UTN FRTL Ingreso Física UNIDAD Nº 0 - Vectores

Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli

FÍSICA – Vectores Pág. 1 de 8

Vectores

Definición de vector : Un vector f i jo es un segmento or ientado que va del punto A (or igen) a l punto B (extremo).

Módulo de : Es la longitud del segmento AB, se representa por

Dirección del vector : Es la d irección de la recta que cont iene al vector o de cualquier recta parale la a e l la.

Sentido del vector : El que va del or igen A al extremo B.

Dos puntos A y B determinan dos vectores f i jos y

, con sent ido dist into, que se l laman vectores opuestos.

Un vector f i jo es nulo cuando el or igen y su extremo coinciden.

Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

El vector que une el origen de coordenadas O

con un punto P se l lama vector de posición del

punto P.



Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son

las coordenadas del extremo menos las coordenadas

del origen.

Ejemplos

Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

Un vector t iene de componentes (5, −2). Hal lar las coordenadas de A si se

conoce el extremo B(12, −3).

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando t ienen igual módulo, dirección y sentido .



Si y son vectores equipolentes , e l

cuadri látero ABCD es un paralelogramo .

Ejemplo: Calcula las coordenadas de C para que el cuadri látero de vért ices:

A(-3, -4), B(2 , -3), D(3, 0) y C; sea un parale logramo.

Vector l ibre

El conjunto de todos los vectores equipolentes

entre sí se l lama vector l ibre . Cada vector f i jo es

un representante del vector l ibre .



Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento or ientado que lo def ine. El módulo de un vector es un número s iempre positivo y solamente el vector nulo t iene módulo cero . Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Ejemplo

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual a l módulo del vector que t iene de extremos dichos puntos.

Ejemplo



Suma de vectores

Para sumar dos vectores l ibres y se escogen

como representantes dos vectores tales que el

extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el

origen en común , se t razan rectas paralelas a los

vectores obteniéndose un paralelogramo cuya

diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa + ( + ) = ( + ) +

Conmutativa + = +

Elemento neutro + =

Elemento opuesto + (− ) =

Resta de vectores

Para restar dos vectores l ibres y se suma con el

opuesto de .

Las componentes del vector resta se obt ienen

restando las componentes de los vectores.



Ejemplo

Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector es otro vector :

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector si k es positivo .

De sentido contrario del vector si k es negativo .

De módulo

Las componentes del vector resul tante se obt ienen mult ip l icando por K las componentes del vector.

Ejemplo

Propiedades del producto de un número por un vector

Asociat iva: k · (k ' · ) = (k · k ' ) ·

Distr ibut iva respecto a la suma : k · ( + ) = k · + k ·

Distr ibut iva respecto a los escalares : (k + k ' ) · = k · + k ' ·

Elemento neutro : 1 · =



Coordenadas del punto medio de un segmento

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento

coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los

puntos extremos.

Ejemplo

Hal lar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Condición para qué tres puntos estén al ineados

Los puntos A (x1 , y1) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) están al ineados

siempre que los vectores tengan la misma dirección . Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales .

Ejemplo Calcular e l valor de a para que los puntos estén al ineados .



Vectores. Ejercicios

1 Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

2 Calcula e l valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.

3 Si es un vector de componentes (3,4), hal lar un vector uni tar io de su misma dirección y sent ido. 4 Dados los vért ices de un t r iángulo A(1,2), B(-3,4) y C(-1,6), hal lar las coordenadas del bar icentro. 5 Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3,1). 6 Averiguar s i están al ineados los puntos: A( -2,-3), B(1,0) y C(6,5). 7 Calcula las coordenadas de D para que el cuadri látero de vért ices: A(-1,-2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un parale logramo. 8 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A(2, -1) y B(8, -4). Hal lar las coordenadas del punto C que divide al seg mento AB en dos partes ta les que AC es la mitad de CB. 9 Si e l segmento AB de extremos A(1,3), B(7,5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de divis ión? 10 Hallar e l s imétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2,6) .

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