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Vinicio Barrientos Caries

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NUMEROS Y NUMERACION

Universidad Rafael Landivar Instituto de lingüística / PR~DIPMA

Guatemala, 1992.

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Colección: Serie: Directora de la colección: Editor: Autor: Portada: Diagramadora:

Cultura y escuela, No. 33 _,,. Manuales Guillermina Herrera Arnflcar Dávila Vinicio Barrientos C. Erick González Lourdes Medina

© Universidad Rafael Landfvar. Guatemala, I9n. ,,

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" ... xaq kajmuul kqab'an ri k'amb'ejanik, xaq k'u oxmuul, k'o china chi qawach."

" ... solamente cuatro veces os haremos la prueba, así pues, ya solamente tres oportunidades nos quedan."

(Popool Wuuj)

Este manual está dedicado al pueblo maya, que aún después de 500 años ... está de pie; y al otro guatemalteco que lucha por un sano y respetuoso desarrollo intercultural.

El autor.

índice

Pre sen taci ón

Parte 1 Enseñanza de la Matemática

1.1 Concepción occidental de la Matemática 1.2 Tendencias contemporáneas en la enseñanza

de la Matemática 1. 3 La responsabilidad del maestro en la escuela primaria 1.4 Etnomatemática

Parte 2 Conteos y numeración

2.1 A manera de introducción 2.2 El número natural 2.3 Obteniendo el concepto de número 2.4 De números a numerales

2.5 La numeración en distintas culturas 2.6 El proceso de agrupación 2. 7 El sistema de base cinco 2.8 Algunos ejercicios 2.9 El ábaco

Parte 3 Anexos

3.1 Apéndice A Tabla de lecto-escritura de los primeros números en diferentes idiomas

3.2 Apéndice B Numeración Maya: numerales y lecto-escritura

3.3 Apéndice C Los sistemas de numeración: algo de historia

3.4 Apéndice D El sistema de numeración decimal

presentación

Desde que el antropólogo estadounidense Silvanus Morley publicó sus estudios sobre los calendarios y la asombrosa medición del tiempo realizada por los pueblos mayas de Mesoamérica, este tema pasó a ser de interés y, hasta cierto punto, de gran moda entre los círculos académicos de muchas universidades. Sin embargo, para la Guatemala de hoy, en la cual conviven varias culturas (entre ellas la cultura maya), el conocimiento cierto y fiel de lo que constituyen el acervo matemático de esta cultura precolombina se convierte en un imperativo que debe posibilitar el auténtico intercambio cultural y el conocimiento interétnico.

Además de haberse convertido en un tema novedoso y que denota profundidad y dedicación, ligados a la cosmovisión toda del mundo maya, estos tópicos han corrido el riesgo de quedarse rezagados en las aulas universitarias de las carreras humanísticas o sociales. Pero, reiteramos, el guatemalteco de hoy necesita estar informado de las características culturales de sus coterráneos. Ello se hace más necesario para aquellos que realizan la enorme, laudable y cotidiana tarea de la docencia, sobre todo en los niveles primario y medio de la educación escolar.

El conoc1m1ento de los aciertos matemáticos que ha manejado la creación cultural maya ayudará al lector no sólo a formarse una mejor idea de lo que es Matemáticaa, sino también a atisbar en las complejidades del pensamiento y la cosmovisión de los pobladores autóctonos de estas tierras -hoy convertidos en pueblos y lenguas vernáculas que se enfrentan a varios impedimentos de diverso orden para continuar un desarrollo sosegado y sostenido que les posibilite la plenitud en sus hallazgos y construcciones, con respecto a este y otros mundos.

Aritmética, medición y geometría son sólo algunos de los temas desarrollados con maestría por el Pueblo Maya.

Este Manual posee un carácter introductorio, y pretende motivar al lector para ahondar en ese mundo dos veces maravilloso: matemático y maya a la vez. Que su lectura le inspire nuevas lecturas e indagaciones; que sus páginas le ayuden a formarse una idea menos prejuiciada y un tanto más cierta y cabal de quienes hoy habitan en el terriotorio guatemalteco: los hijos de ese gran Pueblo Maya.

parte J

ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

En todo programa educativo u organización curricular aparece el componente matemática. Cualquier maestro considera que la matemática es fundamental y necesaria en la enseñanza primaria. Estos hechos se presentan no sólo al inicio del sistema educativo, sino a lo largo y ancho del currículo y la realidad docente respectivamente. Así pues, se habrá preguntado usted -estimado lector- en más de una oportunidad, como estudiante, como maestro (a), como padre o madre, o simplemente como observador: ¿Qué es realmente la matemática y por qué hemos de incluirla en la educación elemental (o la educación en general)? Aunque ambas preguntas no pueden ser abordadas superficialmente ni a la ligera, es quizá la primera la más difícil y delicada. Por otro lado, muchos de los señalamientos o indicaciones para la segunda cuestión provendrán de forma natural del enfoque que se haya seguido con la primera.

Reconocemos que no somos quién, ni contamos con la autoridad académica suficiente para enfrentar estas preguntas; pero la urgente necesidad nacional de direccionamientos educativos que las consideren nos animan a ensayar de manera breve y concisa un acercamiento pertinente. Estas son, pues, las dos grandes vertientes que inspiran las distintas secciones de esta primera parte, porque, a pesar de sus limitaciones, consideramos justas las notas que en ellas se apuntan. Ojalá que sean de alguna utilidad para el maestro guatemalteco.

1.1 CONCEPCIÓN OCCIDENTAL DE LA MATEMÁTICA

En todo Occidente (sin reparar en qué se entiende estrictamente por éste), se concibe básicamente a la Matemática como un lenguaje de tipo formal (de forma), y se le considera el lenguaje de la ciencia. Las ideas que rodean esta concepción han penetrado en diversas culturas de corte occidental, en parte influenciadas por el trabajo realizado a partir de finales del siglo pasado y principios de éste por filósofos-matemáticos como Frege, Whitehead, Russell y otros.

Como lenguaje que es, la Matemática posee un conjunto particular de signos, que incluyen símbolos específicos de cada construcción o estructura matemática, pero más extensamente posee un vocabulario, conceptos primarios, reglas de construcción de palabras, frases y oraciones nuevas, las cuales serán construidas de manera bien definida a partir de las anteriores. Por supuesto, cada palabra de este lenguaje de la Matemática representará algo, algún fenómeno o problema, que habita fuera del mundo matemático, en el que la palabra en cuestión aparece como sujeto de estudio, no como medio de expresión de ese algo que representa. Esto último es exactamente igual a lo que suele ocurrir con la gramática y el análisis sintáctico de nuestro lenguaje cotidiano, en el que se estudia la estructura de palabras y oraciones sin reparar en lo que éstas específicamente están diciendo. Por otro lado, en la Matemática sucede frecuentemente una situación que también se presenta en el lenguaje coloquial: cuando alguna palabra, o mejor dicho, algún concepto, es creado o desarrollado con la intención de participar en la solución de algún problema determinado, pero que posteriormente es empleada para resolver no sólo ése sino toda una colección de problemas diferentes -pero relacionados con el original-, sin la necesidad consecuente de crear mayor cantidad de lenguaje, es decir sin inventar otras palabras para nuevos concepto. Este hecho muestra especial relevancia en la Matemática, a tal punto que, algunas veces, el ente matemático

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involucrado pareciera cobrar vida independientemente de la función original determinada por el mundo real que le dió la existencia, creando así la "ilusión del ente abstracto" corno originario de la realidad.

V ale la pena dar un ejemplo de esta particularidad. El siglo XIX muestra varios casos de especial trascendencia histórica. Quizá el concepto de grupo represente bien el mencionado fenómeno de ilusión matemática. Evariste Galois ( 1811-1831) creó el concepto de grupo a partir de la observación de algunas propiedades que se presentaban con las rotaciones sobre un cuerpo o figura geométrica, que lo dejaban aparentemente inalterado. Inspirado en esta situación definió lo que se denominó un grupo de transformaciones (o únicamente un grupo). Sin embargo, posteriormente esta "estructura" de grupo pudo ser aplicada no sólo a las rotaciones sino también a conjuntos numéricos, entidades geométricas, funciones, conceptos físicos, cristales, estructuras químicas, (átomos y moléculas) y otros tantos elementos distintos del original -según diversos aspectos- del cual nacieron los mencionados grupos. De esta manera se creó la hermosa e inmensa Teoría de Grupos que se presenta en la actualidad como aquella construcción teórica, formal y axiomática cuyo objeto de estudio es una estructura algebraica, que corno estructura matemática que es, se desarrolla independientemente de toda realidad concreta. Ni siquiera se concibe como fruto de abstracción, sino más bien como una realidad en sí misma.

Ahora bien, la Matemática es un producto cultural. Es el resultado de una concepción del mundo, y del desarrollo de dicha concepción por un método específico y bien determinado. La visión cultural dominante dicta que la matemática actual es el resultado del desarrollo científico -a manera de ciencia occidental­efectuado a partir de la época del Renacimiento, combinada con la tendencia de la Ilustración a descubrir la esencia de la "vida" por medio de la razón y un método riguroso fundamentado en

observaciones verificables, aspectos ambos que contraen la (¿enfermedad?) necesidad de acumular información evitando al máximo la entropía (medida de desorden).

Teniendo claro que la matemática es el lenguaje de la ciencia no es difícil hacernos de una idea de su importancia en el mundo moderno, ya que la infraestructura, autos, máquinas, etcétera, hasta el peine que utilizarnos por las mañanas, es producto de un proceso en el cual la matemática ha jugado un papel generador central. Para tornar ejemplos más específicos de la interacción de la matemática en la cultura occidental con el mundo externo a ella, podemos realizar un rápido viaje desde la matemática del siglo XVII, momento en el cual el hombre trata de explicar ciertos fenómenos físicos, relativamente sencillos, como la gravitación, y necesita crear ciertos modelos para poder expresar sus ideas. Al tratar de predecir el movimiento de un objeto en determinadas condiciones, o el comportamiento de un cuerpo de cierto material sometido a alguna elevación de temperatura, o explicar la formación del universo, los padres de la ciencia moderna comenzaron a desarrollar modelos cada vez más sofisticados, es decir generaron aproximaciones al problema real que podían ser expresadas en palabras claras y precisas ya estudiadas, y que arrojaban nueva luz respecto al problema original de la realidad. Newton y Leibniz sentaron las bases del cálculo diferencial e integral moderno como una de las componentes del desarrollo de la Matemática en su estado actual. Diseñaron y construyeron el cálculo infinitesimal corno una herramienta para enfrentar los problemas que se estaban planteando, y esta herramienta se constituyó gradualmente en resultado de un proceso más general hacia la matemática moderna.

Hoy en día el cálculo diferencial e integral (o cálculo, a secas) ha crecido inconmensurablernente en diferentes direcciones, teniendo aplicaciones no solamente en mecánica o física e ingeniería (a través del estudio de las ecuaciones diferenciales -ordinarias y parciales-, los sistemas dinámicos, etcétera) sino también en

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economía, administración, biología, psicología y otras áreas. Esta inserción del cálculo en las ciencias sociales obedece nada más que a un proceso de aplicatividad más general que ha experimentado toda la Matemática como cuerpo teórico del saber humano y que obviamente esta relacionado con la época de la Ilustración. Ésta inserción se ha efectuado gradualmente a través del análisis de varias variables y de otros productos derivados del cálculo infinitesimal newtoniano, del cual se originó este movimiento académico.

Así, la matemática inicial se transforma y se reconstruye en nuevas dimensiones y aplicaciones no concebidas inicialmente. Lo sucedido con el cálculo se ha presentado en forma similar en casi todas las ramas, antiguas y modernas, de la Matemática; se ve en la geometría, la teoría de números, el álgebra, etcétera. Actualmente, las aplicaciones de la Matemática alcanzan límites inimaginados hace unas décadas, y menos aún en el siglo pasado. Como ejemplos, se tienen aplicaciones en comunicaciones y teléfonos por medio de la geometría diferencial, en la criptografía -el d~sciframiento de códigos-, por medio de la teoría de números; en la computación y la inteligencia artificial, por medio de la lógica, en el clima y el análisis del tiempo, a través de la teoría de fractales; y otras más que no alcanzaría acá para enumerar.

En conclusión, la Matemática como actividad, y la Matemática como ciencia, tienen una historia propia que contar, y no es nada fácil sintetizar en pocas palabras ...

¿Qué es la Matemática?

A manera de sumario, podemos decir que es un lenguaje formal, con un esqueleto lógico propio y con una existencia ontológica producto de la abstracción sobre la realidad, a tal punto de producir la "ilusión" de existencia independiente, a la manera

de las ideas de Platón. Actualmente, es columna vertebral de la tecnología occidental y de la ciencia en ese marco. A este respecto deberemos regresar en la sección 1.4, donde muy seguramente se rescatará del marco presentado aquí la matemática de los pueblos que componen la humanidad, como una matemática con existencia siempre referencial a la cultura que la produce, la cual a su vez no responde necesariamente al utilitarismo que aparentemente la envuelve en la actualidad.

Para finalizar esta exposición, consideramos oportuno incluir aquí un resumen evolutivo-constructivo de la historia de la Matemática (si es que este resumen es objetivamente factible), y en esta línea seguimos al esfuerzo realizado por William L. Schaaf.

El mencionado autor explica que la Matemática, en su desarrollo a lo largo de miles de años, ha tenido períodos de actividad y de estancamiento, y que en este sentido sólo puede decirse que dicho desarrollo ha sido continuo en un sentido puramente temporal. Adjuntamos, pues, a continuación, lo que según William L. Schaaf han sido las épocas fundamentales de la historia de la Matemática.

• MATEMÁTICAS PRE-HELÉNICAS

Fue una era de empirismo. La matemática de los sumerios, babilonios y egipcios era intuitiva y poco elaborada, y respondía fundamentalmente a exigencias prácticas. La contribución de los babilonios y los egipcios data de un período aproximado desde el año 3000 al 300 a.c. Estos dos pueblos crearon los rudimentos de la aritmética, el álgebra y la geometría. En aritmética trabajaron siempre con números y fracciones positivas, desconocieron el cero, pese que a los babilonios usaban una notación posicional con base sesenta para escribir números.

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Entre otros de los aportes de los egipcios y babilonios se incluyen los grados sexagesimales, la medida y las formas geométricas. Podían manejar las fórmulas del perímetro, el área y el volumen de las figuras geométricas más simples.

• MATEMÁTICAS GRIEGAS

A esta época, que duró aproximadamente unos mil años, debemos dos de las contribuciones más importantes a la historia de las matemáticas:

-La idea de la demostración deductiva, con su fe en el razonamiento lógico; y

- La convicción de que el mundo físico podía ser descrito en términos matemáticos: "el número es el lenguaje de la ciencia".

La civilización griega alcanzó su apogeo entre los años 600 y 300 a.c. Los pensadores de la Grecia clásica se dedicaron intensamente a la comprensión de la naturaleza. La geometría resultaba especialmente adecuada para ello, y es en esta área donde hicieron sus máximas contribuciones.

• LAS MATEMÁTICAS ORIENTALES Y SEMÍTICAS

Sus aportaciones esporádicas, entre el año 500 a.c. y el 1200 d_c., dejaron como herencia, al menos:

- Una clarificación del papel de los símbolos; y

- Un sistema único de numeración.

