1 Trabajo ganador delPrimer Lugar

VALUACIN DE BONOS CATASTRFICOS PARA TERREMOTOS EN MXICO. Brenda Lpez Cabrera 2 NDICE 1. INTRODUCCIN.5 1.1 ANTECEDENTES.5 1.2 OBJETIVO.6 1.3 TERMINOLOGA.7 2. SISMICIDAD EN MXICO.9 2.1 ONDAS SSMICAS Y PLACAS TECTNICAS.9 2.2 TIPOS DE SISMOS.10 2.3 ESCALAS DE MAGNITUD E INTENSIDAD.13 2.3.1 ESCALA DE INTENSIDAD MERCALLI.14 2.3.2 ESCALA RICHTER.15 2.4 INSTRUMENTACIN SSMICA.17 2.5 LOCALIZACION DE EPICENTROS, SU INTENSIDAD Y MAGNITUD.18 2.5.1 DETERMINACIN DE EPICENTROS.18 2.6 PREDICCIN DE SISMOS.19 2.6.1 PROCESO POISSON Y OTROS MODELOS.20 2.7 REGIONALIZACIN SSMICA.21 3. SISTEMAS DE TRANSFERENCIA DE RIESGOS.1 3.1 INTRODUCCIN Y OBJETIVOS DEL CAPTULO.23 3.2 REASEGURO.23 3.2.1 TIPOS DE REASEGURO.24 3.3 BONOS CATASTRFICOS.28 3.3.1 DEFINICIN DE BONO CATASTRFICO.28 3.3.2 HISTORIA.30 3.3.3 EJEMPLOS DE BONOS CATASTRFICOS.32 3.4 VENTAJAS GENERALES DEL BONO CATASTRFICO CONTRA EL REASGURO.34 3.4.1 TIPOS DE RIESGOS A LOS QUE SE ENFRENTAN LOS SISTEMAS DE TRANSFERENCIA DE RIESGOS.34 3.4.2 VENTAJAS DEL BONO CATASTRFICO.36 4.TEORA DE CLCULO.38 4.1 MODELO DE REGRESIN LINEAL.38 4.1.1 PREDICCIN DE Y CUANDO LA VARIABLE DEPENDIENTE ES ln(Y)40 4.2 SELECCIN DEL MODELO.40 3 4.2.1 CRITERIO DE INFORMACIN BAYESIANO (BIC).41 4.3 PROCESO POISSON HOMOGNEO.41 4.4 VARIABLES.42 4.4.1 MAGNITUD.42 4.4.2 PROFUNDIDAD DEL EPICENTRO.43 4.4.3 LONGITUD DEL EPICENTRO.44 4.4.4 LATITUD DEL EPICENTRO.45 4.4.5 DAOS.45 4.5 MODELOS USADOS PARA EL CLCULO DE BONOS CATASTRFICOS.47 4.5.1 FUTUROS CATASTRFICOS.47 4.5.2 MTODOS PARA CALCULAR BONOS CATASTRFICOS.48 5. ESTIMACIN DEL BONO CATASTRFICO EN MXICO.57 5.1 ANLISIS DE REGRESIN LINEAL.57 5.1.1 CONSTRUCCIN DE LA BASE DE DATOS.57 5.1.2 ELECCIN DE VARIABLES.61 5.1.3 INTERACCIN DE VARIABLES.63 5.1.4 SELECCIN DEL MODELO.63 5.1.5 VALIDACIN DEL MODELO.67 5.1.6 ANLISIS DE RESIDUALES.68 5.1.6VALORES ATPICOS.70 5.1.7 OBSERVACIONES INFLUYENTES.70 5.2 PROCESO POISSON HOMOGNEO.71 5.3 MODELAJE DEL BONO CATASTRFICO EN MXICO.73 5.3.1 BONO CATASTRFICO SIN CUPONES Y PRINCIPAL EN RIESGO.74 5.4 SIMULACIN DEL BONO CATASTRFICO PARA TERREMOTOS EN MXICO.92 6. CONCLUSIN.93 7. BIBLIOGRAFA.97 7.1 BIBLIOGRAFA DE LOS DATOS OBTENIDOS PARA LA BASE DE DATOS.100 8. ANEXO106 4 NDICE DE FIGURAS. FIG. 1.SISMOS MODERADOS Y GRANDES EN MXICO.12 FIG. 2. LOS SISMOS MS IMPORTANTES EN MXICO.13 FIG.3. LOCALIZACIN DE SISMOS.18 FIG. 4. MAPA DE REGIONALIZACIN SSMICA.22 FIG. 5. SISMOS EN LA HISTORIA DE MXICO.43 FIG. 6.TEMPORADA DEL AO EN QUE OCURREN MAS SISMOS.43 FIG. 7. PROFUNDIDAD EN LA HISTORIA DE LOS SISMOS EN MXICO44 FIG 8. LONGITUD EN LA HISTORIA DE LOS SISMOS EN MXICO.45 FIG. 9. LATITUD EN LA HISTORIA DE LOS SISMOS EN MXICO.45 FIG. 10. DAOS ECONMICOS OCASIONADOS POR SISMOS EN MXICO.46 FIG. 11. ESTADOS QUE PRESENTAN ALTA SISMICIDAD.46 FIG. 12. DIAGRAMA DE PAGO DE CUPONES DEL BONO CATASTRFICO.51 FIG. 13. GRFICA DE NMERO DE MUERTES PROVOCADAS POR SISMOS.62 FIG. 15. GRFICAS DE RESIDUALES DE LOS MODELOS OBTENIDOS.69 FIG. 16. REGIN DE PAGO PARA DEFINIR EL UMBRAL DEL BONO.72 FIG.17. GRFICA DEL BONO EN EL TIEMPO.84 FIG 18. GRFICA DEL BONO CON LAMBDAS DISTINTAS.84 FIG.19. DISPONIBLES ESPERADOS DEL GOBIERNO Y DEL INVERSIONISTA.88 FIG.20. DISPONIBLES ESPERADOS DEL GOBIERNO Y DEL INVERSIONISTA A 100 AOS.89 FIG. 21. DISPONIBLES EN EL TIEMPO.90 NDICE DE TABLAS. TABLA 1. ESCALA DE INTENSIDAD MERCALLI-MODIFICADA ABREVIADA.15 TABLA 2. ESCALA RICHTER.16 TABLA 3. TABLA DE SISMICIDAD A ESCALA MUNDIAL.17 TABLA 4. ALGUNOS DATOS DE LAS VARIABLE MS IMPORTANTES PARA LA CREACIN DEL BONO CATASTRFICO.44 TABLA 5. RESIDUOS ESTNDARES.70 TABLA 6. PROBABILIDADES DE OCURRENCIA DE TERREMOTOS SUJETAS A DIFERENTES MAGNITUDES Y PROFUNDIDADES A LO LARGO DE 100 AOS DE SISMICIDAD EN MXICO.73 TABLA 7. TASAS DE INTERS INSTANTNEAS EN CASO DE NO EVENTO SUJETAS A DISTINTAS TASAS DE OCURRENCIA DEL EVENTO (LAMBDAS) .83 TABLA 8. TASAS DE INTERS EN CASO DE NO EVENTO A TRAVS DEL TIEMPO.83 TABLA 10. DISPONIBLES ESPERADOS PARA EL GOBIERNO Y EL INVERSIONISTA.86 TABLA 10. DISPONIBLES ESPERADOS PARA EL GOBIERNO Y EL INVERSIONISTA.87 TABLA 11. DISPONIBLES ESPERADOS DEL GOBIERNO Y DEL INVERSIONISTA CALCULADOS A DISTINTAS PROBABILIDADES DE OCURRENCIA.87 TABLA 12. BENEFICIOS POR DLAR QUE SE OBTIENEN POR LA OCURRENCIA O NO DEL EVENTO.91 5 VALUACINDEBONOSCATASTRFICOSPARATERREMOTOS EN MXICO. 1. INTRODUCCIN. 1.1 ANTECEDENTES. Debidoalasituacingeogrfica,Mxicoseencuentrasujetoavariosfenmenos naturales que pueden ser o no catastrficos; entre los fenmenos ms riesgosos a losqueestexpuestoelpassobresalenlossismos,quehistricamentehansido importantes, ya seapor su frecuencia, magnitud o por el dao que han ocasionado. LaocurrenciadelosdesastresenMxicohaocasionadodaosquehan representado una proporcin mayor que los ocurridos en el resto de Latinoamrica durante los ltimos 20 aos. El sismo de 1985 en la Ciudad de Mxico es sin duda ungranacontecimientoqueharepercutidonotablementeenlavidademuchas personas. Encuantoasuimpactoeconmicodestacandiversossismos:losmsintensos despus de la Revolucin fueron el temblor de Madero, en 1911 (magnitud de 7.7), eldeJaliscoen1932(magnitud8.2,intensidadVIII),eldeAcapulcoen1957 (magnitud 7.5, intensidad VIII), y el de Michoacn en 19851. En la capital mexicana y en otras ciudades delterritorio nacional, la naturaleza del pas, el tipo del subsuelo y la densidad geogrfica han propiciado el riesgo ssmico. 1 Rosenblueth, Emilio, Sismos y sismicidad en Mxico, Instituto de Ingenera, UNAM. 6 Ante tales hechos, el gobierno ha procurado fomentar una cultura de proteccin civil enlapoblacinparaenfrentarlosfenmenosssmicos.Porotraparte,eldesastre econmicoenelpashallegadoasersignificativoporelincipientedesarrollode instrumentosfinancierosylainsuficienciadelmercadodeseguros.Elgobierno ademsdeinformarycapacitaralosciudadanos,haaceptadoydadoaconocer, enelDiariodelaNacindel23demayodel2003,lacreacindenuevos instrumentosfinancierosparalaprevencinymitigacindeeventoscatastrficos con base en conocimientos objetivos. 1.2 OBJETIVO. Debido a lo anteriormente expuesto, el propsito de esta tesis es la valuacin de los bonoscatastrficosparaterremotosenMxico,enelcualelgobiernoformaa travsdelosinversionistasfondosoreservasquelograncubrirposiblesprdidas econmicas y materiales de futuros eventos catastrficos.

Enelcaptulosegundodeestatesissedesarrollalainformacinreferentealos sismosocurridosenMxicodesde1900a2000,suscausasysusprincipales caractersticas.Enelcaptulotercerosehaceunadescripcindelosbonos catastrficos,algunosejemplosdebonoscatastrficos,sudiferenciaconel Reaseguro, sus ventajas y desventajas generales2 y los diferentes tipos de riesgos a los queestn expuestos ambosinstrumentos. En el captulocuarto se explica el mtodo de regresin lineal que se utiliza para modelar la severidad de los sismos, el ProcesoPoissonHomogneoquemodelalafrecuenciadelossismosyelCriterio deInformacinBayesianocomoelmtodoparaseleccionarelmejormodeloa estudiar.Asimismo,seexplicanlasvariablesquetienenmayorimpactoenlos daos causados por los sismos y finalmente se termina el captulo con unabreve explicacin de modelos usados para el clculo de bonos catastrficos. En el ltimo captulosepresentaelclculodelbonocatastrficoparaterremotosenMxico. 2Nosedesarrollarlapartedecostos,paramayorinformacinconsultar:Croson,DavidC.; Keureuther,HowardC.;CustomizingReinsuranceandCatbondsforNaturalHazardRisks,Paper presented at Conference on Global Change and Catastrophic risk Manegement, 1999. 7 Paraellosetuvoqueconstruirlabasededatosdelosdaoseconmicos ocasionadosporcatstrofescausadasporsismos.Secalcularonlosdaos esperadosocasionadosporsismosylaprobabilidaddeocurrenciadelevento.Se construyeelbonocatastrficoconayudadevalorespresentesactuarialesyse calculan las tasas de inters que logran dar beneficios al inversionista y al gobierno porlacomprayventadelbono.Finalmenteparaverificarqueelbonocatastrfico diseado para terremotos en Mxico funciona a largo plazo se hacen simulaciones por 1000 aos. 1.3 TERMINOLOGA. Porcatstrofesdelanaturalezaseentiendeuneventosiniestraldebaja probabilidad causado por las fuerzas naturales, que por regla general produce una multituddedaosindividualesqueafectanamuchoscontratosdeseguroy,con frecuencia, a varias partes contractuales.La magnitud siniestral de una catstrofe nodependeslodelaintensidaddelosfenmenosnaturales,sinotambinde factores en los que interviene el hombre, como formas de construccin o la eficacia de la proteccincontra catstrofes en la regin afectada. El criterio para clasificar a un evento como desastre es que cause cien o ms vctimas o prdidas econmicas significativas a nivel nacional.3

