CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA 2

UNIDAD 2UNIDAD 2

CONCEPTOS Y CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE FUNDAMENTOS DE

LÓGICA DIFUSA.LÓGICA DIFUSA.

Conceptos y Conceptos y Fundamentos de Fundamentos de Lógica Difusa.Lógica Difusa.2.2 Conjuntos Difusos, 2.2 Conjuntos Difusos,

Operadores y Propiedades Operadores y Propiedades de Conjuntos Difusosde Conjuntos Difusos

2.2 Conjuntos 2.2 Conjuntos Difusos, Operadores Difusos, Operadores

y Propiedades de y Propiedades de Conjuntos DifusosConjuntos Difusos2.2.1 Conjunto Clásicos.2.2.1 Conjunto Clásicos.

2.2.2 Conjuntos Difusos.2.2.2 Conjuntos Difusos.2.2.3 Operaciones de conjuntos 2.2.3 Operaciones de conjuntos

difusos.difusos.2.2.4 Propiedades de conjuntos 2.2.4 Propiedades de conjuntos

difusos.difusos.

2.2.1 Conjunto Clásicos.2.2.1 Conjunto Clásicos.

Un conjunto se puede definir de dos formas Un conjunto se puede definir de dos formas distintas: (1) al enumerar sus elementos, o (2) distintas: (1) al enumerar sus elementos, o (2) al describir las propiedades comunes de sus al describir las propiedades comunes de sus elementos.elementos.

La segunda es mas utilizada que la primera por La segunda es mas utilizada que la primera por tres razones: (a) Es más consistente que la tres razones: (a) Es más consistente que la primera; (b) Expresa explícitamente el primera; (b) Expresa explícitamente el significado de un conjunto; (c) Puede ser significado de un conjunto; (c) Puede ser utilizada para reconocer nuevos elementos de utilizada para reconocer nuevos elementos de un conjunto cuando las propiedades de los un conjunto cuando las propiedades de los elementos cambian o cuando las propiedades elementos cambian o cuando las propiedades que los definen cambian.que los definen cambian.

Operaciones en conjuntos Operaciones en conjuntos ClásicosClásicos

Las tres operaciones básicas en Las tres operaciones básicas en conjuntos clásicos son: conjuntos clásicos son: unión, unión, intersección, y complementointersección, y complemento

BxyAxxBADIFERENCIA

XxAxxAOCOMPLEMENT

BxyAxxBAÓNINTERSECCI

BxoAxxBAUNION

,

Propiedades de las operaciones Propiedades de las operaciones básicas en clásicosbásicas en clásicos

Las Las propiedades máspropiedades más apropiadas apropiadas para definir a los conjuntos para definir a los conjuntos clásicos y al mismo tiempo clásicos y al mismo tiempo mostrar sus similitudes con los mostrar sus similitudes con los conjuntos difusos son las conjuntos difusos son las siguientes:siguientes:

Ley ConmutativaLey Conmutativa A B B A

A B B A

Propiedades de los conjuntos Propiedades de los conjuntos clásicos clásicos

Ley AsociativaLey Asociativa

Ley Distributiva Ley Distributiva

A B C A B C

A B C A B C

CABACBA

CABACBA


Idempotencia Idempotencia (Ley de tautología)(Ley de tautología)

Identidad Identidad = A= A

X = X = AA = = X = X = XX

AAA

AAA

A

A

AA


TransitividadTransitividad, si, si

Involución ó ley de doble Involución ó ley de doble complementación: complementación:

CAEntoncesCBA ,

AA

Propiedades especiales en la Propiedades especiales en la operación de conjuntos operación de conjuntos

Las leyes de De-MorganLas leyes de De-Morgan:: Las leyes del medioLas leyes del medio excluidoexcluido. . Existen dos leyes del medio excluido estas Existen dos leyes del medio excluido estas

son: son: La ley del tercero excluidoLa ley del tercero excluido(La ley del medio excluido)(La ley del medio excluido)

La ley de contradicciónLa ley de contradicción

XAA

AA

BABA

BABA

TODAS LAS PROPIEDADES DE TODAS LAS PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CLÁSICOS LAS LOS CONJUNTOS CLÁSICOS LAS CUMPLEN LOS CONJUNTOS CUMPLEN LOS CONJUNTOS DIFUSOS, SALVO LAS LEYES DE DIFUSOS, SALVO LAS LEYES DE CONTRADICCIÓN Y DEL CONTRADICCIÓN Y DEL TERCERO EXCLUIDO.TERCERO EXCLUIDO.

UUn conjunto clásico se n conjunto clásico se

convertirá en difuso, justamente convertirá en difuso, justamente cuando se comiencen a violar cuando se comiencen a violar dichas leyes.dichas leyes.

2.2.2 Conjuntos Difusos2.2.2 Conjuntos Difusos

2.2.2.1 Tipos de funciones de 2.2.2.1 Tipos de funciones de membresíamembresía

Existen varios tipos de funciones de Existen varios tipos de funciones de membresía, las más utilizadas en la membresía, las más utilizadas en la practica son: triangular, trapezoidal, practica son: triangular, trapezoidal, forma de campana, Gaussiana y forma de campana, Gaussiana y función sigmoidal. función sigmoidal.

Función de Membresía Función de Membresía TriangularTriangular

Se especifica Se especifica mediante tres mediante tres parámetros {parámetros {a,b,ca,b,c}:}:

cx

cxbbcxc

bxaabax

ax

cbaxtriangular

0

0

,,:

Función de Membresía Función de Membresía TrapezoidalTrapezoidal

Se especifica mediante Se especifica mediante cuatro parámetros cuatro parámetros {{a,b,c,da,b,c,d}:}:

dx

dxcbcxc

cxb

bxaabax

ax

dcbaxtriangular

0

1

0

,,,:

Función de Membresía Función de Membresía GaussianaGaussiana

Se especifica mediante dos Se especifica mediante dos parámetros {parámetros {m,m,σσ}, denotan el }, denotan el centro y el ancho de la función, centro y el ancho de la función, respectivamente:respectivamente:

2

2

exp,:

mxmxgussiana

Función de Membresía Función de Membresía Forma de CampanaForma de Campana

Se especifica Se especifica mediante tres mediante tres parámetros parámetros {{a,b,ca,b,c}:}:

b

acx

cbaxCampana 2

1

1,,:

Cuatro tipos de Cuatro tipos de funcionesfunciones

Función de Membresía Función de Membresía SigmoidalSigmoidal

Esta función aproxima una Esta función aproxima una función escalón (positivo función escalón (positivo infinito).infinito).

cxecxSigm

a11

,a:

aa

c

1

0.5

Función de Membresía SFunción de Membresía S

bx

bxba

abbx

baxa

abax

ax

baxS

1

221

22

0

,:2

2

Esta función es una función de membresía suave con dos parámetros: a y b . El valor de membresía será 0 para los puntos por debajo de a, 1 para puntos arriba de b, y 0.5 para los puntos intermedios entre a y b.

a b(a+b)/2c

1

0.5

Función de Membresía Función de Membresía ΠΠ11 y y ΠΠ22

La primera función se define con dos La primera función se define con dos parámetros: parámetros: aa y b. La función tiene un y b. La función tiene un valor de membresía de 1 en el punto a, un valor de membresía de 1 en el punto a, un valor de membresía de 0.5 en a-b y valor de membresía de 0.5 en a-b y a+ba+b, , respectivamente. A diferencia de una respectivamente. A diferencia de una función S, la función función S, la función ΠΠ decrece hacia cero decrece hacia cero asintótica mente si se mueven sus valores asintótica mente si se mueven sus valores desde el punto a. desde el punto a. 21

1

1,:

bax

bax

La otra función La otra función ΠΠ22 , tiene cuatro , tiene cuatro parámetros y esta dada por:parámetros y esta dada por:

rpxrwrpx

rw

rpxlp

lpxxlwlp

lw

rwrplplwx 1,,,:2

Función de Membresía Función de Membresía ΠΠ11 y y ΠΠ22

a-b a a+b lp-lw lp rp rp+rw

lw rw

HedgesHedges

Un Un hedgehedge es un modificador de un es un modificador de un conjunto difuso . Al modificar el significado conjunto difuso . Al modificar el significado del conjunto original se crea un conjunto del conjunto original se crea un conjunto difuso compuesto. Los modificadores más difuso compuesto. Los modificadores más comúnmente utilizados son: “Muy” y comúnmente utilizados son: “Muy” y “Mas o menos” (Very; More or Less):“Mas o menos” (Very; More or Less):

)()()(

)()(

)()( 2

xxx

xx

xx

AMoreOrLessAAvery

AAMoreOrLess

AAvery

2.2.3 Operaciones de 2.2.3 Operaciones de conjuntos difusosconjuntos difusos

VacuidadVacuidad: Un conjunto difuso esta : Un conjunto difuso esta vacío si todos los candidatos tienen vacío si todos los candidatos tienen MEMBRESÍA 0 (VACÍO), por ejemplo: MEMBRESÍA 0 (VACÍO), por ejemplo: “El conjunto de océanos que “El conjunto de océanos que comienzan con X”comienzan con X”

ComplementoComplemento: El complemento de un : El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la conjunto difuso es la cantidad que la membresíamembresía necesita para alcanzar 1. necesita para alcanzar 1.

ContenimientoContenimiento: en conjuntos : en conjuntos difusos cada elemento debe difusos cada elemento debe pertenecer más al subconjunto pertenecer más al subconjunto que al conjunto más grande.que al conjunto más grande.

Sea U un conjunto no difuso y M = Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], su conjunto asociado de [0,1], su conjunto asociado de membresía.membresía.

Operaciones Básicas DifusasOperaciones Básicas Difusas

Se dice que un conjunto difuso ASe dice que un conjunto difuso AU, U, está incluido en otro conjunto difuso está incluido en otro conjunto difuso BBU, sí:U, sí:

A Bu u u U

A

U

B

U

uu

uu

Igualdad difusaIgualdad difusa: Sea U un : Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], su conjunto no difuso y M = [0,1], su conjunto asociado de membresía. Se conjunto asociado de membresía. Se dice que dos conjuntos difusos Adice que dos conjuntos difusos AU U y By BU, son iguales sí y solamente sí:U, son iguales sí y solamente sí:

A Bu u u U ,

Operaciones Básicas DifusasOperaciones Básicas Difusas

Operaciones Especiales Realizadas Operaciones Especiales Realizadas a Los Conjuntos Difusos.a Los Conjuntos Difusos.

Escalamiento difusoEscalamiento difuso.- .- Si Si es es un número real no negativo y un número real no negativo y AA representa un conjunto difuso, representa un conjunto difuso, entonces se define el entonces se define el escalamiento difuso como:escalamiento difuso como:

A =A = A

U

u u 0 1,

Esta operación, sirve para poder Esta operación, sirve para poder escalar un conjunto difuso, y se escalar un conjunto difuso, y se utiliza en algunos métodos de utiliza en algunos métodos de inferencia (producto-suma inferencia (producto-suma algebraica) para realizar los algebraica) para realizar los truncamientos de los conjuntos truncamientos de los conjuntos difusos de salida a partir de un difusos de salida a partir de un nivel nivel y en algunos métodos de y en algunos métodos de defusificación para sustituir a las defusificación para sustituir a las operaciones de multiplicación.operaciones de multiplicación.

Intersección y Unión en Intersección y Unión en Conjuntos DifusosConjuntos Difusos

Se sabe que existen varias maneras de Se sabe que existen varias maneras de realizar las operaciones de conjunción y realizar las operaciones de conjunción y disyunción difusas.disyunción difusas.

Además de utilizar la conjunción difusas Además de utilizar la conjunción difusas

min, la disyunción difusa max, se puede min, la disyunción difusa max, se puede utilizar otra pareja de operadores para la utilizar otra pareja de operadores para la conjunción y disyunción difusas: el conjunción y disyunción difusas: el producto y la suma algebraicos, producto y la suma algebraicos, respectivamente. Y existe un número respectivamente. Y existe un número infinito de otras opciones.infinito de otras opciones.