• EL RENACIMIENTO

Las matemáticas no demasiado esplendorosas de los años 1400-1600 dejaron como residuo fundamental el "álgebra simbólica" de Cardano, Vieta, Bombieri, Calvius y Harriot.

• EL PERÍODO BARROCO

La época de la Ilustración, entre 1600 y 1800, fue testigo del nacimiento de las matemáticas modernas. Comenzando con los aportes de Descartes y Newton, esta época pudo contemplar simultáneamente el nacimiento de la ciencia moderna, y en ella empezaron a esbozarse los conceptos de número y continuidad.

Los grandes matemáticos de este período fueron además grandes hombres de ciencia: Newton, Leibniz, Euler, Bernoulli, Lagrange, Laplace, Gauss.

• LAS MATEMÁTICAS DEL SIGLO XIX

La época comprendida entre 1800 y 1870 se caracteriza fundamentalmente por la explotación de los descubrimientos del siglo anterior y su aplicación a las ciencias (mecánica, física, geodesia y astronomía).

• LAS MATEMÁTICAS DEL SIGLO XX

Este período, incubado ya desde 1835, no surge claramente sino hasta 1870, y la naturaleza de las matemáticas "modernas" se pone claramente de manifiesto hacia 1900.

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Las matemáticas del siglo XX pueden identificarse con la deducción y la estructura axiomática.

Marshall Stone caracteriza las matemáticas de nuestro siglo como el estudio de los sistemas abstractos generales, formado cada uno de ellos por un edificio construido con determinados elementos abstractos y estructurado por una serie de relaciones arbitrarias (pero desprovistas de toda ambigüedad) entre dichos elementos.

Según Stone, el hecho que originó la consideración actual de las matemáticas como una disciplina enteramente independiente, estrictamente lógica y totalmente abstracta, fue el descubrimiento de la geometría no euclídea plana por Bolyai, Gauss y Lobatchevsky en los primeros años del siglo pasado. La aparición posterior de otras muchas clases de geometrías abstractas contribuyó a anticipar el. surgimiento de la concepción actual de la matemática.

Un segundo factor en la misma dirección vino también del álgebra, en la que se fue poniendo de manifiesto poco a poco que la misión de las matemáticas no era el estudio de una única clase de números, sino de una infinidad de clases que, teniendo algunas características comunes, presentaban igualmente diferencias notables. Un tercer factor importante fue el desarrollo de nuevos conceptos y técnicas en lógica durante la segunda mitad del siglo XIX y los primeros años de nuestro siglo, haciendo posible la clarificación de las relaciones entre la lógica y las matemáticas.

Es a partir de la segunda mitad del siglo XIX que el desarrollo del método axiomático se considera un hecho adquirido. Si bien es cierto que durante algún tiempo aún se creyó útil controlar, cuando es posible, los resultados "abstractos" por la intuición geométrica, la mayoría admitió que los objetos "clásicos" no son más los únicos que el matemático puede estudiar.

Justamente a causa de las múltiples "interpretaciones" o "modelos" posibles, se reconoció que la "naturaleza" de los objetos matemáticos es en el fondo secundaria y que importa muy poco, por ejemplo, que se presente un resultado como teorema de geometría "pura", o como uno de álgebra, por intermedio de la geometría analítica. En otros términos, la esencia de las matemáticas aparece como el estudio de las estructuras, es decir, de las relaciones entre los objetos que son conocidos y descritos a través de algunas de sus propiedades, las cuales se ubican como axiomas en la base de su teoría.

La noción de "estructura" se adquirió en sustancia alrededor de 1900, si bien fue necesario que transcurrieran una treintena de años para que apareciera a plena luz. Es así como desde el siglo pasado, debido al esfuerzo de axiomatización desplegada por los matemáticos, se realiza progresivamente un desplazamiento del objeto de la matemática mientras que la rama clásica estudia los números y las figuras, que son seres útiles pero sobrecargados de particularidades, las matemáticas en el siglo XX se interesan fundamentalmente por las estructuras desposeídas de todo detalle superfluo.

1.2 TENDENCIAS CONTEMPORÁNEAS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Como comentáramos anteriormente, el desarrollo alcanzado por la Matemática a mediados del siglo XX repercutió razonablemente en la matemática escolar, generándose el llamado movimiento de la "matemática moderna", que se originó en los Estados Unidos de América, y que implicó un cambio de los contenidos de Matemática, tanto a nivel de educación secundaria como en primaria, no sólo en Norteamérica y Europa sino también en los países latinoamericanos. Aparte de los cambios de contenidos

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y de presentación de éstos en los materiales educativos impresos, a partir de la década del setenta, las orientaciones metodológicas para la enseñanza-aprendizaje en la escuela primaria de Latinoamérica han sido fuertemente influenciadas por los cambios de éstas en el extranjero, por un lado, y por las deficiencias propias e inherentes a nuestros sistemas actuales, por el otro. En otras palabras, el supuesto cambio hacia las llamadas "matemáticas modernas" (consecuencia ésta a su vez del desarollo de la matemática como disciplina alrededor de inicios de siglo) contrajo como consecuencia inevitable la evaluación de las que en ese entonces se denominaron matemáticas tradicionales. Esta evaluación de metodologías y contenidos desembocó en un análisis de la eficiencia de todo el sistema educativo formal latinoamericano, análisis que aún actualmente se continúa dando. Conviene entonces hacer una reflexión sobre las tendencias contemporáneas que orientan las grandes metas para la matemática en la escuela primaria, y así, después, hablar algo sobre el maestro y su papel en la educación de modalidad presencial.

Entre las metas de la educación existen siempre algunas que enfatizan las necesidades de la sociedad de disponer de ciudadanos y trabajadores alfabetizados literal y numéricamente, capaces de hacer frente a las demandas de tecnología que plantea la agricultura o la industria. Otras metas enfatizan el desarrollo personal del individuo como una persona independiente, cuya educación está planificada para contribuir a que pueda lograr una total comprensión y valoración de la vida. En la educación matemática, el progreso hacia el logro de ambos tipos de metas comienza en la escuela primaria y, para muchos niños en muchos países, toda la matemática formal que aprenderán para siempre será la aprendida en ella. En un informe ponderado y con visión de futuro producido en 1956 por la Mathematical Association, en el Reino U nido, y titulado The teaching of mathematics in primary school (La enseñanza de la matemática en la escuela primaria), las

metas estaban firmemente basadas sobre el desarrollo del individuo como un pensador:

• El propósito de la enseñanza primaria es el establecimiento de las bases del pensamiento matemático relativo a los aspectos numéricos y espaciales de los objetos que encuentran y de las actividades en que participan los niños de esta edad.

Este punto de vista fue reforzado por los inspectores escolares del departamento de educación y ciencia en un documento en el que se sometía a discusión la matemática en la escuela primaria:

• Enseñamos matemática para ayudar a la gente a comprender mejor las cosas: a comprender, quizás, las ocupaciones que podrían desempeñar más tarde, o a comprender los logros de la creatividad de la inteligencia humana o el comportamiento del mundo natural. Y el poder particular de la matemática radica en que sus ideales centrales nos ayudan a hacer todas estas cosas.

Esta tendencia a enfatizar el desarrollo del individuo se manifiesta claramente no sólo en las metas curriculares de los países desarrollados. En el informe titulado M athematics education at pre-school and primary leve/ (educación matemática a nivel pre-escolar y primario) presentado al Tercer congreso internacional sobre educación matemática (ICME, por sus iniciales en inglés) en 1976, se expresó un punto de vista de amplitud universal:

• Una tendencia, basada en la idea fundamental de que no existe diferencia de naturaleza entre el pensamiento de un niño y el de un matemático, se está afirmando lenta pero seguramente por si misma. Está tendencia consiste en reemplazar el aprendizaje de mecanismos y de sus aplicaciones a problemas tipos por actividades en las que el niño demuestre investigación e inventiva, recurriendo

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a la necesidad que tienen los niños de comprender, permitiéndoles que desarrollen su propia estrategia de investigación para que puedan experimentar, así, el placer de resolver un problema, poniendo en juego sus conocimientos y competencias previas e invitándolos o plantear nuevas preguntas.

No puede negarse que existen grandes dificultades, aún en los países desarrollados, en el proceso de implementación de metas tales como éstas. Un cambio de la situación de la educación a nivel de escuela primaria realizado en Inglaterra en 197 8 por la inspección de escuelas del departamento de educación y ciencia reveló que, en aproximadamente un tercio de las clases en todos los niveles de édad, los niños estaban gastando demasiado tiempo en la realización de prácticas repetitivas de procedimientos que ya habían llegado a dominar.

Una sección del informe de 1975 del National Advisory Commitee on Mathematical Education (comité asesor nacional sobre educación matemática) de los Estados Unidos de América (sigla inglesa: NACOME), que consideró las habilidades de computación, establecía que:

• U na de las tendencias ocultas más fuertes en la toma de decisiones curriculares actuales es la presión por volver a enfatizar las habilidades de computación en aritmética y álgebra. Esta tendencia es, indudablemente, una respuesta a la crítica pública respecto a la caída de los resultados de las pruebas en habilidad computacional y de cálculo. La instrucción escolar tradicional exageraba en gran medida los hechos y las habilidades, y trataba de enseñarlos, con demasiada frecuencia, mediante métodos que acentuaban la memoria mecánica y la ejercitación repetida. Estos métodos no contribuían de ninguna manera a la comprensión, a la retentiva o a la habilidad para aplicar conocimientos matemáticos específicos de un niño desconcertado. Muchos maestros de la era

de la "nueva matemática" intentaron mejorar el desempeño de los alumnos mediante una comprensión más profunda de las estructuras que sirven de base a los métodos de computación. Tenemos razones para sospechar que, en muchas clases, los maestros relacionaron en forma muy precaria la comprensión de las estructuras con los algoritmos incorporados por ellas. Los miembros de NA COME vieron con consternación cómo se gastaba una gran porción de la vida escolar del niño tratando de lograr alguna facilidad en el trabajo con las operaciones fundamentales de la aritmética.

Es evidente que esta consternación no es compartida por el público en general, por los padres de los alumnos o por algunos de éstos. Todos estos grupos de personas consideraron que si a una determinada edad los niños no habían aprendido todavía las habilidades de cálculo y computación, mediante ejercicios sistemáticos y la práctica, se hacía necesaria una mayor práctica y una mayor cantidad de ejercicios repetidos. De hecho, este tipo de creencia es la que ha originado la distinción conceptual de las prácticas matemáticas -hasta cierto punto artificial- entre ejercicios y problemas.

Sin embargo, siendo fieles a la realidad, no se puede decir que exista un consenso o una tendencia dominante en la metodología docente, ni en el énfasis que deba otorgársele a las habilidades específicas esperadas de las actividades de aprendizaje que efectúen los niños de la escuela elemental; a pesar de esto, puede afirmarse que cada vez es más claro cuáles son los aspectos clave que deben guiar todo cambio educativo en la actualidad. Uno de ellos afirma precisamente que la educación, como una actividad cultural, por y para la cultura, no debe presentarse centrada en la materia o los contenidos de aprendizaje, sino que debe responder fundamentalmente al contexto (en un sentido bien general), ambiente y realidad del estudiante. Este ligero señalamiento

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produce cambios medulares en la filosofía de la educación, y consecuentemente en las metas educacionales; afectadas las raíces del sistema educativo, sus terminaciones operacionales no pueden sino evidenciar este cambio substancial.

Otro aspecto clave que merece cada vez mayor atención es lainnegablerelación existente entre lenguaje y aprendizaje. Existen dificultades considerables del lenguaje en el aprendizaje de la matemática aún en aquellos países en los que los niños son suficientemente afortunados para aprender matemática, en su lengua materna durante la vida escolar, y donde la lengua materna es un idioma occidental que, como tal, resulta bien adaptado para expresar las ideas matemáticas occidentales. Cuando los niños ingresan a la escuela, la capacidad lingüística de muchos de ellos resulta insuficientemente desarrollada para permitirles intervenir en conversaciones que tienen algún sentido matemático. En estos casos, la escuela debe contribuir, en buena medida, al desarrollo del vocabulario y a la tarea de conceptualización de los niños. La conversación en el aula necesita enfatizar expresiones tales c~mo "el primero en la familia", "el más viejo", y la "caja pesada", de manera tal que, mientras los niños van desarrollando su lenguaje, van llegando a comprender las ideas matemáticas contenidas en él.

En una etapa algo posterior, será conveniente expresar una misma idea matemática (en el caso del idioma español) mediante una variedad de frases dichas de diferente forma, como: "contar 2 a partir de 4", "2 y 4 igual a", "2 sumado con 4", "la suma de 2 y 4", "2 más que 4". Todas estas diferentes formas verbales se expresan de manera única con símbolos matemáticos mediante la notación 2 + 4. Si los niños no tienen experiencia suficiente para hablaren matemática, les resultará después difícil abordar problemas enunciados verbalmente que, como en los ejemplos anteriores, pueden enunciarse en una variedad de formas diferentes. De manera análoga, la conversación es un preludio esencial si se quiere que los niños relacionen su aprendizaje con las situaciones

de su vida corriente en las que se emplea la matemática. La dificultad esencial de los niños es de naturaleza lingüística: el trabajo mecánico de efectuar la operación 2 + 4 no es difícil; pero si el concepto y el simbolismo de la adición no están ligados al contexto de las frases utilizadas por el maestro y por el texto, el niño no será capaz de llegar a la expresión simbólica 2 + 4.

En la enseñanza de la lectura, la primera finalidad es ayudar al niño a establecer una correspondencia entre los símbolos escritos que ve y los sonidos, y el significado del lenguaje oral que ya tiene sentido para él. Y en la enseñanza de la matemática, como en su lectura y en su escritura, las dificultades se presentan mezcladas. Esto es debido, en parte, al hecho de que el lenguaje oral correspondiente no resulta siempre significativo cuando se introduce el lenguaje escrito o los símbolos matemáticos y, en parte, porque a la variedad de expresiones orales corresponde un conjunto determinado y único de símbolos matemáticos.

Es así como debemos examinar -brevemente- el rol del educar de la escuela inicial.

1.3 l.A RESPONSABIUDAD DEL MAESTRO EN LA ESCUEI.A PRIMARIA.

En muchos países, los maestros primarios enseñan no solamente matemática, sino que tienen a su cargo la enseñanza de todo el currículo y ello hace que sus habilidades para enseñar matemática estén relacionadas a sus habilidades de enseñanza de carácter más general.

La capacitación en servicio -o la misma superación del maestro por propia cuenta- brinda oportunidades para un tipo de trabajo que integre la matemática dentro del pensamiento total del

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maestro respecto al currículo y a su planificación. En la sección anterior no se ha discutido la necesidad que tienen los maestros de tener confianza en su conocimiento personal de la matemática. Pero en este sentido se hace necesario hacer todo lo posible durante la formación inicial del maestro (incluyendo en ésta su desempeño en los primeros años de práctica docente), para asegurar así que el maestro principiante tenga una comprensión suficientemente profunda de los temas de matemática que le permita transmitir correctamente las ideas básicas. Es por ello que se hace también recomendable que un cierto conocimiento de la matemática debe estar integrado en la educación unificada de un maestro primario. Como lo ha descrito Freudenthal ( 1978) respecto a la formación del maestro el cambio en la formación docente a nivel de la escuela primaria requiere una integración de largo alcance entre la asignatura a enseñar y su didáctica y, como una precondición para esta última: que la asignatura aprendida por el futuro maestro esté tan cerca de la asignatura que él debe enseñar en su carrera futura como para que resulte accesible a esta completa integración con la didáctica. El desarrollodeunaactitudmatemáticacomounmedioparadesarrollar una buena actitud educativa se considera más importante que la cantidad de matemática que se enseñe al estudiante. Cambiar la formación del maestro únicamente en una asignatura-matemática­aparece como una aventura quijotesca; pero usted tiene que comenzar en alguna parte, y ¿no podría ser matemática el punto de partida más fácil?

