Volumen I ARITMÉTICA CAPÍTULO 1 TEORÍA DE · PDF file1 3 5 A 2 4 6 B...

1

3

5

A

2

64

B

}10x2;!x/x{M 2 <<Î=

Forma delelemento

Condición dela variable

Característicade la variable

CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 111 TEORÍA DE CONJUNTOS

CAPACIDADES:Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de:- Distinguir y aplicar las nociones de conjunto,

elementos, pertenencia e inclusión.- Analizar las relaciones entre las diferentes clases de

conjuntos.- Realizar operaciones conjuntistas- Resolver todo tipo de problemas con conjuntos gráfica

o simbólicamente.

1. IDEA DE CONJUNTO

El término conjunto no tiene definición matemática, por lo que entenderemos por conjunto a la REUNIÓN, AGRUPACIÓN, COLECCIÓN, CLASE O FAMILIA de objetos reales o abstractos que comparten una misma característica, por lo que reciben el nombre de ELEMENTOS.

Ejemplos:M = {2; 4; 6; 8}N = {los alumnos del ciclo intensivo 2008}

2. NOTACIÓN:Generalmente:• Todos los conjuntos se representan con letras

mayúsculas para identificarlos más fácilmente.• Los elementos de un conjunto van entre llaves o

signos de colección, separados por comas o puntos y comas.

• El orden de los elementos no tiene importancia alguna.

Ejemplos:A = {1; 3; 5}= {3, 5; 1}B = {c; e; p; r; e; u; n; c; p}

3. DIAGRAMA DE VENN - EULERSon representaciones de los conjuntos mediante regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas.Ejemplos:

4. RELACIÓN DE PERTENENCIALa relación de pertenencia es exclusiva y se da solamente entre elemento y conjunto. Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (Î) a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (Ï) a dicho conjunto.Ejemplo: Dado el conjunto , se observa que:

4. NÚMERO CARDINAL

El número cardinal de un conjunto A, nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee, y se denota por n(A).Ejemplos:

6. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Determinar un conjunto es especificar o señalar, en forma precisa, quienes son los elementos que lo conforman.* Por extensión o en forma tabular: Es cuando se

señala a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobreentendida.

Ejemplo:M = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; 72; 90}N = {1; 3; 5; 7; .....; 999}P = {0; 1; 2; 3; .....}

* Por comprensión o en forma constructiva: Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. Así tenemos:

Ejemplos:

7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A. INCLUSIÓN: Se dice que un conjunto "A" está incluido en "B" si

todos los elementos de "A" son también elementos de "B". Se denota: AÌB

Se lee: "A está incluido en B" "A está contenido en B" "A es subconjunto de B"

B. IGUALDAD: Se dice que dos conjuntos son iguales cuando

poseen los mismos elementos. Se denota: A=B. Dos conjuntos son comparables, cuando por lo

menos uno de ellos está incluido en el otro. Es decir:

C. DISJUNTOS: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen

elementos en común.

Þ A y B son disjuntos

A { ;5;7;11}= f

5 A A 7 A 11 A

6 A 2 A 15 A n A

� f Î Î Î

Ï Ï Ï Ï

M { x / x es una vocal} n(M) ...

P {12;22;32;.........;172} n(P ) ...

Q {b,a,b,a } n(Q ) ...

É = Þ =

® = Þ =

® = Þ =

x 1

2

2

A { x / x 1 x 7}

xB { x / 1 x 10}

2

x 3C { / x 1 x 6}

2

x 3D { / 1 x 6}

2

5E {( 2 x 1) / x }

2

2 x 1F { x / x /1 2}

4

+= Î Ù < <

= Î Ù < <

+= Î Ù < <

+= Î < <

= + Î <

+= Î < <

�

!

!

!

!

!

A B

ABBABA ÌÙÌÛ=

ABBA ÌÚÌ

A B

13

ARITMÉTICAVolumen I

Teoría de Conjuntos

8. CLASES DE CONJUNTOS

A. FINITO: Un conjunto es finito, si tiene una cantidad limitada

de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo.

B. INFINITO: Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad

ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo.

9. CONJUNTOS ESPECIALES

A. CONJUNTO VACÍO O NULO Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se

denota por Ø ó { }. IMPORTANTE: El conjunto vacío (Ø) es subcon-

junto de todo conjunto. Ejemplo:

B. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN: Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento. Su

cardinal es 1. Ejemplo:

C. CONJUNTO UNIVERSAL: Es un conjunto referencial que se toma para el

estudio de otros conjuntos incluidos en él. No existe un conjunto universal absoluto y se denota generalmente con la letra "U".

Ejemplo:

D. CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS:

Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplo:

E. CONJUNTO POTENCIA: El conjunto potencia de un conjunto "A" es la familia

de subconjuntos de A y se denota como P(A).

Recuerda: a) # subconjuntos de b) Se denomina subconjunto propio de "A" a todo

subconjunto de "A" diferente de "A"n(A)c) # subconjuntos propios de A=2 –1

M { x / 3 x 4}

M Ø { }

= Î < <

= =

�

P { x / 5 x 7}

P {6} n(P)=1

= Î < <

= \

�

2 3 4A B

50

1U

A {{2}; {3 }; { 4;5 }; {6 }; }= f

}Ax/x{P )A( Ì=

n ( A )A n[P( A )] 2= =

Teoría de Conjuntos14

ARITMÉTICA Volumen I

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Indicar ¿cuántas expresiones son verdaderas, si: A = { 2 ; 3 ; 0 } y las proposiciones son:

�

Î

Î

Æ Ì

I. {2} A

II. 2 A

III. 3 A

IV. { } A

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

Resolución A ={2; 3; 0}

�

Î

Î

Æ Ì

I. {2} A ( V )

II. 2 A ( V )

III. 3 A ( V )

IV. { } A (F )

2. Sea: { } { }{ }= f fA ; ;a; a;b ;b

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. { } Aa �;f

II. { } )(APa �

III. { } )(; APba �

IV. { }{}{}{ } )(;;; APbba �f

a) VFVF b) VVFF c) VVVF d) FFFV e) FVVF

Resolución A = {ø; {ø}; a; {a; b}, b}

I. {ø; a} � A ( V )

II. {a} ј P(A) ( V )

III. {a; b} ј P(A) ( V )

IV. {{ø}; {a}; {b}; b} � P(A) ( F )

3. Dado el conjunto:

{ }= Î <2A 3x Z / x 36

Calcula el cardinal del conjunto “A”

a) 18 b) 7 c) 5 d) 34 e) 35

Resolución A = {3x Є Z/ x2 < 36}

– 36 < x < 36

– 6.3 < x.3 < 6.3

– 18 < 3x < 18

- 17; -16; -15; …; -1; 0; 1; … ; 15; 16; 17

A = {-17; -16; -15; … ; -1; 0; 1;…; 15; 16; 17}

\ n (A) = 35

4. Halla el número de elementos del conjunto A, sabiendo que: el número de sus subconjuntos ternarios, excede en 14 a su número de subconjuntos binarios.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resolución

=- =

\ = =

n(A) x n(A)

3 214

x n(A) 7C C

5. Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si el n(A)=4 y n(B)=5 entonces el numero máximo de elementos de C= P(A)U P(B) es 48.

