UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE...

UNIVERSIDADNACIONALAUTÓNOMADENICARAGUA-LEÓN

FACULTADDECIENCIASDELAEDUCACIÓNYHUMANIDADES

DEPARTAMENTODEMATEMÁTICA

“GUÍASDIDÁCTICASPARARESOLVERPROBLEMASCOMPLEJOSDELASMATEMÁTICASDE

SECUNDARIA”

MONOGRAFIA

Presentadapor:

“PROF.ERNESTORAMÓNBERRÍOSSALAZAR”

Previoparaoptaraltítulode:

“LICENCIADOENCIENCIASDELAEDUCACIÓN,MENCIÓNMATEMÁTICAEDUCATIVAY

COMPUTACIÓN”

TUTORES:MSC.MIGUELANGELCALDERATORRES

MSC.PABLOANTONIODUARTE

León,Nicaragua,C.A.

2011.

DEDICATORIA

MiTrabajoMonográficolodedicoa:

ADios,seromnipotentecreadordetodoconocimientoydetodafuentedesabiduría.

A mi mamá, Lic. Felicitas Amanda Salazar Pereira (q.e.p.d.) y hermano MSc. Antonio

Boanerge Berrios Salazar (q.e.p.d.), a quienes les otorgo el honor de ser mi fuente de

inspiración,ejemploaseguir;sincuyoamoryapoyonohubiesesidoposibleculminarmi

preparaciónyalcanzaresteproyecto.

Amihijo,esposaymishermanosporsuapoyoincondicional.

EspecialmenteaMayradelSocorroReyesdeChávez,suesposoAlbertoFranciscoChávez

ReyesyaRosaHaydeeReyesquesinsuapoyonohubiesellegadohastaaquí,queelSeñor

lesbendigayderramemuchasbendicionessobreellos.

AGRADECIMIENTO

Miagradecimientoa:

Dios,porpermitirmeculminarconlamonografíayregalarmelavoluntaddecontinuaren

miluchaporsercadadíamejor.

AlosProfesoresMiguelCalderayPabloDuarte,mistutores,porsuapoyoydedicaciónen

mitrabajo,porcontribuiraléxitodeestamonografía.

AMayradelSocorroReyesdeChávez,suesposoAlbertoFranciscoChávezReyesyaRosa

Haydee Reyes por los consejos y apoyo después del deceso de mi mamá y hermano, les

estoy infinitamenteagradecidos,queelSeñor lesbendigayderramemuchasbendiciones

sobreellos.

AmitíoFernandoRamónSalazarPereirayhermanoLenínRamónBerríosSalazarporsu

apoyoenlacapacitaciónadocentesdeMatemáticasenChinandega.

INDICE

Contenidos

Págs.

I Introducción________________________________________________________________________ 1

II Antecedentes_______________________________________________________________________ 2

III Justificación_________________________________________________________________________ 4

IV Objetivos__________________________________________________________________________ 5

V MarcoTeórico______________________________________________________________________ 6

VI Propuestadeguíasdidácticas___________________________________________________ 146.1 Guía No 1: Propiedades de exponentes y radicales, valor numérico y

expresionesalgebraicasysusoperaciones_____________________________________16

6.2 GuíaNo2:Métodosdefactorización_____________________________________________ 266.2.1 Factorcomún_____________________________________________________________________ 266.2.2 Métodosdeidentidades__________________________________________________________ 286.2.3 MétododeAspas________________________________________________________________ 286.2.4 Métodosdereducciónadiferenciadecuadrados______________________________ 316.2.5 Métodosdesumasyrestas________________________________________________ 326.2.6 Métodosdecambiosdevariable________________________________________________ 326.2.7 Métodosdefactorizaciónrecíproca_____________________________________________ 336.2.8 Métodosdefactorizaciónsimétricayalternada________________________________ 346.2.9 Métododefactorizaciónporevaluación________________________________________ 366.3 GuíaNo3:EcuaciónCuadrática________________________________________ 386.3.1 Casoparticulardelaecuacióncuadrática______________________________________ 436.3.2 Ecuacionesbicuadráticas,diversas,usodecambiodevariable______________ 446.3.3 FórmuladeVieta________________________________________________________________ 466.4. GuíaNo4:Sistemasdeecuaciones______________________________________________ 516.4.1 SistemasformadoporecuacionesdelaformaAX2+BXY+CY2=F_______ 516.4.2 Sistemassimétricos______________________________________________________________ 536.4.3 Sistemasumayproductoderaíces,usodevariablesauxiliares______________ 546.4.4 Casoenqueunaecuaciónsepuedefactorizarylaotraesunfactor_________ 586.4.5 Sistemadeecuaciones,métodoscambiodevariable__________________________ 606.5 GuíaNo5:Ecuacionesirracionales_______________________________________________ 62

VII Reflexionesalaluzdeunapuestaenprácticadelasguías____________________ 66

VIII Conclusiones_______________________________________________________________ 67

IX Recomendaciones_______________________________________________________________ 68

X Bibliografía_______________________________________________________________ 69

XI Anexos______________________________________________________________ 71

GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA

MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 1

I-INTRODUCCIÓN

Para iniciar a escribir una monografía es necesario estar consientes de la necesidad que

tendrá su contenido ante la resolución de un determinado problema. Después de largo

tiempodepreparación,presentoestematerialconunatemáticadegranimportanciaenla

enseñanza-aprendizajedealgunostemasypropiedadesdelamatemática.

Pongoensusmanoselpresentedocumentoconalgunasguíasdidácticasqueayudarána

resolver ejercicios complejos de las matemáticasde secundaria, en ella encontramos una

grangamadeejemplosyejerciciospropuestosquehacenreferenciaaalgunaspropiedades

elementales,porlamayoríaconocidas,aplicándolasdemaneracomplejayconmétodosde

resoluciónsencilla.

Cada guía presente en este documento está basada en libros de textos de gran seriedad,

entre ellos tenemos: álgebra manual de preparación pre-universitaria, álgebra editores

Arrayan, reconocidos por expertos en la materia, con muchos años de experiencia, que

llevanloscontenidosexpuestosaunnivelmásprofundo.

Estamosen presencia de unmaterial que permite profundizar en algunos contenidos del

álgebra(ecuaciones,potenciaciónyradicales),sinolvidarqueestaráenmanos,nosólode

docentes,sinotambiéndealgunosdiscentesinteresadosyqueanteesasituaciónsevela

necesidaddeunaexplicaciónconlenguajematemáticoentendibleparaelinteresadoenla

materia.

Cadaguíaestádestinadaaserpartedelplandeclasedecualquierdocenteenelmomento

que desee utilizarlo como banco de ejercicios, tratando de llevar algo nuevo y de gran

utilidadparasusestudiantes.



II-ANTECEDENTES:

Ennuestropaís,segúnelprogramadeestudiodeláreadematemática, losestudiantesse

introducen al estudio del álgebra en el octavo grado en educación secundaria,

comprendiendoduranteesteylosposterioresgradoslasiguientetemporalización:

Grado Tiemposugerido(horasclase)

Séptimo O/140

Octavo 42/140

Noveno 36/140

Décimo 44/140

undécimo 42/140

TOTAL 164/700

Estudiodeálgebraysustemasafineseneducaciónsecundaria

Como podemos observar en el cuadro anterior de un total de 700 horas clase,

implementadasparaeláreadematemáticadurantelaeducaciónsecundariasolamente164

de ese total se destinan al estudio del álgebra, es decir, nuestros conocimientos en este

campo del pensamiento numérico son limitados, no sólo por el tiempo dedicado a su

estudio sino también por la profundidad con la que se abarcan estos contenidos,

quedándose en operaciones sencillas, al producto notable, sistemas de ecuaciones, entre

otros;sinmencionarquegeneralmenteusamosmétodostradicionales,yaseaportemora

otrosmétodosmáscomplejosoporlasencillacausadenocontarconunmaterialdidáctico

quenosbrindediversidaddeejerciciosytécnicassimplesparasuresolución.

El programa de educación de secundaria abarca la siguiente temática en factorización:

Factor común, factorización de trinomios de la forma ax2 + bx +c, trinomios cuadrados

perfectos, diferencia de cuadrados y suma y diferencia de cubos; con respecto a las

ecuaciones:ecuacioneslineales,cuadráticasyconradicales;yenrelaciónalossistemasde

ecuacionesse abordansolamente lossistemas linealescon2y3 incógnitas,paraesto los



métodosderesoluciónestudiadosson:sustitución,igualación,reducción,Kramer,Sarrus,

menoresycofactoresyGauss.

Siguiendoporloscamposuniversitarios,porejemploenlaUNAN-León,elálgebraaparece

con ecuaciones lineales, cuadráticas, entre otras; y a ser estudiada en un corto periodo

durante el curso de matemática básica en correspondencia con la carrera a la que el

estudiantehaaspirado,entodocasonomuchasvecesnosencontramosantelaresolución

deejerciciosmeramentecomplejos.

Hasta el momento en nuestra Facultad son muchos los proyectos de investigación

orientados al campo de las guías metodológicas, sin embargo ninguna en particular ha

hechomenciónaproblemascomplejosyaproponerloscomoopciónparalaenseñanzayel

aprendizajeennuestrasaulasdeclase.



III-JUSTIFICACIÓN

Esbiensabidoquelaeducacióndenuestropaís,enrelaciónconpaísesdesarrollados,es

sumamente deficiente, sin embargo hacer el esfuerzo por cambiar esa situación debe ser

una tarea de todos. Además, comodocentesde matemática debemosemprender la lucha

porlabúsquedadenuevasmetodologíaseducativasquefortalezcanlaeducación.

Mi visión de este documento radica en la mejora de la calidad de estudio de las

matemáticas en la educación media, implementando ejercicios que estimulen el

pensamiento, creatividad y razonamiento matemático, dejando atrás los métodos

tradicionales.

Medianteelusodeestematerialsepodránbeneficiartantoadocentesyestudiantes,dando

unagrangamadeejerciciosdematemáticasparalaprácticaeducativaennuestrasaulasde

clase,ytambiénquenuestropaíspuedaserrepresentadoanivelinternacional,dandouna

mejorperspectivadesucalidadeducativa.

Estamonografíaesunarecopilaciónde loscasosquenoseabordanen elprogramade

secundaria del área de matemática en la educación media y que si lo abordan en la

EscueladeJóvenesTalentosdeNicaraguayotrospaíses,yademássetomanencuentaen

lasolimpiadasinternacionalesdematemática.

En vista de lo anteriormente expuesto, en las presentes “Guías didácticas para resolver

problemascomplejosdelasmatemáticasdesecundaria”,seproponenejerciciosresueltos

más complejos, tratando de llegar a los docentes para que transmitan este tipo de

ejerciciosasusestudiantes.



IV-OBJETIVOS

OBJETIVOGENERAL:

Proponer guías didácticas que permitan resolver ejercicios complejos de matemática de

secundaria no abordados en los programas establecidos por el Ministerio de Educación

(MINED)conmétodosfácilesymuypocostradicionales.

OBJETIVOSESPECÍFICOS:

Presentar una gran variedad de ejercicios resueltos de valor numérico,

factorización,ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicalesparala

práctica y el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje de los temas que se

desarrollaran.

Brindar metodologías para resolver ejercicios con: valor numérico, factorización,

ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicales.

Despertar el razonamiento lógico y creativo de los estudiantes a través de la

resolucióndeejerciciosmatemáticoscomplejosconprocedimientossencillos.

Profundizar en el estudio de propiedades y teoremas fundamentales propios de

temasafinesalálgebraquesonevaluadosenolimpiadasanivelinternacionalysus

derivados.



