VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏)de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ ó QP. De los puntos “P”y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

Al denotar el segmento cuyos extremos son los puntos “P” y “Q” no importa qué extremo se escribe en primer lugar: se denotaindistintamente PQ ó QP.

PQ

QP

Cada punto “M” se identifica mediante un par

ordenado (x; y) de números reales.

Lo que caracteriza a un par ordenado (Plis;Plas) es que (Plis;Plas)≠(Plas;Plis) siempre que Plis≠Plas

Al denotar el vector fijo asociado a un par (P;Q) ordenado de puntos, bajo un sombrero se escribe el nombre del origen “P” seguido del

nombre del extremo “Q”.𝐏𝐐

VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ ó QP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

Al denotar el segmento cuyos extremos son los puntos “P” y “Q” no importa qué extremo se escribe en primer lugar: se denota indistintamente PQ ó QP.A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos 𝑷𝑸 y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestión (P;Q).

De “P” se dice que es el origen de 𝑷𝑸. De “Q” se dice que es el extremo de 𝑷𝑸

PQ QP

Vizualizamos el vector fijo 𝑷𝑸 mediante la flechitaque va de su origen “P” a su extremo “Q”

.QP.

𝑷𝑸

Cada punto “M” se identifica mediante un par

ordenado (x; y) de números reales.

Lo que caracteriza a un par ordenado (Plis;Plas) es que (Plis;Plas)≠(Plas;Plis) siempre que Plis≠Plas

VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ óQP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos 𝑷𝑸 y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestión (P;Q).

De “P” se dice que es el origen de 𝑷𝑸. De “Q” se dice que es el extremo de 𝑷𝑸

PQ

QP

Vizualizamos el vector fijo 𝑷𝑸 mediante la flechitaque va de su origen “P” a su extremo “Q”

.QP.

𝑷𝑸

Al vector fijo 𝑷𝑸 le ASOCIAMOS el par ordenado de números reales que resulta al restar las coordenadas de su origen “P” a las coordenadas de su extremo “Q”:

𝑷𝑸 = 𝑸 − 𝑷

Notación simbólica: como “P” y “Q” son puntos, carece de sentido escribir Q − P, pues restar puntos carece de sentido

=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) − 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎; 𝒚𝟏− 𝒚𝟎)

x0

VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ óQP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos 𝑷𝑸 y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestión (P;Q).

De “P” se dice que es el origen de 𝑷𝑸. De “Q” se dice que es el extremo de 𝑷𝑸

PQ

QP

Vizualizamos el vector fijo 𝑷𝑸 mediante la flechitaque va de su origen “P” a su extremo “Q”

.QP.

𝑷𝑸

Al vector fijo 𝑷𝑸 le ASOCIAMOS el par ordenado de números reales que resulta al restar las coordenadas de su origen “P” a las coordenadas de su extremo “Q”:𝑷𝑸 = 𝑸 − 𝑷=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) − 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎; 𝒚𝟏− 𝒚𝟎

Coordenadas del vector fijo 𝑷𝑸𝐏 = 𝟑; 𝟐 𝐲 𝐐 = 𝟖; 𝟗 𝐏𝐐 = 𝐐 − 𝐏 = 𝟖; 𝟗 − 𝟑; 𝟐 = (𝟓; 𝟕) 𝒙𝟏− 𝒙𝟎

x0

VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ óQP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos 𝑷𝑸 y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestión (P;Q).

De “P” se dice que es el origen de 𝑷𝑸. De “Q” se dice que es el extremo de 𝑷𝑸

PQ

QP

Vizualizamos el vector fijo 𝑷𝑸 mediante la flechitaque va de su origen “P” a su extremo “Q”

.QP.