II. Si { }- Î £ £2 2A = n 1 /n Z;4 n 9 entonces la n(A)

es 2.

III. Si £ = fA B , entonces = f Ù = fA B .

a) VFF b) FFF c) FVF d) VVF e) VVV

Resolución I. n(A) = 4

n(B) = 5

C = P(A) U P(B)

Þ n [P(A)] = 24 = 16

32

n [P(B)] = 25 = 48

Pero:

�16 32

C = {...; ø} {...; ø}1442443 1442443

48 – 1 = 47 (F)

II. A = {n2 – 1/n Є Z; 4 Ä n2 Ä 9}

2 Ä n Ä 3

±2; ±3

A = {3; 8}

n (A) = 2 ( V )

III. A ? B = ø � A = ø � B = ø ( F )

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Dado el conjunto unitario

{ }12;32: -++= babaA

Calcula: 22 ba +

a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) -39

2. Dado los conjuntos:

{ }edcbaA +++= ;222

{ }5;4;12 +-+= edcB

Si: A = B ; A es unitario, c>a>b y son negativos. Halla: a+b+c+d(e)

a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10

3. Dado:

{}{ }{ }5;4;3;2:1=A

Determina la relación falsa:

a) A�1 b) {} A�3

c) { } A�5,4

d) A�2

e) {}{ }{ } A�5;4;3 Rpta. c

4. Determina el cardinal de A, sabiendo que:

( )[ ] [ ])(*4 APnBPn =

[ ] [ ])(*

2

1)( APnCPn =

5

6

)(

)(*)(=

Bn

CnAn

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10

5. Determina el número de subconjuntos binarios (que

tienen 12 elementos) del conjunto:

{ }ZyxxZxA �£<Î-= 30/)1( 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tales que:

CAC =Ç

90)( =¢Ç¢ BAn

150)( =¢Cn

[ ] )(*6)( CnCBAn =-È

Calcula: )( �n

a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180

15


Teoría de Conjuntos

CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 222 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

A. UNIÓN (AÈB) = {x/x ÎA Ú�xÎB}

AÈB: BÈA = AÈB = B

PROPIEDADES:AÈÆ = A AÈU = U

B. INTERSECCIÓN (AÇB) = {x/x ÎA Ù xÎB}

AÇB: AÇB = AÇB = Æ A

PROPIEDADES:AÇÆ = Æ��AÇU = A

C. DIFERENCIA (A - B) = {x/x ÎA Ù xÏB}

A - B: A - B = A - B = A

PROPIEDADES:A - A = Æ��A - Æ = A Æ - A = Æ

-CD. COMPLEMENTO A’ = A = A = {x/x Ï A}

B

U

AA B

U

AB

U

123

B

U

AA B

U

AB

U

123

B

U

AA B

U

BA

U

123

A

A’

1 Sean los conjuntos A y B, tal que:

È

Ç

é ù é ùë û ë ûé ùé ù ë ûë û

(A) (B)

(A B)(A B)

n P = 128; n P = 256

n Pn P = 16. Calcule:

a) 2048 b) 512 c) 1024 d) 4096 e) 64

Resolución 2n(A) = 27 2n(B) = 28

n(A) = 7 n(B) = 8

n[P(A £ B)] = 16

n(A £ B) = 4

\n[ P( A U B ) ] = 211 = 2048

2. En una reunión donde hay 100 personas se sabe que

40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. Halla ¿Cuántos hombres son padres solteros?

a) 7 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30

Resolución

x + 25 + 5 = 60

\ x = 30

3. Karina realiza un viaje mensual durante todo el año a

Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna, ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5

Resolución U = 12

4. En una cierta población de 2180 personas y de los cuales se conoce lo siguiente: 20 consumen sólo el producto A; 40 consumen sólo el producto B; 60 consumen sólo el producto C.

El número de personas que consumen sólo A y B es la mitad del número de personas que consumen los tres productos. El número de personas que sólo consumen B y C es igual que el número de personas que consumen A. ¿Cuántos consumen solamente B y C?

a) 1020 b) 1040 c) 1060 d) 1100 e) 1080

Resolución U = 2180 =åPARTES UNIVERSO

y + 40 + y + 60 = 2180 2y = 2080

y = 1040

CASADOS x 5

25

11

25

H = 60

~ H = 40

V = 60 M = 60

100

ICA = 7

TACNA = 7

8 – y y 11 – y

8 – y + y + 11 – y = 12 y = 7

2x

x

60

40 20

y 80 – 3x

A = 7 B = 8

3 4 4

Teoría de Conjuntos16


PROPIEDADES:(A’)’ = A A È A’ = UU’ = f A Ç A’ = Æf’ = U

OBSERVACIÓN:Para dos conjuntos A y BA’ È B’ = (A Ç B)’A’ Ç B’ = (A È B)’

E. DIFERENCIA SIMÉTRICA:

A D B = (A - B) È (B - A)A D B = (A È B) - (B Ç A) (Excepto si A y B son disjuntos)

A D�B: B D�A = A D�B = A È�B A D�B = n(A)+n(B)PROPIEDADES:A D Æ = AA D�A = ÆA D�A = A’

DIAGRAMA DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos. El rectángulo representa generalmente al conjunto universal.

DIAGRAMA DE CARROLLSe utiliza generalmente para conjuntos disjuntos.