V-MARCOTEÓRICO

Álgebra:“es laramade lamatemáticaqueestudia lacantidadconsideradadelmodomás

generalposible”,AurelioBaldor(álgebraA.Baldor,pág.5)

SegúnCarreñoC.X.,yCruzS.X.,(Álgebra,Pág.11)quienesnosdefinen:términoalgebraico,

expresiónalgebraica,binomio,trinomioypolinomioscomo:

“Sellamatérmino(algebraico)aunconjuntodenúmerosyletrasqueserelacionanentresí

pormediodelamultiplicacióny/odivisión.”

“SellamaEXPRESIÓNALGEBRAICAacualquiersumaorestadetérminosalgebraicos.Sila

expresión tiene dos términos, entonces es un BINOMIO; si tiene tres términos se llama

TRINOMIO; si tienecuatroo más, hablamos de POLINOMIOS. (El término POLINOMIO se

puedeusarenformageneralparacualquierexpresiónalgebraica.)”

Sin embargo las expresiones algebraicas pueden estar dentro de signos radicales y tener

exponentes,asítambiénuntérminoalgebraicotienesuspartescomoloencontramosenel

libro Fórmulas Matemáticas pág. 55 y en el libro álgebra manual de preparación

preuniversitariapágs.14y15.

AdemásAurelioBaldor(Álgebra,Pág.23)nosdefinevalornumérico:“Valornuméricode

una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores

numéricosdadosyefectuardespuéslasoperacionesindicadas.”

En las matemáticas no sólo existen medios didácticos con los métodos numéricos para

resolver un ejercicio, también encontramos material encausado a la forma adecuada de

transmitiralosestudiantesdichosprocedimientos;enellibroparaelmaestromatemáticas

secundaria,págs.12–14,secitanlosprópositosdelestudio,laenseñanzayelaprendizaje

delasmatemáticasenlaeducaciónsecundariaqueconcistenen:“Desarrollarhabilidades,

PromoveractitudespositivasyAdquirirconocimientosmatemáticos”



Támbien hace una reflexión de la importancia del estudio y nos dice: ” Estos propósitos

formanuntodoenrelacióndialéctica,esdecir,queelavanceoretrocesodeunodeellos

repercute,dealgunamanera,enotro.”

“Enlaeduciónsecundariadebuscadesarrollas,entreotras:

La habilidad de calcular, que consiste en establecer relaciones entre las cifras o

términosdeunaoperaciónodeunaecuaciónparaproduciroverificarresultados.

Lahabilidaddeinferir,queserefierealaposibilidaddeestablecerrelacionesentre

los datos explícitos e implícitos que aparecen en un texto, una figura geométrica,

unatabla,gráficaodiagrama,pararesolverunproblema.

La habilidad de comunicar, que implica utilizar la simbología y los conceptos

matemáticosparainterpretarytransmitirinformacióncualitativaycuantitativa.

Lahabilidaddemedir,queserefiereaestablecerrelacionesentremagnitudespara

calcularlongitudes,superficies,volúmenes,masa,etcétera.

La habilidad de imaginar, que implica el trabajo mental de idear trazos, formas y

transformacionesgeométricasplanasyespaciales.

La habilidad de estimar, que se refiere a encontrar resultados aproximados de

ciertasmedidas,deoperaciones,ecuacionesyproblemas.

La habilidad de generalizar, que implica el descubrir regularidades, reconocer

patronesyformularprocedimientosyresultados.

La habilidad para deducir, que se refiere a establecer hipótesis y encadenar

razonamientosparademostrarteoremassencillos.”

Conrespectoapromoveractitudespositivasencontramos:

“Losvalores de las personasse expresan de diversas manerasy por distintosmedios; lo

que hacemos, decimos, sentimos y pensamos refleja de alguna manera los valores que

hemosasumidoenlavida,estasexpresionessemanifiestanpormediodelasactitudes.

Por actitud entendemos la conducta que se manifiesta de manera espontánea. En este

sentidonosinteresaquelosestudiantesmuestreninterésantelasmatemáticas,paraello,

enydesdelaclasedematemáticasesnecesariofomentaractitudescomo:



Lacolaboración,queimplicaasumirlaresponsabilidaddeuntrabajoenequipo.

Elrespetoalexpresarideasyescucharlasdelosdemás.

Lainvestigación,quesignificabuscaryverificardiferentesestrategiaspararesolver

problemas.

La perseverancia la entendemos como el llevar a buen término el trabajo aun

cuandolosresultadosnoseanlosóptimos.

La autonomía al asumir la responsabilidad de la validez de los procedimientos y

resultados.”

Yporúltimoenadquirirconocimientosmatemáticosencontramos:

“LostemasmatemáticosqueseestudianenlaeducaciónsecundariasepresentanenelPlan

yprogramasdeestudio.Educaciónbásica.Secundariaagrupadosencincoáreas:

Aritmética

Álgebra

Geometría(eneltercergradoseagregatrigonometría)

Presentaciónytratamientodelainformación

Nocionesdeprobabilidad”

Lo más importante en el estudio de las matemáticas es el papel que juega el resolver

problemas y esta la lucha por cambiar la forma tradicional en que se imparte, como lo

encotramosenellibroparaelmaestromatemáticassecundaria,págs.15-17.

“Con lapropuestaactual se intentasuperar el estilodocente fuertementearraigadoen el

quelosproblemassonellugardeaplicacióndelosprocedimientosytécnicasaprendidas

previamente,esdecir,unestilodocenteenelqueelprofesorresuelveproblemasfrentea

losalumnosyéstossólotratandereproducirloquehaceelprofesor.

Durante mucho tiempo imperó la idea que el aprendizaje de las matemáticas se logra

proporcionando a los alumnos primero definiciones y procedimientos de problemas

modelo explicados por el profesor, o tomados de un libro de texto, haciendo que



posteriormente los alumnos ejerciten una y otra vez dichos procedimientos hasta lograr

quelospuedanrepetirconelmínimodeerrores.

Unaprendizajesignificativodelasmatemáticasnopuedereducirsealamemorizaciónde

hechos,definicionesyteoremas,nitampocoalaaplicaciónmecánicadeciertastécnicasy

procedimientos.

Conbaseenlapropuestacurricularactualsepretendearribaraunestilodocenteenelque

elprofesororganiceelprocesodeestudioanalizandoyeligiendosituacionesproblemáticas

paradejarlasenmanosde losestudiantesyunavezqueéstoshanencontrado formasde

resolverelproblema,favorezcalasocializaciónyconfrontaciónparaseguiravanzando”

Ymásaúnsugierequeparaalcanzareldesafioderealizarloscambiosesnecesarioquelos

problemasqueseproponganalosestudiantescontemplen:”

Sean para ellos un reto interesante y provoquen rápidamente una actitud de

búsqueda,orientadaaproponerconjeturasyposiblesestrategiasderesolución.

Les permita explorar las relaciones entre nociones conocidas y posibilite avanzar

hacialacomprensiónyasimilacióndenuevosconocimientos.

Contengan los elementos que permitan validar sus propias conjeturas,

procedimientosysoluciones,odesecharlascuandoseanincorrectas.

Enfrentaralosestudiantesaproblemaspropiciaque:

Construyan sus conocimientos al usar estrategias convencionales y no

convencionalesquelosresuelvan.

Apliquenyprofundicenlosconocimientosadquiridosanteriormente.“

Y es por tanto que el docente tradicionalista puede hacer cambios en sus métodos de

enseñanza y actualizarse continuamente, como se cita en acta Latinoaméricana de

matemáticaeducativa,pág.1138:



“La educación continua para el profesorado es un proceso que trasciende la propia

disciplinadeldocenteparaorientarsehaciaunaformación integral,quenose limitaaun

espacio o edad determinada; que debe ser accesible para todos y que debe estar

comprometidaconeladecuadodesarrollodecadaindividuo.”

Yenel libroescuelaparamaestrosenciclopediadepedagogiapráctica ensupág.829se

aborda: “ La utilización de problemas en la enseñanza debe desarrollarse en la práctica

concretadeunmodotalquelosestudiantes:

Tengan un interés genuino por resolver las situaciones problemáticas que se les

presentan.

Las comprendan y analicen para formular soluciones viables, por tratarse

generalmentedesituacionescomplejasyconfusas.

Identifiquentanto loquesabencomo loquenosaben,paraformularunasolución

viable.

Formulen soluciones alternativas, seleccionen aquella que sea la más apropieda y

luegolaexpongan.”

La participación del profesor es fundamentalen esta propuesta didáctica y así evitar los

métodostradicionales;cambiandotambienlastareasdelprofesor.

Donde, “la actividad central del profesor de matemáticas comprende los siguientes

aspectos:

Le corresponde seleccionar y en su caso adecuar losproblemas y actividades que

propondráalosalumnos.

Plantealosproblemas.

Organizaycoordinaeltrabajoenelaula.

Proponenuevosproblemasocontraejemplos,esdecir,problemasquecontradigan

lashipótesisde losestudiantes, favoreciendo lareflexióny labúsquedadenuevas

explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los

conocimientosmatemáticos.



Contribuyeaaclararconfusiones.

Promueveycoordinaladiscusiónsobrelasideasquetienenlosestudiantesacerca

delassituacionesqueseplantean,mediantepreguntasquelespermitanconocerel

porquédesusrespuestas.

Participa como fuente de información y para vincular los conceptos y

procedimientospropiosdelosestudiantesconellenguajeconvencionalyformal.”;

libroparaelmaestromatemáticassecundariapágs.25y26

EnunadelascapacitacionesrecibidaporelInstitutoNacionalTecnológico,INATEC,enel

módulo formativo II planificación del proceso de aprendizaje del año 2011, haciendo

referenciaalaprendizajeysusprincipiosqueson:“

La motivación. El estudiante aprende mejor cuando sabe que va a aprender. La

máximamotivaciónparaelaprendizajesealcanzacuandolatareanoesdemasiado

fácilnidemasiadodíficilparaelparticipante.

Actividaddelosestudiantes.Laparticipaciónalientaalparticipanteyposiblemente

permite que participen más sus sentidos, lo cual refuerza el proceso y se puede

recordarloaprendidodurantemástiempo.

Repetición. Aunque no sea considerada muy entretenida, es posible que la

repetición deje trazos más o menos permanente en la memoria. Cuanto más se

prácticayrepiteloaprendido,tantomássearraigaelcontenidodelaprendizaje.

Relevancia.Elaprendizajerecibeungranempujecuandosehacerealoalmenosen

unambientelomásparecidoalarealidad.

Efecto. Toda persona tiende a repetir las conducta sastisfactoria y a evitar las

desagradables

Cambios de técnicas. El aprendizaje se hace más fácil cuando hay variedad en las

técnicasdeaprendizaje.

Conocimiento empírico. El conocimiento nuevo se aprende de forma más eficaz

cuandosefundamentaenloqueyasabeelestudiante.”



Es indispensable que cuando se lleva un aprendizaje nuevo a los estudiantes, el docente

debaconocerlaasimilacióndeésteduranteelproceso,esporellolanecesidaddeteneren

cuentaloquellamamos“evaluacióndelaprendizaje”,yesquealmomentodeevaluarnose

tratasolamentedeobtenerunanotacuantitativaparaelestudiante,sinotambiéndetener

información clave sobre las debilidades y fortalezas que se han adquirido con el nuevo

conocimiento.

Es por ello que una evaluación adecuada de los aprendizajes, debe cumplir con las

característicassiguentes:

Permanente: debe estar presente durante todo el proceso de aprendizaje, con el

propósito de detectar dificultades y causas para tomar las decisiones pertinentes

antesqueelmismoconcluya.

