Variables Bidimensional
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Variables Bidimensionales
1. Relacin funcionalDos variables x e y estn relacionadas funcionalmente cuando conocida la primera se puede saber con exactitud el valor de la segunda. EjemploSi se deja caer una piedra, existe una frmula que nos permite calcular exactamente, la altura a la que se encuentra en funcin del tiempo transcurrido.h = g t.
2. Relacin estadsticaDos variables x e y estn relacionadas estadsticamente cuando conocida la primera se puede estimar aproximadamente el valor de la segunda.EjemplosIngresos y gastos de una familia.Produccin y ventas de una fbrica.Gastos en publicidad y beneficios de una empresa.Horas de estudio y calificaciones
3. Variable estadstica bidimensionalUna variable bidimensional es una variable en la que cada individuo est definido por un par de caracteres, (X, Y). Estos dos caracteres son a su vez variables estadsticas en las que s existe relacin entre ellas, una de las dos variables es la variable independiente y la otra variable dependiente.
4. Distribuciones bidimensionalesSon aquellas en las que a cada individuo le corresponden los valores de dos variables, las representamos por el par (xi, yi).Si representamos cada par de valores como las coordenadas de un punto, el conjunto de todos ellos se llama nube de puntos o diagrama de dispersin.Sobre la nube de puntos puede trazarse una recta que se ajuste a ellos lo mejor posible, llamada recta de regresin.EjemploEl puntaje obtenido por 12 alumnos en las pruebas de Matemtica y Fsica en un curso son los siguientes:Matemticas23445667781010
Fsica1324446467910
5. Tabla Bidimensional Tabla de doble entrada. Est formada por tantas filas y columnas como valores tengamos de cada una de las variables, ms una fila y una columna ms para indicar los totales. Est indicada para casos con bastantes datos, en los que para cada valor de una variable, existen varios valores de la otra.
x1x2...xi...xmFrecuencia absoluta de la variable Y
y1f11f21...fi1...fm1fi1
y2f12f22...fi2...fm2fi2
........................
yjf1jf2j...fij...fmjfij
........................
ynf1nf2n...fin...fmnfin
Frecuencia absoluta de la variable Xf1jf2j...fij...f1nN
Escogiendo la primera y la ltima fila, tenemos la tabla estadstica correspondiente a la primera variable unidimensional. Con la primera y ltima columnas construimos la tabla correspondiente a la segunda variable unidimensional. Estas dos distribuciones reciben el nombre de distribuciones marginales. En la ltima celda aparecer el total de la ltima fila y de la ltima columna, es decir, el nmero total de elementos estudiados (N).Adems, en esta tabla puede resultar de inters estudiar distribuciones unidimensionales correspondientes a un valor determinado de alguna de las variables, llamadas distribuciones condicionadas.Ejemplo:En un curso de 30 alumnos y alumnas se ha realizado un estudio sobre el nmero de horas diarias de estudio X y el nmero de asignaturas reprobadas al final de curso Y, obteniendo los siguientes datos: (2,0) ; (2,2) ; (0,5) ; (2,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (3,1) ; (4,0) ; (0,4) ; (2,2) ; (2,1) ; (2,1) ; (4,0) ; (3,1) ; (2,4) ; (2,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (2,0) ; (3,0) ; (3,1) ; (2,2) ; (2,2) ; (2,1) ; (0,5) ; (1,3) ; (2,2) ; (2,1) ; (1,3) ; (1,4) Construir una tabla de doble entrada y calcular la media y la desviacin estndar de cada una de las variables.
Tabla de doble entradaY \ X01234Frec abs Y
02125
18311
2257
322
41113
522
Frec abs X35164230=n
Distribucin Marginal de Xxi fi
03
15
216
34
42
30
Distribucin Marginal de Yyifi
05
111
27
32
43
52
30
6. Covarianza
La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmtica de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.La covarianza se representa por sxy o xy.
La covarianza indica el sentido de la correlacin entre las variablesSi xy > 0 la correlacin es directa.Si xy < 0 la correlacin es inversa.La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.Es decir, la covarianza variar si expresamos la altura en metros o en centmetros. Tambin variar si el dinero lo expresamos en euros o en dlares.
