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Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación El trabajo por proyectos y su relación con el desarrollo de la competencia matemática en los alumnos de 5° grado de primaria. Tesis que para obtener el grado de: Maestra en educación Presenta: Miriam Judith Guijarro Bonilla Asesor tutor: Ana Margarita Ancira Torres Asesor titular: Dr. Rubén Edel Navarro Zamora, Michoacán, México Mayo, 2012
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Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
El trabajo por proyectos y su relación con el desarrollo de la
competencia matemática en los alumnos de 5° grado de primaria.
Tesis que para obtener el grado de:
Maestra en educación
Presenta:
Miriam Judith Guijarro Bonilla
Asesor tutor:
Ana Margarita Ancira Torres
Asesor titular:
Dr. Rubén Edel Navarro
Zamora, Michoacán, México Mayo, 2012
Índice
Resumen .......................................................................................................................... i
Introducción. .................................................................................................................. ii
I. Planteamiento del problema ..........................................................................................5
1.1. Marco contextual ..................................................................................................5
1.2. Antecedentes del problema....................................................................................7
1.3. Planteamiento del problema ................................................................................ 10
1.4. Objetivos de investigación. ................................................................................. 11
1.4.1. Objetivo General. ......................................................................................... 11
1.4.2. Objetivos específicos .................................................................................... 11
1.5. Supuestos ............................................................................................................ 12
1.6. Justificación de la investigación .......................................................................... 12
1.7. Limitaciones y alcances ...................................................................................... 14
1.7.1. Limitaciones ................................................................................................. 14
1.7.2. Alcances ....................................................................................................... 15
1.8. Definición de términos ........................................................................................ 16
II. Fundamentación Teórica ........................................................................................... 18
2.1. Trabajo por proyectos ......................................................................................... 18
2.1.1. Enseñanza situada ........................................................................................ 21
2.1.2. Características de los proyectos .................................................................... 22
2.1.3. Trabajo cooperativo. ..................................................................................... 24
2.1.4. Motivación ................................................................................................... 30
2.2. Competencias ...................................................................................................... 34
2.2.1. Características de las competencias .............................................................. 34
2.2.2. Competencia matemática. ............................................................................. 36
2.2.3. Resolución de problemas .............................................................................. 44
3.1. Conclusiones ....................................................................................................... 49
III. Metodología ............................................................................................................. 52
3.1. Descripción del método o enfoque ...................................................................... 52
3.2. Población y muestra ............................................................................................ 57
3.3. Tema, categorías e indicadores de estudio ........................................................... 58
3.3.1. Tema del estudio .......................................................................................... 58
3.3.2. Categorías o temáticas. ................................................................................. 59
3.3.3. Indicadores. .................................................................................................. 60
3.4. Fuentes de información ....................................................................................... 61
3.5. Técnicas de recolección de datos o instrumentos ................................................. 63
3.6. Prueba piloto. ...................................................................................................... 64
3.7. Aplicación de instrumentos o procedimientos ...................................................... 65
3.8. Captura y análisis de datos o estrategia de análisis de datos ................................. 65
IV. Análisis de resultados .............................................................................................. 70
4.1. Resultados........................................................................................................... 70
4.1.1. Eje 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico ....................................... 73
4.1.2. Eje 2. Forma, espacio y medida .................................................................... 75
4.1.3. Eje 3. Manejo de información ....................................................................... 78
4.2. Análisis e interpretación de resultados ................................................................. 84
4.2.1. Trabajo por proyectos ................................................................................... 84
4.2.2. Enseñanza situada ........................................................................................ 86
4.2.3. Trabajo cooperativo ...................................................................................... 87
4.2.4. Motivación ................................................................................................... 89
4.2.5. Competencias ............................................................................................... 89
4.2.6. Competencia matemática .............................................................................. 91
4.2.7. Resolución de problemas .............................................................................. 91
V. Conclusiones ............................................................................................................. 96
5.1. Hallazgos ............................................................................................................ 96
5.2. Limitantes ......................................................................................................... 100
5.3. Nuevas preguntas de investigación .................................................................... 102
Referencias .................................................................................................................. 104
Apéndice A. Preprueba para evaluar la competencia matemática ................................. 108
Apéndice B. Posprueba para evaluar al competencia matemática ................................. 118
Apéndice C. Secuencia didáctica ................................................................................. 128
Apéndice D. Tabla de resultados del progreso de ambos gruos con porcentajes............ 132
Apéndice E. Carta de consentimiento ........................................................................... 133
Apéndice F. Fotografías del grupo de control ............................................................... 134
Apéndice G. Fotografías del grupo experimental ......................................................... 135
Apéndice H. Relato de un alumno del grupo experimental ........................................... 136
Apéndice I. Currículum Vitae ...................................................................................... 137
i
Resumen
El objetivo de esta investigación consistió en determinar si el trabajo por proyectos es
eficaz para el desarrollo de la competencia matemática. Para esto se diseñó un
cuasiexperimento fundamentado en el enfoque cuantitativo y el paradigma deductivo, a
partir de una hipótesis preestablecida. Se manipuló el trabajo por proyectos y se midió
mediante una preprueba y una posprueba, su influencia en el desarrollo de la competencia
matemática en dos grupos de 5° grado de primaria en el estado de Michoacán, uno
experimental y el otro de control. El primero abordó la asignatura de matemáticas
mediante el trabajo por proyectos y el segundo, de manera tradicional. Se llegó a la
conclusión de que el trabajo por proyectos sí contribuye significativamente al desarrollo
de la competencia matemática primordialmente en los ejes Sentido numérico y
pensamiento algebraico y Forma, espacio y medida, mientras que la enseñanza tradicional
propicia un mayor desarrollo pero con una diferencia irrelevante en el eje Manejo de
información. Se encontró que el trabajo por proyectos al estar orientado a la elaboración
de productos de forma cooperativa, inserto en contextos concretos que vincula las
prácticas escolares con la vida real y poner de relieve la funcionalidad de los
conocimientos, propició el ejercicio de la autonomía y autorregulación en las actividades,
favoreció el desempeño escolar porque aumentó la motivación de los alumnos y con ello,
impulsó el desarrollo de la competencia matemática. Se sugiere en futuras
investigaciones, ampliar el tiempo de ejecución del trabajo por proyectos, aumentar la
muestra y abordar este estudio desde el enfoque cualitativo para enriquecer lo encontrado.
ii
Introducción.
Con la finalidad de elevar la calidad educativa, se ha puesto en marcha una
Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) que plantea una formación basada en
competencias a partir de la integración de conocimientos conceptuales, procedimentales y
actitudinales para tener un desempeño exitoso en los distintos ámbitos de la vida. Una de
las áreas en que se manifiesta gran deficiencia es la competencia matemática, y se ha
considerado que una forma efectiva de promover su desarrollo es el trabajo por proyectos
que se basa en la propuesta de Dewey y propone partir de un aprendizaje experiencial en
contextos reales, esto implica una práctica reflexiva y una forma de acción colectiva. Por
sus características, esta estrategia se sustenta en los paradigmas constructivista y
sociocultural. Además, favorece la motivación y el aprendizaje autorregulado, la
autonomía de los alumnos, un aprendizaje activo y propositivo.
Por lo tanto, el trabajo por proyectos representa una estrategia eficaz para el
desarrollo de la competencia matemática que se compone de cuatro habilidades básicas:
resolución de problemas, manejo de información, validación de procedimientos y
resultados y manejo eficiente de técnicas. Por sus características, se ha considerado como
eje central de dichas competencias, la resolución de problemas, que se abordó en los tres
ejes de matemáticas: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y
medida y Manejo de información.
El presente trabajo vinculó el desarrollo de la competencia matemática con el
trabajo por proyectos y se llevó a cabo en una Escuela Primaria Urbana Federal ubicada
iii
en el estado de Michoacán. Los participantes de este estudio fueron dos grupos de 5°
grado, uno de control que abordó la asignatura de matemáticas de manera tradicional, y
uno experimental que lo hizo mediante el trabajo por proyectos. El objetivo de este
trabajo consistió en determinar si el trabajo por proyectos favorece de manera eficaz el
desarrollo de la competencia matemática en alumnos de 5° grado de primaria. Para
cumplir dicho propósito, se llevó el proceso de investigación que a continuación se
describe en cinco capítulos.
El capítulo primero, presenta el problema de investigación, el contexto que lo
enmarca, sus antecedentes, preguntas y objetivos, los supuestos que manifiestan la
relación entre las variables dependiente e independiente de este proyecto, la justificación,
limitantes y alcances de este estudio y culmina con la presentación de un glosario que
expone los términos más recurrentes del mismo.
El segundo capítulo muestra los fundamentos teóricos de esta investigación, es
decir, los elementos más importantes del trabajo por proyectos y la competencia
matemática. Del primero se expone la enseñanza situada, las características de los
proyectos, el trabajo cooperativo y la motivación. Respecto a la competencia matemática,
primeramente se definen las características de las competencias, posteriormente se
expresa lo referente a la competencia matemática y se hace énfasis en la resolución de
problemas.
El capítulo tercero expone la metodología que se llevó a cabo en esta
investigación, se manifiesta el método desde el que fue abordada, la población y muestra
iv
de este estudio, el tema, categorías e indicadores, es decir, el eje de la investigación y sus
constructos. Posteriormente se describen las fuentes de información, las técnicas de
recolección de datos, la prueba piloto que se aplicó, la forma en que se capturaron y
analizaron los datos para asegurar la confiabilidad y validez de este estudio.
En el capítulo cuarto se exponen los resultados de la investigación a partir de los
datos arrojados en los tres ejes de matemáticas. El eje Sentido numérico y pensamiento
algebraico, consideró los temas: Significado y uso de los números y Significado y uso de
las operaciones. El eje Forma, espacio y medida, abordó los temas Figuras, Ubicación
espacial y Medidas. El eje Manejo de información expone el tema Análisis de
información. Posteriormente se muestra el análisis de resultados considerando el trabajo
por proyectos, la enseñanza situada, trabajo cooperativo, motivación, competencia
matemática y resolución de problemas.
En el capítulo quinto se manifiestan las conclusiones derivadas de los objetivos de
investigación y el sustento teórico que acredita este estudio, así como los hallazgos, las
limitantes encontradas, nuevas preguntas de exploración y aspectos que pueden conocerse
con mayor especificidad en investigaciones futuras.
Finalmente, se presentan algunos apéndices en los que se muestran los
instrumentos utilizados, una secuencia didáctica trabajada con el grupo experimental, la
carta de consentimiento de la institución en donde se llevó a cabo la investigación,
algunas fotografías del grupo de control y del grupo experimental, trabajos de los
alumnos y el currículum vitae de la autora de este trabajo.
5
I. Planteamiento del problema
En este capítulo se pone de manifiesto un problema de investigación que busca
comparar el desarrollo de la competencia matemática en dos grupos de 5° grado de
primaria, uno abordó el estudio de las matemáticas de manera tradicional y otro lo hizo a
partir del trabajo por proyectos. A continuación se presenta el marco contextual de la
investigación, los antecedentes, el planteamiento del problema, los objetivos generales y
específicos de la investigación, los supuestos o relaciones causales que se establecieron al
inicio del estudio, posteriormente se justifica la investigación, se determinan sus
limitaciones y alcances. Finalmente se presenta la definición de los términos más
recurrentes que en este documento se manejan.
1.1. Marco contextual
En México, con la finalidad de elevar la calidad educativa, se puso en marcha una
Reforma Integral de la Educación Básica que inició en el 2004 en Preescolar, continuó en
el 2006 en Educación Secundaria y en el 2009 en Primaria (SEP, 2011). Dicha reforma se
fundamentó en la formación basada en competencias. Por esta razón, se modificaron los
enfoques de las distintas asignaturas y se sugirió el trabajo por proyectos porque éstos
favorecen la movilización de conocimientos y con ello el desarrollo de competencias. No
obstante, esta forma de trabajo no se mencionó en el área de matemáticas en educación
primaria, a pesar de que en esta disciplina, según los resultados de la Evaluación
Nacional del Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE) publicados en la página
electrónica de la Secretaría de Educación Pública, se obtienen niveles de logro muy bajos
6
en México. Esta misma realidad se presenta en el estado de Michoacán en donde se llevó
a cabo este proyecto de investigación.
El presente trabajo se ocupó de la temática expuesta, con la finalidad de valorar el
desarrollo de la competencia matemática mediante el trabajo por proyectos en educación
primaria. Por lo tanto, se llevó a cabo en una escuela Primaria Urbana Federal del estado
de Michoacán de organización completa, que atiende a dos grupos de cada grado, con un
promedio de veinticinco alumnos cada uno. Este proyecto de trabajo se aplicó a dos
grupos de 5° grado del turno matutino para contrastar el desarrollo de la competencia
matemática mediante el trabajo por proyectos y la metodología tradicional que aborda
distintos contenidos en cada asignatura de manera segmentada.
La escuela en donde se llevó a cabo esta investigación, se ubica en una comunidad
urbana con características esenciales de una sociedad rural. La mayoría de sus habitantes
trabajan en la agricultura o en la ganadería, una cantidad reducida de la población se
dedica al comercio o son empleados de la única empresa que existe en la localidad. Por lo
tanto, la población manifiesta un nivel socioeconómico medio y bajo. Los padres de
familia apoyan las distintas actividades que la escuela propone, no obstante, reconocen su
incapacidad para ayudar óptimamente a sus hijos en el uso de la tecnología y la ejecución
de actividades de investigación debido a su bajo nivel de escolaridad, puesto que el 82%
de los padres sólo terminó la primaria, el 15% cursó la secundaria y únicamente el 3%
tiene estudios de bachillerato (datos recabados por el autor).
Además, por la ausencia de capacitación docente y de trabajo colegiado en la
institución, se practica en la escuela una forma de trabajo segmentada, se limita cada
asignatura a sí misma, se somete a un horario y generalmente no se da paso a la
7
transversalidad sugerido por el Programa de Estudios 2009 de Primaria. El trabajo por
competencias se deja a la interpretación de cada maestro y la forma de ejecutarlo a sus
posibilidades, iniciativa y desempeño individual. Por lo tanto, se ha privilegiado en los
alumnos la adquisición mecánica de conocimientos, más que el desarrollo de habilidades.
Las actitudes y valores se promueven de manera escasa e independiente de los contenidos
educativos.
1.2. Antecedentes del problema
La Secretaría de Educación Pública a partir del ciclo escolar 1983-1984 mediante
la aplicación de exámenes constató un nivel reprobatorio en la asignatura de matemáticas
y actualmente el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), reporta
resultados semejantes en dicha disciplina (Martínez, 2007).
En 1989 se realizó un análisis a nivel nacional para identificar los principales
problemas educativos del país y se propuso el Programa para la Modernización Educativa
que consideró que las habilidades matemáticas junto con las de lectura y escritura
constituyen el fundamento de la educación básica. Por esta razón, se propuso la
renovación de contenidos y métodos de enseñanza para elevar la calidad educativa. A
partir de dicha declaración, la Secretaría de Educación Pública inició la evaluación de
planes, programas y libros de texto que en 1991 el Consejo Nacional Técnico de la
Educación analizó para la modernización de la educación básica (SEP, 1993).
Los resultados de dicho trabajo se plasmaron en el Plan y programas de estudios
de 1993. Este documento propuso para la asignatura de matemáticas, una forma de
trabajo basada en el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas en diversos
8
ámbitos a partir de los conocimientos previos, en donde las matemáticas fueran
herramientas flexibles y funcionales. Expresó además que el éxito del aprendizaje de esta
disciplina depende del diseño de actividades que promuevan la construcción de
experiencias concretas en la interacción con otros (SEP, 1993).
Los Programas de estudio 2009, se basan también en la resolución de problemas y
en el uso de las matemáticas como herramientas flexibles y funcionales. Se agrega
únicamente la importancia de una actitud positiva hacia esta asignatura, de suscitar el
interés y la reflexión de los alumnos para validar resultados. Por lo tanto, ambos
programas retoman básicamente el mismo enfoque. Pese a que se ha descubierto un
carente desempeño en el área de matemáticas, los contenidos, pero principalmente la
forma de abordarlos, sigue siendo la misma, el libro de texto ofrece sólo lecciones
independientes que con frecuencia no van más allá de la escuela, resultan distantes al
contexto de los estudiantes y por lo tanto, hipotéticas.
Por otra parte, los Programas de estudio de educación básica de primaria 2009,
sugieren el trabajo por proyectos en todas las asignaturas, incluso organizan bajo esta
dinámica, el libro de texto de español y ciencias naturales pero en el área de matemáticas
no se hace mención de dicha estrategia sugerida por muchos investigadores mencionados
por Vilella (2007), ellos son Decroly y Freinet, que refieren la necesidad de ejecutar
actividades relacionadas con el mundo real; Dewey y Kilpatrick, que ponen de manifiesto
aspectos sociales de la educación; Villani y Fischein que relacionan el trabajo por
proyectos con las matemáticas; Blum, Niss y Matos que explican que el trabajo por
proyectos favorece el desarrollo de destrezas y la interiorización de conceptos y procesos
matemáticos.
9
A partir de 1990 se realizaron propuestas del trabajo por proyectos educativos en
diversos países de Latinoamérica como una forma de organizar la estructura curricular.
En México se incorporó esta forma de trabajo a la educación preescolar en 1992 y a la
educación primaria en el 2009. Su enfoque se orienta a la resolución de problemas o
situaciones significativas para abordar los contenidos curriculares y propiciar la
participación colectiva que implica partir de conocimientos previos, considerar el
contexto de los alumnos, solicitar la elaboración de productos concretos y propiciar el
trabajo cooperativo (SEP, 2009).
Por otra parte, la institución educativa en la que se llevó a cabo esta investigación,
presentó como común denominador en todos los grupos, un bajo rendimiento en
matemáticas según los resultados de la evaluación diagnóstica. Los alumnos manifestaron
serias deficiencias en esta disciplina. Ante esto, los docentes tuvieron diversas reacciones,
por ejemplo, dedicar más tiempo del establecido para trabajar en matemáticas, dejar más
tareas de matemáticas, o bien, hacer caso omiso de dicha realidad.
No obstante, los resultados continuaron siendo insatisfactorios y la metodología
para abordar las matemáticas siguió basándose en el estudio de en un libro de texto, con
temas segmentados cuyas lecciones resultan a menudo lejanas al contexto e intereses de
los estudiantes, razón por la cual muchos alumnos mostraron poca motivación en dicha
disciplina. Por no descubrir una utilidad práctica de las matemáticas, abordaron la
asignatura únicamente como un requisito escolar sin transferir a su vida ordinaria lo que
aprenden en la escuela.
Pese a la necesidad de impulsar el desarrollo de la competencia matemática por el
bajo nivel de logro de los estudiantes en ella, a pesar de que el progreso en ésta es
10
valorada por tutores, docentes y directivos de la institución como una prioridad de la
escuela, se hace caso omiso de esta necesidad, de tal forma que en la institución
educativa, fuera de este estudio, no se ha hecho ninguna investigación ni propuesta de
trabajo específica para superar dicha problemática.
1.3. Planteamiento del problema
Por lo expuesto anteriormente, se pretendió favorecer el desarrollo de la
competencia matemática a partir de un trabajo autónomo, activo, participativo, con
sentido y en situaciones que se asemejaran lo más posible al mundo real para generar
motivación y favorecer la adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades y
actitudes conducentes a la movilización de saberes. Por lo tanto, esta problemática
relacionó la competencia matemática con el trabajo por proyectos, como se define a
continuación en una pregunta general.
¿Cómo desarrollar la competencia matemática en alumnos de 5° grado de
primaria a través del trabajo por proyectos?
A partir de la interrogante universal, se generaron las siguientes preguntas
específicas considerando los propósitos que el Programa de estudios 2009 de Primaria
señala para los alumnos del 5° grado.
¿De qué manera el trabajo por proyectos favorece la capacidad de los alumnos
para resolver problemas que precisan la comprensión del significado y uso tanto de los
números como de las operaciones?
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¿Contribuye significativamente el trabajo por proyectos para que los estudiantes
sean capaces de resolver problemas relacionados con la forma, espacio y medidas de
cuerpos y figuras?
¿El trabajo por proyectos impulsa de manera relevante el análisis y manejo de
información?
¿Qué elementos del trabajo por proyectos favorecen el desarrollo de la
competencia matemática?
1.4. Objetivos de investigación.
Habiendo expuesto la problemática que origina esta investigación, se expone a
continuación el objetivo general de la misma y posteriormente los objetivos específicos.
Estos elementos indican puntualmente el problema que se buscó solucionar y los
elementos primordiales que fue preciso establecer.
1.4.1. Objetivo General.
• Determinar si el trabajo por proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de
la competencia matemática en alumnos de 5° grado de primaria.
1.4.2. Objetivos específicos
• Valorar si el trabajo por proyectos favorece significativamente la comprensión
del significado y uso de los números y de las operaciones.
• Concretar si el trabajo por proyectos capacita significativamente a los alumnos
para resolver problemas que impliquen diversas formas, espacios y medidas.
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• Determinar en qué medida el trabajo por proyectos favorece la capacidad de los
alumnos para resolver problemas que impliquen el análisis e interpretación de
información.
• Especificar qué elementos del trabajo por proyectos favorecen el desarrollo de
la competencia matemática
1.5. Supuestos
Esta investigación planteó un desempeño deficiente de los alumnos de educación
primaria en el área de matemáticas. Dicha situación se atribuyó a la forma de abordar la
asignatura, a partir de contenidos que a menudo resultan hipotéticos para los estudiantes.
Por consiguiente se propuso utilizar una forma de trabajo que presentara situaciones de la
vida real, motivara a los alumnos y los llevara a resolver problemas de manera autónoma
para mejorar su desempeño. Para ello se propuso el trabajo por proyectos en el área de
matemáticas y se estableció una hipótesis de investigación de diferencia de grupos según
la clasificación de Hernández, Fernández y Baptista (2010).
La hipótesis es la siguiente: El desarrollo de la competencia matemática será
mayor en los estudiantes que aborden el estudio de las matemáticas por medio del trabajo
por proyectos que en los que estudien matemáticas con la metodología tradicional que
implica el estudio de contenidos aislados y con frecuencia descontextualizados.
1.6. Justificación de la investigación
Pretender superar los resultados educativos en el área de matemáticas sin
modificar la forma de abordarla, es una tarea sumamente difícil. Se reconoció que para
impulsar el desarrollo de dicha disciplina, es menester suscitar el interés y reflexión de
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los estudiantes para promover la resolución de problemas y actitudes favorables hacia
esta asignatura. Se reconoció además que el trabajo por proyectos parte de la solución de
un problema para abordar los contenidos curriculares, vincula situaciones cercanas a la
vida real del niño, permite identificar conocimientos previos para impulsar la adquisición
de pensamientos más complejos, torna tangible el aprendizaje mediante la creación de
productos y propicia el trabajo colectivo (SEP, 2009).
Por esta razón, pese a que el trabajo por proyectos no se menciona en el área de
matemáticas en el Programa de estudios de primaria 2009, esta investigación relacionó
dichos elementos, para lograr que los alumnos fueran competentes en el planteamiento y
resolución de problemas de manera autónoma, comunicaran información matemática,
validaran procedimientos y resultados y finalmente, manejaran procedimientos
matemáticos de manera efectiva, según lo recomendado por el Plan de educación
primaria vigente, a partir de los siguientes temas: Significado y uso de los números,
Significado y uso de las operaciones, Figuras, Ubicación espacial, Medias y Análisis de
información.