Tanto la formación inicial como la capacitación en servicio, así como toda modificación externa en funciones docentes pueden y deben ayudar a los maestros para que comprendan su propio desarrollo profesional y vigilen su progreso a medida que aprendan a utilizar una mayor variedad de estrategias de enseñanza, fuera de aquellas tradicionales con que iniciaron sus carreras docentes. Existen niños, en todas las clases, que no aprenden matemática tan efectivamente como su habilidad llevaría a suponer que podrían hacerlo.

Aun los maestros más tradicionales reconocen que la capacidad pararesolverproblemas debe figurar entre las habilidades básicas. Consideremos los problemas que siguen:

a) 50- 12

b) un grupo de excursionistas compran 50 libras de arroz para un viaje. Si esa cantidad de arroz debe alcanzar para 12 comidas en cada una de las cuales se cocina la misma cantidad de arroz; ¿cuántos kilos de arroz debe emplearse en cada comida?

c) Un grupo de 50 exploradores hizo un viaje de excursión y en él llegaron a un río que tenía que cruzarse en balsa. Si la balsa podía transportar como máximo 12 personas por vez; ¿cuántos exploradores cruzaron el río en el último viaje de la balsa?

En estos problemas, los cálculos que es necesario realizar son los mismos para cada uno, pero las habilidades que se reclama en cada uno son diferentes. El problema (a) exige, solamente, habilidad numérica. En el problema (b) la situación descrita es clara y directa: requiere comprensión del enunciado escrito con palabras y aplicar, después, las habilidades necesarias para el problema (a). El problema (c) es menos directo que el problema (b), implica comprensión y exige más pensamiento reflexivo. Es, precisamente, en la resolución de problemas que la comprensión y la reflexión (como opuestos a las habilidades mecánicas) resultan cruciales.

La habilidad para pensar es fundamental para toda empresa humana. Y en matemática podemos invocar la actividad del pensamiento en múltiples situaciones: cuando desarrollamos las percepciones del espacio, cuando medimos, cuando organizamos datos, cuando formulamos conjeturas y cuando las sometemos a prueba, o cuando analizamos conjeturas imaginadas y, obviamente, cuando llevamos a cabo inferencias lógicas. Todas estas actividades

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podrían designarse como los procesos de la matemática, ya que ellos son utilizadas cuando se trabaja en matemática. Sin embargo, tales actividades no son privativas de los procesos matemáticos: se utilizan, también, en otras áreas y en otras interacciones humanas.

Además de las amplias metas de la matemática escolar que se establecieron en los párrafos anteriores, existen otras vinculadas al dominio afectivo. Parece existir un énfasis creciente respecto al humanismo, sobre el desarrollo de valores y actitudes. Y estas tendencias pueden ser promovidas en matemática. Si es así, la cuestión podría contribuir al propósito general de la educación: el desarrollo total del individuo, tanto desde el punto de vista personal como del individuo considerado como miembro de una sociedad.

La mejor ayuda de enseñanza para el maestro es el maestro . mismo. El maestro tiene el deber para con sus alumnos y, en último término, para con la sociedad, de aprovechar esta ayuda -que puede ser permanente- en la forma más completa posible. U na condición necesaria para enseñar matemática es saber matemática. Entonces, y previo a toda condición, el maestro debe tener alguna competencia y comprensión del contenido y de las habilidades asociadas al mismo: debe saber lo que significa trabajar en matemática.

Los educadores consideran a la matemática como uno de los mejores medios para el desarrollo de habilidades de pensamiento. La opinión, tan frecuentemente escuchada, de que una persona que es buena en matemática puede ser un buen jugador de ajedrez, no se refiere a la habilidad para calcular sino, más bien, a la habilidad para razonar. El maestro debe ser capaz de darle substancia a este punto de vista (el de que la matemática es un medio efectivo para desarrollar habilidades de pensamiento) en lugar de reducirse a un verbalismo circunstancial y no auténtico sobre la cuestión. El maestro debe ser capaz, durante el proceso de enseñanza matemática, de aprovechar las oportunidades que se presenten para desarrollar

las habilidades de razonamiento y para desarrollar hábitos de pensamiento organizado en los niños.

El maestro no debe considerar la matemática como un cuerpo aislado de conocimientos, sino que debe ser capaz de ver la matemática en el medio ambiente, así como en otras asignaturas del currículo. Y esto es pedagógicamente importante, puesto que el maestro debe utilizar y proporcionar experiencias o situaciones que constituyan un punto de partida para que los niños puedan descubrir y desarrollar la matemática que pueda estar contenida en ellas. En lenguaje técnico, decimos que se utiliza una situación física para introducir y para desarrollar un "modelo matemático" de la situación real.

Por otra parte, el maestro que puede detectar fácilmente aspectos matemáticos en las situaciones del medio ambiente, puede ser capaz de individualizar las situaciones específicas a las que les son aplicables descripciones matemáticas similares. Y con éstas resulta, entonces, posible expresar varias situaciones con un mismo modelo matemático, en forma análoga a como las tres situaciones diferentes descritas anteriormente hacen necesario el mismo cálculo de 50 - 12. El maestro debe ayudar a los niños a descubrir situaciones matemáticas -o matematizables- en su propia experiencia, y debe también ayudarlos a extender los recursos matemáticos empleados a nuevas situaciones incluso, fuera de su propia experiencia.

Un argumento que se presenta con frecuencia para apoyar el estudio de la matemática es que ella constituye una herramienta importante, de aplicación muy amplia, en ciencia y tecnología. Pero no basta con decírselo a los niños: es necesario que ellos mismos estén convencidos a través de su propio trabajo con diversos ejemplos específicos. El maestro que está informado adecuadamente respecto a la comunidad y al medio ambiente puede ser capaz de proporcionar vinculaciones significativas entre

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la matemática, por un lado, y la ciencia y la tecnología por el otro, contribuyendo así -y en la mejor forma- al apoyo de la convicción señalada.

La política general del país, y las autoridades nacionales, producen un impacto sobre los programas curriculares de matemática. Es por ello que el maestro debe tener conciencia de las metas nacionales y de las políticas del gobierno, debiendo, en consecuencia, tratar de establecer una relación más estrecha entre lo que se enseña en el aula y lo que se aprende y se hace fuera de ella en relación con los proyectos y los esfuerzos nacionales, y hacerlo, dentro del medio ambiente de los niños y de su comunidad. Lós ejemplos que se utilicen podrían incluir desarrollo rural, mejor nutrición, mejoramiento de la salud y la educación popular. Como Broomes (1981: 71) lo plantea: "Necesitamos, no solamente proyectar métodos que permitan la aparición en las clases de matemática de conductas creativas entre maestros y alumnos sino, y más importante aún, los métodos deberían permitir que la matemática de la clase penetrara en otras materias del programa escolar y en el mundo exterior. Además, e! mundo exterior debería tener contacto con la matemática que se estudia en las escuelas (primaria, secundaria y otras)".

Toda situación en la que tiene lugar la enseñanza y el aprendizaje debe impulsar al maestro a considerar la interacción entre el que aprende, el tema que se considera y el contexto o la comunidad y la sociedad en general. Y tenemos que considerar, todavía, al alumno: el maestro de escuela primaria debe tener sensibilidad para el niño y debe tener conciencia de las formas cómo los niños comprenden ciertos conceptos y sus puntos de vista, de la limitación de sus percepciones, de su grado de abstracción, así como del lenguaje que emplea. En resumen, el maestro debe conocer al niño.

1.4 ETNOMATEMÁTJCA

En 1983, Appleton1 manifestaba que "la actividad mental es parte de la dotación de todo ser humano, mas al mismo tiempo, mucho de su forma está dirigida y culturalmente determinada( ... ) El estilo cognitivo o el modo en el que una persona acomete, ordena y piensa acerca del mundo influencia en el desempeño de un estudiante en un ambiente académico dado".

Asimismo, dado que la enseñanza debe ser adaptada a la experiencia de los niños en su ambiente físico y social en el cual viven, la Matemática, en Guatemala, debe también moverse sobre estas experiencias, las cuales incluyen la presencia de toda la herencia matemática, en nuestro caso, de la cultura de las comunidades mayas. Esto contribuirá a reafmnar la identidad de los educandos mayas guatemaltecos, posibilitando la recuperación de su confianza en la potencialidad creadora de su cultura materna.

En las dos últimas décadas ( 1970-1990) se viene afmnando, cada vez, con mayor énfasis, que todo grupo cultural desarrolla su propia matemática, constituyendo así la Matemática, no un solo cuerpo, sino más bien un sistema formado por distintos componentes y metodologías formales e intuitivas de desarrollo.

Es esta dirección de ideas la que se contrapone a la visión de la Matemática presentada en la sección 1.1. No queremos llegar a negar lo afirmado allí, pero en asuntos de metodología de la enseñanza de la Matemática, las propuestas alternativas cobran cada vez mayor importancia. Estas surgen del análisis mismo de la educación en Matemática, y parten del respeto a las culturas creadoras, partícipes y dueñas de la ciencia, negando así una visión de la ciencia única como estructura de poder y dominación.Resta sumarizar y establecer conclusiones de lo expuesto en esta primera parte.

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En la cultura de los Mayas, por ejemplo, es innegable hubo una expresión y logro matemático cuyo desarrollo y permanencia fue bloqueado por la conquista española. En efecto, la Matemática Maya alcanzó un gran desarrollo en comparación con otras culturas de su época. Justamente el sistema de numeración escrito de base veinte, creación Maya, fue uno de los cuatro sistemas originales de numeración posicionales que se hayan ideado en el mundo; de hecho, a decir verdad, el mejor. Los otros fueron el de Babilonia, el de China y el de la India (ver Apéndice C para más detalles). Otros logros matemáticossss de gran magnitud fueron el calendario y los estudios astronómicos, elementos todos interrelacionados, dada la cosmovisión de la cultura maya, en la que tiempo, espacio y numeración son destellos de los mismos conceptos. Existen grandes paralelismos entre la matemática maya, según la describen los estudiosos, y la naturaleza de la matemática griega inicial, cuyo representante más fiel fue Pitágoras y su escuela. En efecto los antiguos pitagóricos griegos descubrieron semejanzas (Jwmoiomata) entre las propiedades de los números y de las cosas, principalmente en la estructura de la armonía musical y en la construcción y movimientos del cielo. La cronología maya y los registros de la descripción del movimiento celeste corresponden a la afirmación pitagórica fundamental "todo el cielo es armonía y número", lo que a su vez evidencia lo que para el maya representan los números. Recuérdese (ver Apéndice B) que cada día tiene un número, figura, nombre y numeral. Los días, así como los números mayas (si es que no son lo mismo), poseen propiedades intrínsecas. Esta visión maya del concepto griego del arithmos (armazón, armonía) temporal es la que produjo el mejor calendario de antes del siglo XIX (recuérdese que el calendario maya es mejor y más preciso que el gregoriano usado actualmente).

Pues bien, además de los Mayas, hubo una cultura matemática en nuestro continente que también fue frenada por la venida de los españoles, estamos haciendo referencia al Imperio Incaico. En este sentido, el estudio de base realizado por el equipo

de PEEB-P desde 1981 a nivel de las comunidades rurales del Puno, en el Perú, ha mostrado que las manifestaciones de esta cultura matemática incaica, a pesar de los cinco siglos de marginación, son conservadas -en parte- por las comunidades del altiplano peruano. Alguien podrá pensar que esto no es posible, porque, como es sabido, muchos indígenas guatemaltecos no tienen mayor conocimiento numérico o matemático en su lengua materna; pero debe tenerse en cuenta que la concepción del mundo es la que coordina toda percepción y conocimiento, de forma que resulta totalmente inadecuado evaluar u observar un desarrollo matemático occidental en una cultura con valores y concepciones diferentes.

Es en esta dirección de ideas que Zalavsky (1989) reconoce que "todos nosotros, nutridos desde el interior de la tradición de la cultura occidental, tendemos a pensar sobre las Matemáticas como un único florecimiento de la cultura europea ( ... ) Sin embargo, evidencias culturales sugieren que la Matemática ha florecido en todo el mundo, y que los niños se benefician de ella aprendiendo como prácticas matemáticas provenientes de las necesidades reales y deseos de las sociedades''2

Y a en 1977, Hall decía: "El acto natural del pensamiento es grandemente modificado por la cultura; el hombre de Occidente usa solamente una pequeña fracción de sus capacidades mentales; hay muchos diferentes y legítimos modos de pensamiento; nosotros en el Oeste valoramos uno de éstos más que los otros, lo que llamamos lógico', un sistema lineal que ha estado con nosotros desde Sócrates".3

Esta corriente de pensamiento ha generado el uso del término: Etnomatemática, en cuanto a la capacidad de expresión matemática de un grupo cultural es tan propio como su capacidad de lenguaje. "La acuñación del término Etnomatemática puede acreditarse probablemente al matemático brasileño Urbiratan

15

D'ambrosio. En exposiciones recientes, el Profesor D'ambrosio ha enfatizado la influencia de los factores socioculturales sobre la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas"4

•

Actualmente se tiene diferentes conceptos de Etnomatemática. Así, para Marcia y Robert Ascher, etnomatemática es "el estudio de las ideas matemáticas de gente no letrada"5

•

"Dado que la Matemática es una ciencia que pertenece al patrimonio de la cultura universal, cuyos rudimentos se remontan a los orígenes del hombre, y cuyo desarrollo actual se debe al aporte de varias civilizaciones de Oriente y Occidente, la Etnomatemática de un grupo social determinado estaría constituida por casos particulares de algunos modelos matemáticos, ligados a su cosmovisión''6 .

Ubiratan D' ambrosio, en "Etnomatemáticas: Un programa de investigación en la historia de ideas y en cognición"7

, luego de expresar lo que entiende por "grupo cultural bien identificado", es decir " un grupo de personas que comparten distintas y comunes características de civilización tal como jerga, códigos de conducta, esperanzas y temores, o en resumen, lenguaje y cultura en su más amplio sentido", precisa: "nosotros llamamos Etnomatemáticas el arte o técnica de entendimiento, explicación, conocimiento, abordaje y dominio del contexto natural, social y político, que se sustentan sobre los procesos de contar, medir, clasificar, ordenar e inferir, lo cual resulta de grupos culturales bien identificados".

La precisión conceptual de Etnomatemática se logrará en función de una mayor investigación en este campo. En todo caso, lo positivo a rescatar es la creciente conciencia de la importancia de considerar en la educación formal los conocimientos y técnicas matemáticas del grupo cultural al cual pertenece el educando como medio para mejorar el aprendizaje de la Matemática, superando la alienación cultural.

