Aritmética y algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Aritmética y Algebra

Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO

TACNA - PERU

CEPU 2011

-II

ii Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitariode la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema dealmacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cual-quier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universita-rio

Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.

CEPU 2011

-II

Indice iii

INDICEPäg.

ITEORÍA DE CONJUNTOS1. Conjunto 12. Relación de pertenencia 13. Determinación de conjuntos 14. Clases de conjuntos 15. Relaciones entre conjuntos 26. Representación grafica de conjuntos 37. Operaciones entre conjuntos 4

Problemas resueltos (conjuntos) 6Problemas propuestos 13

IISISTEMA DE NUMERACIÓN1. Base de un sistema de numeración 152. Sistema decimal: 153. Principales sistemas de numeración 154. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 165. Escritura literal de los números 166. Número capicúa 167. Descomposición polinómica de un número 168. Descomposición en bloques 179. Conversión de números a diferentes bases 1710. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 1911. Casos especiales de conversión. 19Problemas resueltos (sistemas de numeración) 20Problemas propuestos 25CUATRO OPERACIONES 261. Suma o adición 262. Resta o Sustracción 263. Multiplicación 284. División: 28

Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29Problemas propuestos 34

CEPU 2011

-II

iv Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROSI. DIVISIBILIDAD: 36

1) Divisibilidad de Números: 362) Notación y representación de los múltiplos de un número: 363) Operaciones y Propiedades: 374) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 375) Criterios de divisibilidad 40

II. NÚMEROS PRIMOS 431. Conceptos Básicos 432. Teorema Fundamental de la Aritmética 453. Estudio de los Divisores de un número entero (N) 45

III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 461. Máximo Común Divisor (MCD) 462. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 483. Propiedades de MCD y MCM 494. Casos especiales 49

Problemas resueltos (propiedad de los números) 50Problemas propuestos 56

IVNÚMEROS FRACCIONARIOS1. Clasificación 58

A. Por comparación de sus términos 58B. Por su denominador: 59

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 613. Número Decimal 61

Problemas resueltos (números fraccionarios) 63Problemas propuestos 70

VRAZONES Y PROPORCIONESI. RAZONES 72II. PROPORCIONES 72

Proporción Aritmética 72Proporción Geométrica 73

Promedio: 74Propiedades 75Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) 76Problemas propuestos 85

CEPU 2011

-II

Indice v

VIREGLA DE TRES1. Regla de 3 simple: 872. Regla de 3 Compuesta 88PORCENTAJES 89Aplicación: 90

Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91Problemas propuestos 97

VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES YVALOR NUMÉRICOTeoría de exponentes 99Leyes de exponentes 99Ecuaciones exponenciales 101

Problemas resueltos 101Problemas propuestos 108

VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,PRODUCTOS NOTABLES.2. Grado de expresiones algebraicas 1103. Polinomios especiales 1114. Operaciones con expresiones algebraicas 112Productos notables 112

a) Binomio al cuadrado: 112b) Producto de una suma por su diferencia 112c) Binomio al cubo 113d) Trinomio al cuadrado 113e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113

o diferencia de cubos. 113f) Producto de dos binomios que tienen un término común 113g) Identidades de Legendre 113h) Identidades de Lagandre 113


CEPU 2011

-II

vi Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLESI. División algebraica 122Definición 122Casos de la División: 122Método de Ruffini 124Teorema del resto 124Cocientes notables 124Determinación de un termino cualquiera de un C.N. 125


XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOSFactorización 134Métodos de factorización 1341.- factor común 1342. Método de identidades 1353. Método del aspa 136

a) Aspa simple 136b) Aspa doble 137

4. Método de divisores binomios 1385. Método de artificio de calculo 139

a) Reducción a diferencia de cuadrados 139b) Método de sumas y restas 140c) Cambio de variable: 140


XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓNI. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147II. Fracciones algebraicas 147III Simplificación de fracciones 148

Operaciones con fracciones algebraicas 148* suma y resta: 148* multiplicación y división : 148

Problemas resueltos 149

CEPU 2011

-II

Indice viiProblemas propuestos 156

XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONESI. Radicación de expresiones algebraicas 158

Leyes de signos 158Raíz de un monomio 158Raíz cuadrada de un polinomio 159Radicales dobles 160Racionalización 161

II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164III. Ecuaciones 166

Clasificación de las ecuaciones 166Ecuaciones de primer grado 167Ecuaciones de segundo grado 167Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado 168Propiedades de las raíces 168Formación de una ecuación de segundo grado.- 168

IV. Desigualdades e inecuaciones 168Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones: 168


XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESValor absoluto 180Relaciones 1821. Pares ordenados, producto cartesiano 1822. Relación 1823. Dominio y rango de relaciones 1834. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183Funciones 1831. Funciones: 1832. Dominio y rango de una función 1843. Gráfica de funciones 185Composición de funciones 187

Problemas resueltos 187Problemas propuestos 189BIBLIOGRAFÍA 191

CEPU 2011

-II

PRESENTACIÓNEl Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Groh-

mann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje desus autoridades y un grupo de docentes

Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-dad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante es-fuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero cree-mos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora teplanteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo

Ing. Salomón Ortiz QuintanillaJefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG

CEPU 2011

-II

- 1 -

ITEORIA DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO

Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-junto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:

upecA ,,,2. RELACION DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.

Ejm: Si edcbaA ,,,,

Ag Af Ac Aa

3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y ca-da uno de sus elementos.

Ejm: Si 4,3,2,1A

b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Ejm: Si 4, xxxA

4. CLASES DE CONJUNTOS

b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.

AU

g f

a bd ce

CEPU 2011

-II

2 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG

Ejm:

5

6x4,

A

xxA

c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.

Ejm:

A

xxA 5x4,

d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-de contar desde el primero hasta el ùtlimo.

Ejm: 501,.....,5,4,3A

501x3,xxA

e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado

....9,8,7,65xNx

A

f) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra U.

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B BA ,cuando todo elemento de A, pertenece a B.

Ejm: Sea 6,43,

6,5,4,3,2,1

B

A

Luego AB pero BA

CEPU 2011

-II

Teoría de Conjuntos 3

b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-mentos.

Ejm: Sea c,b,3,

3,c,b,

aB

aA

C = 4,3,2,1

Luego BA pero CA

c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienenningún elemento en común.

Ejm: 8,76,5,

4,3,2,1

B

AA y B son disjuntos

d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que espotencia del conjunto A.

Ejm: Si: A = 4,3,2 Hallar la potencia del conjunto A.

Entonces

AdelsSubconjuto

,4,3,2,4,3,4,2,3,2,4,3,2)A(P

Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23 = 8 subconjuntos

=>

Donde:n(A): número de elementos A

6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS

Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses,rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-

número de subconjuntos de A=2n(A)

CEPU 2011

-II


tos dados.

A BU

ab dc

c

e

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión B)(A : Conjunto que tiene como elementos a aquellos quepertenecen al conjunto A y/o a B.

B x AxxBA

Propiedad:

BAB*

BAA*

ABBA*

b) Intersección ( BA ): Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

B xA xxBA

Propiedad:

B)A(B)(A*

BB)(A*

AB)(A*

ABBA*

c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.

B xA xxBA

A BU

A BU

CEPU 2011

-II


Propiedad:

AB)A(B)(A*BB)(A*AB)(A*

ABB*A

d) Diferencia Simétrica (AB): Conjunto que tiene como elementos aaquellos que pertenecen al conjunto ( BA ) pero no al conjunto( BA ).

BA xBA xxBA

Propiedad:

A A*BAB AdisjuntossonB A ySi*

)BA(B)(A*ABB A*

e) Complemento de un conjunto (A’), (Ac): Conjunto cuyos elementos per-tenecen al universo pero no al conjunto A.

A x UA' xx

Propiedad:

U'*

A)'(A'*

A'A*

UA'A*

Observación:

'')'(*

'')'(*

BABA

BABA

A BU

A BU

U A

A’

CEPU 2011

-II


Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene unconjunto

* B)n(An(B)n(A)B)n(A *

)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)

1. Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa:A) {2} A B) {{2}} A C) 3 A D) {1,3} A E) {1, {2}} A

Sol.

Elementos1

{2}3

En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.

Entonces: {2} A es verdadero {{2}} A es verdadero 3 A es verdadero {1,3} A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A. {1, {2}} A es verdadero

Rpta.: ( D )

2. Sea 331 2 mZmmxM . Determinar el cardinal deP(M).A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24

Solución: Si m = -3 x = (-3+1)2 = 4 Si m = -2 x = (-2+1)2 = 1 Si m = -1 x = (-1+1)2 = 0 Si m = 0 x = (0+1)2 = 1 Si m = 1 x = (1+1)2 = 4 Si m = 2 x = (2+1)2 = 9

CEPU 2011

-II


Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}

1622

4

MnMPn

Rpta.: A

3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-tas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personasleen periódicos?

