Vibracoes

“Índice” Página: I

Facultad de Ciencias y TecnologíaIngeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

VIBRACIONES MECÁNICAS

Detalles Pág.

INTRODUCCIÓN..................................................................................... 1

Vibración libre.......................................................................................................................... 1

Vibración forzada..................................................................................................................... 1

Ecuación del movimiento......................................................................................................... 2

Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2

Frecuencia natural.................................................................................................................... 2

Frecuencia natural amortiguada............................................................................................... 2

I. VIBRACIÓN LIBRE.............................................................................. 3

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3

Movimiento armónico.............................................................................................................. 4

Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5

Péndulo simple......................................................................................................................... 11

Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................ 13

Combinación de resortes.......................................................................................................... 16

En paralelo................................................................................................................................ 16

En serie..................................................................................................................................... 18

Método de la energía................................................................................................................ 24

Método Newton........................................................................................................................ 27

Método de Rayleigh................................................................................................................. 28

Vibración forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46

Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 47

Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... 48

Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50

“Índice” Página: II


Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

II. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO................ 60

Excitación indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logarítmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

III. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD............................. 85

Coordenadas principales........................................................................................................... 87

Modo normal de vibración....................................................................................................... 87

Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98

Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99

Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100

Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101

Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 102

Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103

Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109

Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113

Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115


Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

IV. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.......................... 122

Introducción.............................................................................................................................. 122

“Índice” Página: III




Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125

Coeficientes de influencia........................................................................................................ 136

V. VIBRACIÓN TORSIONAL.................................................................. 143

Péndulo de torsión.................................................................................................................... 143

Vibración torsional................................................................................................................... 147

Método Holzer.......................................................................................................................... 149

Método Holzer para vibración torsional................................................................................... 152

Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

VI. VELOCIDADES CRÍTICAS EN ROTORES...................................... 161

Introducción.............................................................................................................................. 161

Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.......................................................... 161

Balanceo de rotores.................................................................................................................. 164

Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164

Equilibrado............................................................................................................................... 164

Causas de desequilibrio............................................................................................................ 164

Balanceo en un plano............................................................................................................... 165

Método vectorial de balanceo en un plano............................................................................... 166

Tipos de desequilibrio.............................................................................................................. 167

Estático..................................................................................................................................... 167

Por par de fuerzas..................................................................................................................... 167

Dinámico.................................................................................................................................. 168

Cuasi estático............................................................................................................................ 168

Balanceo en dos planos............................................................................................................ 168

“Índice” Página: IV


VII. VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS..................................... 170

Vibración longitudinal de barras.............................................................................................. 170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................ 174

Vibración transversal de vigas................................................................................................. 178

“Introducción” Página: 1


INTRODUCCIÓN.

Detalles Pág.

Vibración libre.......................................................................................................................... 1

Vibración forzada..................................................................................................................... 1


Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2

Frecuencia natural.................................................................................................................... 2

Frecuencia natural amortiguada............................................................................................... 2

Todo sistema que posee masa y tiene elasticidad, está capacitados para tener movimiento

vibratorio.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las

fuerzas asociadas con ellos.

La vibración, en general es una forma de energía disipada y en muchos casos es inconveniente,

especialmente en maquinarias; ya que debido a las vibraciones se producen ruidos, se transmiten

fuerzas y movimientos no deseados.

Vibración libre.

Es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo,

es decir, cuando no actúa ninguna fuerza externa. El sistema bajo vibración libre vibrará a una o

más de sus frecuencias naturales que son propiedades del sistema dinámico que dependen de su

distribución de masa y de rigidez.

Vibración forzada.

Es la que ocurre cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Cuando la

excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta

coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia

y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.

“Introducción” Página: 2


Ecuación del movimiento.

Para poder eliminar todos los efectos perjudiciales, es necesario hacer un estudio completo de la

ecuación del movimiento del sistema en cuestión.

Este sistema es idealizado y simplificado en términos de masa, resorte y amortiguador, los cuales

representan a la masa, elasticidad y la fricción respectivamente.

Entonces la ecuación del movimiento expresa el desplazamiento como una función del tiempo.

Periodo y frecuencia.

En los casos de las vibraciones “Rectilíneo” y “Torsional”, El PERIODO es el tiempo necesario

para que un movimiento periódico se repita.

La FRECUENCIA es el número de ciclos por unidad de tiempo. Además se puede decir que es el

inverso del periodo.

Frecuencia natural.

Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción o amortiguación.

Frecuencia natural amortiguada.

Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre con fricción.

En una vibración forzada, cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la

frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se

produce una situación de RESONANCIA que es peligrosa.

La falla de estructuras como puentes, edificios o alas de aviones es una horrible posibilidad bajo

resonancia. Es por eso, que el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el

estudio de las vibraciones.

“Vibración Libre” Página: 3


VIBRACIÓN LIBRE

Detalles Pág.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3

Movimiento armónico.............................................................................................................. 4

Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5

Péndulo simple......................................................................................................................... 11

Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................ 13

Combinación de resortes.......................................................................................................... 16

En paralelo................................................................................................................................ 16

En serie..................................................................................................................................... 18

Método de la energía................................................................................................................ 24

Método Newton........................................................................................................................ 27

Método de Rayleigh................................................................................................................. 28

Vibración forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46


Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... 48

Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50

Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido

a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por

completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de

un solo grado de libertad.

Por Ej.:



Movimiento armónico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un

balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos

sísmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “” es

el periodo de oscilación.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación:

x(t) = x(t + )

El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento

puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se

desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una

fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la

luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la película

puede representarse por medio de la ecuación:

tAsenx 2

Donde :

A = Amplitud de oscilación, medida desde

su posición de equilibrio.

= Periodo y se repite cuando t

m

K c

x F

se

nw

t0

J

K

m

x

K

m

K

t

xA



Ecuación del movimiento – frecuencia natural.

El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable

la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya

que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.

Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una

propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posición del equilibrio estático:

mgK (1)

Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son:

En el resorte xK

Debido al peso mgW

Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y

aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo.

xmxKmg

xmKxKmg

Según (1) mgK

xmKxKgm

Por tanto: 0Kxxm (2)

m

K

m

mx

0,71

K

mg

mg

K(G + x)

Posición de

Equilibrio estáticoesforzada

Posición no

x x



Note que el hecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida

“x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad mgW y a la fuerza estática del resorte

KF de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente

debida al desplazamiento “x”.

0Kxxm m

0xm

Kx (3)

La frecuencia natural circular 2n será:

m

K2n

La ecuación (3) queda por tanto:

0xx 2n (4)

El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se

caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que tcos,tsen satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares.

La solución a esta ecuación es de la forma:

stex (5)

Derivando dos veces:

stsex (6)

st2esx (7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

0ees st2st2

0se 22st

is0s 22

Como: ti2

ti1 eses son soluciones linealmente independientes

Entonces ti22

ti11 eCseCs también son soluciones

Y también será: ti2

ti1 eCeCx (8)



Pero: tsenitcose ti (9)

tsenitcose ti (10)

(9) y (10) en (8)

tsenitcosCtsenitcosCx 21

tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211

tcosCCtseniCiCxB

21

A

21

tcosBtsenAx (11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

0tp

0xx Condiciones de contorno

0tp 0xx o Condiciones iniciales

Derivando (11)

tsenBtAx cos (12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B

En (11) 00 0cos0 xBBAsenx

En (12)

00 00cos

xAsenBAx

Reemplazando las cts. A y B en (11)

txtsenx

x

cos00

Donde m

K frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilación es:

t

pero: t2

Por tanto: 2

2 o también: K

m 2

La frecuencia natural: ff n



1

f

Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática ya que:

mg

KmgK

Reemplazando en estas últimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular:

g

m

mg

* Periodo natural: g

2

2

* Frecuencia natural: g

ff2

11

La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

ttsen cos por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir:

tBtAsenx cos (a)

tsenBtAx cos (b)

tBtsenAx cos22 (c)

(a) y (c) en (4)

0coscos2

2222 xx

tBtAsentBtsenA

Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a)

Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución

general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

mK

f21

t

Xm

x

t

Xm

wt wt

B

P

A

O



Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden

escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma

de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx

El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento

de un punto “Q” que describe un círculo de radio mx con una velocidad angular constante “ ”.

Representando por “ ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:

tOQsenOP

Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración.

tsenxx m

txx m cos

tsenxx m2

Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine

su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia

natural.

m

N3.153

m1

mm1000

mm

N1533.0K

a) Frecuencia natural Kg25.0

mN3.153

2

1

m

K

2

1f

Hz

seg

ciclos94.3f

b) La deflexión estática mgK 3.153

81.925.0

K

mg m016.0

mm981.15m015981.0

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa

despreciable.

Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga).



LxPPLPxdx

ydEI

2

2

12 CLx

2

P

dx

dyEI

213 CxCLx

6

PEIy

Por condiciones de contorno:

0x

P y = 0

2

3

C6

LP0

3

2 PL6

1C

0x

P 0

dx

dy 1

2 CLP2

10 2

1 PL2

1C

Por tanto la deformación es: 323 PL6

1xPL

2

1LxP

6

1EIy

La deformación máxima ocurre en x = L

33 PL6

1PL

2

10EI

EI3

PL3

Como KP siendo la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a:

3L

EI3PK

Se sabe que la frecuencia natural circular es: m

K

2

1f

Entonces. mL

EI3

2

1f

3

3mL

EI3

2

1f

m

y

LM

P

x

M = PL



1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la

frecuencia de la masa.

Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m)

viene dada por:

EI192

PLy

3

Adecuando a nuestro caso:

y

PK

3L

EI192K

Se sabe que la frecuencia natural está dada por:

m

K

Entonces: m

L

IE192

3

Péndulo simple.

3mL

EI192

seg

Rad

m y

L

T

mg

mg

Ft

FN

Tm



El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un

hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable.

Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “ m ”y luego liberada, el

péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio

“L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ tF ”que es la componente del peso “W” en la

dirección tangencial.

Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “ ” con la vertical y el sistema de

fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

tmasenmg

Donde Rat

2

2

dt

dnangularaceleració

Radio de la curva R L

Entonces: mLsenmg

Lseng

0sengL

0senL

g

Comparando con la ecuación del M.A.S.

0x

m

Kx se ve que el movimiento del péndulo no

es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña:

sen (En radianes)

Luego puede escribirse:

0L

g (Solución aproximada)

Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por:



L

g

L

g2

Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones.

Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS):

2

t

g

L2

Ejm. Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la

longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo está dado por: g

L2

Despejando: 2

222

4

gL

g

L4

Trabajando en [pies]

Péndulo compuesto o péndulo físico.

Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente

alrededor de un punto en suspensión que es su

centroide, constituye un péndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rígido,

constituyen otros tantos péndulos simples que si

están a diferentes distancias del eje de giro

tendrían que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un péndulo físico, este se

mueve con un periodo propio de oscilación

.lgP78.9L

L

T

mg

b

Ox



Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del

momento de su peso “W” respecto al eje.

mgbM

pero senLb

senmgLM

senmgldt

dI

2

2

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación I= 2mr

Radio de giro r

Aceleración angular

2

2

dt

d

Para oscilaciones pequeñas sen [Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

0mglI I

0I

mgl como 2mrI

0r

gL0

mr

mgl22

(2)

Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio

del péndulo físico es M.A.S. siendo:

2

2

r

gL Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilación es:

Ejm. Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto

medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación.

gL

r 2

2



IM

Isen2

Lmg

Para oscilaciones pequeñas:

sen

0mgL2

1I (1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro

De tablas se tiene que:

22

x cbm12

1I

El momento respecto al eje X es:

222x L2m

12

1LLm

12

1I

2x mL

6

1I

En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER

2xx mdII

22x

22

x mL4

1mL

6

1I

2

LmmL

6

1I

2x mL

12

5I (2)

Reemplazando (2) en (1)

G

L

L G

mg

L/2x'

G

y

x

x'

c

b



0mgL2

1mL

12

5 2

0gL6

5

0L5

g6

Combinación de resortes.

Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo

de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las características son:

- Todos los resortes tienen la misma deformación

L5

g6

K1 K2 K3

m

P1 P2 P3

P



321 (1)

- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes 0Fv ; es decir:

.....PPPP 321 (2)

- Se sabe que: KP adecuando a (2) según (1) se tiene:

.....KKKK 321eq

n

1ii321eq K.....KKKK

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura también representa un sistema en paralelo.

- Considerando la masa “m” descompuesta en dos partes “ 1m ” y

“ 2m ” tales que

21 mmm (1)

- Sean las frecuencias naturales de cada una:

1

121 m

K

2

222 m

K (2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.

Por tanto:

222

21 (3)

(2) en (3) 2

2

1

1eq

m

K

m

K

m

K

mK

Km

eq

11 (4)

mK

Km

eq

22 (5)

(4) y (5) en (1) mK

Km

K

Km

eq

2

eq

1

m

K eq

21eq KKK

K2

m

K1

m1m2



En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Características:

- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de

los resortes; es decir:

.....PPPP 321 (1)

- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

.....321 (2)

Pero: K

PKP

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

.....K

P

K

P

K

P

K

P

321eq

P

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibración del bloque, si sabe que los resortes están

inicialmente comprimidos.

n

1i i321eq K

1......

K

1

K

1

K

1

K

1

K1

K2

m

K3

m

K

KK

K



rR

C

R

mg

Por la figura, se puede decir que el sistema está en paralelo, por tanto:

KKKKK eq

K4K eq

Luego la figura se reduce a :

xmKx4

0xm

K4x0Kx4xm

donde: m

K42 pero f2

2m

K4

2f

Ejercicios:

1. Un disco homogéneo semi-circular de radio “r” y masa “m” está pivotado en su centro y gira

libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilación para desplazamientos

pequeños.

IM

IsenmgR

Para oscilaciones pequeñas: sen

m

K1f

m

m

x

Kx

x



K

rxm

mg

Grr

A

To+

0mgRI I

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0I

mgR

Extrayendo de tablas: 3

r4R 2mr

2

1I

Reemplazando: 0mr

2

13

r4mg

2

0r3

g8

2. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte de constante “K” [lb/Plg]

y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

D.C.L. para la posición de equilibrio estático:

0Fv 0mgTK 0

0M A 0mgrrK2 (1)

r3

g8

seg

Rad



D.C.L. para un desplazamiento x:

AImgrxrK2

2G mrImgrrKx2rK2

Donde: 2G mr

2

1I Para un cilindro

Según (1)

22 mrmr

2

1mgrrKx2rK2

2mr2

3rKx2

Ordenando 0r2rK2mr2

3 2 (2)

0Kr8mr3 22

0m3

K80K8m3

3. Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical.

Determine la frecuencia natural de la masa “m”.

En la posición que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformación 0x , por tanto en su

equilibrio estático:

m3

K8

mg

K

Gr

+

rA

FRx

KO

m

3/4L 1/4L



0M 0

LKx4

1mgL

4

30 (1)

Cuando se desplaza un “x”, la sumatoria de momentos será:

IM 0

IL4

1xxKL

4

3mg 0

Pero 2mrI

Donde L4

3r

2

0 L4

3mKLx

4

1KLx

4

1mgL

4

3

(2)

Según (1) queda:

2mL16

9KLx

4

1 (3)

Pero rx donde en este caso L4

1xL

4

1r

(4) en (3)

2mL16

9L

4

1KL

4

1

0KL16

1mL

16

9 22

2L

16

0Km9

0m9

K

3/4L 1/4L

mgK (xo + x)

O



seg

rad

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.

Determine el periodo natural de vibración.

Inicialmente para estar en esa posición, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio estático:

0M 2.0mgK1.0 (1)

Si se desplaza un cierto ángulo o distancia x

IM I1.0xK2.0mg

2mL1.0Kx1.0K2.0mg

Según (1)

0Kx1.04002.0m 2

Pero 1.0x

01.04001.052.0 2

042.0 2.0

m9

K

200 mm.

100

mm

.

K = 400 N/m.

5 Kg.C

A

B

mg

0.2 m.

0.1 m.0.2 m.

mg

0.1 m.

K K( + x)



22

seg

rad20020

22

20

2

Método de la energía.

El movimiento armónico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y

elásticas de restauración que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservación de la energía puede usarse para determinar la ecuación diferencial de

movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energía total es parte cinética y parte potencial.

La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la

energía potencial “V” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo

realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energía total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

.ctteVT

0VTdt

d

Como el interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

2211 VTVT

Donde (1) es el instante en que la masa está pasando por su posición de equilibrio estático(por

seg4.1



tanto 0V1 ) (Ya que el N. R. Está ahí).

Sea (2) el instante en que ocurre el máximo desplazamiento de la masa 0T2

21 V00T

Sin embargo, si el sistema está experimentando un movimiento armónico, 1T y 2V son valores

máximos y por tanto:

maxmax VT

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se

desplaza una cantidad arbitraria “x” desde su posición de equilibrio.

La energía cinética es: 2xm2

1T

La energía potencial es: 2Kx2

1V

Según la conservación de la energía .ctteVT

.ctteKx2

1xm

2

1 22

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuación respecto a “t”:

0xKxxxm Factorizando x

0Kxxmx

0Kxxm

0xm

Kx

m

K2

Km



Si se escribe la ecuación de energía para “Un sistema de cuerpos conectados”, también puede

determinarse la frecuencia natural o ecuación del movimiento por medio de la derivación.

(Este método permite determinar “Directamente” la frecuencia circular “ ”)

Procedimiento para el análisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequeña distancia “x” desde la posición

de equilibrio estático. (L. R.)

2. Formule la ecuación de energía para el cuerpo .ctteVT , recordando que la energía

cinética es para traslación y rotación, es decir: 2G

2G I

2

1xm

2

1T y la energía potencial es:

eg VVV (Gravitacional y elástica).

3. Se procede a la derivación y se factoriza los términos comunes.

4. La ecuación resultante representa la ecuación del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro sólido homogéneo de masa “m” se sujeta por medio de un resorte de constante

“K” lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la

frecuencia es: m3

K2

seg

rad.

Por el método energético

2G

2G I

2

1mV

2

1T

Pero rVG ; 2G mr

2

1I ;

Kx

mr



Por tanto: 222mr

2

1

2

1rm

2

1T

2222 mr4

1mr

2

1T (1)

La energía potencial

2e Kx

2

1V Pero: rx

22e Kr

2

1V (2)

0VTdt

d

0Krmr2

1mr 222

0Km2

1m

0Km2

3

m

2

3

0m3

K2

Método Newton:

ESTÁTICA DINÁMICA

m3

K2

mg

A

K+ +

K ( + x)

A

mg



Estática:

0M A 0rKrsenmg (1)

Dinámica:

AA IM

22 mrmr2

1rxKrsenmg

2mr2

3KxrrKrsenmg (2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

0Kxrmr2

3 2

Como no existe deslizamiento

rx

0Krmr2

3 22

m3

2

0m3

K2

Método de Rayleigh:

El método de energía, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,

siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas están unidas por conectores rígidos, palancas o engranajes, el

movimiento de las diferentes masas puede expresarse en términos del movimiento “x” de algún

punto específico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energía cinética puede escribirse como:

2ef xm

2

1T

m3

K2



m

K

x

dy

y

L

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto específico.= efm

Ahora bien, si la rigidez “K” de este punto es también conocida, la frecuencia natural puede

calcularse por:

efm

K

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la

distribución de la amplitud de vibración antes de calcular la energía cinética “RAYLEIGH”.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea “ x ” la velocidad de la masa “M”

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en “y” varía linealmente.

