, i menor que x, la ganancia sigue la misma lógica que (4.10) pero con paso mensual:

12/1

12/1

)),(1())1,1()1,1((5.0

100),(

100)),(1(

),(),(),(

jirjiGjiGjiSI

jirjiSjiCjiG

+−++++

+

−+

+=

(4.26)

G(0,0) será igual al VPSO. Nuevamente, para calcular el VPCO, simplemente se debe reemplazar en el cálculo de la cuota y el saldo insoluto, r(i,j)+sp por el mín{r(i,j)+sp, K} en las ecuaciones (4.17) y (4.21). Y en consecuencia, el valor de la opción será igual al definido en (4.11).

4.2.3. Cálculo de griegas

Para medir la sensibilidad del crédito, se realizan 3 tipos de análisis:

4.2.3.1. Delta

Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en ε puntos base el valor de la estructura de tasas vigente (input).

Sea:

VO(z): Valor de la opción en función de z que representa el vector de estructura de tasas vigente.

Luego, Delta se puede calcular como:

εεε )()10*()(

4 zVOzVO −+=∆

−

(4.27)

ε como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya

que z está expresada en puntos porcentuales.

4.2.3.2. Gamma

Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en 2 veces ε puntos base el valor de la estructura de tasas vigente (input).

Por lo tanto, gamma es igual a:

εεεε )()2()( ∆−∆

=Γ (4.28)

(4.28) También se puede ver como:

2

4

2

44 )()10*()10*()10*2(ε

εε

εε zVOzVOzVOzVO −+−

+−+=Γ

−−−

(4.29)

ε como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya

que z está expresada en puntos porcentuales.

4.2.3.3. Vega

Mide la sensibilidad en el valor de la opción al aumentar en lambda puntos base la estructura de volatilidades (ó la volatilidad promedio) vigente (input)

Por lo tanto:

λσλσλν )()10*()(

4 VOVO −+=

−

(4.30)

λ como argumento de la función VO debe ir multiplicada por 10-4 ya

que σ está expresada en puntos porcentuales.

Los valores escogidos para ε y λ se muestran en el capítulo VI. Puede existir la posibilidad del cálculo de griegas spot (este caso) ó cálculo de griegas forward (en función de la estructura de tasas y volatilidades forward)31. En esta tesis se decide realizar un cálculo de griegas spot para todos los modelos de manera de hacer comparables los resultados entre ellos. Las griegas deben ser calculadas numéricamente dado que no hay tratamiento analítico para el cálculo de la opción. Intuitivamente, Delta es el valor de la variación lineal en el valor de la opción cuando las tasas de mercado fluctúan. Gamma es la variación cuadrática en el valor de la opción ante un mismo evento. Vega identifica en cuanto varía la opción al

31 Por ejemplo, por requerimientos de la SBIF.

haber una fluctuación en la volatilidad de mercado. Por definición, en este caso las 3 griegas debiesen ser siempre positivas32.

Tal como se mencionó en la introducción, mediante el cálculo de griegas es posible tomar posiciones en determinados instrumentos financieros con el fin de inmunizar la exposición al riesgo de fluctuación de tasas. En esta tesis, no se aborda el análisis de coberturas de riesgo en detalle. Sin embargo, es necesario tener una noción más interpretativa de las griegas de forma tal de poder guiar posteriormente el análisis de resultados y así poder obtener alguna conclusión interesante. Una revisión más detallada se puede apreciar en Hull (2005).

Sin embargo, las griegas que se calculan acá están en función de

tasas y no de precios por lo que se debe hacer una transformación33 de manera que el activo subyacente refleje un instrumento financiero, como por ejemplo, un Forward Rate Agreement (FRA). De todas formas, se revisa el marco teórico obviando esta particularidad ya que la noción intuitiva que hay por detrás es la misma.

Al ser Delta, la proporción en la cual varía el valor de la opción al

variar el subyacente, entonces es posible crear una estrategia de cobertura en la cual se tome una posición en el activo subyacente tal que anule el efecto contrario que genera la variación en el valor de la opción. En este caso, la posición sobre la opción se denomina Delta neutral. No obstante, esto puede ser muy costoso en la práctica, ya que ante cualquier cambio en las condiciones de mercado, la posición debiese ser reajustada.

Una vez que se está en una posición Delta neutral, es posible en el

caso de Gamma, crear una posición Gamma neutral usando el mismo razonamiento anterior. De esta forma, al realizar la cobertura mediante Gamma, es posible anular el riesgo tomando en cuenta también la curvatura de la opción. Si Gamma es pequeño, los cambios en Delta son menos frecuentes y la posición que logre un Delta neutral debe ser reajustada menos frecuentemente. En el caso contrario, si Gamma es grande, entonces Delta es altamente sensible a la variación en el subyacente, por lo que es altamente peligroso dejar la posición Delta neutral sin reajustar.

Desafortunadamente, Delta y Gamma no toman en cuenta la

variación de la volatilidad del subyacente. Por lo tanto, si es necesario inmunizar la cartera ante la variación en la volatilidad del subyacente, se 32 El valor de la opción debiese ser igual o mayor ante inputs de mercado más elevados ya que el techo se mantiene. 33 Matemáticamente, usando regla de la cadena.

debe entonces crear una posición Vega neutral. Si Vega es alto, la cartera es más sensible a variaciones en la volatilidad que en el caso de Vegas más pequeños.

Es importante notar que no es factible, tener una cartera que sea

Gamma y Vega neutral a menos que se tengan más de dos derivados que dependan del mismo activo subyacente.

CAPÍTULO V 5. BLACK

En esta sección se procederá a introducir el marco teórico del modelo

de Black (1976). Este modelo es una extensión del clásico modelo de Black y Scholes (1973) que permite valorizar instrumentos derivados de la tasa de interés como caps, opciones sobre swaps ó bonos, entre otros. En particular se adaptará la fórmula de Black (1976) para valorizar el conjunto de caplets que se generan a partir de cada fecha de repricing con el fin de valorizar la opción de un crédito hipotecario con techo móvil. La valorización en este caso también será anual. Se mantiene la convención de tasas utilizada anteriormente. La simpleza del modelo de Black (1976) radica en que no estudia directamente la fuente de incertidumbre. Es decir, no es necesario simular la dinámica de tasas de interés ya que el modelo asume que estas son determinísticas.

Los dos supuestos de fondo radican en que bajo una medida de probabilidad neutra al riesgo forward el valor presente de cualquier activo es su valor esperado en T multiplicado por el precio de un bono cero cupón R que madura en T y segundo, el valor esperado de la tasa de interés entre t y T (con t<T) es igual a la tasa forward. ),())(( TtftTRET =− (5.1)

Si además, se asume que esta tasa se distribuye Log Normal al momento de ejercicio, entonces, la fórmula de Black para valorizar el caplet en el caso de un crédito hipotecario mixto con techo móvil para un instante i (fecha de repricing) donde el pago ocurre en i + 1 es igual a: [ ] )(*)1(*)(*)(*))(()( 21 iSIifddNKdNspifiCaplet c +−+= (5.2)

Además, recordar que al igual que Black y Scholes (1973), la fórmula de Black (1976) para determinar el caplet es un modelo continuo. Luego, la tasa forward fc entre t y T al momento del pago, se calcula como:

tTttRTTR

Ttf ccc −

−=

*)(*)(),( (5.3)

En donde Rc es la tasa spot compuesta continuamente. La notación de (5.2) es la siguiente:

- Caplet (i): valor de la opción asociado a la fecha de repricing i. - fc(i): tasa forward continua en el instante i. - sp: spread crediticio del deudor. - N: Distribución normal estándar acumulada - d1:

i

iK

spifLnd

i

i

*

2/*)( 2

1 σ

σ+

+

= (5.4)

En donde σi es la volatilidad de la tasa forward continua para

el plazo i.

- K: Strike. En este caso es la tasa techo. - d2:

idd iσ−= 12 (5.5)

- fd(i+1): Factor de descuento en i+1 asociado a la tasa spot

compuesta anualmente R(i+1)34:

1))1(1(1)1( +++

=+ iiRifd (5.6)

- SI(i): Saldo insoluto35 calculado para el período i, igual a:

{ } )()),)(min1(*)1()( iCKspifiSIiSI −++−= (5.7)

C(i) representa la cuota anual.

{ } { }{ } ]1)),)(min1[(

)),)(min1(),)(min*)1()(−++

+++−= −

−

in

in

KspifKspifKspifiSIiC (5.8)

Para ser consistentes con los otros modelos hay que recordar que la tasa de mercado que define la cuota y el saldo insoluto es una tasa anual compuesta anualmente, en consecuencia, para calcular estos valores se usan 34 Es análogo a descontar el flujo a la tasa spot continua. Basta aplicar (1 + Z(i)) = exp(R(i)). 35 En este caso, al ser la trayectoria única, no es necesario trabajar en base 100.

tasas forward compuestas anualmente en desmedro de tasas forward continuas. Solo la tasa forward del caplet es continua. Recordar que a partir de la ecuación (3.32) es posible calcular la tasa spot con composición continua de la tasa spot compuesta anualmente y usando la misma base.

Tal como se estableció en la sección 4.2.1 en esta tesis siempre se asume que va a haber como mínimo un año a tasa fija en la valorización anual. En consecuencia, el valor del caplet está bien definido ya que i es siempre mayor que cero. En el caso de haber períodos a tasa fija, el valor del caplet es cero ya que no hay opción.

En conclusión, el valor de la opción se calcula como:

∑=

=n

xiiCapletVO )( (5.9)

En donde x y n son los plazos residuales a tasa fija y del crédito

respectivamente.

Las griegas se calculan de la misma manera que la descrita en la sección 4.2.3.

Dado su carácter analítico, Black presenta 2 ventajas. La primera es su simpleza de uso al tener una forma funcional en vez de un modelo desarrollado algorítmicamente y sus supuestos son más sencillos que los modelos de no arbitraje, lo que lo hace ser más fácil de entender. Segundo, es más eficiente que un modelo consistente con las estructuras de mercados que debe calcular toda la dinámica de tasas en base a procedimientos iterativos bastante más complejos y por lo tanto, ocupa más tiempo en computar los resultados.

La mayoría de las instituciones financieras afectas a las normativas enunciadas en el capítulo I, han adoptado Black para valorizar la opción. Es por ello que también se implementa este modelo, para usarlo como referente de mercado y compararlo con estos modelos de arbitraje más complejos de implementar.

CAPÍTULO VI 6. INPUTS NECESARIOS PARA LA VALORIZACIÓN

6.1. Cartera Hipotecaria

La cartera de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil pertenece a un banco local y corresponde a información del 11 de Octubre del 2006. Estos créditos están en UF. Esta cartera consta de 15.643 créditos36 y tiene un valor en capital insoluto igual a 32.610.693 de UF. A continuación, se muestran los valores mínimos, máximos y promedios de los inputs necesarios para poder realizar la valorización asociados a esta cartera:

Input Mínimo Promedio Máximo Plazo residual a tasa fija 0,1 años 2,49 años 4,5 años Plazo residual del crédito 1,1 años37 13,6 años 29,1 años Saldo Insoluto 23 UF 2.085 UF 190.629 UF Spread 0,09% 1,82% 6,9% Tasa fija 1,4% 4,13% 6,77% Tasa Techo 5,5% 6,65% 7%

Tabla 6-1: Resumen inputs de la cartera de créditos hipotecarios mixtos con tas techo móvil necesarios para valorizar la opción.