A) 24 B) 27 C) 31 D) 35 E) 3972

5

2

3x12

6 x

15Libros

Revistas (25) Periódicos

De la fig:12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72

25 + 4x + 15 =724x = 72 – 40

4x = 32x = 8

leen periódicos:7 + 4x = 7 + 4 x 8= 7 + 32 = 39

Rpta.: (E)

4. Si :

0145

2xxZxA

¿Cuántos elementos tiene P(A)?A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3

CEPU 2011

-II


Sol.:x2 + 5X – 14 = 0

( x + 7 ) ( x – 2 ) = 0x = -7 x = 2

A = {-7 , 2}

422

)( APnRpta.: (B)

5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos:

01

11

1

06

2

2

xxRxA

x

xRxB

xxRxA

Son unitarios?A) A y B B) A y C C) B y C D) Sólo A E) Sólo BSol.:

*

023

06

062

xx

xx

xx

23 xx

4x R*

11

111

1

11

1

11

1

2

2

xxx

xx

xx

x

CEPU 2011

-II


2x R

*

Rx

x

xx

2

311.2

1.1.411

012

CRpta. : A

6. Si: Zy,Zxyx20yxyxA 222 ,,

Hallar el número de elementos del conjunto A.A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Sol.:*

245

045

020

20

20

22

22

24

222

222

yyy

yy

yy

yy

y xyx

no

Si : y = 2 x = 4y = -2 x = 4

A = { (4,2) (4, -2)}

n(A) = 2Rpta. : ( C )

7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

CEPU 2011

-II


A B

C

A) (AB) - C B) C(AB)’C) (AB) - C D) ABCE) (AB) C’

Sol.:

A

8

B

C

14 7

3 62

5

U

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}

Parte sombreada = {2, 6}

* (AB) – C = ???AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}(AB) – C = {1, 4, 5, 7} No

* (AB)= {3, 4, 5}(AB)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (AB)’ = {2, 6} Si

Los demás no son.Rpta. B

8. Si: AB y AD=

CEPU 2011

-II


Simplificar: DABBDA ''

A) AB B) A C) B D) E) D BSol.:Gráficamente:

U

A

BD

Entonces: DABBDA ''

BB

ABBA

'

Rpta. ( C )

9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos

de C = P(A) P(B) es 12.* Si 1n1-Z,n1nA 2 entonces el n(A) es 3* Si AB = , entonces A = B =

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVVSol.:* Como: n (A) = 2 n[P(A)] = 22 = 4

n(B) = 3 n[P(B)] = 23 = 8

Para que P(A) P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.

Falso11184

1PmPnn BAC

)()()(

* Determinación de A:

CEPU 2011

-II


,- A,,

nZnnA

01010

111011

111

222

2

,,

;

n(A) = 2 Falso

* AB = cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto nonecesariamente A = B =

FalsoEn conclusión es: FFFRpta.: B

10. Para a, b Z ; F y G son conjuntos tales que G . F G es un conjuntounitario:F = {a2 + 2b , b2 + 1} yFG = {a + 4b , b + 1 – 3a}Hallar FBA) B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}

Sol.:

Si FG es unitario, entonces F también es unitario, así:a2 + 2b = b2 + 1a = b - 2b + 1a = ( b - 1 )

2 2

2 2

a = b-1 ......... 1

a = -b + 1 ......... 2Además, de FG:a + 4 b = b + 1 – 3a 4a + 3 b = 1 …………….

de

27

134333

75

72

ba

a

baba

No cumple las condiciones dadas a, b Z.

CEPU 2011

-II


de y :

1023

1314

GFab

bb

Rpta.: ( C )

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguencon la mirada la clase en la pizarra?A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losque practican únicamente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17

3. Sean los conjuntos 4;3;2;1A y 3;2B entonces se dice que Ay B son:

A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.

4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gus-tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzanay piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas en-cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.

5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la

CEPU 2011

-II


matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hom-bres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeresque no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la ma-temática?A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.

6. Si: 4;3;2;1A . El enunciado verdadero es:

A) )(4 AP B) A2 C) A3;2 D) A3 E) A2;1

7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que ZYX . Simplificar: )()()()( XYZYXZYZX A) X B) Z C) Y D) U E)

8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguenAritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno detales cursos.

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26

9. A y B conjuntos tal que: 17)( BAn ; 256)( BAPn ;

4)( ABPn ; Hallar: BAPn (A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32

10. Dado los siguientes conjuntos iguales: 1;1

2;4

27;8

2;1

yzD

yC

xB

xxA

Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

CEPU 2011

-II

- 15 -

IISISTEMA DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, conel fin de buena lectura y escritura de los números.

1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓNSe llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman paraformar una unidad del orden superior.

Ejem. )(nabcd SistemadelBase:n

2. SISTEMA DECIMAL:Cuando la base del sistema es diez

Ejm: 3524

3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES23456789

101112...

BinariosTernarioCuaternarioQuinarioSenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal...

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β...

α =10β=12 =12

.

.

.

CEPU 2011

-II


4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-CION

Base 10: 345, 32 etcBase 2 : 10(2), 1101(2) etcBase 6 : 321(6), 4251(6) etcBase 12: 97(12), 59 (12) etc

5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS

:ab número de 2 cifras (10, 11, .........., 99) :abc número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999) :aa número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99) :27ab número de 4 que comienzan en 27.

6. NÚMERO CAPICÚA:Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenigual por ambos lados” .

Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc

7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-fras de dicho número.

Sea: cifrasm

xyz.......abcdN (n)

Descomponiendo en forma polinómica es:

znynxncnbnaNmmm

............2321

Ejm:* 3123(4) = 3 x 43 + 1 x 42 + 2 x 4 + 3

* cnbnaabc n ..)(2

* babaab 1010.

CEPU 2011

-II

Sistema de Numeración 17

8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:Se llamará “bloque” a un grupo de cifras.Ejm.

Descompongamos abcd en bloques

cdababcd 2

10. Descompongamos abab en bloques

cdababab 2

10

9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASESa) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-

cimal)Ejm: Convertir 321, al sistema decimal

Por descomposición polinómica321(5) = 3x52 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86321(5) = 86

Por Ruffini

5

3 2 1

15 85

3 17 86

321(5) = 86

b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n”Ejm:

Convertir 329 al sistema quinario Por divisiones sucesivas

32’9655

55

51515

1310

302925

4 03

2

)(52304329

CEPU 2011

-II


c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde.10 mn

- El primer paso, es transformar la base “n” a base 10.- El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”

Ejm: Convertir 341 (5) a base 3

- 341 (5) = 3x52 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96 341(5) = 96-

96=10120(3)

9696 32

30 10 9 3

3

33

330

21 1

0

341(5) = 10120 (3)

Reglas Prácticas Todas las cifras son menores que la base: cifra < Base

Ejm: )(823 ba 8b8 a Si un número se expresa en dos sistemas distintos:

341(5) = 10120(3)

Vemos que:A número Mayor Base Mayor

A número Menor Base Menor

Es decir: 203(n) = 104 (m) => n < m

Base n Base m

Base 10

CEPU 2011

-II


10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUELA UNIDAD

CASO 1: De base “n” a base 10

43210

ndncnbnaabcd n ...., )(

Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10

0,32(4) = 3 x 4-1+2 x 4-2

8

7

16

14

16

2124

2

4

32

875,032,0 )4(

CASO 2: De base 10 a base n

Convertir: 0,390625 a base 4

Se multiplica sólo la parte decimal

0.390625 x 4 = 1,56250,5625 x 4 = 2,250,25 x 4 = 1,00

(4)0,1210,390625

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.

a) De base n a base nk

Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a par-tir de la derecha

CEPU 2011

-II


Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8

Vemos que 8 = 23 ; se separa en grupos de 3 cifras

Base 2: )(2532

10101110

Base 8: 235(8)

b) De base nk a base nDado el número en base nk de cada cifra se obtiene k cifras al con-vertirse a base n.

Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2

101

5

010

2

011

3

325 (8) = 011010101 (2)

PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)

1. ¿Cómo se representa )(234 n en base (n-1)?

A) 297 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287

Sol.:

1° Transformamos )(234 n a base decimal.

4.3.22342

)( nnn

2° El número 4322

nn transformamos a base n-1

CEPU 2011

-II


2n + 3n + 4 n - 1

- 2n + 2n 2n + 5 n-1

5n + 4 -2n + 2 2

- 5n + 5 7

9

2

2

)(234 n = )1(279 n Rpta. : B

2. Si : 850)( nabab ; hallar : (a + b) . n

A) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15

Sol.: 850)( nabab

850)1()(

850)(

850

2

2

23

nban

babbann

banbnan

( + ) ( +1) = 17 50an b n2 x

n a b= 7 = 2 = 3

(a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

Rpta.: ( D )

3. Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impa-res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

CEPU 2011

-II


Sol.:

0)3(01224

12882144

1)12(22)12(

201102

22

22)12()12(

nnnn

nnnn

nn

nn

3n

entonces: 51249102102 )7()12( n

615 cifras Rpta. D

4. La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el númeroprimitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?

A) 2025 B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916

Sol.: Sea el número ab

Entonces: problemadeldatos9

9

abba

ba

11

99910910

baabab

baababpba

Por tanto: a = 5 b = 4

Finalmente: 29165422 ab Rpta. E

5. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?

CEPU 2011

-II


A) 10 B) 15 C) 30 D) 25 E) 20

Sol.: Por dato, tenemos:

)(1234 nabc

Entonces:

3534,,.......13,12,11,nn10,.....35nn12341234n

n1234n

nabcn

1000abc100

32

32

3n

2

nnn

.....,

)(

)()()(

número de términos = 251

1035

Rpta : D

6. Si: )()()( 888 cba2abc . Hallar a + b + cA) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

Sol.:

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

888

888

88

888

abccbaabccbaabcabc

cba2abc

cba2abc

Por propiedad:b = 7a + c = 7 a + b + c = 14 Rpta. C

7. ¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

;6b5y7a3;545 (a)(8))(b

A) 252 (6) B) 545 (6) C) 209 (6) D) 134 (6) E) 425 (6)

CEPU 2011

-II


Sol.: Analizando tenemos:

b8ab5

;6b5y7a3;545 (a)(8))(

ab

Obtenemos: 5 < b < a < 8b= 6 a = 7

Luego:

* menornúmero20956.46.55452

)6(

* 50738.78.7372

)8( a

* 34157.67.6562

)7( b

209 = 545 (6) Rpta. B

8. Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-cia de sus cifras.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Sol.:

Por dato :baba

baab6610

)(6

4 = 5a b

a = 5b = 4 a – b = 1 Rpta. A

9. Una persona nació en el año ab19 y en el año 1985, tiene (a + b) años.¿En qué año tendrá ab años?A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000Sol.: Por dato:

47

211851019001985

191985

191985

ba

bababa

baab

baab

CEPU 2011

-II


200228197419 abab Rpta. C

10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n)A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

Sol.:Analizando:

8 < m 4 < n además n < m

Entonces: 4 < n < m m > 8 m = 9

n = 5

m – n = 4 Rpta. B


1. Se sabe que: )8()( 162 bba c . Calcular: a + b + c.A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13

2. El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si elnumeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de mul-tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n

3. Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15

4. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 enlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420

5. La base del sistema de numeración en que )4)(2( ccc se escribe

CEPU 2011

-II


con tres cifras iguales es:A)8 B)4 C)5 D) 7 E) 11

6. Si )9()( 1cmaba c Calcular el valor de b sabiendo que m>5.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

7. Si ;0000 nnmmnn calcular nm expresado en base 5.A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32

8. Hallar “a + b + c”. Si:)()9( 722 caba

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

9. Si se cumple que: TAMET .Calcular TEAMEA) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.

10. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-nas?A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48

CUATRO OPERACIONES

1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantida-des en una sola.