𝑷𝑸

Al vector fijo 𝑷𝑸 le ASOCIAMOS el par ordenado de números reales que resulta al restar las coordenadas de su origen “P” a las coordenadas de su extremo “Q”:𝑷𝑸 = 𝑸 − 𝑷=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) − 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎; 𝒚𝟏− 𝒚𝟎

Coordenadas del vector fijo 𝑷𝑸El vector fijo 𝐐𝑷 asociado a par ordenado (Q;P) se dice opuesto al vector fijo 𝐏𝐐 asociado al par ordenado (P;Q).

𝒙𝟏− 𝒙𝟎

𝒚𝟏 - 𝒚𝟎

x0

VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO

Dos puntos cualquiera 𝑷 = 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 y Q=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ óQP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento.

.Q

P.

A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos 𝑷𝑸 y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestión (P;Q).

De “P” se dice que es el origen de 𝑷𝑸. De “Q” se dice que es el extremo de 𝑷𝑸

PQ

QP

Vizualizamos el vector fijo 𝑷𝑸 mediante la flechitaque va de su origen “P” a su extremo “Q”

.QP.

𝑷𝑸

Al vector fijo 𝑷𝑸 le ASOCIAMOS el par ordenado de números reales que resulta al restar las coordenadas de su origen “P” a las coordenadas de su extremo “Q”:𝑷𝑸 = 𝑸 − 𝑷=(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏) − 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎; 𝒚𝟏− 𝒚𝟎

Coordenadas del vector fijo 𝑷𝑸El vector fijo 𝐐𝑷 asociado a par ordenado (Q;P) se dice opuesto al vector fijo 𝐏𝐐 asociado al par ordenado (P;Q).

Al denotar el vector fijo asociado a un par (P;Q) ordenado de

puntos, bajo un sombrero se escribe el nombre del origen “P” seguido del nombre del extremo “Q”.

𝐏𝐐

x0

Cuando “algo” no o sepas, no digas la primera chorrada que se te ocurra, pues la probabilidad de acertar es muy pequeña, y el ridículo que puedes hacer es espantoso…..eres dueñ@ de lo que callas y prisioner@ de lo que dices o escribes

O sea… mejor estar callad@ y parecer tont@

que abrir la boca y acreditar que

eres tonto

Muy bien, cazada al vuelo!

MÓDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO

Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demás; es la única manera.

Albert Einstein

• 𝐻𝑄 y 𝑆𝑇 se dicen equipolentes (𝐻𝑄= 𝑆𝑇) si tienen las mismas coordenadas

• Llamamos vector libre 𝑢 al conjunto de los infinitos vectores fijos equipolentes entre sí.

• Todo vector fijo de 𝑢 puede representar a 𝑢. Entre los vectores fijos de 𝑢, sólo uno tiene origen en el origen de coordenadas: es el representante canónico de 𝑢.

Vector 𝒖 = (𝒖𝟏; 𝒖𝟐)El módulo del se denota 𝒖 , siendo 𝒖 = + 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 =(𝒖𝟏;𝒖𝟐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 = (𝒖𝟏;𝒖𝟐)viene a ser la distancia entre el origen y el extremo del vector.

MÓDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO

Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demás; es la única manera.

Albert Einstein

Vector 𝒖 = (𝒖𝟏; 𝒖𝟐)El módulo del se denota 𝒖 , siendo 𝒖 = + 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 =(𝒖𝟏;𝒖𝟐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 = (𝒖𝟏;𝒖𝟐)viene a ser la distancia entre el origen y el extremo del vector.

• 𝑺𝒊 𝒖 = 𝟐;𝟓 𝒖 = + 𝟐𝟐 + −𝟓 𝟐 = + 𝟐𝟗.

• Si 𝑨 = 𝟑;𝟔 𝒚 𝑩 = 𝟏;𝟕 𝑨𝑩 = + (−𝟐)𝟐 +𝟏 = + 𝟓.

𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 = 𝟏;𝟕 − 𝟑; 𝟔 = (−𝟐; 𝟏)

El teorema de Pitágoras no es

de Pitágoras: los sumerios lo empleaban

mucho antes de nacer éste.

MÓDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO

Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demás; es la única manera.

Albert Einstein

Vector 𝒖 = (𝒖𝟏; 𝒖𝟐)El módulo del se denota 𝒖 , siendo 𝒖 = + 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 =(𝒖𝟏;𝒖𝟐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.

• 𝑺𝒊 𝒖 = 𝟐;𝟓 𝒖 = + 𝟐𝟐 + −𝟓 𝟐 = + 𝟐𝟗.

• Si 𝑨 = 𝟑;𝟔 𝒚 𝑩 = 𝟏;𝟕 𝑨𝑩 = + (−𝟐)𝟐 +𝟏 = + 𝟓.

𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 𝟏;𝟕 − 𝟑; 𝟔 = −𝟐; 𝟏

• Si 𝒖 = (𝟑/𝟓; 4/𝟓) 𝒖 = +𝟑

𝟓𝟐 +

𝟒

𝟓𝟐 = + 𝟐𝟓/𝟐𝟓 = 𝟏 𝒖 es unitario

• Los vectores unitarios más famosos son 𝒆𝟏 = (𝟏; 𝟎) y 𝒆𝟐 = (𝟎; 𝟏).

El teorema de Pitágoras no es de

Pitágoras: los sumerios lo

empleaban mucho antes de nacer éste.

Si 𝒖 = 𝟏 𝒖 se dice unitario

MÓDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO

Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demás; es la única manera.

Albert Einstein

Vector 𝒖 = (𝒖𝟏; 𝒖𝟐)El módulo del se denota 𝒖 , siendo 𝒖 = + 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐.

Según Pitágoras, el módulo del vector 𝒖 =(𝒖𝟏;𝒖𝟐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.

• 𝑺𝒊 𝒖 = 𝟐;𝟓 𝒖 = + 𝟐𝟐 + −𝟓 𝟐 = + 𝟐𝟗.

• Si 𝑨 = 𝟑;𝟔 𝒚 𝑩 = 𝟏;𝟕 𝑨𝑩 = + (−𝟐)𝟐 +𝟏𝟐 = + 𝟓.

𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 𝟏;𝟕 − 𝟑; 𝟔 = −𝟐; 𝟏

El teorema de Pitágoras no es de

Pitágoras: los sumerios lo

empleaban mucho antes de nacer éste.

Si 𝒖 = 𝟏 𝒖 se dice unitario

• 𝐻𝑄 y 𝑆𝑇 se dicen equipolentes (𝐻𝑄= 𝑆𝑇) si tienen las mismas coordenadas

• Llamamos vector libre 𝑢 al conjunto de los infinitos vectores fijos equipolentes entre sí.

• Todo vector fijo de 𝑢 puede representar a 𝑢. Entre los vectores fijos de 𝑢, sólo uno tiene origen en el origen de coordenadas: es el representante canónico de 𝑢.

se denota 𝒖 , siendo 𝒖 = + 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐.

SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES

SUMAR VECTORES GEOMÉTRICAMENTE• 𝑃𝑄 y 𝑆𝑇 se dicen equipolentes (𝑃𝑄= 𝑆𝑇)

si tienen las misma coordenadas.• Llamamos vector libre al conjunto de los infinitos

vectores fijos equipolentes entre sí.• Cualquiera de los infinitos vectores fijos que forman un vector libre 𝑢 puede elegirse

como representante de 𝑢. Entre los vectores fijos que forman 𝑢, sólo hay uno que tiene su origen en el origen de coordenadas: es el representante canónico de 𝑢 .

Dados un vector libre 𝑢 y un punto A, sólo existe un punto A’ (trasladado de A según la traslación de vector 𝑢) tal que 𝐴𝐴′ = 𝑢.

REGLA DEL PARALELOGRAMO: Para sumar dos vectores se traza por el extremo del primero un vector equipolente al segundo, así, el vector suma es la flechita que va

del origen del primero al extremo del equipolente trazado.