6.2. Inputs de mercado

Hasta este momento se han considerado las estructuras de mercado,

coeficiente de reversión a la media y parámetros de griegas como conocidas. En esta sección se establecerán criterios para definir cada una de éstas.

De ahora en adelante, se trabajará exclusivamente con estructuras de

mercado en UF ya que la cartera de créditos hipotecarios está en UF. En este caso, la tasa variable de mercado es la tasa TAB en UF a 360 días. En

36 Esta cantidad es después de eliminar los créditos que venían con algún error en la base de datos. Por ejemplo, saldo insoluto nulo, o sin tasa fija. 37 Claramente, si el plazo residual de un crédito es 1, no se incluye en la valorización ya que no hay opción residual debido a que la tasa ya está fijada.

el caso de trabajar con cartera de créditos en pesos, se deben utilizar estructuras de mercado en pesos.

6.2.1. Estructura de tasas

A continuación se define la metodología para obtener la estructura de tasas spot para realizar la valorización anual. Lo primero, es retomar el problema del capítulo II en el cual el objetivo era conseguir estructuras de mercado libres de riesgo como proxy de la tasa corta. Sin embargo, al ser la tasa TAB en UF la tasa variable de mercado, la estructura de mercado relevante es la TAB en UF. Esto presenta dos inconvenientes:

• En la práctica no es posible construir una estructura de tasas TAB en UF ya que esta tasa tiene un plazo máximo de un año.

• La tasa TAB no es libre de riesgo, ya que para determinados plazos de la TAB, existen otros instrumentos que entregan menores retornos.

Se plantea la siguiente metodología para corregir este problema:

Considerar una curva libre de riesgo en UF, por ejemplo, de papeles

emitidos por el Banco Central. De aquí es posible obtener la estructura de tasas a un plazo largo. Luego se compara la tasa TAB en UF a un año con la tasa a un año de esta curva libre de riesgo y la diferencia entre estas dos tasas generará un spread que es el diferencial de la tasa variable de mercado y la tasa libre de riesgo. Este spread se suma a todos los plazos de la curva libre de riesgo y con ello se obtiene la curva TAB teórica38.

Esto es una simplificación, ya que en estricto rigor, este spread

debiese ser variable en función de los distintos plazos. La ventaja de este enfoque es que al no considerar el spread como estocástico, la curva TAB en función de los supuestos que subyacen el cálculo de la dinámica de la tasa, es libre de riesgo. Para obtener la curva libre de riesgo en UF inicial, se ha establecido utilizar una serie diaria de curvas cero pertenecientes al banco local que extraen información de manera comparable de todos los papeles en UF emitidos por el Banco Central. 38 Este es un enfoque particular, hay otros más interesantes como estimar un intervalo de confianza para el apead más que la comparación en un punto. Sin embargo, se recalca que el objetivo de esta tesis no radica en este análisis.

Cabe constatar la aparición de tasas negativas a un año en algunas series diarias de esta curva cero, lo cual es contraproducente con la tasa TAB, que es una tasa activa. Empíricamente, la existencia de tasas negativas en esta serie es factible, debido a ajustes en las expectativas de inflación en la parte corta de la curva cero real39. Sin embargo, al usar esta base de datos, se han podido constatar estructuras de tasas para ciertos días con tasas negativas incluso para tasas a un año. Esto se debe posiblemente al enfoque de construcción utilizado para construir esta curva cero. Ante determinada situación, se ha establecido dejar la curva intacta como input del modelo de tasas para respetar la consistencia con las otras curvas diarias utilizadas. Otro problema que se ha podido apreciar, es que en muy pocos casos, existen días en que la tasa TAB a un año en UF es menor que la tasa real de la curva libre de riesgo para el mismo plazo. Esto también puede deberse a algún problema de construcción de alguna de estas 2 tasas. Ante este caso, se ha decidido dejar este spread igual a cero. Finalmente, se tendrá el siguiente input de tasa para el caso anual:

• Paso anual: Estructura de tasas spot TAB en UF a 30 años40 , compuestas anualmente, base 30/360, a un plazo igual al plazo residual del crédito y con intervalos anuales.

Y con ello es posible determinar el input de tasas para Hull y White

mediante (3.32) y Black, usando las ecuaciones (3.32) y (5.3). En el caso de valorización usando un paso mensual, la estructura de

tasas anterior debe ser construida en intervalos mensuales. Para ello se realiza una interpolación usando también el método de Nelson y Siegel (1987).

6.2.2. Volatilidad

El objetivo es calcular la volatilidad relevante de cada uno de los modelos a implementar. Se deben usar volatilidades históricas en desmedro de volatilidades implícitas ya que estas opciones incrustadas en créditos hipotecarios no son transables en el mercado. 39 Aproximadamente un mes. 40 Ya que el mayor plazo residual de un crédito perteneciente a la cartera es igual a 29,1 años.

Para el cálculo de la volatilidad se utiliza la metodología propuesta por Longerstaey y Spencer (1996) que proponen estimar la volatilidad de la tasa usando un modelo de suavización exponencial de medias móviles41. Luego la volatilidad σ en una fecha o instante t+1 se puede expresar como la raíz de la siguiente fórmula:

∑∞

=−+ −=

0

2,1

2/1,1 )()1()(

jjt

jtt ii ρββσ (6.1)

En donde:

• i representa el plazo de la volatilidad. • El subíndice 1 quiere decir que se está calculando la volatilidad

diaria. • El subíndice t+1/t indica que se está estimando la volatilidad en

t+1 condicionada a la información conocida hasta el instante t. • ρ(i) es el retorno de la tasa spot R al plazo i, observada en t,

obtenida de la estructura de tasas TAB en UF. • β es el factor de decaimiento y los autores sugieren fijarlo igual a

0,94 en el caso de volatilidades diarias. Por consistencia estadística, proponen una serie histórica de al menos

550 observaciones. En esta tesis se consideran una muestra de 1.256 observaciones diarias de la curva cero anual, TAB42 en UF a 30 años más un período43 desde el 1 de Octubre del 2001 hasta el 11 de Octubre del 2006.

En este caso, se desea estimar la volatilidad spot44 asociada a la fecha

de valorización correspondiente a la estructura de tasas TAB en UF. Considerando entonces una muestra grande, es posible expresar (6.1)

de la siguiente forma:

2,1

21/,1

2/1,1 )(*06.0)(*94.0)( ttttt iii ρσσ += −+ (6.2)

Con lo que la volatilidad anual, será igual a:

)(*360)( /1,360/1,360 ii tttt ++ = σσ (6.3) 41 Más conocido como exponentially weighted moving average model (EWMA). 42 Obtenidas de una base de datos del banco local y corregidas por spread para obtener la curva TAB, según la metodología vista en la sección 6.2.1. 43 Debido a ecuación (3.19). 44 Notar que la volatilidad conserva las convenciones de tasas mencionadas en la sección anterior.

En donde el número dentro de la raíz en (6.3) simboliza el número de días en un año dada la convención de tasas utilizada.

El principal supuesto de esta metodología es que ρ en un tiempo t

sigue el siguiente proceso estocástico:

)()()( iii ttt ησρ = (6.4)

Donde ηt es una variable aleatoria independiente idénticamente distribuida con distribución normal de media cero y varianza 1. El cálculo de ρ va a depender de la distribución y de la convención de tasas del modelo utilizado. Esto se ve un poco más adelante.

Con esta metodología, es posible obtener la estructura de

volatilidades spot para cualquier fecha asociada a la estructura de tasas, con las restricciones comentadas anteriormente.

Sin embargo, no es necesario obtener la estructura de volatilidades

spot para todos los modelos, ya que varios de ellos toman en cuenta la volatilidad como constante. En ese sentido, es interesante analizar el marco metodológico de volatilidades spot y planas45 que puede ser visto en Hull (2005).

La volatilidad spot es la volatilidad asociada a la maduración del

caplet, por lo tanto, es necesario construir una curva de volatilidades spot. La volatilidad plana es la volatilidad spot asociada a la maduración

del cap46, por lo que la volatilidad se fija para cada caplet, y por ende se construye una estructura de volatilidad constante. Este es el caso de BDT 1, Ho Lee y Hull y White.

Desafortunadamente, pueden haber diversos plazos residuales

dependiendo de cada crédito por lo que la cantidad de cálculos aumentaría bastante47. Por un tema de eficiencia, se considera la volatilidad plana igual al plazo residual promedio de la cartera de créditos. Con ello es posible considerar un solo input de volatilidades en estos modelos lo que implica la construcción de solo un árbol de tasas. Esto es una simplificación, pero se gana eficiencia y la volatilidad empleada se mantiene consistente entre modelos.

45 Flat volatilities. 46 Igual al plazo residual del crédito. 47 En el caso anual habría que calcular como máximo 29 árboles. En el caso mensual, 29*12.

Es importante notar que el input de plazo residual del crédito viene expresado en fracciones de años ya que considera los meses. Por lo tanto, para el paso anual, el plazo residual promedio de la cartera se redondea al entero más cercano, que de la tabla 6-1 es posible apreciar igual a 13,6 años. En el caso del paso mensual, se usa también este enfoque48. Es decir, en el caso de estos modelos, se usará la volatilidad a 14 años asociada a la fecha t de valorización.

En el caso de BDT 2, el enfoque debiera ser usar una estructura de

volatilidades spot, ya que el modelo se ajusta no solo a la estructura de tasas, si no también a la estructura de volatilidades. Sin embargo, las volatilidades obtenidas a partir de la serie histórica son tan altas en la parte corta de la curva (en algunos casos, volatilidades a un año del orden de 1.000%) que no es posible construir el árbol ya que la búsqueda de raíces diverge. Este problema ya es constatado por Boyle et al. (2001) que muestran como para ciertos niveles de volatilidad, BDT 2 colapsa. Por lo tanto, se decide también usar el enfoque de una estructura de volatilidad plana para este modelo. Por lo tanto, se tendrá una estructura de volatilidades spot constante, igual que en el caso de volatilidad plana. Esto no implica que bajo ese contexto BDT 2 sea igual a BDT 1, ya que al ajustarse a la estructura de tasas y de volatilidad, la volatilidad de la tasa corta no tiene por que ser constante. De hecho, dependerá de la forma de la estructura de tasas, con lo cual los resultados pueden ser diferentes.

El concepto de volatilidad plana también puede aplicarse a Black, tal

como se señala en Hull (2005). La razón del por que se decidió usar volatilidad plana en desmedro de volatilidad spot es debido a que los resultados usando el primer enfoque se asemejan más a los otros modelos de no arbitraje. Tal como se señaló, la volatilidad spot es mucho más grande en los primeros años de la curva, por lo que este modelo tiende a sobre valorar la opción con diferencias altísimas en comparación a los otros modelos. Por lo tanto, en las ecuaciones (5.4) y (5.5), se debe fijar σi, en base al criterio de volatilidad plana.

A continuación, se muestra como obtener el retorno para el cálculo

de la volatilidad a 14 años para cada uno de los modelos. Se omite i para no abusar de notación, pero se asume igual a 14.