Sumandos

naaaaS ......321

2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.

Suma Total

CEPU 2011

-II


Propiedad:

M+S+D=2M Si: mnpcbaabc

Se cumple que:

n = 9m + p = 9

Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste serigual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.

Ejm.C.A. (45) = 100 – 45 = 55C.A. (950) = 1000 – 950 = 50C.A. ( abc ) = 1000 – abc

En general:

C.A. xyz......abc10)xyz.........abc( m

cifrasm

Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, serestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.

Ejm: C.A. 694782830521

109

)(

C.A. 3686109

)(

C.A. ( abcd ) = ))()()(( dcba 10999

M – S = D

Minuendo SustraendoDiferencia

CEPU 2011

-II


3. Multiplicación: Operación donde:Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercerallamada producto.

4. División:

D: Dividendod: divisorc: cocienter: residuo

También

Clases de División:b) División exacta: Cuando el residuo es cero

Ejm.

c) División Inexacta: Por defecto:

Donde 0 < r < d

D__

r

d

D = dc + r

D__0

d

c

D = dc

880

4

2

8 = 4 x 2

D__r

d

c

D = dc+r

a x b = P

Multiplicando MultiplicadorProducto

CEPU 2011

-II


Ejm.

Por exceso:

Donde 0 < re < dEjm.

Propiedad:

1° : r + re = d2° : rmax = d – 13° : rmin = 1

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)

1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8

Sol.

M – S = D M – 5 – (S + 3) = DifM – S = X M – 5 – S – 3) = Dif

M – S – 8 = Dif

X – 8 = Dif .

Rpta. ( e )

3836

2

6

6

38 = 6x6+2

D__re

d

c+1

D = d(c+1) – re

3842

- 4

6

6+1

38 = 6(6+1) – 4

CEPU 2011

-II


2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál esla suma de sus cifras del producto de dichos números?

a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16

Sol. Sean los números a y b

Por dato:

a + b = 56 ...... (1)

además: c = 5 y residuo = 2

D = dc + rA = 5b + 2 ........... (2)

De (1) y (2):

a + b = 565b + 2 + b = 566b = 54

b = 9 a = 47

47 x 9 = 423

9324cifrasRpta. ( b )

3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810

Sol.

Tenemos la suma:

CEPU 2011

-II


016..........

sumandos40

77777...7................................

7777777777

En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.

Rpta. (a)

4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lasuma de las cifras del dividendo y del divisor.

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29Sol: Sean abc y de los números

*

abc de

25 1125de.11abc ... (1)

*

abc de

19

1000 - 1000 -7

19)de100(7abc-1000 ..... (2)

Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19

4 de = 256

de = 64

Entonces: 729abc

2892746cifras Rpta. (d)

CEPU 2011

-II


5. Hallar la suma de las cifras del producto:

cifras4099....999438P

a) 360 b) 270 c) 180 d) 90 e) 450

Sol.

Dando forma a P:P = 438 x ( 1........001000

cifras40 )

P = 438 43800...0000cifras40

Entonces:43800 ... 0000 –

438

cifras3799562...99437

Portando:

26527x9734cifras= 360

Rpta. (a)

6. Halle a+b+c+m+n , si9

nmmmm2abc

a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23

Sol.

9nmmmm2abc

mmmm = 9. 2abc

Es decir:mmmmn

9x2cba

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)

* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 18m

* 9xc+1=??? Debe terminar en 83c

* 9xb+2=??? Debe terminar en 84b

* 9xa+3=??? Debe terminar en 85a n = 4

CEPU 2011

-II


7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandosestán en progresión aritmética.a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824Sol.

Por def. de P.A.:

30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n)3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n

n = 8

Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109

1216S

19.210919S

195

14109términosde#

Rpta. (b)

8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28Sol.

Sea: P = a x b

Por dado: (a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5499a + 9b = 468a+b = 52

Entonces:

70a218b-a52ba

a = 35 b = 17 Rpta. (d)

9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.

CEPU 2011

-II


¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números?a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103Sol.

Sean a y b los números ( a > b )2a = 60000 a = 30000además 30000 – b = 14560 b = 15440Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)

10. Si mnp4baab4 y 4wbaab , entonces 2ª + 3b es:a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21Sol. De: 4wbaab se obtiene

10a + b – 10 b – a = 10 w + 49a – 9b = 10w + 49(a – b) = 10w + 4Tanteando: a – b = 6 w = 5

cumple)(no39cumple)(si28cumple)(si17

5 w6b-a

Además mnp4baab4 n = 9 m + p = 9Reemplazando:

2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22

Rpta. (a)


1. Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, re-sulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

2. Hallar a+b+c+m+n Si:

cbamnabc 1 , dondeca

b

b

ca

A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28

CEPU 2011

-II


3. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma desus cifras.A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13

4. Calcular la suma de las cifras del producto:)99...999)(77...777(

1010

cifrascifras

A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 772

5. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciaren ellas el contenido de un barril de 225 litros.A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.

6. El cociente del producto de tres números consecutivos, entre susuma es 16. El número intermedio es:A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. Si )()(1234.. nn abcdAC y 40032 )6( n

Hallar dcba A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

8. La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuen-do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634

9. El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721

10. Si TRESSIETECA )( . Calcular )( SIESCA A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16

CEPU 2011

-II

- 36 -

IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROS

I. DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.

1) Divisibilidad de Números:Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuocero.

- Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo- Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número

entero positivo.

2) Notación y representación de los múltiplos de un número: Si A es múltiplo de B lo representamos:

A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}

A =oB (notación Leibniz)

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopor defecto:Ejm.

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuandoestá contenido un número entero y exacto de veces.Ejm: Los divisores de 6 son:

61

236

A__r

B

c

A = B.c + r

A =oB + r

CEPU 2011

-II

Propiedad de los Números 37

3) Operaciones y Propiedades:

aaaooo

* Si : 5a =o7 => a =

o7

aaaooo

* Si : 21a =o

35

aaaooo

3 a =o5 => a =

o5

00aka

aaoko

entero

aao

babaooo

.

Ejm: 2623142o

6

4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales

a) Sabemos por álgebra que:

2o22

o2

oo222 babababaabab2aba

3o33

o3

ooo32233 babababaaabab3ba3aba

- En general: ko

k raba Si K Z+ ó k0k0

rara

si k Z+

-

imparesK

paresKo

oo

k

kk

rn

rnrn

Ejm:

* Todo número es múltiplo de la base en la cualestá escrito más la última cifra.

dncnbnaabcd 23n ...)(

dnnnooo

dnabcdo

n )(

CEPU 2011

-II


96o96o

317317

123o123o

5656

128o128o

5656

1616o128o

OBSERVACIÓN

cbancnbnanoooo

Ejm: Calcular el residuo de dividir 7129635 Sol:

5r57277

272177

27177

27177

9277

337

37

37129

oo

ooo

o0o

o2110o

211o

22113o

635o

635o635

))((

b) Restos PotencialesSe llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-tencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-

CEPU 2011

-II


ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo).

Potencias Sucesivasde N

Resultados en

funciónom

Residuos

N0 om +1 1

N1 om + r1

r1

N2 om + r2

r2 Restos Potenciales

N3 om + r3

r3

N4 om + r4

r4

Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.Sol.:

5r5919595

1r1929595

gaussiano

2r2949595

4r4979795

8r8935979595

7r797185

5r59505

1r19105

7

ooo7

6

ooo6

5

ooo5

4

ooo4

3

oooo3

2

o2

1

o1

0

o0

g = 6 Donde g: gaussiano

CEPU 2011

-II


CONCLUSIÓN:

residuor

ExponenteE

2r;56

4r;46

8r;36

7r;26

5r;16

1r;6

95

o

o

o

o

o

o

o

E

E

E

E

E

E

rE

Ejm.: Si : r 95o

226

46226o

E 4r

5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.Ejm.:

86,4,2,0,d2o

abcd 3528

b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.Ejm.:

50,d5o

abcd 325

c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman unnúmero múltiplo de 4.Ejm.:

96.......,16,12,08,04,00,de4o

abcde 32432

CEPU 2011

-II


d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o formanun número múltiplo de 25.Ejm.:

7550,25,00,de52o

abcde 87975

e) Divisibilidad por 2n ó 5n: Es divisible por 2n ó 5n si sus “n” últimas ci-fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n ó 5n res-pectivamente.

