UPN_COEsCA Sesiones de Clase Parte II
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Mg. Jos Luis CANCHIS AREMBURGO Docente Universitario
Consultor
JUNIO, 2015
[email protected] Jos Luis Canchis A Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA II PROBABILIDADES
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia No Central
Las medidas de tendencia no central permiten conocer otros puntos caractersticos de la distribucin que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia No Central
Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia No Central
Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia No Central
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia No Central
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE DISPERSIN
Estudia la distribucin de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran ms o menos concentrados, o ms o menos dispersos.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE DISPERSIN
Existen diversas medidas de dispersin, entre las ms utilizadas podemos destacar las siguientes:
1.- RANGO: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor ms elevado y el valor ms bajo.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE DISPERSIN.
Existen diversas medidas de dispersin, entre las ms utilizadas podemos destacar las siguientes:
2.- VARIANZA: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el nmero de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamao de la muestra.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE DISPERSIN.
La formula de la varianza es:
La varianza siempre ser mayor que cero. Mientras ms se aproxima a cero, ms concentrados estn los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, ms dispersos estn.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE DISPERSIN
3.- Desviacin tpica: Se calcula como raz cuadrada de la varianza.
4.- Coeficiente de variacin de Pearson: se calcula como cociente entre la desviacin tpica y la media.
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de forma: Grado de concentracin
Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes caractersticas de la curva:
1. CONCENTRACIN
2. ASIMETRA
3. CURTOSIS
Mg. JLuis Canchis
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
A) CONCENTRACIN: mide si los valores de la variable estn ms o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra.
B) ASIMETRA: mide si la curva tiene una forma simtrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetra) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.
C) CURTOSIS: mide si los valores de la distribucin estn ms o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra.
Mg. JLuis Canchis
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a) Concentracin
Para medir el nivel de concentracin de una distribucin de frecuencia se pueden utilizar distintos indicadores, entre ellos el ndice de Gini.
Este ndice se calcula aplicando la siguiente frmula:
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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a) Concentracin
En donde pi mide el porcentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inferior al de xi.
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Mg. JLuis Canchis
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a) Concentracin
Mientras que qi se calcula aplicando la siguiente frmula:
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A) CONCENTRACIN.
El Indice Gini (IG) puede tomar valores entre 0 y 1:
IG = 0 : concentracin mnima. La muestra est unifomemente repartida a lo largo de todo su rango.
IG = 1 : concentracin mxima. Un slo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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A) CONCENTRACIN.
Ejemplo: vamos a calcular el Indice Gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de una empresa (millones pesos).
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b) Asimetra.
Hemos comentado que el concepto de asimetra se refiere a si la curva que forman los valores de la serie presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmtica)
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b) Asimetra
Para medir el nivel de asimetra se utiliza el llamado Coeficiente de Asimetra de Fisher, que viene definido:
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b) Asimetra
Los resultados pueden ser los siguientes:
g1 = 0 (distribucin simtrica; existe la misma concentracin de valores a la derecha y a la izquierda de la media)
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b) Asimetra
Los resultados pueden ser los siguientes:
g1 > 0 (distribucin asimtrica positiva; existe mayor concentracin de valores a la derecha de la media que a su izquierda)
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b) Asimetra
Los resultados pueden ser los siguientes:
g1 < 0 (distribucin asimtrica negativa; existe mayor concentracin de valores a la izquierda de la media que a su derecha)
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b) Asimetra
Ejemplo: Coeficiente de Asimetra de Fisher de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos.
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c) Curtosis
El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentracin que presentan los valores alrededor de la zona central de la distribucin.
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C) CURTOSIS.
Se definen 3 tipos de distribuciones segn su grado de curtosis:
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C) CURTOSIS.
Distribucin mesocrtica: presenta un grado de concentracin medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribucin normal).
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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C) CURTOSIS.
Distribucin leptocrtica: presenta un elevado grado de concentracin alrededor de los valores centrales de la variable.
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C) CURTOSIS.
Distribucin platicrtica: presenta un reducido grado de concentracin alrededor de los valores centrales de la variable.
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C) CURTOSIS.
El Coeficiente de Curtosis viene definido por la siguiente frmula:
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C) CURTOSIS.