48 Para estos plazos, la curva es más suave, por lo que no existe una pérdida de precisión relevante.

• BDT

En el caso de Black Derman Toy (1990), hay que recordar que la volatilidad depende del retorno logarítmico de las tasas compuestas anualmente, por lo tanto ρ es igual a:

tRR

st

t

t δρ

= −

ln (6.5)

En donde R es la tasa spot al plazo i. δt es la diferencia entre el número

de días entre t y t-s. Típicamente s es igual a 1, pero se deben considerar las diferencias de días en la muestra debido a festivos y fines de semana.

Sin embargo, es posible que en la parte corta de la curva puedan existir tasas negativas por lo que (6.5) podría indefinirse en el caso de que el producto Rt/Rt-s sea menor que cero. En ese caso, dado que:

RdRRd ≈ln (6.6)

Se utiliza:

tR

RR

t

tt

t δρ 1

1

−

−−

= (6.7)

• Ho Lee

En este caso, se deben considerar las diferencias absolutas ya que el incremento de tasas se distribuye normal. De esta forma, ρ es igual a:

tRR stt

t δρ −−

= (6.8)

• Hull y White

En este caso, se deben considerar ρ calculado en (6.8) asumiendo tasas continuas, mediante la siguiente relación49:

cRR =+ )1ln( (6.9)

También, se puede obtener de manera directa la volatilidad de este

modelo a partir de la volatilidad calculada en Ho Lee. Para ello se debe diferenciar (6.9)

cdRR

dR=

+1 (6.10)

Por otro lado, se tiene que la varianza absoluta condicionada este

proceso estocástico es igual a:

[ ]ccc dRVi == 22 )( σσ (6.11) De igual forma, la varianza absoluta condicionada de la misma tasa, bajo el mismo proceso, pero compuesta anualmente es igual a:

[ ]dRVic == 22 )( σσ (6.12)

Usando (6.11) y (6.12) en (6.10), es posible encontrar una fórmula para el cálculo de la volatilidad a usar en Hull y White:

)1( Rc +=

σσ (6.13)

• Black En este caso, ρ es igual al calculado en la ecuación (6.5) con la salvedad

de que la tasa es continua por lo que se debe utilizar (6.9). Al igual que en Hull y White, es posible obtener la volatilidad de Black de manera directa a partir de la volatilidad plana de BDT 1. Para ello, notar que la varianza logarítmica condicionada de este proceso se puede aproximar a:

[ ]

≈==

c

cccc R

dRVRdVi ln)( 22 σσ (6.14)

49 Se considera la misma base para las 2 tasas y al mismo plazo i igual al plazo residual promedio de la cartera .

Usando (6.9) y (6.10) en (6.14) se obtiene:

[ ]dRVRR

i cc

222

)1ln()1(1)(

++

≈= σσ (6.15)

Multiplicando y dividiendo dentro de la varianza por R y usando la

misma lógica anterior:

≈

RdRV2σ (6.16)

σc puede expresarse en términos de R y σ, usando (6.16) en (6.15):

σσ

++

≈)1ln()1( RR

Rc (6.17)

6.2.3. Coeficiente de reversión α

En esta tesis no se aborda la estimación puntual de este parámetro. Por referencia, se usa un coeficiente de reversión igual a un 10%, debido a Pelsser (2000) y Clewlow y Strickland (1998) que usan este valor como ejemplos, para construir el árbol trinomial.

6.2.4. Griegas

En esta tesis se determinarán Griegas spot a partir de la variación de

las estructuras de mercado enunciadas en la secciones 6.2.1y 6.2.2. Es decir, una variación en las estructuras de mercado spot con base 30/360 y composición anual. Esta variación determinará como fluctúan las estructura de tasas con convención continua y la estructura de tasas forward.

Definir ε no es directo. Debido probablemente a errores numéricos,

la obtención de Gammas negativos en ciertos créditos implica un proceso iterativo de búsqueda de un ε que reduzca la posibilidad de valores negativos para esta griega. Eligiendo ε igual a 40 puntos base se han podido reducir los créditos en los cuales aparecen Gammas negativos. No ha sido posible obtener gammas positivos para todos los créditos y casos. La

cantidad de puntos base no es relevante, ya que el resultado es por cada un punto base. (Está dividido por ε, tal como se muestra en la sección 4.2.3).

En el caso del cálculo de Vega, se utiliza un λ igual a 100 puntos

base por convenciones de mercado. Este valor de λ se utiliza típicamente en modelos en donde la tasa se distribuye Log Normal. Desafortunadamente, el valor de λ como argumento de la función VO en (4.30) va a cambiar si la tasa se distribuye Normal. Por lo tanto, se debe encontrar un λ equivalente a los 100 puntos base para el argumento de la función VO, en el caso de incremento de tasas con distribución Normal. Es decir:

λσλσλν )()10*()(

4 VOVO −′+=

−

(6.18)

En donde:

)(λλλ ′=′ (6.19) Para ello basta realizar la siguiente aproximación. Sea σ1 y σ2 la

volatilidad de un modelo en el cual el incremento de tasas se distribuye Log Normal y Normal, respectivamente. Recordar además, que cada varianza a un plazo i se puede obtener de la siguiente relación:

[ ]121

21 ln)( RdVi == σσ (6.20)

[ ]2

22

22 )( dRVi == σσ (6.21)

En el caso de Ho Lee, R1 y R2 son iguales ya que es la misma

estructura de tasas spot y, usando la aproximación descrita en (6.14) se tiene:

[ ] [ ] [ ]

2

22

221

22

1

1

1

121 RR

dRVRdRV

RdRV

RdRV σ

σ ====

≈ (6.22)

Y por lo tanto, de (6.22) la volatilidad de las diferencias absolutas en

el retorno se puede expresar en términos de la tasa spot y la volatilidad del retorno logarítmico a ese plazo:

R*12 σσ ≈ (6.23)

Luego, es posible asociar la volatilidad logarítmica con la volatilidad en diferencias y con ello encontrar un λ´ equivalente mediante la siguiente ecuación:

R)10*(10* 41

42

−− +≈′+ λσλσ (6.23) Despejando λ´ de (6.23) se obtiene una forma analítica para (6.19):

000.10*)*)10*(( 24

1 σλσλ −+=′ − R (6.24) En el caso de Hull y White, basta reemplazar σ por σ + λ´ en la ecuación (6.13).

CAPÍTULO VII 7. METODOLOGÍA Y RESULTADOS DE LA VALORIZACIÓN

7.1. Validación de los modelos

En le caso de los modelos de no arbitraje, la primera forma de comprobar que los modelos estén correctamente construidos es usar la ecuación (3.19)50 para comprobar que efectivamente, el valor esperado de los precios contingentes para cada instante i sea igual a la tasa spot correspondiente.

La segunda forma, y que en estricto rigor, es una consecuencia de la

primera, es notar que si se valoriza una demanda no contingente51, como por ejemplo, un bono, el resultado que se obtiene al valorizar este instrumento, mediante el valor presente del valor esperado de los flujos descontado a la tasa corta usando el árbol debe ser igual al resultado de valorizarlo usando la estructura de tasas spot.

La tercera forma, es una consecuencia de la teoría de la valoración

neutra al riesgo. Dado que el valor esperado de la tasa en un intervalo de tiempo futuro es igual al valor promedio de la tasa corta, que no es más que la tasa forward en ese período, el resultado del VPSO de cada modelo de no arbitraje debe ser similar al resultado del VPSO usando tasas forward. El cálculo del VPSO usando tasas forward se puede apreciar en el anexo E. En el caso del árbol, VPSO se debe multiplicar por el saldo insoluto vigente al momento de la valorización y dividir por 100 para pasar de la base 100 a la base original y hacer los resultados comparables. Los resultados indican una diferencia promedio menor al 1%.

Por otro lado, notar que si se fija el coeficiente de reversión en cero,

el resultado del VO en Hull y White debería ser el mismo que en Ho Lee. Mediante pruebas realizadas, los resultados entre estos 2 modelos en promedio, no difieren del 5% al fijar alfa en cero. Esta diferencia puede deberse a errores numéricos. En Hull y White además, se debe comprobar que el árbol no haya generado probabilidades de transición negativas.

50 En el caso de BDT 2, es necesario usar (3.21) para llegar a (3.19). 51 Non Contingent claim.

En el caso de Black, el chequeo es trivial, ya que por su simpleza analítica, su desarrollo es fácilmente desplegable en una planilla Excel.

7.2. Metodología

La implementación de todos los modelos y la valorización se han efectuado en Excel 2000, programándolos mediante el editor de Visual Basic v6.0.

Tal como se ha mencionado, la cartera de créditos corresponde a un

banco local, que por razones de confidencialidad no es posible nombrar. Las estructuras de mercado libres de riesgo en UF han sido obtenidas de

la información contenida en la base de datos del banco local. Las tasas TAB en UF a un año han sido obtenidas de la página Web de la asociación de bancos e instituciones financieras52 (ABIF) y han sido convertidas a la curva TAB en UF mediante la metodología explicada en el capítulo anterior.

La metodología para realizar la valorización anual y la comparación

entre modelos consiste en tomar la estructura de mercado spot vigente a la fecha de la cartera, correspondiente al 11 de Octubre del 2006 y parametrizarla usando Nelson y Siegel (1987) con el objetivo de realizar un análisis de sensibilidad sobre la forma de la curva y ver como se adaptan los modelos en términos de su estabilidad, valor de la opción y griegas.

Con respecto a la estabilidad, pueden existir determinadas estructuras de

mercado que hagan que el modelo colapse. Esto puede entenderse por que el proceso de búsqueda de raíces diverge, existen precios contingentes o probabilidades de transición negativas.

Suponiendo que el modelo no colapsa, y cumple las condiciones de

validación para cierta estructura de mercado, es interesante ver cuales son las diferencias en los resultados entregados por cada uno de los modelos. Para determinar las estructuras de tasas diversas se ha parametrizado la curva usando la metodología recomendada por Nelson y Siegel (1987). Variando los distintos parámetros de la forma funcional que rige la curva será posible realizar el análisis anterior. En el caso de la volatilidad, al ser esta constante, la variación se hará solo en nivel. 52 http://www.abif.cl/

A continuación se presenta un gráfico de esta estructura de tasas teórica correspondiente a esta fecha y su detalle:

Figura 7-1: Estructura de tasas asociada a la fecha de valorización.

Fecha 11-10-2006Vol. Log. 8,36% Vol. Abs. 0,32%

1 4,47% 2 4,00% 3 3,76% 4 3,66% 5 3,64% 6 3,65% 7 3,68% 8 3,71% 9 3,75% 10 3,79% 11 3,83% 12 3,86% 13 3,89% 14 3,91% 15 3,93% 16 3,96% 17 3,97% 18 3,99% 19 4,00% 20 4,02% 21 4,03% 22 4,04% 23 4,05% 24 4,06% 25 4,07% 26 4,08%

27 4,08% 28 4,09% 29 4,10% 30 4,10% 31 4,11%

Tabla 7-1: Detalle de la estructura de mercado correspondiente a la valorización.

