Capítulo 5

Óptimo del Consumidor

Combinaciones factibles

x1

x2

Combinaciones más preferidas

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es la combinación disponible más preferida

Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la combinación demandada es INTERIOR.

Si al comprar (x1*,x2*) el costo es $m entonces se agota el presupuesto.

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior.(x1*,x2*) agota el presupuesto; p1x1* + p2x2* = m.

x1

x2

x1*

x2*

La pendiente de la curva de indiferencia en (x1*,x2*) es igual a la pendiente de larecta de presupuesto.

(x1*,x2*) satisface dos condiciones: (a) agota el presupuesto:

p1x1* + p2x2* = m (b) la pendiente de la recta de

presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia que contiene a (x1*,x2*) son iguales en (x1*,x2*).

Estimando la demanda ordinario. Ejemplo

Cobb-Douglas

Supongamos que las preferencias son del tipoCobb-Douglas

U x1 , x2 = x1a x2

b

UMg1=¶ U¶ x1

=ax1a−1 x 2

b

UMg 2=¶ U¶ x2

=bx1a x 2

b−1

Y la TSC es:

TSC=dx 2dx1

=-¶ U /¶ x1

¶ U /¶ x2

=-ax1a−1 x2

b

bx1a x2b−1

=-ax 2bx1

.

La TSC es:

En (x1*,x2*), TSC = -p1/p2 entonces

TSC=dx 2dx1

=-¶ U /¶ x1

¶ U /¶ x2

=-ax1a−1 x2

b

bx1a x2b−1

=-ax 2bx1

.

−ax2*

bx1* =-

p1

p2

⇒ x2*=bp1ap2

x1* . (A)

(x1*,x2*) agota el presupuesto, es decir:

p1 x 1* p 2 x 2

* =m .(B)

So now we know that

x2*=bp1ap2

x1* (A)

p1 x 1* p 2 x 2

* =m .(B)

Así, sabemos que:

x2*=bp1ap2

x1* (A)

p1 x 1* p 2 x 2

* =m .(B)

entonces

x2*=bp1ap2

x1* (A)

p1 x 1* p 2 x 2

* =m .(B)

p1 x1* p2

bp1ap2

x1*=m .

Y tenemos

simplificando ….

x1*=

am ab p1

.

x2*=

bmab p2

.

p1 x 1* p 2 x 2

* =m

Y siguiendo el mismo procedimiento

x1*=

am ab p1

.

x1

x2 U x1 , x2 = x1a x2

b

x2*=

bmab p2

.

x1*=

am ab p1

.

Pero ¿y si x1* = 0, o si x2* = 0?

–Si x1* = 0 ó x2* = 0 entonces lademanda ordinaria (x1*,x2*) es una solución de esquina.

x1

x2

TSC = -1

x1

x2

TSC = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2

x2¿ =

yp2

x1¿=0

TSC = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2

x1¿=

yp1

x2¿ =0

TSC = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 < p2.

Ejemplos de soluciones de esquina: el caso de preferencias no

convexas

x1

x2M

ejor

x1

x2

¿qué combinación es óptima?

x1

x2

Ésta es la combinación disponible más preferida

Observe que la solución de tangencia no es la combinación disponible más preferida.

Ejemplos de soluciones en vértice. El caso de bienes

complementarios perfectos

x1

x2U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

La combinación disponible más preferida

x1

x2U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

(a) p1x1* + p2x2* = m(b) x2* = ax1*

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

Substituyendo (b) en (a) llegamos a

x1*=

mp1ap 2

; x 2*=

amp1ap 2

.

El costo de una combinación de 1 unidad del bien 1 y a unidades del bien 2 es p1 + ap2; m/(p1 + ap2) es el máximo número de estas combinaciones.

x1*=

mp1ap 2

; x 2*=

amp1ap 2

.