UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA · en el tiempo, en la mayoría de años disminuyeron ante...
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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA
LA MOLINA
ESCUELA DE POST GRADO
DOCTORADO EN RECURSOS HÍDRICOS
““““ANÁLISIS MULTIFRACTAL DE LA DEGLACIACIÓN DE
LOS NEVADOS HUANDOY Y PASTORURI EN LOS ANDES
DE PERÚ” ” ” ”
Tesis para optar el grado de :
Doctoris Philosophiae
GILBERTO MEDINA DÍAZ
LIMA – PERÚ
2011
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Escuela de Post Grado
Programa Doctoral en Recursos Hídricos
ANALISIS MULTIFRACTAL DE LA DEGLACIACIÓN DE LOS N EVADOS
HUANDOY Y PASTORURI EN LOS ANDES DE PERÚ
Tesis para optar el grado de:
DOCTORIS PHILOSOPHIAE
Presentado por:
GILBERTO MEDINA DÍAZ
Sustentada y aprobada ante el siguiente jurado:
…………………………………………… ……………………………………….. Dr. Néstor Montalvo Arquiñigo Dr. Abel Mejía Marcacuzco
PRESIDENTE PATROCINADOR
…………………………………………… ……………………………………….. Dr. Pedro Guerrero Salazar Dr. Oscar Loli Figueroa
MIEMBRO MIEMBRO
………………………………………… Dr. José Salas La Cruz
MIEMBRO EXTERNO
DedicatoriaDedicatoriaDedicatoriaDedicatoria
A mi esposa Raida Lourdes, y a mis hijas
Raysa y Daisy, por su apoyo y motivación
constante.
i
AGRADECIMIENTO
- A la Santísima Trinidad, luz permanente de mi camino, que hizo posible el
desarrollo de esta Tesis.
- Al Dr. Abel Jesús Mejia Marcacuzco, patrocinador de la Tesis, por su apoyo
incondicional.
- Al Dr. José Salas La Cruz por su revisión exhaustiva, que contribuyó en una
mejora sustancial del presente trabajo.
- A todos mis profesores del doctorado en Recursos Hídricos, por sus enseñanzas.
- Al Centro Internacional de la Papa por facilitarme el uso del software Mass
ii
INDICE GENERAL
Dedicatoria………………………………………………………………….. i
Agradecimiento……………………………………………………………... ii
Índice………………………………………………………………………... iii
Lista de Anexos……………………………………………………………… iv
Lista de Figuras....………………………………………………………… … v
Lista de cuadros...………………………………………………………… … vii
Resumen..……………………………………………………………………. viii
Abstract……………………………………………………………………… ix
CAPITULO I: INTRODUCCION……....……………………………… 1
CAPITULO II: REVISION DE LITERATURA………………………… 5
2.1 Conceptos Básicos de la Geometría Fractal…..…………………...……….. 5
2.1.1 Geometría Fractal………………………………………………………… 5
2.1.2 Definición de Geometría Fractal…………………………………………. 6
2.1.3 Tipos de Fractales………………………………………………………… 7
2.1.4 Como se genera un Fractal ………………………………………………. 8
2.1.5 Autosimilitud……………………………………………………………… 10
2.1.6 Dimensión Fractal………………………………………………………... 11
2.1.7 Generando el Conjunto de Mandelbrot ………………………………….. 14
2.1.8 Fractales en Medicina …………………………………………………… 15
2.1.9 Fractales y Arquitectura……………………………………………….…. 18
2.1.10 Arte Fractal ……………………………………………………………. 18
2.1.11 Fractales en el cine……………………………………………………… 19
2.1.12 Fractales en Ingeniería………………………………………………….. 19
iii
2.1.13 Multifractales en Ingeniería……………………………………………. 22
2.1.14 Uso de bandas para glaciares …………………………………..……… 23
2.2 La Cuenca Hidrográfica del Río Santa …………………………………… 23
2.3 Retroceso glaciar y cambio climático …………………………………….. 26
CAPITULO III: MATERIALES Y MÉTODOS………………………… 28
3.1 Materiales…………………………………………………………………. 28
3.1.1 Área de Estudio …………………………………………………………. 28
3.1.2 Eventos El Niño y La Niña en el tiempo………………………………… 30
3.1.3 Material digital…………………………………………………………… 33
3.2 Métodos…………………………………………………………………… 35
3.2.1 Comparación del NDSI y el ratio imagen 3/5…………………………… 35
3.2.2 Análisis multifractal……………………………………………………… 38
CAPITULO IV: RESULTADOS Y DISCUSIÓN………………….… 43
4.1 Comportamiento del clima en la zona de los glaciares…………………..... 43
4.2 Régimen de los caudales del Río Santa …………………………………… 45
4.3 Cuantificación del Área Glaciar…………………………………………… 47
4.4 Correlación de áreas obtenidas con SIG y Multifractales…………………. 50
4.5 Series de tiempo de las áreas ……………………………………………… 52
4.6 Función q vs Dq…………………………………………………………… 54
4.7 Función q vs τ………………………………………………………….. 55
4.8 Comportamiento multifractal……………………………………………… 56
4.9 Parámetros multifractales…………………………………………………. 59
CAPITULO V: CONCLUSIONES……………………………………... 65
CAPITULO VI: RECOMENDACIONES……………………………… 67
BIBLIOGRAFÍA…………………………..……………………………….. 68
LISTA DE ANEXOS
Anexo I. Descargas medias mensuales del Río Santa……………..…………. 73
Anexo II. Datos meteorológicos de Huaraz…………………………………… 74 iv
Anexo III. Área glaciar en el Perú………..……...…………………………….. 76
Anexo IV Retroceso glaciar………………………..……………………….. 77
Anexo V Análisis de correlación de las áreas obtenidas con SIG y Multifracta
les………………….…………………………………………………………… 79
Anexo VI Cronología referida al cambio climático…………………………… 83
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Fractales físicos en la naturaleza……………………………………… 5
Figura 2. El triángulo de Sierpinski y el conjunto de Cantor…………………... 7
Figura 3. El conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot…………………… 7
Figura 4. El atractor de Lorentz y un fractal artístico…………………………. 7
Figura 5. Comparación de la Geometría Euclidiana y la Fractal………………. 8
Figura 6. Generación de la curva triádica de Koch………………………..…… 9
Figura 7. Generación del copo de nieve de Von Koch ………………………… 9
Figura 8 Generación de un fractal lineal………………………………………. 9
Figura 9. Autosimilitud en cada parte del triángulo de Sierpinski ……………. 10
Figura 10.Auto similitud en el conjunto de Mandelbrot ……………………….. 10
Figura 11.Curva triádica de Koch…………………………………………….... 12
Figura 12.Conjunto de Cantor……………….…………………………………. 12
Figura 13. Fractal con 5 elementos……………………………………………... 13
Figura 14. El conjunto de Hilbert ………………………………….…………… 13
Figura 15. El conjunto de Mandelbrot en azul ………………………………… 14
Figura 16. El conjunto de Mandelbrot en negro ………………………………. 14
Figura 17. El conjunto de Mandelbrot en azul y negro………………………… 15
Figura 18. Imagen fractal del cerebro humano ……………………………….. 15
Figura 19. Imagen fractal de un modelo neuronal …………………………….. 15
Figura 20. Pasos para desarrollar un modelo neuronal ………………………… 16
Figura 21.Imagen de un pulmón humano (a) y (b) y uno animal (c)…………… 16
Figura 22. Corazón con problema de fibrilación arterial izquierda……………. 17
Figura 23 Fractales en la arquitectura ……………………………………….. 18
Figura 24 Fractales artísticos …………………………………………………. 18
Figura 25. Paisajes fractales generados con software ………………………… 19
Figura 26 Comparación entre la geometría euclídea y la fractal………………. 19
Figura 27 Fractales y escala, longitud infinita ………………………………… 20
v
Figura 28 Segmentos de diferente tamaño S para estimar la longitud L………. 20
Figura 29. Método de box counting…………………………………………………. 21
Figura 30. Limitación del método de box counting en fractales…………………… 22
Figura 31.Box counting en Multifractales……………………………………… 22
Figura 32.Localización de la cuenca del río Santa en Perú …………………… 24
Figura 33.Estaciones pluviométricas e hidrográficas de la Cuenca del río Santa. 25
Figura 34. Cuenca Hidrográfica del Río Santa .Fuente UGRH………………... 26
Figura. 35.Proyecciones de temperatura al 2100…………….…………………. 27
Figura 36.La Cordillera Blanca y los nevados en estudio…….………………… 28
Figura 37.Localización del Huandoy+ y Pastoruri+ en el mapa de Perú………… 29
Figura 38.Ciudades aledañas al Huandoy y Pastoruri………………….……..... 30
Figura 39.Años de ocurrencia de los eventos El Niño y La Niña….…………… 30
Figura 40.Bandas 2, 3 y 5 del nevado Pastoruri+ del 2009 ……………………. 34
Figura 41 (a) Imagen 2009 (RGB 321) del nevado Pastoruri+, y (b) Perfil espectral
de la imagen tomada en el punto rojo………………………………….. 35
Figura 42.(a) Imagen del NDSI, (b) Imagen del ratio imagen 3/5; (c) imagen
binarizada; para el nevado Huandoy+, 2009…………………………………… 36
Figura 43.(a) Perfil horizontal NDSI 2009. (b) Perfil horizontal para ratio 3/5... 36
Figura 44.Variación de la temperatura media anual en oC, y de la precipitación
media anual en mm, en el entorno del Huandoy+ ……………………………… 43
Figura 45.Variación de la temperatura media anual, y de la precipitación media
anual en la Zona de Recuay cercana al nevado Pastoruri+……………………… 44
Figura 46.Régimen de los Caudales Medios Anuales del Río Santa en el
Período 1987-2011 (Estación Condorcerro)……………………….. 45
Figura 47.Régimen de los Caudales Medios Mensuales del Río Santa en el
Período 1978 - 2010 (Estación La Balsa)……………………….. 46
Figura 48. Deglaciación de los nevados Huandoy+ y Pastoruri+ en el tiempo….. 47
Figura 49. Correlación de las áreas obtenidas con SIG y Multifractales……….. 51
Figura 50. Series de tiempo de las áreas obtenidas por SIG y Multifractales…. 53
Figura 51. Función q vs Dq para el Huandoy+ y Pastoruri+, respectivamente…. 54
Figura 52. Función q vs τ para el Huandoy+ y Pastoruri+, respectivamente…..... 56
Figura 53.Espectros multifractales del Huandoy+ y Pastoruri+………………… 57
Figura.54.Variación de las dimensiones fractales D1, D2 y ∆α para el Huandoy+
vi
y Pastoruri+………………………………………………………… 63
Figura.55.Temperaturas máximas y mínimas de Huaraz………………….…. 72
Figura.56. Precipitaciones medias mensuales en Huaraz…………………….. 72
Figura.57. Distribución de las 19 Cordilleras nevadas de Perú………………. 73
Figura.58. Retroceso del glaciar Chacaltaya…………………………………. 74
Figura.59. Retroceso del glaciar Broggi….…………………………………… 74
Figura.60. Retroceso del glaciar Pastoruri...…………………………….……. 75
Figura.60. Retroceso del glaciar Yanamarey…………………………………. 75
LISTA DE CUADROS
Cuadro 1. El Niño y La Niña desde 1950 al 2009……………………………. 31
Cuadro 2. Lista consensuado de El Niño y La Niña………………………….. 32
Cuadro 3. Fuente de las imágenes satelitales…………………………………. 33
Cuadro 4.Variación del Área glaciar obtenida por SIG……………………. 48
Cuadro 5.Variación del Área glaciar obtenida por Multifractales….……… 49
Cuadro 6.Parámetros multifractales para el glaciar Huandoy+……………… 59
Cuadro 7.Parámetros multifractales para el glaciar Pastoruri+………………. 60
Cuadro 8. Resumen de los principales parámetros multifractales del Huandoy+
y Pastoruri+…………………………………………………………………… 61
Cuadro 9. Descargas medias mensuales del Rio Santa…………….…….. …. 73
Cuadro 10.Datos meteorológicos de Huaraz………..……………………........ 74
Cuadro 11. Inventario de glaciares en Perú a 1989..………………………… 76
Cuadro12. Áreas del Glaciar Huandoy+ obtenidas con SIG y Multifractales en
Km2………………………………………………..………………………….. 79
Cuadro 13. Correlación para el glaciar Huandoy+............................................. 80
Cuadro14. Áreas del Glaciar Pastoruri+ obtenidas con SIG y Multifractales
en Km2…………………………………….…………………………………… 81
Cuadro 15. Correlación para el glaciar Pastoruri+…………….......................... 82
vii
RESUMEN
La Teoría Multifractal es una herramienta muy promisoria para la caracterización de la
superficie de los glaciares.
Los eventos El Niño y La Niña en el Océano Pacífico tropical se dan de manera casi
periódica a través del tiempo y tienen una clara incidencia en el crecimiento y
mantenimiento de la superficie glaciar de los nevados.
Aplicando la técnica Multifractal, el método de la caja de contar, la diferencia
normalizada del índice de nieve NDSI y la relación de bandas de imágenes
satelitales 3/5 se analizó el comportamiento de la superficie glaciar de dos nevados
tropicales, el Huandoy+ y el Pastoruri+ ubicados en la cordillera Blanca de Perú en
años en que se presentaron los eventos El Niño, La Niña y años normales desde
1987 al 2011.
Las Técnicas Multifractales devinieron muy versátiles, prácticas y sensibles para
mostrar la incidencia de los eventos El Niño y La Niña en el Espectro Multifractal y
para estimar la superficie glaciar. La superficie del Huandoy+ y el Pastoruri+ variaron
en el tiempo, en la mayoría de años disminuyeron ante los eventos El Niño y se
mantuvieron en los eventos la Niña, sin embargo la tendencia es la reducción de su
superficie glaciar, principalmente en los tres últimos años.
La comparación de las áreas glaciares obtenidas por Sistemas de Información Geográfica
(SIG) y por Multifractales, en un prueba de t como muestras relacionadas, resultaron no
significativas, es decir que es indistinto utilizar la técnica SIG o la Multifractal para hallar
el área glaciar.
La abertura del espectro Multifractal ∆α fue más grande para los eventos La Niña en
comparación de aquellos en que se presentó El Niño o un año normal.
viii
Palabras clave: El Niño y La Niña, cambio climático, retroceso glaciar, NDSI, relación
de bandas 3/5, Multifractales.
ABSTRACT
The Multifractal Theory is a promising tool for characterizing the surface of glaciers.
The events El Niño and La Niña in the tropical Pacific Ocean occur some periodically over
time and have a clear impact on the growth and maintenance of the snowy glacier surface.
Applying Multifractal Technique, the box counting method, the normalized difference
snow index NDSI and band ratio 3/5 of satellite images, was analyzed the behavior of the
glacier surface of two tropical glaciers, Huandoy+ and Pastoruri+ located in the Cordillera
Blanca of Peru in years when occur events El Niño, La Niña and normal years since
1987 to 2011.
Multifractal Techniques bécame very versatile, practical and sensitive to show the
impact of El Niño and La Niña in the Multifractal spectrum and to estímate the
glacier surface. The surface of Huandoy+ and Pastoruri+ varied over time in most
years decreased in the El Niño and was kept during the Niña events, however the
trend is the reduction in glacier area, mainly in the last three years.