Tal como se dijo, para variar la estructura de tasas se parametrizará la estructura anterior usando el modelo estático de Nelson y Siegel (1987). La forma funcional de la curva cero viene dada por la siguiente función: )/exp(*))/exp(1)(()( 2210 τβ

ττβββ iiiiRNS −−−−++= (7.1)

β0, β1, β2, y τ son parámetros a estimar. i es el plazo. Notar que al haber una forma funcional, es posible interpolar la curva para intervalos mensuales. Típicamente, estos parámetros se escogen de tal forma que estos minimicen la suma del error cuadrático medio entre la tasa estimada por este modelo y la tasa verdadera:

230

1

))(),((min iRiRi

NS∑=

−= ππ (7.2)

Con π el vector de parámetros formado por: ),,,( 210 τβββππ = (7.3) Este modelo fue construido para replicar las curvas que por lo generalmente se ven en la práctica, como monotónicas, con montes o valles, o en forma de S. La gran ventaja es que dada su forma exponencial, las curvas generadas son suaves. La interpretación de cada parámetro es la siguiente:

• β0: Es el valor asintótico de la curva cuando la madurez tiende al infinito. Se interpreta como la tasa a largo plazo. Notar que también representa la componente fija de la curva.

• β1: Es el valor inicial de la curva con respecto a la desviación de la asíntota. Al tender el plazo a cero, β0 + β1 entrega el intercepto vertical. Este se puede interpretar como la tasa corta.

• τ: Parámetro positivo que determina la posición del primer monte o valle.

• β2: Determina la dirección y posición del monte o valle de la curva. Si es positivo, se genera un monte y si es negativo, un valle.

Siguiendo la metodología de Nelson y Siegel (1987), los parámetros

obtenidos para la estructura de tasas anterior se presentan en la siguiente tabla, aproximados en 2 decimales:

Parámetro Valor

β0 4,27% β1 1,09% β2 -3,64% τ 2,00

Tabla 7-2: Resultados de la estimación de parámetros de la curva usando Nelson Siegel.

De esta forma, realizando un análisis de sensibilidad “ceteris paribus”

sobre cada uno de los coeficientes, será posible variar la curva en función de 3 características: nivel, pendiente y curvatura. Además, se realiza un análisis de sensibilidad sobre la volatilidad. Los rangos en los cuales se varían estos parámetros, serán en función aproximada de la data histórica de la serie de curvas y volatilidades construidas. Para cada caso, se utilizan 21 estructuras de mercado distintas.

• Análisis sobre β0

La variación de β0 implicará un cambio en el nivel de la curva. β0 es

variado desde 1,47% en incrementos de 0,3% hasta 7,47%. La siguiente figura muestra las estructuras de tasas a utilizar:

Figura 7-2: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de β0.


La variación de β1 implicará un cambio en la curvatura y pendiente de la estructura. La parte larga de la curva se mantiene relativamente invariable con una diferencia máxima de 0,53% en la tasa a 30 años. β1 es variado desde –5,95% en incrementos de 0,4% hasta 2,05%. La siguiente figura muestra las estructuras de tasas a utilizar:



La variación de β2 implicará un cambio en la curvatura y pendiente de la estructura. β2 es variado desde –6,14% en incrementos de 0,5% hasta 3,86%. La parte larga de la curva se mantiene relativamente invariable, pero menos que en el caso anterior, con una diferencia máxima de 0,67% en la tasa a 30 años. De esta forma, se parten con estructuras con un valle para pasar a estructuras con un monte. La siguiente figura muestra las estructuras de tasas a utilizar:


• Análisis sobre τ

La variación de τ implicará un cambio en el nivel, curvatura y pendiente de la estructura. τ es variado desde aproximadamente el año 0 para lograr una estructura plana en incrementos de 0,5 años hasta 10. Se varía τ en estas magnitudes para generar la mayor diversidad posible en las curvas. A medida que se varía τ se va desde una estructura plana, a una creciente cóncava, a una curva con valle hasta llegar a una estructura decreciente convexa. La siguiente figura muestra las estructuras de tasas a utilizar:

Figura 7-5: 21 Estructuras de tasas a utilizar en función de τ.

• Análisis sobre volatilidad

La variación de σ se realiza mediante un cambio lineal en el nivel de

la volatilidad. σ es variado desde 5,05 % en incrementos de 2% hasta 45,05% en el caso de incrementos de tasas con distribución Log Normal. Para hacer consistente esta variación con incrementos de tasas con distribución Normal se utiliza la ecuación (6.23) y luego, se utilizan las otras ecuaciones vistas en la sección 6.2.2 para hacer la volatilidad válida para cada modelo.

En el caso de la valorización anual vs. valorización mensual, se realiza la comparación de los resultados del primer caso vs. el segundo utilizando las observaciones 1,6,11,16 y 21 de todos los casos anteriores.

Finalmente, ya establecidos los inputs, es posible correr el programa que valoriza la cartera. En el caso de los modelos de no arbitraje con paso anual, se puede apreciar en la siguiente figura un diagrama de flujo con el resumen del proceso de valorización:

Figura 7-6: Diagrama de flujo que resume el proceso de valorización anual de los

modelos de no arbitraje en función de los capítulos anteriores.

Para BDT mensual, el proceso es el mismo solo que posterior a la construcción del árbol de la tasa corta mensual, se deben reconstruir las tasas anuales.

Para el caso de Black, este es el resumen del proceso de valorización:

Figura 7-7: Diagrama de flujo con el resumen del proceso de valorización mediante

Black. La letra k simboliza la griega utilizada. 1: Delta, 2: Gamma, 3: Vega.

En todos los casos anteriores, se asume en el diagrama que los inputs de mercado son consistentes con las convenciones de tasas acordadas para cada modelo.

CAPÍTULO VIII 8. CONCLUSIONES

8.1. Resultados Obtenidos

8.1.1. Valorización anual


La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al aumentar

el nivel de la estructura de tasas:

Figura 8-1: Valor de la opción en función de β0.

Para niveles bajos de estructura de tasas, el valor de la opción para

Black es extremadamente alto en comparación a los otros modelos. A medida que aumenta el nivel, BDT 1 y BDT 2 tienden a aumentar el valor de la opción e incluso, sobrepasar a Black. Ho Lee es el que tiene el segundo valor más alto a niveles bajo de estructuras de tasas, pero después es sobrepasado por los otros tres modelos. Pero cuando el nivel de tasas es muy alto, Ho Lee tiende a entregar los mayores valores de la opción. En el

caso de Hull y White, el modelo no es válido ya que para las primeras 8 estructuras de tasas, el modelo entrega precios contingentes negativos por lo que el procedimiento iterativo para construir el árbol colapsa y en las últimas 13 observaciones entrega probabilidades de transición negativas. El detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.1.

En el caso de Delta se aprecia el mismo comportamiento. Esto se

aprecia en la siguiente figura:

Figura 8-2: Delta en función de β0.

El caso de Gamma es más incierto. Para niveles muy bajos y muy

altos de tasas, los mayores gammas son entregados en orden decreciente por Black, BDT 2, BDT 1 y Ho Lee. Pero para niveles intermedios, el orden es el contrario. Tal como se aprecia en la siguiente figura:

Figura 8-3: Gamma en función de β0.

La aparición de Gammas negativos para niveles altos se debe a que el VCO es negativo, ya que la estructura se encuentra muy cercana a la tasa techo.

En el caso de Vega, Black entrega los valores más altos. BDT 2 entrega

valores más altos que BDT 1 por el efecto de la volatilidad. Ho Lee entrega valores mayores a estos 2 últimos niveles para estructuras bajas y menores a medida que aumenta el nivel.

Figura 8-4: Vega en función de β0.


La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al

aumentar el nivel, la pendiente y la curvatura de la curva. Esta variación se ve principalmente reflejada en las tasas hasta 15 años. La parte a más largo plazo de la curva prácticamente permanece inalterada:


Se aprecia que el valor de la opción es relativamente insensible a grandes variaciones en las tasas hasta 15 años. Aunque a medida que la parte corta de la curva se acerca a la tasa techo, comienza a aumentar de manera considerable el valor de la opción. Sin embargo, entre modelos, las magnitudes en las diferencias son grandes. Black sigue entregando el valor de la opción más alto, seguido por BDT 2, BDT 1, Ho Lee y finalmente Hull y White. Este último modelo solo entrega valores para 3 observaciones, esto es aproximadamente para curvas relativamente planas. En la vecindad a estas, tanto por arriba y por abajo, entrega probabilidades negativas y para los valores extremos de β0, entrega precios contingentes negativos con lo que el árbol no puede ser construido. El detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.2.

Para los Delta calculados, se observa el mismo comportamiento que en el caso del valor de la opción.


En el caso de Gamma, los resultados se invierten con respecto al VO

y Delta, siendo Hull y White el que entrega los Gammas más altos y Black los más pequeños.


Vega sigue el mismo patrón que el VO. Black entrega el Vega más alto, independiente de β1 y de manera estable, seguido por BDT 2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White.



La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción al modificar el nivel, la pendiente y la curvatura, principalmente, en la parte

de la curva de tasas hasta 15 años y en menor magnitud, en las tasas a plazos más largos:


Los resultados muestran el mismo patrón que en el caso de β0.

Mientras más cerca esté la curva de la tasa techo, mayor es la convexividad en el valor de la opción, en particular, de los modelos de no arbitraje que tienden a superar a Black. En el caso de Hull y White, para las primeras 5 observaciones (estructuras bajas, con valle) entrega precios contingentes negativos, con lo que no es posible construir el árbol. Para las siguientes 6 observaciones, entrega probabilidades negativas. Solo se comporta bien para estructuras más planas y con montes. El detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.3.

En el caso de las griegas, se puede apreciar un comportamiento combinado de β1 y β0, aunque principalmente, influenciado por este último, ya que el aumento de nivel en la parte larga de la curva hace que si uno extrapola, Ho Lee, y en menor medida Hull y White, BDT 2 y BDT 1, tiendan a entregar Deltas más grandes que Black. En el caso de Gamma, se observa la forma de campana, tal como en β0, pero más atenuada, siendo Hull y White el que entrega los Gammas más altos. El mismo comportamiento de β0, pero de manera más atenuada, se observa en los resultados de Vega.


• Análisis sobre τ

A medida que se varía τ, se va desde una estructura plana, a una

creciente cóncava, luego de una curva con valle a una creciente cóncava con un valle hasta llegar a una estructura decreciente convexa. La siguiente figura muestra como varía el valor de la opción:

Figura 8-13: Valor de la opción en función de τ.

Sustentado en los casos anteriores y en este, es posible apreciar que

nuevamente el valor de la opción está dado principalmente por el nivel de las tasas largas de la curva (tasas a un plazo entre 15 a 30 años). La estructura plana, entrega el mayor valor de la opción. A medida que aumenta τ, la curva pasa a ser cóncava creciente, para finalmente ser convexa decreciente. En este caso, las tasas largas disminuyen al mínimo, y

las tasas cortas son más altas, por lo que en este caso, el valor de la opción está explicado principalmente por la curva de tasas hasta 15 años. En promedio, está curva tiene un nivel parecido a la curva plana, pero el valor de la opción en la segunda es bastante más alta, lo que avala en hecho de que el nivel de la parte larga de la curva aporta bastante más en el valor de la opción que la parte corta.