Ejm.:

Si: n = 3 2o3abcdef

oo

8defsi8 abcdef

o

8230523

Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oforman un número que sea divisible por 8.

f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:

3fedcba3oo

abcdef*

365433333456oo

o

321

g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Ejm.: Si:

9fedcba9oo

abcdef

965493939456oo

o

927

CEPU 2011

-II


h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras

impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero oo

11.Ejm.:

Si: 11fdbgeca11abcdefgoo

097531524688365472951

i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ..........

respectivamente, deberá ser 0 óo

7 .Ejm.:

Si:

132-

1321

7o

gfedcba

o

73232 gfed)cba - (

Si :o

7760493636

132-

132132

636394067

27 – 38 + 32 = 21 =o

7

j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respec-tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:

Si:

13413413

13o

hgfedcba

CEPU 2011

-II


o

133)43()43( abcdefg h -

Si :

1341

134655o

o

1339-43-4)52081(4 -

II. NUMEROS PRIMOS

1. Conceptos Básicos

a) Número Primo o Primo Absoluto:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divi-sores la unidad y el mismo.

Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

2

3

1

12

3

Es decir Divisores

Divisores

b) Números Compuestos:

Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc

Es decir

CEPU 2011

-II


4 4 84Divisores Divisores Divisores1 1 12 2 2

4 3 46 8

Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:

1primoscompuestoN

cdcdcd

c) Números Primos entre si (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único di-visor común la unidad.Ejm.

4 y 9 (divisor común 1) 8, 12 y 15 (divisor común 1) 27, 45, 36, 1 (divisor común 1)

Nota: Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma

160

; lo contrario no siempre se cumple. Números primos más famosos, descubiertos por personalida-

des (universidades) notables.- Lucas en 1877 publicó: 2127 – 1, que tiene 39 cifras.- “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.

Todo número par, es la suma de los números primos.Algo aparentemente cierto.

122 n

es primo. FERMAT.- Fórmula de cálculo de los números primos. n2 –n+41

valido únicamente para n y 40n

Regla para determinar si un número es primo o no:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y apli-cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.

Ejm.

¿ 139 es primo ?

CEPU 2011

-II


........,11139

Entonces:

139 =0

2 + 1

139 =0

3 + 1

139 =0

5 + 4

139 =0

7 + 6

139 =0

11 + 7

Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.

2. Teorema Fundamental de la Aritmética

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el pro-ducto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única”.Llamado también “Descomposición canónica”

CBAN .. Donde : A, B, C, ......: Factores primos ,, , ..... : Exponentes

Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360

15

154590

180360

533222

=> 360 = 23 . 32 . 5

3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)

a) Cantidad de divisores de un número:Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-

CEPU 2011

-II


mente aumentados en la unidad.

).........)()(()( 111cd N

Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1

b) Suma de divisores de un Número:Esta dado pro:

.......1

1

1

1

1

1 111

)(

C

C

B

B

A

Asd

N

c) Producto de los divisores de un número compuestoEsta dado por:

)(

)(

Ncd

NNPd

d) Suma de las inversas de los Divisores de un númeroEsta dado por:

N

SdSId N

N

)(

)(

Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12

12 = 22 . 3

cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6

Sd(N) = 282

8.

1

7

13

13.

12

12 23

Pd(N) = 17281212 36

SId(N) =3

7

12

28

III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de doso más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-

CEPU 2011

-II


nes:- Es un divisor común de todos- Es el mayor posible

Ejm:

NUMEROS Divisores12 1, 2, 3, 4, 6, 1218 1, 2, 3, 6, 9, 18

Entonces: MCD (12,18) = 6

Determinación del MCD

i) Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los facto-res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.

Ejm:A = 22. 32 . 5B = 23. 34 . 52

MCD (A, B) = 22. 32 . 5

ii) Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factorescomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscasólo los factores comunes”.

Ejm.

3-296

1816

32

MCD (12,18) = 2 x 3 = 6

iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemáticoque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.

Ejm. MCD (18,12) = ???

1 218 12 66 0

MCD

=> MCD(18, 12) = 6

CEPU 2011

-II


Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264

iv)

MCD (984, 264) = 24

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivosal entero que cumple dos condiciones:

- Es un múltiplo de todos- Es el menor posible.

Ejm:

NUMEROS Divisores12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....18 18, 36, 54, 72,

Entonces: MCD (12,18) = 36

Determinación de MCM

i) Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fac-tores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expo-nentes posibles.

Ejm:A = 22. 35 . 5B = 23. 34 . 52

MCD (A, B) = 23 . 35 . 5 2

ii) Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

3 1 2 1 2984 264 192 72 48 24

192 72 48 24 0MCD

CEPU 2011

-II


1-1-15-1-15-4-15-4-315-12-930-24-18

54332

MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5MCM (18, 24, 30) = 360

3. Propiedades de MCD y MCM

Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1 Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . B El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su

MCD y MCM. Es decir

MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B

Sea: A = k Donde: , son PESIB = k

Entonces:MCD(A,B) = kMCM(A,B) = k

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto dedichos enteros no es alterado.

Es decir:MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]

4. Casos especiales

MCD(a y a+b) = MCD (a y b) Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2. MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)

MCD(a, b, a+b) =2d

b)ab(a donde d = MCD(a, b)

CEPU 2011

-II


PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)

1. Si:

13)2b(bb0aa , Hallar: a+b.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18

Solución

134134

13)2(bbb0aa

-

0

132bb3b40a3a4

02b6a7 b62a7

4 5Entonces:

5

4

b

a9ba Rpta. c

2. Hallar a + b Si:

56a58ab4

a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

Solución8

56584 aab

7

Un número es8 cuando las tres últimas cifras es

8 .

858 a

8a580

CEPU 2011

-II


8a48

84a 4a

Además es7 cuando:

7a58ab4

2 3 1 2 3 1- +

7a2410ba38

7226 ba7b826 718 b4b

8 ba Rpta. d

3. Hallar el resto al dividir 71050 entre .a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solución

71050 5010 = 5050 3737

= 25252 27737

= 227277 2425 .

= 2177227 883 ..

= 2772177

).(

= 27

Por tanto el resto es 2. Rpta. b

CEPU 2011

-II


4. Hallar “n”, Si nN 1626 tiene 40 divisores.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1Solución

n1626N

n43223N ...nnN 43.2.2.3

141 3.2 nnN

por cantidad de divisores(n+1+1)(4n+1+1) = 40

(n+2)(4n+2) = 402(n+2)(2n+1) = 40

(n+2)(2n+1) = 20(n+2)(2n+1) = 4x5

2 n Rpta. a

5. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48y que su suma es 288.a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144Solución

Sean A y B los números:

.

.

kB

kA

PESIsonsi ,:

Entonces: MCD(A,B) = 48

k = 48

288BA

6

288)(48

288)k(

288kk

5 1

CEPU 2011

-II


A = k = (48)(5) = 240B = k = (48)(1) = 48

A - B = 240 – 48 = 192 Rpta. b

6. Si )7(1019 ...2 bra Hallar “r”

a) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8

Solución

)7(1019 ...2 bra Todo número es múltiplo de la base en la cual

está escrito más la última cifra.

r721019

rx 72 23393

r72.2 23393

r74.17 339

r74).17(

r747

r = 4 Rpta. c

7. Si 37

aab , 57

b

ab ; Hallar el residuo de dividir 7abab

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Solución

37

aab

10

1037

aab

5521002773737

a

ab

CEPU 2011

-II


= 235 2.27277

= 4774).17(7

= 47

470

a

ab ..........

57

bab .............

Multiplicando y :

5747.

0

baabab

2070

baab

67

abab

r = 6 Rpta. c

8. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564

Solución

Sea el número de páginas: abc y 600500 abc

67

45

23

abc

CEPU 2011

-II


677

455

233

abc

17

15

13

abc

1)7;5;3(

MCMabc

1105

abc1105 tabc t = 5, porque 600500 abc

1)5(105 abc

524abcRpta. a

9. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorde dichos números.a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16

Solución

Sean los números:

.

.

kB

kA

PESIsonsi ,:

AB = 12 MCM(A;B)k.k = 12 k

k = 12

A + B = 6 MCD(A;B)

CEPU 2011

-II


k + k = 6k + = 6

5 1 = 5 y = 1

A = (12)(5) = 60B = (12)(1) = 12

El menor es 12 Rpta. d

10. Hallar “k” sabiendo que: kN )30.(15 tiene 191 divisores que no sonprimos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16Solución

kN )30.(15kN )5.3.2.(5.3kkkN 2.3.5.5.3

11 5.3.2 kkkNSabemos que: 1)( primoscompuestoN CdCdCd

1)( compuestoprimosN CdCdCd(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291

294)2)(1( 2 kk22 7.6)2)(1( kk

k=5Rpta: b


1. Siº

13abc ,º

9ab yº

7ac . Hallar cba .A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

2. Hallar dos números enteros sabiendo que su máximo común divisores 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el

CEPU 2011

-II


menor.A) 120 B) 144 C) 132 D) 162 E) 148

3. Si el número )...432)(432)(432(N (n factores), tiene 130 divi-sores.Hallar “n”.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. ¿Cuántos divisores tendrá el número 22 )18)(18()12)(12(N ?A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120

5. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de nN 30 ,sea el doble del número de divisores de nxM 1815 .A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

6. La cifra de las unidades del número 13401 , es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltiplos de3 ni de 7.A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 272

8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de los núme-ros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los números.A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 24

9. Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es:A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.

10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A5 y B5 ?

A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319

CEPU 2011

-II

- 58 -

IVNUMEROS FRACCIONARIOS

Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado onúmero quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquiernúmero de partes iguales.Los términos de una fracción son: numerador y denominador:

f= aabb

NumeradorDenominador

1. Clasificación: Se puede clasificar en:

A. Por comparación de sus términos:

a) Fracciones propias:Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es decir:

1b

a

Ejm. etc13

7,

7

2,

5

3

b) Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:

1b

a

Ejm. etc6

13,

5

9,

3

4

c) Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en

CEPU 2011

-II

Números Fraccionarios 59

la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: 1b

a

Ejm. etc7

7,

8

8,

5

5

B. Por su denominador:

a) Fracciones ordinarias o comunes:Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.