Donde: A y B disjuntos C y D disjuntos

DIAGRAMA LINEALParaconjuntos comparables:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

B

U

AA B

U

AB

U

U

A B

C

A B

C

D

U

A

B B

D

17


Numeración

CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 222 NUMERACIÓN

CAPACIDADES:* Representar una cantidad de unidades simples en

determinado sistema posicional de numeración.* Descomponer polinómicamente cualquier numeral de

un determinado sistema posicional de numeración.* Realizar cambios de base* Aplicar las propiedades del conteo de numerales y

cifras y del método combinatorio.

1. NUMERACIÓN Es parte de la aritmética que estudia la formación, lectura y escritura de los números.NÚMERO:Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. Nos da una idea de cantidad.NUMERAL:Es la representación simbólica de los números. Así tenemos: 4; II; veinte; ....CIFRAS (DÍGITO):Son los símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales. Estos son: 0;1; 2; 3; ....SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN: Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los numerales.

2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:

A. DEL ORDEN: Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se indica de derecha a izquierda.

B. DE LA BASE: Todo sistema posicional de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad de orden inmediato superior, así tenemos:

Þ 24 = 33 = 447 5

CONCLUSIONES:

· Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base:

\ CIFRA < BASE

· A mayor numeral aparente le corresponde menor base:

C. VALOR DE LAS CIFRAS: Toda cifra que forma parte de un numeral posee dos valores:

a) VALOR ABSOLUTO (VA): Es la cantidad de unidades simples que representa.

b) VALOR RELATIVO (VR): Es lo que representa de acuerdo al orden que ocupa:

Así:

3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROSCuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras, teniendo en cuenta lo siguiente:· Toda expresión entre paréntesis representa una

cifra.· La primera cifra de un numeral debe ser diferente de

cero.· Letras diferentes no necesariamente indican cifras

diferentes, salvo que lo indiquen.Así tenemos:

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL: Es la suma de los valores relativos de las cifras que forman un numeral.

También por bloques:

5. CAMBIOS DE BASE:A. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE A 10 (por divisiones sucesivas) Þ

\ 536 = 13647

B. DE BASE DIFERENTE A 10 A BASE 10

Descomposición polinómica:

Método de RUFFINI

b(10)=24 b(7)=337 b(5)=445

...6º 5º 4º 3º 2º 1º

...4 5 3 2 6 1ORDEN

yxabcdmnp yx >®=+

+Si:

cifras significativas

b(n ) : 0;1;2;3;...;(n 1)-tNNNNNNNNNNu

5 6 3 5 6VA : 6VR : 6

VA : 5VR : 5.10

VA : 5VR : 5.10

4

VA : 6VR : 6.103

4 4 4 4 4 4 4 4

8

x

x

- ab {10;11;12;13;...;99 }

- mn {10 ;11 ;12 ;13 ;20 ;21 ;...;33 }

- a( 2b )( c 1)

- ( x 1)( x 1)( x 1) (número máximo)

- aba; mnnm ; 53235;... (números capicúas)

�

Î

+

- - -

3 2

3 2 19

2x

7

25

5342 5.10 3.10 4.10 2

4567 4.9 5.9 6.9 7

abc ax bx c

mn m.7 n

aaa a.5 a.5 a 31a

= + + +

= + + +

= + +

= +

= + + =

2

27 7 7

2x x x

4 2n n n n

6436 64.10 36

2534 25 .7 34

abcd ab x cd

ababab ab .n ab .n ab

= +

= +

= +

= + +

13

71064

77646

7536

)7(b536 ®

26

6

6

253 2.6 5.6 3

253 72 30 3

253 105

= + +

= + +

=

6253 b(10)É

2 5 3

12 102

2 17 105

6

x

(+)

total de eventos se encontrará aplicando el principio de la multiplicación.

Total: #(abc) = 9.10.10 = 900

REGLA PRÁCTICA

a) Se cuentan los valores

b) Se multiplican los valores

#(abc) = 9.10.10 = 900

• ¿Cuántos numerales existen de la forma a( )(b)(c-2)(c) ? Resolución:

Total: # a( )(b)(c-2)(c) = 360

2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA:

a) t – t = r2 1b) t – t = r3 2c) t – t = r4 3 t = t + r(n–1)n 1

Observación:

I) t = 41II) t = 61nIII) r = 3

Þ h = 20

Þ t = 4+3(9) Þ t = 3110 10

3. PAGINACIÓN

Para enumerar las páginas de un libro y contar el total de cifras utilizadas se tiene en cuenta lo siguiente:

A.

B. También se puede utilizar la formula:

Donde: k: Nº cifras de la última página N: Nº de páginas #cf: Nº cifras totales utilizadas

PAGINACIÓN EN OTRA BASE

n 1t t

1r

h≈ ö- ÷ç= +÷ç ÷ç ÷è ø

4; 7; 10; 13; ... ; 61

3 3 3

61 41

3h

-= +

# cf Páginas # cf utilizadas

1

2

3

1 - 9

10 - 99

100 - 999

9 1 = 9

90 2 = 180

900 3 = 2700

( )k cf

# cf = k N+1 111 ... 11IM KML�

Numeración18


\253 = 1056

Recuerda: 342 ®b5 (7)

a. b.

\ 342 = 1665 7

6. PROPIEDADESA. NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS:

B. BASES SUCESIVAS:

CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE

+nA. De base “K” a base “k ” (nÎ! )n “n” cf de la base k<> 1 cf de la base k

• Exprese: 1221201 en el sistema nonario3

2 Como: 9 = 32 1 cif b(3 ) = 2cif b(3)

\�1221201 = 18513 9

n +B. De base “K ” a base “K”; (nÎ! )n 1 cf de la base “k ” < > n cifras de la base k.

