UNIDAD 2UNIDAD 2

CONCEPTOS Y CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE FUNDAMENTOS DE

LÓGICA DIFUSA.LÓGICA DIFUSA.

Conceptos y Conceptos y Fundamentos de Fundamentos de Lógica Difusa.Lógica Difusa.

2.1 Conceptos básicos de 2.1 Conceptos básicos de Lógica DifusaLógica Difusa

2.1.12.1.1 Introducción y dos Introducción y dos ejemplos.ejemplos.

La técnica esencial de la lógica difusa La técnica esencial de la lógica difusa se basa en cuatro conceptos se basa en cuatro conceptos fundamentales:fundamentales: 1). conjuntos difusos.- son conjuntos con 1). conjuntos difusos.- son conjuntos con

fronteras uniformes o suaves.fronteras uniformes o suaves.

2). variables lingüísticas.- Son variables 2). variables lingüísticas.- Son variables cuyos valores son descritos cuyos valores son descritos cualitativamente y cuantitativamente por cualitativamente y cuantitativamente por un conjunto difuso.un conjunto difuso.

……

3). Distribuciones de posibilidad.- 3). Distribuciones de posibilidad.- restricciones impuestas en el valor de una restricciones impuestas en el valor de una variable lingüística al asignarle un variable lingüística al asignarle un conjunto difuso.conjunto difuso.

4). Reglas difusas 4). Reglas difusas si-entoncessi-entonces.- un .- un esquema de representación del esquema de representación del conocimiento para describir una conocimiento para describir una proyección funcional o una fórmula lógica proyección funcional o una fórmula lógica que generaliza una implicación en la lógica que generaliza una implicación en la lógica de dos valores.de dos valores.

Nota:Nota:

Los tres primeros conceptos son Los tres primeros conceptos son fundamentales en todas las sub-áreas de fundamentales en todas las sub-áreas de la lógica difusa.la lógica difusa.

También, el cuarto concepto es También, el cuarto concepto es importante debido a que es la base de la importante debido a que es la base de la mayoría de las aplicaciones industriales mayoría de las aplicaciones industriales de la lógica difusa desarrolladas hasta de la lógica difusa desarrolladas hasta hoy, lo cual incluye muchos sistemas de hoy, lo cual incluye muchos sistemas de control lógico difuso.control lógico difuso.

Problema A: Control simple Problema A: Control simple de la mezcla de flujo de airede la mezcla de flujo de aire Temperatura ambiente, No tiene señal de Temperatura ambiente, No tiene señal de

retroalimentación de la temperatura ambiente actual.retroalimentación de la temperatura ambiente actual. Tarea: controlar la cantidad de flujo de aire caliente y frío Tarea: controlar la cantidad de flujo de aire caliente y frío

basado en una temperatura objetivo. El flujo es controlado basado en una temperatura objetivo. El flujo es controlado al ajustar el voltaje a la bomba en la etapa de mezclado. al ajustar el voltaje a la bomba en la etapa de mezclado.

menorvoltajeelesV

mayorvoltajeelesV

Flujo de aire caliente

Flujo de aire frío

Controlador a lazo abiertoTemperatura Objetivo (T)

Voltaje (V)

Flujo de aire Mezclado

Problema B: Control Problema B: Control automático de una automático de una

lavadoralavadora La naturaleza de las decisiones que realizan los seres La naturaleza de las decisiones que realizan los seres humanos en este problema es fácil de entender y modelar.humanos en este problema es fácil de entender y modelar.

Tarea: Se desea automatizar la selección del ciclo y el tiempo Tarea: Se desea automatizar la selección del ciclo y el tiempo de lavado basado en la cantidad de ropa y lo sucia que esta la de lavado basado en la cantidad de ropa y lo sucia que esta la ropa, lo cual es proporcionado por dos transductores. ropa, lo cual es proporcionado por dos transductores.

Cantidad de Ropa.

Que tan sucia esta la ropa

Selección Automática

Ciclo de lavado.

Tiempo de lavado.

2.1.2 Conjuntos Difusos2.1.2 Conjuntos Difusos

Un conjunto difuso es un conjunto Un conjunto difuso es un conjunto con fronteras suaves. con fronteras suaves.

AA

Fronteras en conjuntos clásicos Fronteras en conjuntos difusos

Por ejemplo:Por ejemplo: Si se quisiera representar dentro de la Si se quisiera representar dentro de la

teoría de conjuntos clásica, el conjunto de teoría de conjuntos clásica, el conjunto de familias con ingresos anuales altos.familias con ingresos anuales altos. Se propone un umbral: ≥ Se propone un umbral: ≥ $ $ 80,000.00,80,000.00, Familias con un ingreso de $ 79,999.00;Familias con un ingreso de $ 79,999.00; Limitación de la teoría de conjuntos clásica.Limitación de la teoría de conjuntos clásica.

Algunos conjuntos tienen fronteras bien Algunos conjuntos tienen fronteras bien definidas (el conjunto de personas definidas (el conjunto de personas casadas).casadas).

Muchos otros no tienen fronteras bien Muchos otros no tienen fronteras bien definidas (el conjunto de parejas casadas definidas (el conjunto de parejas casadas felices, el conjunto de escuelas con buenos felices, el conjunto de escuelas con buenos alumnos egresados, etc.).alumnos egresados, etc.).

La teoría de conjuntos difusos al La teoría de conjuntos difusos al permitir que la membresía sea permitir que la membresía sea graduada en un conjunto da solución a graduada en un conjunto da solución a las limitación que se presenta en la las limitación que se presenta en la teoría de conjuntos clásica.teoría de conjuntos clásica.

Un conjunto difuso se define como una Un conjunto difuso se define como una función que proyecta objetos de un función que proyecta objetos de un dominio de conceptos (denominado dominio de conceptos (denominado Universo de DiscursoUniverso de Discurso) a sus valores de ) a sus valores de membresía en el conjunto. membresía en el conjunto.

Dicha función se define como Dicha función se define como Función Función de Membresíade Membresía y es denotada por el y es denotada por el símbolo Griego símbolo Griego µ.µ.

Por ejemplo:Por ejemplo:

Representación de Familias de ingresos-altos.Representación de Familias de ingresos-altos.

80 K 120 K

Ingresos al año

Altoµ

1

El conjunto difuso es asociado a un término lingüístico

Términos lingüísticos: Términos lingüísticos: beneficiosbeneficios

Asociar un conjunto difuso a un término Asociar un conjunto difuso a un término lingüístico ofrece dos beneficios lingüístico ofrece dos beneficios importantes:importantes: 1. La asociación hace más fácil que un 1. La asociación hace más fácil que un

operador experto exprese su conocimiento operador experto exprese su conocimiento usando términos lingüísticos.usando términos lingüísticos.

2. El conocimiento expresado en términos 2. El conocimiento expresado en términos lingüísticos es más fácil de comprender.lingüísticos es más fácil de comprender.

Estos beneficios resultan en un ahorro Estos beneficios resultan en un ahorro significante en el costo del diseño, la significante en el costo del diseño, la modificación, y el mantenimiento de un modificación, y el mantenimiento de un sistema lógico difuso.sistema lógico difuso.

