vectores2

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

ÁREA DE TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO

UNIDAD CURRICULAR ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 2

Vectores en Rn y Espacios Vectoriales

Realizado por:

Prof. Edgar Pérez

Unidad II: Vectores en Rn y Espacios Vectoriales

Junio, 2012

Vectores en Rn, Espacios Vectoriales

Introducción

Una vez analizados los conceptos mas elementales del Algebra Lineal como son matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes, se hace necesario avanzar un poco más, estudiando los Vectores y Espacios Vectoriales En esta Unidad, se analizarán analítica y gráficamente los vectores en R2 y en R3, se definen operaciones algebraicas para los vectores y se establecen propiedades de dichas operaciones. Asi como también, se interpretan y analizan los conceptos de espacios y subespacios vectoriales, combinación lineal, espacio generado y base y dimensión.

Objetivo Didáctico

Representar y operar con vectores en Rn, así como analizar y aplicar la definición de los Espacios Vectoriales

2

UNIDAD

2


Vectores

Se llama vector a un segmento de recta con dirección y magnitud. La palabra

“Vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R, el vector es un

punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x, y) y se representa

en el plano cartesiano y en R3 el vector es de la forma (x, y, z) y se representa en el

espacio.

Representación Gráfica

Los vectores en R2 y R3 pueden representarse gráficamente con segmentos de

recta dirigidos (flechas), la orientación de la flecha nos indica la dirección del vector

y, su longitud describe la magnitud. Para denotar un vector se usan letras

minúsculas con una flecha sobre ellas, tales como: v , x , y, y los puntos se denotan

con letras mayúsculas: A, B, C. Los números reales son llamados escalares y se

representan con letras minúsculas cursivas: a, b, c.

Para representar gráficamente un vector en R2 basta con ubicar el punto en el

plano XY y trazar una flecha desde el origen hasta el punto. Para representarlo en

R3 se debe ubicar el punto en el espacio (x, y, z), ubicando primeramente x, luego

y, finalmente z.

3

R3

X

(a, b, c)

V

Y

Z

R2

(a, b)

V

a

b

X

Y


Figura 2.1. Representación de los Vectores en R2 y R3

Magnitud de un Vector

Como ya se mencionó anteriormente, la magnitud de un vector se define como la

longitud del mismo. Se denota como ‖v‖ y se determina con apoyo del concepto de

distancia entre dos puntos, utilizando el Teorema de Pitágoras.

Sea el vector v ( v1, v2 ,⋯ , vn )∈Rn el valor de su magnitud se calcula así:

‖v‖=√(v12+v22+⋯+vn

2 )

Dirección de un Vector

La dirección de un vector en R2 se define como el ángulo que se forma entre el

vector y su parte positiva en el eje X. Se denota con la letra griega θ (theta) y se

expresa en radianes; se calcula a partir de la tangente

tanθ=ba

→θ=arctan ba

4

θ

(a, b)

V

a

b

X

Y


Luego de determinar θ, debemos tomar en cuenta en cuál cuadrante se encuentra

nuestro vector para, finalmente calcular el ángulo α, cuyo valor está entre 0 y 2π.

La dirección de un vector en R3 viene dada por el ángulo que forma éste con los

ejes coordenados. Dichos ángulos reciben el nombre de ángulos directores.

La dirección del vector viene dada por los cosenos directores; determinados por el

extremo del vector y su módulo, se calculan mediante las expresiones:

cos α= x‖v‖

;cos β=¿ y‖v‖

; cosγ=¿ z‖v‖

¿¿

5


Los cosenos directores están relacionados entre sí por medio de la identidad

fundamental: cos2α+cos2β+cos2 γ=1

Por ejemplo:

Dados los siguientes vectores, determinar la magnitud y dirección de cada uno de

ellos:

a. v (3 ,1)

Primeramente calculamos su magnitud:

‖v‖=√(v12+v22)=√32+12=√10→‖v‖=3,1622

Luego debemos calcular el ángulo que nos dará su dirección:

θ=arctan ba=arctan 1

3→θ=18,48

Como el vector está ubicado en el 1er cuadrante del plano XY, entonces

α = θ = 18,48°

b. v (−5 ,−3)

Primeramente calculamos su magnitud:

‖v‖=√(v12+v22)=√(−5)2+(−3)2=√34→‖v‖=5,83

6


Luego debemos calcular el ángulo que nos dará su dirección:

θ=arctan ba=arctan−3

−5→θ=30,96 °

Como el vector está ubicado en el 3er cuadrante del plano XY, entonces:

α=180 °+θ=(180+30,96 ) °→α=210,96 °

c. u(−1 ,√7 ,5)

Aplicamos la ecuación para calcular su magnitud:

‖v‖=√(v12+v22+v3

2 )=√(−1 )2+(√7 )2+(5 )2→‖v‖√33

Calculamos entonces sus cosenos directores

cos α= x‖v‖

= −1√33

=−0,174→α=arcco (−0,174 )=100,03°

cos β=¿ y‖v‖

= √7√33

=0,461→β=arccos (0,461 )=62,58 ° ¿

cos γ=¿ z‖v‖

= 5

√33=0,870→γ=arccos (0,870 )=29,50¿

cos α=100,03° ;cos β=62,58° ;cos γ=29,5

Comprobando los cosenos directores:

cos2 (100,03 )+cos2 (62,58 )+cos2 (29,50 )=1→1=1

Operaciones Básicas con Vectores

7


Igualdad de Vectores o Vectores Equivalente:

Dos vectores son considerados iguales, si y sólo si, tienen el mismo sentido,

magnitud y dirección.

