1Captulo I: Variable Compleja

Profesor: Raul Fierro P.

1 Los Numeros Complejos

1. Definiciones y Notaciones El conjunto de los numeros complejos es C = RR.Si z = (a, b) C, anotaremos a = Re(z) y b = Im(z).

Sobre C es posible definir la estructura algebraica siguiente:

Suma: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

Producto: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad+ bc).

Con estas operaciones, se tiene que (C,+, ) es un cuerpo conmutativo (o campo).Definimos C0 = {(x, 0) : x R}. Luego, C0 es un subcuerpo de C0 isomorfo a R.Por esta razon, supondremos que R C; es decir, identificaremos todo x R con elnumero complejo (x, 0).

Notemos que

(x, y) = (x, 0) + (0, y)

= (x, 0)(1, 0) + (0, 1)(y, 0).(1)

Anotaremos 1 = (1, 0) e i = (0, 1). Luego, aplicando estas notaciones a (1) se

tiene (x, y) = x + iy (forma normal). El conjugado de (a, b) C se define como(a, b) = (a,b). Es decir, a+ ib = a ib.

2. Propiedades Sean z y w en C. Entonces,

(2.1) z = z.

(2.2) z + w = z + w.

(2.3) 1/z = 1/z, si z 6= 0.

(2.4) z w = z w.

(2.5) z z = z z = Re(z)2 + Im(z)2, para cada z C.

2 Fierro

(2.6) z + z = 2Re(z).

(2.7) z z = 2i Im(z).

3. Definicion Sea z C. El modulo de z se define por

(3.1) |z| =Re(z)2 + Im(z)2.4. Propiedades Sean z y w en C. Entonces,

(4.1) |z|2 = z z.

(4.2) |z| = |z|.

(4.3) |z w| = |z||w|.

(4.4) |1/z| = 1/|z|, si z 6= 0.

5. Proposicion Sean z y w en C. Entonces,

(5.1) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re(z w).

6. Teorema (Desigualdad triangular.) Sean z y w en C. Entonces,

(6.1) |z + w| |z|+ |w|.

7. Forma Polar

Figure 1: Forma Polar

De Figura 1, se observa que todo numero complejo z 6= 0, se puede expresar como

3(7.1) z = |z|(cos() + isen()).

Para z C tal que z 6= 0 definimos el argumento de z de la manera siguiente:

arg(z) =

{ : tan() = y/x y cos() > 0} si x > 0{ : tan() = y/x y cos() < 0} si x < 0{pi2+ kpi : k Z} si x = 0 e y > 0

{pi2+ kpi : k Z} si x = 0 e y < 0.

Notese que para todo arg(z), (7.1) se satisface. Notemos ademas que existeun unico [0, 2pi[ que satisface (7.1). Anotaremos este valor por Arg(z). Es decir, = Arg(z), si y solo si, arg(z) [0, 2pi[.

Para R, anotemos

(7.2) ei = cos() + isen().

Luego, (7.1) es equivalente a

(7.3) z = |z| ei.

Si = Arg(z), la forma (7.3) de expresar un numero complejo z distinto de cero,

se conoce como forma polar de z.

8. Proposicion Para todo y en R,

(8.1) ei(+) = ei ei.

9. Corolario Sean z y w en C = C\{0}. Entonces,

(9.1) zw = |z||w| ei(Arg(z)+Arg(w)).

10. Corolario Sean z C y n N. Entonces,

(10.1) zn = |z|n einArg(z).

11. Definicion Sean z C y n N(= N\{0}). El conjunto de las n racesn-esimas de z esta definido como

(11.1) nz = {w C : wn = z}.

12. Teorema Sean z C y n N. Entonces,

(12.1) nz = {ei(Arg(z)+2kpi)/n : k {0, 1, . . . , n 1}}.

