aritmética 4

7 8

9 10

TEMA: NUMERACIÓN

OBJETIVOSAl finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de: Representar los números naturales en una determinada base del

sistema posicional de numeración. Descomponer polinómicamente cualquier numeral de un sistema

posicional de numeración. Realizar cambio de base. Efectuar las operaciones elementales de la Aritmética

ConceptoEs la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la

correcta formación, lectura y escritura de los números.

NúmeroEs el primero y básico de los conceptos matemáticos y nos

permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

NumeralEs la representación simbólica o figurativa del número.

Ejemplo: 15, XV, 24 – 16, VI, 22 + 2, 32 – 3

SISTEMA DE NUMERACIÓNConcepto

Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numeralesPrincipios: Del Orden

Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.

Ejemplo:

6 5 4 3 2 1 Orden

Numeral: 2 7 3 9 7 5Lugar

(Lectura) 1 2 3 4 5 6

De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.Ejemplo342 n base“Nos indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema”- La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales

que 2n 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}

- Entonces la base mínima: n= 2Veamos en forma grafica: representa el número 16 en base 3

O sea que: 16 = 121(3)Otro ejemplo: representar el número 17 en base 5

De las cifras:Las cifras cumplen las siguientes condiciones - Pertenecen a Z (cifras Z)

Aritmética Aritmética

- Son menores que la base (cifras < n)- La cifra máxima es una unidad menor que la

base cifra = (base - 1)- Toman valores enteros menores que la base.

Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras 0, 1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) máxima cifra

cifra significativacifra no significativa

Principales sistemas de numeración

Base Sistema de Numeración Cifras2 Binario o Dual 0,13 Temario 0, 1, 24 Cuartenario 0, 1, 2, 35 Quinario 0, 1, 2, 3, 46 Senario y Sexanario 0, 1, 2, ........... 57 Heptanario 0, ..........., 68 Octanario 0, ..........., 79 Nonario 0, ...........; 810 Decimal o Decuplo 0, ..........., 911 Undecimal 0, ..........., 9, (10)12 Duodecimal 0, ..........., 9(10),

(11)Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras:Alfa 10 Gamma 2 Epsilon 14Beta 11 Delta 13

Representación Literal de Numerales:- Numeral de 3 cifras de base “n” : - Numeral de 4 cifras de base “n” : - : numeral de 2 cifras:- (10, 11, 12, ................ 98, 99)- : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)- : numeral de 3 cifras iguales:

(111, 222, 333, ..........., 999)- : numeral de 3 cifras que empiezan en 18.

(1800, 1811, 1812, .......)- Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456;

567.....)

OBSERVACIONES:1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL DEBERÁ SER SIGNIFICATIVA

(DIFERENTE DE CERO)2. TODO AQUELLO QUE ESTÉ ENTRE PARÉNTESIS EN EL LUGAR DE LAS

CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS 3. SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE LEÍDO DE IZQUIERDA A

DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL. EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887

CAMBIOS DE BASE EN Z:Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos:

- Ruffini- Descomposición polinómica- Practico: sube y baja.

A. M Ruffini:Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10

Resolución

O sea que: 215(6) = 83

EjemploConvertir 127(8) a base 10.

O sea que: 127(8) = 87


11

12

B. Descomposición PolinómicaEjemplo:Convertir 324(6) a base 10

Resolución324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4

= 108 + 12 + 4 = 124

O sea que: 324(6) = 124

Ejemplo:Convertir 542(7) a base 10

Resolución542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2

= 245 + 28 + 2 = 275O sea que:542(7) = 275

C. M. Practico: Sube y BajaConvertir 215(6) en base 10

O sea que:215(6)= 83

Convertir 542(7) en base 10

O sea que:215(6)= 83

Caso N° 2: De la base 10 a base “n”

El único método es el de divisiones sucesivas

Ejemplo: Convertir 1234 a base 5

Resolución



Caso N° 03: De base “n” a base “m”

Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal

Resolución1. Convertir 152(7) a base 10


13 14

Osea 152(7) = 86

2. Halla el número 86 convertir a base 11 a través de divisiones sucesivas.

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4A)

B)

Luego:401(6) 1501(4)

RESUMEN:DE BASE “N” A BASE “M”PASO A: DONDE “N” A BASE “10”PASO B: DE BASE 10 A BASE M(DIVISIONES SUCESIVAS)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

Dado: Si: n < mSi: n > m

Ejemplo N° 01: Hallar “a”

Siendo: Resolución

a > 2 a < 4 2 < a < 4 . a = 3 .

Ejemplo N° 02: Hallar “m” si 200(m) = 102(4)

Resolución

2 < m < 4 . m = 3 .

Ejemplo N° 03: Hallar “m”

144(6) = 224(m)Resolución

4 < m < 6m = 5


16

CONOCIMIENTOS COMPLEMENTARIOS1.Numeral de cifras máximas

9 = 10 – 199 = 100 – 1 = 102 - 1999 = 1000 – 1 = 103 – 19999 = 1000 – 1 = 104 – 1 . . .

= 10k – 1

78 = 108 – 1 = 8 - 1778 = 1008 – 1 = 82 – 17778 = 1008 - 1 = 83 – 1 . . .

= 8k – 1

En general: . =nk –1 .

Ejemplo: Hallar “N”N = 4 = 46 – 1

Resolución

N = 4 = 46 - 1 N = 4096 – 1 N = 4095

2.Bases Sucesivas: n = n + c

= n + b + c

= n + a + b + c

En General:

= n + a + b + c + d + ..........x

Caso:

Ejemplo 1: Calcular n

Resolución:

n + 13 . 4 = 57n + 52 = 57 . n = 5 .

Ejemplo 2: Hallar: k

17 12

13 15 12

k


a1a1

a1

n n“k”

veces

= n + = n + k . a

1414

14

n n13

veces

= 57

1414

14

14n n

13 veces

= n + 13 . 4

17 18

19

ResoluciónK + 7 +2 + 3 + 5 + 2 = 25

K + 19 = 25 . K = 6 .

PROBLEMAS APLICATIVOS1.Convertir 235(6) a base 10

2.Convertir 134(8) a base 10

3.Convertir 423 a base 4

4.Convertir 524 a base 3




8.Convertir 2010(3) a base

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar “m + n”, si: es un número

capicúa

Rpta.

2. Hallar “p + n”, si:

; es un número

6. Hallar “n + p”, si:105(6) = (4)

Rpta.

7. Hallar “n”, si:301(n) = 144(5)

Rpta.

capicúaRpta.

3. Hallar “a + b + m”, si: 253(6) =

Rpta.