Un concepto importante en la Un concepto importante en la Lógica Lógica Difusa,Difusa, que permite tener los dos beneficios que permite tener los dos beneficios descritos, es el de descritos, es el de Variable lingüísticaVariable lingüística..

Es importante subrayar que Es importante subrayar que un conjunto un conjunto difuso siempre se define a partir del difuso siempre se define a partir del contexto de que se trate,contexto de que se trate, auque dicho auque dicho contexto no este explicito en el modelado contexto no este explicito en el modelado del sistema. También, el contexto de del sistema. También, el contexto de definición de un termino lingüístico definición de un termino lingüístico generalmente es especificado generalmente es especificado implícitamente dentro de la aplicación en la implícitamente dentro de la aplicación en la cual es utilizado. cual es utilizado.

2.1.2.1 Diseño de 2.1.2.1 Diseño de Funciones de MembresíaFunciones de Membresía

Se puede entender por conjunto Se puede entender por conjunto clásico:clásico: una colección o clase de una colección o clase de objetos bien definidos.objetos bien definidos.

Objetos que pueden ser cualquier Objetos que pueden ser cualquier cosa, tales como:cosa, tales como: números, ciudades, números, ciudades, colores, animales, temperatura, etc. colores, animales, temperatura, etc. Estos objetos se conocen como Estos objetos se conocen como elementos o miembros del conjuntoelementos o miembros del conjunto..

En la teoría de los conjuntos En la teoría de los conjuntos clásicos, se utiliza la notaciónclásicos, se utiliza la notación de de función característica, ( función característica, ( AA ), para ), para indicar cuando un elemento indicar cuando un elemento cualquiera pertenece o no a un cualquiera pertenece o no a un conjunto.conjunto.

El universo de discurso es el El universo de discurso es el universo de toda la información universo de toda la información disponible en un problema dado.disponible en un problema dado.

Un conjunto difuso es un conjunto que Un conjunto difuso es un conjunto que contiene elementos, los cuales varían contiene elementos, los cuales varían su grado de pertenencia en el conjunto.su grado de pertenencia en el conjunto.

El concepto de función de membresía El concepto de función de membresía en la teoría de los conjuntos difusos es en la teoría de los conjuntos difusos es una medida de la pertenencia graduada una medida de la pertenencia graduada de un elemento en un conjunto difuso.de un elemento en un conjunto difuso.

Función de MembresíaFunción de Membresía

UUn elemento n elemento uu de de UU..

PuedePuede no no pertenecerpertenecer a a AA: (: (AA(u) = 0),(u) = 0),

PertenecerPertenecer un poco:un poco: ( (AA(u) = (u) = con un valor con un valor

cercano acercano a 00),),

PertenecerPertenecer moderadamente:moderadamente: ( (AA(u) = (u) = con un con un

valor no muy cercano a 0 pero tampoco a 1valor no muy cercano a 0 pero tampoco a 1),),

PertenecerPertenecer demasiado:demasiado: ( (AA(u) = (u) = con un valor con un valor

muy cercano a 1muy cercano a 1),),

PertenecerPertenecer totalmente a: totalmente a: ((AA(u)=(u)=11).).

Debido a que el cambio de la función Debido a que el cambio de la función de membresía de un conjunto a otro de membresía de un conjunto a otro es gradual en los conjuntos difusos, es gradual en los conjuntos difusos, dichos conjuntos dichos conjuntos son agrupamientos son agrupamientos de elementos en clasesde elementos en clases, también , también llamados llamados etiquetas difusasetiquetas difusas, las , las cuales a diferencia de los conjuntos cuales a diferencia de los conjuntos clásicos, no poseen fronteras bien clásicos, no poseen fronteras bien definidas.definidas.

¿Cómo se determina la forma ¿Cómo se determina la forma exacta de la función de exacta de la función de

membresía para un conjunto membresía para un conjunto difuso?.difuso?. Una función de membresía se puede Una función de membresía se puede

diseñar en tres formas distintas:diseñar en tres formas distintas: (1). Entrevistando a quienes están (1). Entrevistando a quienes están

familiarizados con las conceptos familiarizados con las conceptos importantes del sistema, y ajustándolos importantes del sistema, y ajustándolos durante el proceso mediante una durante el proceso mediante una estrategia de sintonización (hasta los 80s).estrategia de sintonización (hasta los 80s).

(2). Construyéndola directamente a partir (2). Construyéndola directamente a partir de los datos (2 y 3, después de los 80s).de los datos (2 y 3, después de los 80s).

(3). Mediante el aprendizaje basado en la (3). Mediante el aprendizaje basado en la retroalimentación de la ejecución del retroalimentación de la ejecución del sistema. sistema.

Se han desarrollado muchas técnicas para Se han desarrollado muchas técnicas para definir la forma de las funciones de definir la forma de las funciones de membresía (FM) utilizando técnicas membresía (FM) utilizando técnicas estadísticas, redes neuronales artificiales y estadísticas, redes neuronales artificiales y algoritmos genéticos.algoritmos genéticos.

Se debe de tener especial cuidado al Se debe de tener especial cuidado al diseñar las FMs. Aun que se puede definir diseñar las FMs. Aun que se puede definir una FM de forma arbitraria, se recomienda una FM de forma arbitraria, se recomienda que se utilicen FM parametrizables que que se utilicen FM parametrizables que puedan ser definidas por un número puedan ser definidas por un número pequeño de parámetros.pequeño de parámetros.

FMs más utilizadas: FMs más utilizadas: SimplicidadSimplicidad

Función de Función de membresía triangular membresía triangular y sus parámetros.y sus parámetros.

l p r

µ

1

l l p r p r

µ

1

Función de membresía Función de membresía trapezoidal y sus trapezoidal y sus parámetros.parámetros.

Estrategias especificas para seleccionar y ajustar las FMs se verán después.

Nota:Nota:

Las FMs que son diferenciables Las FMs que son diferenciables tienen ciertas ventajas en las tienen ciertas ventajas en las aplicaciones de sistemas neuro-aplicaciones de sistemas neuro-difusos (sistemas que aprenden difusos (sistemas que aprenden funciones de membresía utilizando funciones de membresía utilizando técnicas de aprendizaje de RNA). técnicas de aprendizaje de RNA).

Las funciones de membresía Las funciones de membresía Gausianas han sido utilizadas para Gausianas han sido utilizadas para dichos sistemas.dichos sistemas.

Resumen: diseño de FM Resumen: diseño de FM Directrices:Directrices: 1. Siempre utilice FM parametrizables. 1. Siempre utilice FM parametrizables.

No defina una función de membresía No defina una función de membresía punto por punto.punto por punto.

2. Utilice una FM triangular o 2. Utilice una FM triangular o trapezoidal, a menos que haya una trapezoidal, a menos que haya una buena razón para hacer lo contrario.buena razón para hacer lo contrario.