Consideremos los vectores: v=( v1 , v2 ,⋯ , vn )∈ Rn y u=(u1 ,u2 ,⋯ ,un )∈ Rn; v=u si y

sólo si: v1=u1, v2=u2, … , vn=un

Gráficamente:

Suma y Resta de Vectores:

Sean v=( v1 , v2 ,⋯ , vn )∈ Rn y u=(u1 ,u2 ,⋯ ,un )∈ Rn; entonces:

v ± u= v1± u1 , v2± u2 ,⋯ , vn± un

Por ejemplo:

1. Sean: v=(2 ,3) y u=(3 ,5), realice las siguientes operaciones:

a. v+u

v+u=(2+3 ,3+5 )=(5 ,8)

b. v−u

v−u= (2−3 ,3−5 )=(−1 ,−2)

8


2. Sean: v=(−3 ,2 ,−4), u=(−12

,−3 ,−2) y w=(2 ,−3 ,0), encuentre el vector

suma s= u+v+ w

Sumando cada componente, tenemos;

s= u+v+ w=(−3+(−12 )+2) ,¿

s=(−32

,−4 ,−6)

Representación geométrica de la suma y la resta de Vectores

Para la suma: se usa el método del Paralelogramo, en el cual se representa

los vectores v y u como puntos en el plano y cuyos orígenes coincidan en el

punto (0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector u,

se grafica una paralela al vector v y en el extremo del vector v se grafica una

paralela del vector u. La diagonal del paralelogramo que se forma es el

vector suma o la respuesta.

Por ejemplo:

9


Para la resta: es un caso especial de suma de vectores. Para calcular v−u,

se hace v+¿. El vector −u es un vector que tiene la misma magnitud que u

pero su sentido es opuesto. Para el procedimiento gráfico dibujamos el

vector −u a partir del extremo del vector v y el vector resta será el que

resulta de proyectar −u desde el origen Veamos:

¿Cómo encontrar las componentes de un vector cuyo punto inicial

no es en el origen?

La forma de encontrar las componentes de un vector v que tiene su punto inicial el

P1 (X1, Y1, Z1) y su punto terminal en P2 (X2, Y2, Z2), es trazando un vector

equivalente que tenga su punto inicial en el origen, la idea es encontrar las

componentes del vector equivalente: v=P1P2, cuyas coordenadas del punto

terminal serían (a, b, c) que llamaremos punto Q. Para ello recurrimos a la suma

de vectores en función de sus componentes, es decir:

10


(a, b, c) = (X2, Y2, Z2) – (X1, Y1, Z1), igualando las componentes correspondientes y

resolviendo para a, b y c se llega a:

a = X2 – X1 b = Y2 – Y1 c = Z2 – Z1

es decir;

v=P1P2=( X2−X1 , Y 2−Y 1 , Z2−Z1 )

Por ejemplo:

Encuentre las componentes del vector v=P1P2 cuyo punto inicial es P1(2, -1, 4) y

punto terminal P2(7, 5, -8)

Aplicamos la definición:

v=P1P2=( X2−X1 , Y 2−Y 1 , Z2−Z1 )=(7−2 ,5−(−1 ) ,−8−4 )

v=P1P2=(5 ,6 ,−12 )

11


Determine un vector que tenga su punto inicial en P1(1, 3, -4) y que tenga la misma

dirección que v=(3 ,8 ,4 )

Debemos encontrar el punto terminal del vector buscado, es decir,

P2(X2,Y2,Z2) y de esta manera, encontraremos el vector u=P1P2 que tenga la

misma dirección de v=(3 ,8 ,4 )

Por definición sabemos que: a = X2 – X1; b = Y2 – Y1; c = Z2 – Z1, además el

vector a encontrar tiene la misma dirección de v=(3 ,8 ,4 ), entonces sabemos

que a = 3, b = 8 y c = 4

Por lo tanto:

X2 = X1 + a = 1 + 3 = 4Y2 = Y1 + b = 3 + 8 = 11Z2 = Z1 + c = -4 - 4 = 0

P2 = (4, 11, 0)

Multiplicación de un Vector por un escalar:

El producto de un escalar por un vector es igual a otro vector cuyas componentes

se obtienen de multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector.

Dado el vector v=( v1 , v2 ,⋯ , vn )∈ Rn y el escalar k∈R, se define el producto del

escalar k por el vector como: k . v=(k . v1 , k . v2 ,⋯ , k . vn).

12


Por ejemplo:

Sea el vector: a=(5 ,−3 ), encuentre 3 a

Por definición del producto de un escalar por un vector:

Si k = 3 3 a=3. (5 ,−3 ) →3 a=(15 ,−9 )

Sea el vector: v=¿, encuentre −12

v

Si k = −12

v −12

. (−4 ,6 √2 ) →−12

a=(2 ,−3 ,−√22 )

IMPORTANTE:

Si k > 0, el vector k . v , está en el mismo cuadrante que v y tiene la misma

dirección

Si k < 0, el vector k . v , está en el cuadrante opuesto que v y tiene

dirección opuesta

k > 0 k < 0

13


Distancia entre dos puntos en R2 y R3

Si P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) son dos puntos en R2, entonces la distancia entre

ellos es la norma del vector P1P2, es decir, si P1P2=( X2−X 1 , Y 2−Y 1 )

entonces:

d=√( X2−X1 )2+(Y 2−Y 1 )2

Si P1(X1, Y1, Z1) y P2(X2, Y2, Z2) son dos puntos en R3, entonces

d=√( X2−X1 )2+(Y 2−Y 1 )2+(Z2−Z1 )2

Por ejemplo:

Dados los puntos P1(2, -1, -5) y P2(4, -3, 1) encuentre la distancia entre ellos.