Resta sumarizar y establecer conclusiones de lo expuesto en esta primera parte del presente manual. En la sección 1 se ha expuesto la visión de la matemática occidental, y particularmente de la concepción de "lo matemático" en la actualidad. Esta descripción de la actividad matemática trae fácilmente a colación las distintas percepciones sobre la problemática de ¿cómo enseñar la matemática? Algunas evidencias de esta problemática, y en particular algunos de los resultados deficientes de diferentes sistemas educativos en el esfuerzo de transmitir y vivenciar la visión de la matemática antes mencionada, han sido incluidas en la sección 2.

Por esta razón ha sido necesario -además- incluir otras reflexiones sobre el rol del maestro y su trascendental papel en estos esfuerzos, y por ello la sección 3. Sin embargo no es sino hasta esta sección 4 que se plantea una visión alternativa a la mostrada al inicio, con miras a promover reformas curriculares al sistema educativo nacional actual, pero más específicamente, al interior de los programas de formación inicial en la Escuela Bilingüe. Estos programas e ideas han surgido con toda seguridad de las fallas de la educación actual en general, pero más aún en países multiculturales y plurilingües como Guatemala, en donde los modelos extranjeros no muestran la adecuación ni la pertinencia apropiadas. No debemos cometereJ error de pensar que Guatemala no puede generar sus propias soluciones alternativas, tanto en Educación como en otros ámbitos de la vida nacional. De hecho sólo guatemaltecos especialmente preparados podrán enfrentar adecuadamente los problemas de Guatemala, y la corriente metodológica de la Etnomatemática es precisamente eso lo que persigue. En Guatemala existen personas calificadas para realizar reformas serias y profundas; un ejemplo de ello es el Dr. Leonel Morales Aldana, doctorado en la Universidad de Campinas Brasil, especializado en Metodología de la Enseñanza de la Matemática, y actualmente Investigador en la Universidad Francisco Marroquín.

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El Doctor Leonel Morales es miembro de la Sociedad de Etnomatemáticos del Mundo y ha participado en distintos congresos internacionales relativos al tema. Es autor de varios artículos y ponencias, dentro de las cuales figuran la exposición sobre la matemática maya en el último Congreso de Matemática a nivel Nacional. Aún así debe quedar claro que nada podrá cambiar si usted distinguido lector no da el primer paso. Contamos con su apoyo y su espíritu de maestro. Los niños de Guatemala se lo agradecerán.

Notas:

1 ISGEM Newsletter. No.1 Vol.5 Dic.89 pág.6 2 ISGEM Newsletter. No.1 Vol.5 Dic. 89 pág. 6. 3 ISGEM Newsletter. No. 1 Vol.5 Dic. 89 pág. 6.1 4 ISGEM Newsletter. Vol. 3. Set.87 pág.2. 5 ISGEM Newsletter. Vol. 3. No. 2 Mano 88 pág. 2 6 Villavicencio, M. Ponencia presentada en la VII Conferencia lnteramericana

de Educación Matemática. Santo Domingo, Julio 1987. 7 ISGEM. Newsletter. Vol. 4. No. 1 Octubre 88. pág. 6.

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parte 2

CONTEOS Y NUMERACIÓN

2 .1. A MANERA DE INTRODUCCIÓN.

Para la buena comprensión de los conceptos fundamentales no se debe correr, hay que tomarse el tiempo necesario para que sus alumnos capten perfectamente bien la idea de número antes de pasar a las etapas más bien formales de la numeración: la lectura y la escritura de los numerales. Ya se ha mencionado que en la enseñanza primaria se debe marchar siempre de los concreto a lo más abstracto, y debemos reparar en que los números son objetos abstractos, ideales, que no poseen existencia concreta, ya que su realidad está puramente en la cabeza de los hombres. De esta forma, los maestros tenemos que iniciar el contacto con los números de una manera gradual, partiendo de lo que se puede tocar para llegar a lo que sólo son representaciones mentales y cosas abstractas.

¡ "Esto es confundir al nifto"!

Por ejemplo, es un error venir y decirle al niño que el signo 2 es"eldos". ¿Quérelación tieneelsigno (indo-arábigo)delnumeral dos (2 ) con el concepto dos? Casi ninguna ... pero peor aún, ¡¿Qué relación tiene el dos con la figura de un cisne?! ... ninguna ... ¡Enseñar el "dos" a partir de un cisne es mezclar aceite con agua!

Por favor: trate de no confundir en el niño las ideas fundamentales relativas a la numeración.

Vaya despacio al inicio; sólo así logrará que los niños comprendan perfectamente bien.

¡No hay prisa! Más vale caminar seguro, que mucho caminar perdido.

Se debe distinguir, entonces, lo siguiente:

[el número] [el numeral] [ el vocablo]

2

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El orden que los expertos afirman que el proceso de enseñanza-aprendizaje debe seguir es el siguiente:

r- o ----------------, 1 li - El número: como concepto abstraído 1 1 de una serie de situaciones concretas. 1 1 1 1 .........._ 1 : ,...,..-oi=r, : : ' ~ : : ~ •• ./ : ~-------------------J 0-------------------,

~ 0 Lo .. d" 1 ;:; - sguarzsmos:un conJunto e signos 1 1 para representar a la colección de 1 .: números más chicos, o básicos. :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

~-------------------J

,- o----------------, 1 2 - El vocablo: un nombre para ese 1 1 concepto ( en general, íntimamente 1 : ligado a todo concepto va un sustantivo). :

1 1 1 1

l dos l 1 1 1 1

~-------------------J

,-------------------, 1 4 Q Los numerales: un sistema de signos 1 1 y de construcciones formales para 1 : denominar todos los números :

1 naturales. 1 1 1

l Un sistem~ de : 1 numeración 1

1 1

~-------------------J

,----------------------------------------------, 1 5 Q El conocimiento del sistema de numeración decimal, características, 1

1 numerales y denominaciones. . , 1 I EJ: uso del abaco. I

~----------------------------------------------J

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Algo que es importante observar es que los números son ideas o conceptos relativos a colecciones de objetos y no a un solo objeto. Así, un perro tiene varias propiedades o cualidades (por ejemplo, es negro y obediente), pero ningún perro u objeto individual posee la cualidad "dos". Sólo un conjunto de perros, o de orejas, o de patas, puede tener la propiedad "dos". Sin embargo, la propiedad "dos" no se aplica únicamente a colecciones de objetos del mismo tipo o naturaleza, sino que puede ser aplicados a conjuntos cualesquiera. De hecho, al hacer abstracción sobre el tipo de objetos de un conjunto, y olvidándonos de todas sus propiedades individuales, podremos observar que al conjunto mismo le queda una propiedad característica de la colección, que es el número de objetos en ella. Sin embargo, las relaciones inherentes al concepto de número no pueden ser enseñadas hablando, por magníficos que sean los discursos. Los psicólogos del aprendizaje coinciden en esto.

Objetos del mismo tipo o naturaleza -----, : fff,J '------

Objetos de distinto tipo.

ÍA•¡ 1 . 1

1 - ~ _)

~-----

r-----1 ' , ..... o' '-,,,,.,,, 1 _____ _)

2.2 EL NÚMERO NATURAL.

Los números son sólo nombres de algo, de un algo no concreto. De hecho, éstos conllevan, cuando menos, dos propiedades relacionadas, pero distintas:

+ la característica cardinal, o de conteo; y + la característica ordinal.

Número -> número natural • caracteóstica cardinal

/ • caracteóstica ordinal

(N)

Además, es bueno aclarar que cuando decimos números, nos referimos a los números naturales, es decir, a los que nos sirven para contar. Ya después, los niños tendrán la oportunidad de aprender otras modalidades o formas numéricas, otros tipos de número. No olvidemos que los números no son sino construcciones mentales que el hombre hace para explicar relaciones abstractas que se dan intrínsecamente según esa construcción y que sirven fundamentalmente para describir la realidad.

Pues bien, la característica cardinal o de conteo es la que debe ocupar la atención inicial del alumno y del maestro, pues ya posteriormente caerá por su propio peso y de añadidura la otra característica de los números naturales, la ordinal. Por eso,

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algunos autores hablan de números cardinal, por un lado, y de números ordinales, por el otro, como hablando de objetos diferentes, haciendo una distinción que a todas luces debe ser evitada. Bastará referirse a ellos como números naturales.

Recapitulando, podemos concluir que:

• Puede iniciarse las actividades con colecciones de cosas y objetos del mismo tipo, como frijolitos, piedras, figuras, etcétera. Después se extenderá a toda colección posible.

• Los números no son cosas que se toquen con las manos, sino puras ideas. A su vez, las ideas no se aprenden con que nos hablen de ellas o nos pongan a repetir palabras o actividades; necesitamos de un referencial concreto, que al inicio será constante, del mismo tipo, y después podrá y deberá variarse.

• Se facilitará la comprensión de los números naturales si tanto maestros como alumnos se centran en su característica cardinal o de conteo. No es necesario (ni conveniente) que se les llame cardinales.

Al respecto de la última sugerencia, vale la pena criticar alguna práctica más o menos generalizada en la enseñanza de los números naturales, o más bien de la escritura de sus numerales ( en el sistema decimal de numeración). Esta práctica consiste en hacer planas orientadas al aprendizaje de la "secuencia" de los números, de forma que el niño sabrá qué numeral sigue al numeral dos-ocho, 28, que es el dos-nueve, 29, y sabrá seguramente también que este último se lee "veintinueve". Los triste del caso es que con la práctica de esta actividad no sabe qué significa realmente la

combinación "29", ni se puede imaginar qué es lo que representa. En este sentido, se han visto casos extremos en lo cuales los niños "saben sumar", pero en realidad no saben lo que están haciendo. Por ejemplo, se tiene que un niño podría responder "7" a la pregunta "¿cuánto es 3 + 4?", aunque sin entender porqué, sólo en base a la memoria, aunque sin hacer la relación correspondiente con la realidad.

Con estas prácticas únicamente estaremos induciendo una educación memorística, bancaria o de información, lo cual constituye uno -sino el mayor- de los males de la educación formal actual en Guatemala. Esta situación es dramática, y es precisamente lo que se espera evitar con un buen y extenso aprestamiento aritmético, aplicando tanto las sugerencias que se dan en este manual, así como otras que usted como docente experimentado ha adquirido y pueda aplicar. ¡ Anímese a experimentar con sus niños nuevas formas de actividad educativa! Usted las podrá ir mejorando con el tiempo, y ellos la pasarán muy buen con cada novedosa y creativa actividad.

23. OBTENIENDO EL CONCEPTO DE NÚMERO.

ETAPA A

Dado que número es una idea genérica, no se perseguirá el logro del número en general sino la comprensión de cada número en particular. Hacer este paso sin dar nombres ni símbolos parecerá difícil, pero, como veremos, realmente no lo es.

Para definir cada número como una idea específica sera necesario clasificar, seriar, parear y establecer de esta forma la conservación de la cantidad. El objetivo de aprendizaje de sus

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niños es: "reconocer las colecciones con detenninado número de objetos".

Para ello, se sugiere la siguiente actividad:

1) Primero, usted organiza conjuntos de objetos del mismo tipo, digamos frijolitos. Dispondrá, entonces, de varios grupos de frijolitos, cada uno con uno, dos, tres, cuatro o cinco frijoles. Se asegurará que haya un conjunto de frijoles para cada alumno, y decidirá cuántos fri jolitos dará a cada uno, anotándolos en una hoja de control (esto mismo le servirá para las prácticas posteriores).

2) Paso seguido, irá llamando a los niños uno por uno para darle a cada uno el "montoncito" que le corresponde (según lo anotado en la hoja de control previamente hecha).

3) Finalmente, les pedirá que busquen entre sus compañeros los que tienen igual número de frijolitos, advirtiéndoles que esto quiere decir que no tiene más (osea que sobran al compararlos) ni tienen menos (o sea que/a/tan al realizar la comparación).

Cuando encuentren a un compañero que tenga igual número de frijolitos, se quedarán juntos hasta formar un grupo todos los que tengan ese mismo número de frijoles. Los grupos deberán estar separados por la mayor distancia posible, con lo que la clase quedará dividida en grupos según el número de frijolitos que tengan. Si usted entregó "montoncitos" de uno a cinco frijoles, tendrá entonces un grupo para un frijol, otro para dos frijoles, otro para tres ... en total tendrá 5 grupos de niños.

4) Llegado este momento, les dirá a sus alumnos que se han agrupado según el número de frijolitos, y les explicará con detenimiento cómo proceder para la determinación de dos conjuntos con el mismo número de elementos.

5) Posteriormente, repetirá la actividad con todo tipo de objetos: lo importante es comparar el número. Como usted ha ido registrando en una lista el número de objetos de cada grupo que le ha dado a sus niños, le será fácil asegurarse que cada uno de ellos pase por todos los tipos de "montoncitos", según el número. De hecho, en algún momento podrá contemplar la posibilidad de dar cero frijolitos. Utilizar tapitas de aguas gaseosas como "cajitas" para depositar frijolitos le permitirá dar tapitas sin ningún frijolito a sus alumnos. La meta, aquí, es abstraer la idea de "cero elementos".

...,_,.. Al efectuar repetidamente este tipo de actividad, lo más

probable es que no siempre quede cada grupo de niños (agrupados de acuerdo al número de objetos en su poder) en el mismo lugar. Así, el grupo con un objeto a veces quedará en el centro, otras cerca de la puerta, otras en una esquina ... Por esta razón, días después, usted pondrá en las paredes carteles con los siguientes gráficos:

CJ~~~ ~

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Repetirá la operación, les asignará conjuntos de frijoles, piedras, papelitos, etc., siempre en el ámbito numérico de O a 5 objetos, y les pediráquecon ellos se dirijan al cartel correspondiente. Puede jugar con expresiones del tipo: "tienes el mismo número de cosas", "tienes menor número de cosas", "tienes mayor número de cosas".

Con la actividad propuesta, usted ha efectuado una partición de los alumnos referida a la relación "igual número de cosas", y este proceso, ya sea formalmente presentado o no, es el que da origen al concepto de número. En otras palabras, el niño podrá intuir el concepto de cada número al participar en la observación y apareamiento de las colecciones de objetos de cada mio de los compañeros de su grupo.

La dinámica debe repetirse las veces que sean necesarias para asegurar la perfecta comprensión de los niños, cuidándose de variar la cantidad y el tipo de "cosas". Deberá cuidar, pues, que a cada niño le toque, en cada actividad que se efectúe, colecciones de objetos con distintas cardinalidades. Recuerde que cardinalidad es el término técnico para número de elementos.

Para la evaluación de esta primera etapa (A) de actividades, usted podrá someter a cada niño a una actividad de selección similar a las efectuadas. Entréguele pequeños grupos de objetos (en bolsas transparentes, o de otra manera), y pídale que los clasifique según el número de objetos, es decir, de acuerdo a la relación: "tiene el mismo número de cosas que". Así podrá observar los resultados individuales de cada niño. También es el momento de explicarle personalmente tcx:la duda que pueda surgir.

Cuando usted ya esté seguro (a) de que todos están bien en el reconocimiento del número en una colección cualquiera, es decir, cuando todos hayan logrado los objetivos de aprendizaje de esta etapa A, podrá continuar con la siguiente.

