Valdivia Vazco, Yarianna

CiudaddelaHabana,Cuba2010

Estudiodetcnicasdecontroladaptativoparaelcontroldeprocesos

TrabajodeDiplomaparaoptarporelttulodeIngenieroen

Automtica

FACULTADDEINGENIERAELCTRICA

Autor:YariannaValdiviaVazco

Tutor:Dra.SussetGuerraJimnez

II

DDDeeeccclllaaarrraaaccciiinnn dddeee AAAuuutttooorrriiidddaaaddd Por este medio doy a conocer que soy el nico autor de este trabajo y autorizo al Instituto

Superior Politcnico Jos Antonio Echeverra a que hagan del mismo el uso que

estimen pertinente.

Autor:

____________________________ Yarianna Valdivia Vazco

Tutor:

____________________________ Dra. Susset Guerra Jimnez

III

Nunca pienses en la suerte, porque la suerte

es el pretexto de los fracasados.

Pablo Neruda

IV

DDDeeedddiiicccaaatttooorrriiiaaa

A mami por ser la persona

ms importante en el mundo para m.

A Kilki por ser mi inspiracin y quererme tanto.

A Yami por los besos y abrazos.

A mis sobrinos Rolandito, Alejandro y Laury

por alumbrar y alegrar mi vida.

A ta Glorita y to Eddy por tanto cario.

V

AAAgggrrraaadddeeeccciiimmmiiieeennntttooosss

A mami por siempre estar a mi lado

y luchar tanto por m.

A Kilki por su dedicacin y preocupacin

an con un ocano de distancia.

A mi hermana mayor, mis sobris y mis tos

por estar atentos a cada paso que doy.

A Charo y Yasser por acogerme

y por tanta paciencia.

A mis amigas Misle y Roci

por preguntar siempre cmo estaban las cosas.

A mis amigos Daniley y Osmel por cada risa

que compartimos an en los momentos ms difciles.

A MiRei por confiar en m.

A Mary, Rey y Odalis

por ayudarme cuando lo necesit.

A mi tutora por sus enseanzas y experiencias.

A Laura, Yiriam y Nen por su ayuda desinteresada.

A todos mis compaeros de carrera

por su preocupacin y apoyo.

VI

RRReeesssuuummmeeennn

En el contexto industrial existen procesos cuyos modelos presentan parmetros

variantes en el tiempo o son desconocidos. En ambos casos no se puede

utilizar para controlar el proceso un controlador convencional, es decir, de

parmetros fijos, debido a que se debe ajustar dinmicamente teniendo en

cuenta los parmetros que varan.

Para dar solucin a estos sistemas que requieren de tratamiento especial por

su comportamiento y mantener una ejecucin consistente es que se han

desarrollado las tcnicas de control adaptativo.

En este trabajo de diploma se abordan, en general, las tcnicas adaptativas,

enfatizando en dos de ellas: Control Adaptativo segn Modelo de Referencia,

en ingls Model-Reference Adaptive Control (MRAC) y Regulador Self-tuning,

en ingls Self-Tuning Regulator (STR) mediante la aplicacin de estas al

control de la velocidad y posicin de un accionamiento elctrico de corriente

continua. Se utiliza una librera de control adaptativo que no forma parte de los

toolbox de Matlab para realizar los clculos de los controladores adaptativos y

la simulacin de los sistemas diseados obteniendo resultados adecuados. La

utilizacin de esta librera es de gran importancia puesto que el Matlab no

cuenta con ninguna herramienta para estos fines.

ndice

VII

Introduccin

1

Captulo 1. Estado del Arte de las Tcnicas de Control Adaptativo 6 1.1 Estado del Arte 7 1.2 Por qu control adaptativo? 12 1.3 Efectos de las variaciones en los procesos 14 1.4 Control Adaptativo Directo e Indirecto 17 1.5 Esquemas de control adaptativo 19 1.5.1 Ganancia programada 21 1.5.2 Sistema Adaptativo segn Modelo de Referencia (MRAS) 23 1.5.3 Reguladores Self-tuning (STR) 24 1.6 Aplicaciones 26 1.6.1 Ajuste automtico 26 1.6.2 Programacin de ganancia 27 1.6.3 Adaptacin continua 27 1.6.4 Productos industriales 28 1.7 Ejemplo de aplicacin 29 Captulo 2. Sistemas Adaptativos segn Modelo de Referencia (MRAS) 32 2.1 Introduccin 33 2.2 Sistema con ganancia de camino directo adaptable usando la regla MIT

35

2.3 Diseo de MRAS usando la regla MIT 43 2.4 Diseo de MRAS usando la teora de estabilidad de Lyapunov 51 Captulo 3. Regulador Self-tuning (STR) 60 3.1 Introduccin 61 3.2 Regulador Self-tuning indirecto con cancelacin de ceros 62 3.2.1 Especificaciones 63 3.2.2 Estimacin de parmetros del proceso mediante el mtodo de mnimos cuadrados recursivo

65

3.2.3 Diseo del controlador por asignacin de polos 70 3.3 Regulador Self-tuning indirecto sin cancelacin de ceros 83 Captulo 4. Anlisis tcnico-econmico 92 4.1 Introduccin 93 4.2 Clculo del Costo Total 94 4.3 Precio de los servicios cientfico-tcnicos y de los resultados de la investigacin

97

Conclusiones 98Recomendaciones 101Bibliografa 103Anexos 108

Introduccin

Introduccin

2

En el lenguaje diario, adaptar significa cambiar un comportamiento conforme a

las nuevas circunstancias. Consecuentemente, un controlador adaptativo es

aquel que modifica su comportamiento en respuesta a cambios dinmicos en el

proceso y al carcter de las perturbaciones.

Un ingeniero en control tiene que conocer acerca de los sistemas adaptativos

porque estos poseen propiedades muy tiles, las cuales tienen usos

beneficiosos a la hora de disear sistemas de control con mejores ejecuciones y

funcionalidades.

El control adaptativo proporciona mecanismos de adaptacin que ajustan el

controlador para que un sistema con incertidumbres paramtricas, estructurales

y ambientales logre el comportamiento deseado del sistema. El deterioro de

componentes causa incertidumbre paramtrica, el fallo de componentes lleva a

la incertidumbre estructural y los ruidos externos son tpicas incertidumbres

ambientales. Tales incertidumbres frecuentemente aparecen en mecanismos de

aviones y automviles, dispositivos electrnicos y procesos industriales. [1]

El control adaptativo ha tenido varios logros en la teora y en las aplicaciones

debido a su desarrollo para dar solucin a varios problemas que requeran de

tratamiento especial debido a su comportamiento. Algunas de las aplicaciones

tpicas del control adaptativo son: control de temperatura, control en un reactor

qumico, control de un secador de pulpa, control del rodamiento de un molino,

control de automviles, control de la direccin de un barco, control de la presin

sangunea, control de un corazn artificial, control de un robot.

Un sistema tpico de control adaptativo consiste en un sistema (proceso) que va

a ser controlado (el cual es llamado planta y cuyos parmetros son

desconocidos para el control adaptativo), un controlador con parmetros y una

ley de adaptacin para ajustar los parmetros del controlador para conseguir el

comportamiento deseado del sistema.

Introduccin

3

Situacin problema

Estudiar las tcnicas de Control Adaptativo: Sistema Adaptativo segn Modelo

de Referencia, en ingls Model-Reference Adaptive System (MRAS), Regulador

Self-tuning (STR) fundamentalmente, para profundizar en su conocimiento y

controlar procesos de parmetros desconocidos y/o variantes en el tiempo.

Utilizar el Matlab para simular las estrategias propuestas en aplicaciones

numricas o reales mediante una herramienta creada para este fin.

Objetivo general

Estudiar las tcnicas de Control Adaptativo MRAS y Self-tuning y consolidar el

conocimiento sobre estas mediante la simulacin y el uso de una herramienta de

apoyo para la implementacin de estos sistemas.

Objetivos especficos

1. Revisar el estado del arte en las tcnicas de control adaptativo.

2. Estudiar las tcnicas de control adaptativo y desarrollar los principales

resultados alcanzados en las tcnicas MRAS y Self-tuning.

3. Desarrollar un ejemplo de Control Adaptativo segn Modelo de Referencia

(MRAC) y simular con Matlab mediante una herramienta creada.

4. Desarrollar un ejemplo de Self-tuning y simular con Matlab utilizando una

herramienta creada.

Hiptesis

Existen procesos cuyos modelos poseen parmetros no conocidos, donde las

tcnicas de identificacin experimental y modelado no caracterizan el

comportamiento del sistema en todas sus condiciones de operacin. Por otra

parte otros procesos presentan algunos parmetros variantes en el tiempo,

considerando la variacin de los parmetros lenta. Para controlar estos procesos

no se puede utilizar un controlador de parmetros fijos, pues el ajuste debe

Introduccin

4

realizarse dinmicamente en funcin de los parmetros del proceso. Las

tcnicas de control adaptativo ofrecen una alternativa de solucin para esta

clase de sistemas. Para la simulacin de estos no existe una herramienta en el

software Matlab, por lo que se desarrollar una como apoyo para su

implementacin y comprensin.