Aplicando la definición:

d=√( X2−X1 )2+(Y 2−Y 1 )2+(Z2−Z1 )2=√ (4−2 )2+(−3+1 )2+(1+5 )2=√22+(−2 )2+62=√4+4+36=√44=√22.11

d=2√11

14


Propiedades de las operaciones básicas con Vectores

Propiedad comuntativa: sean los vectores v∈Rn y u∈Rn, se cumple que:

( v+u )=( u+ v )

Propiedad asociativa: sean los vectores v∈Rn, u∈Rn y w∈ Rn se cumple

que: v+ (u+w )=( v+u )+ w

Elemento neutro de la suma de vectores: sea el vector o=(0 ,0 )∈Rn, se

cumple que: 0+ v= v+ 0= v

Elemento neutro de la multiplicación de vectores: sea el vector

o=(0 ,0 )∈Rn, se cumple que: 0 . v=0

Propiedad distributiva de un escalar con respecto a la suma de dos o

mas vectores: sean los vectores v∈Rn y u∈Rn y el escalar k∈R, se cumple

que: k . ( v+u )=k . v+k . u

Propiedad distributiva de un vector con respecto a la suma de dos o

mas escalares: sean los escalares k∈R y β∈ R, y el vector v∈Rn se cumple

que: v . (k+β )=k . v+β . v

Elemento neutro del producto de un escalar (1) por un vector: sea el

escalar k =1 y el vector v∈Rn, se cumple que: 1. v= v .1=v

Elemento Simétrico: sea el vector v∈Rn, existe un vector − v∈Rn tal que

se verifica que: (− v )+ v= v+(− v )=0

Sea el vector v∈Rn y k∈R, entonces se verifica que: k . v∈Rn

15


Sean los valores: k∈R y β∈ R y el vector v∈Rn, se verifica que:

k . ( β . v )=(k . β ) . v

AUTOEVALUACIÓN

1. Dibuja los siguientes vectores con los puntos iniciales ubicados en el origen

a. v1=(3,6 ) d. v4=(3,4 ,5)b. v2=(−4 ,−8 ) e. v5=(2 ,−1,3 )

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c. v3=(5 ,−3 ) f. v6=(0,3 ,−3 )2. Encuentre las componentes del vector que tiene punto inicial P1 y punto final

P2; encuentre su dirección y calcule la distancia entre P1 y P2

a. P1(4, 8), P2(3, 7) d. P1(3, -7, 2), P2(-2, 5, -4)b. P1(-5, 0), P2(-3, 1) e. P1(-1, 0, 2), P2(0, -1, 0)c. P1(3, -5), P2(-4, -7) f. P1(3, 4, -5), P2(0, 0, -3)

3. Encuentre un vector v diferente de cero, cuyo punto inicial es P(-1, 3, -5) tal que:

a. v tiene la misma dirección que v=(6 ,7 ,−3 )b. v tiene la dirección opuesta a la de v=(6 ,7 ,−3 )

4. Encuentre un vector v diferente de cero, cuyo punto terminal es Q(3, 0, -5) tal que:

a. v tiene la misma dirección que v=(4 ,−2 ,−1 )b. v tiene la dirección opuesta a la de v=(4 ,−2 ,−1 )

5. Sean v=(−3 ,1,2 ) , u=(4 ,0 ,−8 ) y w=(6 ,−1 ,−4 ), encuentre las componentes de:

a. u−w d. 5 ( u−4 v )b. 6 v+2u e. −3 ( u−8 w )c. −u+ v f. (2 v−7w )−(8 u+ v )

6. Encuentre la magnitud de:a. v1=(4 ,−3 ) d. v4=(−7 ,2 ,1 )

b. v2=(2 ,3 ) e. v5=( 12 ,2− 14 )

c. v3=(−5,0 ) f. v6=(0,6 ,0 )

Vector Unitario

Un vector unitario es un vector sin unidades cuya magnitud es exactamente la

unidad. Se utilizan para especificar dirección y sentido. Por ejemplo, dado un

vector v, podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido de v, a través

de la siguiente ecuación:

u= v‖v‖

17


En un sistema de coordenadas rectangular o cartesiano, podemos definir un

conjunto de vectores unitarios perpendiculares dos a dos. Los llamaremos: i , j , k ,

donde i es el vector unitario en el eje de las X, j es el vector unitario en el eje de

las Y y k es el vector unitario en el eje de las Z.

Como vimos anteriormente, para hallar las componentes de un vector, se proyecta

este en las tres direcciones X, Y y Z, hallando Ax, Ay y Az y escribiendo el vector:

v=v x i+v y j+vz k

De modo que tenemos un vector expresado como una suma de vectores unitarios.

Producto Escalar o Producto Punto en Rn

Consideremos los vectores v=( v1 , v2 ,⋯ , vn )∈ Rn y u=(u1 ,u2 ,⋯ ,un )∈ Rn; el producto

escalar viene dado por: v . u=v1 . u1+v2. u2+…+vn . un∈Rn

Por ejemplo:

Dados los siguientes vectores aplique el producto punto o escalar: v=(−1 ,3) y

u=(1 ,0)

Por definición:

v . u=v1 . u1+v2. u2=( (−1 ) . (1 ) )+( (3 ) . (0 ) ) →v .u=−1

Propiedades del Producto Punto

Elemento neutro de la multiplicación de vectores: sea el vector

o=(0 ,0 )∈Rn, se cumple que: 0 . v=0

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Propiedad comuntativa: sean los vectores v∈Rn y u∈Rn, se cumple que:

( v . u )= (u . v )

