Universidad de Managua

Al más alto nivel

Curso de Programación Lineal

MÉTODO GRÁFICO PARA PROBLEMAS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

Estudiantes:

Facultad de Ciencias Económicas

y Administrativas.

Profesor:

MSc. Julio Rito Vargas Avilés.

III Cuatrimestre 2014

Año académico:

PROBLEMA

En una fábrica de bombillos se producen dos tipos de ellas, los de tipo normal valen 450 córdobas y

los halógenos 600 córdobas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse

al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la

producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?

SOLUCIÒN:

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Objetivo: maximizar facturación

- Restricciones: Se producen dos tipos de bombillos: Normal y Halógenos.

- No se pueden fabricar al día más de 400 normales

- No se puede fabricar al día más de 300 halógenos

- No se puede fabricar al día más de 500 entre ambos tipos.

- Los Normales se venden a C$450 y los halógenos a C$600.

- Para lograr el objetivo requerimos saber. ¿Cuántos bombillos de cada tipo debemos fabricar al dìa?

- Sea X: número de bombillos tipo normal; Y: número de bombillos de tipo halógenos.

PROBLEMA

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Expresamos los datos en forma de una tabla:

2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.

MAX Z = 450X + 600Y

SUJETO A:

X ≤ 400 Producción de tipo normales por día

Y ≤ 300 Producción de tipo halógenos por día

X + Y ≤ 500 Producción ambos tipos por día

X ≥ 0 Criterio de no negatividad

Y ≥ 0 Criterio de no negatividad

X(normales) Y(halógenos) Restricción

Cantidad/d 1 ≤ 400

Cantidad/d 1 ≤ 300

Cantidad/d 1 1 ≤ 500

Precio/u C$450 C$600

PROBLEMA

3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.

Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible o región

convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución óptima.

(200,300)

X≤400

X+Y≤500

Y≤300

(400,100)

PROBLEMA

3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.

Hemos construido La región factible, puede ver que es una región finita, cerrada, cuyos vértices se detallan a

continuación:

Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución óptima: Esto es en el

vértice (200,300) es decir se requiere producir diario 200 bombillos normales y 300 bombillos halógenos

para obtener un total de C$ 270,000 en facturación, la cual es la máxima.

Vértices Valor Z Máx

(0,0) Z=450*0+600*0=0

(400,0) Z=450*400+600*0=180,000

(400,100) Z=450*400+600*100=240,000

(200,300) Z=450*200+600*300=270,000 C$270,000

(0,300) Z=450*0+600*300=180,000

PROBLEMA

4. PRUEBA DEL MODELO.

Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima realmente cumple con

todas las restricciones del modelo.

Sustituimos los valores de X=200 y Y=300 en el modelo

MAX Z = 450*200 + 600*300 =270,000

SUJETO A:

200 ≤ 400 (SE CUMPLE)

300 ≤ 300 (SE CUMPLE)

200 + 300 ≤ 500 (SE CUMPLE)

200 ≥ 0 (SE CUMPLE)

300 ≥ 0 (SE CUMPLE)

Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica que la solución

obtenida es la óptima.

PROBLEMA

Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras

y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer

sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El

mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de

percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente.

Cada contenedor que suministra A cuesta 210,000 córdobas, mientras que los del

mayorista B cuestan 300,000 córdobas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe

pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas

con el menor coste posible?

SOLUCIÒN:

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Objetivo: minimizar costos.

- Necesidades mínimas del hipermercado:16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20

cajas de percebes.

- Envío del mayorista A: 8 cajas de langostino, 1 de nécora y 2 de percebes por contenedor.

- Envío del mayorista B: 2 cajas de langostino, 1 de nécora y 7 de percebes por contenedor.

PROBLEMA

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Cada contenedor del proveedor A cuesta C$210,000, cada contenedor del proveedor B cuesta C$300,000.

¿Qué cantidad de contenedores debe solicitar de A y de B para suplir sus necesidades al mínimo costo?

Llamaremos X: al número de contenedores del proveedor A; Y: número de contenedores del proveedor B.

Expresamos los datos en forma de una tabla

Conceptos X(Prov. A) Y(Prov. B) Restricción(cajas)

Langostinos 8 2 ≥ 16

Nécoras(cangrejo) 1 1 ≥ 5

Percebes(esponja) 2 7 ≥ 20

Costo/contenedor C$210,000 C$300,000

2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.

Ahora procedemos a formular el modelo matemático:

MIN Z = 210,000X + 300,000Y

SUJETO A:

8 X + 2Y ≥ 16 Necesidades de langostino

X + Y ≥ 5 Necesidades de nécoras

2X + 7Y ≥ 20 Necesidades de percebes

X ≥ 0 Criterio de no negatividad

Y ≥ 0 Criterio de no negatividad

3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.

Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible

o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución

óptima.

X + Y ≥5

2X + 7Y ≥20

8X + 2Y ≥16

(3,2)

(1,4)

Vértices Valor Z Máx

(0,8) Z=210,000*0+300,000*8=2,400,000

(1,4) Z=210,000*1+300,000*4=1,410,000

(3,2) Z=210,000*3+300,000*2=1,230,000 C$1,230,000

(10,0) Z=210,000*20+300,000*0=2,100,000

Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución

óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (3,2) es decir se requiere ADQUIRIR 3

contenedores de “A” y 2 contenedores de “B”, para satisfacer las necesidades

mínimas del hipermercado, por a un costo total de C$1,230,000.

Hemos construido La región factible, puede ver que es una región abierta, cuyos

vértices se detallan a continuación:

PROBLEMA

4. PRUEBA DEL MODELO.

Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima

realmente cumple con todas las restricciones del modelo.

Sustituimos los valores de X=3 y Y=2 en el modelo

MIN Z = 210,000*3 + 300,000*2=1,230,000

SUJETO A:

8*3 + 2*2 ≥ 16 (SE CUMPLE)

3 + 2 ≥ 5 (SE CUMPLE)

2*3 + 7*2 ≥ 20 (SE CUMPLE)

3 ≥ 0 (SE CUMPLE)

2 ≥ 0 (SE CUMPLE)

Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica

que la solución obtenida es la óptima.

PROBLEMA

Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8

autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo se cuenta con 9 conductores para ese día. Dada la diferente

capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8,000 córdobas y el de cada uno de los

pequeños, 6,000 córdobas ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más

económico posible?

SOLUCIÒN:

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Objetivo: minimizar costos.

- Restricciones:

- Los alumnos participantes son 400.

- Se cuentan con dos tipos de buses:P (pequeño) con capacidad de 40 y G (grandes) con capacidad de 50

- Solo están disponibles 9 choferes para ese día.

- Los buses P se alquilan a C$6,000 y los G a C$8,000.

- Requerimos saber cuantos debemos alquilar de tipo P y cuantos de tipo G, de manera que minimicemos el

costo del traslado de los 400 alumnos?

PROBLEMA

1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:

- Llamaremos X: al número de buses de tipo P; Y: número de buses de tipo G.

- Expresamos los datos en forma de una tabla

Conceptos X(Bus tipo P) Y(Bus tipo G) Restricción

Alumnos 40 50 = 400 (alumnos)

Choferes 1 1 ≤ 9 (choferes)

Buses tipo P 1 ≤ 8 (buses)

Buses tipo G 1 ≤10 (buses)

Costo/bus C$6,000 C$8,000

2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.

Ahora procedemos a formular el modelo matemático:

MIN Z = 6,000X + 8,000Y

SUJETO A:

40 X + 50Y = 400 Alumnos a transportar

X + Y ≤ 9 Choferes disponibles

X ≤ 8 Buses pequeños disponibles

Y ≤ 10 Buses grandes disponibles

X ≥ 0 Criterio de no negatividad

Y ≥ 0 Criterio de no negatividad

3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.

Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible

o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución

óptima.

(5,4)

X ≤ 8

Y≤ 10

X + Y≤ 9

40X + 50Y= 400

Vértices Valor Z Mínimo

(0,8) Z=6,000*0 + 8000*8=64,000

(5,4) Z=6,000*5 + 8000*4=62,000 C$62,000

Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución

óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (5,4) es decir se requiere contratar 5 buses

pequeños “P” y 4 buses grandes “G”, para garantizar el transporte a los 400

alumnos a un mínimo costo.

Hemos construido La región factible, puede ver que la región factible se da en en el

segmento de recta 40X + 50Y=400 que va desde (0,8) hasta (5,4).

Por lo solo indicaremos los resultados con variables enteras de los infinitos puntos

que hay en ese segmento.

PROBLEMA

4. PRUEBA DEL MODELO.

Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima

realmente cumple con todas las restricciones del modelo.

Sustituimos los valores de X=5 y Y=4 en el modelo

MIN Z = 6,000*5 + 8,000*4=C$62,000

SUJETO A:

40*5 + 50*4 = 400 (SE CUMPLE)

5 + 4 ≤ 9 (SE CUMPLE)

5 ≤ 8 (SE CUMPLE)

4 ≤ 10 (SE CUMPLE)

5 ≥ 0 (SE CUMPLE)

4 ≥ 0 (SE CUMPLE)

Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica

que la solución obtenida es la óptima.