El conjunto de candidatos de operadores El conjunto de candidatos de operadores de conjunción difusa, conocido como de conjunción difusa, conocido como norma triangular o norma triangular o norma-tnorma-t se define por se define por una serie de axiomas. Asimismo, el una serie de axiomas. Asimismo, el conjunto de operadores de disyunción conjunto de operadores de disyunción difusas, llamados conormas triangulares, difusas, llamados conormas triangulares, conormas-tconormas-t, o normas-s esta definido por , o normas-s esta definido por un conjunto de axiomas dual. Se un conjunto de axiomas dual. Se definirán las normas-t y conormas-t definirán las normas-t y conormas-t utilizando los axiomas siguientes: utilizando los axiomas siguientes:

Operadores Tipo Normas-tOperadores Tipo Normas-t Las normas-t se utilizan para calcular Las normas-t se utilizan para calcular

los valores de membresía de la los valores de membresía de la intersección intersección de dos o más conjuntos de dos o más conjuntos difusos.difusos.

Los operadores que son clasificados Los operadores que son clasificados dentro de las normas-t deben dentro de las normas-t deben satisfacer ciertas condiciones, y no satisfacer ciertas condiciones, y no necesariamente cumplir todas las necesariamente cumplir todas las propiedades mencionadas para las propiedades mencionadas para las operaciones básicas de los conjuntos operaciones básicas de los conjuntos difusos,difusos,

las cuales fueron establecidas las cuales fueron establecidas considerando a los operadores considerando a los operadores min, max y complemento difuso, min, max y complemento difuso, como operadores como operadores representativos de la conjunción, representativos de la conjunción, disyunción y negación difusa, disyunción y negación difusa, respectivamente.respectivamente.

Toda norma-t debe satisfacer las Toda norma-t debe satisfacer las siguientes condiciones:siguientes condiciones:

Las normas-t, definen una clase general de Las normas-t, definen una clase general de operadores para los conjuntos difusos.operadores para los conjuntos difusos.

1 0 0 0 1 1

2

3

4

. , ; , , ,

. , , ;

. , , ;

. , , , , .

t t u t u u u U

t u u t u u si u u y u u

t u u t u u

t u t u u t t u u u

A A A

A B C D A C B D

A B B A

A B C A B C

Definición 1Definición 1

Un operador norma-t, denotado como Un operador norma-t, denotado como t(x,y)t(x,y) es una función proyectada desde es una función proyectada desde [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las siguientes condiciones para cualquier siguientes condiciones para cualquier w, w, x, y, z,x, y, z, [0,1]:[0,1]:1.(0,0)=0, t(x,1)= x

2. t(x,y) ≤ t(z,w) if x≤z and y≤w (monotonicity)

3. t(x,y)= t(y,x) (commutativity)

4. t(x, t(y,z))= t(t(x,y),z)(associativity)

Los operadores pertenecientes a Los operadores pertenecientes a esta clase de normas son, en esta clase de normas son, en particular, asociativos y por lo particular, asociativos y por lo tanto es posible calcular los tanto es posible calcular los valores de membresía para la valores de membresía para la intersecciónintersección de más de dos de más de dos conjuntos difusos mediante la conjuntos difusos mediante la aplicación recursiva de algún aplicación recursiva de algún operador de norma-t.operador de norma-t.

Operadores Tipo Operadores Tipo Conormas-tConormas-t

Los operadores que corresponden Los operadores que corresponden a esta clase de normas, a esta clase de normas, representan una clase de representan una clase de operadores generales para operadores generales para realizar la unión difusa de dos o realizar la unión difusa de dos o más conjuntos, como el operador más conjuntos, como el operador max.max.

Las conormas-t o normas-s, al Las conormas-t o normas-s, al igual que las normas-t, son igual que las normas-t, son funciones asociativas, funciones asociativas, conmutativas y monótonas.conmutativas y monótonas.

Las propiedades que estas Las propiedades que estas satisfacen están formuladas satisfacen están formuladas bajo las siguientes condiciones:bajo las siguientes condiciones:

1 11 1 0 0

2

3

4

. , ; , , ,

. , , ;

. , , ;

. , , , , .

s s u s u u u U

s u u s u u si u u y u u

s u u s u u

s u s u u s s u u u

A A A

A B C D A C B D

A B B A

A B C A B C

Definición 2Definición 2

Un operador norma-t, denotado como Un operador norma-t, denotado como s(x,y)s(x,y) es una función proyectada desde es una función proyectada desde [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las siguientes condiciones para cualquier siguientes condiciones para cualquier w, w, x, y, z,x, y, z, [0,1]:[0,1]:1.(1,1)=1, t(x,0)= x

2. s(x,y) ≤ s(z,w) if x≤z and y≤w (monotonicity)

3. s(x,y)= s(y,x) (commutativity)

4. s(x, s(y,z))= s(s(x,y),z)(associativity)

Las normas-t y las conormas-t Las normas-t y las conormas-t se relacionan en un sentido de se relacionan en un sentido de dualidad lógica, es decir:dualidad lógica, es decir:

uusuut BABA 1,11,

De tal manera que cualquier norma-t puede ser generada a partir de una conorma-t mediante la utilización de esta transformación.

También, las leyes de De Morgan También, las leyes de De Morgan pueden ser aplicadas a las pueden ser aplicadas a las normas-t y conormas-t por normas-t y conormas-t por medio de la utilización de algún medio de la utilización de algún operador adecuado para la operador adecuado para la complementación, como:complementación, como:

A Au u u U 1 ,

De esta manera las leyes de De De esta manera las leyes de De Morgan para los conjuntos difusos, Morgan para los conjuntos difusos, pueden quedar expresadas como:pueden quedar expresadas como:

ununsnuut

ununtnuus

BABA

BABA

,,

,,

Lista De Parejas De Lista De Parejas De Operadores Normas-t Y Operadores Normas-t Y

Conormas-tConormas-t Se presenta una serie de Se presenta una serie de operadores clasificados como operadores clasificados como operadores no paramétricos y que operadores no paramétricos y que representan a una familia de representan a una familia de operadores duales que se utilizan operadores duales que se utilizan con frecuencia en los sistemas con frecuencia en los sistemas difusos orientados hacia control, difusos orientados hacia control, inteligencia, automatización, e inteligencia, automatización, e información.información.