Es decir n,10b:si;b

a n

Ejm. etc,5

7,

3

14,

17

5

b) Fracciones Decimales:Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Es decir n,10b:si;b

a n

Ejm. etc,1000

63,

100

12,

10

7

c) Por la comparación de los denominadores:a) Fracciones Homogéneas:

Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

fdb:sif

e,

d

c,

b

a

Ejm. etc6

13,

6

1,

6

7,

6

5

b) Fracciones Heterogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son diferentes: Es de-cir:

CEPU 2011

-II


fdb:sif

e,

d

c,

b

a

Ejm. etc5

2,

7

4,

3

5

d) Por la Relación de los Divisores de sus Términos:a) Fracciones Reductibles:

Son aquellas fracciones donde numerador y denominadorse pueden simplificar .

Es decirb

a

kb

ka si 1k

Ejm : *3

2

12

8 *

3

2

39

26

b) Fracciones Irreductibles:Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

Es decir: :b

asi a, b no tienen divisor común.

Ejm. etc53

16,

31

15,

7

3

NOTA: Se llama fracción equivalente, cuando una fracción es

equivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.

*15

9

5

3

*5

1

20

4

Se llama Número Mixto, a aquel que tiene parte entera yparte fraccionaria.

CEPU 2011

-II


Ejm: tc5

37,

8

36,

5

43 e

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios:

1° El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD delos numeradores entre el MCM de los denominadores.

2° El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-dores entre el MCD de los denominadores.

3. Número Decimal:Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y

parte decimal.

Ejm.14,325

Parteentera

Comadecimal

Partedecimal

Clasificación de los Números Decimalesa) Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de ci-

fras.Ejm: 0,2 ; 0,325 etc

b) Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de ci-fras.

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc

Los Números Decimales Inexactos pueden ser:

i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente des-pués de la coma decimal.Ejm:

0,3333 ....... = 0,3

0,878787.... = 0,87

ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma decimal.

CEPU 2011

-II


Ejm: 0,3424242 .... = 0,342

0,345333 ....... = 0,3453

Conversión de Decimales a Fracción

a) Números Decimales Exactos:La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididaentre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

Si abc,0 1000

abcabc0,

Ejm.

*100

3232,0

*1000

452452,0

b) Números Decimales Inexactos:i) Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado por

las cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras ten-ga el periodo.

Si: 0,abc 0,abc999abc

Ejm:

0,32 =99

32

0,4 =9

4

ii) Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica en-tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte no periódicas.

Si: 0,abc 0,abc990

aabc

Ejm:

CEPU 2011

-II


0,342 =990

339

990

3342

0,385 =900

437

900

48485

PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS)

1. Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?

A) 34 B) 5

3 C) 21 D) 9

4 E) 32

Solución:

Sea la fracción:b

a

Por dato:b

a

b

a

bb

ba

4

4

b

a

b

ba 2

5

4

a + 4b = 104b =9a

a = 4b = 9

9

4

b

a

Rpta: D

2. Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo; y los 3

2 menos 15litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?

A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6

CEPU 2011

-II


SoluciónPetróleoB 65

3 Donde: B es el contenido total del barril.

aguaB 1532

Entonces:Petróleo + agua = B

B15B326B

53

B93B2

5B3

Multiplicando la Ec. anterior por 15:

9B + 10B - 135 = 15B4B = 135

4

135B

152

45Agua

154

13532Agua

15B32Agua

2

15Agua

Rpta. A

3. Si la fracción generatrizab1 genera el número decimal ba )1(0,0 .

Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 8

Solución:

baab

)1(0,01

CEPU 2011

-II


999

)1(1 ba

ab

999)1(. baab

2737)1(. baab

a = 3 b = 7

a + b = 10 Rpta. A

4. Hallar S, Si: ......7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432S

A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6

Solución:

......7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432S

S

S ......7

2

7

1

7

2

7

127

7

14322

SS 949

1

SS 949

48

9S

16

3S

Rpta. B

5. Si se cumple:

5207

8;

14

5;

7

13

kkk

MCM Calcular k + 1

A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9

CEPU 2011

-II


Solución:

5207

8;

14

5;

7

13

kkk

MCM

520)7;14;7(

)8;5;13(

MCD

kkkMCM

5207

.8.5.13

k

5207

520

k

k = 7 k + 1 = 8

Rpta. C

6. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dostérminos, su denominador?A) 41 B) 132 C) 51 D) 135 E) 92Solución:

Sea la fracción:b

a

b

a

bb

ba3

b

a

b

ba 3

2

aba 6ab 5

5

1

b

a

Rpta. C

7. A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C en 4 días; A y C en 5 días.¿En cuántos días pude hacerlo A trabajando sólo?

A) 1735 B) 17100 C) 17143 D) 17120 E) ..AN

CEPU 2011

-II


Solución:

Analizando sobre lo que hacen en 1 día:

A + B =3

1……

B + C =4

1…….

A + C =5

1…….

Sumando miembro a miembro las Ec. , y :

2A + 2B + 2C =60

47

120

47

4/1

CBA

120

47

4

1A

4

1

120

47A

120

17A

Para “A”:

1 día ---------------120

17de la obra

x --------------- 1

120

171

x

17

120x

Rpta . D

8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:

CEPU 2011

-II


271413

7777

N

A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9

Solución

271413

7777

N

33333

7777N

333333

37777

N Multiplicando por 3 al numerador y denominador

99999

23331N

23331,0N

diferentescifras = 2 + 3 + 1 = 6.Rpta. B

9. Si 1,01

TA

y ARITMET

A,0

Hallar el valor de: M + E + R + I

A) 24 B) 12 C) 140 D) 18 E) 22

Solución

9

11

TA A + T = 9

Analizando: ARITMET

A,0

Vemos que A < T y además es equivalente a periódico puro.Podemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B

es:

CEPU 2011

-II


A = 2 y B = 7

Entonces: 285714,07

2

R = 8I = 5

M = 1E = 4

M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.Rpta. D

10. Las fraccionesbb

aa;

).(.

).(.

abAC

baACson equivalentes, además la fracción

propiaa

bes irreductible.

Hallar: a – b

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3

Solución

).(.

).(.

abAC

baAC

bb

aa

ab

ba

bb

aa

100

100

)100.()100.( babbabaa Entonces tenemos que : a + b = 10

Comoa

bes irreductible y b<a obtenemos que:

a = 7b = 3

a – b = 7 – 3 = 4. Rpta. C

CEPU 2011

-II



1. Tres hermanos hacen una colecta para reunir fondos. El primerocolectó 5/24; el segundo 3/10 y el tercero 1/5. ¿Qué fracción aúnles falta?.A) 24/7 B) 1/24 C) 5/7 D) 7/24 E) N.A.

2. Simplificar:34,023,0

3,02,0

E ; el resultado es:

A) 15/43 B) 20/34 C) 25/34 D) 30/34 E) N.A.

3. ¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomina-dor de la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?A) 2/5 B) 3/5 C) 5/2 D) 5/3 E) 1/5

4. Hallar ...72

71

72

71

72

71

65432 S

Se obtiene:A) 3/8 B) 3/16 C) 1/16 D) 3/32 E) 1/32

5. Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:43/5a ; 31/4b ; 17/2c ; 73/10d

A) a,c,d,b B) a,c,b,d C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c

6. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de

la formaba

ab?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. ¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayo-res que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas frac-ciones sean irreductibles?A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15

CEPU 2011

-II


8. Si:período

ba2857148,0

75 Hallar a + b

A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 13

9. Calcular el valor de X en:(0,6969...)X + (0,43838...)X = 1,13636...A) 4/13 B) 6/13 C) 9/13 D) 7 E) 1

10. Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-do de dos cifras que difieren 5 unidades. Hallar la suma de lostérminos de dicha fracción si es la mayor posible.A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2

CEPU 2011

-II

- 72 -

VRAZONES Y PROPORCIONES

I. RAZONES:

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia opor medio de un cociente.

1. Razón Aritmética: Es la razón por diferencia

Antecedente – consecuente = Razón Aritmética s

Ejm. 12 – 4 = 8

2. Razón Geométrica: Es la razón por cociente

GeométricaRazónuenteseccon

eAntecedent

Ejm. 34

12

II. PROPORCIONES: Es la comparación de dos razones iguales ya seanaritméticas o geométricas.1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas.

Sabiendo que: a – b = r y c – d = r

Entonces: a – b = c – d

Donde:

a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes

CEPU 2011

-II

Razones y Proporciones 73

Clases de proporción Aritmética

i) Proporción Aritmética Continua: Los términos medios son igua-les.

Ejm. 8 – 6 = 6 – 4 Donde:6: Media aritmética de 8 y 44: Tercera diferencial de 8 y 4

ii) Proporción Aritmética Discreta: Los cuatro términos son diferen-tes.

Ejm: Donde:

12 – 8 = 6 – 2 2: cuarta diferencial.

2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas

dadas sabiendo que: kba y k

dc

Entonces:dc

ba Donde:

a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes

Clases de proporción Geométrica

i) Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.

Ejm.93

31 Donde:

alproporcionTercera:9 y1alproporcionMedia:3

ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferen-tes:

Ejm.520

312

Donde: alproporcionCuarta:5

CEPU 2011

-II


Propiedades de Proporción Geométrica

Si:dc

ba es una proporción Geométrica;

Entonces:

*d

dcb

ba

*cd

cab

a

*dbdb

caca

*dc

ba

dbca

Serie de Razones Geométricas Iguales:

Se llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.Sean:

kba

.......ba

ba

ba

ba

n

n

4

4

3

3

2

2

1

1

Donde:a1, a2, a3, ....an : antecedentesb1, b2, b3, ....bn : consecuentes

k : constante de proporcionalidadSe cumple que:

* kb.......bbba.......aaa

n321

n321

* n

n321

n321 kb.........b.b.ba........a.a.a

PROMEDIO:

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carac-terística ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.