Tareas a desarrollar para cumplir los objetivos

1. Anlisis de la documentacin relacionada con las tcnicas de control

adaptativo.

2. Estudiar y comprender las tcnicas de control adaptativo: MRAS y Self-

tuning.

3. Estudiar los mtodos de obtencin de la ley de ajuste: regla MIT y

estabilidad de Lyapunov.

4. Realizar un ejemplo de MRAC.

5. Estudiar el mtodo de estimacin por mnimos cuadrados.

6. Comprender el mtodo de asignacin de polos para el diseo del

controlador.

7. Realizar un ejemplo de STR.

8. Realizar el estudio terico de un paquete adaptativo de herramientas

creado en Lund Institute of Technology, Suecia, para su comprensin y

utilizacin.

Alcance de la investigacin

Material de apoyo a la docencia y utilizacin de algoritmos y herramientas

adaptativas en futuras investigaciones.

Aportes prcticos esperados del trabajo

Utilizar y potenciar una herramienta en el software Matlab para controlar

procesos con parmetros variantes en el tiempo y simulacin de los sistemas

controlados.

Introduccin

5

Estructuracin del contenido

Captulo 1: Estado del Arte de las Tcnicas de Control Adaptativo

En este captulo se tratan de manera general las tcnicas de Control Adaptativo

y su aplicacin en procesos con parmetros desconocidos o variantes en el

tiempo. Adems se describe la aplicacin que se desarrolla en los captulos

siguientes.

Captulo 2: Sistema Adaptativo segn Modelo de Referencia (MRAS)

En este captulo se aborda la tcnica de MRAS y se realiza un ejemplo de

simulacin.

Captulo 3: Regulador Self tuning (STR)

En este captulo se aborda la tcnica de Self-tuning, la estimacin por mnimos

cuadrados, el mtodo de diseo de controladores mediante asignacin de polos

y se realiza un ejemplo de simulacin.

Captulo 4: Anlisis tcnico-econmico

En este captulo se realiza el anlisis econmico de la ejecucin del proyecto

empleando las normas para la planificacin y ejecucin de la investigacin.

aptulo1EstadodelArtedelasTcnicasdeControlAdaptativo


7

En este captulo se muestran los principales resultados del control adaptativo en

las ltimas dcadas y las razones que argumentan su utilizacin en

determinados sistemas, enfatizando en las consecuencias de las variaciones en

los procesos. Adems, se hace un anlisis de las dos aproximaciones que se

pueden hacer de los esquemas de control adaptativo para la comprensin de las

tcnicas que se tratan a continuacin, de las cuales se dan las principales

caractersticas. Tambin se muestran varias aplicaciones, dentro de las cuales

se encuentra la que se va a desarrollar en los captulos 2 y 3 con la utilizacin de

una herramienta para la simulacin.

1.1 Estado del Arte

Las investigaciones en el campo del control adaptativo comenzaron en la dcada

del 50 con el diseo de autopilotos en vuelos de alta ejecucin, cuya operacin

era en una ancha gama de valores de velocidad y altitud, es decir, parmetros

variantes en el tiempo. Se usaba el control adaptativo como va para el ajuste

automtico de los parmetros del controlador ante cambios dinmicos en los

aviones. Pero el inters por este tema pronto disminuira debido a la falta de

conocimientos y a que el vuelo experimental no tuvo xito. [2]

No es hasta la prxima dcada que se desarroll la teora coherente del control

adaptativo, usando varias herramientas de la teora del control no lineal.

Estos avances tericos, junto con el aprovechamiento de la computacin, hacen

que tenga varias aplicaciones prcticas, en reas como la robtica, control de

aviones y cohetes, procesos qumicos, sistemas de potencia, direccin de un

barco, y en la bioingeniera.

En el Lund Institute of Technology, en Suecia, se ha desarrollado un paquete

para el control adaptativo. Este constituye una herramienta para la simulacin de

sistemas variantes en el tiempo o con parmetros desconocidos como apoyo

para el clculo de controladores. No existe ninguna literatura que comente el

funcionamiento de los bloques utilizados, por lo cual ha sido necesario un


8

estudio terico de las tcnicas de control adaptativo para su comprensin e

implementacin.

La energa elica es reconocida como un valioso recurso al ser no contaminante

y usar una fuente renovable. Para ser competitivos en el mercado de la

electricidad, las turbinas de viento deben producir electricidad a un costo

comparable al de la tecnologa de combustibles fsiles. Existen algoritmos de

control sofisticados destinados a este fin usando una variedad de tcnicas. Una

de estas es el diseo de un controlador adaptable para maximizar la captacin

de energa a bajas velocidades del viento, o sea, el control adaptativo de la

torsin de turbinas de viento de velocidad variante. [3]

La nueva Visin de Exploracin hace un llamado a una variedad de misiones

que van desde la exploracin y poblacin de Marte y la Luna, hasta ampliadas

misiones cientficas a los planetas exteriores y sus lunas. Las limitaciones en el

ancho de banda en la comunicacin debido a la interferencia de la radiacin y / o

la distancia de ida y vuelta hace que sea esencial construir sistemas en las

naves que puedan adaptar sus acciones en presencia de ambientes poco

conocidos, donde no se entiende completamente la dinmica del sistema

o daos a la nave espacial. El Centro de Investigacin Ames tiene una extensa

experiencia en el diseo e implementacin de sistemas de control adaptativo, y

la integracin de estos sistemas para misiones de vuelo y otras aplicaciones de

control. [4]

Un limitado enfoque adaptativo backstepping se utiliza para disear una ley de

control de vuelo para el modelo no lineal de un avin de combate

F-16/MATV. Los objetivos de la ley de control son seguir las trayectorias de

comandos con la velocidad total, el ngulo de ataque y la estabilidad de los

ejes. Por otra parte, se proporciona la regulacin del ngulo de deslizamiento

lateral. Las leyes de actualizacin de parmetros on-line que se hacen usando

redes neuronales se utilizan para aproximar la fuerza aerodinmica y los


9

coeficientes de momento. Las leyes de ajuste de parmetros son capaces de

compensar cualquier incertidumbre o cambios en la aerodinmica. [5]

Durante las ltimas dcadas, los avances en la tecnologa area han hecho las

especificaciones de rendimiento de aviones de combate ms modernas y ms

exigentes a lo largo del incremento de los vuelos. Tradicionales, los mtodos de

diseo de control lineal ya no pueden ser aplicados a las aeronaves, ya que las

linealizaciones de la dinmica de vuelo ya no son vlidas a altos ngulos de

ataque. Las tcnicas de control no lineal, como linealizacin por realimentacin

fueron desarrolladas para hacer frente a estos sistemas altamente no lineales.

En el caso de un gran cambio en la aerodinmica, por ejemplo, error de actuador

o daos estructurales, el avin ya no puede ser controlado satisfactoriamente e

incluso se vuelven inestables cuando se utiliza linealizacin por realimentacin

combinada con las tcnicas de control robusto. Los nuevos mtodos de control

adaptativo que se desarrollan son capaces de controlar la aeronave daada

mediante el mantenimiento de la estabilidad y las propiedades deseadas. [5]

En un estudio reciente se desarroll un modelo de transporte genrico daado

como parte de un proyecto de investigacin de la NASA para investigar los

mtodos de control adaptativo para la recuperacin de la estabilidad de las

aeronaves daadas en condiciones de vuelo fuera de la nominal en virtud de los

daos y / o fracasos. Una investigacin exhaustiva de la aeronave es necesaria

para investigar y desarrollar tecnologas de control adaptativo que pueden ser

utilizadas para equipar a los sistemas convencionales de control de vuelo, con el

fin de permitir a las aeronaves alcanzar los objetivos de seguridad en el

vuelo. El control de vuelo adaptativo es una tecnologa crtica que permite que

aviones muy daados recuperen la estabilidad despus de averas en el

vuelo. [6]

En la regulacin estructural de las vibraciones dentro de la gama de frecuencia

acstica se utiliza la tecnologa de microprocesadores actuales. Dado que la

regulacin es en banda ancha, los sistemas de control deben tener la capacidad


10

de regular una determinada estructura en una gama de frecuencia de varios

KHz. Un problema que debe tenerse en cuenta es el de la regulacin de una

planta variante en el tiempo en presencia de perturbaciones que tienen un

tiempo espectral diferente. Esto exige que el rgimen de control sea adaptativo y

capaz de incorporar un modelo de adaptacin de ruido interno. [7]

Debido al rpido incremento en el poder de la tecnologa informtica, los

algoritmos de control adaptativo son cada vez ms importantes para la

aplicacin prctica. La investigacin en el control adaptativo para sistemas

lineales ha producido importantes avances en los ltimos veinte aos. Sin

embargo, en la prctica, los sistemas no suelen ser lineales y tienen actuadores

con frecuencia en la entrada, que imponen un lmite de saturacin natural. Un

ejemplo tpico de un actuador en la industria de procesos puede ser una vlvula,

como en un sistema de tanques presurizado. La caracterstica esttica de

entrada-salida del actuador se puede aproximar por una no linealidad de tipo

saturacin. La presencia de esta no linealidad puede conducir a la prdida del

control, si la seal de control pasa al dominio de saturacin del actuador. Estos

problemas son comunes en muchos tipos de controladores de tiempo real, por lo

que es de inters desarrollar un esquema de control adaptable que pueda

manejar esta situacin. El xito de los resultados del control en tiempo real ha

mostrado que el algoritmo de control puede mantener la seal de control en la

zona de control lineal. [8]