4. Hallar a + b + c, si (5) = 47

Rpta.

5. Hallar “n + p”, si202(4) = (5)

Rpta.

8. Hallar “n”, si:207(n) = 160(9)

Rpta.

9. Hallar “x”; si 401(x) = 245(6)

Rpta.

10.Hallar a + b + c, si (6) =

Rpta.

11.Hallar a + b + c; si(7) = 2512(c)

Rpta.

12.Si se cumple: (8) = 1265(n)

Hallar a . b . c

Rpta.

13.Calcular: “a + b”, si:

14.Convertir a base 10. (2)

Rpta.

15.Hallar el valor de “n “, si:(4) = 1023

Rpta.

16.Calcular “n” si:


1313

13

13521

veces

= 1616

16

16n14

veces

= 92

20

21

Rpta.

Rpta.

LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN INDELEBLE

W. STEKEL

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Si el numeral es capicúa, hallar “m+n”

A) 1 B) 3 C) 4D) 6 E) 7

2. Hallar “a + b”, si se cumple:262(7)=

A) 1 B) 3 C) 4D) 6 E) 7

3. Hallar “a + n +b” ; si472(8) = (n)

A) 10 B) 13 C) 15

5. Convertir a base 10

(3)

A) 240 B) 81 C) 242D) 27 E) 243

6. Hallar el valor de “n”, si

(4) = 1023

A) 2 B) 5 C) 6D) 7 E) 9

7. Calcular “a + b”; si:

D) 17 E) 21

4. Hallar a + b + c; si:(7) =

A) 15 B) 11 C) 17D) 10 E) 19

A) 2 B) 10 C) 11D) 16 E) 7

8. Hallar el valor de “n”; si

A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

9. Si: 123(4) = Hallar

A) 16 B) 27 C) 40D) 11 E) 8

10.Hallar “a + n” ; si se cumple

(n) = (8)

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

CLAVES

1. D

2. B

3. C

4. A

5. C

6. D

7. B

8. C

9. B

10. A


1414

14

14619

veces

=

1212

12

12n21

veces

= 46

22

23

24

TEMA: SUMA O ADICIÓN

DEFINICIÓNDados dos números naturales a y b se llama suma de a y b y se

denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a

ciertos pares de números naturales (a, b) su suma a + b.

Ejemplo 1: 5 + 7 = 12

Ejemplo 2:

3 + 5 + 9 = 1 7

sumandos Suma

LA ADICIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓNEjemplo 1:Halle la suma de

435(7); 164(7) y 416(7)

ResoluciónLos sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupa sus cifras:

Orden Procedimiento0 5 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1

queda se lleva

1 3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5 queda

2 4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3 queda se lleva

Luego se tiene que:

4 3 5(7) + 1 6 4(7) 4 1 6(7)

1 3 5 1(7)

PRINCIPALES SUMATORIAS1. Suma de los “n” primero números naturales

. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n = .Ejemplo: Hallar “S”S = 1 + 2 + 3 + .....................+ 29 =

S = 435

2. Suma de los “n” primeros números impares

. S = 1 + 3 + 5 + ......... + A = .

Casos particularesS = 1 + 3 + 5 + ......... + (2n - 1) S = n2

S= 1 + 3 + 5 + …………… + (2n + 1 S = (n+ 1)2

Ejemplo: Hallar “S”

S = 1 + 3 + 5 + ... + 23 =

S = 144


2 1 0 Orden

4 1 5(7) +

1 6 4(7)

4 1 6(7)

¿ ...............................?

Sumandos

Suma:

25

26

3. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales consecutivos

S = 12 + 22 + 32 + .............. + n2

. S = .

Ejemplo: Hallar “S”S = 12 + 22 + 32 + ....... + 202

S =

S = S = 2870

4. Suma de los “n” primeros cubos perfectos consecutivos

. S = 13 + 23 + 33 + ........ + n3 = .

Ejemplo: Hallar SS = 13 + 23 + 33 + ............ + 193

S =

S = (190)2

S = 36100


1. Si a + b + c = 17, Hallar

Rpta.

2. Si:

6. Hallar : “a + b + c + d”; si

Rpta.

7. Si: 2+4+6 + 8 + .... + 2m

Hallar a x c + b

Rpta.

3. Si se cumple que:

calcular: a +b3 + c2

Rpta.

4. Calcular: SS = 1 + 2 + 3 + .................. + 77

Rpta.

5. Calcular. SS = 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + 100

Rpta.

= 6642Hallar “m”

Rpta.

8. Si: Calcular: a + b + c + x

Rpta.

9. Si: A = 1 + 2 + 3 + ......... + 50 B = 1 + 3 + 5 .... + 49

Hallar A + B

Rpta.

10.Si: Calcular: “a + b + x”

Rpta.

11.Calcular:1 + 8 + 27 + ..... + 8000

Rpta.

12.Si: = 1000 Hallar a . b . c

Rpta.

13.Sabiendo que: a + b + c = 12

14.Sumar:2536(8) + 6575(8) + 765(8)

Rpta.

15.Hallar:6316(7) + 1205(7) + 2441(7)

Rpta.

16.Sumar:


27

28

Además: = 79Hallar: a2 + b2 + c2

Rpta.

2713(9) + 155(9) + 4268(9)

Rpta.

EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

DYALAY–AL–DIN–RUMI


1. Si: x + y + z = 14, hallar:

A) 1454 B) 1554 C) 1555D) 1444 E) 1544

2. Si:

Calcule: S = a + b + c

A) 10 B) 13 C) 9D) 12 E) 22

5. Calcular: a + b + c+ 443

A) 12 B) 11 C) 10D) 13 E) 14

6. Si: P = 1 + 2 + 3..... + 80 A = 2 + 4 + 6 + ....... + 80Hallar P + A

A) 1600

B) 4620

C) 4880

D) 5100

E) 3240

3. Calcule: a . b . c; si se sabe que:a + b + c = 14 y además:

= 125

A) 90 B) 128 C) 105D) 54 E) 100

4. Si: = 1659Hallar: a + b + c

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

7. Hallar P siP = 1 + 4 + 9 + ......+ 900

A) 9995

B) 9645

C) 9455

D) 4995

E) 4945

8. Sumar: 241(5) + 1312(5) + 440(5)

A) 1140(5) B) 3043(5) C) 1023(5) D) 1220(5)

E) 4403(5)

9. Hallar “S”S = 531(6) + 1301(6) + 3(6)A) 1235(6) B) 1345(6) C) 2235(6)D) 4314(6) E) 2135(6)

10.Si:

hallar: x + 2y + 3z + 4a

A) 36 B) 37 C) 40D) 38 E) 39

CLAVES

1. B

2. D

3. D

6. C

7. C

8. B


29 30

31

4. D

5. A

9. C

10. D

ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE; LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA PUEDE OFRECERTE.