3. Si desea que el sistema aprenda la 3. Si desea que el sistema aprenda la función de membresía utilice técnicas función de membresía utilice técnicas de aprendizaje de RNA, escoja una de aprendizaje de RNA, escoja una función de membresía diferenciable, función de membresía diferenciable, como la Gaussiana. como la Gaussiana.

2.1.2.2 Operaciones 2.1.2.2 Operaciones básicas en conjuntos básicas en conjuntos

difusosdifusos Para conjuntos clásicos se pueden Para conjuntos clásicos se pueden

realizar las siguientes definiciones:realizar las siguientes definiciones:

para los conjuntos A y B en X, también se tiene:

AapertenecenoxXx

AapertenecexAx

XapertenecexXx

AByBABA

BaeequivalentesoencontenidaestaABA

BxentoncesAxsiBencontenidaestaABA

,

Algunas definiciones para Algunas definiciones para conjuntosconjuntos

Contenimiento: (Contenimiento: ( ) Un conjunto puede ) Un conjunto puede contener contener a a otro conjunto. Al conjunto otro conjunto. Al conjunto más pequeño se le llama Subconjunto.más pequeño se le llama Subconjunto.

(( Subconjunto propio). Subconjunto propio).

En un En un universo comprendido por tres universo comprendido por tres elementos X = {a, b, c}, el número elementos X = {a, b, c}, el número cardinal es cardinal es nnxx = 3. = 3. Y suY su conjunto conjunto potencialpotencial es es::

cbacbcabacbaXP ,,,,,,,,,,,,

Conjunto DifusoConjunto Difuso

Si se considera Si se considera el siguiente conjunto el siguiente conjunto difuso finito:difuso finito:

A = 0.2/uA = 0.2/u11, 0/ u, 0/ u22, 0.3/u, 0.3/u33, 1/ u, 1/ u44, 0.8/u, 0.8/u5.5.

uuU.U.

Entonces unEntonces un conjunto difuso A de U conjunto difuso A de U seráserá un conjunto de parejas un conjunto de parejas::

A = {u, A = {u, AA(u)},(u)},

u U

Considerando que Considerando que xxii es un elemento del es un elemento del

soporte del conjunto difuso soporte del conjunto difuso AA y que y que ii es su es su

grado de membresía en grado de membresía en AA..

AA = = 11 / / xx11 + + 22 / / xx22 +....+ +....+ nn / / xxn.n.

Donde.Donde. El símbolo El símbolo // Se emplea para unir los Se emplea para unir los

elementos del soporte con elementos del soporte con sus grados de sus grados de membresía en membresía en A, A, y. y.

El símbolo + Indica que los pares de elementos El símbolo + Indica que los pares de elementos y grados de membresía listados forman y grados de membresía listados forman colectivamente la definición del conjunto colectivamente la definición del conjunto AA, en , en vez de cualquier tipo de suma algebraica.vez de cualquier tipo de suma algebraica.

ConConjunto difuso: junto difuso: universo de universo de discurso finitodiscurso finito y no-finito y no-finito

A

x

x

x

x

x

xA A A i

ii

n

1

1

2

2 1

A

x

xA

U

La integral y la sumatoria

indican la unión de elementos dentro de un conjunto difuso A.

ConConjunto difusojunto difuso

Se entenderá que un conjunto Se entenderá que un conjunto difuso es finito siempre que al difuso es finito siempre que al poder enumerar a sus elementos poder enumerar a sus elementos representativos este proceso representativos este proceso termine, independientemente termine, independientemente del valor de sus funciones de del valor de sus funciones de membresía.membresía.

Operaciones Básicas De Los Operaciones Básicas De Los Conjuntos ClásicosConjuntos Clásicos

Las tres operaciones básicas en Las tres operaciones básicas en conjuntos clásicos son: conjuntos clásicos son: unión, unión, intersección, y complementointersección, y complemento..

El complemento de un conjunto se El complemento de un conjunto se puede denotar por: Apuede denotar por: AC C , , ¬A, .¬A, .

BxyAxxBADIFERENCIA

XxAxxAOCOMPLEMENT

BxyAxxBAÓNINTERSECCI

BxoAxxBAUNION

,

__

A

Por ejemplo:Por ejemplo:

Si A y B son dos conjuntos de Si A y B son dos conjuntos de “percepciones anuales por persona” “percepciones anuales por persona” definidos por:definidos por:

Donde Donde UU es el universo de discurso es el universo de discurso [0,1000K]. Se tiene que:[0,1000K]. Se tiene que:

UxKxKxB

UxKxKxA

,12050

,200100

KxKóKxxA

UxKxKxBA

UxKxKxBA

C 10002001000

,20050

,120100

Debido a que la membresía en un Debido a que la membresía en un conjunto difuso se mide en grados, las conjunto difuso se mide en grados, las operaciones de conjuntos deberían operaciones de conjuntos deberían generalizarse a los conjuntos difusos de generalizarse a los conjuntos difusos de forma acuerda forma acuerda (ilustrar)(ilustrar)..

La operación de intersección difusa es La operación de intersección difusa es matemáticamente equivalente a la matemáticamente equivalente a la operación de conjunción difusa (AND), operación de conjunción difusa (AND), debido a que tienen propiedades debido a que tienen propiedades idénticas.idénticas.

Operaciones Básicas De Los Operaciones Básicas De Los Conjuntos DifusosConjuntos Difusos

Para explicar la relación entre Para explicar la relación entre operaciones de conjuntos y operaciones operaciones de conjuntos y operaciones lógicas, primero se hará un repaso de lógicas, primero se hará un repaso de operaciones básicas en la lógica clásica:operaciones básicas en la lógica clásica: Una declaración en lógica clásica solo tiene Una declaración en lógica clásica solo tiene

dos posibles valores: Falso o Verdadero.dos posibles valores: Falso o Verdadero. Dichas declaraciones lógicas pueden ser Dichas declaraciones lógicas pueden ser

combinadas al utilizar conectivas lógicas combinadas al utilizar conectivas lógicas tales como: AND (conjunción, denotada por tales como: AND (conjunción, denotada por лл), OR (disyunción, denotada por v), NOT ), OR (disyunción, denotada por v), NOT (negación, denotada por (negación, denotada por ¬¬), y IMPLY ), y IMPLY (implicación, denotada por → ).(implicación, denotada por → ).

De operaciones de conjuntos a operaciones lógicas

Tabla de valores de verdad: Tabla de valores de verdad: Conectivas Lógicas Clásicas Conectivas Lógicas Clásicas

pp y y qq son dos declaraciones lógicas (o proposiciones) son dos declaraciones lógicas (o proposiciones)

p q ¬ p p→q

F F T F F T

F T T F T T

T F F F T F

T T F T T T

qp qp

Conectivas Lógicas ClásicasConectivas Lógicas Clásicas

Una declaración conjuntiva compuesta Una declaración conjuntiva compuesta ppллqq será verdadera si y solo si ambas será verdadera si y solo si ambas pp y y qq son verdaderas. son verdaderas.

