VIBRACIN FORZADA

HCTOR E. JARAMILLO SUREZ, MSc

Mdulo de Clase

Los Mdulos de clase son una publicacin del Programa Editorial de la Universidad Autnoma de Occidente. Este material presenta contenidos parciales y/o material de apoyo de cursos dictados en la institucin.

Hctor E. Jaramillo Surez, MScProfesorFacultad de IngenieraUniversidad Autnoma de Occidente

Gestin EditorialDireccin de Investigaciones y Desarrollo TecnolgicoPrograma Editorialprogramaeditorial@uao.edu.co

DiagramacinJuan Manuel Escobar Velascojuanuel22@hotmail.com

2009 Universidad Autnoma de OccidenteKm. 2 va a Jamund, A.A. 2790 Cali, Valle del Cauca-Colombia

El contenido de esta publicacin no compromete el pensamiento de la Institucin, es responsabilidad absoluta de sus autores.

Seccin de Publicaciones e Impresiones

Impreso en ColombiaPrinted in Colombia

VIBRACIN FORZADA

Contenido

INTRODUCCIN

1. EXCITACIN PRODUCIDA POR UNA FUERZA ARMNICA1.1. CASO 1: SIN AMORTIGUAMIENTO (C=0)1.2. CASO 2: CON AMORTIGUAMIENTO (C0)

2. EXCITACIN DE UNA FUERZA LINEALMENTE CRECIENTE

3. EXCITACIN DE UNA FUERZA ESCALN O CONSTANTE

4. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO (z)

5. EJEMPLO DE APLICACIN

6. EJERCICIO DE APLICACIN CON SOFTWARE6.1. CREACIN DE LA GEOMETRA Y DETERMINACIN DE LAS

FRECUENCIAS NATURALES6.2. RESPUESTA DEL SISTEMA A LA CARGA DE EXCITACIN

7. EJERCICIO PROPUESTO

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

7.1. EJERCICIO PROPUESTO 17.2. EJERCICIO PROPUESTO 2

4

77

13

17

21

24

25

3032

48

626262

64

Introduccin

Definidos los sistemas mecnicos y estructurales como elementos que poseen masa y elasticidad y que pueden realizar movimientos relativos, es necesario conocer la teora de vibraciones con el objeto de poder determinar el comportamiento de estos sistemas y as poder tomar decisiones ya sea de eliminar, reducir, controlar o utilizar la vibracin segn esta sea indeseable, trivial o necesaria para producir trabajo.

Los sistemas vibratorios pueden clasificarse como lineales o no-lineales, es decir sistemas para los cuales el principio de superposicin es vlido o no. En el primer caso, las tcnicas matemticas son relativamente simples y fciles de aplicar. Las tcnicas para los sistemas no-lineales requieren matemticas ms complejas y su complejidad es mucho mayor.

Las vibraciones tambin pueden dividirse en vibraciones libres y vibraciones forzadas. Las vibraciones libres son aquellas donde en el sistema no hay una excitacin externa que ayude a producir la vibracin. Sin embargo en la vibracin forzada, se considera que hay una fuerza externa que ayuda a que el sistema vibre de una forma determinada.

Dependiendo del tipo de fuerza externa que produce la vibracin as mismo es el comportamiento del sistema. Es comn encontrar fuerzas de excitacin cuyo comportamiento es un armnico, una contante o escaln y un comportamiento lineal creciente, casos estos que son estudiados en este documento. Igualmente se presenta un ejemplo de cmo se realiza la modelacin de ste tipo de sistemas usando el software ALGOR, basado ste en la teora de elementos finitos.

6La gran mayora de sistemas reales estn sometidos a excitaciones externas de gran complejidad, algunas de estas excitaciones se pueden modelar o analizar con una buena exactitud considerando que esta excitacin representa una funcin conocida, como lo puede ser una excitacin de una fuerza con una funcin armnica, una funcin diente de sierra, etc.

En el siguiente documento se presentar el estudio del comportamiento de sistemas de un grado de libertad sometidos a una excitacin externa.

*.VIBRACIN FORZADA

7Una carga armnica se representa de la forma:

De la ecuacin 1: P es la amplitud y w la frecuencia circular o frecuencia de 0excitacin. De esta manera la ecuacin de movimiento para un sistema de un grado de libertad queda:

De esta ecuacin se derivan los siguientes casos:

Por lo tanto la ecuacin 2 queda:

La solucin de la ecuacin 3 se puede partir en dos; una solucin homognea (complementaria) y una solucin particular. La solucin homognea de sta ecuacin es de la forma:

Y, la solucin particular es de la misma forma de la excitacin, as:

1.EXCITACIN PRODUCIDA PORUNA FUERZA ARMNICA

)(0 tSenPP(t)=

Senent PKYYCYm 0=++&&&

1.1. CASO 1: SIN AMORTIGUAMIENTO (C=0)

tSenPKYYm w0=+&&

1

2

3

tBCos tASen Y nnH +=

tGSenYP w=

4

5

8La respuesta de vibracin tiene lugar a la misma frecuencia de excitacin. Por tanto se deriva la ecuacin 5, para hallar el valor de la constante G:

De igual manera:

Reemplazando los valores de las derivadas en la ecuacin 3 se tiene:

Factorizando:

Por tanto:

Organizando:

Sabiendo que:

O que:

Por tanto:

tCosGYP ww=& 6

t Sen GYP w2-=&&

tSen PtSen KG tSen G m- 02 wwww =+

7

8

() tSen PtSen G m-K 02 www =

2wmKP

G o

-=

9

10

-=

K

m

P

KG o

2

1

1

w11

m

Kn =2w

mK n2w=

-

=2

2

1

1

wwK

PG o

12

13

14

9Definiendo a la razn de frecuencia de excitacin respecto a la frecuencia natural como:

Por tanto la ecuacin 14 queda:

De esta manera la solucin particular, ecuacin 5, queda de la forma:

Como lo que interesa es hallar la respuesta total del sistema a este tipo de excitacin, entonces

La ecuacin 18 representada en funcin de sus condiciones iniciales queda:

Al primer trmino de la ecuacin 19 se le denomina respuesta en Estado Transitorio y la segunda respuesta en Estado Uniforme. Cuando las condiciones iniciales son cero o sea , entonces la ecuacin queda:

Donde el valor de P /K corresponde a la deflexin o desplazamiento esttico:o

nww

b= 15

2

0

1

1

K

PG

b-=

tSen 1

1

K

PY

2

0 wb-

=P

PH YYY +=

16

17

tSen 1

1

K

Pt BCostASen Y(t)

2

0nn wb

ww-

++=

tSen K

PtSen

K

P

)(Yt)Cos Y(Y(t) n

n

n w20

2

0

1

1

1

00

-+

--+=

&

18

19

000 ==)(Y)Y( &

( )tSen -tSen 1

1

k

PY(t) n2

0 wbwb-

=

est0 Y

K

P=

20

21

10

El valor para la ecuacin 21 es el desplazamiento del sistema si se aplicara la carga en condiciones estticas, de igual manera haciendo:

Y :

A F se le denomina Factor de Amplificacin y a R : Factor de Respuesta de A d

Desplazamiento. Si se grafica Versus la razn de frecuencias, se obtiene

el comportamiento mostrado en la Figura 1.

Como se puede observar en la Figura 1 cuando b se acerca a un valor de 1 el factor de amplificacin tiende al infinito, si b=1 w=w, esto indica que la frecuencia de nexcitacin es igual a la frecuencia natural o por lo menos las dos frecuencias estn muy cercanas, por lo que el sistema estara entrando en resonancia.

Cuando la frecuencia de excitacin se hace igual a frecuencia natural, la solucin particular por tanto queda de la siguiente forma:

FA 21

1

-=

21

1

Rd -

=

22

21

1

FA -

=

23

Figura 1. Comportamiento del factor de Amplificacin (F ) versusAla razn de frecuencias ( b )

t CosDt t Sen Ct Y nnP ww+= 24

11

Reemplazando en la ecuacin inicial (ecuacin 3) se tiene:

Separando todos los trminos que contienen de la ecuacin 27:

De la ecuacin 29, por tanto:

Sabiendo que , entonces:

Como para este caso el amortiguamiento es cero, se tiene .

Para los trminos con , se tiene:

Dividiendo por :

[ ][ ]tSen t -t Cos D t Cost tSen CY nnnnnnP wwwwww ++=& 25

[ ][ ]t Cost -tSen -tSen -D ttSen -t Cos t Cos CY n2nnnnnn2nnnnnP wwwwwwwwwwww ++=&&

26

[ ][ ][ ] tSen Pt CosDt tSenCt K tCost -tSen 2-mD tSent -tCos 2mC n0nnn2nnnn2nnn wwwwwwwwwww =+++27

t Cos nw

[ ][ ][ ]02 2 =+-+ t Dt CosK tt CosmD t CosmC nnnnn

[ ] 0cos2 2 =+- tDtKtmDmC nnn www

[ ]02 2 =+- DtKtmDmC nn

28

29

30

m

K2n =w

02 22 =+- mDttmDmC nnn

0=C

tSen n

[ ][ ][ ] tSen PtCt SenK t Sen-mD tt Sen-mC nnnnnn 02 2 =++

31

32

tsenw

0

2 2 PKCtmDt--mC nn =+ 33

12

Como el amortiguamiento es cero (C=0):

Despejando a D:

De esta manera, la solucin particular (ecuacin 24) queda:

Graficando la ecuacin 36, se tiene el comportamiento mostrado en la Figura 2:

Como se puede observar en la grfica cuando el tiempo tiende a infinito, la amplitud de los desplazamientos tambin tiende a infinito, motivo por el cual las frecuencias

1de excitacin se deben mantener alejadas de la frecuencia natural del sistema .

02 PmD- n =

nm

P-D

2

0=

tt Cos m

PY n

n

P2

0-=

34

35

36

Figura 2. Comportamiento de los desplazamientos versus el tiempo deun sistema de un grado de libertad sin amortiguacin, excitado con

una fuerza armnica con una frecuencia igual a la natural.