Producto Producto Y Y Suma Suma DrásticaDrástica

maneraotrade

uumaxsiuuminuut BABA

BA 0

1,,,1

maneraotrade

uuminsiuumaxuus BABA

BA 1

0,,,1

Producto Producto Y Y Suma AcotadaSuma Acotada

1,0,2 uumaxuut BABA

uuminuus BABA ,1,2

Producto Producto Y Y Suma Suma EinsteanaEinsteana

)(2

,3 uuuuuu

uutBABA

BABA

uu

uuuus

BA

BABA

1

,3

Producto Producto Y Y Suma Suma AlgebraicaAlgebraica

uuuut BABA ,4

uuuuuus BABABA ,4

Producto Producto Y Y Suma de Suma de HamacherHamacher

)(

,5 uuuuuu

uutBABA

BABA

)(1

2,5 uu

uuuuuus

BA

BABABA

Operador MínimoOperador Mínimo Y Y MáximoMáximo

uuminuut BABA ,,6

uumaxuus BABA ,,6

Los operadores Los operadores producto - suma producto - suma acotadaacotada, , producto - suma producto - suma algebraicaalgebraica y los y los operadores operadores mínimo - máximomínimo - máximo, son los , son los operadores más utilizados dentro operadores más utilizados dentro de las aplicaciones de la lógica de las aplicaciones de la lógica difusa en el área de control, difusa en el área de control, considerando su viabilidad de considerando su viabilidad de implementación en los sistemas implementación en los sistemas basados en microcontroladores basados en microcontroladores digitales.digitales.

Una propiedad importante de las Una propiedad importante de las normas-t es que todas las normas-t normas-t es que todas las normas-t están limitadas por arriba por el están limitadas por arriba por el min y limitadas por abajo por el min y limitadas por abajo por el producto drástico.producto drástico.

Similarmente todas las conormas-t Similarmente todas las conormas-t están limitadas por arriba por la están limitadas por arriba por la suma drástica y limitadas por abajo suma drástica y limitadas por abajo por el max. por el max.

Teoremas 1 y 2Teoremas 1 y 2

1. Todos los operadores norma-t, 1. Todos los operadores norma-t, denotado por t, son limitados por el denotado por t, son limitados por el producto drástico tproducto drástico t1 1 y por arriba por el y por arriba por el min:min:

tt11(x,y)≤t(x,y)≤min(x,y)(x,y)≤t(x,y)≤min(x,y) 2. Todos los operadores conorma-t, 2. Todos los operadores conorma-t,

denotado por s, son limitados por el denotado por s, son limitados por el suma drástico ssuma drástico s1 1 y por arriba por el max:y por arriba por el max:

max(x,y)≤s(x,y)≤smax(x,y)≤s(x,y)≤s11(x,y)(x,y)

2.2.4 Propiedades de los conjuntos 2.2.4 Propiedades de los conjuntos difusosdifusos

Los conjuntos difusos observan las Los conjuntos difusos observan las propiedades básicas de los conjuntos clásicos, propiedades básicas de los conjuntos clásicos, excepto las leyes del medio excluido.excepto las leyes del medio excluido.

Considerando tres conjuntos difusos A, B y Considerando tres conjuntos difusos A, B y C, los cuales tienen como conjunto referencial C, los cuales tienen como conjunto referencial al conjunto U:al conjunto U:

56.

48.

33.

25.

11

58.

47.

35.

20

11

54.

42.

37.

25.

10

52.

43.

35.

21

10

ByA

ByA

Propiedades de los conjuntos difusosPropiedades de los conjuntos difusos

Para que el conjunto A Para que el conjunto A seasea propiamente difuso se debe de propiamente difuso se debe de cumplir que:cumplir que:

Ley de contradicciónLey de contradicciónAA¬A ¬A (0 0 .5 .3 .2) (0 0 .5 .3 .2)

Ley del Tercero excluidoLey del Tercero excluido

AA¬A ¬A U (1 1 .5 .7 .8) U (1 1 .5 .7 .8)

Representación de las leyes Representación de las leyes del medio excluido en del medio excluido en

conjuntos difusosconjuntos difusos

1

XTercero excluido

1

XLa ley de contradicciónLa ley de contradicción

Propiedades EspecialesPropiedades Especiales

Cortes-Cortes-.- .- Cuando se requiere Cuando se requiere indicar a un elementoindicar a un elemento u de u de AA, que , que típicamente pertenezca a él, se típicamente pertenezca a él, se puede condicionar que su valor puede condicionar que su valor de membresía sea mayor que de membresía sea mayor que cierto umbral establecido cierto umbral establecido (0,1]. Esto define un conjunto (0,1]. Esto define un conjunto difuso de nivel-difuso de nivel- que se que se representa como:representa como: A u u U u u UA , ,

También se define el corte-También se define el corte- estricto como:estricto como:

La función de membresía de un La función de membresía de un conjunto difuso conjunto difuso AA, puede ser , puede ser expresada en términos de las expresada en términos de las funciones características de sus funciones características de sus cortes-cortes- (teorema de la (teorema de la descomposición), de acuerdo a la descomposición), de acuerdo a la fórmula:fórmula:

A u u U u u UA , ,

A Au min u u U sup , ,

,0 1

Dado un conjunto difuso Dado un conjunto difuso cualquiera, se pueden discriminar cualquiera, se pueden discriminar algunos de sus elementos menos algunos de sus elementos menos significativos mediante el uso de significativos mediante el uso de los cortes-los cortes-. El nivel de recorte o . El nivel de recorte o de interés queda determinado de interés queda determinado según el contexto donde se según el contexto donde se aplique.aplique.

Elementos particulares dentro de los Elementos particulares dentro de los conjuntos difusosconjuntos difusos

SoporteSoporte.- .- El soporte de un El soporte de un conjunto difuso A, es el conjunto conjunto difuso A, es el conjunto de los puntos para los cuales:de los puntos para los cuales:

Según la siguiente Tabla lSegún la siguiente Tabla la a expresión que define al soporte expresión que define al soporte finito definito del l conjunto conjunto jovenjoven es: es:

sop sop (joven) = {5, 10, 20, 30, 40}(joven) = {5, 10, 20, 30, 40}

Sop A u U u u UA , , 0

Conjuntos Difusos Como Elementos Del Conjunto

Potencial ElementElement

osos

(edades)(edades)

InfanteInfante AdultoAdulto JovenJoven ViejoViejo

55 00 00 11 00

1010 00 00 11 00

2020 00 .8.8 .8.8 .1.1

3030 00 11 .5.5 .2.2

4040 00 11 .2.2 .4.4

Considerando que Considerando que xxii es un es un elemento del soporte del conjunto elemento del soporte del conjunto difuso difuso AA y que y que ii es su grado de es su grado de membresía en membresía en AA..

AA = = 11 / / xx11 + + 22 / / xx22 +....+ +....+ nn / / xxn.n.