Comparison of the glacier areas obtained by Geographic Information Systems (GIS)
and Multifractals, a T test as related samples, were not significant, meaning that is
indistinct use GIS or Multifractal techniques to find the glacier area.
The opening of the Multifractal spectrum ∆α was larger for La Niña events
compared to those in which an El Niño or a normal year.
Key words: El Niño and La Niña, climate change, glacier retreat, NDSI, ratio of bands
3/5, multifractals.
ix
1
CAPITULO I.
INTRODUCCIÓN
A pesar de su modesta extensión (2 500 Km2), los glaciares andinos son de interés
dado que: (1) son importantes indicadores del cambio climático, (2) juegan un importante
rol en el manejo del recurso hídrico, (3) actúan como reguladores del régimen hidrológico
en casi todas las regiones andinas, y (4) pueden ser directa o indirectamente, causa de
catástrofes (PNUMA, 2007).
Los glaciares tropicales han sufrido una importante evolución en el último siglo; los
que hace décadas se les consideraba como un sistema estático, a tal punto de denominarlos
nieves eternas, pasó a ser entendido como un sistema dinámico y en constante evolución.
Los cambios en la superficie de los glaciares son reconocibles y fáciles de observar
(WGMS, 2008); sirven de indicadores del cambio climático terrestre, por ser
particularmente sensibles a las variaciones en el clima (Morris, 2006)
La Técnica Fractal se ha convertido en una potente herramienta de investigación
para diferentes áreas de la Ciencia Aplicada, que van desde la Medicina, Biología,
Sociología, Física, Ingeniería, Economía hasta el Arte o la Arquitectura.
Se han publicado innumerables trabajos en los últimos 10 años en el campo de la
Medicina que abarcan análisis de electrocardiogramas, electroencefalogramas, dinámica
de la desintegración sináptica en la enfermedad del Alzheimer o el crecimiento de un
tumor. Asimismo, en Economía, todo el software de análisis bursátil contempla los índices
Fractales o en Sociología se estudia el crecimiento y densidad de las poblaciones o
emigraciones.
La teoría de los fractales es considerada la tercera gran revolución científica,
equiparable al descubrimiento de la Relatividad o de la Mecánica Cuántica. Los fractales
permiten aportar lógica y orden dentro del aparente caos universal. Las aplicaciones de esta
teoría son inmensas y aún mucho más útil es utilizar los Multifractales, éstos sirven para
2
explicar, por ejemplo, el crecimiento de un tumor o la evolución de una costa. Si sabemos
cómo va a ser la evolución de un tumor, tendremos más oportunidades para detenerlo.
Los Multifractales son técnicas que nos ayudan a explicar los fenómenos caóticos,
entendiéndose por estos a los que evolucionan en el tiempo, por ejemplo, la forma
caprichosa de las nubes, el crecimiento y decrecimiento de los glaciares, los movimientos
de la bolsa, los cambios en la demografía, el crecimiento de los tumores o el tratamiento de
la osteoporosis. Los elementos caóticos son sistemas que dependen fuertemente de las
condiciones iniciales, de forma que una pequeña variación en esas condiciones produce
efectos impredecibles.
La cuantificación de la superficie glaciar puede hacerse con SIG (como el programa
Arc Gis), para ello hay que digitalizar la imagen, es decir que mucho depende del pulso de
la persona, y de la atenta observación, es decir que dos personas obtendrían diferente
superficie glaciar por el método de digitalización, lo cual tiene una desventaja con respecto
a los Multifractales que al superponer una malla muy fina (método de box counting), evita
la manipulación del área y nos arroja un área más acorde a la realidad, más aún cuando las
imágenes han sido obtenidas a partir del ratio imagen 3/5, que elimina la posibilidad de
confundir nubes, agua o roca con superficie glaciar.
La Técnica Multifractal, tiene un vasto alcance, como estadística estocástica, ha
sido utilizado en el presente trabajo para estimar la superficie glaciar en forma
probabilística, con un ajuste mayor al 95% y luego, esta superficie, fue comparada con la
obtenida por el Sistema de Información Geográfica (SIG), mediante el software Arc Gis.
Los objetivos planteados al inicio del presente estudio fueron:
Objetivo general
Investigar la aplicabilidad de las técnicas fractales para estimar la magnitud (área)
de los glaciares, caracterizar sus propiedades fractales, así como establecer la relación de
tales propiedades de los glaciares con las variaciones climáticas.
Objetivos específicos
1. Constatar la bondad de la Técnica Multifractal para el estudio de glaciares.
3
2. Determinar los parámetros Multifractales de los glaciares Huandoy+ y Pastoruri+
en años en que se presentaron los eventos El Niño, La Niña y años normales,
para los últimos 23 años.
3. Comparar el área glaciar obtenida por Técnica Multifractal y la obtenida por el
Arc Gis con un análisis de correlación y con la prueba de t como muestras
relacionadas.
4. Determinar la variación del área glaciar de los nevados Huandoy+ y Pastoruri+,
desde 1987 al 2011.
Las Hipótesis planteadas al inicio fueron las siguientes:
Ho: Ud = 0
Ha: Ud ≠ 0
Donde Ud = promedio de las diferencias entre las áreas obtenidas por SIG vs
Multifractales.
Existe una variación de la superficie glaciar, más notoria en los eventos El Niño y
La Niña, esta variación se puede cuantificar ya sea por métodos tradicionales como el Arc
Gis y por métodos Multifractales.
Descripción del trabajo:
Se obtuvieron imágenes LANSAT TM 5, de la página Web del Instituto Nacional
de Pesquisas Espaciais (INPE) del Brasil, se georreferenciaron empleando el programa
Erdas Imagine, versión 9.1, se cortaron a una escala redonda de pixeles empleando el
programa Envi en su versión 4.7, se obtuvo la imagen binarizada (ceros y unos) empleando
el programa Image j, se guardaron en formato texto y se analizaron con el programa Mass
(Programa especial que aplica la técnica multifractal); este último programa ha sido
elaborado por el Centro Internacional de la Papa, se basa en una aplicación del método de
box counting, con él se obtiene el espectro Multifractal, las dimensiones fractales D0, D1 y
D2, los valores de αi, f(α), q y τ; luego exportamos la tabla para luego abrir con el
programa Excel, elaboramos los gráficos α vs f(α), q vs Dq, q vs τ y calculamos la
superficie glaciar empleando la siguiente fórmula:
iLLP iα~)(
4
donde Pi es la superficie estimada en forma probabilística, L es el número de cajas y αi es
el exponente de Holder; como las imágenes LANSAT TM 5, tienen una resolución de 30
metros por pixel, entonces la fórmula anterior la multiplicamos por 900 para convertirla a
metros cuadrados de área glaciar. Por otro lado y en forma paralela, digitalizamos la
imagen satelital utilizando el Arc Gis, obtenemos de esta forma el contorno de la figura
donde se aprecia la deglaciación en el tiempo, de cada glaciar, y cuantificamos la
superficie glaciar al editar tablas. Empleando el programa estadístico SPSS versión 15, se
realizó un análisis estadístico como muestras relacionadas o pareadas (y también en forma
manual) si T calculado es menor de T tabular, se acepta Ho (Hipótesis nula), caso contrario
se acepta Ha ó Hipótesis alternante (más detalles en el anexo).
5
CAPITULO II.
REVISION DE LITERATURA
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL
2.1.1 GEOMETRÍA FRACTAL
Mandelbrot (1993) menciona que la Geometría Fractal es también conocida como
la “Geometría de la Naturaleza”. La palabra Fractal, proviene del latín y significa roto,
quebrado (se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas).
Un Fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo
(esto está íntimamente ligado a la autosimilitud). Los Fractales son objetos cuya
dimensión es no entera o fraccionaria. Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes
dos características: Autosimilitud y Dimensión Fractal.
Un Fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante
la geometría Fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras y
la nieve son fractales naturales (Wikipedia, 2011).
Figura 1. Fractales físicos en la naturaleza. Fuente: Braña (2003).
6
2.1.2 DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA FRACTAL
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un
conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos
matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias
y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como
características fundamentales las propiedades de Autosimilitud y Dimensión Fraccionaria.
Veamos algunas definiciones sobre Fractales:
a) Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del
Caos.
b) La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza”.
c) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto,
quebrado (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas).
d) La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y
demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos
computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.
e) Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.
f) Un objeto Fractal es aquel que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a
su dimensión topológica.
g) Un objeto Fractal es aquel que posee las siguientes dos características:
- Autosimilitud,
- Dimensión Fractal
h) Un Fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo (esto
está íntimamente ligado a la Autosimilitud).
Bien, cualquiera de estas ocho definiciones es correcta. Algunas son más
completas, otras más técnicas y otras aportan tan solo meros datos pero no llegan a ser
definiciones con todas las de la ley.
Mandelbrot definió así: “Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión de
Hausdorff Besicovitch es siempre mayor a su dimensión topológica”. Sin embargo,
existen excepciones a esta definición, por ejemplo el conjunto de Hilbert, cuya dimensión
fractal es entera e igual a 2, y el conjunto de Cantor, cuya dimensión fractal (0.6309,,,) es
menor que su dimensión topológica.
En suma, la Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya qu
esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradici
algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y
dinámicos.
2.1.3 TIPOS DE FRACTALES
a. Fractales lineales.-
autosimilitud perfecta, su dimensión fractal es fácil de calcular con la ecuación
se originan a partir de un generador y un algoritmo de repetición, ejemplos de fractales
lineales son el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
Figura 2. El triángulo de Sierpinski y el co
b. Fractales complejos
difícil de calcular, se requiere de
a partir de un Zo, y luego con iteraciones en el plano complejo; por ejemplo el conjunto de
Mandelbrot y el conjunto de Julia.
Figura 3. El conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot
c. Fractales caóticos.
autosimilitud estadística, se requieren métodos de medición
dimensión Fractal, se generan a partir de sistemas de ecuaciones dife
atractor de Lorenz que modela el clima meteorológico
Figura 4. El atractor de Lorenz y un
7
En suma, la Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas,
elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por
algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y
TIPOS DE FRACTALES
- son aquellos que se originan a partir de líneas, éstos tienen
autosimilitud perfecta, su dimensión fractal es fácil de calcular con la ecuación
se originan a partir de un generador y un algoritmo de repetición, ejemplos de fractales
conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
Figura 2. El triángulo de Sierpinski y el conjunto de Cantor. Fuente: Braña
Fractales complejos.- tienen autosimilitud estadística, su dimensión fractal es
difícil de calcular, se requiere de software que aplique el método de box counting, se crean
a partir de un Zo, y luego con iteraciones en el plano complejo; por ejemplo el conjunto de
Mandelbrot y el conjunto de Julia.
El conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot. Fuente: Braña
.- son los objetos geométricos de la teoría del caos, poseen
autosimilitud estadística, se requieren métodos de medición más complejos que la
ractal, se generan a partir de sistemas de ecuaciones diferenciales; ejemplo el
atractor de Lorenz que modela el clima meteorológico
Lorenz y un atractor extraño. Fuente: Braña ( 2003
e los puntos, rectas,
onal son reemplazados por
algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y
aquellos que se originan a partir de líneas, éstos tienen
autosimilitud perfecta, su dimensión fractal es fácil de calcular con la ecuación ,
se originan a partir de un generador y un algoritmo de repetición, ejemplos de fractales
njunto de Cantor. Fuente: Braña (2003).
tienen autosimilitud estadística, su dimensión fractal es
que aplique el método de box counting, se crean
a partir de un Zo, y luego con iteraciones en el plano complejo; por ejemplo el conjunto de
Fuente: Braña (2003).
son los objetos geométricos de la teoría del caos, poseen
más complejos que la
renciales; ejemplo el
2003).
2.1.4 COMO SE GENERA UN FRACTAL
Los objetos Fractales, más allá de ser elementos matemáticos que
grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad
de sistemas naturales.
Geometría Euclidiana Geometría Fractal
Dimensión entera
Figura 5. Comparación de la Geometría Euclidiana y la Fractal
(2002).
Como se aprecia en la F
la “autosimilaridad” que se ge
(iniciador). El generador puede adicionar o remover material del objeto iniciador. Un
ejemplo de un Fractal construido removiendo material es la esponja de Menger
et al. 2003) que es construida dividiendo un cubo de longitud unitaria en 27 cubos y
removiendo 7 de esos cubos.
Repitiendo el proceso
por ejemplo, para modelar el comportamiento de la porosidad del sue
para las propiedades hídricas
8
COMO SE GENERA UN FRACTAL
ractales, más allá de ser elementos matemáticos que
grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad
Geometría Euclidiana Geometría Fractal
nsión entera Dimensión fraccionaria
Comparación de la Geometría Euclidiana y la Fractal. Fuente: Posadas
Como se aprecia en la Figura 5, una de las características de los objetos F
” que se genera repitiendo un patrón (generador) en un objeto inicial
(iniciador). El generador puede adicionar o remover material del objeto iniciador. Un
ractal construido removiendo material es la esponja de Menger
2003) que es construida dividiendo un cubo de longitud unitaria en 27 cubos y
removiendo 7 de esos cubos.
Repitiendo el proceso ad infinitum se genera un medio poroso que puede ser usado
para modelar el comportamiento de la porosidad del suelo, y su consecuencia
para las propiedades hídricas (como la conductividad hidráulica del suelo, rugosidad, etc.).
Esponja de Menger
Copo de nieve de Ko
ractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto
grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad
. Fuente: Posadas et al
características de los objetos Fractales es
nera repitiendo un patrón (generador) en un objeto inicial
(iniciador). El generador puede adicionar o remover material del objeto iniciador. Un
ractal construido removiendo material es la esponja de Menger (Posadas
2003) que es construida dividiendo un cubo de longitud unitaria en 27 cubos y
se genera un medio poroso que puede ser usado,
lo, y su consecuencia
(como la conductividad hidráulica del suelo, rugosidad, etc.).
Esponja de Menger
Copo de nieve de Koch
Un ejemplo de un objeto F
es la curva triádica de Koch.
Figura 6. Generación de l
Para generar la curva triádica de Koch de la F
ésta es dividida en tres segmentos. El segmento
de la misma longitud. La cu
de poros en medios porosos naturales (Mandelbrot, 1993).
Figura 7. Generación de
Un Fractal lineal se genera mediante los siguientes
Paso 1.- Se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la
cara de Mickey Mouse).
Paso 2.- Se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3.- Se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en
un software. Como por ejemplo:
Curva de Von Koch Curva de Hilbert
Figura 8. Generación de un fractal lineal.
9
Un ejemplo de un objeto Fractal construido adicionando un patrón al objeto inicial
de Koch.
Figura 6. Generación de la curva triádica de Koch. Fuente: Posadas
a curva triádica de Koch de la Figura 6, se parte de una línea, luego
es dividida en tres segmentos. El segmento central es reemplazado
de la misma longitud. La curva triádica de Koch puede ser usada para modelar rugosidad
de poros en medios porosos naturales (Mandelbrot, 1993).