"'

2.4 DE NÚMEROS A NUMERALES.

ETAPA B

Fundamentalmente lo que ahora se perseguirá es nombrar cada número y otorgarle un signo que lo simbolice. Para ello, es conveniente asignarles primero un nombre arbitrario, escogido en el grupo, para después aprender el nombre correspondiente en los idiomas que los niños manejen (y en otros, si se quiere). Para el logro de este objetivo, repetirá la actividad fundamental de la etapa a.'1terior, de forma que cuando tenga a los niños ya clasificados por número y frente a los carteles titulares de la forma ( como un ejemplo):

D ~ o

procederán a inventarse un nombre para este número. Es preferible que este nombre sea nuevo, relativamente fácil de pronunciar y desconocido para todos los presente. Cada grupo decide cómo nombrarse, y repiten el nombre para asegurar que todos lo saben.

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Usted irá nombrando a cada niño (según orden alfabético, por ejemplo, pero no según el grupo en que ha quedado clasificado) y entonces él le responderá el nombre del número que representa. Esto lo repite con cada uno de sus alumnos de forma que toda la clase se enterará repetidamente del nombre que cada grupo a asignado a cada número. El juego continuará cuando ellos devuelvan los objetos y usted posteriormente los llame y les entregue alguna cantidad de cosas, siempre de cero a cinco. La tarea de cada niño será ir al cartel correspondiente y decir en voz alta a sus compañeros el nombre del número de cosas. Usted pudo haber insistido antes en la memorización de los nombres ideados por los chicos para los seis números en cuestión. Usted podrá construir variantes fabulosas y tendrá de esta manera a todos los niños jugando interesantes juegos que les permitan reconocer y nombrar el número de objetos que se les dan.

reconoc· · un1ento ///-- B _:::ón lingü(stic,

E colección concepto palabra

Aca se supone que el grupo del tres ha decidido llamarme conspi.

Si se lo permiten las circunstancias, sería magnífico trabajar un buen tiempo (una a dos horas) con el primer código seleccionado por los chicos, pero también es deseable que en el

mismo día esta primera selección sea cambiada por una segunda, también arbitraria, para que los niños entiendan que se trata de un juego, del juego de "¿Sabes el nombre?". Sólo usted, el maestro, puede saber en buena medida qué es lo que sus niños necesitan para que la actividad funcione. Podría ser conveniente, por ejemplo, que días antes usted haya jugado a "¿Sabes el nombre?" pero con objetos -unos tres o cuatro- tales como la mesa, el pizarrón, la puerta, etc. Se trata de un aprendizaje gradual, es decir bien graduado, agregando etapas u objetivos intermedios cuando esto sea necesario.

Quizá pueda usted objetar que estas sesiones no "parecen" de matemática, y de esto precisamente se trata, de jugar, o más bien de que usted conduzca a los niños a una serie de juegos que despierten y desarrollen en ellos las ideas matemáticas más fundamentales; después de todo, eso es la matemática, un lenguaje abstracto construido con objetos lingüísticos primarios y reglas definidas de construcción (reglas del juego). La pregunta después será: ¿Qué puedes decir al respecto del juego? y esto es hacer matemática. Más que "enseñarle" cada número, les permitiremos que ellos mismos los descubran, y su descubrimiento será tan válido como el del hombre primitivo, porque el qué hacer matemático es un redescubrimiento, una creación y recreación tan importante y amena que usted apreciará los resultados positivos pronto y seguro. Por otro lado, estas actividades son la ocasión perfecta para estudiar no sólo matemática sino lenguaje, historia, naturaleza y todo lo que usted desee incluir, conservando la unidad del mundo y de sus cosas. Además, usted les permitirá a ellos que realmente participen, y creativamente, en la invención de nuevas palabras, posibilidad que usualmente no nos otorgan. Ya usted les hablará, después, de las convenciones. Por ahora lo importante será reconocer la cantidad de objetos presentes en una colección con cero a cinco elementos, y asignarle un nombre. Además note que ya se han asignado símbolos para esos números. Estos signos se llaman numerales. Podrá en este momento explicarles cómo los

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antiguos mayas usaron un código para la numeración. La siguiente figura le muestra como hacer el cambio de carteles:

DDGBBB D se mantienen los mismos símbolos 1 1

Se observará que la barra horizontal para el cinco es una abreviatura de los correspondientes cinco puntos.

NV Kaqchilcel K'iche' Espai\ol Portugues Italiano

. jun jun uno um uno .. ka'i' ka'ib' dos dois due ... oxi' oxib' tres tres tre .... kaji' kajib' cuatro quatro quattro

- wo'o' jo'ob' cinco cinco cinque

- waqi' waqib' seis seis sei

- wuqu' wuqub' siete sete sette

25 LA NUMERACIÓN EN DISTINI'AS CULTURAS.

Es el momento oportuno para "presentarles" a los niños los nombres que distintas culturas le han dado a los conceptos que los anteriores símbolos representan. En la tabla adjunta aparecen los sustantivos que se dan a los distintos números (del O al 10) en diferentes idiomas y culturas. Usted puede establecer las similitudes entre unas y otras denominaciones según los nexos culturales que hayan existido en el pasado entre algunos idiomas. Estos son ejemplos, y se trata que presente a sus alumnos únicamente aquellos que usted considere relevantes o llamativos.

Debe considerar que aunque la escritura sea similar o diferentes, la pronunciación es punto clave en la definición de cada lengua; es decir, muchas de las variantes son fonéticas, así como también las similitudes.

English Deutsch Hollands Quechua Aimara

one eins een huk maya two zwei twee iskay paya three drei drie kimsa kimsa four vier veir tawa pusi five fünf vijf pichqa phisqa six sechs zes suqta suxta seven sieben zeven qanchis paqallqu

25

Por otro lado es necesario que usted aclare que todas la culturas han ideado "signos" especiales para los números, símbolos que representan a cada uno de ellos y a los que se les denomina "numerales". Esto es un punto que no deja de resultar interesante, en vista de que los distintos lenguajes asignan a cada concepto culturalmente distinguible una palabra que, como mencionábamos, se constituye de una parte escrita (combinación de grafemas, palabra escrita) y de una parte oral (combinación de fonemas, palabra hablada) y se limitan generalmente, a este proceso. Como un ejemplo, obsérvese el siguiente diagrama:

objeto

~

~~mesa

--t::=-~ ~~ chakiteb'

' \~~

abstracción I concepto lingüística

asignación lingüística

palabra: • grafemas • fonemas

Se ha incluido el caso número tres del idioma chino por ser este un lenguaje de tipo ideográfico, no silábico, en donde la palabra escrita es representada a través de un ideograma, el cual corresponde más bien a una representación de la idea que a la representación de la pronunciación de la palabra hablada respectiva. Así, en los lenguajes silábicos (como los presentados en el cuadro esquema anterior), la palabra escrita (o grafía de la misma) se corresponde con la pronunciación o palabra hablada de manera casi ambigua, en vista que en algunos de los citados lenguajes un mismo grafema (figura) puede representar distintos sonidos, o viceversa. Sin embargo, en el caso de los números naturales, todos los idiomas han desarrollado no sólo palabras silábicas para nombrarlos sino también signos (o ideogramas) especiales que los representan, y este es el punto que merecía nuestra atención.

De esta guisa, a cada número natural corresponderá, además de una palabra (sustantivo) -oral y escrita- un símbolo especial llamado el numeral del número en cuestión. De hecho, en la actividad anterior, antes que referirse a los números por nombres, usted ha empleado los carteles con . , •. , etc.

Bien, interesa ahora dar a conocer distintas formas en que los pueblos han simbolizado con numerales a los números naturales. Más que colecciones de signos desarticulados (cada infinitud de números naturales que hay), se trata de sistemas para la combinación de signos elementales (o guarismos) constituidos por estos mismos y un respectivas reglas de combinación. Véase en el siguiente diagrama algunos de estos sistemas.

Después de presentar distintos numerales, y distintas lenguas, sus estudiantes estarán preparados para hacer algunas observaciones pertinentes sobre las distintas elecciones y formas para nombrar y simbolizar los números naturales.

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Actual Maya Egipcio Griego Romano Árabe Babilónico Chino Georgiano

jeroglífico hierático ático posterior antiguo moderno antiguo lll&IU\,.IQI científico

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Es importante que insista en las siguientes:

- Referido a las palabras: a) Las distintas lenguas tienen un tronco común, proveniente de la cultura madre, cuestión que puede observarse según las similitudes entre unos vocablos y otros;

b) Los números mayores, tales como el dieciséis, son expresados como una combinación de dos números, diez y seis (consulte el apéndice A y los vario ejemplos);

c) A pesar de cierta uniformidad, existen algunas adaptaciones propias de cada lengua; ejemplos:

- En español, en lugar de: diecinco - quince - En inglés, en lugar de: twoteen - twelve

- Referido a los numerales: Existe una tendencia a construir los símbolos para los números mayores como una composición -combinación específica de los numerales más chicos ( o numerales básicos).

Como estos aspectos revisten su especial importancia, incluimos en la próxima sección algunos ejemplos y su detallada explicación; dentro de ellos destaca principalmente el proceso de agrupación, que constituirá el fundamento para el concepto de base en un sistema de numeración.

2.6 EL PROCESO DE AGRUPACIÓN

El proceso de agrupación se presenta a manera de abreviaturas lingüísticas. La construcción de estructuras que permitan nombrar y simbolizar todo número natural, sin importar cuán grande sea éste. De no existir esta serie de procesos, una determinada lengua se vería en la imposibilidad de nombrar (i.e. asignar un sustantivo) todos los números naturales, que son infinitos en cantidad. Posiblemente en las lenguas más antiguas, el hombre distinguía entre "muchos" y "pocos"; posteriormente emplearía términos para uno, dos, tres, etc.; pero la pregunta es: ¿Podría acaso seguir indefinidamente inventando nuevos nombres? quizá sí, pero seguro que los olvidaría. Es así como ideó sistemas de numeración, fenómeno cultural que pertenece al ámbito de la lengua y su desarrollo. Considérese los siguientes casos. En un pueblo indígena de la Amazonia Peruana se habla la lengua candoshi, en la que el número "uno" se dice minamta, "dos" se dice tsibono, y "cinco" se dice matayaro. Posteriormente, el número seis se constituye como la combinación "uno-cinco", es decir, minam matayaro. De manera similar el siete está conformado con los vocablos correspondientes a dos y a cinco (tsibon matayaro); así también para los números ocho y nueve; el diez tiene una denominación propia. Decimos que esta es una construcción referida al cinco. Si usted observa, en la lengua aimara de la tabla 1 se da algo similar: (mejor aún en el Apéndice A)

2 -> Paya 3 -> Kimsa 4 -> 5 -> Phisqa 6-> 7 -> Paqallqu 8 -> Kimsaqallqu

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Lo curioso es que acá la terminación qallqu parece estar divorciada del término phisqa que se usa para el "cinco"; sin embargo, el resultado es el mismo, por otro lado, se esperaría las siguientes combinaciones:

Aimara <-> Quechua

~ filmsa 3 - Kimsa

Sí relación Phisqa 5 - Pichqa I No relación Kimsaqallqu 8 - Pusaq

Estableciendo este tipo de relación en una lengua maya, como el Kaqchikel, el resultado no está del todo claro, aunque se sugiere alguna correspondencia:

• -> jun • -> waqi' --•• -> ka'i' • • -> wuqu' ••• -> oxi' . .. -> waqxaqi' .... -> kaji' . ... -> b'eleje'

-> wo'o' ---- -> lajuj

Tanto 6, 7 y 8 tienen "W" inicial referida a Wio' o', y sus terminaciones definen la variante. Obsérvese la partícula xa en 8 referente a oxi en 3.

Ahora bien, explícitas o no, las relaciones con el cinco, en todos los lenguajes mencionados y anotados en el apéndice A, se presenta una combinación referida al diez. Lingüistas y antropólogos coinciden en establecer la justificación de este fenómeno en la existencia de diez dedos en las manos, las cuales constituyeron con seguridad las primeras máquinas de calcular del hombre primitivo (y que aún siguen siendo para los niños las "mejores" máquinas de calcular). Es decir, a pesar de las variaciones

...

ya mencionadas, los números del 11 al 19 se han expresado usualmente en distintas culturas como una adición de diez a las unidades correspondientes. Puede decirse que la estructura del lenguaje obedece a las siguientes combinaciones:

19 = 10 + 9 18 = 10 + 8

11 = 10 + 1

Usted verificará este hecho en el Apéndice A. Aquí reproducimos tres ejemplos, i.e., casos de lenguajes:

Deutsch (Alemán):

Numeral indoarábigo Nombre Referencia

19 negentien negen + tien 18 achttien acht + tien 17 zeventien zeven + tien 16 zestien zes + tien 15 vijftien vijf + tien 14 veertien vier + tien 13 dertien der + tien 12 twaalf twee + tien* 11 elf een + tien* 10 tien tien

Como puede verse, únicamente los casos con asterisco (*) varían un poco de la expresión esperada. En este sentido, el alemán

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es un idioma bastante rígido. En el italiano se observa una inflexión o cambio en el orden de los componentes. Italiano:

Numeral Sustantivo Relación-composición indoarábigo

10 dieci dieci: 10 11 undici uno + dieci: 1 + 10 12 dodici due + dieci: 2 + 10 13 tredici tre + dieci: 3 + 10 14 quattordici quattro + dieci: 4 + 10 15 quindici cinque + dieci: 5 + 10 16 sedici sei + dieci: 6 + 10 17 diciasette dieci + sette: 7 + 10 18 diciotto dieci + otto: 8 + 10 19 diciannove dieci + nove: 9 + 10

Este cambio en el orden de la combinación se presenta también en el idioma español, como usted mismo podrá verificar, pero a partir del dieciséis, y además se agregan cambios en el inicio de esta decena. Incluimos, finalmente, el sistema en el idioma quechua, en el cual las construcciones son uniformes, sin deformación alguna:

Numeral Sustantivo Relación-composición indoarábigo

11 chunka hukniyuq chunka + hule + niyuk: 10 1 + 12 chunka iskayniyuq chunka + iskay + niyuq: 10 2 + 13 chunka kimsaniyuq chunka + kimsa + niyuq: 10 3 +

14 chunka tawaniyuq chunka + tawa + niyuq: 10 4 + 15 chunka pichqaniyuq chunka + pichqa+ niyuq: 10 5 + 16 chunka suqtaniyuk chunka + suqta + niyuq:10 6 + 17 chunka qanchisniyuq chunka + qanchis + niyuq: 10 7 + 18 chunka pusaqniyuq chunka + pusaq + niyuq: 10 8 + 19 chunka isquniyuq chunka + isqun + niyuq: 10 9 +

Sucede algo similar con los números mayores. Pero antes de hacer unos ejemplos debe observarse que existe una manera muy peculiar de nombrar las decenas posteriores; observe las correspondencias del quechua:

20= 2x 10 chunka iskay chunka

iskay

30 = 3 X 10 chunka kimsa chunka

kimsa

Tenemos aquí el concepto de agrupación en decenas. Así 78 será expresado y nombrado de la forma: siete "dieciséis" más ocho i.e., siete decenas más ocho

N2 Idioma Componentes Sustantivo compuesto

78 Quechua 7x10+8 qanchis (7) chunka(lO pusakniyuq (8+)

78 Alemán 7x10+8 achtundsiebenzig (8 = 7 x 10) 65 Holandés 6x10+5 vijf (5) en ( +) zeventig (7x 10) 132 Italiano 1 X 100 + 3 X 10 + 2 cento (100) e(+) trentidue

(3x10+2) 132 Español 1 X 100 + 3 X 10 + 2 ciento (100) treinta(30) y

dos (2) 243 Inglés 2 X 100 + 4 X 10 + 3 two (2) hundred (100) forty

(4xl0) three (3) 527 Quechua 5 X 100 + 2 X 10 + 7 pichqa (5) pachak (100) iskay

(2) chunka (10) qanchisniyuq

(7+)

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Lo anterior obedece a la figura siguiente, que muestra la agrupación en decenas:

••••• ••••• ••••• • ••••

••••• • •••• ••••• • ••••

• •••• • ••••

• •••• • ••••

• •••• • ••••

í=l ~

Observe que si a cada agrupación rectangular se le llama chunca (por decir algo), todo número entre cero y noventa y nueve estará descrito por la fórmula siguiente:

"1 ! chunka~ número de decenas número de unidades

Esta es, cabalmente, la estructura formal de la lecto­escritura en lengua quechua, a la que nos hemos estado refiriendo.