Abordar el estudio de las matemáticas mediante el trabajo por proyectos con un
grupo experimental de 5° grado de primaria y contrastar los logros de estos alumnos con
el desempeño que manifestó el grupo de control que abordó el mismo estudio pero de
manera tradicional, permitió valorar los logros, dificultades y necesidades de los
estudiantes a partir de la determinación de aprendizajes esperados y logros alcanzados en
un lapso de cuatro meses aproximadamente.
Esta investigación permitió comparar los resultados de ambos grupos y verificar si
realmente el trabajo por proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia
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matemática. Lo encontrado en este estudio conduce a tomar decisiones para mejorar el
desarrollo de dicha competencia en los estudiantes al adoptar el trabajo por proyectos
para mejorar las áreas que más se favorecieron, así como a buscar otras alternativas para
optimizar el progreso del eje matemático que se incrementó en menor medida.
1.7. Limitaciones y alcances
Este proyecto se llevó a cabo con dos grupos de 5° grado de educación primaria
en el ciclo escolar 2011-2012, cada uno constituido por veinte alumnos. Los dos grupos
estudiaron los mismos temas en matemáticas y trabajaron en dicha asignatura 6 horas por
semana. Ambos abordaron el trabajo por proyectos en diversas asignaturas. La diferencia
es que el grupo experimental, emprendió el estudio de matemáticas mediante el trabajo
por proyectos, mientras que el de control lo hizo de manera tradicional.
1.7.1. Limitaciones
La unidad de análisis de este estudio estuvo constituida por los alumnos de
primaria. Se eligió como población del estudio a los estudiantes del 5° grado de primaria
de un municipio de Michoacán. Sin embargo, la muestra seleccionada es de carácter
formal o no probabilístico porque conforme a las posibilidades de la investigadora, se
seleccionó una escuela para aplicar este proyecto.
Como la elección de la muestra fue formal, se excluyó la posibilidad de calcular el
nivel de confianza de la estimación como lo refieren Hernández et al. (2010). No
obstante, como dichos autores expresan, la utilidad de la investigación se justifica porque
el problema que se analiza, más que demandar una representatividad, precisa de una
15
elección de caso cuidadosa y controlada. Una limitante verídica es el hecho de no
contrastar el desempeño de los estudiantes en otras escuelas, sino limitarse a una sola.
El espacio reducido del tiempo en el que esta investigación se realizó, constituyó
otra limitante, puesto que el periodo para recolectar información fue restringido, abarcó
los meses de octubre a enero, en donde hubo un periodo vacacional y diversas
suspensiones. Por lo tanto, este trabajo de investigación se llevó a cabo con celeridad.
Por otra parte, se sabe que existen múltiples estrategias didácticas para trabajar las
competencias, en este caso, la competencia matemática, por ejemplo, las que enlistan
Tobón, Pimienta y García (2010); Aprendizaje Basado en Problemas, estudio de caso,
aprender utilizando las tecnologías de la información y la comunicación, simulación,
tutoría, aprendizaje colaborativo, aprendizaje con mapas, etc., no obstante, sólo se
contrastó la forma tradicional de abordar las matemáticas y el trabajo por proyectos en la
misma disciplina. La efectividad de las otras técnicas se reservó a investigaciones
posteriores.
1.7.2. Alcances
Pese a que el desarrollo de una competencia constituye un proceso, y que el
trabajo por proyectos en situaciones reales suscita motivación y autonomía en los
estudiantes, favoreciendo así la movilización de saberes matemáticos, esto constituye un
proceso que debe llevar tiempo, primeramente para adaptarse a un nuevo plan de
estudios, a una distinta forma de trabajo y a desarrollar la confianza en sí mismo para
hacer cosas nuevas.
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No obstante, esta investigación ofrece información relevante respecto al nivel de
logro de los estudiantes en matemáticas para verificar en qué aspectos es eficaz el trabajo
por proyectos. Se tienen pruebas objetivas basadas en el desempeño de los alumnos a
partir del trabajo por proyectos y la enseñanza tradicional que permiten contrastar de
manera objetiva el desarrollo de la competencia matemática en los distintos temas
evaluados.
1.8. Definición de términos
Con la finalidad de favorecer la comprensión e interpretación de este documento,
se presenta enseguida un glosario de los conceptos que se utilizan en el documento de
manera periódica.
Competencia: Se entenderá como la integración de conocimientos, habilidades y
valores para el logro de un propósito (SEP, 2009).
Matemáticas: ciencia empírica integrada por conocimientos y destrezas en
evolución continua, vinculadas a problemas prácticos del ser humano (Martínez, 2007).
Conocimientos: Componente de las competencias que consiste en identificar
intelectualmente cualidades de las cosas y procedimientos (Frade, 2009).
Habilidades: Son las acciones que se emprenden para la consecución de un fin
(Zabala y Arnau, 2007). Se privilegia la capacidad para identificar, plantear y resolver
problemas.
Actitudes: componentes de las competencias, se refieren a la forma de actuar de
las personas ante determinadas circunstancias (Zabala y Arnau, 2007).
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Proyecto: es una modalidad didáctica que tiene como propósito una actividad con
una meta bien definida. Se pone por escrito en una planeación que incluye qué se quiere
hacer, cómo, para qué, cuándo, qué se necesita y quién lo hará (Frade, 2009).
Autonomía: implica que los alumnos por sí mismos actúen, se planteen metas,
elijan estrategias para lograr un fin y evalúen su propio desempeño primordialmente en la
resolución de problemas.
Motivación: es un estado interno que anima a actuar, dirige las acciones de las
personas y las mantiene en ellas. En el campo educativo, la motivación determina si se
aprende algo y cómo se aprende (Ormrod, 2005; Puente 2004).
Lo expuesto hasta este momento pone de manifiesto la necesidad de impulsar el
desarrollo de la competencia matemática en el contexto de la RIEB que representa una
novedad en la metodología y promueve el trabajo por proyectos en muchas asignaturas
por su utilidad para el aprendizaje al demandar la puesta en práctica de manera integrada
de saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. No obstante, esta
recomendación no se hace en el área de matemáticas, por lo que este proyecto de
investigación la promovió con un grupo experimental del 5° grado de primaria para
contrastar sus avances con un grupo de control y verificar si el trabajo por proyectos
contribuye o no eficazmente en el desarrollo de la competencia matemática.
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II. Fundamentación Teórica
La sociedad actual demanda personas íntegras, capaces de participar en proyectos
de desarrollo e innovación en el ámbito personal, familiar y social. Para ello se requiere
una preparación activa e integral. En este capítulo se abordan contenidos de matemáticas
para el desarrollo de esta competencia en los estudiantes de 5° grado de primaria,
expresada básicamente en la resolución de problemas mediante el trabajo por proyectos.
A continuación se fundamenta la definición, características y componentes principales de
los proyectos que son el trabajo cooperativo y la motivación. Enseguida se refiere la
competencia matemática y los elementos primordiales de la resolución de problemas.
2.1. Trabajo por proyectos
El trabajo por proyectos se considera una actividad experiencial y propositiva que
los alumnos ejecutan mediante una práctica reflexiva y cooperativa con libertad de
acción. Se orienta a la resolución de un problema o elaboración de un producto
determinado en un contexto real donde se favorece la adquisición de conocimientos,
habilidades y actitudes (Díaz Barriga, 2006; Díaz Barriga y Hernández, 2010). A su vez,
estos elementos son los componentes fundamentales de la formación basada en
competencias que promueve la RIEB en los programas de estudio 2009 para lograr la
integración y movilización de saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales que
tienen como finalidad, capacitar al estudiante para hacer frente de manera efectiva a las
situaciones y problemas que se les presenten en su vida escolar, familiar, social y
personal.
El aprendizaje orientado a proyectos se relaciona con el paradigma sociocultural
porque demanda un aprendizaje cooperativo mediante la interacción social, requiere una
19
participación activa del estudiante en cada una de las actividades y un trabajo con metas
compartidas en el cual el alumno no recibe pasivamente información del exterior, sino
que de manera propositiva, se compromete en las actividades académicas que se
proponen.
Esta estrategia de trabajo se relaciona con el paradigma constructivista basado en
la postura de Piaget y Vigotsky que promueve la individualización y socialización del
conocimiento, concibe el aprendizaje como un proceso cuyo autor principal es el alumno
que requiere seleccionar, organizar y representar información. El trabajo por proyectos
promueve este enfoque porque parte de los conocimientos, intereses y necesidades de los
alumnos, propone el trabajo individual y aprendizaje cooperativo, presenta los contenidos
de enseñanza interrelacionados, delimita los objetivos, precisa la participación del
estudiante y otorga gran relevancia al aprendizaje experiencial a partir de la resolución de
problemas. Por lo tanto, favorece la motivación intrínseca y el desarrollo de
conocimientos al relacionar la nueva información con la que ya existe en la estructura
cognitiva del estudiante.
Como Díaz Barriga (2006) expresa, las raíces del aprendizaje orientado a
proyectos se remontan al siglo XVII en Europa y a las primeras décadas del siglo XX en
la educación progresista democrática propuesta por Dewey, que concebía la escuela como
una institución social, una preparación para la vida a través de la comunicación entre los
individuos y un intercambio de experiencias. La forma de trabajar en el modelo propuesto
por Dewey, se basaba en la experiencia de los alumnos con la finalidad de tornar más
real, motivante y formativa la práctica educativa para que los alumnos adquirieran un
mejor y mayor desarrollo.
20
La escuela experimental propuesta por Dewey seguía los principios por él
propuestos que conciben la educación como una experimentación, una actividad
pragmática y progresista para la reconstrucción del pensamiento a partir de la práctica.
Esta postura se basa en teorías psicológicas, actividades cooperativas, necesidades e
intereses de los alumnos, resolución de problemas, experiencia situada en un ambiente
determinado; propicia el vínculo entre el saber y el saber hacer, a partir de la idea de que
la mejor educación orienta a la persona a ser más inteligente, autónoma, con
autoconfianza, autocontrol y creatividad (Díaz Barriga, 2006). Por lo tanto, privilegia la
actividad reflexiva en detrimento del pensamiento rutinario del estudiante impulsando
actividades que impliquen dudar, buscar, investigar, hacer y presentar.
Donald Schon (1992) retomó la postura de Dewey para aprender al hacer las
cosas, él consideró que un error educativo consiste en enseñar teorías y técnicas a los
alumnos y esperar que usen dicho conocimiento cuando se enfrenten a un problema
determinado. Argumentó además que el aprendizaje no sucede mediante la transmisión
de conocimientos del docente al alumno, sino que tiene lugar en un contexto donde el
alumno opera en una situación real, utiliza palabras e interactúa con el profesor y sus
compañeros. De esta manera refiere la importancia de que el trabajo educativo se
desarrolle al trabajar en la resolución de problemas reales y de manera cooperativa.
Esta postura que fundamenta la educación en las experiencias y retoma los
conocimientos que los alumnos poseen previamente, demanda una selección de
cuestiones educativas conducentes a ampliar las experiencias de los alumnos, de manera
que los aprendizajes escolares tengan una relación directa con la realidad o una utilidad
práctica. Para hacerlo, se requiere abordar gran parte del currículo mediante actividades
21
propositivas, lo cual remite directamente al trabajo por proyectos para superar la
instrucción descontextualizada que se convierte en irrelevante para el alumno, así como la
enseñanza pasiva en la que el docente proporciona información para que el estudiante la
reciba. Por lo tanto, se requiere privilegiar la actividad del alumno y el uso de lo
aprendido en determinada situación, lo cual remite al aprendizaje situado que a
continuación se describe.
2.1.1. Enseñanza situada
El enfoque de aprendizaje mediante proyectos es una de las propuestas más
representativas de la enseñanza situada, la cual privilegia la actividad de los alumnos, las
prácticas auténticas y relevantes en contextos determinados, la interacción y los intereses
tanto escolares como individuales de los educandos. Además este tipo de enseñanza,
implica el pensamiento, la afectividad y la acción, superando de esta manera el
conocimiento inerte, abstracto y descontextualizado que difiere esencialmente de la vida
social (Baquero 2002; Díaz Barriga, 2006; Díaz Barriga y Hernández, 2010; Wenger,
2001).
Es importante destacar que el aprendizaje situado, en este caso, el trabajo por
proyectos no rechaza la cátedra, la lectura de libros de texto o la ejemplificación de
contenidos sino que busca la integración de los elementos teóricos con las actividades
prácticas en un contexto real. Por lo tanto, estos últimos, precisan ser utilizados para
complementar la enseñanza de los alumnos, de manera que optimicen su desempeño, con
la orientación del docente que lejos de facilitar cada vez más los contenidos escolares,
22
requiere impulsar a los alumnos a desarrollar sus conocimientos, habilidades y superar los
retos que se les van presentando.
2.1.2. Características de los proyectos
Habiendo expuesto los orígenes del trabajo por proyectos y su caracterización
como aprendizaje situado, es preciso mencionar ahora las características de este tipo de
trabajo. Como se ha expresado anteriormente, el trabajo por proyectos no se basa en
conocimientos teóricos inertes o en la ejecución de procesos mecanizados cuya
funcionalidad se desconoce, sino que se ubican en un contexto real y se enfocan a la
resolución de problemas.
Los proyectos, en general, desde la concepción de su implementación hasta el
término de la misma, están constituidos por cuatro fases que son: establecer el propósito,
planearlo, ejecutarlo y evaluarlo. Dichas fases se amplían en seis etapas. En la primera se
establece el propósito del proyecto, se depuran las ideas iniciales, se formulan metas u
objetivos, se establece qué se quiere hacer, por qué y para qué. En la segunda etapa se
busca información en fuentes impresas y digitales. En la tercera se planifica el proyecto,
se establecen las estrategias para lograr las metas que se han planteado, se define cómo
hacer el proyecto, cuándo, dónde y qué recursos se necesitan. En la cuarta etapa se realiza
el proyecto, se hacen registros para hacer un reporte de lo que se planifica y lo que se
logra. En la quinta etapa se valora la experiencia mediante la reflexión de lo vivido y se
elaboran conclusiones en torno a ello. Finalmente, en la sexta etapa se publica el proyecto
en una actividad colectiva (Díaz Barriga, 2006; Díaz Barriga y Hernández, 2010).
23
Por otra parte, existen distintos tipos y clasificaciones de proyectos. Kilpatrick
considera los proyectos de producción, de consumo, de problemas y de mejoramiento
técnico. Risk los clasifica en proyectos de elaboración, de aprendizaje y de resolución de
problemas. Stevenson los especifica como intelectuales o manuales según las actividades
que demanden y en simples o complejos según su extensión. Finalmente, Fernando Sainz
considera la existencia de proyectos globales, por actividades, por materias y sintéticos.
(Bordenave y Martins, 1982). No obstante, todos tienen una finalidad en común que
consiste en que los alumnos planifiquen y autorregulen su propio aprendizaje para que
puedan construir, consolidar y reestructurar sus esquemas cognitivos al identificar qué
conocimientos poseen, cuáles requieren adquirir o ampliar y a qué fuentes van a recurrir.
Posner (2004) fundamenta el trabajo por proyectos desde distintas perspectivas.
Considera que epistemológicamente, este se basa en el método científico porque se
sustenta en el pensamiento-acción-reflexión. Afirma además que el conocimiento más
valioso es social y que este trabajo permite a los estudiantes conseguir habilidades,
actitudes y conocimientos mediante un trabajo activo en el que los alumnos aprenden
haciendo, al ejecutar actividades seleccionadas por ellos mismos, las cuales les resultan
importantes y significativas por asemejarse en gran medida a contextos reales.
Por lo referido anteriormente, resulta evidente la utilidad de abordar los
contenidos curriculares mediante el trabajo por proyectos, porque estos retoman
contenidos interdisciplinarios en prácticas reales de aprendizaje y se abordan con
frecuencia mediante actividades cooperativas que tienen como fin solucionar una
situación o problemática existente. Por lo tanto, dicha forma de trabajo impulsa la
movilización de saberes y en esto consiste básicamente el desarrollo de competencias al
24
tener la oportunidad de practicar y transferir lo aprendido, elemento que con frecuencia se
deja fuera de la escuela al solicitar a los alumnos solamente que acumulen información y
la empleen de manera individual básicamente en los exámenes, como evidencia de que
han adquirido el dominio de conocimientos declarativos y procedimentales.
Ante todo, se reconoce que el trabajo por proyectos ofrece múltiples ventajas. Por
ejemplo, favorece la motivación y el aprendizaje autorregulado por requerir la
participación y autonomía de los alumnos en tareas académicas que parten de sus
intereses y les permiten expresar sus talentos. Contribuyen al desarrollo del alumno para
que este sea independiente y responsable, lo orientan a mejorar la vida en sociedad a
través de la práctica social y lo conducen al conocimiento continuo por la interacción
entre el entorno físico y social a partir de sus intereses, experiencias y conocimientos
previos (Díaz Barriga, 2006).
Puesto que el trabajo por proyectos se caracteriza por ser un aprendizaje situado
que requiere gran interacción entre los estudiantes y el docente fundamentalmente,
aunque también se considera la participación de otras personas, es preciso destacar que la
forma de abordar dicha estrategia de trabajo, será prioritariamente mediante un
aprendizaje cooperativo y no colaborativo. A continuación se especifica el contenido de
dichos términos.
2.1.3. Trabajo cooperativo.
La sociedad actual se caracteriza por ser competitiva e individualista, en ella cada
persona busca su propio bienestar. Estas mismas actitudes se han adoptado en la forma de
trabajo escolar por mucho tiempo. Por lo tanto, proponer en la escuela a los alumnos que
25
se ayuden unos a otros y cooperen en el desarrollo de cada uno de sus compañeros,
representa una tarea difícil. No obstante, es preciso impulsar esta forma de trabajo porque
como expresa el enfoque sociocultural, el estudiante desarrolla sus conocimientos y
perspectivas especialmente al comunicarse y tener contacto con las demás personas.
El aprendizaje cooperativo se entiende como el trabajo en equipos heterogéneos
integrados por pocos alumnos (de 3 a 5 personas). En esta modalidad los estudiantes
requieren comprender lo que el profesor enseña y ayudar a sus compañeros a hacerlo
también, de esta manera, aprenden no sólo contenidos sino también a relacionarse y
apoyar a los demás de manera frecuente, oportuna y solidaria (Ormrod, 2005; Pujolás,
2008). Para ello el docente requiere preparar las tareas, los materiales y orientar a los
alumnos permanentemente en la ejecución del proyecto, así como impulsar el
conocimiento y ejercicio de actitudes favorables para la interacción y el trabajo en grupo.
La concepción de la construcción social del aprendizaje nos remite a Vigotsky
(1979) quien refirió la zona de desarrollo próximo como la distancia entre el nivel de
desempeño real de las personas y su potencial de desarrollo bajo la orientación de un
maestro o la interacción con compañeros más capaces. De esta manera, los alumnos y el
docente se convierten en andamios que ayudan a sus compañeros a construir su
aprendizaje a partir de la ayuda de los demás y la relación social.
En oposición al trabajo cooperativo, existen diversas prácticas educativas que
promueven el individualismo o la competición. En el individualismo, el estudiante no
tiene ninguna relación con sus compañeros, cada uno trabaja de manera aislada, con su
propia capacidad y esfuerzo para resolver la tarea encomendada. Por otra parte, en un
ambiente competitivo, se tienen metas compartidas pero excluyentes, de manera que la
26
calificación de cada alumno depende del desempeño de los otros en el sentido de que, si
aquellos se desempeñaron mejor que él, su calificación es más baja y viceversa, si
manifiestan un trabajo inferior, este se beneficia.
En estas dos situaciones se promueve ante todo una motivación extrínseca basada
en el reconocimiento social y en recompensas externas, pero no en el gusto por el
aprendizaje, en el deseo de aprender, en la autonomía, en la valoración de los propios
logros, etc. Además, los estudiantes se habitúan a ignorar la postura de los demás,
considerando únicamente su opinión y desempeño, lo cual fomenta en ellos una escasa
tolerancia para trabajar con otros, intentar aprender de los demás o ayudar a sus
compañeros, con lo que se desarrolla una conducta poco solidaria (Díaz Barriga y
Hernández, 2010).
Por otra parte, el trabajo cooperativo se asemeja al trabajo colaborativo. En ambas
situaciones los estudiantes trabajan juntos para lograr una meta compartida y se propicia
una interacción directa de los alumnos. No obstante, en el aprendizaje cooperativo, el
docente es quien propone las actividades y tareas a desempeñar, mientras que en el
trabajo colaborativo, la gestión general del aprendizaje es propuesto por los mismos
estudiantes y el docente se convierte en un miembro más que busca el saber. Puesto que
los estudiantes de nivel básico de primaria precisan de una práctica del aprendizaje más
guiada, en este proyecto de investigación se abordó el trabajo individua y el cooperativo
exclusivamente (Díaz Barriga y Hernández, 2010).
Como se ha referido con anterioridad, el aprendizaje cooperativo implica un
trabajo en equipo con metas compartidas para lograr un propósito establecido, por lo
tanto, privilegia la reflexión y la práctica democrática, así como en el aprendizaje activo y
27
el respeto a la diversidad de los alumnos. De esta manera, promueve una
interdependencia positiva al tener todos una meta en común, que lejos de ser excluyente,
les demanda un trabajo conjunto en el que todos participen y se apoyen mutuamente.
La mayor parte de los autores que refieren el trabajo cooperativo expresan que en
esta modalidad en la que se tiene proximidad física con los compañeros, con el docente y
con otras personas porque se trabaja en equipo, se requiere promover un compromiso
compartido de todos los miembros, de manera que cada alumno sea responsable de su
propio desempeño, colabore activamente para alcanzar la meta propuesta y evite la
división del trabajo entre los integrantes del equipo.
Aunque el trabajo cooperativo reporta mejores resultados que la labor
individualista o competitiva porque mejora el rendimiento académico, Pujolás (2008)
expresa que no puede ni debe usarse siempre, sino sólo cuando se quiera poner de relieve
algunos valores como la solidaridad y cooperación, además señala que el aprendizaje
cooperativo más que ser una técnica de trabajo, constituye un contenido curricular que
debe enseñarse. Por lo tanto, es preciso alternar esta estrategia didáctica con el trabajo
individual y especificar de manera muy puntual los objetivos y roles de cada alumno en el
trabajo en grupos.
Por otra parte, es preciso considerar que los grupos para el aprendizaje
cooperativo deben ser heterogéneos, esto es, que estén integrados por alumnos con
diversos niveles desempeño en las distintas asignaturas. Esta realidad deja abierta la
posibilidad de que en dicho grupo, lejos de optimizar el aprendizaje, se detenga o
minimice si no se practica una interdependencia positiva entre sus miembros y el
compromiso personal en el propio aprendizaje. Esto se argumenta porque se corre el
28
riesgo de que los alumnos más capaces se orienten a la ejecución individual de todo el
trabajo, a culpar o señalar los errores de los demás, mientras que los menos hábiles se
puedan cohibir y relegar a sí mismos en las actividades educativas.