4 Fierro

2 Funciones elementales

1. Funcion racional Una funcion racional es una funcion de la forma R(z) =

P (z)/Q(z), donde P (z) y Q(z) son polinomios en z.

2. Funcion exponencial Sea z = (x, y) C. Anotaremos,

(2.1) ez = ex eiy .

3. Propiedades Sea z y w en C. Entonces,

(3.1) | ez | = eRe(z).

(3.2) ez+w = ez ew .

(3.3) Im(z) arg(ez).

4. Funcion logaritmo La funcion logaritmo log : C 2C esta definida por

(4.1) log(z) = {w C : z = ew}.

5. Observaciones

(5.1) log(0) = .

(5.2) log(z) = ln(|z|) + i arg(z), si z 6= 0.

6. Definicion Una funcion de C en 2C recibe el nombre de funcion multivaluada.

7. Ejemplo Las funciones R : C 2C tal que R(z) = z y log : C 2C sonfunciones multivaluadas.

8. Notacion Sean a y b en C con a 6= 0.

(8.2) ab = eb log(a) = {ebw : w log(a)}.

9. Ejemplo Calcular 1pi e ii.

10. Funciones trigonometricas

(10.1) cos(z) = (eiz +eiz)/2.

(10.2) sen(z) = (eiz eiz))/2i.

511. Funciones hiperbolicas

(11.1) cosh(z) = (ez +ez)/2.

(11.2) senh(z) = (ez ez)/2.

12. Funciones trigonometricas inversas

(12.1) arccos(z) = {w C : cos(w) = z}.

(12.2) arcsen(z) = {w C : sen(w) = z}.

13. Observaciones

(13.1) Las funciones trigonometricas inversas son funciones multivaluadas.

(13.2) Notese que es posible definir otras funciones trigonometricas, y tambien,

otras funciones trigonometricas inversas. Defnalas!

Ejercicios propuestos

1.- Calcule sen(i), cos(i) y tan(1 + i).

2.- Calcule 2i, ii (1)2i.

3.- Encuentre las partes real e imaginaria de las funciones C(z) = cos(z) y S(z) =

sen(z).

4.- Resuelva en C, cos(z) = 3 y tan(z) = 1.

5.- Demuestre que arctan(z) =1

ilog

1 + iz

1 iz .

3 Lmite y Continuidad

1. Topologa de C La estructura topologica de C es la correspondiente a R R.Por ejemplo, si a C y > 0 entonces, la bola con centro en a y radio esta definidacomo

(1.1) B(a, ) = {z C : |z a| < }.

Si A C, se dice que A es un conjunto abierto, si y solo si, para todo a A,

6 Fierro

existe > 0 tal que B(a, ) A. Analogamente se define los conceptos de punto deacumulacion, frontera, interior de un conjunto, conjunto compacto, etc.

2. Definicion Sean f : A C C, a un punto de acumulacion de A y L C.Diremos que el lmite de f(z) cuando z tiende a a es L, si y solo si, la condicion

siguiente se satisface:

(2.1) ( > 0)( > 0)(0 < |z a| < |f(z) L| < ).

Anotaremos limza

f(z) = L en el caso que (2.1) se satisface.

3. Definiciones Sean f : A C C y a A. Se dice que f es continua en a, si ysolo si, la condicion siguiente se satisface:

(3.1) ( > 0)( > 0)(|z a| < |f(z) f(a)| < ).

Diremos que f es continua, si y solo si, para todo a A f es continua en a.

4. Definicion Sean D C, f : D C y F : C 2C una funcion multivaluada. Sedice que f es una rama de F , si y solo si, D es abierto y conexo, f es continua y para

todo z D, f(z) F (z).

5. Proposicion Sea D = C\{z C : z = (x, 0), x 0}. La funcion f : D C talque f(z) = ln(|z|) + iArg(z) es una rama de log.

Ejercicios propuestos

1.- Sea f(z) =z2 + 1

(z + i)sen(z).