13

Para este caso la ecuacin que representa en comportamiento del sistema queda:

Expresando la ecuacin 37 en funcin de las frecuencias, se obtiene:

La solucin homognea de la ecuacin 38 es la respuesta a vibracin libre, mostrada en la ecuacin 39:

Y, la solucin particular es de la forma:

Sustituyendo la ecuacin 40, con sus respectivas derivadas ( , ) en la ecuacin 37, y separando los trminos con y , se tienen la ecuacin 41 y 42 respectivamente:

Dividiendo las ecuaciones 41 y 42 por y reorganizando los trminos se obtienen respectivamente las ecuaciones 43 y 44:

1.2. CASO 2: CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO (C0)

tSen PKYYCYm w0=++&&&

tSen m

PYYY nn w

022 =++&&&

37

38

( )tB Cos tA Sen eY AAt-H n +=w

tCosGtSenGYP ww21 +=

Y&&Y&

tsenw twcos

()[ ] tSenm

P Sen SGG-G nn w

02

12

2

1 2 =+-

39

40

41

()[ ] 02 22122 =+- Cos CGG-G nn 42

2

nw

14

Despejando de las ecuaciones 43 y 44:

Sustituyendo en la ecuacin 40 para obtener la solucin particular y, sumndole la solucin homognea para obtener la solucin completa, se tiene:

El primer trmino de la ecuacin 47 es la respuesta transitoria y el segundo trmino es la respuesta de estado uniforme, la cual puede ser expresada como:

De donde

Y,

Sabiendo que el Factor de Respuesta esta dado por la ecuacin:

()()K

PGG 02

2

1 21 =-- 43

()()021 122 =-- GG

()()2222

01

21

1

K

PG

+-

-=

()()2220

2

21

2

K

PG

+-

-=

44

45

46

( )()()

()[ ]t Cos 2-tSen 121

1

K

Pt Cos BtSen A eY(t) 2

222

0AA

t- n wzbwbzbb

wwzw -+-

++=

47

()t- Sen YY(t) 0=

()()[ ]2122200 21 -+-= K

PY

-=

2

1

1

2tan

-

48

49

50

15

Entonces:

Despejando el Factor de Respuesta, se tiene:

Graficando el Factor de Respuesta (R ) versus la razn de frecuencias ( ) para d

algunos valores del Factor de Amortiguamiento ( z ) se tiene el comportamiento mostrado en la Figura 3:

De la Figura 3 y sabiendo que , se puede decir que:

()()2220

21

1

Y

YR

est

d

+-== 51

dRK

PY 00 =

()()22200

21

1

RP

KYd

+-==

nww

Figura 3. Comportamiento del Factor de Respuesta Vs la Razn de Frecuencia2para algunos valores de z

nww

b=

16

1. Para valores b1 Y @ de esto se puede decir que a 0

frecuencias altas lo que controla es la masa y el amortiguamiento tiene poco efecto.

3. Para valores de b@1 en otras palabras, cuando se tienen

frecuencias de excitacin cerca de la frecuencia natural, lo que controla es el amortiguamiento del sistema.

2

02

estm

PY

wb=

n

0est0

C

P

2

YY

wz==

17

La excitacin de algunos sistemas se puede simplificar a una funcin lineal de la forma la cual se puede observar en la Figura 4:

Ahora, la ecuacin que rige el movimiento para ste caso queda de la forma:

Organizando la ecuacin 54, se tiene:

La solucin homognea de sta ecuacin es la respuesta a vibracin libre, que es de la forma:

Ahora, la solucin particular es de la misma forma de la excitacin, es decir una funcin lineal:

Derivando la solucin particular (ecuacin 57) se tiene:

2.EXCITACIN DE UNA FUERZALINEALMENTE CRECIENTE

tPP 0=

Figura 4. Grfica de una fuerza linealmente creciente.

tPKYYCYm 0=++&&&

tm

PYYY nn

022 =++&&&

( )tB Cos tA Sen eY AAt-H n +=w

21 GtGYP +=

54

55

56

57

18

Reemplazando las derivadas en la ecuacin 55, se tiene:

Organizando:

Separando los trminos con t:

Por tanto:

Ahora separando los trminos independientes:

Reemplazando en la ecuacin 64 el valor de G :1

Por tanto:

Reemplazando lo valores de las constantes G1 y G2 en la ecuacin 57, se tiene:

1GYP =&

0=PY&&

( )tm

PGtGG nn

021

2

120 =+++

tm

PGtGG nnn

02

2

1

2

120 =+++

58

59

60

61

m

P G n

01

2 =

2

01

nm

PG =

02 22

1 =+GG nn

62

63

64

02 22

2

0 =+

G

m

P n

n

n

m

PG

n

3

02

2-=

3

0

2

0 2

nn

Pm

Pt-

m

PY =

65

66

67

19

Organizando la ecuacin 67:

Ahora, la solucin total del sistema es:

Las constantes A y B de la ecuacin 70 dependen de las condiciones iniciales del sistema, de esta manera para condiciones iniciales cero ( ) la ecuacin 70 queda:

Para

Para

Derivando la ecuacin 70:

Reemplazando la condicin, cuando

=

nn

P

t-

m

PY

22

0 68

PH YYY +=

( )

++=

nn

AA

t-

t-

m

PtB Cos tA Sen eY(t) n

22

0w

69

70

000 ==)(Y)Y( &

00 =)Y(

() 0200102

0 =

-++=

nn

m

PB )Y( 71

02

3

0 =nm

PB-

3

02

nm

PB =

72

73

00 =)(Y&

( )( )2

0

n

AAAA

t-

AA

t-

nm

Pt Sen t-B Cos AetB Cos tA Sen e-Y nn +++= www&

74

00 =)(Y&

20

Organizando:

Reemplazando el valor obtenido para B en la ecuacin 76:

Organizando:

Despejando para A:

Organizando los trminos de la ecuacin 79:

Reemplazando las constantes A y B en la ecuacin 70 queda:

La ecuacin 81 representa el comportamiento de los desplazamientos de un sistema de un grado de libertad cuando es excitado mediante una carga con una funcin lineal.