Notar nuevamente, que Black entrega el valor de la opción más alto,

seguido por BDT 2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White. Este último modelo, solo funciona para la curva plana. En esta vecindad, entrega probabilidades negativas para las próximas 4 observaciones y el resto, precios contingentes negativos. El detalle de los resultados puede ser vistos en el anexo F.4. En el caso de la griega Delta, al haber en un comienzo un nivel alto de la estructura de tasa, sobretodo en la parte larga, dado por la estructura plana, BDT 2 y BDT 1 entregan los valores más altos de Delta, sin embargo, el nivel no es tan alto para que Ho Lee entregue el nivel más alto de Delta. Al bajar el nivel de tasas en la parte larga, se vuelve al caso en que el mayor Delta es entregado por Black, luego BDT 2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White.

Figura 8-14: Delta en función de τ.

En el caso de Gamma, a medida que aumenta τ, se forma la campana

invertida ya que baja el nivel de las tasas largas. Nuevamente, el Gamma de Ho Lee es el más sensible al nivel de tasas.

Figura 8-15: Gamma en función de τ.

Finalmente, para Vega, los valores de éste obtenidos por Black son los más altos, seguido por BDT 2 y BDT 1. Aunque Ho Lee es un poco mayor que este último, en la parte mediana, donde el nivel promedio de la curva es mayor.

Figura 8-16: Vega en función de τ.

• Análisis sobre volatilidad

En este caso, se deja constante la curva parametrizada por el método de Nelson y Siegel (1987) y se procede a variar de forma lineal la volatilidad. En los siguientes gráficos, se muestra solamente, la volatilidad logarítmica en el eje X, pero hay que notar que tal como se explicó en las secciones anteriores se utilizó una aproximación análoga de esta volatilidad para los otros modelos de manera de hacer comparables los resultados.

Al aumentar la volatilidad, la diferencia entre el valor de la opción en Black y el resto de los modelos tiende cada vez más a ser mayor. De la misma manera, Ho Lee a niveles de volatilidad del 37% entrega un mayor valor de la opción que BDT 2 y BDT 1. Ho Lee, siempre entrega el valor más bajo. En el caso de BDT 2, a partir de la curva número 8, es decir, a partir de una volatilidad plana de aproximadamente un 18%, el modelo no es capaz de construir el árbol ya que diverge en la búsqueda de raíces dada por Newton Raphson. En el caso de Hull y White, para volatilidades muy bajas, entrega precios contingentes negativos. A medida que aumenta la volatilidad, entrega probabilidades negativas para finalmente, a partir de volatilidades del orden del 17%53 entregar los resultados de manera válida. El detalle de los resultados pueden ser vistos en el anexo F.5.Gráficamente, esto se aprecia en la siguiente figura:

Figura 8-17: Valor de la opción en función de la volatilidad.

A diferencia de los casos anteriores, el mayor nivel de la volatilidad, no hace que el Delta de Ho Lee sea mayor que el de los otros. En este caso, los modelos con distribución logarítmica del incremento de tasas, tienen un Delta mayor, que Ho Lee y Hull y White. Aunque a mayor volatilidad, BDT 1 y BDT 2, tienden a superar a Black.

53 La analogía en diferencias absolutas es de aproximadamente un 0,67%.

Figura 8-18: Delta en función de la volatilidad.

En el caso de Gamma, Ho Lee entrega valores más altos para niveles en torno al 27%. Black entrega los valores más bajos de Gamma. Hull y White entrega nuevamente los mayores valores de Gamma. Black y Hull y White, entregan créditos con Gamma negativos. A medida que aumenta la volatilidad, Black entrega Gammas negativos y una proporción de aproximadamente el 33% de los créditos entrega Gammas negativos con un valor total promedio igual a menos 2 UF. En este caso, Black y BDT 1 se comportan de manera similar a mayor volatilidad. Lo mismo, en el caso de Ho Lee y Hull y White.

Figura 8-19: Gamma en función de la volatilidad.

Finalmente, para Vega, a mayor nivel de volatilidad, notar que Black

y BDT 1, se comportan de manera similar, siendo el primero el que entrega

el valor de Vega más alto. Aunque para niveles muy altos de volatilidad, Ho Lee sobrepasa a todos los modelos. Hull y White se comporta de manera similar que Ho Lee, pero entrega Vegas más chicos.

Figura 8-20: Vega en función de la volatilidad.

8.1.2. Valorización mensual

En el caso de β0, El valor de la opción usando BDT 1 mensual es más grande que usando BDT 1 anual para niveles bajos y altos de estructuras de tasas. Para niveles intermedios, BDT 1 anual es mayor que BDT 1 mensual. Sin embargo, las diferencias en los resultados son bastante pequeñas salvo cuando el nivel de la estructura es muy baja, éstas no superan el 10%. Esto se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.2, donde se visualizan las griegas:

Figura 8-21: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando β0.

Con β1 la variación es aún menor, donde las diferencias en los

resultados del valor de la opción y griegas no superan el 4% con respecto a BDT 1 mensual vs. BDT 1 anual. A medida que la estructura de tasas se hace más convexa y aumenta su nivel, pasando de una curva creciente a decreciente, la valorización anual se asemeja a la mensual. Pareciera ser que al aumentar aún más β1, BDT 1 mensual sería mayor al anual. Esto es consecuente con la parte anterior, ya que en el fondo, la curva se está acercando cada vez más a la tasa techo. Esto se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.3, donde se visualizan las griegas:


En el caso de β2 se tiene que al aumentar este parámetro, la pendiente promedio se hace cada vez mayor y por lo tanto, BDT 1 mensual supera a BDT 1 anual. Cuando las curvas son relativamente planas y decrecientes convexas, se dan los valores más parecidos. Para curvas relativamente planas con valle, BDT 1 mensual es menor. Es mayor cuando las curvas tienen un monte. Sin embargo, en este caso, las tasas largas también han aumentado de nivel, por lo que es posible que parte de esta alza sea explicada por este factor. La diferencia promedio en el valor de la opción no supera el 4%. Las mayores diferencias se dan en las griegas, aunque en términos de diferencias absolutas, son muy bajas. Cuando las curvas son relativamente planas y decrecientes convexas, delta y vega tienden a tener los valores más cercanos. Por el contrario, en el caso de Gamma, se observan las mayores diferencias. Vega mensual es siempre menor. Esto se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.4, donde se visualizan las griegas:


En este caso, se da también que para curvas decrecientes convexas y

con montes, tanto BDT 1 mensual es mayor que BDT 1 anual y viceversa. Una explicación posible es que el mayor valor de una con respecto a la otra esté dado en gran parte por el nivel de la estructura de tasas, en particular, de las tasas largas. Eventualmente, en algún punto el valor de la opción para estos 2 casos es el mismo, para un τ entre el año 4 y 5. Las diferencias en el valor de la opción en promedio son aproximadamente un 7%. Las griegas no difieren en promedio de un 3%. Vega mensual es siempre menor. Esto se puede apreciar en la siguiente figura que muestra el valor de la opción para este caso y en el detalle de los resultados entregados en el anexo G.1 y G.5, donde se visualizan gráficamente las griegas:

Figura 8-24: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando τ.

A medida que aumenta la volatilidad, BDT 1 mensual se hace mayor

a BD1 anual. El caso contrario se da para volatilidades bajas, por lo que eventualmente, para volatilidades alrededor de un 30% estos 2 modelos entregan el mismo valor de la opción. La diferencia promedio en el valor de la opción es de un 3%. En el caso de las griegas, se da también que para valores altos de la volatilidad, las griegas mensuales son mayores. Para volatilidades pequeñas, las griegas anuales son mayores. Las diferencias no superan el 6% promedio.

Figura 8-25: BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual variando la volatilidad.

8.2. Conclusiones

En esta tesis se han revisado algunos de los modelos más importantes de la corriente de los modelos de no arbitraje para valorizar opciones incrustadas sobre tasas de interés y sus respectivas griegas en una cartera de créditos hipotecarios mixtos con tasa techo móvil. Además, se ha implementado Black, que es el principal modelo utilizado en la banca chilena para valorizar estas opciones.

El objetivo principal, es contrastar cada uno de estos modelos en

términos del valor de la opción y griegas suponiendo una variada gama de estructuras de mercado y realizar un análisis costo beneficio para ver si estos compensan el costo de su implementación en función de la diferencia en los resultados.

Lo primero que se ha podido comprobar, es que los resultados

entregados por los distintos modelos dependiendo de ciertos inputs de mercado, pueden llegar a ser muy distintos entre si. En muchos casos, la diferencia en las magnitudes de los resultados entregados es muy grande. En el mercado, este tipo de opciones no son transables, por lo que es imposible establecer un criterio de elección del modelo basado en transacciones de mercado.

Afortunadamente, el análisis realizado en la sección anterior permite

concluir en base a los objetivos específicos anteriormente planteados, la ventaja de ciertos modelos con respecto a otros. En ese sentido, es posible apreciar que el grado de dificultad o la complejidad del modelo no es sinónimo de un modelo más robusto o que se ajuste de mejor forma a la data chilena de mercado.

Sin embargo, un cierto grado de complejidad es aceptable y de esta

forma se concluye que el modelo BDT 1 presenta varias ventajas con respecto a los otros modelos. Esto de alguna forma está avalado por la evidencia empírica en donde este modelo es uno de los más utilizados en la práctica en mercados más desarrollados.

A continuación se detallas algunas de las razones por las cuales este

modelo presenta más beneficios que los otros:

• Estabilidad y ajuste

En forma global, se puede decir que los modelos son bastante estables y presentan patrones de comportamiento relativamente parecidos, lo que permite hacer más fácil la comparación entre éstos. No se observa una tendencia caótica en los resultados, aunque existen algunos resultados extraños como el Gamma de Hull y White al aumentar la volatilidad.

El hecho de modelar la reversión a la media o ajustar a la curva de volatilidades presenta características deseables que en un principio pueden parecer sumamente tentadoras. Sin embargo, se ha podido ver que el grado de ajuste de Hull y White y BDT 2 es muy pobre y solo es posible obtener resultados en algunos pocos casos. En particular, pareciera ser que Hull y White se comporta bien para niveles altos de volatilidad y estructuras relativamente planas. En el caso de BDT 2, el modelo es deficiente en el caso de volatilidades altas. Hay que recordar que bajo el enfoque de una estructura de volatilidades spot, el modelo siempre divergía haciendo imposible construir el árbol ya que las volatilidades calculadas eran muy altas. Al usar una estructura de volatilidades planas, el problema se aminora, pero en ese caso los resultados son muy parecidos entre BDT 1 y BDT 2, lo que no compensa implementar el segundo modelo.

Black, BDT 1 y Ho Lee han mostrado ajustarse bien a todos los

inputs de mercado lo cual presenta una ventaja con respecto a los dos modelos anteriores.

• Sensibilidad y cobertura

Los modelos con distribución Normal en el incremento de tasas

presentan los mayores valores de Gamma. Esto implica que para el tema de cobertura, la posición que inmuniza el riesgo de la cartera ante fluctuaciones de tasas debe ser reajustada de forma más seguida que en los modelos con distribución Log Normal en el incremento de tasas. Esto queda claramente apreciado al aumentar el nivel de las tasas largas. Eso si, al haber un nivel más bajo, Black es el que debe ser reajustado de manera más frecuente.

Un modelo más robusto es BDT, que de alguna forma u otra, siempre

tiende a estar en un punto intermedio de entre los valores de la opción y griegas de los otros modelos. Lo cual involucra menor sensibilidad ante

los inputs de mercado y por ende un menor reajuste en la posición de inmunización.