Generación del copo de nieve de Von Koch. Fuente: Posadas
ractal lineal se genera mediante los siguientes pasos:
e elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la
e elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
e itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en
Como por ejemplo:
de Von Koch Curva de Hilbert Modelo Neuronal
Generación de un fractal lineal. Fuente: Braña (2003).
ractal construido adicionando un patrón al objeto inicial
a curva triádica de Koch. Fuente: Posadas et al (2002).
igura 6, se parte de una línea, luego
con dos segmentos
de Koch puede ser usada para modelar rugosidad
. Fuente: Posadas (2007).
e elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la
e elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
e itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en
Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar
una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de:
Zn+1 = Z
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Caos. Se los
denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real,
como Ecuaciones Diferenciales o Series de T
Cuando uno modela un
Atractor.
2.1.5 AUTOSIMILITUD
Hay dos tipos de autosimilitud: perfecta y estadística.
a) Perfecta.- Cuando cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas
características del objeto completo.
Figura 9. Autosimilitud en cada parte del triángulo de Sierpinski.
b) Estadística.- Cuando cada región de un objeto conserva, de manera
estadísticamente similar, sus características globales.
Figura 10. Autosimilitud en el
10
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar
una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de:
Zn+1 = Zn2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Caos. Se los
Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real,
ferenciales o Series de Tiempo.
Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un
AUTOSIMILITUD
Hay dos tipos de autosimilitud: perfecta y estadística.
Cuando cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas
completo.
Autosimilitud en cada parte del triángulo de Sierpinski. Fuente: Braña
Cuando cada región de un objeto conserva, de manera
estadísticamente similar, sus características globales.
en el conjunto de Mandelbrot. Fuente: Braña
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar
una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos.
Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de:
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Caos. Se los
Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real,
sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un
Cuando cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas
Fuente: Braña (2003).
Cuando cada región de un objeto conserva, de manera
(2003).
11
En la Figura 10 se observa cuasi auto similitud en el conjunto de Mandelbrot, al
variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.
Los Fractales estadísticos en contraposición a los Fractales matemáticos se
diferencian en que los primeros son estadísticamente válidos en un determinado rango de
escalas mientras que los segundos son exactos y válidos en todas las escalas de definición,
(Posadas et al, 2002).
2.1.6 DIMENSIÓN FRACTAL
a) DIMENSIÓN TOPOLÓGICA:
Dimensión (-1): Un Conjunto Vacío
Dimensión 0: Un punto
Dimensión 1: Una línea recta
Dimensión 2: Un plano
Dimensión 3. El espacio
La dimensión está directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la
dimensión es 0, solo podría existir ahí un punto inmóvil, y sin límites. Si en cambio la
dimensión es 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de moverse de
izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensión es 2 tenemos un plano, con 2
grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y de arriba
hacia abajo, y obviamente en diagonales. Por último, si la misma es 3 estamos en una
situación como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de libertad que es la
profundidad.
b) DIMENSIÓN DE HAUSDORFF-BESICOVITCH
La Dimensión Fractal o número de Besicovitch, parece ser una medida totalmente
abstracta, ya que no es tan fácil generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo
como base nuestros conceptos tradiciones de dimensión euclidea o entera, puede
representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más precisión y
realidad de lo que lo hacen las técnicas de análisis tradicionales.
La Dimensión Fractal se obtiene mediante la siguiente fórmula matemática:
��ε� � ��
12
donde N(ε) es la cantidad de veces que se repite la imagen generadora, L es igual a ε-1 ,
siendo ε la escala de medición y D es la dimensión fractal.
Aplicando logaritmos a ambos miembros, se tiene:
���ε� � ���
donde, por propiedad de los logaritmos, escribimos:
���ε� � � � ��
Por último: � � ��� ��ε�
��� �
donde, N(ε) es la cantidad de veces que se repite la imagen generadora, L es igual a ε-1,
siendo “ε” la escala de medición y D es la Dimensión Fractal.
Ejemplo 1:
Figura 11. Curva triádica de Koch. Fuente: Braña (2003).
En la Figura 11 se deduce que ε = 1/3 (porque la línea generadora se dividió en tres
segmentos; L = ε -1; L= 1/ (1/3) = 3; N(ε) = 4 (cuatro segmentos), entonces:
� � ��� �
��� � = 1.261859 su dimensión topológica es 1 porque parte de una línea
recta, por tanto su dimensión fractal (1.261859) es mayor que su dimensión topológica (1),
por lo tanto cumple con la definición de Mandelbrot.
Ejemplo 2:
Figura 12. Conjunto de Cantor. Fuente: Braña (2003).
En la Figura 12 se tiene
D = log2/log3
de aquí que el conjunto de Cantor es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
que su dimensión fractal 0.6309… es menor que su dimensión topológica que
provenir de una línea recta.
Ejemplo 3:
Figura 13. Fractal con 5 elementos.
De la Figura 13 se tiene
D = log5 / log3
Ejemplo 4:
Figura 14. El Conjunto de Hilbert.
En la Figura 14 se tiene
D = log9 / log3
de aquí que el Conjunto de Hilbert es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
que su dimensión topológica es 1 (porque parte de una línea recta), sin embargo su
dimensión fractal es 2 (número entero y no fraccionario).
13
se tiene ε = 1/3; L = 1/ (1/3) = 3; N(ε) = 2, por lo tanto:
D = log2/log3 = 0.6309…..
de aquí que el conjunto de Cantor es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
que su dimensión fractal 0.6309… es menor que su dimensión topológica que
provenir de una línea recta.
Figura 13. Fractal con 5 elementos. Fuente: Braña (2003).
igura 13 se tiene ε = 1/3; L = 1/ (1/3) = 3; N(ε) = 5; en consecuencia:
log3 = 1.46
Figura 14. El Conjunto de Hilbert. Fuente: Braña (2003).
igura 14 se tiene ε = 1/3; L = 1/ (1/3) = 3; N(ε) = 9; entonces:
log3 = 2
de aquí que el Conjunto de Hilbert es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
dimensión topológica es 1 (porque parte de una línea recta), sin embargo su
dimensión fractal es 2 (número entero y no fraccionario).
ε) = 2, por lo tanto:
de aquí que el conjunto de Cantor es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
que su dimensión fractal 0.6309… es menor que su dimensión topológica que es 1 por
) = 5; en consecuencia:
ε) = 9; entonces:
de aquí que el Conjunto de Hilbert es una excepción a la definición de Mandelbrot, dado
dimensión topológica es 1 (porque parte de una línea recta), sin embargo su
14
2.1.7 GENERANDO EL CONJUNTO DE MANDELBROT (M-SET)
Los colores representados en un Fractal no tienen un carácter artístico, sino
puramente Matemático.
Figura 15. El conjunto de Mandelbrot en azul. Fuente: Braña (2003).
El conjunto de Mandelbrot se obtiene al iterar la ecuación z1 = z02 + c donde
todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador.
z2 = z12 + c
z3 = z22 + c
z4 = z32 + c
z5 = z42 + c
La sucesión formada por Z0,Z1, Z2, Z3………Zn, se denomina la ORBITA de Z0
bajo la iteración z2 + c, las órbitas pueden converger o diverger.
El conjunto de Mandelbrot se define como todos aquellos valores (complejos) de c
cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes, no escapan al infinito. En otras palabras:
M-Set= {c / órbita de 0 en Z2 + c converge}
Definiendo un algoritmo de colores:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO
- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO
Figura 16. El conjunto de Mandelbrot en negro. Fuente: Braña (2003).
Los colores dan una muestra de la velocidad con la que diverge la sucesión:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO
- Si c NO PERTENECE a M
- Defino azul CLARO para los valores de C que tardan mucho en
- Defino azul OSCURO para los valores de C que divergen rápidamente.
Figura 17. El conjunto de Mandelbrot en azul y
2.1.8 FRACTALES EN MEDICINA
Simulación de una imagen
Zn+1 = Z0 + C
Se diferencia con el Conjunto de Mandelbrot en que se colorean todos los puntos y
no solo los convergentes.
Figura 18. Imagen fractal
Un modelo de neurona con el que trabaja la medicina actual, es la siguiente:
Figura 19. Imagen fractal
15
Los colores dan una muestra de la velocidad con la que diverge la sucesión:
SET que pinte de color NEGRO
i c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna gama de AZUL.
Defino azul CLARO para los valores de C que tardan mucho en divergir
Defino azul OSCURO para los valores de C que divergen rápidamente.
El conjunto de Mandelbrot en azul y negro. Fuente: Braña
FRACTALES EN MEDICINA
Simulación de una imagen del cerebro humano, por iteración de la fórmula:
Se diferencia con el Conjunto de Mandelbrot en que se colorean todos los puntos y
fractal del cerebro humano. Fuente: Braña (2003
Un modelo de neurona con el que trabaja la medicina actual, es la siguiente:
fractal de un modelo neuronal. Fuente: Braña
Los colores dan una muestra de la velocidad con la que diverge la sucesión:
SET que pinte con alguna gama de AZUL.
divergir.
Defino azul OSCURO para los valores de C que divergen rápidamente.
Fuente: Braña (2003).
umano, por iteración de la fórmula:
Se diferencia con el Conjunto de Mandelbrot en que se colorean todos los puntos y
2003).
Un modelo de neurona con el que trabaja la medicina actual, es la siguiente:
(2003).
Los primeros pasos
Figura 20. Pasos para desarrollar un modelo neuronal
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollar el
fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelos dependiendo e
sin duda otro órgano con características fractales bien reconocibles es el pulmón, como se
aprecia a continuación:
Figura 21. Imagen de un pulmón hum
Asimismo se utiliza la dimensión fractal para
diversos estudios de electrocardiogramas mostraron una inconsistencia entre el tamaño de
la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
16
Los primeros pasos para desarrollar un modelo Neuronal Fractal es como sigue:
. Pasos para desarrollar un modelo neuronal. Fuente: Braña
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollar el
a diferentes modelos dependiendo el generador y algoritmo elegido;
in duda otro órgano con características fractales bien reconocibles es el pulmón, como se
Imagen de un pulmón humano (a) y (b) y uno animal (c). Fuente: Braña
Asimismo se utiliza la dimensión fractal para estudiar la patología cardiaca;
diversos estudios de electrocardiogramas mostraron una inconsistencia entre el tamaño de
la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
para desarrollar un modelo Neuronal Fractal es como sigue:
Fuente: Braña (2003).
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollar el
l generador y algoritmo elegido;
in duda otro órgano con características fractales bien reconocibles es el pulmón, como se
ente: Braña (2003).
estudiar la patología cardiaca;
diversos estudios de electrocardiogramas mostraron una inconsistencia entre el tamaño de
17
Veamos un ejemplo más detallado:
Se realiza un análisis Fractal en el campo médico del corazón, determinándose la
Dimensión Fractal a partir del electrocardiograma de pacientes sanos y de pacientes con
determinadas patologías cardíacas.
Figura 22. Corazón con problema de fibrilación arterial izquierda. Fuente: Braña (2003).
Problema:
Diversos estudios del electrocardiograma mostraban una inconsistencia entre el
tamaño de la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:
Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial
proveniente de un electrocardiograma se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método:
Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la Dimensión Fractal es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en todos
los pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.
Si la Dimensión Fractal es menor que 1.09, el tamaño de la arteria izquierda en
todos los pacientes, es menor a 4,6 cm. Si la Dimensión Fractal se encuentra entre 1.09 y
1.14, no presenta una correlación con el tamaño de la arteria izquierda.
18
2.1.9 FRACTALES Y ARQUITECTURA
Desde tiempos ancestrales los arquitectos han plasmado figuras fractales en sus
edificaciones, como en la cultura hindú, persa y musulmana.
Figura 23. Fractales en la arquitectura. Fuente: Braña (2003).
La Figura 23 muestra como los fractales han sido plasmados en la arquitectura
oriental, dando una sensación que matiza lo enigmático y lo místico. Sobretodo esta
arquitectura es fácil de apreciar en medio y lejano oriente (Bombay, Petra, Alhambra, etc.).
2.1.10 ARTE FRACTAL
Figura 24. Fractales artísticos. Fuente: Braña (2003).
Estas tres imágenes de Arte Fractal muestran Fractales matemáticos perfectamente
reconocibles, el Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto de Julia
2.1.11 FRACTALES EN EL CINE
Se pueden generar paisajes y maquetas fractales a partir de software, como se
aprecia a continuación:
Figura 25. Paisajes fractales generados con software
La Figura 25 muestra Fractales manipulados mediante un software para generar
paisajes Fractales, utilizados en el cine o videos para suplantar maquetas.
software más empleados tenemos el
música fractal.
2.1.12 FRACTALES EN INGENIERÍA
Partimos de una comparación entre la geometría Euclidiana y la F
observa en la siguiente figura:
Figura 26. Comparación entre la geometría Euclídea y la F
19
FRACTALES EN EL CINE
Se pueden generar paisajes y maquetas fractales a partir de software, como se
aisajes fractales generados con software. Fuente: Braña
igura 25 muestra Fractales manipulados mediante un software para generar
paisajes Fractales, utilizados en el cine o videos para suplantar maquetas.
software más empleados tenemos el fractín y el ultra fractal. Asimismo también existe
FRACTALES EN INGENIERÍA
comparación entre la geometría Euclidiana y la F
observa en la siguiente figura:
Comparación entre la geometría Euclídea y la Fractal. Fuente: Posadas
Se pueden generar paisajes y maquetas fractales a partir de software, como se
. Fuente: Braña (2003).
igura 25 muestra Fractales manipulados mediante un software para generar
paisajes Fractales, utilizados en el cine o videos para suplantar maquetas. Dentro del
. Asimismo también existe
comparación entre la geometría Euclidiana y la Fractal, como se
. Fuente: Posadas (2007).
20
En la Figura 26 se puede observar que al fraccionar un patrón de medición, el
número de segmentos, superficies o volúmenes se multiplica exponencialmente;
situándonos en el campo de las tres dimensiones, en la geometría Euclídea solo hay un
cubo, en la Fractal se divide en 27 cubos; en cuanto a superficie, en la geometría Euclídea
hay un cuadrado y en la fractal hay 9 cuadraditos; en cuanto a líneas en la geometría
Euclídea hay una línea y en la fractal hay 3 segmentos.
Se aplica mucho para medir la longitud de la costa de los países, partiendo del
análisis que no es lo mismo apreciar las costas de un país desde un satélite, desde el cual se
vería la costa como líneas rectas o redondeadas; luego desde un helicóptero ya se
apreciarían más irregularidades en la línea costera, y mayor aún si estuviéramos parados en
la misma costa midiendo su longitud con una cinta métrica, cada piedra, cada recodo del
trayecto; por supuesto la longitud obtenida en este tercer caso sería más grande que el
primero.
Figura 27. Fractales y escala, longitud infinita. Fuente: Posadas (2007)
Si usamos segmentos de diferente tamaño para estimar la longitud de una línea
costera, a menor escala se obtendrá una mayor longitud; o visto de otra manera, podemos
apreciar lo siguiente:
Figura 28. Segmentos de diferente tamaño S para estimar la longitud L. Fuente: Posadas
(2007)
21
La dimensión fractal se halla mediante la siguiente ecuación:
��ε� � ��
En Ingeniería se aplica el método de box counting para cuantificar perímetros o
superficies de un objeto fractal: longitud de costas, superficie glaciar, etc.
El método de box counting consiste en superponer una malla muy fina, a un objeto
fractal; como se muestra a continuación, superponemos una malla cada vez más fina
(cuadrículas cada vez más pequeñas o de menor escala) a la curva triádica de Koch.
Figura 29. Método de box counting. Fuente: Posadas (2007).