Una declaración disyuntiva compuesta Una declaración disyuntiva compuesta p p v v q q será verdadera si y solo si cualquiera será verdadera si y solo si cualquiera de las declaraciones es verdadera.de las declaraciones es verdadera.

La negación de una declaración es La negación de una declaración es verdadera si y solo si la declaración verdadera si y solo si la declaración original es falsa.original es falsa.

Para lógica clásica:Para lógica clásica: Si la proposición Si la proposición pp representa la sentencia representa la sentencia

““xx está en el conjunto está en el conjunto AA”: ”: pp es es verdadera iff verdadera iff xx εε AA

Y si la proposición Y si la proposición qq representa la representa la sentencia “sentencia “xx está en el conjunto está en el conjunto BB”: ”: qq es es verdadera iff verdadera iff xx εε BB

Entonces, Entonces, pp y y qq son verdaderas cuando son verdaderas cuando xx está en la descripción de está en la descripción de AA y y BB::

((ppллqq) es verdadera iff ) es verdadera iff xx εε AAB B Y que Y que pp ó ó qq es verdadera cuando es verdadera cuando x x está en está en

la unión de la unión de AA y y BB: : ((p p v v qq) es verdadera iff ) es verdadera iff xx εε AABB

Finalmente, Finalmente, pp es falsa cuando es falsa cuando xx está en el está en el complemento de complemento de AA: :

pp es verdadera iff es verdadera iff xx εε AAcc..

ConclusiónConclusión

Por lo tanto, los Por lo tanto, los operadores de operadores de intersección unión y intersección unión y complemento en la teoría complemento en la teoría de conjuntos son similares de conjuntos son similares a la conjunción, a la conjunción, disyunción y negación en disyunción y negación en lógica.lógica.

Operaciones Lógicas Operaciones Lógicas DifusasDifusas

Un operador común de conjunción Un operador común de conjunción (AND)(AND) difusa es el operador mínimo. difusa es el operador mínimo. Con frecuencia la intersección difusa Con frecuencia la intersección difusa se define como:se define como:

AABB (x)= min{ (x)= min{AA(x), (x), BB(x)}(x)}

IntersecciónIntersección: En conjuntos difusos es : En conjuntos difusos es el grado de membresía que dos el grado de membresía que dos conjuntos comparten. Una intersección conjuntos comparten. Una intersección difusa es el menor de la membresía de difusa es el menor de la membresía de cada elemento en ambos conjuntos.cada elemento en ambos conjuntos.

Por ejemplo:Por ejemplo: Se puede definir un conjunto difuso A de Se puede definir un conjunto difuso A de

los números reales muy cercanos a 8 y B los números reales muy cercanos a 8 y B como el conjunto difuso de los números como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 15. Entonces, A reales muy cercanos a 15. Entonces, A B se definiría como el conjunto difuso de B se definiría como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 8 “y” los números reales muy cercanos a 8 “y” a 15. a 15. Tomando en cuenta la ecuación:Tomando en cuenta la ecuación:

y A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 y A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7) se tiene que0.0 0.7) se tiene que::

AABB((xx) = (0.9 0.4 0.0 0.5).) = (0.9 0.4 0.0 0.5).

xxxxx BABABA ,min

Representación de la Intersección Representación de la Intersección de difusade difusa

ó conjunción difusa. ó conjunción difusa.

1

Temperatura

A B

BajaMedia

Operaciones Lógicas Operaciones Lógicas DifusasDifusas

Un operador común de disyunción difusa Un operador común de disyunción difusa es el operador máximo. Por lo tanto, con es el operador máximo. Por lo tanto, con frecuencia la unión difusa se define frecuencia la unión difusa se define como:como:

AABB (x)= max{ (x)= max{AA(x), (x), BB(x)}(x)}

La uniónLa unión (o disyunción) difusa, se lee (o disyunción) difusa, se lee “o” difusa, y representa al conjunto “o” difusa, y representa al conjunto difuso más pequeño que contiene a difuso más pequeño que contiene a AA y y que contiene a que contiene a BB. El operador max (. El operador max (), ), toma como valor verdadero el valor toma como valor verdadero el valor máximo de la función de membresía del máximo de la función de membresía del elemento elemento xx en en AA y y B.B.

Ejemplo:Ejemplo: Se puede definir al conjunto difuso A de Se puede definir al conjunto difuso A de

los números reales muy cercanos a 8 y los números reales muy cercanos a 8 y B como el conjunto difuso de los B como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 15.números reales muy cercanos a 15.

Tomando en cuenta la ecuación.Tomando en cuenta la ecuación.

y que A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 y que A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7) se tiene que:0.4 0.0 0.7) se tiene que:

AABB((xx) = (1 0.8 0.4 0.7).) = (1 0.8 0.4 0.7).

xxxxx BABABA ,max

Representación de la Unión difusa Representación de la Unión difusa ó disyunción difusaó disyunción difusa..

Temperatura

BajaMedia

A B

1

Operaciones Lógicas Operaciones Lógicas DifusasDifusas

El complemento de un conjunto difusoEl complemento de un conjunto difuso A A se se define por la diferencia entre uno y el grado de define por la diferencia entre uno y el grado de membresía en membresía en AA::

AAc (x)= 1- c (x)= 1- AA (x) (x) Complemento (negación difusa)Complemento (negación difusa): El : El

complemento de un conjunto difuso es la complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la cantidad que la membresíamembresía necesita para necesita para alcanzar 1. Sea U un conjunto cualquiera y M alcanzar 1. Sea U un conjunto cualquiera y M = [0,1], su conjunto asociado de membresía. Si = [0,1], su conjunto asociado de membresía. Si se considera a un conjunto difuso Ase considera a un conjunto difuso AU, U, entonces el complemento de A será:entonces el complemento de A será:

evidentemente, se cumple queevidentemente, se cumple que:: ¬ (¬A) = A¬ (¬A) = A

A Au u u U 1 ,

Representación del Representación del complemento de un conjunto complemento de un conjunto

difuso ó negación difusadifuso ó negación difusa

Medio

¬Medio

1

Temperatura

2.1.3 Variable 2.1.3 Variable LingüísticaLingüística

Como un conjunto convencional, un conjunto Como un conjunto convencional, un conjunto difuso se puede utilizar para describir el valor difuso se puede utilizar para describir el valor de una variable. Por ejemplo, la oración “El de una variable. Por ejemplo, la oración “El porcentaje de humedad es Bajo” utiliza el porcentaje de humedad es Bajo” utiliza el conjunto difuso “Bajo” para describir la conjunto difuso “Bajo” para describir la cantidad de humedad en un día. Más cantidad de humedad en un día. Más formalmente, se expresa como:formalmente, se expresa como:

Humedad es BajoHumedad es Bajo La variable humedad en este ejemplo La variable humedad en este ejemplo

demuestra un concepto importante en la demuestra un concepto importante en la lógica difusa:lógica difusa:

La La variable lingüísticavariable lingüística. .