Integral: toma en cuenta todos los aspectos importantes del proceso; contenidos,

métodos,bibliografía,recursos,característicasdelosestudiantes;consideradosen

losobjetivosyenlaintegralidaddeldesarrollohumano.

Particiativa:involucraalacomunidadeducativayjuntoscompartenlaexperiencia

devalorarloslogrosydificultades,detomarcompromisosyresonsabilidadessobre

losresultadosobtenidosydelasmedidasquedebenaplicarse.

Criterial: esta orientada por criterios de evaluación que se convierten en puntos

críticos de referencia respecto al grado de adquisición o desarrollo de las

competenciasasimiladasporelparticipante.

Flexible:seadecuaalascaracterísticasdelosparticipantesycircunstanciasenque

sedesarrollaelprocesodeaprendizaje.

Ética: es la que pone en juego los valores, principios morales del docente y

participante.

Además de las características anteriores una evaluación correcta del aprendizaje, debe

cumplirconlascondicionessiguientes:

Validez:implicaquetantolacompetenciaycontenidosaevaluarseanclarosparael

docentecomoparaelparticiante.



Objetividad:requiereutilizarmétodosclarosyobjetivos.

Equidad:consisteenevitarcualquierprácticadiscriminatoria.

Flexibilidad:seadaptaalasnecesidadesdeevaluacióndelosparticipantes.

Confiabilidad: permite la obtención de resultados consistentes que demuestren

veracidad en el juicio de la evaluación, asegurando su calidad, mediante la

verificacióndelproceso.

Enrespuestaalapermanenciaenlaevaluacióndelaprendizaje,elMinisteriodeEducación,

ensuNormativadeEvaluacióndelosAprendizajesparalaEducaciónBásicayMediaenel

capítulo II, de las funciones, acciones y características generales de la evaluación del

aprendizaje,nosdice:

”Arto.6.–FuncionesdelaEvaluacióndelosAprendizajes

a. Función diagnóstica: el estado inicial de las y los estudiantes en las áreas del

desarrollo humano: cognoscitiva, socio afectiva y psicomotriz, a fin de facilitar la

aplicacióndeestrategiasmetodológicasypedagógicasadecuadas.

b. FunciónFormativa:brindainformaciónnecesariayoportunaparatomardecisiones

quereorientenlosprocesosdeaprendizajedelasylosestudiantesylasestrategias

didácticasutilizadas.

c. Función Sumativa: fundamenta la calificación y certificación de los aprendizajes

alcanzadosporlasylosestudiantes.”

GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 14

GUÍAY

NOMBREDE

LAUNIDAD

COMPETENCIAS CONTENIDO PROCEDIMIENTOS TIEMPO

N°1

Introducción

alálgebra

- Interpreta y utiliza el

lenguaje algebraico en

situaciones de la vida

diaria

- Realiza operaciones con

radicales y expresiones

algebraicas

Propiedadesdeexponentesy

radicales, valor numérico,

expresionesalgebraicasysus

operaciones.

-Recordarlaspropiedadesdelosexponentes

yradicalesenlaunidaddeNúmerosReales.

-Resuelver ejercicios y utilice las

propiedadesdelosexponentesyradicales

-Observar y reforzar la participación,

comunicación,sentidocríticoyrespetoenlas

ylosestudiantesalemplearcorrectamenteel

valor numérico en actividades de la vida

cotidiana.

12hrs.

N°2

Factorización

- Aplica los

procedimientos de

factorización,

identificando las

características de cada

caso.

MétodosdeFactorización. - Verificar que las y los estudiantes

establecen una relación coherente, entre los

tipos de factorización y su solución de

acuerdoasuspropiascaracterísticas

Observar y estimular la participación antiva

de las y los estudiantes en cuanto al

reconocimiento de los métodos de

factorización

24hrs.

VI-PROPUESTADEGUÍASDIDÁCTICAS

GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 15

GUÍAY

NOMBREDE

LAUNIDAD

COMPETENCIAS CONTENIDO PROCEDIMIENTOS TIEMPO

N°3

Ecuaciones

-Analiza las

características y

propiedades de los tipos

deecuacionescuadráticas

y fórmula de Vieta al

formular y resolver

ejercicios.

EcuaciónCuadrática -Verificarelgradodeasimilacióndelasylos

estudiantes en la solución de ecuaciones

cuadráticas por los diferentes métodos de

solución y la fórmula de Vieta; así como el

establecimiento de relaciones democráticas,

igualdadyfraternidad.

-Constatar el grado de asimilación de las y

los estudiantes en la solución de ecuaciones

cuadráticas.

10hrs.

N°4

Sistemasde

ecuaciones

-Resuelve ejercicios

vinculados con sistemas

de ecuaciones lineales y

cuadráticas de dos

variables.

Sistemasdeecuaciones -Comprobar que las y los estudiantes

resuelvenejerciciosde losdistintostiposde

sistemas de ecuaciones lineales y

cuadráticas.

-Verificar la práctica de responsabilidad,

disciplina, perseverancia, integración en las

clases,asícomoelrespetoyvaloraciónalas

ideasdelasylosdemás.

10hrs.

N°5

Ecuaciones

conradicales

-Resuelveecuaciones

irracionales

EcuacionesIrracionales -Comprobar que las y los estudiantes

resuelven ecuaciones irracionales mediante

losmétodosadecuados.

5hrs.



GUÍAN°1PROPIEDADESDEEXPONENTESYRADICALES,VALORNUMÉRICO

YEXPRESIONESALGEBRAICASYSUSOPERACIONES

Introducción

Enestaguíaestudiaremosoperacionesconexponentesyradicales,expresionesalgebraicas

yvalornuméricodondeseplantearáejercicioshaciendoreferenciaalostemasexpuestos.

Indicadoresdelogros:

Conocelaspropiedadesdelosexponentes,radicales,valornuméricoyexpresiones

algebraicas.

Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelosexponentesyradicales,

asícomovalorelvalornuméricoyexpresionesalgebraicas.

Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos

compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.

PROPIEDADESDELOSEXPONENTESYDELOSRADICALES

0

1)

2)

3)

4)

5) 1; 0

16)

7)

m n m n

mm m

nm mn

mm n

n

n

n

n n

a a a

a b ab

a a

aa

a

a a

aa

a b

b a

8)

9) .

10)

11)

12)

13)

14)

nn

n

n n n

mn m n

n

nn

mn mn

n m nm

n n

a a

b b

a b a b

a a

a a

bb

a a

a a

a a



Términoalgebraico:Eslamínimaexpresiónalgebraicacuyaspartesnoestánseparadasniporelsignomásniporelsignomenos.Laspartesdeuntérminoalgebraicoson:

Expresiónalgebraica:Eselconjuntodenúmerosyletrasunidasentresíporlossignosdeoperación:más,menos,poryentre.

Ejemplo:

a) 4x2+5y2

b) �2� + �

Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresionesalgebraicas,sonfuncionestrascendentes.

VALORNUMÉRICO

El valor numérico deunaexpresiónalgebraica, para un determinado valor ,

es el número que se obtiene al sust i tuir en una expresión algebraica el

valor numérico dadoyreal izar lasoperaciones indicadas.

Gradodelpolinomio:

GradoAbsoluto:Eslasumamayordelosexponentesdelasvariablesdelostérminosdeunpolinomio.Ejemplo:P(x)=x4y7+3x3y5esdegradoabsoluto11vogrado

Grado Relativo: Es el de mayor exponente que presenta una misma variable de unpolinomio.Tambiénelgradorelativodeunmonomioeselgradodecadaletrademonomio.

Ejemplo

Expresión signo Coeficientenumérico literales Gradorelativo GradoAbsoluto

3x3y5 + 3 xy xesde3ergrado

yesde5togrado

3+5=8vogrado

-5x6y2z7 - 5 xyz xesde6togrado

yesde2dogrado

zesde7grado

6+2+7=15vogrado

Signo-4x3exponente

CoeficienteParteliteral



OPERACIONESCONRADICALES

Simplificar un radical: consiste en dejar la cantidad subradical con menor grado que el

índicedelaraíz.

Sumayrestaderadicales:consisteensimplificarlosradicalesdados;luegosereducenlos

radicalessemejantesescribiendoacontinuaciónlosradicalesnosemejantesconsupropio

signo

Mínimo común índice de los radicales: es encontrar el mínimo común múltiplo de los

índicesdelosradicales.

Multiplicación de radicales: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades

subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado.

Si los radicales no poseen el mismo índice, se reduce al mínimo común índice y se

multiplicancomoradicalesdelmismoíndice

Divisiónderadicalesdelmismoíndice:sedividenloscoeficientesentresiylascantidades

subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado.

Silosradicalesnoposeenelmismoíndice,sereducealmínimocomúníndiceysedividen

comoradicalesdelmismoíndice.

Racionalización:Consisteenconvertirunafracciónirracionalenunafracciónequivalenteracionalyaseaenelnumeradoroeneldenominador.

Paralaracionalizaciónesimportanterecordarque:

(x+y)(x–y)=x2–y2

(x+y)(x2–xy+y2)=x3+y3

(x–y)(x2+xy+y2)=x3–y3

(x+y+z)(x+y–z)=[(x+y)+z][(x+y)–z]=(x+y)2–z2

Dondelosfactoressellamanconjugados.Elconjugadode(x+y)es(x–y).

Índice de la raíz √125��

= 5� raíz

Signo radical cantidad subradical



EJEMPLONº1

Determinaelvalordelasiguienteexpresión ��

��

�

a) ��

��

��b)�

�

��

�c)4�d)4e)NDLA

SOLUCION:

�4�� − 4 �

15

�

= �4�4� − 4 �

15

�

= �4�(4� − 1)

15

�

= �4�. 15

15

�

= √4��= 4

Queeslaalternativad

EJEMPLONº2

Sedefinea*b=ab+3baentonces2*3es:

a)35b)89c)26d)31e)29

SOLUCION:

Comoobservamosa=2yb=3luego2*3=23+3.32→2*3=8+27=35

Queeslaalternativab

EJEMPLONº3

Elresultadode�2 + √3�

. �2 − √3�

es:

a)√7�

b)1c)2d)2√3�

e)–1

SOLUCION:

�2 + √3�

. �2 − √3�

= ��2 + √3�(2 − √3)�

= √4 − 3�

= √1�

= 1,queeslaclaveb



EJEMPLONº4

HallarelvalornuméricodelaexpresiónE=xz–y+y2z–xsix=2,y=1z=3

SOLUCION:

Sustituyendolosvaloresdex,y,ztendremos

E=23–1+12(3)–2

E=22+14=4+1=5

EJEMPLONº5

Hallarelvalornuméricode:E=��

;para��= �,ejerciciopropuesto(JTN-

2010)

SOLUCION:

Aplicandolapropiedadam+n=aman

� ��

=� �� .��

�

=� �� =� ��

= ��

��

=

��(�)�= ��

��

= 2� = 16

EJEMPLONº6

SiE=√�� + �� + ��hallarelvalornuméricodeE,paraa=1,b=2,c=3

a)1 b)2 c)7 d)6 e)5

SOLUCION:

SustituyendolosvaloresnuméricosenE,obtenemos:

E=√1� + 2� + 3��= √1 + 4 + 27

�= √32

�= 2queeslaalternativab



EJEMPLONº7

Hallarelvalornuméricodelaexpresión:E =��

��parax=3,y=2

SOLUCION:

SustituyendolosvaloresE =��

��=

��

�=

�

�

EJEMPLONº8

HallarelvalornuméricodeM=��

��

�� ;paraab=5

a)0.2 b)0.04 c)1.25 d)10 e)12

SOLUCION:

Aplicandolapropiedadamn=(am)n

M=��

��

��

��

��

�� sustituyendoab=5

M=��(�)�� (�)��

��

(�)�� (�)� =��.