CEPU 2011

-II


CLASES

MEDIA ARITMÉTICA (Ma).- Es aquel promedio que proviene dela suma de “n” cantidades divididas entre “n”.

n

aaaaMa n

...321

Para 2 números a y b:2

baMa

MEDIA GEOMÉTRICA (Mg).- Es aquel promedio que provienende la raíz enésima del producto de “n” cantidades.

nnaaaaMg ..... 321

Para 2 números a y b: abMg

MEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritméticade las inversas de las “n” cantidades dadas.

naaaa

nMh

1...

111

321

Para 2 números a y b:ba

abMh

2

PROPIEDADES

Sean varios Sean varios números; se calcula la Ma, Mg y Mh dedichos números; siempre:

Ma > Mg > Mh

CEPU 2011

-II


Sean 2 números, y hallando su Ma y Mh siempre:A x B = Ma x Mh

Se cumple:

Mg = MhMa.

La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2números A y B está dado por:

)(4

)( 2

MgMa

BAMgMa

PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES – PROPORCIONES Y PROMEDIOS)

1. Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se al-tere. Hallar el mayor de los números.

A) 143 B) 169 C) 134 D) 196 E) 186

SoluciónSean los números a y b.

13

11

b

a

kb

ka

13

11

Por dato del problema:

13

11

2

143

b

a

13

11

13.2

14311

k

k

112

)13(11

k

k

kk 213 13k

CEPU 2011

-II


Entonces: El mayor es: b = 13kb = 13.(13)b = 169

Rpta. B2. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si

se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de di-chos números?A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31

SoluciónSean los números a y b: donde b es mayor que a.

a + b = 65por dato:

a

b

b

a

17

17

por propiedad:a

ab

b

ba

17

1717

a

ba

b

ba

17

ab 1717 ab

Además:a + b = 65

a + a + 17 = 652a = 48

a = 24b = 41

menor número es 24

3. Cuál es la diferencia entre los extremos de una proposición continúa, sila suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferen-cia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16Solución

Sea la proporción:d

b

b

a a – d = ???

CEPU 2011

-II


Datos: 362 dba y 3

ba

ba

3

ba

ba

a = 2b

d

b

b

a

d

db

b

ba

b

ba

db

dba

2

b

bb

db

236

336

db

12 db

d

b

b

a

d

db

b

ba

b

ba

db

dbba

b

bb

db

da

2

b

bb

db

da

2

112

da

12 daRpta. C

CEPU 2011

-II


4. Si:2

1

S

O

O

N

D

U, 15 SN y 14OD .

Hallar: ONU

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

Solución

Multiplicando 2° y 3° razón:2

2

1

.

.

SO

ON

4

1

S

N

4

41

S

SN

4

515

S

12S3N

Sabemos que:

2

1

O

N

D

U

2

1

OD

NU

2

1

14

3

U 4U

Además:

2

1

S

O

CEPU 2011

-II


2

1

12

O 6O

13634 ONU Rpta. E

5. Si: 2kf

e

d

c

b

a

2

2

k

Rbde (R>0)

Hallar acf

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13Solución

2kf

e

d

c

b

a , 2.kfe

Por dato:2

2

k

Rbde

2

22..

k

Rkfbd

4

2

.k

Rfbd

Entonces:422 ... kbdffdkbkacf

= Rkk

R

22

2

Rpta. E

6. Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200 D) 500 E) 600Solución

kcba

854

CEPU 2011

-II


kc

kb

ka

8

5

4

Por dato:850 cba850854 kkk85017 k50k

El menor es: 200)50(44 kaRpta. C

7. La media geométrica de dos números es 26 ; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se pi-de encontrar los números.

A) 10 y 12 B) 11 y 13 C) 12 y 6 D) 11 y 12 E) 10 y 11

Solución

Sean los números a y b:

Por dato:

1

26

xM

xM

M

a

h

g

Donde:

aritméticamediaM

armónicamediaM

geométricamediaM

a

h

g

:

:

:

Entonces: 26gM

26ab

2226ab

72ab Propiedad: abMM ah .

98)1.(

72)1.(

xx

xx

8x

CEPU 2011

-II


2

baM a

21

bax

29

ba

18 ba

Resumiendo: 1872 baab

6

12

b

aó

12

6

b

a

Rpta. C

8. Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y unamedia geométrica de .1203 Además, se sabe que el producto bc = 30.La media armónica de estos números es:

A) 73320 B) 75350 C) 74360 D) 35075 E)

36073

Solución:

5aM

15

53

cba

cba

3 120gM

33 120abc120abc

30bc Entoces: 120abc

12030. a4a

CEPU 2011

-II


reemplazando b + c = 11 Resumiendo: 3011 bccb

5

6

c

bó

6

5

c

b

Finalmente:

cba

hM111

3

abacbc

abcM h

3

242030

)120(3

hM

74

360hM Rpta. C

9. La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediageométrica en 936. Hallar la suma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19Solución:Sea N = a3 el número buscado. Su raíz cúbica de a3 es : aDel enunciado:

936 MgMa

936.2

33

aaaa

9362

23

aaa

9362

2 23

aaa

18722 23 aaa1872)12( 2 aaa

22 1213)1( xaa 13a

CEPU 2011

-II


N = a3

N = 133 = 2197

Finalmente: 197912cifrasRpta. E

10. Sabiendo quea

a

a

a

b

a

a

a

1

y que la suma de los términos de esta propor-ción es 144. Calcular el valor de la media proporcional.A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25

Solución:

???aa

*a

a

a

a

b

a

a

a

1

a

a

a

a

b

a

a

aa

.

aa aba .

a

ab

aa

* Por dato del problema:1441 aaaa baaa

1442. a

aaaa

aaa

1441

2

aaa a

144122

a

aaa a

CEPU 2011

-II


144)1(

.2

a

aa a

222 4.3)1.( aa aa

==> a = 3

2733 aaRpta. B


1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-nor?A)90 B)75 C)60 D)40 E)45

2. Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo quecobra y lo que gasta esta en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe ga-nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?A)18 B)36 C)64 D)72 E)74

3. La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor delos números?A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

4. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción con-tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16

5. Si: b+c=a+54 ydcba

11753

Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70

CEPU 2011

-II


6. En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el número dehombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después delreceso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razón dehombres a mujeres es 7/4. Hallar cuantas mujeres habían antesdel receso.A)15 B)16 C)18 D)19 E)20

7. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene másde 59 años. ¿cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas?A)51 B)50 C)53 D)52 E)54

8. La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticade los 25 números.A)27 B)50 C)60 D)54 E)N.A.

9. Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media ge-ométrica y por su media armónica se obtiene 256.A)6 B)4 C)8 D)12 E)6,5

10. Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad secumple:Ma3 x Mh3 = 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10

CEPU 2011

-II

- 87 -

VIREGLA DE TRES

La Regla de tres puede ser: simple o compuesta.

1. Regla de 3 simple:

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (Incógni-ta). Puede ser:

- Directa- Indirecta

a) Regla de 3 simple Directa:

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pro-porcionales.

Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente propor-cional.

ABCx

xC

BA

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en“aspa”.

A ----- BC ----- x

Ax = BCA

BC x

b) Regla de 3 Simple Inversa

Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente pro-porcionales.

Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente propor-cional.

CEPU 2011

-II


CABx.xC.BA

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será ensentido paralelo.

A ----- BC ----- x

AB = C xC

AB x

Método Práctico:

Si las cantidades proporcionales van de más a màs o de menos a me-nos, la regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más laRegla es Inversa.

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-to. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entreel otro dato del problema.

x =

x =

BC

AB

A

C

Directa:

Inversa:

A BC X

2. Regla de 3 Compuesta

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitu-des y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitu-des mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar elvalor desconocido de la segunda serie de valores.

Método 1: “Ley de los signos”

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma columna.

Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente resultado.Si son directamente proporcionales arriba (-) y abajo (+)Si son inversamente proporcionales arriba (+) y abajo (-)

CEPU 2011

-II

Regla de Tres 89

El valor de la incógnita está dado por un quebrado donde el numeradores el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es elproducto de los términos que tienen (-).

Método 2: “De las Rayas””

Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:

1º. Causa o Acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones quetiene para realizarla.Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc

2º. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra.Ejm. días, horas diarias, raciones diarias, etc.

3º. Efecto: La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones quepone el medio para la realización del trabajo.Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

Acción

Serie 1:

Serie 2:

Hombres*

* * *

* **

* * *

* *

*

*

Circunstancia Efecto

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enuna misma raya.

PORCENTAJES

Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.

NOTACIÓN: 5% =100

5

5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5. Una cantidad total representada el 100% Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110% Una cantidad disminuida en 10% representa 90%

CEPU 2011

-II


Ejm.* ¿Cuál es el 5% de 600?

5% . 600 = 30600.100

5

* ¿Qué porcentaje de 2000 representa 50?x % . 2000 = 50

502000.100

x

x =2050

x = 2.5

Aplicación:

a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de undescuento.

%100

100D100D100D100

d1n

321 ........

Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivon : número total de descuento.du : descuento único

b) Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de unaumento.

%100

100A100A100A100

a1n

321 ........

Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a : descuento único

Problemas de Porcentaje Relativos a las Ventas

Pv = Pc + G sDonde:

CEPU 2011

-II

Regla de Tres 91

PV : precio de ventaPC: precio de costo

G: ganancia

Pv = Pc - P sDonde:

Pv : precio de ventaPc: precio de costo

P: pérdida

Pc +Gastos + Ganancias = Pv s

Ganancia bruta – gastos = Ganancia Neta d

P. fijado - Descuentos = Pv s

PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)

1. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

Sol.

6 Caballos ----------- 15 días R3SI9 caballos ----------- x

x = 109156

.

x = 10

Rpta. (b)

2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; ¿Enque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h

Sol.