Las catstrofes de la naturaleza estn divididas en seis categoras: - Inundacin. -Tempestad. -Terremotos (incluyendo maremotos). -Sequa, incendios forestales. -Fro, heladas. -Otras (incluyendo granizo y aludes). 3 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 8 Internacionalmente, desde 1987, las tempestades son, con un promedio de $8900 millones de dlares anuales, la causa ms importante de siniestros, seguida de los terremotos,con$1600millonesdedlaresylasinundaciones,con$800millones de dlares.4 SegnlarevistaSigmadeSwissRe,lamagnituddelascatstrofesnaturalesy antropognicasaumentadesde1970.Estehechoreflejaelincrementodel potencial siniestral, que viene determinado por: -Una mayor densidad de la poblacin. -Ms valores asegurados en regiones expuestas. -Mayores concentraciones de valores en todo el mundo. SellamapeligroP,alaprobabilidaddequesepresenteuneventodecierta intensidad, tal que pueda ocasionar daos enun sitio dado. Se define como grado deexposicinE,alacantidaddepersonas,bienesysistemasqueseencuentran enun sitioconsideradoyqueposiblementeseandaadosporelevento.Sellama vulnerabilidad V, a la propensin de ser afectados por el evento; la vulnerabilidad se expresa como una probabilidad de dao5. Por lo tanto, RIESGO= Peligro* Exposicin* Vulnerabilidad = P * E * V Por la experiencia vivida, se piensa que las causas fsicas de las tempestades, las inundacionesylosterremotossonindependientesentres,loquehacequese suponga queno exista correlacin entre los siniestros ocasionados por catstrofes naturales yel mercado financiero. As, si a una cartera de acciones y obligaciones se le aaden riesgos catastrficos se logra que su dispersin disminuya. 4 Sigma, Swiss Ree, Natural Catastrophes and Man made disasters in 2001, No.1/2002. 5 Diagnstico de Peligros e Identificacin de Riesgos de Desastres en Mxico, Atlas Nacional de Riesgos de la Republica Mexicana, CENAPRED, Secretara de Gobernacin, Mxico, 2001. 9 Enpasesdesarrollados,lareconstruccindespusdelosdesastresnaturaleses financiadaporlatransferenciaderiesgo.Taltransferenciapuedeserhechaporla compradesegurosoemitiendolosllamadosBonoscatastrficos.Estos instrumentos financieros son llamados ex-ante porque son arreglados antes de que una catstrofe tenga lugar.6 2. SISMICIDAD EN MXICO. Durante el transcurso de este captulo se desarrollar la informacin referente a los sismos, suscausas, caractersticas, clasificacionesysusmedicionesenescalade MercalliyRichter.Tambinsecomentabrevementeelmtododelocalizacinde epicentros, algunas teoras de prediccin de sismos y la instrumentacin requerida para el registro de las caractersticas de los sismos.

2.1 ONDAS SSMICAS Y PLACAS TECTNICAS. Lacortezaterrestreestformadaporplacas.Elterritorionacional,asociadoal cinturnCircumpacfico,seencuentraafectadoporlamovilidaddecuatroplacas tectnicas:ladeNorteamrica,Cocos,RiverayladelPacfico.Lasplacasse muevenunaconrespectoaotrasocasionandomovimientosquealcanzanvarios centmetros por ao. Estas fuerzas de friccin que impiden el desplazamiento entre placas,generangrandesesfuerzosenelmaterialquelasconstituye.Sieste esfuerzo sobrepasa el material de la roca, ocurre entonces una liberacin repentina de la energa acumulada que se irradia enforma de ondasy que se conocen como ondas ssmicas.

Las ondas ssmicas son de varios tipos: LaondaprimariauondaP,cuyavelocidadvaradependiendodeltipoderoca, entre1100m/sy8000m/s.Estaondacomprimeyexpandelarocaenlamisma direccindesutrayectoria.Puedepropagarseatravsdeslidosylquidos.La onda secundaria u onda S, viaja a menor velocidad que la P (entre 500 y 4400 m/s) 6 Sigma, Swiss Ree, Natural Catastrophes and Man made disasters in 2001, No.1/2002. 10 Mientrassepropaga,deformaelmateriallateralmenterespectodesutrayectoria. Por esta raznno se transmite en fluidos. Elterremotosesientedelasiguientemanera,enunsitioaciertadistanciadel epicentro,primerollegalaondaPconunefectodevibracindeparedesy ventanas,segundosdespusllegalaondaS,conmovimientoverticaldearriba haciaabajoyviceversaydeladoalado.Esteeselmovimientoresponsabledel dao a las construcciones. El tercer tipo de ondas es el de las ondas superficiales, las cuales se propagan por lapartemssuperficialdelacortezaterrestre;amedidaquelaprofundidad aumenta disminuye la amplitud de su movimiento. 7 2.2 TIPOS DE SISMOS. Porsuorigen,lossismospuedenclasificarsecomonaturalesyartificiales. Asimismolossismosnaturalessedividenensismostectnicos,volcnicosyde colapso. Lossismostectnicossegeneranporinteraccindeplacastectnicas.Deestos sismos se han definido varias clases: Los sismos de subduccin se presentanporque una placa se dobla y penetra bajo laotra.Tienenunalongitudquevariade50kilmetroshasta200kilmetrosde largo. Ocurren por el roce entre la placa Norteamericana y las placas ocenicas de Cocos y Rivera, a lo largo de su zona de contacto. Los sismos profundos ocurren a profundidades mayores a 40 kilmetros dentro de lasplacassubducidasyseproducenporelresquebrajamientodelasplacas ocenicas de Rivera y Cocos en subduccin. 7 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 11 Lossismoscorticalessonaquellossismosqueocurrendentrodelaplaca Norteamericana,nosobrepasanlos35kilmetrosdeprofundidad,susmagnitudes son menores a las de los sismos de subduccin y a los profundos; sin embargo, por sersuperficialesocurrenprincipalmentealolargodelEjeVolcnicoMexicano, donde se concentra la mayor parte de la poblacin, lo que puede provocar grandes daos materiales. Los sismos interplaca ocurren entre las placas de Norteamrica y Pacifico, ocurren aprofundidadessomerasylleganaalcanzarmagnitudeshastade7grados,son sismos superficiales por lo que pueden provocar grandes daos.8 Losmaremotos,otsunamis,sonconsecuenciadesismostectnicosbajoelfondo del ocano.9 Los sismos de subduccin son los ms frecuentes, en la base de datos de sismos ocurridosenMxicode1900-2000proporcionadaporelSistemaSismolgico Nacionalsereportaron78sismosdeestetipo,46sismosprofundos,3sismos corticalesylosquesobranocurrieronalolargodefracturasocenicasentreel Pacfico y el norte de Baja California. Lossismosvolcnicossonsimultneosaerupcionesvolcnicas.Mientrasquelos sismos de colapso son los generados por derrumbes de techo de cavernas o minas, ocurren cerca de la superficie. Lossismosartificialessonaquellosproducidosporelhombrepormediode explosiones comunes y nucleares. 8 Poster: Cien aos de sismicidad en Mxico, Instituto de Geofsica, UNAM, 1999. 9 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 12 LasismicidaddelapennsuladeCaliforniaydelosestadosdeSonoraySinaloa estdominadaporfallasdetransformacinqueformanpartedelsistemadeSan Andrs. Desde Colima hasta Oaxaca domina la subduccin de las placas de Rivera ydeCocosbajoladeNorteamrica.AlsurestedeOaxaca,laplacadeCocosse subduce bajo la del Caribe, afectando con ello al estado de Chiapas. El movimiento horizontaldelaplacadelCaribeconrespectoalaplacaNorteamericanaproduce temblores que afectan a Chiapas. La mayora de los temblores del pas se producen a una profundidad a menos de unos 25 kilmetrosmientras que los de las placas subducidas alcanzan profundidades hasta de unos 125 kilmetros o ms.10 FIG. 1.Sismos moderados y grandes en Mxico. Fuente: Sistema Sismolgico Nacional. EnlaFig.1sepresentanlossismosmoderadosygrandesquehanocurridoen Mxico. Las esferas rojas representan los sismos superficiales (aquellos localizados aprofundidadesmenoresde40kilmetrosocurridosenlosltimos30aosen Mxico,lamayorasealineaconlasfronterasentrelasplacastectnicas.Las esferasazulesrepresentanlostembloresqueocurrenaprofundidadesmayoresa 40kilmetros.Estossismosselocalizandentrodelasplacasocenicasquese subducen bajo el continente. 11 10 Rosenblueth, Emilio; Sismos y sismicidad en Mxico; Instituto de Ingeniera, UNAM. 11 Poster: Cien aos de sismicidad en Mxico, Instituto de Geofsica, UNAM, 1999. 13 En la Fig. 2 se representa la localizacin de los sismos ms importantes en Mxico, el grupo al que pertenecen y las placas que los producen. FIG. 2. Los sismos ms importantes en Mxico. Fuente: Sistema Sismolgico Nacional. 2.3 ESCALAS DE MAGNITUD E INTENSIDAD. Lasvibracionesdelterrenotienenunpoderdestructivoquedependedelconjunto de frecuencias de las vibraciones, de sus amplitudes, de la duracin del movimiento y de las construcciones que existan en el lugar. El poder destructivo o potencial de un temblor en un sitio determinado es lo que se mide con el concepto de intensidad. La intensidadde un sismo se refiere a un lugar determinado; se asigna en funcin de los efectos causados al hombre, en sus construcciones y en el terreno del sitio. LaescaladeintensidadesmsusadaennuestrocontinenteesladeMercalli Modificada(MM),quevade0algradoXII(nmerosromanos).Laescalade magnitud,adiferenciadeladeintensidad,msutilizadaeslaescalaRichter medidaen grados (oR). 14 2.3.1 ESCALA DE INTENSIDAD MERCALLI. Los sismlogos usan diferentes valores de la escala de Intensidad Mercalli para describir los distintos efectos de un sismo.12 La Tabla 1 presenta la definicin de la escala de intensidad Mercalli Modificada Abreviada. Intensidad Observaciones I Noessentido,exceptoporalgunaspersonasbajocircunstanciasespecialmentefavorables. II Sentidoslopormuypocagenteenposicindedescanso,especialmenteenlospisos altos de los edificios. Objetos delicadamente suspendidos pueden oscilar. III Sentidomuyclaramenteeninteriores,especialmenteespisosaltosdelosedificios,aunquemuchagentenoloreconocecomounterremoto.Automviles paradospuedenbalancearseligeramente.Vibracionescomoalpasodeun camin. Duracin apreciable. IV Duranteeldasentidoeninteriorespormuchos,alairelibreporalgunos.Porlasnochesalgunosdespiertan.Platos,ventanasypuertasagitados;lasparedescrujen.Sensacincomosiuncaminpesadochocaracontraeledificio.Automvilesparados se balancean apreciablemente. V Sentidoporcasitodos,muchossedespiertan.Algunosplatos,ventanasysimilaresrotos;grietasenelrevestimientoenalgunossitios.Objetosinestablesvolcados.Algunasvecesseapreciabalanceoderboles,postesyotrosobjetosaltos.Lospndulos de los relojes pueden pararse. VI Sentidoportodos,muchosseasustanysalenalexterior.Algnmueblepesadosemueve; algunos casos de cada de revestimientos y chimeneas daadas. Dao leve. VII Todoelmundosalealexterior.Daoinsignificanteenedificiosdebuendiseoyconstruccin;leveamoderadoenestructurascomunesbienconstruidas; considerableenestructuraspobrementeconstruidasomaldiseadas;serompenalgunas chimeneas. Notado por algunas personas que conducen automviles. VIII Daoleveenestructurasdiseadasespecialmentepararesistirsismos;considerable,enedificioscomunesbienconstruidos,llegandohastacolapsoparcialograndeenestructurasdeconstruccinpobre.Losmurosderellenoseseparandelaestructura.Cadadechimeneas,objetosapilados,postes,monumentosyparedes.Mueblespesadosvolcados.Expulsindearenaybarroenpequeascantidades.Cambiosenpozos de agua. Cierta dificultad para conducir automviles. IX Daoconsiderableenestructurasdediseoespecial;estructurasbiendiseadaspierdenlavertical;daomayorenedificiosslidos,colapsoparcial.Edificiosdesplazados de los cimientos. Grietas visibles en el suelo. Tuberas subterrneas rotas. 12 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 15 X Algunasestructurasbienconstruidasenmadera,destruidas;lamayoradeestructurasdemamposteraymarcosdestruidasincluyendosuscimientos;suelomuyagrietado. Rielestorcidos.Corrimientosdetierraconsiderablesenlasorillasdelosrosyen laderasescarpadas.Movimientosdearenaybarro.Aguasalpicadayderramadasobre las orillas. XI Pocas o ninguna obra de albailera quedan en pie. Puentes destruidos. Grietasanchasen el suelo. Tuberassubterrneas completamente fuera de servicio. La tierra se hundey el suelo se desliza en terreno blandos. Rieles muy retorcidos.XII Destruccintotal.Sevenondassobre lasuperficiedelsuelo. Lneasde mira(visuales)y de nivel deformadas. Objetos lanzados al aire.