�

��

�

��

��

��=

��

��

��

��=

��.��

��

��=

��

��= 12.5

QueeslaalternativaC

EJEMPLONº9

Calcularelvalornuméricode:W=(3x) 2y;para:x= √3��

a)27 b)729 c)3 d)81 e)NDLA

SOLUCION:

x= √3��

⟹x y=33-y⟹x y=��

�� ⟹3 y.xy=27⟹(3x) y=27

W=(3x) 2y⟹W=[(3x) y]2⟹W=[27] 2⟹W=729queeslaalternativab



EJEMPLONº10

Al racionalizar el denominador de la expresión �

√��

� √��

� √�� el resultado es:

a) √3�

+ √2�

b) √3�

− √2�

c) �

�(√3

�+ √2

�)

d) �

�(√3

�− √2

�)

e) �

�(√2

�+ √3

�)

EJEMPLONº11

La expresión ��

� + 2�

�� √�� − √2� �� + √4

�� es equivalente a:

a) �� − 2

b) �� + 4

c) �� − 4

d) �� + 2

e) ��

� + 2�

�

SOLUCIÓN:Elcasoesdelproductodelaforma

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)yelconjugadodelaexpresión

�√9�

+ √6�

+ √4�

�es(√3�

− √2�

),luego

�

√�� √�

�� √�

� =�

√�� √�

�� √�

� *√�

� � √��

√�� √�

�

=√��

� √��

�� =√3

�− √2

�queeslaalternativab

SOLUCIÓN:Multiplicandocadatérminodelaprimeraexpresiónconlostérminos

delasegundaexpresióntendremos

��

� + 2�

�� √��

− √2� ��+ √4

��=

�� − √2�

� √��

+ √4�

√��+ √2

�� √�

�− √4

�√��

+ 2�=

�� + 2,queeslaalternativad



EJEMPLONº12

Six=2+√2;elvalornuméricosdeE=x2+�

��es:

a)1 b)3 c)7 d)12 e)14

SOLUCIÓN:Primerovamosacalcularelvalordex2yluegolosustituimosenlaecuacióndeE

x2=(2+√2)(2+√2)=4+2√2+2√2+2=6+4√2=2(3+2√2)

AhorasustituyendoenE

E=6+4√2+�

�� √��=6+4√2+

�

�� √��,luegoracionalizandotendremos

6+4√2+�

�� √�� .

�� √��

�� √��=6+4√2+

�� √��

(�)��(� √�)�=6+4√2+

�� √�

��

E=6+4√2+6–4√2

E=12,queeslaalternativad

EJEMPLONº13

HallarelvalornuméricodeE=(xx–x–x)2+(xx+x–x)2–2(x2x–x–2x);parax=½

a)8b)4c)16d)2e)-4

SOLUCIÓN:

Seaa=xx,b=x–xsustituyendoenEyresolviendotendremos.

(a–b)2+(a+b)2–2(a2–b2)=a2–2ab+b2+a2+2ab+b2–2a2+2b2=4b2

Perob=x–xdevolviendoelvalortendremos

4(x–x)2=4(x–2x)=4(x–2(1/2))=4(x)–1=4(½) -1=4(2)=8queeslaalternativaa



EJEMPLONº14

Alresolver√�

√�� √�− √�

√�� √�seobtiene:

a)��

��b)

��

��c)

√�� √�

√�� √�d)√��

��e)

��

��

SOLUCIÓN:

√�

√�� √�− √�

√�� √�=

√��√�� √�� √�(√�� √�)

�√�� √��(√�� √�)=

�� √�� √��

��=

��

��

Queeslaalternativab

EJEMPLONº15

Laexpresiónequivalentea�� √�

�� √�es:

a)�� √�

�b)

�� √�

�c)

√�� √�

�d)

√�� √�

�e)1 + √3

SOLUCIÓN:

Racionalizandoeldenominadorde

�� √�

�� √�=

�� √�

�� √�.

�� √�

�� √�=

�� √��

��=

�� √�

�= 2 + √3

2 + √3 =�

�(4 + 2√3) =

�

�(3 + 2√3 + 1) =

�

�(√3 + 1)�

23 3 1 1 6 2

3 1 2 3 12 2 23 3

,queeslaalternativad



EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°1

1- Hallarelvalornuméricode 2 416 1 1 1 1 1E x x x x ,

parax=25Rta.5

2- Six=a b ,calcularelvalornuméricodeR=[xa+b–axa–bxb+2ab]88Rta.a88.b88

3- Si 4xxx ;

1

2yx ,hallarelvalornuméricode

x yxE x

Rta.2

4- Hallarelvalornuméricode

1

11

11

xxxFx x

x

, parax=0.1234Rta.1

5- Siab=1,obtenerelvalornuméricode:2 2

2 2

1 1

1 1

b aQ a b

a b

Rta.2

6- CalcularelvalornuméricodeE,six=2

2 4 8 16 32 64321 3 1 1 1 1 1 1E x x x x x x Rta.16

7- Hallarelvalornuméricode 13 3E m n , simn=2ym+n= 2 2 Rta. 2

8- Si3 32 1 2 1x ,Calcularelvalornuméricode 3 3 1E x x Rta.3

9- SiA=�

� √�� +

�

�√�,elvalorde2Aes.Rta.

��√�

�

10- Calcularelvalordem,sielgradodelaexpresiónesde7mo.Grado

M=

3

1

3

4

.

.

m m

m mm m

mm mm

x x x

x x

, Rta.M=1

m



GUÍAN°2MÉTODOSDEFACTORIZACIÓN

Introducción

En esta guía estudiaremos los métodos de factorización donde se planteará ejercicios

haciendoreferenciaalostemasexpuestos.


Distinguelostiposdefactorizaciónsegúnlosmétodosexpuestos.

Resuelveejerciciosdefactorizaciónhaciendousodelosmétodosdefactorización

demanerasatisfactoria.



Factorización:

Eslaoperaciónquetieneporobjetotransformarunaexpresiónalgebraicaenelproducto

desusfactores.

PRINCIPALESMÉTODOSDEFACTORIZACIÓN

1. FACTORCOMÚN

Elfactorcomúndedosomásexpresionesalgebraicaseslapartenuméricay/oliteralque

estárepetidaencadaunadedichasexpresiones.Elfactorcomúnpuedeserdetrestipos:

Factorcomúnmonomio

Factorcomúnpolinomio

Factorcomúnporagrupación



FACTORCOMÚNMONOMIO

Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunmonomio.

EJEMPLONº1

Factorizar:E(x,y)=60xa+2yb+3+45xa-3y2b+5–15xay4b+6

SOLUCION:

Elfactorcomúnes15xayb+3,dondetendremos:

E(x,y)=15xayb+3(4x2+3x-3yb+2–y3b+3)

FACTORCOMÚNPOLINOMIO

Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunpolinomio.

EJEMPLONº2

Factorizar(x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2

SOLUCION:

Elfactorcomúnes(x+y)10(x+y3)2,luegotendremos:

(x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2

=(x+y)10(x+y3)2[(x+y3)3+(x+y)5]

FACTORCOMÚNPORAGRUPACIÓN

Seagrupanlostérminosbuscandogeneralmenteelmétododefactorcomúndepolinomios.

EJEMPLONº3

Factorizar3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b

SOLUCION:

3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b=(3ax–2bx)+(3ay–2by)–(6a–4b)

=x(3a–2b)+y(3a–2b)–2(3a–2b)=(3a–2b)(x+y–2)



2. MÉTODOSDEIDENTIDADES

Nosreferimosaidentidadesmuyconocidascomo:

Diferenciadecuadrados

x2a–y2b=(xa)2–(yb)2=(xa+yb)(xa–yb)

SumaodiferenciadeCubos

x3a+y3b=(xa)3+(yb)3=(xa+yb)(x2a–xayb+y2b)

x3a-y3b=(xa)3–(yb)3=(xa–yb)(x2a+xayb+y2b)

Trinomiocuadradoperfecto

a2x±2a xby+b2y=(ax±b y)2

3. MÉTODOSDEASPAS

ASPASIMPLE

Seusaparafactorizartrinomiosdelaforma:

ax2n±bx n±c

o,delaforma:

x2n±bx n±c,dondec=deyb=(d+e)x n

Sedescomponeendosfactoresalprimertérmino,ax2nox2n,segúnseaelcaso.Secolocan

estosfactoresenlaspuntasdelaizquierdadelaspa.Eltérminoindependiente,incluyendo

el signo, también se descompone en dos factores, los que se colocan en las puntas de la

derechadelaspa.Losfactoresde laexpresióndadason lasumahorizontaldearribay la

sumahorizontaldeabajo.Eltérminocentraldebeserigualalasumadelosproductosen

aspa.

xnd

xne



EJEMPLONº4

Factorizarx6a+7x3a+12

SOLUCION:

1) x6aendosfactores:x3ax3a

2) 12endosfactores:3y4

Secolocanlosfactoresenlapuntaizquierdayderechadelaspa:

Donde7x3aeseltérminocentral

Luego,x6a+7x3a+12=(x3a+4)(x3a+3)

ASPADOBLE

Seusaparafactorizarpolinomiosdelaforma:ax2n±bx nyn±cy 2n±dx n±ey n±fytambién

paraalgunospolinomiosde4to.Grado.

Seordenaenformadecrecienteparaunadelasvariables;luego,setrazayseejecutaun

aspa simple para los tres primeros términos con trazo continuo. A continuación y,

pegadaalprimeraspa,setrazaotro,detalmodoqueelproductodeloselementosdel

extremo derecho de este aspa multiplicados verticalmente sea el término

independiente.

1er.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalesdelapartesuperior.

2do.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalmentedelaparteinferior.

x6a+7x3a+12

x3a+4

x3a+3

4x3a

+3x3a

7x3a



EJEMPLONº5

Factorizar6x2+7xy–3y2+11x–11y–10

SOLUCIÓN:

Donde,6x2+7xy–3y2+11x–11y–10=(3x–y–2)(2x+3y+5)

ASPADOBLEESPECIAL

Seusaparafactorizarpolinomiosdecuartogradodelaformageneral:

.ax4±bx 3±cx 2±dx±e

Parafactorizarseprocedeasí:

1) Sedescomponenlostérminosextremos(primeroyquinto)ensusfactoresprimos

consignosadecuados.

2) Seefectúaelproductodelosfactoresprimosenaspaysereduce.Deestamanerase

obtieneuntérminodesegundogrado.

3) Aesteresultadoseledebesumaralgebraicamenteotrotérminodesegundogrado

paraqueseaigualaltercertérmino.

4) Con este término de 2° grado colocado como tercer término del polinomio, se

descomponeensusfactoresenformaconvenientetalquecumplalosrequisitosdel

aspadoble:

i. Aspa simple entre el primer término y el término de segundo grado

ubicadocomosustituto,paraverificarelsegundotérmino.

ii. Aspa simple auxiliar entre el sumando de segundo grado ubicado y el

quintotérminoparaverificarelcuartotérmino.

5) Losfactoressetomanenformahorizontal.