Propiedad asociativa: sean los vectores v∈Rn, u∈Rn y w∈ Rn se cumple

que: v . ( u . w )=( v .u ) . w

Propiedad distributiva de un escalar con respecto al producto de dos o

mas vectores: sean los vectores v∈Rn y u∈Rn y el escalar k∈R, se cumple

que: (k . v ) . u=k .(v .u)

Ángulo entre vectores para Producto Escalar

Sean v y u dos vectores en Rn, el ángulo entre ellos, theta (θ), se calcula a partir de

la Ley del Coseno.

cosθ= v .u‖v‖.‖u‖

0≤ θ≤ π

El producto punto o escalar puede ser expresado de la siguiente forma:

v . u=‖v‖.‖u‖.cosθ

Por ejemplo:

Dados los vectores: u=−i+ j y v=i− j, calcule el producto escalar o producto punto

u . v y el ángulo entre ellos

Transformamos los vectores dados a coordenadas X, Y, tomando los

coeficientes que acompañan a los elementos i , j

u=(−1,1) y v=(1 ,−1)

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Aplicamos la definición de producto punto: u . v= (−1,1 ) . (1 ,−1 )

u . v= (−1.1 )+ (1. (−1 ) ) →u. v=−2

Para calcular el ángulo entre los vectores u y v es necesario calcular primero

su magnitud:

‖u‖=√(−1 )2+(1 )2=√2

‖v‖=√(1 )2+(−1 )2=√2

Sustituimos en la ecuación de Ley del Coseno:


= −2√2 .√2

θ=arccos−22

→θ=180 °

Dados los vectores: u=3 i−2 j, v=−i+4 j y z=7 i+2 j, compruebe que:

u . ( v+ z )=( u . v )+u . z

Transformamos los vectores dados a coordenadas X, Y, Z tomando los

coeficientes que acompañan a los elementos i , j , k

u=(3 ,−2) ; v=(−1 ,4 ) y z=(7 ,2)

Efectuamos las operaciones entre vectores:

( v+ z )=(−1 ,4 )+(7 ,2 )= (−1+7 ,4+2 )=(6 ,6)

u . ( v+ z )=(3 ,−2 ) . (6,6 )=(3.6+ (−2 ) .6 )=(18−12 )=6

( u . v )= (3 ,−2 ) . (−1 ,4 )=(3. (−1 ) )+(−2.4 )=−3−8=−11

( u . z )=(3 ,−2 ) . (7 ,2 )=(3.7+ (−2 ) .2 )=21−4=17

Sustituyendo las operaciones en la propiedad a demostrar, tenemos:

u . ( v+ z )=( u . v )+u . z=6=−11+17

20


6 = 6

Dados los puntos P = (2, 4), Q = (5, 8), R = (-6, -1) y S = (-2, -7), determine el

ángulo entre los vectores representantes PQ y RS

Lo primero que debemos hacer es calcular los vectores PQ y RS, partiendo

de sus puntos inicial y terminal, respectivamente

PQ=Q−P= (5 ,8 )−(2 ,4 )=(5−2 ,8−4 )→ PQ=(3 ,4)

RS=S−R=(−2 ,−7 )−(−6 ,−1 )=(−2−(−6 ) ,−7−(−1 )) → RS=(4 ,−6)

Luego debemos calcular el producto vectorial de los vectores PQ y RS

PQ . RS=(3 ,4 ) . (4 ,−6 )=(3.4+4. (−6 ) )=(12−24 ) →PQ . RS=−12

Nos hace falta calcular la magnitud de cada vector para luego determinar el

ángulo entre los vectores:

‖PQ‖=√ (3 )2+ (4 )2=√25=5

‖RS‖=√(4 )2+(−6 )2=√52

Finalmente aplicamos la ley del coseno para determinar el ángulo:


= −125.√52

θ=arccos −125.√52

→θ=109,44 °

21


Propiedades del Ángulo entre Vectores para Producto Escalar

Sean v y u dos vectores en Rn diferentes de cero y theta (θ) el ángulo entre ellos:

Si: v . u>0 Ángulo Agudo 0 ° ≤θ≤90 °

Si v . u<0 Ángulo Obtuso 90 ° ≤θ≤180 °

Si v . u=0 Ángulo Recto θ=90 °=π2

Vectores Ortogonales

Los vectores perpendiculares se denotan como vectores ortogonales ( v⊥ u ). Del

teorema anterior se ofrece la condición para la ortogonalidad: si v y u son vectores

distintos de cero, son ortogonales si y sólo si, el producto escalar o punto es cero:

Si v . u=0∴ ( v⊥u )

22


Vectores Paralelos

Dos vectores v y u distintos de cero son paralelos ( v ‖ u ), si el ángulo entre ellos es

cero ó π.

Si θ=0 ° ó180° ∴ ( v ‖ u )

Por ejemplo:

Dados los vectores v y u, determine si los vectores son paralelos, ortogonales o

ninguno de los dos casos. Dibuje cada par.

a. u=4 i; v=−8 i+3 j

Primeramente transformamos los vectores dados a coordenadas X, Y,

tomando los coeficientes que acompañan a los elementos i , j

u=(4 ,0) y v=(−8 ,3)

Calculamos el producto punto:

u . v= (4 ,0 )+(−8 ,3 )→u. v=−32

Debido a que el producto punto es distinto de cero, descartamos que los

vectores son ortogonales

Ahora para calcular el ángulo que se forma entre los vectores es necesario

determinar la magnitud de cada vector:

‖u‖=√(4 )2+(0 )2=√16=4

‖v‖=√(−8 )2+ (3 )2=√73

Calculando el ángulo:


= −324.√73

23


θ=arccos −125.√52

→θ=159,44 °

Debido a que el ángulo es diferente de 0° y de 180°, los vectores no son

paralelos

Graficando:

b. u=−i− j; v=i+ j

Primeramente transformamos los vectores dados a coordenadas X, Y,

tomando los coeficientes que acompañan a los elementos i , j

u=(−1 ,−1) y v=(1 ,1)

Calculamos el producto punto:

24


u . v= (−1,−1 )+(1 ,1 ) →u. v=−2

Debido a que el producto punto es distinto de cero, descartamos que los

vectores son ortogonales

Ahora para calcular el ángulo que se forma entre los vectores es necesario

determinar la magnitud de cada vector:

‖u‖=√(−1 )2+(−1 )2=√2

‖v‖=√(1 )2+(1 )2=√2

Calculando el ángulo:


= −2√2 .√2

θ=arccos −2√2 .√2

→θ=180°

Debido a que el ángulo es de 180°, se concluye que los vectores son

paralelos

Graficando:

25


Producto Vectorial o Producto Cruz en R3

Si u=(u1 ,u2 , u3 ) y v=( v1 , v2 , v3 ) son dos vectores en R3, entonces el producto cruz

u x v es el producto que se define como:

u x v=(u2 . v3−u3 . v2 , u3 . v1−u1 . v3, u1 . v2−u2 . v1 )

Obsérvese que u x v es un vector.

Una forma más práctica para multiplicar dos vectores en R3 vectorialmente sin

tener que memorizar la fórmula de la definición de producto cruz u x v, es formar

una matriz 2x3 en la que los elementos de la primera fila son los componentes de u

y los de la segunda fila son las componentes de v:

C=(u1 u2 u3v1 v2 v3)

Entonces el vector u x v es:

u x v=[det(u2 u3v2 v3) ,−det (u1 u3

v1 v3) , det (u1 u2v1 v2)]

26


Donde la matriz para la primera componente de u x v se obtiene al suprimir la

primera columna de la matriz C, la matriz para la segunda componente al suprimir

la segunda columna de la matriz C; y la matriz para la tercera componente, al

suprimir la tercera columna de C.

Por ejemplo:

Encuentre u x v si u=(1,2 ,−2) y v=(3,0,1)

El primer paso para encontrar el producto vectorial es escribir la matriz C

con las componentes de ambos vectores

C=(1 2 −23 0 1 )

Aplicando la definición de producto vectorial:


v1 v3) , det (u1 u2v1 v2)]

u x v=[det(2 −20 1 ) ,−det(1 −2

3 1 ) , det (1 23 0)]

Resolviendo los determinantes de las submatrices:

u x v=(2.1−(−2 ) .0 ) ,−(1.1− (−2 ) .3 ), (1.0−2.3)

u x v=(2 ,−7 ,−6)

Propiedades del Producto Vectorial

Si u y v son dos vectores en R3, entonces:

a. u . ( u x v )=0 u x v es ortogonal a u

b. v . ( u x v )=0 u x v es ortogonal a v

27


c. ‖u x v‖2=‖u‖2 .‖v‖2−( u . v )2 Igualdad de Lagrange

Si u , v y w son tres vectores en R3, y k es un escalar, entonces

a. ( u x v )=−( v x u )

b. u x ( v+w )=( u x v )+ ( u x w )

c. ( u+ v ) x w=( u x w )+( v x w )

d. k . ( u x v )=(k . u ) x v=u x (k . v )

e. u x 0=0 x u=0

f. u x u=0

Por ejemplo:

Demuestre que ( u x v )=−( v x u )

Sean u=(u1 , u2 ,u3) y v=(v1 , v2 , v3), entonces aplicamos la definición de

producto vectorial para ( u x v )


v1 v3) , det (u1 u2v1 v2)]

Resolviendo:

u x v=(u2 . v3−u3 . v2 , u3 . v1−u1 . v3, u1 . v2−u2 . v1 ) (¿ )

Aplicando la definición para el producto −( v x u )

−( v x u )=−[det (v2 v3u2 u3) ,−det (v1 v3

u1 u3), det (v1 v2u1 u2)]

Resolviendo:

−( v x u )=−( v2 . u3−v3 .u2, v3 . u1−v1 . u3 , v1 . u2−v2 . u1 )

Reordenando:

−( v x u )=(u2 . v3−u3 . v2 , u3 . v1−u1 . v3 , u1 . v2−u2 . v1 )¿

Finalmente como ( ¿ )=¿, se comprueba que:

28


( u x v )=−( v x u )

Sean los vectores u=(2 ,−2,0) y v=(−3,4,1), demuestre que ( u x v ) es ortogonal a u y

a v

Primeramente calculemos el producto vectorial ( u x v ), ello escribimos la

matriz C con las componentes de ambos vectores

C=( 2 −2 0−3 4 1)

Aplicando la definición de producto vectorial:


v1 v3) , det (u1 u2v1 v2)]

u x v=[det(−2 04 1) ,−det( 2 0

−3 1) , det ( 2 −2−3 4 )]

Resolviendo los determinantes de las submatrices:

u x v=(−2.1−0.4 ) ,−(2.1−(−3 ) .0 ) ,(2.4−(−2). (−3))

u x v=(−2 ,−2,2 )

Para que u x v sea ortogonal a u y a v, se debe cumplir que: u . ( u x v )=0 y

v . ( u x v )=0, veamos:

: u . ( u x v )=(2 ,−2,0 ) . (−2 ,−2 ,2 )=(2. (−2 ) )+(−2. (−2 ) )+(0.2 )=−4+4+0=0

v . ( u x v )=(−3,4,1 ) . (−2,−2 ,2 )=(−3. (−2 ) )+(4. (−2 ))+ (1.2 )=6−8+2=0

De modo que se cumple: u . ( u x v )=0 y v . ( u x v )=0

29


AUTOEVALUACIÓN

1. Dados los siguientes vectores:

Demuestre las siguientes propiedadesa. v . ( u . w )=( v .u ) . wb. ( u+ v ) x w=( u x w )+( v x w )