V

dt x

L

yy

y

x

y

L

La energía cinética del sistema puede ser ahora:

dyyL

m

2

1T 2

Masa por unidad de longitud= L

m

L

0

2

3

22L

0

dyyL

xm

2

1Tdyx

L

y

L

m

2

1T



23

3

2

x3

m

2

1TL

3

1

L

xm

2

1T

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa “M” es 1/3m; es decir:

m3

1mef

Añadiendo esto a la masa concentrada “M”, la frecuencia natural será:

2. Una viga simplemente apoyada de masa “m” tiene una masa concentrada “M” en el centro de

la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variación de la amplitud (Deformación) con respecto a “x” según tablas:

La ecuación de la elástica y la flecha máxima están dadas por:

22 xL

4

3

12

PxEIy Para

2

Lx0

EI48

PLy

3

máx

Operando en la ecuación de la elástica se tiene:

2222

x4L3EI48

Pxy

4

x4L3

EI12

Pxy

m3

1M

K

y

Mm



33

3

332

L

x4

L

x3

EI48

PLy

L

Lx4

L

LxL3

EI48

Py

Por tanto:

3

máx L

x4

L

x3yy

La energía cinética será:

dxL

x4

L

x3y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

2

Lm

2

1T

2

3

3

máx

2L

0

2

3

3

máx

2L

06

6

4

4

2

22máx

22L

03

32máx dx

L

x16

L

x24

L

x9y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

L

m2

2

1T

128

L

L7

16

32

L

L5

24

8

L

L

3ym2

2

1T

7

7

5

5

3

3

2máx

2máx

2máx ym4857.0

2

1T

896

16

160

24

8

3ym2

2

1T

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es:

efmM

K

Pero se sabe que:

P

KKP

33 L

EI48K

EI48

PL

PK

2L

06

7

4

5

2

32máx

L

x

7

16

L

x

5

24

L

x3y

L

m2

2

1T

m4857.0mef

m4857.0ML

EI483



OLK

h

x

a

3. La masa de la varilla delgada de sección uniforme es pequeña comparada con la masa que

tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo

que la oscilación es pequeña.

La energía potencial es la gravitacional y la elástica:

mghVg Pero: cosLLh

cos1mgLVg (1)

2e Kx

2

1V Pero: atagx Para oscilaciones pequeñas tag

22e

2e Ka

2

1VaK

2

1V (2)

La energía cinética es de traslación:

2mV2

1T Pero: LLV

222mL

2

1TLm

2

1T (3)

La derivada temporal 0VVT eg

0mLKasenmgL 22

0KamgLmL 22

0mL

KamgL2

2

2

2

mL

KamgL



4. Una esfera homogénea de radio “r” y masa “m” puede rodar libremente sin deslizar sobre una

superficie esférica de radio “R”. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.

Determine la frecuencia natural de oscilación de la esfera.

La energía potencial es: mghV

cos1rRmgVcosrRrRmgV

La energía cinética es de traslación y rotación

2

G2G I

2

1mV

2

1T

2G1 mV

2

1T donde: rRVG (Respecto del punto “O”)

221

2

1 rRm2

1TrRm

2

1T

2G2 I

2

1T Pero: 2

G mr5

2I (Considerando A centro instantáneo)

r

rR

r

VG

2

2

22

2

22

2r

rRrm

5

1T

r

rRmr

5

2

2

1T

222 rRm

5

1T

hr

R R - r

AB

VG



10

K K

Por tanto: 0TTVdt

d21

0rRm5

2rRmsenrRmg 2

0senrRmgrRm5

2rRm 22

Pero: sen

0rRmgrR5

7rRm

0

rR5

7g

5. Un disco homogéneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-

plg-seg2. En la posición de equilibrio estático ambos resortes están estirados 1 plg.. Encuentre la

frecuencia natural angular de oscilación del disco, cuando se le da un pequeño desplazamiento

angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

rR7

g5



La energía cinética:

2I

2

1T

2GI

2

1T (1)

La energía potencia elástica:

2K

2

1V

21 VVV

1xK2

11xK

2

1V 22

222 KxK2

1Kx

2

1K

2

1Kx

2

1V

Como: 222 KrVrKVrx (2)

Pero: 0VTdt

d

0KrI2

1

dt

d 222

0Kr2I 2

0Kr2I 2 I

0I

Kr2 2

Reemplazando valores:

0

10

10102 2

2000200 2

6. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte “K” y una cuerda

inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

seg

rad14.14



Energía cinética:

212

G2G TTTI

2

1mV

2

1T

rVG

222

1 mr2

1rm

2

1T

22222 mr

4

1mr

2

1

2

1T

Por tanto: 222222 mr4

3Tmr

4

1mr

2

1T

Energía potencial:

2Kx2

1V Pero: r2x

222 Kr2r2K2

1V

0VTdt

d 0Kr2mr

4

3

dt

d 2222

0rK4rm2

3 22

0K4m2

3

2

m3

0m3

K8

K

xm

rVG

A



7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibración “f” si los

resortes están originalmente no estirados.

Energía cinética:

2G

2G I

2

1I

2

1T

Pero: 2G mr

2

1I

2222 mr4

1Tmr

2

1

2

1T

(1)

Energía potencial (Elástica solamente):

2Kx

2

1V 21 VVV

22 Kx2

1Kx

2

1V pero: rx

222 KrVKxV (2)

0TVdt

d 0mr

4

1Kr

dt

d 2222

0rm2

1rK2 22

m3

K8

K = 400 N/m

m100 mm.

x

xK = 400 N/m



0K2m2

1

2

m

m

K2

m

K40

m

K4 2

Se sabe que: 2m

K2

2ff2

8

4001

m

K1f

8. Determine La ecuación diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se

desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de

su centro de masa es .mm125K G

R = 100 mm. = 0.1 m.

R = 200 mm. = 0.2 m.

GK = 125 mm. = 0.125 m.

Energía cinética (Traslación y rotación):

2

Gt mV2

1T Pero: 22

tG mr2

1TrV (1)

2

Gr I2

1T pero: 22

Gr2GG mK

2

1TmKI (2)

Hz25.2f

K = 400 N/m

200 mm.

100 mm.VG

x

G



r 3r

rr

r

K1

K2

Energía potencial (Elástica solamente):

2Kx

2

1V Pero: 22RrK

2

1VRrx (3)

0RrK2

1mK

2

1mr

2

1

dt

d 2222G

22

0RrKmKmr 22G

2

0RrKmKmr 22G

2

Reemplazando valores:

02.01.0400125.0301.3 222

036077.0 077.0

9. Para ángulos pequeños de oscilación, encuentre la frecuencia de oscilación del sistema.

Por el método de la Energía

2G

2G

2G I

2

1TI

2

1Vm

2

1T

222

211

2 xK2

1xK

2

1VhmgKx

2

1V

Pero rx1

r4r3rx2

0468



2G mr

2

1I

Reemplazando

0r4K2

1rK

2

1mr

2

1

2

1 22

21

22

0r16K2

1rK

2

1mr

4

1 222

221

22

Derivando

0rK16rKmr2

1 22

21

2 2r

0K16Km2

121

0m

K32K2 21

10. Hallar la ecuación del movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un

resorte, cuya constante es “K”. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una

distancia “L” del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo

sea estable.

m

K32K2 21

m

K

m x

1

2

a

L



2mV

2

1T Pero Lx = velocidad

222 mL2

1Lm

2

1T

2

E K2

1V Pero a

Ka2

1aK

2

1V 222

E

mghVG

1cosmglmgLcosmgLVG

1cosmgLKa

2

1mL

2

1

dt

d0VVT

dt

d 2222GE

0senmglKamL 22 Pero sen

0mgLKamL 22 2mL

Vibración forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuación diferencial tiene la forma siguiente:

tsenPKxxm o (1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx

a) Solución a-transitoria complementaria: Cuando la ecuación es homogénea, es decir:

0Kxxm

La cual tiene como solución:

tcosBtsenAx

0L

g

mL

Ka2

2



b) Solución estacionaria o particular: Cuando la ecuación es:

tsenPKxxm o

Su solución es del tipo:

tsenGtx (2)


tcosGtx

tsenGtx 2 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

tsenPtsenGKtsenGm o2

tsenPtsenKGtsenmG o2 tsen

o2 PKGmG K

K

PG

K

mG o2

Factorizando G y ordenando

K

PG

K

m1 o2

Pero:

m

K2

K

PG1 o

2

2

Sea: 2

2

K

PG1 o2

2o

1K

PG

(4)


tsen1K

Ptx

2o

p

(Solución particular)

Como la solución general es del tipo:

pc xxtx

Entonces: tsen1K

PtcosBtsenAtx

2o

(5)



Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si 00x0t (a)

Si 00x0t (b)

Reemplazando (a) en (5)

o

2ooo 0sen

1K

P0cosB0senA0

0B

Derivando (5)

tcos1K

PtsenBtcosAtx

2o

(6)

Reemplazando (b) en (6)

o

2ooo 0cos

1K

P0senB0cosA0

2

o2

o

1K

PA

1K

PA0

Pero 2o

2

2

1K

PA

Reemplazando las constantes A y B en (5)

tsen1K

Ptsen

1K

Ptx

2o

2o

(7)

Donde:

oP Amplitud de la fuerza externa

K Rigidez del resorte

Frecuencia circular del movimiento

Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuación (7), se nota que:

tsentsen1K

Ptx

2o



2

3

4

5

6

21 3

Si 1 , es decir; entonces el factor 01 2 lo que implica que al estar en el

denominador se hace infinita la expresión. Esta situación se llama RESONANCIA.

La solución particular para el caso tiene la forma:

tsentGtx 1p

Donde : m2

PG o

1

Esta expresión muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa “m” está soportado por un resorte de ctte. “K” el cual está montado

sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armónico tsenAo hacia arriba y

hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

tsentm2

Ptx o

p

2

0

1 K

P

22

2

K

P0

t



xmyxK

xmKyKx

tsenKAKxxm o

Solución complementaria tcosBtsenAxc

Solución particular:

Por uno de los métodos abreviados, se tiene que la solución es de la forma:

baxsenaF

1baxsen

DF

1y

22

: 0aF 2

Por tanto en este caso, la ecuación diferencial será:

Sea xDx 2

tsenKAxKmD o2

tsenKAKmD

1x o2p

tsenKAKm

1x o2p

tsenKA

m

Km

1

x o2

p

Pero m

K2

A

sen

wt

0

x

K

K (x - y)

m



tsenm

KAx

22o

p

tsen

Ax 2

2

222

op

tsen

1

Ax

2

2o

p

Por tanto la solución general es:

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a

través de fluidos.

cVF c Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo

dentro un fluido es alta.

2bVF b Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra

superficie.

NF Coeficiente de roce cinético

N Fuerza normal

tsen

1

AtcosBtsenAx

2

2o



m

K

c

x

K( + x)

mg

mg

FR Fa

cxx

Vibración libre amortiguada.

En la situación de equilibrio estático (caso b) no actúa todavía la amortiguación

mgK (1)

En la situación (c) se tiene:

xmF

xmmgxcxK

xmmgxcKxK Según (1)

xmxcKx

Ordenando: 0Kxxcxm (2)

Si Dxdt

dx y xD

dt

xd 2

2

2

0KxcDxxmD2 (3)

Dividiendo entre “m” la ecuación (3)

0m

KD

m

cD2 (4)

Resolviendo cual si fuese una ecuación de segundo grado.

2m

K4

m

c

m

c

D2

2

Como m

K2



2

4m4

c4

m

c

D

2

2

2

22

m2

c

m2

cD

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si

0m2

c 22

El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si

0m2

c 22

El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si

0m2

c 22

El sistema está SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crítico.

Como

m2

c

m2

c0

m2

c 22

22

De ahí m2Cc cC Amortiguamiento crítico

Por tanto la raíz de la ecuación (4) son iguales y serán:

m2

m2

m2

CD

2

4m

c

m

c

D c

0

2

2

2

Por tanto la solución de la ecuación (4) tendrá la forma:

Dt2

Dt1 teGeGtx Donde 21 G,G Ctts. a determinar

Factorizando Dt21 etGGtx

Como D t21 etGGtx (5)

D



tm2

c

21 etGGtx

(5´)

Conforme t se tiene que 0et

m2

c

más rápidamente que t se aproxima a ; el movimiento

se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crítico es el caso límite de sobre-amortiguamiento.

“El amortiguamiento crítico, representa una condición en la que e tiene el valor mínimo necesario

para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO”

Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuación (5) se realiza según condiciones de contorno.

Se sabe que: tsenhtcoshe t (6)

(6) en (5)

tsenhtcoshtGGtx 21

tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 (7)

0xtx0t

P Reemplazando en (7)

o2

o2

o1

o1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x

0xG1

Derivando (7)

tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211

0xtx0t

P

o2

o2

o2

o2

o1

o1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x

21 GG0x

0x0xGG0xG 212

Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)



tet0x0x0xtx

Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situación ocurre cuando:

0m2

c 22

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendrá soluciones imaginarias.

Sea Razón de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD

22

m2

m2

m2

m2D

1DD 2222

21iD

tet0xt10xtx

t

X(0)

X(0)>0

X(0)=0

X(0)<0



Sea: 20 1 Velocidad angular amortiguado

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas

0iD (a)

La solución a la ecuación diferencial tendrá la forma:

tD2

tD1

21 eGeGtx (b)

Reemplazando (a) en (b)

ti2

ti1

00 eGeGtx

tit2

tit1

00 eeGeeGtx

ti2

ti1

t 00 eGeGetx (c)

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando en (c)

tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t

tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t

tsenGGitcosGGetx 0

B

210

A

21t

tsenBtcosAetx 00t (d)

Para 0xtx0t

0xA0senB0cosAe0x oo0

Derivando (d):

tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t

0000t

Para 0xtx0t

oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe0x

AB0x 00 Pero 0xA



0

000

0x0xB0xB0x

Movimiento sobre-amortiguado.

Esto ocurre cuando:

0m2

c 22

Razón de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD

1D 2

1D 2 (a)

La solución a la ecuación diferencial es del tipo:

tDtD 21 BeAetx (b)

tsen

0x0xtcos0xetx 0

0

00

t

x sen

x

wt

txe



Reemplazando (a) en (b)

t1t1 22

BeAetx

(c)

Derivando (c)

t12

t12

22

e1Be1Atx

(d)

Las condiciones de contorno son:

Para: 0t ; 0xtx ; 0xtx

Reemplazando en (c)

B0xABeAe0x 00 (*)

Reemplazando en (d)

0202 e1Be1A0x (**)

Reemplazando (*) en (**)

B1B1B0x0x 22

B1BB1B0x10x0x 222

0x0x0x1B12 22

12

0x0x1B

2

2

Reemplazando en (*)

12

0x0x10xA

2

2

12

0x0x0x10x12A

2

22

12

0x10xA

2

2

*****

t1

2

2t1

2

2 22

e12

0x0x1e

12

0x10xtx



m

cKx

L.R.t = 0

h

El movimiento es una función exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura “h” sobre una superficie dura.

¿Cuál será el movimiento resultante de la masa “m”?

La ecuación diferencial para este sistema es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx (1)

La expresión se puede escribir como:

0m

KD

m

cD2

wt

A

O

B

tAe 12



La solución de esta ecuación es:

22

m2

c

m2

cD

(2)

Como CC

c y m2cm2CC

Reemplazando en (2)

22

m2

m2

m2

m2D

1DD 2222

Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

21iD

Sea: 20 1

0iD

La solución a la ecuación (1) es de la forma:

tD2

tD1

21 eGeGtx

ti2

ti1

00 eGeGtx

ti2

ti1

t 00 eGeGetx

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando y simplificando:

tsenBtcosAetx 00t (3)

Derivando (3)


0000t (4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del gráfico, se tiene las consideraciones de contorno

0tP ; 0x ; gh2x

Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.



Kx

m

c

tsenegh2

tx 0

tm2

c

0

En (3)

0A0senB0cosAe0 oo0

En (4)

oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAegh2

00

gh2BBgh2

Reemplazando en (3)

tsen

gh2tcos0etx 0

00

t

tsenegh2

tx 0t

0

Pero

m2

c

tsenegh2

tx 0

tm2

c

0

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..

Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posición de reposo. ¿Cuál será el

desplazamiento al final del primer segundo?.

tsenegh2

tx 0

tm2

c

0



La ecuación diferencial para este caso es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx

La solución o primitiva de esta ecuación es:

tsenBtcosAetx 00t (a)

20 1

m2

c

0tP ; 0tx ; 40x [Plg/seg] (b)

Reemplazando en (a)

0A0senB0cosAe0 oo0

Derivando (a)


0000t

oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe4

AB4 0 Pero 0

4B0A

Reemplazando en (a)

tsene4

txtsen4

etx 0t

00

0

t

(c)

Pero

seg

rad86.13

seg

lgp384

lb

lgp/lb

50

25

m

K2

2

21.086.13502

288

m2

c

seg

lgp384

lgp

seglb75.0c

2

seg

rad55.1321.0186.131 0

220

Por tanto estos valores reemplazado en (c)



155.13sene55.13

41x 186.1321.0

2. Un péndulo simple está pivotado en “0”. Si la masa de la varilla es despreciable y las

oscilaciones pequeñas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del péndulo.

IM donde 22 mLMmLI

22211 mLsenmgLLxcLKx (1)

pero 11 Lx

2222 LxLx

Reemplazando en (1)

222

21 mLmgLcLKL

Ordenando

0mgLKLcLmL 21

22

2 (2)

0mL

mgLKL

mL

cL2

21

2

22

La solución de esta ecuación de segundo grado es:

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL14

mL

cL

2

1

2mL

cL

D

lgp0013.01x

K

m

L

L2

L1

c

O



2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL4

mL2

cL2

2

1

mL2

cLD

2

21

2

2

22

2

22

mL

mgLKL

mL2

cL

mL2

cLD

De aquí, la frecuencia circular amortiguada es la raíz, pero cambiando los términos:

2

2

22

2

21

mL2

cL

mL

mgLKL

“Vibración excitada armónicamente” Página: 60


m

c

K

x

mg

x

cx

K( + x)

F

senw

t0

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

Detalles Pág.

Excitación indirecta.................................................................................................................. 66

Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69

Decremento logarítmico........................................................................................................... 71

Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79

Transmisibilidad....................................................................................................................... 80

Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración

tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.

Una fuente común de excitación armónica es el desbalance en máquinas rotatorias, aunque la

excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación. Pero se

estudia la excitación armónica para comprender como el sistema responde a tipos más generales

de excitación.

Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

fuerza armónica tsenF0

En el nivel de equilibrio estático

mgK (1)



Aun desplazamiento “x”

tsenFmgxcxKxm 0

tsenFgmxcKxKxm 0

tsenFKxxcxm 0 (2)

Se sabe que la solución de la ecuación (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

(Solución homogénea) y una solución particular; es decir:

pc xxx (3)

la solución complementaria o transitoria es la solución de un sistema libre amortiguado y está

dado por una de estas tres, según cual sea el caso

- Caso sobre - amortiguado CCc

ttc

21 BeAex ( 21 , son reales y diferentes)

- Caso amortiguado crítico CCc

tc eBtAx ( 21 , iguales y reales)

- Caso sub – amortiguado CCc

tsenBtcosAex 00t

c ( 21 , son complejos)

La solución particular o estacionaria es una solución estacionaria de la misma frecuencia de

excitación.