Las condiciones de funcionamiento de grandes sistemas de energa son siempre

diferentes para satisfacer las demandas de carga. Los sistemas automticos de

control estn localizados alrededor de los generadores individuales, pero

tambin son necesarios para amortiguar las oscilaciones del sistema que

pudieran amenazar la estabilidad de este a medida que aumentan las demandas

de carga o despus de una falla mayor, y mantener la estabilidad del sistema

bajo una diversidad de condiciones de funcionamiento y

configuraciones. Controladores lineales tradicionales no garantizan la estabilidad


11

del sistema bajo esas condiciones. Varias tcnicas han sido desarrolladas para

mejorar las tcnicas de diseo anterior mediante el uso de controladores

adaptativos. [9]

Muchos procesos industriales inevitablemente cambian con el tiempo por una

variedad de razones que incluyen: cambios en el equipo, condiciones de

funcionamiento diferentes, o cambios en las condiciones econmicas. En

consecuencia, el problema de control fundamental es cmo proporcionar un

control efectivo de procesos complejos donde cambios significativos pueden

ocurrir, pero no pueden ser medidos o previstos. Las estrategias adaptativas de

control estn disponibles donde los parmetros del controlador y / o estructura

de control se han modificado on-line como cambios en las condiciones. Existe

una clase especial de estrategias de control adaptativo referida como el cambio

de control o el control adaptativo multi-modelo. La motivacin para el control

multi-modelo es que para muchos procesos tcnicos complejos, el

comportamiento local puede ser capturado aproximadamente por un conjunto de

modelos relativamente simple. Adems, un controlador de retroalimentacin

correspondiente puede ser diseado para cada modelo individual. Para estas

situaciones, un mtodo de control adaptativo basado en la seleccin del mejor

modelo (y el controlador) para las condiciones actuales constituye un enfoque

prometedor. El control multi-modelo es tambin aplicable a problemas ms

generales de control en los que los regmenes de funcionamiento no se pueden

determinar a priori. Por ejemplo, la capacidad del control multi-modelo se ha

demostrado con xito para el control de infusin de medicamentos donde la

variabilidad e imprevisibilidad son cuestiones claves. Otras aplicaciones incluyen

el control del pH, columnas de destilacin, sistemas de energa, y los reactores

qumicos. [10]

Una de las funciones comunes de un sistema de control de trfico es reducir al

mnimo el retraso que experimentan los vehculos que transitan por un cruce de

carreteras. Las categoras principales de un sistema de control de trfico son

pre-programado y los sistemas de adaptacin. Bajo la operacin de pre-


12

programado, el controlador de seales de trfico maestro establece los

parmetros de la seal basada en tasas predeterminadas. Estos valores se

determinan a partir de datos histricos recopilados mediante la observacin del

flujo de trfico. El control pre-programado resulta con frecuencia en un uso

ineficiente de la capacidad de interseccin debido a la incapacidad para

adaptarse a las variaciones en el flujo de trfico y la demanda real del trfico.

Esta ineficiencia se manifiesta cuando los flujos son muy por debajo de la

capacidad. Un controlador de adaptacin supera el problema de un controlador

pre-programado por seales de operacin basado en las demandas de trfico. El

tiempo de verde para cada enfoque puede variar entre un mnimo y mximo, en

funcin de los flujos. La caracterstica principal de un controlador de adaptacin

es la capacidad de ajustar la longitud de la fase de seal en respuesta al flujo de

trfico. Varios sistemas eficientes se han propuesto. Los ms notables de ellos

son SCOOT, desarrollado en Inglaterra, y SCATS, desarrollado en Australia.

Ambos son sistemas adaptativos-cclicos, en los que se actualiza el plan de

tiempo de la seal en intervalos de tiempo pre-especificados. Otros mtodos

conocidos en fase de desarrollo durante la ltima dcada incluyen PROLYN,

UTOPIA, OPAC, etc. Estos sistemas intentan optimizar el trfico en lnea sin que

se limite a un intervalo de tiempo cclico, es decir, el plan de tiempo de la seal

puede cambiar en cualquier momento en funcin del algoritmo de optimizacin.

En comparacin con la seal de control pre-programado, estos sistemas sin

duda mejoran el desempeo global en trminos de retraso total en la red

controlada. [11]

1.2 Por qu control adaptativo?

En varios aspectos del control (como en la robtica), los sistemas a controlar

tienen parmetros variantes al comienzo de la operacin de control. A menos

que el mencionado parmetro sea reducido gradualmente on-line mediante un

mecanismo de adaptacin o estimacin, esto puede causar inexactitud o

inestabilidad en el sistema de control.


13

Otros sistemas (como los sistemas de potencia), tienen buena dinmica en el

comienzo, pero las variaciones impredecibles de parmetros en la prctica

continan mientras se realiza la operacin de control. Sin el rediseo continuo

del controlador, el diseo apropiado del controlador inicial puede no ser capaz de

controlar bien los cambios en la planta. [12]

Generalmente el objetivo bsico del control adaptativo es mantener una

ejecucin consistente de los sistemas en presencia de variaciones desconocidas

en los parmetros de la planta. Como tal incertidumbre o variacin del parmetro

ocurre en problemas prcticos, el control adaptativo es til en varios contextos

industriales.

Robtica: los robots tienen que manipular cargas de varias dimensiones, pesos y

distribuciones de masas. Los parmetros inerciales de la carga tienen que ser

bien conocidos antes de que el robot la recoja y la mueva. Si se usan

controladores de ganancia constante y los parmetros de la carga no son

correctamente conocidos, el movimiento del robot puede ser inexacto o

inestable. El control adaptativo, por otro lado, permite a los robots mover cargas

de parmetros desconocidos con gran velocidad y precisin.

Direccin de un barco: en las largas travesas, los barcos son usualmente

puestos bajo direccin automtica. Sin embargo, las caractersticas dinmicas

del barco dependen de varios parmetros inciertos, como la profundidad del

agua, la carga del barco y las condiciones de viento y marea. El control

adaptativo puede ser usado para lograr una buena ejecucin del control bajo

condiciones de operacin variantes, as como evitar prdidas de energa debido

a un movimiento excesivo del timn.

Control de aviones: el comportamiento dinmico de un avin depende de su

altitud, velocidad y configuracin. En un vuelo algunos parmetros varan

considerablemente.


14

Control de procesos: los modelos de los procesos metalrgicos y qumicos son

usualmente complejos y difciles de obtener. Los parmetros caractersticos de

los procesos varan. Adems, las condiciones de trabajo varan usualmente con

el tiempo (ejemplo: las caractersticas de un reactor varan durante su vida, las

materias primas suministradas al proceso no son exactamente las mismas

siempre, las condiciones atmosfricas y climatolgicas tienden tambin a variar).

En realidad, el control de procesos es una de las ms importantes y activas

reas de aplicacin del control adaptativo.

El control adaptativo puede ser tambin aplicado en otras reas, como los

sistemas de potencia y la ingeniera biomdica.

Para evitar dificultades matemticas y ganar en conocimientos acerca del

comportamiento de los sistemas de control adaptativo, se asume que los

parmetros desconocidos de la planta son constantes en el anlisis de los

diseos. En la prctica, los sistemas de control adaptativo son usualmente

usados para manejar parmetros desconocidos variantes en el tiempo. [13]

1.3 Efectos de las variaciones en los procesos

Un mtodo de diseo de sistemas de control es desarrollar un modelo lineal para

el proceso para diferentes condiciones de operacin y disear el controlador con

parmetros constantes. La propiedad fundamental es que estos sistemas son

insensibles a los errores de modelado y a las perturbaciones. Pero existen

procesos dinmicos que tienen variaciones, las cuales tienen efectos sobre el

comportamiento de los sistemas de control. [12]

Una comn fuente de variaciones es que actuadores, como las vlvulas, tengan

caractersticas no lineales (Anexo 1).


15

Para ver esto suponemos que la caracterstica esttica de la vlvula est dada

por

( ) 4 0v f u u u= = El sistema puede tener un buen comportamiento operando a un nivel y pobre en

otro. El controlador es ajustado para tener una buena respuesta para valores

bajos de nivel de operacin. Para altos valores de nivel de operacin el sistema

a lazo cerrado se puede hacer inestable (Anexo 1.1).

Los procesos de flujo a travs de tubos y tanques son comunes en el control de

procesos. Los flujos estn estrechamente relacionados con la velocidad de

produccin. De esta manera la dinnica de los procesos cambia cuando tambin

lo hace la velocidad de produccin, y el controlador que estaba correctamente

ajustado para una velocidad de produccin no va a trabajar necesariamente bien

para otras velocidades. [12]

Considere el control de concentracin en un tanque para un fluido que fluye a

travs de una tubera. La concentracin en el interior de la tubera es cin. Sea el

volumen de la tubera Vd y el volumen del tanque Vm. Adems, sea el flujo q y la

concentracin en el tanque c.