6x2+7xy–3y2+11x–11y–10

3x-y-2

(7xy)(11x)(-11y)

2x+3y+5



EJEMPLONº6

Factorizarx4–4x3+11x2–14x+10

SOLUCION:

Comopodemosobservaresuncasodeaspadobleespecialprocediendotendremos

Luegolarespuestaserá:x4–4x3+11x2–14x+10=(x2–2x+5)(x2-2x+2)

4. MÉTODODEREDUCCIÓNADIFERENCIADECUADRADOS

Elmétodoconsisteentransformarunaexpresión,trinomioengeneral,aunadiferenciade

cuadrados; sumando y restando una misma cantidad de tal manera que se complete el

trinomiocuadradoperfecto

EJEMPLONº7

Factorizarx4+2x2y2+9y4

SOLUCIÓN:

Extraemos la raíz al primer y último término, luegomultiplicamos por 2 para conocer el

númeroquebuscaremos2(x2)(3y2)=6x2y2queseráeltérminoabuscar,luegosumandoy

restando4x2y2alaexpresióntendremos

(x4+6x2y2+9y4)–4x2y2=(x2+3y2)2–(2xy)2=(x2+3y2+2xy)(x2+3y2–2xy)

x4–4x3+11x2–14x+10

x2-2x5

(-4x3)(11x2)(-14x)

x2-2x2



5. MÉTODODESUMASYRESTAS

Consisteensumaryrestarunamismacantidadoexpresióndetalmaneraqueseformeuna

suma o diferencia de cubos al mismo tiempo que se presenta el factor x2 + x + 1 ó

x2–x+1Algunasvecestambiénsecompletaelpolinomio.

EJEMPLONº8EJERCICIOSRESUELTOS

Factorizarx5+x4+1

SOLUCIÓN:Resolveremosdedosmétodoslafactorización

1ermétodo

Sumandoyrestandox3+x2+x:

x5+x4+x3+x2+x+1–x3–x2–x

x3(x2+x+1)+(x2+x+1)-x(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x3-x+1)

2do.Método

Sumandoyrestandox2:

x5–x2+x4+x2+1

=x2(x3–1)+(x4+x2+1)

Sumando y restando x2 al segundo

paréntesis, factorizando y también

factorizandoelprimerparéntesis.

=x2(x3–1)+(x2+x+1)(x2–x+1)

=(x2+x+1)(x3–x2+x2–x+1)

=(x2+x+1)(x3–x+1)

6. MÉTODODECAMBIODEVARIABLE

Consisteenhaceruncambiodevariableadecuado,detalmaneraqueseobtengaunaforma

defactorizaciónconocida.

EJEMPLONº9

Factorizar(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2–7x–12

SOLUCION:Seaa=x+1sustituyendoenlaexpresiónelcambiodevariabletendremos:

a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5,desarrollandolaspotenciasysimplificando,tendremos:

a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5=a4+a3+4a2

ahora factorizando, a4 + a3 + 4a2= a2(a2 + a + 4) y por último sustituyendo la variable

original(x+1)2(x2+3x+6)



EJEMPLONº10

Factorizar1+x(x+1)(x+2)(x+3)

SOLUCION:

Enmuchasocasionestenemosquebuscarencambiodevariableagrupandofactores

1+x(x+1)(x+2)(x+3)=1+[x(x+3)][(x+1)(x+2)]

=1+(x2+3x)(x2+3x+2)Haciendox2+3x=y=1+y(y+2)=1+2y+y2=(1+y)2sustituyendolavariable:=(1+3x+x2)2

7. MÉTODODEFACTORIZACIÓNRECIPROCA

Polinomio recíproco: es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de los términos

equidistantesdelcentrosonigualescomo:Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A

Procedimientoparafactorizarunpolinomiorecíproco:

a. Seextraecomofactorcomún,laparteliteraldeltérminocentral,quealfinalsedebe

eliminar.

b. Se realiza el siguiente cambio de variables: � +�

�= � , �� +

�

� �= �� − 2,

�� +�

� �= �� − 3�

c. serealizanlasoperacionesysefactoriza

d. sesustituyenlosvaloresasignadosalasvariables.

EJEMPLONº11

Factorizar4x4+3x3+7x2+3x+4

SOLUCION:4x4+3x3+7x2+3x+4=x2(4x2+3x+7+�

�+

�

� �)

=x2(4(x2+�

� �)+3(x+

�

�)+7)

Sustituyendo� +�

�= �,�� +

�

� �= �� − 2 tendremos:

=x2(4(a2–2)+3a+7)



=x2(4a2+3a–1)x2(4a–1)(a+1)

Sustituyendoelvalordea=� +�

�

x2(4(� +�

�)–1)(� +

�

�+1)=x2(

��

�)(

��

�)

=(4x2–x+4)(x2+x+1)

8. MÉTODOSDEFACTORIZACIÓNSIMÉTRICAYALTERNADA

Polinomio simétrico: Un polinomio es simétrico, con respecto a sus variables, cuando su

valornosealteraporelintercambiodecualquierpardeellas,esdecir,“x”por“y”,“y”por

“x”yademáseshomogéneo.

Ejemplo:P(x,y,z)=A(x2+y2+z2)+B(xy+xz+yz)

Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también

expresionessimétricasyademássoncíclicas.

Polinomioalterno:Unpolinomioesalterno,conrespectoasusvariables,cuandosusignose

altera,peronosuvalorabsoluto,al intercambiarunparcualquieradeellas,y además es

homogéneo.

Ejemplo:P(x,y,z)=y2(z–y)+x2(y–z)+z2(x–y)

Propiedadesfundamentalesdeunpolinomioalterno

1. Nohayexpresionesalternasquecontenganmásdedosvariablesyseandeprimer

grado.

2. Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en

formadediferencia.

3. El producto de una expresión simétrica por una alterna da como resultado una

expresiónalterna.

x

y

z



Propiedadesdelospolinomiossimétricosyalternos.

1. Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”,

entoncestambiénserádivisibleentre“y”yentre“z”.

2. Enunaexpresiónsimétricaoalterna,devariables,x,y,z,siesdivisibleentre(x±y),

entoncestambiénserádivisibleentre(x±z)(y±z).

EJEMPLONº12

Factorizar:P(x,y,z)=(x–y)3+(y-z)3+(z-x)3

SOLUCION:

1) Intercambiandoxpory,sevequelaexpresiónesalterna.

2) Cálculodelosfactoresx=y

P(y,y,z)=(y-y)3+(y-z)3+(z-y)3

P(y,y,z)=0+(y-z)3+[-(y-z)3]

P(y,y,z)=(y-z)3-(y-z)3=0

Luego el polinomio es divisible entre (x - y). Por ser polinomio alterno, también será

divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido

indicado:

x=y,y=z,z=x

Luegoelpolinomioesdivisibleentreelproducto:(x–y)(y–z)(z–x)seigualalaidentidad

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = (x – y)(y – z)(z – x)K, dándoles valores arbitrarios a las

variablesparaencontrarelvalordeK,six=5,y=4,z=3,tendremos:

(5–4)(4–3)(3–5)K=(5-4)3+(4-3)3+(3-5)3

–2K=1+1–8

K=3

Luego,laexpresiónfactorizadaes:(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x–y)(y–z)(z–x)

x

y

z



9. MÉTODODEFACTORIZACIÓNPOREVALUACIÓN

Para resolver por este método se busca los factores del término independiente del

polinomioysebuscaloscerosenelpolinomio,unavezencontradoserealizapordivisión

sintética, pueden existir varios ceros en el polinomio y el resultado se prueba con los

demásfactoresparaencontrarlososeusanotrosmétodosdefactorizaciónsiesreconocido

elresultado.

EJEMPLONº13

Factorizar6x3+23x2+9x–18

SOLUCION:

Descomponiendo18ensusdivisores±1,2,3,6,18yhaciendoP(x)=6x 3+23x2+9x–18,

ahoraaplicamoselteoremadelrestoparabuscarloscerosdelpolinomiotendremos:

P(-1)=6(-1)3+23(-1)2+9(-1)–18=-10quenoes

P(1)=6(1)3+23(1)2+9(1)–18=20nodaceroseguimosprobando

P(-2)=6(-2)3+23(-2)2+9(-2)–18=8nada

P(2)=6(2)3+23(2)2+9(2)–18=140nada

P(-3)=6(-3)3+23(-3)2+9(-3)–18=0ahorasinosdioenx=-3,luegoP(x)esdivisible

porx+3,resolvamospordivisiónsintética

Luego6x3+23x2+9x–18=(x+3)(6x2+5x–6)dondeporaspasimpletendremos

6x3+23x2+9x–18=(x+3)(2x+3)(3x–2)

6239–18–3

6–18–1518

65–60




1- CalcularE= 2

21 2 4 3 2 3 5 4 2 10x x x x x x x x x x

Rta.-56

2- Simplificar 2 2 24E a b c a b c a b c a b c a b c

Rta.2 2a b

3- Factorizar

a) 2 2 2 2abcx a b c x abc Rta. abx c cx ab

b) 24 22 2 2 22a d b c a d b c

Rta.(a+b+c+d)(a–b–c+d)(a+b–c+d)(a–b+c+d)

c) 2 215 14 3 23 41 14x xy y y x Rta.(5x+3y+2)(3x+y+7)

d) 4 3 210 9 18 9x x x x Rta.(x2–9x+9)(x2–x+1)

e) 4 2 2 416 25 9m m n n Rta.(4m2+mn–3n2)(4m2–mn–3n2)

f) 8 481 2 1m m Rta.(9m4+4m2+1)(9m4–4m2+1)

g) 4 816 9c c Rta.(4+c2–c4)(4–c2–c4)

h) 5 1x x Rta.(x2–x+1)(x3+x2–1)

i) 6 4 2 1 1x x x x Rta.(x2+x+1)(x3–x2+1)(x3+x2–1)(x2–x+1)

j) (2x2–9x+1)2+24x(x-1)(2x-1)Rta.(2x+1)2(x+1)2

k) 6x4+5x3+6x2+5x+6Rta.(3x2–2x+3)(2x2+3x+2)

l) x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1Rta.(x2+5x+1)

m) (a+b)5–a5–b5Rta.5ab(a+b)(a2+ab+b2)

n) n3–7n+6Rta.(n–1)(n–2)(n+3)

o) a3+a2–13a–28Rta.(a–4)(a2+5a+7)

p) 8a4–18a3–75a2+46a+120Rta.(a+2)(a–4)(2a–3)(4a+5)



GUÍAN°3ECUACIÓNCUADRÁTICA

Introducción.

En esta guía estudiaremos las ecuaciones cuadráticas desde su formación, conociendo

sus raíces, su resolución y el uso de métodos de variables auxiliares para ecuaciones de

orden superior cuadrático, de ecuaciones diversas y polinómicas haciendo uso de la

fórmuladeVieta.


Conocelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadráticaylafórmulade

Vieta.

Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuación

cuadrática,bicuadráticas,ecuacionesdiversasyfórmuladeVieta.



Definición:

Unaecuacióncuadráticaestodaecuacióndelaformaax2+bx+c=0,dondea≠ 0.

Dondea,byc∈R

Trabajaremoslaecuaciónax2+bx+c=0parapoderconocerlaspropiedadesdelas

raícesdelasecuacióncuadrática.

ax2+bx+c=0ecuacióndada

ax2+bx=-cserestac

�� +�

�� = −

�

�sedividepora

�� +�

�� + (

�

��)� = (

�

��)� −

�

�secompletaelcuadrado



(� + �

��)� =

��

��ecuaciónequivalente

� + �

��= ± �

��

��seextraelaraíz

� = −�

��± �

��

��seresta

�

��

� =��± √��

��simplificando

Laúltimaexpresión,conocidatambiéncomofórmulageneral,eslaquevamosatrabajar;es

de notar que la expresión �� − �� bajo el signo radical de la fórmula se llama

discriminantedelaecuacióncuadráticaysepuedeusareldiscriminanteparadeterminar

lanaturalezadelaecuación,asípues:

Valordeldiscriminante�� − �� Naturalezadelasraícesdeax2+bx+c=0

Valorpositivo

0

Valornegativo

Dosraícesrealesydistintas

Unaraíz

Dosraícesimaginarias(complejas)

Ahorasieldiscriminanteespositivoonegativotendremosdosraícesqueson:

�� =�� √��

�� y �� =

�� √��

�� , luego operando la suma y producto de las

raícestendremos:

�� + �� =�� √��

��+

�� √��

��,sumadelasraíces

�� + �� =��

��,reduciendotérminos



�� + �� = −�

�,simplificando

Y�� =�� √��

��∗

�� √��

��productodelasraíces

�� =(−�) � − (√� � − 4��)�

4��

�� =��

�� =

�

� Donde podemos concluir que las propiedades de las

raícesson:

Lasumadelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes:

�� + �� = −�

�

Elproductodelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes:

�� =�

�

EJEMPLONº1

Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson5y-4

SOLUCIÓN:Comolasraícessonx� = 5yx� = −4,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode

lasraícescuadráticasdonde:x� + x� = −�

�yx�x� =

�

�.Sihacemosa=1obtendremos

x� + x� = −byx �x� = c → � = −1�� = −20, sustituyendo los valores de las raíces

x� = 5yx� = −4en

x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar

x2–x–20=0queeslaecuaciónquebuscamos.