Donde.Donde. // Se emplea para unir los elementos del Se emplea para unir los elementos del

soporte con soporte con sus grados de membresía en sus grados de membresía en A, A, y.y.

+ Indica que los pares de elementos y grados de + Indica que los pares de elementos y grados de membresía listados forman colectivamente la membresía listados forman colectivamente la definición del conjunto definición del conjunto AA, en vez de cualquier , en vez de cualquier tipo de suma algebraica.tipo de suma algebraica.

Cardinalidad de conjuntos Cardinalidad de conjuntos difusosdifusos

La cardinalidad de un conjunto es el La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos en el número total de elementos en el conjunto.conjunto.

La cardinalidad de conjuntos difusos se La cardinalidad de conjuntos difusos se utiliza para responder preguntas como utiliza para responder preguntas como por ejemplo: ¿Cuántas personas son por ejemplo: ¿Cuántas personas son realmente viejas en un universo Edad?.realmente viejas en un universo Edad?.

Por lo tanto, la cardinalidad juega un Por lo tanto, la cardinalidad juega un papel importante en los sistemas de papel importante en los sistemas de información y en las bases de datos información y en las bases de datos difusas. difusas.

La cardinalidad escalarLa cardinalidad escalar de un de un conjunto difuso conjunto difuso A A definido sobre definido sobre un conjunto universal finito un conjunto universal finito X,X, es la suma de los grados de es la suma de los grados de membresía de todos los elementos membresía de todos los elementos de de XX en en AA..

Por ejemplo.Por ejemplo.

PPara el conjunto viejo seara el conjunto viejo se tienetiene::

Xx

A xA

1.4118.6.4.2.1.00 viejo

También, La cardinalidad de un También, La cardinalidad de un conjunto difuso es utilizada al definir conjunto difuso es utilizada al definir otras propiedades, por lo que sirve otras propiedades, por lo que sirve como un “factor de normalización”.como un “factor de normalización”.

De hecho el denominador (factor de De hecho el denominador (factor de normalización) de la ecuación que normalización) de la ecuación que define al método de defusificación por define al método de defusificación por “centroide” es la cardinalidad del “centroide” es la cardinalidad del conjunto difuso al ser defusificado.conjunto difuso al ser defusificado.


Altura.Altura.- - La La alturaaltura de un de un conjunto difuso es el grado de conjunto difuso es el grado de membresía más alto alcanzado membresía más alto alcanzado por cualquier elemento en el por cualquier elemento en el conjunto. Es decir, el elemento conjunto. Es decir, el elemento que posee el mayor grado de que posee el mayor grado de pertenencia. Se dice que A es pertenencia. Se dice que A es normal si su altura es 1, de otra normal si su altura es 1, de otra forma es subnormal.forma es subnormal. Alt A u

u UA

sup


Punto de crucePunto de cruce.- .- Un punto de Un punto de cruce de cruce de AA, es aquel punto u en U , es aquel punto u en U cuyo grado de membresía en cuyo grado de membresía en AA vale vale AA (u) = 0.5 (idealmente). (u) = 0.5 (idealmente).

Impulso difusoImpulso difuso.- .- Un conjunto Un conjunto difuso cuyo soporte está constituido difuso cuyo soporte está constituido por un único elemento upor un único elemento uoo, con, con AA (u (uoo) = 1; es referido como un ) = 1; es referido como un

impulso difuso.impulso difuso.


Un Un corte -corte - de un conjunto de un conjunto difuso es un conjunto certero difuso es un conjunto certero AA , el cual contiene todos los , el cual contiene todos los

elementos del conjunto universal elementos del conjunto universal XX que tienen un grado de que tienen un grado de membresía en membresía en AA mayor que o mayor que o igual al valor especificado de igual al valor especificado de ::

xXxA A

Por ejemplo, en el conjunto Por ejemplo, en el conjunto difuso difuso "joven""joven" y tomando en y tomando en cuenta que cuenta que =0.5, se tendrá la =0.5, se tendrá la expresión:expresión:

Al conjunto de todos los niveles Al conjunto de todos los niveles (0,1 (0,1 que representan que representan distintos cortes-distintos cortes- de un conjunto de un conjunto difuso dado difuso dado AA se le denomina se le denomina conjunto nivel conjunto nivel de de AA. .

30,20,10,55.0 Joven

XxúnaparaxaA _lg__

En un conjunto difuso cualquiera, En un conjunto difuso cualquiera, se pueden discriminar algunos de se pueden discriminar algunos de sus elementos menos sus elementos menos significativos mediante el uso de significativos mediante el uso de los cortes-los cortes-. El nivel de recorte o . El nivel de recorte o de interés queda determinado de interés queda determinado según el contexto donde se según el contexto donde se aplique.aplique.

Principio de Identidad Principio de Identidad ResoluciónResolución Basado en la notación de cortes Basado en la notación de cortes αα, un , un

conjunto difuso puede ser conjunto difuso puede ser descompuesto en múltiples conjuntos descompuesto en múltiples conjuntos crip (conjuntos nivel-crip (conjuntos nivel-αα) utilizando ) utilizando diferentes valores diferentes valores αα. Intuitivamente, . Intuitivamente, cada nivel-cada nivel-αα especifica una rebanada especifica una rebanada de la función de membresía.de la función de membresía.

Por lo tanto, se puede reconstruir Por lo tanto, se puede reconstruir una función de membresía original al una función de membresía original al “apilar” dichas rebanadas en orden.“apilar” dichas rebanadas en orden.

El fundamento para reconstruir una El fundamento para reconstruir una función de membresía de sus cortes-función de membresía de sus cortes-αα es el principio de es el principio de identidad resoluciónidentidad resolución de la teoría de conjuntos difusos.de la teoría de conjuntos difusos.

Si A es un conjunto difuso discreto. Si A es un conjunto difuso discreto. Se pueden ordenar los valores de Se pueden ordenar los valores de membresía no iguales a cero de los membresía no iguales a cero de los elementos en el conjunto soporte en elementos en el conjunto soporte en una lista de orden ascendente (sin una lista de orden ascendente (sin duplicar): (duplicar): (αα00, , αα11, …, , …, ααnn). ).