FRANCISCO JARAMILLO

TEMA: SUSTRACCIÓN

Dados los 2 números llamados minuendo y sustraendo la operación sustracción hace corresponder un tercer número llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo.

Es decir:. M – S = D M = S + D .

Términos:“M” es el minuendo“S” es el sustraendo“D” es la diferencia

Ejemplo:En base 10:

6305 – 3278 2027

Cifra de las unidades – Cifra de las decenas 10 + 5 – 8 = 7 10 – 1 – 7= 2 Cifra de las centenas – Cifra de las millares

2 – 2 = 0 5 – 3 = 2

En base 7:

5327 –26472357

Cifra de 1er. Orden : 7 + 2 – 4 Cifra de 2do. Orden : 7 + 2 – 6 = 3Cifra de 3er. Orden : 4 – 2 = 2

Propiedades:Sea el número (a > c) Si Se cumple: . y = 9 . . x + z = 9 .

También: . a – c = x + 1 .

Ejemplos de aplicación:1. Si:

2. Si:

COMPLEMENTO ARITMÉTICO:Es lo falta a un número para ser a una unidad del orden inmediato superior su cifra de mayor orden.Sea N un número de K cifras, se cumple:

. CA(N) = 10k – N .

Ejemplo: CA(43) = 102 – 43 = 57CA (648) = 103 – 648 = 532CA( ) = 100 - CA( ) = 1000 - CA ( ) = 10000 - Método Práctico:


32

33

A la primera cifra significativa de menor orden se le resta de 10 y a las cifras que están a su izquierda se le resta 9.

Ejemplo 9 9 9 9 9 10CA (4 3 2 8 5 7) = 567 143

9 9 9 10CA( ) =

9 9 10CA =

SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE PARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁS DISPUESTO A LUCHAR PARA OBTENERLO, TE ASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO. SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA.

R. BACH


1. Hallar x + y; si

Rpta.

6. Si: = 63 y además. a + b = = 11. Calcular: ()2

Rpta.

2. Calcular “a – c” en:

Rpta.

3. Efectuar 2513(6) – 431(6)

Rpta.

4. Hallar la suma de cifras de “R”, si:R =

Rpta.

5. La suma de los tres términos de suma sustracción es 1450. si el sustraendo es el cuádruplo de la diferencia. Hallar la diferencia.

Rpta.

7. Hallar: (n - m) Si:

Rpta.

8. En una resta los tres términos suman 84. El minuendo es:

Rpta.

9. Calcular la diferencia obtenida en una resta si se sabe que el minuendo es el triple de ésta y el sustraendo 142.

Rpta.

10.Si: CA( )= 4 . Calcular “a+b”

Rpta.

11.Si se sabe que: ; =

1736. Hallar (a + b + c)

Rpta.

12.Un número de tres cifras es tal que al restarle el doble de su CA. Resulta 283.

15.Calcular:CA (a) + CA(aa) + CA(aaa) + ..... + CA . Si JOP – POJ = ma

Rpta.


34

35

Entonces la suma de sus cifras de decenas y centenas es: Rpta.

13.Si: CA . Calcular (x + y + z)

Rpta.

14.Hallar el número de la forma ; si su CA es de la forma

. Hallar: x . y

Rpta.

16.Halle la diferencia de los siguientes números 432(5) y 143(5)

Rpta.

17.Calcular la diferencia de 502(7) y 243(7)

Rpta.

18.Hallar CA de:748 218 (9)5136 3510(7)

Rpta.

CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN, VALE LA PENA HACERLA DESPACIO.

GIPSY ROSE LEE


1. Hallar “m + n”, si:

A) 8 B) 7 C) 9D) 6 E) 10

2. Efectuar: 4623(7) – 125(7)

A) 4462(7) B) 4362(7) C)4464(7)

5. La suma de los tres términos de una sustracción es 720. Si el sustraendo es el triple de la diferencia. Hallar la diferencia.

A) 170 B) 110 C) 90D) 80 E) 20

6. Si: = y además:

D) 4465(7) E) 4466(7)

3. Efectuar: 7436(8) – 2456(8)

A) 4760(8) B) 4660(8) C)4670(8)

D) 4550(8) E) 4560(8)

4. Hallar la suma de cifras de “Q”Q =

A) 72 B) 75 C) 81D) 86 E) 73

a + b = 10. Calcular: a – 2b

A) 5 B) 6 C) 8D) 7 E) 1

7. Si: CA( ) = 3 . Calcular ”a + b”

A) 10 B) 14 C) 21D) 23 E) 25

8. Hallar el CA de 435(6)

A) 121(6) B) 204(6) C) 144(6)

D) 504(6) E) 132(6)

9. Sabiendo que: = 3947

Hallar : “a + b + c + d”

A) 24 B) 21 C) 23D) 19 E) 20

10.Hallar , si le cumple que:

. Dar como respuesta la suma de cifras de resultado

A) 14 B) 18 C) 16D) 22 E) 20

CLAVES

1. A 6. D


36

37

2. D

3. A

4. A

5. C

7. E

8. A

9. B

10. B

DPTO. DE PUBLICACIONES“Robert Letourneau”

V.L.E.B.

TEMA: MULTIPLICACIÓN

Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.

Origen:

. M . m = P .

Donde:

P: producto

Notas:01. Si se multiplica:

2 43 * 65 1215 1er producto parcial

1458 2do producto parcial 15795 Producto Parcial

02. Si: . 7 = .......... 6 c = 8 3

03. Si: . 4 = .......... 2 c = 804. Se cumple:

(# impar) (.... 5) = ..... 5(# par) (... 5) = .......0

05. Se cumple: ....... 0

n(n + 1) = ....... 2 ........ 6


1. Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto es 3024.

Rpta.

2. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve a hacer la multiplicación, se observa que el producto total se incrementa en 25 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de éste más el multiplicando original es 3432.

Rpta.

3. Si al multiplicador de una multiplicación se le aumenta 3 en la cifra de decenas,

4. En una multiplicación, si el multiplicando disminuye en 12 unidades, entonces el producto disminuye en 1068. calcular el multiplicador. Dar la suma de cifras

Rpta.

5. Si: . 7 = ....4192Hallar: d + e + f

Rpta.

6. Sabiendo que: . a = 214 b . = 412 ; . c = 366hallar; ;

Rpta.


38

39

40

siendo el multiplicando 280. ¿En cuánto aumenta el producto original ?

Rpta.

