Variables Lingüisticas y Lógica Difusa

Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 1 Octubre 2005

Introducción a la Lógica Difusa

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Tabla de Contenido• Variables Linguisticas• Modificadores Linguisticos• Reglas Difusas IF-THEN• Interpretación de las reglas difusas IF-THEN

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Mapa Conceptual del Curso

Conjuntos Difusos y Clásicos

Operaciones con Conjuntos

Difusos

Funciones de membresía

Relaciones en Conjuntos

Difusos

Principio de Extensión

Variables Lingüísticas

Lógica Clásica y Lógica Difusa

Reglas de Inferencia Difusas

Inferencia Difusas

Fusificadores y Defusificadores

Conjuntos Difusos

Operaciones Difusas

Lógica DifusaFusificadores y Defusificadores

Inferencia Difusa

Introducción a la Lógica Difusa

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VARIABLES LINGÜISTICAS

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Variables Lingüisticas• Es una variable cuyos posibles valores son palabras y

pueden ser representados mediante conjuntos difusos.

• Permite describir el estado de un objeto o fenómeno. Para ello usamos una variable cuyo valor hace la descripción.

• Una variable lingüística admite que sus valores sean Etiquetas Lingüísticas, que son términos lingüísticos definidos como conjuntos difusos (sobre cierto dominio subyacente).

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Variables Lingüisticas• Una variable numérica toma valores numéricos

Edad = 65• Una variable lingüística toma valores linguisticos:

Edad es viejo• Un valor linguistico es un conjunto difuso

• Todos los valores linguisticos forman un conjunto de términos o etiquetas.

• T(age) = {young, not young, very young, middle aged, not middle aged, old, not old, very old, more or less old, not very young and not very old, ...}

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Ejemplos• Variable lingüística “edad”:

– Valores lingüísticos: Joven, Mediana Edad y Viejo– Admite valores numéricos: números reales en [0, Emax]– Se pueden proyectar los valores lingüísticos sobre el intervalo:

[0, Emax] mediante funciones de pertenencia.

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Ejemplos• Variable lingüística “temperatura”:

– Valores lingüísticos: Muy Frio, Frio, Templado, Caliente, Muy Caliente.

– Admite valores numéricos: números reales en [Tmin, Tmax]– Se pueden proyectar los valores lingüísticos sobre el intervalo:

[Tmin, Tmax] mediante funciones de pertenencia.

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Dominio Subyacente• El dominio subyacente es el dominio numérico, en nuestros

dos ejemplos la edad y la temperatura.• Un valor concreto, crisp (25ºC, por ejemplo):

– Es más específico que una etiqueta lingüística.– Es un punto del conjunto, mientras que una etiqueta lingüística

es una colección de puntos (temperaturas posibles).

• Existen variables cuya definición es más compleja porque se mueven en dominios subyacentes poco claros y no es natural trasladarlos a valores numéricos, por ejemplos: Limpieza, Sabiduría, Verdor...

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Utilidad de las VL• Es una forma de comprimir información llamada

granulación (granulation):1. Una etiqueta incluye muchos valores posibles.

2. Ayuda a caracterizar fenómenos que o están mal definidos o son complejos de definir o ambas cosas.

3. Es un medio de trasladar conceptos o descripciones lingüísticas a descripciones numéricas que pueden ser tratadas automáticamente (Relaciona o traduce el proceso simbólico a proceso numérico).

4. Usando el principio de extensión, muchas herramientas ya existentes pueden ser extendidas para manejar variables lingüísticas, obteniendo las ventajas de la lógica difusa en gran cantidad de aplicaciones.

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Definición formal

Una Variable Lingüística es un conjunto de 5 elementos:

<N, U, T(N), G, M>

N es el nombre de la variable.

U es el dominio subyacente.

T(N) es el conjunto de términos o etiquetas que puede tomar N.

G es una gramática para generar las etiquetas de T(N):

“muy alto”, “no muy bajo”, “normal”, “bajo y normal”….

M es una regla semántica que asocia cada elemento de T(N) con un conjunto difuso en U de entre todos los posibles:

M: T(N) F (U)

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Funciones de Membresía

( ; , , ) max min , ,0x a c x

x a b cb a c b

trimf

( ; , , , ) max min ,1, ,0x a d x

x a b c db a d c

trapmf

2

1( ; , , )

1bx a b cgbellmf

x cb

21

2( ; , , )x c

gau x a b c essmf

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Granularidad• Es el número de valores que se definen para una variable

linguistica• Normalmente se usa un conjunto pequeño de valores para

una variable lingüística.