El balance de masa est dado por

( ) ( ) ( ) ( )( )m indc tV q t c t cdt = t donde

( )dV

q t =


16

introduce

( )mVT

q t=

Para un flujo fijo, es decir, cuando q(t) es constante, el proceso tiene la funcin

transferencial

( )0 1seG ssT

= +

La dinmica es caracterizada por un tiempo de retardo y una dinmica de primer

orden (Anexo 2). La constante de tiempo T y el tiempo de retardo son

inversamente proporcionales al flujo q.

El pico mximo aumenta con el decremento del flujo, y el sistema se comporta

lento al aumentar el flujo. Para un funcionamiento seguro es una buena prctica

ajustar el controlador en flujos lentos (Anexo 2.1).

La dinmica de los aviones cambia significativamente con la velocidad, altitud,

ngulo de ataque, y otros parmetros. Los sistemas de control como los

autopilotos y los sistemas de aumento de la estabilidad comenzaron a usarse

hace tiempo. Estos sistemas estn basados en realimentacin lineal con

coeficientes constantes. Esto era eficiente cuando la velocidad y la altitud eran

bajas, pero las dificultades aparecieron cuando estas incrementaban. Los

problemas se hicieron mayormente visibles en vuelos supersnicos. El control de

vuelos fue una de las principales razones para el desarrollo del control

adaptativo (Anexo 3).

El principal problema en el diseo de autopilotos para la direccin de un barco

es compensar las fuerzas perturbantes que actan en el barco a causa del

viento, las olas y la corriente. Las olas tienen componentes peridicos fuertes. La

frecuencia dominante de una ola puede cambiar cuando las condiciones del


17

tiempo van desde una ligera brisa hasta un viento fuerte. La frecuencia de las

fuerzas generadas por las olas puede variar mucho ms debido a que esto es

influenciado tambin por la velocidad y la direccin del barco. [12]

En el control de procesos la principal herramienta es frecuentemente ejecutar

una regulacin precisa. La reduccin moderada en las fluctuaciones de las

variables de calidad puede dar ahorros significativos. Si las perturbaciones

tienen alguna regularidad estadstica, es posible obtener significativas mejoras

en la calidad del control teniendo un controlador que es ajustado a una

caracterstica particular de la perturbacin.

En la prctica hay diversas fuentes de variaciones, y esto es usualmente la unin

de varios fenmenos. Las razones de las variaciones en muchos casos no son

entendidas completamente. Cuando la fsica de los procesos es conocida (como

en los aviones), es posible determinar los parmetros de un controlador

apropiado para diferentes condiciones de operacin mediante la linealizacin de

los modelos y usando otros mtodos para el diseo del control. Este es una va

usual para el diseo de autopilotos de aviones.

Existen procesos industriales que son muy complejos y no son bien

comprendidos, debido a que no es econmico hacer investigaciones para saber

las causas de sus variaciones. Los controladores adaptativos pueden ser una

buena alternativa en estos casos. En otras situaciones, la dinmica es conocida,

pero otras partes no. Un ejemplo tpico son los robots, para los cuales la

geometra, el motor y las herramientas no cambian pero la carga s. En estos

casos tiene una gran importancia el uso del conocimiento aprovechable y la

estimacin y adaptacin solo de la parte desconocida del proceso.

1.4 Control Adaptativo Directo e Indirecto

Un controlador adaptativo est formado por la combinacin de un estimador de

parmetros on-line, el cual provee la estimacin de los parmetros desconocidos

en cada instante de tiempo, con la ley de control para el caso de parmetros


18

conocidos. El camino del estimador de parmetros es combinado con la ley de

control, lo cual da dos diferentes aproximaciones. [13]

En la primera aproximacin, referida al control adaptativo indirecto, los

parmetros de la planta son estimados on-line y los parmetros del controlador

son entonces calculados mediante ecuaciones algebraicas de diseo usando las

estimaciones de los parmetros desconocidos de la planta. El diseo es basado

en un modelo explcito de la planta (Figura 1.1).

Figura 1.1. Diagrama en bloque del control adaptativo indirecto.

En el control adaptativo indirecto, el modelo de la planta P(*) es parametrizado

con respecto al vector de parmetros desconocidos *.

En la segunda aproximacin, referida al control adaptativo directo, el modelo de

la planta es parametrizado en funcin de los parmetros del controlador, que son

estimados directamente de la ley de adaptacin sin clculos intermedios que

envuelven a los estimados de los parmetros de la planta. El diseo es basado

en la estimacin de un modelo implcito de la planta (Figura 1.2).


19

Figura 1.2. Diagrama en bloque del control adaptativo directo.

Existen dos diseos comunes de control adaptativo directo: el diseo de

Lyapunov y el diseo del gradiente, los cuales sern tratados en el captulo 2.

En el control adaptativo directo, el modelo de la planta P(*) es parametrizado

en trminos del vector de parmetros desconocidos del controlador c*, para que

C(c*) conozca los requerimientos de ejecucin, para obtener el modelo de la

planta Pc(c*) con exactamente las mismas caractersticas de entrada salida de

P(*).

El diseo de C(c) trata a la estimacin c(t) (en el caso de control adaptativo

directo) o a la estimacin (t) (en el caso de control adaptativo indirecto) como si

ellos fueran los parmetros verdaderos. Esta aproximacin de diseo es llamada

equivalencia certeza y puede ser usada para generar una amplia clase de

esquemas de control adaptativo mediante la combinacin de diferentes

algoritmos de estimacin de parmetros on-line con diferentes leyes de control.

[13]

La idea anterior se puede explicar como que las estimaciones de parmetros

c(t) y (t) convergen a un valor cierto c* y *, respectivamente, el controlador

adaptativo C(c) tiende a ser alcanzado por C(c*) en el caso de parmetros

conocidos.


20

Un controlador adaptativo puede ser definido como un controlador con

parmetros ajustables y un mecanismo de adaptacin. La construccin de un

controlador adaptativo contiene los siguientes pasos:

Caracterizar el comportamiento deseado del sistema en lazo cerrado Determinar una apropiada ley de control con parmetros ajustables. Encontrar el mecanismo de ajuste de los parmetros. Implementar la ley de control.

1.5 Esquemas de control adaptativo

Un controlador adaptativo, siendo no lineal, es ms complicado que un

controlador de ganancia fija. Antes de intentar usar un controlador adaptativo, es

muy importante investigar si el problema de control puede ser resuelto por un

ordinario lazo cerrado con ganancia fija. Uno de los procedimientos para decidir

si el control adaptativo puede ser usado es el mostrado en la figura 1.3.

El comportamiento del controlador es lo primero a considerar. Si los

requerimientos son moderados, puede ser usado un controlador con parmetros

constantes y ajuste conservativo. Con altas demandas en la ejecucin, otras

soluciones pueden ser consideradas. Si la dinmica del proceso es constante,

se puede usar un controlador con parmetros fijos. Los parmetros del

controlador pueden ser obtenidos usando auto ajuste. [14]

Si la dinmica del proceso o la naturaleza de las perturbaciones son variantes,

resulta provechoso cambiar los parmetros del controlador para compensar

estas variaciones. Si estas son predecibles desde seales medidas, se puede

usar la tcnica de ganancia programada, tratada en el epgrafe 1.5.1, porque es

simple y brinda una ejecucin superior y ms robusta que la adaptacin continua

vista en el epgrafe 1.6.3. Las variaciones causadas por las no linealidades en

los lazos de control son ejemplos tpicos. El auto ajuste puede ser usado para

reconstruir los programas de las ganancias. [14]


21

Figura 1.3. Procedimiento para decidir qu tipo de controlador usar.

Existen otros casos donde las variaciones en la dinmica del proceso no son

pronosticables. Ejemplos tpicos son los cambios debido a variaciones

inmedibles en el material como el desgaste, la suciedad, etc. Estas variaciones

no pueden ser manejadas mediante ganancia programada, puesto que la

variable no programada est disponible, pero debe ser tratada con adaptacin.

Es frecuente usar un procedimiento de auto ajuste para inicializar el controlador

adaptativo. Esto es llamado a veces pre-ajuste o ajuste inicial.

1.5.1 Ganancia programada

En muchos casos es posible encontrar variables medibles que se correlacionan

bien con los cambios en la dinmica del proceso. Estas variables pueden ser

usadas para cambiar los parmetros del controlador. Este mtodo es llamado

ganancia programada porque el esquema fue originalmente usado para medir la


22

ganancia y programar el controlador para compensar por los cambios en la

ganancia del proceso. [12]

Figura 1.4. Diagrama en bloque del sistema con ganancia programada.

El sistema puede ser visto como que tiene dos lazos. El lazo interno est

compuesto por el proceso y el controlador, y el lazo externo que ajusta los

parmetros del controlador en base a las condiciones de operacin. La ganancia

programada puede ser contemplada como un mapeo de los parmetros del

proceso en funcin de los parmetros del controlador. Puede ser implementada

como una funcin o una tabla.