No está por demás decir que cuando un número supera las diez decenas será necesario el uso de centenas, y de ser necesario, órdenes superiores. Puede consultarse el Apéndice C sobre la construcción del sistema decimal que conocemos. Lo que ahora nos interesa es desarrollar alguna actividad que ejercite estos procesos de agrupación.

2.7 EL SISTEMA DE BASE CINCO.

Antes de describir la naturaleza de la actividad que usted pondrá en marcha, queremos mencionar un pequeño detalle que

reviste gran importancia. Casi todos los idiomas de las culturas antiguas tuvieron estructura referida al diezl porque se agrupaba de diez en diez, como lo evidencian los ejemplos referidos y el Apéndice A. Sin embargo, parece que pedagógicamente la agrupación en diez puede resultar muy ardua o tortuosa porque, después de todo, el tema central está en la agrupación por sí misma y no en una agrupación determinada (de diez en diez por caso). Se sugiere iniciar estas temáticas con agrupaciones de cinco en cinco, y sería de utilidad ver otro par de situaciones (que contuvieran a las agrupaciones de dos en dos como particular) antes de continuar con el sistema decimal.

La actividad puede ser dividida en pasos:

1. Nombrar los números del cero al cuatro, y en este caso mejor si se usa la lengua materna ya conocida. Ejemplo en K 'iche' Achi:

O: 1: Juun 2: Ka'ib' 3: Oxib' 4: Kajib'

2. Nombrar inicialmente una agrupación de cinco, pero con una denominación diferente a cinco. Podría emplearse el vocablo correspondiente a "mano"; así, puede decirse en: español: "una mano de cosas (manzanas, gallinas, lápices, etc.) es lo mismo que cinco cosas"

También será conveniente una denominación inventada para "cinco manos" esdecir, para una colección de veinticinco objetos. Es mejor que sean sus alumnos los que propongan los términos, así usted también estará en cierta medida ante un material novedoso.

31

3. Se persigue que usted les de colecciones de cosas (del mismo tipo de las cositas empleadas en la etapa anterior) en una cantidad comprendida entre cero y veinticuatro, pero mejor si desde seis hasta venticuatro.

4. Pídales que agrupen la cantidad de cosas en manos, y conserven lo restante.

5. Ahora dirán y escribirán su resultado, diciendo que tienen tantas manos y tantas unidades de "cosas".

Ud. entregó: Agrupación en El alumno dirá: manos y unidades:

dieciocho frijoles 3x5+3 tres manos y tres frijoles

siete piedritas lx5+2 una mano y dos piedritas

diez arroces 2x5 dos manos de arroces

veintiún papelitos 4x5+1 cuatro manos y un papelitos

Usted pcxlrá repetir esta operación-actividad varias veces, tanto en L 1 como en L2.

Estos resultados pueden graficarse según el siguiente esquema:

~ ......... ~ dieciocho frijolitos

BBBB tres manos y tres unidades

y así sucesivamente con los otros casos.

A continuación se da un modelo para la evaluación­ejercitación de estos procesos.

...... dieciocho frijolitos

Solución verbal

~ ~

tres unidades

Solución numeral

~ ~

••• unidades

J

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Practique suficientemente este tipo de ejercicio, hasta que los niños adquieran tal habilidad que no se demoren ni se equivoquen en problemas relacionados. Posteriormente, se tratará con la inversión del proceso, es decir, dado el numeral o la verbalización de la can ti dad, el estudian te deberá ser ca paz de dibujar la si tu ación planteada con esquemas simples (encaso extremo pueden aceptarse abstracciones tales como puntos).

Después de una evaluación positiva en el desempeño efectivo de la actividad anteriormente descrita, puede procederse a la batería de ejercicios de la siguiente sección.

2.8. ALGUNOS EJERCICIOS.

Es necesaria una buena práctica en tomo del concepto de número y las relaciones fundamentales que puedan darse entre los números. El reconocimiento, a través de un sustantivo, de la cantidad de objetos presentes es el primer paso. Pero debe continuarse el desarrollo de estas ideas de una manera continua y natural. Por ahora son importantes dos aspectos:

a) la relación antecesor-sucesor.

b) la relación menor que-mayor que.

Partiendo del hecho de que se tiene conocimiento de los nombres de los números del cero al cuatro, y de los conceptos unidad, y mano, podrá proponerse como meta la comprensión de la siguiente secuencia, aquí descrita en idioma español, pero que, por supuesto, usted deberá trabajar (inicialmente, al menos) en lengua materna.

Número\ cero 1 uno 1 dos 1 tres

Numeral 1 • 1 •• 1 •••

cuatro 1 una mano 1 una mano una mano una unidad dos unidades

•••• 1 • mano 1 • mano • mano • unidad •• unidad

Mejor aún, puede emplearse el siguiente esquema de representación:

D manos unidades

Gráfico Nombre del Número

numeral manos m

numeral unidades u

Numeral

La secuencia que se incluye responde a los primeros números, nombrados, escritos y representados a través del esquema anterior.

D ~ 11<->~ ~~

D ~ 11<->~ ~~

33

D ~ 11<_>11 ~~

[] ~ 11<->~ ~~

D ~ •

11<_>11 ~~

o~ ~<->ti3

~B m

~ <-> •

/:' . . ) . \ . . . '-;;

~B m

~ <-> •• s

/:' . . ) .. \ . . . -.._;;

) ~ <-> <:-' •• u.. ~am E8 \ .::_• / • tres • • •

< :-'r. \ .::_· / .. ,,-­~- .... ) >--< ~- .... ) - _.,,,

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,,--~- .... ) . >--< ~· .... ) . - _.,,,

,,--\• .... ) .. >--< ~· .... ) . - _.,,,

~ ~am Ea <-> cuatro • • • •

~~ ~ c=J <->c=J

~ ~osm a· uno <-> •

~ ~osm EJ· dos <-> • •

~ ~osm B· tres <-> • • •

,,--~-;..·:~_) •• 1 ~ ~· .... ) .. - _.,,,

dosm B -- 1 <->

"\ ( .... / ':::::-,--:... "\

( .... / >---=-"\ ( .... ~

cuatro

~ ~<->[;3 34

y así sucesivamente hasta llegar a veinticuatro:

--( .... ·" ~ ( ..... '\ >---,:../

( .... ·" ....__,...., --( .. .. ·" ....__,...., • • • •

cuatro m ~ <->

cuatro

• • • •

• • • •

Nótese que para escribir veinticinco no pueden anotarse "cinco manos", puesto que no existe el término para "cinco", de forma que la "mano de manos" requiere de una denominación específica. Ahora bien, más que escribir el numeral correspondiente, dada una cantidad de objetos (después de agruparlos en manos), estamos interesados en la seriación y la relación sucesor-antecesor. Se trata de que, dado un numeral, pueda calcularse el antecesor o el sucesor. El ejercicios responde, pues, al planteamiento que sigue:

-¿Cuál es el sucesor de dos manos tres unidades?

o bien: - Si agregamos una unidad a tres manos y una unidad,

¿tendremos ... ?

De manera análoga, ambas preguntas se corresponden respectivamente con las que siguen:

- ¿ Cuál es el antecesor de dos manos con cuatro unidades?

- Si disminuimos una unidad a tres manos y dos unidades, ¿tendremos ... ?

Uno de los objetivos específicos de tales ejercicios es verificar, como ejemplos, los siguientes hechos:

+ Que el sucesor de una mano con cuatro es dos manos. + Que el antecesor de tres manos es dos manos con cuatro.

Pueden construirse interesantes y amenos juegos en tomo a la relación antecesor-sucesor. Debe también considerarse simultáneamente la lecto-escritura de numerales que preceden o suceden a alguno presentado como dato. En este sentido, la lista o secuencia presentada a través de la tabla anterior es una referencia . Pero no se sugiere la repetición monótona o la memorización de la misma, puesto que tales actividades vendrían a romper con el espíritu comprensivo y extensivo de las relaciones ordinales y cardinales de la numeración. Las "planas" son prácticas enteramente condenables desde todo punto de vista, puesto que se trata -repetimos- de la comprensión de la secuencia de los números naturales y de sus numerales, y no de su artificiosa memorización. Por otro lado, los niños deben entender cada número por sí mismo, independientemente del sistema de numeración empleado para su representación numeral, y es por esta razón que se ha sugerido enseñar la numeración inicialmente a partir de otro sistema distinto del usual sistema decimal (o de base diez), un sistema más simple y sencillo, como lo viene a ser el sistema de base cinco, con representación de puntitos.

Para que el maestro lector tenga una referencia concreta de cómo estas actividades pueden ser llevadas a cabo en la escuela bilingüe, incluimos a continuación -tomada de Villavicencio, M.­una actividad propuesta en el PEEP-P, el caso de Puno, en el Perú, experiencia que, según se señaló anteriormente, tiene alrededor de una década de marcha operacional. Obviamente aquí se hace una reelaboración en lengua Kaqchikel, pero aparte de esta traducción, la presentación es casi reproducción literal. Con ello damos por concluida la presente sección.

A continuación presentamos el cronograma de desarrollo curricular propuesto para el segundo bimestre, en el primer grado

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de educación bilingüe; luego ejemplificamos la forma cómo se presenta la segunda parte de una Guía, correspondiente a las sugerencias metodológicas específicas, con una secuencia seleccionada en la Guía de Primer Grado JAKHUÑANI, para desarrollar el contenido básico 2.1.: Relaciones "mayor que", "menor que" e "igual a", con números naturales del O al 9.

En la Guía de Primer Grado se codifica las tareas dadas por "juegos libres" con la letra "A"; las tareas que son "juegos dirigidos" con la letra "B"; y las tareas correspondientes a la fase representativo-conceptual con la letra "C".

Como se puede observar en las reproducciones, en la Guía de Primer Grado, con el propósito de dar seguridad al docente en su enseñanza de matemática, se incluye las respuestas correspondientes a cada ficha del cuaderno del niño.

• Jujun ak'wal pa ruwi' ruch'atii.l tuya' wo'ol xtaq ixim, k'a n' tucholo'. (Ca4a niño sobre su escritorio forme un conjunto de 5 tapitas y colóquelas debajo de otra).

• Chiruxkrnrinab'eymolaj ixim, pa ajkiq'a', tuya' ka'i' xtaq ixim kan achi'el xub'an ri nab'ey b'ey. (Sin deshacer el primer conjunto de tapitas, a la derecha de éste y de modo semejante coloquen un conjunto de 2 tapitas).

• Pa ruwi' el ri ka'i' cholaj xtoq ixim tya' jun xti che'. (Unan con un palito los extremos superiores de las dos columnas de tapitas).

• Rik'in chik jun xti che' tya' chi ruxe' ri ka'i' choloj xtaq ixim. (Con otro palito unan los extremos inferiores de las dos columnas de tapitas).

• Chi ruxe' ri jujun molaj xtaq ixim tya' jun xti wuj ri akuchi' tz'ib'an rijanipe' ixim ruk'wa'n. (Debajo de cada conjunto de tapitas coloquen un cartelito con el número correspondiente).

• Titz'ib'ax chi ruwach ri tz'ib'ab'al ri janipe' xtaq ixim k'o pa jujun cholaj ixim. (Escribe en la pizarra el número que corresponde a cada columna de tapitas).

• Chikereka'i' tzob'ajre' k'o junrik'owo'o' xtaq iximchiruparn, ja k'a rijun chik k'o ka'i' xtaq ixim. ¿Achke chi ke re ka'i' re k'o k''iy chi ruparn? (De estos dos conjuntos hay uno que tiene cinco tapitas y el otro que tiene dos tapitas. ¿Cuál de los dos tiene más?)

• ¿Achike chi ke ri etal ri k'o chi ruwach ri wuj junan rik'in ri achib'al nub'an ri ka'i' xtaq che'? (¿ Cuál de los signos que tienen en los carteles se parece a la figura que forman los dos palitos?)

• K'ari', ¿Achike chikeri etal nqakusaj richin nqab'ij chiri tzob'aj ri ruchajin wo'o' nim chi ruwach ri tzob'aj ruchajin ka'i' ixim? (Entonces ¿ Cuál de los signos escogeríamos para decir que el conjunto de cinco tiene más que el conjunto de tapitas?)

• Chi rukojol ri ajlab'al wo'o' chuqa' ka'i' tya' jun xti wuj ri akuchi' tz'ib'an ri retal "nim chi ruwach". (Coloquen entre 5 y 2 un cartelito con el signo "mayor que").

• K'a ri', wo'o' nim chi ruwach ka'i'. (El signo ">" quiere decir "es mayor que").

• Tkib'ana' chi ruwach ri kiwuj ri xkib'anchiruwach ririjunruxaq WUJ.

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(Representante en su cuaderno lo que han hecho sobre su escritorio).

• Tya' chiruxee' rijujun tzab'aj iximjun xti wuj ri akuchi' tz'ib'an ri janipe' ixim ruchajin ri yaajun tzob'aj. (Coloca debejo de cada conjunto un "cartelito" con el número correspondiente).

• ¿Achike chi ke re tzob'aj re' k'o k'i"y ruwachinaq. (¿Cuál de los dos conjuntos tienen más elementos?)

• ¿Achike ri ajlab'al nim? (Cuál de los números es mayor?)

• K'a ri', ¿Achike nkich'ob' chi rij ri waqi' chi ruwach ri ka'i'. (Luego, ¿Qué puede decir de 6 respecto a 2?)

• Takanuj ri xti wuj ri tz'ib'an ri etal chi ruwach ri ütz nya'ox chi rukojol ri ajlab'al waqi' chuqa' ka'i' richin naqb'ij chi waqi' nim chi ruwach ka'i'. (Busca el cartel con el signo que hay que colocar entre los números 6 y 2, para indicar que 6 es mayor que 2).

2.8. El ábaco.

Tradicionalmente se concibe al ábaco como un instrumento físico que consta de un marco de madera o metal con varillas o hilos, y cuentas móviles en ellos, según se muestra en la figura. Es de origen oriental, aunque posteriormente se difundió por todo el mundo. Aquí se conceptualiza el ábaco no sólo como este instrumento sino más bien como el aparato formal con el cual es posible visualizar una determinada cantidad, escrita en algún sistema de numeración. En este último aspecto, está claro que tanto el ábaco original como todo ábaco estándar será decimal o de base

diez, pero eso no implica que existan otras modalidades o variantes; de hecho, los aztecas -quienes asumieron la numeración maya de base veinte- trabajaron con un ábaco al que denominaron Nepohualtzeltzin. Por estas razones es que el ábaco puede ser llevado a la práctica de diversas formas, y las gráficas que aquí incluiremos serán más bien esquemas formales que representaciones de los instrumentos físicos. Aún así, imagínese unos palillos de madera ensartados en una tabla, y trozos o roscas con un agujero en el medio, de manera que puedan ser sacados y metidos en los palillos.

