Vibraciones

Universidad Nacional Autonoma de HondurasUNAH-VSIngeniera Electrica Industrial

Comunicaciones IIE-425

ANALISIS DE VIBRACIONESMEDIANTE SERIES DE FOURIER


ELABORADO POR:

No. Nombre Cuenta1 Carlos Perez 201220029842 Yullian Vasquez 201220005573 Fernando Perdomo 201120051524 Rolando Enriquez 201120033535 Javier Moreno 201010017706 Engell Cardenas 20070014302

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INTRODUCCION

El analisis digital de senales es un campo de estudio relacionado al procesamiento de informacionpresentada en forma digital donde el advenimiento en los ultimos anos de modernos sistemas decomputacion, ha logrado dar impulso a la introduccion de nuevos metodos de analisis en apoyo delos tradicionales, as como un enorme crecimiento en la cantidad de aplicaciones practicas a una varie-dad diversa de problemas.Ejemplos de ello lo encontramos en el area de Mecanica Aplicada, donde se la utiliza en problemas detipo estructural, para el diagnostico de problemas dinamicos en maquinas rotantes, deteccion de mal-funcionamiento de componentes en plantas nucleares; analisis de imagenes acusticas y de sonar marinoen problemas de Acustica y Sonido, as como en reconocimiento y sntesis de voces; en Comunicacioneses utilizada en analisis de sistemas y deteccion de senales, filtrado en canales multiples, estimacion defunciones transferencia, etc.; en Ingeniera Biomedica permite el monitoreo de la fatiga muscular, in-vestigacion en perturbaciones gastricas, en diagnostico de pacientes con problemas cardacos y muchasotras aplicaciones dentro de esta area.

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Clasificacion de Senales

Los fenomenos fsicos de mayor interes en ingeniera se miden en terminos de una funcion ampli-tud versus tiempo, a la que nos referiremos como el registro historico temporal o senal observada.La amplitud instantanea de la misma representa alguna cantidad fsica de interes, como por ejemplovelocidad, aceleracion, presion, temperatura, deformacion, etc.

Los sistemas fsicos y de ingeniera se pueden clasificar en lineales o no lineales, con parametros encada uno de ellos que pueden ser constantes o variables en el tiempo, lo que nos lleva a la clasificacionque se muestra en la figura 1. En general, en la mayora de las aplicaciones dentro del area de lasvibraciones mecanicas las unicas variables observables estan dadas por la senal de salida en un sistemay representa la respuesta del mismo ante ciertos estmulos (figura 2). Refiriendonos a la clasificaciondada en la figura 1 decimos que la misma puede ser lineal o no lineal, lo que de hecho es un fiel reflejodel comportamiento del sistema.

Figura 1: Clasificacion de senales en analisis de vibraciones.

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Dos diferencias muy importantes entre sistemas lineales y no lineales es que los primeros satisfacen elprincipio de superposicion, mientras que los segundos no lo hacen, y la segunda es que en un sistemalineal cuando los datos de entrada sean aleatorios con una funcion de distribucion de probabilidad(p.d.f.) Gaussiana, produciran una senal de salida que tendra tambien el mismo tipo de distribucionteorica; mientras que para un sistema no lineal una entrada de datos similar producira una senal desalida con una distribucion no Gaussiana.

En general cualquier conjunto de datos observados se pueden clasificar en deterministas y aleatorios.Los primeros son aquellos que se pueden describir por medio de una relacion matematica explcita. Elcaso mas simple lo representa una funcion senoidal, mientras que los tipos mas generales de funcionesperiodicas quedan representadas por su serie de Fourier:

x(t) = n =a02

+

i=1

[an cos(2pif1t) + bn sen(2pif1t)] (1)

donde x(t) es la senal y f1 = 1/T , donde T es el perodo de la senal. El primer termino a0 representala DC en la senal, mientras que los restantes terminos consisten en un numero infinito de sinusoidesde amplitudes decrecientes y frecuencias que son multiplos de f1. El espectro se caracteriza por unconjunto discreto de lneas.

Los fenomenos fsicos donde las mediciones producen un registro temporal unico, el cual muy proba-blemente no vuelva a repetirse, se denominan aleatorios. En tales casos, la historia temporal resultantede un experimento dado representa solamente una realizacion fsica de lo que podra haber ocurrido,de modo que a fin de tener una comprension completa de los datos, conceptualmente debera pensar-se en terminos de un numero infinito de registros temporales que podran haber ocurrido tal comoesta ilustrado en la figura 2.

Figura 2: Conjunto de registros temporales de un proceso aleatorio de una senal.