Para evitar esta situación y aumentar la eficacia del trabajo cooperativo, Díaz-
Barriga y Hernández (2010) sugieren diversas estrategias entre las que destacan:
especificar objetivos, considerar la forma de ubicar a los alumnos en los equipos,
conformar grupos pequeños, asignar los roles y explicar la tarea, exponer los criterios de
éxito, los comportamientos y habilidades deseadas, supervisar y modelar los aprendizajes,
monitorear la actividad, proporcionar retroalimentación, enseñar habilidades de
colaboración y evaluar tanto el aprendizaje como el funcionamiento del grupo. Con estas
actividades los estudiantes limitarán las posibilidades de responsabilizar al más capaz
para la ejecución de todo el trabajo, o bien, tendrán menos oportunidad de escudarse
pasivamente en la actividad comprometida de los demás sin hacer ningún esfuerzo por el
bien del grupo.
Otras propuestas para propiciar el funcionamiento adecuado de los grupos de
trabajo cooperativo son las siguientes: especificar los propósitos y la tarea, otorgar una
guía a los alumnos sobre la forma en que deben comportarse, por ejemplo, escuchar a los
demás, formular preguntas claras, ayudar a los miembros del equipo, etc.; asignar tareas
en las cuales dependen unos de otros para tener éxito; indicar puntualmente los pasos a
seguir al incorporar el trabajo cooperativo; controlar a cada grupo y proporcionar
información sin intervenir demasiado; responsabilizar a cada estudiante de sus propios
logros para evitar la evasión de responsabilidades; reforzar a los alumnos por los éxitos
del grupo para que se ayuden mutuamente y evaluar el logro de los alumnos (Díaz
29
Barriga y Hernández, 2010; Ormrod, 2005). Es preciso considerar estas recomendaciones
para conseguir que todos los estudiantes avancen y no se mantengan estáticos o
desciendan en su nivel de logro.
Puesto que en el trabajo cooperativo es esencial la interdependencia positiva entre
los estudiantes, es importante considerar que esta surge a partir de la relación cercana de
los alumnos y se caracteriza por ser un vínculo positivo con los integrantes, de manera
que el éxito no se puede lograr sin la participación de cada uno. Por lo tanto, los discentes
se esfuerzan por combinar esfuerzos, compartir recursos, apoyarse y valorar su trabajo
para obtener resultados positivos. Esta forma de trabajo que precisa la interacción cercana
al abordar las actividades cognitivas favorece en gran medida el desarrollo de habilidades
sociales por ejemplo, cuando los alumnos se explican entre sí la manera de resolver
problemas, discuten sobre los conceptos que se analizan, enseñan estrategias de trabajo a
los demás, explican experiencias pasadas, etc., desarrollan habilidades que muy
difícilmente lograrían con otras técnicas (Pujolás, 2008).
No obstante, las destrezas sociales no se aprenden por el simple hecho de estar
juntos, sino que es importante trabajar las habilidades interpersonales, enseñar a los
alumnos a conocerse y confiar en sus compañeros, a comunicarse, a aceptarse, apoyarse y
emplear el diálogo para resolver conflictos. En esta práctica se incluyen valores como
tolerancia, empatía honestidad, justicia y responsabilidad. Por lo tanto, no solo considera
la educación intelectual, sino también el aspecto moral de la persona. Además, el trabajo
cooperativo implica valorar el desempeño del equipo y el propio, en torno a los fines que
se persoguen. Se requiere identificar las acciones útiles y las que no lo son, así como
30
determinar qué apoyo requieren como equipo para mejorar su desempeño (Díaz Barriga y
Hernández, 2010).
Finalmente, se reconoce que el trabajo cooperativo ofrece múltiples beneficios,
por ejemplo, disminuye el fracaso escolar, favorece la motivación, la toma de decisiones,
la resolución de conflictos y la autorregulación del aprendizaje, promueve la comprensión
entre los alumnos, incrementa la autoeficacia al ejecutar las tareas en las que se cuenta
con la ayuda de los compañeros que le sirven de andamiaje, favorece las relaciones
positivas, mejora el rendimiento y la productividad, favorece la integración y aceptación
de las diferencias (Johnson, Johnson y Holubec, 1999; Ormrod, 2005; Pujolás, 2008). No
obstante, aunque se conocen los beneficios del trabajo cooperativo, la falta del dominio
de este método por parte de los profesores, así como las exigencias de la comunidad
educativa o las expectativas de los padres, obstaculizan esta práctica al promoverla de
manera segmentada, incompleta o bien, al omitirla en el ejercicio educativo, con lo cual
se pierde un factor importante para generar motivación en los estudiantes, promover el
desarrollo de su autonomía y autorregulación como a continuación se explica.
2.1.4. Motivación
El trabajo por proyectos, por el hecho de partir de los intereses de los alumnos y
orientarlos a la práctica real de las actividades de manera cooperativa, genera motivación.
Como Ormrod (2005) manifiesta, el término motivación, proviene del verbo latino
movere que significa moverse y se define como un estado interno que anima a actuar, y
rige diversas acciones o actividades. La motivación incrementa la energía y actividad del
alumno, dirige su atención y lo encamina a determinadas conductas, por lo tanto, es
31
esencial en el aprendizaje porque permite que los discentes se impliquen cognitivamente
en las tareas de aprendizaje. Se sabe además que existen dos tipos de motivación, la
primera es la extrínseca que está fuera de la persona y expresa lo que se hace para evitar
sanciones o recibir premios. El otro tipo de motivación es intrínseca y se encuentra
inmersa en el individuo, refiere lo que la persona hace por placer o interés personal.
Ahora bien, ¿cómo suscitar la motivación en los alumnos? La teoría del impulso
expresa que lo que mueve a la persona a actuar es una necesidad insatisfecha, además de
las necesidades que Maslow representó en un triángulo y clasificó como necesidades
fisiológicas, de seguridad, pertenencia, estima y autorrealización que deben satisfacerse
en este orden, y de las necesidad de competencia propuesta por Robert White, entendidas
como un desempeño eficaz en lo que se hace para no vivir esquivando las acciones en las
que se tiene una carente actuación. Se reconocen otras necesidades de las personas como
la afinidad o pertenencia a un grupo, la filiación que procura la amistad, la aprobación
para superar la baja autoestima, la necesidad de logro o de hacer las cosas bien (Ormrod,
2005). Todas estas necesidades pueden orientar a la persona a emprender una acción o
evitar una conducta.
Fundamentalmente por las necesidades de filiación, amistad, aprobación,
autodeterminación y necesidad de logro, el trabajo por proyectos y más específicamente
el trabajo cooperativo, favorece la motivación de los alumnos. Este factor incide
directamente en la cognición al orientar a los estudiantes a prestar más atención y ejecutar
con mayor compromiso las tareas en el aula, por la capacidad de elección y
autodeterminación. Esta idea se apoya en el postulado de los enfoques humanista y
32
sociocultural que manifiestan la necesidad de autorregulación y la oportunidad para
mejorar el aprendizaje a partir de la interacción con los demás.
Dos factores que están estrechamente ligados a la motivación son: autonomía y
autorregulación. La primera se concibe como una sensación de autodeterminación al
ejecutar aquello que se quiere hacer en comparación de practicar algo que se debe hacer.
Es preciso considerar que la motivación se impulsa al fomentar la autonomía del alumno
entendida como libertad y responsabilidad para tomar decisiones y ejecutar las tareas, al
trabajar en grupos que implican cooperación e interacción, reconocer los logros y
progreso en las metas, y conseguir que los alumnos encuentren la utilidad de los
conocimientos que estudian.
Por otra parte, la autorregulación surge a partir de que las personas se consideran
capaces de ejecutar una tarea. Los sujetos autorregulados también pueden controlar en
cierta medida su motivación al asociar las tareas a sus intereses, establecer objetivos a
corto y largo plazo, minimizar las distracciones para concentrarse en su trabajo, buscar el
sitio más apropiado para llevarlo a cabo, recordarse a sí mismos la importancia de una
labor bien hecha y la autoimposición de premios o castigos (Ormrod, 2005). Por lo
expresado anteriormente, tanto la autorregulación como la autonomía, orientan al alumno
a involucrarse más en la tarea que se encomienda y a depositar mayor empeño en ella, así
como asumir distintos desafíos.
Para desarrollar la autonomía y autorregulación, es necesario observarse a sí
mismo y ser crítico para analizar si se están logrando o no los objetivos individuales y en
qué medida, o bien, qué cosas están favoreciendo u obstaculizando el logro de los
mismos. Puesto que se pueden observar y valorar tanto los elementos cognitivos como
33
actitudinales, este elemento promueve no solo el desarrollo de conocimientos y
habilidades, sino también las conductas que representan un elemento importante en el
logro de las metas sociales e individuales porque implican la relación consigo mismo y
con los demás para lograr los propósitos establecidos. La manera de operar consiste
básicamente en observarse, valorar el propio desempeño, analizar qué es preciso impulsar
o modificar y tomar decisiones para lograr mejores resultados.
Se reconoce además que muchos estudiantes al trabajar juntos experimentan
mayor confianza y motivación para aprender, puesto que reconocen los retos que se les
plantean como una situación más susceptible de ser alcanzada, pareciera que muchos de
ellos se experimentan con mayor oportunidad de aprender y adquieren una percepción
distinta de sí mismos, del objeto de estudio y de sus compañeros. En lugar de acatar
únicamente lo que el docente dice, pueden mejorar su desempeño porque pueden
comentar sus ideas, apoyar a sus compañeros y recibir ayuda.
Este tipo de trabajo permite que el estudiante desarrolle su autoestima al sentirse
capaz de superarse, al otorgar ayuda a un compañero o verse apoyado por otros, a
diferencia del trabajo competitivo o individualista que a menudo se promueve en el aula.
En el trabajo competitivo, la autoestima se asocia a ganar a los demás compañeros, si se
les supera, entonces el estudiante se experimenta satisfecho, pero si no se gana y peor
aún, si repetidamente se pierde, entonces los alumnos se van considerando incapaces de
ganar y generan miedo o aversión hacia las actividades escolares.
Otro elemento importante del trabajo por proyectos que beneficia la motivación,
es que tiene como punto de partida los intereses de los discentes, lo cual hace que estos
encuentren interesantes las actividades y se motiven en la ejecución de las mismas. Por lo
34
tanto, se genera una motivación intrínseca que mejora el procesamiento de información,
lo hace más organizado y complejo, asocia los nuevos contenidos a los conocimientos
previos, los relaciona, compara, crea imágenes visuales, etc. Por tal razón, trabajar a
partir de los intereses de los alumnos es una estrategia eficaz para mejorar el aprendizaje
de éstos. Orienta a los alumnos a implicarse más en el objeto de estudio, recordarlo por
más tiempo y relacionarlo con nuevos elementos que van aprendiendo, lo cual genera un
mejor rendimiento escolar (Ormrod, 2005).
2.2. Competencias
La enseñanza enfrenta un proceso de transición, pasa de estar fundamentada en
contenidos, a basarse en el desarrollo de competencias. Es decir, el manejo del
currículum avanza de la propuesta de materiales organizados en bloques o ejes, a la
formación basada en competencias, las cuales incluyen conocimientos, destrezas y
actitudes que requieren ser asimiladas por los estudiantes para que mediante la
integración de dichos elementos logren un desempeño efectivo en los distintos contextos
de la vida. En este segundo apartado del marco teórico se refieren las características de
las competencias en general, luego se describe la competencia matemática y finalmente
se exponen los temas abordados y los principales elementos de la resolución de
problemas.
2.2.1. Características de las competencias
Pese a que la palabra competencias se deriva del griego agon, agonistes, y hace
referencia a enfrentarse con alguien y salir victorioso en las competencias olímpicas de la
Grecia Antigua, la acepción más adecuada de dicho término surge en el siglo XVI a partir
35
de la palabra latina competere que significaba hacerse responsable de algo. Este último
término es el que se ha referido a las competencias educativas en la escuela en donde el
alumno es responsable de su aprendizaje, del desarrollo de sus conocimientos,
habilidades y actitudes para tener un desempeño efectivo en el ámbito escolar y
extraescolar (Frade, 2009).
Posteriormente, en el siglo XX se destacan tres perspectivas sobre las
competencias. El enfoque conductista las define como la relación entre las características
de una persona, su conducta y desempeño efectivo. El enfoque cognitivo además de las
conductas considera los procesos cognitivos, la capacidad de los individuos para aprender
y tener un buen desempeño. Finalmente, el enfoque socioconstructivo supera la
perspectiva individual, retoma los elementos antes mencionados e integra factores
emocionales y afectivos en las competencias, considera el trabajo en equipo, la
cooperación, comunicación y la construcción social del conocimiento (Rodríguez, 2011).
Actualmente, la definición de las competencias es muy variada y se encuentra
presente en diversos contextos. Concretamente en el ámbito educativo, el cúmulo de
definiciones de competencias aluden a la integración de conocimientos, destrezas,
actitudes y movilización de saberes para resolver problemas en situaciones variadas
(Argudín, 2005; Frade, 2009; Monereo, 2005; Perrenoud, 2001; Zabala y Arnau, 2007).
Algunos especialistas en esta área enfatizan los resultados mientras que otros expresan
como parte fundamental las actitudes, las estrategias, los valores o bien, el contexto real
en el que se requieren ejecutar, no obstante la esencia de ambas posturas es muy similar.
Todas las definiciones conducen a la comprensión de las competencias como
capacidades o habilidades para hacer tareas, ejecutar acciones, resolver problemas,
36
enfrentar situaciones y no de cualquier forma, sino de manera eficiente, adecuada,
exitosa, a partir de la movilización de conocimientos y habilidades con una actitud
favorable. Es menester recalcar la importancia de integrar los saberes conceptuales y
procedimentales, porque existe la posibilidad de poseerlos de manera aislada, por
ejemplo, cuando se conocen elementos teóricos pero se es incapaz de usarlos, o bien,
cuando se ejecutan acciones de forma mecánica desconociendo la razón o base teórica
que las sustentan. Por lo tanto, la posesión óptima de este recurso es de forma integrada,
porque de otra manera resulta limitada.
Por otra parte, las actitudes se conciben como la predisposición para actuar,
incluyen creencias y pensamientos, así como la valoración de las situaciones y
comportamientos determinados (Rodríguez, 2011). Anteriormente estaban ocultos en el
currículum y aunque se promovían ocasionalmente, su integración en las sesiones se
impulsaba de manera accidental, atendiendo a los comportamientos que se debían tener,
pero sin explicar la razón o importancia de adquirir las actitudes o comportamientos que
se pedían.
Habiendo expuesto la concepción de lo que son en general las competencias, es el
momento de exponer la esencia de la competencia matemática en cuyo desarrollo se
centra este proyecto. A continuación se manifiesta la definición de esta, sus componentes,
fundamentos y características esenciales.
2.2.2. Competencia matemática.
Existen diversos tipos y clasificaciones de competencias. En este documento se
analiza una competencia disciplinar, la competencia matemática cuyo desarrollo se
37
pretende impulsar mediante el trabajo por proyectos. Este apartado pone de manifiesto los
aspectos más relevantes de dicha competencia.
La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE), define
la competencia matemática como la capacidad de comprender el papel de las matemáticas
en el mundo y usarlas para satisfacer las necesidades individuales de los ciudadanos. Otra
definición de la misma organización hace énfasis en la capacidad de analizar, razonar y
comunicar información al resolver problemas matemáticos de diversos contextos (OECD,
2000). Por esta razón, los estudios de PISA más que orientarse a valorar qué contenidos
saben los alumnos, se dirigen a identificar qué tanto son capaces de aplicar dicho
conocimiento y lo hace precisamente mediante el planteamiento de problemas en
situaciones reales.
Por lo tanto, no es suficiente tener conocimientos matemáticos, sino que se
requiere poseer la capacidad de aplicarlos y con esta perspectiva abordar el estudio de las
matemáticas. Un camino viable para lograrlo es la resolución de problemas que precisa la
aplicación de conocimientos conceptuales, la reflexión inductiva o deductiva y la puesta
en práctica de destrezas procedimentales, así como el manejo de información y la
elaboración de argumentos matemáticos en diversos contextos (Alsina, 2006).
Por otra parte, se expresa que en la competencia matemática no solo subyacen
conocimientos, habilidades y procesos de razonamiento que conducen a la resolución de
problemas, sino que también ocupan un lugar importante las actitudes como la confianza
en uno mismo, la seguridad, la disponibilidad a la resolución de problemas, el respeto, el
gusto y la certeza en dicho proceso (Corbalán, 2008). De esta manera, la competencia
matemática consiste en la identificación de una situación y el uso de estrategias para
38
resolver problemas matemáticos en diversos contextos y de forma espontánea en la vida
real. Es decir, los alumnos serán competentes en matemáticas cuando empleen el lenguaje
matemático, el razonamiento inductivo y deductivo, su capacidad de interpretar y
producir información para la resolución de problemas en la vida ordinaria, en el ámbito
personal, social y laboral (Marco, 2008).
En este proceso se encuentra inmerso el aprendizaje permanente por requerir que
los alumnos interpreten y produzcan información, esto los orienta a estar atentos a lo que
acontece para adquirir conocimientos de manera constante. Un hecho no menos relevante
se caracteriza por la capacidad de manejar signos y lograr mediante un proceso de
razonamiento la resolución de problemas en diversos contextos, pero no sólo eso, sino
también expresar el grado de certeza que se tiene de las soluciones propuestas al justificar
los procedimientos ejecutados y las respuestas aportadas.
El desarrollo de la competencia matemática implica el manejo de números,
medidas, símbolos y formas de manera integrada para lograr la resolución de problemas.
Esta práctica lleva consigo la habilidad de determinados procesos de pensamiento como
la inducción o deducción así como la aplicación de algoritmos para identificar y justificar
los razonamientos y resultados otorgados a los problemas. Además implica una
disposición favorable, confianza en las distintas situaciones problemáticas que se
plantean, implica el respeto y la búsqueda para encontrar solución a las cuestiones dadas.
Por su parte, el proyecto PISA (2003) ha elegido ocho competencias en
matemáticas que son: pensar y razonar; argumentar; comunicar; modelizar; plantear y
resolver problemas; representar; utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las
operaciones; emplear soportes y herramientas tecnológicas.
39
Por lo tanto el desarrollo de la competencia matemática refiere la capacidad de los
discentes de emplear las técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar
información en contextos variados, de tal forma que en la propuesta de problemas
diversos, el alumno lejos de esperar a que el maestro lo resuelva o le diga qué operación
aplicar, se esfuerce por emplear en los diversos campos y de forma espontánea lo que
sabe. De esta manera las matemáticas los orientarán a interpretar y producir información,
a solucionar problemas y tomar decisiones mediante un razonamiento matemático que
conlleva el uso de procedimientos, la expresión en lenguaje matemático y la integración
de conocimientos de diversos tipos para dar respuesta a las distintas situaciones
problemáticas que se presentan (Martínez, 2007).
Para lograr el dominio de dichos conocimientos y habilidades en integración con
las actitudes sugeridas, el programa de matemáticas se organiza en tres ejes temáticos que
son: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y Manejo de
información. Enseguida se describe el contenido de dichos ejes, así como los temas que
en cada uno se incluyen, a partir de lo establecido en los Programas de estudio 2009 para
el quinto grado de educación primaria (SEP, 2010).
El primer eje se titula Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este considera
la aritmética y el álgebra, el lenguaje matemático, las propiedades aritméticas, la forma
de representar y expresar cálculos. Es decir, incluye el manejo de los números, las
operaciones básicas, su simbología y procedimiento, así como la resolución de problemas
a partir de los elementos citados, la elaboración de cálculos y expresión de resultados.
Este eje incluye los temas que a continuación se manifiestan.
40
• Significado y uso de los números. Hace referencia a la lectura, escritura,
comparación y uso de números naturales, fraccionarios y decimales. Promueve
conocimientos y habilidades para la resolución de problemas que impliquen el
análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números y el uso de
fracciones en diversos contextos. También demanda la ubicación de fracciones en
la recta, identificar fracciones equivalentes y utilizarlas para expresar medidas.
• Significado y uso de las operaciones. Implica la multiplicación y división
de números naturales con algoritmos convencionales en contextos diversos para la
resolución de problemas. Los conocimientos y habilidades que promueve son: la
resolución de problemas que impliquen los múltiplos de números naturales,
encontrar relaciones numéricas y emplearlas para resolver problemas.
El segundo eje llamado Forma, espacio y medida refiere todo lo relacionado con
la geometría. Especialmente en el quinto grado de la educación básica se abordan las
características de las figuras geométricas, todo lo relacionado con áreas y perímetros de
diversos polígonos, así como con el volumen de cuerpos geométricos. También se
incluye la ubicación espacial mediante el estudio de croquis y planos con su respectiva
simbología. En este eje se analizan los siguientes temas.
• Figuras. Se demanda la explicación de características de polígonos y
cuerpos geométricos. Promueve como conocimientos y habilidades, la
construcción, armado y representación de cuerpos para analizar sus propiedades,
así como la composición y descomposición de figuras, el análisis de áreas y
perímetros.
41
• Ubicación espacial. Implica el uso de sistemas de referencia para ubicar
puntos y describir ubicaciones en el plano. Promueve además la lectura de mapas
de zonas urbanas y rurales conocidas y desconocidas, así como el trazo de planos.
• Medidas. Implica el uso de fórmulas, la conversión y relación de unidades
de medida. Demanda la ejecución de conversiones entre múltiplos y submúltiplos
del litro, el metro y el kilogramo. Solicita identificar las medidas necesarias para
calcular áreas y perímetros de figuras.
El tercer eje titulado Manejo de información incluye la capacidad de reconocer
información de diferentes fuentes, recabarla, organizarla, interpretarla, y utilizarla para
plantear o resolver problemas. En este eje se estudia el tema de análisis de información
que a continuación se especifica.
• Análisis de información. Implica la resolución de problemas a partir del
uso de información presentada en tablas y figuras. Demanda la aplicación e
identificación de un factor constante de proporcionalidad, así como también la
comparación de razones en casos simples.
Al abordar dichos ejes, las competencias a desarrollar en el quinto grado de
educación primaria en el área de matemáticas, conforme lo establece la SEP (2010) son:
resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar
procedimientos y resultados y manejar técnicas eficientemente.
La resolución autónoma de problemas implica que los discentes identifiquen,
planteen y resuelvan situaciones problemáticas empleando diversos procedimientos para
generalizarlos. Comunicar información matemática conlleva la capacidad de expresar,
42
representar e interpretar información matemática a partir de un fenómeno. Validar
procedimientos y resultados consiste en que los estudiantes expresen y defiendan sus
operaciones. Por último, manejar técnicas eficientemente demanda hacer cálculos, utilizar
las operaciones básicas y los números de manera efectiva.
Para lograr el desarrollo de estas competencias, en el programa de estudios (SEP,
2010), se precisan los siguientes conocimientos conceptuales y procedimentales para el
5° grado de la educación primaria que es el nivel con el que se trabajó este proyecto de
investigación:
Conocer y utilizar eficazmente las propiedades del sistema decimal de
numeración.
Utilizar el cálculo mental, estimación de resultados y operaciones básicas
para resolver problemas.