El concepto de ganancia programada se origin con el desarrollo de los

sistemas de control de vuelo. En esta aplicacin la altitud es medida por

sensores y usada como variable auxiliar. En el control de procesos la velocidad

de produccin puede ser tambin escogida como una variable auxiliar o

programada, teniendo en cuenta que las constantes de tiempo y los retardos son

inversamente proporcionales a la velocidad de produccin.

La ganancia programada es una tcnica muy usada para reducir los efectos de

las variaciones de los parmetros.


23

1.5.2 Sistema Adaptativo segn Modelo de Referencia (MRAS)

El Sistema Adaptativo segn Modelo de Referencia (MRAS) fue originalmente

propuesto para resolver problemas en los cuales las especificaciones de

ejecucin estaban dadas en trminos de un modelo de referencia. Este modelo

plantea cmo la salida del proceso ideal debe responder a una seal de

comando. [12]

Figura 1.5. Diagrama en bloque del sistema adaptativo segn modelo de

referencia (MRAS).

El sistema consta de dos lazos. El lazo interior es un lazo ordinario de

realimentacin compuesto por el proceso y el controlador. El lazo exterior ajusta

los parmetros del controlador de tal manera que el error, el cual es la diferencia

entre la salida del proceso y y la salida del modelo ym, sea pequeo. El MRAS

fue originalmente introducido para el control de vuelos. En este caso el modelo

de referencia describe la respuesta deseada del avin para el movimiento de la

palanca de mando.


24

El principal problema del MRAS es determinar el mecanismo de ajuste para

obtener un sistema estable cuyo error converja a cero. El siguiente mecanismo

de ajuste de parmetros, llamado regla MIT, fue usado en el MRAS original:

d eedt

=

En esta ecuacin, e = y - ym denota el error del modelo, es un parmetro del

controlador y e/ es la derivada sensitiva del error con respecto al parmetro

. El parmetro determina la velocidad de adaptacin. En la prctica es

necesario hacer aproximaciones para obtener la derivada sensitiva. La regla MIT

puede ser mirada como un mtodo de gradiente para minimizar el cuadrado del

error e2. Esta tcnica se trata con ms detalles en el captulo 2 mediante

ejemplos de simulacin.

1.5.3 Reguladores Self-tuning (STR)

Los esquemas adaptativos discutidos anteriormente son llamados mtodos

directos, los cuales fueron explicados en el epgrafe 1.4, porque la regla de

ajuste dice directamente cmo los parmetros del controlador van a ser

ajustados. Un esquema diferente es obtenido si las estimaciones de los

parmetros del proceso son actualizadas y los parmetros del controlador son

obtenidos de la solucin de un problema de diseo usando los parmetros

estimados. [12]


25

Figura 1.6. Diagrama en bloque del regulador self-tuning (STR).

El sistema est compuesto por dos lazos. El lazo interior consiste en el proceso

y en el controlador en el lazo ordinario de realimentacin. Los parmetros del

controlador son ajustados por el lazo exterior, el cual est compuesto por un

estimador de parmetros recursivo y el diseo del controlador. A veces no es

posible estimar los parmetros del proceso sin introducir seales de control o

perturbaciones. Note que el sistema puede ser visto como una automatizacin

del modelado y diseo del proceso, en la que el modelo del proceso y el diseo

del control son ajustados cada cierto perodo de muestreo. El controlador con

esta estructura es llamado regulador self-tuning (STR) para enfatizar en que el

controlador automticamente ajusta sus parmetros para obtener las

propiedades deseadas del sistema a lazo cerrado.

El diseo del controlador representa una solucin on-line al problema de diseo

para el sistema con parmetros conocidos. Este es el fundamento del problema

de diseo. Tal problema puede estar asociado con ms esquemas de control

adaptativos, pero esto es dado indirectamente. Evaluar los esquemas de control

adaptativo es til para encontrar el fundamento del problema de diseo porque

esto va a dar las caractersticas del sistema bajo condiciones ideales cuando los

parmetros son exactamente conocidos.


26

El esquema del STR es muy flexible con respecto a la eleccin del fundamento

del diseo y de los mtodos de estimacin. Varias combinaciones han sido

exploradas. Los parmetros del controlador son ajustados indirectamente por la

va del clculo del diseo. Esto es posible para que reparametrizando el proceso

el modelo pueda ser expresado en trminos de los parmetros del controlador.

Esto da una simplificacin significante del algoritmo porque los clculos del

diseo son eliminados y los parmetros del controlador son directamente

ajustados.

En el STR los parmetros del controlador o los parmetros del proceso son

estimados en tiempo real. La estimacin es entonces usada como si ellos fueran

iguales a los parmetros verdaderos (las incertidumbres de la estimacin no son

consideradas). Esto es llamado principio de equivalencia certeza. En varios

esquemas de estimacin esto es posible para obtener una medicin de la

calidad de la estimacin. [12] Esta tcnica es desarrollada en el captulo 3

aplicndola al control de un proceso con parmetros variantes.

1.6 Aplicaciones

El nmero de aplicaciones ha aumentado drsticamente con el advenimiento de

los microprocesadores, los cuales han hecho la tecnologa costosa y efectiva.

Hoy en da un gran nmero de lazos de control industrial estn bajo control

adaptativo como ya se ha mostrado en este captulo. En la base del producto y

sus usos, est claro que las tcnicas adaptativas pueden ser usadas de muchas

maneras diferentes.

1.6.1 Ajuste automtico

La aplicacin ms usada est en los controladores de ajuste automtico, en los

cuales los parmetros son ajustados automticamente por la demanda del

operador. Despus del ajuste los parmetros se mantienen constantes.


27

Aunque el ajuste automtico se usa ampliamente en controladores simples

tambin es beneficioso para controladores ms complicados. Un mecanismo

para el ajuste automtico es a menudo necesario para conseguir la escala de

tiempo correcta y encontrar el valor inicial para un controlador adaptativo ms

complejo. La principal ventaja de usar un ajustador automtico es que simplifica

el ajuste drsticamente, y al mismo tiempo contribuye para mejorar la calidad de

control. Los ajustadores han sido tambin desarrollados para otras aplicaciones

estndar como los controles de motor.

1.6.2 Programacin de ganancia

La ganancia programada, tratada en el epgrafe 1.5.1, es una poderosa tcnica

avanzada y de fcil uso. La clave del problema es encontrar las variables

programadas adecuadas, o sea, variables que caracterizan las condiciones de

operacin. Los parmetros del controlador son determinados por ajustadores

automticos cuando el sistema est siendo utilizado en una condicin operativa.

Los valores del parmetro son almacenados en una tabla. El procedimiento es

repetido hasta que todas las condiciones de las operaciones son cubiertas. De

esta manera es fcil instalar y ajustar la programacin de ganancia dentro de un

sistema controlador de computadoras. La nica facilidad requerida es una tabla

para almacenar y volver a llamar los parmetros controladores. [15]

1.6.3 Adaptacin continua

Hay varios casos en los cuales el proceso o las caractersticas de perturbacin

son cambiadas continuamente. Entonces se necesita la adaptacin continua de

los parmetros del controlador. El MRAS visto en el epgrafe 1.5.2 y el STR

explicado en el epgrafe 1.5.3 son los ms comunes para el ajuste de

parmetros. Hay muchas maneras diferentes de usar las tcnicas. En algunos

casos, es natural asumir que el proceso es descrito por un modelo lineal general.

En otros casos, partes del modelo son conocidos y solo algunos parmetros son

ajustados. [15]


28

Como el control adaptativo es una tecnologa relativamente nueva, hay

experiencia limitada para su uso en productos. Una observacin a considerar es

que la interfaz humano - mquina es muy importante. Los controladores

adaptativos tambin tienen sus propios parmetros, que deben ser escogidos.

Los controladores sin ningn parmetro ajustado externamente pueden ser

designados para aplicaciones especficas en las cuales el propsito del control

puede ser sealado a priori. Los autopilotos para misiles y barcos son ejemplos

tpicos. De todas maneras, en muchos casos no es posible especificar el

propsito del control a priori. Es al menos necesario decirle al controlador qu se

espera que haga. La adaptacin tambin puede ser combinada con la ganancia

programada. La ganancia programada para introducir rpidamente los

parmetros dentro de la regin correcta, y la adaptacin puede ser entonces

usada para el ajuste fino.

1.6.4 Productos industriales

Los productos industriales pueden ser generalmente divididos en dos categoras

diferentes: controladores estndar y sistemas de control distribuido.

Los controladores estndar forman la categora ms larga. Ellos estn

tpicamente basados en algunas versiones del algoritmo PID. Prcticamente

todos los controladores de lazos simples usan algunas formas de adaptacin. El

ajuste automtico es implementado de tal manera que el usuario solo tiene que

apretar un botn para ejecutar el ajuste. [15]

Los sistemas de control distribuidos son sistemas de propsitos generales

primeramente para aplicacin de control de procesos. Estos sistemas pueden

ser vistos como una caja de herramienta para la implementacin de una amplia

variedad de sistemas de control. Tcnicas adaptativas son introducidas en el

sistema de distribucin, aunque el coeficiente de desarrollo no es tan rpido

como para un controlador de lazo simple.