7. El producto de 3 números consecutivos es igual a 33 veces su suma. Halle el número mayor

Rpta.

8. Si a uno de los factores de una multiplicación se le agregara 7 unidades, el producto aumentaría en 350, y si en vez de hacer esto al otro factor se le restara 16 unidades el producto disminuiría en 400. Halle la suma de cifras del producto.

Rpta.

9. La suma de términos de una multiplicación es 125. Se triplica el multiplicando y se vuelve a realizar la operación, la nueva suma de términos es 349. Halle el multiplicador

Rpta.

10.Al multiplicar N x 79 se cometió el error de colocar los productos parciales uno debajo del otro, obteniéndose como resultado 5248. halle la

11.Si: . 69 = Hallar: a + b + c + d

Rpta.

12. Si:3 . = Hallar: b + a + c + a

Rpta.

13. Si . 31 = ….7949

Rpta.

14.Hallar el resultado de multiplicar . 83, sabiendo que dicha operación la suma de dos productos parciales es 7414

Rpta.

15.Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto total es 3087.

suma de cifras de N

Rpta.

Rpta.


1. Si: . 9992 = ......... 6578

A) 3 B) 4 C) 6D) 7 E) 5

2. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 35 veces el segundo. Calcular la suma de ellas

A) 18 B) 17 C) 21D) 40 E) 19

3. Hallar el multiplicando de una multiplicación sabiendo que el multiplicador es 32 y que la suma del multiplicando y el producto total es 1386.

A) 11 B) 36 C) 42D) 51 E) 16

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Robert Letourneau”

V.L.E.B.

4. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve hacer la multiplicación, se observa que el producto total se incrementa en 17 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de éste más el multiplicando original es 3420

A) 9 B) 2 C) 9D) 3 E) 8

5. Sabiendo que:724 . m = 2172n . 724 = 1448Hallar la suma de cifras de este producto:

A) 20 B) 21 C) 22D) 18 E) 17

6. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 24 veces el segundo.

A) 90 B) 10 C) 100D) 120 E) 114


41 42

7. Al multiplicar N . 23 se cometió el error de colocar los productos parciales uno debajo de otro, obteniéndose como resultado 435. indicar como respuesta la suma de cifras de N.

A) 8 B) 10 C) 15D) 17 E) 21

8. Hallar: a + b + c x 7 = ...... 5481

A) 16 B) 18 C) 20D) 22 E) 26

9. Si se cumple: x 79 = ............ 753Hallar: a + b + c

A) 15 B) 10 C) 9D) 12 E) 13

10. El producto de 3 números pares es 1920. si cada número se reduce a su mitad. ¿Cuál es el nuevo producto?

A) 810 B) 240 C) 405D) 480 E) 960

CLAVES

1. B

2. D

3. D

4. D

5. A

6. C

7. C

8. B

9. C

10. D

TEMA: DIVISIÓN

Es una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

. D d = q . D = d . q

D : dividendod : divisor; d 0q : cociente

División Entera:Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.

D d r : residuor q

puede ser:1. Exacta (residuo = 0)

Ejemplo: 45 9 45 = 9(5)0 5

En generalD d D = dq0 q

2. Inexacta (residuo > 0)a) Por defecto

Ejemplo: 67 9 67 = 9(7) + 44 7

En generalD d . D = dq + r . ; d Z r q

Donde: 0 < r < dq : cociente por defector : residuo por defecto

b) Por excesoEjemplo: 67 9 67 = 9(8) – 5

5 8En general: D d D = dqe – re dZ+

re qe


43

44

Donde: 0 < re < dqe : cociente por excesore : residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta1. qe = q + 12. rmax = d – 13. r +re = d

Alteración de la división por multiplicaciónEjemplo:

D . 367 9 d . 3 201 274 7 12 7

x3

En generalSi: D d Dn dn

r q rn qPROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Luego de dividir 947 entre su C.A. Hallar la suma del residuo por defecto, el cociente por exceso y el divisor

Rpta.

2. La suma de 2 números es 611, su cociente 32 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los números.

Rpta.

5. Al efectuar una división entera por defecto y por exceso, se observó que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran números pares consecutivos. Hallar el dividendo.

Rpta.

6. En una división inexacta el cociente es 5. pero si al

3. En una división, el dividendo es 497, el residuo por defecto 2 y el residuo por exceso 9. Hallar el cociente.

Rpta.

4. Hallar el dividendo, sabiendo que el residuo por defecto y por exceso son 2 y 5 respectivamente y el cociente por exceso es 40. dar como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta.

dividendo, el divisor y al residuo se triplican. Calcular el nuevo cociente

Rpta.

7. Al dividir el mayor número de 3 cifras diferentes con 4, se obtiene un residuo, el cual por su valor se denomina

Rpta.

8. La suma de dos números es 1043; el cociente que resulta de dividir dichos números es 27 y el residuo el mayor posible. Hallar la suma de las cifras del divisor

Rpta.

9. En una división inexacta el residuo por defecto es la quinta parte del residuo máximo. Si el residuo por exceso es 225, hallar el divisor

Rpta.

10.La suma de los 4 términos de un división es 300, el cociente es 8 y el residuo es

12.En una división inexacta el residuo por defecto es 15 y el residuo por exceso es 9. si el cociente por defecto es 12, calcular el dividendo

Rpta.

13.El dividendo de una cierta división es 55. Si el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor?

Rpta.

14. El dividendo, en una división inexacta, es 2701, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mínimo. Hallar el valor del divisor.


45

46

20. calcular el divisor

Rpta.

11.En una división inexacta, el divisor es 14, el residuo es máximo y el cociente la séptima parte de divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo

Rpta.

Rpta.

15.En un división inexacta, el divisor es el C. A. del cociente, y el residuo es la mitad del cociente Si el residuo es mínimo. Hallar el dividendo

Rpta.


1. Luego de divisor 843 entre su C.A., hallar la suma del residuo por defecto, exceso y cociente por exceso

A) 200 B) 139 C) 415D) 163 E) 162

2. La suma de dos números es 719 si cociente 13 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los números.

A) 623 B) 671 C) 48D) 719 E) 767

3. Hallar el valor del dividendo si:Rd = 4; re = 7; qe = 3

A) 22 B) 24 C) 26

4. Al efectuar una división entera por defecto y por exceso, se observó que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran números consecutivos que van de 3 en 3. Hallar el dividendo

A) 152 B) 166 C) 174D) 186 E) 200

5. En un división inexacta, el cociente es 7, pero si al dividendo, divisor y al residuo se multiplica por 8. Calcular el nuevo cociente

A) 1 B) 4 C) 7D) 8 E) 9

D) 30 E) 14

NO VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIRÉ, NI ME SIGAS, NO TE GUIARÉ; SOLO CAMINA A MI LADO Y SEAMOS AMIGOS.