Una desventaja de este método es que la cantidad de “materia” contenida dentro de
una cuadrícula no es considerada en el análisis. Por ejemplo, el método no hace distinción
entre las dos cuadrículas que se muestran en la figura siguiente, a pesar de la notable
diferencia en la proporción de “materia” que cada una contiene.
22
Figura 30.Limitación del método de box counting en fractales. Fuente:Posadas
(2007).
Para salvar este obstáculo se emplean los Multifractales, que ya tienen en cuenta la
densidad de materia de cada cuadrícula.
2.1.13 MULTIFRACTALES EN INGENIERÍA
El Análisis Multifractal utiliza la densidad de la materia “µ” contenida en cada
cuadrícula (Posadas et al, 2002); µ se obtiene como µ= Np/Nt, donde Np es el número de
pixeles correspondientes a “materia” y Nt es el número de pixeles en una cuadrícula.
Lógicamente en Multifractales las mallas son muy finas, ya que se aplica el límite
cuando la escala tiende a cero como se aprecia a continuación:
Figura 31. Método de box counting en Multifractales. Fuente: Posadas (2007).
����� � �����/��
�����~���
����~������
�� ��� �
! 1�
1
! 1�í$�%&
�∑ (������
)*+
log �
�� �1
! 1�í$�%&
�∑ ������
����)*+
log �
�� � � � ! 1�/��
23
En la Figura 31 se aprecia que en los Multifractales, la malla es muchísima más fina
que en fractales, dado que se aplica el límite cuando la escala tiende a cero. Asimismo para
hallar la cantidad de “materia” que hay en una superficie, se puede aplicar la ecuación:
/0�1�~1�0
donde Pi es la probabilidad de hallar cierta cantidad de “materia”, L es el tamaño variable
de cuadrícula y α es el exponente de Holder; hay que tener en cuenta la resolución de la
imagen, por tanto al valor que resulta de esta ecuación, se debe multiplicar por los metros
cuadrados que abarca un pixel, es decir si un pixel es de 30 metros hay que multiplicar por
900 m2. El exponente de Holder, α, se calcula a partir de la relación entre la densidad (µ) y
el tamaño variable de cuadrícula (L).
� � 2345/ 2341
2.1.14 USO DE BANDAS PARA GLACIARES
Paul et al (2007), menciona que debido a las distintas propiedades espectrales de
hielo y nieve en los glaciares, la clasificación de glaciares de escombro libre es bastante
fácil a partir de imágenes en relación a un umbral. Más eficaz para la cartografía
automatizada glaciar es una banda TM de relación 3/5 para la discriminación de nieve o
hielo en las regiones de sombra y para terrenos con rocas (Bishop et al, 2004; Paúl y
Kaab, 2005).
2.2 LA CUENCA HIDROGRÁFICA DEL RÍO SANTA
La cuenca, vertiente topográfica en una sección de un curso de agua, comprende la
extensión de terreno separada de las vecinas, por la línea divisoria de aguas, coincidiendo
con las crestas que bordea la cuenca.
El uso de los recursos de agua glaciar es de importancia social y económica
esencial en Perú, lo es sobre todo en la cuenca del Río Santa. En los Andes, el agua glaciar
sostiene las actividades económicas que van desde valores tradicionales de crianza de
truchas y cultivos, así también sirve de atracción turística ligada al desarrollo local; La
fragilidad de este sistema económico se ve amenazado por los cambios repentinos en el
medio ambiente glaciar y cambio climático (Chevallier et.al, 2004).
24
Figura 32. Localización de la cuenca del río Santa en Perú. Fuente: Ministerio de
Energía y Minas.
Como se observa en la Figura 32, la cuenca del río Santa se ubica en la Costa Norte
del Perú, pertenece a la vertiente del Pacífico. Políticamente, se localiza en el departamento
de Ancash, comprendiendo total o parcialmente las provincias de Bolognesi, Recuay,
Huaraz, Carhuaz, Yungay, Huaylas, Corongo, Pallasca y Santa; y en el departamento de La
Libertad a Santiago de Chuco y Huamachuco. Geográficamente, sus puntos extremos se
hallan comprendidos entre los 10º08' y 8º04' de Latitud Sur y los 78º38' y 77º12' de
Longitud Oeste. Altitudinalmente se extiende desde el nivel del mar hasta la línea de
cumbres de la Cordillera Occidental de los Andes, cuyos puntos más elevados están sobre
los 4,000 msnm. En el año 2003, en la Cordillera Blanca se ha registrado 755 glaciares con
una superficie total de 527.62 Km2, siendo la cuenca del río Santa la que concentra el 68%
de esta superficie y el 73% del número total de glaciares (Zambrano, et al., 2011).
25
Los glaciares de tipo montaña se hallan en flancos escarpados y cumbres empinadas
Figura 33. Estaciones pluviométricas e hidrográficas de la Cuenca del río Santa. Fuente:
UGRH
La cuenca del río Santa se extiende hasta la estación hidrológica “Puente
Carretera”, ubicada en la parte más baja de la cuenca, y es la cuenca más extensa de la
vertiente Occidental o del Pacífico. Se abastece de agua proveniente de las lluvias y de los
deshielos de la Cordillera Blanca.
Como se aprecia en la Figura 33, la cuenca del río Santa es una de las más extensas
y monitoreadas del país, tiene una longitud de 320 Km y un área de 12 005 Km2 y cuenta
con registros históricos de más de 32 años; tiene gran cantidad de estaciones
pluviométricas e hidrográficas, ya que provee energía hidráulica a la Central Hidroeléctrica
del Cañón del Pato y abastece de agua a dos grandes Proyectos Hidro-energéticos, como
son el Proyecto CHINECAS y el Proyecto CHAVIMOCHIC.
Figura 34. Cuenca Hidrográfica del Río Santa .Fuente: CHAVIMOCHIC.
La Figura 34 muestra como e
canal Chavimochic y el canal Chinecas, habiéndose convenido que un 60% sea utilizado en
el Proyecto CHINECAS, que abarca los valles de Chimbote, Nepeña y Casma y un 40% es
utili zado en el Proyecto CHAVIMOCHIC, que abarca los valles de Chao, Virú, Moche y
Chicama; éste último se ha convertido en un emporio agrícola ejemplar que lidera la agro
exportación.
2.3 RETROCESO GLACIAR Y CAMBIO CLIMÁTICO
El retroceso de los glaciares
vinculado al cambio climático global. Mas que un hecho limitado a los Andes o a las zonas
tropicales, se trata de una tendencia que afecta a todos los glaciares de montaña del mundo
(IPCC, 2001; Francou et al
PNUMA (2007), indica que l
muestran dos tendencias importantes en los últimos
glaciares y el calentamiento de la atmósfera (0.15º C
.En 1970 en nuestro país existían 18 grandes áreas glaciares o cordilleras
nevadas que cubrían una extensión de 2,041 km
1,595 km2, es decir en el transcurso de sólo 27 años la reducc
ciento, y glaciares pequeños están desapareciendo en su totalidad (Artesonraju,
Yanamarey, etc.)
26
Figura 34. Cuenca Hidrográfica del Río Santa .Fuente: CHAVIMOCHIC.
igura 34 muestra como el caudal de Río Santa se deriva hacia dos canales, el
canal Chavimochic y el canal Chinecas, habiéndose convenido que un 60% sea utilizado en
el Proyecto CHINECAS, que abarca los valles de Chimbote, Nepeña y Casma y un 40% es
zado en el Proyecto CHAVIMOCHIC, que abarca los valles de Chao, Virú, Moche y
Chicama; éste último se ha convertido en un emporio agrícola ejemplar que lidera la agro
RETROCESO GLACIAR Y CAMBIO CLIMÁTICO
El retroceso de los glaciares ubicados en los Andes Centrales está estrechamente
vinculado al cambio climático global. Mas que un hecho limitado a los Andes o a las zonas
tropicales, se trata de una tendencia que afecta a todos los glaciares de montaña del mundo
al 2003) en magnitudes diferentes.
PNUMA (2007), indica que los estudios desarrollados sobre los Andes Centrales,
muestran dos tendencias importantes en los últimos años: un retroceso acelerado de los
calentamiento de la atmósfera (0.15º C por década desde 1950)
En 1970 en nuestro país existían 18 grandes áreas glaciares o cordilleras
nevadas que cubrían una extensión de 2,041 km2 (Francou et al, 2003); a 1997 se tienen
, es decir en el transcurso de sólo 27 años la reducción es del orden del 21,8
y glaciares pequeños están desapareciendo en su totalidad (Artesonraju,
Figura 34. Cuenca Hidrográfica del Río Santa .Fuente: CHAVIMOCHIC.
caudal de Río Santa se deriva hacia dos canales, el
canal Chavimochic y el canal Chinecas, habiéndose convenido que un 60% sea utilizado en
el Proyecto CHINECAS, que abarca los valles de Chimbote, Nepeña y Casma y un 40% es
zado en el Proyecto CHAVIMOCHIC, que abarca los valles de Chao, Virú, Moche y
Chicama; éste último se ha convertido en un emporio agrícola ejemplar que lidera la agro
ubicados en los Andes Centrales está estrechamente
vinculado al cambio climático global. Mas que un hecho limitado a los Andes o a las zonas
tropicales, se trata de una tendencia que afecta a todos los glaciares de montaña del mundo
os estudios desarrollados sobre los Andes Centrales,
años: un retroceso acelerado de los
1950).
En 1970 en nuestro país existían 18 grandes áreas glaciares o cordilleras
, 2003); a 1997 se tienen
ión es del orden del 21,8 por
y glaciares pequeños están desapareciendo en su totalidad (Artesonraju,
27
En la Cordillera Blanca, en 1970 se tenía un área glaciar de 723.37 km2, en 1997 se
determinaron 611.48 km2, teniéndose una pérdida de área glaciar de 111.89 km2 que
representa el 15.46 por ciento (Zapata, 2006).
Figura. 35. Proyecciones de temperatura al 2100. Fuente: IPCC (2001).
Como se aprecia en la Figura 35, la tendencia de la temperatura, a partir del siglo
20 y continuando el 21, es cada vez más creciente, debido a los gases de efecto invernadero
emitido por las industrias y el uso indiscriminado de combustibles fósiles como el petróleo.
Según Zapata (2006), en la Cordillera Blanca, en 1970 se tenía un área glaciar de
723.37 Km2, en 1997 se determinaron 611.48 Km2, teniéndose una pérdida de área glaciar
de 111.89 Km2 que representa el 15.46%.
PNUMA (2007), señala que los eventos ENSO cálidos y fríos (los más intensos
conocidos como el Niño y La Niña) son asociados a un aumento de entre 1 y 3ºC en la
temperatura atmosférica en los Andes. La contribución de los eventos ENSO tibios a la
recesión de los glaciares tropicales en los Andes ha sido determinante. La ocurrencia de
eventos ENSO acelera el retroceso de los glaciares a través de un aumento de las
temperaturas y de una disminución de las precipitaciones;. se prevé un aumento
generalizado de la temperatura en los Andes Centrales, lo que produciría un incremento
temporal de los caudales seguido de una disminución drástica del volumen y regularidad
de los recursos hídricos.
8
28
CAPITULO III.
MATERIALES Y METODOS
3.1 MATERIALES
3.1.1 ÁREA DE ESTUDIO
El área de estudio abarca dos bloques glaciares, el Huandoy+ ( 6160 msnm),
ubicado cerca a las ciudades de Caraz y Yungay , en la Cordillera Blanca de Perú, muy
próximo al Huascarán; y el nevado Pastoruri+ (el signo + significa el Nevado específico
más los nevados circundantes a él; ver figura 36) localizado en la parte sur de la Cordillera
Blanca ( 5 150 msnm).
Figura 36. La Cordillera Blanca y los nevados en estudio. Fuente:Vargas et al (2009)
Huandoy+
Pastoruri +
29
La denominacion de Glaciar Pastoruri+ que se usa aquí es diferente al de Zapata
(2006), aquí es mucho mas grande. Lo mismo ocurre con Huandoy+, es decir el área
glaciar en estudio es mucho más grande que el Glaciar Huandoy específico. Se escogió el
nevado Pastoruri+ porque es un nevado emblemático del país, es una especie de ícono,
dado que era el único en el cual se podía esquiar, y en la actualidad esa actividad ha sido
prohibida para eliminar la causa antropogénica de su deglaciación.
El Nevado Huandoy es uno de los más grandes y elevados de la Cordillera Blanca
( 6160 msnm), y es vecino del nevado más alto del Perú: El Huascarán.
Otro de los motivos por los que se eligió los nevados Huandoy+ y Pastoruri+ se
debe a que el primero se halla por encima de los 5500 m.s.n.m. y el segundo está por
debajo de esta altitud, y es de conocimiento general la afirmación de la Comisión Nacional
del Ambiente (CONAM) y corroborado por el PNUMA que los nevados por debajo de los
5500 m.s.n.m. desaparecerían al año 2050.
El mayor porcentaje de los glaciares tropicales del mundo están en la Cordillera de
los Andes, el 71 por ciento está en el Perú, el 20 por ciento en Bolivia, el 4 por ciento en
Ecuador y otro 4 por ciento en Colombia (SENAMHI, 2005).
Figura 37. Localización de los nevados Huandoy+ y Pastoruri+ en el mapa de Perú. Fuente:
UGRH.
30
Como se observa en la Figura 37, las coordenadas geográficas del glaciar Huandoy+
se halla entre –8º55’57’’ a –9º3’43’’ de Latitud Sur, y Longitud Oeste entre –77º43’23’’ a
–77º33’34’’
Las coordenadas geográficas del glaciar Pastoruri+ se hallan entre –9º53’51’’ a –
9º56’54’’ de Latitud Sur, y Longitud Oeste entre –77º13’52’’ a –77º10’12’’.
Figura 38. Ciudades aledañas al Huandoy+ y Pastoruri+. Fuente: UGRH.
La Cordillera Blanca se ubica en la parte central y occidental del Perú y es la más
importante en cantidad y calidad de glaciares, precisamente por hallarse en ella los nevados
más altos como son el Huascarán y el Huandoy, Como se aprecia en la Figura 38, el
nevado Huandoy se ubica en la parte alta y muy cercano a la ciudad de Caraz, en la parte
norte de la Cordillera Blanca y el nevado Pastoruri se ubica en la parte sur de la misma y la
ciudad más cercana es Recuay.
3.1.2 EVENTOS EL NIÑO Y LA NIÑA EN EL TIEMPO
Figura 39. Años de ocurrencia de los eventos El Niño y La Niña. Fuente: NOAA.
31
(Fuente: NOAA/ESRL/Physical Science Division – University of Colorado, disponible
en http://www.esrl.noaa.gov/psd/people/klaus.wolter/MEI/mei.html)
La Figura 39 muestra la ocurrencia de los fenómenos El Niño y La Niña hasta el
mes de marzo del 2010, apreciándose que los eventos El Niño y La Niña son casi
periódicos, predominando en los últimos años los primeros, siendo los más fuertes los de
1983 y 1997.
Cuadro 1: El Niño y La Niña desde 1950 al 2009. Fuente: Jan Null, CCM.