29

1.7 Ejemplo de aplicacin

El control de la velocidad y de la posicin de un accionamiento elctrico de

corriente continua que mueve una carga mecnica es una aplicacin real de

control adaptativo, la cual est recogida en el problema de la robtica descrito en

el epgrafe 1.2.

Para ver el comportamiento de este sistema se obtiene la funcin transferencial,

dadas las ecuaciones elctricas y mecnicas, considerando como entrada la

tensin aplicada a la armadura y como salida la velocidad angular.

( ) ( )21

1m a m m aKG s

T T s T T s = + + + +

Donde:

Ta es la constante de tiempo de la armadura del motor que evala la rapidez

con que vara la corriente si la velocidad permanece constante.

Tm es la constante de tiempo electromecnica del motor que evala la rapidez

con que vara la velocidad si se desprecia la constante de tiempo de la

armadura. Esta constante est relacionada con K que es el denominado

coeficiente de acoplamiento electromecnico.

es la constante de friccin viscosa que cuantifica el amortiguamiento del

elemento provocado por la carga.

En algunos casos sucede que la inercia de la carga o mecanismo accionado es

muy grande y la constante de tiempo electromecnica del motor es mucho

mayor que la de la armadura desprecindose sta ltima [15].


30

El elemento se convierte en uno de primer orden y su funcin de transferencia

sera:

( )1

1m

m

m

K TG ss

T

= ++

En el caso del control de la velocidad, el proceso se caracteriza por la funcin

transferencial:

( ) ( )1.1bG ss a

= +

Cuando se controla posicin, se introduce al sistema la accin integral, siendo el

sistema caracterizado por la funcin transferencial:

( ) ( ) ( )1.2bG s

s s a= +

El parmetro b, que representa la ganancia del proceso, incluye al convertidor

de electrnica de potencia, el cual es un elemento variante si se considera que

el sistema trabaja en una amplia gama de valores de velocidad, por lo que se

puede decir que es un parmetro variante en el tiempo. El parmetro a contiene

al coeficiente de friccin viscoso, el cual introduce no linealidades que hacen que

vare.

Es necesario destacar que estos modelos pueden ser aplicados en otras

esferas, como en procesos industriales, lo que le da a la aplicacin un carcter

ms general.


31

En el captulo 1 se aborda el caso del control de la velocidad usando un sistema

adaptativo segn modelo de referencia basado en la regla MIT y en la teora de

la estabilidad de Lyapunov.

En el captulo 2 se trata el caso de control de la posicin implementando un

regulador self-tuning.

aptulo2SistemasAdaptativossegnModelodeReferencia(MRAS)

Captulo 2: Sistemas Adaptativos segn Modelo de Referencia (MRAS)

33

En este captulo se exponen las principales caractersticas del MRAS para

realizar el control de la velocidad del accionamiento elctrico de corriente

continua descrito en el epgrafe 1.7, considerando, en un primer caso, que

solamente vara la ganancia para introducir el diseo de un MRAC usando la

regla MIT que fue mencionada en el epgrafe 1.5.2. Adems, se desarrolla la

misma aplicacin considerando que varan los dos parmetros del proceso y se

hace una comparacin de los dos mtodos que se utilizan para obtener el

mecanismo de ajuste: regla MIT y teora de la estabilidad de Lyapunov.

2.1 Introduccin

En el epgrafe 1.5.2 se explican las caractersticas ms generales del Sistema

Adaptativo segn Modelo de Referencia. A continuacin se exponen, con ms

detalles, los principales elementos que conforman a esta tcnica adaptativa

(figura 2.1) como base para simular un ejemplo real y observar su

comportamiento.

Figura 2.1. Diagrama en bloques del Sistema Adaptativo segn Modelo de

Referencia (MRAS).


34

La planta se asume con una estructura conocida, aunque contiene parmetros

desconocidos. Para plantas lineales esto significa que el nmero de polos y

ceros son conocidos, pero su localizacin no. Para plantas no lineales esto

implica que la estructura de las ecuaciones dinmicas es conocida, pero

algunos parmetros no. [13]

El modelo de referencia especifica la respuesta ideal del sistema de control

adaptativo, o sea, de la planta, cuyo mecanismo de adaptacin debe tratar de

ajustar los parmetros.

La eleccin del modelo de referencia es fundamental en el diseo del sistema de

control adaptativo, pues una eleccin poco realista conlleva a la inestabilidad del

proceso controlado o simplemente a la no obtencin del objetivo propuesto. Se

debes satisfacer dos requerimientos principalmente:

o Debe reflejar las especificaciones deseadas como el tiempo de subida, el tiempo de establecimiento, el pico mximo o las caractersticas en el

dominio de la frecuencia.

o El comportamiento ideal debe ser ejecutable por el sistema de control adaptativo, es decir, la estructura del modelo de referencia (orden y grado

relativo) debe corresponder a la estructura asumida del modelo de la

planta.

El controlador es usualmente parametrizado por un nmero de parmetros

ajustables (implicando que se puede obtener una familia de controladores

asignando varios valores a los parmetros ajustables). Cuando los parmetros

de la planta son conocidos, los parmetros del controlador correspondientes

pueden hacer que la salida de la planta sea idntica a la del modelo de

referencia. Cuando los parmetros de la planta son desconocidos, el mecanismo

de adaptacin ajusta los parmetros del controlador para lograr la convergencia

perfecta. [13]


35

El mecanismo de adaptacin ajusta los parmetros en la ley de control. En el

MRAS, la ley de adaptacin busca parmetros que hagan que la respuesta de la

planta bajo el control adaptativo llegue a ser la misma que la del modelo de

referencia, es decir, el objetivo de la adaptacin es hacer que el error converja a

cero.

El mecanismo de ajuste de los parmetros en el MRAS puede ser obtenido de

dos maneras: usando el mtodo del gradiente (regla MIT) o aplicando la teora

de la estabilidad.

2.2 Sistema con ganancia de camino directo adaptable usando la

regla MIT

La regla MIT es el mtodo original del Control Adaptativo segn Modelo de

Referencia. El nombre es derivado del Instituto Tecnolgico de Massachussets,

en cuyos Laboratorios de Instrumentacin fue desarrollado.

Cuando diseando un MRAC se usa la regla MIT, el diseador escoge: el

modelo de referencia, la estructura del controlador y las ganancias ajustables del

mecanismo de ajuste.

Para ver cmo la regla MIT puede ser usada para formar un controlador

adaptativo, considere un accionamiento elctrico de corriente continua con

ganancia de camino directo adaptable en el que se desea controlar la velocidad

y se considera al parmetro a = 1 (epgrafe 1.6).

El proceso es lineal con funcin transferencial:

( )( ) ( ) 1

Y s kkG sU s s

= = +

Donde el parmetro k es desconocido y se escoge como k=1.


36

La respuesta deseada a lazo cerrado es especificada por un modelo cuya salida

es ym. Este modelo de referencia puede ser formado con el valor deseado de k,

y a travs de la adaptacin de la ganancia de camino directo, la respuesta de la

planta puede igualarse a ste. El modelo de referencia es escogido como la

planta multiplicada por la constante deseada k0:

( )( ) ( )sGksUsY

o

c=

El parmetro k0 se asumir con valor 2.

Para simular el ejemplo se crear una librera que contiene cuatro bloques

(figura 2.2): un generador de referencia que da la seal de comando, la funcin

transferencial de la planta, la funcin transferencial del modelo y el mecanismo

de adaptacin.

Figura 2.2. Bloques de la librera.

El diagrama en bloques del sistema descrito es el mostrado en la figura 2.3,

donde se puede observar la misma estructura que el esquema dado en la figura

2.1.


37

Figura 2.3. Diagrama en bloques en Simulink del sistema con ganancia de

camino directo adaptable.

El generador de referencia es un subsistema (figura 2.4) que contiene un

generador de seales y una constante que representa el offset para desplazar la

seal si se desea en el eje de las coordenadas.

Figura 2.4. Subsistema de Generador de referencia.

Para presentar la regla MIT se considera un sistema a lazo cerrado donde el

controlador tiene un parmetro ajustable .

Para obtener el mecanismo de ajuste se escoge el controlador feedforward

cuu =


38

Donde u es la seal de control y uc es la seal de comando, la funcin

transferencial de la seal de comando a la salida se convierte en kG(s). Esta

funcin transferencial es igual a Gm(s) si el parmetro es escogido como k0/k.

Utilizando la regla MIT se obtendr el mtodo para ajustar el parmetro

cuando k no es conocida.

El MRAC comienza definiendo el error e, el cual es simplemente la diferencia

entre la salida de la planta y la salida del modelo de referencia.

( ) ( ) 1 21 1m c o c c

e y y kG s u k G s u u ucs s = = = + +

Donde uc es la seal de comando, ym es la salida del modelo, y es la salida del

proceso y es el parmetro ajustable.

Como se ha observado, esta expresin del error contiene el parmetro , el cual

va a ser ajustado.

De este error se forma la funcin de costo J(), donde es el parmetro que se

adapta en el controlador. La eleccin de esta funcin de costo va a determinar

cmo los parmetros son actualizados.

