UTN Ejercicios de Combinatoria

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Trabajo Práctico Nº 3

Análisis Combinatorio Cursada 2011

Desarrollo Temático de la Unidad Conceptos preliminares. Principio fundamental del análisis combinatorio. La función factorial. Fórmula de Stirling. a) Combinatoria simple: Variaciones o Permutaciones simples de n elementos

tomados de r en r, Permutaciones simples de n elementos y Combinaciones simples de n elementos tomados de r en r.

b) Potencia n-ésima de un binomio. El número combinatorio: propiedades. Potencia n-ésima de un polinomio. Fórmula de Leibnitz.

c) Combinatoria con repetición: Variaciones con repetición. Permutaciones con repetición o con elementos indistinguibles. Combinaciones con repetición.

PROBLEMAS DE COMBINATORIA

Ejemplo: Si un hombre tiene tres sacos y dos corbatas, podrá elegir (principio

fundamental de contar) de 3•2 = 6 maneras distintas primero un saco y después una corbata. Para conceptualizar el problema anterior se emplea una estructura llamada diagrama arborescente o simplemente diagrama de árbol.

c1 S1C1

c2 S1C2

S1 c1

S2C1

c2 S2C2

S3

c1 S3C1

c2 S3C2 La estructura de diagrama de árbol permite no sólo obtener el número de sucesos posibles, sino también individualizar cada uno de los mismos. Nota: siendo una de las dificultades fundamentales en la resolución de problemas de Combinatoria la identificación del tipo del mismo (combinatoria simple o con repetición y

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Plata Álgebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Nº 2 – Análisis Combinatorio

Av. 60 esq. 124 Tel. (0221) 4217578 – 4823155 – La Plata (1900)

www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra 2

dentro de ellas el tipo especifico del cual se trata), el siguiente conjunto de problemas ha sido confeccionado ex profeso sin ordenamiento temático Ejercicio nº 1: Las matrículas de los vehículos automotores de la República Argentina constan de tres letras seguidas de tres dígitos. ¿Cuál es el número de patentes distintas que pueden construirse si para cada conjunto de letras existe el número 000?

Rta: 19.683.000 Ejercicio nº 2: Una organización consta de veintiséis miembros. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir un presidente, un secretario y un tesorero, si una misma persona no puede ocupar más de un cargo?

Rta: 15.600 Ejercicio nº 3: Se va a conformar un comité de tres miembros para entrevistar al Director de una Escuela compuesto por un alumno de 5º año, uno de 4º y uno de 3º. Si hay tres candidatos de 5º año, 2 de 4º y 4 de 3º, determinar cuántos comités distintos pueden formarse empleando el principio fundamental de contar por un lado y el diagrama arborescente por otro.

Rta: 24 Ejercicio nº 4: ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse 5 bolas en una fila?

Rta: 120 Ejercicio nº 5: De cuántas maneras pueden sentarse diez personas en una banca, si sólo hay cuatro lugares disponibles?

Rta: 5040 Ejercicio nº 6: Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de manera tal que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?

Rta: 2880 Ejercicio nº 7: ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los diez dígitos (0,1,2,3...9)? si: a) Los números pueden repetirse. b) Los números no pueden repetirse. c) Si el último dígito ha de ser cero y los números no pueden repetirse.

Rta: a) 9000; b) 4536; c) 504 Ejercicio nº 8: Cuatro libros distintos de matemática, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos? si: a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. b) Solamente los libros de matemática deben estar juntos.

Rta: a) 207.360; b) 8.709.120 Ejercicio nº 9: ¿De cuántas formas puede elegirse una comisión de cinco personas entre nueve?

Rta: 126




Ejercicio nº 10: ¿Cuántos tipos distintos de ensalada pueden prepararse con lechuga, zanahoria, berro y remolacha?