()( ) 00002

0 =+-++=n

Anm

PAB-)(Y w& 75

02

0 =++-n

Anm

PA B 76

02

2

0

3

0 =++

-

n

A

n

nm

PA

m

P

02

2

0

3

0 =++-n

A

n m

PA

m

P

77

78

Ann m

P

m

PA

122

0

3

0

2

-=

-= 1

2 2

2

0

nAn

m

PA

79

80

+

+

-=

nn

A

n

A

nAn

t-

t-

m

PtCos

m

PtSen

m

PeY(t) n

221

22

0

3

0

2

2

0w 81

21

Como ltimo caso se estudiara la excitacin de un sistema de un grado de libertad sometido a una carga tipo escaln, como se muestra la Figura 5.

La ecuacin de movimiento queda:

Sabiendo que por lo tanto la solucin particular es de la forma:

Derivando para obtener el valor de G:

Reemplazando estos valores en la ecuacin 83:

3.EXCITACIN DE UNA FUERZAESCALN O CONSTANTE

Figura 5. Comportamiento de una fuerza constante o tipo escaln

m

PYYY nn

022 =++&&&

GYP =

cGYY nn =++22 &&&

82

83

GYP =

0=PY&

0=PY&&

84

85

86

22

Por tanto:

Entonces:

De esta manera la solucin total del sistema ser:

Colocando la ecuacin 91 en funcin de condiciones iniciales cero:

Para , se tiene:

Despejando, se tiene que:

Para y, derivando la ecuacin 91 se tiene:

m

PG nn

02)0(20 =++ 87

2

0

nm

PG =

2

0

n

Pm

PY =

PH YYY +=

( )2

0

n

AA

t-

m

PtB Cos tA Sen eY(t) n ++=w

88

89

90

91

0000 === )(Y)(Y)Y( &&&

00 =)Y(

() 00102

0 =++=nm

PB )Y(

2

0

nm

PB -=

00 =)(Y&

92

93

94

( )( )tSen t-B Cos AetB Cos tA Sen e-Y AAAAt-AAt-n nn www ++=&

95

23

Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene:

Reemplazando el valor obtenido para B en la ecuacin 97 se tiene:

Por tanto A es igual a:

Reemplazando las constantes A y B en la ecuacin 91, la solucin completa para el sistema que queda:

()( )00)1(0)1(0 =-++= An AB-)(Y w&

0=+- An A B

96

97

02

0 =+

-- A

n

n Am

P

00 =+An

Am

P

nAm

PA 0-=

98

99

100

m

PtCos

m

PtSen

m

PeY(t)

n

A

n

A

An

t- n2

0

2

00 +

--=w 101

24

Para muchas aplicaciones, excepto cuando el amortiguamiento es introducido de forma deliberada en el sistema, el factor de amortiguamiento es menor de 0.1. La tabla 1 muestra algunos valores sugeridos para el factor de amortiguamiento para algunos sistemas de ingeniera construidos con materiales comunes cuando vibran en el rango elstico de dichos materiales.

4.FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO (z)

Tipo de Sistema

Miembros de acero

Sistemas de acero soldado

Sistemas de acero pernados

Concreto estructural

Estructuras de madera

Factor de Amortiguamiento

0.005 - 0.01

0.01 - 0.03

0.02 - 0.07

0.01 - 0.05

0.05 - 0.12

3Tabla 1. Valores recomendados para el factor de amortiguamiento

25

Considrese la viga de acero simplemente apoyada mostrada en la Figura 6, con las propiedades mostradas en la tabla 2, para un perfil W4x13. A la viga se le aplica una carga de 50000 lb como se muestra en la Figura 6. Obtener la respuesta de la viga para las razones de amortiguamiento (z)

a. z = 0.01

b. z = 0.05

c. z = 0.20

Considere los desplazamiento de la viga solo en el plano x-y, al igual que no considerar los efectos de la fuerza cortante.

5.EJEMPLO DE APLICACIN

Figura 6. a) Viga W4x13 de anlisis, b) Comportamiento de la carga aplicada

a b

26

SOLUCIN:

Considerando la viga de la Figura 6 como un sistema de un grado de libertad, este se puede resumir en el diagrama mostrado en la Figura 7. Ahora, los valores de los desplazamientos determinados, por tanto sern para el punto medio de la viga.