Axioma de Caronte: El viaje más largo se inicia con un solo paso.

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Se llama escalar a todo elemento de un cuerpo conmutativo.Como el conjunto 𝕽 es un cuerpo conmutativo escalar ≡ número real.

Se dice que ℜ es un cuerpo conmutativo para expresar de modo rápido y eficiente que la suma y el producto de números reales satisfacen las siguientes propiedades:

Asociativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄, ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝕽Conmutativa: 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂, ∀ 𝒂, 𝒃, ∈ 𝕽Elemento neutro: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂, ∀ 𝒂 ∈ 𝕽Simétrico: 𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎, ∀ 𝒂 ∈ 𝕽

Asociativa: 𝒂. 𝒃. 𝒄 = 𝒂. 𝒃 . 𝒄, ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝕽Conmutativa: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂, ∀ 𝒂, 𝒃, ∈ 𝕽Elemento neutro: 𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂, ∀ 𝒂 ∈ 𝕽

Simétrico: 𝒂.𝟏

𝒂=

𝟏

𝒂. 𝒂 = 𝟏,

Distributiva respecto de“+”: 𝒂. 𝒃 + 𝒄 = 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄, ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝕽

SUMA

PRODUCTO!Si divides por 0 serás fusilad@ de inmediato!∀ 𝒂 ≠ 𝕽

𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏. 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐. 𝒗𝟐 ∈ 𝕽

Si 𝒖 = 𝟑; 𝟒 𝒚 𝒗 = 𝟐;−𝟓 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + 𝟒. −𝟓 = 𝟔 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟒

Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortogonales si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎

Si 𝒖 = 𝟑;−𝟏 𝒚 𝒗 = 𝟐; 𝟔 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + −𝟏 . 𝟔 = 𝟎 𝒖 . 𝒗 son ortogonales

El producto escalar de los vectores 𝒖 = 𝒖𝟏; 𝒖𝟐 y 𝒗 = 𝒗𝟏; 𝒗𝟐 se denota 𝒖 . 𝒗, siendo:

Los vectores 𝒖 y 𝒗 se dicen ortonormales si son ortogonales y 𝒖 = 𝒗 = 𝟏

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏. 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐. 𝒗𝟐 ∈ 𝕽

Si 𝒖 = 𝟑; 𝟒 𝒚 𝒗 = 𝟐;−𝟓 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + 𝟒. −𝟓 = 𝟔 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟒

Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortogonales si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎

El producto escalar de los vectores 𝒖 = 𝒖𝟏; 𝒖𝟐 y 𝒗 = 𝒗𝟏; 𝒗𝟐 se denota 𝒖 . 𝒗, siendo:

Los vectores 𝒖 y 𝒗 se dicen ortonormales si son ortogonales y 𝒖 = 𝒗 = 𝟏

Los vectores y son la más famosa pareja de vectores otonormales.

𝒖 = 𝟏. 𝟎 y 𝒗 = (𝟎; 𝟏)

𝒖 = + 𝟏𝟐 + 𝟎𝟐 = 𝟏; 𝒗 = + 𝟎𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏

0

1

𝒖

𝒗

1

Vector unitario del eje de abcisas

Vector unitario del eje de ordenadas

𝒖 = 𝟏; 𝟎 𝒗 = 𝟎; 𝟏

Debe recitarse permanentemente a modo de mantra hasta haber aprobado todas las asignaturas hueso de los dos primeros cursos de la Carrera.