Existen varias formas de resolución de la ecuación diferencial (2); una de ellas es:

Sea: tcosBtsenAxp (4)

O también: tsenxxp (5)

Donde x Amplitud de oscilación

Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Derivando dos veces (4)

tsenBtcosAxp (6)

tcosBtsenAx 22p (7)

Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)



tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 022

Multiplicando y factorizando senos y cosenos

tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 022

Igualando términos según sean senos o cosenos se tiene:

02 FKABctm (a)

0KBAcBm 2 (b)

Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

c

KBBmA

2 (c)

Reemplazando (c) en (a)

0

222 F

c

KBBmKBc

c

KBBmm

c

02222242 FcBKKBmBcKBmm

0222242 FccKKm2mB

022222 FccKKm2mB

1

222

00

222

cKm

FcBFccKmB

Reemplazando en (c)

222

02

cKm

FmKA

Reemplazando en (4)

tcoscKm

Fctsen

cKm

FmKx

222

0

222

02

p

Factorizando:

tcosctsenmK

cKm

Fx 2

222

0p

(7)

Según (3), la solución es:



Considerando la ecuación (5) también se puede resolver por el método de la impedancia

mecánica, que es un método sencillo y directo para la vibración del estado estacionario.

tsenxx (5)

tcosxx (8)

tsenxx 2 (9)

Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están

delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.

.La suma vectorial es:

02 FxcxmKx la magnitud será:

20

22222 FxcxmK

222

0

cmK

Fx

(10)

La fase se obtiene del gráfico:

2mK

carctag

xmK

xctag

(11)

Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

tcosctsenmKcKm

FtsenBtcosAex 2

222

000

t

Kxx

mw x

cwx

wt

x

o

Fo

2

o(K - mw)x

cwx



222

0

K

c

K

m1

K

F

x

K

m1

K

c

arctag2

Considerando las expresiones:

m

K Frecuencia natural de oscilación no amortiguado

m2Cc Amortiguamiento crítico

cC

c Factor de amortiguamiento

22K

m2K

CC

c

K

c2c

c

Reemplazando en estas últimas ecuaciones

22

2

20

21

1

F

xK

2

1

2arctag

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 0F

xKy la fase son funciones solamente

0

1.0

1.0

2.0

3.0

2.0 3.0 4.0 5.0

-1.0 0.5

0.375

0.25

0.10

0.050.00

0 1 2 3 4 5

90°

180°

R azón de frecuencias w /w

Ang

ulo

de fa

se

R azón de frecuencias w /w

0.375

0.150.05

0F

xK

cC

C

1



de la razón de frecuencias

y el factor de amortiguación , que gráficamente se representan

como:

Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el

ángulo de fase en la región de frecuencia próxima a resonancia.

Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

diagrama de fuerzas para

, pequeño, igual a uno y grande.

Para valores pequeños, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeñas, lo que

implica un (ángulo de fase) pequeño. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la

fuerza del resorte.

Para 1

el ángulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por

la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación.

Para 1

, se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la

gran fuerza de inercia.

cwx

Kxx

Fo

o

mw x2

cwx

Kx

mw x2

o o = 90°

mw x2

cwx

KxFo xo



Por tanto : La solución a la ecuación diferencial (1) puede escribirse como:

Hasta aquí se ve que la fuerza externa actúa directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

ocurrir también que esta fuerza actúe de forma indirecta.

Excitación indirecta.

Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

Como tcosUy

Considerando un sistema inercial se tiene:

xyKxycxKxcxm 2211

xKyKxcycxKxcxm 222211

yKycxKKxccxm 22

K

21

c

21

yKycKxxcxm 22

Pero tcosUy

Derivando tsenUy

tcosUKtsenUcKxxcxm 22

tsenUctcosUKKxxcxm 22

tcosPKxxcxm

Donde: 22

22 cKUP

mx

K1

K2 c2

c1

yy (t) = Ucoswt



2

2

K

carctag

a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

armónico de la fuente de excitación se transmite directamente al punto base del resorte y

amortiguador. Es el caso de los instrumentos sísmicos.

La ecuación diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

deformación del resorte es:

xmyxKyxc (a)

sea

yzxyxz (b)

yxz


yzx (c)

Reemplazando en (a)

yzmKzzc

ymKzzczm

Pero tsenAy tsenAy 2

tsenAmKzzczm 2

tsenAmKzzczm

Note que la ecuación siempre es la misma y lo único que cambia es la amplitud de excitación.

c(x - y)

m

K

x

y

y = Asenwt



Ejm. El pistón mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armónico tcosAx dentro de un

cilindro de masa “m” el cual es soportado por un resorte de cte. “K”. Si entre el pistón y la pared

del cilindro hay amortiguamiento viscoso “c”; encuentre la amplitud del movimiento del cilindro

y su diferencia de fase con el pistón.

Sistema equivalente

xmKxyxc

ycKxxcxm

Pero tcosAy tsenAy

tsencAKxxcxm (1)

La solución particular tiene la forma:

tcosGtsenGx 21

tsenGtcosGx 21

tcosGtsenGx 22

21

Reemplazando en (1)

tsencAtcosKGtsenKGtsencGtcoscGtcosmGtsenmG 21212

22

1

Factorizando senos y cosenos

tsencAtcosGcGmKtsenGcGmK 122

212

Igualando términos

cAGcGmK 212

0GmKGc 22

1

y = Acoswt

mc

K

m

Kx

cy

y = Acoswt

m

c(x - y)



wt

wt

o

x

G2

G1

x

Resolviendo este sistema, se halla las constantes 1G y 2G

Sea: 2mKa

cb

Reemplazando a y b en el sistema

bAbGaG 21

0aGbG 21

222

2

1221cmK

AcmKG

ba

abAG

222

2

222

2

2cmK

AcG

ba

AbG

La amplitud

222

22

222

222

21

ba

Ab

ba

abAxGGx

2222

2

222

222

ba

bA

ba

Abx

ba

bAbax

La fase: a

barctag

ba

abAba

Ab

arctagG

Garctag

22

22

2

1

2

Desbalanceamiento rotacional.

El desbalance en máquinas rotatorias es una causa de excitación vibratoria.

222 cmK

Acx

2mK

carctag



wt

K/2

Fm

e

M

c K/2

esenwt

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si en centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.

Considerando que el sistema está restringido a moverse en dirección vertical.

El desbalance está representado por una masa excéntrica “m” con excentricidad “e” que rota con

velocidad .

La fuerza centrífuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la máquina es:

2N emmaF

La proyección vertical de F es:

tsenmeF 2V

Por tanto la ecuación diferencial del movimiento es:

tsenmeKxxcxM 2 (1)

Esta ecuación es idéntica al caso de la oscilación forzada con amortiguación; siendo

meF0

tsen

cmK

mex

222

2

p

tsen

21

K

me

x22

2

2

2

p



Decremento logarítmico.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,

consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres.

Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de caída.

Considerando una vibración amortiguada (Sub – amortiguada) expresada por la ecuación

tsenBtcosAetx 00t

El decremento logarítmico, se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes

sucesivas cualesquiera.

1010t

00t

2

1

tsenBtcosAe

tsenBtcosAeln

x

xln

1

1

Como el seno y el coseno son funciones periódicas, pueden simplificarse los factores y queda:

elnee

eln

e

eln

1

1

1

1

t

t

t

t

Como : 21

2

x

t

X1

X2



22 1

2

1

2

Cuando 111 2

Valor aproximado

El gráfico muestra los valores exactos y aproximados de como función de

Al determinar experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeño error al medir dos

amplitudes sucesivas dará resultados erróneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy

próximas una de otra.

Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas “n” ciclos. Sea 0x la primera

amplitud medida y nx la amplitud después de “n” ciclos transcurridos.

Como n

1n

1n

2n

2

1

1

0

x

xln

x

xln...

x

xln

x

xln

n

1n

1n

2n

2

1

1

0

x

x

x

x...

x

x

x

xe

La razón: nn

n

1n

3

2

2

1

1

0

n

0 eex

x...

x

x

x

x

x

x

x

x

2

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

2

4

6

8

1 0

1 2

F a c t o r d e a m o r t i g u a m ie n t o

Dec

rem

ent

o lo

gar

ítmic

o

1

2 2

cC

C



n

0

x

xlnelnn

Ejm. Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,

donde m = 10 lb., K = 30 lb/plg y c = 0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logarítmico y la

razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Se sabe que 21

2

seg

rad94.33seglg/p384

lb10

lgp/lb30

m

K 2

0698.0seglg/p384seg/rad94.33lb102

lgp/seglb12.0

m2

c 2

20698.01

0698.02

44.0

1

0

1

0

1

0 ex

xe

x

x

x

xln

1. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

cuadrada o función quebrada.

n

0

x

xln

n

1

44.0

55.1x

x

1

0



Se sabe que:

1n

0n0n0 tnsenbtncosaa2

1tf

Donde T

20

T = Periodo

Según el gráfico tf 1 t0

1 2t

Según las fórmulas:

dttfT

2a 2

T

2

T0 (1)

dttmcostfT

2a 0

2

T

2

Tn (2)

dttnsentfT

2b 0

2

T

2

Tn (3)

Cálculo de 0a

0201

tt1

dt2

2dt

2

2a

2

0

2

00

Cálculo de nb

0

2

000

00

00n dttncosn

1tncos

n

11dttnsen

2

2dttnsen

2

2b

x

1

-1

2 3 4 5 t



Como T

20

; 12T 0

ncosn2cos0ncosncosn

11bn

Si n = impar

n

41111

n

1bn

Si n = par

01111n

1bn

Cálculo de na

2

000

00

0

2

00n tnsenn

1tnsen

n

11dttncosdttncos

2

2a

0nsenn2sen0sennsenn

1an

Para todo n par o impar

Por tanto:

0tnsenn

40

2

1tf 0

7

1n

Para los cuatro primeros términos; es decir: n = 1, 3, 5, 7

...t7sen7

4t5sen

5

4t3sen

3

4tsen

4tf

...t7sen

7

1t5sen

5

1t3sen

3

1tsen

4tf

0



2. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

triangular.

tf

1t

2

Para t0

t

23

Para 2t

Como T

20

; 12T 0

Cálculo de 0a

dtt2

32

2dt1t

2

2

2

2a

2

00

222

22

0

20 3

4600

11t

1t3tt

11a

022001

a0

Cálculo de na

dtntcost2

32

2dtntcos1t

2

2

2a

2

0n

0 0

2 2

n dtntcost2

dtntcos3dtntcosdtntcost21

a

(1) (2) (3) (4)

Integrando por partes

(1) = (4)

-1

x

1

2 3 t



sea dtdutu

ntsenn

1vdtntcosdv

dtntsenn

1ntsen

n

tudv

ntcosn

1ntsen

n

tI

2

Desarrollando

2

2

2

002n ntcos

n

1ntsen

n

t2ntsen

n

13ntsen

n

1ntcos

n

1ntsen

n

t21a

(1) 1ncosn

2

n

1ncos

n

120cos

n

10sen

n

02ncos

n

10sen

n

222222

(2) 00senn

1nsen

n

1

(3) 0nsenn

1n2sen

n

13

(4)

ncosn

1n2cos

n

12ncos

n

1nsen

nn2cos

n

1n2sen

n

222222

Por tanto:

ncos

n

2n2cos

n

21ncos

n

21a

222n

Si n es par

01n

21

n

211

n

21a

222n

Si n es impar

2nn

8a

Cálculo de nb

0

2

n ntsent2

3ntsen1t2

2

2b



0 0

2 2

n dtntsent2

dtntsen3dtntsendtntsent21

b

De tabla: ntcosn

tntsen

n

1dtntsent

2

2

2

2

002n ntcos

n

tntsen

n

12ntcos

n

13ntcos

n

1ntcos

n

tntsen

n

121b

(1) (2) (3) (4)

(1)

ncos

n

2ncos

n

20cos

n

00sen

n

1ncos

nnsen

n

1222

(2) ncos1n

1

n

1ncos

n

10cos

n

1ncos

n

1

(3) n2cosncosn

3ncos

n

1n2cos

n

13

(4)

ncosn2cos2n

2ncos

nnsen

n

1n2cos

n

2n2sen

n

1

n

222

Por tanto:

ncosn2cos2

n

2n2cosncos

n

3ncos1

n

1ncos

n

21bn

Si n es par

0n

2

n

21112

n

211

n

311

n

11

n

21bn

Si n es impar

0n

6

n

6

n

2

n

21112

n

211

n

311

n

11

n

21bn

Por tanto:

0ntcosn

80

2

1tf

7

1n2

p/n = 1,3,5,7

t7cos

49

1t5cos

25

1t3cos

9

1tcos

8tf



Aislamiento de las vibraciones.

A menudo se presentan dificultades durante la instalación de máquinas, ya que fuerzas de inercia

no compensadas producen vibraciones en las máquinas y éstas pasan a través del bastidor de la

máquina a la fundación, de donde se transmiten a otras máquinas.

La manera más simple de evitar estas vibraciones es suprimirlas en su origen, asegurando un

equilibrado correcto, sin embargo, es difícilmente practicable, por tanto la única alternativa es

aislar el equipo montándolas sobre resortes y amortiguadores.

El aislamiento puede llevarse a cabo de dos maneras:

a) Impidiendo que la vibración pase de su fuente a la fundación de la máquina; este tipo se

denomina “Aislamiento Activo”.

b) Impidiendo que la vibración transmitida a través del suelo pase al bastidor de la máquina y se

le llama “Aislamiento Pasivo”.

El aislamiento activo y pasivo difieren el uno del otro, solamente en cuanto que el primero

supone una acción directa de la fuerza perturbadora sobre la masa (Fig. a); mientras que el

segundo es el punto base del resorte – amortiguador, lo que es excitado por la fuerza perturbadora

(Fig. b).

K

P

m

c

P

m

K

(a) (b)



Transmisibilidad.

Con el propósito de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los

cimientos debido a la vibración de la maquinaria; las máquinas generalmente están aisladas de los

cimientos, montándolas sobre resortes y amortiguadores.

La “transmisibilidad” se define como la razón entre la fuerza transmitida a la fuerza impresa.

Cada una de estas razones es conocida como trasmisibilidad de fuerza o de desplazamiento. Las

curvas muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad sólo para 2

, estableciendo

por lo tanto el hecho de que el aislamiento vibratorio es posible únicamente cuando 2

, un

resorte no amortiguado es superior a un resorte amortiguado, para efectos de reducir la

transmisibilidad.

22

2

2

2

0

21

21

F

FTR t

0

Demostración.

Como resultado la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y del

amortiguador; es decir:

xcKxFt (1)

Bajo las condiciones estudiadas anteriormente (Vibración en estado estacionario px )

La solución está dada por:

tsen

21

K

F

x

A

22

2

2

0

p



22

2

2

0 21

AKF

tsenAxp tcosAxp (2)

(2) en (1)

tcosActsenKAFt (3)

Pero la fuerza en el resorte es máxima cuando la velocidad es cero ( es decir, x es máximo) y la

amortiguación es máxima cuando la velocidad es máxima y el desplazamiento es cero.

Como entre la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación forman 90, la fuerza resultante es:

22t cKAF (4)

La fuerza impresa está dada por:

2

1

K

cAKFt

m

K Frecuencia natural

mcc 2 Amortiguamiento crítico

cc

c Factor o razón de amortiguamiento

222

2

K

m

K

c

c

c

K

c c

c

2

21

AKFt

22

2

2

2

0

21

21

F

FTR t

Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de transmisibilidad se reduce a:



1

12

TR

Ejm. Un motor pesa 200 lb. y está girando a una velocidad de 1800 rpm., si la transmisibilidad

de la fuerza entre el motor y el piso es 0.1 o 10 %.¿Cuál será la constante elástica de la armadura

del motor?

lgp

seg.lb52.0m

seg

lgp384

1.lb200m

2

2

seg

rad5.188

seg60

min1

min

rev18002f2

Suponiendo que tiene muy poca amortiguación: 0

Reemplazando en:

22

2

2

2

0

t

21

21

F

F.R.T

1

1.R.T

2

2

Note el cambio de orden en el denominador

101

1

11.0

2

2

2

2

11m

K

1111

222

2

2

11

seg

15.188

lgp

seglb52.0

11

mK

22

2



Energía disipada por amortiguamiento.

El amortiguamiento está presente en todos los sistemas oscilatorios. Su efecto es retirar energía

del sistema, que se disipa en forma de calor o de radiación. La pérdida de energía se traduce en

decrementos de la amplitud de la vibración libre. En el estado estacionario de las vibraciones

forzadas, la pérdida de energía es compensada por la energía suministrada por la excitación.

Un sistema vibratorio puede encontrar muchos tipos de fuerzas de amortiguación, desde la

fricción interna molecular hasta la fricción de deslizamiento y la resistencia de un fluido.

La disipación de energía es determinada usualmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas.

Dependiendo del tipo de amortiguamiento presente, la relación fuerza desplazamiento, cuando se

la grafica puede variar grandemente. En todos los casos, la curva fuerza desplazamiento encerrará

un área, llamada “Bucla de histéresis” que es proporcional a la energía disipada por ciclo. La

energía perdida por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación “ dF ” se calcula de la ecuación

general.

dxFW dd (1)

En general, “ dW ” dependerá de muchos factores, tales como temperatura, frecuencia o amplitud.

Se considerará en este caso la más simple disipación de energía, el de un sistema resorte-masa

con amortiguación viscosa.

xcFd

tAsenx

tAx cos

Reemplazando en (1)

dtxcdxxcWd 2

2/2

0

222 cos AcdttAcWd

(2)

lgp

lb7.1679K



De interés particular es la energía disipada en vibración forzada a resonancia. Sustituyendo:

Kmcm

K 2 en (2)

22 KAWd (3)

La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguación puede representarse como sigue.

Escribiendo la velocidad en la forma:

tsenAtAx 21cos

22 xAx

Por tanto: 22 xAcxcFd (4)

Reordenando la ecuación se tiene:

122

A

x

Ac

Fd

(5)

Esta ecuación se conoce como la de una elipse con “ dF ” y “x” representada a lo largo de los ejes

vertical y horizontal. La energía disipada por ciclo está dada por el área encerrada por la elipse.

Fd

x

x

“Sistemas con dos grados de libertad” Página: 85


SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pág.

Coordenadas principales........................................................................................................... 87

Modo normal de vibración....................................................................................................... 87

Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98

Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99

Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100

Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101


Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103

Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109

Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113

Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115


Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para

describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados

de libertad.

Si las masas “ 1m ” y “ 2m ” se restringen a moverse

verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada

“ tx ” para definir la localización de cada una de las masas en

un instante cualquiera, así el sistema necesita en total dos

coordenadas para determinar su posición (Es de dos grados de

libertad).

K 1

m 2

K 2

m 1x1

x2



L1

L2

m1

m2

1

2

y1

y2

x1

x2

Si la masa “m” se restringe a moverse verticalmente, se necesitan

dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.

Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilíneo tx y

la otra coordenada será un desplazamiento angular t que tiene

que ver con la rotación de la masa.