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Una historia temporal simple xi(t) es lo que se denomina un registro o funcion muestral (observableen un perodo finito de tiempo), mientras que la coleccion de todos ellas xi(t) es lo que se llama unproceso estocastico.Las senales aleatorias pueden categorizarse a su vez en estacionarias y no estacionarias, y los primerosdividirse a su vez en ergodicos y no ergodicos.

Si el proceso x(t) es estacionario, ambos valores no diferiran cuando se los calcule sobre diferentesfunciones muestrales, en este caso se dice ademas que el mismo es ergodico, lo cual implica que losvalores medios temporales son iguales a los valores promedios sobre todo el conjunto muestral, en cuyocaso diremos que x(k) = x; y Rxx(, k) = Rxx(). Los procesos ergodicos constituyen una clasemuy importante dentro de los procesos aleatorios, ya que las propiedades de estos se pueden estimarutilizando promedios temporales en una sola funcion de muestra. La justificacion formal de los resul-tados anteriores proviene del denominado teorema ergodico (ej. Papoulis 1991). Muchos fenomenosfsicos responden a este tipo de modelo. La figura 3 muestra un conjunto de historias temporales ca-ractersticas de un proceso estacionario. Desde el punto de vista del analisis de vibraciones, existe una

Figura 3: Conjunto de registros temporales estacionaria (presiones en un fluido turbulento).

clase de datos no estacionarios que tienen especial interes. Se las denomina senales transientes y sonlas resultantes de un fenomeno de corta duracion con un comienzo y un fin perfectamente definidos.La figura 4 muestra un ejemplo de este tipo de senal.

Figura 4: Conjunto de registros temporales caractersticos deuna senal transiente (aceleracionduranteimpactos estructurales).

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Analisis de Fourier de una muestra discreta

La clasificacion de senales dada en el apartado anterior es casi universal para la mayora de las si-tuaciones encontradas en la practica. El problema que surge es como analizarlas. Los metodos deprocesamiento de senales estan disenados para atacar los problemas de deteccion y estimacion. El pri-mero de ellos se refiere a la cuestion de determinar si una senal especfica se encuentra presente en unaobservacion de datos, mientras que la estimacion se refiere al problema de calcular los valores delosparametros que describen las senales de interes.Ciertamente, estas cuestiones dependen del campo especfico de aplicacion. La forma usual de llevaradelante estas cuestiones es a traves del uso de funciones estadsticas en los dominios tiempo y fre-cuencia que estan linealmente relacionados a traves de la transformada de Fourier definidas por lasconocidas expresiones (Bracewell 1978, Bendat 1986, Brigham1988, Papoulis 1991, etc.):

X(f) = F (x(t)) =

+

x(t) ej2piftdt (2)

y la correspondiente transformada inversa de Fourier:

x(t) = F1(X(f)) = +

X(f) ej2piftdf (3)

en donde se dice que x(t)y X(f)forman un par transformado de Fourier:

x(t) X(f) (4)

De acuerdo a esta definicion, cualquier evento que se pueda asociar a una senal temporal se puedeigualmente describir en terminos de su correspondiente espectro en frecuencias .La reversibilidad de latransformada nos asegura que estas representaciones son siempre descripciones equivalentes del evento,y que en principio no habra razon para preferir un dominio respecto del otro.En la practica, la mayora de las senales con las que nos encontramos son siempre aleatorias por na-turaleza, ya que aun en aquellos casos en que se trate de una forma de onda periodica pura, la senalobservada normalmente esta corrompida por ruido.

Por cuestiones practicas, cada senal que procesamos debe tener extension finita, la cual puede serajustable y seleccionable, pero debe ser finita. El procesamiento de una senal de esta naturaleza impo-ne ciertas caractersticas al analisis armonico, que incluye detectar tonos en presencia de otros cercanosy fuertes, la resolubilidad de senales periodicas cercanas, frecuencia variable, etc. Por lo tanto si consi-deramos a x(t) en un intervalo de tiempo T finito, X(f) se estima mediante el computo de la llamadaTransformada Finita de Fourier (BrighamE.O. 1988 y Bendat 1986):

XT (f) = X(f, T ) =

T0

x(t) ej2piftdt (5)

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REFERENCIAS

Cheng, David K.: Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera, Addison Wesley, 1997

Hayt, Willian H.: Teora electromagnetica, Septima edicion, MaGraw Hill, 2006

Balanis, Constantine A.: Advanced Engineering Electromagnetic, John Wiley, 1989

Verez, Miguel Angel: Estudio de ondas planas homogeneas, recurso webhttp://grupos.unican.es/electromagnetismo/OLD_WEB/paginas/docencia/4481/web-propag-guiada/

pdf/apuntes/tema4-ondasplanas.pdf

Universidad Nacional de la Plata: Campos y Ondas, Vector de Poynting, recurso webhttp://www.ing.unlp.edu.ar/camposyo/3-propagaciondeondasplanas.pdf

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