Disponible en http://ggweather.com/enso/oni.htm
Como se aprecia en la Figura 39 y en el Cuadro 1, existe discrepancia en algunos
eventos, para lo cual Jan Null, CCM elaboró una lista consensuada de las fuentes que
analizan los eventos El Niño, La Niña y años normales, esto puede revisarse en la
dirección electrónica http://ggweather.com/enso/oni.htm, o en la página de la NOAA:
http://www.cpc.noaa.gov/products/analysis_monitoring/ ensostuff/ensoyears.shtml
En el Cuadro 2 se presenta una lista consensuada de los eventos El Niño y La Niña,
para lo cual se han tomado de las fuentes WRCC, CDC, CPC y MEI, cuyos nombres se
detallan debajo del cuadro mencionado.
El Niño La Niña
Débil Mod Fuerte Débil Mod Fuerte
1951 1963
1986 1957 1950 1954 1955
1987 1965 1956 1964 1973
1968 1994 1972 1962 1970 1975
1969 2002 1983 1967 1998 1988
1976 1991 1971 1999
1977 1997 1974 2007
2004 2009 1984
2006 1995
2000
32
Cuadro 2: Lista consensuada de El Niño y La Niña. Fuente: Jan Null, CCM
disponible en http://ggweather.com/enso/oni.htm
Invierno WRCC CDC CPC MEI Consenso
1980-81
1981-82
1982-83 W+ W W+ W+ El Niño fuerte
1983-84 C-
1984-85 C- C-
1985-86
1986-87 W W
1987-88 W+ W- W W- El Niño
1988-89 C+ C- C+ C La Niña fuerte
1989-90
1990-91 W+
1991-92 W W W+ W+ El Niño fuerte
1992-93 W W+ W- El Niño
1993-94 W+ W
1994-95 W+ W W- El Niño
1995-96 C- C-
1996-97
1997-98 W+ W W+ W+ El Niño fuerte
1998-99 C+ C C- La Niña
1999-00 C C
2000-01 C C C- C- La Niña
2001-02
2002-03 W W W W El Niño
2003-04
2004-05 W C+ El Niño débil
2005-06
2006-07 W C+ El Niño débil
2007-08 W C-
La Niña
moderado
2008-09
2009-10 W C+ El Niño fuerte
2010-11 W C-
La Niña
moderado
WRCC: Región Climática Centro Occidental (Western Region Climate Center) en
la dirección electrónica: http://www.wrcc.dri.edu/enso/ensodef.html
CDC: Diagnóstico Climático del Centro (Climate Diagnostics Center) en la
dirección electrónica http://www.cdc.noaa.gov/people/cathy.smith/best/#years
33
CPC: Centro de Predicción Climática (Climate Prediction Center) en
http://www.cpc.ncep.noaa.gov/products/analysis_monitoring/ensostuff/ensoyears.html
MEI: Indice Multivariado Enso (Multivariate ENSO Index) cuya dirección
electrónica es: http://www.cdc.noaa.gov/ENSO/enso.mei_index.html.
W: caliente (warm), si es muy caliente llevan W+, ligeramente caliente W-.
C: frio (cold), si es es muy frío C+, ligeramente frío C-.
3.1.3 MATERIAL DIGITAL
Cuadro 3: Fuente de las imágenes satelitales. Fuente: elaboración propia.
Nevado Huandoy + Nevado Pastoruri +
Ruta Fuente Fecha Ruta Fuente Fecha
8 – 66 INPE –Brasil 31/05/1987 8 – 67 INPE –Brasil 31/05/1987
8 – 66 INPE –Brasil 06/09/1988 8 – 67 INPE –Brasil 17/05/1988
8 – 66 INPE –Brasil 24/08/1989 8 – 67 INPE –Brasil 24/08/1989
8 – 66 INPE –Brasil 10/07/1990 8 – 67 INPE –Brasil 10/07/1990
8 – 66 INPE –Brasil 15/09/1991 8 – 67 INPE –Brasil 11/06/1991
8 – 66 INPE –Brasil 12/05/1992 8 – 67 INPE –Brasil 26/05/1992
8 – 66 INPE –Brasil 31/05/1993 8 – 67 INPE –Brasil 04/09/1993
8 – 66 INPE –Brasil 18/05/1994 8 – 67 INPE –Brasil 21/07/1994
8 – 66 INPE –Brasil 09/08/1995 8 – 67 INPE –Brasil 25/08/1995
8 – 66 INPE –Brasil 11/08/1996 8 – 67 INPE –Brasil 24/06/1996
8 – 66 INPE –Brasil 30/08/1997 8 – 67 INPE –Brasil 27/06/1997
8 – 66 INPE –Brasil 02/09/1998 8 – 67 INPE –Brasil 16/07/1998
8 – 66 INPE –Brasil 20/08/1999 8 – 67 INPE –Brasil 03/0'7/1999
8 – 66 INPE –Brasil 21/07/2000 8 – 67 INPE –Brasil 21/07/2000
8 – 66 INPE –Brasil 05/05/2001 8 – 67 INPE –Brasil 22/06/2001
8 – 66 INPE –Brasil 01/02/2002 8 – 67 INPE –Brasil 01/02/2002
8 – 66 INPE –Brasil 14/07/2003 8 – 67 INPE –Brasil 15/08/2003
8 – 66 INPE –Brasil 29/05/2004 8 – 67 INPE –Brasil 29/05/2004
8 – 66 INPE –Brasil 03/07/2005 8 – 67 INPE –Brasil 01/06/2005
8 – 66 INPE –Brasil 06/07/2006 8 – 67 INPE –Brasil 06/07/2006
8 – 66 INPE –Brasil 25/07/2007 8 – 67 INPE –Brasil 25/07/2007
8 – 66 INPE –Brasil 24/05/2008 8 – 67 INPE –Brasil 12/08/2008
8 – 66 INPE –Brasil 30/07/2009 8 – 67 INPE –Brasil 28/06/2009
8 – 66 INPE –Brasil 14/05/2010 8 – 67 INPE –Brasil 18/08/2010
8 - 66 INPE –Brasil 17/05/2011 8 - 67 INPE –Brasil 02/06/2011
34
Se usaron imágenes correspondientes al Mapeador Temático Landsat TM 5, éste
tiene 7 bandas, cada una capta una determinada longitud de onda; las imágenes Landsat
son multiespectrales.
Tanto para el Huandoy+ como para el Pastoruri+ usamos las imágenes satelitales
como data, de todos los años disponibles en la página Web del INPE Brasil, es decir tanto
de los años en que se presentaron los eventos El Niño y La Niña así como de años
normales.
Las imágenes de satélite fueron obtenidas específicamente en la dirección
electrónica http://www.inpe.br/ del Instituto Nacional de Pesquisas Espaciáis (INPE)
Brasil. La resolución espacial es de 30 metros por pixel.
Como se aprecia en el Cuadro 2, las imágenes pertenecen, en su mayoría (con
excepción del año 2002, por no haber imágenes sin nubes de ese periodo), a la estación de
invierno en Perú, entre fines de mayo a agosto. Fueron utilizados también registros
históricos de temperatura mensual y precipitación de estaciones cercanas a los glaciares,
con el fin de observar la correlación entre temperatura y variación de la superficie glaciar.
Figura 40. Bandas 2, 3 y 5, respectivamente, del nevado Pastoruri+ del 2009.
En el presente trabajo se utilizaron las bandas 2, 3 y 5 de los años indicados. La
figura 40, muestra que las bandas 2 y 3 son similares en sus valores de reflectancia, aquí la
nieve se observa de color blanco, pero la banda 5 presenta mucha diferencia con los
anteriores, inclusive presenta a la nieve de color negro. Las bandas 2 y 5 son usadas para
hallar el NDSI (Índice Normalizado de Diferencia de Nieve); varios trabajos acerca de este
índice están en la literatura (Gómez-Landesa et al., 2001) para detectar propiedades del
glaciar (Salminen et al., 2009), y las bandas 3 y 5 son recientemente usadas como una
razón (ratio) de imágenes para estudiar el espectro multifractal del glaciar (Paul et al.,
2007), luego se binariza la imagen y se procesa en el programa Mass (programa elaborado
35
por el Centro Internacional de la Papa y disponible en http://www.cipotato.org/), el
programa Mass aplica el método de box counting para cuantificar el área glaciar.
3.2 METODOS
3.2.1 COMPARACIÓN DEL NDSI Y EL RATIO IMAGEN 3/ 5
Figura 41. (a) Imagen 2009 (RGB 321) del nevado Pastoruri+, y (b) Perfil
espectral de la imagen tomada en el punto rojo. Fuente: Elaboración propia.
Una imagen del glaciar Pastoruri+ combinada en rojo-verde-azul (RGB) 321 se
ilustra en la Figura 41a. El perfil espectral para la imagen (Figura 41b) respecto de algún
pixel fijo (punto rojo sobre la Figura 41a), muestran los valores de pixel en una imagen
con siete bandas (Figura 41b).
Como se puede apreciar en la Figura 41b, las bandas 1, 2 y 3 presentan mayor
valor de reflectancia (valor de pixel) y las bandas 5,6 y 7 tienen bajo valor de reflectancia.
Esto avala el uso de la relación o ratio imagen 3/5 hallado por Paul et al (2007), así
como también confirmado por Vargas et al (2009), dado que combina una banda blanca y
una negra, donde el contraste ayuda a separar superficie glaciar de la que no lo es.
La Figura 42a muestra una imagen obtenida a partir del índice de nieve
(NDSI), aquí la nieve no se observa nítidamente como si lo está en la Figura 42b que
es una imagen obtenida a partir de la relación de bandas 3/5. La Figura 42c muestra
una imagen binarizada donde la nieve se representa de color negro y lo que no es
nieve de color blanco. A simple vista el ratio imagen 3/5 es mucho más útil para
discriminar superficie glaciar de nubes, roca, agua o suelo, comparado con el NDSI.
(a) (b)
36
(a) (b) (c)
Figura 42. (a) Imagen del NDSI, (b) Imagen del ratio imagen 3/5; y (c) imagen
binarizada; para el nevado Huandoy+, 2009. Fuente: elaboración propia.
En la Figura 42, se observa a simple vista que la imagen del ratio imagen es
mucho más clara y nítida, siendo más útil para discriminar superficie glaciar de la que no
lo es (agua, roca o suelo). Ambos, tanto el NDSI y el ratio Imagen 3/5, son
frecuentemente usados para identificar la cobertura glaciar; asimismo, el análisis de los
Perfiles Horizontales de la Figura 43, muestran las diferencias entre los dos índices.
(a) (b)
Figura 43. (a) Perfil horizontal NDSI 2009. (b) Perfil horizontal para el ratio 3/5. Fuente:
elaboración propia.
En la Figura 43 se aprecia que el ratio imagen 3/5 presenta unas curvas mucho más
suaves y cambios menos bruscos que el NDSI, por ende, el método del ratio imagen 3/5
resultó mejor que el NDSI para la eliminación de sombras como nubes, esto es corroborado
por Vargas et al. (2009).
37
a. Procedimiento 1
Obtenidas la imágenes satelitales, se georreferenciaron con la carta nacional a
escala 1:100 000, y adaptaron al formato WGS 84. Se combinó en 3 bandas 532(RGB), se
cortó la imagen a una escala redonda por ejemplo 700x500 pixeles para el Huandoy+ y de
400x300 pixeles para el Pastoruri+. Luego se separó las bandas (banda 2 (b2), banda 3 (b3)
y banda 5 (b5)) y se estimó las características de la superficie glaciar, usándose para ello
los siguientes índices:
(a) NDSI (Índice Normalizado de Diferencia de Nieve) es comúnmente empleado para
detección de nieve; este método ayuda a diferenciar entre cobertura de nubes,
nieve o hielo (Vargas et al, 2009).
El NDSI es hallado tomando la diferencia normalizada de las bandas Landsat 2 y 5,
usamos el programa Envi en su versión 4.7 para hallar el NDSI y empleando la siguiente
ecuación:
)52/()52( bbbbNDSI +−= (1)
El NDSI está basado sobre la respuesta espectral particular de la nieve con alta
reflectancia en el espectro visible y el infrarrojo inferior (Pitte, 2009). Aplicando éste
algoritmo se supera con éxito los problemas de saturación de las áreas sombreadas, el
hielo marginal y algunos cuerpos de agua (Silverio y Jaquet, 2005).
(b) El ratio imagen 3/5 es una simple razón entre las bandas Landsat 3 y 5 (b3/b5).
El ratio imagen 3/5 es un excelente indicador de nieve y hielo (Todd, 2004).
El más efectivo índice para el mapeo glaciar automatizado es el ratio imagen 3/5
(Paul et al, 2007), y para discriminación de nieve o hielo, en regiones de sombras, tierra
o roca (Vargas et al, 2009). La razón de bandas 3/5 fue hallada utilizando el programa
Envi 4.7, es aplicado a escenas Landsat usando las bandas 3 (0.63–0.69 µm), y la banda 5
(1.55–1.75 µm).
)5/()3( bbRatio= (2)
38
b. Procedimiento 2
Empleando el programa Envi, en su versión 4.7 y el ratio imagen 3/5, por resultar
mejor el perfil horizontal (Vargas, et al, 2009), grabamos el archivo en formato Tiff, lo
llevamos al programa Image J para binarizar la imagen, guardamos en formato texto y con
el programa especial para Fractales (Mass) hallamos el espectro fractal. Exportamos la
tabla a la hoja de cálculo y allí elaboramos las gráficas (a) alpha vs f(alpha) y (b) q vs Dq,
determinando enseguida su dimensión fractal. A partir de las tablas se halla el Área glaciar
empleando la ecuación: iLLPiα~)(
donde Pi es la superficie estimada en forma probabilística, L es el número de cajas y αi es
el exponente de Holder, q son los momentos de orden q, Dq son las dimensiones fractales
(D0, D1 y D2); como las imágenes LANSAT TM 5, tienen una resolución de 30 metros por
pixel, entonces la fórmula anterior la multiplicamos por 900 para convertirla a metros
cuadrados de área glaciar. Por otro lado y en forma paralela, la imagen la digitalizamos en
Arc Gis como raster, obtenemos de esta forma la figura de la deglaciación, en el tiempo, de
cada glaciar, y verificamos su área glaciar editando tablas, luego comparamos las dos áreas
empleando el programa SPSS versión 15, hacemos una prueba de T como muestras
relacionadas, considerando, que si Tc es menor de T tabular, se acepta Ho, caso contrario
se rechaza.
El software Mass fue elaborado por el Centro Internacional de la Papa utiliza el
método de box counting para cuantificar la cantidad de materia que tiene una superficie; el
software Mass se puede bajar de la página Web: http://www.cipotato.org/.
3.2.2 ANÁLISIS MULTIFRACTAL
Los sistemas físicos que exhiben comportamiento caótico son genéricos en la
naturaleza (Posadas et al, 2005). La Teoría Multifractal permite la caracterización de
fenómenos complejos en forma cuantitativa, para ambas variaciones, temporal y espacial
(Schertzer y Lovejoy, 1994).
a. Antecedentes Fractales
La ecuación básica de la Teoría Fractal expresa la relación entre el número y el
tamaño de los objetos (Feder, 1988):
39
0-~)( DN εε . (3)
donde N(ε) es el número de objetos, ε es la escala, y D0 es la dimensión fractal. La técnica
de la caja de contar (método de box counting) es a menudo usada para estimar las
propiedades a escalar y la dimensión fractal de un objeto, consiste en superponer o cubrir
un objeto con una malla que tiene cajas de tamaño ε y contando el número de cajas que
contienen al menos un pixel del objeto bajo estudio ((Posadas et al., 2003). D0 puede
estimarse como:
.)()(
00 ε
εε Log
LogNLimD
→−= (4)
La dimensión D0 representa la pendiente negativa de logN(ε) versus log(ε), y es
adimensional.