Inteligencia, dime el nombre exacto de las cosas.Astucia, dime qué errores no debo cometer.Sabiduría, resista yo la dulce tentación de lo fácilLucidez, asísteme en los momentos de pánico.Estrategia, dime qué batallas no han de preocuparme.Supervivencia, identifique yo al mortal enemigo.Estupidez, no dé yo valor a lo que nada vale.Fortaleza, dame sombra en el desierto.Inmadurez, no te poses en mi hombro.Desaliento, no serás mi confidente.Miedo, sólo a ti temeré.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

𝒖 = 𝟑; 𝟒 𝒚 𝒗 = 𝟐;−𝟓 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + 𝟒. −𝟓 = 𝟔 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟒 ≠ 𝟎

Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortogonales si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎

El producto escalar de los vectores 𝒖 = 𝒖𝟏; 𝒖𝟐 y 𝒗 = 𝒗𝟏; 𝒗𝟐 es 𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏; 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐; 𝒗𝟐 ∈ 𝕽

Los vectores 𝒖 y 𝒗 se dicen ortonormales si son ortogonales y 𝒖 = 𝒗 = 𝟏 𝒖 = (𝟏; 𝟎) y 𝒗 = (𝟎; 𝟏) son la mas famosa pareja de vectores ortonormales.

1) Conmutativa 𝒖 . 𝒗 = 𝒗 . 𝒖(𝒖𝟏; 𝒖𝟐)

𝒖

. (𝒗𝟏; 𝒗𝟐) 𝒗

= 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 +𝒖𝟐 .𝒗𝟐 = 𝒗𝟏 .

𝒖𝟏 + 𝒗𝟐 .𝒖𝟐 = (𝒗𝟏; 𝒗𝟐)

𝒗

. (𝒖𝟏; 𝒖𝟐) 𝒖

2) Asociativa mixta: 𝜽 . 𝒖 . 𝒗 = 𝜽. ( 𝒖 . 𝒗)(𝜽. 𝒖𝟏; 𝜽. 𝒖𝟐)

𝜽 . 𝒖

. (𝒗𝟏; 𝒗𝟐) 𝒗

= (𝜽. 𝒖𝟏) . 𝒗𝟏 +(𝜽. 𝒖𝟐 ) .𝒗𝟐 = 𝜽(𝒖𝟏. 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐. 𝒗𝟐)

𝜽.( 𝒖. 𝒗)

(𝒖𝟏; 𝒖𝟐) 𝒖

. (𝒗𝟏+ 𝒛𝟏; 𝒗𝟐+ 𝒛𝟐) 𝒗+ 𝒛

= 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏+ 𝒛𝟏 + 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐+ 𝒛𝟐 =

𝒖𝟏 . 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 𝒖. 𝒗

+ (𝒖𝟏. 𝒛𝟏+ 𝒖𝟐. 𝒛𝟐) 𝒖. 𝒛

4) Es 𝒖. 𝒖 = 𝒖𝟏 ;𝒖𝟐 . 𝒖𝟏 ;

𝒗𝟐 = 𝒖𝟏𝟐 + 𝒖𝟐

𝟐 = 𝒖

3) Distributiva respecto de la suma: 𝒖 . 𝒗 + 𝒛 = ( 𝒖 . 𝒗) + ( 𝒖. 𝒛)

Ejemplos:

ÁNGULO DE DOS VECTORES

El producto escalar de los vectores 𝒖 = 𝒖𝟏; 𝒖𝟐 𝒚 𝒗 = (𝒗𝟏; 𝒗𝟐) se denota 𝒖 . 𝒗, siendo: 𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏; 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐; 𝒖𝟐 ∈ 𝕽

Si 𝒖 = 𝟑; 𝟒 y 𝒖 = (𝟑; 𝟒) y 𝒗 = 𝟐;−𝟓 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + 𝟒. −𝟓 = 𝟔 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟒

Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortogonales si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎 ,Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortonormales si son ortogonales y 𝒖 = 𝒗 = 𝟏

𝐶𝑜𝑠 𝛼 =𝒖𝟏 𝒖

; 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝒖𝟐 𝒖

𝐶𝑜𝑠 𝛽 =𝒗𝟏 𝒗

; 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝒗𝟐 𝒗

𝒖𝟏 = 𝒖 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶; 𝒖𝟐 = 𝒖 . 𝐬𝐞𝐧 𝜶 ; 𝒗𝟏 = 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜷; 𝒗𝟐 = 𝒗 . 𝒔𝒆𝒏 𝜷