Discuta la continuidad de f y redefina la funcion en aquellos puntos donde la

discontinuidad es remediable.

4 Diferenciacion

1. Definicion Sean a C, D una vecindad de a y f : D C C. La derivada def en a se define como

(1.1) f (a) = limza

f(z) f(a)z a ,

7cuando este lmite existe, y en este caso, se dice que f es derivable en a.

2. Teorema Sean a C, f y g funciones derivables en a, y C. Entonces,

(2.1) (f + g)(a) = f (a) + g(a).

(2.2) (f)(a) = f (a).

(2.3) (fg)(a) = f (a)g(a) + f(a)g(a).

(2.4) (f/g)(a) =f (a)g(a) f(a)g(a)

g(a)2, si g(a) 6= 0.

3. Teorema Sean a C y f y g funciones de C en C tales que f es derivable en a yg es derivable en f(a). Entonces, g f es derivable en a y ademas

(3.1) (g f)(a) = g(f(a))f (a).

4. Teorema Si f : D C C es derivable en un punto a D, entonces f escontinua en a.

5. Definicion Sean f : D C C tal que f(z) = u(z) + iv(z) con u y v funcionesreales, y a D. Las derivadas parciales de f en a se definen (cuando existen) como

(5.1)f

x(a) =

u

x(a) + i

v

x(a) y,

(5.2)f

y(a) =

u

y(a) + i

v

y(a).

6. Teorema Sean f : D C C y a D. Si f es derivable en a entonces existenlas derivadas parciales de f en a y ademas se verifica las dos condiciones siguientes:

(6.1)f

x(a) + i

f

y(a) = 0.

(6.2) f (a) =f

x(a) = if

y(a).

7. Observaciones Sean f : D C C tal que f(z) = u(z) + iv(z) con u y vfunciones reales, y a D. Entonces, las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(7.1)f

x(a) + i

f

y(a) = 0 y,

(7.2)u

x(a) =

v

y(a) y

u

y(a) = v

x(a). (Ecuaciones de Cauchy-Riemann.)

Supongamos ahora que f es derivable en a y que las segundas derivadas parciales

8 Fierro

de u y v existen y son continuas. Entonces,

(7.3)2u

x2(a) +

2u

y2(a) = 0 y

2v

x2(a) +

2v

y2(a) = 0.

8. Definiciones Sean u : D C R y a D. Se dice que u es armonica en a, si ysolo si,

(8.1)2u

x2(a) +

2u

y2(a) = 0.

Si u y v son funciones de D C en R armonicas en a y satisfacen las ecuacionesde Cauchy-Riemann en a, entonces se dice que v es la armonica conjugada de u en a.

9. Ejemplo Sea u(x, y) = 2xy. Determinar (en caso de existir) la armonica conju-

gada de u.

10. Teorema Sean D C un conjunto abierto y f : D C tal que f = u+ iv conu y v funciones reales. Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(10.1) f es derivable en D y

(10.2) u y v son diferenciables, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

11. Corolario Sean D C un conjunto abierto y u y v funciones armonicas conju-gadas de D en R. Entonces, f = u+ iv es derivable.

12. Ejemplos Demostrar que ez, sen(z) y cos(z) son derivables en z y ademas sus

derivadas estan dadas por:

(12.1)dez

dz= ez. (12.2)

d sen(z)

dz= cos(z). (12.3)

d cos(z)

dz= sen(z).

13. Proposicion Si f es una rama de log, entonces f es derivable y f (z) = 1/z.

14. Definicion Sean f : C C y a C. Se dice que f es analtica en a, si y solosi, existe V (a) vecindad de a tal que f es derivable en z para todo z V (a).

15. Ejemplo Sea f : C C tal que f(z) = |z|2. Luego, f es derivable en cero, perono es analtica all.

Ejercicios propuestos

1.- Sean u y v funciones de C en R armonicas conjugadas. Demuestre que el producto

u v es una funcion armonica.