Granularidad fina (fine): Define un gran número de valores para una variable lingüística.

Granularidad gruesa (coarse):Define un pequeño número de valores.

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Ejercicio 1• Diseñe las funciones de membresia para modelar las

siguientes variables lingüisticas, indique las etiquetas que puede tomar:

• Intensidad de pixel en una imagen de 8 bits.• Grado de conocimiento del profesor en la materia.• Grado de aprendizaje del alumno en la materia.• Grado de avance en el proyecto final del curso KDD.

• Indique y especifique las funciones de membresía para cada caso.

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MODIFICADORES LINGUISTICOS

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Modificadores Lenguisticos• Los valores de una variable lingüística pueden ser:

– Primarios– Compuestos

• Los valores primarios son los valores inicialmente definidos

• Un valor compuesto se obtiene anteponiendo a un valor primario modificadores linguisticos como MUY, NO, MAS O MENOS, ..., o combinando valores primarios mediante conectivos lógicos AND, OR, NOT.

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Modificadores Linguisticos• Cada modificador (hedge) es un operador H que transforma

el conjunto difuso del término primario L al que afecta en otro conjunto difuso:

Modificadores Linguisticos:1. Concentración.2. Dilatación.3. Intensificación del contraste.4. Difuminación.

Operadores Lógicos:1. NOT2. AND3. OR

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1. Concentración• Se elevar la función de membresía primaría a un valor p,

dado que p > 1.

– MAS

μMAS F (u) = (μF (u) )1.5

– MUY

μMUY F (u) = (μF (u) )2

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2. Dilatación• Es la raiz n-ésima o elevar p, tal que p Є [0, 1]

– MAS O MENOS

μMASOMENOS F (u) = (μF (u) )0.5

– MENOS

μMENOS F (u) = (μF (u) )0.75

– POCO

μPOCO F (u) = (μF (u) )0.75

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3. Intensificación• Disminuir valores menores que 0.5 y aumentar los

mayores.

– ESPECIALMENTE

μESPECIALMENTE F (u) =

– BASTANTE CERCA DE

μBASTANTE CERCA DE F (u) =

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4. Difuminación• Aumentar valores menoras que 0.5 y disminuir los mayores.

– CERCA DE

μCERCA DE F (u) =

– CASI

μCASI F (u) =

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Operadores Lógicos

Combinar valores mediante conectivos lógicos:

AND: t-norma (min)

OR : t-conorma (max)

NOT: complemento

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Modificadores Linguisticos

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Ejercicio 2• Sea U = {1,2,…,5} y el conjunto difuso pequeño definido

como:

• pequeño = {1/1 + 0.8/2 + 0.6/3 + 0.4/4 + 0.2/5}

Calcular:• Muy pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}• Muy muy pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}• Más o menos pequeño ={ /1 + /2 + /3 + /4 + /5}

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Ejercicio 3• Considere la variable lingüística viejo, dado que la

variables está definida por:

• Determine la función de membresía de los terminos:

No muy viejo =

Mas o menos viejo =

Muy Viejo =

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REGLAS DIFUSAS IF-THEN

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Reglas IF - THEN difusas• Una parte del conocimiento humano es representado en

terminos de reglas IF – THEN clásicas.

• Este conocimiento también se puede hacer representar mediante reglas IF - THEN difusas.

• Una regla IF – THEN difusa es una sentencia condicional expresada como:

IF <proposición difusa> THEN <proposición difusa>

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Proposición Difusa• Existen dos tipos de proposiciones difusas:

– Proposiciones difusas atomica.– Proposiciones difusas compuesta.

• Una proposiciones difusas es una sentencia simple.

x es A, x es una variable lingüística y A es una conjunto difuso

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Proposición Difusa• Una propisición difusa compuesta es una composición de

proposiciones atomicas usando los conectivos AND, OR y NOT.

• y es L y x es F, las variables linguisticas por lo general no son las mismas.

• Las proposiciones difusas compuestas pueden ser entendidas como relaciones difusas y las Funciones de Membresía de las relaciones difusas son calculadas usando t-normas, s-normas y complementos.

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Conectivos AND y OR• Use la intercepción difusa para el conectivo AND• y es B y x es A, es interpretado como la relación difusa:

A ∩ B in U x V con funciones de membresía.

• Use la unión difusa para el conectivo OR• y es B o x es A, es interpretado como la relación difusa:

A U B in U x V con funciones de membresía.