Las dos coordenadas son independientes una de la otra.

Para el sistema de péndulo doble, es claro que se necesitan dos

coordenadas para especificar la posición de las masas “ 1m ” y

“ 2m ” en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos

grados de libertad “ 1x ” y “ 2x ” con “ 1y ”, “ 2y ” o “ 1 ” y “ 2 ”

son los posibles pares de coordenadas.

Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es

decir, un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales.

Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo “La ecuación de frecuencia” en un sistema

sin amortiguación o la “Ecuación característica” de un sistema amortiguado.

Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultáneamente a los

desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio también simultáneamente, o sea,

que todas las partes móviles del sistema están oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se

llama modo normal o modo principal de vibración.

Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación

definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente es un

modo normal.

x2

K K

(t)

m



Coordenadas principales.

Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuación de movimiento contenga

únicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuación puede resolverse

independientemente una de la otra.

A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.

Los dos grados de libertad del sistema tendrán dos modos normales de vibración

correspondientes a las dos frecuencias naturales.

La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos

modos normales de vibración.

Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurriría a la frecuencia de excitación y la amplitud

de las dos coordenadas tenderá a un máximo a las dos frecuencias naturales.

Modo normal de vibración.

Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas “ 1x ” y “ 2x ”, medidas desde

una referencia inercial.

Las ecuaciones del movimiento son:

211 xxKKxxm (1)

22122 KxxxKmx (2)

KKm 2m

x1 x2K

m 2mK(x 1 - x2) Kx 2Kx 1



Se define un modo normal de oscilación, como uno en el cual cada masa experimenta un

movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de

equilibrio.

Para tal movimiento se puede escribir:

ti11 eAx (3)

ti22 eAx (4)

Derivando (3) y (4)

ti11 eAix ; ti

122

1 eAix pero ti1

21

2 eAx1i

ti22 eAix ; ti

222

2 eAix pero ti2

22

2 eAx1i

Sustituyendo en (1) y (2)

En (1)

ti2

ti1

ti1

ti1

2 eAeAKeKAeAm

ti211

ti1

2 eKAKAKAeAm

2112 KAKA2Am

0KAAmK2 212 (5)

En (2)

ti2

ti2

ti1

ti2

2 eKAeAeAKeAm2

ti21

ti2

2 eKA2KAeAm2

2122 KA2KAAm2

0KAAm2K2 122 (6)

Formando un sistema con (5) y (6)

022

02

22

1

212

AmKKA

KAAmK

Estas son ecuaciones lineales homogéneas y la solución A=B=0 define la condición de equilibrio.

La otra ecuación se obtiene igualando a cero el determinante.

1A y 2A se satisfacen, si el determinante siguiente es cero



022

22

2

mKK

KmK

Haciendo cambio de variable 2 , el determinante cambia a:

022

2

mKK

KmK

Desarrollando:

0222 2 KmKmK

02244 2222 KmmKmKK

0362 222 KmKm 22m

02

33

22

m

K

m

K

Resolviendo:

2

33

2

69322

m

K

m

Km

K

m

K

m

K

m

K

m

K366.2

2

331

m

K634.02

Retornando a la variable inicial 2

m

K366.2111

m

K634.0222



m2x2

K2

m1x1

K1

K3

Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razón de

las amplitudes.

Para 73.2366.22

1

2366.2

)1(

2

121

)1(

2

121

A

A

mK

K

A

A

m

K

Para 731.0634.02

1

2634.0

)2(

2

122

)2(

2

122

A

A

mK

K

A

A

m

K

1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, está restringido a tener oscilaciones

verticales únicamente. Determinar la ecuación de la frecuencia y las razones de amplitud del

sistema.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Planteando maF a cada cuerpo

1121211 xmxxKxK

2223212 xmxKxxK

Ordenando

0xKxKKxm 2212111 (1)

0xKKxKxm 2321222 (2)

Suponiendo que el sistema es periódico y se compone de movimientos armónicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

tsenAx1 (3)

tsenBx2 (4)

m1 m2

K1x1

K2(x1 - x2)

K2(x1 - x2)

K2x2



Donde A, B, son constantes arbitrarias y una de las frecuencias naturales del sistema

Derivando (3) y (4)

tcosAx1

tsenAx 21 (5)

tcosBx2

tsenBx 22 (6)

(5) y (6) en (1) y (2)

0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212

1 tsen

0BKAKKAm 2212

1

0BKAmKK 22

121 (7)

0tsenBKKtsenAKtsenBm 3222

2 tsen

0BKKAKBm 3222

2

0BmKKAK 22322 (8)

Formando un sistema con (7) y (8)

0BmKKAK

0BKAmKK2

2322

22

121

Es una ecuación lineal homogénea: La solución A=B=0; define la condición de equilibrio del

sistema.

La otra solución se obtiene igualando a cero el determinante.

0mKKK

KmKK2

2322

22

121

sea 2

Desarrollando el sistema

0KmKKmKK 22232121

0KmmKmKmKmKKKKmKKKK 22

22131212232

22123121

Ordenando

0KKKKKKKmKmKmKmmm 323121312122122

21



-2.73

1.0

0KKKKKKKKmKKmmm 3231213212122

21 21mm

0mm

KKKKKK

m

KK

m

KK

21

3231212

2

32

1

2122

(9)

De esta ecuación saldrán dos frecuencias 1 y 2

La razón de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)

2

121

22

2121

mKK

K

B

ABKAmKK

2

2232

22

232 K

mKK

B

AAKBmKK

2

21232

21121

2

1

1

K

mKK

mKK

K

B

A

2

22232

22121

2

2

2

K

mKK

mKK

K

B

A

Cualquier vibración libre puede considerarse como la superposición de sus modos normales; así

los dos desplazamientos pueden escribirse como:

Llamadas soluciones generales:

2221111 tsenAtsenAx

2221112 tsenBtsenBx

Se puede representar gráficamente los dos modos normales:

m

k634.02

1 m

K366.22

2

Para la función de forma del modo normal, se esa la siguiente notación:

0.1

731.01 x

0.731 1.0



0.1

73.22 x

2. La figura muestra dos cilindros circulares idénticos de masa “m” y radio “r” unidos por medio

de un resorte “K”. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,

deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.

1211 IrmarxxK

Pero 11 rx

22 rx

2mr2

1I

22211 mr

2

1mrrrrK

0rKrKmr2

32

211

21

2 2r

22211 IrmarKrxxK

0rrrKrKmr2

32112

222

2

0KKm2

321111

1 2

x1 x2

K1 K2

K1(x1 - x2) K2x2



1

x1

2

L

LL

x2

Km

m

0rKrKrKmr2

32

211

212

222

2

3. Encuentre la ecuación de frecuencia del péndulo acoplado.

IM

1211211 cosLxxKmgxI

0cosLsenLsenLKsenmgLI 1211211

Para oscilaciones pequeñas

sen 1cos

0LLLKmgLI 211211

0KLKLmgLI 22

122

11 (1)

2212222 cosLxxKsenL2mgI

0LLLKmgL2I 212222

0KLmgL2KLI 22

122

22 (2)

Sean: tsenAtsenA 211

tsenBtsenB 222

En (1) y (2)

0KKKm2

3112212



L 2L L

m m

1

1

3

2

2

3

T T T

Tx1

x2

Como 222

21

2 mL4L2mImLImRI

0tsenBKLtsenAKLmgLtsenAmL 2222 tsen

0BKLAKLmgLAmL 2222 L

0KLBAmLKLmg 2 (3)

0tsenBKLmgL2tsenAKLtsenBmL4 2222 tsen

0BKLmgL2AKLBmL4 2222

0BmL4KLmg2KLA 2 (4)

0mL4KLmg2KL

KLmLKLmg2

2

Desarrollando

0LKLm4mKL5LKgLm6mgKL3gm2 2242222222222

0mgKL3gm2mKL5gLm6Lm4 22222422 m

4. En la figura, suponga que la tensión en el alambre permanece constante cuando los ángulos de

oscilación son pequeños. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.

121 xmsenTsenT

0gKL3mg2KL5mgL6mL4 22242



Pero 11

1 tangL

xsen

221

2 tangL2

xxsen

Por tanto: 0TL2

xxT

L

xxm 211

1

0TxTxTx2xmL2 2111

0TxTx3xmL2 211 (1)

232 xmsenTsenT

2221 xm

L

xT

L2

xxT

0TxTxTx2xmL2 2122

0Tx3TxxmL2 212 (2)

Sean: tsenAx1 tsenAx 21 (3)

tsenBx2 tsenBx 22

(3) en (1)

0tsenTBtsenTA3tsenAmL2 2 tsen

0TBTA3AmL2 2

0TB3AmL2T3 2 (4)

(3) en (2)

0tsenTB3tsenTAtsenBmL2 2 tsen

0TB3TABmL2 2

0BmL2T3TA 2 (5)

0mL2T3T

TmL2T32

2

0TmL2T3 222 Diferencia de cuadrados

0TmL2T3TmL2T3 22



mL2

T40mL2T4 22

mL

T0mL2T2 22

5. La masa “m” suspendida dentro de un marco rígido por medio de cuatro resortes. Determine

las frecuencias naturales de vibración.

11211 xmxKxK

0xKKxm 1211 (1)

22423 xmxKxK

0xKKxm 2432 (2)

Sean: tsenAx1 tsenAx 21 (3)

tsenBx2 tsenBx 22

(3) en (1)

0tsenAKKtsenAm 212 tsenA

0KKm 212

212 KKm

(3) en (2)

0tsenBKKtsenBm 432 tsenB

mL

T21

mL

T2

m

KK 211

mm

K1x1

K2x2

K3x2 K4x2

K2

m

K1

K3 K4



0KKm 432

432 KKm

Acoplamiento de coordenadas.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, están generalmente

“Acopladas” en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación.

En el caso más general, las dos ecuaciones tienen la forma:

0xKxKxmxm 212111212111

0xKxKxmxm 222121222121

Que en forma matricial:

0

0

x

x

KK

KK

x

x

mm

mm

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.

* Existe acoplamiento dinámico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal

* Existe acoplamiento estático o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.

- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinámico y estático

pueden estar presentes.

- También es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.

Cada ecuación puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las

“Coordenadas principales” (Llamadas también coordenadas normales).

m

KK 432



Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no

amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.

La siguiente ecuación matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico, pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.

0

0

x

x

K0

0K

x

x

cc

cc

x

x

m0

0m

2

1

22

11

2

1

2221

1211

2

1

22

11

Si se da que 0cc 2112 se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.

Ejm. Una barra rígida está soportada por dos resortes 1K y 2K . La figura representa un sistema

de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.

Acoplamiento estático:

El centro de masa no coincide con su centro geométrico

[La decisión de escoger las coordenadas, definirá el tipo de acoplamiento que tiene]

xmF

xmLxKLxK 2211

0222111 LKxKLKxKxm

LINEA DE REFERENCIA

OK1(x - L1 )

K2(x - L2 )

x

K1 K2

L1 L2

L1

L2

mg

G



0LKLKxKKxm 112221

IM 0

ILLxKLLxK 222111

0LKxLKLKxLKI 22222

21111

0LKLKxLKLKI 222

2111122

Formando el sistema:

0LKLKxLKLKI

0LKLKxKKxm222

2111122

112221

En forma matricial:

0

0x

LKLKLKLK

LKLKKKx

I0

0m222

2111122

112221

Por la teoría se dice que tiene un acoplamiento estático. Si 2211 LKLK el acoplamiento

estático desaparece.

Acoplamiento dinámico:

K2(x - L4 )

L3

K1(x - L3 )

K1

LINEA DE REFERENCIA

L3

L4

mx

x

mg K2

L4

Ge

m (e )Fuerza de inercia



Existe algún punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce

traslación pura; es decir:

4231 LKLK

xmF

xmmeLxKLxK 4231

0meLKxKLKxKxm 422311

0LKLKxKKmexm 314221

IM 0

IxmeLLxKLLxK 442331

0xmeLKxLKLKxLKI 24242

23131

0LKLKxLKLKxmeI 242

2313142

En forma matricial:

0

0x

LKLKLKLK

LKLKKKx

Ime

mem242

2313142

314221

Pero como 4231 LKLK

0

0x

LKLK0

0KKx

Ime

mem242

231

21

En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento estático e introducen el

dinámico.

Acoplamiento estático – dinámico:

Se obtiene al elegir “x” en el extremo de la barra.



K2(x - L )

L1

K1x

K1

LINEA DE REFERENCIA

L1

L2

O

K2

G

L

mx = mL1

x

xmF

xmmLLxKxK 121

0LKxKxKmLxm 2211

0LKxKKmLxm 2211

IM A

ILLxKLxm0xK 211

0LKxLKxmLI 2221

0LKLxKxmLI 2221

En forma matricial:

0

0x

LKLK

LKKKx

ImL

mLm2

22

221

1

1

Ecuación de Lagrange.

Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en términos de coordenadas

generalizadas.



Ecuación de Lagrange para una partícula:

Considerando la ecuación del movimiento de una partícula

amF

De aquí se obtiene tres ecuaciones escalares

zmF

ymF

xmF

z

y

x

(0)

Considerando un desplazamiento virtual: kzjyixr

El trabajo virtual realizado por la fuerza es:

zFyFxFrF zyx (1)

zzmyymxxmrF

(2)

Sean 321 q,q,q un conjunto de coordenadas generalizadas para la partícula, entonces se tiene:

tqqqxx ,,, 321

tqqqyy ,,, 321 (*)

tqqqzz ,,, 321

Se puede expresar los desplazamientos virtuales z,y,x en términos de 321 q,q,q

33

22

11

qq

xq

q

xq

q

xx

33

22

11

qq

yq

q

yq

q

yy

33

22

11

qq

zq

q

zq

q

zz

Sustituyendo en (1):

33

22

11

z33

22

11

y33

22

11

x qq

zq

q

zq

q

zFq

q

yq

q

yq

q

yFq

q

xq

q

xq

q

xFrF

3321

2321

1321

qq

zz

q

zy

q

zxmq

q

yz

q

yy

q

yxmq

q

xz

q

xy

q

xxmrF



Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y 321 q,q,q son coordenadas generalizadas, se

llamará a los coeficientes 321 q,q,q fuerzas generalizadas y se designará por 321 Q,Q,Q .

Por tanto:

111

1 q

zz

q

yy

q

xxmQ ó

1z

1y

1x1 q

zF

q

yF

q

xFQ

222

2 q

zz

q

yy

q

xxmQ ó

2z

2y

2x2 q

zF

q

yF

q

xFQ

333

3 q

zz

q

yy

q

xxmQ ó

3z

3y

3x3 q

zF

q

yF

q

xFQ

Ahora se transformará los miembros derechos de estas ecuaciones. Se hará solo para el

término:1q

xx

111 q

x

dt

dx

q

xx

q

xx

dt

d Derivada de un producto

Despejando:

11 q

x

dt

dx

q

xx

dt

d

q

xx (a)

Derivando (*) 33

22

11

qq

xq

q

xq

q

xx

11 q

x

q

x

(Se deriva a todos pero 32 qq en este caso son cts..) (b)

111 q

x

dt

dx

qq

x

dt

d

(c)

(b) y (c) en (a)

111 q

xx

q

xx

dt

d

q

xx

22

2

1

2

11

x

q

x

qdt

d

q

xx



Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para 1Q

2

z

2

y

2

x

q2

z

2

y

2

x

qdt

dmQ

222

1

222

11

De donde: 11

1 q

T

q

T

dt

dQ

Siendo: 222 zyxm2

1T Energía cinética de la partícula

Análogamente se puede obtener para 32 Q,Q y en general:

3,2,1i (Ecuación de Lagrange)

Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) iQ Se tiene:

ii q

VQ

Donde V es la energía potencial de la partícula y la ecuación de Lagrange puede escribirse:

iii q

V

q

T

q

T

dt

d

0

iii q

V

q

T

q

T

dt

d

Como V es función de iq solamente, 0q

V

i

Sea VTL (Lagrangiano)

Entonces la ecuación de Lagrange tiene la forma:

Si iQ consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces iQ sería:

iii q

T

q

T

dt

dQ

0

ii q

L

q

L

dt

d



i

nii

i q

EDQ

q

VQ

niQ Parte no conservativa

ED = Energía disipativa ED= 2

2

1xc

Por tanto la ecuación de Lagrange será:

Cálculo de las fuerzas generalizadas.

Se puede calcular por medio de tres métodos:

a) A partir de la fórmula: i

j3

1jji q

xFQ

3,2,1i

1z

1y

1x1 q

zF

q

yF

q

xFQ

Ctte.

a) Este método se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:

1i q

yQ

Ejm. Deducir la ecuación de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un

grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.

Usando la ecuación de Lagrange de la forma:

niii

Qq

L

q

L

dt

d

(*)

niii

Qq

L

q

L

dt

d

mK

Fcoswt



La energía cinética es: 2xm2

1T

La energía potencial es: 2Kx2

1V

El lagrangiano es: 22 Kx2

1xm

2

1VTL

Encontrando los términos de (*)

xmxmdt

d

x

L

dt

d

Kxx

L

La fuerza generalizada no conservativa es:

tcosF

0Qnx

Para vibración libre – forzada

Por tanto la ecuación de movimiento es:

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas.

Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partículas y sea “n” el número de

partículas.

Nótese que se requieren “n” coordenadas independientes n321 q,...,q,q,q para describir un

sistema de “n” grados de libertad, donde nn 3 .

1) Forma general.

iii

Qq

T

q

T

dt

d

n,...,3,2,1i

Donde

i

jzj

i

jyj

i

jxji q

zF

q

yF

q

xFQ

2) Sistemas conservativos.

tcosF

0Kxxm

Para vibración libre - forzada



0q

L

q

L

dt

d

ii

Donde VTL

3) Para la forma alternativa.

niii

Qq

L

q

L

dt

d

T y V son la energía cinética y potencial del sistema de partículas en conjunto.

Ejm. Dos partículas en vibración libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de

dos grados de libertad.

Como el sistema es conservativo:

0q

L

q

L

dt

d

ii

Donde: 11 xq y 22 xq

La energía cinética del sistema es: 222

211 xm

2

1xm

2

1T

La energía potencial del sistema es: 223

2122

211 xK

2

1xxK

2

1xK

2

1V

El Lagrangiano: 223

2122

211

222

211 xK

2

1xxK

2

1xK

2

1xm

2

1xm

2

1L

Para la coordenada 1x :

12211122111

11111

xxKxK1xxKxKx

L

xmxmdt

d

x

L

dt

d

0xxKxKxm 1221111

K1 K2m1 m2

K3



Para la coordenada 2x :

23122222

22222

xKxxKxKx

L

xmxmdt

d

x

L

dt

d

0xKxxKxm 2312222

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.

Un cuerpo rígido puede considerarse como un conglomerado de partículas infinitamente grande

distribuidas continuamente.

Usando las energías cinética “T” y potencial “V” del cuerpo rígido, de un sistema de cuerpos

rígidos o de un sistema de partículas y cuerpos rígidos.