E. WHITE

6. Es una división inexacta el residuo por defecto es la octava parte del residuo máximo. Si el residuo por exceso es 134, hallar el divisor

A) 151 B) 153 C) 160D) 171 E) 181

7. En una división inexacta, el divisor es el residuo es máximo y el cociente la séptima parte del divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo.

A) 10 B) 12 C) 17D) 22 E) 31

10.Hallar dos números enteros sabiendo que su suma es 3135, y que el cociente de su división es 17, siendo su residuo la tercera parte del divisor. Dar como respuesta

9. El dividendo de una cierta división es 111. Si el cociente es el doble del residuo y el divisor el triple del cociente. ¿Cuál es el divisor?

A) 3 B) 7 C) 18D) 22 E) 25

8. La suma de los 4 términos de una división es 213, el cociente es 7 y el residuo es 3. calcular el divisor.

A) 30 B) 28 C) 27D) 25 E) 22

CLAVES

1. D

2. A

3. C

6. B

7. D

8. D


47

48

49

la diferencia de los dos números

A) 2850 B) 2736 C) 2850D) 2790 E) 2793

4. D

5. C

9. C

10. E

TEMA: RELACIONES BINARIAS

PAR ORDENADOConjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo “a” la 1era

componente y “b” la segunda componente.

TeoremaDos pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivas

componentes son iguales.Así tenemos:

. (a; b) = (c; b) a = c b = d .

!ATENCIÓN! (a; b) (b; a)

Ejemplo:Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar “m + n”

Resolución(2m + 1; 9) = (7; n + 2)

2m + 1 = 7 9 = n + 2m = 3 n = 7 m + n = 10

PRODUCTO CARTESIANOSean los conjuntos no vacíos A y B se llama producto cartesiano de A con

B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B.

Así:A x B {(a; b)/a A b B}

Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}Hallar A x B y B x A

ResoluciónA x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}

B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}Observamos que: A x B B x A

(no es conmutativo)

Propiedades1. El número de elementos de A x B es igual al producto del número de

elementos de A por el número de elemento de B.n(A x B) n(A) x n(B)

2. Si: A x B = B x A A = B3. Notación: A x A = A2

Grafica de un producto CartesianoSea: A = {1; 2; 3} B = {a; b}

Hallar: . A x B y graficar .

ResoluciónA x B = {1; 2; 3} . {a; b} A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

RELACIONESUna idea de relación es:


50

51

Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo}B = {Colombia; Perú; Uruguay}

Y la regla de correspondencia: “........ Es capital de ...........”Entonces podemos establecer el siguiente esquema

Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Perú), (Bogotá; Colombia), (Montevideo; Uruguay)

Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algún elemento de otro conjunto.

Si tenemos los conjuntos no vacíos A y B la relación R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano.

Así tenemos:. R = {(x; y) A x B / x A x B} .

En la relación R de A en B denotado por R: A B.es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y

se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos.

Así: x R y dice que “x” se relaciona con “y” mediante R se puede reemplazar por: >; =; , es el doble de, etc.

Ejemplo: Dados los conjuntos:A = {3, 6, 2} B = {4, 7}

Hallar:A x B =R1 = {(x; y)} A x B / x < y}R2 = {(a; b) A x B / a + b es par}R3 = {(m, n) A x B / m . n es múltiplo de 3}ResoluciónA x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)}R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)}Notación:

R : A B : dondeA : Conjunto de partidaB : Conjunto de llegada

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓNDominio

Es el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relación.Rango

Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.En toda relación hay:a) Un conjunto de partidab) Un conjunto de llegadac) Una regla de correspondenciaEjemplo: Dados los conjuntos A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}Se define la relación R1 de la siguiente manera:R1 = {(x; y) A . B / x < y}Hallar su dominio y rango de R1ResoluciónA . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condiciónx < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente)Así tenemos:R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}LuegoDominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}Rango de R1 = Rang(R1) = {12}RELACIÓN BINARIA

Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B

Notación:R: A B R A x B

DondeR: A B, si lee: “R es una relación de A en B”R A x B; se lee “R esta incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”

Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} B = {1, 2}Hallar: R = {(x; y) A x B / x 2}

ResoluciónA x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Luego:R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}


52

53

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTOA continuación, veamos tres propiedades muy importantes en las

relaciones definidas en un conjunto.

1. Propiedad reflexiva.Se dice que en una relación es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo mismo.

NotaciónR es Reflexiva en A si a A, aRa dicho de otra manera una relación es reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica:

Ejemplo: Qué relación definida en AA = {1, 2, 3, 4} es reflexiva

R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)}R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)}R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)}R1

R2

R3

Resolución

R1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto “A” están relacionados consigo mismo.R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no esta relacionado consigo mismo.

2. Propiedad SimétricaUna relación es simétrica cuando cada vez que a está relacionado en b, entonces b está relacionado con a.

NotaciónR es simétrica en A, si a A; b Aa R b b R aEjemplo:Sea el conjunto A = {1, 2, 3}y R = {(x; y) A . A / x + y es par}ResoluciónA . A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3)

(2; 1); (2; 2); (2; 3)(3; 1); (3; 2); (3;3)}

Los marcados son los que cumplen la condición, luego R es:R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}

3. Propiedad TransitivaUna relación es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a está relacionado con c.

Notación:R transitiva en A, si a, b, c A, a R b b R c a R c

Ejemplo:Si A = {1, 2, 3} y la relación R se define así:R = {(x; y) A2 / x + y = Par}

ResoluciónR = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)}


54

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4. Relación de EquivalenciaUna relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva,Ejemplo:A = {5, 6, 7}, y R es una relación definida de la siguiente manera:R = {(x; y) A2 / x + y es par}

ResoluciónR = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)}Si es Reflexiva Si es Simétrica

Si es transitiva

R es una relación de equivalencia

5. Relación InversaLa relación inversa de una relación dada, es aquella que recorre el camino inverso de la relación considerada.Veamos; Sea: A = {1, 5, 7} B = {2, 3, 4}Y la relación: R = {(1, 4), (5; 2), (7; 3)}Entonces la relación inversa de R, que se denota por R-1 es:R-1 = {(4; 1), (2; 5), (3; 7)}Es decir mientras que: R A x B, se cumple que: R-1 B x A

6. FunciónEs una relación f definida de A en B denotada por f: A B, es una función si y sólo si a un elemento x A, le corresponde un único elemento y B a través de f En general:

. f = {(x; y) A . B / y = f(x)} .