El El principio de identidad resoluciónprincipio de identidad resolución en la en la teoría de conjuntos difusos establece queteoría de conjuntos difusos establece que

A = A = αα00 x A x Aαα00 + + αα11 x A x Aαα1 1 + … + + … + ααnn x A x Aααnn Donde + representa al operador de Donde + representa al operador de

disyunción difusa y,disyunción difusa y,

ααii x A x Aααii representa un conjunto difuso tal representa un conjunto difuso tal como el que se muestra a continuación:como el que se muestra a continuación:

maneraotrade

xsi iAiA

ii 0

)(

En otras palabras, el conjunto difuso En otras palabras, el conjunto difuso original A puede ser visto como la unión de original A puede ser visto como la unión de todos esos conjuntos difusos construidos de todos esos conjuntos difusos construidos de un un ααii en la lista ( en la lista (αα00 , , αα11 , …, , …, ααnn ) tal que: (1) ) tal que: (1) su soporte es el corte nivel su soporte es el corte nivel ααii de A, y (2) de A, y (2) su función de membresía es plana en el su función de membresía es plana en el valor alfa valor alfa ααii . La forma de la función de . La forma de la función de membresía membresía ααii x A x Aααii por lo tanto es por lo tanto es rectangular con una altura de rectangular con una altura de ααii como se como se ilustra en la siguiente figura:ilustra en la siguiente figura:

Identidad Resolución de un Identidad Resolución de un Conjunto DifusoConjunto Difuso

AA0.2 x 0.2 x AA0.20.2

AA0.10.1

AA0.20.2

ConvexidadConvexidad.- .- Una característica Una característica muy importante que deben de muy importante que deben de poseer los conjuntos difusos en poseer los conjuntos difusos en las aplicaciones de la lógica difusa las aplicaciones de la lógica difusa es la propiedad de convexidad.es la propiedad de convexidad.

Un conjunto difuso es convexo si Un conjunto difuso es convexo si y sólo si cada uno de sus cortes-y sólo si cada uno de sus cortes- son conjuntos convexos. Por lo son conjuntos convexos. Por lo anterior se puede decir que un anterior se puede decir que un conjunto difuso A es convexo sí y conjunto difuso A es convexo sí y sólo sí:sólo sí:

Esta condición establece que el valor Esta condición establece que el valor de membresía de cualquier elemento de membresía de cualquier elemento dado en el intervalo [dado en el intervalo [uu11, u, u22] no debería ] no debería ser menor que el valor de membresía ser menor que el valor de membresía de cualquiera de los puntos entremos. de cualquiera de los puntos entremos.

Intuitivamente, un conjunto difuso es Intuitivamente, un conjunto difuso es convexo si su función de membresía no convexo si su función de membresía no tiene un “valle”. tiene un “valle”.

,1,0,,

.,1

21

2121

conyUuUu

uuminuu AAA

Si Si λλ =0.3; u =0.3; u11=3; y u=3; y u22=7 entonces:=7 entonces: µµAA[5.8]≥min[µ[5.8]≥min[µAA(3), µ(3), µAA(7)](7)]

uu uu

µµA A (u)(u)

11

µµA A (u)(u)

11

uu11=3 5.8 =3 5.8 uu22=7=7

µµAA[[λλuu11+(1-+(1-λλ)u)u22]]

µµAA(u(u11))

µµAA(u(u22))

aa

Ejemplo:Ejemplo:

Se puede demostrar que si Se puede demostrar que si AA y y BB son conjuntos convexos también lo es son conjuntos convexos también lo es AABB..

Un conjunto difuso se puede llamar Un conjunto difuso se puede llamar "número difuso""número difuso" si es convexo y si al si es convexo y si al menos uno de sus elementos posee un menos uno de sus elementos posee un grado de membresía total, es decir, si grado de membresía total, es decir, si es es normalnormal. .

2.2.5 Interpretación 2.2.5 Interpretación Geométrica de Conjuntos Geométrica de Conjuntos

DifusosDifusos Bart Kosko desarrollo una interpretación Bart Kosko desarrollo una interpretación

geométrica completa de un conjunto difuso en la geométrica completa de un conjunto difuso en la cual un conjunto difuso es un punto en un cual un conjunto difuso es un punto en un espacioespacio**. Por ejemplo: Si se considera un . Por ejemplo: Si se considera un universo de discurso universo de discurso UU con dos elementos con dos elementos uu11 y y uu22 ,, U = {u U = {u11 , u , u22}}, y si , y si AA es un conjunto difuso es un conjunto difuso en en UU con las siguientes funciones de membresía: con las siguientes funciones de membresía: AA (u (u11) = a ) = a

BB (u (u22) = b) = b

DondeDonde a y b a y b están en [0, 1]. Como se muestra están en [0, 1]. Como se muestra en la siguiente figura:en la siguiente figura:

**L. A. Zadeh fue el primero en introducir el concepto de que un L. A. Zadeh fue el primero en introducir el concepto de que un conjunto fifuso puede ser visto comom un punto en un hipercuboconjunto fifuso puede ser visto comom un punto en un hipercubo

Dos vistas de un conjunto difuso (a) Vista Dos vistas de un conjunto difuso (a) Vista normal de su función de membresía, y (b) una normal de su función de membresía, y (b) una

forma alternativa basada en una forma alternativa basada en una Interpretación GeométricaInterpretación Geométrica

del conjunto difuso. del conjunto difuso.

Una forma alternativa de visualización de una función de Una forma alternativa de visualización de una función de membresía es considerar un cuadrado unidad de dos membresía es considerar un cuadrado unidad de dos dimensiones, en el cual los ejes horizontal y vertical dimensiones, en el cual los ejes horizontal y vertical correspondan a los valores de membresía posibles de correspondan a los valores de membresía posibles de uu11 y y uu22 , , respectivamente. Un sub-conjunto difuso de respectivamente. Un sub-conjunto difuso de UU corresponde a corresponde a un punto en el cuadrado. En la figura (b) anterior, el conjunto un punto en el cuadrado. En la figura (b) anterior, el conjunto difuso A esta representado por el punto difuso A esta representado por el punto (a,b)(a,b)..

