VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local

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VIII CURSO INTERNACIONALPreparación y Evaluación

de Proyectos de Desarrollo Local

1. Matemática financiera

Conceptos básicos

Valor actual

Evaluación Privada de Proyectos

Horacio Roura


Conceptos básicos


• Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del factor capital

• Todo capital tiene un costo (requiere una retribución)– Explícito = el interés pagado por un préstamo

– Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio

Interés: Concepto


Tasa de interés: Definición básica

• Ejemplo:– Si recibo hoy $1,000 para devolver $1,080 en dos

meses, el interés bimestral es:

100Capital

Interésinterés de Tasa

$

$

%81001,000

1,000)-(1,080kbimestral

Supuesto: moneda constante o inflación = 0


Tasa de interés e inflación:Teorema de Fisher

• Si la inflación () es distinta de 0

k11)r1(

r1efectiva tasa1C $1C Si

k11CC

1CC1Ck

1001C

1CCk

10

01

010

0

01

Donde r = tasa nominalk = tasa real


Tipos de interés

• Interés simple: el interés de cada período se retira de la imposición

• Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital impuesto


Tipos de interés:Ejemplo y comparación

Tasa de interés periódica 6%

1 2 3 1 2 3

Capital inicial 1.000 1.000 1.000 1.000 1.060 1.124Interés ganado al fin del período 60,0 60,0 60,0 60,0 63,6 67,4Capital al final del período 1.000 1.000 1.000 1.060 1.124 1.191

Total intereses 180,0 191,0Capital inicial 1.000 1.000Tasa de interés del período 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0%

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO


Interés compuesto:Ejemplo 1

• Sea– Capital: $1,000

– Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente

– Plazo: 1 año

• ¿Cuánto se tendrá al final del año?


Interés compuesto:Ejemplo 1

C1 = C0 (1+k)1 = $1,000 (1+0.10)1 = $1,100

1,000

10

1,100

C1 = C0 (1+k)1

1,100 = 1,000 (1+0.1)1

C0


Interés compuesto:Ejercicio 1

• Sea– Capital: $1,000

– Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente

– Plazo: 1 año

• ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años?

• Al año: $1,000 (1+0.12) = $1,120

• A los 2 años: $1,120 (1+0.12) = $1,000 (1+0.12)2 = $1,254.40


Interés compuesto:Período de capitalización – Ejemplo 2

• ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de los intereses fuera semestral?

0 1

1,000

1/2

1,050

C2 = C1 (1+k/2)1 = C0 (1+k/2)2

1,102.5 = 1,000 (1+0.102) 2

C0 C1 = C0 (1+k/2)1

1,050 = 1,000 (1+0.12)1

1,102.5


Interés compuesto:Período de capitalización – Ejemplo 3

• ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los intereses fuera trimestral?

0 1

1,000

1/3

1,025

C4 = C0 (1+k/4)4

1,103.8 = 1,000 (1+0.1/4)4

C0

1,103.8

1/3 1/3

1,050.625 1,076.89


Interés compuesto:Ejercicio 2

• Para un capital de $1,000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo:– Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente

– Opción 2: 11.768% anual, capitalizable bimestralmente

• ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo?

Opción 1: $1,000 (1+0.12/2)2 = $1,123.60

Opción 2: $1,000 (1+0.11768/6)6 = $1,123.60


Equivalencia de tasas

• Dos tasas de interés con diferente período de capitalización son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año:

Ejemplo 2 anterior

– 11.768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a

– 12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a

– 12.36% anual capitalizable anualmente


Equivalencia de tasas:Ejercicio 3

• ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente?