EJEMPLONº2

Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson�

�y

�

�

SOLUCIÓN:

Comolasraícessonx� = 5

3yx� =

2

7,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode

lasraícescuadráticasdonde:

x� + x� = −�

�yx�x� =

�

�sihacemosa=1obtendremos

x� + x� = −byx �x� = c,donde� = −(x � + x�)

� = −41

21�� =

10

21,sustituyendolosvaloresdelasraícesx� =

5

3yx� =

2

7en

x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar

x2−41

21x+

10

21=0multiplicarcadaterminopor21

21x2−41x+10=0queeslaecuaciónquebuscamos

EJEMPLONº3

Six2+14x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseax=−6

Solución.Paraesteejerciciotenemosdossoluciones

MÉTODO1:Sustituirelvalordex=−6enlaecuaciónx 2+14x+k=0ydespejark.

(−6) 2+14(−6)+k=0

k=−36 + 84

k=48queeselvalorquebuscamos



MÉTODO2:Haciendousodelaspropiedadesdelasraíces.

x� + x� = −�

�yx�x� =

�

�

Delaecuaciónx2+14x+k=0obtenemosquea=1,b=14,c=kyx1=−6

x� + x� = −14yx �x� = k

x� = −14 − x �→x � = −14 − ( − 6) → x � = −8

Yporúltimox�x� = k → k =( −6) (−8 ) → � = ��queeselvalorquebuscamos

EJEMPLONº4

Six2+18x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseaeldobledelaotra

SOLUCIÓN:

Seanlasraícesx�yx� = 2x�,comob=18y−b=x � + x�

x� + 2x� = −18 →3x � = −18→x � = −6yx � = −12

EJEMPLONº5

Untriángulorectángulotieneunáreade5ysuhipotenusatienelongitud5.Determinela

longituddeloscatetosdeltriángulo.

SOLUCIÓN:

Seanayblaslongitudesdeloscatetosentonces

�� + �� = 25

��

�= 5

→ � (� + �)� = 25 + 2�� = 10

→ � (� + �)� = 25 + 20�� = 10

→

�� + � = 3√5�� = 10



Ahorabien,deacuerdoconlaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadrática,debe

existir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los catetos buscados. Se tiene que una

ecuaciónquesatisfacelascondicionesexplicitadascorrespondea

�� − 3 √5� + 10 = 0, cuyas soluciones son 2√5�√5 así los catetos del triangulo

tienenlasmedidas2√5�√5

CASOPARTICULARDELAECUACIÓNCUADRÁTICA

Un caso muy particular de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se da cuando el

coeficientebespar,dondepodemosmodificarlafórmulageneralquedandodelaforma:

� =��± √��

�� → � =

��

�±

��

�

� → � =

��

�± �(

�

�)��

�O

� =��± ��

�dondeb1=

�

�

EJEMPLONº6

Resuelvalaecuación3x2–10x–8=0

SOLUCIÓN1:Comopodemosobservarelvalordebesparusaremoslafórmula

� =�

�

�± �(

�

�)��

�donde:a=3,b=–10yc=–8,sustituyendolosvaloresen

lafórmulanosqueda� =�

��

�± �(

��

�)�� (�)(��)

� → � =

�± √��

�

� =�±�

� → x� = −

�

�yx� = 4



SOLUCIÓN2:Tambiénpodemosusarlasegundaformadonde:a=3,b1=–5yc=-8

� =��± ��

�=

�± �(��)�� (�)(��)

�=

�± √��

�

� =�±�

� → x� = −

�

�yx� = 4

ECUACIONESBICUADRÁTICAS,DIVERSAS,USODECAMBIODEVARIABLE

Ecuación bicuadrática: Es toda ecuación de la forma ax2n ± bx n ± c = 0, y se resuelve

sustituyendoxnporunavariablequetrasformalaecuaciónenunacuadráticaconocida.

EJEMPLONº7

Resolverx�� + 10x�� + 21 = 0

SOLUCIÓN:Seau=x��

u2=x��

Sustituyendolosvaloresdeuenlaecuaciónyresolviendotendremos:

u2+10u+21=0poraspasimple

(u+7)(u+3)=0igualandolosfactoresa0

u+7=0;u+3=0

u=–7;u=–3

Devolviendoelvalordeu=x�� =�

�tendremos

�

�= −7;

�

�= −3 → x=−

�

�;x=−

�

�



EJEMPLONº8

Resolverlaecuación�

��. �

��

��+ y� = 1

SOLUCIÓN:

�

��. �

��

��+ y� = 1�

��

(��) �+

�

�� = 1

Seav=�

��,v2=

��

(��) �,sustituyendoyresolviendotendremos:

6v2+v–1=0usandoaspasimple

(2v+1)(3v–1)=0→ v=−�

�;v=

�

�

Devolviendolosvaloresdeenv=�

��yresolviendotendremos:

y2+2y+1=0; y2 – 3y +1=0 resolviendo por factorización y por la fórmula general

tendremos:y=–1;y=�± √�

�

EJEMPLONº9

Resolverlaecuaciónx–3√x+2=0

Seau=√x

u2=xsustituyendotendremos

u2–3u+2=0→ (u–2)(u–1)=0

u=2;u=1

√x=2√x=1

x=4;x=1



EJEMPLONº10

Resolverlaecuación:��

��

�− �

��

��

��=

��

�

SOLUCIÓN:Seav=��

��

�sustituyendotendremos

v −�

�=

��

�multiplicarpor8vyresolviendo

8v2–63v–1=0usandolafórmulageneralobtendremos

v=−1

8v=8Sustituyendoelvalorv=�

��

��

�

yresolviendotendremos:

−�

�=�

��

��

�;8=�

��

��

�

2(1–x)=–1(1+x);2(1+x)=1–x

Dedondelassolucionesson−1

3y3respectivamente.

FÓRMULADEVIETA

LafórmuladeVietasepuedeenunciarasí,si

P(x)=xn−S 1xn-1+S2xn-2−S 3xn-3+....+(-1)nSndondelasraícesa1,a2,a3,....,an=0

es(x–a1)(x−a 2)(x−a 3)....(x−a n)=0

Osea,xn−S 1xn-1+S2xn-2−S 3xn-3+....+(-1)nSn=0;siP(x)=0

dondeS1=Sumadelasraíces;

S2=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdedosendos;

S3=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdetresentres;

...................................................................

Sn=Productosdelasraíces.



EJEMPLONº11

Desarrolleelpolinomio(x–3)(x–6)(x–4)(x+5)

SoluciónUsandolafórmuladeVietatendremos:

S1=–3–6–4+5=–8

S2=(−3)(−6)+(−3)(−4)+(−3)(5)+(−6)(−4)+(−6)(5)+(−4)(5)=–11

S3=(−3)(−6)(−4)+(−3)(−6)(5)+(−3)(−4)(5)+(−6)(−4)(5)=198

S4=(−3)(−6)(−4)(5)=−360

Luegotendremos:

(x–3)(x–6)(x–4)(x+5)=x4–8x3–11x2+198x–360queeselpolinomio

desarrollado.

EJEMPLONº12

Resuelvalaecuación:(�� − 3� + 1) � − 3 (�� − 3� + 1 ) + 1 = �

SOLUCIÓN1:UsaremoslafórmuladeVieta

Desarrollandolaexpresióndadaobtenemos

x4+9x2+1–6x3+2x2–6x–3x2+9x–3+1=x→x 4–6x3+8x2+2x–1=0

HaciendousodelosproductosnotablesyfórmuladeVietatendremos

(x2+ax+1)(x2+bx–1)=x4+(a+b)x3+abx2+(b–a)x–1aplicandoidentidad

polinomialsetiene

a+b=–6

ab=8

b–a=2



Alresolverelsistemadeecuacionesencontramosquea=–4yb=–2conloquela

ecuaciónaresolverserá:(x2–4x+1)(x2-2x–1)=0cuyassolucionessonx=2± √3

x=1± √3

SOLUCIÓN2:Reescribiendolaecuaciónoriginal

(�� − 3� + 1) � − 2 (�� − 3� + 1 ) + 1 − (�� − 3� + 1 ) = �

(�� − 3� + 1) � − 2 (�� − 3� + 1 ) + 1 = (�� − 3� + 1 ) + �

[(�� − 3� + 1 ) − 1] � = (�� − 2� + 1 )

(�� − 3�) � = (� − 1) � → (� � − 3�) � − (� − 1) � = 0 →(x 2–4x+1)(x2-2x–1)=0

cuyassolucionessonx=2± √3yx=1± √3

Todaexpresióndelaforma�� ± 2 √�=√� ± √�conm>n,a=m+n,b=m.nparaelloprocedemos así: buscamosdosnúmeros cuyoproducto sea b y que a la vez, la suma deesosnúmerosseaigualaa.

EJEMPLONº13

Calcular�5 + 2√6

SOLUCIÓN:Podemostrabajar

5 + 2√6 = 5 + 2�(2)(3) = 5 + 2√2√3 = 2 + 2√2√3 + 3 = �√2 + √3��

,luego

�5 + 2√6 = ��√2 + √3��

= √2 + √3

EJEMPLONº14

Resolverlaecuación��7 − √48��

+ ��7 + √48��

= 14

Solucióncomo7 ± √48 = 7 ± 2 √12 = 7 ± 2 √4√3 = �√4 ± √3��

=�2 ± √3��



La ecuación dada puede ser escrita como �2 − √3��

+ �2 + √3��

=14 (1) ahora si

realizamos la operación �2 − √3��2 + √3� = 1 y si multiplicamos (1) por �2 + √3��

tendremos

1� + �2 + √3��

= 14�2 + √3��

→ ��2 + √3��

��

− 14 �2 + √3��

+ 1 = 0 →

�2 + √3��

=��± √��

�=

��±� √�

�= 7 ± 4 √3 = �2 ± √3�

�,dondelasolucióndexes{-2,2}

EJEMPLONº15

Six=�12 + �12 + √12 + ⋯,calcular5E+6siE=�x + 1 + �3x + 2√x

SOLUCIÓN:x2=12+�12 + �12 + √12 + ⋯,perox=�12 + �12 + √12 + ⋯

x2–x–12=0→ (x–4)(x+3)=0

x=4,sustituirelvalordexenE,tendremos:E=� 4 + 1 + �3(4) + 2√4

E=�5 + √16=√5 + 4 = 3,donde5E+6=5(3)+6=21queserálasolución

EJEMPLONº16

Resuelvay2–5y–P=0,siP=�[(� + 2)� − 50] � − (� + 10)(� + 8)(� − 6 )(� − 4)

SOLUCIÓN:BuscaremosesvalordePyluegolosustituimosenlaecuaciónyresolvemos.Ordenandoyefectuandolasoperacionestendremos:

P=�[�� + 4� + 4 − 50] � − (� + 10)(� − 6 )(� + 8)(� − 4)

P=�[�� + 4� − 46 ]� − [(�� + 4� − 60 )(�� + 4� − 32 )]seau=x2+4xtendremos

P=�[u − 46] � − [ (u − 60 )(u − 32 )]=�u� − 92u + 2116 − (u � − 92u + 1920)

P=√196 = 14sustituyendoyencontrandolosvaloresdey

y2–5y–P=0y2–5y–14=0(y–7)(y+2)=0y=7;y=–2




I-Resolverlassiguientesecuaciones

a) (x–5)(x–7)(x+6)(x+4)=504Rta.x=3,–2,8,–7

b) (x–7)(x–3)(x+5)(x+1)=1680 Rta.x= 9, 7,1 24i

c) (x+9)(x–3)(x–7)(x+5)=385 Rta.x= 2, 4, 1 71

d) x(2x+1)(x–2)(2x–3)=63Rta.x=3 3 47

3, ,2 4

i

e) (2x–7)(x2–9)(2x+5)=91Rta.x= 7 1 65

4, ,2 4

f)

3 3

2 28 8 63n nx x

Rta. 2

2

12 ,

2n

nx

g) 2 12 8x x Rta.x=

1 1,

4 2

h) 4 29 10x x Rta.x=

1, 1

3

i)

1

22 2 5x x

Rta.x=1

4,4

j)

3 1 1

4 4 46 7 2x x x

Rta.x=4 1

,9 4

II-Determinekdetalmodoquelasraícesseaniguales:



GUÍAN°4SISTEMASDEECUACIONES

Introducción.