Rta: 15 Ejercicio nº 11: Con siete consonantes y cinco vocales diferentes, ¿cuántas palabras distintas pueden formarse, que consten de cuatro consonantes y tres vocales? (no es necesario que las palabras tengan significado lingüístico)

Rta: 1.764.000 Ejercicio nº 12:

Demostrar que

−−−−

====

rn

n

r

n

Ejercicio nº 13:

Demostrar que

====

−−−−

++++

−−−−

−−−−

r

n

r

1n

1r

1n

Ejercicio nº 14:

Hallar x7 y el término independiente en el desarrollo de 12

2

x1

x

++++ si es que existen.

Ejercicio nº 15:

Escribir el desarrollo de n)ba( ++++ si el término general tiene el aspecto i)in( b a i

n−−−−

Ejercicio nº 16: Utilizando la notación de ∑∑∑∑ generar una expresión de recurrencia que permita

obtener el desarrollo de la potencia n-sima de un binomio cualquiera. Ejercicio nº 17: Se deben colocar en una única fila un conjunto de quintillizos, uno de cuatrillizas y uno de trillizos, todos vestidos con un uniforme. ¿De cuántas maneras posibles distinguibles podrán alinearse?

Rta: 27.720 Ejercicio nº 18: ¿De cuantas maneras puede elegirse un concejo municipal entre seis hombres y cinco mujeres, si el concejo debe estar compuesto por tres hombres y dos mujeres?

Rta: 200 Ejercicio nº 19:

Escribir sin efectuar el desarrollo el termino 5 y 10 del desarrollo de 10

2

+y

x .

Ejercicio nº 20: Tenemos 6 personas A, B, C, D, E, F, que participan de una competencia. Tres de estas personas serán finalistas ocupando el primero, segundo y tercer puesto. No se admiten empates y cada uno obtiene medallas diferentes. Nos interesa estudiar todas las formas posibles en que estos lugares pueden ocuparse




a) Calcular la cantidad de formas diferentes en que pueden ocuparse los tres puestos. Rta: 120

b) ¿Es necesario enumerar todos los casos posibles para responder la pregunta anterior? Proponer una estrategia para responder la pregunta sin recurrir a la descripción de todos los casos

c) ¿Pueden ser A, B, A uno de los resultados posibles? d) Si sabemos que B ocupará el primer lugar, de ¿Cuántas formas distintas pueden ocuparse los puestos?

Rta: 20 Ejercicio nº 21: En un club hay 100 socios en condiciones de aspirar a los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. ¿Cuántas listas pueden formarse si una personas fija debe ocupar el cargo de tesorero? Rta: 200 Ejercicio nº 22: Una persona necesita hablar por teléfono pero no recuerda bien el número que consta de siete cifras. Sabe que demora un minuto en marcar y pregunta si es el lugar donde desea comunicarse. ¿Cuánto demorará como máximo para hablar con quien desea en cada uno de los siguientes casos? a) Si recuerda que la característica tiene tres números y comienza con 4 y además todos los números que componen el teléfono son distintos. Rta: 42 días b) Si recuerda que la característica tiene tres números y puede comenzar con cualquier digito, además que todos los dígitos que componen el teléfono son distintos y aparece el 1 seguido del 2 en algún lugar. Rta: 28 días Ejercicio nº 23: Queremos poner en fila 7 personas entre las que se encuentran Ariel y Marta. a) ¿De cuántas formas diferentes podemos hacerlo si marta debe estar siempre primera? Rta: 720 b) ¿De cuántas formas diferentes podemos hacerlo si Ariel y Marta nunca pueden estar juntos? Rta: 3600 c) ¿De cuantas formas podemos alinearlas si entre Marta y Ariel debe haber exactamente tres personas? Rta: 720 Ejercicio nº 24: En una población de 20.000 habitantes, una persona le rumorea algo a otra persona, quien lo repite a una tercera, etc... En cada paso, se escoge aleatoriamente al receptor del rumor. ¿De cuántas formas distintas puede pasar un rumor 10 veces sin volver a la persona que lo originó?