Del enunciado:

CEPU 2011

-II


Luis : rapidez 1Carlos: rapidez 4Juan: rapidez 12

Rapidez Tiempo12 -------------- 90 min R3SI

5 -------------- x

x = min590.12

x =min60h1.min

590.12

x = 3,6 h

3. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70hombres y la puede terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la primera y los5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?

a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d

Sol.

* Primera cuadrilla

50 h -------------- 30 días R3SI

h)50(43 --------- x

x =50.

43

30.50

x = 40 días

=> En 1 días43 de la ladrillera hará:

401 de la obra.

4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multiplicarpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2

CEPU 2011

-II

Regla de Tres 93

Sol.

Sea : x el número que se debe multiplicar al radio.Sabemos que: A = r2

Entonces por dato el problema:

A + 125%A = (x.r)2

225% A = .x2.r2

1015x

100225x

x.AA.100225

x.r.A.100225

2

22

=> x =23 Rpta. (c)

* Segunda cuadrilla

70 h -------------- 60 días R3SI

h)70(6

5--------- x

x =70.

6

505.70

x = 60 días

=> En 1 días6

5de la ladrillera hará:

60

1de la obra.

Luego: En 1 día ambas partes harán:

24

1

120

5

120

23

60

1

40

1

de la obra

CEPU 2011

-II


Finalmente:

1 día ----------24

1de la obra

x ----------- 1 obra

24

11

x =====> x = 24 días

Rpta. E

5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimientoserán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m delado?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9

Sol.

22 480.5.10..8400.6.8.2. rrx

2

2

400.6.8.2

480.5.10..8

r

rx

x = 6 obreros

Rpta. A

6. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tone-ladas de carbón ¿Cuántas toneladas serían necesarias para mantener tra-bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

CEPU 2011

-II

Regla de Tres 95

Sol.

Luego:50.9.85.8.10.15.5 x

10.15.5

50.9.85.8x

x = 408 ToneladasRpta. B

7. En una empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %del personal asiste al colegio nocturno?A) 42% B) 30% C) 38% D) 36% E) 34%

Sol

Supongamos que el total de alumnos sea 100.

El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80

Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32

Total 38 personas

y 38 de 100 es el 38%

Rpta. C

8. 351 es el 27% de:A) 1340 B) 1250 C) 1300 D) 1200 E) 2700

CEPU 2011

-II


Sol.

351 = 27%(X)

X.100

27351

X27

)100(351

X = 1300Rpta. C

9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100

Sol.

Sea la cantidad: X

X - 13%X = 957100%X - 13%X = 957

87%X = 957

957.100

87X

1100X

Rpta. E

10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defec-tuosos hay en los 1000 productos?A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40

Sol

Total : 1000

* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600

CEPU 2011

-II

Regla de Tres 97

de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30

* Fueron fabricados por B: 400de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16

Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuosos

Rpta. D


1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminarla obra?A)36 B)12 C)48 D)24 E)15

2. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 2480m de una obraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros traba-jando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.A)22 B)30 C)18 D)16 E)20

3. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.

4. Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constituidos por:A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

5. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En esemomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que por-

CEPU 2011

-II


centaje aumenta su área?A)100% B)200% C)400% D)300% E)50%

7. Un futbolista patea 17 penales y acierta todos. ¿Cuántos penales másdeberá patear y fallar todos, para que su eficiencia sea del 85%?A)4 B)3 C)2 D)5 E)6

8. Vicente tenía s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo quegastó. ¿Qué porcentaje del total gastó?A)33,3...% B)40,05% C)35,33% D)50% E)20%

9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,10% y 20%. ¿Cuál es el descuento único que equivale a estos 3 des-cuentos sucesivos?A)37% B)41% C)32,5% D)20,8% E)31,60%

10. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.A)700 B)0,2 C)1 D)120 E)10

CEPU 2011

-II

- 99 -

VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONESEXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO

TEORÍA DE EXPONENTES

La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-nentes que existen entre ellos, mediante leyes.

LEYES DE EXPONENTES

1. Producto de Bases Iguales

nmnm aaa .

2. Cocientes de Bases iguales

nmn

m

aa

a

3. Potencia de un Producto

nnn baab .

4. Potencia de cociente

n

nn

b

a

b

a

5. Potencia negativa de un cociente

nn

a

b

b

a

CEPU 2011

-II

100 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG6. Exponente cero

10 a donde a 0

7. Exponente negativo

nn

aa

1

8. Potencia de potencia

nmnm aa .

OBS:

mnrssrnm aa

9. Raíz de una potencia

n

mn m aa

10. Raíz de un producto

nnn baab .

11. Raíz de un cociente

n

n

n

b

a

b

a

12. Potencia de radical

n mpp

n m aa

CEPU 2011

-II

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 101

13. Radical de radical

mnm n aa

OBS:

mnrsm n r s aa

14. Introducción de un factor a un radical

n mnnn mnnm bababa ..

ECUACIONES EXPONENCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solu-ción se debe tener cuenta:

Por igualdad de bases:

yx aa yx Si x 0, x 1

Igualdad en el exponente:

xx ba ba Si x 0

Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se ob-tengan fuera del conjunto de los números reales.

Igualdad Base y Exponente

xa xa => xa Si a 0, a 1

PROBLEMAS:

1. REDUCIR:

aa a

a

R2

1

44

2

A) 2 B) -2 C) 1 D) –1 E) 0

CEPU 2011

-II

102 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG

Sol:

aa

a

a

R2

2

22

1

2.2

2

aa a

a

R2 2

1

2

2

a

a

a

a

R2

2

1

2

2

222

2.2 a aa

a

R Rpta ( a )

Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-ficar por Ejemplo:

Si: a = 1

22

4

8

4

24

4

44

233

13

2

x

R

2. RESOLVER:

15,0

)04,0(55

)2,0(

xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Sol:Transformando

155

1

10

22,0

22

55

1

25

1

100

404,0

CEPU 2011

-II

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 103

=>2

1

5.01

5.5

)5( x

= 12 )5( x

225,1

5.0

55

5

xx

5,15,05 x = 225 x

– x – 1 = – 2x + 2

x = 3 Rpta. ( c )

3. Simplificar:

)2(2

)2(223

4

n

nn

R

A) 2n B) 2n+1 C) 3n-1 D) 7/8 E) N.A.

Sol:

3

4

2.2.2

2.22.2n

nn

R

3

4

2.2.2

)22(2n

n

R

16

216 R

16

14R

8

7R Rpta. ( d )

CEPU 2011

-II

104 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG

4. Resolver: 22

1xx

x

Sol:

2

21

xx

x

2.2

1

4

1

xx

x

4

2.

4

1

xx

x

4

2.

4

1

xx

x

2

1.

4

1

xx

x

2

1.

2

1

4

1

4

1

xx

x

.4

1

4

1

4

1

xx

x

=>4

1x Rpta ( c )

5. Calcular a qué exponente se debe

elevar 18 para obtener: 254

A) 2/3 B) 3/4 C) 1/2 D) 4/3 E) 2/5

Sol:

Sea el exponente: x

18x = 254

22.32.3 22 x

2

1

2

332 2.32.3

xx

4

3

2

32 2.32.3 xx

4

3x

6. Hallar el valor de:

2 2 6252 1 2

2 22 8

n nn

A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1

CEPU 2011

-II

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 105Sol:

222.2

2222 1

22.2.2

82.2.2

8 625625

nn

nnn

=

4.2

822.2

2

)625(

nnn

= 4.2.32

28

625n

n

= 4.28

28

625n

n

= 5625)625( 44

1

Rpta ( d )

7. Calcular el valor numérico de:

2

11

11

ba

ba

ab

ab

ba

baE para ab = 2 y ba = 0,5

A) 16 B) 14 C) 8 D) 12 E) 10

Sol:

2

..

..

ba

ba

aabb

aabb

ba

baE sabemos que 0,5 =2-1

2

)()(

)()(

ba

ba

aabb

aabb

ba

baE

21 1

)()(

)()(

ba

ba

aabb

aabb

ba

baE

CEPU 2011

-II

106 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG2

212

2

112

1

)2()2(

)2()2(1-

1

E

2

22

1

2

12

22

22

E

2

41

2

2

14

E

2

4

1242

124

E

2

2

4

E

2

16E

E = 8 Rpta. ( c )

8. Simplificar:

........546

434322 xxxE n factores.

Sabiendo que: xnnnn )3)(2)(1( 316

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

CEPU 2011

-II

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 107Sol:Sabemos que:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =4

)3)(2)(1( nnnn

Además por dato del problema

)3)(2)(1(

3

16 nnnnx

............ 5.4.64.3.43.2.2 xxxE

...........6.4.54.3.43.2.2 xE

....5.4.34.3.23.2.12 xE

4

)3)(2)(1(.2

nnnn

xE

2

)3)(2)(1(

nnnn

xE

Reemplazando el valor de x:

2

)3)(2)(1(

)3)(2)(1(

3

16

nnnn

nnnnE

2

3

16E

316E

34E

64E Rpta ( c )

CEPU 2011

-II

108 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG9. Calcular el valor de “n” en laecuación:

4242 33.3

1 1

n

n

A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3Sol.:

4242 33.3

1 1

n

n

4

4221 33.3

1

n

n

4

4221 33

1

n

n

4

4221 1

n

n

422

2.44 n

n

422.24 nn

4422.2 nn

82 n

322 n

3nRpta. E

10. Indicar el valor no entero que tomax, de manera que se cumpla la igual-dad:

1

3

2

8

)2(

8

4 x

x

x

x

A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3Sol.