Algor

A

I2

S2

I3

S3

J

Sa3

Sa2

WDENEN

GN

Valor23.83 pulg43.86 pulg31.90 pulg411.3 pulg35.46 pulg40.150 pulg

22.30 pulg21.165 pulg

30.2836 lb/pulg6 230x10 lb/pulg

0.32386.4 pulg/s

NormalAIYYSYYIXXSXXJ

gE

mg

Simbologa

4Tabla 2 Datos para la viga de perfil W4x13

Figura 7. Representacin de la viga como un sistema de un grado de libertad

27

La ecuacin que representa las deflexiones de este tipo de sistema esta dado por la ecuacin 101:

Como se puede observar en la ecuacin 102, primero es necesario determinar la 5frecuencia natural del sistema, la cual se calcula de acuerdo con la ecuacin 103 :

Por tanto:

Ahora, para reemplazar en la ecuacin 102 son necesarios los siguientes valores:

Tambin se sabe que el segundo trmino de la ecuacin 102, corresponde a la deflexin esttica de una viga simplemente apoyada con carga central el cual se puede calcular con la ecuacin:

m

PtCos

m

PtSen

m

PeY(t)

n

A

n

A

An

t- n2

0

2

00 +

--=w 102

44457.157.157.1

AL

EI

AL

gEI

wl

gEIfn rg

===

4

6

)96)(83.3)(2836.0(

)3.11)(1030)(4.386(57.1

xfn =

Hzfn 2.59=

)2.59(22 ppw==nn f

srad

n 7.371=w

103

104

105

106

107

22

nA -17.371-1 zzww ==

4.386

)9683.3(2836.0)( x

g

AL

g

Vm ===

gg

lbm 27.0=

108

109

110

28

Ahora la ecuacin 102 se puede expresar como:

Organizando la ecuacin 114:

Ahora reemplazando los valores obtenidos en la ecuacin 115, se tiene:

De la ecuacin 116 se derivan tres ecuaciones, a saber:

Para

Para

)3.11)(1030(48

9650000

48 6

33

maxx

x

EI

PLY == 111

lg71.2max puY =

71.22max==

n

o

m

PY

w

112

113

m

PtCos

m

PtSen

m

PeY(t)

n

n

n

A

n

t- n2

02

2

0

22

0 11

+

--

--= z

z

w

() () m

PtCos

m

PtSen

m

PeY(t)

n

n

n

n

n

t- n

+

-

--

-

-=

2

02

2

02

22

0 111

zzz

zw

114

115

( )( )71.217.37171.217.3711

71.2 222

7.371 +

---

--= tCos tSen eY(t) t- zz

z

z

116

01.0=z

[ ]71.268.37171.268.3710271.0717.3 +--= tCos tSen eY(t) t- 117

05.0=z

[ ]71.2235.37171.2235.3711357.0585.18 +--= tCos tSen eY(t) t- 118

29

Para

Graficando las ecuaciones 117, 118 y 119, se puede obtener el comportamiento de la viga a la carga aplicada para diferentes valores del factor de amortiguamiento, ver Figura 8:

20.0=z

119[ ]71.219.36471.219.3642041.034.74 +--= tCos tSen eY(t) t-

Figura 8. Comportamiento de las deflexiones en la viga para diferentes valoresdel factor de amortiguamiento

30

6Usando el software ALGOR , analizar el comportamiento de la viga mostrada en la Figura 9.

Considrese la viga de acero simplemente apoyada mostrada en la Figura 9, con las propiedades mostradas en la tabla 3, para un perfil W4x13. A la viga se le aplica una carga de 50000 lb como se muestra en la Figura 9. Obtener la respuesta de la viga para las razones de amortiguamiento (z)

a. z = 0.01

b. z = 0.05

c. z = 0.20

Considere los desplazamiento de la viga solo en el plano x-y, al igual que no considerar los efectos de la fuerza cortante.

6.EJERCICIO DE APLICACINCON SOFTWARE

Figura 9. a) Viga W4x13 de anlisis, b) Comportamiento de la carga aplicada

a b

31

RECOMENDACIONES

1. Determine cual es el tipo de carga que realizara la excitacin.

2. Realice el anlisis Frecuencia natural (modal) para determinar las frecuencias naturales del sistema y seleccionar la frecuencia crtica (f ), cque es la frecuencia natural que rige las vibraciones en el sistema, generalmente es la primera frecuencia natural.

3. Seleccione un paso de tiempo (Dt) que minimice las imprecisiones computacionales inherentes a la integracin del anlisis Tensin en rgimen transitorio (superposicin de modos). Como regla general se recomienda que el Dt

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5. Defina la duracin de la respuesta que se desea evaluar. Es muy importante seleccionar una duracin adecuada del tiempo de aplicacin de la carga, ya que esto permitir ver o no el efecto de amortiguamiento en el sistema. Para sistemas con amortiguamiento ligero (0.0 < z < 0.05) el anlisis puede tener una duracin aproximada de 10T , donde T es el primer periodo 1 1fundamental. Para factores de amortiguamiento mayores el tiempo puede estar entre 5T y 8T .1 1

En este punto se realizara la geometra de la viga y se determinaran las frecuencias naturales del sistema utilizando el anlisis: Lineal \Frecuencia natural (modal)

Paso 1:Arrancando ALGOR

Inicie el programa desde el men de inicio, Figura 10.

