Variables estadísticas bidimensionales. Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso,...
-
Upload
jorge-cardenas-sevilla -
Category
Documents
-
view
234 -
download
0
Transcript of Variables estadísticas bidimensionales. Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso,...
Variables estadísticas Variables estadísticas bidimensionalesbidimensionales
Variables estadísticas Variables estadísticas
bidimensionalesbidimensionales Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y
el peso, medido en kg. de un grupo de 10 el peso, medido en kg. de un grupo de 10
personas, podemos obtener los siguientes valorespersonas, podemos obtener los siguientes valores
TallaTalla
(cms(cms))
161600
161655
161688
171700
171711
171755
171755
181800
181800
181822
Peso Peso
(kgs)(kgs)5555 5858 5858 6161 6767 6262 6666 7474 7979 8383
Podemos llamar X a la talla e Y al peso con Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo que se obtendría la lo que se obtendría la variable variable bidimensional (X, Y)bidimensional (X, Y) que toma 10 valores, que toma 10 valores, que son las 10 parejas de valores de la que son las 10 parejas de valores de la tabla anterior: (160,55), (165,58), etc.tabla anterior: (160,55), (165,58), etc.
En la primera fila se colocan los valores de una de En la primera fila se colocan los valores de una de las características o variable que componen la las características o variable que componen la variable bidimensional y en la primera columna los variable bidimensional y en la primera columna los
de la otrade la otra..
En algunos casos el número de "parejas" de En algunos casos el número de "parejas" de valores (x,y) es grande y además muchos de ellos valores (x,y) es grande y además muchos de ellos aparecen repetidos; en este caso se utiliza una aparecen repetidos; en este caso se utiliza una ""Tabla de doble entradaTabla de doble entrada"" como la que se como la que se
muestra a continuación en el ejemplo 2muestra a continuación en el ejemplo 2
Ejemplo 2Ejemplo 2.- Se representa por .- Se representa por X el número de hijos X el número de hijos de de 100100 familias y por familias y por Y el número de hijasY el número de hijas
Nº de hijas(Y)Nº de hijas(Y)
Nº de hijos( X)Nº de hijos( X)00 11 22 33 TotalTotal
00 1010 1515 1515 33 4343
11 1010 1212 77 22 3131
22 88 44 33 11 1616
33 33 22 11 00 66
44 22 11 11 00 44
TotalTotal 3333 3434 2727 66 100100
La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habría 7 familias La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habría 7 familias que tendrían 1 hijo y 2 hijas y ninguna familia tendría 3 hijos y 3 que tendrían 1 hijo y 2 hijas y ninguna familia tendría 3 hijos y 3 hijas.hijas.
Representación gráficaRepresentación gráfica
Diagramas de dispersión o Diagramas de dispersión o nubes de puntos nubes de puntos
La representación gráfica de este tipo de variables La representación gráfica de este tipo de variables es en realidad semejante a la respresentación de es en realidad semejante a la respresentación de
puntos en el plano, usando unos ejes de puntos en el plano, usando unos ejes de coordenadas. Cada pareja de valores da lugar a un coordenadas. Cada pareja de valores da lugar a un punto en el plano y el conjunto de puntos que se punto en el plano y el conjunto de puntos que se
obtiene se denomina obtiene se denomina ""diagrama de dispersión o diagrama de dispersión o nube de puntosnube de puntos".".
En el En el ejemplo 1ejemplo 1 anterior en el que se estudiaba la talla y el anterior en el que se estudiaba la talla y el peso de 10 personas se obtendría el siguiente diagrama de peso de 10 personas se obtendría el siguiente diagrama de dispersión: (En el eje X se representa la talla en cm. y en el dispersión: (En el eje X se representa la talla en cm. y en el eje Y el peso en kg.) eje Y el peso en kg.)
Diagramas de dispersión o nubes de Diagramas de dispersión o nubes de puntospuntos
Se puede ver en el primera figura que Se puede ver en el primera figura que correspondía al diagrama decorrespondía al diagrama de talla - peso talla - peso que la que la serie de puntos presenta una tendencia serie de puntos presenta una tendencia ""ascendenteascendente" . Se dice en este caso que existen " . Se dice en este caso que existen entre las dos variables una "entre las dos variables una "dependencia dependencia directadirecta" . " .
En caso en que la tendencia sea "En caso en que la tendencia sea "descendentedescendente" " se diría que estaríamos ante una " se diría que estaríamos ante una " dependencia dependencia inversainversa ""
Naturalmente en caso en que no se pueda Naturalmente en caso en que no se pueda observar una tendencia clara estaríamos ante una observar una tendencia clara estaríamos ante una dependencia muy débil que no se puede observar dependencia muy débil que no se puede observar mediante la nube de puntosmediante la nube de puntos
Diagramas de dispersión o nubes de Diagramas de dispersión o nubes de
puntospuntos
PARÁMETROSPARÁMETROS
CovarianzaCovarianza
CorrelacionCorrelacion
Covarianza Covarianza
Sean (Sean (xxii,, yyii ) pares de observaciones de dos ) pares de observaciones de dos
caracteristicas X y Y, y sean sus respectivas caracteristicas X y Y, y sean sus respectivas medias. La covarianza entre entre las dos variables medias. La covarianza entre entre las dos variables se define por :se define por :
Donde Donde xi xi e e yiyi representan los pares de valores de representan los pares de valores de la variable y el producto corresponde al la variable y el producto corresponde al producto de las medias aritméticas de las producto de las medias aritméticas de las variables x e y respectivamente.variables x e y respectivamente.