Conocer las propiedades de polígonos regulares, pirámides y prismas.
Usar e interpretar códigos para ubicarse en el espacio.
Calcular perímetros, áreas y volúmenes en distintos tipos de unidad.
Buscar, analizar e interpretar datos.
Identificar cantidades que varían proporcionalmente y calcular porcentajes.
Reconocer experimentos aleatorios y desarrollar su noción de probabilidad.
En cuanto a las actitudes se menciona el interés, cooperación, curiosidad,
flexibilidad y autonomía para buscar la solución a problemas matemáticos, así como la
confianza en la propia capacidad de aprender. La integración de estas actitudes
43
mencionadas con los contenidos antes expuestos permite a los discentes ser competentes
en la resolución de diversos problemas reales.
Para el grupo de 5° grado se demanda la resolución de problemas de manera
autónoma, comunicar información matemática, validar resultados y manejar técnicas
eficientemente como competencias esenciales. Sin embargo, el eje rector de las mismas
lo constituye la resolución de problemas, actividad considerada como la base de la
competencia matemática que implica elaborar argumentos para justificar resultados,
diseñar estrategias de solución y tomar decisiones (SEP, 2011). En este sentido, los
alumnos desarrollaron su competencia matemática al negociar estrategias en los grupos
cooperativos para resolver los problemas, comunicar matemáticamente la información,
validar el proceso que siguen para convencer o ayudar a sus compañeros.
Finalmente, se recomienda que la resolución de problemas matemáticos sea el
foco de atención de las matemáticas y en consecuencia se sugiere organizar el currículum
en torno a este factor, ampliar su definición y lenguaje para incluir más estrategias y crear
ambientes en los que surja la resolución de problemas, desarrollar materiales curriculares
para esto, implicar al alumnado en la dicha práctica e investigar sobre las vías efectivas
para lograr en esta tarea un desempeño efectivo.
Puesto que la competencia matemática tiene como un eje fundamental la
resolución de problemas, a continuación se manifiestan los principales factores de dicho
elemento que permiten valorar el nivel de desarrollo que se tiene en la competencia
matemática.
44
2.2.3. Resolución de problemas
Un problema se define como una situación en la que no existe un camino
instantáneo aparente para llegar a la meta, por lo que requiere una aplicación significativa
del conocimiento para resolverlo (Smith y Kosslyn, 2008; Sternberg, 1995). Por lo tanto,
un problema va más allá de los ejercicios rutinarios que se plantean en las sesiones, más
allá incluso de las oraciones o frases que tienen una pregunta y remiten directamente a la
ejecución de una operación matemática para encontrar una respuesta.
A mediados de los años 80, con la finalidad de comprender el proceso de la
resolución de problemas se usaron tres enfoques distintos, el primero consistía en
observar la conducta del sujeto que resolvía el problema, al segundo se le conoció como
análisis del protocolo verbal en el que se pedía a quien resolvía el problema, que
describiera en voz alta el proceso que seguía y se grababa su declaración para analizarla
posteriormente. Después se transcribía para analizar el espacio del problema empleado
por la persona. El tercer enfoque se fundamentó en la reproducción computarizada del
proceso que continuaría una persona en la resolución de problemas para luego
compararlo con el desarrollo seguido por la máquina. De esta manera se intentó conocer
lo que sucedía en la mente al resolver un problema y las estrategias que se utilizan en
dicha tarea. A partir de estas investigaciones nacieron las teorías del aprendizaje por
ensayo y error, la jerarquía de respuestas y la teoría del espacio problema, que Smith y
Kosslyn (2008) sugieren y a continuación se describen.
El aprendizaje por ensayo y error surge a partir de los experimentos de Thornidike
en 1898, en los que un gato encerrado en una caja debía salir de ella. Cada vez que se
metía en esta, tardaba menos tiempo en abrirla, puesto que al explorar la diversidad de
45
soluciones iba encontrando una estrategia. Un proceso similar se requiere en la resolución
de problemas en donde los estudiantes analizan las opciones, prueban un procedimiento y
van encontrando formas más prácticas de ejecutar los procesos para alcanzar el resultado
esperado.
Otra teoría es la jerarquía de respuestas, ella establece que ante un factor se elige
una respuesta, y en caso de que no funcione, se selecciona otra y así sucesivamente, pero
siempre en el mismo orden, por ejemplo, cuando se requiere conseguir algo de una
persona, se le habla amablemente, si no se consigue, se le dan explicaciones, si esto no
funciona, se recurre al enojo o al chantaje y finalmente si no da resultado, se recurre al
llanto. Cuando estas acciones se emprenden en una situación similar, con la misma
secuencia, es cuando se observa la jerarquía de respuesta.
La teoría del espacio problema es otro ejemplo de los recursos observados en la
resolución de problemas. En esta acontece la búsqueda de solución del problema a través
de la exploración de diversas opciones para llegar al objetivo que se persigue. Por lo
tanto, considera el espacio inicial, el objetivo y el proceso de solución del problema. Este
espacio del problema puede ser amplio o reducido según la complejidad del problema
planteado y es utilizado en todos los problemas de la vida real.
Por otra parte, la resolución de problemas es un proceso que en general consta de
dos fases, la primera se caracteriza por la comprensión del problema en su conjunto y lo
que este demanda, mientras que la segunda fase comprende la ejecución de un plan
elaborado para resolverlo. Este mismo proceso se amplía en las siguientes cuatro etapas.
La primera consiste en proponer la situación problemática real o imaginaria que el
estudiante debe resolver. En la segunda el alumno identifica los datos relevantes para la
46
resolución de la situación planteada, selecciona los que le son útiles y desecha los que no
lo son. En la tercera, el estudiante identifica el modelo matemático que requiere emplear,
es decir, selecciona la operación matemática que necesita implementar para solucionar la
situación problemática. En la última etapa el alumno requiere aplicar eficientemente el
procedimiento seleccionado para resolver el problema (Martínez, 2007; Martínez, 2008;
Polya, 1965; Abrantes, Barba, Isabel, Bofarull, Colomer, Fuentes, García, García, Martí,
Ramos, Recarens, Segarra, Sierra, y Torra, 2002).
Se ha establecido además que el proceso de resolución de problemas consta de las
siguientes categorías: los recursos que incluyen los conocimientos conceptuales y
procedimentales con los que se cuenta, los heurísticos comprendidos como las técnicas
que se conocen para llevar a cabo el proceso de resolución de problemas matemáticos, el
control que tienen los estudiantes al decidir qué recursos heurísticos utilizar para probar,
proponer soluciones, confrontarlas y replantearlas si es necesario; las creencias, ideas y
los afectos que influyen en la visión personal de las matemáticas y en los
comportamientos de los estudiantes. Además, se distinguen dos tipos de problemas: bien
definidos y mal definidos. Los primeros se caracterizan por tener un objetivo preciso,
mostrar los datos claramente y tener una solución única, mientras que los segundos
presentan ambigüedad en el objetivo y la información que ofrecen es insuficiente, pueden
tener varias soluciones, por lo tanto son más difíciles de resolver (Azinián 2000; Ormrod,
2005; Santos, 2007; Smith y Kosslyn, 2008).
Estrategias y heurísticos. Ante un problema se utilizan distintas estrategias y
heurísticos, por ejemplo, la combinación de algoritmos o ejecución de más de una
operación matemática o el escalonamiento que precisa de la ejecución de varios procesos
47
para acceder a la solución de un problema, no obstante, siempre avanza hacia adelante y
en algunos problemas, se requiere retroceder, por lo tanto, no siempre es efectiva. Otra
estrategia es la de medios y fines que se sustenta en la descomposición de un problema en
varios elementos para abordarlos de manera periódica; la inversión, se caracteriza por
avanzar hacia atrás, cuando se requiere determinar el origen de una situación; el uso de
imágenes visuales y analogías; o bien, los heurísticos como representatividad (se
concluye a partir de las características del problema) y accesibilidad (se recuerda la
información que se ha recibido más recientemente) (Ormrod, 2005).
Es importante constatar la diferencia entre algoritmos y heurísticos. Los primeros
se entienden como procedimientos ejecutados para la resolución de un problema, por
ejemplo, las reglas de las operaciones, el instructivo para obtener un producto, etc. Por
otra parte, los sujetos más que ajustarse a la ejecución de reglas establecidas, a menudo
siguen estrategias que les permiten acceder más fácilmente al objetivo. Estas estrategias
se conocen como heurísticos los cuales conducen directamente a la resolución del
problema o bien, al análisis de sus elementos para luego acceder al objetivo. Ejemplos de
heurísticos pueden ser la búsqueda aleatoria y el análisis medios-fin. En este último un
problema se descompone en problemas más sencillos con metas más cortas que al ir
lográndolas, se accede progresivamente a la resolución del problema.
Smith y Kosslyn (2008) expresan que en la resolución de problemas se utilizan
distintos tipos de razonamiento como el analógico, el inductivo y el deductivo. En el
primero de ellos las personas en lugar de emplear algoritmos o heurísticos, evocan en su
mente la resolución de un problema similar. Se expresa que este razonamiento se lleva a
48
cabo mediante la comparación de un elemento conocido con la dificultad presentada. Este
tipo de razonamiento comprende las siguientes fases:
1. Recuperación. Se tiene en la memoria el objetivo que se pretende alcanzar
mientras se evoca un problema semejante con su respectiva solución.
2. Cartografía. Se analizan las características del problema.
3. Evaluación. Se reflexiona si es útil o no la comparación elaborada.
4. Abstracción. Se separan los elementos que tienen en común los problemas.
5. Predicción. Se construye una hipótesis para solución el problema.
El razonamiento inductivo se caracteriza por el conocimiento de
circunstancias para utilizarlo en otro contexto y refiere que hay dos tipos de
inducciones, las generales y las específicas. Las primeras se basan en una serie de
casos para hacer una predicción, se concluye una generalización, se buscan patrones o
reglas a partir de una exploración. Las inducciones específicas se enfocan a identificar
una característica de un miembro de determinada categoría para suponer que otro
miembro también la posee. Finalmente, el razonamiento deductivo establece premisas
y con base en ellas llega a una conclusión. En este tipo de razonamiento, si las
premisas son ciertas, la conclusión no puede ser falsa (Smith y Kosslyn, 2008).
Pese a que la finalidad de la competencia matemática es la resolución de
problemas y la ejecución de operaciones es solo un instrumento para dicho fin. En la
práctica se observa una disfunción entre dichos factores porque se trabaja la enseñanza
del cálculo de manera separada de la resolución de problemas matemáticos. Además, la
enseñanza de las matemáticas se basa en los libros de texto, en situaciones hipotéticas
49
poco relacionadas con la vida cotidiana de los alumnos, la metodología se centra en el
trabajo individual y se enseñan las operaciones de manera compleja, de tal forma que los
estudiantes manifiestan gran dificultad para asociarlas a la resolución de problemas
(Martínez, 2007; Martínez, 2008).
Lo referido hasta este momento pone de manifiesto la existencia de una relación
bidireccional entre el aprendizaje de las matemáticas y la resolución de problemas,
porque se aprende matemáticas para resolver problemas y viceversa. Esto lleva consigo la
necesidad de aplicar lo que se conoce en contextos concretos. Se hace énfasis no
solamente en la resolución de problemas, sino en el desarrollo autónomo de dicha tarea,
lo cual implica que el estudiante sea capaz de ejecutar solo y de manera efectiva, las
actividades requeridas, de tal forma que no únicamente aplique operaciones, sino que esté
en condiciones de justificar el proceso que siguió y la razón por la cual lo ejecutó.
3.1. Conclusiones
Por lo expuesto en este capítulo, queda claro que la sociedad demanda ciudadanos
activos, propositivos, con iniciativas sustentadas en la integración de conocimientos bien
fundados, habilidades desarrolladas y actitudes favorables que hacen a la persona capaz
de mejorar constantemente su propia vida y su sociedad al desempeñarse favorablemente
en el trabajo y comprometerse constantemente en proyectos que buscan el bienestar
comunitario.
Favorecer los aspectos antes mencionados es tarea fundamental de la escuela, por
esta razón, con la finalidad de promover la competencia matemática, se abordó el trabajo
por proyectos, el cual al constituir un aprendizaje experiencial y cooperativo, suscita
50
motivación en los estudiantes porque retoma sus intereses, propone la resolución de
problemas que representaron un reto para los alumnos, ubica en un contexto real los
contenidos a trabajar, expresa con claridad los objetivos a lograr y propicia el trabajo
cooperativo, con metas compartidas en el que es indispensable la ayuda mutua para
alcanzar el fin propuesto.
Por lo tanto, trabajar con proyectos educativos constituye un elemento viable que
permite superar la separación de conocimientos y uso de estos, el desfase existente entre
aprender conceptos que se espera se apliquen cuando sea necesario, o aprender
habilidades para emplearlas cuando la situación lo amerite y dejar las actitudes como algo
que se debe o no hacer pero sin tener claro cómo actuar y por qué hacerlo. Por otra parte,
se puso de manifiesto que el trabajo por proyectos favorece la interacción entre
compañeros y entre docentes y alumnos como vía de aprendizaje, lo cual sucede
realmente en la vida ordinaria en la que permanentemente se requiere estar con los
demás, trabajar y aprender con ellos, ayudarlos o solicitar su apoyo cuando la situación lo
amerita.
De esta manera el trabajo por proyectos que demanda una actividad cooperativa
supera la división existente entre lo que se estudia en la escuela y lo que se necesita en la
vida ordinaria. Esto favorece el desarrollo de competencias y en concreto, de la
competencia matemática que suscita apatía o falta de efectividad en los alumnos a
menudo por la incapacidad que estos manifiestan para integrar los conocimientos
conceptuales, procedimentales y actitudinales para resolver problemas. Pese a que el
trabajo por proyectos en la asignatura de matemáticas no se promueve en el Programa de
estudios 2011 para primaria, se considera que dicha estrategia constituye una vía de
51
acceso segura para el desarrollo de la competencia matemática por la gran compatibilidad
que manifiestan los factores de ambos elementos: proyectos y formación basada en
competencias, además de la necesidad de desarrollar las matemáticas y todos los
beneficios que reporta dicha estrategia.
52
III. Metodología
Una obra importante tiene su origen en una necesidad que se detecta y se pretende
remediar. Para ello se investiga y se elabora un plan detallado, se establece lo que se
espera lograr y se determinan paso a paso las metas a alcanzar. Lo mismo sucede en la
investigación, primero se establece la problemática, se indaga lo que se sabe respecto al
tema que se plantea y posteriormente se diseña el análisis de la investigación, es decir, se
establece el proceso a seguir para responder a la problemática planteada.
Luego de haber presentado la problemática de este proyecto de investigación y la
teoría que lo sustenta, en este capítulo se expresan los pasos a seguir para recabar los
datos necesarios y la forma en que estos se analizaron para dar respuesta a la pregunta de
investigación. Se presenta a continuación el método de investigación, la población y
muestra de la misma, el tema que se investigó con sus respectivas categorías e
indicadores de estudio, las fuentes de información que se consultaron, la técnica de
recolección de datos, la prueba piloto que se hizo del instrumento, la aplicación de este y
la forma en que se capturaron los resultados atendiendo a los criterios de validez,
confiabilidad y objetividad.
3.1. Descripción del método o enfoque
Este proyecto de investigación planteó el problema de cómo desarrollar la
competencia matemática en alumnos de 5° grado de primaria a través del trabajo por
proyectos. Para dar respuesta a dicha problemática se emprendió un estudio cuantitativo
bajo un diseño experimental que analizó la relación entre las dos variables expresadas en
53
el problema. Se diseñó por lo tanto, cuasiexperimento válido y confiable cuya
metodología se describe en este apartado.
Se sabe que todo experimento debe cumplir con tres requisitos: la manipulación
de la variable independiente, la medida de su influencia en la variable dependiente y el
control de la validez interna (Hernández, et al. 2010). En este caso, el manejo del trabajo
por proyectos constituyó la variable independiente y su variación permitió medir su
influencia en la variable dependiente constituida por la competencia matemática. Este
proyecto se llevó a cabo al contrastar el desempeño del grupo experimental y el grupo de
control que participaron en el experimento mediante la preprueba y posprueba que se
aplicaron.
Para manipular la variable independiente, en este caso el trabajo por proyectos y
determinar su influencia, tanto en el grupo experimental como en el de control se
abordaron los mismos contenidos en ambos grupos: resolución de problemas con
fracciones y números naturales, áreas y perímetros, construcción de planos, tablas de
frecuencia, multiplicación, división, características de los cuerpos geométricos, lectura e
interpretación de mapas, proporcionalidad y operaciones con fracciones. El grupo de
control los estudió a partir del trabajo con el libro de texto y ejercicios complementarios,
mientras que el grupo experimental lo hizo mediante el trabajo con los siguientes
proyectos: museo de las matemáticas, salón de fama de las matemáticas, torneo de
matemáticas, ciudad con figuras geométricas, folleto de viaje, obra teatral con títeres para
explicar las medidas, mercado de matemáticas, cuaderno de matemáticas y relato de “mi
mejor día en matemáticas”.
54
La duración de cada proyecto fue en promedio de 6 días. Al término de cada uno,
el grupo experimental elaboró un producto relacionado con sus intereses y ubicado en un
contexto real. Esto implicó la movilización integrada de saberes y permitió valorar la
utilidad del conocimiento matemático en la vida ordinaria. Habiendo abordado los
contenidos señalados anteriormente mediante el trabajo por proyectos, para cumplir con
el segundo requisito de un experimento, se midió por medio de una prueba, el efecto que
la variable independiente causó en la variable dependiente, es decir, el efecto del trabajo
por proyectos en el desarrollo de la competencia matemática.
El tercer requisito de un experimento refiere el control o la validez interna, lo cual
se justificó en esta investigación porque los grupos seleccionados solo fueron diferentes
entre sí en la exposición a la variable independiente, es decir, en la modalidad de trabajo
por proyectos. Ambos estudiaron los mismos eventos y estuvieron inmersos en un
proceso de maduración similar durante el ciclo escolar. Se fundamentó la estabilidad y
confiabilidad del instrumento a partir de la similitud del contexto escolar, familiar, social
y económico de los estudiantes, la equivalencia y confiabilidad de los instrumentos
aplicados a los dos grupos y el cuidado que se tuvo en que los alumnos no se
comunicaran entre sí mientras se evaluaba individualmente su desempeño.
Los grupos fueron equiparables en cuanto al número de personas (20 alumnos por
grupo), aprovechamiento, disciplina, memoria, género porque estuvieron nivelados en
cuanto al número de niñas y de niños, edad, nivel socioeconómico, alimentación, salud
física y mental. Además, ambos grupos tuvieron un clima similar, sus aulas, material,
ventilación, sonido, iluminación y duración del experimento fueron semejantes. Por lo
tanto, se tuvo control de validez interna porque además de tener dos grupos para
55
comparar, estos fueron similares en todo, excepto en la manipulación de la variable
independiente.
Este proyecto de investigación constituyó un cuasiexperimento porque los grupos
seleccionados, tanto el experimental como el de control, no fueron conformados al azar,
sino que ya se encontraban integrados y no pudieron ser emparejados debido a la
permanencia de los grupos en la escuela. Este diseño cuasiexperimental manejó
preprueba, posprueba y grupo de control para determinar su desempeño en la
competencia matemática, lo cual permitió comparar y evaluar el puntaje de ganancia de
cada uno.
De esta manera, la administración de pruebas se controló porque si afectó las
puntuaciones lo hizo en ambos grupos y con esto se conservó la equivalencia entre ellos.
Esto lo explican Hernández et al. (2010), así como los elementos de validez externa al
sugerir superar el efecto reactivo de las pruebas y los tratamientos experimentales, los
errores de selección, la interferencia de tratamientos múltiples, la imposibilidad de
replicar los tratamientos, las descripciones insuficientes del tratamiento experimental, los
efectos de novedad, la interacción entre la historia o el lugar y las mediciones de la
variable independiente primordialmente. Para lograr la validez externa de esta
investigación, se tuvo el cuidado de superar dichos factores como a continuación se
expresa.
Se procuró que la preprueba no aumentara o disminuyera el desempeño de los
estudiantes en la competencia matemática, porque se aplicó dicho instrumento como un
examen en el que no se explicaron contenidos y la retroalimentación del mismo se
entregó después de haber realizado la posprueba. Se desechó el factor de interacción entre
56
los errores de selección de los grupos porque no se solicitaron voluntarios, sino que se
trabajó con los dos grupos en general. Solo se aplicó un tratamiento al grupo
experimental para conocer sus efectos, en este caso, únicamente se hizo variar la
metodología al abordar las matemáticas y es posible replicar los tratamientos con más
grupos de quinto grado de primaria e incluso de los demás grados de educación básica.
Además, el tratamiento experimental se describe lo suficiente como para ser
reproducido porque se explica en qué consiste la intervención, qué estrategias se
implementaron, qué instrumentos se usaron y la manera en que se codificaron e
interpretaron los datos. La metodología no funciona solo por ser una novedad, puesto que
está siendo trabajada en las otras asignaturas. El tiempo y lugar en que se lleva a cabo la
investigación no tiene nada en particular porque la escuela no conmemora ningún
acontecimiento importante que pueda incidir en los resultados del estudio y solo se han
utilizado materiales muy básicos, por lo tanto, el tiempo y lugar pueden duplicarse en
distintas situaciones. Finalmente, los estudiantes no perciben el trabajo de investigación
como un experimento que se les practicó, sino como una forma de trabajo escolar regular.
Conforme a la clasificación de Hernández et al. (2010), de experimentos de
campo y de laboratorio, se puede decir que por la naturaleza de este proyecto, el contexto
en el que se llevó a cabo es de campo, porque no se creó o diseñó un espacio determinado
para dicho fin, sino que se ejecutó en los salones que si bien, tienen iluminación y
ventilación adecuadas, ahí es donde se tiene de manera ordinaria la práctica educativa con
los alumnos.
Por otra parte, este proyecto de investigación al expresar la relación entre dos
variables (trabajo por proyectos y competencia matemática), constituyó un estudio
57
explicativo, se fundamentó en el enfoque cuantitativo y en el paradigma deductivo, se
basó en una hipótesis preestablecida, midió variables y se ajustó a un diseño
preconcebido, se centró en la validez, rigor y control de la investigación en donde fue
esencial el análisis estadístico de los datos para obtener las conclusiones pertinentes y
determinar los efectos de esta investigación.
3.2. Población y muestra
El planteamiento de un problema de investigación indica la población del mismo,
la cual se define como el conjunto de casos que concuerdan con las especificaciones
dadas en el problema que se investiga y a partir de esta, se selecciona de manera
probabilística o no probabilística un subgrupo de la población que constituye la muestra
del estudio para medir el impacto de la variable independiente sobre la variable
dependiente (Hernández, et al. 2010). El problema de esta investigación, como
anteriormente se ha señalado consistió en determinar cómo desarrollar la competencia
matemática en alumnos de 5° grado de primaria mediante el trabajo por proyectos. Por lo
tanto, la población estuvo constituida por los alumnos de 5° grado de primaria y la
muestra por dos grupos de 5° grado del turno matutino de una escuela federal ubicada en
una comunidad urbana del estado de Michoacán.