Seleccione la opcin de New lado izquierdo del cuadro de Figura 11, para un nuevo anlisis. Tambin seleccione el tipo de anlisis a realizar en la pestaa de Choose anlisis type, seleccione la opcin de Lineal \Frecuencia Natural (modal), Figura 11.

Dar nombre del nuevo anlisis a realizar, Figura 12.

SOLUCIN

6.1. CREACIN DE LA GEOMETRA Y DETERMINACIN DE LAS FRECUENCIAS

Figura 10. Inicio de ALGOR

33

Paso 2:Definicin de la geometra

Seleccione el sketch de trabajo, dando click derecho en Plane , Figura 13.

Seleccione el comando para crear lnea Create Lines, ver Figura 14.

Quitar la opcin de Use As Construction, del cuadro Definir Geometra, debe quedar como se muestra en la Figura 15.

Dar la primera coordenada de la viga. X=0, Y=0, Z=0, despus de dar la coordenada en Z, dar la tecla Intro para que asuma la coordenada (Figura 15).

Dar la segunda coordenada de la viga. X=96, Y=0, Z=0, despus de dar la coordenada en Z, dar la tecla Intro para que asuma la coordenada (Figura 16).

Figura 11. Seleccin del tipo de anlisis

Figura 12. Ventana para dar el nombre al anlisis a realizar

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Cerrar el cuadro de Definir Geometra

Dar el comando de centrar en la pantalla Enclose, ver Figura 17.

Cerrar el sketch de trabajo, dando nuevamente click derecho sobre Plane (Figura 18)

Seleccionar los comandos Point select y Seleccionar lneas, Figura 19.

Picar sobre la lnea creada, debe quedar como se muestra en la Figura 20.

Dar click derecho sobre la pantalla de trabajo y seleccionar la opcin de Dividir. (ver Figura 21)

Dar como numero de divisiones 8, y dar aceptar, ver Figura 22. Esto divide la lnea en 8 tramos, los cuales son necesarios, debido a que es necesaria informacin fuera de los dos nodos externos y tambin la carga debe ser aplicada a un nodo intermedio. Como este sistema se va a modelar como un elemento tipo viga, se debe dividir para obtener informacin en nodos intermedios, fuera de los dos nodos externos.

Para visualizar los nodos intermedios, dar el Comando Toggle Enpoint Vertices (Figura 23), lo cual visualizara la viga como se muestra en la Figura 24.

Figura 13. Seleccin del sketch de trabajo

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Figura 14. Seleccin de comando para crear lnea

Figura 15. Primera coordenada de la viga

Figura 16. Segunda coordenada de la viga

Figura 17. Comando de Enclose

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Figura 18. Cerrando el sketch de trabajo

Figura 19. Comandos Point select y Seleccionar lneas

Figura 20. Seleccin de la lnea que representa la viga

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Figura 21. Comando Dividir.

Figura 22. Definicin del nmero de divisiones

Figura 23. Comando Toggle Enpoint Vertices

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Paso 3:Definicin de las condiciones de frontera y los parmetros del anlisis.

Defina el tipo de elemento, dando click derecho en Tipo de elemento (ver Figura 25). Seleccione como tipo de elemento Viga.

Defina Element Definition, dando click derecho sobre ste. Dar Modificar definicin del elemento.. (Figura 26), esto activara el cuadro mostrado en la Figura 27.

Colocar el cursor dentro del cuadro desplegado en la Figura 27, para que active la opcin Biblioteca de perfiles

Picar en el botn de Biblioteca de perfiles, lo cual activara el cuadro mostrado en la Figura 28.

En la ventana de Cross Section Libraries, seleccinese el perfil definido para la viga, W4x13, como se muestra en la Figura 29. Luego dar Aceptar y Aceptar

Defina el tipo de material de la viga, dando click derecho sobre Material, Modificar Material, (Figura 30). Lo anterior despliega la librera de materiales (Figura 31).

Seleccionar el material de la viga, un acero AST A-36 como se muestra en la Figura 32. Luego dar Aceptar

Activar los comandos Point select y Seleccionar vrtices como se muestra en la Figura 33.

Picar en el nodo izquierdo de la viga, el cual se debe visualizar como se muestra en la Figura 34.

Figura 24. Visualizacin de los vrtices

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Dar click derecho en la pantalla de trabajo y seleccionar el comando Aadir, Nodal Boundary Conditions. (ver Figura 35). Esto desplegara el cuadro mostrado en la Figura 36.

Las restricciones deben quedar como se muestra en la Figura 37, despus dar Aceptar.

Picar en el nodo derecho de la viga.

Dar click derecho en la pantalla de trabajo y seleccionar el comando Aadir, Nodal Boundary Conditions. (ver Figura 35). Esto desplegara el cuadro mostrado en la Figura 36.

Las restricciones para este nodo deben quedar como se muestra en la Figura 38. Luego dar Aceptar.

Figura 25. Definicin del tipo de elemento

Figura 26. Modificar definicin del elemento

40

Figura 27. Cuadro de definicin del elemento

Figura 28. Librera de perfiles

Figura 29. Seleccin del perfil de la viga

41

Figura 30. Definicin del material

Figura 31. Ventana de librera de materiales

42

Figura 32. Seleccin del material

Figura 33. Comandos Point Select y Seleccionar vrtices

Figura 34. Seleccin del vrtice izquierdo

43

Figura 35. Definicin de las condiciones de frontera para el nodo izquierdo

Figura 36. Cuadro para definir las restricciones nodales

Figura 37. Restricciones en el nodo izquierdo de la viga

44

Paso 4:Parmetros del anlisis

Dar click derecho sobre Analysis Type, Modificar parmetros del anlisis (Figura 39). Lo anterior desplegara el cuadro mostrado en la Figura 40.