Así, empleamos la siguiente figura para simbolizar un ábaco:

3º 22

<- cuentas numéricas (unidades)

1 º <- orden de la unidad (correspondientes a las estacas)

En la figura anterior vemos tres unidades de primer orden (i. e. el de más bajo valor), dos unidades del segundo orden y cuatro unidades (cuentas) del tercer orden. Cada ábaco puede tener sus propias reglas, y estas reglas determinan el sistema de numeración que se esté empleando.

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Así, en un ábaco usual las reglas son:

a) Cada diez cuentas ( o unidades) de un orden dado son equivalente.s a una cuenta (o unidad) del orden inmediato superior;

b) no son admitidas más de nueve cuentas en cada orden (de aparecer más, deberán ser canjeadas por cuentas de los ordenes superiores de acuerdo a la regla anterior).

En este caso, tenemos un ábaco de base diez, o decimal. Obsérvese que cada palo tiene un límite de nueve cuentas, por eso determina diez posibilidades correspondientes a los diez dígitos: O, 1, 2, .... 9

Ejemplo 1

311 211 111

2 unidades del tercer orden (o centenas) 5 unidades del segundo orden (o decenas) 3 unidades del primer orden

El numeral "253" representa (2 x 100) + (5 x 10) + 3

Ejemplo 2

1 centena 2 decenas 4 unidades

3º 2º 1º

El numeral "124" representa (1 x 100) + (2 x 10) + 4

Ahora bien, si usted quiere manejar un sistema de base 5, o quina/, deberá cambiar las anteriores reglas a sus análogas, cambiando diez por cinco:

a) Cada cinco cuentas o unidades de un orden cualquiera son equivalentes a una cuenta del orden inmediato superior;

b) no son admitidas más de cuatro cuentas en cada orden.

Ahora los guarismos fundamentales no son diez, sino que solamente cinco: O, 1, 2, 3, 4.

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Estudiese la siguiente secuencia:

cero (0)

dos (2)

cinco (10)

nueve (14)

uno (1)

cuatro (4)

seis (11)

diez (20)

once (21)

o 4 4 (4 X 5) + 4

veinticuatro (44)

O 3 1

1

(3 X 5) + 1 dieciseis

(31)

o lx5x5

veinticinco (100)

o

Observe el valor relativo en cada unidad según el orden posicional que ocupa:

,-

5x5 3º orden ("cabeza")

5 2º orden (mano)

1 lº orden (unidad)

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Los dos anteriores ejemplos corresponden a sistemas de numeración puros, en el sentido de que, de orden a orden, se aumenta el mismo número o cantidad (que es la base del sistema). Este instrumento puede servir para representar cualquier cantidad en cualquier sistema de numeración. Aconsejamos un abundante uso de diversos ábacos a manera de juegos, en los que se cambian las reglas. Se puede sumar, restar y muchas cosas más.

Se puede fabricar una variante análoga al Nepohualtzelntzin que corresponda a los numerales Mayas así:

-

juq'o (cuatrocientos)

juwinaq (veinte)

JUn (uno)

Se tendrían veinte vigitos: del ~ . ••, • • •, .... , los que a su vez están agrupados en manos - . Entonces se manejan dos tipos de cuentas: - para - y para e Las reglas son:

a) Cada cinco unidades (•) deben ser cambiadas por una mano (-);

b) el equivalente a veinte unidades de un orden cualquiera deben ser substituido por una del orden inmediato superior.

De esta manera puede ejecutar operaciones. Un ejemplo:

~ ..!....!... +

veintenas unidades (172)

•

~

~

~

• • • veintenas unidades

(303)

~

-

40

[ Equivalente decimal: (1 x 400) + (3 x 20) + (3 x 5): 475]

Podrían incluirse problemas del tiempo, como seguramente lo hacían los antiguos, agregndo una regla más: En el segundo orden sólo se aceptarán diecisiete unidades, porque cada dieciocho veintenas se tendrá una unidad del tercer orden, o año. Esto correspondería a un sistema mixto representado en la figura:

- - -

42 orden 32 orden 22 orden (valor 20 x 18 x 20) (valor 18 x 20) (valor 20)

-

unidades (valor 1)

En este sistema mixto, la cantidad graficada tendría un equivalente no totalmente vigésimal.

veintena año mes día de años

• • ...!..!.. • •

(x 20 x 18 x 20) (x 18 x 20) (x 20) (x 1)

• • [ 2 ] X (20 X 18 X 20) = 2 Katun = 14,400 [5]x(l8x20) =5Tun = 1,800

....!.... [(1 X 5) + 2] X (20) = 6 Winak = 120 ~ [(2 X 5) + 2] X (1) = 12 Q'ij = 12 +

16,322

Notas:

1 Casi, debido a la gran excepción de la cultura Maya.

41

parte J

3.1. Apéndice A Tabla de lecto-escritura de los primeros números en diferentes idiomas.

Español Portugues Italiano Deutsch Hollands English Kaqchikel

uno um uno ems een one JUn dos dois due zwe1 twee two ka'i' tres tres tie drei drie three oxi' cuatro quatro quattro v1er v1er four kaji' cinco cinco cinque fünf vijt five wo'o' seis seis se1 sechs zes six waqi' siete sete sette sieben zeven seven wuqu' ocho oito otto acht acht eight waqxaqi' nueve nove nove neun negen mne b'eleje' diez dez dieci zehn tien ten lajuj once once undici elf elf eleven julajuj doce doze dodici zwolf twaalf twelve kab'lajuj trece treze tredici dreizehn dertien thirteen oxlajuj catorce catorze quattordici vierzehn veertien fourteen kajlajuj quince quinze quindici füntzehn vijftien fifteen wolajuj dieciseis dezasseis sedici sechzehn zestien sixteen waqlajuj diecisiete dezassete diciasette siebzehn zerentien seventeen wuqlajuj dieciocho dezoito diciotto achtzehn achttien eighteen waqxaqlajuj diecinueve dezanove diciannove neunzehn negentien nineteen b'elejlajuj veinte vinte venti zwanzig twintig twenty juk'al ventiuno vinte e um ventuno einundzwanzig een en twintig twenty one jun rukak'al veintidos vinte e dois ventidue zweiundzwanzig twee en twintig twenty two ka'i' rukak'al treinta trinta tren ta dreissig dertig thirty lajuj rukak'al

42

Español Portugues Italiano Deutsch Hollands English Kaqchikel

cuarenta quarenta quaranta vierzig veertig forty kak'al cincuenta cinquenta cinquanta fünfzig vijftig fifty lajuj roxk'al noventa noventa novan ta neunz1g negentig ninety lajuj rok'al noventa y nueve noventa e nove novantanove neunundneunzig honderdig ninety nine b'elejlajuj rok'al cien cem cento einhundert quinientos quinhentos cinquecento fünfhundert mil mil mille eintausend

3.2. Apéndice B

Numeración Maya: Numerales y lecto-escritura.

Cuando se habla de numeración maya, se puede estar hacendo referencia a el sistema de numeración maya original (antiguo), o bien a cualquiera de sus derivaciones en las distintas comunidades lingüísticas mayas de la actualidad. En este segundo sentido, está claro que debe ser seleccionada alguna o algunas, a manera de ejemplo, para la presente discusión. Así, decimos que la historia del sistema de numeración Kaqchikel está íntimamente ligada a la evolución de los números mayas en general. Al igual que las demás comunidades lingüísticas mayas, las raíces del idioma Kaqchikel están estrechamente ligadas al tronco lingüístico maya, de donde se derivan.

Dicho de otro modo, el idioma Kaqchikel, fundamento de la cultura Kaqchikel, se derivó del origen común del pueblo maya.

Entonces, el sistema de numeración maya es el origen del sistema de numeración Kaqchikel. Así también lo demuestran diversos estudios escritos recientemente, tal como el artículo

negen en negertig one hundred ok'al vijfhonderd five hundred ok' al rukaq'o' duizend one thousand lajk'al ruxq'o'

titulado: "A reconstruction and evolutionary statement of the mayan numerals from twenty to four hundred", escrito por John S. Robertson, de la Brigham Young University.

La representación gráfica de los números kaqchikeles, es la misma que siguen los números mayas, tanto el de puntos, barras y el cero, representado más comúnmente con una concha, como también el de variantes de cabezas. La graficación de los números que aparecen en la escritura maya, es valedera para todos los idiomas mayas. La diferencia mínima entre los sistemas numéricos de los idiomas mayas, está en los vocablos de los mismos y no en su mecánica básica, que es vigesimal para todos; aun en su forma oral es fácil identificar el origen común que tienen.

Presentamos a continuación una evidencia de lo afirmado en el párrafo anterior, en donde aún en su forma oral es fácil identificar el origen común que tienen los distintos idiomas mayas.

43

HAYA f.:IIOL HA'/ A YU<A Tl'l< íJ MAYA TZCYl'ZIL HAYA TZFl,TA!. 11,,

junk ';;l junk 'al stob' t-3b' í.()

cha''w'inir. r.ak'al cha ''w'inir. chawinir. 40

uxk 'al oxk'al uxvinik yoX'tliniq 60

chank 'al r.ank'al chanwinik chan'w'iniq eo jo'k'al ok'al jo'winiq jowiniq 100

'w'akk 'al vakk'al wkwiniq 'oldkwiniq 120

vukk'al vukk'al jukwiniq jukwiniq 140

vaxakk 'al wxakk'al vaxakviniq wxakwiniq 160

b'olonk 'al b'olonlt'al b'alunviniq b'alunk'al 180

lajunk'al lajuk'al lajunvl.nl.q lajunwiniq 200

HAYA KAQOUKEL HAYA Q'EXlCHl' HAYA HAH HAYA K'IQ{E' No

juvinaq junmay vinqan juvinaaq 20

kavinaq ka'k'aal kya'vinaq kavinaaq 40

oxlt'al oxlt'aal oxlt'al oxlt 'aal 60

jlDUCh 1 kaak'aal ju11111utx' jumuuch' 80

ok'al ok'aal ok'al oob'k'aal 100

wqk'al kvaqk'aal qaqk'al vaqk'aal 120

wqk'al Kuuqk 'aal wqk'al wqk'aal 140

vaqxaqk'al kvaqxaqk'aal kab'mutx' vajxaqk'aal 160

b'elejk'al b'eleek'aal b'elajk'al b'eleejk'aal 180

lajujk'al lajeek'aal ochuq lajujk'al 200

3.3. Apéndice C

V ARIOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: ALGO DE HISTORIA.

¿Qué sistemas de numeración estaban en uso, antes del surgimiento del decimal posicional?

El enorme interés de esta pregunta, hace necesario un análisis detallado de ella, lo que nos proporcionará la posibilidad de valorar mejor las ventajas de nuestro sistema de numeración.

NUMERACIÓN EGIPCIA ANTIGUA

Una de las más antiguas numeraciones es la egipcia. Data aproximadamente de hace 5,000 años, es decir, más de 3,000 años antes de nuestra era. En el transcurso de los tres primeros milenios sufrió cambios insignificantes. Relacionémonos más de cerca con dicha numeración antigua, y fijemos nuestra atención en la forma en que se presentaban en ella los signos numéricos, y cómo -con ayuda de ellos- se escribían los números.

En la numeración egipcia existían signos especiales Ueroglíficos) para los números: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón. Para representar, por ejemplo, el número entero 231,145 era suficiente escribir en serie dos jeroglíficos de diez mil, luego tres jeroglíficos de mil, uno de cien, cuatro de diez y cinco

D n ~ 1 ( a. ~ 1 'º 1/)() 1/){)Q 1IJ(){)Q T()(X}()tJ l(DJ(J(J(J

44

jeroglíficos para las unidades. Estos símbolos, en la escritura, no podrán aparecer más de nueve veces cada número. En el sistema egipcio de numeración no había signo alguno para el cero ( ver fig.).

,,111 ~ nnnn~~~~i Este solo ejemplo es suficiente para aprender a escribir los

números, tal y como los representaban los antiguos egipcios. Este sistema de numeración es muy simple y primitivo. Es un sistema decimal puro, puesto que en la representación de los números enteros se emplea el principio decimal conforme al orden y la clase. Hay que notar que cada signo numérico representa solamente un número. Así, por ejemplo, el signo para las decenas denota solamente diez unidades, y no diez decenas o diez centenas, lo que pone en evidencia el por qué el sistema de numeración egipcio no era posicional.

NUMERACIÓN ROMANA

De todas las numeraciones antiguas, la romana es posiblemente la única que se ha conservado hasta hoy y que es empleada con frecuencia. Las cifras romanas se utilizan hoy día para las notaciones de los siglos, las numeraciones de los capítulos en los libros, etc.

Para la escritura de los números enteros en la numeración romana, es necesario recordar las representaciones de los siete números fundamentales:

I = 1, V=5, X= 10, L=50, e= 100, D = 500, M = 1000.

Con su ayuda, podemos escribir todo número entero menor que 4000, y algunas de las cifras (I, X, C, M) pueden repetirse consecutivamente hasta tres veces.

En la escritura de los números en el sistema romano de numeración, una cifra menor puede estar a la derecha de una mayor en este caso, la menor adiciona a la mayor. Por ejemplo, el número 283 lo podemos escribir en signos romanos así:

CCLXXXIII

es decir, 200 + 50 + 30 + 3 = 283. Aquí, la cifra que representa a la centena aparece dos veces, y las que representan respectivamente a las decenas y a las unidades aparecen tres veces.

U na cifra menor, también puede escribirse a la izquierda de una mayor, con lo que aquella se sustrae de ésta. En este caso, no se admite la repetición de la cifra menor. Los ejemplos que se proporcionan enseguida ayudan a aclarar completamente el método de escritura de los números en la numeración romana.

Escribamos en romanos los números 94,944, 1809, 1959:

XCIV = 100 - 10 + 5 - 1 = 94 CMXLIV = 1000 - 100 + 50 - 10 + 5 - 1 = 944 MDCCCIX = 1000 + 500 + 300 + 10- 1 = 1809 MCMLIX = 1000 + 1000- 100 + 50 + 10 - 1 = 1959

¿Se ha observado que en este sistema no existe signo para representar cero? En la escritura del número 1809, por ejemplo, no usamos cero.

45

1 , )J ,,

1

' 1 I

D u

Y YI Y1 VI , , 1 •

IY • IX , 1 • fi IYJ DI DI m 11

N 6 # n M # N J1f

DJ m m mv m xm xm ma mt m a n u M u n 8 N » •

xm DD m xm, JJn nm mn mw nm a M M # M # M » M M M

l1J m U U l1Y m1 l1ff l1YI l L p ~ ~ u ~ # ~ - u •

y ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ~ ~ UJ u» UIJ tm lXV UYI lM UllJ lJl\ lll • O R M # U D # # M

tm UJI L>lTf lllY tml 1ml Lffil UD Lm 11 "1 14 " 11 1? N n M

lDll Lml UlJJY UJlY llllll tmllllmll llVlX M: M ~ R ~ n # O ~ M #

XD EA D xm XCV l,'YJ lM n I! e # N ~ ~ # # » # M -

Estudiemos la figura anterior, donde proporcionamos la escritura en la numeración romana de todos los números enteros del 1 al 100.