• (1 + kCA) = (1 + kCT/4)4 kCA = (1 + kCT)4 - 1

• kCA = (1 + 0.13/4)4 = (1 + 0.0325)4 = 13.648%


Tasas nominal y efectiva

• Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año, – La tasa anual dada se llama tasa nominal anual

– La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual

• Ejemplo 3– Tasa nominal anual: 11.768%

– Tasa efectiva anual: 12.36%


Tasas nominal y efectiva:Relación

• Para un cálculo preciso,

• 1 + TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t

• TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t - 1

(para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días)

Donde:– TNA = tasa nominal anual vencida– TE(m) = tasa efectiva para los m días– m = número de días del período cuya tasa se busca– t = número de días del subperíodo de capitalización


Tasas efectiva y nominal:Ejemplo 4

• Sea TNA = 12%

• Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a 60 días?

TE(60) = (1 + 12% . 30/365)60/30 - 1 = 1.982%

– $1,000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable mensualmente generarán $19.82 de interés


Tasas efectiva y nominal:Ejemplo 5

• Sea TNA = 12%

• Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a un año de plazo?

TE(365) = (1 + 12% . 30/365)365/30 - 1 = 12.68342%

TE(365) = (1 + 12% . 30/360)360/30 - 1 = 12.68250%


Tasa efectiva anual

• Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica por los períodos necesarios para completar un año:

TEA = (1 + TE(m))365/m

• O, de manera aproximadamente equivalente

TEA = (1 + TNA . t/365)365/t


Tasa efectiva anual:Ejemplo 6

En el Ejemplo 4,

• TNA = 12%, capitalizable mensualmente

• TE(60) = 1.982%

• De allí,

TEA = (1 + TE(m))365/m - 1

TEA = (1 + 0.01982)365/60 - 1

TEA = 12.68119%

TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = 12.68342%


Ejercicio 4

• Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA?

TEA = (1 + TE(m))365/m - 1

TEA = (1 + 0.01)365/60 - 1

TEA = 6.24%


Ejercicio 4 (Cont.)

• Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA?

1 + TE(60) = (1 + TNA . 30/365)60/30

TNA = (1 + TE(60))30/60 – 1) (365/30)

TNA = (1 + 0.01)30/60 – 1) (365/30)

TNA = 6.068%


Interés compuesto:Período de capitalización continuo

• Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por minutos o segundos), se trata de capitalización continua

• En ese caso, siTEA = (1 + TNA . t/365)365/t

• t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y

TEA = eTNA

TEA = eTNA.n

– Donde e = 2.718 y n la cantidad de años


Ejercicio 5

• Se invierten $1,000 al 11% anual, capitalizados continuamente, por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión?

• $1,000 e0.11x2 = $1,000 e0.22 = $1,000 . 1.246 = $1,246


Valor actual


Valor futuro y actual:Concepto

• El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial, hasta una fecha dada

• El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial

• Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a recibir en el futuro


Valor futuro y valor actual:Ejemplo 6

$ milesMeses 0 1 2 3 4 5 6

Constitución PF -100 100 Intereses ganados 6 Flujo neto -100 106

= 100 (1+0,01)^6TE(30) 0,99%

TNA 12%t (días) 30

m (días) 30

Valor futuro (VF) de $100

Valor actual (VA) de $106


Valor actual:Definición

• El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy

VA = VF / (1 + k)n

Donde:• VA = Valor actual• VF = Valor futuro• k = tasa de actualización, interés o descuento• n = período donde se recibirá el valor futuro


Valor actual:Ejemplo 7

• Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de $1 millón. Ud., que lleva una vida disipada, está dispuesto a recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece $507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?

$ milesAños 0 1 2 3 4 5 6

Herencia futura 1.000 VA herencia futura 507 = 1000 /(1+0,12)^6

TEA 12%


Valor actual y valor futuro: Despejando incógnitas

• Si VA = VF/(1+k)n

• Entonces,

k1ln

VPln - VFln n

1VP

VF k

k1 VP VF

n

n


Valor actual y valor futuro:Ejemplo 8

• ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2,250 si se depositan $1,000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?

meses 81.4970.00995

6.90777.7186n

%)11ln(

000,1ln250,2lnn

k1ln

VPln - VFln n


Valor actual y valor futuro:Ejercicio 6

• ¿A qué tasa se deberá depositar $1,000 para obtener $2,250 en 82 meses?