Los resultados pueden ser los siguientes:
g2 = 0 (distribucin mesocrtica).
g2 > 0 (distribucin leptocrtica).
g2 < 0 (distribucin platicrtica).
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Mg. JLuis Canchis
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C) CURTOSIS.
Los resultados pueden ser los siguientes:
g2 = 0 (distribucin mesocrtica).
g2 > 0 (distribucin leptocrtica).
g2 < 0 (distribucin platicrtica).
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Las distribuciones bidimensionales son aquellas en las que se estudian al mismo tiempo dos variables de cada elemento de la poblacin: por ejemplo: peso y altura de un grupo de estudiantes; superficie y precio de las viviendas de una ciudad; potencia y velocidad de una gama de coches deportivos.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Para representar los datos obtenidos se utiliza una tabla de correlacin:
Las "x" representan una de las variables y las "y" la otra variable. En cada interseccin de una valor de "x" y un valor de "y" se recoge el nmero de veces que dicho par de valores se ha presentado conjuntamente.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Ejemplo: Medimos el peso y la estatura de los alumnos de una clase y obtenemos los siguientes resultados:
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Distribuciones Marginales
Al analizar una distribucin bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de como se comporta la otra. Estaramos as en el anlisis de una distribucin marginal.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Distribuciones Marginales
De cada distribucin bidimensional se pueden deducir dos distribuciones marginales: una correspondiente a la variable x, y otra correspondiente a la variable y.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Mg. JLuis Canchis
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Distribuciones Marginales
Ejemplo: a partir del ejemplo que vimos en la leccin anterior (serie con los pesos y medidas de los alumnos de una clase) vamos a estudiar sus distribuciones marginales.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
En una distribucin bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algn tipo de relacin entre si.
Por ejemplo, si se analiza la estatura y el peso de los alumnos de una clase es muy posible que exista relacin entre ambas variables: mientras ms alto sea el alumno, mayor ser su peso.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
El coeficiente de correlacin lineal mide el grado de intensidad de esta posible relacin entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relacin que puede existir entre las variables es lineal (es decir, si representramos en un grfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximara a una recta).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
No obstante, puede que exista una relacin que no sea lineal,
sino exponencial, parablica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlacin lineal medira mal la intensidad de la relacin las variables, por lo que convendra utilizar otro tipo de coeficiente ms apropiado.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
Para ver, por tanto, si se puede utilizar el coeficiente de correlacin lineal, lo mejor es representar los pares de valores en un grfico y ver que forma describen.
El coeficiente de correlacin lineal se calcula aplicando la siguiente frmula:
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
Numerador: se denomina covarianza y se calcula de la siguiente manera: en cada par de valores (x,y) se multiplica la "x" menos su media, por la "y" menos su media. Se suma el resultado obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide por el tamao de la muestra.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
Denominador se calcula el produto de las varianzas de "x" y de "y", y a este produto se le calcula la raz cuadrada.
Los valores que puede tomar el coeficiente de correlacin "r" son: -1 < r < 1
Si "r" > 0, la correlacin lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlacin es tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime a 1.
Por ejemplo: altura y peso: los alumnos ms altos suelen pesar ms.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
Si "r" < 0, la correlacin lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlacin negativa es tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime a -1.
Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos ms gordos suelen correr menos.
Si "r" = 0, no existe correlacin lineal entre las variables. Aunque podra existir otro tipo de correlacin (parablica, exponencial, etc.)
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Coeficiente de Correlacin
De todos modos, aunque el valor de "r" fuera prximo a 1 o -1, tampoco esto quiere decir obligatoriamente que existe una relacin de causa-efecto entre las dos variables, ya que este resultado podra haberse debido al puro azar.
Ejemplo: Calcular el coeficiente de correlacin de una serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
Representamos en un grfico los pares de valores de una distribucin bidimensional: la variable "x" en el eje horizontal o eje de abscisa, y la variable "y" en el eje vertical, o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue una tendencia lineal:
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
El coeficiente de correlacin lineal nos permite determinar si, efectivamente, existe relacin entre las dos variables. Una vez que se concluye que s existe relacin, la regresin nos permite definir la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
Una recta viene definida por la siguiente frmula:
y = a + bx
Donde "y" sera la variable dependiente, es decir, aquella que viene definida a partir de la otra variable "x" (variable independiente). Para definir la recta hay que determinar los valores de los parmetros "a" y "b":
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
El parmetro "a" es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.
El parmetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de inclinacin.
y = a + bx
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
La regresin lineal nos permite calcular el valor de estos dos parmetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.
El parmetro "b" viene determinado por la siguiente frmula:
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Regresin Lineal
Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza de la variable "x".
El parmetro "a" viene determinado por:
a = ym - (b * xm)
Es la media de la variable "y", menos la media de la variable "x" multiplicada por el parmetro "b" que hemos calculado.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un nmero par, o que salga un nmero menor que 4.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto an realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
En los juegos de azar como el loto, puede ser sacado cualquier orden un nmero entre el 1 y el 6, pero no sabemos a priori cual va a ser.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aqu no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.
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ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un nmero par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los nmeros que van del 1 al 18).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo: si tiramos una moneda al are una sola vez, el espacio muestral ser cara o cruz.
Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estara formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad: Relacin entre sucesos
Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso tambin lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene adems otras soluciones suyas propias.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Vemos que el suceso a) est contenido en el suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumplira el suceso b), pero no el a).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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c) Unin de dos o ms sucesos: la unin ser otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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d) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o ms sucesos que se interceptan.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 4. La interseccin de estos dos sucesos tiene un slo elemento, el nmero 6 (es el nico resultado comn a ambos sucesos: es mayor que 4 y es nmero par).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interseccin es el conjunto vacio).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se d un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
Mg. JLuis Canchis
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nmero 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organizacin Mundial de Dados").
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendr probabilidades entre cero y uno: que ser tanto mayor cuanto ms probable sea que dicho suceso tenga lugar.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
Cmo se mide la probabilidad?
Uno de los mtodos ms utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero 2: el caso favorable es tan slo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier nmero del uno al seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
d) Probabilidad de que nos toque un premio:
Esto es si el ganador esta en uno de los 100.000 boletos emitidos
tan slo un caso favorable, el nmero que jugamos (qu triste...), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)
Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el nmero 45.264, que el nmero 00001, pero cul de los dos compraras?
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El nmero de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sera cero.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podramos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace tambin se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qu hacemos?, ponemos una denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de clculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Cuando se realiza un experimento aleatorio un nmero muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sera del 100%, sino que se habra reducido al 70%.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si repito este experimento un nmero elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% ser la probabilidad de estos sucesos segn el modelo frecuentista.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
En este modelo ya no ser necesario que el nmero de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un nmero elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores seran las probabilidades de estos dos sucesos segn el modelo frecuentista.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
A esta definicin de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan slo repitiendo un experimento un nmero elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del suceso que lo contiene.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
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Estadstica Descriptiva
c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se intersectan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los elemntos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad ser por tanto:
P(A L B) = 2 / 6 = 0,33
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Estadstica Descriptiva
d) Unin de dos o ms sucesos: la probabilidad de la unin de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso interseccin
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6.
La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
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Estadstica Descriptiva
f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un nmero par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un nmero impar.
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50
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Estadstica Descriptiva
g) Unin de sucesos complementarios: la probabilidad de la unin de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:
Mg. JLuis Canchis
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Estadstica Descriptiva
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
Mg. JLuis Canchis
-
Mg. Jos Luis CANCHIS AREMBURGO Docente Universitario
Consultor
JUNIO, 2015
[email protected] Jos Luis Canchis A Mg. JLuis Canchis
GRFICOS DE CONTROL
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Contenido
1. Clasificacin de los mtodos estadsticos de control de calidad
2. Grficos de control: concepto, estructura, interpretacin
3. Grficos de control por variables
4. Grficos de control por atributos
5. Etapas del Control Estadstico de Procesos
Mg. JLuis Canchis
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1. Clasificacin de los mtodos
estadsticos de C.C.
Mtodos Estadsticos de Control de Calidad
Control Estadstico de Procesos (grficos de
control)
Muestreo de Aceptacin (planes de muestreo)
Atributos Atributos Variables Variables
Mg. JLuis Canchis
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2. GRFICOS DE CONTROL
Herramienta estadstica utilizada para detectar variaciones de la calidad de un producto, durante
un proceso de fabricacin.
Mg. JLuis Canchis
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Causas de las variaciones
Causas no asignables o aleatorias: Debidas al azar, no son identificables, no pueden ser reducidas o eliminadas.