TABLA 1. Escala de Intensidad Mercalli-Modificada abreviada. Fuente: Sismos, CENAPRED, Serie Fascculos. 2.3.2 ESCALA RICHTER. Conelobjetivodeevaluareltamaorealdeunsismo,serelacionalamagnitud conlacantidaddeenergaliberada,queesindependientedelaubicacindelos instrumentosquelosregistran.As,unmismotemblortieneporellounasola magnitudperodiversidaddeintensidades.En1932,CharlesRichterprecisla escalademagnitud(M),utilizandolasamplitudesdelasondasregistradasporun sismgrafo13;sinembargo,hoyporcostumbreelnombredemagnitudRichterse sigue utilizando pero el uso de la magnitud ha trascendido. Enlaactualidadexistendiversasescalasdemagnitudsegnlaporcindelos registrosqueseempleenparacalcularestacantidad.LamagnitudMsserefiere ms a los temblores grandes, no puede reportar valores mayores a 9.0 y se calcula a partir de las ondas superficiales. Las magnitudes (Ms) que se han registrado en la Rpublica Mexicana son 8.2 entre placas, 7.8 en las placas subducidas y 7.0 en el interior de la placa Norteamericana. Es posible que algn temblor en el futuro pueda exceder de estos valores en ms de 0.2. La magnitud del momento (Mw) se relaciona directamente con la energa liberada, estenfuncindellogaritmodeestaenerga,puedeirdemenosamsinfinito; para ingeniera son de inters las de magnitudes mayores a 4.5 o 5; las menores a 13 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 16 sto son de inters en sismologa. La magnitud Mw por ser una funcin logartmica, un incremento dado en magnitud implica la liberacin de un cierto nmero de veces ms energa. Por cada dos grados son mil veces ms energa; por cada grado casi 32 veces y por cada 0.2 de grado dos veces ms. Esto tambin es vlido para las magnitudes Ms que se hallen entre 6 y 8.5 ms o menos. 14 Un sismo de magnitud (M) igual a 8 equivale en trminos de energa liberada a: 32 sismos de magnitud 7 1000 sismos de magnitud 6 32000 sismos de magnitud 5 1000000 de magnitud 4 A continuacin en la Tabla 2se presentan los efectos tpicos de los terremotos en diversos rangos de magnitud: 15 Magnitud Efectos del terremoto Menos de 3.5 Generalmente no se siente, pero es registrado. 3.5-5.4A menudo se siente, pero slo causa daos menores. 5.5-6.0Ocasiona daos ligeros a edificios. 6.1-6.9Puede ocasionar daos severos en reas donde vive mucha gente. 7.0-7.9Terremoto mayor. Causa graves daos. 8 o mayorGran terremoto. Destruccin total a comunidades cercanas. TABLA 2. Escala Richter. Fuente: Sismos, CENAPRED, Serie Fascculos. Tomando en cuenta la sismicidad a escala mundial, se han calculado los promedios anuales de los eventos ssmicos ms importantes por sus magnitudes en la Tabla 3. 14 Rosenblueth, Emilio; Sismos y sismicidad en Mxico; Instituto de Ingeniera, UNAM. 15 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 17 Eventos por ao en el mundo Magnitud(M) 28-8.9 15 a 207-7.9 100 a 150 6-6.9 TABLA 3. Tabla de Sismicidad a Escala Mundial. Fuente: Sismos, CENAPRED, Serie Fascculos. El Servicio Sismolgico Nacional (SSN) esel encargado de determinar la magnitud,el tiempo de origen, localizacin del epicentro y profundidad de los sismos ocurridos en Mxico. Aunquecadaterremototieneunamagnitudnica,suefectovariargrandemente segn la distancia, la condicin del terreno, los estndares de construccin y otros factores.Msadelantesedemostrarquenosolamentelamagnitudinfluyepara que un sismo sea catastrfico, la profundidad es otra variable de gran importancia, y quecontrariaalamagnitudesinversamenteproporcionalaldaoesperadodel temblor. 2.4 INSTRUMENTACIN SSMICA. Los instrumentos que ms se emplean para el registro de las caractersticas de los sismossonlossismgrafosylosacelergrafos,queregistranelmovimientodel terrenocuandopasaunaondassmica.Elsismgrafopuedeampliardecenaso centenas de miles de veces la velocidad del movimiento en terreno causado por un sismo. Pero cuando esta onda es muy cercana, el sismgrafo no lo puede registrar porqueregistraunsismogramasaturado.Pararegistrarestosmovimientosseusa elacelergrafo,elcualregistralaaceleracindelterreno.Generalmenteseusa parareajustarlaintensidaddelmovimientoproducidoporuntemblorenunlugardeterminado. 18 2.5 LOCALIZACION DE EPICENTROS, SU INTENSIDAD Y MAGNITUD. 2.5.1 DETERMINACIN DE EPICENTROS.Paradeterminarelepicentrodeunsismoesnecesarioquevariasestacionessismolgicas determinen el epicentro, puesto que ladiferencia entre las ondas P y las S multiplicadas por ocho da una distancia aproximada al epicentro en kilmetros peronodaladireccin,poreso esnecesariocontaralmenos contresestaciones sismolgicasqueregistreneltemblorparaubicarelepicentro.Yateniendolas distancias de las estaciones, el epicentro del sismo es la interseccin de los crculos trazados (Fig.3).Enlaprctica,elprocedimientoparalocalizar epicentros esms complicado porque debe tomarse en cuenta la estructura interna y la esferidad de la tierra. FIG.3.Localizacindesismos.Elpuntodeinterseccin(E)deloscrculosderadioepicentro-estacindelasdistintasestacionessismolgicaseselepicentrodelsismo.Enlafigurase representaelejemplodeunsismoenlascostasdeGuerrero,localizadomedianteregistrosdelas estaciones: Tacubaya, D.F. (TAC); Presa Infernillo, Mich. (PIM); y Pinoterpa Nacional, Oax. (PIO).Fuente: CENAPRED, pgina de internet, 13/2/03. 19 2.6 PREDICCIN DE SISMOS. Hastaelmomentonosehaencontradounprocedimientocapazdepredecirla ocurrenciadeterremotosconsuficientesustentocientfico.Losestudiospara determinarlasprobabilidadesdeocurrenciadeterremotossebasanenlas estadsticasquesetienensobrelaincidenciadelosmismos.Deacuerdoconlas experiencias recientes, se ha reconocido que la herramienta ms til para abatir el riesgossmicoenlasgrandesconcentracionesurbanaseslabuenacalidaddela construccin.Enlamedidaenquesetenganreglamentosdeconstruccin adecuados para el tipo de suelo y edificacin aplicados cuidadosamente durante la ejecucindeunaobra,laprobabilidaddequesetengandaosyvctimas, disminuir. Latasadeexcedenciadelamagnitudeslaprobabilidaddequeenunafuentese excedadeterminadamagnitudenunperiododeunaodeduracinysesupone questaesindependientedeltiempo.Sinembargo,laperidiocidadseha comprobadoenlostembloresdeunafuentedada,esdecir,sustasasde excedenciavaran coneltiempo.Ningntemblorde granmagnitudhaocurridoen losltimos78aosenelponientedeAcapulco,locualindicaquenotardaen ocurriralgunoporquesutiempopromedioderecurrenciaesde50aos. Rosenblueth16mencionaqueconbaseatembloresconmagnitudmayora7se concluyequelaprobabilidadesde2/3dequeocurraunsismoalponientede Acapulco antes de 30 aos, pero se sostiene que existe unaprobabilidad mayor de que ocurra el fenmeno a corto plazo y de que sea de igual o mayor magnitud que la del terremoto de 1985 porque la distancia entre el Distrito Federal y Acapulco es mscortaqueMichoacnyelDistritoFederal.Sinembargo,existeotrahiptesisque establece que esta energa puede liberarse en tres temblores con magnitud de 7.9 repartidos hasta en una decena de aos.14 No hay confianza absoluta acerca de la ocurrencia de terremotos ni de las prdidas econmicasdirectaseindirectasqueocasionarn.Antelagranincertidumbreque 16 Rosenblueth, Emilio; Sismos y sismicidad en Mxico; Instituto de Ingeniera, UNAM, pp.11-24. 20 se presenta no es despreciable la ocurrencia de futuros y prximos terremotos que azoten a la Ciudad de Mxico. Debe quedar claro que no se puede precisar la fecha de ocurrencia pero si la zona con mayor probabilidad de ocurrencia. 2.6.1 PROCESO POISSON Y OTROS MODELOS.Sin embargo, unade las teorasmundiales para modelar terremotos es el modelo Poissonodetiempoindependiente,queesunprocesoaleatorioendondela probabilidaddeuneventofuturonoestinfluenciadoporellugaroeltiempo,es decirlosterremotosnotienenmemoria.Sinembargo,estasuposicinde independencia puede no ser correcta, aunque es til en la prctica. Porlaincertidumbreenlaocurrenciadelostemblores,parecepocoprobableque los terremotos estn relacionados unos con otros; sin embargo existe el modelo de tiempodependientedelaocurrenciadeterremotosqueasumequeelintervalo entreelpenltimoyltimoterremotoocurridoesdegranimportanciapues incrementa la probabilidad de un futuro terremoto. De hecho es, adems, posible en algunoscasoidentificarsegmentossegurosdeunafallassmicadebidoaungran terremoto y adems que llega atrasado. Estas situaciones, generalmente conocidas comointervalosssmicoshansidoidentificadosenvariasregionesdelmundo,por ejemplo: el sismo de Guerrero en 1985 (Mxico) donde el pronstico fue correcto.17 Enaosrecientes,modelosdetiempodependientehansidomejoradosconla inclusinnoslodeltiempodeleventopasadoenunsegmentodefallaen particular,sinotambindelosefectosdelossismosenregionescircunvecinas. Estanuevateoraenelriesgodetiemposdependientesesconocidacomo:Interaccin entre fuerzas o interaccin de fallas modelada por su autor Ross Stein ysuscolegasdeestudiosgeolgicosdelosEstadosUnidos,quienesloaplicaron enEstambul,Turqua,despusdelterremotoIzmitocurridoel17deAgostode 1999. 17 Hitz, Luzi; Kriesch, Sandro; Schmid, Edouard; Random Occurrence or predictable disaster? New models in earthquakes probability assessment, Swiss Re.publishing, 2000. 21 Asumiendoquelosterremotosocurrenindependientementeunodeotro,elequipo de Stein calcul la probabilidad de severidad para esta regin (20% en los prximos 30aos),msladeltiempotranscurridodelltimogranterremoto,conayudade unacompilacindedaosdeterremotosenlaregindelmarMarmara,en Estambul,sugierealmenosdosdecuatrofallasllegantardealprocesode renovacin del terremoto. Esto hace que la probabilidad de un nuevo terremoto en Estambulcrezcaenun30%.Asusandoelnuevomodelo,laprobabilidaddeun terremotodentrodelos30prximosaosesdel50%yaumentamshasta62% cuandoseaplicaelefectodeinteraccionesdefuerzasinducidaporeleventode Izmit en 1999.18 La teora de interacciones de fuerzas entre fallas ha sido aplicada para explicar los terremotosdeloltimos60aos.Estateorasostienequecuandounafallase rompeyproducegrandesterremotos,elniveldefuerzaquedesprendelafalla repentinamentesedetiene.Estafuerzacambialafuerzadiseadaypodratraer, tericamente,fallascontiguasmscercanasaunfracaso,ademsdeque incrementara la probabilidad de ocurrencia del prximo terremoto en esta falla17.

Sinembargo,apesardelosestudiosrecientes,todavaesimpredeciblela ocurrencia de un terremoto. 2.7 REGIONALIZACIN SSMICA. EnMxico,losepicentrosdelamayorpartedelossismosconmagnitudmayoro igual a siete se encuentran concentradosen el llamado CinturnCircumpacfico: a lo largo de Jalisco, Colima, Michoacn, Guerrero, Oaxaca y Chiapas. Pero tambin hanocurridograndessismosenPuebla,Veracruz,EstadodeMxicoyBaja California. 18 Hitz, Luzi; Kriesch, Sandro; Schmid, Edouard; Random Occurrence or predictable disaster? New models in earthquakes probability assessment, Swiss Re.publishing, 2000. 22 Debido a sto, se ha dividido al territorio nacional en cuatro zonas: A, B, C y D (Ver Fig.4),cuyopeligroesascendente.Estanuevaregionalizacinssmicaha permitidoelclculodeldiseodeobrasdemaneraqueresultensegurasyabajo costo.UtilizandolosdatosdelCensodePoblacinylaregionalizacinssmica, puedetenerseunaestimacindelvolumendepoblacinexpuestoalfenmeno ssmico. Las zonas C y D concentraron un poco ms de 24 millones de habitantes, deahlaimportanciadeestudiossismolgicos.Siastosseagreganlos8.6 millonesdehabitantescorrespondientesalDistritoFederal,readondeel movimientossmicoesmsaltoporelterrenoblando,implicaunnivelde32.6 millonesdeuntotalde97.4millonesqueestexpuestaalpeligrodeunsismo severo.19 Zonas:ABCD FIG. 4. Mapa de regionalizacin ssmica. Fuente: CENAPRED. 19 Sismos, Serie Fascculos, CENAPRED, Secretara de gobernacin, Mxico, 4ta.edicin, Diciembre, 2001. 23 3. SISTEMAS DE TRANSFERENCIA DE RIESGOS. 3.1 INTRODUCCIN Y OBJETIVOS DEL CAPTULO. Hoyendaexistennumerososriesgosquenosonindependientesytampoco altamentecorrelacionados.Estosriesgosincluyenloscreadosporelmedio ambiente,porejemplo,cuandounhuracnountemblorsucedenotodoslos afectadossufrenunaprdidatotal.Aunque,muchasprdidaspuedenocurrirel mismo tiempo. Por eso el desafo en la creacin de fondos contingentes para estos desastresserteneraccesoacapitalesadecuadosparacubrirelpeordelos escenarios. Unodelossistemasmsutilizadosporlasaseguradorasparacubrirsecontra posibles prdidas debidas a eventos catastrficos es el reaseguro. En este captulo sepresentanlasventajasydesventajasgeneralesdeunbonocatastrficoal compararse con el reaseguro20. Para llevar a cabo esta comparacin se establecen los diferentes riesgos a los que se enfrentan ambos instrumentos. 3.2 REASEGURO.Ladinmicaqueusanlascompaasaseguradorasparaofrecerproteccina riesgos naturales es poniendo en prctica el principio de la dispersin geogrfica del riesgo; sin embargo, cuando ocurre un desastre natural severo, como un terremoto, puedeocasionarleproblemasdebidoalaaltacorrelacinentrelasprdidasdesu portafolio.Estadependenciaentreriesgospuederequerirquelasaseguradoras aumenten sus primas o reduzcan su cobertura a este tipo de riesgos. Para resolver el problema anterior, los reaseguradores proveen proteccin a las aseguradoras de la misma manera que las compaas lo hacen con los asegurados. El reaseguro es uninstrumentotcnicodedivisinydistribucinderiesgosdelcualsevaleuna entidadaseguradoraparaconseguirlacompensacinestadsticaquerequieresu 20 Para mayor informacin de los dos instrumentos vase: Croson, David C.; Keureuther, Howard C.; CustomizingReinsurance andCatbondsforNaturalHazardRisks,PaperpresentedatConference on Global Change and Catastrophic risk Manegement, 1999. 24 operacin,igualandouhomogeneizandolosriesgosquecomponenunacartera, mediantelacesindepartededichosriesgosaotrauotrasentidades aseguradoras (reaseguradoras)21. Por comprar este tipo de proteccin, la distribucin de las ganancias de la compaa es menos incierta que antes debido a que ha recibido una capa extra de cobertura del reasegurador al tiempo de la catstrofe.