Donde:A = Conjunto de partidaB = Conjunto de llegadaY = f(x)= Regla de correspondenciaAdemás y = Imágenes; variable dependientex = Pre - imágenes, variable independienteD(f) = dominio de la función ó conjunto de todas las pre imágenesR(f) = Rango de la función ó conjunto de todas las imágenes

OBSERVACIONES:SI EL D(F) = A (CONJUNTO DE PARTIDA), ENTONCES LA FUNCIÓN RECIBE EL NOMBRE DE APLICACIÓN. LUEGO TODA APLICACIÓN ES UNA FUNCIÓN, PERO TODA FUNCIÓN ES UNA APLICACIÓN.

Ejercicio 1:Dado A = {1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 9, 10; 12}Hallar:a) f : A B, tal que: y = x + 1 b) D(f) y R(f)

c) DIAGRAMA SAGITAL d) ¿es una aplicación?

Resolucióna)

x y = f(x) = x + 1Pares

Ordenados

1 y = f(1) = 1 + 1 = 2 (1; 2)3 y = f(3) = 3 + 1 = 4 (3; 4)5 y = f(5) = 5 + 1 = 6 (5; 6)

7 y = f(7) = 7 + 1 = 8B

Luego: . F = {(1; 2), (3; 4), (5; 6)} .

b) D(f) = {1; 3; 5}R(f) = {2; 4; 6}


57

58

c)

d) No es aplicación, pues:

. D(f) A .

Ejercicio 2: Dados = {-2; -1; 0; 1; 2} B = {0; 1; 2; 3; 4}Hallar:a) f: A B, tal que: y = x2 b) D(f) y R(f)

c) DIAGRAMA SAGITAL d) ¿Es una aplicación?Resolucióna)

x y = x2Pares

Ordenados

-2 y = (-2)2 = 4 (-2; 4)-1 y = (-1)2 = 1 (-1; 1)0 y = (0)2 = 0 (0; 0)1 y = (1)2 = 1 (1; 1)2 y = (2)2 = 4 (2; 4)

b) D(f) = {-2; -1; 0; 1; 2}R(f)= {0; 1; 4}

c)

d) Sí es una aplicación, pues:. D(f) = A .

GRAFICA DE UNA FUNCIÓNSi: f: A B, es una función, el grafico de f; que se denota por Graf(f), es

el conjunto:

. Graf(f) = {P(x; y) A x B / y = f(x)} .

Es decir, la gráfica de una función de A en B es un conjunto de puntos que se determina en el gráfico del producto Cartesiano A x B

Ejemplo:Si: A = {a; b; c; d; e} B = {1; 2; 3; 4; 5}

Y la función f: A B; definido por: . f = {(a; 3), (b; 2), (c; 4),(d; 1)} .

Su gráfica será:

D(f)= {a; b; c; d} R(f) = {1; 2; 3; 4}

Si: f es una función real, es decir, f: R x R, El gráfico de f es:

. Graf(f) = {P(x; y) R x R / y = f(x)} .


59

60

Que generalmente se representa en el Plano Cartesiano el conjunto de partida en el eje las abscisas y el conjunto de llegada en el eje de las Ordenadas

Ejercicio 1:Sea la función f: R x R, definida por: f = {(x; y)/ y = x + 2}Hallar: a) gráfica b) Dominio y RangoResolucióna) Tabulando:

x y = f(x) = x + 2

-2-101

y = f(–2) = –2 + 2 = 0y = f(–1) = –1 + 2 = 1y = f(0) = 0 + 2 = 2y = f(1) = 1 + 2 = 3

Graficando:

b) D(f) = {x/x R } = <-; + > R(f) = {y/y R} = <-; + >

Ejercicio 2:Sea la función, f: R , definida por: f = {(x; y) / y = x2} Hallar: a) Gráfica b) Dominio y Rango

Resolucióna)

x y = f(x) = x2

-2-1012

y = f(–2) = (–2)2 = 4y = f(–1) = (–1)2 = 1y = f(0) = (0)2 = 0y = f(1) = (1)2 = 1y = f(1) = (2)2 = 4

b) D(f) = {x/x R} = < -; + >R(f) = {y / y 0} 0 [0; >

RECONOCIENDO SI UNA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓNVeamos: Sean los siguientes diagramas que representan relaciones de A

en B.


6162

De las siguientes relaciones mostradas, son funciones I, II, II; no son funciones IV, V, VIEjemplo 1:¿Cuáles de las siguientes relaciones representa una función?R1 = {(1; 2), (1; 4), (3; 2),(5; 4)} R2= {(1; 2),(3; 2), (5; 2)}R3 ={(0; 2), (1; 2), (3; 4)} R4 = {(5; 2), (5;4), (3;2), (1; 4), (5; 7)}

ResoluciónRepresentamos cada relación mediante un diagrama sagital:

Porque del elemento 1 del dominio sale más de una flecha.

Porque de cada elemento del dominio sale sólo una flecha.

Porque de cada elemento del dominio sale sólo una flecha.

Porque del elemento 5 del dominio sale más de una flecha.

Luego: En un diagrama sagital una relación es función cuando de cada punto del dominio sale sólo una flecha


1. Hallar la relación inversa (R-1) enR1 = {(4; 5), (2; 7), (1; 3)}R2 = {(2, 5), (7; 3), (1; 8), (2; 9)}Rpta.

2. Dados los conjuntos:A = {x + 3 / x N 5 < x < 12}B = {8; 9; 12; 14}Hallar A x B e indicar el número de elementosRpta.

3. Dado el conjunto :A = {x / x N; 5 < 2x < 15}Hallar el rango de la relaciónR = {(a; b) A x A / a + b < 9}Rpta.

4. Dados los conjuntos A = {1, 5, 7} B = {3, 4, 5}C = {4, 5, 8}Hallar el n[A x (B ∩ C)]Rpta.

5. Indicar las relaciones que son funcionesR1 = {(1; 2); (3; 3); (4; 5)}R2 = {(2; 5); (2; 7)}R3 = {(1; 7), (1; 4), (3, 10)}R4 = {(1; 3), (2; 4), (3; 4)}Rpta.

6. Dados los conjuntos V = {12, 18, 20, 24}M = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}Hallar la relaciónR = {(x; y) V x M / y = x/2}

a) R = {(12; 6),(18; 7), (24; 11)}

b) R = {(18; 9),(20; 10),(24; 12), (12,8)}

c) R = {(12; 6),(18; 7),(24; 10)}

d) R = {(12; 6),(18; 9), (20; 10), (24; 12)}

e) R = {(6; 12), (9, 18), (10; 20), (12; 24)}

Rpta.