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Conectivo NOT• Use el complemento difuso para el conectivo NOT

• Sea la proposición difusa:

FP = (x es S y x es not F) o x es M

• Entonces se puede diseñar una relación difusa con la siguiente función de membresía:

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INTERPRETACION DE LA REGLA DIFUSA IF-THEN

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Cuantificación de la Verdad• Obtener un conjunto difuso A tal que:

“X es Ai” es equivalente a τi = “X es A”.• El ti actúa como una restricción elástica: A(x) = ti (Ai (x)) x X

• A(x) = Verdad (Ai (x)) = Ai (x); A(x) = Muy_Verdad (Ai (x)) = A2i (x);• A(x) = Falso (Ai (x)) = 1–Ai (x); A(x) = Más o menos (Ai (x)) =A0.5i (x);

• Si ti = Falso, se está afirmando el hecho contrario. Por eso, podemos definir ti= Totalmente_Falso que toma el grado 0 en todo su universo [0,1], excepto para el valor 0, que toma grado 1.

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Interpretación de la regla difusa IF-THEN

Formato General:

IF x es A entonces y es B

If x es A then y es B. antecedente

opremisa

consecuenteo

conclusión

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Ejemplos• Si la presión es alta, entonces el volumen es pequeño.• Si el camino es deslizadizo, entonces el conducir es

peligroso.• Si un tomate es rojo, entonces es maduro.• Si la velocidad es alta, entonces aplique un pequeño freno.

• if pressure es high, then volume es small.• if the road es slippery, then driving es dangerous.• if a tomato es red, then it es ripe.• if the speed es high, then apply the brake a little.

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Ejercicio 4• Diseñe 5 nuevas reglas difusas en los que los dominios

subyacentes sean diferentes.

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IF p THEN q• En el cálculo proposicional clásico (lógica clásica), la

expresión IF p THEN q es escrito como p q donde la implicación es definida mediante la siguiente tabla.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

A B If x es A then y es B

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IF p THEN q• Aquí pq es equivalent a (¬p V q) y a (pΛq)V¬p,

donde los simbolos representan operaciones logicas clásicas.

• Las reglas difusas IF-THEN son formadas reemplazando los operadores clasicos por sus correspondientes operadores difusos.

• Debido al número de operadores t-norma, s-norma y complemento existen varias interpretaciones de reglas difusas IF-THEN.

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Reglas Difusas como Relaciones

If x is A then y is B.

, ,R A Bx y x y

R

Una regla difusa puede ser definida como una relación binaria con la siguiente función de membresía. Depende de como se

interprete A B

A B

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Implicaciones Conocidas• Implicación Dienes-Rescher• Implicación Lakasiewics• Implicación Zadeh• Implicación Godel• Implicación Mandani

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Implicación Dienes-Rescher•

4242/60/60

Implicación Lakasiewics•

4343/60/60

Implicación Zadeh•

4444/60/60

Implicación Godel•

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Interpretación de reglas difusas IF-THEN• ¿Qué criterio escogemos para combinar los operadores

difusos t-norma, s-norma y complemento?• ¿Son (¬p V q) y (pΛq)V¬p aún equivalentes a pq

cuando p y q son proposiciones difusas?

• Cuando p y q son proposiciones CRISP, pq es una implicación global.

• Cuando p y q son proposiciones DIFUSAS, pq es una implicación local en el sentido que pq tiene un valor de verdad grande unicamente cuando p y q tienen valores de verdad grandes.

• En terminos lógicos la regla se convierte en pq Ξ p Λ q

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Implicación Mandani•

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Interpretación de reglas difusas IF-THEN• Existen dos vías para interpretar

“if x es A then y es B”

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

A

B

A vinculado con B

xx

yA acoplado con B

A

B

xx

y

-B

-B

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Implicación difusa

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Implificación difusa

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Ejemplo• Sea x1 la velocidad de un carro, x2 la aceleración e y la

fuerza aplicada al acelerador.• Usando el producto algebraico para la t-norma en la

primera proposición y la implicación Dienes-Rescher, encuentre la función de membresía de la siguiente regla difusa:

IF x1 es slow y x2 es small THEN y es large

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Ejemplo• Las funciones de membresía de los conjuntos difusos son:

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Ejemplo• Los dominios de x1, x2 e y son U1 = [0, 100], U2 = [0, 30] y

V = [0, 3].

• Usando el producto algebraico para la t-norma de:

FP1 = x1 es slow y x2 es small

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Ejemplo• Para la implicación Dianes-Reschr la regla es interpretada

como una regla difusa con función de membresía.

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Ejemplo• El ultimo paso es convinar los resultados previo con

5555/60/60

Ejemplo• La función de membresia es:

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Ejercicio 5

5757/60/60

Ejercicio 6

5858/60/60

PREGUNTAS