ÁNGULO DE DOS VECTORESEl producto escalar de los vectores 𝒖 = 𝒖𝟏; 𝒖𝟐 𝒚 𝒗 = (𝒗𝟏; 𝒗𝟐) se denota 𝒖 . 𝒗, siendo:

𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏; 𝒗𝟏+ 𝒖𝟐; 𝒖𝟐 ∈ 𝕽Si 𝒖 = 𝟑; 𝟒 y 𝒗 = 𝟐;−𝟓 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + 𝟒. −𝟓 = 𝟔 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟒

Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortogonales si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎 ,Los vectores 𝒖 𝒚 𝒗 se dicen ortonormales si son ortogonales y 𝒖 = 𝒗 = 𝟏

𝒖 . 𝒗 = 𝒖𝟏. 𝒖𝟐+ 𝒗𝟏. 𝒗𝟐==( 𝒖 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶). ( 𝒗 .cos 𝜷) + 𝒖 . 𝒔𝒆𝒏 𝜶 . 𝒗 . 𝒔𝒆𝒏𝜷 =

= 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶. 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏 𝜶 . 𝒔𝒆𝒏 𝜷 == 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶 − 𝜷 = 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜴

𝒖𝟏− 𝒖 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶; 𝒖𝟐− 𝒖 . 𝐬𝐞𝐧 𝜶 ; 𝒗𝟏− 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜷 ; 𝒗𝟐− 𝒗 . 𝒔𝒆𝒏 𝜷

cos Ω = 𝒖 . 𝒗

𝒖 . 𝒗= 0 Ω =

Π

2

Si 𝒖 . 𝒗 = 𝟎 𝒖 ⊥ . 𝒗

Si 𝒖 = 𝟑;−𝟏 y 𝒗 = (𝟐; 𝟔) 𝒖 . 𝒗 = 𝟑. 𝟐 + −𝟏 . 𝟔 = 𝟎 𝒖 𝒚 𝒗 son ortogonales

𝒖 ⊥ . 𝒗

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Se dice que le vector 𝒙 ≠ 𝟎 es combinación lineal (CL) de 𝒉𝟏, 𝒉𝟐,………. 𝒉𝒌Si es posible encontrar “K” números reales 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, … . . 𝜶𝒌 tales que :

Observa: el vector 𝜶𝒊. 𝒉𝒊 es PROPORCIONAL al vector 𝒉𝒊

𝒙 = 𝜶𝟏. 𝒉𝟏 + 𝜶𝟐. 𝒉𝟐+……..+ 𝜶𝒌. 𝒉𝒌

ℜ𝑛

A EFECTOS PRÁCTICOSPara averiguar si el vector 𝑥 ≠ 0 es CL de 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 , exigiremosque 𝒙 = 𝜶𝟏. 𝒉𝟏+……..+ 𝜶𝒌. 𝒉𝒌 , lo que SIEMPRE nos conducirá a un SLNH con “k” incógnitas 𝜶𝟏 ,…….., 𝜶𝒌 cuya matriz A/B es:

𝑨/𝑩=

. .

. ..

.

.

.

.

.

… . .… . .… .… .… .

.

.

.

.

..

.

.

𝒉𝟏 𝒉𝟏 …… 𝒉𝟏 𝒙

Así, 𝒙 = 𝟎 es CL de 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 si el SLNH tiene solución, lo que ocurre si 𝐫𝐠 𝐀 = 𝒓𝒈(𝑩). Si 𝐫𝐠(𝐀) ≠ 𝒓𝒈(𝑩), el SLNH carece de solución, por lo que 𝒙 ≠ 𝟎 no es CL de 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

𝕽𝒏

W 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌

SI 𝒘 = { 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌} ∈ 𝕽𝒏, se dice que 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 son LINEALMENTE INDEPENDIENTES o que “W” es LIBRE, si la ecuación vectorial 𝜶𝟏. 𝒉𝟏+……..+ 𝜶𝒌. 𝒉𝒌 = 𝟎 admite sólo la solución trivial. En caso contrario se dice que 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 son LINEALMENTE DEPENDIENTES o que “W” es LIGADO.