7. Dado: A = {2; 3; 4}, indica la relación que es reflexiva a A

a) {(2;3),(3; 2), (4; 3), (3; 4), (4; 4)}

b) {(2;3),(2;2),(3;3),(4;4),(4;3)}

c) {(2;2),(3;3)(4;3),(3; 4),(4;2)}

d) {(2;4),(2;3),(3;2),(4;2),(2;2)}

e) {(2;3),(3;3),(4;4)}

Rpta.8. Dados el conjunto M = {1; 2;

3} indicar la relación que es 10. En la siguiente función, hallar “a”

F = {(3; 8),(3; a), (4; 5)}


63 64

simétrica en M.

a) {(1;1),(1;2),(1;3),(3;1)}b) {(3;2),(2;3),(3;1)}c) {(1; 3),(1; 2),(1;1)}d) {(1;2),(2;1),(3;3)}e) {(3;2), (2;3),(1,3)}

Rpta.

9. El siguiente diagrama de flechas muestra la relación R entre los elementos de A

Marque la alternativa que indique las propiedades de esta relación

a) Simétricab) Reflexivac) Transitivad) Reflexiva y simétricae) Reflexiva y transitiva

Rpta.

Rpta.

11. En la siguiente función hallar el valor de a + bf = {(6;1-a),(7;b+1),(6;2),(7;4)}

Rpta.

12. Hallar “a + b” si f es una funciónF = {(12; 3a+2), (8; 2b – 3), (8;9), (12;26)}

Rpta.

13. Sea la función f: R R definida por: f = {(x; y) / y = x + 1}Hallar :a) Gráfica b) Dominio y RangoRpta.

14. Sea: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6}f = {(x; y) A x B / y = 2x}Hallar: a) gráfica b) dominio y rangoRpta.

15. Gráfica la función; f(x) = x + 5¿Qué gráfica te resultó?Rpta.


1. Dados los conjuntos:A = {1; 3; 6} B = {2; 4;

4. Dados los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4} B ={4; 5;

7}C = {3; 4; 5; 6}Cuántos elementos tendrá(A - B) x (B – C)

A) 1 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

2. Dados los conjuntos:A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3}Se tiene una relación “R” de “A” en “B”R = {(2; 1) (2; 2) (2; a) (4; 1)(4; b) (4; 3)}Sin ningún par ordenado de “R” está repetido, hallar “a + b”

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

3. Si: “f” es una función; hallar: a + bf = {(2;3),(7;8),(7;a–7),(2;b–13)}

A) 31 B) 14 C) 11D) 15 E) 27

7; 8}¿Cuál de los siguientes conjuntos son relaciones de “A” en “B”?R1 = {(1; 5)(2; 7)(2, 8 )}R2 = {(2, 5)(2; 8)(4; 4)}R3 = {(3; 5)(4; 2)(4; 8)}

A) solo R1 B) solo R2C) R1 y R2 D) R1 y R3E) R2 y R3

5. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relación “R” de “A” en “A”A = {4; 5, 6; 7; 8; 9}B = {(a; b) A x A / b = a + 2}

A) 16 B) 18 C) 19D) 21 E) 22

6. Hallar x“ e “y” para que se cumpla: (x + 7, y) = (12; x + 1)

A) 5 y 6

B) 3 y 6

C) 5 y 4

D) 5 y 7

E) 4 y 6

7. Sea el conjunto;:A = {2; 3; 4; 5; 8; 10} y la relaciónR = {(a; b) A x A / a + b =

10.Sea la función, f; R R definida por:f = {(x; y) / y = 2x + 1}


65

66

12}Hallar la intersección del dominio y el rango de la relación (DomR ∩ RanR)

A) {2} B) {2,4} C) {2,4,8}

D) {10} E) {2,4,8,10}

8. De las siguientes relaciones indicar la que es función

A) R1 = {(1; -7),(2; -7),(3; 5)}

B) R2 = {(3; -7), (3, -3), (2; 5)}

C) R3 = {(1; 5), (2; -3),(2; -7)}

D) R4 = {(2; -5),(2; -7),(2; -3)}

E) R5 = {(2;3),(5;1),(5;-7)}

9. El siguiente diagrama sagital representa a una función de A en B. Hallar (a + b)

A) 12 B) 11 C) 13D) 5 E) 2

A)

B)

C)

D)

E)

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. C

5. E

6. A

7. E

8. A

9. D

10. B

TEMA: PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

PROGRESIÓN ARITMÉTICAEs aquella sucesión de términos que se caracteriza por ser cualquier

termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razón (r)

Representación


67 68

a1 . a2 . a3 . .............. an a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)5

Elementos de P.A. Inicio de la P.A an término enésimoa1 primer término r razón de la P.A . separación de términos Sn Suma de n primeros términos

CLASES DE P.ADe acuerdo a la razón:Si r > 0 P. A. CrecienteSi r < 0 P. A Decreciente

Propiedades1. Calculo de la razón:

Sea a1 . a2 . a3 . ................ . anr = a3 – a1En general: . r = an – an – 1 .

2. En total P.A la suma de los términos equidistante de los extremos son iguales.

3. Para hallar un término enésimo último cualquiera

. an = a1 + (n - 1) . r .Ejemplo: Hallar el 15avo termino:

3 . 5 . 7 . 9 ...............

ResoluciónUsemos: an = a1 + (n – 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2Reemplazando

a15 = a1 + (15 - 1) . ra15 = 3 + (14) . 2a15 = 31

4. Términos central de una P. A

. ac = .

Existe cuando “n” es impar

Ejemplo:Hallar el término central

Resolución

ac = , tenemos que hallar an

a15 = 3 + (15 - 1) . 3a15 = 45

Por tanto:

ac = ac = 24

5. Suma de una P. A

Sn = . n

Ejemplo:Hallar “S”

S =

S17 = . 17

Hallar a17 = ?a17 = 2 + (17 - 1) . 2a17 = 2 + 16 . 2 a17 = 34

Luego:

S17 = . 17

S17 = 18 . 17


69 70

S17 = 306Además: Si n es imparEntonces Sn = ac . n

OBSERVACIÓN:EN LA PRACTICA, PARA REPRESENTAR A UNA P.A a1 . a2 . a3 . …….. . an

SE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMA: a1, a2, a3 . ……… , an

COMO VERÁS SE REEMPLAZA LA COMA POR EL PUNTO

PROGRESIÓN GEOMÉTRICAEs una sucesión de términos en la cual un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q)Representación: t1: t2: t3: t4: ........: tn t1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1

OBSERVACIÓN:RESULTA MUY INCOMODO TRABAJAR CON TODOS LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTA A UN P.G POR LO TANTO UTILIZAREMOS A ESTA SUCESIÓN NUMÉRICA.