En la parte resaltada en la Figura 40, se coloca el nmero de frecuencias que se desean sean calculadas por el software. Para este caso es suficiente con las primeras cinco (5) frecuencias naturales.

Dar Aceptar

Figura 38. Restricciones del nodo derecho de la viga

Figura 39. Comando Analysis Type, Modificar parmetros del anlisis

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Paso 5:Realizar anlisis

El anlisis se realiza mediante la activacin del comando Perform Analysis, ver Figura 41.

Mientras en anlisis se esta realizando, se muestra el cuadro de la Figura 42.

Figura 40. Cuadro de Parmetros del Anlisis

Figura 2. Viga simplemente apoyada con una carga cualquiera

46

Paso 6: Visualizacin de resultados

Una vez el programa termina exitosamente, lanza los resultados al visualizador de resultados (Figura 43)

El modelo aparece inmediatamente y en la parte inferior izquierda aparece la primera frecuencia natura con su forma modal respectiva (Figura 44).

Si se desea ver el resto de las frecuencias naturales y formas nodales, se debe utilizar el comando mostrado en la Figura 45.

Para obtener las frecuencias a manera de datos, picar en la pestaa de Informe, parte inferior izquierda de la pantalla.

Lo anterior desplegara el informe que genera ALGOR, por lo tanto de debe picar en Frecuencias (Figura 46), lo cual mostrara las cinco (5) primeras frecuencias naturales calculas en rad/s.

Figura 42. Cuadro de ejecucin del anlisis

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Figura 43. Visualizador de resultados

Figura 44. Primera frecuencia natura

Figura 45. Comando para visualizacin de otras frecuencias

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Paso 7:Definir nuevo escenario de diseo

Regresar al Editor FEA, picando en la pestaa en la parte inferior izquierda.

Dar click derecho sobre Analyisis Type y seleccionar Fijar tipo de anlisis actual, Lineal, Tensin en rgimen transitorio (superposicin de modos) (Figura 47). Lo anterior despliega el cuadro mostrado en la Figura 48.

El cuadro de la Figura 48 pregunta: Desea usted que los datos se copien en un nuevo escenario de diseo o desea continuar en el actual. Yes para un nuevo escenario, No para el escenario actual y Cancel para abortar la operacin. A esta pregunta dar Yes.

Figura 46. Valores de las primeras cinco (5) frecuencias naturales

6.2. RESPUESTA DEL SISTEMA A LA CARGA DE EXCITACIN

49

Lo anterior crea un nuevo escenario de diseo Design Scenario 2 (ver Figura 49) en el cual se realiza el nuevo anlisis, pero con la informacin de Design Scenario 1 o anlisis anterior. En el Design Scenario 1 conserva todos los datos y resultados del anlisis de las frecuencias naturales.

Figura 47. Seleccin del tipo de anlisis

Figura 48. Confirmacin de realizar un nuevo anlisis

Figura 49. Definicin de un nuevo escenario de diseo

50

Paso 8:Definir los parmetros de diseo para este nuevo escenario

Dar click derecho sobre Analysis Type y seleccionar la opcin Modificar parmetros de anlisis (Figura 50).

Lo anterior desplegara el cuadro de la Figura 51 y 52, donde la explicacin de cada uno de sus casillas es:

1. Nmero de pasos temporales: corresponde a la cantidad de pasos que se desean se calculen en el anlisis. Este valor se puede calcular a partir del tiempo mnimo de anlisis y del tamao del paso temporal que se desea, se recomienda que como mnimo el tiempo de anlisis sea de

10Tn=10(1/fn)=10(1/(2pw)), para este caso , por tanto 10Tn= n0.17s. Ahora se recomienda que Dt

51

8. Curva de carga: En este comando se define el tipo de curva usada para la carga, el cual se explica en mayor detalle del numeral 15 en adelante.

9. Factor de amortiguamiento: En esta casilla se incluye el factor de amortiguamiento usado para el anlisis, para este caso en particular se realizara un primer anlisis con un factor de 0.01, luego con 0.05 y finalmente con 0.2.

10. Use modal results from design scenario: Aqu se coloca el nmero del escenario de diseo que contiene los resultados de las frecuencias naturales. Para este caso uno (1)

11. Aadir fila: Se utiliza en el caso de que se trabajen varios casos de carga o las cargas aplicadas sean varias.

12. Eliminar Fila: Sirve para eliminar un caso de carga que no se desee analizar.

13. Instante activacin: Sirve par definir en que tiempo se activara la carga aplicada, en algunos es diferente puede ser diferente de cero (0). Para este caso la carga inicia su aplicacin inmediatamente comienza el anlisis, por tanto el valor asignado a esta casilla es cero (0).