3.2.1 TIPOS DE REASEGURO. Elreasegurohatomadovariasformasdependiendodelasnecesidadesy caractersticas de la compaa cedente y del riesgo o riesgos de que se trate. Engeneralsehaclasificadoalreaseguro,porlaformaenquellevaacaboel contrato, en cuatro tipos: automtico, facultativo, facultativo-obligatorio y obligatorio-facultativo; mientras que por la manera en que se distribuyen el riesgo y la prima, se divide en proporcional y no proporcional. ReaseguroAutomtico:Lacompaacedentesecomprometeacederuna participacindeterminadaenuntipodenegocioyelreaseguradorseobligaa aceptarla.Enestetipodereaseguro,elreaseguradorsecomprometeaaceptar todoslosnegociosquelacedentesuscriba,enciertoramo,bajociertas circunstanciasyhastaunlmitefijadodecomnacuerdo.Estoimplicaquela compaaaseguradoramantienesulibertadenlasuscripcindelosnegocios, seleccin, tarificacin y ajuste de los siniestros como lo considere conveniente. Por su parte el reasegurador no puede intervenir en la suscripcin, pero tiene la ventaja de conseguir un volumen ms importante y negocios ms equilibrados. 21 Castelo, Julio.Perz, Jos Mara. Diccionario Bsico de Seguros. Mapfre. Madrid, pp.126. 25 ReaseguroFacultativo:Estetipodereasegurosecontratariesgoporriesgo,el asegurador faculta alreasegurador para aceptar o rechazar ciertos riesgos que de antemano sabe que no puede retener. ReaseguroFacultativo-Obligatorio:Secaracterizaporquelacompaacedente notienelaobligacindecederelriesgo,sinoqueconservalalibertaddedecidir quenegociosdeseareasegurar,mientrasqueelreaseguradorseobligaaaceptar todas las cesiones dentro de las caractersticas y lmites fijados previamente. ReaseguroObligatorioFacultativo:Enestetipodereaseguro,lacompaa cedentetienelaobligacindecederciertosriesgos,mientrasqueelreasegurador decide si los acepta o no. Ahora,entrminosdelamaneraenlaquesedistribuyeelriesgoylaprimael reaseguro se clasifica en: ReaseguroProporcional:Sedistingueporelhechodequelasprimasylos siniestros se reparten en una relacin proporcional previamente establecida entre la compaacedente.Dentrodelreaseguroproporcionalseencuentraelcontratode CuotaParte,dondelarelacindeproporcionalidadesidnticaparatodoslos riesgos,yelcontratodeExcedentedondelarelacindeproporcionalidadpuede variar de un riesgo a otro. CUOTA PARTE: La compaa de seguros comparte cada riesgo de su cartera en forma proporcional aunporcentajederetencinpreviamentepactado.Enlamismaproporcinse comparten las primas. Por lo tanto, el reasegurador cubre R1(t) donde: R1(t)=pS(t). p (0,1)eslaproporcindesiniestrocubiertaporelreaseguradoryS(t)esel monto total de siniestros de la cartera al tiempo t. 26 EXCEDENTE: Estetipodereaseguro,dependiendodelamagnituddecadariesgo,permite porcentajes variables para la retencin y cesin al reaseguro. La responsabilidad en laretencindelacedenteestdeterminadaconunmontofijodondelosmontos absorbidosporcadaunadelaspartesdependendelarelacinentreretenciny suma asegurada de cada riesgo.

Unavezdeterminadalapartederetencinydereaseguroentodoslosriesgos, puedecalcularseproporcionalmentelaresponsabilidad,esdecir,elporcentajede participacin tanto en primas como en siniestros de cada una de las partes. Los riesgos con suma asegurada menor al monto retenido sern absorbidos en su totalidad por el asegurador directo. Reaseguro No Proporcional: En este tipo de reaseguro no existe una relacin fija predeterminadaparalareparticindeprimasysiniestrosentreelaseguradordirectoyelreasegurador.Dichareparticinseefectasegnlaprdidaocurrida. Paraellosedefinepreviamenteunmontolmiteoprioridadhastaelcualel aseguradorasumirtodoslossiniestrosmientrasqueelreaseguradortieneque pagartodoslossiniestrosporencimadeestaprioridadyhastaunlmitede cobertura convenido. Enlosdiferentestiposdecontratosnoproporcionaleselreaseguroprotegecontra losexcesosenlasprdidasdelascedentes.Decadaprdidaqueexcedeuna prioridad (primer riesgo o retencin de la cedente), la reaseguradora paga el exceso sujeto a un mximo (segundo riesgo o monto en exceso cubierto). El reclamo puede ser definido por riesgo, por evento catastrfico o por exceso de prdida anual. REASEGURO DE EXCESO DE PRDIDA POR RIESGO WXL: Estetipodereaseguroprotegealaseguradorcontrasiniestrosquesobrepasenla retencinqueconservaporcuentapropia.Otorgaproteccincontrasiniestros 27 grandes por riesgo. Los siniestros son independientes y si el evento siniestral afecta avariosriesgos,deelloresultanvariossiniestrosparaelreasegurodeexcesode prdida porque la cobertura la pone en funcionamiento un siniestro sobre un riesgo nico. Estamodalidadpuedeutilizarsetambinencombinacinconelreaseguro proporcional. A diferencia del reaseguro proporcional, si todos los siniestros son menores al lmite deretencin,losreaseguradoresnoaportannadayslopaganapartirdestey hastaunciertolmite.Comolacedentepagasiemprelosprimerospesoshastael lmitederetencinlograquelossiniestrosindividualesseanahorams homogneos. EXCESO DE PRDIDA POR EVENTO O POR EVENTO CATASTRFICO, XL: Ofrecealacedenteproteccincontralaacumulacindenumerosossiniestros causados por el mismo evento. Para este tipo de acumulaciones de siniestros existe diferenciasielexcesodeprdidaesporriesgooporeventoyaqueelexcesode riesgoporeventonoconsideraelnmeroderiesgosafectadossinoqueest orientadonicamentealaacumulacindemontosagregadosdesiniestros provenientes del mismo evento. Engeneral,estetipodereasegurocubrelaretencincontraposibleseventos catastrficos. Se acuerda que la reaseguradora pagar el exceso, y hasta un cierto lmitesobrelaretencinpreestablecidaparaloseventoscatastrficosduranteel ao. REASEGURO POR FRECUENCIA (STOP LOSS): Estetipodereaseguro,limitalaprdidadelacedentesobrelasumadetodoslos siniestrosenlacarteradeunao,esdecir,protegealacompaaparaquela varianza en la siniestralidad no sobrepase de un monto determinado. La prioridad y 28 lascoberturascasisiempreestndeterminadosenporcentajedelasprimas suscritas de retencin. El stop loss puede ser ilimitado, en el cual la reaseguradora pagatodoloqueexcedalaprioridad,olimitado,dondelareaseguradorasehace cargodelmontodesiniestrosqueexcedenalaprioridadhastaundeterminado monto llamado capacidad de reaseguro.22 3.3 BONOS CATASTRFICOS. Los mercados han desarrollado nuevos instrumentos financieroscomo los bonos accin de Dios, para proteccinde grandesprdidasde desastresnaturales Howard C. Kunreuther. 3.3.1 DEFINICIN DE BONO CATASTRFICO. Losbonoscatastrficossonnuevosinstrumentosparalaprevencinderiesgos, sonparecidosalreaseguroporqueprotegencontraunexcesodeprdidadel asegurador primario. Son bonosque pueden pagar cupones y hasta posiblemente elprincipaldemaneracontingentedependiendodelaocurrenciadeunevento catastrfico. Los inversionistas tienen parte de su principal en riesgo pero a cambio se les ofrece una tasa de cupones o de intereses ms alta que la usual. La mayora delosbonoscatastrficosestnligadosaunndicedeprdidasocurridas(por ejemplo:prdidastotalmenteaseguradasdeunterremotoenCalifornia)oaun ndicedeseveridaddedesastres(porejemplo:pagarcantidadespordaosde terremotosbasadosenlaescaladeRichterenlocalidadesespecificasenJapn). Esdecir,lospagosdelbonosehacenapartirdeunciertovalorenelndice(por ejemplo,unterremotoconunamagnitudregistradaenlaescalaRichter).Los ndicesnegociadosydecambioofrecenpagosencasodeocurrenciadelevento. Unndicedeprdidasdebeserestandarizadoyuniforme,conunafrmulade ndice bien entendida y verificable, los datos del ndice deben ser competitivamente determinadosynosujetosamanipulacin,ademsdequeelmercadodebe 22 Castelo, Julio.Perz, Jos Mara. Diccionario Bsico de Seguros. Mapfre. Madrid, pp.126. 29 percibirqueelndicereflejaelverdaderovalordelaprdida.Losindividuosno influyenenladeterminacindelospagosdelbono,stohacequesuprecio,su riesgomoral,suscostosdetransaccionesyeltiempodelasreclamaciones disminuya,asunoesperaquehayamstransparenciaenelprecioyaumentela liquidez. Ante una necesidad de evaluar los riesgos dados, se han desarrollado instituciones especializadasenmeteorologaygeofsica.Algunascompaasmediante simulacionespredicenlaprobabilidadyseveridaddelascatstrofes.Otrassin recursos de modelaje ajustan datos histricos, tales como Property Claim of Service (PCS) o The Insurance Service Office (ISO) en Estados Unidos que usan modelos paramtricosydanestimacionesdelosvaloresesperadosdelasprdidasdado que la prdida excede cierto umbral.23 LasopcionesparariesgoscatastrficosPCSquesenegocianenelBancode ComerciodeChicago(CBOT)sonlosprimerosndicesnegociados.Haynueve ndices en Estados Unidos de Amrica (uno nacional, 5 regionales y 3 estatales) de catstrofesdefinidasparaciertas regiones.Elperiododeprdidageneralmentees por trimestres. Cuando hay una prdida queexceda el umbral del nivel de prdida durante el trimestre, la opcin de compra funciona como unreaseguro.24 Dadoquelosinversionistasenbonoscatastrficosquerrnobtenergrandesy suficientesrendimientosensuinversin,enformadegrandestasasdeinters cuandoeleventonoocurraparajustificarelriesgodeperdersuprincipalorecibir unatasadeintersmasbajasiocurreeldesastre,actualmente,LIBOR(London InterbankOfferedRate)esusadocomounndicequecuentalasganancias potenciales.Unbonocatastrficopuedeestartantospuntosarribadelatasa LIBOR,esdecir,lasgananciasestntantospuntosarribadelastasasdeinters 23 Moore, James; Tail Estimation and Catastrophe Security Pricing Can we tell what target we hit if we are shooting in the dark? Paper presented by Financial Institutions Center, Wharton,99-14. 24 Geman, Hlyette; Insurance and Weather Derivatives, from exotic options to exotic underlyings; Risk Books, 1999. 30 bsicaspagadasenlosmejoresbancosEuropeosyAmericanosusadospara calcular el LIBOR.25 Los bonos catastrficos son los instrumentos de deuda ms comunes de seguridad, soncomolosbonosdegobierno,sonopcionesperoendondeelsubyacenteen lugardeseraccionessondesastresnaturales,comolalluvia,sequa,terremoto, inundacin,etc.,puedenproveerdecapitalcuandoocurreuneventocatastrfico provocado y no tienen riesgo de crdito. Cuando hay un evento catastrfico, el bono catastrficosecomportacomounbonotradicional,elcualnoestcorrelacionado conelmercadodesubyacentesfinancieroscomonivelesdetasasdeintersoel consumo agregado. Losbonoscatastrficosnoslosoninstrumentosqueofrecenoportunidadesde compensacin, sino ms bien, instrumentos de diversificacin de portafoliospor su baja correlacin con las acciones histricas y rendimientos de bonos tradicionales.26 3.3.2 HISTORIA. Lacreacindelosbonoscatastrficossedebialanecesidaddecubrirgrandes propiedadesaseguradas,accinquenopodahacerelreaseguradortpico.Estos nuevosinstrumentosnacencomounmecanismodecompensacincontra desastresnaturales,unriesgoquenoestcorrelacionadoconelmercadode capital. Los daos causados por los huracanes Andrew (1992), Opal (1995), Fran (1996) yterremotoscomoeldeKobeenlosnoventas,hanlogradollamarlaatencintanto dereaseguradores,aseguradorasygobierno,yprovocqueelmercado 25 Jerry, R.Skees; Opportunities for Improved Efficiency in Risk Sharing Using Capital Markets, Paper for 1999 Summer Meetings Of the American Agricultural Economics Association. 26 Baryshnikov, Yu; A. Mayo, D.R Taylor; Pricing of CAT bonds, Paper presented in JSTOR, October 22,1998.