Ejm. Un disco circular homogéneo y uniforme de masa “m” y radio “R” está oscilando alrededor

de su posición de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibración libre


2

G2G I

2

1mV

2

1T

2

xVG

R2xR2x a)

0xKxKKxm 2212111

0xKxKKxm 1223222

K

mR

M coswta

R

R

x/2



RR22

1VG

Como 2mR2

1I (Disco) y

2222222 mR4

1mR

2

1mR

2

1

2

1Rm

2

1T

22mR4

3T (1)

La energía potencial: 21Kx

2

1V

Según el gráfico:

Por proporcionalidad Ra

x

R2

x 1

xR2

Rax1

Pero: RaxR2x 1 (b)

22RaK2

1V (2)

El Lagrangiano es: 2222 RaK2

1mR

4

3L

2

22

RaKL

mR2

3mR

2

3

dt

dL

dt

d

Para vibración forzada:

tcosMRaKmR2

3 22

1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeñas

vibraciones del péndulo doble, que consiste en dos cuerpos rígidos suspendidos en “O” y

articulados en “A”. Los centros de gravedad son 1G y 2G y los momentos de inercia respecto de

1G y 2G son 1I y 2I respectivamente, siendo las masas 1m y 2m

0RaKmR2

3 22

x1



Sean las coordenadas generalizadas de 1G y 2G

111 senax

111 cosay

2212 senasenLx

2212 cosacosLy

jcosaisenar 11111 (1)

jcosacosLisenasenLr 2212212 (2)

Derivando (1) se obtiene la velocidad

211

221

21

221

211111111 senacosaVjsenaicosaV

Factorizando: 21

21

211

21

221

21

21 aVsencosaV

Derivando (2):

jsenasenLicosacosLV 22211222112

jsenasenLicosacosLV 222211

222211

22

Desarrollando y simplificando:

1221222

22

21

222 cosLa2aLV

La energía cinética del sistema es:

2

2G

2G

1

2G

2G I

2

1mV

2

1I

2

1mV

2

1T

a1

a2

L

G1

G2

O



22212212

22

22

21

22

211

21

211 I

2

1cosLa2aLm

2

1I

2

1am

2

1T (3)

La energía potencial es: 21 VVV

2212111 cos1acos1Lgmcos1gamV (4)

1222212

211211

1

cosLamLmIamdt

dT

dt

d

12122221222212

2111211

1

senLamcosLamLmIamT

dt

d

12122221222212

22111

1

senLamcosLamLmamIT

dt

d

2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.

Energía Potencial cos1mgLKx2

1V 2 (1)

Energía Cinética 21 TTT

21 xM

2

1T (*)

Para 2T :

cosLy

senLxx

1

1 jcosLisenLxr

Derivando respecto al tiempo Vr

222 senLcosLxV

1P

MK

L

x1

x

y1



22222222 senLcosLcosxL2xV

222222 cossenLcosxL2xV

2222 LcosxL2xV (a)

Por tanto: 2222 LcosxL2xm

2

1T (**)

La energía cinética total es: 2222 mL2

1cosxmLxm

2

1xM

2

1T (2)

Lagrangiano: cos1mgLKx2

1mL

2

1cosxmLxm

2

1xM

2

1T 22222

cossenmLxmxMcosmLxmxMdt

d

x

L

dt

d 2

sencosmLxmMx

L

dt

d 2

Kxx

L

Por tanto: 0KxsencosmLxmM 2

senxcosxLmLmLcosxmLsenxmLmLcosxmLdt

dL

dt

d 22

senmgLsenxmLL

Por tanto: 0senmgLsenxmLsenxcosxLmL

Vibración armónica forzada.

Considerando un sistema excitado por una fuerza armónica tsenFF 0

0sengcosxL



m1

m2x2

x1

K2

K1

F m1

K2 (x1 - x2)

K1x1

m2K2 (x1 - x2)

F

De los diagramas de cuerpo libre:

1121211 xmFxxKxK

tsenFxKxKKxm 02212111 (1)

22212 xmxxK

0xKxKxm 221222 (2)

Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de

diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armónicos.

tsenAx1 tsenBx2

tcosAx1 tcosBx2

tsenAx 21 tsenBx 2

2

Reemplazando en (1):

tsenFtsenBKtsenAKKtsenAm 02212

1 tsen

02212

1 FBKAKKAm

Ordenando: 022

121 FBKAmKK (3)

Reemplazando en (2)

21

2221221

421

2220

KKKmKmKmmm

mKFA



0tsenBKtsenAKtsenBm 222

2 tsen

0BmKAK 2222 (4)

Formando el sistema:

0BmKAK

FBKAmKK2

222

022

121

Resolviendo por determinantes:

2

22

222

121

2220

2222

22

121

222

20

KmKmKK

mKF

mKK

KmKK

mK0

KF

A

21

2221221

421

2220

KKKmKmKmmm

mKFA

212

2212214

21

2

02

121

KKKmKmKmmm

0K

FmKK

B

212

2212214

21

02

KKKmKmKmmm

FKB

Por tanto la solución es:

Absorbedor de vibraciones dinámicas.

Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa–

resorte.

tsen

KKKmKmKmmm

mKFx

212

2212214

21

2220

1

tsenKKKmKmKmmm

FKx

212

2212214

21

022



Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,

transformará todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de

vibración.

Una de las frecuencias naturales está por encima de la frecuencia de excitación, mientras que la

otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendrá una amplitud de

vibración muy pequeña, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitación dada.

Sea una masa “M” que tiene vibración forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de “M”

agregar un sistema auxiliar masa-resorte.

El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:

121211 xMxxKxKF

tsenFxKxKxKxM 02212111

tsenFxKxKKxM 0221211 (1)

2212 xmxxK

0xKxKxm 22122 (2)

a

eAsx

Asex

Aex

st21

st1

st1

b

eBsx

Bsex

Bex

st22

st2

st2

(a) y (b) en (1)

tsenFtsenBKtsenAKKtsenMA 02212 tsen

K1

M M

K1

mx2

x1

0F

se

nwt

F

senw

t0

K2

M

K1x1

K2 (x1 - x2)

m

K2 (x1 - x2)



02212 FBKAKKMA

022

21 FBKAMKK (3)

(a) y (b) en (2)

0tsenBKtsenAKtsenmB 222 tsen

0BKAKmB 222

0BmKAK 222 (4)

Formando un sistema entre (3) y (4)

0BmKAK

FBKAMKK2

22

022

21

2

22

22

21

220

222

22

21

22

20

KmKMKK

mKF

mKK

KMKK

mK0

KF

A

Para anular la vibración de M, se hace A=0 entonces:

0mK 22

Por consiguiente se debe diseñar el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la

frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de “M” es prácticamente cero).

En general, un absorbedor se usa únicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es

casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, m

K

M

K 21 es aproximadamente cierto para el

sistema completo.

m

K 2



Vibración libre amortiguada.

112122121111 xmxxcxxKxcxK

0xKxcxKKxccxm 222212112111 (1)

22212212 xmxxKxxc

0xxKxxcxm 21221222

0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)

Como las componentes de vibración de un sistema amortiguado no son periódicos, es decir, son

movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.

a

eAsx

Asex

Aex

st21

st1

st1

b

eBsx

Bsex

Bex

st22

st2

st2

Reemplazando (a) y (b) en (1)

0BeKABsecAeKKAsecceAsm st2

st2

st21

st21

st21 ste

0BKABscAKKAsccAsm 2221212

1

Ordenando: 0BKscAKKsccsm 2221212

1 (3)

x1

x2

m2

K2c2

m1

K1

c1 m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)



Reemplazando (a) y (b) en (2)

0AeKAsecBeKBseceBsm st2

st2

st2

st2

st22 ste

0BKscsmAKsc 222

222 (4)

Cuando el sistema es homogéneo, la solución únicamente tiene sentido si:

0

KscsmKsc

KscKKsccsm

222

222

2221212

1

Desarrollando el determinante:

0KscKscsmKKsccsm 22222

222121

21 Ecuación característica.

La solución de esta ecuación de to4 grado dará 4 valores de s 4321 s,s,s,s

Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:

ts4

ts3

ts2

ts11

4321 eAeAeAeAtx

ts4

ts3

ts2

ts12

4321 eBeBeBeBtx

Donde los cuatro coeficientes desconocidos 4321 A,A,A,A .

(Las B no son incógnitas diferentes, puesto que 444111 AB,.....,AB ).

Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber: 0x,0x,0x,0x 2121

Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)

i2i2

2i22i2

21i212ii

2i2

i

i 1

Ksc

Kscsm

KKsccsm

Ksc

B

A

Donde 4,3,2,1i



Vibración forzada con amortiguamiento.

112122121111 xmFxxcxxKxcxK

tsenFxcxcxKxKxcxKxm 022122212111111

tsenFxKxcxKKxccxm 0222212112111 (1)

22212212 xmxxcxxK

0xcxcxKxKxm 2212221222

0xKxcxKxcxm 1212222222 (2)

Formando el sistema entre (1) y (2)

0xKxcxKxcxm

tsenFKxcxKKxccxm

1212222222

022212112111

La solución general de estas ecuaciones, consiste en la solución general de la ecuación

homogénea y una solución particular de las ecuaciones no homogéneas.

x1 F

sen

wt

m1

K1

c1

0

x2

m2

K2c2

m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)



La solución homogénea representa una vibración amortiguada (No tiene interés en el estudio de

problemas del absorbedor dinámico amortiguado, ya que esta vibración se amortigua

rápidamente).

La solución particular de las ecuaciones no homogéneas, que representa la vibración forzada se

halla haciendo:

tsenBtcosAx 111

tsenBtcosAx 222

“Sistemas de varios grados de libertad” Página: 122


mx2

K3

m

x1

K2

m

K1

x3

L1

L2

L3

L4

K1m1

y1

m2

y2

m3K2 K3

y3 y4

m4

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pág.

Introducción.............................................................................................................................. 122



Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125

Coeficientes de influencia........................................................................................................ 136

Introducción.

Cuando se necesitan “n” coordenadas independientes para determinar las posiciones de las masas

de un sistema, el sistema es de “n” grados de libertad.

En principio, el análisis vibracional de un sistema de “n” grados de libertad, es similar al de dos

grados de libertad. Sin embargo, debido al gran número de posibilidades que existen, hace que se

realice más trabajo.

Ecuación del movimiento.

El movimiento de un sistema de “n” grados de libertad está representado por “n” ecuaciones

diferenciales, las que se obtienen del movimiento de Newton y de la ecuación de Lagrange.



Como las ecuaciones de movimiento no son enteramente independientes, se necesita la

evaluación completa de determinantes de orden “n” para obtener la solución simultánea de estas

ecuaciones.

La evaluación de tales determinantes producirá todas las frecuencias naturales del sistema.

Otros métodos que se usan son: Método Stodola, método de Holzer y la iteración matricial, que

son métodos numéricos más directos utilizados en sistemas vibratorios de varios grados de

libertad.

Ejm. Determinar la ecuación del sistema masa resorte.

0xKxKKxmxxKxKxm 22121112121111 (1)

0xKxKxKKxmxxKxxKxm 12332322232321222 (2)

0xKxKKxmxKxxKxm 23343333432333 (3)

Suponiendo el movimiento periódico, que se compone de movimientos armónicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

tsenAx1 tsenAx 21

tsenBx2 tsenBx 22

tsenCx3 tsenCx 23

Reemplazando estos valores en (1), (2), (3)

0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212

1 tsen

0BKAKKAm 2212

1

K1 K2m1 m2 m3

K3 K4

m2m1 m3K1x1 K2 (x1 - x2) K3 (x2 - x3) K4x3




0BKAmKK 22

121 (4)

0tsenAKtsenCKtsenBKKtsenBm 23322

2 tsen

0AKCKBKKBm 23322

2

0CKBmKKAK 32

2322 (5)

0tsenBKtsenCKKtsenCm 3432

3 tsen

0BKCKKCm 3432

3

0CmKKBK 23433 (6)

La ecuación de frecuencias se encuentra igualando a cero el determinante de A, B, C,es decir:

0

mKKK0

0mKKK

0KmKK

23433

22322

22

121

Desarrollando el determinante:

0mKKKmKKKmKKmKKmKK 2121

23

2343

22

2343

2232

2121

2

31

4321

32

424332

21

3132214

3

43

2

32

1

216

mm

KKKK

mm

KKKKKK

mm

KKKKKK

m

KK

m

KK

m

KK

0mmm

KKKKKKKKKKKK

321

421431432321

Ecuación de Lagrange.

Para el mismo sistema del caso anterior. El sistema es conservativo; por tanto:

0q

L

q

L

dt

d

ii

Donde: L = T – V

233

222

211 xm

2

1xm

2

1xm

2

1T



234

2323

2212

211 xK

2

1xxK

2

1xxK

2

1xK

2

1V

L = 233

222

211 xm

2

1xm

2

1xm

2

1 2

342

3232

212211 xK

2

1xxK

2

1xxK

2

1xK

2

1

0xKxKKxm

xKxKKxxKxKx

L

xmxmdt

d

x

L

dt

d

2212111

22121212111

11111

0xKxKxKKxm

xKxKxKxK1xxK1xxKx

L

xmx

L

dt

d

123323222

332322123232122

222

0xKxKKxm

xKxKxKxK1xxKx

L

xmx

L

dt

d

2334333

343323343233

333

El resto es igual que el caso anterior.

Matrices de flexibilidad y rigidez.

El uso de matrices en el análisis vibracional, no solo simplifica el trabajo, sino que también ayuda

a comprender el procedimiento usado en la solución. Esto particularmente para sistemas de varios

grados de libertad.

Las ecuaciones diferenciales del movimiento para un sistema de “n” masas puede expresarse en

general como:

0qK...qKqKqm...qmqm

....................................................................................................

0qK...qKqKqm...qmqm

0qK...qKqKqm...qmqm

nnn22n11nnnn22n11n

nn2222121nn2222121

nn1212111nn1212111

En forma matricial



0

.

.

.

0

0

q

.

.

.

q

q

K...KK

....

....

....

K...KK

K...KK

q

.

.

.

q

q

m...mm

....

....

....

m...mm

m...mm

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

En forma simple

0qKqM (1)

M Matriz de inercia

K Matriz de rigidez

Si se multiplica por 1M a la ecuación (1) se tiene:

0qKMqMMC

1

I

1

0 qCq (2)

Donde: KMC 1 Matriz dinámica o matriz del sistema

Suponiendo movimiento armónico qq siendo 2 (Frecuencia natural)

0 qCq

Ordenando y factorizando: 0 qC

Por concepto de diferencia y producto de matrices:

0 qIC

Las frecuencias naturales se obtienen de la ecuación característica: 0 IC que es el

determinante igual a cero.

Las raíces i de la ecuación característica son los valores propios y las frecuencias naturales se

obtienen a partir de ellas por medio de la relación: 2ii



Sustituyendo cada i en la ecuación matricial, se obtiene la correspondiente forma MODAL ix

denominada vector propio.

Así para un sistema con “n” grados de libertad, se tiene “n” valores propios y “n” vectores

propios.

Se sabe que, según se escojan las coordenadas, un sistema tiene acoplamiento estático o

dinámico.

Para todo sistema existe un conjunto de “Coordenadas principales” que expresa la ecuación de

movimiento en la forma no acoplada, tales coordenadas no acopladas son deseables, puesto que

cada ecuación puede resolverse independientemente.

Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con “n” grados de libertad,

siempre que se conozca los modos normales del sistema. Cuando se arreglan los “n” modos

normales (Vectores propios) en una matriz cuadrada, con cada modo norma como columna, se

llama MATRIZ MODAL.

Así, la matriz modal para un sistema de tres grados de libertad será:

33

2

1

23

2

1

13

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

P

La transpuesta de P se denomina como P’ y es :

3321

2321

1321

'

xxx

xxx

xxx

P

Si se forma el producto P’MP se obtiene:

2

1

0

0'

M

MMPP



Como 0 xKxM

0'' xMPPxMPP

021 yDyD

Donde los términos iM son la masa generaliza

También si se realiza el producto P’KP se obtiene

2

1

0

0'

K

KKPP

Donde iK es la rigidez generalizada

Si cada una de las columnas de la matriz modal “P” se divide por la raíz cuadrada de la masa

generalizada iM , la nueva matriz es la MATRIZ MODAL REDUCIDA y se la designa como P~

Se puede ver que si se diagonaliza la matriz de masa con la matriz modal reducida, se obtiene la

matriz modal.

IPMP ~'~

Como iii KM 1 , entonces la matriz de rigidez tratada similarmente por la matriz modal

reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios.

n

PKP

...00

..

..

..

0...0

0...0

~'~

2

1

Ejm. Aplicación en el siguiente problema:

KKm m

x1 x2K



22

21 2

1

2

1xmxmT

22

212

21 2

1

2

1

2

1KxxxKKxV

L= 22

21 2

1

2

1xmxm 2

22

1221 2

1

2

1

2

1KxxxKKx

1211

11

xxKKxx

L

xmx

L

dt

d

0

0

1211

1211

KxKxKxxm

xxKKxxm

02 211 KxKxxm

2122

22

KxxxKx

L

xmx

L

dt

d

0

0

2122

2122

KxKxKxxm

KxxxKxm

02 212 KxKxxm

La forma Matricial:

000

0

2

2

0

0

2

1

2

1

xCxxKxM

x

x

KK

KK

x

x

m

m

Sea:

m

mM

0

0

m

mM10

011

mK

mK

mK

mK

KK

KK

m

mCKMC2

2

2

210

011

La ecuación característica: 00 ICxIC (*)

00

0

2

2

mK

mK

mK

mK

02

2

mK

mK

mK

mK

Desarrollando: 0222 m

Km

K

022 mK

mK

mK

mK



mK

mK

mK 33..........03 2

1

mK

mK

mK 2

2..........0

Ahora se hallará la matriz Modal. Para ello se reemplaza cada en (*)

mK

P3

0

0

30

03

2

2

2

1

x

x

mK

mK

mK

mK

mK

mK

0

0

2

1

x

x

mK

mK

mK

mK

0

0

21

21

xm

Kx

m

K

xm

Kx

m

K

Como es la misma, solo se toma una ecuación

021 xm

Kx

m

K

m

K

21 xx

Si 2x

1

1

2

1

2

1

x

x

x

x

mK

P

0

0

0

0

2

2

2

1

x

x

mK

mK

mK

mK

mK

mK

0

0

2

1

x

x

mK

mK

mK

mK

0

0

21

21

xm

Kx

m

K

xm

Kx

m

K

Como es la misma, solo se toma una ecuación

021 xm

Kx

m

K

m

K

21 xx



Si 2x

1

1

2

1

2

1

x

x

x

x

Entonces la matriz Modal es:

11

11P y su transpuesta

11

11'P

Realizando el producto:

11

11

0

0

11

11'

m

mMPP

m

mMPP

20

02'

11

11

2

2

11

11'

KK

KKKPP

K

KKPP

20

06'

Ahora es posible desacoplar el sistema:

0

0

20

06

20

02

2

1

2

1

x

x

K

K

x

x

m

m

Desarrollando:

022

062

22

11

Kxxm

Kxxm

1. Determinar la matriz dinámica del sistema bifurcado. ¿Cuáles son las coordenadas principales?


23

22

21 xm

2

1xm

2

1xm

2

3T (1)

m

m3m

K K

2K

x1 x2

x3



23

231

221 Kx

2

1xxK

2

1xxK2

2

1V

La energía potencial:

23

231

221 Kx

2

1xxK

2

1xxKV (2)

Lagrangiano:

L 23

22

21 xm

2

1xm

2

1xm

2

3 - 2

32

312

21 Kx2

1xxK

2

1xxK (3)

m3/P

0KxKx2Kx3xm3xxKxxK2

x

L

xm3x

L

dt

d

3211

31211

11

(4)

m/P

0Kx2Kx2xmxxK2

x

L

xmx

L

dt

d

122

212

22

(5)

m/P

0KxKx2xm

KxxxKx

L

xmx

L

dt

d

133

3313

33

(6)

Estas tres ecuaciones en forma matricial son:

0

0

0

x

x

x

K20K

0K2K2

KK2K3

x

x

x

m00

0m0

00m3

3

2

1

3

2

1

Donde la matriz de inercia es:

m00

0m0

00m3

M



Su inversa es:

m

100

0m

10

00m3

1

M 1

La matriz de rigidez es:

K20K

0K2K2

KK2K3

K

La matriz dinámica C está dada por: KMC 1

K20K

0K2K2

KK2K3

m100

0m10

00m31

C

Para hallar las frecuencias naturales se recurre a la ecuación característica: 0CI

0

mK20m

K

0mK2

mK2

m3K

m3K2

mK

00

00

00

0

mK20m

K

0mK2

mK2

m3K

m3K2

mK

mK20m

K

0mK2

mK2

m3K

m3K2

mK

C



0m

K2

m3

K4

m

K2

m3

K

m

K2

m

K2

2

2

22

Desarrollando y ordenando:

0m

K

3

2

m

K4

m

K

3

4

m

K

3

7

m

K3

3

2

2

2

223

Resolviendo se obtiene las frecuencias naturales.