A EFECTOS PRÁCTICOSPara averiguar si el vectores 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 , son Ll ó LD, exigiremosque 𝜶𝟏. 𝒉𝟏 +……..+ 𝜶𝒌. 𝒉𝒌 = 𝟎 , lo que SIEMPRE nos conducirá a un SLH con “k” incógnitas 𝜶𝟏 ,…….., 𝜶𝒌 cuya matriz de coeficientes “A” tiene por columnas 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 . Así, 𝒉𝟏,………. 𝒉𝒌 son Ll si el SLH tiene sólo la ST, y sucede eso si 𝒓𝒈 𝑨 = 𝒌. Si 𝒓𝒈 𝑨 < 𝒌, el SLH no tiene sólo la ST, por lo que 𝒉𝟏,………., 𝒉𝒌 son LD.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

Si 𝒓𝒈=

. .

. .

. .

… . .… . .… . . .

𝒉𝟏 𝒉𝟐 …… 𝒉𝒌

= 𝑘 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿𝑙

< 𝑘 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿𝐷

!NO LO OLVIDES!

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE

Se llama dimensión de un espacio vectorial al número máximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES

que pueden encontrarse en él

Al decir que dim.(V)=25, se dice que 25 es el número máximo de vectores Ll que pueden encontrarse en “V”; por tanto, en “V” es imposible encontrar más de 25 vectores que sean Ll.

LA PREGUNTA DEL MILLÓN

¿dim.(𝕽𝒏)?

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE

Se llama dimensión de un espacio vectorial al número máximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES

que pueden encontrarse en él

dim.(𝕽𝒏)=nEl n° máximo de vectores Ll que se pueden encontrar entre unos

vectores de 𝕽𝒏 coincide con el rango de la matriz “A” cuyas columnas son esos vectores ….. y como “A” tiene “n” filas, es 𝒓𝒈(𝑨) ≤ 𝒏; por tanto, “n” es el n° máximo de vectores Ll que

pueden encontrarse en 𝕽𝒏.

dim.(𝕽𝒏)=n

Se llama dimensión de un espacio vectorial al número máximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIANTES que

pueden encontrarse en él

Se llama BASE de 𝕽𝒏 a todo subconjunto de 𝕽𝒏 formado por “n” vectores Ll; o sea, a todo subconjunto 𝒆𝟏, 𝒆𝟐,………. 𝒆𝒏 de 𝕽𝒏 tal que

𝐫𝐠 =

↑ ↑− −𝒆𝟏↓

𝒆𝟏↓

↑↑↑ ↑… . −

↓↓↓𝒆𝒏↓

= 𝒏

REQUETEOVBIOSi 𝑩 = 𝒆𝟏, 𝒆𝟐,………. 𝒆𝒏 es una BASE de 𝕽𝒏 , todo vector de 𝕽𝒏 es CL de 𝒆𝟏, 𝒆𝟐,………. 𝒆𝒏 , pues sea cual sea 𝒙 ∈ 𝕽𝒏, la ecuación vectorial

𝒙= 𝜶𝟏. 𝒆𝟏 + 𝜶𝟐. 𝒆𝟐……..+ 𝜶𝒏. 𝒆𝒏 tiene solución única, ya que

𝐫𝐠 =

↑ ↑− −𝒆𝟏↓

𝒆𝟏↓

↑↑↑ ↑… . −

↓↓↓𝒆𝒏↓

= 𝒏

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Se llama escalar a todo elemento de un cuerpo conmutativo .