Vectores

Elías Irazoqui B.

3. Rectas paramétricas.

En lo que sigue abordamos la o suecuación paramétrica de una recta

representación paramétrica, dicha ecuación quedará completamente definida por

dónde pasa (P) y cual es su dirección, A. (siendo A un vector distinto de cero).

La ecuación es: , con t variando en los números reales.X = P + t A

Graficamente la situación es la siguiente:

Se puede interpretar la representación paramétrica como la trayectoria que

describe un objeto que se mueve a lo largo de la recta a medida que el tiempo

transcurre, así en el instante t=0 se está en P, en t=1, X es igual a : P + A y, así

siguiendo.

Si se quiere describir el conjunto de puntos que están en una parte de la recta,

como sería el caso de un segmento, como PQ, entonces la ecuación paramétrica

de la recta nos sirve si consideramos t variando entre cero y uno; tendríamos en

este caso:

, para t entre 0 y 1.Y( t ) = P t ( Q P)

Graficamente la situación se describe en la página siguiente:

Obs. Y( t=0) = P, Y (t=1) = Q.

Ejercicios:

1. Considere dos puntos del 3-espacio, digamos P= (1,2,3) y Q = (0,-1,1)

Determine las coordenadas del punto que está a mitad de camino entre ellos.

Solución.

Y(t) = P + t (Q-P), entonces para t=1/2 se tiene: Y(1/2) = P + 1/2(Q-P)

Y(1/2) = (1/2, 1/2, 2). Verifique que d(P, Y(1/2)) = d(Y(1/2), Q).

2. Determine una representación paramétrica de la recta que pasa por los puntos:

P= ( -1,1,-1) y Q=( 0,-1,0).

Solución.

Es necesario determinar la dirección de la recta, para ello considere A = Q P,por ejemplo, así Y(t) = P + t ( Q-P); otra representación podría ser:

X(t)= P + t( P Q).

Estudiamos ahora la representación paramétrica de una recta en el plano de

2 dimensiones y su equivalencia en coordenadas rectangulares.

En el plano de 2-dimensiones tenemos: X =(x,y) , A = (a, b) y P =(p,q)

Como X = P + t A= (p+ta, q+tb) entonces: x = p + ta, y= q + tb , y podemos

ahora eliminar t de ambas ecuaciones para obtener:

x p = ta , y q = tb

(x p) / a (y q) / b t œ œ

Obteniendo una ecuación en las variables x e y normales, de la forma:

Ax+By=C. Realice los cálculos usted mismo.

Ejercicio.

Determine la ecuación: Ax+By=C para la recta que pasa por el punto P=( 1,2) y

tiene dirección A= (1, -1). Grafique dicha recta.

Obs.

Al escribir una recta en función del parámetro "t", existen muchas posibilidades

para P, como también para la dirección A, donde basta tomar B= xA, con x

distinto de cero, por cierto, de este modo se obtiene otra paramentrización de la

misma recta, pero distinta naturalmente.

Por último, partiendo de la recta en coordenadas rectangulares obtenemos la

correspondiente recta en forma paramétrica, en efecto:

Sea ax +by = c la ecuación de una recta, con "a" distinto de cero, si

usamos "y" como parámetro y asignamos a el valor de , y despejamos de lay "t"

ecuación la variable , tenemos:"x"

B œ -Î+ ,CÎ+ œ -Î+ ,>Î+

En estas condiciones se tiene::+<+ ?8 :?8>9 -?+6/=;?3/<+\

X = (x,y) =œ Ð-Î+ ,>Î+ß >Ñ œ Ð-Î+ß !Ñ >Ð ,Î+ß "Ñ =\ T >EÞ

así, (T œ -Î+ß !Ñ E œ Ð ,Î+ß "ÑÞC

Obs.

En dimensiones superiores , si consideramos la representación paramétrica de una

recta, , de modo que esta reprensentación es la única que no se puede eliminar t

describe a dicha recta.

****************************************

EJERCICIOS.

1. De la representación paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados:

(i) P=(1,0-1) y Q=(-2,-1,2)

(ii) P=(1,2,3,4) y Q = -P.

(iii) P = 0 y Q = (1,1)

2. Para P = (4,-5,1) y Q =(-1,2,1); determine las coordenadas de la recta que pasa

por el punto que:

a) está en el punto medio entre P y Q.

b) está a un cuarto de camino de P y a 3/4 de camino de Q.

c) está a un décimo de camino de Q y a nueve décimos de camino de P.

3. Si P y Q son dos puntos del espacio de p-dimensiones.

a) de la ecuación paramétrica de la recta que pasa por ellos y

b) de las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une P y Q.

‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡

Bibliografía.

Lang, Serge ( 1990) . Cálculo. Addisosn -Wesley Iberoamericana, S. A.