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I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

CUARTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA.

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina las demás razones trigonométricas a través de un dato.

Aplica las definiciones de razones trigonométricas en la solución de ejercicios y problemas.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA Identifica las razones trigonométricas a través de un triángulo rectángulo

Reconoce los triángulos notables por simple inspección

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resuelve problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos o notables. Resuelve problemas de su entorno usando ángulos de elevación y depresión

MATERIAL TRABAJADO EL 09; 16; 23 DE AGOSTO Y O6 DE SEPTIEMBRE 2011

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo es encontrar la medida de todos sus elementos,

es decir sus tres lados y sus tres ángulos. Si el triángulo es rectángulo es

suficiente tener como datos las medidas de dos de sus elementos, de los cuales

uno debe ser necesariamente un lado.

RECORDEMOS:

Razones trigonométricas respecto a un ángulo agudo de un triángulo

Observamos la figura:

Ángulo agudo B, cateto opuesto lado b, cateto adyacente lado c, hipotenusa lado a

Ángulo agudo C, cateto opuesto lado …, cateto adyacente lado ….., hipotenusa lado …..

Si ABC es un triángulo rectángulo, recto en “A”, las razones trigonométricas del ángulo B son:




Seno

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.




RESUMIENDO PODEMOS DECIR (OBSERVA FIGURA 4):

AHORA TÚ:

¿Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo del triángulo ACB en la figura 4?

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente

IMPORTANTE: No olvides que es importante para solucionar triángulos rectángulos, también utilizas

teorema de Pitágoras, según sea el caso.

EJEMPLO: 1. Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo “C” de un triángulo rectángulo ABC, recto en B.

Sabiendo que: a= 5, b=13




2.

Hallar

3. Dada la figura; hallar 4Cos

4. Si

Hallar M

x

1

θ

4




APLICO LO QUE APRENDÍ

1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos:

a) b)

c)

1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos:

2. En la figura, calcular tgθ.

3. Calcular x (x es agudo): Si ( )

41

40

x

θ




13

x

5

A C

B

X

3

5

C B

A

4. En el triangulo rectángulo ABC, recto en “C”; si

Hallar el valor de “tg B”.

5. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, si , hallar el valor de

6. En el triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe,

Hallar el valor de

7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que, (

)

Hallar el valor de : ( )

8. En el triángulo rectángulo ACB, recto en C se sabe

( )

9. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B se sabe

Hallar Sen C




IMPORTANTE:

ANGULOS NOTABLES

Valores de los ángulos de 80 y 820 (aproximadamente).

EJEMPLO:

1. Calcular “E” sabiendo que:

450

√

2K

K

600

300

820

80

√

7

1

A’

C’

B’

√

1

1

530

370

5K

3K

4K




2. Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4.

3. Del gráfico mostrado, calcule “Tg” si se tiene que: Tg = 8/15

34

42 A C

B




IMPORTANTE:

ÁnGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

EJEMPLO:

1. ¿Cuán larga es la sombra que proyecta un mástil de 11m de altura cuando el sol tiene un ángulo de

elevación de 30º?

2. Calcula la altura a la que se encuentra un barrilete si el ángulo que forma el hilo, de 35 m de longitud con

la horizontal, es de 30º y la mano del niño que sostiene el hilo está a 80 cm del suelo




3. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre

bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura

de la torre.

4. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

a Calcula la altura del árbol.

b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

Un poquito más:

I. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable.

II. Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

III. Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6

metros en línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?




AHORA YA PUEDES RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, ASÍ:

1) En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a= 5 m. y un cateto b=4 m. Calcula los demás

elementos

2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo




APLICO LO QUE APRENDÍ

1) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

4) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

5) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

6) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

7) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

9) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol

en ese momento.

10) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.

¿A qué distancia del pueblo se halla?

11) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente

uno de 70°.

12) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman

entre ellos un ángulo de 70°.

13) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo

de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

14) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y

circunscrita.

15) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49

centímetros de radio.

16) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El

ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?




PRACTICAMOS

01. Siendo “” un ángulo agudo, para el cual se tiene que: Cos = 3/4; calcule el valor de:

E = 7 Tg + 2Sec

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

02. Los lados de un triángulo rectángulo son: x; 2x+1; 2x-1; determinar la tangente del mayor ángulo agudo.

A) 3/4 B) 15/8 C) 4/3

D) 12/5 E) 5/7

03. En un triángulo rectángulo un cateto mide 20 y los otros dos lados se diferencian en 8. Si es el menor

ángulo agudo, calcular:

P = Sec + Tg

A) 5/3 B) 2 C) 7/3

D) 8/3 E) 3

04. Calcular “x” en:

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

05. Si es agudo y además:

Tg = Csc30° - Cos60°,

Calcular: 13 (Sen + Cos)

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

06. De la figura mostrada, calcule “Tg”, si se tiene que Tg = 3/10

A) 1 B) 1/2 C) 1/3

D) 3/5 E) 2/5

12

53° 37°

x

37°

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