En esta guía estudiaremos la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y

cuadráticasusandovariablesauxiliaresasícomolosmétodosusadosessuresolución.

La ecuación Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx+Ey +F = 0 representaunaecuacióncuadrática

generaldedosvariablesxey,dondelostérminos:Ax2,Bxy,Cy2sondesegundogrado. Con A,

B,Cnotodos0.Losterminos:Dx,Ey sondeprimergrado.Yel términoFesunaconstante.

Indicadoresdelogros

Conocealgunoscasosespecialesdelossistemasdeecuacionesylosmétodospara

resolverlos.

Resuelveejercicioshaciendousodevariablesauxiliaresylosmétodosdesolución

desistemasdeecuaciones.



SISTEMASFORMADOSPORECUACIONESDELAFORMAAX2+BXY+CY2=F

Ax2+Bxy+Cy2= F

Ex2+Gxy+Hy2= K

Sedacuandoambasecuacionescarecendelostérminosde1ergrado,existendosformas

deresolverlas

Método1:Amplificarparaeliminarlasconstantes(FyK).Resolverlaecuaciónconla

fórmulacuadráticaparaunadelasincógnitas.Secompletalasustitucióndelarelación

obtenidaparadeterminarlassolucionesdelsistema.



Método2:Hacery=mx enambasecuaciones, lasque quedancon incógnitasmex;perox2

factorizableconlocualseeliminadividiendotérminoatérminoambasecuaciones.Seobtiene

unaecuaciónenmquepuededespejarse.

Sehacensucesivamentelassustitucionesparaencontrarlassolucionesdelsistema.

EJEMPLONº1

Resolveressistema�� − �� + � � = 3(1)

�� + 2�� − � � = 1(2)

2x� + 7xy − 4y � = 0

x� − x (2x) + (2x)� = 3

1ermétodo:eliminareltérmino

independiente(1)–3(2)

x� − xy + y � = 3

–3x2–6xy+3y2=-3

−2x � − 7xy + 4y � = 0por(-1)

(2x–y)(x+4y)=0

y=2x(4)y=−�

� (5)

sustituir(4)en(1)

x2=1

x=±1y=±2

ahora(5)en(1)tendremos

x=±�

�√7y=∓

�

�√7

3

1 − m + m � =1

1 + 2m − m �

2dométodo:sustituiry=mxen(1)y(2)

x2–mx+m2x2=3∴ x� =�

��

x2+2mx2–m2x2=1∴ x� =�

��

igualandox2,resulta

ordenandoyreduciendotérminos

semejantestendremos

4m2–7m–2=0

Dondem=2ym=-1/4

Luegox=±1yx=±�

�√7

dondey=mxnosda

y=± 2yy=∓�

�√7



SISTEMASSIMÉTRICOS

Las ecuaciones sonsimétricascuandopodemos intercambiarxpory y el sistemanose

altera

Ejemplox+y=5;x� − xy + y � = 3,ambassonsimétricos,pararesolverlousaremosel

métododesustituirx=u+vy=u–v

EJEMPLONº2

Resolveressistema�� + �� − � − � = 2(1)

�� + � + � = 5(2)

SOLUCIÓN:comolossistemassonsimétricosprocedemosx=u+vyy=u–v

(u+v)2+(u–v)2–(u+v)–(u–v)=2

(u+v)(u–v)+(u+v)+(u–v)=5despuésdesimplificarresulta

u2+v2–u=1(3)

u2–v2+2u=5(4)sumando(3)y(4)

2u2+u–6=0dondeu=-2y3/2sustituyendou=-2en(3)o(4),obtenemosv=± √5�y

parau=3/2obtenemosv=±�

�,luegolassolucionesson:

U -2 -2 3/2 3/2

V √5� − √5� 1/2 -1/2

X=U+V − 2 + √5� − 2 − √5� 2 1

Y=U–V − 2 − √5� − 2 + √5� 1 2



EJEMPLONº3

Sesabequeelsistemadadoacontinuacióntieneunacantidadfinitadesolucionesreales.

Mostrarquetalcantidadtienequeserpar.

(y2+6)(x–1)=y(x2+1)

(x2+6)(y–1)=x(y2+1)

SOLUCIÓN:

El sistema es simétrico respecto de las incógnitas x, y, esto es, si intercambiamos x e y

obtenemoslasmismasecuaciones.Comoconsecuencia,si(x,y)esunasolucióndelsistema,

tambiénloes(y,x),oseaque,silosvaloresdexeysondistintos,lassolucionesvienenpor

pares.Enelcasoenxseaigualay,lasecuacionessereducena(x2+6)(x–1)=x(x2+1),

quedalaecuacióndesegundogradox2-5x+6=0,cuyasraícesson2y3.Entonceshay

dossolucionesmásconvaloresigualesdexey,queson(2,2)y(3,3).

SISTEMASUMAYPRODUCTODERAICES,USODEVARIABLESAUXILIARES

Usaremos este método cuando el sistema se puede llevar a la forma x1 + x2 = -b/a y

x1x2=c/a, donde a=1 propiedades de las raíces cuadráticas donde x2+bx+c=0, en

ocasionesusaremosvariablesauxiliares.

EJEMPLONº4

Resolver�� − � = 5(1)�� = −4(2)

SOLUCIÓN:Existen3métodospararesolverelsistema



Método3:completemoselcuadradode(1)

(x–y)2=52→x 2–2xy+y2=25(3)

(3)+4(2)x2–2xy+y2=25

.4xy=−16

x2+2xy+y2=9→x+y=±3(4)con(1)y(4)formamos

�� − � = 5� + � = 3

�� − � = 5

� + � = −3Obteniendolassolucionesde(4,−1)y(1,−4)

EJEMPLONº5

Resolver�� + �� − (� + �) = 48(1)

� + � + �� = 31(2)

SOLUCIÓN:Usandovariablesauxiliares

(3)z=x+y→z 2=x2+2xy+y2(5)

(4)u=xy

Sustituyendo(4)en(5)tendremosz2=x2+2u+y2→z 2–2u=x2+y2(6)

Método1:Representandoz=− ynos

queda

�� + � = 5�� = 4

dondeb=−(x+z)yc=xz

Formandolaecuacióncuadrática

tendremosx2−5x+4=0

(x–4)(x–1)=0

x=4;x=1

z=1;z=4

y=− 1;y=− 4

Método2:despejandoxen(1)y

sustituyendoen(2)nosqueda

x=y+5

(y+5)y=−4

y2+5y+4=0

(y+4)(y+1)=0

y=−4;y=−1

x=4;x=1



Perode(1)y(2)tenemos

(7)x2+y2–z=48→sustituyendo(6)en(7)z 2–2u–z=48(9)

(8)z+u=31→u=31–z(10)

Sustituimos(10)en(9)obtenemos

z2–2(31–z)–z=48→z 2+z–110=0

z=10;z=-11

u=21;u=42sustituyendolosvaloresen(3)y(4)

�� + � = 10

�� = 21�

� + � = −11�� = 42

Quenosdaránlossistemascuadráticosx2–10x+21=0(11)yx2+11x+42=0(12)

Resolviendo(11)tendremos(7,3)y(3,7)

Resolviendo(12)tendremos��± √��

�, 10 − (

��± √��

�)�

EJEMPLONº6

Resolver�� + � = 5(1)

��+�� = 13(2)

SOLUCIÓN:Elevemosalcuadrado(1)yrestamos(2)

x2+2xy+y2–x2–y2=25–13→2xy=12→xy=6(3)

usandolapropiedaddesumayproductosderaícescon(1)y(3)tendremos

x2–5x+6=0(x-3)(x-2)=0

x=3;x=2

y=2;y=3quesonlassoluciones.



EJEMPLONº7

Resolver��+�� = 25(1)

�� = 12(2)

SOLUCIÓN:De(1)+2(2)tendremos

x2+y2+2xy=25+24

(x+y)2=49

x+y=±7deaquíobtenemos

�� + � = 7�� = 12

→x 2–7x+12=0(3)�� + � = −7

�� = 12→x 2+7x+12=0(4)

Resolviendo(3)y(4)lassolucionesson:(3,4),(4,3)y(-3,-4),(-4,-3)

EJEMPLONº8

Resolver�� + � = �(1)

�� + �� = ��(2)

SOLUCIÓN:Elevamosalcubo(1):x3+3x2y+3xy2+y3=a3(3)

Ahora(3)–(2):3x2y+3xy2=a3-b3→3xy(x+y)=a 3-b3(4)

Sustituyendo(1)en(4):3xya=a3-b3→xy=��

��(a≠0)

x2–ax+��

��=0

donde,x=�

��a ± �a� −

�(�� )

��yy=

�

��a ∓ �a� −

�(�� )

��



CASOENQUEUNAECUACIONSEPUEDEFACTORIZARYLAOTRAESUNFACTOR

Enestecasoelmétodoesfactorizarlaecuaciónysesustituyeelvalordelaotraecuación

EJEMPLONº9

Resolverx3+y3 = 28

x+y = 4

nosayudamosconlafactorizaciónx3+y3=(x+y)(x2–xy+y2)quereemplazando

obtenemoselnuevosistemax2− xy+y2=7yx+y = 4

elcualresolvemoscomoenelejemplo5óporsustituciónynosdará(1,3)(3,1)

EJEMPLONº10

Sixeysonnúmerosrealestalesquex+y=1,x3+y3=4determine:

a)x2+y2

b)x5+y5

SOLUCIÓN.

a)Dex+y=1seobtieneelevándoloalcuadradox2+2xy+y2=1(1)pero

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y 2)=4→x 2−xy+y 2=4(2)dedonderestando(2)de(1)nos

queda3xy=−3→xy=−1conloquex 2+1+y2=4→x 2+y2=3

b)(x2+y2)(x3+y3)=3.4→x 5+x2y3+x3y2+y5=12→x 5+y5+x2y2(y+x)=12→

x5+y5+(-1)2(1)=12→x 5+y5=11



EJEMPLONº11

Six2+xy+x=14yy2+xy+y=28,determineentonceselvalornuméricodex+y.