• Exprese 765 en el sistema binario.83 8 = 2

1 cf b(8) <> 3 cf b(2)

Rpta. 765 = 1111101018 2

1. CONTEO DE NUMERALES CON CIERTA CARACTERÍSTICA.

¿Cuántos numerales existen de la forma abc?Se observa que tanto a como b y c toman valores independientes pero respetando los principios de numeración:

a: 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 9 valoresb: 0; 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 10 valoresc: 0; 1; 2; 3; ...; 9 Þ 10 valores

Como cada evento es independiente el uno del otro, el

1n)1n)...(1n)(1n)(1n( xn

cifras"x"

��

��

1

2

3

9 10 1 10 1

99 100 1 10 1

999 1000 1 10 1

= - = -

= - = -

= - = -

a.nxa...aaaxa1

veces"n"

a1

xa1a1 +=+++++= 444 3444 21O

“n” veces

5

125

12125

12 5 2

12 5 2 2

12 5 2 2 2

= +

= + +

= + + +

6

136

13136

13 6 3

13 6 3 3

13 6 3 3 3

= +

= + +

= + + +

10y,x ¹

)y(b)10(b)x(b ¾®¾¾®¾

3 4 2

15 95

3 19 97

5166

71327

797

18

28

38

7 8 1 8 1

77 64 1 8 1

777 512 1 8 1

= - = -

= - = -

= - = -

7 6 5 8

7 23 2

1 1

16 2

3 2

1 1

05 2

2 2

0 1

1

111 110 1012

1 22 12 0131 2x3+2 1x3+2 0x3+11 8 5 1

abc100211322

999

t1; t2; t3; t4; ... tn;

r r r

b2

t : término inicial1t : término n–ésimon r : razónn : Número de términos

a b b (c-2)c2

1234...9

02468

23456789

9 5 8 = 360

b2

1. Halla un número que al ser convertido a los sistemas de

numeración de base siete y nueve, se escribe con las mismas dos cifras aunque en orden inverso.

SOLUCIÓN

7ab = 9ba

Descomponiendo polinómicamente: 7a + b = 9b + a

� 3a = 4b

a = 4 y b= 3

7ab = 9ba = 31

Respuesta. 31 2. Determina la base del sistema de numeración en el que:

a(2a)(4a) se escribe con 3 cifras iguales.

SOLUCIÓN

a(2a)(4a) = (n)bbb � a: 1 ó 2

Trasladando a la base 10:

124(a) = 2( n n 1 ) b+ +

Si: a = 1 � n = 5 � b = 4

Si: a = 2 � no hay solución

Respuesta. n = 5 3. El número 1231 se escribe en otra base con 3 cifras,

luego la cantidad de bases que puede escribirse dicho número con igual cantidad de cifras es:

SOLUCIÓN

1231 = nabc

n100 Ä nabc

n 1 0 0 0Ä

2 3n 1231 nÄ £

10,5 Ä n Ä35,8 n: 11; 12; 13; ……; 35 Cantidad total de bases = 25 Respuesta. 25

4. Si: 200414641 lo expresamos en el sistema de

numeración de base 2005. La suma de sus cifras es: SOLUCIÓN Haciendo que: 2004 = a

� N = a14641

Descomponiendo polinómicamente:

4 3 2N = a 4a + 6a + 4a + 1 +

� N =4(a +1) � N = (a + 1)10000

� 200510000

La suma de cifras de N es: 1 Respuesta. 1 5. Convertir a base 6 el número N = 10! E indicar la suma

de sus cifras.

10! =8 4 22 .3 .5 .7

SOLUCIÓN

10! = 4 4 4 2(2 .3 )(2 .5 .7)

10! = 46 .2800

10! = 6 610000 . 20544

10! = 6205440000

La suma de sus cifras es: 15 Respuesta: 15.

6. Halla el término del lugar ba de la siguiente progresión aritmética:

a8b ; a93 ; b04 ; ba5 ;… SOLUCIÓN En una P.A. la razón es constante, luego:

a93 - a8b = ba5 - b04 Descomponiendo polinómicamente: 12 = 10.a + b

� a = 1 � b = 2

Reemplazando tenemos: 182; 193; 204; 215; ……..

21t 182 + 20(11)= = 402

Finalmente:

Respuesta. 21t 402=

7. La cantidad de números de 3 cifras, tal que la suma de

sus cifras es impar, es: SOLUCIÓN

N = aba , donde: a + b + a = número impar

� � {�AR IMPAR

2a + b

a: 1; 2; 3; …; 9 ( 9 valores) b: 1; 3; 5; 7; 9 ( 5 valores) Total de números = 9. 5 = 45 Respuesta. 45 8. Calcula la cantidad de números de cuatro cifras que

tienen por lo menos una cifra impar. SOLUCIÓN

Total de números números que usan números que usan= +de 4 cifras sólo cifra par alguna cifra impar

9. 10. 10. 10 4. 5. 5. 5 x= +I44424443 144424443 144424443

X = 8500 Respuesta. 8500 9. ¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración

de un libro de 380 páginas si se realiza en el sistema octal.

SOLUCIÓN

380 = (8 )5 7 4

Total de cifras = ( (8 )5 7 4 +1)3 - (8 )1 1 1

Total de cifras = (8 )2 1 6 7 - (8 )1 1 1

Total de cifras = (8 )0 52 6 = 1070 cifras.

Respuesta. 1070

19


Numeración

EJEMPLO:¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración de un libro de 380 páginas, si se realiza en el sistema de base 8?

RESOLUCIÓNEl proceso es similar a como se realiza en el sistema decimal, pero considere que todos los números y ope-raciones a efectuar se realizan en el sistema indicado.

* Para el total de tipos, basta con expresarlo en base 10:

\ Utiliza 1070 tipos de imprenta.

PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

É

=

= + ´ -

= ´ -

= -

=

( 8 )

1 574 ( 8 ) ( 8 )( 8 )

( 8 ) ( 8 )

( 8 ) ( 8 )

( 8 )

380 574

C (574 1) 3 111

(575 ) 3 111

2167 111

2056

=( 8 )2056 1070

Ejemplo: Halla S= 15+21+27+33+....+93Resolución:

a. b.

2. SUMAS NOTABLES

1º. S = 1+2+3+4+ .... +n ®

2º. S = 2+4+6+8+ .... +(2n) ®

3º. S = 1+3+5+7+ .... +(2n–1) ®

2 2 2 2 4º. S = 1 +2 +3 + .... + n ®

3 3 3 3 5º. S = 1 +2 +3 + .... +n ®

3. RESTA O SUSTRACCIÓNEs una operación que consiste en averiguar en cuanto excede una cantidad a otra. Sus términos son minuendo, sustraendo y diferencia.

\ M - S = D

M ® Minuendo; S ®�Sustraendo; D ®�DiferenciaObservación: Comprobación de la resta:

M = S + DTEOREMAS:1º. M+S+D=2M___ ___ ____2º. abc - cba = mnp; a>c ____ ____ ____3°. abcd - dcba = mnpq ; a>d Si: b¹c Si: b=c

n = 9m+p = 9

Þ

Þ m+n+p+q=18 n = p = 9m+q = 9

Numeración20


1. ¿Cuántas cifras tiene el término de lugar 80 de la siguiente progresión aritmética?