Los Fractales físicos son estadísticamente autosimilares solo en un rango definido
de escalas (Posadas et al., 2005).
En un sistema homogéneo, la probabilidad (P) de una cantidad medida (unidad de
medida) varía con la escala ε como (Vicsek, 1992):
DP εε ~)( (5)
donde D es la dimensión fractal.
Para sistemas heterogéneos o no uniformes, la probabilidad varía como:
iiP αεε ~)( (6)
donde αi es el exponente de Lipschitz–Hölder o fuerza de singularidad y cuantifica el
grado de regularidad en un punto dado. El número de cajas N(α) donde la probabilidad Pi
tiene una fuerte singularidad es hallado a escala como (Feder, 1988) :
)(~)( αεα fN − (7)
donde f(α) puede ser considerada como la dimensión fractal generalizada del conjunto de
cajas con singularidades α. El exponente α puede tomar valores del intervalo (α-∞,, α+∞),
y f(α) es a menudo una función con un sólo máximo en q=0.
b. Multifractales
40
Los conjuntos Multifractales también pueden ser caracterizados sobre la base de
las dimensiones generalizadas del momento de orden q de una distribución estadística, Dq,
definida como (Hentschel y Procaccia, 1983) :
−=
→ )log(),(log
11
lim0 ε
εµε
q
qDq (8)
donde µ(q,ε) es la función partición (Chhabra et al, 1989):
∑=
=)(
1
)(),(ε
εεµN
i
qiPq
(9)
La dimensión generalizada Dq es una función monótona decreciente para todos los
q reales dentro del intervalo ( - ∞, + ∞ ) (Posadas et al, 2005). También, la función
partición se calcula como:
)(~),( qq τεεµ (10)
donde τ(q) es el exponente de correlación del momento de orden q, definido como
(Vicsek, 1992):
qDqq )1-()( =τ (11)
La conexión entre los exponentes energía f(α) (ecuación (7)) y τ(q) (ecuación
(11)) se hace vía la transformada de Legendre (Posadas, et al, 2002) :
)()())(( qqqqf ταα −= (12) y
.)(
)(dq
qdq
τα −= (13)
donde f(α) es una función decreciente cóncava con un máximo en q =0. Cuando q toma
los valores de q =0, 1 ó 2, la ecuación (8) se reduce a:
(14)
siendo C(ε) la función correlación (Posadas et al, 2005).
Los valores D0, D1 y D2 son conocidos como la dimensión capacidad, la
dimensión entropía y la dimensión correlación, respectivamente. La dimensión capacidad
,)log(
))(log(lim
02 ε
εε
CD
→=,
)log(
))(log()(lim
)(
1
01 ε
εµεµε
ε
ii
N
iD =
→
Σ=,
)log(
))(log(lim
00 ε
εε
ND
→−=
41
provee información global (o promedio) acerca de un sistema. La dimensión entropía está
relacionada, como su nombre lo indica, a la información de la entropía o desorden del
sistema, la dimensión correlación D2 está ligada matemáticamente con la función
correlación y calcula la correlación de medidas contenidas en una caja de tamaño ε
(Theiler 1987). La relación entre D0, D1, y D2 es:
012 DDD ≤≤ (15)
donde la igualdad D0=D1=D2 ocurre solamente si el fractal es estadísticamente o
exactamente autosimilar y homogéneo (Posadas, 2003) :
c. Determinación de los parámetros multifractales
La distribución espacial de la concentración de nieve fue particionada en cajas
de tamaño L con los múltiplos de los pixeles en que fue cortada la imagen satelital y
que el software Mass nos facilita. La medida normalizada µi(q,L) fue calculada para
valores de q que varía en pasos de 0.1:
)(
)(),( )(
1
LP
LPLq
qi
LN
i
qi
i
∑=
=µ (16)
donde Pi(L) es la fracción (o probabilidad) de contener nieve en cada i-ésima caja de
tamaño L. El espectro multifractal, fue calculado como:
∑=∞→
−=)(
1
)],(log[),()log(
1lim)(
LN
iii
N
LqLqN
qf µµ (17) y
∑=→∞
−=)(
1
)](log[),()log(
1lim)(
LN
iii
N
LPLqN
q µα (18)
Dado que la elección de un rango de escala apropiada es un paso crucial en el
análisis multifractal (Saucier y Muller 1999), el valor máximo de L y q que puede ser
usado en las ecuaciones (17) y (18) fue impuesto por el comportamiento lineal de la
función para toda q considerada:
(19) (20)
)log()](log[),()(
1
LvsLPLq i
LN
ii∑
=µ)log()],(log[),(
)(
1LvsLqLq
LN
iii∑
=µµ y
42
La complejidad de estas fórmulas queda simplificado al contarse con el software
Mass que procesa y grafica estas ecuaciones, y aplica paralelamente el método de box
counting a las imágenes satelitales de los glaciares en estudio, luego se puede exportar
como valores numéricos en una tabla para ser trabajados en Excel; con esta hoja de cálculo
se grafica el espectro Multifractal alpha vs f(alpha) y las dimensiones fractales q vs Dq, A
partir de las tablas se halla el Área glaciar empleando la ecuación:
iLLP iα~)(
donde Pi es la superficie estimada en forma probabilística, L es el número de cajas, αi es el
exponente de Holder. Luego, conociéndose que la resolución de la imagen es de un pixel
equivalente a 30 metros, se debe multiplicar el resultado de Pi por 900 metros cuadrados.
43
CAPITULO IV.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1 COMPORTAMIENTO DEL CLIMA EN LA ZONA DE LOS
GLACIARES
Las influencias del cambio climático en el retroceso glaciar es reportado en
varios estudios que muestran la tendencia creciente de la temperatura (Bates, 2008).
Figura 44. Variación de la temperatura media anual en oC, y de la precipitación
media anual en mm., en el entorno del nevado Huandoy+. Fuente: elaboración propia.
44
Como se aprecia en la Figura 44a, la tendencia en el intervalo de tiempo 1987-
2010, describe un incremento de la temperatura media anual de alrededor de 1 ºC,
mientras que la precipitación media anual ha disminuido en 6.37 mm anuales.
Asimismo para la zona de Recuay, adyacente al glaciar Pastoruri+, se observa a
continuación:
Figura 45. Variación de la temperatura media anual, y de la precipitación media anual en
la zona de Recuay, cercana al nevado Pastoruri+. Fuente: elaboración propia
La Figura 45, nos permite observar que en el entorno del glaciar Pastoruri+, la
tendencia de la temperatura es ligeramente creciente y la precipitación tiende a disminuir.
45
4.2 RÉGIMEN DE LOS CAUDALES DEL RÍO SANTA
Figura 46. Régimen de los caudales medios anuales del río Santa en el período 1987-
2010 (Estación Condorcerro). Fuente: elaboración propia.
Como se aprecia en la Figura 46 y comparando con el Cuadro 2, en el mismo
año, pero en su mayoría luego de un año en que se presenta el fenómeno El Niño
(1992, 1997 y 2009) los caudales registrados en el Río Santa son muy elevados (más
de 150 m3/s), más del promedio, lo cual se debería a la deglaciación de los nevados, y
al hecho que el agua se percola y se desplaza lentamente y subterráneamente hacia el
Río Santa, aflorando al año siguiente. Por otro lado cuando se presenta un Niño
fuerte, las lluvias son más escasas en la zona de los glaciares (PNUMA, 2007).
Lo contrario ocurre con los eventos La Niña (1988 y 2000) donde los caudales
estuvieron por debajo del promedio (con excepción de 1988, que sucedió
inmediatamente después de un evento El Niño), debido posiblemente a la mayor
acumulación de nieve y a las temperaturas muy frías.
En años normales o no ENSO, en su mayoría, los caudales son menores que el
promedio (1989, 1990, 1995, 1996, 2003, 2005 y 2008).
46
Figura 47. Régimen de los caudales medios mensuales del Río Santa en el
período 1978 -2010 (Estación La Balsa). Fuente: elaboración propia
En los meses de estiaje (junio, julio, agosto), meses en que las precipitaciones
son muy reducidas, y que generarían caudales menores que los caudales registrados
históricamente en el Río Santa, podría deberse este mayor aforo de caudales a que el
Río Santa se estaría abasteciendo de los deshielos de los glaciares, y por el caudal
base.
47
4.3 CUANTIFICACIÓN DEL ÁREA GLACIAR
Figura 48. Deglaciación de los nevados Huandoy+ y Pastoruri+ en el tiempo. Fuente:
elaboración propia.
Una visión gráfica de la deglaciación de los nevados desde 1987 al 2011, mostrada
en la Figura 48, nos revela que los glaciares Huandoy+ y Pastoruri+ vienen perdiendo
superficie glaciar en el tiempo.
En forma complementaria, en los Cuadros 4 y 5 se presentan los valores de la
superficie glaciar obtenida por dos métodos: el método tradicional o SIG (Sistema de
Información Geográfica) usando el software Arc-gis en su versión 10 y por otro lado el
método Multifractal utilizando el software Mass, software elaborado por el Centro
Internacional de la Papa, obtenible en la página Web: http://www.cipotato.org/.
+
48
Cuadro 4: Variación del Área glaciar obtenida por SIG. Fuente: elaboración propia
SIG GLACIAR HUANDOY + GLACIAR PASTORURI +
AÑO AREA (Km 2) % AÑO AREA (Km 2) % 1987 70.77 100 1987 8.21 100 1988 81.45 115 1988 12.34 150 1989 79.55 112 1989 9.97 121 1990 67.41 95 1990 8.00 97 1991 65.39 92 1991 7.53 92 1992 78.91 112 1992 8.69 106 1993 73.50 104 1993 8.32 101 1994 76.18 108 1994 8.90 108 1995 71.03 100 1995 8.20 100 1996 74.54 105 1996 8.79 107 1997 66.76 94 1997 6.35 77 1998 79.28 112 1998 8.91 108 1999 73.41 104 1999 8.50 104 2000 75.48 107 2000 9.15 111 2001 78.12 110 2001 8.70 106 2002 68.41 97 2002 7.89 96 2003 78.30 111 2003 8.97 109 2004 69.14 98 2004 7.87 96 2005 69.26 98 2005 7.95 97 2006 80.00 113 2006 8.96 109 2007 69.82 99 2007 8.00 97 2008 76.79 109 2008 8.82 107 2009 61.62 87 2009 7.17 87 2010 59.89 85 2010 7.05 86 2011 61.85 87 2011 7.22 88 Promedio 72.27 Promedio 8.42 Desv.estándar 6.24 Desv.estándar 1.14 Coef.variabil. 0.086 Coef.variabil. 0.135 Coef.autocorr. r = 0.107 Coef.autocorr. r = 0.156
La variación del área glaciar de los nevados Huandoy+ y Pastoruri+ es dinámica, es
decir que es variable en el tiempo, sin embargo en los tres últimos años se observa
claramente una disminución sostenida del área glaciar.
En el Cuadro 4 se aprecia que las áreas varían creciendo y decreciendo, y sólo en los
tres últimos años se aprecia una sostenida disminución, pero sin embargo en años en que
49
se presenta el evento La Niña (2011) se nota un crecimiento glaciar.
El promedio del área SIG, para el Huandoy+ es de 72.27 Km2 y de 8.42 Km2 para el
Pastoruri+. La desviación estándar es de 6.24 para el Huandoy+ y de 1.14 para el
Pastoruri+, y el coeficiente de variabilidad es de 0.086 para el Huandoy+ y 0.135 para el
Pastoruri+.
Cuadro 5: Variación del Área glaciar obtenida por Multifractales. Fuente: elaboración propia
MULTIFRACTALES GLACIAR HUANDOY + GLACIAR PASTORURI +
AÑO AREA (Km 2) % AÑO AREA (Km 2) % 1987 73.16 100 1987 8.03 100 1988 81.00 111 1988 11.17 139 1989 78.31 107 1989 9.09 113 1990 72.16 99 1990 6.92 86 1991 70.64 97 1991 6.77 84 1992 79.28 108 1992 8.62 107 1993 77.49 106 1993 8.23 103 1994 78.25 107 1994 8.80 110 1995 75.79 104 1995 8.07 101 1996 77.72 106 1996 8.90 111 1997 67.01 92 1997 6.80 85 1998 81.21 111 1998 9.12 114 1999 75.67 103 1999 8.36 104 2000 76.51 105 2000 10.38 129 2001 81.08 111 2001 8.73 109 2002 70.28 96 2002 7.78 97 2003 79.80 109 2003 8.67 108 2004 71.98 98 2004 7.91 99 2005 72.42 99 2005 7.65 95 2006 82.25 112 2006 9.46 118 2007 71.58 98 2007 8.20 102 2008 83.03 113 2008 8.54 106 2009 61.37 84 2009 6.07 76 2010 60.21 82 2010 6.25 78 2011 62.38 85 2011 6.9 86 Promedio 74.42 Promedio 8.22 Desv.estándar 6.48 Desv.estándar 1.20 Coef.variabil. 0.087 Coef.variabil. 0.15 Coef.autocorr. r = 0.117 Coef.autocorr. r = 0.187
50
En el Cuadro 5 podemos observar que las áreas glaciares del Huandoy+ y el Pastoruri + varían en el tiempo, creciendo y decreciendo; esta variabilidad glaciar explicaría la
variabilidad de los caudales del Río Santa (figura 46).
Si comparamos los resultados de los Cuadros 2, 4 y 5 podremos observar que en la
mayoría de veces presentan menor superficie cuando se da el evento El Niño (1991, 1997,
2004, 2009) y mayor cuando La Niña (1988, 2000 y 2011), esto es corroborado por
PNUMA (2007).
Aún cuando los Cuadros 4 y 5 muestran que el área glaciar es variable, aumentando y
disminuyendo en el tiempo, solamente con fines referenciales y tomando en cuenta a 1987
como año de inicio del estudio y el 2011 como año final, el Huandoy+ y el Pastoruri+
disminuyeron su área en aproximadamente 13 por ciento, hallado por SIG, y 15 por ciento
con Multifractales, para un periodo de 24 años.
El promedio del área para el Huandoy+ hallado por técnicas multifractales es de
74.42 Km2 y de 8.22 Km2 para el Pastoruri+. La desviación estándar es de 6.48 para el
Huandoy+ y de 1.20 para el Pastoruri+.
4.4 CORRELACIÓN DE AREAS CON SIG Y MULTIFRACTALES.
51
Figura 49. Correlación de las áreas obtenidas con SIG y Multifractales. Fuente:
elaboración propia.
Como se observa en la Figura 49, existe una alta correlación entre las áreas
obtenidas por SIG con respecto a las obtenidas por la técnica multifractal. El coeficiente de
correlación es de 0.957 para el Huandoy+ y de 0.891 para el Pastoruri+, la prueba de T
como muestras relacionadas resultó no significativa (detalles en el anexo) lo que significa
que es indistinto o estadísticamente similar utilizar el método de los Multifractales o SIG,
para hallar las áreas de glaciares, más aún se tiene la ventaja en la técnica Multifractal que
no es necesario digitalizar el área, como si lo requiere la técnica SIG, pues el método de
box counting que consiste en superponer una malla muy fina a la imagen satelital, evita la
manipulación del área.