…… Una Una variable lingüísticavariable lingüística se puede se puede

interpretar tanto cualitativamente interpretar tanto cualitativamente mediante un termino lingüístico (mediante un termino lingüístico (etiquetaetiqueta: : nombre del conjunto difuso), como nombre del conjunto difuso), como cuantitativamente mediante su cuantitativamente mediante su correspondiente función de membresía (la correspondiente función de membresía (la cual expresa el significado del conjunto cual expresa el significado del conjunto difuso).difuso).

El termino lingüístico es utilizado para El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptos y conocimiento, expresar conceptos y conocimiento, mientras la función de membresía se mientras la función de membresía se utiliza para procesar el dato numérico de utiliza para procesar el dato numérico de entrada.entrada.

……

Una variable lingüística es como una Una variable lingüística es como una composición de una variable composición de una variable simbólica (una variable cuyo valor es simbólica (una variable cuyo valor es un número). Un ejemplo de una un número). Un ejemplo de una variable simbólica es:variable simbólica es:

Forma = CilíndricaForma = Cilíndrica Donde Donde FormaForma es una variable que es una variable que

indica la forma de un objeto. Un indica la forma de un objeto. Un ejemplo de variable numérica es: ejemplo de variable numérica es:

Altura = 4’Altura = 4’

……

Con frecuencia, las Con frecuencia, las variables variables numéricasnuméricas son utilizadas en ingeniería, son utilizadas en ingeniería, ciencias, matemáticas, medicina, y en ciencias, matemáticas, medicina, y en muchas otras disciplinas.muchas otras disciplinas.

Por otro lado, las Por otro lado, las variables simbólicasvariables simbólicas juegan un papel importante en la juegan un papel importante en la inteligencia artificial y las ciencias que inteligencia artificial y las ciencias que tienen que ver con toma de decisiones.tienen que ver con toma de decisiones.

……

Utilizando la notación de la Utilizando la notación de la variable variable lingüísticalingüística se pueden combinar estos se pueden combinar estos dos tipos de variables dentro de una red dos tipos de variables dentro de una red uniforme, lo cual es de hecho una de las uniforme, lo cual es de hecho una de las razones principales de que la lógica razones principales de que la lógica difusa haya tenido éxito en ofrecer una difusa haya tenido éxito en ofrecer una aproximación inteligente en la aproximación inteligente en la ingeniería y muchas otras áreas que ingeniería y muchas otras áreas que tienen que ver con problemas que tienen que ver con problemas que manejan un dominio continua.manejan un dominio continua.

Modificadores Lingüísticos: Modificadores Lingüísticos: HedgesHedges Existen muchos descriptores lingüísticos como Existen muchos descriptores lingüísticos como

son: son: moderadomoderado, , normalnormal, , altoalto, , algoalgo calientecaliente, , muymuy bajobajo, , mediomedio normalnormal, , mas o menosmas o menos altoalto, etc., etc.

Uno de los conceptos importantes en la Lógica Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa es que en vez de enumerar todos estos Difusa es que en vez de enumerar todos estos diferentes descriptores, se pueden generar de diferentes descriptores, se pueden generar de un conjunto esencial de términos lingüísticos un conjunto esencial de términos lingüísticos (llamado: (llamado: Conjunto TérminoConjunto Término) utilizando ) utilizando modificadores (por ejemplo: muy, mas o modificadores (por ejemplo: muy, mas o menos) y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).menos) y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).

En Lógica Difusa a dichos modificadores se les En Lógica Difusa a dichos modificadores se les denomina:denomina: HedgesHedges

Ejemplo: Variables Ejemplo: Variables Lingüísticas YLingüísticas Y

Valores Lingüísticos. Valores Lingüísticos. Si Si edad edad es interpretada como es interpretada como

una variable lingüística, una variable lingüística, entonces su entonces su conjunto términoconjunto término T(edad)T(edad) puede ser: puede ser:

,

,,,,,,

,,,

,,,,,

viejomuynoyjovenmuyno

viejomuynoviejomenosomasviejomuyviejonoviejo

viejomedionoviejomedio

jovenmuynojovenmuyjovennojoven

edadT

Donde cada término en Donde cada término en T(edad)T(edad) se caracteriza por un conjunto se caracteriza por un conjunto difuso de un universo de discurso difuso de un universo de discurso XX = [0, 100], como se muestra en = [0, 100], como se muestra en la siguiente figura. la siguiente figura.

Del ejemplo anterior, se observa que Del ejemplo anterior, se observa que el conjunto termino consiste de el conjunto termino consiste de varios varios términos primarios términos primarios (joven, (joven, viejo) modificados por la viejo) modificados por la negaciónnegación ("no") y/o los adverbios (muy, mas ("no") y/o los adverbios (muy, mas o menos, completamente, o menos, completamente, extremadamente, etc.), y entonces extremadamente, etc.), y entonces ligados por conectivas tales como ligados por conectivas tales como yy, , oo, y , y ni ni..

Universo De Universo De Discurso Discurso

Establecimiento Del Universo Establecimiento Del Universo De Discurso Para Las De Discurso Para Las Variables LingüísticasVariables Lingüísticas

Se especifica el universo de Se especifica el universo de discurso para una variable de discurso para una variable de entrada y/o salida, cómo el entrada y/o salida, cómo el rango de valores posibles que rango de valores posibles que puede tomar la variable en puede tomar la variable en cuestión para la aplicación cuestión para la aplicación actual.actual.

Dado que el universo de discurso para Dado que el universo de discurso para cada variable debe ser trasladado a cada variable debe ser trasladado a variables lingüísticas (conjuntos difusos), variables lingüísticas (conjuntos difusos), se ha tratado de normalizar que el se ha tratado de normalizar que el número de conjuntos difusos definido número de conjuntos difusos definido para cada variable sea un número impar, para cada variable sea un número impar, recomendando que se recomendando que se inicieinicie especificando 7 conjuntos para cada especificando 7 conjuntos para cada variable.variable.

La determinación final del número de La determinación final del número de conjuntos difusos definidos para cada conjuntos difusos definidos para cada variable se determina heurísticamente, variable se determina heurísticamente, pues aún cuando se conocen los efectos pues aún cuando se conocen los efectos de tener pocos o muchos conjuntos de tener pocos o muchos conjuntos definidos en el universo, finalmente se definidos en el universo, finalmente se establecen los conjuntos definitivos establecen los conjuntos definitivos observando un funcionamiento observando un funcionamiento satisfactorio del sistemasatisfactorio del sistema..

Se recomienda especificar una Se recomienda especificar una cantidad de conjuntos difusos más cantidad de conjuntos difusos más densa en aquellas zonas donde se densa en aquellas zonas donde se requieran cambios grandes en los requieran cambios grandes en los parámetros de salida del sistema parámetros de salida del sistema a cambios pequeños de sus a cambios pequeños de sus parámetros de entrada.parámetros de entrada.

Una de las cualidades que Una de las cualidades que caracterizan a los sistemas difusos es caracterizan a los sistemas difusos es el manejo de información ambigua, el manejo de información ambigua, esta característica la adquieren esta característica la adquieren debido a la forma en que se debido a la forma en que se especifican los conjuntos difusos especifican los conjuntos difusos cubriendo el universo de discurso de cubriendo el universo de discurso de las variables de entrada y/o salida, las variables de entrada y/o salida, por lo que por lo que la ambigüedad que la ambigüedad que puede ser admitida por el sistema puede ser admitida por el sistema depende del grado de traslape depende del grado de traslape entre los conjuntos definidos.entre los conjuntos definidos.