0.0099385k

11,000

2,250 k

1VP

VF k

82

n


Valor actual neto

• El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro

• En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación hoy

• El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago futuro y la inversión necesaria:

Hoynflujo) (Único Ik)(1

VFVAN


Valor actual neto:Ejemplo 8

• Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le convendría el negocio?


Valor actual neto:Ejemplo 8 - Solución

$ milesMeses 0 1 2 3 4 5 6

Compra casa -200 Gastos reciclado -50 Venta en mes 6 300 Flujo Neto -250 300

VA Venta = 283 - Inversión = -250 VAN = 33

TE(30) 0,99%TNA 12%

t (días) 30m (días) 30


Valores actuales y tasas de descuento

• Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una tasa de descuento

• La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera ganado de haber invertido en la mejor inversión alternativa


Tasas de descuento:Ejemplo 9

• En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo equivalente.

• El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.


Tasas de descuento y tasas de retorno

• En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del 13.2%

13.2%$250

$250$283Retorno

Inversión

neta GananciaRetorno

Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno superior a su tasa de descuento


Relación entre valores actuales y valores futuros

• El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor futuro:

$1 hoy vale más que $1 mañana

• Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un período

• Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los futuros


Valor actual y valor futuro:El rol de los mercados de capitales

• El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro

• En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un mercado de capitales– El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente

intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa


Mercado de capitales:Funcionamiento

• Suponga que Ud. tiene:– $20,000 en la mano

– $25,000 a recibir dentro de un año

• Sus opciones son– Consumir $20,000 hoy y $25,000 en un año

– No consumir nada hoy, invertir los $20,000 y consumir dentro de un año $20,000 (1+k) + $25,000

– Consumir todo hoy: $20,000 + $25,000/(1+k)


Opciones entre consumo presente y consumo futuro

$20

$25

$46.4

$21.4 = $20 (1+0.07)

$43.4

$23.4 = $25/(1+0.07)

Invierte $20 para consumir todo el

año próximo

Pide prestado el valor actual de $25 para consumir todo hoy

Si k=7%, su riqueza total es $43.4 (a $ de hoy) o $46.4 (a $

futuros)

Pendiente = (1+0.07)


Mercado de capitales e inversión en activos reales

$25

$46.4

$43.4Proyecto1= $10 mil

A medida que se va invirtiendo en proyectos no financieros, el

retorno de los mismos disminuye$37.8

Proyecto 2 =$10 mil

Proyecto 3 = $10 mil

Rtn(P1) = (25-10)/10 = 2.5

Rtn(P2) = (13-10)/10 = 1.3

Rtn(P1) = (9-10)/10 = -0.1


Mercado de capitales e inversión en activos reales

C

A

Inversión en activos

reales

Flujo futuro de la

inversión

B

D

0

0B (1+ k)

VAN = 0C/(1+k)-AB = BE - AB

E


Moraleja

• Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir pedir prestado en el mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier punto de DE– Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el

mercado de capitales o solo en activos reales

• La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA) El VAN es el máximo alcanzable

• El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación adecuada de consumo presente y futuro


Consecuencia de la moraleja

• La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor de la misma para los accionistas

• Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que prefieran– Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales

• Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan un VAN positivo


Valor actual de flujos de más de un período

• Los proyectos generan flujos por más de un período

• El valor actual neto de un proyecto de esas características puede calcularse como

n

0tt

t

nn

22

11

0

k1

FVAN

k1

F...

k1

F

k1

FF VAN


Valor actual de anualidades

• Si F1 = F2 = ... = Fn

kk1

1k1FF VAN n

n

0

Coeficiente para el cálculo del valor

actual de una anualidad constante


Valor actual de anualidades

• Si F1 = F2 = ... = Fn y n 0

k

FF VAN 0

Valor actual de una perpetuidad constante

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