21 ; 24 ; 31 . . . (n) (n) (n)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. ¿En qué sistema de numeración existen 448 números capicúas de 6 cifras?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. La cantidad de números de la forma:

a) 15 b) 25 c) 35d) 50 e) 75

4. La cantidad de cifras necesarias para escribir los ___números enteros y p ositivos d esde 1 hasta 1ab es __6 ́ ab. Halla a+ b.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

__5. ¿Para enumerar las páginas de un libro de aa hojas,

ß ö- + -ç ÷

è ø (15 )

b(a 2)b 1 ab( 2a 1)

3

5. Corregir la escritura de los siguientes numerales:

- + -7 8 7 n569 ; 809 ; 3( 2)09 ; (n 2)0(3n 1) (n>2)

6. Si los numerales están bien escritos:

b 5 ca110 ;aa1 ;c2 ;21b . Calcula: a.b.c

7. Dado el numeral capicúa:

+ - - - 9(2b 1)(5b 6a)c(7a 11)(4a 1)

Calcula el máximo valor de: a + b + c

8. Si = +abcd 37ab 62cd . Calcula: + + +a b c d

9. Si: =mabab 407 . Calcule: + +a b n

10. Expresar + - - 6(a 2)(a 3)(3 a) en el sistema

octanario.

11. Calcula a+b si se cumple que: =5 7aabac 223c

12. Si: =8 naba 1106 . Calcule: a+b+n

13. Si: =IM KML (nk cifras

eee...e nabc .

Calcula: a + b + c + n + e

CAPACIDADES:- Realizar las operaciones básicas en base 10 y en

bases “n”.- Aplicar las propiedades de la adición y sustracción en

la solución de situaciones cotidianas.- Deducir y aplicar las propiedades de la multiplicación y

división en la solución de problemas de nuestro entorno.

DEFINICIONES

1. ADICIÓN

PROGRESIÓN ARITMÉTICASe dice que varios números están en progresión aritmética, si la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera, dan siempre una misma cantidad constante, denominada razón aritmética.

Ejemplo:

Número de términos (n)

Suma de términos

CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 333 CUATRO OPERACIONES

+ + + + =I M KM L14444244443& 2 3 n

Suma totalSumandoo resultado

S S S ..... S S

23 ; 30 ; 37 ; 44 ; 51 ; ......; 142

+7 +7 +7

Primertérmino (a )1

razón (r) últimotérmino (a )n

= +último - primero

n 1razón

n 1a an 1

r

-= +

æ ö= ç ÷è ø

Primero + últimoS x # de

términos2+

= 1 na aS xn

2

93 15n 1

6

78n 1

6

n 14

-= +

= +

=

93 15S 14

2

108S 14

2

S 54 14

S 756

+æ ö= ×ç ÷è ø

= ×

= ×

=

+=

n(n 1)S

2

= +S n(n 1)

= 2S n

+ +=

n(n 1)(2n 1)S

6

+é ù= ê úë û

2n(n 1)S

2

1. La suma de todos los números de tres cifras distintas

que se pueden formar con tres cifras diferentes es igual a 5328. Calcula la menor de estas cifras.

SOLUCION Sean las cifras: a , b y c La suma de todos los números diferentes:

abc + acb + bac + bca + cab + cba =5328

En unidades: 2(a + b + c) = 48 a + b + c = 24

� a = 7 ; b = 8 ; c = 9

Respuesta. 7

2. Si CºA( abc ) = a + b + c

Halla: 2 2a b+

SOLUCION

a + b + c Ä27

� a = 9

� 1000 - 2 2a b+ = 9 + b + c

� 91 = 11b + 2c

� b = 7 ; c = 7

\ 2 2a b+ = 130

Respuesta. 130

3. Si: 1ab . CºA( ab ) = 8631

Calcula: a + b SOLUCION Dándole forma al enunciado:

(100 + ab )(100 - ab )= 8631

�22100 ab 8631- =

� ab = 37

\a + b = 10 Respuesta. 10 4. Se divide un numeral entero de 4 cifras entre su CºA y

se ha obtenido 174 de cociente y 25 de residuo. Halla la suma de cifras de dicho numeral.

SOLUCION

� abcd = 174(10000 - abcd ) + 25

� 175( abcd ) = 1740025

� abcd = 9943

\a + b + c + d = 25 Respuesta. 25 5. Halla un número entero que dividido entre 82 deje como

residuo por defecto el duplo del cociente por exceso y como residuo por exceso el triple del cociente por defecto.

SOLUCION

d e

D.I.D D.I.E.

r 2(q + 1) ; r 3q= =I 4243 123

Por propiedad: d er r d+ =

� 5q + 2 = 82 � q = 16

� D = 82.16 + 34

\D = 1346

AR

ITM

ÉT

ICA

21


Cuatro Operaciones

4. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)El complemento aritmético de un número es lo que le falta a un número para llegar a formar una unidad de orden inmediato superior que la cifra de mayor orden.

Ejemplo: Método práctico CA (46) =100 - 46 CA (46) =(9-4)(10-6)

CA(238) = 1000 - 238 CA (238) =(9-2)(9-3)(10-8)

CA (25645) =100000-25645 CA (25645) = (9-2)(9-5)(9-6)(9-4)(10-5)

5CA(abcde)=10 -abcde CA(abcde)=(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(10-e)

5. MULTIPLICACIÓN

Concepto : P = Mxm

Factores : M: Multiplicando m: Multiplicador P: Producto Donde:

6. DIVISIÓN

Esquema: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : ResiduoTIPOS DE DIVISIÓN:

A. División Exacta (r=0) Þ D = dq

B. División Inexacta (r>0) a) Por defecto b) Por exceso

Ejemplos:

Propiedades de la División Inexacta

1º r + r = dd e

2º 0 < residuo < d 3º

a) Sea:

b) Sea:

PROBLEMAS RESUELTOS

productosparciales

abcxy

....... y·abc

.......... x·abc

.......... Producto total

+

Þ

Þ

Þ

123

"m"veces

P M M M .... M= + + + +144424443

Nota:

D d

qr

D d

q0

D d

qr

D n¸ d n¸

qr n¸

D d

qr

Dxn dxn

qrxn

D d

q + 1re

D d

qrd

dD dq rÞ = + eD d(q 1) r= + -

112 9

4 12

112 9

5 13

r =1

r =d - 1mín

máx

Þ

+ + + ×× × + =10a 20a 30a mn0a 63070

= + +CA(pnm) q(n 1)(p 1)


1. Si: Calcula: m + n + a

2. Si: Calcula: p - n + q

___ __3. Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y ___

80 de residuo. Calcula CA(abc )

4. Calcula la suma de cifras del complemento aritmético de:

n n-2 n+2 n-1 N = 2 ́ 10 + 3 ́ 10 + 5 ́ 10 + 7 ́ 105. Cuántos números menores que 400 pueden ser

dividendos de una división de cociente 12 y residuo 14?

DIVISIBILIDADCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 444

Dados

A A = BK0

BK

<>

A es divisible B entre

A es múltiplo B de

B es divisor de A

B es submúltiplo de A

=�

� �

=�

' , +

� =�

� �� =�

� �� =A BK

+Î

�

!� se denomina módulo (B )

= = - =�o o

' & +�) � �� + &�

A AB Bq q+1r rd e

Por defecto Por exceso

dA=Bq+r eA=B(q+1) r

ed rrB +=

Defecto Exceso

712512101

792947

71031063

oooo

n =.....nnn ++++o

n

+ + + + =

+ =

o o o o o

o

11 11 11 ..... 11 11

11 121 11

nnn =-

- =

- =

o o o

o

5 5 5

25 15 5

( )ZK;nKn Î=´oo

� =o o

12 5 12

( )ZK;nK

n Î=oo

� Þ =o o

715 3 15 3

ooo2nnn

321321 rrrnrnrnrn ´´+÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+

oooo

� = = = =IM KML

A o o o

divisores

6 :1;2;3 y 6 6 1; 6 2; 6 3 y 6 6

N

o

a

o

b

( ) +

Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de:- Aplicar correctamente los caracteres de la divisibilidad. - Aplicar correctamente los principios de la divisibilidad

en la resolución de problemas concretos.

DEFINICIÓN Es una parte de la aritmética que estudia las

condiciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otros y las consecuencias que se derivan de este hecho.

1. DIVISIBILIDAD EXACTA Se dice que un entero es divisible entre otro entero

positivo llamado módulo, si al dividirlos, el cociente es entero y el residuo es cero.

Es decir:

Su notación:

Ejemplo:

Luego: A es divisible entre B A es múltiplo de B. Todo divisor de un número es un factor del número.

La terminología "múltiplo" o "divisible" se usa indistintamente.

Ejemplo:

"El cero es múltiplo de cualquier entero positivo, excepto de sí mismo”.

2. DIVISIBILIDAD INEXACTA Cuando hay residuo, puede ser:

Ejemplos:

3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DIVISIBILIDAD

I. Para operaciones realizadas con múltiplos de un mismo módulo.

a. Adición

Ejemplo:

b. Sustracción

Ejemplo:

c. Multiplicación

Ejemplo:

d. Potenciación

Ejemplo:

II. Todo número es divisible necesariamente entre cada divisor que tiene.

Ejemplo:

III. Todo número que es divisible por varios módulos, entonces el número es múltiplo del MCM de dichos módulos.

Ejemplo:

( )

=

= Þ = =

=

�

o oo

o

5 '

N 3 N mcm 2,3,5 30

N 5

Divisibilidad22


× = Þ ¹ =� o o

�� : &+ <A@A � &+�?F��A�: &+

× = Þ = =�o o

��) < * ' < ( �?F��A�< (

=nabcde

en +o

n2 de)n( +

o

n3

cde)n( +

o

=3101ab

13+o

33 1013 +

o

34

101b3 +

o

1.

2.

+ZÎ+=÷÷

ø

öççè

æ+ k;rnrn

kk

oo

( )

( )ïî

ïí

ì

-

+=÷÷

ø

öççè

æ-

imparesk;rn

paresk;rnrn

k

kk

o

oo

� ö æ ö æ ö+ = + - = - - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

� o o o o o� 5 6

5 5 67 3 7 3 ; 5 2 5 2 ; 5 2 5 2

10515 4

26282511

353

(24)2628 23 .

(24)2628 (5 + 3) .o

(5 + 1)(5 + 3) = 5 + 3oo o

ra ±o

N rb,amcmN ±o

rb ±o

COROLARIO:

IV. Principio de Arquímedes

Ejemplos:

V. Para un cierto número expresado en cierta base:

Ejemplo:

VI. Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton

Ejemplo:

GAUSSIANO (g)Es el periodo que se repite al determinar los restos potenciales de un número elevado a sus potencias sucesivas respecto a un módulo (divisor) dado.

EjemploCalcule el gausiano al hallar los restos potenciales de 2 respecto al módulo 5.

APLICACIÓN2103

Halla el resto de dividir 32 entre 5.

2103 10515RESOLUCIÓN Þ 32 = 2

Rpta: 3

CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD

Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá hallar el residuo en forma directa. Estudiaremos los criterios de divisibilidad más usuales y aplicables en el sistema decimal.

n n +1. CRITERIOS POR 2 Y 5 (nÎ¢ ) Sea:

Luego:

Ejemplos:

2. CRITERIOS POR 4 Y 25

Sea:

Luego:

Ejemplos:

3. CRITERIOS POR 8 Y 125

Sea:

Luego:

Ejemplos:

4. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9

À= + ï

ïï= + ï

=ýï= + ïï

= + ïþ

o0

o1

o2

o3

2 5 1

2 5 2g 4

2 5 4

2 5 3

= +

= +

= +

� !

! !

! !