0 u0 u1 1 uu22

11

bb

aa

(a)(a)

(u(u22

))

11

bb

(1, (1, 1)1)

0 a0 a 11(u(u11))

(b)(b)

(a,b(a,b))

Observaciones de la interpretación Observaciones de la interpretación geométrica de un conjunto difuso: geométrica de un conjunto difuso: A un conjunto clásico sería interpretado como A un conjunto clásico sería interpretado como

un vértice en el cuadrado. Por ejemplo, los un vértice en el cuadrado. Por ejemplo, los vértices de la figura (b) anterior; [(0,0), vértices de la figura (b) anterior; [(0,0), (0,1), (1,0), y (1,1)].(0,1), (1,0), y (1,1)].

Un conjunto difuso normal corresponde a un Un conjunto difuso normal corresponde a un punto en la frontera del cuadrado.punto en la frontera del cuadrado.

Un conjunto difuso subnormal corresponde a Un conjunto difuso subnormal corresponde a un punto al interior del cuadrado.un punto al interior del cuadrado.

La cardinalidad de un conjunto difuso A es la La cardinalidad de un conjunto difuso A es la distancia de Hamming entre el punto A y el distancia de Hamming entre el punto A y el origen del cubo. La distancia de Hamming origen del cubo. La distancia de Hamming entre dos vectores entre dos vectores x= (xx= (x11, …, x, …, xnn)) y y y= (yy= (y11, , …, y…, ynn)) es: es:

),(

)ˆ,ˆ(

AdA

obtenerpuedeSe

yxyxd

H

iiiH

Esta representación geométrica puede ser Esta representación geométrica puede ser extendida a cualquier universo de extendida a cualquier universo de discurso finito discurso finito UU. Un conjunto difuso en . Un conjunto difuso en dicho universo corresponde a un punto en dicho universo corresponde a un punto en un hipercubo N -dimensional, donde un hipercubo N -dimensional, donde NN es es el número de elementos en el número de elementos en UU..

2.2.6 Teoría de la 2.2.6 Teoría de la posibilidadposibilidad

Aun que la idea de distribución de Aun que la idea de distribución de posibilidad es paralela a la posibilidad es paralela a la distribución de probabilidad en distribución de probabilidad en matemáticas convencionales, matemáticas convencionales, realmente no existe una diferencia realmente no existe una diferencia significativa. En particular, la significativa. En particular, la distribución de posibilidad no distribución de posibilidad no necesita satisfacer la propiedad necesita satisfacer la propiedad aditiva del axioma de probabilidad. aditiva del axioma de probabilidad.

Mientras una distribución de Mientras una distribución de probabilidad establece la probabilidad probabilidad establece la probabilidad de que una variable dada tome un cierto de que una variable dada tome un cierto valor, una distribución de posibilidad valor, una distribución de posibilidad establece el valor establece el valor posibleposible de la variable o de la variable o la posibilidad de que la variable tome un la posibilidad de que la variable tome un cierto valor.cierto valor.

Una distribución de posibilidad, Una distribución de posibilidad, ππ, , relaciona el soporte de un conjunto dado relaciona el soporte de un conjunto dado con el intervalocon el intervalo

[0, 1]. [0, 1].

Se puede ver a una distribución de Se puede ver a una distribución de posibilidad como un mecanismo para posibilidad como un mecanismo para interpretar una declaración que involucra interpretar una declaración que involucra conjuntos difusos.conjuntos difusos.

La declaración, “La Temperatura es Alta”, La declaración, “La Temperatura es Alta”, donde Alta se define como, donde Alta se define como, µµAltaAlta: T→[0,1], : T→[0,1], se ilustra como una distribución de se ilustra como una distribución de posibilidad, de la siguiente forma: posibilidad, de la siguiente forma: ππ(T)=(T)=µµAltaAlta(T). (T).

Declaraciones complejas involucran más de Declaraciones complejas involucran más de un conjunto difuso trasladado a una un conjunto difuso trasladado a una distribución de posibilidad, de hecho es distribución de posibilidad, de hecho es precisamente como interpretamos las precisamente como interpretamos las declaraciones lingüísticas, dando a priori un declaraciones lingüísticas, dando a priori un proceso de inferencia.proceso de inferencia.

Por ejemplo: La declaración, “La Por ejemplo: La declaración, “La Temperatura es Temperatura es Alta pero no demaciada Alta pero no demaciada AltaAlta”, interpretada como una distribusión de ”, interpretada como una distribusión de posibilidad en termino de conjunción de los posibilidad en termino de conjunción de los terminos Alta y NO MUY Alta, se expresa de terminos Alta y NO MUY Alta, se expresa de la siguiente forma:la siguiente forma:

ππ(T) = min((T) = min(µµAltaAlta(T), µ(T), µNO MUY AltaNO MUY Alta(T)).(T)).

= min[µ= min[µAltaAlta(T), 1-(µ(T), 1-(µAltaAlta(T))(T))22]]

Distribución de posibilidad de Alta y Distribución de posibilidad de Alta y NO MUY Alta NO MUY Alta

µµ NOT MUY AltaNOT MUY Alta AltaAlta

Muy AltaMuy Alta

TT

Medida de la Posibilidad y Medida de la Posibilidad y Medida de la NecesidadMedida de la Necesidad

En general, el relacionar (matching) una En general, el relacionar (matching) una distribución de posibilidad de una distribución de posibilidad de una variable variable xx con una condición “x es A” con una condición “x es A” involucra hacer las siguientes dos involucra hacer las siguientes dos preguntas relacionadas:preguntas relacionadas:

(1) ¿Dada la distribución de posibilidad (1) ¿Dada la distribución de posibilidad de de xx (denotada por ∏ (denotada por ∏(x)(x) ), es ), es posibleposible que que x este en A?x este en A?

(2) ¿Dada la distribución de posibilidad (2) ¿Dada la distribución de posibilidad ∏∏(x)(x), es , es necesarianecesaria para que x este en A? para que x este en A?

Suponiendo que se conoce lo siguiente:Suponiendo que se conoce lo siguiente: La edad de Juan es entre 20 y 25 añosLa edad de Juan es entre 20 y 25 años..

Y considerando la siguiente condición:Y considerando la siguiente condición: Si la edad de una persona excede los 22 Si la edad de una persona excede los 22

añosaños.. ¿Cuál es La distribución de posibilidad ¿Cuál es La distribución de posibilidad

de que la edad de Juan cumpla con la de que la edad de Juan cumpla con la condición planteada?.condición planteada?.