En el caso de la volatilidad, es posible apreciar que para valores

empíricos de la volatilidad calculada, Black es altamente sensible a cambios en la volatilidad. Esto se puede ver en todos los casos de Vega al variar los parámetros de la curva parametrizada y una notable diferencia en el valor de la opción al aumentar la volatilidad. Esto es sumamente crítico ya que el cálculo de la volatilidad es uno de los temas más complejos que revisten hoy en día las finanzas y los enfoques para el cálculo pueden muchos por lo que es esencial poder contar con un modelo que intente ser muy insensible a este parámetro. Otro punto agravante, es que acá se está usando el enfoque de volatilidades planas, ni siquiera el de una estructura de volatilidad spot. En este sentido los modelos de no arbitraje presentan una ventaja ya que tienen un Vega más pequeño.

• Forma de la estructura de tasas spot

El valor de la opción está principalmente explicada por el nivel de las

tasas largas a un plazo de entre 15 a 30 años. Típicamente, esta es la parte más suave y plana de la curva. Ha sido posible apreciar que la pendiente y curvatura del modelo no son factores relevantes para la elección de un modelo ya que ha sido posible notar que al variar β2 y τ, el patrón sigue siendo siempre el mismo en cuanto al valor de la opción. Sin embargo, si se observan las griegas, es posible ver que Ho Lee, Hull y White y Black, presentan una mayor variabilidad ante cambios en la pendiente y curvatura.

Sin embargo, si se analiza netamente el valor de la opción, al haber un nivel de tasas largas bajo, el mayor valor va a estar dado por Black, BDT2, BDT 1, Ho Lee y Hull y White. En el caso contrario, los modelos de no arbitraje tienden a superar a Black en el valor de la opción al haber un nivel de tasas largas altas. De este modo, Ho Lee entrega los mayores valores, seguidos por Hull y White, BDT 2, BDT 1 y Black. Notar que BDT 1 se encuentra siempre en un nivel intermedio.

El cambio en la pendiente y curvatura, (ver β2 y τ), prácticamente no

influyen en cambios en el orden de magnitud en los resultados del valor de la opción en los modelos.

• Volatilidad

La volatilidad es un factor crítico, ya que a medida que esta aumenta, las diferencias en el valor de la opción entre uno y otro modelo, pueden llegar a ser extremadamente grandes. En particular, Black, que es muy sensible a la volatilidad, entrega valores altísimos de la opción relativos a los otros modelos. Por otro lado, Hull y White, entrega valores bajísimos. BDT 1 tiene la ventaja de presentar una tendencia menos pronunciada en las griegas que los otros modelos, lo cual para volatilidades extremadamente altas, es una ventaja. En particular, esto se aprecia en Vega. Además, hay que recordar que BDT 2 falla para volatilidades altas y lo mismo pasa con Hull y White en el caso de volatilidades bajas.

Como dato aparte, se deja constancia la existencia de Gammas

negativos, a medida que aumenta la volatilidad. Esto sin embargo, ocurre para valores bastante extremos. Aunque pueden haber Gammas negativos, aún cuando VPCO sea positivo, se ha podido constatar que escogiendo los valores ε igual a 40 puntos base y λ igual a 100 puntos bases prácticamente se elimina la existencia de Gammas negativos y en comparación del Gamma total, la suma de los créditos con Gamma negativos son bajos. Sin embargo, para una volatilidad muy alta, Black entrega Gammas negativos como total.

• Tasas negativas

Los modelos de Ho Lee y Hull y White presentan tasas negativas.

Tal como se dijo, esto es inconsecuente con la evidencia empírica. Hay que recordar que la tasa TAB es una tasa activa, por lo tanto, tener una dinámica de tasas en donde la probabilidad de encontrar tasas negativas sea positiva, presenta un problema que es corregido por los modelos de arbitraje con distribución Log Normal.

En el caso de la valorización usando paso anual vs. paso mensual, se

tienen las siguientes conclusiones. La implementación de BDT 1 anual con respecto a BDT 1 mensual genera diferencias en promedio en torno al 5% de una con respecto a la otra en términos del valor de la opción y sus griegas y en caso de que estas diferencias sean grandes, como en el caso de un nivel de tasas largas bajas, las diferencias absolutas son pequeñas. Esto es bastante más pequeño que las diferencias entre los resultados de los modelos de no arbitraje. Se cree que establecer un error de tolerancia del orden del 5% no es para nada grotesco. Luego, al ser las diferencias bastante pequeñas, se recomienda utilizar la valorización anual en

desmedro de la mensual. De esta forma se genera una mayor eficiencia ya que los tiempos de computación son mucho menores54.

En consecuencia, el modelo que mejor se comporta es BDT 1. Sin

embargo, la SBIF promueve la implementación de cualquier modelo lo que va acorde a las características de Basilea. Sin embargo, es posible notar que la elección de un modelo en desmedro de otro, implicará donde deberán estar asignados de mejor forma los recursos.

En particular, la focalización debiera estar en donde se producen las

mayores variaciones. La forma de la curva spot en cuanto a su curvatura y pendiente no es tan relevante como el nivel de la parte larga de la curva. Por lo tanto, los recursos no debiesen estar focalizados en determinar una curva spot mediante un método muy complejo.

La volatilidad ha demostrado ser muy importante, ya que los modelos

son altamente sensibles a ésta. En particular, Black, que es un modelo altamente utilizado en la industria local. Es por ello necesario reforzar los métodos de estimación para el cálculo de volatilidad incorporando nuevas metodologías y estudios.

Se ha podido apreciar, que a veces, la complejidad de los modelos no se

traduce en modelos más robustos y con mejor ajuste. Sin embargo, es interesante profundizar en particular dados los resultados vistos, en el modelo de Black y Karasinski (1991) a volatilidad constante, que es la versión de BDT 1 con reversión a la media. En el caso de Hull y White, este modelo demostró tener un pobre ajuste a la data chilena al igual que BDT 2.

BDT 1 y Ho Lee en ese sentido presentan las mayores ventajas, aunque

BDT 1 es menos sensible a los inputs de mercado en casos más extremos y presenta la ventaja de tasas positivas. A pesar de que este tipo de créditos son relativamente nuevos y las opciones no son transables, una forma futura de analizar en la práctica cual modelo se comportó mejor es realizando pruebas de back testing para poder establecer como se ajustaron los modelos al escenario real.

Se recalca que este trabajo radica en una serie de varios otros supuestos que son dignos de ser analizados. Dentro de éstos, están la forma de construir la curva TAB teórica, la estimación de la volatilidad, la fijación 54 El cálculo del valor de la opción y las griegas demora aproximadamente 15 minutos utilizando un paso anual y aproximadamente tres horas y media mediante paso mensual. Para ello, se utilizó un computador con un procesador Intel Celerón de 1.8 Ghz y 256 MB de RAM.

del coeficiente de reversión, entre otros. Como trabajos complementarios, se sugiere el estudio de otros métodos para poder redefinir y contrastar los supuestos anteriormente señalados a lo largo de esta tesis.

Finalmente, se sugiere la variación de inputs financieros asociados al crédito para poder establecer políticas para la fijación de la tasa techo o el spread crediticio, por ejemplo. O también, la incorporación de otros modelos para valorizar derivados de la tasa de interés para poder contrastarlos con los modelos ya implementados.

El campo de estudio revisado en esta tesis es muy amplio y requiere de varios supuestos y escenarios que perfectamente pueden ser redefinidos y analizados. Este trabajo intenta otorgar una línea de partida.

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ANÉXOS

A. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON A.1. Newton Raphson unidimensional Este método iterativo sirve para encontrar U(i) usando BDT ajustado por rendimiento. El método de Newton Raphson consiste geométricamente en extender la línea tangente de la función hasta un punto xi que cruce cero para luego elegir xi+1 como la abscisa del punto que cruza cero. Más claro se puede apreciar en el gráfico A-1.

Figura A-1: El método de Newton extrapola la derivada local para encontrar la

siguiente estimación de la raíz. En este ejemplo, se encuentra la raíz y converge cuadráticamente.

Algebraicamente, el objetivo es encontrar la raíz de f(x), x* por lo tanto, usando una expansión de Taylor en torno a x0, de forma tal de encontrar:

*x tal que 0)( * =xf (A.1) Aplicando Taylor sobre f:

...))(´´(21))(´()()( 2

000 +−+−+= xxxfxxxfxfxf (A.2)

Considerando solo los términos lineales, se obtiene:

0))(´()()( 00 =−+= xxxfxfxf (A.3) Lo que implica:

)´()( 0

0 xfxf

xx −= (A.4)

Luego, el algoritmo a aplicar es: 1) Escoger x0 2) Encontrar x1 tal que

)´()(

0

001 xf

xfxx −= (A.5)

3) Si

ε<− 201 )( xx tal que 0→ε (A.6)

Parar. Se ha encontrado la solución de la ecuación. 4) Si no, volver al paso 2 para encontrar x2, luego la iteración k-ésima es:

)´()(

1k

kkk xf

xfxx −=+ (A.7)

Por lo tanto, usando BDT1, sea k cierta iteración del período i:

∑+

−+=j

dtk

k dtjiUjiQiPif

)]**exp(*)(1[),()1()(

σ (A.8)

y la derivada de f(i) con respecto a U es:

∑ ++=

jdt

kk dtjiU

dtdtjjiQif1

´

)]**exp(*)(1[)*)**exp(*),()(

σσ (A.9)

En consecuencia, el algoritmo a aplicar es:

))(())((

)()( ´1 iUfiUf

iUiUkk

kkkk −=+ (A.10)

si ε<−+

21 ))()(( iUiU kk tal que 0→ε entonces se ha encontrado la solución,

si no volver a iterar usando (*), donde )()(1 iUiU kk =+ . Sin embargo, es importante notar que para cierto tipo de funciones, Newton Raphson puede no converger. Al menos, en el caso de BDT1, al escoger para cada U0(i) el punto de partida UK(i-1), donde UK representa El valor escogido en i-1, no ha habido problemas. En el caso de UK(1) se utiliza R(0). El cálculo es análogo en el caso de Ho Lee, sólo que recordar que el incremento de tasas es normal en vez de lognormal, luego (A.8) se escribe como:

∑++

−+=j

dtk

k dtjiUjiQiPif

]**)(1[),()1()(

σ (A.11)

A.2. Newton Raphson bidimensional

Este método iterativo sirve para encontrar las raíces de U(i) y de σ(i) usando BDT2 ajustado por rendimiento y volatilidad. El razonamiento es el mismo que en el caso unidimensional, no es objetivo de este trabajo profundizar más en el tema. Para más información ver Press, Teukolsky, Vetterling y Flannery (1992) Nuevamente, el objetivo es encontrar la raíz de f(x), x*, donde x es un vector de la forma:

=

)()(

)(2

1

txtx

tx y

=

)()(

)(2

1

t

t

xfxf

xf (A.11)

Por lo tanto, usando el mismo razonamiento anterior en base a una expansión de Taylor en torno a x0, se obtiene:

...))((21))(()()( 2

000 +−+−∇+= xxxHxxxfxfxf (A.12)

Considerando solo los términos lineales, se obtiene:

0))(()()( 00 =−∇+= xxxfxfxf (A.13)