2. Si

lgp

seglb1mm 21 y 200K 1 ,

lgplb400K 2 . Encuentre las frecuencias del

sistema que se muestra en la figura.

222

211 xm

2

1xm

2

1T

2212

211 xxK

2

1xK

2

1V

Lagrangiano: 222

211 xm

2

1xm

2

1L 2

212211 xxK

2

1xK

2

1

1m/P

0xKxKxKxm

xxKxKx

L

xmx

L

dt

d

22121111

212111

111

0xKxKKxm 2212111 (1)

2m/P

0xKxKxm

1xxKx

L

xmx

L

dt

d

121222

2122

222

K1 K2m1 m2



0xKxKxm 122222 (2)

Método matricial

0

0

x

x

KK

KKK

x

x

m0

0m

2

1

22

221

2

1

2

1

La forma matricial 0xKxM

Despejando: 0xCx0xKMx 1

2

11

m10

0m1

M

2

2

2

2

1

2

1

21

22

221

2

1

m

K

m

Km

K

m

KK

CKK

KKK

m10

0m1

C

Ecuación característica:

0

m

K

m

Km

K

m

KK

0

00CI

2

2

2

2

1

2

1

21

0

m

K

m

Km

K

m

KK

2

2

2

2

1

2

1

21

Si K2KKK 21 y 1mm 21 Entonces

0K2K2

K2K3

Resolviendo el determinante:

0K4K2K3 2

0K4K6K5 222

0K2K5 22



2

K123.4K5

2

K8K25K5 22

4.912200562.4K562.42

K123.911

8.87200439.0K439.02

K877.022

211

222

Coeficientes de influencia.

El coeficiente de influencia de flexibilidad ija se define como el desplazamiento en “i” debido a

la fuerza unitaria aplicada en “j”, con fuerzas 321 ,, fff actuando en los puntos 1,2 y 3 y se puede

aplicar el principio de superposición para determinar los desplazamientos en términos del

coeficiente de influencia a la flexibilidad.

3132121111 fafafax

3232221212 fafafax

3332321313 fafafax

En forma matricial:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

f

f

f

aaa

aaa

aaa

x

x

x

fax (1)

Donde: a Matriz de flexibilidad

Si se multiplica (1) por 1a

xaf 1

segrad206.301

segrad37.92



Pero: xKfaK 1 (2)

Donde K es la matriz de rigidez y nótese que es la matriz inversa de a

En forma matricial

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

x

x

x

KKK

KKK

KKK

f

f

f

(3)

Los elementos de la matriz de rigidez tienen la siguiente interpretación:

Si 01 321 xxx Las fuerzas en 1,2 y 3 que se requieren para mantener este

desplazamiento según (3)son: 313212111 ;; KfKfKf , es decir, la primera columna de K .

Si 323222121321 ;;0,1,0 KfKfKfxxx que es la segunda columna de K .

En general para establecer los elementos de rigidez de cualquier columna, es hacer el

desplazamiento correspondiente a esa columna igual a la unidad, con todos los demás

desplazamientos igual a cero y medir las fuerzas requeridas en cada estación.

Se puede demostrar que jiij aa

Este es el teorema recíproco de MAXWELL.

ija Deflexión en la posición “i” debido a una fuerza unitaria aplicada en la posición “j”

jia Deflexión en la posición “j” debido a una fuerza unitaria aplicada en la posición “i”

Ejm. Determinar los coeficientes de influencia del sistema masa resorte.

m 2m 3m2K3K K



KF

aDeflexionK

F

Al aplicar una fuerza unitaria a la masa “m” se estira K

a3

111

Las masas “2m” y “3m” como no sufren deformaciones, entonces deben recorrer la misma

distancia; es decir:

Kaa

3

13121

Además por el teorema recíproco de MAXWELL K

aaK

aa3

1

3

112211331

Para hallar 22a se aplica una fuerza unitaria 2f a la masa “2m”

Pero los resortes “3K” y “2K” están en serie, por lo que se debe hallar el eqK

KKK

KK

KKKK eqeqeq 5

6

6

321

2

1

3

112

Ka

6

522

Como la masa “3m” no debe deformarse, entonces K

aa6

52332

Para hallar 33a se aplica una fuerza unitaria en “3m”, pero nuevamente están en serie los resortes:

KKK

KKK

KKKKK eqeqeq 11

6

6

63211

2

1

3

113

222

Ka

6

1133

Por tanto:

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

6

11

6

5

3

16

5

6

5

3

13

1

3

1

3

1

333231

232221

131211



1. Determinar el movimiento general del sistema que se muestra

12112 xmxxKKx

02 2111 xxKKxxm

03 211 KxKxxm (1)

23221 xmxxKxxK

032212 xxKxxKxm

02 3212 KxKxKxxm (2)

3332 2 xmKxxxK

02 3323 KxxxKxm

03 323 KxKxxm (3)

Suponiendo el movimiento como periódico compuesto de tres movimientos armónicos:

tsenAxtAsenx 211

tsenBxtBsenx 222

tsenCxtCsenx 233

Reemplazando en 1,2 y 3

032 tKBsentKAsentsenAm tsen

032 KBKAmA

03 2 KBAmK (4)

022 tKCsentKBsentKAsentsenmB tsen

022 KCKBKAmB

02 2 KCBmKKA (5)

032 tKCsentKBsentCsenm tsen

2K

m

m

m

K

K

2K

x3

x2

x1

m

m

m

2Kx1

K (x1 - x2)

K (x1 - x2)

K (x2 - x3)

K (x2 - x3)

2Kx3



032 KCKBmC

03 2 CmKKB (6)

Con 4,5 y 6 se forma un sistema lineal homogéneo:

03

02

03

2

2

2

CmKKB

KCBmKKA

KBAmK

Una solución del sistema es A = B = C = 0 (la trivial), la cual define la condición de equilibrio

del sistema.

LA otra solución se obtiene igualando a cero el determinante de los coeficientes:

0

30

2

03

2

2

2

mKK

KmKK

KmK

Resolviendo:

033323 2222222 mKKmKKmKmKmK

03223 22222 mKKmKmK

Sea 2ma

03223 22 aKKaKaK

02233 2 KaKaKaK

Igualando a cero cada factor:

m

KmKaK 30303 2

12

0256 222 KaKaK

045 22 KKaa

045 2242 KmKm

04 22 KmKm

m

KKm 404 2

22



m

KKm 2

32 0

Por tanto la solución general está compuesto de tres movimientos armónicos cuyas frecuencias

son: 321 ,, .

Estas frecuencias son: La frecuencia fundamental y el primer y segundo armónico.

tsenAtsenAtsenAx 3322111

tsenBtsenBtsenBx 3322112

tsenCtsenCtsenCx 3322113

Expresando las amplitudes B y C en función de A en virtud a las razones de amplitud

De la ecuación (4) K

mK

A

B 23

mKP 32

1

00

331

1

1

1

1

BA

B

K

KK

A

B

mKP 42

2

222

2

2

2 143

ABA

B

K

KK

A

B

mKP 2

3 333

3

3

3 223

ABA

B

K

KK

A

B

Para hallar C en función de A, se recurre a la ecuación (5)

02 2 KCBmKKA KA

02

12

A

C

A

B

K

mK

12 2

A

B

K

mK

A

C

111

1

1

1

1

1

1

1

21

110111132

3AC

A

C

A

B

A

B

K

KK

A

C

m

KP



222

2

2

2

2

2

22

1112142

4AC

A

C

A

B

K

KK

A

C

m

KP

333

3

3

3

3

3

23

112112

ACA

C

A

B

K

KK

A

C

m

KP

Reemplazando estos valores se tiene el movimiento general.

t

m

KsenAt

m

KsenAt

m

KsenAx 3211 43

t

m

KsenAt

m

KsenAx 322 24

t

m

KsenAt

m

KsenAt

m

KsenAx 3213 43

“Vibración torsional” Página: 143


VIBRACIÓN TORSIONAL

Detalles Pág.

Péndulo de torsión.................................................................................................................... 143

Vibración torsional................................................................................................................... 147

Método Holzer.......................................................................................................................... 149

Método Holzer para vibración torsional................................................................................... 152

Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

Es el movimiento angular periódico de ejes elásticos que tienen discos rígidamente unidos a ellos.

Péndulo de torsión.

El péndulo de torsión está formado por un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un eje

fijo en el espacio.

Cuando el cuerpo rota en un ángulo “ ” desde su posición de equilibrio, el momento para

retorcer el árbol es proporcional a “ ”

Por resistencia de materiales:

L

GIM p

t

K

J



Donde: G = Módulo de elasticidad al cizalle (Módulo de rigidez transversal)

pI = Momento polar de inercia de la sección transversal del eje.

Para una sección transversal circular maciza se tiene:

2

4rI p

Entonces: L

GrMt 2

4

(1)

El momento restaurador producido por el árbol es opuesto y de igual magnitud que (1)

tr MM (2)

donde: IM r

J = Momento de inercia del volante o cuerpo

= aceleración angular.

Según (2): L

GrJ

2

4

Sea : L

GrK

2

4 Rigidez rotacional o torsional

Entonces: KJ

0 KJ J

0 J

K (3)

La ecuación (3) es un M.A.S., por tanto, la frecuencia circular es: J

K2

y el periodo K

J 2

En la vibración torsional existen también conexiones en serie y en paralelo.

L1 L2

Volante

1 2

D

PARALELO

L1 L2

D1 2

SERIE



21 KKKeq (En Paralelo) 21

111

KKKeq

(En Serie)

La configuración de la figura tiene dos grados de

libertad (Correspondientes a los ángulos de torsión de

las dos ruedas).

Sin embargo puede considerarse como un sistema de

un solo grado de libertad, considerando la variación

con el tiempo del ángulo relativo de torsión de las dos

ruedas.

Cuando el sistema vibra, las ruedas giran en sentido

contrario.

Existe una sección transversal fija al que se denomina

NODO y las secciones transversales a distintos lados

del nodo giran en direcciones opuestas.

Se puede considerar que el radio divide al sistema en dos sistemas componentes, cada uno de los

cuales está empotrado en un extremo.

Como las frecuencias naturales de los sistemas componentes deben ser iguales:

202

201

2

2

1

1

I

K

I

K

Como: GL

rK

2

4

2,93 1,71

K

C

K1

K2

I1I2

1 2

01

02



K

0.2 m.

0.3 m.

L

12212

2

4

1

1

4

22ILIL

I

GL

r

I

GL

r

Como: 1

1

2

11221 L

LL

I

ILLLLLL

1. La placa rectangular de 10 Kg. Está suspendida por su centro, por una varilla que presenta una

rigidez a la torsión K=1.5 Nm/rad. Determine el periodo natural de vibración de la placa cuando

experimenta un pequeño desplazamiento angular “ ” en el plano de la placa.

IMt

Por resistencia de materiales:

L

GIM p

t

Para una sección circular maciza 2

4rI p

L

Grr

L

GMt 22

44

Por tanto: 022

44

L

GrII

L

Gr

Sea: L

GrK

2

4Rigidez a la torsión



b x

y

a

0 KI I

0 I

K Siendo I = Momento de inercia de la placa

Como es un M.A.S.

2

12

1mbIx

2

12

1maI y

22

12

1bamIz

Según la tabla: 108.03.02.01012

1

12

1 2222 bamIz 2mKg

Reemplazando en *

727.3108.0

5.1

El periodo natural de vibración es:

727.3

22

Vibración torsional.

Es el movimiento angular periódico de ejes elásticos que tienen discos rígidamente unidos a ellos.

Existe semejanza muy estrecha entre las vibraciones rectilíneas y las vibraciones torsionales, por

lo que la teoría para la vibración lineal puede ser aplicada en la vibración torsional.

x

x

seg686.1

IK



x

xmF J

K K (Rigidez torsional)

2

2

1xm 2

2

1 J (Energía cinética)

2

2

1Kx 2

2

1 K (Energía potencial elástica)

m

K

J

K (Frecuencia natural)

tsenFKxxcxm 0 tsenTKcJ 0

Ejm. Sea el siguiente sistema. Determinar las frecuencias de vibración si

25

25

1 10*210*1seg

KgKK

.

2211,5 321 rad

mKgJJJ

02211111211 KKJJK (1)

032221112222322211 KKKKJJKK (2)

032223333322 KKJJK (3)

Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de

diferentes amplitudes y frecuencias

tsenAtAsen 211 .....

tsenBtBsen 222 .....

J1J2

J3

K1 K2 K1( - )

J1J2

J3

1 2 K2( - )32




tsenCtCsen 233 .....

Reemplazando en (1), (2) y (3) se obtiene:

0

0

0

2322

22

2211

12

11

CJKBK

CKBJKKAK

KBAJK

Determinante igual a cero

0

0

0

2322

22

2211

12

11

JKK

KJKKK

KJK

Reemplazando los valores de ii JK se obtiene la ecuación de frecuencias y haciendo 2

010*210*4.510*2.681210 1511263

De donde:

Método Holzer.

Método tabular que se emplea para determinar la frecuencia natural de vibraciones libres o

forzadas, con amortiguamiento o sin él.

El método se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema, cada una de las

cuales se hace con base en el cálculo de la configuración regida por la frecuencia supuesta

inmediatamente antes.

El método HOLZER es particularmente útil para calcular las frecuencias torsionales en ejes.

Para sistemas con ambos extremos libres.

segrad

segrad

658.202

666.123

2

1



j

i

ij

iii xm

Kxx

1

1

2

1

Para sistemas con un extremo fijo y uno libre.

j

i

ji

ii xmK

xx

1

1

2

1

Para sistemas con ambos extremos fijos.

1

1

21

1 i

jjiii

ii xmxKK

xx

PASOS.

1. Suponer una frecuencia natural “ ” y una amplitud unitaria de vibración para la

primera masa.

2. Se calculan las amplitudes por la fórmula y fuerzas de inercia para todas las demás

masas.

3. Para sistemas con extremos fijos, la amplitud de vibración de la última masa será cero.

4. Para sistemas con extremos libres, la fuerza total de inercia es cero

Los demás valores (Amplitud o fuerza de inercia) para cada una de las frecuencias supuestas se

grafican contra los valores supuestos de la frecuencia natural, para hallar las frecuencias

verdaderas del sistema.

Utilizar el método HOLZER para determinar las frecuencias naturales del sistema de 4 masas, si

K=1 lb/Plg. y m=1 lb-seg2/Plg.

m 2m 3m3K4K 2K

(4)K

3m

(3) (2) (1)



Para sistemas con un extremo libre y otro fijo:

j

i

ji

ii xmK

xx

1

1

2

1

ITEM MASA 2m ix 2mx 2mx K Kmx 2

2.0 1

2

3

4

5

4

3

2

1

0.16

0.12

0.08

0.04

1

0.84

0.7096

0.604

0.519

0.16

0.101

0.0568

0.0242

-

0.16

0.261

0.318

0.342

-

1

2

3

4

-

0.16

0.1305

0.106

0.0855

-

3.0 1

2

3

4

5

4

3

2

1

0.32

0.27

0.18

0.02

1

Resolver el siguiente ejercicio.

m1m2K1K2

lg1

2

21 Pseglbmm

lg4001 PlbK

lg2002 PlbK



2

11 xx

12

1 xmF

1

12 1

K

Fx

22

212 xmFF

2

223 K

Fxx

5 25

10 100

9 81

20 400

30 900

31 961

11 x

2512511 F

11 x

100110011 F

11 x

8118111 F

11 x

400140011 F

11 x

900190011 F

11 x

961196111 F

9375.0400

2512 x

4375.489375.0251252 F

75.0400

10012 x

17575.010011002 F

7975.0400

8112 x

5975.1157975.0811812 F

00.0400

40012 x

40000.040014002 F

25.1400

90012 x

22525.190019002 F

4025.1400

96112 x

8025.3864025.196119612 F

6953.0200

4375.489375.03 x

125.0200

17575.03 x

0695.0200

5975.1157975.03x

2200

40000.03 x

125.0200

22525.13

x

3365.3200

8026.3864025.13x

Método Holzer para vibración torsional.

Este método se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema y empezando

con una amplitud unitaria en un extremo del sistema y calculando progresivamente el torque y el

desplazamiento angular en el otro extremo.

Las frecuencias que resulten en torque externo cero o condiciones de borde compatibles en el otro

extremo, son las frecuencias naturales del sistema.

J3J1 J2 J4

12

3

4

K1 K2 K3

seg

rad91

seg

rad302



Sea el sistema torsional mostrado en la figura.

K = Rigidez torsional

J = Momento de inercia del disco

El momento restaurador producido por el árbol es opuesto y de igual magnitud al momento

torsor.

tr MM

KJ (1)

Donde: L

GrK

2

4Rigidez torsional (Para un eje macizo)

De (1) 0 J

K (ecuación del movimiento armónico simple)

02 Frecuencia natural

Despejando: 2 (2)

Reemplazar (2) en (1)

K

JKJ

2

2 (3)

Suponiendo una frecuencia “ ” y una amplitud 11 para el primer disco

Reemplazar en (3)

211

21

K

J Pero 11

21

21 1

K

J

De donde: 1

21

2 1K

J (4)

Conocido “ 2 ”, el torque de inercia del segundo disco se calcula como: 22

2 J y la suma de los

dos primeros torques de inercia actúan sobre el eje “ 2K ” torsionandolo en:

322

22

22

1

K

JJ (5)

De esta manera, la amplitud y el torque de cada disco se puede calcular.

El torque resultante en el extremo más alejado es:



Repitiendo los cálculos con otros valores de “ ”, las frecuencias naturales se encuentran cuando

0extT , los desplazamientos angulares “ i ” correspondientes a las frecuencias son las formas

modales.