14. Ordenar: Sirve para ordenar los casos de carga.

15. Lineal por tramos: Cuando la carga es de este tipo se debe elegir esta opcin.

16. Sinusoidal: Cuando la carga es de este tipo se debe elegir esta opcin.

17. En estas casillas se definen los mximos y los mnimos en el eje de tiempo y factor.

18. Nuevo: Sirve para agregar una nueva curva de carga.

19. Cancelacin: Inactiva una curva de carga no deseada en el anlisis.

20. Cuadro para incluir los datos que define la curva de carga respectiva.

Para este anlisis (para un factor de amortiguamiento de 0.01) los datos deben quedar como se muestran en las Figuras 54 y 55.

Una vez dados todos datos iniciar el anlisis, dando el comando Perform Analysis (Figura 56).

Mientras el anlisis se este ejecutando aparecer la ventana mostrada en la Figura 57.

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Figura 50. Comando Modificar parmetros del anlisis

Figura 51. Ventana de Parmetros del Anlisis

Figura 52. Ventana de Parmetros del Anlisis

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Figura 53. Ventana para definir la curva de carga

Figura 54. Ventana para asignar los parmetros del anlisis

Figura 55. Ventana para incluir los datos de curva de carga

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Paso 9:Visualizacin de resultados

Una vez termina el anlisis la pantalla de trabajo muestra los desplazamientos para el tiempo 0.001s (ver Figura 58)

Para visualizar el comportamiento de los desplazamientos con respecto al tiempo, desplegar la opcin marcada en la Figura 59, hasta que aparezca la opcin Displacement Magnitude y picar sobre sta.

Figura 56. Comando Perform Analysis

Figura 57. Ventana de ejecucin del anlisis

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La opcin anterior mostrara un grafico de desplazamientos versus el tiempo (Figura 60). En la parte superior izquierda del grafico aparece Absolute Value (5) (in), el 5 corresponde a el nodo donde deseo ver los desplazamientos, que para este caso es el centro de la viga (nodo 5) y, in, corresponde a las unidades de los desplazamientos.

Si por alguna razn aparece un nmero de nodo diferente, dar click derecho sobre Displacement Magnitude y elegir la opcin Editar. (ver Figura 61).

Lo anterior desplegara el cuadro de la Figura 62 y en la casilla de Nodos, colocar el nmero de nodo para el cual desea los desplazamientos.

Sise desea ver los desplazamientos nuevamente en la opcin de colores, picar en la opcin Desplazamiento, como se muestra en la Figura 63.

Para visualizar los nmeros de los nodos, dar el comando Opciones de Visualizacin, Mostrar nmeros de nodos.

Figura 58. Visualizacin de los resultados

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Figura 59. Opcin para activar los grficos

Figura 60. Grfico de desplazamientos versus el tiempo

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Figura 61. Comando Editar para las curvas

Figura 62. Cuadro para seleccin de nodos

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Figura 63. Comando de desplazamientos

Figura 64. Comando Mostrar nmeros de nodo

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Paso 10:Anlisis del mismo sistema con factores de amortiguamiento de 0.05 y 0.2

Regresar al Editor FEA

Dar click derecho sobre 2, elegir la opcin de Copiar (Figura 65). Esta opcin copia exactamente el escenario de diseo y crea uno nuevo 3 (ver Figura 66)

Ya en un nuevo escenario de diseo, solamente es cambiar el valor del factor de amortiguamiento en Analysis Type, Modificar parmetros del anlisis (Figura 67).

El factor de amortiguamiento se cambia en su respectiva casilla, ver Figura 68.

Una vez cambiado el factor de amortiguamiento dar Aceptar y realizar el anlisis respectivo.

Para el siguiente factor de amortiguamiento (0.2), repetir todo el procedimiento descrito en este paso.

Figura 65. Opcin para copiar un escenario de diseo

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Figura 66. Creacin de un nuevo escenario de diseo

Figura 67. Comando Analysis Type, Modificar parmetros del anlisis..

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Paso 10:salir de ALGOR

Para salir de ALGOR, dar el comando Archivo y Salir

Figura 68. Cuadro de Parmetros del anlisis..

La viga mostrada en la Figura 69 es de acero ASTM A-36 y un perfil HP 8x36, se desea determinar la respuesta vibratoria (desplazamientos versus tiempo) del nodo E, cuando sobre ste se aplica una carga lineal creciente, desde cero hasta 4000lb. Realizar el anlisis analtico del sistema y comprelo con los resultados obtenidos mediante ALGOR.

El marco mostrado en la Figura 70 es de un acero estructural ASTM A-36, del cual las columnas (elementos 1, 4 y 5) son de un perfil W8x10 y las vigas (elementos 2 y 3) son de un perfil W12x14. Se desea determinar la respuesta vibratoria (desplazamientos

7.EJERCICIO PROPUESTO

7.1. EJERCICIO PROPUESTO 1

Figura 69. Viga para Ejercicio Propuesto 1

7.2. EJERCICIO PROPUESTO 2

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versus tiempo) debido a una carga sinusoidal de amplitud 10.000 lb y una frecuencia de 120hertz, aplicada horizontalmente como se muestra en la Figura 70. Use para el anlisis el software ALGOR.

Figura 70. Marco estructural de anlisis, para el Ejercicio Propuesto 2

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Referencias Bibliogrficas

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