La muestra fue seleccionada de manera no probabilística porque no se basó en una
elección al azar, sino en la toma de decisiones de la investigadora conforme a los criterios
de equivalencia de los participantes en este proyecto de investigación, en cuanto a su
contexto social, económico, estudios, edad, educación similar, contexto educativo, etc.
Pese a contar con una muestra dirigida, tuvo una gran ventaja que consistió en la utilidad
58
para el diseño de estudio que no requirió una representatividad sino una controlada
elección de casos con características específicas, es decir, equivalentes en todo, excepto
en la variable independiente.
3.3. Tema, categorías e indicadores de estudio
El área temática de esta investigación consistió en analizar si el trabajo orientado
a proyectos mejora significativamente el desarrollo de la competencia matemática. Por lo
tanto, se propició una diferencia en la metodología de trabajo con la finalidad de
contrastar el desarrollo de la competencia matemática en el grupo de control y el grupo
experimental.
3.3.1. Tema del estudio
Siendo la temática primordial de esta investigación el trabajo por proyectos y la
competencia matemática, a continuación se describen dichos elementos. El primer factor
se caracteriza por ser una forma de trabajo reflexiva, propositiva, activa y con frecuencia
cooperativa con la encomienda de solucionar un problema y/o elaborar un producto. Esta
metodología retomó los conocimientos previos de los educandos y los orientó a una
práctica experiencial reflexiva y relevante en contextos muy parecidos a la vida real con
la finalidad de impulsar la adquisición y desarrollo de conocimientos conceptuales,
procedimentales y actitudinales estrechamente relacionados con el desarrollo de
competencias. Se promovió esta forma de trabajo para desarrollar la competencia
matemática que se privilegió en esta investigación por su trascendencia y las deficiencias
manifestadas en los alumnos.
59
La competencia matemática hace referencia a la ejecución de una actividad de
manera efectiva a partir de los conocimientos que se poseen, tanto conceptuales como
procedimentales y actitudinales de manera integrada. De tal forma que los estudiantes
hicieran uso de números, operaciones, medidas, figuras y diversa información para lograr
la resolución de problemas y elaboración de productos.
3.3.2. Categorías o temáticas.
Habiendo descrito la temática de esta investigación, se ponen de manifiesto ahora
las categorías o subapartados que son: características de los proyectos y resolución de
problemas.
Para el trabajo por proyectos, se seleccionaron y planificaron estos precisando el
objetivo, proceso a seguir, estrategias, tiempo y recursos para lograr las metas propuestas.
Se trabajó con proyectos de elaboración, aprendizaje y resolución de problemas, los
cuales fueron de carácter simple, intelectuales primordialmente pero también manuales,
según las clasificaciones manejadas en el marco conceptual de este documento. Se
impulsó el trabajo cooperativo en equipos heterogéneos de 4 personas, en ellos se
especificaron los objetivos, roles de trabajo, criterios a evaluar, conocimientos
comportamentales, cognitivos y manuales que se persiguieron, se monitoreó cada una de
las actividades y se promovió la tolerancia, empatía, honestidad, justicia y
responsabilidad en la interacción.
Puesto que, como se ha mencionado, la resolución de problemas es un elemento
esencial para impulsar y corroborar el desarrollo de la competencia matemática, dicho
proceso se ejecutó a partir de cuatro fases: plantear el problema, identificar lo más
60
relevante del mismo, relacionar dicha información con los procesos a ejecutar para su
resolución y finalmente hacer lo planeado.
Para ello los alumnos utilizaron distintas estrategias, diversos tipos de
pensamiento como el analógico, inductivo y deductivo. Se buscó que los estudiantes por
sí mismos fueran capaces de resolver problemas, siguieran un proceso efectivo que los
llevara a la resolución de los mismos y que estuvieran en condiciones de justificarlo. Por
lo tanto, se trabajó de manera conjunta la resolución de problemas y la enseñanza de las
matemáticas en los temas que se trabajaron primordialmente: Significado y uso de los
números, Significado y uso de las operaciones, Figuras, Ubicación espacial, Medidas y
Análisis de información, en los cuales están inmersas las cuatro competencias básicas que
el Plan de estudios 2009 demanda: comunicar información matemática, validar
procedimientos y resultados y manejar técnicas eficientemente.
3.3.3. Indicadores.
Todo lo referido anteriormente propuso el uso de los siguientes indicadores: ¿en
qué medida favorece el trabajo por proyectos el desarrollo de la competencia
matemática?, ¿impulsa el trabajo cooperativo el desarrollo de la competencia
matemática?, ¿realmente el trabajo por proyectos motiva a los estudiantes y favorece el
aprendizaje?, ¿en qué temas el trabajo por proyectos favorece significativamente el
desarrollo de la competencia matemática?, ¿es suficiente impulsar la resolución de
problemas como medio para desarrollar la competencia matemática?
61
3.4. Fuentes de información
Con la finalidad de recabar información sobre la competencia matemática y la
forma de medirla, se analizaron los instrumentos utilizados en estudios previos, se
identificó el propósito de cada uno, su similitud con el objetivo de este proyecto de
investigación, se examinaron sus variables, las características de la muestra, las
condiciones de aplicación, la información sobre la confiabilidad, validez y objetividad,
así como los recursos necesarios para administrarlos. Se exploraron pruebas de ENLACE,
reactivos de PISA y exámenes estandarizados de diversas editoriales para determinar qué
instrumentos podían ser de utilidad. Se encontró que las variables son semejantes, que se
basan fundamentalmente en la resolución de problemas y en los dos primeros casos
(ENLACE y PISA), se cuenta con un alto nivel de validez, confiabilidad y objetividad.
Además se descubrió que los exámenes de PISA evalúan tres niveles:
reproducción, conexión y reflexión, propone problemas auténticos para que los alumnos
los resuelvan, contiene reactivos de opción múltiple, de respuestas construidas cerradas y
abiertas. Las preguntas van creciendo en complejidad, los ejercicios de matemáticas giran
en torno a cuatro ideas principales que son: espacio y forma, cambio y relaciones,
cantidad e incertidumbre. Sin embargo, esta prueba está diseñada para una muestra
distinta a la que se dirige este estudio, puesto que está planteada para alumnos de 15 años
(OCDE, 2006).
Por otra parte, la prueba ENLACE, es una prueba generalizada, es consistente y
tiene una estructura interna adecuada. En el área de matemáticas evalúa la resolución de
problemas a partir del uso de los números y las operaciones, medidas arbitrarias,
instrumentos de geometría, exploración de objetos tridimensionales, ubicación espacial y
62
manejo de información. Se fundamenta en tablas de especificaciones entorno a la
resolución de problemas, ha diseñado una prueba para cada grado de primaria a partir de
tercer grado, así como también, para secundaria y bachillerato, por lo tanto, abarca la
muestra de este proyecto de investigación.
En los demás casos se encontró un uso adecuado de las variables porque
demandan resolver problemas, validar procesos y resultados, manejar información
matemática y usar técnicas de manera eficiente. No obstante, los exámenes comerciales
no manifiestan datos en cuanto a su grado de confiabilidad, validez y objetividad. Por
esta razón, se decidió utilizar reactivos de la prueba ENLACE, seleccionar aquellos que
correspondían al 5° grado de educación primaria y al área de matemáticas, luego hacer
una nueva selección para eliminar los que no pertenecían a los contenidos que se
trabajaron con el grupo experimental y el grupo de control.
Se utilizó una adecuación de la prueba ENLACE que emplea las mismas variables
que las que propone este estudio porque ambas se basan en el Programa de estudios 2009
para el 5° grado de primaria. Los temas analizados que abarcan los tres ejes de
matemáticas son: Significado y uso de los números, Significado y uso de las operaciones,
Figuras, Ubicación espacial, Medidas y Manejo de información.
Se seleccionó dicho instrumento que fue aplicado a alumnos del mismo grado y
edad de la muestra de este proyecto, que fue administrado tanto en contextos rurales
como en urbanos, fue elaborado recientemente y manifestó gran confiabilidad, validez y
objetividad. Por lo tanto, a partir de una tabla de especificaciones que se construyó, se
hizo una selección de los ítems en torno a las variables y dimensiones precisadas. Se
63
definió el contenido, el formato del instrumento y su contexto de aplicación como a
continuación se explica.
3.5. Técnicas de recolección de datos o instrumentos
Como anteriormente se expuso, para recolectar los datos se utilizaron reactivos de
la prueba estandarizada ENLACE, se seleccionaron los ítems que abarcaban los temas
estudiados, se adaptaron las indicaciones, se aplicó una prueba piloto y se demostró su
confiabilidad y validez. Para codificar los datos se les asignó un valor numérico a cada
categoría de los distintos reactivos para hacer un análisis estadístico mediante un nivel de
medición por intervalos en el que a partir de las respuestas correctas de los alumnos, se
determinó su nivel de logro en la competencia matemática.
Se elaboraron dos instrumentos de evaluación equivalentes con la finalidad de
utilizarlos como preprueba y posprueba en los grupos con los que se llevó a cabo el
estudio y se pilotearon como se describe en el siguiente apartado. En los instrumentos de
medición se emplearon preguntas claras, precisas, breves y con un vocabulario simple,
conforme al nivel educativo de los estudiantes. Comenzaron con preguntas fáciles con la
finalidad interesar a los alumnos en el tema, contaron con una introducción que mencionó
el propósito general del estudio, su importancia, el tiempo aproximado de respuesta y las
instrucciones para contestar el cuestionario.
Las preguntas estuvieron organizadas en categorías para que fuera más fácil
responder el cuestionario e identificar el desempeño de los alumnos en cada uno de los
temas antes mencionados. Finalmente, las pruebas fueron autoadministradas y sin
intermediarios.
64
3.6. Prueba piloto.
Una vez diseñado el instrumento, se aplicó a un grupo de alumnos de sexto grado
de la misma institución para asegurar el conocimiento de los contenidos que se
analizaron. Estos alumnos contaron con características semejantes a los estudiantes con
los que se llevó a cabo el estudio, es decir, con un contexto social, económico y educativo
similar. Además, tanto las condiciones de aplicación como las instrucciones dadas fueron
semejantes.
Una vez aplicada la prueba piloto, se analizó si las instrucciones, los ítems, el
lenguaje y la redacción eran adecuados. Conforme a las recomendaciones de Hernández
et al. (2010) de llevar a cabo esta prueba con un grupo más pequeño que la muestra, estas
pruebas se aplicaron a 10 alumnos. Los resultados se utilizaron para calcular la
confiabilidad inicial del instrumento y su validez. Como no se contó con un grupo de
expertos para depurar los reactivos de la prueba, se hizo una revisión de literatura en este
ámbito, se consultaron especialmente los programas de estudio y los reactivos de la
prueba ENLACE. Se platicó con los alumnos que contestaron el instrumento, para
conocer su opinión sobre este, se identificó que les pareció un poquito largo pero
comprensible y claro. Se evaluó lo escrito por los alumnos y se determinó la nulidad de
patrones tendenciosos porque no eligieron siempre una misma respuesta.
A partir de los resultados de la prueba piloto, se ajustó y mejoró el instrumento de
medición, se modificó el formato de algunos reactivos y se corrigió un error en los datos
de una pregunta. Posteriormente, se elaboró la versión final con un formato más claro que
el inicial.
65
3.7. Aplicación de instrumentos o procedimientos
Habiendo conseguido la autorización necesaria para la ejecución de la
investigación, se aplicó la prueba piloto para probar la pertinencia de las preguntas y
enseguida se aplicó la preprueba a los dos grupos con los que se llevó a cabo este estudio.
Se abordó el trabajo por proyectos en el grupo experimental mientras que el grupo de
control trabajó con la metodología tradicional. Al finalizar esta etapa se administró la
posprueba a ambos grupos para medir la competencia matemática de forma cuantitativa.
Tanto la prueba inicial como la final fueron aplicadas por la investigadora considerando
el propósito del estudio, el tiempo, confidencialidad, su presentación personal, respeto y
sensibilidad con los participantes y la estructura del instrumento.
Para aplicar las pruebas, luego de obtener las distintas licencias, se les notificó a
los niños, se les aisló de distractores externos que pudieran influir en la resolución del
cuestionario, como ruidos excesivos y premura del tiempo. Se les leyeron las
instrucciones y se explicó la forma de responder, se otorgó un tiempo razonable para
dicha tarea, se verificó que todos respondieran el cuestionario y se agradeció su
cooperación a los participantes. Posteriormente, se capturaron y analizaron los datos
como a continuación se describe.
3.8. Captura y análisis de datos o estrategia de análisis de datos
Para capturar y analizar los datos, se realizó un análisis de contenido en el que se
estableció el universo como la competencia matemática, de esta, se desprendieron tres
unidades de análisis constituidas por los tres ejes de la asignatura de matemáticas Sentido
numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y Medida y Manejo de información.
66
En estos se incluyeron los seis temas analizados. Se obtuvo el producto de la codificación
considerando las frecuencias de las categorías y luego el porcentaje de las mismas.
Como Hernández et al. (2010) expresan, es necesario que la medición o
instrumento de recolección de datos sea válido, confiable y objetivo. Definen la validez
como el grado en que un instrumento mide realmente la variable que se busca medir, la
confiabilidad como el grado en que un material produce resultados consistentes y la
objetividad como el nivel de influencia que el investigador puede tener en el instrumento.
Es importante explicitar que la validez del instrumento se avala porque sus
reactivos están tomados de la prueba ENLACE la cual se basa en evidencia empírica y
teoría educativa. Su confiabilidad analizada con el coeficiente de consistencia interna alfa
de Cronbach manifiesta que tiene un 95% de confianza. Su elaboración se fundamenta en
bibliografía especializada, parte del análisis de una tabla de especificaciones de los
contenidos de la asignatura para elaborar los reactivos, los cuales se discuten e integran
en el banco, luego se pilotean y se hace una selección final. En este proceso está implícita
la adecuada interpretación del sentido y orientación de los contenidos porque los
reactivos corresponden a un marco de referencia conforme al enfoque y requerimientos
técnico-pedagógicos de la elaboración de pruebas.
Además, en la práctica, se aseguró la validez de la medición porque la prueba
integró los tres ejes de matemáticas a partir de los seis temas analizados: Significado y
uso de los números, Significado y uso de las operaciones, Figuras, Ubicación espacial,
Medidas y Análisis de información. Los temas se evaluaron a partir de la resolución de
problemas para medir las cuatro competencias matemáticas: resolución de problemas,
comunicación de información matemática, validación de procedimientos y resultados y
67
manejo de técnicas matemáticas. Otro elemento que constató la validez del instrumento,
fue la evidencia relacionada con el criterio. Esto se llevó a cabo al comparar los
resultados de la preprueba con la evaluación diagnóstica y encontrar similitudes en el
puntaje obtenido de cada alumno.
Para determinar la confiabilidad del instrumento, se utilizó el método de mitades
partidas que consistió en aplicar dos versiones equivalentes del instrumento, similares en
contenido, instrucciones, duración, cantidad de reactivos y contenidos a evaluar. Se
administró a un grupo de diez alumnos de manera simultánea en cuarenta minutos. El
instrumento resultó confiable por la correlación entre los resultados de ambas
administraciones.
Para evitar afectar la confiabilidad y validez del instrumento, se superó la
improvisación, el uso de pruebas desarrolladas para otra muestra y espacio cultural, para
que los niños comprendieran lo que se les pedía en cada reactivo. Además, se cuidaron
factores externos tales como la iluminación, ruido, extensión del instrumento, legibilidad
y precisión de las instrucciones para que estos no influyeran en los resultados.
La objetividad de la medición se basó en el planteamiento de problemas para que
los alumnos los resolvieran, porque existe gran consenso de que la competencia
matemática se expresa y evalúa mediante dicha práctica. Por otra parte, en el estudio no
tuvieron lugar tendencias ideológicas, políticas, religiosas, etc. que influyeran en la
manipulación de la variable independiente y en los resultados. Además, se utilizó una
prueba estandarizada, en la aplicación y evaluación del instrumento, con las mismas
instrucciones y condiciones para cada uno de los alumnos.
68
Una vez que se aplicaron los instrumentos, se recolectaron los datos, se indicaron
las frecuencias de cada ítem en una matriz y se guardaron en una base de datos. Se
seleccionó el programa Excel para analizarlos. Luego se llevó a cabo la prueba de
hipótesis para determinar si era congruente con los datos obtenidos en la muestra y se
estableció su nivel de significancia mediante un análisis paramétrico de la prueba t.
Habiendo obtenido los resultados de los análisis estadísticos, se revisaron y
organizaron, primero los descriptivos, por variable el estudio, luego lo relativos a la
confiabilidad, validez y enseguida los inferenciales. Se cotejaron los resultados según su
congruencia, se priorizó la información más valiosa y se elaboró el reporte de
investigación.
A manera de síntesis se puede expresar que para determinar si el trabajo por
proyectos favorece el desarrollo de la competencia matemática más que el trabajo
educativo tradicional se diseñó un cuasiexperimento que manipuló el trabajo por
proyectos, midió su influencia en el desarrollo de la competencia matemática y sustentó
su validez interna en la equivalencia completa excepto en el trabajo por proyectos del
grupo experimental y el de control. Constituyó un estudio explicativo porque expresó la
relación entre dos variables. Se fundamentó en el enfoque cuantitativo y el paradigma
deductivo, se basó en una hipótesis preestablecida, empleó una muestra dirigida, una
preprueba y posprueba que se aplicaron a los dos grupos para determinar el avance de
cada uno en la competencia matemática y se analizaron los datos con el programa Excel
para determinar si eran congruentes con la hipótesis.
Finalmente, con todo lo expresado anteriormente, se ha establecido el proceso a
seguir para llevar a cabo este estudio; el método de investigación, la población y muestra,
69
fuentes de información, recolección de datos, prueba piloto, aplicación de instrumentos y
análisis de datos. Todo esto constituyó una guía de trabajo que orientó el estudio y al
mismo tiempo fundamentó su confiabilidad, objetividad y validez.
70
IV. Análisis de resultados
El motivo que originó este estudio fue primordialmente el bajo nivel de
desempeño en la asignatura de matemáticas por parte de los estudiantes y la
incongruencia detectada al analizar la recomendación y utilidad del trabajo por proyectos
que hace el programa de estudios en las distintas asignaturas, con la omisión de dicha
estrategia en el área de matemáticas en el Plan de Estudios 2009. Por esta razón, se
emprendió con un grupo experimental el trabajo por proyectos para favorecer la
competencia matemática de los alumnos y contrastar su progreso con un grupo de
control.
El objetivo de este capítulo consiste en mostrar los resultados que cada grupo
obtuvo tanto en la preprueba como en la posprueba en los temas: Significado y uso de las
operaciones, Significado y uso de los números, Figuras, Ubicación espacial, Medidas y
Análisis de la información, para determinar con la prueba estadística t, si la diferencia es
o no significativa y estar en condiciones de corroborar o, en su defecto, desechar la
hipótesis de este proyecto de investigación. Luego de la presentación de resultados, se
muestra el análisis de estos, es decir, la justificación teórica que otorgan validez y
confiabilidad a los hallazgos encontrados.
4.1. Resultados
La asignatura de matemáticas se organiza en tres ejes: Sentido numérico y
pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y Manejo de información. Estos ejes a
su vez están integrados por temas y estos últimos por contenidos, según los Programas de
Estudio 2011de Educación Básica (SEP, 2011). En la tabla 1 se muestran los ejes
71
abordados de la asignatura de matemáticas, los temas evaluados, los subtemas y
finalmente, los reactivos en los que se ubica cada elemento, con la finalidad de mostrar la
coherencia lógica de los instrumentos utilizados en la evaluación.
Tabla 1 Contenido de los ejes, temas, subtemas y reactivos considerados en los instrumentos (Datos recabados por el autor)
Eje Tema Subtema No. de ítem
1. Sentido numérico y pensamiento
algebraico
Significado y uso de los números
Números fraccionarios 4, 8, 18Números decimales 7, 9,
Significado y uso de las operaciones
Problemas multiplicativos 2, 3, 5, 6, 15Problemas de división 1
2. Forma, espacio y medida
Figuras Cuerpos 12, 14 y 17Ubicación espacial Representación 19, 20
Medidas Unidades 10, 113. Eje: Manejo de
información Análisis de información Relaciones de proporcionalidad 16, 13
Puesto que en matemáticas se requiere ante todo la resolución de problemas, se
privilegió dicha tarea que demandó la actividad práctica de los estudiantes a partir de
experiencias concretas para manifestar el desarrollo de conocimientos y habilidades
relacionadas con el manejo y comunicación de información y el manejo eficiente de
técnicas matemáticas. Se consideraron los aprendizajes esperados de los bloques I y II de
la asignatura de matemáticas para el 5° grado de primaria con la finalidad de evaluar
dicha competencia en los aspectos que más adelante se explican.
Los instrumentos utilizados para contrastar el desarrollo de la competencia
matemática de un grupo experimental y uno de control de 5° grado de primaria, fueron
dos pruebas equivalentes, compuestas por veinte ítems cada una para analizar los
siguientes temas: Significado y uso de los números, Significado y uso de las operaciones,
Figuras, Ubicación espacial, Medidas y Análisis de información.
72
Estas pruebas se pilotearon con 10 alumnos que cursan el sexto grado de primaria
en la misma escuela, es decir, con alumnos que se desarrollan en un contexto social,
familiar y educativo similar al de los estudiantes con los que se llevó a cabo el estudio.
Una vez aplicado dicho instrumento, se analizaron los resultados con la prueba estadística
t para determinar si estos eran o no distintos de manera significativa y establecer el grado
de correlación como se muestra en la siguiente tabla.
Tabla 2 Resultados del pilotaje de las dos versiones de prueba (Datos recabados por el autor)
El coeficiente de correlación otorgó validez a los instrumentos porque fue cercano
a 1. Por otra parte, conforme a los grados de libertad, el valor de t podía ser de 2.131, no
obstante, fue 1.594. Por esta razón, se determinó que la diferencia entre ambos
instrumentos no era significativa y manifestaba equivalencia.
Al pilotear las pruebas, los alumnos tuvieron algunas dudas sobre lo que debían
hacer, puesto que las indicaciones no eran muy claras, por lo tanto, se cambió la frase:
elige la respuesta correcta por subraya la respuesta correcta. Además, como la prueba
fue de opción múltiple, algunas preguntas quedaban al final de la página y las opciones
de respuesta en la hoja siguiente. Esto ocasionó algunas preguntas como ¿dónde están las
respuestas?, ¿estas respuestas son de la pregunta anterior aunque estén en otra hoja?,
por esta razón, se mejoró el formato de los instrumentos cuidando que no se cortaran los
ítems en dos páginas distintas.
No. Alumnos Aciertos Grados de libertad Coef. de correlación Prueba t Valor tGrupo 1 5 32 4 0.6 1.594 < 2.1318 Grupo 2 5 45
73
El pilotaje además ayudó a identificar un error en la transcripción de la prueba
puesto que se modificó la respuesta correcta de una pregunta. Esto suscitó algunos
comentarios como: ya hice la operación y el resultado que obtuve no está en las
respuestas. Se analizó dicho elemento y al constatar que el alumno tenía razón, se hizo la
indicación general de que en dicho ítem, escribieran ellos la respuesta. Todo lo anterior
orientó el perfeccionamiento del instrumento. Se puntualizaron las indicaciones, se
mejoró el formato de presentación y se anexó la respuesta correcta que faltaba en un
reactivo. Posteriormente se aplicó la posprueba tanto al grupo experimental como al de
control y, luego del periodo de aplicación del trabajo por proyectos con el primero y la
metodología tradicional con el segundo, se aplicó el instrumento equivalente o posprueba.