Zapata (2006), halló que el area glaciar para el Pastoruri para el año 1995 era de 1.8
Km2 y que para el año 2001 era 1.4 Km2, es decir que en un lapso de 6 años el Pastoruri
había disminuido en 0.4 Km2, sin embargo en el presente estudio, hemos hallado para el
Pastoruri+ (por SIG), que para el año 1995 era de 8.20 Km2 y para el 2001 era de 8.70 Km2,
es decir que aumentó en vez de disminuir, se debería a que en los años 1998 y 2000 se
presentó el evento La Niña, la cual se caracteriza por sus temperaturas frías que
contribuyen a aumentar el área glaciar.
52
4.5 SERIES DE TIEMPO DE LAS AREAS:
Imágenes de series de tiempo de áreas, obtenidas tanto por el método
tradicional del SIG como de la técnica Multifractal, se aprecian a continuación:
53
Figura 50. Series de tiempo de las áreas obtenidas por SIG y Multifractales
Las series de tiempo nos indican lo siguiente:
- La variabilidad no es muy grande, fluctúa entre 8 a 14 por ciento.
- Hay cierta relación entre los eventos Niño (Niña) con menores (mayores)
acumulaciones de nieve, por ejemplo para los años 1987, 1991, 1997 y 2009 (1988,
1998 y 2000); sin embargo también existen casos opuestos (ejemplo para el año 2006
El Niño, pero con gran acumulación de nieve, el año 2011 La Niña, pero con poca
acumulación de nieve). Los años 2009 y 2010 son los dos más bajos del periodo
histórico
54
4.6 FUNCIÓN q VS Dq
La función Dq nos permite visualizar las funciones D0 (en q=0), D1 (en q=1) y
D2, es decir podemos ubicar en q=0, la dimensión fractal de un objeto de la naturaleza
Figura 51. Función q vs Dq para el Huandoy y Pastoruri+. Fuente: elaboración
propia
55
En la Figura 51 la dimensión fractal generalizada Dq, muestra una distribución
típica para sistemas heterogéneos (esto es cuando D0≠D1≠D2), es fácilmente perceptible el
valor de D0 que se da cuando q=0., ya que en éste presenta un quiebre (en q=0). D1 se da
cuando q=1 y D2 se da cuando q=2. La mayor inclinación para q<0, significa que existe
una mayor concentración de superficie glaciar para tamaños de caja más grande (Posadas
et al 2002). Para el Huandoy la dimensión fractal D0 promedio es de 1.54, D1=1.44 y
D2=1.41, mientras que para el Pastoruri+ la dimensión fractal D0 promedio es de 1.49,
D1=1.33 y D2=1.28 (ver cuadro 8).
4.7 FUNCIÓN q vs τ
La función τ nos indica el comportamiento monofractal o Multifractal de un
objeto fractal de la naturaleza, como en nuestro caso la superficie glaciar.
56
Figura 52. Función q vs τ para el Huandoy+ y Pastoruri+, respectivamente. Fuente:
elaboración propia.
Como se aprecia en la Figura 52, la función τ (exponente de masa) tiene un quiebre
en q=0, presentando dos pendientes diferentes, este quiebre debe atribuirse a que existe
hetorogeneidad dentro del sistema, siendo su comportamiento bifractal o en general
Multifractal.
4.8 COMPORTAMIENTO MULTIFRACTAL
El espectro Multifractal obtenido de graficar la función α vs f(α), nos permite
vislumbrar una desviación hacia la derecha o izquierda; por ejemplo la asimetría al
lado derecho indican dominio de pequeños o presencia de valores extremadamente
pequeños y una tendencia hacia la izquierda indicaría el dominio de valores grandes, o
tamaño de cajas grandes (Posadas et al., 2005).
57
Figura 53. Espectros Multifractales del Huandoy+ y Pastoruri+. Fuente: elaboración
propia.
+
58
Los espectros Multifractales de la Figura 53 muestran unas curvas asimétricas con
un pico en D0 es decir en f [α (q=0)]=D0 y una dispersión más grande en la parte derecha
donde se abre una especie de abanico, y tomando en cuenta las Figuras 51, 52 y 53 esto se
da en q=0, dado que la magnitud del cambio alrededor del valor máximo de f [α (q=0)]=D0 es
una medida de la simetría del espectro f (α) (Posadas et al.,2005) La asimetría a lo largo del
lado izquierdo indican el dominio de muy grandes valores en los patrones de variabilidad
espacial (o en tamaño de cajas), mientras que la asimetría al lado derecho indican dominio
de pequeños o presencia de valores extremadamente pequeños (Eghball, et al., 2003), por
tanto, aquí nos encontramos en este caso. Asimismo, la abertura del espectro Multifractal
(∆α) es más grande para los años 1988 y 2000 en que coincidentemente se presentó el
fenómeno La Niña (NOAA, 2009), que sería explicado por una mayor superficie glaciar
en esos años y en la mayoría de casos es más pequeña en años en que se da el evento El
Niño (1987,1997, 2009 (ver cuadro 2)).
La principal limitación de las imágenes está basada en que en las imágenes
satelitales, no es posible discriminar o separar lo que es hielo de lo que es nieve, siendo la
primera más importante para el glaciar por su permanencia en el tiempo.
59
4.9 PARÁMETROS MULTIFRACTALES
Cuadro 6: Parámetros Multifractales para el Glaciar Huandoy. Fuente: elaboración
propia
Tiempo Dim. Dim. Dim. Long.de
Simetría Capac Entrop. Correl. la variab.
Años D0 D1 D2 max(α)-
min(α) prom(α) (max+min)/2 f [α (q=0)] D0-D1 D0 - f[α(q=
-1)]
1987 1.543 1.433 1.396 1.293 1.927 2.018 1.543 0.110 0.343
1988 1.557 1.453 1.421 1.664 2.043 2.231 1.557 0.104 0.345
1989 1.573 1.473 1.446 1.637 2.103 2.245 1.573 0.099 0.499
1990 1.552 1.448 1.419 1.287 1.926 2.079 1,553 0.105 0.397
1991 1.566 1.499 1.483 1.298 1.975 2.123 1.566 0.067 0.416
1992 1.539 1.448 1.419 1.654 2.056 2.226 1.539 0.09 0.532
1993 1.523 1.426 1.393 1.637 2.046 2.189 1.527 0.101 0.509
1994 1.559 1.472 1.444 1.677 2.093 2.264 1.559 0.088 0.549
1995 1.537 1.431 1.395 1.627 2.047 2.183 1.537 0.107 0.489
1996 1.549 1.449 1.418 1.652 2.074 2.222 1.538 0.1 0.507
1997 1.541 1.441 1.409 1.258 1.915 2.01 1.541 0.1 0.345
1998 1.529 1.41 1.371 1.633 2.031 2.161 1.529 0.119 0.461
1999 1.562 1.449 1.415 1.619 2.076 2.202 1.562 0.113 0.462
2000 1.527 1.427 1.395 1.624 2.018 2.185 1.527 0.099 0.493
2001 1.601 1.486 1.453 1.632 2.116 2.248 1.601 0.116 0.463
2002 1.611 1.532 1.508 1.249 1.987 2.118 1.611 0.079 0.377
2003 1.535 1.429 1.395 1.657 2.062 2.201 1.535 0.107 0.496
2004 1.533 1.426 1.395 1.655 2.066 2.202 1.533 0.107 0.489
2005 1.505 1.398 1.362 1.627 2.015 2.149 1.505 0.107 0.487
2006 1.509 1.406 1.373 1.661 2.04 2.18 1.509 0.103 0.509
2007 1.525 1.439 1.431 1.432 2.002 2.127 1.525 0.087 0.418
2008 1.569 1.466 1.439 1.633 2.094 2.238 1.569 0.103 0.488
2009 1.552 1.463 1.433 1.297 1.939 2.061 1.552 0.089 0.374
2010 1.481 1.368 1.333 1.622 1.979 2.12 1.481 0.113 0.464
2011 1.528 1.399 1.366 2.03 2.193 2.359 1.528 0.129 0.595
Una medida de la asimetría del espectro f (α) se halla alrededor de los valores
máximos de f [α (q=0)]=D0. Las diferencias (D0–D1) y (D0– f [α (–1)]) indican la
desviación del espectro f (α) desde su valor máximo en q = 0, hacia el lado izquierdo (q >
0), y hacia el lado derecho (q < 0) de la curva, respectivamente.
60
Cuadro 7: Parámetros Multifractales para el Glaciar Pastoruri+ Fuente: elaboración
propia
Tiempo
Dim. Dim. Dim. Long.de Simetría
Capac Entrop. Correl. la variab.
Años D0 D1 D2 max(α)-
min(α) prom(α) (max+min)/2 f [α (q=0)] D0-D1 D0 - f[α(q= -1)]
1987 1.509 1.355 1.299 1.923 2.072 2.222 1.509 0.154 0.525
1988 1.629 1.453 1.398 1.921 2.197 2.323 1.629 0.176 0.483
1989 1.576 1.41 1.356 1.881 2.123 2.26 1.576 0.166 0.476
1990 1.506 1.359 1.302 1.916 2.06 2.221 1.506 0.147 0.542
1991 1.505 1.36 1.306 1.887 2.055 2.212 1.505 0.145 0.53
1992 1.478 1.339 1.294 1.873 2.049 2.201 1.478 0.139 0.535
1993 1.474 1.327 1.274 1.876 2.019 2.176 1.474 0.147 0.524
1994 1.432 1.265 1.201 1.771 2.146 2.279 1.577 0.139 0.49
1995 1.47 1.321 1.275 1.847 2.023 2.169 1.469 0.149 0.502
1996 1.495 1.341 1.296 1.810 2.071 2.171 1.495 0.154 0.481
1997 1.455 1.296 1.236 1.831 1.967 2.112 1.455 0.159 0.480
1998 1.577 1.439 1.409 1.847 1.944 2.081 1.432 0.167 0.477
1999 1.563 1.387 1.328 1.898 2.103 2.238 1.563 0.177 0.47
2000 1.633 1.482 1.427 1.886 2.182 2.347 1.633 0.151 0.519
2001 1.535 1.359 1.294 1.886 2.061 2.193 1.539 0.179 0.462
2002 1.42 1.281 1.226 1.903 1.543 2.138 1.42 0.139 0.54
2003 1.44 1.27 1.21 1.835 1.958 2.088 1.436 0.165 0.47
2004 1.414 1.27 1.211 1.882 1.937 2.109 1.414 0.144 0.52
2005 1.427 1.268 1.219 1.777 1.956 2.076 1.427 0.158 0.467
2006 1.427 1.258 1.198 1.832 1.952 2.075 1.427 0.169 0.468
2007 1.452 1.296 1.249 1.846 2.023 2.141 1.452 0.156 0.493
2008 1.464 1.285 1.218 1.930 2.013 2.137 1.464 0.179 0.489
2009 1.478 1.313 1.254 1.878 2.033 2.151 1.479 0.164 0.493
2010 1.387 1.237 1.182 1.857 1.915 0.788 1.374 0.143 0.52
2011 1.506 1.338 1.287 1.806 2.055 2.156 1.506 0.168 0.455
Media 1.486 1.327 1.273 1.864 2.013 2.116 1.486 0.159 0.494
Los Cuadros 6 y 7 presentan los valores de los parámetros Multifractales,
obtenidos a partir de las imágenes satelitales de los glaciares Huandoy+ y Pastoruri+. Estos
parámetros permiten comparar, por ejemplo, los valores de D0 con los valores de f [α
(q=0)] que coinciden en valor, asimismo permite el poder verificar que se cumpla que
D0≠D1≠D2, y al mismo tiempo que D0>D1>D2 para sistemas heterogéneos (es decir que la
concentración de materia glaciar sea diferente en toda su superficie).
61
En los Cuadros 6 y 7 se aprecia que D0 ≠ D1 y D2 sin embargo D1 ~ D2, asimismo
si tomamos en cuenta 3 decimales, se podría decir que ligeramente D0≠ D1≠ D2, esto
ocurre solamente si el fractal es estadísticamente o exactamente autosimilar y heterogéneo
(Posadas et al., 2005).
Cuadro 8: Resumen de los principales parámetros Multifractales del Huandoy y
Pastoruri+. Fuente: Elaboración propia
HU
AN
DO
Y
AÑO D0 D1 D2 ∆α 1987 EN 1.543 1.433 1.396 1.293
1988 LN 1.557 1.453 1.421 1.664
1989 1.573 1.473 1.446 1.637
1990 1.553 1.448 1.419 1.387
1991 EN 1.566 1.499 1.483 1.298
1992 1.539 1.448 1.419 1.654
1993 1.527 1.426 1.393 1.637
1994 1.559 1.472 1.444 1.677
1995 1.537 1.431 1.395 1.627
1996 1.549 1.449 1.418 1.652
1997 EN 1.541 1.441 1.409 1.258
1998 LN 1.529 1.410 1.371 1.633
1999 1.562 1.449 1.415 1.619
2000 1.550 1.471 1.450 1.624
2001 1.601 1.486 1.453 1.632
2002 1.532 1.437 1.407 1.250
2003 1.535 1.429 1.395 1.657
2004 EN 1.533 1.426 1.395 1.655
2005 1.505 1.398 1.362 1.627
2006 1.509 1.406 1.373 1.661
2007 LN 1.525 1.439 1.431 1.432
2008 1.569 1.466 1.439 1.633
2009 EN 1.552 1.463 1.433 1.297
2010 1.481 1.368 1.333 1.623
2011 1.528 1.399 1.366 2.036
Promedio 1.542 1.441 1.411 1.567
Desv.estándar 0.024 0.030 0.034 0.181
62
PA
ST
OR
UR
I AÑO D0 D1 D2 ∆α 1987 EN 1.509 1.355 1.299 1.921 1988 LN 1.629 1.453 1.398 1.923 1989 1.576 1.410 1.356 1.881 1990 1.506 1.359 1.302 1.916 1991 EN 1.505 1.360 1.306 1.887 1992 1.478 1.339 1.294 1.873 1993 1.474 1.327 1.274 1.876 1994 1.432 1.265 1.201 1.771 1995 1.470 1.321 1.275 1.847 1996 1.495 1.341 1.296 1.810 1997 EN 1.455 1.296 1.236 1.831 1998 LN 1.577 1.439 1.409 1.847 1999 1.563 1.387 1.328 1.898 2000 1.633 1.482 1.427 1.886 2001 1.535 1.359 1.294 1.886 2002 1.420 1.281 1.226 1.903 2003 1.44 1.27 1.21 1.835 2004 EN 1.414 1.270 1.211 1.882 2005 1.427 1.268 1.219 1.777 2006 1.427 1.258 1.198 1.832 2007 LN 1.452 1.296 1.249 1.846 2008 1.464 1.285 1.218 1.930 2009 EN 1.478 1.313 1.254 1.878 2010 1.387 1.237 1.182 1.857 2011 1.506 1.338 1.287 1.806
Promedio 1.490 1.332 1.278 1.864
Desv.estándar 0.066 0.064 0.067 0.044
La dimensión capacidad D0, o dimensión Fractal obtenida por el método de box
counting, mantiene un valor cercano a 1.5 (en promedio 1.52 entre los dos glaciares); Se
aprecia que ante los eventos El Niño o la Niña, a veces presenta valores mayores o
menores, esto hace que este parámetro no sea de utilidad para distinguir variabilidad
espacial (Posadas et al, 2003). Por otro lado las dimensiones Fractales de la información
(D1) y de la correlación (D2), muestran la misma tendencia que D0. . La abertura del
espectro Multifractal (∆α) es variable, es decir que puede ser mayor o menor tanto para
años en que se presentó La Niña o El Niño.