A4

o5

o6

2 5 1

2 5 2

2 5 4

��

=

= ´ +

2 5

N abcde

N abcd 10 e

{ }

{ }

N 2 e N 2 e 0; 2; 4; 6; 8

N 5 e N 5 e 0; 5

= + Þ = ® =

= + Þ = ® =

� o

o o

= ++

+ = +

· = =

· = =

ìï

· íïî

�o

oo

oo

o o

�: �F�+ ' &1;2

2; ya que 7 5 25

4728 ; ya que termina en 8 22

65205 5; ya que termina en 5 5

abc37

=

= ´ +

N abcde

N abcd 100 de

{ }

= + Þ = « =

= + Þ = « =

� o o

o o

5 4 N 4 de 4de

N 25 de N 5 de 00; 25; 50; 75

= ++

+ = +

=· =

· = =

ìï

· íïî

�o

oo

oo

o o

�: �F� * � ) &1;4

15; ya que 65 25 1525

39828 28; ya que 44

97950 25; ya que 50 25

mnp65

=

= ´ +

N abcde

N ab 1000 cde

{ }

= + Þ = « =

= + Þ = « = ×× ×

� o o

o o

5 8 N 8 cde 8cde

N 125 cde N 125 cde 000; 125; ;875

= ++

+ = +

=· =

· = =

ìï

· íïî

�o

oo

oo

o o

' �: �F�&( � , ';8

5; ya que 130 125 5125

243248 248; ya que 88

350375 125; ya que 375 125

xyz130

23


Divisibilidad

- - - + =· =

+ - - - + =· =

+ + - - - ++ =· =

�o

oo

oo

&3169 : 3 3 4 18 9ya que 1313

462462 : 16 18 2 16 18 2ya que 1313

213214 1 8 3 3 8 3 4 1: ya que 1313

= + + - - - + =

Þ = « + - - - + =

� o

o o

5 &( ) : ( ; < ) � ( � = &(

N 13 4a 3b c 4d 3e f 13

®= 3 ( ( ��&�<A�C�DB�<EA : ?@��F?A ( ( �1 1 1

al módulo 99.

N abcdef

+ =· =

+ + = +· = +

�o

oo�775 : 57 75ya que 3333

421352 : 42 13 52 8ya que 9999 8

= « + + =

= « + + =

� o

o o

5 ( ( : ; <� �= ( (

N 99 ab cd ef 99

+ + + =· =

+ + + + + = +· =

�o

oo$* %

(8 )

2314 : 2 3 1 4ya que 55

13212 2 : 1 3 2 1 2 2ya que 77

= - « + + + + + = -� o

$�%abcdef (n 1) a b c d e f (n 1)

+ + =

+ + + =

� o

o o$* %

(12)

2453 : - 2 4 - 5 3• = ya que 77

529786 = - 7 : - 5 2 - 9 7 - 8 6 - 7• ya que 1313

= + « - + - + - + = +� o

$�%abcdef (n 1) a b c d e f (n 1)

Ejemplos:

7. CRITERIO POR 13

Sea:

Luego:

Ejemplos:

8. CRITERIO POR 33 Y 99

Sea:

Luego:

Ejemplos:

9. CRITERIO POR (n - 1) EN BASE n

Ejemplos:

10. CRITERIO POR (n + 1) EN BASE n

Ejemplos:

� = · = +

· = · = +

· = + · =

· = + · =

� o

o o

o o

o o

) * +�i) 11 iii) abcd 11 r

7546 11 cdab 11 r

ii) 463 11 1 iv ) mnp 11

364 11 1 pnm 11

Si en un numeral cambiamos el orden que ocupan las cifras de lugar par y/o impar al aplicar el criterio por 11 el resultado final no varía.

]

=

= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ +¯ ¯ ¯ ¯ ¯

- + - + -� o o o o

� 4 3 3N abcdef

N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f

11 1 11 1 11 1 11 1 11 1

- + - + =· =

+ - + - + - + = +· =

- + - + - + =· =

+ - + - + = -· =

üï· =ýï· = þ

�o

oo

oo

oo

o

o

&1143 : 1 1 1 4 3ya que 1111

245568 4 : 2 4 5 5 6 8 4ya que 1111

451451 : 4 5 1 4 5 1ya que 1111

37291 10 : 3 7 2 9 1 10ya que 1111

Todo numeral capicúa con una2442 11

cantidad par de cifrabccba 11

oas siempre es 11.

= - + - + - +

Þ = « - + - + - + =

�

o o

5 && : ; < � � =

N 11 a b c d e f 11

Ø = · = +

· = · = +

· = + · =

· = + · =

� o

o o

o o

o o

�) 345 3 iii) abc 3 r

453 3 cab 3 r

ii) 724 9 4 iv ) mnp 9

472 9 4 pmn 9

Al alterar el orden de las cifras de un numeral, si aplicamos los criterios por 3 ó 9, el resultado final no varía.

]

=

= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯- - -I M M M M M M M M M KM M M M M M M M M L

� 4 3 2 0

R.P. de 10 con respecto al módulo 7

N abcdef

N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f 10

2 3 1 2 3 1

- + + + =· =

- - - + + + =· =

+ - - + ++ + =· =

�o

oo

oo

+343 : 7 6 12 3ya que 77

415415 : 8 3 5 8 3 5ya que 77

24131 1 6 4 2 9 1: 1ya que 77

= - - - + + + =

Þ = « - - - + + + =

� o

o o

5 + ' : ( ; < ' � ( � = +

N 7 2a 3b c 2d 3e f 7

=

= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + +¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ + - - - +I M M M M M M M M M KM M M M M M M M M L

� 4 3 3 0

R.P. de 10 con respecto al módulo 13

N abcdef

N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f 10

4 3 1 4 3 1

Sea:

Luego:

Ejemplos:

OBSERVACIÓN:

5. CRITERIO POR 11

Sea:

Luego:

Ejemplos:

OBSERVACIÓN:

6. CRITERIO POR 7

Sea:

Luego:

=

= ´ + ´ + ´ + ´ +¯ ¯ ¯ ¯

+ + + +

+ + + +

4 3 2

º º º º

º º º º

N abcde

N a 10 b 10 c 10 d 10 c

3 1 3 1 3 1 3 1

9 1 9 1 9 1 9 1

++

++

+ + + =· =

+ + + + =· =ìï

· íïî

�o

oo

oo

oo

& �: �F�?: DF@: ��<�=C: D�D$( &%;3

4 ya quelasumadecifras es (9 4 );9

2313 2 3 1 3; ya que 33

45981 4 5 9 8 1; ya que 99

72314311

= + + + + + Þ = + + + + =«

= + + + + + Þ = « + + + + =

� o o

o o o

5 ( : ; < � � 5 ( : ; < � � (

N 9 a b c d e N 9 a b c d e 9

Divisibilidad24


PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halla la suma de cifras de un número de cuatro cifras tal

que si permutamos sus dos últimas cifras se transforma en un múltiplo de siete y si agregamos una unidad a su última cifra se transforma en un múltiplo de nueve.

