VECTORES

Un vector f i jo es un segmento orientado que va del punto A (origen ) a l

punto B (extremo ) .

Elementos de un vector

1 Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la

recta que cont iene al vector o de cualquier recta paralela a e l la .

2 Sentido de un vector: E l sentido del vector es e l que va desde el

origen A a l extremo B .

3 Módulo de un vector:

E l módulo del vector es la longitud del segmento AB , se representa por

.

E l módulo de un vector es un número s iempre positivo o cero .

3.1. Módulo de un vector a part i r de sus componentes:

3.2. Módulo a part i r de las coordenadas de los puntos:

4 Coordenadas de un vector:

S i las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos

las coordenadas del origen .

Clases de vectores

1 Vectores equipolentes:

Dos vectores son equipolentes cuando t ienen igual módulo, dirección y

sentido .

2 Vectores l ibres:

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s í se l lama vector l ibre .

Cada vector f i jo es un representante del vector l ibre .

3 Vectores fi jos:

Un vector f i jo es un representante del vector l ibre . Es decir , los vectores

f i jos t ienen el mismo módulo , dirección , sentido y origen .

4 Vectores l igados:

Los vectores l igados son vectores equipolentes que actúan en la misma

recta. Es decir , los vectores f i jos t ienen el mismo módulo , dirección , sentido

y se encuentran en la misma recta .

5 Vectores opuestos:

Los vectores opuestos t ienen el mismo módulo , dirección , y d ist into

sentido .

6 Vectores unitarios:

Los vectores unitarios t ienen de módulo , la unidad .

Para obtener un vector unitario , de la misma dirección y sentido que el

vector dado se divide éste por su módulo .

7 Vectores concurrentes:

Los vectores concurrentes t ienen el mismo origen .

8 Vectores de posición:

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se l lama

vector de posición del punto P.

9 Vectores l inealmente dependientes:

Varios vectores l ibres del p lano son l inealmente dependientes s i existe una

combinación l ineal de el los que sea igual a l vector cero , s in que sean cero

todos los coeficientes de la combinación l ineal .

10 Vectores l inealmente independientes:

Varios vectores l ibres son l inealmente independientes s i n inguno de el los

se puede expresar como combinación l ineal de los otros.

a 1 = a 2 = ·· · = a n = 0

11 Vectores ortogonales:

l l l l l

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

d

I cuadranteII cuadrante

III cuadrante IV cuadrante

l l l l

l l l l l

l l l

- 2

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares s i su producto escalar es

cero .

12 Vectores ortonormales:

Dos vectores son ortonormales s i :

1. Su producto escalar es cero .

2. Los dos vectores son unitarios .

UBICACIÓN DE UN CUERPO EN EL PLANO CARTESIANO

Generalmente, la posición de un cuerpo se localiza en el plano cartesiano a partir del origen de coordenadas ( 0 , 0 ) y la

pareja de puntos coordenados ( x , y ) donde se encuentra el cuerpo. Por ejemplo:

La posición (4, 3) corresponde al punto que se indica en la siguiente figura.

La distancia medida desde el origen hasta dicha posición se encuentra a partir de la forma común de medir distancias en el

plano; siendo ésta:

d=√( x2−x1)2+( y2− y1 )2 en nuestro caso:

d=√( 4m−0m )2+ (3m−0m )2=√16m2+9m2=√25m2=5m

Escribe las componentes de cada vector:

1 (5, 8) , (2, 3) ,

2 (3, −5), (1, −1)

,

3 (−2, 5) , (0, −3)

,

4 (8, 2) , (10, 1)

,

Completa las coordenadas de los

s iguientes puntos usando los datos proporcionados:

5 (1, 5) ,     (4, 7) ,

7;11

4;-6

-2;8

-2;1

3;2

6 (3, −5),     (1, −8) ,

7 (−1, 9) ,     (4, −6)

,

8 (4, −2),     (1, 7)

,

Escribe las componentes de cada vector

(Producto de vectores por un escalar):

9 ,

10 ,

-2;-3

-5;15

5;5

10;35

11 ,

12 ,

Dados los vectores , resuelve en

cada caso (Operaciones con vectores):

13 ,

14 ,

15

,

-12;8

7;21

0;8

17;6

-3;12

11;-5

16

,

Ejercicios interactivos de módulo de un vector, distancia

entre dos puntos Elige la opción correcta

1

5

−5

2

12

13

3Dados

los puntos A = (−3, 0) y B = (1, 2)

20

4Dados

los puntos A = (−3, 5) y B = (7, 5)

10

−10

Elige

la opción correcta (Distancia entre

dos puntos):

5La distancia entre A = (0, 2) y B =

(1, 4) es . . .

5

6La distancia entre A = (−5, 1) y B =

(2, 3) es . . .

7La distancia entre A = (5, −23) y B

= (−2, 1) es . . .

5

25

125

8La distancia entre A = (0, 3) y B =

(−1, 4) es . . .

2

Elige

la opción correcta (Módulo de un

vector y Distancia entre dos puntos):

9

a = 1

a = −1

Las dos son correctas.

10

a = 2

a = −2

Las dos son correctas.

11

a = −3, a = 7

a = 3, a = 7

a = 3, a = −7

12

a = 1, a = 11

a = 1, a = −11

a = −1, a = 11

Escribe las componentes de cada vector:

1A = (2, 1) , B  = (3, 5) ,

2C = (3, 7) , D = (4, 5) ,

3A = (2, 8) , B  = (6, 0) ; ,

4B = (−2, 1) , C  = (8, 1) ,

5P = (0, 3) , Q = (3, 1) ,

6A = (5, 9) , B  = (1, 4) ,

Completa las coordenadas de los s iguientes puntos

usando los datos proporcionados:

7A = (5, 9) , = (2, 7) B =  ,

1;4

1;-2

4;-8

10;0

3;-2

-4;-5

7;16

8B = (0, 7) , = (3, 1) A  =  ,

9A = (2, −4), = (3, 5) B  =  ,

10B = (7, −3), = (−2, −5) A  =  ,

-3;6

5;1