Los resultados se muestran a continuación divididos en los tres ejes de la asignatura de
matemáticas y los temas abordados.
4.1.1. Eje 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
El fin de este eje consiste en utilizar el lenguaje matemático, explorar propiedades
aritméticas y representar cálculos. Incluye los temas de números, problemas aditivos y
multiplicativos. Por lo tanto, integra las siguientes variables del estudio: Significado y
uso de los números y Significado y uso de las operaciones. A continuación se exponen
los resultados encontrados en dichos temas.
Significado y uso de los números. En este tema se analizó la ubicación de
fracciones en la recta, la escritura de números con punto decimal, la identificación de
fracciones decimales y fracciones aditivas decimales. Para analizar el significado y uso de
los números, se propusieron cinco ítems, tres relacionados con el uso de fracciones y dos
74
referentes al uso de números decimales. En la preprueba los alumnos del grupo de control
manifestaron un nivel de logro inferior al grupo experimental, tanto en el manejo de los
números fraccionarios, como en los números decimales. Lo mismo sucedió en los
resultados de la posprueba, el grupo control conservó una cantidad de aciertos inferior al
grupo experimental. Sin embargo, ambos grupos progresaron, como se muestra en la
tabla 3.
Tabla 3 Resultados del tema: Significado y uso de los números (Datos recabados por el autor)
El grupo control superó en un 8% su desempeño inicial luego de su trabajo en el
aula con la metodología tradicional, mientras que el grupo experimental manifestó un
avance tres veces mayor que el primero, al superarlo en un 17 %. Conforme a los grados
de libertad, el valor de t fue mayor a 1.689, por lo tanto, tuvo lugar una diferencia
significativa en el progreso del grupo experimantal con respecto al de control en el tema
Significado y uso de los números. Por esta razón, en dicho aspecto se se acepta que el
trabajo por proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia matemática.
Significado y uso de las operaciones. Para valorar el significado y uso de las
operaciones, se pidió a los niños resolver problemas de multiplicación y división. Lo cual
requirió que estos se centraran en la relación entre los datos, más que en la complejidad
de los mismos, puesto que en seis reactivos, se les pidió determinar la multiplicación o
repartición de cantidades. Los resultados en este tema se presentan en la tabla 4.
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba t Valor t
Grupo de control 18 18% 26 26% 8 8%
37 2.378 > 1.689 Grupo experimental 30 30% 55 55% 25 25%
75
Tabla 4 Resultados del tema: Significado y uso de las operaciones (Datos recabados por el autor)
Como puede verse, el grupo de control acertó en un 23% de los ítems de la
preprueba y en la posprueba obtuvo un avance del 6%, mientras que el grupo
experimental obtuvo inicialmente un 34% de los ítems correctos y en la posprueba
mejoró en un 11%, superando en un 5% al grupo de control.
Como el valor estadístico de t fue menor al establecido conforme a los grados de
libertad, pese a que el grupo experimental mostró un progreso superior, la diferencia no
fue significativa en este tema. Por lo tanto, en cuanto al Significado y uso de las
operaciones, no se corrobora que el trabajo por proyectos sea un elemento eficaz para el
desarrollo de la competencia matemática.
4.1.2. Eje 2. Forma, espacio y medida
Este eje pretende la exploración de las características y propiedades de las figuras
y cuerpos geométricos, así como la ubicación espacial y el cálculo geométrico. Se pidió a
los alumnos ubicar puntos en un plano y describir recorridos en mapas, identificar las
características de algunas figuras geométricas y utilizar fórmulas para calcular perímetros
y áreas. Esta variable considera los siguientes temas: Figuras, Ubicación espacial y
Medidas, cuyos resultados se ponen de manifiesto a continuación.
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba t Valor t
Grupo de control 28 23% 35 29% 7 6%
38 0.825 < 1.683 Grupo experimental 41 34% 54 45% 13 11%
76
Figuras. Para evaluar este tema, se solicitó a los alumnos especificar algunas
características de cuerpos geométricos, para ello se incluyeron tres ítems. Como cada
grupo estuvo conformado por 20 alumnos, la cantidad máxima de aciertos que podían
tener era 60. En la tabla 5 se muestran los niveles de desempeño y el avance de ambos
grupos en la preprueba y posprueba que se les aplicaron.
Tabla 5 Resultados del tema: Figuras (Datos recabados por el autor)
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba t Valor
t Grupo de control 17 28% 19 32% 2 3%
38 2.067 > 1.683 Grupo experimental 34 57% 49 82% 15 25%
En la preprueba el grupo de control obtuvo 17 aciertos y en la posprueba 19, es
decir, aumentó 2 aciertos que equivalen a un 3%. Por otra parte, el grupo experimental
obtuvo un aumento de 15 aciertos que equivalen a un 22%, es decir, 7 veces más. Al
comparar los resultados, el valor de t fue considerablemente mayor a 1.683. Por lo tanto,
se establece una diferencia significativa en el tema Figuras y en dicho aspecto se
corrobora la hipótesis de que el trabajo por proyectos contribuye eficazmente al
desarrollo de la competencia matemática.
Ubicación espacial. Conforme al programa de matemáticas para 5° grado de
primaria en los bloques I y II, se estudiaron las características de los croquis, la lectura de
mapas tanto de zonas rurales y urbanas conocidas como de zonas urbanas desconocidas.
Esto último fue lo que se demandó en el examen, la lectura de mapas e interpretación de
rutas considerando los puntos cardinales. En la tabla 6 se contrasta el progreso de ambos
grupos en dicho tema.
77
Tabla 6 Resultados del tema: Ubicación espacial (Datos recabados por el autor)
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba
t Valor t
Grupo de control 15 38% 17 43% 2 5%
38 0.661 < 1.683 Grupo experimental 18 45% 23 58% 7 13%
Se destinaron dos ítems para evaluar la ubicación espacial, por lo tanto, 40 era la
cantidad mayor de aciertos que podían obtenerse en cada grupo. En la preprueba el grupo
de control acertó en 15 ocasiones y en la posprueba aumentó 2 aciertos que equivalen a
un 5%. Por su parte, el grupo experimental obtuvo 18 aciertos y en la posprueba aumentó
5 aciertos que equivalen a un 13%. Nuevamente este último grupo superó el avance del
primero por poco más del doble. No obstante, el valor de la prueba t fue menor que lo
establedido para 38 grados de libertad, por lo que no se corrobora un alto nivel de
significancia del trabajo por proyectos para el desarrollo de la competencia matemática
en el tema Ubicación espacial.
Medidas. En las distintas sesiones de clase, se abordaron ejercicios de
equivalencias en contextos de resolución de problemas. Los estudiantes debían hacer
conversiones de medidas para solucionar distintas situaciones problemáticas. A partir de
esto, se pidió a los alumnos en las pruebas, establecer equivalencias y hacer conversiones
usando el punto decimal. Los resultados manifestados por ambos grupos se muestran en
la tabla 7.
78
Tabla 7 Resultados del tema: Medidas (Datos recabados por el autor)
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba t Valor
t Grupo de control 10 25% 15 38% 5 13%
38 2.537 > 1.683Grupo experimental 11 28% 25 63% 14 35%
Para evaluar el tema Medidas, se integraron dos ítems en cada prueba, por lo que
la cantidad máxima de aciertos que podían obtener ambos grupos era 40. En la preprueba
el grupo de control obtuvo 10 respuestas correctas y en la posprueba 15, con lo que
mostró un aumento de 5 aciertos equivalentes a un 13%. Por otra parte, el grupo
experimental obtuvo 11 y 25 aciertos en la preprueba y posprueba respectivamente, es
decir, tuvo un aumento de 14 aciertos que equivalen a un 35%. Por lo tanto, el avance del
grupo experimental fue un 22% superior al grupo de control.
Se obtuvo un valor de t mayor al requerido para determinar una diferencia
signitivativa, por lo tanto, en el tema Medidas, se corroboró nuevamente la hipótesis que
sustenta este proyecto de investigación.
4.1.3. Eje 3. Manejo de información
Este último eje precisa la búsqueda y análisis de información para responder
preguntas e integra la proporcionalidad para interpretar y comunicar datos. Incluye el
tema Análisis de información porque demanda la resolución de problemas a partir del uso
de información contenida en tablas y gráficas. A continuación se ponen de manifiesto los
resultados de esta variable.
79
Análisis de información. A este tema se destinaron dos ítems, el 13 y el 16. El
primero demandó al alumno identificar eventos posibles de un espacio muestral en un
experimento aleatorio, mientras que el segundo le solicitó interpretar información
presentada en una tabla de frecuencias. Estos contenidos se abordaron a partir de los
ejercicios con el libro de texto y actividades complementarias con el grupo de control,
mientras que con el grupo experimental, además de usar el libro de texto, se pidió a los
estudiantes investigar y exponer información para la ejecución de algunos proyectos
como el salón de fama de las matemáticas y el museo. En la tabla 8 se muestran los
resultados arrojados por la preprueba y posprueba en ambos grupos.
Tabla 8 Resultados del tema: Análisis de información (Datos recabados por el autor)
Aciertos preprueba % Aciertos
posprueba % Aumento % de aumento g/l Prueba t Valor
t Grupo de control 6 15% 27 68% 21 53%
38 1.681 < 1.683Grupo experimental 12 30% 25 63% 13 33%
En este tema, los dos grupos mostraron un avance importante al superar
considerablemente su desempeño inicial. No obstante, el grupo de control manifestó un
progreso mayor que el grupo experimental, puesto que de los 40 posibles aciertos, obtuvo
6 en la primera prueba y 27 en la segunda, mientras que el grupo experimental obtuvo 12
en la preprueba y 25 en la posprueba. Por lo tanto, mientras que el grupo de control
progresó un 53% en su desempeño, el experimental también lo hizo pero en un grado un
tanto inferior al obtener un avance de 33%.
En el tema de manejo de información, el valor de t fue menor al requerido para
establecer una diferencia significativa. Esto es, que pese a que el grupo de control
manifestó en este tema mayor avance, realmente no obtuvo un desempeño
80
significativamente mejor que el grupo experimental, sin embargo, en cuanto a lo referente
al tema Análisis de información, no se corrobora la hipótesis de que el trabajo por
proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia matemática.
A parir de lo expuesto anteriormente, se ha manifestado que tanto el grupo de
control como el grupo experimental superaron su desempeño inicial al mejorar los
puntajes de la preprueba en la posprueba, como se muestra de manera conjunta en la tabla
9, que expone la cantidad de aciertos que lograron los grupos en los seis temas que
integraron cada prueba y el avance final de estos en cada aspecto.
Tabla 9 Resultados del grupo de control y grupo experimental (Datos recabados por el autor)
Comparación de los resultados del grupo de control
Aciertos en la preprueba
Aciertos en la posprueba
Grados de libertad Prueba t Valor t
Significado y uso de los números 18 26 37 1.591 < 1.689 Significado y uso de las operaciones 28 35 36 1.128 < 1.689
Figuras 17 19 37 0.495 < 1.689 Ubicación espacial 15 17 37 0.607 < 1.689
Medidas 10 15 37 1.647 < 1.689 Análisis de la información 6 27 38 6.919 > 1.683
Comparación de los resultados del grupo experimental
Aciertos en la preprueba
Aciertos en la posprueba
Grados de libertad Prueba t Valor t
Significado y uso de los números 30 55 36 3.817 > 1.689 Significado y uso de las operaciones 41 54 37 2.200 > 1.689
Figuras 34 49 28 3.179 > 1.701 Ubicación espacial 18 23 30 1.205 < 1.697
Medidas 11 25 37 4.626 > 1.689 Análisis de la información 12 25 34 3.321 > 1.689
Comparación de los avances de ambos grupos
Aumento del grupo de control
Aumento del grupo
experimental
Grados de libertad Prueba t Valor t
Significado y uso de los números 8 25 37 2.378 > 1.689 Significado y uso de las operaciones 7 13 38 0.825 < 1.683
Figuras 2 15 38 2.067 > 1.683 Ubicación espacial 2 5 38 0.661 < 1.683
Medidas 5 14 38 2.537 > 1.683 Análisis de la información 21 13 38 1.681 < 1.683
Promedio 7.5 14 38 1.692 > 1.684
81
En la tabla 9 se pone de manifiesto primeramente, un avance importante del grupo
de control, el cual aumentó la cantidad de aciertos en todos los temas en la segunda
prueba con respecto a la primera. Sin embargo, dicho progreso no es significativo en
cinco de ellos, sino únicamente en el Análisis de la información que superó el valor de t,
porque en el resto, el progreso obtenido fue menor a dicho elemento.
Se puede valorar además que los avances del grupo experimental en cada uno de
los temas abordados, fueron más notorios que los del grupo de control. Su análisis con la
Prueba t, permitieron identificar que dicho progreso resultó significativo en cinco de los
seis temas abordados. Por lo tanto, se puede decir que el trabajo por proyectos favoreció
eficazmente el desarrollo de la competencia matemática.
Habiendo contrastado el progreso de cada grupo respecto a sí mismo a partir de la
preprueba y posprueba aplicadas, es necesario comparar ahora de forma conjunta, el nivel
de avance que cada uno mostró en relación con el otro. Como se puede observar en la
tabla 9, mientras el grupo de control aumentó en promedio 7.5 aciertos, el experimental lo
hizo con 14. Al contrastar estos progresos y analizarlos con la Prueba t, se puso de
manifiesto que el grupo experimental tuvo un avance significativo en los temas
Significado y uso de los números, Figuras y Medidas, mientras que la ventaja obtenida en
los temas: Significado y uso de las operaciones y Ubicación espacial, no fue relevante, así
como tampoco la diferencia en el tema Análisis de información, en donde el grupo de
control mostró mayor incremento que el experimental.
En figura 1, se ilustra el incremento que ambos grupos tuvieron en cada uno de
los temas que se abordaron en el estudio y se pone de manifiesto que en general, el grupo
experimental tuvo un desarrollo mayor en la competencia matemática.
82
Figura 1. Progreso de los dos grupos. (Datos recabados por el autor).
Se observa con claridad que el grupo experimental tuvo un progreso sperior en el
tema Figuras, Medidas, Significado y uso de las operaciones, Significado y uso de los
números y Ubicación espacial, mientras que el grupo de control superó al grupo
experimental en el tema Análisis de la información.
Para finalizar este apartado, se analizó el progreso total de ambos grupos, se
comparó, e ilustró en la figura 2. Para hacerlo, se consideraron el total de reactivos que se
incrementaron y se calculó la proporción de avance de cada grupo.
83
Figura 2. Avance del grupo experimental y grupo de control. (Datos recabados
por el autor).
En la preprueba aplicada tanto al grupo de control como al experimental, se
obtuvieron en total 240 aciertos, mientras que en la posprueba se lograron 370. Por lo
tanto, se incrementaron 130 respuestas correctas en total, de las cuales 45 pertenecieron al
grupo de control y 85 al experimental. De esta manera, el progreso del grupo de control
representó un 35% del avance total y el grupo experimental constituyó el 65% de dicho
aumento. Lo expuesto hasta este momento permite expresar que el desempeño en el área
de matemáticas fue superior en el grupo experimental que en el de control en cinco de los
seis temas abordados. Por esta razón, se puede decir que efectivamente, el trabajo por
proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia matemática.
84
4.2. Análisis e interpretación de resultados
En este análisis de resultados, se consideraron los objetivos, preguntas de
investigación y teorías que sustentan este estudio, así como los resultados de las pruebas,
la ejecución de los proyectos y el desempeño que los alumnos tuvieron en la asignatura
de matemáticas. Todo esto con la finalidad de establecer la relación entre el trabajo por
proyectos y el desarrollo de la competencia matemática. Para esto se analizaron los tres
ejes de matemáticas a partir de los seis temas que se abordaron. Habiendo precisado el
progreso de cada uno de los grupos, se justifican a continuación los resultados antes
mostrados, a partir de la fundamentación teórica de los proyectos, el trabajo cooperativo,
la motivación y la competencia matemática.
4.2.1. Trabajo por proyectos
El hecho de que el grupo experimental haya progresado un 30% más que el grupo
de control en la competencia matemática se debe primordialmente a la manipulación de la
variable independiente constituida por el trabajo por proyectos que demandó a los
discentes una práctica reflexiva en una situación real, de los contenidos que se estudiaron.
Además, para la ejecución de los proyectos, se consideraron los intereses de los alumnos,
puesto que se les orientó para que los seleccionaran, planearan, ejecutaran y evaluaran.
Esto favoreció el proceso de enseñanza aprendizaje porque como Coll y Solé (2001)
expresan, las funciones primordiales del profesor son: orientar la promoción y guía de la
actividad intelectual de los estudiantes para proporcionarles una ayuda pedagógica
conforme a sus competencias.
85
Los alumnos al proponer los proyectos, los encontraron divertidos y motivantes
en tal medida que ellos mismos expresaban ¿podemos traer más cosas?, hay que pensar
qué más les podemos poner para que nos quede mejor, ¿qué otro proyecto vamos a
hacer?, o bien, al presentar los temas que se iban a abordar, inmediatamente proponían
productos concretos a realizar, primordialmente de manera cooperativa. Es importante
señalar además que dicha forma de trabajo se extendió más allá del aula de clases porque
los estudiantes implicaron a sus familiares en la ejecución y presentación de los
proyectos, así como al personal docente y alumnos de la institución.
Al elegir los estudiantes aquello que querían realizar, las actividades y productos
les fueron significativos porque además de partir de sus intereses, estuvieron insertos en
contextos reales, demandaron la investigación de diversos elementos, desde la vida de
algunos personajes matemáticos, hasta el precio de productos que se emplean
ordinariamente para plantear problemas de razones y proporciones al ejecutar un mercado
en el aula. Esto orientó a los alumnos a conectar la vida académica con competencias
laborales e integrar en el aula diversas oportunidades de aprendizaje.
Tobón et al. (2010) expresan que hay distintos tipos de proyectos: de
investigación, tecnológicos, sociales, económicos y artísticos. A la luz de esta aportación,
se puede considerar que el avance del grupo experimental en el tema de análisis de
información fue menor que en el otro grupo, porque únicamente se ejecutó un proyecto
que privilegió dicha práctica. Mientras que en los ejes Sentido numérico y pensamiento
algebraico y Forma espacio y medida, el progreso fue significativamente mayor porque se
trabajaron más proyectos de tipo social, que tenían el propósito de identificar,
comprender y resolver problemas de manera cooperativa. Por ejemplo, diseñar el plano
86
de una ciudad con cuerpos geométricos, presentar una obra de teatro en equipo para
explicar la conversión de medidas, llevar a cabo un torneo de matemáticas y diseñar un
folleto de viajes.
El trabajo por proyectos propició eficazmente el desarrollo de la competencia
matemática al favorecer la integración del pensamiento, la afectividad y la acción, puesto
que el aprendizaje y la práctica son elementos que van unidos, además, el conocimiento
no depende únicamente de la capacidad individual del alumno sino también de la
potencialidad de las situaciones educativas en las que participa (Díaz-Barriga, 2006).
La forma de abordar el trabajo por proyectos fue a través de una metodología
sencilla para desarrollar la competencia matemática, se señalaron las competencias,
habilidades, evaluación, recursos y sugerencias para el trabajo de los alumnos.
Finalmente, este tipo de actividades favoreció el desarrollo de los estudiantes porque se
llevaron a cabo de manera natural y en contextos reales (Tobón et al., 2010).
4.2.2. Enseñanza situada
Delimitar las intenciones, seleccionar los contenidos, estrategias, mecanismos de
evaluación, productos a entregar, considerar las situaciones en que los niños recrearan las
situaciones reales, entre otras prácticas, fueron elementos primordiales para la ejecución
del trabajo por proyectos que constituye una práctica de enseñanza situada cuya esencia
se justifica en la relevancia social del aprendizaje, la motivación y compromiso en las
prácticas educativas que se diseñaron y aplicaron considerando permanentemente el
intercambio entre los estudiantes (Díaz-Barriga, 2006).
87
El hecho de que el aprendizaje por proyectos demandara prácticas auténticas,
propició un aprendizaje significativo que requirió la relación de nueva información con
conocimientos y experiencias previas (Ausubel, 1976). Con este tipo de trabajo se superó
la repetición memorística de contenidos, se ayudó a dar sentido a lo aprendido y a
comprenderlo de forma experiencial en situaciones concretas.
El desarrollo de proyectos en escenarios reales, donde los estudiantes realizaron
actividades auténticas superó en gran medida el ejercicio de lecturas individuales,
descontextualizadas y la práctica de ejercicios rutinarios con información inventada. Es
decir, se superó la instrucción centrada en el profesor con un enfoque tradicional, se
impulsó a los niños a hacer algo en lugar de limitarlos a ser receptores de información
(Díaz-Barriga, 2006).
No obstante, el grupo de control tuvo mejores resultados en el tema Análisis de
información. Esto se debió primordialmente a que este, al recibir una enseñanza
tradicional, se centra en el texto para reflexionar en él y dar respuesta lo que se le
pregunta, mientras que el grupo experimental al trabajar por proyectos, relaciona con
mayor asiduidad el conocimiento con el hacer y con una práctica social, como si
aprendiera haciendo y representando, lo cual no se evaluó de manera directa en las
pruebas aplicadas.
4.2.3. Trabajo cooperativo
Un elemento sustancial que benefició el trabajo por proyectos consistió en la
ejecución de actividades de manera cooperativa. Esta práctica orientó a los estudiantes a
apoyarse entre sí, a compartir sus ideas, negociar significados, dar y recibir ayuda, etc. A
88
su vez, todos estos elementos beneficiaron el proceso de enseñanza aprendizaje, porque
como Coll y Solé (2001) expresan: “la enseñanza puede describirse como un proceso
continuo de negociación de significados, de establecimiento de contextos mentales
compartidos, fruto y plataforma a la vez de este proceso de negociación” (p. 332). Lo
anterior pone de manifiesto la importancia de la cooperación y el trabajo colegiado para
optimizar el aprendizaje al ejecutar diversas actividades.
Además, como Díaz-Barriga (2006) expresa, no se puede considerar el
conocimiento al margen del contexto y las interacciones, sino que la construcción de
significados es un proceso de negociación entre los participantes de una actividad. Por lo
tanto, la construcción de significados no radica únicamente en la mente del que aprende
sino que también reside en la experiencia grupal donde existen actividades de discusión y
práctica, lo cual influye en los propios conocimientos, creencias y valores.
Este tipo de trabajo fomentó un aprendizaje compartido, superando prácticas
individualistas y competitivas. Tuvo lugar una ayuda espontánea entre los estudiantes que
no fue solicitada por el docente. Los alumnos afirmaron que al trabajar con sus
compañeros tenían más ideas, se podían apoyar más y que las actividades eran más
divertidas. Esto pone de manifiesto que tuvo lugar una construcción de pensamiento
colegiado en la que cada alumno incorporó en su pensamiento, elementos y formas de
pensar diversas que no hubiera logrado de manera individual. También se construyó un
pensamiento más general, construido, negociado y asumido por los integrantes del grupo,
lo cual impulsó el pensamiento a partir del diálogo (Villa y Poblete, 2008).