92.- Sea f : C C tal que f(z) = z + zz

. Es f derivable en algun punto?

3.- Demuestre que las funciones cosh y senh son derivables en C y calcule sus derivadas

en z para cada z C.

4.- Sea f : C C la funcion definida por

f(z) =

{z2/z si z 6= 00 si z = 0.

Demuestre que

(4.1) f es continua en 0.

(4.2) f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

(4.3) f no es derivable en 0.

5.- Sea f : C C la funcion definida por

f(z) =

{|z|1/2(cos(Arg(z)

2) + isen(Arg(z)

2)) si z 6= 0

0 si z = 0.

Demuestre que el conjunto de puntos donde f es derivable es el complemento de

{z C : Re(z) 0, Im(z) = 0}. Demuestre ademas que si f es derivable en z,entonces f (z) = 1/[2f(z)].

6.- Sean u y v funciones armonicas conjugadas y sean x = cos() e y = sen().

Demuestre que si 6= 0, entonces

(6.1)u

=

1

v

y

(6.2)v

= 1

u

.

7.- Sea u : C\{0} R tal que u(z) = Re(z)/|z|2.

(7.1) Demuestre que u es armonica.

(7.2) Encuentre la armonica conjugada de u.

(7.3) Si v es la armonica conjugada de u, determine el conjunto de puntos

donde f = u+ iv es derivable.

10 Fierro

8.- Sea u : C R tal que u(x, y) = x3 3x2y 3xy2 + y3.

(8.1) Determine v : C R tal que f = u+ iv sea analtica.

(8.2) Calcule f (1 + i).

5 Integracion compleja

1. Definicion Sea f : R C una funcion continua. La integral de f sobre [a, b] sedefine como

(1.1)

ba

f(t) dt =

ba

Re(f(t)) dt+ i

ba

Im(f(t)) dt.

2. Observaciones

(2.1) Re

ba

f(t) dt =

ba

Re(f(t)) dt e Im

ba

f(t) dt =

ba

Im(f(t)) dt.

(2.2) | ba

f(t) dt | ba

|f(t)| dt.

(2.3)

ba

f(t) dt =

ca

f(t) dt+

bc

f(t) dt, si a c b.

3. Definiciones Una curva en C es cualquier funcion : I C, donde I es unintervalo real. Diremos que es una curva suave, si y solo si, = Re() + i Im()

es continua. Si C es el recorrido de , entonces se dice que C es la traza de .

4. Definicion Sean f : C C continua, : [a, b] C una curva suave y C su traza.La integral de f sobre se define como

(4.1)

C

f(z) dz =

ba

f((t)) (t) dt.

5. Ejemplos

(5.1) Calcular

C

z dz, donde C es la circunferencia de centro en (0, 0) y radio

r > 0.

(5.2) Calcular

C

dz

z a , donde C es la circunferencia de centro en a y radior > 0.

6. Proposicion Sean D C abierto y conexo, y f : D C una funcion analtica.

11

Entonces, para todos z y w en D

(6.1)

[z, w]

f (z) dz = f(w) f(z), donde [z, w] es la traza de una trayectoriacontenida en D que une z con w.

7. Corolario Sean D C abierto y conexo, C la traza de una curva cerradacontenida en D, y f : D C una funcion analtica. Entonces,

(7.1)

C

f (z) dz = 0.

8. Ejemplo Calcular

C

dz

z2, donde C es la traza de una curva cerrada que encierra

el origen.

9. Definicion Sea D C. Se dice que D es un dominio simplemente conexo, si ysolo si, las dos condiciones siquientes se satisfacen:

(9.1) D es abierto.

(9.2) D y Dc son conexos.

10. Teorema (Cauchy.) Sean D C un dominio simplemente conexo y f : D Ccontinua y analtica en D. Entonces,

(10.1)

D

f(z) dz = 0.