Ejemplos1. El puntaje obtenido por 12 alumnos en las pruebas de Matemtica y Fsica son los siguientes:Matemticas23445667781010
Fsica1324446467910
Hallar la covarianza de la distribucin.xiyixi yi
212
339
428
4416
5420
6424
6636
7428
7642
8756
10990
1010100
7260431
Despus de tabular los datos hallamos las medias aritmticas:
2. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen segn la tabla siguiente:Y/X024
1213
2142
3250
Hallar la covarianza de la distribucin.En primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple y calculamos las medias aritmticas.xiyifixi fiyi fixi yi fi
012020
021020
032060
211212
2248816
235101530
41312312
4228416
20404176
7. Correlacin
La correlacin trata de establecer la relacin o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribucin bidimensional.Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables estn correlacionadas o que hay correlacin entre ellas.Tipos de correlacin1 Correlacin directaLa correlacin directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra aumenta.La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribucin es una recta creciente.
2 Correlacin inversaLa correlacin inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra disminuye. La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribucin es una recta decreciente.
3 Correlacin nulaLa correlacin nula se da cuando no hay dependencia de ningn tipo entre las variables.En este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una forma redondeada.
Grado de correlacinEl grado de correlacin indica la proximidad que hay entre los puntos de la nube de puntos. Se pueden dar tres tipos:1. Correlacin fuerteLa correlacin ser fuerte cuanto ms cerca estn los puntos de la recta.
2. Correlacin dbilLa correlacin ser dbil cuanto ms separados estn los puntos de la recta.
3. Correlacin nula El coeficiente de correlacin lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones tpicas de ambas variables.El coeficiente de correlacin lineal se expresa mediante la letra r.
Propiedades del coeficiente de correlacin1. El coeficiente de correlacin no vara al hacerlo la escala de medicin. Es decir, si expresamos la altura en metros o en centmetros el coeficiente de correlacin no vara.2. El signo del coeficiente de correlacin es el mismo que el de la covarianza.Si la covarianza es positiva, la correlacin es directa.Si la covarianza es negativa, la correlacin es inversa.Si la covarianza es nula, no existe correlacin.
3. El coeficiente de correlacin lineal es un nmero real comprendido entre 1 y 1.1 r 14. Si el coeficiente de correlacin lineal toma valores cercanos a 1 la correlacin es fuerte e inversa, y ser tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime r a 1.5. Si el coeficiente de correlacin lineal toma valores cercanos a 1 la correlacin es fuerte y directa, y ser tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime r a 1.6. Si el coeficiente de correlacin lineal toma valores cercanos a 0, la correlacin es dbil.7. Si r = 1 1, los puntos de la nube estn sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.
EjemplosEl puntaje obtenido por 12 alumnos en las pruebas de Matemticas y Fsica son los siguientes:Matemticas23445667781010
Fsica1324446467910
Hallar el coeficiente de correlacin de la distribucin e interpretarlo.xiyixi yixi2yi2
21241
33999
428164
44161616
54202516
64243616
66363636
74284916
76424936
87566449
1099010081
1010100100100
7260431504380
1 Hallamos las medias aritmticas.
2 Calculamos la covarianza.
3 Calculamos las desviaciones estndar.
4 Aplicamos la frmula del coeficiente de correlacin lineal.
Al ser el coeficiente de correlacin positivo, la correlacin es directa. Como coeficiente de correlacin est muy prximo a 1 la correlacin es muy fuerte.Los valores de dos variables X e Y se distribuyen segn la tabla siguiente:Y/X024
1213
2142
3250
Determinar el coeficiente de correlacin.Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.xiyifixi fixi2 fiyi fiyi2 fixi yi fi
01200220
02100240
032006180
21124112
22481681616
2351020154530
41312483312
4228324816
2040120419776
Al ser el coeficiente de correlacin negativo, la correlacin es inversa. Como coeficiente de correlacin est muy prximo a 0 la correlacin es muy dbil.8. Recta de regresin
La recta de regresin es la que mejor se ajusta a la nube de puntos.La recta de regresin pasa por el punto llamado centro de gravedad.Recta de regresin de Y sobre XLa recta de regresin de Y sobre X se utiliza para estimar los valores de la Y a partir de los de la X.La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable X.
Recta de regresin de X sobre YLa recta de regresin de X sobre Y se utiliza para estimar los valores de la X a partir de los de la Y.La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable Y.
Si la correlacin es nula, r = 0, las rectas de regresin son perpendiculares entre s, y sus ecuaciones son:y = x =
EjemploEl puntaje obtenido por 12 alumnos en una prueba de Matemticas y Fsica son los siguientes:Matemticas23445667781010
Fsica1324446467910
Hallar las rectas de regresin y representarlas.xiyixi yixi2yi2
21241
33999
428164
44161616
54202516
64243616
66363636
74284916
76424936
87566449
1099010081
1010100100100
7260431504380
1 Hallamos las medias aritmticas.
2 Calculamos la covarianza.
3 Calculamos las varianzas.
4Recta de regresin de Y sobre X.
4Recta de regresin de X sobre Y.