En lógica clásica, la respuesta para las En lógica clásica, la respuesta para las preguntas (1) y (2) son o “SI” o “NO” preguntas (1) y (2) son o “SI” o “NO” ya que ni la edad de Juan ni la ya que ni la edad de Juan ni la condición acerca de la edad de la condición acerca de la edad de la persona es difusa.persona es difusa.

Sin embargo, en general, la respuesta a Sin embargo, en general, la respuesta a cada pregunta es una materia de grado. cada pregunta es una materia de grado.

La respuesta a la pregunta (1) es una La respuesta a la pregunta (1) es una “posibilidad”, y la respuesta a la “posibilidad”, y la respuesta a la pregunta (2) es una “necesidad”.pregunta (2) es una “necesidad”.

Se utilizará a Se utilizará a PosPos((AA|∏|∏XX) para denotar la ) para denotar la posibilidadposibilidad de la condición “ de la condición “X es AX es A” ” dada la distribución de posibilidad ∏dada la distribución de posibilidad ∏XX..

Y Y NecNec((AA|∏|∏XX) para denotar la ) para denotar la necesidadnecesidad de la condición “de la condición “X es AX es A” dada la ” dada la distribución de posibilidad ∏distribución de posibilidad ∏XX..

Una ilustración de la Relación entre Una ilustración de la Relación entre Necesidad y Posibilidad es:Necesidad y Posibilidad es:

AAB1B1

B2B2NOT ANOT A

La posibilidad y la necesidad son dos La posibilidad y la necesidad son dos medidas relacionadas.medidas relacionadas.

Existen varias relaciones entre los valores Existen varias relaciones entre los valores extremos (0 ó 1) de éstas dos medidas.extremos (0 ó 1) de éstas dos medidas.

Primero, Primero, la total necesidad implica la la total necesidad implica la total posibilidadtotal posibilidad. Si una variable es . Si una variable es necesariamente necesariamente AA, entonces es , entonces es posiblemente posiblemente AA. Segundo, . Segundo, Ninguna Ninguna posibilidad implica ninguna necesidadposibilidad implica ninguna necesidad. . Tercero, Tercero, una variable no es posible que una variable no es posible que sea NOT A si y solo si es necesariamente sea NOT A si y solo si es necesariamente AA. Para ilustrar lo anterior se puede . Para ilustrar lo anterior se puede observar el diagrama de Venn de la figura observar el diagrama de Venn de la figura anterior.anterior.

Si una variable no tiene la posibilidad Si una variable no tiene la posibilidad de ser “NOT A”, su distribución de de ser “NOT A”, su distribución de posibilidad no debe tener ninguna posibilidad no debe tener ninguna intersección con “NOT A”. Por lo tanto, intersección con “NOT A”. Por lo tanto, debe estar enteramente contenida en A. debe estar enteramente contenida en A. B1 es un ejemplo de esto, pero B2 no. B1 es un ejemplo de esto, pero B2 no.

Es posible que una variable sea NOT A Es posible que una variable sea NOT A si y solo si no es necesariamente A. si y solo si no es necesariamente A.

Si se generalizan las expresiones 1a y Si se generalizan las expresiones 1a y 1b se tiene:1b se tiene: Nec(ANec(A|∏|∏XX) ≤ Pos(A|∏) ≤ Pos(A|∏XX))

La relación 2a y 2b’ se pueden La relación 2a y 2b’ se pueden generalizar a:generalizar a: 1-Pos(1-Pos(¬¬AA|∏|∏XX) = Nec(A|∏) = Nec(A|∏XX))

La expresión anterior se puede utilizar La expresión anterior se puede utilizar para definir una medida de necesidad para definir una medida de necesidad mediante una medida de posibilidad.mediante una medida de posibilidad.

Definición de la medida de Definición de la medida de posibilidadposibilidad

La La medida de posibilidadmedida de posibilidad para una variable X para una variable X satisface la condición “X es A” dada una satisface la condición “X es A” dada una distribución de posibilidad ∏distribución de posibilidad ∏XX se define se define mediante: mediante:

Donde Donde denota un operador de intersección denota un operador de intersección difusa, y U denota el universo de discurso de difusa, y U denota el universo de discurso de la variable X.la variable X.

Un operador de intersección difusa utilizado Un operador de intersección difusa utilizado comúnmente para calcular la medida de comúnmente para calcular la medida de posibilidad es el operador min:posibilidad es el operador min:

XAUX

Xi

APos

sup

)(),(minsup iXiAUX

X xxAPosi

La medida de posibilidad de A dado ∏La medida de posibilidad de A dado ∏X X se se define a ser la altura de su intersección.define a ser la altura de su intersección.

µµAA ∏∏XX

0.50.5

11

0 2 4 6 0 2 4 6 8 108 10

ResumenResumen Se definieron:Se definieron: Varios tipos de funciones de membresía.Varios tipos de funciones de membresía. La ley de medio excluido y la ley de La ley de medio excluido y la ley de

contradicción de la teoría de conjuntos contradicción de la teoría de conjuntos clásicos no se cumplen en la teoría de clásicos no se cumplen en la teoría de conjuntos difusos.conjuntos difusos.

Hedges son modificadores de conjuntos Hedges son modificadores de conjuntos difusos.difusos.

Se plantearon los axiomas que observan los Se plantearon los axiomas que observan los operadores de conjunción difusa y los operadores de conjunción difusa y los operadores de disyunción difusa.operadores de disyunción difusa.

La Cardinalidad de conjuntos difusos.La Cardinalidad de conjuntos difusos. La altura, corte alfa, principio de La altura, corte alfa, principio de

identidad resolución de conjuntos identidad resolución de conjuntos difusos.difusos.

Convexidad de conjuntos difusos y Convexidad de conjuntos difusos y número difuso.número difuso.

Una interpretación geométrica de Una interpretación geométrica de conjuntos difusos.conjuntos difusos.

Medida de posibilidad y medida de Medida de posibilidad y medida de necesidad para determinar que tan bien necesidad para determinar que tan bien una distribución de posibilidad de una una distribución de posibilidad de una variable relaciona una condición difusa a variable relaciona una condición difusa a una variable.una variable.

2.3 Relaciones 2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas, Graficas

Difusas y Aritmética Difusas y Aritmética Difusa (principio de Difusa (principio de

extensión)extensión)2.3.1 Relaciones Difusas.2.3.1 Relaciones Difusas.

2.3.2 Composición de 2.3.2 Composición de relaciones difusas.relaciones difusas.

CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA 2

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