89
4.2.4. Motivación
Un factor importante para el desarrollo de la competencia matemática fue la
motivación, la cual aumenta la energía y actividad del alumno y lo orienta al logro de
diversos propósitos sin que alguien se lo exija, sino que lo hace por sí mismo, persevera
en ello y reemprende la tarea cuando es necesario. Se ha determinado que este factor está
directamente asociado con el rendimiento académico de tal forma que mientras más
motivado esté el estudiante, mayor provecho tendrá (Ormrod, 2005).
El hecho de que los alumnos tuvieran la oportunidad de conocer los propósitos de
estudio en el área de matemáticas y de elegir los proyectos a realizar, suscitó en ellos
grandes dosis de motivación porque el proceso de enseñanza-aprendizaje dejó de ser algo
impuesto por el docente y se centró en las necesidades, intereses, capacidades, saberes y
contexto de los alumnos. De esta manera, el grupo experimental pudo estar más motivado
por el aprendizaje que el grupo de control y esto dio como resultado un desarrollo mayor
de la competencia matemática en quienes tuvieron la opción de elegir aquello en lo que
realmente quería trabajar.
4.2.5. Competencias
El progreso de los estudiantes a partir del trabajo por proyectos fue significativo
porque dicha estrategia didáctica es una de las que mejor permite mediar la formación y
evaluación de competencias al favorecer la identificación, análisis y resolución de
problemas en diversos contextos, lo cual constituye la esencia de las competencias que se
caracterizan por requerir una actuación integral en la ejecución de las actividades y
90
resolución de problemas (Tobón et al., 2010). Por lo tanto, esta forma de trabajo, propició
una educación más pertinente para el desarrollo de competencias en los alumnos.
En la práctica de los proyectos, el docente no se dedicó a transmitir saberes
teóricos y ejercicios mecanizados, sino que los proyectos demandaron un diálogo en el
que los alumnos tuvieron la oportunidad de elegir una situación real y concreta para
manifestar su desempeño y desarrollar sus competencias al movilizar sus saberes. De esta
manera se favoreció el aprendizaje, porque como señala Rogoff (1993), el alumno como
aprendiz activo, construye significados y genera sentido de lo que aprende pero no de
manera aislada, sino en virtud de la mediación de otros, de un contexto particular y la
orientación hacia las metas definidas.
El trabajo por proyectos favoreció por lo tanto, de manera significativa el
desarrollo de diversas competencias, como lo menciona Díaz-Barriga (2006),
competencias para la definición y afrontamiento de problemas porque los estudiantes
requirieron movilizar sus saberes y tomar conciencia tanto de lo que sabían, como su
capacidad de usarlo. Favoreció la competencia para la cooperación porque los alumnos
requirieron saber escuchar, elaborar propuestas, negociar, tomar decisiones, cumplirlas,
pedir ayuda, compartir saberes, manejar éxitos, fracasos y preocupaciones.
Se favoreció además la competencia para la comunicación oral y escrita porque se
demandó elaborar planes, pasos a seguir, rescatar experiencias, plantear problemas,
elaborar folletos, exponer, animar, compartir información, presentar y explicar las
características de diversos productos. Finalmente, se mejoró la competencia para la
autoevaluación al reflexionar en el cumplimiento y calidad de las tareas, los aciertos y
91
limitantes del propio desempeño, así como en el establecimiento y logro de diversas
metas.
4.2.6. Competencia matemática
El trabajo por proyectos favoreció el desarrollo de la competencia matemática
porque no se limitó a la transmisión de información o mecanización irreflexiva, sino que
cada producto solicitado, se contextualizó al trabajar con problemas reales (Schon, 1992).
Esto superó una enseñanza pasiva y descontextualizada. Además, el hecho de solicitar a
los estudiantes resolver problemas y elaborar diversos productos o presentaciones, los
orientó a la integración de saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales para
lograr la tarea encomendada y obtener aprendizajes más relevantes. Por esta razón, el
grupo de control no manifestó un avance significativo en la mayor parte de los temas
abordados, puesto que la enseñanza tradicional, a menudo trabaja conocimientos,
habilidades y actitudes por separado.
Se sabe además que en la educación basada en competencias, el aprendizaje se
logra a partir de la intencionalidad de producir o desempeñar algo, involucrándose
además con las intenciones de la sociedad (Argudín, 2005). Por este motivo, el trabajo
por proyectos favoreció significativamente el desarrollo de la competencia matemática
que implicó la movilización de saberes, saber pensar, interpretar, desempeñar y actuar en
diversos contextos.
4.2.7. Resolución de problemas
Según Schon (1992), aprender haciendo es una manera disciplinada de iniciarse
en el planteamiento de problemas de producción y actuación. Trabajar con este enfoque
92
permitió superar la ruptura de la escuela con la vida, porque no solo se abordaron los
temas a estudiar para que los estudiantes los emplearan posteriormente en un contexto
real, sino que se plantearon problemas para suscitar el deseo de aprender.
Conforme a la clasificación de Smith y Kosslyn (2008), los estudiantes
resolvieron los problemas primordialmente mediante la búsqueda aleatoria, es decir,
mediante ensayo y error, así como el análisis medios-fin en los problemas que requerían
más de una operación para solucionarlos, mientras que los alumnos del grupo de control
subrayaron algunas respuestas sin hacer un cálculo previo, o bien, utilizaron operaciones
incorrectas para resolver algunos problemas.
El trabajo por proyectos permitió considerar los conocimientos previos de los
alumnos, adquiridos antes de su ingreso a la institución educativa, así como también el
aprendizaje informal que estos obtienen en contextos extraescolares. Dicha práctica en el
grupo experimental favoreció el establecimiento de puentes entre lo que los alumnos
aprenden en la vida diaria y el trabajo escolar. Por otra parte, el ejercicio de una
enseñanza mecánica en el grupo de control, con escases de significado y un uso limitado
de material didáctico, restringió la capacidad de los discentes en la resolución de
problemas.
Por lo expuesto anteriormente, queda claro que el trabajo por proyectos
contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia matemática, porque conforme a
las aportaciones de Martínez (2007), se abordó dicha asignatura con una finalidad clara y
utilitaria, con referencia a las necesidades matemáticas de la vida adulta, para que los
estudiantes comprendieran mensajes matemáticos, analizaran y tomaran decisiones en el
ámbito de consumo y diseño de diversos productos.
93
En los diarios de matemáticas y autoevaluaciones, los estudiantes manifestaron
que percibían las matemáticas de manera más atractiva después del trabajo por proyectos.
Reconocieron sus avances en el planteamiento y resolución de problemas, así como la
importancia del trabajo cooperativo, sus sentimientos, los de quienes los rodean, la
proyección del trabajo escolar y la transferencia de sus conocimientos. Estos son
elementos que denotan el desarrollo de la competencia matemática, porque conforme a lo
que señala Martínez (2007), la actividad matemática no solo favorece la formación del
pensamiento lógico-matemático, sino que beneficia distintos aspectos de la vida
intelectual, como la creatividad, intuición, análisis y crítica.
Por otra parte, los Programas de Estudio actuales (SEP, 2011), señalan que la
didáctica para la asignatura de matemáticas “se hace al andar” (p. 70), es decir, que se
requiere la construcción social del conocimiento que demanda la participación activa de
los alumnos al enfrentar diversos tipos de problemas y a emplear el lenguaje matemático
para compartir sus ideas.
Los resultados mostrados manifiestan el desarrollo en las cuatro competencias
básicas de matemáticas que están integradas en cada eje: la competencia para resolver
problemas de manera autónoma que requirió de los alumnos el uso de diversos
procedimientos, la comunicación de información matemática referente a la posibilidad de
que los estudiantes expresaran, representaran e interpretaran datos de una situación a
partir de la comprensión y representación de información para después exponer con
claridad las ideas construidas.
La competencia para validar procedimientos y resultados se impulsó en cada uno
de los problemas planteados en los cuales los estudiantes debían corroborar sus cálculos
94
con las opciones de respuesta que se proporcionaron y elegir la que era correcta.
Finalmente, el manejo eficiente de técnicas, demandó el uso eficaz de procedimientos y
cálculos hechos por los estudiantes, puesto que no se solicitó el uso mecánico de
operaciones sino que primordialmente se pidió dar muestra del significado y uso de los
números y de las operaciones.
Para concluir, es necesario precisar que a partir del trabajo por proyectos, los
alumnos al abordar una educación experiencial, mostraron mayores progresos en su
desempeño académico y en su desarrollo personal, aceptación grupal, toma de iniciativas
y ajuste social. El desarrollo de la competencia matemática se optimizó porque los
estudiantes tuvieron la oportunidad y necesidad de resolver problemas, leer, escribir y
discutir cuestiones matemáticas, valorar y practicar las matemáticas en la vida ordinaria,
así como explorar y cometer errores al desarrollar cada uno de los proyectos. Esto
benefició primordialmente el razonamiento matemático, la valoración de esta disciplina y
la confianza en la propia capacidad (Martínez, 2007).
El progreso de los alumnos del grupo experimental fue significativamente mayor
que el avance del grupo de control. Esto se debió primordialmente a la práctica del
conocimiento mediante el trabajo por proyectos, al apoyo brindado entre compañeros al
trabajar con metas compartidas mediante un trabajo cooperativo, a la motivación
suscitada a partir de la elección y ejecución de los proyectos y al descubrimiento de la
utilidad del conocimiento matemático. Estos factores contribuyeron de manera eficaz a la
movilización de saberes que favoreció el desarrollo de la competencia matemática
principalmente en los temas: Significado y uso de los números, Figuras y Medidas, así
como también en el Significado y uso de las operaciones y Ubicación espacial que
95
aunque tuvieron un progreso menor, mostraron mayor incremento que en la enseñanza
tradicional. En cuanto al Análisis de información, se puede decir que dicho aspecto se
privilegió en los estudiantes del grupo de control porque la enseñanza tradicional a
menudo se enfoca en esta tarea y la promueve de manera permanente.
Aún hace falta que los alumnos sean más autónomos en la resolución de
problemas, hagan un uso más efectivo de las operaciones matemáticas y mejoren en los
ámbitos Ubicación espacial y Manejo de información. Aunque se promovieron dichas
prácticas, no se logró el desarrollo significativo de las mismas en el grupo experimental
en contraste con el grupo de control, por el corto lapso de tiempo que se aplicó el trabajo
por proyectos.
Sin embargo, habiendo manifestado con pruebas objetivas y datos estadísticos,
que la competencia matemática se desarrolla de manera más efectiva mediante el trabajo
por proyectos que con una metodología tradicional sustentada en la separación de
conocimientos conceptuales y procedimentales, se patentiza una propuesta de trabajo
viable que puede ser implementada y superada en los distintos contextos escolares en
donde se decida hacer más y mejor en el campo educativo en beneficio de aquellos que se
ponen en nuestras manos para ser educados: nuestros alumnos.
96
V. Conclusiones
Este estudio se llevó a cabo bajo el enfoque cuantitativo, inicialmente se expuso el
problema a estudiar, el contexto, los participantes y objetivos de la investigación. Se
analizaron las teorías referentes al trabajo por proyectos y la competencia matemática, se
diseñaron y pilotearon los instrumentos para corroborar su equivalencia, se aplicó la
preprueba al grupo de control y al experimental. Después del estudio de los contenidos
mediante la metodología tradicional con el primer grupo y el trabajo por proyectos con el
segundo, se aplicó la posprueba a ambos, se analizaron e interpretaron los datos y se llegó
a las conclusiones que a continuación se ponen de manifiesto a partir del objetivo general
y objetivos específicos de esta investigación. Se destacan los principales hallazgos, las
limitantes encontradas, se exponen nuevas preguntas de investigación y otros aspectos
que pueden estudiarse para conocerlos con mayor profundidad.
5.1. Hallazgos
El objetivo general de esta investigación consistió en determinar si el trabajo por
proyectos contribuye eficazmente al desarrollo de la competencia matemática en alumnos
de 5° grado de primaria. Una vez que se analizaron los resultados, se precisó que el
trabajo por proyectos favorece de manera significativa el desarrollo de la competencia
matemática en los ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico y Forma, espacio y
mediada, mientras que en el eje Manejo de información, se obtienen mejores resultados
mediante la enseñanza tradicional aunque no en un grado relevante.
97
En general, el grupo experimental progresó un 30% más que el de control y según
la prueba t, se obtuvo una diferencia significativa en el desarrollo de la competencia
matemática. Por lo tanto, se corroboró la hipótesis de que el desarrollo de dicha
competencia sería mayor en los estudiantes que abordaran el estudio de las matemáticas
por medio del trabajo por proyectos que en los que estudiaran matemáticas con la
metodología tradicional.
El primer objetivo específico de este trabajo de investigación propuso determinar
la manera en que el trabajo por proyectos favorece la capacidad de los alumnos para
resolver problemas que precisan la comprensión del significado y uso tanto de los
números como de las operaciones. Al respecto puede concluirse que la propuesta
favoreció de forma relevante el significado y uso de los números porque los estudiantes
los utilizaron en la ejecución de los proyectos, en situaciones reales y diversos contextos,
de esta manera, implicaron su pensamiento, afectividad y acción al trabajar en grupo y
usar los números para representar muchas situaciones.
En cuanto al Significado y uso de las operaciones, se concluye que la razón por la
que el grupo experimental tuvo mayor avance que el de control pero con una diferencia
no significativa, se debe a que en la metodología tradicional se privilegia la ejecución de
operaciones de manera mecánica, mientras que en el grupo experimental, por la premura
del tiempo y por priorizar la resolución de problemas a partir del trabajo cooperativo, no
se puso énfasis en dicha práctica. Pese a esta realidad, el grupo experimental manifestó
un progreso superior debido a la comprensión de las matemáticas al experimentar la
funcionalidad de las mismas.
98
Respecto al objetivo de concretar si el trabajo por proyectos capacita
significativamente a los alumnos para resolver problemas que impliquen diversas formas,
espacios y medidas, se concluye que en los temas Medidas y Figuras sí es efectivo el
trabajo por proyectos, mientras que en el tema Ubicación espacial, la diferencia no es
significativa.
En los temas Medidas y Figuras, el progreso se asocia a la duración de los
proyectos, al trabajo cooperativo y al interés suscitado en los alumnos. En dicha práctica,
a partir del planteamiento de problemas, los estudiantes hicieron uso de conocimientos
conceptuales y procedimentales, heurísticos, y un razonamiento inductivo mediante la
aplicación de lo conocido en contextos distintos. Esto optimizó el desarrollo de la
competencia matemática al orientar a los discentes a comprender la funcionalidad y
trascendencia de las matemáticas. Por otra parte, en el tema Ubicación espacial se tuvo un
avance importante pero no significativo debido a que únicamente se trabajó un proyecto
relacionado con dicho contenido y se puso énfasis en la representación de lugares más
que en la orientación de los mismos a partir de los puntos cardinales.
El tercer objetivo específico solicitó determinar en qué medida el trabajo por
proyectos favorece el análisis de información. En dicho aspecto el grupo de control
manifestó un progreso mayor que el experimental pero no en un nivel significativo. Esto
se asocia a que en la enseñanza tradicional, se fomenta primordialmente el trabajo
individual a partir de problemas que precisan el análisis de datos, mientras que en el
trabajo por proyectos, esta tarea se lleva a cabo de forma cooperativa. Por la similitud
entre la práctica cotidiana y lo solicitado en los instrumentos, se puede expresar que el
grupo de control manifestó mayor avance en el análisis de información.
99
A continuación, en la figura 3, se muestran gráficamente los porcentajes de
avance de cada grupo en los temas referidos en los objetivos específicos anteriormente
expuestos con la finalidad de visualizar mejor dichos resultados.
Figura 3. Porcentaje de avance de los dos grupos. (Datos recabados por el autor).
Estos datos muestran la relevancia del trabajo por proyectos que propició un
desempeño superior en cinco de los seis temas abordados en el área de matemáticas y
permiten verificar que la metodología tradicional en dicha asignatura, únicamente
favorece de forma más efectiva el análisis de información en los alumnos.
Para cumplir el último objetivo específico que propuso determinar qué elementos
del trabajo por proyectos favorecen el desarrollo de la competencia matemática, se
analizaron los resultados y se llegó a la conclusión de que el desarrollo de la competencia
matemática es un proceso que se puede desplegar a partir de diversas vías o corrientes
que involucran conocimientos conceptuales, procedimentales y actitudinales.
Se pudo constatar que los alumnos, al ejecutar los proyectos de manera
cooperativa, elegir las actividades y experimentar la funcionalidad de los conocimientos
Porcentaje de avance de los dos grupos
100
matemáticos, se percibían más autónomos y motivados. Esto los orientó a mejorar su
rendimiento académico al comprometerse de manera activa, involucrar a sus familiares,
compañeros y docentes en la presentación de sus proyectos.
Se concluye que un carente desempeño de los estudiantes en el área de
matemáticas se debe primordialmente a la falta de efectividad de las estrategias
utilizadas, puesto que al variar la metodología de estudio de dicha disciplina y contrastar
el progreso de cada grupo consigo mismo, se obtuvo en el grupo que trabajó por
proyectos, un logro considerable en cinco de los seis temas evaluados, mientras que en el
grupo que trabajó con la metodología tradicional, luego de aproximadamente cuatro
meses de estudio, únicamente en el tema Análisis de información logró un progreso
relevante, mientras que en los otros cinco temas abordados, el incremento no fue
significativo.
Ha quedado demostrado que los estudiantes que abordaron el estudio de las
matemáticas a través de proyectos que demandan un trabajo cooperativo, se
experimentaron más dispuestos a ejecutar las actividades por el hecho de partir de sus
intereses, tener una práctica real y satisfacer sus necesidades de afinidad y pertenencia.
Por esta razón, manifestaron mayor compromiso, disponibilidad y rendimiento en el
trabajo escolar, puesto que estuvieron más motivados y con ello pudieron prestar mayor
atención, esfuerzo cognitivo y manual en cada una de las tareas que se llevaron a cabo.
5.2. Limitantes
Esta investigación puede enriquecerse si se aborda desde el enfoque cualitativo
para determinar con mayor precisión la influencia de la percepción y experiencias que los
101
alumnos tienen de sí mismos y de los contenidos matemáticos al estudiar dicha disciplina
tanto con el trabajo por proyectos, como con la metodología tradicional. Esto permitirá
valorar desde otra perspectiva la efectividad del trabajo por proyectos en el desarrollo de
la competencia matemática y precisar no solo lo sucedido con los conocimientos
conceptuales y procedimentales, sino también lo acontecido con los conocimientos
actitudinales de manera más especializada, considerando que las actitudes constituyen un
antecedente importante en el aprendizaje (Frade, 2009).
Tanto el factor temporal como la reducida población analizada en esta
investigación, constituyeron dos limitantes de los hallazgos encontrados. El primero de
ellos impidió valorar de manera más efectiva el desarrollo de la competencia matemática
mediante el trabajo por proyectos al restringir la ejecución de dicha estrategia a dos
bimestres en los que se interpuso un periodo vacacional y algunas suspensiones de
labores. Además, como esta investigación únicamente consideró a dos grupos de una
escuela, puede ser enriquecida al ampliar la muestra a más grupos de otras escuelas y de
esta manera, proporcionar mayor confiabilidad y validez.
Los instrumentos utilizados acotaron la valoración de los logros alcanzados tanto
por el grupo experimental como por el de control puesto que pese a estar diseñados con
reactivos de la prueba ENLACE y considerar los tres ejes de matemáticas, no evaluaron
los conocimientos actitudinales y no se determinó de manera específica el progreso de
cada grupo en dicho aspecto.
Es importante señalar que además de la metodología de trabajo, existen múltiples
factores capaces de influir en el desarrollo de la competencia matemática. En esta
investigación únicamente se analizó la estrategia de trabajo por proyectos y el enfoque
102
tradicional para abordar el estudio de dicha disciplina. Por lo tanto, se omitió la
valoración de la efectividad de otras prácticas educativas como estudios de caso,
Aprendizaje Basado en Problemas, aprendizaje colaborativo, aprendizaje basado en las
TIC’s, etc.
5.3. Nuevas preguntas de investigación
Al concluir esta investigación, valorar los logros y analizarlos, surgen nuevas
preguntas que pueden considerarse para futuras investigaciones como: ¿qué tipo de
evaluación puede implementarse para valorar además de los conocimientos conceptuales
y procedimentales, los actitudinales en la competencia matemática?, ¿qué es lo que
motivó primordialmente a los alumnos, el trabajo cooperativo o los proyectos realizados?,
además del trabajo por proyectos, ¿qué otras estrategias favorecen significativamente el
desarrollo de la competencia matemática?, y ¿qué tipo de proyectos pueden
implementarse para optimizar cada uno de los temas abordados en la asignatura de
matemáticas?
A partir de las interrogantes expuestas, surgen nuevos aspectos que pueden
conocerse más profundamente en futuras investigaciones. El primero de ellos consiste en
determinar las implicaciones del trabajo por proyectos en el comportamiento de los
alumnos y sus relaciones interpersonales, así como la influencia de dicha estrategia en la
vida extraescolar de los estudiantes. Otro elemento en el que es importante profundizar,
lo constituye la autopercepción para el desarrollo de la competencia matemática y los
mecanismos que los estudiantes emplean en la resolución de problemas, puesto que este
es un factor fundamental de la competencia matemática.
103
Finalmente, puede mencionarse que el trabajo por proyectos propone retos no solo
a los alumnos, sino también a los docentes puesto que les demanda considerar los
intereses y necesidades de los estudiantes que están en constante cambio, diseñar
prácticas reales e interesantes de aprendizaje. Todo esto requiere innovación, creatividad,
gran organización, una educación más incluyente a partir de un trabajo institucional
colegiado y la inserción activa de los padres de familia en las actividades escolares. Esto
indudablemente mejorará los resultados educativos, pero para emprender dicho propósito,
es menester tener entusiasmo para trabajar y altas expectativas para los alumnos así como
la convicción de que mejorar el desempeño de estos no solo es necesario, sino que es
posible a partir de un compromiso diario.
104
Referencias
Abrantes, P., Barba, C., Isabel, B., Bofarull, M., Colomer, T., Fuentes, M., García, J.,
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108
Apéndice A
Preprueba para evaluar la competencia matemática
Nombre: _________________________________ T/M 5° grado grupo _______
Se trabaja en un estudio que pretende determinar qué tan favorable es trabajar con
proyectos en la asignatura de matemáticas en el quinto grado de primaria. Los resultados
servirán para tomar decisiones y elegir la forma más apropiada de trabajar con
matemáticas. Tu participación como alumno es importante porque tus conocimientos
denotan tus avances.
Se te pide tu ayuda para contestar el siguiente cuestionario. Tus respuestas son
confidenciales y anónimas, no se utilizarán para evaluarte. De antemano, muchas gracias
por tu colaboración.
Instrucciones.