En la mayoría de los años los parámetros D0, D1, D2 y ∆α presenta valores cercanos
al promedio, o el promedio ± una desviación estándar.
63
Figura.54 Variación de las dimensiones fractales D1, D2 y ∆α, para el Huandoy+ y
Pastoruri+. Fuente: elaboración propia.
En la Figura 54, y para el glaciar Huandoy+, se presenta un notorio cambio para la
variable ∆α, ante los eventos El Niño (valores muy bajos) y valores ligeramente altos
cuando se da la Niña. En la misma figura para el glaciar Pastoruri+, se aprecia esta
tendencia, pero muy levemente, sería atribuible a su menor masa glaciar comparado con el
Huandoy+ que es casi 9 veces más grande.
En la mayoría, pero no en todas las veces, en años en que se presentaron los eventos
El Niño, las áreas glaciares son menores (coincidentemente D1 y D2 más bajos), mientras
que en años que se dio la Niña, las áreas glaciares fueron mayores ( D1 y D2 más
+
64
elevados).; lo mismo sucede con ∆α (abertura del espectro Multifractal), más abierto para
La Niña y más cerrado para El Niño, mientras que es variable en un año normal.
65
CAPITULO V.
CONCLUSIONES
1. La Teoría Multifractal es una herramienta promisoria para vislumbrar el
comportamiento dinámico de los glaciares, cuya superficie viene decreciendo y en
algunos casos manteniéndose en el tiempo.
2. El derretimiento de los glaciares, en parte es afectado por el ENSO (El Niño
Sur Oeste) y el mantenimiento del área glaciar por la Niña, constatado por Técnicas
SIG y Multifractales.
3. La superficie glaciar tiene un comportamiento variable en el tiempo; sólo si
tomamos en forma referencial los años de inicio y final del presente estudio
podemos concluir que la reducción promedio de la superficie glaciar del Huandoy+ y
el Pastoruri+ obtenida por SIG es de 13 por ciento, mientras que la obtenida por la Técnica
Multifractal es del 15 por ciento en el periodo comprendido de 1987 al 2011.
4. La comparación estadística como muestras relacionadas de las diferencias de áreas
glaciares del Huandoy+ y Pastoruri+ obtenidas por métodos convencionales (SIG) y
Multifractales, (prueba de t) resultaron no significativas y con alto coeficiente de
correlación (0.957 y 0.891 respectivamente) lo que significa que es indistinto o
estadísticamente da igual utilizar el SIG o Multifractales para determinar el área.
5. La Dimensión Fractal D0 promedio, para la superficie glaciar fue de 1.54 para
el Huandoy+ y para el Pastoruri+ 1.49, siendo su promedio general 1.52. En la
mayoría de veces D0, D1, D2 y ∆α presentaron menores valores ante los eventos El
Niño y mayores ante La Niña, siendo más perceptibles en grandes superficies
glaciares como el Huandoy frente a pequeños como el Pastoruri+.
6. La moderna Técnica Multifractal devino muy versátil, práctica y sensible
para mostrar la incidencia de los eventos El Niño y La Niña en el Espectro
Multifractal y en la función ∆α y suficientemente precisa en el campo ingenieril para
estimar la superficie glaciar.
66
7. Para las series de tiempo de las áreas, en la mayoría de veces guarda una
correlación de una mayor área para los eventos La Niña (1988, 1998 y 2000) y una
menor área para los eventos ENSO (1987, 1991, 1997 y 2009) sin embargo la
principal limitación de las imágenes es que no se puede separar la nieve del hielo y que la
mayor área obtenida de la superficie glaciar se debería a que se estaría midiendo hielo y
nieve a la vez.
67
CAPITULO VI.
RECOMENDACIONES
- Los parámetros D1, D2 y ∆α fueron sensibles al escalamiento de la superficie
glaciar, lo que sugiere que dichos parámetros podrían ser usados en futuros modelos de
variabilidad espacial de glaciares.
- Aplicar la Técnica Multifractal para estudiar otros elementos Fractales de la
naturaleza como por ejemplo zonas deforestadas en la selva peruana, conductividad
hidráulica del suelo, o estudiar otros glaciares tomando un ratio imagen 4/5.
- Se recomienda que se estudie los glaciares cada 5 años en vez de cada año, debido a
la resolución de las imágenes Lansat 5, que tienen una resolución de 30 metros por pixel,
para evitar que se enmascare la reducción de 14 metros por año de pérdida glaciar que se
estaría dando en los nevados según afirmación de la Unidad de Glaciología y Recursos
Hídricos del INRENA.
68
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UNALM.
73
ANEXOS
Anexo I.- DESCARGAS MEDIAS MENSUALES DEL RIO SANTA
Cuadro 9: Descargas medias mensuales del Rio Santa.Fuente: P.E. CHAVIMOCHIC.
(En m³/s)
ESTACIÓN : CONDORCERRO Norte: 9 042.315 m
RIO : SANTA Este: 801 808 m PERIODO: 1978-2010
Altitud: 450 m.s.n.m.
74
Anexo II: DATOS METEOROLÓGICOS DE HUARAZ
Cuadro 10: Datos meteorológicos de Huaraz. Fuente: P:E: CHAVIMOCHIC
País: Perú
Estación Huaraz
Altitud 3050 m Latitud 9.50 °S Longitud 77.51 °W
Mes
Temp.Mín Temp.Max Humedad viento Insolación Rad Eto
°C °C % Km/día Horas MJ/m2/día mm/día
Enero 7.3 20.6 61 52 6 19.3 3.56
Febrero 7.8 19.8 62 52 5.6 18.7 3.44
Marzo 7.3 20.5 61 52 6.4 19.4 3.5
Abril 6.9 21.3 60 52 7.3 19.3 3.41
Mayo 5.4 20.5 55 52 8 18.6 3.09
Junio 3.8 22.6 53 52 8.2 17.9 2.98
Julio 2.5 22.8 48 52 8.7 18.9 3.11
Agosto 3.1 23.6 45 52 8.1 19.7 3.4
Setiembre 5.2 23.8 49 52 7.6 20.6 3.75
Octubre 6 22.3 49 52 6.5 19.9 3.72
Noviembre 6.3 21.5 54 52 7.3 21.2 3.85
Diciembre 6.6 21.6 57 52 6.7 20.3 3.73
Promedio 5.7 21.7 54 52 7.2 19.5 3.46
75
Figura.55. Temperaturas máximas y mínimas de Huaraz. Fuente: elaboración propia.
Figura.56. Precipitaciones medias mensuales en Huaraz. Fuente: elaboración propia.
76
Anexo III: AREA GLACIAR EN EL PERÚ
Figura.57. Distribución de las 19 Cordilleras nevadas de Perú. Fuente: UGRH.
Cuadro 11: Inventario de glaciares en Perú a 1989 . Fuente: Hidrandina S.A.
Distribución de las 19 Cordilleras nevadas de Perú
1.- Blanca
2.- Huallanca
3.- Huayhuash
4.- Raura
5.- Huagoruncho
6.- La Viuda
7.- Central
8.- Huaytapallana
9.- Chonta
10.- Ampato
11.- Urubamba
12.- Vilcabamba
13.- Huanzo
14.- Chila
15.- La Raya
16.- Vilcanota
17.- Carabaya
18.- Apolobamba
19.- Volcánica
77
Anexo IV: RETROCESO GLACIAR
Figura.58 Retroceso del glaciar Chacaltaya. Fuente: UGRH
Figura.59. Retroceso del glaciar Broggi. Fuente: UGRH.
78
Figura.60. Retroceso del glaciar Pastoruri. Fuente: UGRH.
Figura.61. Retroceso del glaciar Yanamarey. Fuente: UGRH.
79
Anexo V: ANALISIS DE CORRELACIÓN DE LAS AREAS OBTENIDAS CON SIG Y
MULTIFRACTALES
Cuadro12: Áreas del Glaciar Huandoy+ obtenidas con SIG y Multifractales en Km2.
Fuente: elaboración propia.
AÑO SIG MULTIF Diferencia 1987 70.77 73.16 -2.39
1988 81.45 81 0.45
1989 79.55 78.31 1.24
1990 67.41 72.16 -4.75
1991 65.39 70.64 -5.25
1992 78.91 79.28 -0.37
1993 73.5 77.49 -3.99
1994 76.18 78.25 -2.07
1995 71.03 75.79 -4.76
1996 74.54 77.72 -3.18
1997 66.76 67.01 -0.25
1998 79.28 81.21 -1.93
1999 73.41 75.67 -2.26
2000 75.48 76.51 -1.03
2001 78.12 81.08 -2.96
2002 68.41 70.28 -1.87
2003 78.3 79.8 -1.5
2004 69.14 71.98 -2.84
2005 69.26 72.42 -3.16
2006 80 82.25 -2.25
2007 69.82 71.58 -1.76
2008 76.79 83.03 -6.24
2009 61.62 61.37 0.25
2010 59.89 60.21 -0.32
2011 61.85 62.38 -0.53
Promedio de diferencias -2.149
Desviación estándar de diferencias 1.885
80
ANALISIS ESTADÍSTICO
Cuadro13: Correlación para el glaciar Huandoy+
Parámetro SIG MULTIFRACTALES Promedio 72.27 74.42 Desv.estandar 6.24 6.48 Coef.asimetria -0.39 -0.83 Coef.correlación 0.957 t calculado -0.63753 t tabular 2.014
Prueba de T como muestras relacionadas o pareadas Ho: Ud = 0
Ha: Ud ≠ 0
Donde Ud = promedio de las diferencias entre las áreas obtenidas por SIG vs
Multifractales.
67 �8 9:;<=>�; >= >��=:=?@�AB 8
�=BC.=BEá?>A: >= >��=:=?@�AB�
G.+�H
+.IIJ� 1.14
Conclusión: como Tc (1.14) < Ttabular, (2.014) entonces se acepta H0 y se rechaza
Ha.
El Coeficiente de correlación: 0.957 es alto.
Estadísticos de muestras relacionadas
72.2744 25 6.24149 1.24830
74.4232 25 6.48049 1.29610
SIG
MULTI
Par 1Media N
Desviacióntíp.
Error típ. dela media
Correlaciones de muestras relacionadas
25 .957 .000SIG y MULTIPar 1N Correlación Sig.
81
Cuadro14: Áreas del Glaciar PASTORURI+ obtenidas con SIG y Multifractales en
Km2
AÑO SIG MULTIF Diferencia 1987 8.21 8.03 0.18
1988 12.34 11.17 1.17
1989 9.97 9.09 0.88
1990 8 6.92 1.08
1991 7.53 6.77 0.76
1992 8.69 8.62 0.07
1993 8.32 8.23 0.09
1994 8.9 8.8 0.1
1995 8.2 8.07 0.13
1996 8.79 8.9 -0.11
1997 6.35 6.8 -0.45
1998 8.91 9.12 -0.21
1999 8.5 8.36 0.14
2000 9.15 10.38 -1.23
2001 8.697 8.73 -0.033
2002 7.89 7.78 0.11
2003 8.97 8.67 0.3
2004 7.87 7.91 -0.04
2005 7.95 7.65 0.3
2006 8.96 9.46 -0.5
2007 8 8.2 -0.2
2008 8.82 8.54 0.28
2009 7.17 6.07 1.1
2010 7.05 6.25 0.8
2011 7.22 6.90 0.32
Promedio de diferencias 0.201
Desviación estándar de diferencias 0.550
82
Cuadro15: Correlación para el glaciar Pastoruri+
Parámetro SIG Multifractales
Promedio 8.42 8.22
Desv.estandar 1.14 1.20 Coef.asimetria 1.50 0.31 Coef.correlación 0.891 t calculado -0.957 t tabular 2.014
Ho: Ud = 0
Ha: Ud ≠ 0
Donde Ud = promedio de las diferencias entre las áreas obtenidas por SIG vs
Multifractales.
67 �8 9:;<=>�; >= >��=:=?@�AB 8
�=BC.=BEá?>A: >= >��=:=?@�AB�
&.G&+
&.JJ&� 0.367
Conclusión: como Tc (0.367.) < Ttabular, (2.014) entonces se acepta H0 y se
rechaza Ha.
El Coeficiente de correlación: 0.891 es alto.
Estadísticos de muestras relacionadas
8.4183 25 1.13716 .22743
8.2168 25 1.20319 .24064
SIG
MULTI
Par 1Media N
Desviacióntíp.
Error típ. dela media
Correlaciones de muestras relacionadas
25 .891 .000SIG y MULTIPar 1N Correlación Sig.
83
Anexo VI: CRONOLOGÍA REFERIDA AL CAMBIO CLIMÁTICO
- 1896 SOCIEDAD DE FÍSICA DE ESTOCOLMO: el químico y físico Svante Arthenius,
argumentaba que una reducción o un aumento del 40% de la concentración de dióxido de
carbono, podía provocar perturbaciones en el clima que explicarían el avance o retroceso
de los glaciares.
- 1972 CONFERENCIA DE LAS NACIONES UNIDAS SOBRE EL MEDIO
AMBIENTE (CNUMA): Proclama la protección y mejoramiento del medio ambiente,
con aplicación de medidas y políticas ambientales.
- 1975 PROGRAMA DE INVESTIGACIÓN ATMOSFÉRICA GLOBAL (GARP): Se
define el sistema climático, sistema formado por la atmósfera, hidrósfera, hidrósfera, la
criósfera, litósfera y biósfera.
- 1982 CONFERENCIA DE LA ONU (CONU)-KENIA: Intento que se convirtiera en la
Cumbre de la Tierra.
- 1985 CONVENIO DE VIENA: Se prepara el Convenio marco para la protección de la
Capa de Ozono.
- 1987 PROTOCOLO DE MONTREAL: EE.UU. y 23 países firmaron este protocolo para
reducir los Clorofluorcarbonatos – CFC, sustancia química que destruye la capa de
ozono.
- 1988 PANEL INTERGUBERNAMENTAL SOBRE CAMBIO CLIMÁTICO-IPCC: Da
a conocer sobre el estado y evolución del sistema climático y acerca de los impactos
producidos sobre éste por las actividades humanas.
- 1992 CUMBRE DE LA TIERRA – Brasil: Se reunieron 179 países y marcó un hito al
producir acuerdos que trataban integralmente los temas ambientales globales e incorporan
el desarrollo sostenible como meta principal.
- 1997 PROTOCOLO DE KYOTO: Acuerdo legal bajo el cual los países industrializados
deben reducir sus emisiones colectivas de seis gases de efecto invernadero en un 5.2 %
para el período 2008-2012.
- 2009 CUMBRE DE COPENHAGUE: En el primer capítulo del acuerdo dice que la
Comunidad Internacional se compromete a evitar que la temperatura suba dos grados con
respecto a los niveles pre industriales (año 1 800). Los países industrializados deberán
aportar anualmente 72 000 millones de euros a partir del año 2020 en ayudas para que los
países más desfavorecidos puedan prepararse para el cambio climático.