Respecto del grado de traslape que Respecto del grado de traslape que deben tener dos conjuntos contiguosdeben tener dos conjuntos contiguos, , se recomienda en 25% del área se recomienda en 25% del área total total al inicio del desarrolloal inicio del desarrollo (conjuntos simétricos)(conjuntos simétricos), aún cuando se , aún cuando se sabe que el funcionamiento del sabe que el funcionamiento del sistema no es muy bueno con estos sistema no es muy bueno con estos conjuntos, también se recuerda que conjuntos, también se recuerda que esto no es una generalización, pues esto no es una generalización, pues su adecuación depende del grado de su adecuación depende del grado de precisión deseado en la respuesta del precisión deseado en la respuesta del sistema.sistema.

ConsideracionesConsideraciones para para la la especificación de los especificación de los C D´sC D´s:: 1) Cada punto en el universo de 1) Cada punto en el universo de

discurso debe pertenecer al dominio discurso debe pertenecer al dominio de al menos una función de de al menos una función de membresía; al mismo tiempo, debe membresía; al mismo tiempo, debe pertenecer al dominio de no más de pertenecer al dominio de no más de dos funciones de membresía.dos funciones de membresía.

2) Ningún par de funciones de 2) Ningún par de funciones de membresía deben tener el mismo membresía deben tener el mismo punto de máxima membresía.punto de máxima membresía.

CConsideraciones onsideraciones para para la la especificación de los especificación de los C D´sC D´s:: 3) Cuando dos funciones de membresía 3) Cuando dos funciones de membresía

se traslapan, la suma de los grados de se traslapan, la suma de los grados de membresía para cualquier punto en el membresía para cualquier punto en el traslape debe ser menor o igual a uno.traslape debe ser menor o igual a uno.

4) Cuando dos funciones de membresía 4) Cuando dos funciones de membresía se traslapan, el traslape no debe cruzar se traslapan, el traslape no debe cruzar el punto de máxima membresía de el punto de máxima membresía de cualquier función de membresía.cualquier función de membresía.

Durante la especificación de los conjuntos Durante la especificación de los conjuntos difusos que cubren los extremos inferior difusos que cubren los extremos inferior (función Z) y superior (función S) del (función Z) y superior (función S) del universo de discurso considerado, es de universo de discurso considerado, es de gran importancia que se hagan de una gran importancia que se hagan de una manera adecuada, ya que estas funciones manera adecuada, ya que estas funciones son muy importantes para la estabilidad son muy importantes para la estabilidad del funcionamiento del sistema, pues del funcionamiento del sistema, pues evalúan las situaciones extremas evalúan las situaciones extremas consideradas para elconsideradas para el establecimiento establecimiento del universo de discursodel universo de discurso..

2.1.4 Distribución de 2.1.4 Distribución de PosibilidadPosibilidad

La asignación de un conjunto difuso La asignación de un conjunto difuso a una variables difusa restringe el a una variables difusa restringe el valor de la variable, tal como lo hace valor de la variable, tal como lo hace un conjunto clásico (crisp).un conjunto clásico (crisp).

Sin embargo, la diferencia entre los Sin embargo, la diferencia entre los dos es que la idea de valores posible dos es que la idea de valores posible vs. valores imposible se convierte en vs. valores imposible se convierte en un asunto de grado.un asunto de grado.

Por ejemplo:Por ejemplo: Se realizó un acto terrorista y la policía reporta Se realizó un acto terrorista y la policía reporta

que el sospechoso de poner la bomba tiene una que el sospechoso de poner la bomba tiene una edad entre 20 y 30 años.edad entre 20 y 30 años.

Lo cual puede expresarse al asignar el intervalo Lo cual puede expresarse al asignar el intervalo [20, 30] a una variable, que representa la edad [20, 30] a una variable, que representa la edad del sospechoso:del sospechoso:

Edad (sospechoso)=[20, 30]Edad (sospechoso)=[20, 30] De forma especifica el intervalo limita la edad De forma especifica el intervalo limita la edad

a:a: 20, 21, …,30 20, 21, …,30, y es imposible que el , y es imposible que el sospechoso tenga una edad fuera de dicho sospechoso tenga una edad fuera de dicho rango. Lo anterior introduce una frontera rango. Lo anterior introduce una frontera clasica entre los valores posibles y los clasica entre los valores posibles y los imposibles.imposibles.

……

Para situaciones en que una frontera Para situaciones en que una frontera bien definida no se desea, la lógica bien definida no se desea, la lógica difusa ofrece una alternativa más difusa ofrece una alternativa más adecuada –generalizar la distinción adecuada –generalizar la distinción binaria entre lo posible vs. lo binaria entre lo posible vs. lo imposible a un asunto de grado imposible a un asunto de grado llamado la llamado la posibilidad.posibilidad.

Por ejemplo, si se asigna el conjunto Por ejemplo, si se asigna el conjunto difuso JOVEN, el cual tiene la difuso JOVEN, el cual tiene la siguiente función de membresía:siguiente función de membresía:

……

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 EDAD

π

1

JOVEN

Una distribución de posibilidad del conjunto difuso Joven

Para la edad del sospechoso, se Para la edad del sospechoso, se obtiene una distribución a cerca de obtiene una distribución a cerca de los grados de posibilidad de la edad los grados de posibilidad de la edad del sospechoso (la posibilidad de que del sospechoso (la posibilidad de que el sospechoso tenga 19 años es de el sospechoso tenga 19 años es de 0.7, mientras que la posibilidad de 0.7, mientras que la posibilidad de que tenga 21 hasta 28 es de 1).que tenga 21 hasta 28 es de 1).

∏∏Edad(sospechoso)Edad(sospechoso)(x) = (x) = µµJOVENJOVEN(x)(x)

……

…… DondeDonde

∏ ∏ denota una distribución de posibilidad de la denota una distribución de posibilidad de la edad del sospechoso.edad del sospechoso.

Y Y xx es una variable que representa una edad es una variable que representa una edad del sospechoso.del sospechoso.

Cuando se asigne un conjunto Cuando se asigne un conjunto difuso A a una variable X, la difuso A a una variable X, la asignación resultará en una asignación resultará en una distribución de posibilidad de X, distribución de posibilidad de X, la cual se define por la función la cual se define por la función de membresía A.de membresía A.

∏∏X X (x) = (x) = µµA A (x)(x)

2.1.5 Reglas Difusa2.1.5 Reglas Difusa

La inferencia difusa basada en reglas La inferencia difusa basada en reglas se puede entender de varias formas se puede entender de varias formas (conceptualmente, matemáticamente, (conceptualmente, matemáticamente, formalmente, etc.). Por ejemplo:formalmente, etc.). Por ejemplo:

Desde un punto de vista lógico, la Desde un punto de vista lógico, la inferencia difusa basada en regla es inferencia difusa basada en regla es una generalización de un esquema de una generalización de un esquema de razonamiento lógico llamado razonamiento lógico llamado modus modus ponensponens. .

