Resol. N.º 123/12

Universidad Nacional de La Pampa Facultad de Ingeniería Carrera: Ingeniería Electromecánica

H. 1/4

Departamento de: Ciencias Básicas Área: Cs. Básicas

Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Carga Horaria: Teoría Laboratorio Problemas

Tipo/Rutinarios Problemas Abiertos

Proyecto y Diseño Total

75 75 150

Objetivos:

Los propósitos fundamentales de esta materia gira en torno a: - Generar un espacio donde el estudiante aprenda las herramientas del cálculo diferencial e

integral en varias variables, de manera amalgamada con sus aplicaciones, indispensables para modelar cualquier sistema que dependa de más de un parámetro.

- Completar el proceso de maduración de los estudiantes en la utilización del razonamiento matemático.

En este sentido, se hará especial hincapié en capacidades tales como: - Plantear y resolver las ecuaciones diferenciales que modelizan ciertos problemas físicos. - Interpretar y evaluar las soluciones obtenidas.

Contenidos Mínimos:

Funciones de varias variables, límites y continuidad. Nociones de topología en Rn.

Diferenciabilidad, gradiente y derivadas direccionales. Derivadas de orden superior, fórmulas

de Taylor de 1er y 2do orden. Funciones inversas. Derivación implícita.

Extremos libres y restringidos de campos escalares.

Campos vectoriales, líneas de flujo. Gradiente, divergencia y rotor en coordenadas

cartesianas y curvilíneas.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden. Existencia y unicidad de soluciones.

Métodos de resolución. Aplicaciones físicas.

Ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden. Estudio del caso general. Resolución en el

caso de coeficientes constantes. Oscilaciones mecánicas y eléctricas. Nociones sobre sistemas

de ecuaciones diferenciales.

Integrales múltiples. Teorema de Fubini. Cambio de variables. Aplicaciones físicas.

Integrales de línea y de superficie de campos escalares y vectoriales. Flujo y circulación de

un campo vectorial.

Teoremas del análisis vectorial (Green, Stokes, Gauss). Aplicaciones a la mecánica de fluidos

y al electromagnetismo.

Resol. N.º 123/12

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H. 2/4

Departamento de: Ciencias Básicas Área: Cs. Básicas

Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Programa Analítico:

1- FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: Ejemplos de funciones de varias variables. Campos escalares y vectoriales. Dominio e imagen. Gráficas y conjuntos de nivel. Nociones de topología en Rn. Límite y continuidad; propiedades.

2- DIFERENCIABILIDAD: Derivadas parciales. Diferenciabilidad y plano tangente. Gradiente y matriz jacobiana. Derivadas direccionales. Regla de la cadena. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Teorema de la función inversa. Fórmulas de Taylor de 1er y 2do orden. Máximos y mínimos de campos escalares. Extremos de funciones continuas sobre compactos. Extremos con condiciones de ligadura. Multiplicadores de Lagrange.

3- CÁLCULO DIFERENCIAL PARA VECTORES: Campos vectoriales. Líneas de flujo. Campos gradientes. Superficies equipotenciales. Potencial newtoniano. Divergencia y rotacional. Laplaciano. Fórmulas vectoriales. Coordenadas cilíndricas y esféricas; vectores base. Operadores vectoriales en coordenadas curvilíneas.

4- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1er ORDEN: Generalidades. Ejemplos de problemas que conducen a ecuaciones de 1er orden. Existencia y unicidad de soluciones. Variables separables. Ecuaciones lineales. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones exactas. Aplicaciones

5- ECUACIONES LINEALES DE 2do ORDEN: Ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden. Ecuación completa y homogénea. Existencia y unicidad de soluciones. Dimensión del espacio de solución de la homogénea. Wronskiano. Solución general de la ecuación completa. Coeficientes constantes. Obtención de una base para el espacio de soluciones de la homogénea. Métodos para construir una solución particular de la completa. Oscilador armónico y amortiguado. Oscilaciones forzadas.

6- INTEGRALES MULTIPLES: Integrales dobles, integrales iteradas, teorema de Fubini. Integrales triples e integrales múltiples en general. Cambio de variables. Integración en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Integrales dependientes de un parámetro; regla de Leibnitz. Aplicaciones: centro de masa y momentos de inercia.

7- INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE: Integración de campos escalares respecto de la longitud de arco. Integrales de línea de campos vectoriales. Interpretaciones físicas. Reparametrización. Teorema de Green. Teorema de la divergencia en el plano. Campos conservativos. Potenciales. Superficies parametrizadas. Nociones de orientabilidad. Area de una superficie. Integrales de campos escalares y vectoriales sobre superficies. Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.

8- TEOREMAS DEL ANALISIS VECTORIAL: Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Significado físico de la divergencia y del rotor. Funciones armónicas. Fórmulas de Green. Aplicaciones al electromagnetismo y a la mecánica de los fluidos.

9- INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: Generalidades sobre sistemas. Sistemas autónomos. Plano de fase de una ecuación de 2do orden. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

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H. 3/4

Departamento de: Ciencias Básicas Área: Cs. Básicas

Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Descripción de las actividades teóricas y prácticas: Se dictan dos clases semanales de cuatro horas cada una las cuales se distribuyen de la siguiente manera: dos horas de clases teóricas y dos horas de clases prácticas. Las clases teóricas son exposiciones a cargo del encargado de cátedra (en forma de clase magistral). En las clases prácticas los alumnos trabajan individualmente en la resolución de problemas guiados por el encargado de cátedra y los auxiliares.

Metodología de Enseñanza: En las clases teóricas se hace especial hincapié en el significado (generalmente físico) de los contenidos y en que se entienda el por qué de los resultados, tratando de no caer en un exceso de abstracción matemática, pero sobre todo evitando que la clase sea un recetario para resolver problemas. Para las clases prácticas, los alumnos cuentan con guías de problemas confeccionadas con tres tipos de ejercicios: los rutinarios (para fijar conceptos y notación), los de aplicación (donde se requiere cierto manejo más que elemental para hacerlos) y los teóricos, que son además una invitación a pensar. Se le asegura al alumno que con los contenidos dados en la clase teórica pueden resolverse los problemas de las guías, y se lo insta a pensarlos uno por uno de manera individual, después de haber estudiado cuidadosamente la teoría. En caso de que encuentre dificultades, se lo guía para que pueda seguir (o comenzar), pero sin decirle por completo como se resuelve el problema, de forma tal que el alumno encuentre por si solo el camino. Se trata de que el alumno entienda que lo que tiene que aprender no es solo como resolver cierto problema, sino que tiene que aprender a darse cuenta (por si solo, pensando) como usar las herramientas teóricas para resolver cada problema. Una ves encontrado el camino, la resolución del problema es una cuestión mecánica (aunque no despreciable). Se pide a los alumnos, además, que una vez resueltos cierta cantidad de problemas (y no antes), intercambie opiniones y formas con sus compañeros. Así, toda a asignatura está apuntada hacia el autoaprendizaje, en tanto se pretende no solo que el alumno adquiera ciertos conocimientos matemáticos, sino que aprenda “como funciona” la matemática.

Forma de Evaluación: Se toman durante la cursada dos exámenes. El primero escrito y el segundo escrito con opción a una parte oral, con contenidos teórico y prácticos. Además se solicita la entrega de ejercicios de las guías de trabajos prácticos resueltos (aproximadamente 2 ejercicios por guía). Cada examen tiene dos secciones: la primera para regularizar la asignatura, con ejercicios esencialmente prácticos y de resolución mecánica, y la segunda para promocionar. La primera sección se califica como aprobada o no, y la segunda se evalúa numéricamente (1 a 10), y sólo cuando la primer sección está aprobada. En cuanto a los exámenes finales, tienen diferente carácter dependiendo de la condición de regular o no del alumno.

Resol. N.º 123/12

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H. 4/4

Departamento de: Ciencias Básicas Área: Cs. Básicas

Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Bibliografía:

Bibliografía básica: 1. COLLEY, SUSAN J.: Vector Calculus, 2nd edition. Prentice Hall (2002).

2. MARSDEN, J. E. y TROMBA, A.J.:Calculo Vectorial 4ta edición. Addison Wesley Longman (1996).

3. SIMMONS, GEORGE F.: Ecuaciones Diferenciales (con aplicaciones y notas historicas), 2da edición.

McGraw-Hill (1991).

Bibliografía complementaria: 1. APOSTOL, TOM M.: Calculus Tomos I y II. Editorial Reverte.

2. KAPLAN, WILFRED: Cálculo Avanzado. Compañía Editorial Continental (1983).

3. SANTALÓ, LUIS A.: Vectores y Tensores (con sus aplicaciones). Eudeba (1970).

4. PITA RUIZ, CLAUDIO: Cálculo Vectorial. Prentice-Hall Hispanoamericana (1995).

5. BRAUN, M.: Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica ( ).

6. KREIDER D KULLER R., OSTBERG D., Ecuaciones Diferenciales. Editorial Fondo Interamericano de

Desarrollo (1973).

7. KREYSZIG, ERWIN: Advance Engineering Mathematics, 8th edition. John Wiley & Sons (1999).

8. CURTIS, Jr.: Cálculo de varias variables con álgebra lineal. Ed Limusa (1997).

9. MATTHEWS, PAUL. C.: Vector Calculus. Springer-Verlag (1998).

VIGENCIA DE ESTE PROGRAMA

AÑO PROFESOR RESPONSABLE FIRMA

2012 DAVIS, Eduardo Enrique

VISADO

JEFE DEPARTAMENTO SECRETARIO ACADÉMICO DECANO