2. Dados los siguientes vectores, diga cuáles son ortogonales, paralelos o ninguno de los anteriores. Grafica cada par.

a. v1=(−3 ,0 ); w1=(0 ,3 )b. v2=2 i−3 j ; w2=−4 i+6 j

c. v3=(2 ,−3,1 ) ; w3=(1,2,4 )d. v4=3 i+3 j+4 k ;w4=i+2 k

3. Dados los siguientes puntos: P = (-5, 4), Q = (-3, -7), R= (-2, 8,), S =(9,9), encuentre los vectores: PQ , RS , PR , QS, grafícalos y encuentra el ángulo que existe entre los dos primeros y los dos últimos

4. Dados los siguientes puntos: P = (-3, 4, 5), Q = (2, 7, -4), R= (-5, -3, 2,), S =(-4, -5, -2), encuentre los vectores: PQ , RS , PR , QS, grafícalos y encuentra el ángulo que existe entre los dos primeros y los dos últimos

5. Encuentre un vector que sea ortogonal tanto a u como a v:

a. u=(−6,4,2 ); v=(3,1,5)

30


b. u=(−2,1,5 ) ; v=(3,0 ,−3)

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no

vacío, que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la

multiplicación por un escalar.

Debemos considerar que en el espacio vectorial no se especifican operaciones ni

vectores, entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación, se puede

sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre

cumpliendo todos las propiedades.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un

conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a

las estructuras algebraicas de dos operaciones “conjunto, operación, operación”

(un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es

preciso definir o especificar las propiedades de suma y multiplicación por un

escalar, tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de

cada elemento.

Resumiendo, un espacio vectorial está constituido por:

1. Un cuerpo de escalares, que llamaremos B

2. Un cuerpo de elementos cualesquiera, que llamaremos A, en nuestro caso,

Vectores

3. Una operación llamada suma (+) que satisface los siguientes axiomas:

a. ∀ u , v∈ A se verifica que u+ v∈ A

b. ∀ u , v∈ A se verifica que u+ v= v+ u

c. ∀ u , v , w∈ A se verifica que u+( v+w )=( u+ v )+ w

31


d. ∃0∈ A se verifica que u+0=0+u=u

e. ∀ u∈ A ,∃(−u)∈ A se verifica que u+(−u )=(−u )+u=0

4. Una operación llamada multiplicación escalar (• ) que satisface los siguientes

axiomas:

a. ∃ k∈B :∀ u∈ A se verifica que k . u∈ A

b. ∃1∈B :∀ u∈ A se verifica que u .1=1. u=u

c. ∀a ,b∈B∧∀ u∈ A se verifica que u . (a .b )= (a .b ) .u

d. ∀a∈B∧∀ u , v∈ A se verifica que a . ( u+ v )=a u+a v

e. ∀a ,b∈B∧∀ u∈ A se verifica que (a+b ) .u=a u+b u

Se dice entonces que A (conjunto formado por vectores en R3) constituye un

espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares B. De manera que podemos

identificar el espacio vectorial como el conjunto V, tal que:

V= A ,B ,+, •

Los elementos que llamamos A, además de ser vectores también pueden ser:

Matrices cuadradas de orden n (2x2, 3x3): El conjunto V de todas las

matrices mxn con elementos reales, junto con las operaciones de suma

matricial y multiplicación escalar, es un espacio vectorial. La matriz cero

mxn es el vector cero 0, y si u es la matriz A de mxn, entonces la matriz –A

es el vector −u y se satisfacen todos los axiomas. Este espacio vectorial se

denota por el símbolo Mmn.

Funciones continuas: Sea V el conjunto de las funciones con valor real

definidas sobre toda la recta real. Si f=f(x) y g=g(x) son dos de esas funciones

y k es cualquier numero real, el valor de la función f+g en x se obtiene al

sumar los valores de f y g en x y el valor hf en x es k multiplicada por el valor

de f en x. El conjunto de V es un espacio vectorial bajo estas operaciones.

El vector cero en este espacio es la función constante cero, es decir, la

función cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el origen

32


Subespacios Vectoriales

Un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina Subespacio de V si W es

un espacio vectorial bajo la suma y la multiplicación escalar definidas sobre V.

Para demostrar que un conjunto W con la suma y la multiplicación escalar forma un

espacio vectorial, es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin

embargo, si W es un subespacio de V del que se sabe es un espacio vectorial,

entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para W porque son heredados

de V.

Si W es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V,

entonces W es un subespacio de V sí y sólo sí se cumplen las siguientes

condiciones:

a. Si u y v son vectores en W, entonces u+ v están en W

b. Si k es cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces k . u está en

W

Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios. El propio V es un

subespacio y el conjunto 0 que sólo consta del vector cero en V es otro

subespacio denominado subespacio cero

Combinación Lineal

Un vector u es linealmente dependiente de otro vector v si y sólo si existe un

escalar k para el cual se cumple que: u=k . v.

33


Observemos la siguiente gráfica:

Como podemos notar el vector u es el doble del vector v, además conservan la

misma dirección y sentido; por lo tanto decimos que u y v son vectores colineales.

También podemos decir que u=2. v, lo cual nos dice que existe una relación entre

los vectores dados y es que son linealmente dependientes.