11. Observacion Sean D C un conjunto abierto y conexo, y f : D C unafuncion continua y analtica en D. Supongamos que D tiene la forma que se muestra

en Figura 2.

Figure 2: Conjunto abierto y conexo

Entonces,

12 Fierro

(11.1)

C1

f(z) dz = C2

f(z) dz.

Esto implica que si C1 y C2 tuvieran la misma orientacion, entonces,

(11.2)

C1

f(z) dz =

C2

f(z) dz.

12. Ejemplos Calcular C

dz

z a.

en los casos siguientes:

(12.1)

Figure 3: Un lazo

(12.2)

Figure 4: Dos lazos

13. Definicion Sean C la traza de una curva cerrada y a C. El ndice de C en ase define como

(13.1) n(C, a) =1

2pii

C

dz

z a.

14. Observacion n(C, a) es el numero de vueltas de C alrededor de a.

15. Teorema (Formula integral de Cauchy.) Sean a C, r > 0, D = B(a, r) yf : D C una funcion continua y analtica en D. Entonces, para todo n N, existe

13

f (n)(a) y ademas

(15.1) f (n)(a) =n!

2pii

D

f(z)dz

(z a)n+1 .

16. Ejemplo Calcular C

dz

(z a)(z b)2 ,

donde C esta definida por la figura siguiente:

Figure 5:

17. Observaciones Sean D C un dominio simplemente conexo, f : D C unafuncion continua y analtica en D\{a, b}. Entonces, f es analtica en el interior delarea achurada en Figura 6

Figure 6:

Lo anterior implica que

(17.1)

C

f(z) dz =

Ca

f(z) dz +

Cb

f(z) dz.

14 Fierro

Por induccion se obtiene que dados a1, . . . , ar C, si f es analtica enD\{a1, . . . , ar}y C = D, entonces

(17.2)

C

f(z) dz =

Ca1

f(z) dz + +Car

f(z) dz,

donde para cada i {1, . . . , r}, Cai es la frontera de una bola contenida en D, concentro en ai y con orientacion contraria al giro de las manecillas de un reloj.

Definimos el residuo de f en ai (i = 1, . . . , n) como

(17.3) R(f, ai) =1

2pii

Cai

f(z) dz.

Luego, de (17.2) y (17.3) se obtiene,

(17.4)

C

f(z) dz = 2pii(R(f, a1) + +R(f, ar)). (Teorema de los residuos.)

Nos interesa entonces conocer un metodo para calcular los residuos de una funcion

en sus posibles puntos singulares; es decir, en aquellos puntos donde la funcion no es

analtica.

18. Definicion Sean D C un dominio simplemente conexo, a D y f : D\{a} C una funcion analtica. Se dice que f tiene un polo de orden m en a, si y solo si,

existen V (a) vecindad de a y g : V (a) C analtica tal que

(18.1) g(a) 6= 0, y

(18.2) para todo z V (a), f(z) = g(z)/(z a)m.

19. Proposicion Sea f : D\{a} C una funcion analtica con un polo de orden men a. Entonces,

(19.1) R(f, a) =1

(m 1)! limzadm1

dzm1[(z a)mf(z)].

20. Ejemplo Calcular

C

sen(z)

z2(z 1) dz, con C la circunferencia de centro en 0 yradio 2.

Ejercicios propuestos

1.- Calcule las integrales siguientes sobre las curvas que se indica:

(1.1)

C

(x2 iy2) dz. C: parabola y = x2, desde (1, 1) hasta (2, 4).

15

(1.2)

C

|z|2 dz. C: cuadrado con vertices en (0, 0), (1, 0),(1, 1) y (0, 1).

(1.3)

C

z2 dz. C: crcunferencia |z 1| = 1.

(1.4)

C

(z2 + 1)2 dz. C: x(t) = t sen(t) e y(t) = 1 cos(t), desde t = 0hasta t = 2pi.