Ejm. Determinar las frecuencias naturales y formas modales del sistema mostrado si se tiene:

J3J1 J2

K1 K2

rad

mKgJJJ 2211,5 321

26

26

1 10*2.010*1.0seg

KgKK

2

12

11

11

JT

1

12 1

K

T

22

212 JTT

2

223 K

T

32

323 JTT

I 20

400

11

2000140051 T

98.010*1.0

20001 62

631298.04001120002 T

94844.010*2.0

631298.0 63

272.1465894844.04002263123 T

40

1600

11

80001160051 T

92.010*1.0

80001 62

2419292.016001180002 T

79904.010*2.0

2419292.0 63

208.5231879904.0160022241923 T

100

10000

11

5000011000051 T

5.010*1.0

500001 62

1050005.01000011500002 T

263 10*5.2

10*2.01050005.0

9950010*5.21000022105000 23 T

120

14400

11

7200011440051 T

28.010*1.0

720001 62

11635228.01440011720002 T

30176.010*2.0

11635228.0 63

432.2075430176.014400221163523 T

123.666

15293.279 11 235336.02 344944258.03

i

n

iiext JT 2

1



J3J1 J2

K1 K2

1.0

-1.0

W = 123.6660.235

-1.053

-0.345

0.299

W =

202

.6580 W

FORMAS MODALES

3978.764661 T 0517.1160562 T 181562.13 T

II 180

32400

11

1620001 T

62.02

589682 T

32516.03

048.2907423 T

202.658

41070.265

11

3248.2053511 T

05351.12

4262.2705972 T

29948.03

1133.63 T

La cantidad “ 3T ” es el torque a la derecha del disco (3) que debe ser cero a las frecuencias

1 6 0

- 1 0 0 0 0

- 2 9 0 7 4 2 . 0 4 8

- 3 0 0 0 0

- 1 5 0 0 0

- 2 0 0 0 0

- 2 5 0 0 0

1 0 0 0 0

- 6 . 1 1 3 3- 1 . 1 8 1 5 6 2

- 5 0 0 0

5 0 0 0

4 02 0

2 0 7 5 4 . 4 3 2

1 4 6 5 8 . 2 7 21 5 0 0 0

2 0 0 0 0

2 5 0 0 0

1 0 08 06 0 1 2 0 1 4 0

3 0 0 0 0

3 5 0 0 0

4 0 0 0 0

4 5 0 0 0

5 2 3 1 8 . 2 0 85 5 0 0 0

5 0 0 0 0

9 9 5 0 0T 3

2 2 01 8 0 2 0 0 W

658.202

666.123

0

3

2

1



K1 K2

J1J2

J3

1. Utilizar el método HOLZER para determinar las frecuencias naturales de vibración torsional

del sistema si 1321 JJJ y 121 KK

La ecuación correspondiente sería:

i

iii J

K 1

2

1

ÍTEM iJ 2iJ i 2 iJ i

i

iJ 2

1 ijK

ij

ii K

J 2

5.0

1

2

3

1

1

1

0.25

0.25

0.25

1

0.75

0.3125

0.25

0.1875

0.0781

0.25

0.4375

0.5156

1

1

0.25

0.4375

0.1

1

2

3

1

1

1

1

1

1

1

0

-1

1

0

-1

1

1

0

1

1

1

1

5.1

1

2

3

1

1

1

2.25

2.25

2.25

1

-1.25

-0.687

2.25

-2.8125

-1.546

2.25

-0.5625

-2.1085

1

1

2.25

-0.5625

79.1

1

2

3

1

1

1

3.2041

3.2041

3.2041

1

-2.2041

1.654

3.2041

-7.062

5.299

3.2041

-3.8579

1.4411

1

1

3.2041

-3.8579



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.51.11.00.9 1.31.2 1.4 1.6 1.91.7 1.8 2.0

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

Por tanto:

01 segRad

0.12 segRad

7.13 segRad

Sistemas con rotores acoplados por engranajes.

Considerando un conjunto de dos rotores con momentos de inercia “ 21 JJ ” que están acopladas por engranajes. Donde la relación de transmisión está definida como la razón entre la velocidad angular de la rueda conducida a la conductora.

JK

1

1

J2

2K



2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

T

T

Z

Z

D

D

n

ni

(1)

Donde: Velocidad angular

n = Frecuencia angular Desplazamiento angular

D = Diámetro Z = Número de dientes T = Torsión

Para reducir el sistema dado a otro más simple, se tiene dos posibilidades:

a) Todos los elementos para el eje de entrada de potencia. b) Todos los elementos para el eje de salida de potencia.

En ambas posibilidades se debe asegurar que el sistema real y el sistema reducido tengan energía cinética y potencial iguales.

La energía cinética de (2) es: 2222 2

1 JT Pero según (1) 12 i

22'

21222

122 2

1

2

1JiJJiiJT (2)

La energía potencial es: 22'

22

122222 2

1

2

1KiKiKKV (3)

Por consiguiente, el sistema reducido queda: A partir de este sistema reducido, también se puede hacer que este eje escalonado pueda ser sustituido por un único eje, es decir; por un eje equivalente, lo que se determina por conexión en serie, es decir:

21

'21

'21

111

KK

KKK

KKK eqeq

Quedando el sistema equivalente como:

22

1

221

KiK

iKKKeq

J1 2J1K K2 ,



EJM. Si los momentos de inercia de las ruedas dentadas son despreciables y 21 2JJ , también

KKK 21 y la razón de engrane es 3i . Determinar la frecuencia de vibración torsional.

De la relación de transmisión: 121

2

ii

La energía cinética 2222 2

1 JT 22'

21222

122 2

1

2

1JiJJiiJT

Como 3i ; 1'21221 2

9

2

12 JJJJJJ (1)

Sistema equivalente: Hallando las ecuaciones de movimiento:

02111 eqKJ (2)

0212'2 eqKJ (3)

Multiplicando por “ '2J ” a (2) y por “ 1J ” a (3)

021'21

'21 JJJ

02112'21 eqKJJJ

Sumando: 021

'2121

'21 JJKJJ eq

'21JJ

021'21

'21

21

JJ

JJKeq

Comparando con la ecuación del M.A.S.

1J,

J2

Keq

J1

K

2

KJ

1J,

J2

Keq



'21

'212

JJ

JJKeq (4)

Como la rigidez equivalente es: KKK

K

KiK

iKKKeq 10

9

3

32

22

22

1

221

(5)

(1), (5) en (4)

21

1

21

112

2

92

11

10

9

2

92

9

10

9

J

JK

J

JJK

11

2 1.110

11

J

K

J

K

1

05.1J

K

“Velocidades críticas en rotores” Página: 161


VELOCIDADES CRITICAS EN ROTORES

Detalles Pág.

Introducción.............................................................................................................................. 161

Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.......................................................... 161

Balanceo de rotores.................................................................................................................. 164

Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164

Equilibrado............................................................................................................................... 164

Causas de desequilibrio............................................................................................................ 164

Balanceo en un plano............................................................................................................... 165

Método vectorial de balanceo en un plano............................................................................... 166

Tipos de desequilibrio.............................................................................................................. 167

Estático..................................................................................................................................... 167

Por par de fuerzas..................................................................................................................... 167

Dinámico.................................................................................................................................. 168

Cuasi estático............................................................................................................................ 168

Balanceo en dos planos............................................................................................................ 168

Introducción.

Cuando una viga es reemplazada por masas concentradas, conectadas por elementos de viga sin

masa, se puede utilizar el método desarrollado por MYKLESTAD para el cálculo progresivo de

deflexión, pendiente, momento y cortante de una sección a la próxima en forma similar al método

HOLZER.

El método de MYKLESTAD puede extenderse al problema de la viga rotante, tal como hélice y

cuchillas de turbina que vibran en un plano perpendicular al eje de rotación.

Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.

Los modos naturales de vibración de un aeroplano y otras estructuras tipo viga están a menudo

acoplados en flexo-torsión.



Para tratar este problema, se considera la siguiente figura.

CONDICIONES.

- El eje elástico de la viga relativo al cual la rotación torsional tiene lugar, es supuesto

inicialmente recto.

- Es capaz de sufrir torsión puro, su desplazamiento de flexión está limitado al plano vertical.

- Los ejes principales de flexión para todas las secciones transversales son paralelos en el

estado no deformado.

- Las masas se concentran en cada estación con su centro de gravedad a “ iC ” del eje elástico y

“ iJ ” es el momento de inercia de la sección con respecto al eje elástico.

Es decir, según STEINNER: 2iicgi cmJJ

De la segunda ley de Newton para sistemas de fuerzas y sistemas torsionales, además utilizando

los coeficientes de influencia, se tiene:

Ci G

Eje Elástico

ii mJ

Yi

Yi+1

Ti

Mi Vi

Mi+1Vi+1

Li

Ti+1

i

i+1

i+1

iYi

iGEi

mi Ji Respecto a G

Sección transversal



iiiiii cymVV 2

1

iiii LVMM 11

iiiiiii ycmJTT 221

ii

i

iii EI

LM

EI

LV

1

2

11 2

i

i

i

iiiii EI

LM

EI

LVLyy

23

2

1

3

11

iiii hT 11

Donde:

T = Torque

h = Coeficiente de influencia torsional = pGI

L

= Rotación torsional del eje elástico

= Pendiente

iEI

L Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a un momento

unitario en ”i + 1”.

iEI

L

2

2

Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a una fuerza

cortante unitaria en ”i + 1”.

iEI

L

3

3

Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a una fuerza

cortante unitaria en ”i + 1”.

Para vigas que tienen extremos libres, se tiene las siguientes condiciones de contorno para

inicializar el cálculo.

0111 TMV

111 ;0.1; y



Las frecuencias naturales se generan, satisfaciendo las condiciones de borde del otro extremo.

Balanceo de rotores:

Desbalance rotatorio.

El desvalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria.

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si el centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.

Generalmente la cantidad de desbalanceamiento rotacional se expresa por “ em ” donde “m” es la

masa excéntrica equivalente y “e” es la excentricidad.

Equilibrado.

Las condiciones que deben existir para poder equilibrar una pieza con el analizador de

vibraciones son:

- La vibración debe ser el resultado de un desequilibrio.

- Se debe poder efectuar correcciones de peso en el rotor.

En la mayor parte de los casos, las correcciones de peso se puede efectuar cuando el rotor está

colocado en su instalación normal y funcionando como de costumbre y se llama EQUILIBRADO

EN SITIO.

En otros casos es necesario extraer el rotor de su instalación para equilibrarlo en una máquina de

equilibrio.

Causas de desequilibrio.

- Sopladuras ocasionadas por fundiciones.

- Excentricidad

- Distorsión térmica

- Tolerancias de claro.



- Corrosión y desgaste

- Acumulación de depósitos.

Balanceo en un plano.

De entrada no se conoce la ubicación del punto pesado, ni su concentración. Entonces con un

equipo medidor de vibraciones se determina las medidas de amplitud y vibración y de fase, que

representan las medidas iniciales.

Una vez registrado el desequilibrio inicial, se le agrega un peso de prueba a la pieza para cambiar

el desequilibrio inicial, lo que producirá una nueva vibración de amplitud y fase.

Cuando se agrega el peso de prueba a la pieza desequilibrada puede ocurrir tres posibilidades:

1.- Si se tiene suerte, es posible que se coloque el peso de prueba exactamente en el punto pesado,

si esto sucede, la amplitud de vibración aumentará y la señal de referencia permanecerá en la

misma posición. Entonces para equilibrar la pieza se debe trasladar el peso de prueba al sitio

directamente expuesto a la posición inicial y adoptar la cantidad de peso, hasta lograr un

equilibrio satisfactorio.

2.- Puede ocurrir que se coloque el peso de prueba en la posición exactamente opuesta al punto

pesado y si el peso de prueba es menor que el desequilibrio se observa disminución de vibración

y la señal de referencia permanecerá en la misma posición que al comienzo y su equilibrado se

consigue aumentando el peso de prueba, hasta lograr un nivel de vibración satisfactorio.

Si el peso de la prueba es mayor que el desequilbrio, la señal de referencia cambiará 180, es

decir, en la dirección exactamente opuesta, en este caso se debe disminuir el peso de prueba hasta

obtener el nivel de vibración satisfactoria.

3.- La tercera alternativa es que se coloque el peso de prueba en un punto que no esté ubicado ni

en el punto pesado, ni en el opuesto. Si esto sucede cambiará tanto la posición de la señal de

referencia, como también el grado de amplitud de vibración.



En este caso se debe cambiar el ángulo y dirección del peso de prueba y si se usa un

DIAGRAMA VECTORIAL se puede determinar el aumento o reducción de peso que se necesita

para que sea igual y opuesto al punto pesado de desequilibrio inicial.

Método vectorial de balanceo en un plano.

Es un vector que tiene como magnitud la amplitud de vibración y su dirección indica el ángulo de

desequilibrio (Fase).

Los pasos que se siguen son:

1.- Se acciona el rotor en la velocidad de equilibrio y se registra la información inicial de

desequilibrio, amplitud y fase con el filtro del analizador sintonizado a 1 rpm. “0”

2.- Se apaga el rotor y se le agrega un peso de prueba a la pieza. Se registra la cantidad del peso

de prueba.

3.- De nuevo se acciona el rotor a la velocidad de equilibrio y se observa y registra la nueva

información de desequilibrio de amplitud y fase “0 + T”.

4.- Se trazan los vectores que representan “0” y “0 + T” con un papel polar.

5.- Se traza el vector “T” al conectar los extremos de los vectores “0” y “0 + T”. El vector “T”

debe apuntar de “0” hacia “0 + T”.

6.- Se mide la longitud del vector “T” y se usa la fórmula para determinar el peso correcto de

equilibrio que se necesita.

Peso correcto = Peso de prueba*T

0

7.- Se mide el ángulo comprendido entre “0” y “T”. Se cambia la posición del peso según el

ángulo medido desde la posición inicial del peso de prueba. La dirección de este cambio es

opuesta a la dirección del cambio de fase de “0” a “0 + T”.



0 + T = Vector que representa el peso de prueba + el peso inicial

Existen otros métodos para el balanceo de rotores: Como ser el “Método a cuatro pasos”.

Tipos de desequilibrio.

Existen cuatro tipos de desequilibrio.

Estático.

Se produce al quedar desplazado el eje central

principal en paralelo con la línea central

rotatoria.

Por par de fuerzas.

Ocurre cuando cruce el eje central principal, la

línea central rotatoria en el centro de gravedad

del rotor.

O

O +

T

T

Línea centralEje central principal

Línea central del ejeEje central princip

al



2 1/4

1

3

2

3/4

1

Dinámico.

Ocurre cuando el eje central principal y la línea

central rotatoria no coinciden ni se tocan.

Cuasi estático.

Ocurre cuando el eje central principal cruza la

línea central rotacional, pero no en el centro de

gravedad del rotor.

Balanceo en dos planos.

Un rotor largo puede ser balanceado, adicionándolo o removiendo pesos de corrección en dos

planos paralelos cualquiera.

Suponiendo un rotor de 4 Plg. De largo que tiene un desbalance de 3 onz-Plg. En un plano

ubicado a 1 Plg. Del extremo izquierdo y un desbalance de 2 onz-Plg. En la mitad del rotor

desplazado angularmente en 90del primer desbalance.

Línea central del ejeEje central prin

cipal

C

Línea central del ejeEje ce

ntral p

rincip

al

C



Cada una de las fuerzas debalanceadoras es reemplazada por dos fuerzas paralelas, una en cada

plano extremo.

La corrección se determina a partir de su resultante en los dos planos extremos.

BALANCEO EN “n” PLANOS. Para el balanceo en “n” planos, se puede indicar que es una

generalización del balanceo en dos planos.

“Vibraciones en medios continuos” Página: 170


VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS

Detalles Pág.

Vibración longitudinal de barras.............................................................................................. 170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................ 174

Vibración transversal de vigas................................................................................................. 178

Los sistemas mecánicos como ser cables, varillas, vigas, placas, etc. Tienen sus masas y sus

fuerzas elásticas “Distribuidas” en lugar de tener masas concentradas separadas por resortes y son

susceptibles a vibraciones llamadas vibraciones de medios continuos.

Estos sistemas constan de un número infinito de partículas y por tanto requieren igual cantidad de

coordenadas para especificar su configuración.

Por tanto, los sistemas mecánicos de esta clase, tienen un número infinito de frecuencias y de

modos naturales de vibración.

En general, las vibraciones de medios continuos están gobernadas por ecuaciones diferenciales

parciales y para su análisis se supone que todos los materiales son homogéneos r isentrópicos y

obedecen a la ley de HOOKE.

Vibración longitudinal de barras.

En general las vibraciones de medios continuos están gobernadas por ecuaciones diferenciales

parciales y para su análisis se supone que todos los materiales son homogéneos e isentrópicos y

obedecen a la ley de HOOKE.

AF

A

F



Considérese una barra de sección transversal “A” sujeta a una fuerza “F” según su eje.

La fuerza “F” no necesariamente es la misma en todas las secciones y puede variar a lo largo de

la barra.

Sobre cada sección transversal actúan dos fuerzas iguales y opuestas.

El esfuerzo normal o tensión "" sobre la sección de la barra es:

A

F

2m

N (1)

Este esfuerzo puede ser de tracción o compresión.

Bajo la acción de tales fuerzas, cada sección de la barra experimenta un desplazamiento

"" paralelo al eje, que es diferente para cada punto de la barra, puesto que si fueran iguales,

existiría un desplazamiento rígido de la barra.

Sea "" una función de “x” y considerando dos secciones “A y A´” separadas una distancia “dx”

inicialmente. Cuando las fuerzas se manifiestan, la sección “A” se desplaza una distancia

"" mientras que la sección “A´” lo hace ´"" ; siendo ´´d el desplazamiento neto.

La deformación unitaria "" normal en la barra, es la deformación de la barra por unidad de

longitud a lo largo del eje de la barra.

x

(Cantidad adimensional) (2)

F F'

A A'

x dx x+dx



Obsérvese que cuando no hay deformación, "" es constante, por tanto 0 , o sea 0

Se sabe que existe una relación entre el esfuerzo normal "" y la deformación unitaria ""

llamada LEY DE HOOKE que establece que “Dentro del límite de elasticidad del material, la

normal es proporcional a la deformación unitaria”.