Modus ponens: lógica Modus ponens: lógica clásicaclásica

En lógica clásica, si una regla es En lógica clásica, si una regla es verdadera y el antecedente de la regla es verdadera y el antecedente de la regla es verdadera, entonces puede inferirse que verdadera, entonces puede inferirse que el consecuente de la regla es verdadero.el consecuente de la regla es verdadero.

Lo anterior es referido como Lo anterior es referido como modus modus ponensponens. Por ejemplo, si la regla R1 es . Por ejemplo, si la regla R1 es verdadera:verdadera: R1: IF el ingreso anual de una persona es más R1: IF el ingreso anual de una persona es más

grande que 120K THEN la persona es rica.grande que 120K THEN la persona es rica. Y también, la siguiente declaración es Y también, la siguiente declaración es

verdadera:verdadera: El ingreso anual de Pedro es de 121KEl ingreso anual de Pedro es de 121K

Basados en el Basados en el modus ponensmodus ponens , la lógica , la lógica clásica puede deducir que la siguiente clásica puede deducir que la siguiente declaración también es verdadera:declaración también es verdadera:

Pedro es rico.Pedro es rico. Una limitación del Una limitación del modus ponensmodus ponens es es

que no puede manejar situaciones que no puede manejar situaciones parciales, como por ejemplo, la regla parciales, como por ejemplo, la regla R1 y un caso diferente:R1 y un caso diferente: El ingreso anual de Juan es de $199,999.El ingreso anual de Juan es de $199,999.

Generalmente, se diría que Juan es un Generalmente, se diría que Juan es un poco rico, Sin embargo, el poco rico, Sin embargo, el modus ponensmodus ponens no puede inferir si Juan es rico o no no puede inferir si Juan es rico o no utilizando la regla R1, porque el ingreso utilizando la regla R1, porque el ingreso anual de Juan no satisface el antecedente anual de Juan no satisface el antecedente de R1, aunque solamente le falta un peso. de R1, aunque solamente le falta un peso. El problema tiene dos causas: El problema tiene dos causas: (1) El antecedente de R1 no representa una (1) El antecedente de R1 no representa una

transición suave hacia la categoría “rico” lo transición suave hacia la categoría “rico” lo cual con frecuencia se observa en el cual con frecuencia se observa en el razonamiento humano.razonamiento humano.

(2) El (2) El modus ponensmodus ponens no puede manejar no puede manejar una situación donde el antecedente de una una situación donde el antecedente de una regla sea parcialmente satisfecho.regla sea parcialmente satisfecho.

Al tomar en cuenta tales limitantes, la Al tomar en cuenta tales limitantes, la “inferencia difusa basada en regla” “inferencia difusa basada en regla” generaliza el generaliza el modus ponens,modus ponens, permitiendo que sus conclusiones permitiendo que sus conclusiones inferidas sean modificadas por el grado inferidas sean modificadas por el grado para el cual el antecedente se satisfaga. para el cual el antecedente se satisfaga. Lo anterior es la esencia de la Lo anterior es la esencia de la “inferencia difusa basada en reglas”.“inferencia difusa basada en reglas”.

Estructura de las reglas Estructura de las reglas difusasdifusas

IF <antecedentes> THEN IF <antecedentes> THEN <consecuente><consecuente>

El antecedente describe una El antecedente describe una condición, y el consecuente describe condición, y el consecuente describe una conclusión que puede ser una conclusión que puede ser dibujada cuando las conclusión se dibujada cuando las conclusión se obtienen.obtienen.

Varios Antecedentes: (condición: rígida, Varios Antecedentes: (condición: rígida, elástica)elástica)

IF PosY is PAba and DesY is DCArr and PosZ is HAdel THEN NDesY is SDesY;

El consecuente de las Reglas Difusa se pueden clasificar en tres categorías: 1. Consecuente Crisp: IF …THEN 1. Consecuente Crisp: IF …THEN y=ay=adonde donde aa es un valor numérico no-difuso o es un valor numérico no-difuso o

valor simbólico.valor simbólico.

Pueden ser procesadas más eficientemente.Pueden ser procesadas más eficientemente. 2. Consecuente Difuso: IF…THEN 2. Consecuente Difuso: IF…THEN yy es es AA

DondeDonde A A es un conjunto difuso.es un conjunto difuso.

Es más fácil de entender y mas adecuado para Es más fácil de entender y mas adecuado para capturar la experiencia humana imprecisa.capturar la experiencia humana imprecisa.

3. Consecuente Funcional: 3. Consecuente Funcional:

IF IF xx11 es es AA11 AND AND xx22 es es AA22 AND AND xx33 es es AA33 AND AND ... ...

… …xxnn es es AAnn THEN THEN y = ay = aoo + +

Donde Donde aaoo , a , a11 , a , a22 , … , a , … , ann son constantes.son constantes.

Puede ser utilizado para aproximar modelos no Puede ser utilizado para aproximar modelos no lineales complejos utilizando un número lineales complejos utilizando un número pequeño de reglas.pequeño de reglas.

n

iii xa

1

Conceptos y Conceptos y Fundamentos de Fundamentos de Lógica Difusa.Lógica Difusa.

2.1 Conceptos básicos de 2.1 Conceptos básicos de Lógica DifusaLógica Difusa

Reglas para los problemas Reglas para los problemas planteadosplanteados

Problema A:Problema A: R3: IF la temperatura objetivo T es R3: IF la temperatura objetivo T es

baja, THEN Coloque el voltaje a _V baja, THEN Coloque el voltaje a _V (prenda el flujo frío).(prenda el flujo frío).

R4: IF la temperatura objetivo T es R4: IF la temperatura objetivo T es alta, THEN coloque el alta, THEN coloque el ------V (prenda el V (prenda el flujo caliente).flujo caliente).

Problema B: Lavadora automática.Problema B: Lavadora automática. R5: IF Cantidad de ropa es mucha R5: IF Cantidad de ropa es mucha

AND que tan sucia esta la ropa es AND que tan sucia esta la ropa es rudo THEN el ciclo de lavado es rudo THEN el ciclo de lavado es fuerte.fuerte.