Rta: 1.02 x 1043 Ejercicio nº 25: Discutamos ahora el siguiente problema:




En un curso de 25 alumnos queremos elegir 3 de ellos para formar un equipo de fútbol. Si suponemos que todos ellos pueden ser jugadores; ¿Cuántos equipos diferentes, podrían formarse? Antes de comenzar a resolver este problema, haremos algunas preguntas: a) ¿Existe alguna diferencia entre este problema y el problema 20? b) Si existe tal diferencia, explicar su incidencia en el cálculo. Encontrar una estrategia para responder el cuestionario anterior, para lo cual se proponen simplificar las cantidades trabajando con un curso de cuatro alumnos A = {a1, a2, a3, a4} formando equipos de 3 alumnos elegidos entre ellos. Nota: para resolver un problema en el que el orden no es importante, debemos recurrir a otros conocidos en los que el orden importa. No necesitamos confeccionar todo un cuadro que represente la totalidad de las posibilidades cada vez que se presente su estructura.

Rta: 2300 Ejercicio nº 26: Si en lugar de tener 25 alumnos el curso tiene 40 y queremos formar equipos de 3 personas cada uno. ¿Cuántos equipos diferentes pueden armarse si previamente se ha elegido uno de los cuarenta alumnos como arquero para todos los equipos?

Rta: 741 Ejercicio nº 27: En un pueblo pequeño hay 5000 habitantes, 40% hombre y 60% mujeres. Se eligen grupos de 5 personas: a) ¿Cuántos grupos diferentes pueden formarse para asistir a un programa de televisión en representación del pueblo? Rta: 2.6 x 1016 b) ¿Cuántos grupos podemos armar, para asistir al programa, si deben haber tres mujeres y dos hombre? Rta: 8.99 x 1015 c) Si el grupo es para ocupar la presidencia, vicepresidencia y tres secretarías con igual jerarquía de una empresa de la localidad. ¿Cuántos grupos distintos podrán formarse? Rta: 5.2 x 1017 Ejercicio nº 28: ¿Cuántas palabras distintas, sin importar que tengan o no sentido, pueden formarse con las letras de la palabra ARIDO y cuántas con las letra de la palabra ARADA? Rta: 120 y 20 Ejercicio nº 29: Tenemos 7 bolillas blancas y 3 negras que deseamos ordenar en fila. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse la ordenación?. Rta: 240 Ejercicio nº 30: Calcular el factorial del número 50 utilizando la formula de Stirling. Verificándolo por medio de la función factorial. Ejercicio nº 31: Verificar que el número de combinaciones con repetición de tres elementos tomados de a 2, puede calcularse transformándolo a un problema de Combinatoria Simple. Ejercicio nº 32:




Diez personas se saludan mediante un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo? Rta: 45 Ejercicio nº 33: ¿Cuántos abonados telefónicos pueden obtenerse si cada número tiene siete cifras y en todos los casos el primer número es un cuatro? Rta: 1.000.000 Ejercicio nº 34: En una caja hay seis tizas, una blanca, una amarilla, una verde, y tres rojas. Calcular el número de permutaciones indistinguibles o no identificables que pueden construirse con ellas. Rta: 600 Ejercicio nº 35: Hallar el número de diagonales de un octógono. Rta: 20 Ejercicio nº 36: ¿Cuántas rectas se determinan uniendo 10 puntos del plano no alineados de a tres? Rta: 45 Ejercicio nº 37: Escribir una expresión de recurrencia que permita calcular el número de diagonales que tiene un polígono de n lados. Ejercicio nº 38: ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar seis personas alrededor de una mesa circular? Rta: 120 Ejercicio nº 39: En un campeonato de fútbol de dos ruedas participan 18 equipos. ¿Cuántos partidos deberán jugarse? Rta: 306

UTN Ejercicios de Combinatoria

Documents

Transcript of UTN Ejercicios de Combinatoria