Cada pregunta tiene cuatro opciones de respuesta indicadas con las letras A, B, C
y D; pero solo una es la correcta. Tienes 40 minutos para contestar el cuestionario. Lee
con atención cada pregunta, haz las operaciones que necesites en los espacios en blanco y
subraya la respuesta correcta de cada pregunta.
1. Óscar compró un traje en $2 540. Si llevaba únicamente billetes de $20, ¿cuántos
billetes usó para pagar?
A) 122
B) 127
C) 1 220
D) 1 270
109
2. Las tías de Luís quieren adornar el patio con listones, una de ellas tiene 80 cm y la
otra 60 cm. Quieren cortar ambas piezas en pedazos de la misma longitud sin
desperdiciar nada. ¿De qué tamaño deben ser los pedazos si se quieren utilizar los
más grandes?
A) 30 cm
B) 20 cm
C) 10 cm
D) 50 cm
3. Rosita fue a comprar al mercado kg de naranja y kg de limón. Si todo lo
colocó en una sola bolsa, ¿cuánto pesa en total la bolsa?
A)
B)
C)
D)
4. A Carlos y a sus 4 amigos les regalaron una palanqueta a cada uno. No terminaron
de comérsela, Carlos se comió , Jorge , Lalo , Daniel y David se
comió . ¿Quién de sus amigos comió la misma porción que Carlos?
A) Lalo.
B) Jorge.
C) David.
D) Daniel.
13
23
26
1 6
1 3
17 12
7 12
5 4
5 7
23
34
110
5. Después de la fiesta de cumpleaños de Jorge sobraron partes de pastel.
Cuando su mamá estaba limpiando se comió de pastel. ¿Cuánto pastel
sobró?
A)
B)
C)
D)
6. Una camioneta, con capacidad de carga de 3.5 toneladas, transporta 1.25 toneladas
de piñas. ¿Cuántas toneladas le faltan para llegar a su capacidad total de carga?
A) 1.25
B) 1.75
C) 2.25
D) 2.30
7. En una competencia Ana recorrió en bicicleta una distancia de 2.985 kilómetros.
En esta cifra, ¿qué posición ocupa el número 5?
A) Unidades
B) Décimos
C) Centésimos
D) Milésimos
5 10
25
3 5
3 10
1 10
3 15
111
8. Los alumnos de 5° grado tuvieron los siguientes promedios: 9.09, 9.2 y 9.081. Si
cuatro alumnos los acomodaron para saber quién ocuparía el primero, segundo y
tercer lugar, ¿quién lo hizo de manera correcta?
A) Evelyn: 9.09, 9.081, 9.2
B) Flora: 9.2, 9.08, 9.09
C) Saúl: 9.081, 9.09, 9.2
D) Santiago: 9.2, 9.09, 9.081
9. Cuatro caballos de carreras ocupaban las siguientes posiciones en la recta final:
¿Qué letra representa la fracción ?
A)
B)
C)
D)
3 2
A
B
D
C
3 8
A B C D
112
10. En el patio de la escuela se colocaron losetas con la siguiente forma:
¿Qué elementos se necesitan para calcular el área del trapecio?
A) Z, X, V
B) Z, V, Y
C) Y, X, Z
D) Y, W, X
11. El dueño de un gimnasio quiere colocar malla de 2 metros de altura alrededor de
un ring pentagonal. Si cada uno de sus lados mide 1 metro, ¿cuántos metros de
malla necesita comprar?
A) 6 metros.
B) 8 metros.
C) 10 metros.
D) 16 metros.
113
12. En una iglesia hay un vitral como el de la siguiente figura:
¿Cuál es el área de la parte sombreada?
A) 2 500 cm²
B) 5 000 cm²
C) 7 500 cm²
D) 12 500 cm²
13. Una tienda que vende productos para el hogar bajó una cuarta parte el precio de
todos sus productos por fin de temporada. Martha compró una estufa que costaba
$3,600. ¿Qué porcentaje del precio pagó?
A) 25%
B) 40%
C) 75%
D) 85%
114
14. La abuelita de Víctor compró una caja para guardar algunos juguetes, pero la
desarmó, como se muestra a continuación.
¿Cuántas caras tendrá la caja si la vuelve a armar?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
15. En una conferencia se formaron 6 grupos de 45 personas, pero sobraron 3.
¿Cuántas personas llegaron en total?
A) 240
B) 243
C) 270
D) 27
115
16. ¿Cuál de las siguientes tablas tiene una variación proporcional?
A) Tabla 1.
B) Tabla 2.
C) Tabla 3.
D) Tabla 4.
17. ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que no tiene ninguna arista?
A) Cubo.
B) Esfera.
C) Prisma triangular.
D) Pirámide triangular.
18. La mamá de Pedro le encargó de tela para su uniforme. ¿Cuál de las
siguientes cantidades es equivalente a la que debe llevar a su casa?
A)
B)
C)
D)
Edad (años) 8 10 12 14 16 18 20
Estatura (m) 0.78 0.9 1.2 1.22 1.39 1.4 1.55
Lado del triánguloequilátero (cm) 2 4 6 8 10 12 14
Perímetro (cm) 6 12 18 24 30 36 42
Edad (años) 8 10 12 14 16 18 20
Peso (kg) 38 40 41 44 45 43 53
Lado del triánguloequilátero (cm) 12 15 18 21 24 27 30
Distancia recorrida (m) 45 50 55 60 66 75 90
20 10
20 100 200 100 200 10 2 10
116
19. Observa la siguiente figura:
¿Cuál es el objeto que se encuentra en la posición f, 6?
A) El libro.
B) La goma.
C) La mochila.
D) El sacapuntas.
117
20. Observa el siguiente mapa:
Ramiro le explica a Patricia cómo ubicar Azcapotzalco basándose en este mapa.
¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
A) Azcapotzalco está al sur de la Ciudad de México y al oeste de Gustavo A.
Madero.
B) Azcapotzalco está al norte de Gustavo A. Madero y al sur de Naucalpan de
Juárez.
C) Azcapotzalco está al oeste de Naucalpan de Juárez y al este de Gustavo A.
Madero.
D) Azcapotzalco está al norte de la Ciudad de México y al este de Naucalpan de
Juárez.
118
Apéndice B
Posprueba para evaluar la competencia matemática
Nombre: _________________________________ T/M 5° grado grupo _______
Se trabaja en un estudio que pretende determinar qué tan favorable es trabajar con
proyectos en la asignatura de matemáticas en el quinto grado de primaria. Los resultados
servirán para tomar decisiones y elegir la forma más apropiada de trabajar con
matemáticas. Tu participación como alumno es importante porque tus conocimientos
denotan tus avances.
Se te pide tu ayuda para contestar el siguiente cuestionario. Tus respuestas son
confidenciales y anónimas, no se utilizarán para evaluarte. De antemano, muchas gracias
por tu colaboración.
Instrucciones.
Cada pregunta tiene cuatro opciones de respuesta indicadas con las letras A, B, C
y D; pero solo una es la correcta. Tienes 40 minutos para contestar el cuestionario. Lee
con atención cada pregunta, haz las operaciones que necesites en los espacios en blanco y
subraya la respuesta correcta de cada pregunta.
1. El papá de Paty le dio un billete de $1 000, 4 billetes de $100 y 8 monedas de $1.
¿Para cuál de las siguientes cosas le alcanza a Paty, sin que le sobre dinero?
A) Estufa $ 1 840
B) Bicicleta $1 048
C) Bicicleta $1 048
D) Horno de microondas $1 408
119
2. Para el regalo del 10 de mayo, la maestra repartió a 15 alumnos bolitas de unicel,
de manera que les tocara la misma cantidad. Si a cada uno le dio 25 bolitas,
¿cuántas repartió en total?
A) 150
B) 255
C) 355
D) 375
3. El veterinario le dio a Óscar un complemento alimenticio para que lo mezclara en
la comida de su borrego. El primer día debe ponerle del complemento y el
segundo día . ¿Cuánto complemento debe comer el borrego en esos dos días?
A)
B)
C)
D)
4. Tres amigos caminaron en una cuadra, Hugo recorrió de la longitud total de la
cuadra, Mario partes y Paco partes. ¿Quién va en primer lugar, quién en
segundo y quién al final de la cuadra?
A) 1º Paco 2º Mario y 3º Hugo.
B) 1º Mario 2º Paco y 3º Hugo.
C) 1º Mario 2º Hugo y 3º Paco.
D) 1º Hugo 2º Mario y 3º Paco.
3 12
8 24
11 36
22 24
11 24
7 12
26
4 8
3 12
120
5. Después de la fiesta de cumpleaños de Jorge sobraron partes de una pizza.
Cuando su mamá estaba limpiando se comió partes de la pizza. ¿Cuánta
pizza sobró?
A)
B)
C)
D)
6. En las miniolimpiadas de la escuela, Pedro participó en salto de altura y obtuvo en
su primer salto 0.81 m y en el segundo 0.7 m. ¿Cuál es la suma de los dos saltos?
A) 0.151
B) 0.51
C) 1.51
D) 15.1
7. El papá de Daniel vende un terreno en $369 452. En el precio, ¿qué posición
ocupa el número 9?
A) Unidades de millar
B) Decenas de millar
C) Centenas
D) Unidades
5 10
2 5
3 5
3 10
1 10
3 15
121
8. Para el cuadro de Honor las maestras encontraron que los mejores promedios son:
9.09, 9.2 y 9.081. Si cuatro alumnos los acomodaron para saber quién ocuparía el
primero, segundo y tercer lugar, ¿quién lo hizo de manera correcta?
A) Evelyn: 9.09, 9.081, 9.2
B) Flora: 9.2, 9.081, 9.09
C) Saúl: 9.081, 9.09, 9.2
D) Santiago: 9.2, 9.09, 9.081
9. Cuatro amigos estaban jugando canicas en el parque. Al hacer el primer tiro las canicas quedaron como se muestra en la recta siguiente:
¿Qué letra de la recta representa la fracción ?
A)
B)
C)
D)
0
a b c d
8 6
5 3
a
b
c
d
122
10. Carmen dibujó la siguiente figura en su cuaderno.
¿Qué segmentos se necesitan para calcular el área del triángulo?
A) A, C
B) A, D
C) A, B, C
D) A, D, B
11. El dueño de un gimnasio quiere colocar malla de 2 metros de altura alrededor de
un ring octagonal. Si cada uno de sus lados mide 1 metro, ¿cuántos metros de
malla necesita comprar?
A) 6 metros.
B) 8 metros.
C) 12 metros.
D) 16 metros.
123
12. En la siguiente figura, cada número corresponde a una de las líneas que están
fuera del triángulo.
¿Cuál de estas líneas es igual a la altura del triángulo?
A) Línea 1.
B) Línea 2.
C) Línea 3.
D) Línea 4.
13. Si en una caja se tiene un total de 20 huevos, de los cuales 15 son blancos y 5
rojos, ¿cuál es la probabilidad de sacar un huevo rojo de esa caja?
A) 05 de 15
B) 05 de 20
C) 15 de 20
D) 20 de 20
124
14. La maestra Carmen dejó de tarea elaborar una figura geométrica cuyas caras
laterales fueran rectángulos. ¿Cuál es la figura que deben hacer?
A) Cubo.
B) Prisma triangular.
C) Pirámide triangular.
D) Pirámide cuadrangular.
15. En una escuela se formaron 6 grupos de 42 personas, pero sobraron 3. ¿Cuántos
alumnos hay en total?
A) 240
B) 243
C) 252
D) 255
16. Juan y Andrea fueron al cine para hacer una encuesta de la edad de las personas
que entraban a ver una película infantil. Los datos que obtuvieron los agruparon
en la siguiente tabla de frecuencias:
125
Edad en años Número de personas
1 a 3 9
4 a10 18
11 a16 23
16 o más 12
De acuerdo con la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Las personas que menos asistieron tienen entre 11 y 16 años.
B) La mayoría de las personas que asistieron tienen 16 años o más.
C) La edad de las personas que más asistieron está entre 11 y 16 años.
D) La edad de las personas que menos asistieron está entre 4 y 10 años.
17. Observa la siguiente figura.
¿Cuántas aristas tiene el prisma que se forma con esta figura?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
126
18. La mamá de Pedro le encargó de tela para su uniforme. ¿Cuál de las
siguientes cantidades es equivalente a la que debe llevar a su casa?
A)
B)
C)
D)
19. Observa el siguiente plano.
¿Cuál de las siguientes opciones muestra la ubicación correcta del molino?
A) D, 1
B) D, 2
C) 1, E
D) 2, E
20 10
20 100 200 100 200 10 2 10
127
20. Observa el siguiente mapa:
La tía Mónica está en la biblioteca y quiere llegar al Parque de las Estrellas. ¿Qué
ruta debe seguir para llegar más rápido?
A) Av. Niños Héroes al este, Los Arcos al sur, Mariano Otero al suroeste.
B) Av. López Mateos al sur, De las Rosas al sureste, Mariano Otero al noreste.
C) Av. Niños Héroes al este, Circ. Agustín Yánez al sureste, Mariano Otero al suroeste.
D) Av. López Mateos al sur, Lázaro Cárdenas al sureste, Paseo de la Arboleda al sur, Mariano Otero al suroeste.
128
Apéndice C
Secuencia didáctica. Proyecto: Obra teatral con títeres para
explicar las medidas de longitud
Asignatura: matemáticas. Eje temático: Forma, espacio y medida
Tema: Medidas Subtema: Conversiones de múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo.
Competencia: El estudiante realiza conversiones entre los múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo. Indicadores de
desempeño: Conocimientos:
Habilidades de pensamiento:
Destrezas: Actitud:
• Identifica los múltiplos y submúltiplos del metro, el litro y el gramo. • Asocia la conversión de unidades con la multiplicación o con la división según se requiera. • Hace conversiones de las unidades del metro, el litro y el gramo con el procedimiento convencional. • Plantea y resuelve problemas que implican conversiones de unidades de peso, longitud y capacidad.
• Ejecuta la multiplicación y división con números enteros y decimales. • Relaciona los problemas con la conversión de unidades y la operación que requiere para la resolución del problema. • Representa con números naturales y decimales el valor de cada uno de los múltiplos del metro, el litro y el gramo.
• Identifica el problema a resolver. • Calcula mentalmente el resultado probable del problema o las operaciones matemáticas a ejecutar. • Identifica sus errores en la resolución de los problemas. • Justifica el procedimiento empleado en la resolución de problemas. • Comprueba sus hipótesis y resultados.
• Ejecuta la multiplicación o división, según se requiera para la resolución de problemas o ejercicios de conversión de unidades. • Argumenta el proceso que sigue para la resolución de problemas. • Emplea acertadamente el punto decimal en las operaciones básicas. • Plantea y resuelve problemas de diversos contextos.
• Muestra respeto en la presentación del trabajo de sus compañeros. • Presenta interés por hacer conversiones, plantear y resolver problemas. • Manifiesta tolerancia ante sus propios errores y los de sus compañeros. • Ejecuta responsable-mente las actividades que se le indican.
129
Situación didáctica: Proyecto; crear una obra teatral con títeres para explicar y ejemplificar conversiones de múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo. Conflicto cognitivo: ¿Qué podemos hacer si no sabemos convertir unidades de medida? Duración: 5 sesiones.
Secuencia didáctica:
Sesión 1. Presentación de la situación didáctica. 1.1. Exponer al grupo la situación didáctica, el conflicto cognitivo a resolver, la secuencia didáctica, los productos a entregar, las fechas de entrega, el tiempo estimado para cada producto y formas de organización para llevarlo a cabo.
1.2. Rescatar conocimientos previos sobre las unidades de medida del metro, el litro y el kilogramo. 1.3. Determinar en qué contexto se emplea cada una. 1.4. El docente precisará los conceptos de cada unidad de medida y dará ejemplos de su uso. 1.5. Plantear el siguiente problema a los alumnos: Rosita compró 3 m de listón y lo repartió a un grupo de 30 niños, si todos los trozos eran del mismo tamaño, ¿cuánto medía cada uno de los listones que repartió? 1.6. Cada alumno planteará un problema que implique las unidades de medida estudiada, al azar se plantearán algunos de estos problemas al grupo. 1.7. Analizar en grupo, ¿cuál es la utilidad de las unidades de medida? 1.8. Redactar una conclusión individual en donde se especifique lo aprendido respecto a las unidades de medida.
Sesión 2.
2.1. Con la dinámica “paño doblado”, recordar las unidades de medida estudiadas la sesión anterior. 2.2. Ordenar las medidas de mayor a menor: • km, hm, dam, m, dm, cm y mm • kl, hl, dal, l, dl, cl y ml • kg, hg, dag, g, dg, cg y mg 2.3. Analizar cuántas veces es mayor la anterior a la que le sigue y estimar cómo se hace la conversión de unidades. 2.4. El docente explica que el metro es la unidad principal de longitud, el litro de volumen y capacidad y el kilogramo de masa de un cuerpo. Aunque estas unidades no se utilizan para designar lo mismo, se pueden relacionar entre sí. Además, todas la unidades tienen múltiplos y submúltiplos, que se identifican por la palabra que se pone antes de la unidad, llamada prefijo. El prefijo mili se refiere a la milésima parte,
130
centi a la centésima, deci a la décima, deca hace referencia a diez veces más, hecto a cien veces más y kilo a ml veces más. 2.5. Plantear al grupo el siguiente problema: Los zoólogos reportaron en que la longitud de la jirafa y de la mariposa es 5.5, ¿qué unidades utilizaron para medir la jirafa?, ¿qué unidades utilizaron para medir la mariposa? 2.6. Guiar a los estudiantes para hacer conversiones de las medidas y proponer problemas similares al anterior. 2.7. Analizar qué se puede hacer para conocer y utilizar eficazmente las unidades de medida 2.8. En equipos de 4 personas, elaborar el primer borrador de un diálogo en el que se explique qué son las unidades de medida y cuáles son sus características.
Sesión 3. 3.1. Compartir algunos diálogos para la obra teatral de títeres. 3.2. Comentar los contenidos de los equipos y complementar la información presentada. 3.3. Precisar la forma de escribir con números decimales y fraccionarios el valor de los múltiplos y submúltiplos del metro, el litro y el gramo. 3.4. El docente especificará los elementos en los que el grupo haya manifestado confusión. 3.5. Se pedirá a los alumnos representar con hilaza las siguientes unidades de medida: dam, m, dm, cm y mm. Después se harán conversiones utilizando el material concreto que se ha diseñado. 3.6. Posteriormente se contestarán ejercicios como los siguientes: ¿Cuántos mm hay en 1m? ¿Cuántos dam hay en 1000 m? ¿Cuántos hm hay en 6km? 3.7. Se comentará lo aprendido en la sesión y la utilidad del contenido. 3.8. En equipos complementarán su diálogo de la obra teatral incorporando lo abordado en la sesión.
Sesión 4.
4.1. Comentar en grupo el uso de las unidades de medida. 4.2. Expresar la utilidad de estas. 4.3. Concretar equivalencias entre las distintas unidades, de medida, de capacidad y de masa. 4.4. El docente especificará el procedimiento convencional para convertir unidades. 4.5. Se pedirá a los alumnos contestar las páginas 64 y 65 del libro de texto. 4.6. Los estudiantes complementarán su diálogo agregando el procedimiento convencional para la conversión de unidades. 4.7. Se reflexionará en grupo en los errores más comunes que se cometen en la
131
conversión de unidades, a fin de evitar cometerlos en lo sucesivo. 4.8. Diseñar los títeres y objetos para la representación de la obra teatral.
Sesión 5. 5.1. Recordar los objetivos del proyecto. 5.2. Establecer la utilidad del mismo. 5.3. Concretar la rúbrica de evaluación para la obra teatral con títeres. 5.4. Ultimar detalles para la presentación de la obra. El docente supervisa el trabajo y apoya en lo que se le requiera. 5.5. Cada equipo presenta la obra que ha preparado. 5.6. Coevaluación a partir de la rúbrica establecida. 5.7. Reflexionar, ¿qué se ha hecho para comprender y utilizar las unidades de medida?, ¿qué deficiencias se tienen?, y ¿qué se puede hacer para mejorar el dominio del contenido? 5.8. Autoevaluación. El alumno concretiza sus avances, a qué atribuye sus logros e identifica los elementos que requiere superar.
Competencias o conocimientos transversales: Matemáticas: plantea y resuelve problemas matemáticos de conversión de
medidas. Español: emplea el lenguaje con el propósito de dar a conocer, explicar y
representar información. Ciencias naturales: se utilizan elementos de la naturaleza como contexto para el
planteamiento y resolución de problemas Material a utilizar:
Cuadernos. Libro de texto Hilaza Calcetines, estambres y otros materiales para la elaboración de títeres. Hojas de autoevaluación
Mecanismos de evaluación: • Presentación de los títeres, el título de la obra y el objetivo de la misma. (10%) • La obra explicará la utilidad de las conversiones (10%) • Precisar en el diálogo el procedimiento convencional para hacer la conversión de unidades (30%) • Presentar en la obra ejemplos concretos de conversiones a partir del planteamiento y resolución de problemas sencillos (30%) • Autoevaluación (20%)
132
Apéndice D
Tabla de resultados del progreso de ambos grupos con porcentajes
Significado y uso de los
números
Aciertos en la
preprueba %
Aciertos en la
posprueba% Aumento % de
aumento DiferenciaGrados
de libertad
Prueba t Valor
t
Grupo de control 18 18% 26 26% 8 8% 37 2.378 > 1.689Grupo
experimental 30 30% 55 55% 25 25% 17%
Significado y uso de las operaciones
Aciertos en la
preprueba %
Aciertos en la
posprueba% Aumento % de
aumento DiferenciaGrados
de libertad
Prueba t
Valor t
Grupo de control 28 23% 35 29% 7 6% 38 0.825 < 1.683Grupo
experimental 41 34% 54 45% 13 11% 5%
Figuras Aciertos
en la preprueba
% Aciertos
en la posprueba
% Aumento % de aumento Diferencia
Grados de
libertad
Prueba t
Valor t
Grupo de control 17 28% 19 32% 2 3% 38 2.067 > 1.683Grupo
experimental 34 57% 49 82% 15 25% 22%
Ubicación espacial
Aciertos en la
preprueba %
Aciertos en la
posprueba% Aumento % de
aumento DiferenciaGrados
de libertad
Prueba t
Valor t
Grupo de control 15 38% 17 43% 2 5% 38 0.661 < 1.683Grupo
experimental 18 45% 23 58% 7 13% 8%
Medidas Aciertos
en la preprueba
% Aciertos
en la posprueba
% Aumento % de aumento Diferencia
Grados de
libertad
Prueba t
Valor t
Grupo de control 10 25% 15 38% 5 13% 38 2.537 > 1.683Grupo
experimental 11 28% 25 63% 14 35% 23%
Análisis de información
Aciertos en la
preprueba %
Aciertos en la
posprueba% Aumento % de
aumento DiferenciaGrados
de libertad
Prueba t
Valor t
Grupo de control 6 15% 27 68% 21 53%
20% 38 1.681 < 1.683Grupo experimental 12 30% 25 63% 13 33%
133
Apéndice E
Carta de consentimiento
134
Apéndice F
Fotografías del grupo de control
135
Apéndice G
Fotografías del grupo experimental
136
Apéndice H
Relato de un alumno del grupo experimental