R6: IF Cantidad de ropa es medio R6: IF Cantidad de ropa es medio AND que tan sucia esta la ropa es AND que tan sucia esta la ropa es normal-rudo THEN el ciclo de lavado normal-rudo THEN el ciclo de lavado es normales normal

Reglas para los problemas Reglas para los problemas planteadosplanteados

Variables y sus Funciones Variables y sus Funciones de membresía de membresía

Mugrosidad de la ropa

1Rudo Nrudo Nsuave Suave

Cantidad de ropa

1Poco Medio Mucho

Ciclo de lavado

1Delicado ligero Normal fuerte

Tabla de Reglas Difusas Tabla de Reglas Difusas para el ciclo de lavadopara el ciclo de lavado

CANT. DE ROPACANT. DE ROPA

MUGROSIDADMUGROSIDAD

Poca Poca MedioMedio MuchaMucha

SuaveSuave DelicadoDelicado LigeroLigero NormalNormal

Normal Normal SuaveSuave

LigeroLigero NormalNormal NormalNormal

NormalNormal

RudoRudoLigeroLigero NormalNormal FuerteFuerte

RudoRudo LigeroLigero NormalNormal FuerteFuerte

Inferencia difusa basada Inferencia difusa basada en reglasen reglas

El algoritmo consiste de tres pasos básicos El algoritmo consiste de tres pasos básicos y uno opcional:y uno opcional:

1.- 1.- Fuzzy MatchingFuzzy Matching: Calcula el grado para el : Calcula el grado para el cual el dato de entrada se iguala (relaciona) cual el dato de entrada se iguala (relaciona) a la condición de la regla difusa.a la condición de la regla difusa.

2.- 2.- InferenciaInferencia: calcula la conclusión de la : calcula la conclusión de la regla a partir de sus grados de relación regla a partir de sus grados de relación (matching).(matching).

3.- 3.- CombinaciónCombinación: Combina las conclusiones : Combina las conclusiones inferidas por todas las reglas difusas en una inferidas por todas las reglas difusas en una conclusión final.conclusión final.

4.- 4.- Defusificación (Opcional):Defusificación (Opcional): para para aplicaciones que necesitan una salida crisp.aplicaciones que necesitan una salida crisp.

Fuzzy Matching para la Fuzzy Matching para la conjunciónconjunción

Mucha

Rudo

Normal

Normal Rudo

0.5

0.2

0.8

0.5

Cantidad de Ropa

Cantidad de Ropa

Mugrosidad

Mugrosidadmin

min

Grado de

relación

1

1

1

1

IF la Cantidad de ropa es Mucha AND la Mugrosidad de la ropa es Rudo THEN….

Inferencia: dos métodosInferencia: dos métodos

1.- Método de recorte (min): Este método 1.- Método de recorte (min): Este método trunca la altura de la función de trunca la altura de la función de membresía cuyos valores sean más membresía cuyos valores sean más grandes que el grado de relación. (min-grandes que el grado de relación. (min-max)max)

2.- El método de escalamiento (prod): 2.- El método de escalamiento (prod): Este método diminuye la función de Este método diminuye la función de membresía en proporción al grado de membresía en proporción al grado de relación. (prod-sum)relación. (prod-sum)

Inferencia difusaInferencia difusa

Consecuente Difuso

Conclusión Inferida

1

1

Consecuente Difuso

Conclusión Inferida

1

1

Método de Recorte

Método de Escalamiento

Conclusión difusa

“Y es A”

Combinación de Combinación de Conclusiones DifusasConclusiones Difusas

Al combinar las conclusiones difusas a través de Al combinar las conclusiones difusas a través de superponer los conjuntos se aplica un operador superponer los conjuntos se aplica un operador difuso de disyunción, max, para múltiples difuso de disyunción, max, para múltiples distribuciones de posibilidad de la variable de distribuciones de posibilidad de la variable de salida. salida.

Combinación de Combinación de Conclusiones DifusasConclusiones Difusas

DefusificaciónDefusificación

Observando los cuatro Observando los cuatro pasos juntos del algoritmopasos juntos del algoritmo

Mucha

Rudo

Normal

Normal Rudo

Cantidad de Ropa

Cantidad de Ropa

Mugrosidad

Mugrosidad

min

min

1

1

1

1

Fuerte

Normal

1

1Ciclo

1

Salida defusificada

Resumen y Conclusiones Resumen y Conclusiones FinalesFinales

Un conjunto difuso es un conjunto con Un conjunto difuso es un conjunto con fronteras suaves tal que la membresía en el fronteras suaves tal que la membresía en el conjunto llega a ser una materia de grado.conjunto llega a ser una materia de grado.

Un conjunto difuso tiene una Un conjunto difuso tiene una representación dual: una descripción representación dual: una descripción cualitativa y utilizando un cualitativa y utilizando un termino termino lingüístico,lingüístico, y una descripción cuantitativa a y una descripción cuantitativa a través de una función de membresía, la cual través de una función de membresía, la cual relaciona los elementos en un universo de relaciona los elementos en un universo de discurso para sus grados de membresía en discurso para sus grados de membresía en el conjunto.el conjunto.

Una variable lingüística es una variable Una variable lingüística es una variable cuyo valores son una expresión que cuyo valores son una expresión que involucra conjuntos difusos.involucra conjuntos difusos.

Cuando un conjunto difuso es asignado Cuando un conjunto difuso es asignado a una variable cuyo valor difuso no es a una variable cuyo valor difuso no es conocido, el conjunto difuso sirve como conocido, el conjunto difuso sirve como una constante de grado para facilitar una constante de grado para facilitar que la variable tome un cierto valor. que la variable tome un cierto valor. Dicho grado de facilidad es conocido Dicho grado de facilidad es conocido como el como el grado de posibilidad.grado de posibilidad.

Una Una distribución de posibilidaddistribución de posibilidad de una de una variable es una función que relaciona variable es una función que relaciona elementos del universo de discurso de la elementos del universo de discurso de la variable a sus grados de posibilidad.variable a sus grados de posibilidad.

Una Una regla difusa if-thenregla difusa if-then es un esquema es un esquema para representar conocimiento y para representar conocimiento y asociación que es inexacto e imprecisos asociación que es inexacto e imprecisos por naturaleza.por naturaleza.

La parte if de una regla difusa se conoce La parte if de una regla difusa se conoce como como antecedenteantecedente, y la parte then de la , y la parte then de la regla se conoce como regla se conoce como consecuenteconsecuente..

El razonamiento utilizando reglas difusas El razonamiento utilizando reglas difusas if-then tiene tres característica if-then tiene tres característica principales. Primera, se puede realizar la principales. Primera, se puede realizar la inferencia con información parcial en las inferencia con información parcial en las entradas de las reglas. Segunda, entradas de las reglas. Segunda, típicamente se puede inferir la típicamente se puede inferir la distribución de posibilidad de una variable distribución de posibilidad de una variable de salida de la distribución de posibilidad de salida de la distribución de posibilidad de una variable de entrada. Tercera, El de una variable de entrada. Tercera, El sistema combina las conclusiones inferidas sistema combina las conclusiones inferidas de todas las reglas para formar una de todas las reglas para formar una conclusión global.conclusión global.

La mayoría de las aplicaciones de la La mayoría de las aplicaciones de la lógica difusa utiliza reglas difusas if-lógica difusa utiliza reglas difusas if-then.then.

Muchos sistemas difusos basados en Muchos sistemas difusos basados en reglas necesitan producir una salida reglas necesitan producir una salida precisa utilizan un proceso de precisa utilizan un proceso de defusificación para convertir la defusificación para convertir la distribución de posibilidad inferida de distribución de posibilidad inferida de una variable de salida a un valor preciso una variable de salida a un valor preciso de representación.de representación.