Por ejemplo:

Demuestre que el vector u=(3,5) es linealmente dependiente del vector v=(−1 ,−53)

Primeramente describimos u como combinación de v, es decir: u=k . v

Sustituyendo:

(3,5 )=k .(−1 ,−53)

Multiplicando:

34


(3,5 )=(−k ,−53

k )

Igualando las componentes y despejando:

3=−k →k=−3

5=−53

k →k=−3

Observe que si sustituimos el valor de k en la expresión inicial, se demuestra

que:

u=k . v → (3,5 )=−3.(−1 ,−53 )→ (3,5 )=(3,5)

Un vector v es combinación lineal de otros vectores (w , x , y ,⋯ , z ) si y sólo si existen

escalares α ,β , γ ,⋯∈R para los cuales se cumple que:

v=α . w+β . x+γ . y+⋯+Ω z

Por ejemplo:

Determine si el vector v=(2 ,1 ,7) es combinación lineal de los vectores:

x=(2 ,−1 ,3 ) ; y=(5 ,1 ,2 ) y z=(−1 ,−4 ,2)

Aplicando la definición de combinación lineal:

v=α . w+β . x+γ . y= (2,1 ,7 )=α . (2 ,−1,3 )+β . (5 ,1 ,2 )+γ (−1 ,−4 ,2)

Planteamos el sistema:

2=2α +5 β−γ (1 )

1=−α+β−4 γ (2 )

7=3α+2 β+2 γ (3)

35


Aplicando el método Gauss-Jordan (estudiado en la Unidad I) resolvemos

sistema:

A=[ 2 5 −1−1 1 −43 2 2

217]F1→F1↔−F2[1 −1 4

2 5 −13 2 2

−127 ] F2→−2 F1+F2

F3→−3 F1+F3

A=[1 −1 40 7 −90 5 −10

−1410 ]F2→

17

F2[1 −1 4

0 1−97

0 5 −10

−14710

]F3→−5 F2+F3

A=[1 −1 4

0 1−97

0 0−257

−147507

]F3→− 125

F3[1 −1 4

0 1−97

0 0 1

−147

−2] Finalmente:

γ=−2

β−97

γ=47

→β=−2

α−β+4 γ=−1→α=5

Aplicamos la definición de combinación lineal con los valores obtenidos de

los escalares, para comprobar que el vector v si es combinación lineal de los

otros tres:

(2 ,1,7 )=5. (2 ,−1 ,3 )+(−2). (5 ,1,2 )+(−2)(−1,−4 ,2)

(2 ,1,7 )=(10 ,−5 ,15 )+(−10 ,−2,−4 )+(2 ,8 ,−42 )

(2 ,1,7 )=(2 ,1 ,7 )

36


Espacio Generado

Si un conjunto de vectores no vacíos, es tal que puede expresarse como

combinación lineal de dicho conjunto, entonces se dice que éste es un sistema de

generadores.

Sea el espacio vectorial V= A ,B ,+, • y los vectores v1 , v2 , v3 ,… vn∈ A, dichos

vectores generan el espacio V.

Es decir, cuando un vector del espacio V es expresable en término de los vectores

v1 , v2 , v3 ,… vn, entonces se dice que ellos generan al espacio V.

Por ejemplo:

Los vectores x=(1,0,0 ) , y=(0,1,0 ) y z=(0,0,1) es un conjunto de generadores ya que

podemos expresar cualquier vector v=( v1 , v2 , v3) como combinación lineal de

dichos vectores

Primeramente planteamos la combinación lineal:

v=α . w+β . x+γ . y

Sustituyendo:

( v1 , v2 , v3 )=α . (1,0,0 )+β . (0,1,0 )+γ .(0,0,1)

Resolviendo, tenemos que:

v1=α , v2=β , v3=γ

Este resultado nos dice que los vectores x , y y z son un sistema de

generadores de R3 y que, además, cualquier vector puede expresarse, de

distintas maneras, como combinación lineal de dichos vectores.

37


Los vectores de n dimensiones:

v1=(1,0,0 ,…,0 ) , v2=(0,1,0 ,…,0 ) ,…, vn=(0 ,…,0 ,0 ,1 )

conforman un sistema de generadores para un espacio Rn

Dependencia e Independencia Lineal

Una familia de vectores es linealmente independiente si y sólo si la única

combinación lineal entre ellos es trivial, es decir, que los escalares α ,β , γ ,⋯∈R

sean todos iguales a cero.

La independencia lineal de un conjunto finito y no vacío de vectores significa que

no puede darse una combinación lineal de dicho conjunto que dé el vector nulo,

con algún escalar distinto de cero.

Sea el espacio vectorial V= A ,B ,+, • y los vectores v1 , v2 , v3 ,… vn∈ A, dichos

vectores son linealmente dependientes ⇔∃α ,β , γ ,⋯ ,Ω∈ R no nulos tal que:

0=α . v1+β . v2+γ . v3+⋯+Ω vn∈ A

Por ejemplo:

Verifique que el vector nulo 0=(0,0,0 ) es combinación lineal de la familia de vectores

x=(1,0,0 ) , y=(0,1,0 ) y z=(0,0,1 )

Lo primero que debemos hacer es establecer los valores de los escalares

que permiten dicha combinación lineal

0=α . x+ β . y+γ . z

38


Sustituyendo:

(0,0,0 )=α . (1,0,0 )+β . (0,1,0 )+γ .(0,0,1)


α=0 , β=0 , γ=0

El vector 0=(0,0,0 ) es combinación lineal de la familia de vectores x , y , z

Ahora es necesario evaluar ¿Cómo son los vectores x , y y z entre si?.

Veamos si entre ellos, son combinación lineal, para lo cual partimos de la

definición:

(1,0,0 )=α . (1,0,0 )+β . (0,1,0 )

Resolviendo nos queda:

1=α .0+β .0

0=α .1+β .0

0=α .0+β .1

Así tenemos: α=β=0, de manera que la única combinación posible es que

alfa y beta sean cero. Esta combinación lineal se denomina Trivial.