Donde: E = Módulo de elasticidad (Young) E (3)

Reemplazando (1), (2) en (3) se tiene:

xEAF

xE

A

F

(4)

La fuerza neta sobre la sección es:

dxx

FdFFFdF

´ Hacia la derecha (5)

Sea la densidad del material de la barra

dVdmdV

dm pero AdxdV

Por tanto: Adxdm (6)

Aplicando la segunda ley de Newton maF

dmadF (7)

Reemplazando (5), (6) en (7)

2

2

tAdxdx

x

F

2

2

tA

x

F

(8)

Derivando (4) respecto de x

2

2

xEA

x

F

(9)


2

2

2

2

x

E

t



O como: g ( Peso específico) g

Ecuación diferencial del movimiento

Para resolver esta ecuación diferencial, se supone que la solución tiene la forma:

tTxXtx , (Método de superposición de variables)

Reemplazando Esta expresión en la ecuación del movimiento se obtiene:

Eg

a 2

2

2

2

22

txa

Tdt

Td

Xdx

Xd

a2

2

2

2

2

Como el miembro de la izquierda es función únicamente de “x” y el miembro de la derecha

únicamente de “t”, entonces es igual a una constante. Sea esta constante igual a “- 2 ”, entonces

se obtiene dos ecuaciones diferenciales:

00 222

22

2

2

TTTdt

Td

Tdt

Td

002

2

2

2

222

2

2

X

adx

XdX

adx

Xd

Xdx

Xd

a

Cuyas soluciones son :

tDtCsentT cos

xa

Bxa

AsenxX

cos

La solución general de la ecuación diferencial es:

tDtCsenxa

Bxa

Asentx coscos,

(10)

02

2

2

2

x

Eg

t



Donde A,B,C Y D son constantes arbitrarias, determinadas de las condiciones iniciales y de

contorno del problema y i las frecuencias naturales del sistema.

a) Si los extremos están libres Las condiciones de contorno son:

000

Lxx xx

Derivando (10) respecto de “x”

tDtCsenxa

Bsena

xa

Aax

coscos

0xP 0cos0 AtDtCsenA

a

LxP

0cos0 La

sentDtCsenLa

Bsena

Que es la ecuación de frecuencias y su resolución:

L

nanL

a

Donde n = 1,2,3,....

b) Si un extremo es fijo y el otro libre las condiciones de contorno son:

000

Lx

x x

Sus frecuencias son:

L

na Donde n = 1,2,3,....

c) Si los dos extremos están empotrados las condiciones de contorno son:

000 Lxx

Problema de la cuerda vibrante.

La cuerda vibrante tiene una masa repartida uniformemente a lo largo de toda su longitud y es el

caso más sencillo de un sistema que tenga infinito número de frecuencias de vibración

Considérese una cuerda sometida a una tensión “T”. En condiciones de equilibrio, la cuerda está

en línea recta.



y

x

Tx

TyT

Tx'

Ty'T'

'

u

x dx

A

B

Si se desplaza la cuerda perpendicularmente a su longitud, entonces una pequeña porción de la

cuerda “AB” de longitud “dx” se desplaza de su posición de equilibrio una distancia .

Suponiendo que la deflexión es pequeña, el cambio de la tensión puede ser ignorado.

Debido a la curvatura de la cuerda, estas dos tensiones no son opuestas.

La fuerza resultante sobre la porción “AB” de la cuerda en las direcciones “X e Y” son:

xx FF

cosćoscosćos TTTFx

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos ´ y son pequeños, por tanto:

1ćoscos

Entonces: 0xF

yy FF

sensenTFTsenTsenF yy ´´

Para ángulos pequeños tagsen

tagtagTFy ´

tagTddFy



dxtagx

TdFy

ya que “ ” depende de “x” y de “t” (1)

Pero tag es la pendiente de la curva formada por la cuerda; entonces;

x

utag

(2)

dxx

uTdFdx

x

u

xTdF yy 2

2

Esta fuerza debe ser igual según la segunda ley de Newton maF

Donde dxdmdx

dm

t

ua

2

2

Masa por unidad de longitud

Reemplazando

dxx

uT

t

udx

2

2

2

2

Donde T

c = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda

Un método para resolver ecuaciones diferenciales es el de la superposición de variables y se

puede expresar como:

ctxfctxftxu 21,

Donde 21 ff son funciones arbitrarias

ctxf 1 representa la onda que viaja en sentido positivo de “x” con velocidad “c”

ctxf 1 representa la onda que viaja en sentido negativo de “x” con velocidad “c”

Como “u” es función de “x” y “t” se puede representar como:

tTxXtxu , (4)

Entonces: 2

2

2

2

x

XT

x

u

2

2

2

2

x

uT

t

u

2

22

2

2

x

uc

t

u

(3)



2

2

2

2

t

TX

x

u

Reemplazando en (3)

2

22

2

2

x

XTc

t

TX

Xx

X

cTt

T2

2

22

2

(5)

Como “X” y “T” son independientes una de otra, la ecuación (5) debe ser igual a una ctte.

Sea “ 2 ” la ctte. De aquí se obtiene dos ecuaciones diferenciales.

022

22

2

2

Tdt

TdT

dt

Td (6)

02

2

2

2

2

2

2

2

Xcdx

XdX

cdx

Xd (7)

Las soluciones de (6) y (7) ya se sabe y luego reemplazar en (4)

Si los extremos de la cuerda están fijos, las condiciones de contorno son:

0,0,0 tLutu

Reemplazando cada uno en (8)

0cos0cos0 2212 AtBtsenBA (9)

tBtsenBLc

senA cos0 211

De este triple producto la única posibilidad es que 0Lc

sen

ya que 1A no puede ser todo el

tiempo igual a cero

Entonces: nL

cL

csen 0 Donde n= 1,2,3,....

Y las frecuencias naturales de la cuerda están dadas por:

tBtsenBxc

Axc

senAtxu coscos, 2121

(8)



x

x dx

y

O

y

Q

Q+ Q/ x dx

M+ M/ x dxM

x dx

L

cn (10)

En general al reemplazar (9) y (10) en (8) se obtiene:

Vibración transversal de vigas.

Las bancadas o columnas en máquinas herramientas están sometidas a este tipo de perturbación.

La ecuación diferencial del movimiento de vibración transversal de las vigas puede deducirse así:

Por la teoría de la flexión de la viga recta se tiene:

Mdx

ydEI

2

2

(1)

Donde E = Módulo de elasticidad

I = Momento de inercia

M = Momento flector en una sección cualquiera

y = deflexión de la viga

Si EI es constante y derivando (1)

ya que Vdx

dM (V = Fuerza cortante) V

dx

ydEI

3

3

(2)

tBtsenBL

xnsentxu nn

cos, 21



ya que qdx

dV (q = Intensidad de carga) q

dx

ydEI

4

4

(3)

En las vibraciones transversales libres de vigas que no tienen carga externa, se considera las

fuerzas de inercia 2

2

t

y

g

A

como la intensidad de carga a lo largo de toda la longitud de la

viga.

maFq (4)

Pero AxVVmV

m

Entonces: Axm

g Peso específico

xg

Am

Reemplazando en (4)

2

2

t

y

g

Aq

(5)


2

2

4

4

t

y

g

A

x

yEI

Si 04

42

2

22

x

ya

t

yEIga

(6)

Se usan derivadas parciales porque “y” es función de “x” y de “t”

Se supone que:

tTxXtxy ,

Derivando: 2

2

2

2

4

4

4

4

t

TX

t

y

x

XT

x

y

Reemplazando en (6)

04

4

2

2

x

y

A

EIg

t

y



04

42

2

2

x

XTa

t

TX

Resolviendo por el método de cambio de variable.

4

42

2

2

x

XTa

t

TX

Xx

X

aTt

T4

4

22

2

En esta ecuación el primer miembro es función únicamente de “t” y el segundo miembro función

únicamente de “x”, por tanto solo pueden ser iguales a una ctte.. Esta ctte. Es designada por

“ 2 ”.

022

22

2

2

Tt

T

Tt

T

(7)

02

4

42

4

4

2

Xax

X

Xx

X

a (8)

La solución de (7) es:

tAtsenAtT cos21

Y se encuentra que la ctte. “ 2 ” es la frecuencia angular de vibración y 21 AA son cttes. A

determinarse por las condiciones de contorno.

La solución de (8) es:

bxBsenhbxBbxBsenbxBxX coshcos 4321

Donde: 2

24

ab

y 4321 ,,, BBBB se determinan por condiciones de contorno

Estas cuatro cttes. De integración exigen de los extremos cuatro condiciones, dos de cada

extremo de la viga y estos dependen del tipo de apoyo o empotramiento en los extremos.

I. Para un extremo apoyado

Deformación 0xX

Momento flector 02

2

dx

Xd



II. Para un extremo empotrado

Deformación 0xX

Inclinación 0dx

dX

III. Para un extremo libre

Momento flector 02

2

dx

Xd

Fuerza cortante

“Apéndice A” Página: 182


Sistemas con un grado de libertad. 1.- Para el sistema de la figura, obtener las expresiones de la frecuencia natural y de la frecuencia “f”.

Resp.: 22

2

bam

Ka

22

2

2

1

bam

Kaf

2.- Para el sistema de la figura, obtener la frecuencia natural. Considerar la barra AB como infinitamente rígida.

Resp.: m

K

L

a

3.- Para el sistema de la figura, obtener la frecuencia natural. Considerar la barra AB como infinitamente rígida.

Resp.: a

gma

Kb 12 2

m

K

b

a

Om B

K

a

L

m

O

B

K K

a

b

A



4.- Determine la frecuencia natural amortiguada del sistema.

Resp.: 2222

42

1acKmL

mL

a

5.- El sistema de la figura está sometida a una fuerza armónica tsenFFt 0 con una amplitud de

NF 100000 y cuya frecuencia circular de carga aplicada es

segrad20

La masa del sistema es Kgm 20 , el amortiguador tiene un coeficiente de

amortiguamiento

m

segNc 400 , cada uno de los resortes tiene una constante de rigidez

mNK 20000 . ma 1 y mb 5.0 . Halle la ecuación del ángulo de desplazamiento.

Resp.: 8367.02071.3 tsentsen 6.- Una viga simplemente apoyada tiene una masa concentrada “M” que actúa en su punto medio. Encuentre la frecuencia natural del sistema, si la masa de la viga es “m”

Resp.:

seg

radmML

EI

486.0

483

m

K

c

a

L

m

Kc

B O

C

K

b

b

a

b



7.- Determine la frecuencia natural de vibración de una masa “M” sujeta al extremo de una viga en voladizo que tiene una longitud “L” y una masa “m”, cuando la masa de la viga no es despreciable.

Resp.:

seg

radmML

EI

236.0

33

8.- La figura muestra un bloque rectangular de masa “m”, que reposa sobre una superficie semicilíndrica. Si el bloque se inclina ligeramente en un extremo, encuentre su frecuencia de oscilación.

Resp.:

segrad

Ld

gd

r

2242

47.3

9.- Cuál será la respuesta del estado estacionario de la masa de la figura, si la función fuerza es:

tsentttsentF 2cos20205.1cos105.010

Siendo:

lg1lg10

2

pseglbmp

lbK

Resp.: ttsentsenx 2cos33.35.1cos29.122.25.003.1 10.- En la figura anterior, la deflexión estática del resorte debida a la masa es 1.2 lgp y la

amplitud de vibración debida a una excitación armónica t20cos10 es 0.02 lgp . Cuál es el peso de la masa? Resp.: 15.12 lb

r

L

d

K

m f (t)

“Apéndice B” Página: 185


Sistemas con dos grados de libertad. 1.- Deduzca la ecuación de movimiento del sistema mostrado. El cilindro circular tiene una masa “m” y un radio “r” y rueda sin deslizar dentro de la acanaladura circular de radio “R”. 2.- Dos péndulos idénticos están rígidamente unidos a los extremos de un eje, el cual tiene una rigidez torsional “K”. Las masas de los discos de los péndulos son iguales a “m” y la longitud de las varillas (Que son rígidas y sin peso) es”L”. Suponiendo que el eje descansa sobre un cojinete sin fricción, deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema. Resp. 0211

2 KKmgLmL

01222 KKmgLmL

3.- Deduzca la ecuación de frecuencia del sistema. El peso de las poleas se supone despreciable Resp. 04 21

2221221

421 KKmKmKmKmm

K

M

K

R

1 2

m m m m

L L

K

K

m

K2

1

m2

1



4.- Un bloque rectangular de masa “m” está soportado por medio de cuatro resortes colocados en sus esquinas. Determine la ecuación de frecuencia, si únicamente es permitido el movimiento en el plano vertical. Resp. 04222 2222

04

0 bKKmbKmhKJKmJ yxyxx

5.- Una varilla rígida sin peso que tiene dos masas “m” fijas en sus extremos, está unida a dos resortes. Deduzca una expresión para la ecuación de frecuencia del sistema.

Resp. 022121

22211021

40 LLKKmLKLKJKKmJ

6.- Suponiendo que la varilla de conexión no tiene peso, determine las frecuencias de oscilación del sistema mostrado.

Resp. m

K1 ,

segrad

m

K

22

xK Kx

yK yK

2b

h

1K 2K

m m1L L 2

O

K K

K K

m m



7.- Calcule las frecuencias naturales del sistema.

Resp. m

K96.11 ,

segrad

m

K16.22

8.- Si

lg1

2

21 pseglbmm ,

lg400200 21 plbKK , calcule txtx 21 para las

siguientes condiciones iniciales: a) 3.001 x , 001 x , 002 x , 002 x

b) 3.001 x , 001 x , 002 x , 502 x Resp. a) tttx 2.30cos186.037.9cos114.01

tttx 2.30cos145.037.9cos145.02

b) oo tttx 1772.30cos186.016737.9cos117.01

oo tttx 1772.30cos145.016737.9cos149.02 9,- Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual rigidez. Encuentre sus frecuencias por medio de la ecuación de Lagrange, para ángulos de oscilación pequeños.

Resp. L

g

m

K 12.321 ,

segrad

L

g

m

K 58.022

K

K

K K K

K K

m

m

K K1 2

1m m2



10.- Un bloque de masa “M” se mueve a lo largo de un plano horizontal liso y conduce un péndulo simple de longitud “L” y una masa “m” como se muestra en la figura. En el punto “A” están unidos al péndulo dos resortes iguales de módulo “K”. Determine las ecuaciones de movimiento del sistema para pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio, utilizando la ecuación de Lagrange. Resp. 022 aKmLKxxmM

022 22 aKxxmLKamgLmL

K

K K

Km

m

L

L

K K

m

M

A

a

“Apéndice C” Página: 189


Sistemas de varios grados de libertad. 1.- Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema. Las varillas de unión no tienen peso y su movimiento está restringido al plano del papel. Resp. 024 211 KKm

024 1322 KKKm

024 233 KKm

2.- Un cilindro circular homogéneo de masa total “M” y radio “2ª” está suspendido por medio de un resorte de rigidez “ 1K ” y es libre de girar con respecto a su centro de masa “O”. Deducir las ecuaciones de movimiento. Resp. 036293 322221211 xKxKxMxKKxM

0622422 12132222 xKxMxKxKxmM

023 2212323 xKxKxKxm

3.- La constante de elasticidad equivalente del voladizo es

lg10 plbK y además

lg1 plbK y

lg1

2

pseglbm . Calcular las frecuencias naturales del sistema que se

muestra.

K

K

K

K

m

m

m

L L

LL

LL

M

K

2a

m

K2m

1

2

x

x2

3



Resp. 16.31 , 34.32 ,

segrad62.33

4.- Determinar las frecuencias naturales del sistema masa-resorte que se muestra. m = K = 1

Resp. 62.01 , 18.12 , 62.13 ,

segrad9.14

5.- Encontrar los coeficientes de influencia del sistema masa-resorte.

Resp. K2

111 , K

2

112 , K

2

121 , K

2

322

6.- Una locomotora que pesa lb64400 está acoplada a tres vagones. Los vagones primero y

tercero pesan lb32200 cada uno y el segundo pesa lb16100 . La constante de elasticidad de los

resortes de acoplamiento es

lg10000 plbK . Cuál será la frecuencia natural más baja?

m

m

m

K

K

mK K

mK

mK

mK

m

2K

m

K



Resp.

segrad4.7

7.- Utilizar el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema masa-resorte que se muestra en la figura. 01 K y todas las demás constantes de elasticidad son iguales a “K”, todas las masas son iguales a “m”.

Resp. m

K24.01 ,

m

K71.02 ,

m

K14.13 ,

m

K49.14 ,

m

K77.15 ,

segrad

m

K95.16

8.- Determinar las frecuencias de oscilación del sistema que se muestra en la figura.

Resp. 01 , m

K2 ,

segrad

m

K33

K1 2

K3

K

Km

Km m

Km

K K Km

Km

1

1 2

2

3

3

4

4

5

5

6

67

Km

Km

m

“Apéndice D” Página: 192


Vibración torcional. 1.- Los extremos de un eje que tiene un disco pesado con momento de inercia “J” están apoyados como se encuentra en la figura. Encontrar la frecuencia natural de la vibración torsional del disco.

Resp.

segrad

LJL

LLGd

21

214

32

2.- Encontrar el eje equivalente del sistema que se muestra en la figura.

Resp. 1dd , 2

2

1

2

4

2

11 L

a

a

d

dLL

3.- Un momento torsional externo “ tsenTe 0 ” actúa sobre el rotor “ 2J ”. Determinar las

respuestas del estado estacionario del sistema.

Resp. 22

222

2121

021 KJKJKK

tsenTK

,

2

22

222

121

02

1212 KJKJKK

tsenTJKK

L1 L2

d

L1

L2

a1

2a

d1

d2

1J

2J

K1 K2

T senwt0



4.- Calcular las frecuencias naturales del sistema torsional.

Resp. J

K39.01 ,

J

K47.12 ,

segrad

J

K36.23

5.- Calcular las frecuencias naturales del sistema torsional que se muestra en la figura. El eje lleva tres rotores y tiene ambos extremos fijos.

Resp. J

K54.01 ,

J

K17.12 ,

segrad

J

K82.13

6.- Si J = K = 1. Determinar el movimiento general del sistema, si al primer disco se le aplica un desplazamiento angular inicial de 1 rad .

Resp. ttt 3cos6

1cos

2

1

3

11

tt 3cos3

1

3

12

ttt 3cos6

1cos

2

1

3

13

J

2J

3JK

2K

3K

2J 6J 3J

2K 4K K 3K

K K



7.- Utilizar el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema. El sistema

está fijo en ambos extremos y tiene una vibración torsional.

rad

lbpK lg1000 y

rad

seglbpJ2lg10

8.- Emplear el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema que se

muestra.

rad

lbpK lg1010 6 y

rad

seglbpJ2

3 lg10

Resp. 461 , 1002 ,

segrad1343

J J J

KKK K

J

2J

4J

K

K

3K

“Apéndice E” Página: 195


Vibraciones en medios contínuos. 1.- Determinar el periodo del modo fundamental de vibración de una varilla de acero de longitud

1000 pies y peso específico

3lg28.0

plb , si esta varilla se considera como una barra con

ambos extremos libres. Resp. segT 12.0 2.- Una barra uniforme de longitud “L” tiene el extremo superior empotrado y el inferior libre. Demostrar que una fuerza aplicada repentinamente en el extremo libre produce una deflexión que es el doble de la producida por esta misma fuerza aplicada gradualmente. 3.- Una fuerza axial constante” 0F ” actúa sobre el centro de gravedad de una barra uniforme de

longitud “L”. Encontrar la vibración que se produce si esta fuerza se quita repentinamente.

Resp.

t

L

ai

L

xisen

iAE

LFtxu

i

i

cos1

12

,2

2

1

,...2,12

0

4.- Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración transversal de una viga uniforme de longitud “L”, si uno de los extremos de ésta está fijo y el otro libre. Resp. 1coshcos KLKL

x

x

F0

L/2 L/2

“Apéndice E” Página: 196


5.-Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración transversal de una viga uniforme de longitud “L”, si los dos extremos de ésta están fijos. Resp. 1coshcos KLKL 6.- Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración longitudinal de una varilla que tiene dos secciones transversales diferentes, cuyas áreas son “ 1A y 2A ” respectivamente como se muestra en la figura.

Resp. 222

11

21

1

tantan

aA

aA

a

Lp

a

Lp q

i

xL L

A1 2A

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