Pasos para calcular la covarianza de una serie de eventos
Paso 1: Se calcula Σxiyi , esto es la sumatoria de los productos de las variablares x y y; o sea: (x1 * y1) + (x2 * y2) + ... +(xn * yn ) Paso 2: se define n, que el numero de eventos o el numero de pares de cariables
Paso 3: Se calcula , que es el producto de las medias de ambas variables
Paso 4: Obtenidos todos los datos se sustituyen en la formula y se obtiene el resultado
Calculemos la covarianza para el ejemplo primero correspondiente a la variable talla - peso
83797466626761585855Peso
(kgs)
182180180175175171170168165160Talla
(cms)
83797466626761585855Peso
(kgs)
182180180175175171170168165160Talla
(cms)
Paso 1: La suma de todos los productos de los valores de x (talla) por los de y (peso) sería:
160 · 55 + 165 · 58 + 168 · 58 + 170 · 61 + 171 · 67 + 175 · 62 + 175 · 66 + 180 · 74 + 180 · 79 + 182 · 83 = 114987
Paso 2:
Definimos n como el numero de eventos en este caso es 10
Paso 3:
A este valor debemos restarle el producto de las medias de ambas variables que naturalmente sabes calcular:
Media de x (talla): 172.6 = 172.6 * 66.3 = 11443.38 Media de y (peso): 66.3
De acuerdo ala formula tenemos que:
Sxy = (114987 / 10 ) – 11443.38
Sxy = 55.32
Hemos obtenido un valor positivo para la covarianza que corresponde a una dependencia directa como ya habíamos intuido con la nube de puntos
Coeficiente de correlacionCoeficiente de correlacion Una vez observado que en una variable Una vez observado que en una variable
bidimensional existe una cierta dependencia bidimensional existe una cierta dependencia entre las dos características o variables que la entre las dos características o variables que la forman (nube de puntos y covarianza), podemos forman (nube de puntos y covarianza), podemos precisar el grado de dicha dependencia. precisar el grado de dicha dependencia.
Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre la Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre la recta de regresión se diría que existe una recta de regresión se diría que existe una dependencia funcionaldependencia funcional. De su estudio se . De su estudio se encargan las funciones.encargan las funciones.
Si los puntos no están todos sobre la recta de Si los puntos no están todos sobre la recta de regresión se dice que entre las variables hay una regresión se dice que entre las variables hay una ciertacierta correlación lineal. correlación lineal. Este es el caso que Este es el caso que nos ocupa. Para cuantificar el grado de dicha nos ocupa. Para cuantificar el grado de dicha correlación se usa el Coeficiente de correlación. correlación se usa el Coeficiente de correlación. Si le llamamos r, su valor es:Si le llamamos r, su valor es:
Puede observarse que el signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza y puede deducirse que el valor del mismo esta comprendico entre -1 y 1.
Se pueden deducir las siguientes conclusiones relativas al coeficiente de correlación (r):
- Su signo es el mismo de la covarianza, luego si r es positivo la dependencia es directa y si es negativo inversa.
- Si r se acerca a -1 o a +1, la dependencia es fuerte y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante fiables.
- Si r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables
Ejemplo:Calcularemos la correlacion para el ejemplo de las tallas y los pesos
Sxy = 55.32
Sx = 50.71
Sy = 752.81
r = 55.32 / (50.71 * 752.81)
r =0.0014
r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables
Recta de regresionRecta de regresion
Relacion entre dos variablesRelacion entre dos variables
Variable independiente xVariable independiente x
Variable dependiente yVariable dependiente y
función lineal del tipo y = ax + b, su gráfica correspondería función lineal del tipo y = ax + b, su gráfica correspondería a una rectaa una recta
recta de regresión.recta de regresión.
se deduce que la recta de regresión debe pasar por el punto correspondiente a las medias de ambas variables y que debe tener por pendiente la covarianza dividida por la varianza de la variable x.Con ello la expresión de la recta de regresión será:
Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre x". Si se deseara estudiar la dependencia de x respecto a y sólo habría que cambiar en la expresión de la recta x por y, obteniéndose la recta regresión de x sobre y
En la imagen siguiente se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla) del ejemplo 1 de este tema. En este caso se supone que represente cómo depende el peso de una persona de su talla
Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto:
Dependencia directa - Pendiente de la recta positiva - Función creciente
Utilidad tiene la recta de regresión Utilidad tiene la recta de regresión Mediante la recta de regresión podríamos obtener de Mediante la recta de regresión podríamos obtener de
manera aproximada el valor de la variable dependiente (y) manera aproximada el valor de la variable dependiente (y) de la que conociéramos la variable independiente (x), en de la que conociéramos la variable independiente (x), en una población semejante a aquella de la que se ha obtenido una población semejante a aquella de la que se ha obtenido la muestrala muestra
De manera más precisa, si conocemos la expresión de la De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se pueden calcular valores para la recta de regresión, se pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una funciónfunción
Ejemplo :Si observamos la gráfica, podríamos suponer por ejemplo que una persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg
De acuerdo ala formula
La recta de regresión de la variable y (talla) sobre x (peso) será la recta:
-que pasa por el punto (172,6 ; 66,3) (medias repectivas de (x,y))
-tiene de pendiente: 55.32 / 50.71 = 1.0909
Recta: y – 66.3 = 1.0909 ( x – 172.6) que operando y simplificando queda:
y = 1.0909x – 121.9
El valor del peso que suponíamos aproximado para una talla de 185 cm sería:
Peso= 1.0909 · 185 – 121.9 = 79.9
Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quiere decir que las predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas. Mas adelante precisaremos la "fiabilidad" de las mismas.
Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la variable x.