Con la ayuda de las cifras romanas se puede escribir también grandes números, para lo cual, después de la escritura del signo de millares se introduce la letra latina m como subíndice. Escribamos, como ejemplo, el número 417, 986:

CDXVIIm CMLXXXVI

El sistema romano de numeración, como el antiguoegipcio, no es posicional: cada cifra en el representa sólo un número estrictamente definido. Sin embargo, a diferencia del antiguo egipcio, no es decimal puro. La presencia en el sistema romano de signos especiales para los números cinco, cincuenta y quinientos, muestran que en él existen fuertes vestigios de un sistema de numeración quinario.

La numeración romana no está adaptada, en modo alguno, para la realización de operaciones aritméticas en forma escrita. Esta es su mayor desventaja.

NUMERACIÓN GRIEGA ANTIGUA

Continuemos nuestro relato acerca de los sistemas no posicionales de numeración, y al final del capítulo describiremos detalladamente uno de los más antiguos sistemas de numeración (aunque por supuesto, posterior al egipcio); el babilónico, fue el primer sistema posicional.

, 11111 1111 r n ru rm rHn ' l , ' .s I I 6 I

ti ó.~ 66/l 6.666 r' 11 ZIJ .1tJ 44 $11

H r' X r M l(JtJ SI)() G\1 ltJtlll aw

Un sistema muy parecido al romano es el llamado ático o herodiánico, que se utilizó en la Grecia antigua. En la figura se muestran las representaciones de varios números de esta

46

numeración. A diferencia de la numeración romana, este dibujo muestra que aquí, los signos para los números uno, diez, cien y mil pueden repetirse no tres, sino cuatro veces, en cambio se prohibe escribir una cifra menor a la izquierda de una mayor.

En la figura se dan ejemplos de la escritura de números enteros en el sistema ático de numeración, que aclaran completamente el método de tal escritura.

~tu~6rn. r6rllll, ., n

HHHí8~6rl, XXXr,+f.' .111 POS

t"-~H-iHP'A 1811:

Durante el siglo III a.c., en Grecia, en lugar de la numeración ática, se utilizaba la numeración jónica, donde los números enteros se representaban con letras del alfabeto griego, sobrerrayadas; sistema de numeración denominado alfabético.

La numeración alfabética jónica tiene 27 letras. En la figura aparecen tres letras (Jau, koppa y sampi) que en la actualidad ya no se emplean. Sin embargo, no es posible pasarla sin ellas, puesto que es necesario tener 27 signos para la notación de los 27 números básicos.

0<./1 "io l s'f ~ S / Z J 4 511 8 I

l R A.ftv to 1rc HJ ZIJ JO '° J/1 6() 70 60 IO

l'd'tü;, ~ /; w ~

aJ 100 JllJ ~ sa, 6/XJ 7(J() 8tlr7 ~

Con la ayuda de la tabla dada en la figura 7, podemos escribir, desde el 1 hasta el 99 inclusive, todos los números enteros. Como ejemplo, escribamos -en la numeración jónica- los números 234, 805 y 560:

ali 234

.. 805

-1 loo

En esta numeración se puede escribir también números mayores de mil. Para esto, al lado de una letra ( en la parte superior izquierda de ella) se escribe un rasgo (apóstrofe), con lo que aumenta el valor de la letra correspondiente, mil veces .

Como se ve, este sistema es decimal, pero no posicional. Esto también sucede en otras numeraciones alfabéticas.

NUMERACIÓN ESLAVA

Los pueblos eslavos también utilizaron una numeración alfabética. En la figura están representadas las 27 letras del alfabeto eslavo. Bajo cada letra está escrito su nombre y el valor numérico que le corresponde. Sobre la letra que representa al número hay un signo llamado "titlo".

... .. ... ... ... - ... .... .. b. K r A € s .3 H .o. IIJ 8Mu lAIJ.:d-tb4tJqd lt:11':a JtAÓ .ru.vl ,át-. i/i.·11.J I l J • ' ' / I 9

-... ... ~· ... •• ... .... ... .. 1 K A M H A o 11 ~ 11 ,,ú>.'11 .A.iil:J .lft/CA.v M11111 1C11 "" no,,á} c.t',. "' zo JO 'º JO M 70 60 !'O

... .. .... ... .... M ... .... .. p (; 'f y + X * w 1\

p(bl (! tiw, tnliptb fl( l/)qKT1 ni ncu (J 1./H 1lO ltrJ J(J(J 4trl 5{;rJ R)(J íW 6trJ 90:J

47

NUMERACIÓN BABILÓNICA

El más interesante de todos los sistemas antiguos de numeración es el babilónico, que surgió aproximadamente en el año 2,000 a.c. Es el primer sistema posicional de numeración conocido. Los números de este sistema se representaban con la ayuda de sólo dos signos: una cuña vertical, que representaba a la unidad; y una cuña horizontal, para el número diez.

Estas cuñas resaltaban en las tablillas de arcilla, por los palitos inclinados, y tomaban la forma de un prisma triangular. De aquí surgió la denominación de cuneiforme para la escritura de los ántiguos babilonios.

Con la ayuda de los dos signos mencionados, todos los números enteros del 1 al 59 -conforme a un sistema decimal- se podían escribir exactamente como en la numeración egipcia; es decir, que los signos para el diez y la unidad se repetían, correspondientemente, tantas veces como en el número hubiese decenas y unidades. Proporcionemos algunos ejemplos explicativos:

una cuí'ia vertical 'V, que representaba a la unidad, y una

cuí'ia horizontal ( para el número diez.

Hasta el momento no hemos encontrado nada nuevo. Lo nuevo empieza con la escritura del número 60, donde se utiliza el mismo signo que para el 1, pero con un mayor intervalo entre él y los signos restantes. Proporcionemos también aquí, ejemplos aclaratorios: < <W •lD+S•ZS 4:Y!/1 •40+1•#1

~; •$IJ+l•II

De esta manera, ya podemos representar los número del 1 al 3599 (59 X 60 +59)

Enseguida, está una unidad de nuevo orden (es decir, el número 1 x 60 x 60 = 3600), que también se representa por el signo para la unidad. Ejemplo:

V ('r? ((? •1·1t11t1+11-10+1,-"',

De esta manera, la unidad de segundo orden representada por el mismo signo es 60 veces mayor que la de primer orden, y la unidad de tercer orden es 60 veces mayor que la de segundo 3600 veces mayor (60 x 60 = 3600) que la unidad de primer orden. Y así sucesivamente ...

¿Pero qué sucede si uno de los órdenes intermedios no existe? -preguntarán ustedes- ¿Cómo se escribe, por ejemplo, el número 1 x 60 x 60 + 23 = 3623? Si se escribiera simplemente en esta forma:

y (('ffl

podría confundírsele con el número 1 x 60 + 23 = 83. Para evitar confusiones se introdujo, posteriormente, el signo separador, que jugaba el mismo papel que el signo "cero" juega en nuestra numeración.

~

Así pues, con la ayuda de dicho signo separador, el número 3,623 se escribirá así:

V ('r? ((? = 1·60·60+ 12°60+21=4341

El signo separador babilonio nunca se colocaba al final de un número; por tal razón, los números 3, 180 (3 x 60), 10800 (3 x

48

60 x 60); etc., se representaban en forma idéntica.

3.4 Apéndice D

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

La numeración escrita más difundida:

Para ninguno de ustedes, lectores de este libro, constituye un gran esfuerzo escribir cualquier número entero, por ejemplo, dentro de los límites de un millón. Para la escritura de los números empleamos los diez bien conocidos signos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, O, llamados cifras. Ahora nadie duda que con la ayuda de estos diez signos (cifras) podemos escribir un número, ya sea muy grande o muy pequeño, entero o fraccionario.

Los números del uno al nueve los escribimos con la ayuda de sólo una de las nueve primeras cifras. Para la escritura de los número del diez al noventa y nueve, necesitamos ya de dos cifras, una de las cuales puede ser también el cero, y así sucesivamente. Como base de la numeración tomamos el número "diez", por lo que nuestro sistema de numeración se llama decimal. Es decir, diez unidades simples (unidades de primer orden) forman una decena (una unidad de segundo orden), diez decenas forman una centena (una unidad de tercer orden), diez centenas forman un millar (unidad de cuarto orden) y, en general, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.

En muchos pueblos los sistemas de numeración eran decimales; esto está relacionado con el hecho que tengamos diez dedos en nuestras manos.

En la escritura de los números, en el primer lugar de la derecha escribamos la cifra correspondiente a las unidades; en el

segundo lugar, la cifra de las decenas; luego, la de las centenas; después, la de los millares, etc. Así, por ejemplo, la escritura de 2,746 denota que el número se compone de 2 millares, 7 centenas, 4 decenas y 6 unidades.

Si un número carece de unidades de determinado orden, en el lugar correspondiente escribamos un cero. Así, el número que tiene tres millares y cinco unidades, se escribe, 3005. En él no existen decenas, ni centenas -es decir, las unidades de segundo y tercer orden-; por tal razón, en los lugares segundo y tercero de la derecha escribimos ceros.

¿ Qué particularidad notable podemos encontraren el sistema de numeración que siempre hemos usado?

En el caso, por ejemplo, del número 14,742, usamos dos veces la cifra 4; en el segundo y en el cuarto lugar de la derecha. En tanto que una vez representa 4 decenas, la otra representa 4 millares. En consecuencia, resulta que una misma cifra puede denotar tanto cantidades de unidades, como cantidades de decenas, de centenas, de millares, etc. en función de la posición que ocupe la cifra en la escritura del número. De aquí precisamente que nuestro sistema de numeración se llame posicional.

Volvamos al número 2,746, del cual hemos hablado antes. En él, la primera cifra de la derecha (6) representa 6 unidades, la segunda cifra de la derecha (4) representa 4 decenas, es decir el número

40 = 4 X 10,

la tercera cifra de la derecha (7), representa 7 centenas, o sea, el número

700 = 7 X 10 X 10 = 7 X 102,

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y finalmente, la cuarta cifra (2) representa 2 millares, es decir, el número

2000 = 2 X 10 X 10 X 10 = 2 X 103

El mencionado número puede ser escrito, pues, así:

2746 = 2000 + 7()() +40 + 6 = (2 X 103) + (7 X 102) + (4x 10) + 6.

Cada tres órdenes en un número constituyen una clase. Las clases se cuentan siempre de derecha a izquierda. Primero está la llamada primera clase, constituida por las unidades, decenas y centenas; después la segunda clase, con los millares, las decena de

. millar y las centenas de millar; luego la tercera clase, constituida por los millones, las decenas de millón y las centenas de millón, etc.

Pensemos un poco en esta cuestión: ¿Por qué se efectúan tan rápida y fácilmente con los números las cuatro operaciones aritméticas: adición, substracción, multiplicación y división? Estas ventajas nos son ofrecidas, lógicamente, por el citado principio posicional de la escritura de los números.

En efecto, al haceruna operación aritmética cualquiera con números, trabajamos con las decenas, centenas, millares, etc., como si fueran unidades, y sólo al obtener el resultado final tenemos en cuenta su orden.

Así, para la escritura de los números, empleamos el sistema decimal posicional de numeración. El famoso físico y matemático francés Laplace (siglos XVIB-XIX) escribió acerca del sistema: "la idea de representar todos los números con diez signos, asignándoles además de un valor por su forma otro por su posición, es tan sencilla, que en virtud de esta sencillez resulta difícil imaginarse en qué medida es admirable esta idea".

Ahora casi toda la humanidad utiliza este sencillo sistema de numeración, cuyo principio de construcción y trazo de cifras aparecen con idénticas propiedades para todo mundo.

¿ Cómo surgió este extraordinario sistema de numeración decimal posicional?

No obstante su sencillez, los hombres necesitaron varios miles de años para llegar a él. No será una exageración si decimos que todos los pueblos del mundo tomaron parte en la creación de dicho sistema.

Inicialmente, el sistema decimal posicional de numeración apareció en la India, y ya a mediados de siglo VIII se usaba ahí ampliamente. Por esa misma época, también surge en China y otros países de Oriente. Los europeos adoptaron este sistema hindú de numeración en el siglo xm, debido a la influencia árabe. De aquí surgió, precisamente, la denominación -históricamente incorrecta­de "numeración arábiga".

WS SIGNOS Y LAS DENOMINACIONES ARITMÉTICAS EN DNERSOS PUEBLOS

Cabe pensar que los signos aritméticos -hasta cierto grado­son internacionales, que son idénticos en todos los pueblos de cultura europea. Esto es cierto sólo con relación a la mayoría de los signos, pero no con relación a todos. Los signos +, -,x y : se utilizan con el mismo sentido entre los alemanes, franceses e ingleses. Pero el punto como signo de multiplicación se aplica en diferentes forma entre diversos pueblos. Mientras que algunos escriben la multiplicación 7.8, otros la denotan como 7.8, elevando el punto a la mitad de la cifra. También el punto decimal se escribe de muy

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diversas maneras: mientras algunos, como nosotros, escribimos 4, 5, otros escriben 4 .5, y unos terceros4 .5, colocando el pm:ito arriba de la mitad. Además, cuando se trata de escribir un número decimal que no tiene parte entera, los norteamericanos y los ingleses omiten el cero, lo que no sucede en ningún lugar de Europa continental. En libros norteamericanos, frecuentemente se pueden hallar notaciones como .725, en vez de 0,725 o 0.725.

La descomposición de un número en clases se denota, también, en diversas formas. Así, en algunos países se separan las clases con puntos (J 5 .000.000); en otros, con comas (15,000,000); y en otros se acostumbra dejar espacios libres, sin signo alguno entre clase y clase (15 000 000).

Es instructivo observar, después de eso, cómo se modifica el método de denominaciones de un mismo número al pasar de una lengua a otra. El número 18, en ruso se dice vociemnadtsat es decir, primero se pronuncia las unidades (8) y luego las decenas (10); mientras que en español es a la inversa (dieciocho). En alemán, ese mismonúmeroenlamismasucesión, seleeachtzhen,esdecir, "ocho diez"; en francés, se dice "diez ocho" (dix-huit). En la siguiente tabla vemos hasta qué punto son distintos, en diversos pueblos, los métodos de denominación del mismo número 18:

en ruso 810 en alemán 810 en francés 108 en annenio 10+ 8 en griego 8 + 10 en latín menos 2, 20 en neozelandés 11 +7 en lituano 8 arriba de 10

También es curiosa la voz groenlandesa: "del otro pie, tres". Esto es, una abreviatura de la suma de los dedos de las manos,

de los de un pie, y tres del otro pie. Veamos el sentido que tiene:

número de dedos en ambas manos............................... 10 número de dedos de un pie.............................................. 5 número de dedos del otro pie........................................... 3

Total: 18

La voz completa para el número dieciocho sería: "todas mis manos, 3, mi mano", sin tomar en cuenta los dedos de los pies (es decir, 10 + 3 + 5).

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USAID La elaboración de este manual fue posible gracias al apoyo financiero

del gobierno de los Estados Unidos de Am&ica, a través de la Agencia para el Desarrollo Internacional (AID); y la impresión,,gracias a la Universidad Rafael Landívar.

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