)()( 01

0 xfxfxx −∇−= (A.14) Luego, el algoritmo a aplicar es: 1) Escoger x0=(y0,z0) 2) Encontrar x1 tal que

)()( 001

01 xfxfxx −∇−= (A.15) 3) Si

ε<−+− 201

201 )()( zzyy tal que 0→ε

Parar. Se ha encontrado la solución de la ecuación. 4) Si no, volver al paso 2 para encontrar x2, luego la iteración k-ésima es: )()(1

1 kkkk xfxfxx −+ ∇−= (A.16)

donde

∂∂

∂∂−

∂∂−∂

∂

∂∂

∂∂−∂

∂∂

∂=∇→

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇ −

1

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

11)()(

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xfx

fx

fx

fx

fxf tt

Luego, usando BDT2, sea k cierta iteración del período i:

=

)()(

)(iiU

ixk

kk σ

y

=

)](),([)](),([

))((iiUfDiiUfU

ixfkkk

kkkkk σ

σ (A.17)

tal que:

∑+

−+=j

dtkk

UUk dtjiiU

jiQiPifU

)]**)(exp(*)(1[],[

]1[)(σ

(A.18)

y

∑+

−+=j

dtkk

DDk dtjiiU

jiQiPifD

)]**)(exp(*)(1[],[

]1[)(σ

(A.19)

Tomando las derivadas:

∑ ++=∂

∂j

dtkk

kU

kk

dtjiiUdtdtjijiQ

UifU

1)]**)(exp(*)(1[*)**)(exp(*],[)(

σσ (A.20)

∑ ++=∂

∂j

dtkk

kkU

k

k

dtjiiUdtjdtdtjiiUjiQifU

1)]**)(exp(*)(1[***)**)(exp(*)(*],[)(

σσ

σ (A.21)

∑ ++=∂

∂j

dtkk

kD

k

k

dtjiiUdtdtjijiQ

UifD

1)]**)(exp(*)(1[*)**)(exp(*],[)(

σσ (A.22)

∑ ++=∂

∂j

dtkk

kkD

kk

dtjiiUdtjdtdtjiiUjiQifD

1)]**)(exp(*)(1[***)**)(exp(*)(*],[)(

σσ

σ (A.23)

Ya se conocen todas las formas funcionales. Basta aplicar Newton Raphson para encontrar las raíces del sistema de ecuaciones no lineales.

Sin embargo, es importante notar que para cierto tipo de funciones, Newton Raphson puede no converger. Al menos, en el caso de BDT2, al escoger para cada U0(i) y σ0(i-1) el punto de partida UK(i-1) y σK(i-1), donde UK y σK representa el valor escogido en i-1, no ha habido problemas. En el caso de UK(1) y y σK(1) se utiliza R(0) y la volatilidad al plazo de la tasa corta respectivamente.

B. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HO LEE Se requiere determinar la tasa continua R en un tiempo T futuro asociada a un bono cero cupón P que madura en un s futuro con 0≤T<s suponiendo que la tasa corta r se comporta según el proceso descrito a continuación:

dzdttdr σθ += )( (B.1)

En donde σ es la volatilidad de la tasa y Ө(t) es el drift dependiente del tiempo con la siguiente forma funcional: t

ttft 2),0()( σθ +

∂∂

= (B.2)

En donde f es la tasa forward instantánea y t es un instante del tiempo cualquiera tal que 0≤t<T. Se puede demostrar que R se puede expresar como:

TssTPsTR

−−=

),(ln),( (B.3)

En donde P(T,s) es la solución de la ecuación (B.1) y se escribe como: ))(*),(exp(*),(),( TrsTBsTAsTP −= (B.4) Donde r(T) es el nivel de la tasa corta en T. B(T,s) y A(T,s) se escriben como: )(),( TssTB −= (B.5)

),()(2

),(ln),(),(),(ln),(ln 2

2

sTBTtT

TtPsTBTtPstPsTA −−

∂∂

−=σ

Al no depender el drift del nivel de la tasa corta, en este modelo la volatilidad es constante tanto para todas las volatilidades spot y forward:

σσ =),( stR (B.6)

C. SOLUCIÓN ANALÍTICA PARA HULL & WHITE Se requiere determinar la tasa continua R en un tiempo T futuro asociada a un bono cero cupón P que madura en un s futuro con 0≤T<s suponiendo que la tasa corta r se comporta según el proceso descrito a continuación:

dzdtrtdr σαθ +−= ])([ (C.1)

En donde α es el coeficiente de reversión a la media, σ la volatilidad de la tasa y Ө(t) es el drift dependiente del tiempo con la siguiente forma funcional:

)1(2

),0(),0()( 22

tetft

tft α

ασαθ −−++

∂∂

= (C.2)

En donde f es la tasa forward instantánea y t es un instante del tiempo cualquiera tal que 0≤t<T. Se puede demostrar que R se puede expresar como:

TssTPsTR

−−=

),(ln),( (C.3)

En donde P(T,s) es la solución de la ecuación (B.1) y se escribe como: ))(*),(exp(*),(),( TrsTBsTAsTP −= (C.4) Donde r(T) es el nivel de la tasa corta en T. B(T,s) y A(T,s) se escriben como: ( )))(exp(11),( TssTB −−−= α

α (C.5)

( )( )14

),(ln),(),(),(ln),(ln )(2)()(

3

2

−−−∂

∂−= −−−−− tTtTts eee

TTtPsTB

TtPstPsTA ααα

ασ

Además, está formulación analítica permite obtener la estructura de volatilidades spot a partir de:

( ))(1)(

),( tsR e

tsst −−−

−= α

ασσ (C.6)

D. OBTENCIÓN DE TASAS A DISTINTO PLAZO VÍA BDT1 MENSUAL

Sea el siguiente árbol mensual calculado mediante BDT 1 y el

respectivo árbol de precios contingentes:

Figura D-1: Árbol de tasas mensuales usando BDT 1.

Figura D-2: Árbol respectivo de precios contingentes.

Se ha escogido arbitrariamente el nodo (3,1) para encontrar su respectiva tasa a 8 meses plazo55. Para ello se debe recalibrar todo el árbol de precios contingentes a partir del árbol generado en el nodo (3,1), hasta el instante i = 11 usando (3.13), (3.14) y (3.15), con la condición inicial Q(3,1) = 1, tal como se aprecia en la siguiente figura de manera ilustrativa:

Figura D-3: Ejemplo de recalibración del árbol de precios elementales para encontrar

tasas a un determinado plazo consistentes con el mercado para cualquier nodo (i,j). El árbol recalibrado de precios elementales se puede apreciar en la

siguiente figura:

55 Además, al usar base anual se debe tomar ∆t =1/12.

Figura D-4: Árbol recalibrado. Aplicar (3.11) para obtener la tasa requerida.

Por lo tanto, (i,j) = (3,1) y (k-i) = 8, luego k = 11 y l va desde -7

hasta 9, que son todos los estados l para el instante k = 11 que se generan desde (3,1). De este modo, para encontrar el precio del bono cero cupón para el nodo (3,1) se usa (4.13) tal que:

98,0)8()311(1

)311(1,111,3 == ∑

−+

−−=llQP (D.1)

Y mediante (D.1) junto con (4.14) encontrar la tasa a 8 meses:

030768,0198,01)8(

)12/1*(81

),( =−

=jiY (D.2)

Es decir, la tasa a 8 meses es igual a 3,08% aproximadamente para el nodo (3,1). Repitiendo este cálculo para cualquier nodo y a cualquier plazo es posible obtener las tasas requeridas. En particular, tasas anuales para todo nodo en cada fecha de repricing.

E. VP CRÉDITO SIN TECHO USANDO FORWARD Sea:

- ∆t: paso o granularidad escogida. Puede ser anual o mensual. Si es anual ∆t es igual a 1, si es mensual ∆t es igual a 1/12.

A continuación el instante de tiempo i dependerá de la granularidad escogida. Si es anual entonces está expresado en años. Si es mensual, i está expresado en meses.

- R(i): tasa cero cupón de mercado del bono que madura en el instante i. La convención de esta tasa deberá ser consecuente con la del modelo elegido y del paso utilizado.

- Sp: spread crediticio del deudor. - f(i): Tasa forward entre el instante i e i+1/∆t tal que i es fecha de

repricing. - fix: Tasa fija a pagar durante el período residual a tasa fija. - x: Plazo residual con pago a tasa fija. - n: Plazo residual del crédito. - SI(i): Saldo insoluto del crédito en el año i. SI(0) es la deuda actual. - C(i): Cuota a pagar en el instante i. - VPCSOF: Ganancia en valor presente del crédito sin opción

calculado mediante tasas forward. Lo primero es calcular la tasa forward a un año relevante para cada fecha de repricing, es decir:

1))(1(

)/1(1()( *

)*/1(

−+

∆++= ∆

∆∆+

ti

tti

iRtiRif (D.1)

Por lo tanto, ahora se tienen 2 casos. Siguiendo la lógica de la sección 3.3, si i está entre 1 y x56 entonces el pago de cada cuota en i se calcula como:

1)*1()*1(***)1()( 1

1

−∆+∆+

∆−= −+

−+

in

in

tfixtfixtfixiSIiC (D.2)

Y el saldo insoluto como queda determinado por la siguiente expresión:

56 donde x es como mínimo igual a 1 en el caso anual.

tfixiSIiCiSIiSI ∆−+−−= **)1()()1()( (D.3) Notar que en este caso i parte de 1 ya que a diferencia del árbol, la trayectoria de la tasa es única y conocida. No hay incertidumbre, luego es posible situar el instante de pago efectivamente donde ocurre el flujo de caja. En el segundo caso, es decir cuando i está entre x+1 y N-1/∆t+1 se tienen a su vez 2 diferencias. Si ∆t es anual entonces la cuota y el saldo insoluto son iguales a:

1)))((1()))((1())((*)1()( 1

1

−++++

+−= −+

−+

iN

iN

spifspifspifiSIiC (D.4)

Y el saldo insoluto como queda determinado por la siguiente expresión:

))((*)1()()1()( spifiSIiCiSIiSI +−+−−= (D.5)

Sin embargo si el pago es mensual se tendrá la misma cuota para cada mes a partir de la fecha de repricing i hasta i+11 (12 cuotas iguales dadas por la siguiente expresión:

1)12/))((1()12/))((1(

12))((*)1()( 1

1

−+++++

−= −+

−+

iN

iN

spifspifspifiSIiC (D.6)

Y el saldo insoluto se irá actualizando mes a mes como:

12))((*)1()()1()( spifiSIiCiSIiSI +

−+−−= (D.7)

Finalmente, para calcular la ganancia del crédito se trae a valor presente todas las cuotas que al restárseles el capital prestado en la fecha vigente, determinan la ganancia (interés) del crédito sin opción:

)0())(1()(

1* SI

iRiCVPCSOF

N

iti −

+= ∑

=∆ (D.8)

El método de calcular la ganancia del crédito sin opción usando tasas forward es sencillo y permite realizar comparaciones entre los resultados de este y los de los modelos de tasas.

F. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO ANUAL -

F.1. Valor de la opción en función de β0.

curva β0 Black BDT 1 Hull & White BDT 2 Ho Lee 1 1,47 2.281 7 X 288 577 2 1,77 4.472 53 X 414 937 3 2,07 8.420 267 X 756 1.596 4 2,37 15.126 1.032 X 1.769 2.823 5 2,67 25.926 3.121 X 4.391 5.091 6 2,97 42.518 8.117 X 10.334 9.208 7 3,27 66.979 18.464 X 22.074 16.520 8 3,57 101.749 37.439 X 43.130 29.083 9 3,87 149.598 69.415 X 77.715 50.140

10 4,17 213.522 119.551 X 131.071 83.998 11 4,47 296.567 193.518 X 208.379 136.686 12 4,77 401.559 296.890 X 315.021 215.161 13 5,07 530.673 435.030 X 456.127 327.097 14 5,37 684.737 610.228 X 633.642 479.693 15 5,67 862.981 821.005 X 845.444 676.722 16 5,97 1.063.293 1.063.668 X 1.088.060 917.190 17 6,27 1.282.477 1.331.543 X 1.354.671 1.195.599 18 6,57 1.516.497 1.616.533 X 1.637.850 1.500.235 19 6,87 1.760.942 1.911.705 X 1.930.614 1.819.597 20 7,17 2.011.361 2.211.131 X 2.227.896 2.142.349 21 7,47 2.263.784 2.509.251 X 2.523.360 2.460.421

Tabla F-1: Valor de la opción para los distintos modelos en función de β057.


curva β1 Black BDT 1 Hull & White BDT 2 Ho Lee

1 -7,04 231.400 137.685 X 150.442 95.633 2 -6,64 231.059 137.405 X 150.120 95.509 3 -6,24 230.776 137.175 X 149.868 95.404 4 -5,84 230.554 137.011 X 149.687 95.310 5 -5,44 230.397 136.906 X 149.523 95.261 6 -5,04 230.309 136.820 X 149.389 95.245 7 -4,64 230.295 136.754 X 149.325 95.244 8 -4,24 230.360 136.777 X 149.350 95.261 9 -3,84 230.511 136.845 X 149.432 95.294 10 -3,44 230.755 136.997 X 149.532 95.363 11 -3,04 231.103 137.166 X 149.649 95.458 12 -2,64 231.566 137.356 35.181 149.787 95.602 13 -2,24 232.160 137.595 37.829 150.014 95.814 14 -1,84 232.908 137.890 37.520 150.302 96.091 15 -1,44 233.839 138.275 X 150.704 96.470 16 -1,04 234.993 138.841 X 151.345 96.922 17 -0,64 236.421 139.765 X 152.254 97.721 18 -0,24 238.183 140.902 X 153.381 98.761 19 0,16 240.353 142.300 X 154.863 99.939 20 0,56 243.023 144.329 X 156.892 101.662 21 0,96 246.309 147.046 X 159.674 104.029


57 La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios contingentes negativos.


curva β2 Black BDT 1 Hull & White BDT 2 Ho Lee 1 -6,14 204.903 119.212 X 130.569 82.928 2 -5,64 209.959 122.260 X 133.922 85.370 3 -5,14 215.761 126.054 X 137.866 87.999 4 -4,64 222.472 130.353 X 142.371 91.034 5 -4,14 230.285 135.399 X 147.633 94.712 6 -3,64 239.430 141.717 X 154.235 99.450 7 -3,14 250.177 149.611 X 162.459 105.389 8 -2,64 262.834 159.571 X 172.844 112.742 9 -2,14 277.742 172.124 X 185.830 122.014

10 -1,64 295.262 187.750 X 202.008 133.785 11 -1,14 315.749 208.359 X 223.120 148.785 12 -0,64 339.529 232.014 101.562 247.257 168.387 13 -0,14 366.882 261.271 119.736 277.450 191.564 14 0,36 398.014 296.339 146.806 313.014 220.363 15 0,86 433.011 336.526 179.777 353.649 255.042 16 1,36 471.854 382.614 220.599 400.205 295.443 17 1,86 514.444 433.010 266.716 450.968 341.950 18 2,36 560.590 488.157 316.889 506.132 394.431 19 2,86 610.041 548.123 372.324 566.305 451.278 20 3,36 662.486 610.563 437.494 628.793 513.723 21 3,86 717.614 676.569 504.658 694.762 579.174


F.4. Valor de la opción en función de τ.

curva τ Black BDT 1 Hull & White BDT 2 Ho Lee 1 0,0 345.312 235.092 100.021 250.903 170.007 2 0,5 342.724 231.022 X 246.884 165.920 3 1,0 315.303 205.356 X 220.449 145.478 4 1,5 276.179 171.995 X 185.830 120.920 5 2,0 239.362 141.663 X 154.177 99.411 6 2,5 208.504 116.981 X 128.199 82.497 7 3,0 183.969 97.722 X 107.901 69.761 8 3,5 165.151 83.237 X 92.412 60.365 9 4,0 151.209 72.507 X 80.833 53.815

10 4,5 141.324 64.697 X 72.356 49.142 11 5,0 134.775 59.339 X 66.494 46.224 12 5,5 130.959 56.196 X 62.932 44.669 13 6,0 129.378 54.864 X 61.400 44.381 14 6,5 129.624 55.329 X 61.609 45.163 15 7,0 131.368 56.694 X 62.805 46.935 16 7,5 134.337 58.908 X 64.964 49.190 17 8,0 138.310 62.230 X 68.330 52.066 18 8,5 143.103 66.223 X 72.431 55.213 19 9,0 148.567 70.793 X 77.038 58.535 20 9,5 154.575 75.747 X 82.161 62.243 21 10,0 161.024 81.174 X 87.741 66.214

Tabla F-4: Valor de la opción para los distintos modelos en función de τ60.

58 La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios contingentes negativos. 59 La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios contingentes negativos.

F.5. Valor de la opción en función de la volatilidad61.

curva VOL LOG VOL ABS Black BDT 1 Hull & White BDT 2 Ho Lee 1 5,05% 0,20% 79.726 44.593 X 48.402 33.443 2 7,05% 0,28% 168.450 97.485 X 105.786 72.242 3 9,05% 0,35% 280.445 167.660 X 183.092 127.617 4 11,05% 0,43% 408.528 250.221 X 275.438 195.953 5 13,05% 0,51% 547.777 342.346 X 381.190 275.143 6 15,05% 0,59% 694.799 439.547 X 496.734 361.780 7 17,05% 0,67% 847.210 540.849 247.332 622.058 456.146 8 19,05% 0,75% 1.003.299 645.454 308.896 554.728 9 21,05% 0,82% 1.161.810 750.576 374.040 657.973

10 23,05% 0,90% 1.321.794 855.487 442.314 763.403 11 25,05% 0,98% 1.482.521 960.604 513.089 873.094 12 27,05% 1,06% 1.643.416 1.064.135 585.805 983.390 13 29,05% 1,14% 1.804.014 1.166.423 660.016 1.095.156 14 31,05% 1,21% 1.963.935 1.266.932 735.421 1.208.377 15 33,05% 1,29% 2.122.863 1.365.332 811.812 1.323.340 16 35,05% 1,37% 2.280.530 1.461.451 889.029 1.439.257 17 37,05% 1,45% 2.436.709 1.555.201 966.939 1.555.876 18 39,05% 1,53% 2.591.203 1.646.471 1.045.428 1.672.886 19 41,05% 1,61% 2.743.841 1.735.286 1.124.401 1.790.993 20 43,05% 1,68% 2.894.477 1.821.667 1.203.782 1.909.856 21 45,05% 1,76% 3.042.980 1.905.623 1.283.506 2.028.760

Tabla F-5: Valor de la opción para los distintos modelos en función de la volatilidad 62.

60 La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios contingentes negativos. 61 Para Black, la volatilidad logarítmica se transforma a volatilidad continua. Para Hull y White, la volatilidad en diferencias absolutas se transforma a volatilidad continua. 62 La cruz en rojo indica probabilidades de transición negativas. La cruz en negro indica precios contingentes negativos.

G. RESULTADOS ANÁLISIS – PASO MENSUAL –

G.1. Resultados de BDT 1 Mensual vs. BDT 1 Anual

BDT MENSUAL BDT ANUAL parámetro curva VO Delta Gamma Vega curva VO Delta Gamma Vega

1,47% β0 1 281 5 0 0 1 7 2 0 0 2,97% β0 6 8.777 370 10 60 2 8.117 386 11 61 4,47% β0 11 185.062 3.513 40 426 3 193.518 3.643 39 442 5,97% β0 16 1.050.087 9.292 19 627 4 1.063.668 9.030 17 630 7,47% β0 21 2.550.973 10.210 -8 293 5 2.509.251 9.728 -9 264 -7,04% β1 1 129.482 2.431 26 350 6 137.685 2.589 27 367 -5,04% β1 6 128.871 2.457 27 349 7 136.820 2.612 28 367 -3,04% β1 11 129.329 2.516 29 351 8 137.166 2.673 30 365 -1,04% β1 16 131.608 2.656 33 357 9 138.841 2.818 33 372 0,96% β1 21 144.698 3.097 40 374 10 147.046 3.141 41 390 -6,14% β2 1 112.551 2.165 25 312 11 119.212 2.522 20 327 -3,64% β2 6 135.502 2.829 36 364 12 141.717 3.131 26 380 -1,14% β2 11 203.021 4.401 48 466 13 208.359 4.243 31 477 1,36% β2 16 386.303 6.568 40 556 14 382.614 6.423 37 574 3,86% β2 21 705.065 8.027 25 549 15 676.569 7.749 24 563 0,00 τ 1 227.034 4.784 49 499 16 235.092 4.901 45 515 2,50 τ 6 112.947 2.443 35 321 17 116.981 2.525 35 335 5,00 τ 11 63.192 1.835 35 212 18 59.339 1.811 36 216 7,50 τ 16 66.160 2.192 41 211 19 58.908 2.128 41 215 10,00 τ 21 89.362 2.812 44 250 20 81.174 2.737 43 256 5,05% σ 1 43.336 1.673 39 225 23 44.593 1.754 40 240 15,05% σ 6 424.183 4.571 27 495 24 439.547 4.700 25 504 25,05% σ 11 945.293 6.150 16 534 25 960.604 6.093 14 520 35,05% σ 16 1.472.579 7.150 9 514 26 1.461.451 6.732 9 472 45,05% σ 21 1.971.308 7.898 5 479 27 1.905.623 7.137 4 411

Tabla G-1: Resumen comparación resultados BDT 1 anual vs. BDT 1 mensual.

G.2. Gráfica de Griegas caso β0 anual vs. mensual

Figura G-1: Delta anual vs. Delta mensual variando β0.

Figura G-2: Gamma anual vs. Gamma mensual variando β0.

Figura G-3: Vega anual vs. Vega mensual variando β0.

G.5. Gráfica de Griegas caso τ anual vs. mensual

Figura G-10: Delta anual vs. Delta mensual variando τ.

Figura G-11: Gamma anual vs. Gamma mensual variando τ.

Figura G-12: Vega anual vs. Vega mensual variando τ.

G.6. Gráfica de Griegas caso Volatilidad anual vs. mensual

Figura G-13: Delta anual vs. Delta mensual variando la volatilidad.

Figura G-14: Gamma anual vs. Gamma mensual variando la volatilidad.

Figura G-15: Vega anual vs. Vega mensual variando la volatilidad.

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