A continuacin se muestra una funcin de costo tpica:

( ) ( )212

J e =

Para encontrar cmo se actualiza el parmetro , la ecuacin necesita estar en

funcin de la variacin en . Si la meta es minimizar este costo en relacin al

error, hay que cambiar los parmetros en direccin al gradiente negativo de J.

Este cambio en J es asumido para ser proporcional al cambio en . Entonces la

derivada de es igual al cambio negativo en J.


39

Del mtodo del gradiente se obtiene:

eeJdtd ==

La derivada parcial e/, la cual es llamada derivada sensitiva del sistema,

determina cmo el error es influenciado por el parmetro ajustable. Si se asume

que la variacin del parmetro es ms lenta que otras variables del sistema,

entonces la derivada e/ puede ser evaluada bajo la suposicin de que es

constante. El parmetro determina la velocidad de adaptacin.

El controlador puede contener varios parmetros que requieran de ajuste. Esta

ecuacin se aplica adems en estos casos. El smbolo puede ser interpretado como un vector y / como el gradiente del error con respecto a los parmetros.

Otra alternativa es escoger la funcin de costo:

( ) ( )eJ =

Obteniendo mediante el mtodo del gradiente:

( )esignedtd

c =

( )1, 00, 01, 0

edonde sign e e

e

>= =


40

El primer MRAS que fue implementado fue basado en esta frmula. Sin

embargo, hay otras posibilidades, por ejemplo,

( )d esign sign edt

=

La versin en tiempo discreto de este algoritmo es usado en las

telecomunicaciones, requiriendo una simple implementacin y rpidos clculos.

En este caso la funcin de costo escogida es:

( ) ( ) ee

dtdeJ == 2

21

Para determinar la regla de ajuste, la derivada sensitiva est dada en trminos

de la salida del modelo:

( ) c mo

e kkG s u yk

= =

Finalmente, la regla MIT es aplicada para dar una expresin que ajuste el

parmetro . Las constantes k y k0 estn combinadas dentro de (gamma).

( )2.1m mo

d k y e y edt k = =

El mecanismo de adaptacin es el subsistema (figura 2.5) que ajusta los

parmetros del controlador segn la ecuacin 2.1. Tiene como parmetro a

gamma, el cual determina la velocidad de adaptacin (Anexo 4).


41

Figura 2.5. Subsistema de Mecanismo de adaptacin.

Las propiedades de este sistema pueden ser ilustradas mediante la simulacin

en Matlab utilizando la herramienta Simulink. La entrada uc es una sinusoide con

frecuencia de 1 rad/s.

La figura 2.6 muestra que la salida del proceso se aproxima a la salida del

modelo.

Figura 2.6. Salida del proceso y del modelo para =1 en la simulacin de un

MRAC para el ajuste de la ganancia de camino directo.

La figura 2.7 muestra que la convergencia del parmetro hacia el valor correcto

es rpida cuando la ganancia de adaptacin es 1 y que la velocidad de

convergencia depende de la ganancia de adaptacin. Esto es importante para

conocer un valor razonable de este parmetro. Instintivamente, se puede


42

esperar que los parmetros converjan lentamente para pequeos y que la

velocidad de convergencia incremente con . Las simulaciones indican que esto

es cierto para pequeos valores de , pero tambin que el comportamiento es

impredecible para grandes valores de .

Figura 2.7. Parmetro del controlador ajustable en la simulacin de un MRAC

para el ajuste de la ganancia de camino directo.

Es importante notar que la regla MIT por s misma no garantiza convergencia o

estabilidad. Un diseo MRAC usando regla MIT es muy sensible a las

amplitudes de las seales. Como regla general, el valor de es pequeo. El

ajuste de es crucial para la velocidad de adaptacin y la estabilidad del

controlador.

Note que no se necesitaron hacer aproximaciones en el ejemplo anterior.

Cuando la regla MIT es aplicada en problemas ms complicados, es necesario

usar aproximaciones para obtener las derivadas sensitivas como se muestra en

el ejemplo del epgrafe 2.3.


43

2.3 Diseo de MRAS usando la regla MIT

Para el diseo del MRAS se considerar el control de la velocidad de un

accionamiento elctrico de corriente continua que mueve una carga mecnica.

La funcin transferencial que describe el comportamiento del sistema

considerando como entrada la tensin aplicada a la armadura y como salida la

velocidad angular fue dada en la ecuacin 1.1. Debido a lo expuesto en el

epgrafe 1.6, se tomarn los valores a = 1 y b = 0.5.

Considere el sistema descrito por el modelo:

( )2.2dy ay budt

= +

Donde u es la variable de control, y es la salida medida y a y b son los

parmetros de la planta, los cuales son desconocidos.

( )( )

0.51

Y sU s s

= +

Se desea obtener el sistema en lazo cerrado descrito por:

mm m m c

dy a y b udt

= +

Donde uc es la seal de referencia externa y am y bm son parmetros constantes.

Estos son escogidos como am=bm=2:

( )( )

22

m

c

Y sU s s

= +

Con la herramienta Simulink del Matlab, se crear una librera (figura 2.8) para

hacer ms fcil el diseo de este sistema. Esta contiene cinco bloques que


44

representan: generador de referencia, la funcin transferencial del modelo de

referencia, la funcin transferencial de la planta o proceso y los dos mecanismos

de ajuste de los parmetros del controlador.

Figura 2.8. Bloques de la librera de MRAS de primer orden usando la regla

MIT.

El diagrama en bloque del sistema es el mostrado en la figura 2.9.

Figura 2.9. Diagrama en bloques de un MRAS para el sistema de primer orden.

El generador de referencia es el que da la seal de comando. Es un subsistema

(figura 2.10) que permite generar varios tipos de onda (Signal Generator) con

diferentes parmetros (amplitud, perodo) y posibilita desplazarlas en el eje de


45

las coordenadas (offset) o invertirlas con respecto al eje de las absisas (con

ganancia negativa).

Figura 2.10. Subsistema de Generador de referencia.

Para obtener el mecanismo de ajuste se escoge el controlador:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2.3cu t u t y t = Donde 1 y 2 son ganancias de realimentacin variables. Con esta ley de

control, combinando las ecuaciones 2.2 y 2.3, la dinmica de lazo cerrado es:

( ) (2 1 2.4cdy a b y b udt = + + ) El controlador tiene dos parmetros. Si stos son escogidos como:

( )0

1 1

02 2

2.5

m

m

bb

a ab

= =

= =

La relacin entrada-salida del sistema y el modelo es la misma. Esto es llamado

modelo de seguimiento perfecto.


46

En este problema de control adaptativo, desde que a y b son desconocidos, la

entrada de control puede lograr que la ley de adaptacin busque continuamente

las ganancias correctas basada en el error y ym, as como hacer que y tienda a

ym asintticamente.

Para aplicar la regla MIT, se introduce el error:

me y y= Donde y es la salida del sistema a lazo cerrado. De la ecuacin 2.4 se obtiene:

1

2c

by us a b

= + +

Las derivadas sensitivas son obtenidas mediante la derivada parcial con

respecto a los parmetros del controlador 1 y 2:

1 2c

e b us a b

= + +

( )2

12

2 22c

be bu ys a bs a b

= = ++ + +

Estas frmulas no pueden ser usadas directamente porque los parmetros del

proceso a y b no son conocidos. Es necesario hacer aproximaciones.

Una posible aproximacin est basada en la observacin de que

02 ms a b s a+ + = +

cuando los parmetros dan un modelo de seguimiento perfecto.


47

Entonces se utilizar la aproximacin

2 ms a b s a+ + + la cual es razonable cuando los parmetros se acercan a sus valores correctos.

Con esta aproximacin se obtienen las siguientes ecuaciones para la

actualizacin de los parmetros del controlador:

( )1 2.6m cm

ad u edt s a = +

( )2 2.7mm

ad y edt s a = +

Los mecanismos de ajuste son los subsistemas (figura 2.11) encargados de

actualizar los parmetros del controlador segn las ecuaciones 2.6 y 2.7

obtenidas de la regla MIT. Estos tienen como parmetros a la velocidad de

adaptacin gamma y al parmetro constante am. (Anexo 5)

Figura 2.11. Subsistema de Mecanismo de ajuste segn la ecuacin 2.6

aplicando la regla MIT.


48

El comportamiento del sistema es mostrado mediante la simulacin. La seal de

entrada es una onda cuadrada de amplitud 1 y =1.

Figura 2.12. Salida del proceso y salida del modelo de un sistema de primer

orden usando MRAS.

Como se puede observar en la figura 2.12, la seal de salida del proceso sigue a

la seal de salida del modelo, comprobndose as que el error converge a cero.


49

Figura 2.13. Seal de control del sistema.

En las figuras 2.14 y 2.15 se ven los parmetros estimados para diferentes

valores de la ganancia de adaptacin .

Figura 2.14. Parmetro del controlador Theta 1 (1 ) para el MRAS de primer

orden usando regla MIT.


50

Figura 2.15. Parmetro del controlador Theta 2 (2 ) para el MRAS de primer

orden usando regla MIT.