31 estadounidensedesarrollarnuevosinstrumentos.Elcostototaldelosdaosfue aproximadamente en exceso de $50 billones de dlares. Elprimerbonocatastrficofueunbonopor$50millonesdedlaresemitidoen 199827.Elprincipaldelbonosepagabaalacompaadesegurosencasodeun temblor de 7 grados o ms en la escala de Richter en ciertas regiones de Japn. En losEstadosUnidos,losbonosmsconocidosfueronlosbonosActofGod, emitidos por Merril Lynch & Co y usados por USAA (la cuarta compaa de seguros msgrandedeEstadosUnidosen1996)cubriendoeleventodehuracnen Florida.ElcostoaUSAAfuecercade1billndedlaresylaprobabilidaddel evento fue de 1%; en este caso hubo dos formas de vender el bono: Una pagada a unatasadeintersLIBOR(LondonInterbanckOfferingrate)ms273puntos bases:losinversionistasperderanlosinteresesganadossiUSAAsufraprdidas por huracanes durante un periodo de15meses las cuales excediern$1 billnde dlares.Estaformadelbonoestabadirigidoprincipalmenteabancosy aseguradorasdevidaquienestenanriesgodecapital.Laotraformaofrecauna primamuchomayor(576puntosbases)sobreLIBORperoelprincipaldelos inversionistas estaba en riesgo en caso de prdidas severas por causa de huracn. Estaformadelbonoestabadirigidaainversionistasagresivoscomofondos mutualistas,fondoscompensatoriosoreaseguradoresquetenaninformacin ventajosa en estimacin de riesgos.28 Lademandaporlosprimerosbonoscatastrficosfuepequeaperoseha incrementadocadaao.ElinstitutoCaliforniaEarthquakeAuthority(CEA)fue creado para proveer seguros en contra de posibles terremotos29. Un billn de bonos catastrficos para terremotos fueron emitidos por el CEA en 1996, siendo el primer bono catastrfico emitido por el gobierno de los Estados Unidos. 27 Zhang, Zakharia,1998. 28 Moore, James; Tail Estimation and Catastrophe Security Pricing Can we tell what target we hit if we are shooting in the dark? Paper presented by Financial Institutions Center, Wharton,99-14. 29 Stripple 1998. 32 EnMxicotodavanohayunmercadoparaestosinstrumentos,sinembargoel impactodedesastresnaturalesenlosltimosaoshapropiciadolacreacinde estosinstrumentosysuregulacinporpartedelgobiernomexicano(Diariodela Federacin, 23 Mayo 2003). 3.3.3 EJEMPLOS DE BONOS CATASTRFICOS. A continuacin se presentan tres ejemplos de bonos catastrficos: USA Hurricanes Bonds USAAesunaaseguradoraconbaseenSanAntonio,Texas,EstadosUnidosque proveeproductosfinancierosaoficialesmilitaresdelosEstadosUnidos.Zolkos30 describeaUSAAcomounasobreexposicinderiesgosdehuracanescontra automviles y casas de los dueos de todo el Golfo de Estados Unidos de Amrica y costas del Atlntico. Sobre exposicin significa que hay ms compradores de los esperados. Los reportes de prensa indican que los compradores fueron compaas de seguros, fondos mutualistas, fondos de pensiones y algunos reaseguradores. En Junio de 1997, USAA hiz un contrato por $477 millones de dlares en bonos con cuponesyprincipalexpuestoariesgoparasureseguradoraResidentialRe.As, Residential Re emiti reaseguro para USAA basado en el capital proveniente de la ventadebonos.Losbonosfueronemitidosendosseries,enlaprimeraslolos cuponesestnexpuestosariesgosdehuracanesyelprincipalestgarantizado. Para la segunda serie, ambos, cupones y principal estn en riesgo. Los cupones y elprincipalnosonpagadosalosinversionistassihayprdidasqueexcedana1 billndedlaresmientrasqueenlasegundaserieloscuponesyelprincipalson perdidos. El negocio fue un xito para los inversionistas porque el evento no ocurri y los bonos se vencieron como se esperaba. Cuando slo el cupn est en riesgo la tasa de cupones es LIBOR ms 2.73%. Si hay catstrofe no se pagan cupones a los tenedores y el principal no es pagado por 30 Cox, Samuel H.; Pedersen, Hal W.; Catastrophe Risk Bonds, Paper presented by North American Actuarial Journal, Volume 4, number 4. 33 losprimeros10aos.Enefecto,partedelprincipaldeltenedoresperdidoporque cadadlardelprincipalalvencimientoesremplazadoporundlar10aosms tarde. Entonces el valor del pago esperado, con slo un cupn, es equivalente a un pago sencillo en K=1 (primer ao): q P q r ) 11 , 1 ( 1000 ) 1 )( 0273 . ) 0 ( 1 ( 1000 + + +dondeelvalornominaldelbonoesde1000,qeslaprobabilidaddequelas prdidas excedan un lmite de $109 dlares, P(1,11) denota el precio al tiempo 1 y losbonoscupncerodanunpagoaltiempo11;P(1,11)esaleatorioporloqueexiste riesgo financiero relacionado con el riesgo catastrfico. Es decir, el valor del pagoesperadoesigualalvalornominaldelbono,invertidoatasadecupones LIBOR, por la probabilidad de que las prdidas generadas no excedan el lmite. En casocontrario,silaprobabilidaddelasprdidasexcedeellmitesepagaelvalor nominal del bono hasta el onceavo ao. Winterthur Windstorm Bonds Winterthur es la compaa ms grande de seguros basada en riesgos contra vientos en Suiza. En Febrero de 1997, Winterthur emiti a tres aos bonos con cupones por unvalornominalde4700francos suizosyaunatasadecuponesde2.25%.Siel nmerodereclamacionesporprdidascontravientosduranteelperiodode observacinexcedaa6000elcupndelaocorrespondientenoespagado, adems el bono es convertible a la fecha de vencimiento, cada 4700 francos suizos son convertibles a 5 acciones de Winterthur a la fecha del vencimiento. El flujo del bonodependedelnmerodereclamacionesmsquedelaocurrenciadela catstrofe.Sea{ } ) (K N elnmerodereclamacionesdevientosporaoa750,000 autosymotocicletas,{ } ) (k S elprocesoestocsticoquedenotaelpreciodelas accionesdeWinterthuryloscuponesestnentrminosdelnmerode reclamaciones. Entonces, el valor del bono es: { }{ }{ }+=6000 ) 3 (6000 ) (1 ) 0225 . 0 ( 4700 4700 ), 3 ( 5 max1 ) 0225 . 0 ( 4700) (Nk NSk d32 , 1==kk 34 dondelaopcindeconversinafechadevencimientoatresaospermiteal tenedor tomar 5 acciones en lugar del pago esperado. Seaq k N P = > ) 6000 ) ( ( , entonces los cupones esperados estaban condicionados a variables financieras : ) 1 ( 0225 . 0 ( 4700 ) 2 ( ) 1 ( q d d = = )y { } { }q S q S d 4700 ), 3 ( 5 max ) 1 ( ) 0225 . 0 ( 4700 ), 3 ( 5 max ) 3 ( + =donde S(3) es aleatorio. Swiss Re California Earthquake Bonds EstecontratoessimilaralcontratodeUSAAporqueelbonofueemitidopara eventos catastrficos. El subyacente del riesgo del temblor es medido por un ndice desarrollado por Property Claims Services. 31 3.4VENTAJASGENERALESDELBONOCATASTRFICOCONTRAEL REASGURO. 3.4.1TIPOSDERIESGOSALOSQUESEENFRENTANLOSSISTEMASDE TRANSFERENCIA DE RIESGOS. Losriesgosmscomunesalosqueseenfrentanlosbonoscatastrficosyel reaseguro son: RIESGO DE BASE: Elriesgodebaseserefiereaunacorrelacinimperfectaodesajusteentrelas prdidas actuales causadas por el sistemade transferencia de riesgo contratadoy los pagos recibidos por ste. 31 Cox, Samuel H.; Pedersen, Hal W.; Catastrophe Risk Bonds, Paper presented by North American Actuarial Journal, Volume 4, number 4. 35 Elreasegurotradicionaldeexcesodeprdidatieneriesgodebaseigualacero debidoaquehayunarelacindirectaentrelaprdidayelpagoentregadoporel reasegurador. Un bono catastrfico basado en un ndice confiable y no manipulable (porejemplolasprdidasagregadasdelaindustriadeaseguradoras,laescalade Richter o de Saffir Simpson, la lluvia en Rangoon durante Agosto) est sujeto a un riesgodebase.Elportafoliodeprdidasdelosclientesprotegidosporelbono catastrficopuedenoestaradecuadamenterepresentadoporelndicey,porlo tanto,lasprdidaspuedennoestarperfectamentecorrelacionadasconlospagos otorgados por el bono catastrfico. RIESGO MORAL: Elriesgomoralesunriesgoqueprocededesituacionesenlasqueelsistemade transferenciaderiesgonopuedeobservarloquehacesuclienteyqueocurre cuando ste omite realizar medidas preventivas despus de la firma del contrato. Comoelreaseguroesuncontratodeindemnizacinligadoalasprdidas especficas del asegurador primario, el riesgo moral se presenta cuando ste tiene menos inters en cuidar la bsqueda de plizas y el control de reclamaciones pues sabe que sus prdidas pueden ser transferidas al reasegurador. En comparacin al reaseguro tradicional, el bono catastrfico reduce el riesgo moral porque los pagos que otorga se hacen a partir de un cierto valor en el ndice negociado que no puede ser controlado ni manipulado RIESGO DE CRDITO: El riesgo de crdito puede definirse como la posibilidad de que la contraparte de un contrato no cumpla con las obligaciones derivadas del mismo, causando por tanto a sus acreedores una prdida financiera.32. Los bonos catastrficos reducen el riesgo de crdito porque la cantidad del principal de estos bonos est depositado hasta el tiempocubiertoporelqueelbonoabarcaylosfondossiempreestndisponibles, es decir, el riego de crdito para este tipo de fondos siempre es cero. En cambio, el 32 Geman, Hlyette; Insurance and Weather Derivatives, from exotic options to exotic underlyings; Risk Books, 1999. 36 reaseguropresentariesgodecrditocuandoenfrentareclamacionespotenciales despus de prdidas catastrficas que exceden los recursos de la reaseguradora. 3.4.2 VENTAJAS DEL BONO CATASTRFICO. Entre las limitaciones que ha tenido el reaseguro se encuentran: 1)Su precio es difcil de calcular.33 2)Los costos de transaccin son altos. 3)Lospreciosdebenestarcargadosporelreaseguradorindependientemente deladisponibilidadapagar.Unafaltadeconocimientoacercadela naturalezadelosriesgosyeventoshaprovocadoquelosaseguradoresy reaseguradores cobren primas muy altas. 4)Debidoaqueelreasegurotradicionalrequieredereclamacionesydeun procesodeauditoraqueocurreantesdequeelpagoseahecho,la disposicin de efectivo delas reclamaciones tiene unretraso desemanas o meses. Sin embargo, si los reaseguradores han limitado la capacidad de suscripcin debido a la cantidad de capital requerida para emitirla cobertura del reaseguro, los bonos catastrficospuedenproveerunaalternativaequivalenteomsbaratapara compensarriesgosextremos.Unbonocatastrficorequierequeelinversionista ponga dinero, el cual ser usado para pagar las reclamaciones o daos si el evento catastrfico sucede. Al igual que el reaseguro, este bono tiene riesgos de retraso y morales.Peroadiferencia,elinversionistarecibeunatasadeintersmuchoms alta que la normal en periodos donde no ocurre la catstrofe. Adems otra ventaja es que el asegurador no enfrenta algn riesgo de crditoporque el dinero paralas posibles prdidas se encuentra activo. Lasreaseguradorastambinpuedenelegirlacompradebonoscatastrficospara reducirsuriesgodecrdito.Estaproteccinreducelaincertidumbreenlos 33 Para mayor informacin consultar: Croson, David C.; Keureuther, Howard C.; Customizing Reinsurance and Cat bonds for Natural Hazard Risks, Paper presented at Conference on Global Change and Catastrophic risk Manegement, 1999. 37 rendimientosdelaaseguradora.Losreaseguradorestendrnincentivospara invertir en diferentes tipos de bonosque aquellos deseados por las aseguradoras; es decir, el inters de los reaseguradores es que haya prdidas cuando un desastre catastrficoocurra,mientrasqueeldelosaseguradoreseseldeproteccinan cuando no haya catstrofes. Si el pago del bono al reasegurador est directamente sujetoasusprdidas,entonceshayunacoordinacindepagosyderiesgos moralesperonoderiesgosbaseporquelospagosestnsujetosaunndice general. Sinembargo,elriesgodeunbonocatastrficonopuedesercompensadoporun portafoliodebonostradicionalesodeaccionescomunes.Elhechodequelos riesgoscatastrficosnoestnrelacionadosconmovimientosenvariables econmicas es el motivo de un mercado incompleto, lo que ocasiona que no exista portafolioquerepliqueelbonocatastrfico.34Por otraparte,si selogradesarrollar unmercadosecundarioparalosbonoscatastrficos,elmercadoderiesgosser ms eficiente35. Enresumen,paracompararculdelosdosinstrumentos,bonoscatastrficoso reaseguro, proveen la mejor cobertura en contra de catstrofes, es necesario hace notar que: 1) El bono catastrfico tieneriesgo base, mientras que el reaseguro tiene riesgo de crdito. 2) Los pagos inmediatos del bono comparado a los pagos retrasados del reaseguro. 3) El costo de implementar cada medida de proteccin financiera. 4) El costo de cada instrumento. 36 34 Cox, Samuel H.; Pedersen, Hal W.; Catastrophe Risk Bonds, Paper presented by North American Actuarial Journal, Volume 4, number 4. 35 Doherty, Neil A.; Integrated Risk Management; McGrawll-Hill, 2000, pp.593-618 36 Para mayor informacin consultar: Croson, David C.; Keureuther, Howard C.; Customizing Reinsurance and Cat bonds for Natural Hazard Risks, Paper presented at Conference on Global Change and Catastrophic risk Manegement, 1999. 38 4.TEORA DE CLCULO. Para calcular el bono catastrfico para terremotos en Mxico, es necesario conocerlafrecuenciayseveridadconquesepresentaelevento.Debidoaloanterior, modelaremos la severidad del evento con regresin lineal y la frecuencia del evento con Proceso Poisson Homogneo.4.1 MODELO DE REGRESIN LINEAL. Elanlisisderegresinserefierealestudiodelarelacinentreunavariable llamada dependiente y una o ms variables llamadas independientes. Para notacin representaremosaYcomolavariabledependienteyXlaindependiente.Sihay msdeunavariableindependiente,sedenotarnvariasXsconsusndices apropiados(X1,X2,X3).Debequedarclaroquenonecesariamentelasvariables independientes son las causas y la variable dependiente el efecto. Los objetivos del anlisis de regresin son: 1)Estimacin de la media,varianza y el valor de la variable dependiente dado el valor de las variables independientes. 2)Pruebas de hiptesis acerca de la naturaleza de la dependencia. 3)Pronosticar o predecir el valor esperado de la variable dependiente, dado el valor de la variable independiente. 4)Combinaciones de los puntos anteriores. Los modelos de regresinlineales son de la formai ix y + + =0 , en el cual los elementosde i sesuponenserindependienteseidnticamentedistribuidoscon distribucin Normal N(0, )2 . En este modelo las yi y las ison variables aleatorias. Las i sonlasdesviacionesdelasobservacionesconrespectoalamedia condicional. La variables independientes xi no estn correlacionadas con el error i. Sin embargo, si las variables xi no son estocsticas (es decir, su valor es un nmero fijo) este supuesto es automticamente satisfecho. 39 La media de los errores ies cero, esto es E[i ]=0. La varianza de cada ies constante e igual, sto es var[i ]= 2 . Adems no existe correlacin entre los errores i, es decir, Cov(i ,j )=0i j . Unmodeloderegresinconmsdeunavariableexplicativaesconocidacomo modelo de regresin mltiple. Paramedirlabondaddeajustedelmodeloderegresinseutilizaamenudoel coeficiente de determinacin, R2 que nos indica el porcentaje de la variabilidad total de la variable dependiente explicada por el modelo. Sabemos que: i i ie Y Y + =