Elementos de la PG. inicio de la PG. t1 primer término (t1 0) : separación de términos q razón geométrica (q 0)tn términos enésimoSn suma de “n” primeros términos Pn producto de los “n” primeros términosClases de PGSi q > 1 PG es crecienteSi 0 < q < 1 PG es DecrecienteSi q < 0 PG es OscilantePropiedades1. Calculo de la razón (q)

Sea la PG t1: t2: t3: ........... : tn

q = =

2. Calculo del termino enésimo de un PG.

. tn = t1 . qn- 1 .Ejemplo:Hallar 9no término en

........

Resolución Halando la razón:

q = q = 3

Calculando el t9

tg =

tg = tg = 34

tg = 81

3. En total PG. El producto de los términos equidistantes de los extremos es igual

4. Termino central de una PG.

. Tc = . n impar

Cuando el número el términos (n) es imparEjemplo:Hallar el término central


71

72

ResoluciónTc =

Hallando t15:t15 =3 . 215 – 1

t15 = 3 . 214

Reemplazandotc = = = = 3 . 27

= 3 . 128 . tc = 384 .

5. Suma de una PG de un término

. Sn = .

Ejemplo: Sumar:

ResoluciónHallándose la razón:

q = q = 3

Hallándose la suma de términos

S10 =

S10 =

S10 =

S10 = 121, 5

6. Producto términos de una PG.

. Pn = .

Si: n impar . Pn = .

Ejemplo:Hallar el producto de términos de:

ResoluciónHallamos la razón

q = q = 2

Hallando t14.

t14 =

t14= t14 = 26

Ahora:

P14 =

P14 =


7374

P14 = . P14 = .

7. Suma Limite:Suma de todos los términos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene así:

SLim = ; Si –1 < q < 1

Ejemplo:Calcular

S =

Resolución:Hallando la razón

t1 = q = q = q =

Como S = reemplazamos

S =

S =

OBSERVACIÓN:PARA HALLAR UN TÉRMINO CUALQUIERA SE PUEDE APLICAR LAS SIGUIENTE FORMULAS GENERALES .EN UNA PA: EN UNA PG . ax = ay + (x - y) . r . . Tx= ty . q .


1. Se sabe que en una P.A el término que ocupa el lugar 12 es 30 y que la razón es 2. hallar el primer término de la progresión

Rpta.

2. Calcular el término que ocupa el lugar 15 es la P.A1, 8, 15, 22, ....................

Rpta.

3. En una PG. El término que

5. Se sabe que en una P.A el término que ocupa el lugar 15 es 59 y el término que ocupa 37 es 147. hallar la razón de la progresión (hacer por 2 métodos)

Rpta.

6. Dado: t = 72 y q = en una P.G., obtener el t8

Rpta.


75

76

ocupa el quinto lugar es 36 y la razón es 2. hallar el primer término de la progresión

Rpta.

4. Calcular el término 24 de la PG.

Rpta.

7. Se desea saber el número de múltiplos de 6 que hay entre 7 y 409.

Rpta.

8. Hallar el termino de lugar 15 de la progresión geométrica

Rpta.

9. Se sabe que en una P.A el término que ocupa el lugar 4 es –3 y que la razón es 5. Se desea saber el valor del noveno término de la progresión

Rpta.

10.Calcular el producto de los 6 primeros términos de la PG.1, 3, 9, ...............................

Rpta.

12.Hallar la suma de las 20 primeros términos de la PA2; 6, 10; 14; ....................

Rpta.

13.¿Cuántos términos hay que tener en la PA. 1, 6, 11, ....... para que la suma sea 540?

Rpta.

14.Una PG. Tiene como primer termino igual a 1 y razón igual a 2. hallar la suma de sus 12 términos

11.Calculemos la suma de los 5 primeros términos de la PG.

, 1, 4, ......................

Rpta.

Rpta.

15.Hallar S:

S = 20 + 4 +

..........

Rpta.

16.Obtener la suma de una PG. Ilimitada de razón 2/3 y cuyo primer término vale 6

Rpta.

17.Hallar, el término de lugar 60 de la PA.

Rpta.

18.Hallar el octavo termino de la PG1, 2, 4, 8, .............

Rpta.

19.En una PG el primer término vale 3 y la razón vale 2, hallar el termino de lugar 10

Rpta.

20.Una P.A tiene 41 términos y su termino central vale 11. ¿Cuánto vale la suma de los 41 términos?

Rpta.

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA


77

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79

GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA


1. Hallar el término de lugar 26 de la PA.-7, -3, 1, ..................

A) 20 B) 33 C) 47D) 68 E) 93

2. Obtener el término a46 en una P.A sabiendo que: a25 = 15 y r = -2

A) 42 B) -27 C) 39D) –15 E) 57

3. Se desea saber el número de múltiplos de 4 que hay entre 51 y 496

A) 100 B) 107 C) 111D) 112 E) 115

4. En una PA. Tiene 127 términos y su término central vale 21. ¿Cuánto vale la suma de los 127 términos?

A) 2667 B) 2680 C) 2740D) 2560 E) 2840

5. Tres números consecutivos están en PA. de razón igual a 6. si la suma de estos números es 141. Hallar el CA del mayor número

A) 53 B) 47 C) 41D) 54 E) 59

6. El séptimo término de una PG. Vale 243 y la razón 3; hallar el 1er termino

A) 3 B) 1/3 C) 1/6D) 1/9 E) 1/2

7. En un PG se sabe que a15 = 515 y a10 = 20, hallar la razón de la progresión

A) 45 B) 90 C) 99D) 60 E) 30

8. Sabiendo que a1 = 7 y r = 3, hallar la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica

A) 120 B) 205 C) 301D) 45 E) 195

9. Hallar el producto de los 9 primeros términos de un PG si sabemos que el termino central vale 2.

A) 2048 B) 1024 C) 855D) 512 E) 110

10.Calcular el valor de “S”S =

A) 1 B) 1/2 C) 1/4D) 1/8 E) 2

<

CLAVES

1. E

2. B

3. D

4. A

5. B

6. B

7. C

8. B

9. D

10. B

ÍNDICE


80

80

PÁG.

NUMERACIÓN........................................................................................ 7

SUMA.................................................................................................. 23

RESTA................................................................................................. 30

MULTIPLICACIÓN.................................................................................... 37

DIVISIÓN.............................................................................................. 42

RELACIONES BINARIAS............................................................................ 48

PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA............................................... 67


aritmética 4

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