SOLUCIÓN:

Sumandolasdosecuacionessetienex2+2xy+y2+x+y=42;donde

(x+y)2+(x+y)−42=0→(x+y−6)(x+y+7)=0

Así,x+y=6obienx+y=−7.

EJEMPLONº12

Dadoquex2+y2=14yxy=7,encuentreelvalordex2–y2

SOLUCIÓN:

2 2 14

7

x y

xy

→

2 2 14

2 14

x y

xy

,restandoambasecuacionesseobtiene

x2−2xy+y 2=0→(x–y) 2=0→x–y=0→x=y→x 2–y2=0

EJEMPLONº13

Cuantasternasx;y;zdenúmerosrealessatisfacenelsistemax(x+y+z)=26y(x+y+z)=27z(x+y+z)=28

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) ninguna

SOLUCIÓN:Larespuestaes(b).

Sumandolastresecuacionestenemosque(x+y+z)2=81,loqueimplicaquex+y+z=9,delcualsedesprendenlassolucionesx=26/9;y=27/9;z=28/9yx=26/9;y=27/9;z=28/9



SISTEMADEECUACIONES,MÉTODOCAMBIODEVARIABLE

Se usa para pasar un sistema de ecuaciones dado a un sistema de ecuaciones conocido

dondesehacemásfácilderesolver

EJEMPLONº14

Resolver�

�

�+

�

�= 7(1)

�

�−

�

�= 4(2)

SOLUCIÓN:

Seau=�

�yv=

�

�sustituyendotendremoselnuevosistema

5 4 7 (3)

7 6 4 (4)

u v

u v

3(3)+2(4):15u+12v+14u–12v=21+8→29u=29→u=1

Sustituyendouen(3)→4v=7–5(1)→v=�

�luegox=1;y=2queeslasolución.

EJEMPLONº15

Resolver�2�� + � + 3√� − 5 = 16(1)

3�� + � − 4 √� − 5 = 7(2)

SOLUCIÓN:

Seanu=�� + �v=√� − 5 sustituyendotendremoselnuevosistema

�2u + 3v = 16(3)3u − 4v = 7(4)

4(3)+3(4):8u+12v+9u–12v=64+21→17u=85→u=5;

v=2→x–5=4→x=9x+y=25→y=25–9→y=16solución(9,16).




I–Resuelvalossiguientessistemasdeecuaciones

1- 3 2 7

20

x y

xy

2- 2 2

5 3

6 25

x y

y x

3- 2

4 3 1

12 13 25

x y

xy y

4- 4 2 2 4

2 2

931

19

x x y y

x xy y

5-

2 2 84

6

x xy y

x xy y

6- 2 2

65

2275

x xy y

x xy y

7- 2 2

7

133

x y xy

x y xy

8- 2 2

2

3 5 7

3 4 2

x y

xy y

9- 2

2

3 165 16

7 3 132

x xy

xy y

10- 4 4 272

2

x y

x y

11- 5 5 992

2

x y

x y

Soluciones.

1- 8 15

5,4 , ,3 2

2- 8 97

2,7 , ,19 19

3- 53 25

1,1 , ,88 22

4- 5, 3 , 3, 5 5- 8,2 , 2,8 6- 45,5 , 5,45

7- 9,4 , 4,9 8- 2, 1 , 3, 2 9- 5, 3 , 3, 4

10- 4,2 , 2, 4 , 1 15 , 1 15i i 11- 4,2 , 2, 4 , 1 11 , 1 11i i



GUÍAN°5ECUACIONESIRRACIONALES

Introducción.

Enestaguíaestudiaremoslasecuaciones irracionales,además,conoceremos losmétodos

pararesolverecuacionesirracionalesyotrostiposdeejerciciosqueposeenraícesextrañas.

Indicadoresdelogros

Conocelosmétodospararesolverecuacionesirracionales.

Resuelveejerciciosdeecuacionesirracionales.



ECUACIONESIRRACIONALES

Pararesolverecuacionesirracionalesprocedemosconelsiguientemétodo:

1- Aislarelradical

2- Elevaralapotenciadelíndicedelaraíz

3- Resolverlaecuaciónresultante

4- Silacantidadsubradicaltiendealinfinito,seprocedeadesarrollardemaneraque

sebuscaelcomportamientodelaecuación,hastaencontrarlaraícesosoluciones.

EJEMPLONº1

Resolver√� + 2 − � = −4

SOLUCIÓN:

√� + 2 − � = −4→ �√� + 2��

= (� − 4 )�→� + 2 = � � − 8� + 16

�� − 9� + 14 = 0 →(x–7)(x–2)=0→x=7;x=2

Dondealsustituirenlaecuación√� + 2 − � = −4observaremosquelaúnicasolución

esx=7,yaquex=2nocumpleconlaigualdad.



EJEMPLONº2

Resolver� � + �4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3 − √� = 1

SOLUCIÓN:

� � + �4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3 = 1 + √�

�� + �4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3�

�

=(1 + √�)�

� + �4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3 = 1 + 2√� + �

�4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3 = 1 + 2√�

��4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3�

�

= (1 + 2√�)�

4� + �16� + ⋯ + √4�� + 3 = 1 + 2�√� + 4�

�16� + ⋯ + √4�� + 3 = 1 + 2�√�

⋮=⋮

√4�� + 3 = 1 + 2�√�

�√4�� + 3��

= �1 + 2�√��

4�� + 3 = 1 + 22�√� + 4��

2�√� = 1

� =�

��



EJEMPLONº3

Resolver�(� + 1) − �3� + 2√� = √� − 1

SOLUCIÓN:

��(� + 1) − �3� + 2√��

�

= �√� − 1 ��

x+1–�3� + 2√� = � − 2 √� + 1

��3� + 2√��

= �2√��

3x+2√�=4x

(2√�)2=(x)2

4x–x2=0

x=0,x=4

Dondelasoluciónesx=4,yaquex=0nocumplelaigualdad.

EJEMPLONº4

Resolver√��

�=x+3

SOLUCIÓN:

√x� − 7x � + 5x� − x + 6 =x2+3x

�√x� − 7x � + 5x� − x + 6 ��

=(x2+3x)2

x� − 7x � + 5x� − x + 6=x 4+6x3+9x2

−x � − 4x � − x + 6 = 0(–1)

x� + 4x� + x − 6 = 0,pordivisiónsintética

P(1)=(1)3+4(1)2+1–6=0queesunfactor

x� + 4x� + x − 6 = 0

(x–1)(x2+5x+6)=0

(x-1)(x+3)(x+2)=0

x=1,x=–3,x=–2

Dondealcomprobarenlaecuaciónlassolucionesson:x=–3yx=–2




I-Resuelvalassiguientesecuacionesirracionales

3

1) 2

xx x x x

x x

3 2

2) 5 7 223 3

x

x

2 23) 2 6 24 6x x x x

2 24) 3 4 3 16 21 16x x x x x

223 8 1 85) 7

x xx x

x x

2 26) 2 9 4 3 2 1 2 21 11x x x x x

2 2 27) 2 5 7 3( 7 6) 7 6 1 0x x x x x x

1 18) 2

1 6

x x

x x

Soluciones.

1.x=25

16 2.x=

2527,

147 3.x= 2, 8, 3 3 5 4.x=

5 2 703, ,

3 3

5.x=7 8 415

5, ,3 6

6.x=

15,

2 7.x=

181,9,

5 8.x=

9 4,

13 13



VII-REFLEXIONESALALUZDEUNAPUESTAENPRÁCTICADELASGUÍAS

En los cursos que he impartido para preparar a jóvenes que presentarán el examen de

admisión de la UNI, he podido percibir que la temática abordada es la misma que los

programasdesecundaria,eneláreadematemática,sinembargoelniveldeexigenciadel

examencontieneunmayorgradodeprofundidaddelqueseabordaduranteelestudiode

secundaria;dondemehevistoobligadoadarpropiedades,teoremasyaxiomasquenose

encuentran en el currículum educativo de Nicaragua, por ejemplo: encontrar cualquier

términoeneldesarrollodelbinomiodeNewton.

Como docente he tratado de incluir algunos temas que no están en los programas de

matemáticasparaeducaciónbásicaymedia,ymisalumnosaliniciolovenextraño,yaque

algunoscomparansuscuadernosconsusamigosdeotroscentrosdeestudiosenelmismo

gradoydicenqueesonolohanvisto,siemprecumpliendoconelprograma.

Enelaño2010vinoamiAcademiadeMatemática,Lic.AmandaSalazarPereira(AMAS),un

estudiante de la Escuela Sabatina de Jóvenes Talento de Nicaragua con ejercicios que le

orientaron como tarea; eran de congruencia y teoría de números; lo curioso es que yo

acababaderecibircongruenciaenelquintoañodemicarreradeMatemática.Mellamóla

atención que un niño de 12 años estuviera recibiendo estos contenidos, y comencé a

impartirle clases y profundizar en su temática; ya que encontré en la clase de álgebra

ejerciciosquenuncahabíavistodurantemisestudiossecundariosyuniversitarios,esmás

me dió un ejercicio de álgebra que me llevó un año en poder resolverlo y encontrar

ejercicios similares, fue entonces que indagué y conocí más de las Olimpiadas de

MatemáticasdelCaribe,Mexicanas,Argentinas,Chilenas,Españolas,internacionales,etc.

HoyendíaélJovenseencuentraen3ernivelenlaEscuelaSabatinadeJóvenesTalentode

Nicaragua,son4niveles.Yestoyayudándolesa6niñosmásdedichaEscuela.

El30deseptiembredelaño2011sellevóacabounacapacitaciónadocentesdesecundaria

deChinandega,eneláreadeMatemática,porpartedelaAcademiadeMatemáticasAMAS,

implementando la Guía N° 2 de esta monografía y dejando un precedente de las

aplicaciones de estos contenidos y su importancia en las olimpiadas matemáticas

nacionaleseinternacionales.

Por esta razón en esta monografía incluimos parte de la temática que se aborda en el

álgebraparalasolimpiadasinternacionalesdematemáticas.



VIII-CONCLUSIONES

Conlarealizacióndeestedocumentoyenreferenciaasutemáticaabordada:

1. Sedisponedeunconjuntodeguíasquepermitenresolverejercicioscomplejosde

matemática de secundaria no abordados en el programa educativo de educación

básicaymediadeNicaragua.

2. Se trata de impulsar una nueva temática a evaluar a nivel de Nicaragua y sus

departamentos en las Olimpiadas de Matemática, como se hace en laOlimpiadas

delCaribeyLatinoamérica.

3. Se proponen métodos, no tradicionales, para la resolución de algunos ejercicios

matemáticos.

4. Se fortalece la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas en el aula de clase de

educaciónmedia.

5. Se enriquece el conocimiento de los docentes que hagan uso de este tipo de

ejercicioscomplejos.



IX-RECOMENDACIONES

1. Quelosdocentesdeeducaciónmedia,introduzcanensusclasesdematemáticaeste

tipodeejercicioscomplejos.

2. QuelasautoridadesdelMinisteriodeEducaciónadecuenelcurrículodeeducación,

aunnivelmásprofundodelconocimientomatemático.

3. Que los estudiantes practiquen este tipo de ejercicios y no se queden solo con los

métodosderesolucióntradicionalesimpartidosporsuprofesorenelauladeclase.

4. Que se implemente capacitaciones para docentes con el fin de llevar hasta sus

conocimientos nuevos métodos de resolución y mejorar la enseñanza de las

matemáticasaniveldesecundaria.



X-BIBLIOGRAFÍA

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dejuniodel2011.DelaWorldWideWeb: http://www.matematicasbachiller.com/

XI-ANEXOS

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