Producen variaciones pequeas.
Causas asignables:
Identificables y que deben ser
eliminadas. Producen variaciones
grandes. Mg. JLuis Canchis
-
Un grfico de control permite identificar causas asignables y determinar si un proceso est bajo o fuera de control.
BAJO CONTROL:
Trabaja en presencia de variaciones aleatorias.
FUERA DE CONTROL:
Hay variaciones debidas a causas asignables.
Mg. JLuis Canchis
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Estructura de un grfico de control.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Nmero de muestra
Cara
cte
rsti
ca d
e c
ali
dad
Lmite superior de control
Lnea
central
Lmite inferior de control
Mg. JLuis Canchis
-
Grfico de Control
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 3 5 7 9
11
13
15
17
19
21
23
25
Nmero de muestra
Ca
ra
cte
rs
tic
a d
e
ca
lid
ad
(lo
ng
itu
d m
m)
Mg. JLuis Canchis
-
3. GRFICOS DE CONTROL POR
VARIABLES
GRFICOS - R
Se utilizan cuando la caracterstica de calidad que se desea controlar es una variable continua.
Se requieren N muestras de tamao n.
Ejemplo: fbrica que produce piezas cilndricas de madera. La caracterstica de calidad que se desea controlar es el dimetro.
x
Mg. JLuis Canchis
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OBTENCIN DE LAS MUESTRAS
Forma A.
Proceso
7:00
Muestra de
6 Piezas
Mg. JLuis Canchis
-
Proceso
8:00
Muestra de
6 Piezas
OBTENCIN DE LAS MUESTRAS
Forma A.
Mg. JLuis Canchis
-
Retirar piezas individuales a lo largo del tiempo correspondiente a la muestra.
En vez de retirar 6 piezas a las 7, se retira una a la 7:10, 7:20, 7:30, ..
OBTENCIN DE LAS MUESTRAS
Forma B.
Mg. JLuis Canchis
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Se obtiene una tabla de datos de la siguiente forma:
No. muestra
Mediciones
1
2
3
4
5
6
1
50.04
50.08
50.09
50.1
50.24
50.04
2
50.14
49.97
50.07
49.97
50.03
50.1
3
49.99
50.13
50.18
50.04
50.08
50.08
4
50.03
50.18
50.08
50.08
50.01
50.12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
30
49.98
50.08
50.08
50.03
50.08
50.1
Mg. JLuis Canchis
-
CONSTRUCCIN DE LOS GRFICOS - R.
Paso 1. Calcular media y rango para cada muestra
No. muestra
Mediciones
1
2
3
4
5
6
R
1
50.04
50.08
50.09
50.1
50.24
50.04
50.1
0.2
2
50.14
49.97
50.07
49.97
50.03
50.1
50.05
0.17
3
49.99
50.13
50.18
50.04
50.08
50.08
50.08
0.19
4
50.03
50.18
50.08
50.08
50.01
50.12
50.1
0.15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
49.98
50.08
50.08
50.03
50.08
50.1
50.06
0.12
x
x
Mg. JLuis Canchis
-
Paso 2. Calcular la media de medias y la media de los rangos
N
XX
i
iX : media de la muestra i
N : nmero de muestras
N
RR
i
Ri : cantidad de muestras
Mg. JLuis Canchis
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Paso 3. Clculo de los lmites de control.
Lmites de control para el grfico
RA2XLSC
XCentralLnea
x
RA2XLIC
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Lmites de control para el grfico R
RLSC 4D
RCentralLnea
RLIC 3D
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GRFICO R
Grfico de R
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0 5 10 15 20 25 30
N subgrupo
R
No. de muestra
Mg. JLuis Canchis
-
GRFICO
Grfico de Xp
49.95
50.00
50.05
50.10
50.15
50.20
0 5 10 15 20 25 30
N subgrupo
Xp
No. de muestra
x
x
Mg. JLuis Canchis
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PUNTOS A CONSIDERAR PARA
CONSTRUIR GRFICOS DE CONTROL:
Tamao de la muestra y frecuencia del muestreo
a)Tomar con frecuencia muestras pequeas (4, 5, 6 cada media hora)
b) Tomar muestras grandes con una frecuencia menor (20 cada dos horas)
Nmero de muestras (aprox. 25 muestras, entre 100-150 observaciones)
Mg. JLuis Canchis
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4. GRFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
Se utilizan para controlar caractersticas de calidad que no pueden ser medidas, y que dan lugar a una clasificacin del producto: defectuoso o no defectuoso
Tipos:
Grfico p, grfico np, grfico c.