Que en trminos simples significa que la variacin del valor esperado de Yi es igual alavariacinentreelvaloresperadodeYiexplicadomsunavariacinno explicada. Entonces: + = )( )( ) (i i i iY Y Y Y Y Yi i ie y y + = si ) (i i iY Y y =Haciendo la suma sobre las yi tenemos que: + =2 2 2i i ie y y , que quiere decir que la suma total de cuadrados es igual a la suma de cuadrados explicados ms la suma de los cuadrados de los residuales.Si a todo lo dividimos por 2iytenemos que: + =22221iiiiy yy ;entonces el coeficiente de determinacin se define como: =222iiyyRCon1 02 R .UnvalorR2=1,significaqueesunaajusteperfecto,esdecir, i ix Y + =0 para i=1,....,n. 40 4.1.1 PREDICCIN DE Y CUANDO LA VARIABLE DEPENDIENTE ES ln(Y)Cuando en el modelo de regresin lineal la variable dependiente es logartmica, es decir: iiix Y + + =0) ln(laprediccindeysecalculademaneradistintaalausualmenteutilizadaporque dependerealmentedelanormalidaddeltrminodeerror, i .Paraobteneruna prediccinquenodescansaenlanormalidad,sisesuponealtrminodeerror icomo independiente de las variables explicativas, se tiene que: ) ... exp( ) | (2 2 1 1 0 0 k kx x x x y E + + + + =en donde 0es el valor esperado de exp(i ), lo cual debe ser mayor que la unidad. Dado un estimador de 0 , se puede pronosticar y como: ) n exp(l 0y y =Resulta que se obtiene un estimador consistente de 0 . Finalmente el mtodo que se sigue para predecirycuando lo variable dependiente es ln(y) es37: 1)Obtener los valores ajustados iy n lde la regresin de ln(y) sobre x1,x2,....,xk. 2)Para cada observacin i, generar). n exp(l i iy m =3)Hacer la regresin de y slo sobre la variablem sin intercepcin; es decir, una regresin simple al origen. El coeficiente demes el estimador de 0 . 4) Obtener la prediccin) n exp(l 0y y = . 4.2 SELECCIN DEL MODELO. En el caso de regresin lineal es importante establecer una estrategia de seleccin de modelos para eliminar variables independientes no significativas. En este trabajo se utiliz la siguiente estrategia que consta de los siguientes pasos: 1)Seajustaelmodeloqueincluyetodaslasvariablesindependientes consideradas. 37 Wooldridge, J.W., Introduccin a la Econometra: Un Enfoque Moderno, Thomson Learning, 2001, pp.202-204. 41 2)Seeliminalavariableconelvalor-pmsaltoysuperioral5%porserno significativa. 3)Serepitei)yii)hastaquenoseaposibleeliminaralgunavariableporque todas son significativas. 4.2.1 CRITERIO DE INFORMACIN BAYESIANO (BIC). ElCriteriodeInformacinBayesiano(BayesianInformationCriterion(BIC))esun estadsticoparaidentificarelmejormodelodentrodeunconjuntodemodelos considerados. Para modelos de regresin lineal mltiple, el BIC se define como38: 2* ) ( * sn p nn BICnp= donde p= nmero de parmetros ( ) n= nmero de observaciones. s= (error tpico)2 Dentro de el conjunto de modelos considerados, el mejor modelo es aqul que tiene el mnimo BIC. 4.3 PROCESO POISSON HOMOGNEO. Unprocesocontinuo{ } 0 ), ( > t t N esllamadoProcesodePoissoncontasade ocurrencia , con >0, si satisface lo siguiente: i)N(0)=0. ii)El proceso tiene incrementos,) ( ) ( t N t t N + , independientes. iii)ElnmerodeeventosenunintervalodelongitudtsedistribuyePoisson con media. t Esto es, para toda s,0 t{ } ,!) () ( ) (nte n s N s t N Pnt = = +n=0,1,... 38 Diebold, F.X., Elementos de Prnostico. International Thomson Editores (1999), pp.71-76. 42 Si se satisface la condiciniii) entonces el proceso Poisson tiene incrementos estacionarios y E[N(t)]=. t 4.4 VARIABLES. Como ya se haba visto en el captulo 2son varias las variables que influyen en el valor de los daos materiales causados por un sismo. Se consider a la magnitud y alaprofundidaddelsismocomovariablesmsimportantesporqueestudios cientficamentecomprobadosdemuestranquesonlasvariablesquetienenmayor impacto en los daos causados por un sismo39. 4.4.1 MAGNITUD.Lasmagnitudes(Mag)estnbasadasenondassuperficiales(Ms),peropor costumbredenombreusaremosRichterparaidentificarla.Lamagnitudssmica msaltaregistradaenelterritorionacionalhasidode8.2gradosRichterel3de Juniode1932enColimaJalisco.El terremotodel18deSeptiembrede1985tuvo unamagnitudde8.1.Untotalde936tembloresmayoresa5gradosRichter,se encontraronenlabasededatosproporcionadaporelSistemaSismolgico Nacional. En la Fig.5 se grafica las magnitudes de los sismos ocurridos en Mxico de 1900 a 2000 y cuya magnitud fue superior a los 6 grados Richter. 39DiagnsticodePeligroseIdentificacindeRiesgosdeDesastresenMxico,AtlasNacionalde Riesgos de la Republica Mexicana, 2001, CENAPRED. Lugo,Jos;Hubp/Moshe,Inbar,DesastresNaturalesenAmricaLatina,CompiladoresFondo Cultura Econmica 43 FIG. 5. Sismos en la historia de Mxico. Fuente: Clculos propios. Comoinformacinadicional,enlaFig.6se grafica latemporadadelaoenlaque ocurren ms sismos, cabe mencionar, que este clculo es poco significativo debido a la incertidumbre de ocurrencia de los sismos. FIG. 6.Temporada del ao en que ocurren mas sismos. Fuente: Clculos propios. 4.4.2 PROFUNDIDAD DEL EPICENTRO. Laprofundidadmsgrandequeseharegistradoenlahistoriadelossismosen Mxico ha sido de 334 kilmetros. La profundidad promedio es de 37.8 km. Fuentes entrevistadas40 aseguran que un sismo tiene mayor impacto catastrfico cuando la profundidad de stees pequea sin importar la magnitud que registre. Es decir, la profundidad es inversamente proporcional al dao causado, contrariamente a lo que 40 Entrevista Personal: M.C. Carlos A. Gutirrez Martnez. Subdirector de Riesgos Ssmicos, CENAPRED. 44 secree.Unsismode10kilmetrosdeprofundidadconmagnitudRichterde6.5 puede ser ms destructivo que un sismo que registre 30 kilmetrosde profundidadylamismamagnitud.EnlaFig.7serepresentalasprofundidadesdelossismos ocurridos en Mxico de 1900 a 2000. FIG. 7. Profundidad en la historia de los sismos en Mxico Fuente: Clculos propios. En la siguiente tabla se presentan datos de la magnitud y profundidad de los sismos ocurridos en Mxico de 1900 a 200041. Prof max334km Prof min0km Prof promedio37.87 km Magnitud max8.20 Magnitud min4.10 Magnitud promedio 5.61 TABLA 4. Algunos datos de las variable ms importantes para la creacin del bono catastrfico. Fuente: Clculos propios. 4.4.3 LONGITUD DEL EPICENTRO. Lalongituddelepicentro(long)estdefinidacomopositiva(+)paraelEstey negativa(-)paraelOeste.Lalongitudmsaltaregistradaparasismosduranteel periodo1900-2000fuede-72.6grados,conunamnimade115.5gradosyuna 41Clculos hechos sobre la base de datos construida. 45 latitud promedio de 99.64 grados. La siguiente figura representa la longitud de los sismos ocurridos en Mxico de 1900-2000. FIG 8. Longitud en la historia de los sismos en Mxico. Fuente: Clculos Propios. 4.4.4 LATITUD DEL EPICENTRO. La latitud del epicentro (lat) est definida como positiva(+) para el Norte y negativa (-) para el Sur. La latitud mxima encontrada de los sismos del siglo pasado fue de 33.08 grados, una latitud mnima de 13.36grados y una latitud promedio de 17.92 grados.LaFig.9presentalalatituddelossismosocurridosenMxicode1900a 2000. FIG. 9. Latitud en la historia de los sismos en Mxico. Fuente: Clculos Propios. 4.4.5 DAOS. Losdaosmaterialesocasionadosporunsismosonmedidosendlares.El desastreenmillonesdedlaressebasaenelvalordeldlareneltiempoenque ocurrieleventoperosehaceunajusteporinflacinadlaresde1990.Esta 46 variabledependedelaprofundidadymagnituddelsismo.Amenorprofundidady mayor magnitud, mayor es el dao material ocasionado. Asimismo se relaciona a la variable daos con la poblacin porque su relacin es directamente proporcional; es decir, ante una amenaza de sismo la cantidad de daos depende del tamao de la poblacindellugarendondeocurraeldesastre.Losdaosypoblacinestnen trminos del ao 1990. La Fig.10 presenta los daos materiales ocasionados por los sismos ocurridos en Mxico durante 1900-2000. FIG. 10. Daos econmicos ocasionados por sismos en Mxico. Fuente: Clculos Propios. EsimportantenotarquelosestadosconmayorocurrenciadesismossonColima, Jalisco, Guerrero, Oaxaca, Chiapas, DF, Puebla, Veracruz. (Vase la Fig.11). FIG. 11. Estados que presentan alta sismicidad. Fuente: Clculos Propios. 47 4.5 MODELOS USADOS PARA EL CLCULO DE BONOS CATASTRFICOS. Debidoalanovedaddelosbonoscatastrficosenelmercadosonvarioslos mtodos para su clculo:4.5.1 FUTUROS CATASTRFICOS. Unfuturoesunacuerdoentre2partesparahacerunintercambioenunafecha futura.Elprincipalproblemadeldiseodeesteinstrumentoeslaconstruccindel subyacente. Por esta razn, se cre la unin de razones de prdidas de la industria (prdidassobreprimas)paradefinirelsubyacenteyasconstruirvariostiposde derivados. Si la fecha de vencimiento es T y el valor nominal de $25,000, entonces el valor establecido para el futuro catastrfico ser: V(T)=$25000*min(Sp(T)/Pp(T),2) DondeSp(T)serefierealprocesodeprdidayPp(T)lasprimasquecubrenlas prdidas sobre el periodo [0,T] La construccin de Sp(T) es una clara distincin que tiene que ser hecha entre las prdidas actuales y las reservadas y entre las fechas de ocurrencia contra las fechas establecidas de las reclamaciones. Sea Xn las reclamaciones individuales, independientes e idnticamente distribuidas, nonegativas,independientesdelnmerodereclamacionesN(t)ocurridasdurante el tiempo t. Suponemos que N(t) se distribuyePoisson . Entonces: ==) (1) (t NiiX t S , con t>0 Para el clculo de futuros se puede usar la teora de no arbitraje, donde el valor V(t) a tiempo t de una reclamacin contingente es igual a: V(t)= E[e-r(T-t)V(T)|Ft] 0T tk kc f cc f ck c 1 ) 1 ( 1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) (T kT k= = 1 ,..., 2 , 1 Si slo son los cupones los que estn en riesgo entonces se remplaza f(c+1) por fc. Por otra parte, si suponemos que la transaccin de bonos se da en un mercado libre de arbitraje y bajo una probabilidad neutral de riesgo, setiene que: = == + + > + >TkTkk Q k P c f T Q T P T Q k P c1 1) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 2 ) Finalmente si despejamos obtenemos la tasa de cupn : = === + >= > =TkTkTkk Q k P f k Q k Pk Q k P f T Q T Pc1 11) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( 1 Debidoaqueelbononopuedereplicarseporotroportafoliosecreaunmercado incompleto y por consiguiente el bono no puede calcularse de la ecuacin (2). Ante elproblemademercadosincompletosseacostumbrausarfuncionesdeutilidad unidasaunprocesodeconsumoagregado.Elconsumoagregadoeselconsumo totaldisponibleenlaeconomaenuntiempoyestadodeterminado.Assetiene que el valor de un flujo de efectivo futuro es: 56 ((