Note que los cambios en los parmetros aumentan cuando la seal de comando

cambia y que los parmetros convergen muy lentamente. Para =1, el valor

usado en la figura 2.12, los parmetros tienen los valores 1=3.2 y 2=1.2 para

t=100. Estos valores estn lejos de los valores correctos 1=4 y 2=2, segn la

ecuacin 2.5. Sin embargo, los parmetros van a converger a los valores reales

con el incremento del tiempo. La velocidad de convergencia incrementa con el

incremento de , como se ve en las figuras 2.14 y 2.15, siendo el valor de ms

adecuado el de 5, con el cual los parmetros convergen a los valores correctos.

Un controlador adaptativo basado en la regla MIT no garantiza que el sistema a

lazo cerrado sea estable. Existen otros mtodos de diseo de controladores

adaptativos que garantizan la estabilidad del sistema como el desarrollado en el

epgrafe 2.4.


51

2.4 Diseo de MRAS usando la teora de estabilidad de Lyapunov

La estabilidad es el primer objetivo del ingeniero de control. Sin la estabilidad, el

resto de las especificaciones (rapidez del transitorio, oscilaciones reducidas,

rechazo de perturbaciones, robustez, etc.) carecen de sentido. Para el caso de

sistemas lineales el concepto de estabilidad es claro, su condicin necesaria y

suficiente es bien conocida (parte real negativa de todos los polos de la funcin

de transferencia o de los autovalores de la matriz de transicin de estados) y

existen criterios sencillos que permiten analizarla (criterios de Routh-Hurwitz y

de Nyquist). Sin embargo, en sistemas no lineales el panorama es totalmente

distinto: existen diversas definiciones de estabilidad y la mayora de los criterios

conocidos proporcionan condiciones suficientes pero no necesarias y, adems,

no suelen ser mtodos sistemticos como pueden ser los criterios mencionados

en sistemas lineales. [16]

La estabilidad de sistemas es una medida de la respuesta del sistema actual en

relacin con la respuesta nominal, la cual depende de las ecuaciones

diferenciales que describen al sistema, es decir, a sus parmetros y

estructuras.[1]

La teora de la estabilidad de Lyapunov es usada para construir algoritmos para

ajustar los parmetros en sistemas adaptativos. Para hacer esto, primero se

deriva la ecuacin diferencial del error, e = y - ym. Esta ecuacin diferencial

contiene los parmetros ajustables. Entonces se intenta hallar la funcin de

Lyapunov y un mecanismo de adaptacin tal que el error converga a cero.

Cuando se usa la teora de Lyapunov para sistemas adaptativos, se encuentra

que dV/dt es usualmente solo negativa semidefinida. El procedimiento es para

determinar la ecuacin del error y la funcin de Lyapunov con una segunda

derivada limitada.


52

Para el diseo del MRAS usando la teora de la estabilidad de Lyapunov se

considera el mismo proceso del epgrafe 2.3, el control de la velocidad de un

accionamiento elctrico de corriente continua que mueve una carga mecnica

con parmetros variantes.

En este caso se tomarn los valores de los procesos iguales a los del epgrafe

2.3, o sea, b = 0.5, a =1, bm = 2 y am = 2.

Para la simulacin de este sistema se ampliar la librera antes creada (figura

2.16) para as facilitar la utilizacin y comparacin de ambos mtodos: regla MIT

y teora de Lyapunov.

Figura 2.16. Bloques de la librera de MRAS de primer orden.

El diagrama en bloques del MRAS basado en la teora de Lyapunov para un

sistema de primer orden es el mostrado en la figura 2.17.


53

Figura 2.17. Diagrama en bloques del MRAS basado en la teora de Lyapunov.

El subsistema Generador de referencia fue explicado en el epgrafe 2.3.

Para este diseo se escoge el controlador:

1 2cu u y =

Se introduce el error:

me y y=

Para tratar que el error sea pequeo hay que derivar la ecuacin del error,

obteniendo:

( ) (2 1m mde a e b a a )m cy b b udt = + + Note que el error converge a cero si los parmetros son iguales a los valores

dados por la ecuacin 2.5. Se intentar construir un mecanismo de ajuste de

parmetros que lleve a los parmetros 1 y 2 a sus valores deseados. Para este


54

propsito, se asume que b>0 y se introduce la siguiente funcin de Lyapunov

cuadrtica:

( ) ( ) ( )2 221 2 2 11 1 1, , 2 m mV e e b a a b bb b = + + +

Esta funcin es cero cuando e es cero y los parmetros del controlador son

iguales a los valores correctos segn la ecuacin 2.4. Para la funcin de

Lyapunov V, la derivada dV/dt debe ser negativa.

La derivada es:

( ) ( )( )

( )

2 12 1

2 22

11

1 1

1

1

m m

m m

m c

d ddV dee b a a b bdt dt dt dt

da e b a a yedt

db b u edt

= + + + = + +

+ +

Si los parmetros son actualizados como:

1

2

(2.8)

(2.9)

cd u edt

d yedt

=

=

Tenemos

2m

dV a edt

=


55

La regla de adaptacin dada por las ecuaciones 2.8 y 2.9 es similar a la regla

MIT dada por las ecuaciones 2.6 y 2.7, pero las derivadas sensitivas son

reemplazadas por otras seales.

Los subsistemas de los mecanismos de ajuste de los parmetros del

controlador (figura 2.18) se disean segn lo obtenido en las ecuaciones 2.8 y

2.9. El parmetro de estos es la velocidad de adaptacin gamma. (Anexo 6)

Figura 2.18. Subsistema de Mecanismo de ajuste segn la ecuacin 2.8 basado

en la teora de Lyapunov.

La diferencia entre el diagrama en bloques del MRAS basado en la regla MIT

(figura 2.9) y el basado en la teora de Lyapunov (figura 2.17) es que no se filtran

las seales uc y y aplicando la regla de Lyapunov como se observa al hacer una

comparacin de los mecanismos de ajuste obtenidos en ambos mtodos (figuras

2.11 y 2.18). En ambos casos la ley de ajuste puede ser escrita como:

d edt =

Donde es un vector de parmetros y

[ ]Tcu y = para la regla de Lyapunov y


56

[ ]Tm cm

a u ys a

= +

para la regla MIT.

La regla de ajuste obtenida de la teora de Lyapunov es ms simple porque no

requiere de filtros de las seales. Las figuras 2.19 y 2.20 muestran la simulacin

del sistema. El comportamiento es similar al obtenido con la regla MIT.

Figura 2.19. Salida del proceso y salida del modelo de un sistema de primer

orden usando teora de Lyapunov.

Como se puede observar en la figura 2.19, la seal de salida del proceso sigue a

la seal de salida del modelo, comprobndose as que el error converge a cero.


57

Figura 2.20. Seal de control del sistema.

En las figuras 2.21 y 2.22 se ven los parmetros del controlador estimados para

diferentes valores de la ganancia de adaptacin y una comparacin con los

obtenidos mediante la regla MIT.


58

Figura 2.21. Parmetro Theta 1 (1) para el MRAS de primer orden usando

teora de Lyapunov (lneas continuas) y usando regla MIT (lneas discontinuas).

Figura 2.22. Parmetro Theta 2 (2) para el MRAS de primer orden usando

teora de Lyapunov (lneas continuas) y usando regla MIT (lneas discontinuas).


59

En los mtodos desarrollados en los epgrafes 2.3 y 2.4 se obtienen resultados

similares, pero en este ltimo se garantiza un elemento muy importante en el

control de cualquier proceso, la estabilidad.

En este captulo se desarrolla el control de la velocidad de un accionamiento

elctrico de corriente continua, dado en el epgrafe 1.7, utilizando dos mtodos

para la obtencin del mecanismo de ajuste de parmetros en un MRAC.

En el captulo 3 se implementa un STR para controlar la posicin en la misma

aplicacin dada en el epgrafe 1.7 utilizando una poderosa herramienta creada

para este fin, ya que Matlab no cuenta con ningn toolbox para el control de

sistemas variantes en el tiempo.

aptulo3ReguladorSelfTuning(STR)

Captulo 3: Regulador Self-Tuning (STR)

61

En este captulo se trata al STR como tcnica para la determinacin de los

parmetros variantes del modelo del control de la posicin del accionamiento

elctrico de corriente continua desarrollado en el epgrafe 1.7, mediante la

utilizacin de una herramienta que permite calcular dichos parmetros. Para

esto se hace un estudio del mtodo de estimacin de mnimos cuadrados

recursivo. Adems, se hace un anlisis de dos algoritmos para el diseo del

controlador por asignacin de polos: con cancelacin de ceros y sin

cancelacin de ceros, demostrando la importancia del conocimiento del

proceso para no hacer una mala eleccin y obtener resultados indeseables.

3.1 Introduccin

La determinacin on-line de los parmetros del proceso es el principal

elemento en el control adaptativo. Un estimador de parmetros, como se

explica en el epgrafe 1.5.3, aparece explcitamente como un componente del

regulador self-tuning. Adems, el esquema general del STR (figura 1.6) lo

componen

Valdivia Vazco, Yarianna

Documents

Transcript of Valdivia Vazco, Yarianna