Mg. JLuis Canchis
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GRFICO p
Se usa para estudiar la variacin de la proporcin de artculos defectuosos.
p = no. de artculos defectuosos / n
n: tamao de la muestra
Mg. JLuis Canchis
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LMITES DE CONTROL PARA EL GRFICO P
n
pppLSC
)1(3
pLC
n
pppLIC
)1(3
Mg. JLuis Canchis
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EJEMPLO DE GRFICO p.
Se envasa jugo de naranja en recipientes de cartn de 6 onzas. Estos envases los produce una mquina formando un tubo a partir de una pieza de cartn y aplicando luego un fondo metlico. Al inspeccionar un envase puede determinarse si gotear al llenarlo, por la junta lateral o la del fondo, si gotea el envase se considera disconforme. Elaborar un diagrama de control para vigilar la fraccin de envases disconformes producidos por esta mquina.
Se seleccionaron 30 muestras de n=50 envases cada media hora durante un perodo de tres turnos, en los cuales la mquina oper continuamente. Mg. JLuis Canchis
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Grfico np
Se usa para controlar el nmero de defectuosos en una muestra.
Lmites de control
)1(3 ppnpnLSC
)1(3 ppnpnLIC
pnLC
Mg. JLuis Canchis
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EJEMPLO DE GRFICO np
Supongamos un proceso que fabrica
tornillos. Una manera de ensayar cada
tornillo sera probarlo con una rosca
calibrada.
Si el tornillo no entra en la rosca, se le
considera defectuoso o disconforme.
Para controlar este proceso, se pueden
tomar muestras de 50 tornillos y contar
el nmero de defectuosos presentes en
cada muestra.
Mg. JLuis Canchis
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Se cuenta en cada muestra el Nmero de artculos defectuosos y se registra. Se obtendra una Tabla como la siguiente:
Total defectos observados = 75
n=50
N=25
=0.06
p
nN
D
p
N
i
i
1
Muestra N Defectuosos
1 3
2 2
3 4
4 3
5 4
6 2
7 5
- -
- -
25 6
Mg. JLuis Canchis
-
Grfico np
0
2
4
6
8
10
12
0 5 1 0 1 5 20 25 30
Muestra
N
Dis
co
nfo
rm
es
Mg. JLuis Canchis
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GRFICO c
Se basa en el nmero de defectos por artculo.
Ejemplo: nmero de defectos por pieza de madera (manchas, grietas, torceduras). Se inspecciona una pieza y se cuenta cuantos defectos tiene.
Mg. JLuis Canchis
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CONSTRUCCIN DE UN GRFICO c
Paso 1.
Se seleccionan N muestras de tamao n.
Paso 2.
En cada muestra se cuentan el nmero de defectos presentes (suma de todos los defectos que tengan las piezas de la muestra). Ci
Mg. JLuis Canchis
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PASO 3. Se calcula el promedio de defectos por muestra.
PASO 4. Se calculan los lmites de control
N
CC
i
CCLSC 3
CCLIC 3
CLC
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5. ETAPAS DEL CONTROL ESTADSTICO DE PROCESOS
Control estadstico
Etapa 1:
AJUSTE DEL PROCESO
Etapa 2:
CONTROL DEL PROCESO
Mg. JLuis Canchis
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Se recogen unas 100-200 mediciones y se realiza un grfico de control.
a) Proceso bajo control: se adoptan los lmites de control.
b) Pocos puntos fuera de control (2 o 3):se eliminan y se calculan nuevos lmites.
c) Observaciones no siguen un patrn aleatorio, investigar, eliminar causas asignables y comenzar nuevamente el proceso de ajuste.
Etapa 1: AJUSTE DEL PROCESO.
Mg. JLuis Canchis
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Nuevas observaciones del proceso productivo, se registran en grficos de control con los lmites establecidos en la etapa 1.
Si el proceso se sale de control, se detiene y se investigan las causas. Eliminada la causa del problema se continua la produccin.
Etapa 2: CONTROL DEL PROCESO
Mg. JLuis Canchis