==) ()) 0 ( ()) ( () (1'0'k dC uk C uE d VTKk p dondeC(w,k)eslacantidaddebienesconsumidosenelestadowatiempok, u0.....uk es la utilidad esperada de un proceso de consumo C(k), d es un proceso de flujosdeefectivo.Igualandoconlaformula(1)yteniendounperiododetasasde interscomo r(k), con k=0,1,....T-1 se obtiene que : 1)) ( ()) 1 ( () (1'''1(((

((

+=+wk C uk C uE k rkk p 57 5. ESTIMACIN DEL BONO CATASTRFICO EN MXICO. En este captulo, a partir de las herramientas anteriores, se calcula el valor del bono catastrficoparaterremotosenMxico.Seconstruyunabasededatosde terremotosyapartirdeestainformacinserealizaelmodelajedelosdaos causadosporterremotosenMxico.Laseveridaddelterremotosemodelcon regresin lineal y la frecuencia con un Proceso Poisson Homogneo. Finalmente se construyeelbonoconayudadevalorespresentesactuarialesysecalculanlas tasas de inters que logran que el bono funcione y convenga.5.1 ANLISIS DE REGRESIN LINEAL. 5.1.1 CONSTRUCCIN DE LA BASE DE DATOS. Debidoalafaltadeinformacindedaosmaterialesyhumanoscausadosporlos sismosenlaRepblicaMexicanasetuvoquerecolectarlainformacin.Esta recoleccinsebasapartirdelregistrodetembloresquetieneelSistema SismolgicoNacional(SSN),institucinqueposeelainformacinmsfidedigna acerca de sismicidad en Mxico. Para la obtencin de la base de datos se recurri a varias fuentes: Centro Nacional dePrevisindeDesastres(CENAPRED);SistemaSismolgicoNacional(SSN); Internet:UniversidaddeLouvain,Blgica;NationalGeophysicalDataCenter (NGDC)oftheUnitedStatesofAmerica;PeridicoElUniversalydiferentes publicacionessobreeltema.Debidoaquemuchosdelosdatosfueronmedidos subjetivamente el modelo a probar cuenta con un margen de error significativo. A continuacin se comentarn los pasos que se siguieron a fin de obtener la base dedatosdedaoseconmicos,materialesyhumanoscausadosporsismosen Mxico: El SSN proporcion las fechas de los sismos en Mxico a partir de 1900 a la fecha, ascomolalongitud,latitudyprofundidaddelepicentroy,magnituddelsismo.El 58 CENAPREDotorgalgunosdatosdelossismosmsimportantesde1900ala fecha. Junto con el CENAPRED y otras dos bases de datos obtenidas de internet: una de la Universidad Catlica de Louvain en Blgica y la otra por NGDC se logr obtener los datos de los sismos de este siglo. La base de datos es una base que contiene a lossismosenMxicodesde1900al2000.Lainformacinfueproporcionadapor fuentes acadmicas y cientficas, regionales y de catlogos mundiales. Los sismos queseestudiaronsondemagnitudmayora5gradosRichter.Eventosantesde 1912nofueronlocalizadosinstrumentalmente,debidoaquenoexistaalguna institucinencargadademedirobjetivamentelossismos(elSSNfuncionaapartir de 1912). La descripcin de los datos se distribuye de la siguiente manera: Ao, Mes, Fecha, Hora, Minuto, Latitud, Longitud, Profundidad (Km), Magnitud, Intensidad, Nmero de muertes,Desastreenmuertes,Daosenmillonesdedlares,Desastrededao, Tsunamiasociado,Localizacin,fuentedeobtencin,heridos,lesionados, afectados,damnificados,edificiosdestruidos,casasdestruidas,casasdaadas, donacin y porcentaje de destruccin de casas. Lafechaytiemposondadosencoordenadasdetiemposuniversales.La localizacin es dada con base a la latitud y longitud de la localidad donde ocurri el epicentro; la localizacin geogrfica es slo una aproximacin. Primero se define el estado y despus la o las ciudades donde el dao fue reportado. La profundidad del terremotoesdadaenkilmetros.Lasmagnitudes(Mag)estnbasadasenondas superficiales(Ms).LaIntensidadesmedidaenlaescaladeMercalliyesdadaen nmerosromanos.Cuandountsunamifuegeneradoporelterremoto,un''1'' aparece en la columna de Tsunamis asociados. Muchas de las muertes no son registradas, pero cuando existen es porque hay una referencia que las sostiene. Cuando no hay un registro de muertes, el desastre de 59 muertessebasaenunalistaordinal(1=Pocos,2=algunos,3=muchos)porque muchasvecesenlaliteraturayperidicosconsultadosenlugardeencontrarun nmero de muertes, se encontraba el valor subjetivo correspondiente a: 1= Pocos muertos (correspondiente de 1 a 50 muertes), 2= Algunos muertos (de 51 a 100 muertos) y 3= Muchos muertos (ms de 101 muertos). El desastre en dlares se basa en el valor del dlar en el tiempo en que ocurri el evento.Sinembargoenmuchoseventosnoseofrecaunavaluacincuantitativa del dao, por lo que se realiz una tabla de equivalencias de los trminos subjetivos que se proporcionaban (todo a dlares de 1990) 1= Limitado (menos de $1 milln), 2= Moderado ( de $1 a $5 millones), 3= Severo ( de $5 a $25 millones) y 4= Extremo (arriba de $25 millones o ms). En muchos registros, solamente una sola descripcin fue disponible. Estos trminos fueron usados para cuantificar el dao observado. A causa de falta de informacin, LIMITADOesconsideradocomosinnimodeleveypequeo;SEVEROcomo grande, extensivo y pesado y EXTREMO como catastrfico. Se aplicaron factores de ajustes de inflacin y tipos de cambio para traer los daos y las muertesal ao de 1990 ya que estaban medidos en aos corrientes. Para el ajustedemuertes,seinvestigeltotaldehabitantesporentidadfederativaenlos Censos de Poblacin y Vivienda que se realizan cada 10 aos50, en algunos casos seobtuvo eltotaldehabitantesporcada5aos(por ejemplo:1885,1995)Apartir de esto se calcul la tasa de crecimiento geomtrico que hubo entre cada decenio: 50 www.inegi.gob.mx 6/3/2003, Paridad promedio del peso con el dlar estadounidense (1821-1997);Poblacin anual por entidad federativa, 1900-2002 60 cPPtt+ =+11 Despus se convirti esta tasa de crecimiento decenal (o quinquenal) a una anual, es decir: 10 * ) 1 ) 1 (( )101 ( 1101* 10* + = + = + c ccc Conestanuevatasadecrecimientoanualseobtuvieronlasnuevaspoblaciones anuales para cada entidad federativa. Luego se aplic el factor de ajuste a cada una de las poblaciones anuales para ponerlos en trminos del ao de 1990. El factor de ajuste es unaregla de tres. Como las muertes estaban en aos corrientes, a las muertes se les aplica el factor de ajuste por entidad federativa al ao de 1990, es decir: ao poblacinpoblacinmuertes_1990* Paraelajustededaoseinvestiglaparidadpromediopesocontradlar estadounidense(1900-1990)ylainflacinamericanadeeseperiodo,tomando como ao base el de 1990. Entonces a los daos que se encontraban en pesos se les aplic el tipo de cambio de ese ao y despus la inflacin. As todos los daos se convirtierona dlares de 199051 y se ajustaron a las poblaciones afectadas por el sismo (poblaciones proyectadas a 1990). Finalmente se intersect la informacin proporcionada por todas las bases de datos consultadasyseeliminaronlosregistrosdesismosquenotenaninformacinde muertes o daos. Se trabaj con 63 registros de sismos.52 51 CPI, U.S., 1860-1970,annual. http://www.personal.buseco.monash.edu.au~hynd,man/TSDL/mac-eco.html6/3/2003http://lib.umich.edu/libhome/Documents.center/historiccpi.html6/3/2003 53Ver tabla 1 en el anexo. 61 La base de datos obtenida se ha enfocado ms a los terremotos que han causado ms muertes o daos materiales;ya que el nmero de reportes de sismos depende delainformacinhistricaconlaquecuentalaregindeestudioydelatasade desarrollo de los diferentes centros de poblacin. Debidoaesomuchasvecessesugiereerrneamentequeestadsticamentela actividadssmicahaaumentadoapartirde1900alafecha,perostoseatribuye realmente a un mayor desarrollo de la ciencia sismolgica. 53 5.1.2 ELECCIN DE VARIABLES. Lasvariablesaestudiarfueronaquellasqueestabanvinculadasaprdidas monetariasyhumanasocasionadasporsismos.Aliniciosehabanelegidolas variablesdedaosymuertes comolas candidatosparamodelarladistribucinde prdida, pero no exista explicacin lgica de relacionar a los daos como variable dependientedelamuerte.Asquesepropusieronnuevasvariablesexplicativas: MagnitudRichter,Profundidad,Indicadordelocalizacindelsismo,Indicadordel sismodel1985yfinalmenteinteraccionesentrelasvariablesanterioresqueson punto clave para el clculo del umbral del bono. Enlafigurasiguientesepresentaelnmerodemuertesque hansidoprovocadas por sismos ocurridos en Mxico desde 1900 al 2000. 53CatalogofSignificantEartquakes,WorlddataCenterAforsolidEarthGeophysics,National Geophisical Data Center,NOAA, USA. 62 FIG. 13. Grfica de nmero de muertes provocadas por sismos. Fuente: Clculos Propios. Sellevoacabounanlisisderegresinutilizandocomovariableindependientea Daosoln(Daos)ycomoindependientesalamagnitud(Richter)oln(magnitud), profundidad o ln(profundidad), latitud o ln(latitud), longitud o ln(longitud) y muertes o ln(muertes).Acadamodelopropuestoseleaplicelmodeloderegresinlineal, herramienta proporcionada en Excel; se compararon las estadsticas de la regresin (coeficientedecorrelacinmltiple,coeficientededeterminacinR2,R2ajustada, errortpicoynmerodeobservaciones),elanlisisdelavarianza(gradosde libertad, suma de cuadrados, promedio de los cuadrados, F y valor crtico de la F de laregresinylosresiduos),loscoeficientes,errorestpicos,estadsticost, probabilidades,cuartilesinferioresysuperioresdelasdistintasvariablesysu respectivoanlisisdelosresiduales.Paraverejemplosdelasdistintas combinacionesverlatabla2delanexo.Enalgunasdelascombinacionesse eliminaron algunos registros porque eran datos extremos que hacan que el modelo tuvieraunerrorsignificativo,porejemploenlabasedeDatosdelaUniversidad CatlicadeLouvainexistanvariosregistrosrepetidosconlosdaosmonetarios causados por el sismo de 1985. Ademsse propuso utilizar las siguiente variables indicadoras:

El sismo fue sentido en el DF. El sismo no fue sentido en el DF. =01) 1 , 0 ( I 63 Sismo de 1985 En otro caso. 5.1.3 INTERACCIN DE VARIABLES. Se incluyeron interacciones en la regresin, aquellas variables que pueden tener asociacin entre s. Las interacciones que se incluyeron son: Richter * Profundidad Ln ( Richter ) * Ln ( Profundidad ) 5.1.4 SELECCIN DEL MODELO. Elcriterioparalaeleccindelmodelofuecalcularelcoeficientededeterminacin (R2) y el BIC54 entre todos los modelos pensados. La tabla 2 del anexo muestra que elcoeficientededeterminacinmsaltoqueseencontrfuede0.9415que corresponde al modelo 55d) y a un coeficiente de correlacin de .97 que tiene como variabledependientealn(daos)ycomovariablesindependientesaln(Richter), ln(profundidad),interaccinRichter*Profundidadylaindicadorasieselsismofue enDistritoFederalI(0,1).Sedecidinotomarencuentaalosmodelosque presentabanlavariabledemuertes,aunquetuvieranuncoeficientedecorrelacin alto por el problema de interpretacin de datos. Despus de obtener los coeficientes de determinacin se calcularon los pronsticos de daos para los registros que no contaban con esta informacin y de esta manera completarlabasededatos.Paraverificarqueloscoeficientespronosticaranlo correcto se utiliz un factor de ajuste 0 porque la variable dependiente result ser ln(y). De esta manera se pudo pronosticar a y como55: ) n exp(l 0y y = 54 Criterio de Informacin Bayesiano. 55 Wooldridge, J.W, Intoduccin a la Econometra: Un Enfoque Moderno, Thomson Learning, pp.202-204. =01) 1 , 0 ( 85 I 64 De los modelos obtenidos se eligieron los mejores, es decir, aquellos modelos con mayorcoeficientededeterminacin,mayorR2ajustadayvalorFsignificativo.Sin embargo,losmodelosnopodansercomparadosporquenotenanelmismo nmero de observaciones. As que se aplic otro criterio de seleccin: el Criterio de Informacin Bayesiano (BIC)56. ParacalcularelBICdecadaunodelosmodelossetuvoquerepetirel procedimientoderegresinlinealalosmejoresmodelosobtenidosanteriormente peroahoraajustadosauntamaodeterminadodeobservaciones,altamaode observacionesdelmejormodeloanterior:17observacionesdelmodelo55d)yse calculelBICconlafrmuladelcaptuloanterior.Despusdehaberobtenidoel BIC de todos lo modelos, se escogi el modelo que tena el mnimo BIC. Latabla2enelanexomuestralosdistintosmodelosqueseobtuvieron,es importante observar que en esta tabla todos los modelos tienen diferente nmero de datosporloquenopuedensercomparadosentresentrminosdeR2.Mientras que en la tabla 3 del anexo muestra los mismos modelos de la tabla 1, pero ahora ajustadosalnmerodedatosdelmejormodelo(55d),suBICylosmejores modelos obtenidos. De esta manera los mejores modelos fueron: 55d, 53b, 63e, 18d, 49f y 30f .57 55d) Con un BIC= 1.27543895, R2=.9416 y 0=1.4979058. Daos=exp(-39.852658+36.47ln(Richter)-5.8496ln(Profundidad)-1.4757Richter* Profundidad + .0182933 I(0,1)) 53b) Con un BIC= 1.35466983, R2=.94786 y 0=1.18217127. Daos=exp(-4.13900146+4.97189332Richter-5.75345575ln(Profundidad)- 1.541262831 I(0,1) + 0.27934771 I85(0,1) + .018551461 Richter * Profundidad) 56 Fiebold, F.X, Elementos de Pronstico, International Thomson Editores (1999) pp.71-76. 57 Ver tabla 4 en el anexo. 65 63e) Con un BIC= 1.40690621, R2=.93558 y 0=1.00938292. Daos=exp(-16.8596396+6.5766116Richter+0.1056636Profundidad2.60321052 ln(Richter) * ln(Profundidad) 1.644725461 ln(Richter) * ln(Profundidad)) 18d) Con un BIC= 1.52088534, R2=.91724 y 0=1.71964839. Daos=exp(-30.9047157+32.01458423ln(Richter)6.19590715ln(Profundidad)+ 0.0210626 Richter * Profundidad) 49f)Con un BIC= 1.53687886, R2=.91637 y 0=1.19560375.Daos=exp(-14.2787736+5.35448974Richter2.21680121ln(Profundidad) 1.8033094 I(0,1)) 30f) Con un BIC= 1.161617403, R2=.91206 y 0=1.37623143. Daos=exp(-51.2135872+38.4282528ln(Richter)2.29976079ln(Profundidad) 1.7466954 I(0,1)) Se graficaron las curvas de prediccin de los modelos anteriormente expuestos con la finalidad de interpretarlos: 55d) 66 53b) 63e) 18d) 67 49f) 30f) FIG. 14. Grficas de los mejores modelos obtenidos. Fuente: Clculos Propios. Elmodelo55d)sisatisfacalascondicionesdeprofundidadymagnitud,pero pronosticaba para un sismo de magnitud alta y profundidad baja, daos esperados mnimosocasinulos.Asqueseoptporlosmodelos53b,63e,18d,49y30f, porquerespetabanlacongruenciadelasvariablesyestimabanlosdaos apropiados. 5.1.5 VALIDACIN DEL MODELO. Para saber que tan bien se ajustan los modelosse hace referencia a la bondad de ajuste de los mismos. Diversos criterios miden la bondad de ajuste del modelo a los 68 datos.Unaposibilidadconsisteenverqutanconfiablessonlosresultados obtenidosapartirdelosparmetrosestimados,sinolvidarquestosestn estimados a travs de la experiencia del evento. Se suele utilizar -2ln(verosimilitud), pero en nuestro caso la forma de validacin del modelo fue a travs del Criterio de Informacin Bayesiano (BIC). 5.1.6 ANLISIS DE RESIDUALES. Losresidualesestandarizados,proporcionadosporlaherramientadeanlisisde DatosdeExcelsedefinencomoelcocienteentrelosresidualesyunaestimacin de su desviacin estndar. Donde los residuales son la diferencia entre los valores observadosylaspredicciones,esdecir. i iy y Loquesemuestraenlasgrficas siguientes es cmo los modelos predijeronlos daos, mientras ms cercanos estn al cero mejor los predijo. 69 FIG. 15. Grficas de Residuales de los modelos obtenidos. Fuente: Clculos Propios. 70 5.1.6VALORES ATPICOS. Los valores atpicos son aquellos que el modelo no fija bien y se identifican aquellos cuyos valores absolutos de los residuales estandarizados son mayores a 2. El valor atpicoquevemosenlatablasiguientecorrespondeaelsismodel19de Septiembre de 1985 (rengln 11). . TABLA 5. Residuos estndares. Fuente: Clculos Propios. 5.1.7 OBSERVACIONES INFLUYENTES. Las observaciones influyentes son aquellas que si no se consideran en el anlisis, los resultados cambian radicalmente. Se calculan mediante las distancias de Cook, la cual es una medida global acumulada del efecto de quitar la i-sima observacin delmodelo.Algunosejemplosdeestetipodeobservacionessonlossismosde 1957oelde1985,quecausarongrandesdaosysiseeliminandelanlisis,los modelos cambian drsticamente. 71 5.2 PROCESO POISSON HOMOGNEO. Como el valor de bono es el valor esperado de los daos ocasionados por el sismo, entonces se necesita estimar la tasa de ocurrencia del evento. Es concebible tener un desastre natural que tendr o no repercusiones financieras, mssiocurreenreassubdesarrolladas,constoenmente,asumimosqueel proceso de catstrofe es un Proceso Poisson. Usamos este proceso para incorporar lasdistintascaractersticasdelprocesodecatstrofeyas,eltiempodelumbral puedeservistocomounpuntodeunprocesoPoissonconintensidadestocstica ( )dependientedelndicedeposicin.Sinembargo,estoseventospuedensero no prdidas econmicas; supondremos que las prdidas econmicas asociadas son independientes de cada evento y con una probabilidad comn. Losbonoscatastrficossonofrecidosengrandescamposdebidoalimpredecible proceso de la catstrofe: 100 aos (en pases con gran actividad ssmica), 500 aos (conactividadssmicamedia)y1000aos(enpasesconbajaactividad).Porlo tanto supusimos que la probabilidad de que ocurra un evento dentro de la zona de pagodelbono(umbral)esuniforme,debidoaqueparacualquiertiempot,la probabilidad de ocurrenciaes la misma. De esta forma se pens en una regin de pago discretizada con el fin deobtener los daos esperados para cada uno de los modelos anteriormente obtenidos. Estas regiones de pago fueron determinadas por magnitudes y profundidades dadas. Para definir la regin de pago se escogieron los temblores con magnitud entre 7 y 8.5 en escala de Richter, con profundidad de cero a40kilmetrosysepropusierontrespuntosclaves:elmximo(mayormagnitud, menorprofundidad),elmnimo(menormagnitud,mayorprofundidad)yelpunto medioS(puntomediodelaregindepago).Seeligiestazonaconbasea informacinhistricadelossismosenMxico.Entonces,seaSelumbralparael cual se emite el bono, con magnitud mayor o igual a 7.8 grados Richter, profundidad menor o igual a 20 kilmetros y como un punto medio, de corte, con probabilidad de .5. 72

FIG. 16. Regin de pago para definir el umbral del bono. Fuente: Clculos Propios. Entonces,comoslosetomencuentaelnmerodeeventospasados(sismos) quecaendentrodelaregindepagoenuntiempodeterminado(100aos)yse quiereestimarfuturoseventos,sesuponequelaprobabilidaddeocurrenciadela catstrofesigueunProcesoPoissonHomogneo,contiemposexponencialmente distribuidos, porque se supone que los sismos cuentan con la propiedad de prdida de memoria. Entonceslatasadeocurrenciadelterremoto(lambda)correspondienteala probabilidad de ocurrencia del evento se calcul de la siguienteforma: = Finalmenteseobtuvounalambdaequivalentea.08tembloresporao,esdecir, ocurrenaproximadamente8sismosconmagnitudmayoroiguala7.8grados Richteryconprofundidadmenoroiguala20kilmetroscada100aos,segnla experiencia ssmica en Mxico. En la Tabla 6, se presentan algunos umbrales con sus correspondientes tasas de ocurrencia de terremotos. Nmero de sismos que estn por arriba del umbral establecido en la zona de pago100 aos de sismicidadMagnitud (grados Richter) Profundidad (km) . S .

77.8 8.540 20 Regin de pago 73 Magnitud mayor o igual a Prof menor o igualFrecuencia Lambdas7.53080.08 7.535190.19 7.540200.2 7.52580.08 7.533190.19 740580.58 735560.56 733540.54 730320.32 7.340310.31 7.335300.3 7.333300.3 7.330150.15 TABLA6.Probabilidadesdeocurrenciadeterremotossujetasadiferentesmagnitudesy profundidades a lo largo de 100 aos de sismicidad en Mxico. Fuente: Clculos Propios. Acontinuacin,conbaseenelcaptuloanterior,semodelaelbonocatastrfico para Mxico. 5.3 MODELAJE DEL BONO CATASTRFICO EN MXICO. Para la teora del clculo del bono se pens en la idea de un fondo gubernamental, comolohicieronLewisyMurdock(1996).Elmodeloquesepresentaparala valuacin de bonos catastrficos est basado en el equilibrio de valuaciones, la cual sepuedehacerendosprocesos:primeroseleccionandolastasasdeintersque envuelvenlascatstrofesysegundoestimandolaprobabilidaddecatstrofe ocurrida.Unavezhechosto,secalculaelvalorpresenteactuarialdelbonoyse obtienenlosdisponiblesdedineroporpartedelgobiernoydelinversionistaal momento de la catstrofe. La dinmica de tasas de inters qu