2.- Calcule las integrales siguientes sobre las curvas cerradas que a continuacion se

indica:

(2.1)

C

ez

z 2 dz. C: circunferencia |z| = 3.

(2.2)

C

e3z

z pii dz. C: elipse |z 2|+ |z + 2| = 6.

(2.3)

C

eiz

z3dz. C: circunferencia |z| = 2.

(2.4)

C

ezt

(z + 1)2dz. C: circunferencia |z| = 3.

3.- Sea f(z) =1

1 z . Demuestre que para todo n N y todo z 6= 1,

f (n)(z) =n!

(1 z)n+1 .

4.- Sea f una funcion analtica dentro de una curva simple y cerrada C y suponga

que f es continua en C. Demuestre que

(4.1) f (a) =1

2pi

2pi0

ei f(a+ ei) d.

(4.2) f (n)(a) =n!

2pi

2pi0

eni f(a+ ei) d.

5.- Para cada una de las funciones siguientes determine los polos y los residuos en

los respectivos polos:

(5.1) f(z) =2z + 1

z2 z 2. (5.2) f(z) = (z + 1

z 1)2.

(5.3) f(z) =sen(z)

z2. (5.4) f(z) = sech(z).

16 Fierro

6.- Demuestre que el residuo de f(z) = cosec(z)cosech(z)/z3 en z = 0 es 1/60.

7.- Encuentre los ceros y polos de

f(z) =z2 + 4

z3 + 2z2 + 2z

y determine los residuos en los polos.

8.- Calcule las integrales siguientes sobre las curvas cerradas que a continuacion se

indica:

(8.1)

C

e1/z sen(1/z) dz C: circunferencia |z| = 1.

(8.2)

C

senh(3z)

z pi/4 dz C: cuadrado limitado por x = 2 e y = 2.

(8.3)

C

2z2 + 5

(z + 2)3(z2 + 4)z2dz C: circunferencia |z 2i| = 6.

(8.4)

C

2 + 3sen(piz)

z(z 1)2 dz C: cuadrado con vertices en 3 + 3i,3 3i,3 + 3i y 3 3i.

6 Integrales reales

1. Problema Sea R una funcion racional en dos variables. Como calcular 2pi0

R(cos(), sen()) d?

2. Ejemplo Calcular

2pi0

cosn() d.

Algunas integrales impropias reales tambien pueden ser calculadas usando variable

compleja.

En lo que sigue, R : [0, pi] C denotara la semicircunferencia definida porR() = R e

i.

3. Teorema Supongamos que para todo z perteneciente a la traza de la curva

R, |f(z)| M/Rk, donde M 0 y k > 1. Entonces,

17

(3.1) limR

R

f(z) dz = 0.

4. Ejemplo Calcular

0

dx

x6 + 1.

5. Teorema Supongamos que para todo z perteneciente a la traza de la curva

R, |f(z)| M/Rk, donde M 0 y k > 0. Entonces, para todo a > 0 se tiene

(5.1) limR

R

eiaz f(z) dz = 0.

6. Ejemplo Para cada R, calcular

0

cos(x)dx

x2 + 1.

Ejercicios propuestos

1.- Calcule las integrales impropias siguientes:

(1.1)

0

dx

x4 + 1. (1.2)

0

dx

(x2 + 1)(x2 + 4)2.

(1.3)

2pi0

sen(3)

5 3 cos() d. (1.4) 2pi0

cos2(3)

5 4 cos(2) d

(1.5)

dx

(x2 4x+ 5)2 .

2.- Demuestre que si m > 0, entonces

0

cos(mx)

(x2 + 1)2dx =

pi em(1 +m)

4.

3.- Encuentre el residuo de f(z) = eiz /(z2 + 1)5 en z = i y calcule

0

cos(x)

(x2 + 1)5dx.

4.- Demuestre que

0

sen(x)

x2dx =

pi

2.