RESOLUCIÓN

* Sea el capicúa: N abba= de modo que:

¡) 0

7abab = al permutar sus dos últimas cifras

02

0

0

.10 7

101 7

7

ab ab

ab

ab

� + =

=

=

¡¡) También:

0

0

0 0

0

( 1) 9

1 9

2( ) 9 1 9 8

9 4

abb a

a b b a

a b

luego a b

+ =

Þ + + + + =

+ = - = +

+ = +

iii)

0

7

: 4 : 40;31;22,13

ninguno es

Si a b+ = I M KM L

0

: 13 : 49 7

4 9

Si a b sólo

luego a y b

+ = =

= =

4994N\ =

Suma de cifras=26 2. En la siguiente sucesión 15; 18; 23; 30;…., calcula la

suma de cifras del resultado de sumar el segundo y

tercer término 0

13 11+ .

RESOLUCIÓN i) Los términos de la sucesión son de la forma:

15= 14+1= 14+ 21

18= 14+4= 14+ 22

23= 14+9= 14+ 23

214nt n� = +

ii) 0

13 11nt = +

0

213 11 14 n+ = +

02

02

0

13 3 39 39

13 36

13 ( 6)( 6)

n

n

n n

= + + -

= -

= + -

iii) Si: n+6=0

13

n= 7; 20; 33, …

Si: n-6=0

13

n= 6; 19, 32; …

iv) De iii) los valores de n son: n=6; 7; 19; 20; 32; 33; …

Como se desea el segundo y tercer término 0

13 11+

n=7: 27 14 7 63t = + =

n=19: 219 14 19 375t = + =

7 19 438t t\ + = Rpta.

3. Si: 02218 1aaa = + . Calcula el residuo de dividir 3a entre

9. RESOLUCIÓN

i) Como 02218 1aaa = + es impar a es impar�

ii) Se sabe que 0

2( ) 8 1impar = +

0

2 2

2

2

0 02

02

(2 1) 4 4 1

(2 1) 4 ( 1) 1

(2 1) 4(2) 1 8 1

8 1( )

k k k

k k k

k

impar

+ = + +

+ = + +

Þ + = + = +

+\ =

IM KML

iii) En el problema:

0220

. 8 1P aaa aaa= = +

( )110 02 2 110( ) 8 1aaa impar= = +

0 0

0

0

0

8 1). 8 1

: 8 1

111 8 1

8 7

( aaa

resulta aaa

a

a

+ = +

= +

= +

= +

\

iv) Sólo 7a =

3

0

: 343

343 9 1

piden a =

= +

Residuo: 1 Rpta.

4. Indica cuántos valores puede tomar aba si 0

489 11 4aba = + .

RESOLUCIÓN i) Se observa:

0

02

03

04

05

489 11 5

489 11 3

489 11 4

489 11 9

489 11 1

= +

= +

= +

= +

= +

0 05489 11 1� = +

25


Divisibilidad

ii) Para el problema:

0 005 3489 11 4 489 5 3+= + = = +\aba aba

3 8

0,1,2,3,...9

10

a puede ser u

pero b

valores

= I M KM L

iii) Los números de la forma aba tienen

:a 2 valores

:b 10 valores

2.10=20 valores. Rpta.

5. Si 0

88 17 9abab = + , calcula la suma de valores de ab

RESOLUCIÓN

i) 0

88 17 9abab = +

� { {� 0 0

04 2

17 4 17 15 17 3

.10 . 10 88 17 9ab ab

+ + +

Þ + + = +

ii) 0

0

19 17 2

4 15 3 17 9

ab ab

ab ab

= +

+ + = +I M KM L

0

0

0

2 3 17 9

2 17 6

17 3

ab

ab

ab

+ = +

/ = + /

Þ = +

iii) Los valores de ab son:20,37,54;71;88

270ab =å Rpta.


1. ¿Por cuánto será divisible siempre:

52. Si se cumple que: n > 1; E = n - n. Luego, E es siempre divisible por cuánto?

17013. ¿Cuál es el residuo de la división de: 8 + 5 entre 3?

4. Halle el menor número entero que al ser dividido entre: 13, 14, 15 y 21, dé el mismo residuo por exceso.

5. Halla el mayor número de 5 cifras, tal que si se le divide entre 13 no da residuo; pero si se le divide entre 14, 15 y 16; dé como residuo: 8, 9 y 10 respectivamente.

____6. Halla el número: P = xyyx si es múltiplo de 7 y que

la suma de sus cifras es 22._____

7. Halle los números de la forma P = ab1ba que son ¸múltiplos de 44. Dé como respuesta el residuo de: N 5

_°8. Halle: M = 7 + r Si: M = 321321 . . . . . . . . . . . . 144424443 29 cifras

9. Se sabe que:2 Halle: E = 2c + c

10. Halle el número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. Dé como respuesta el producto de sus cifras.

11. En una reunión la sexta parte de los varones son solteros y la octava parte de los varones casados tienen hijos, los 2/7 de las mujeres son solteras.

Si hay 217 personas, calcula la razón aritmética entre el número de varones y mujeres.

=M (3a)(3b)(3c )(3a)(3b)(3c )

= = =� o o

: b ; ba ; abc5 9 8

Divisibilidad26


Hallando la cantidad de números en cada caso:

Rpta: 60

5088. Calcula el residuo al dividir: A = (1333) entre 11.

RESOLUCIÓN

Rpta: 3

= =

= =

= =

o

o

o

90012 7512

9005 1805

90060 1560

= +o

1333 11 2

(11 + 2)508

11 + 2508o o

(25)101

23

.

(11 1)101

(11 + 8)- .o o

(11 1) (11 + 8)- .o o

11 8 = 11 + 3-o o

6. Calcula la suma de todos los números positivos de 2 cifras, tal que al dividir entre 8 se obtienen residuos máximos.

RESOLUCIÓN Sea:

k: 1; 2; 3; 4; ...; 11

Rpta: S = 605

7. Calcula ¿cuántos números positivos de 3 cifras son múltiplos de 4 y 6 pero no de 5?

RESOLUCIÓN mcm (4; 6) = 12

Graficando

= = +

= +

£ <

£ + <

£ <

oN ab 8 7

ab 8k 7

10 ab 100

10 8k 7 100

3 93k8 8

( )

( )

£ <

= + + + + +

=

+=

= ´

ab

ab

0,3 k 11,6

ab 8 1 2 3 ... 11 7

ab 15; 23; ... ; 95

15 95S 11

2

S 55 11

1651560

12o

5o

60o

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