Base del Espacio Vectorial en R3

Sea v1 , v2 , v3 ,… vn∈ A una familia de vectores, se dice que A es una base ⇔ A es

linealmente independiente y un sistema de generadores.

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que permiten escribir

cualquier otro vector como combinación lineal de éste.

39


En particular, si la base puede ser

expresada como vectores unitarios, ésta

recibe el nombre de base canónica.

Por ejemplo:

Determine los escalares que hacen que el

vector v=(2 ,−3 ,2) sea combinación lineal de la base A=(1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 )

Establecemos la combinación lineal:

v=α . x+β . y+γ . z

Sustituyendo:

(2 ,−3 ,2 )=α . (1,0,0 )+β . (0,1,0 )+γ .(0,0,1)


α=2 , β=−3 , γ=2

Dimensión de un Espacio Vectorial

Sea un espacio vectorial V, dicho espacio es la dimensión finita n ⇔ ∃ v1, v2 , v3 , …vn∈ A, tales que constituyan una base para V.

La dimensión de un espacio vectorial la denotamos como dim. V = n

En caso contrario se dice que su dimensión es infinita.

40


AUTOEVALUACIÓN

1. Se da un conjunto de objetos y las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. Decida cuales son espacios vectoriales. Para los que no sean, encuentre al menos una propiedad que no se cumpla:

a. Sea V el conjunto de pares (x , y) de números reales y sea F el cuerpo de los números reales, se define:

i. (x , y) + (x1 , y1) = (x + x1 , 0)ii. C. (x , y) = (C. x , 0)

b. Sea V el conjunto de todas las parejas de números reales, multiplicación por un escalar usual, pero

(x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 + 1 , x2 + y2 + 1)

c. Sea V el conjunto de los números reales, suma y multiplicación por un escalar usuales.

d. El conjunto de todas las n-adas de la forma V = (x, x…, x) / x єR suma y multiplicación por un escalar usual en Rn

e. Sea un espacio vectorial “V” y un subconjunto “S” de V. resuelva:i. ¿Es S cerrado bajo la suma?ii. ¿Es S cerrado bajo la multiplicación por un escalar?iii. ¿Es S un subespacio de V?

2. Cuales de los vectores dados, son combinación lineal de U = (1, -1, 3) y V = (2, 4, 0).

a. (3, 3, 3) b. (4, 2, 6)3. Exprese los siguientes polinomios como combinación lineal de P1 = 2 + x +

4x2; P2 = 3 + 2x + 5x2; P3 = 1 – x + 3x2

a. 5 + 9x + 5x2 b. 2 + 2x + 3x2

4. Determinar en cada caso si los vectores dados generen R3 a. V1= (1, 1, 1) V2= (2, 2, 0) V3= (3, 0, 0) b. V1= (3, 1, 4) V2= (2, -3, 5) V3= (5, -2, 9) V4= (1, 4, -1)

5. Determine si los siguientes polinomios generan a P3

a. P1= 1 + 2x – x2; P2= 3 + x2; P3= 5 + 4x – x2; P4= -2 + 2x + (-2x2)

41


6. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son LI “o” LD?a. (2, -1, 4) ; (3, 6, 2) ; (2, 10, -4) b. (6, 0, 1) ; (1, 1, 4)

7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R4 son LI “o” LD? a. (4, -4, 8, 0) ; (2, 2, 4, 0) ; (6, 0, 0, 2) ; (6, 3, -3, 0)b. (1, 2, 1, -2) ; (0, -2, -2, 0) ; (0, 2, 3, 1) ; (3, 0, -3, 6)

8. Se da un ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios en P2 son LI “o” LD?

a. 2 – x + 4x2; 3 + 6x + 2x2; 2 + 10x – 4x2

b. 3 + x + x2; 2 – x + 5x2; 4 – 3x2

AUTOEVALUACIÓN

9. Explique porque los siguientes conjuntos, no son bases de los espacios vectoriales que se indican.

a. U1= (1, 2) , U2= (0, 3), U3= (2, 7) para R2

b. U1= (-1, 3, 2), U2= (6, 1, 1) para R3

c. P1= 1 + x + x2, P2= x – 1 P2

10.¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases de R2?a. (2, 1), (3, 0)b. (4, 1), (-7, -8)

11.¿Cuáles delos siguientes conjuntos de vectores son bases de R3?a. (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)b. (3, 1, -4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)

12.Considere U= (1, -3, 2) y V= (2, -1, 1) en R3, Para que valor de K el vector: (1, K, 5) es una combinación lineal de U y V.

13.Determine la dimensión y base del espacio solución del sistema dado.a. 2x1 + x2 + 3x3 = 0 c. 3x1 + x2 + x3 + x4 =0

x1 + 2x2 = 0 5x1 – x2 + x3 – x4 =0 x2 + x3 = 0 3x1 + x2 + 2x3 = 0

b. x1 - 3x2 + x3 = 0 d. 4x1 + + 5x3 = 02x1 - 6x2 + 2x3 = 0 x1 - 3x2 + 4x3 = 03x1 - 9x2 + 3x3 = 0 2x1 – 4x2 + x3 + x4 =0

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Referencias Bibliográficas

Howard Antón (1980), Introducción al Algebra Lineal, Editorial Limusa.

Kenneth Hoffman-Ray Kunze (1981), Algebra Lineal, Editorial Prentice Hall.

Richard Hill (1996), Algebra Lineal Elemental con Aplicación, Editorial

Prentice Hall.

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