Reduciendo ambos miembros tene-mos:

13

3)2(2

3

2

2

2

2

2 x

xx

x

13

3)2(2

3

2

2

2

2

2 x

xx

x

1 3342 32 22 x xx x

1

33

42

32

22

x

x

x

x

1

33

42

32

x

x

x

x

Resolviendo:

4

5x v 3x

Por dato del problema x

Entonces4

5x

Rpta.: CPROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el valor de “x” en: 14 48 xx es:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2. Simplificar:

75

53

33

33

nn

nn

A) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8

CEPU 2011

-II

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 1093. Resolver:

2/31 2 xxA) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2

4. Hallar 4 2a , si:

2

1

16

4a x

xxx

x

aA) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8

5. Resolver: 15,0

)04,0(55

)2,0(

xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 56. Efectuar

642

642

222

222

nnn

nnn

M

A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.7. Resolver

24822222 4321 xxxxx

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

8. Hallar: 5x + 10, si:42 84 39

xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. Hallar el valor de 46nmM ;

Si 422

nnn ;

33mmmmm

=27.A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 36

10. Calcular “n” si:Si: 33

)12(

21 32...2.2.2

factoresn

nnn

A) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83

CEPU 2011

-II

- 110 -

VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS

ESPECIALES, OPERACIONES, PRO-DUCTOS NOTABLES.

1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término: Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alge-

braicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomiocuando tiene 3 términos.

a) Grado de un monomio:

Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes detodas sus variables.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable refe-rida a dicho monomio.

Ejm:M (x,y,z) = 3x5y7z3

GA = 5 + 7 + 3 = 15

GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 3

b) Grado de un Polinomio:

Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor gra-do absoluto.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponentede la variable referida en dicho polinomio.

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111Ejm:

P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5

P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5

grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5

G.A. = 11

GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 4

Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polino-mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables.

Ejm: sea P(x) = x2 + 2x – 1Hallar P(2)

P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7

2. POLINOMIOS ESPECIALES

c) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un “orden” ascenden-te o descendente en los exponentes de una de las variables que setoma como base.

Ejm: P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3 P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12

d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.

Ejm: P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3

P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3

e) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus térmi-nos son iguales:Ejm:

P(x,y) = x2 + 2xy + y2

P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyz

CEPU 2011

-II

112 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGf) Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sus

términos semejantes tienen iguales coeficientes.

Ejm: ax2 + bx + cx mx2 + nx + p

a = m b = n c = p

g) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizanpor que todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:

P(x) = ax2 + bx2 +cx + d

a = 0 b = 0 c = 0 d = 0

3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

h) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas sesuma o se resta términos semejantes.

Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-teral afectada por los mismos exponentes.

i) Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresio-nes algebraicas significa obtener una expresión denominada PRO-DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.

Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los facto-res.ii) El término independiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.

i) Binomio al cuadrado:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a2 – b2

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 113k) Binomio al cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

l) Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

m) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-rencia de cubos.

(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3

n) Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 +(a+b)x +ab

o) Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

p) Identidades de Lagandre

(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)

(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10

Sol: 2

42

1

22 ....),(

Grado

mn

Grado

nm yxmyxmyxP

CEPU 2011

-II

114 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGGrado 1 = Grado 2

2m + n + 2 = 2n + 4m2 = n + 2m

grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )

2. Si 15 xy;2

111

yx. Hallar

33

11

yxE

a) 1/4 b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80

Sol:

xyyxyxE

yxyyxxyxE

yyxxyxE

yxE

31111

1.

1.3

11.

1.2

111

11.

1111

11

2

22

22

33

|

60

1215.

2

1

15

3

4

1

2

1E

40

1

60

3.

2

1

E // Rpta ( b )

3. ¿Cuál es el valor que asumeyx

y

xy

yx

xy

yxR

3

2222

Si:yxyx

411

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 115Sol:De la condición:

yxyx

411

0)(

02

42

4

4

22

22

2

yx

yxyx

xyyxyx

xyyx

yxxy

yx

y x

yx

y

x

yx

xy

yxR

3

2

2

222

4222

1

2

32

4

2

2

322

2

y

y

y

y

y

yR Rpta. ( d )

4. Si: 3444 nn aa , entonces nn aa es:a) –2 b) 5 c) – 4 d) 2 e) 3.

Sol:34..2..2 224224 nnnnnn aaaaaa

6

36

342

22

222

222

nn

nn

nn

aa

aa

aa

6.2.2 22 nnnnnn aaaaaa

622

nn aa

CEPU 2011

-II

116 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG

42 nn aa 2 nn aa Rpta ( d )

5. El grado del Polinomio es:

P(x) = :n términos.............111 852 xxxa) 220 b) 520 c) 610 d) 1220 e) 1610Sol:

Grado = 2 + 5 + 8 + ............ 20 términos y de razón 3

Para hallar la suma:

59

)3)(19(2

)1(1

n

n

n

a

a

rnaa

2

1 naaS n

)10)(61(2

20.592

S

S

S = 610

grado = 610 Rpta ( c )

6. Si P(x+3) = 6x – 25830)8)(( xxFP Hallar el valor de

)4(FE A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9Solución* P(x+3) = 6x – 2

P(x-3+3) = 6(x-3) – 2P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 117

* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)

Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 58

6F(x) = 30x + 30F(x) = 5x + 5

Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25

Finalmente:

25

)4(

E

FE

5ERpta. C

7. Si el monomio 5 346 2..9.3 mm xxxx es 8, el valor de “m” es:A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16Solución

5 346 2..9.3 mm xxxx

30155

46G.A.

mm

Por dato del problema:

830155

46

mm

multiplicando por 30 la ecuación anterior:240224180 mm

363 m12m

Rpta. D

8. Sabiendo que 79

9

a

x

x

a, el valor de la expresión 4

9

49 a

x

x

a es:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2

CEPU 2011

-II

118 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSoluciónSupongamos que:

4

9

49 a

x

x

aE Hallaremos E.

2

4

9

49

2

a

x

x

aE

2

4

9

4

9

49

2

49

2 ..2

a

x

a

x

x

a

x

aE

a

x

x

aE

9

92 2

a

x

x

aE

9

92 2

2

9

9

22 2

a

x

x

aE

2

99

9

2

9

22 ..22

a

x

a

x

x

a

x

aE

a

x

x

aE

9

9

22 22

229

9

22 a

x

x

aE

27222 E

922 E

232 E

5ERpta. C

9. Si3 3 3 ...4.24.244 xM a , su grado es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 119SoluciónEl grado de M es: 3 3 3 ...4.24.24

Supongamos que:3 3 3 ...4.24.24 E Hallaremos E.

33 3 ...4.24.24

E

E

3 .24 EE EE 243

Dando valores a E, obtenemos que:E = 2

Rpta. B

10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:...32)( 2312 cba xxxxP posee 2c términos; hallar “a+b+c”.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.Solución

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.

...32)(

32

2

22

3

12

12

c

c

c

b

c

a xxxxP

Del tercer término obtenemos:232 cc

5c

Del segundo término obtenemos:223 cb

5b

Del segundo término obtenemos:1212 ca

4a

Por lo tanto: 14 cba

Rpta: C

CEPU 2011

-II

120 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar m/n si el polinomio:)72(3);( 1612 nmnm yxyxyxP es homogéneo.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.

2. Sabiendo que xb

a

bax

baxP

, Calcular:

)3/5()3()2(

P

PP

A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4

3. Si 31

2

aa el valor de 3

3 1a

a es:

A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 2

4. Si 22 abba yxuyx son tres términos consecutivos de un poli-nomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecien-temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”de “u”.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

5. La expresión: xabxabxba baba )(.).( 462 ; reducida a unmonomio es:A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x

6. Sea

nn

nn

yxyxyxyx

yxyxyxyxM

11...

111111

))...()()((

3322

3322

. La suma de

los grados relativos de M es:

A)2

)1( nnB) )1( nn C) )1( nn D)

2)1( nn

E) N.A.

CEPU 2011

-II

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 121

7. Hallar el valor de “n”:

n

a

b

ba

ba

3 2/1 36

2/1 4/1 3361

.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

8. Siendo: 72

3

3

2

a

m

m

a, calcular 4

2

3

3

24

a

m

m

a

A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7

9. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:ab bab baa y

a

byx

b

aybxaxyxP

213312);(

, es:

A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.

10. Efectuar el producto:

244

311

11 x

xx

x

x

x; Si x = 2, se tiene:

A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.

CEPU 2011

-II

- 122 -

IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL

RESTO, COCIENTES NOTABLESI. DIVISION ALGEBRAICA

Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtenerun cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate deuna división inexacta.

)()().()( xrxqxdxD División inexacta

)().()( xqxdxD División exacta

Casos de la División:1) Cuando se trata de dos monomios:

Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefi-cientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponen-tes.

Ejm: Dividir:263

82

1085

2

16

32

zyxE

zyx

zyxE

2) Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes:

a) Método Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de Ruffini.

Ejm: Dividir12

67942

23

xx

xxx

a) Método NormalOrdenando previamente tenemos

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 123

4x- 4x

- xx

- 9x+8x

+ 3x- 2x

x - 5

4x - 1x+ 7x - 6

- 4x - 6+ 1

- 2x + 13

3

22

2

2

2

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

b) Métodos de coeficientes separadosSólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos. 4 -9 7 - 6 1 - 2 1- 4 8 - 4 4 -1

-1 3 -6 1 - 2 1

1 -5

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

c) Método de Horner:

Tenemos que dividir

signosucambiase

2

23

12

6794

xx

xxx

1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1

4 -1 1 - 5

cociente residuo

-1

q(x) = 4x – 1R(x) = x – 5

CEPU 2011

-II

124 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGMETODO DE RUFFINI

Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando eldivisor es un binomio de primer grado.

Ejm: Dividir:2

932 23

x

xxx

Procedimiento

x + 2 = 0x = – 2

1 - 2 3 9-2 - 2 8 - 22 1 - 4 11 - 13

cociente

Resto

q(x) = x2 – 4x + 11

Resto = - 13

TEOREMA DEL RESTOEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarla división.“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laforma “ bax ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuandose reemplaza en él, por

ab ”.

Ejm:

Hallar el resto en:8

8)7()5( 32

yyx

y + 8 = 0y = -8

Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8R = (-3)2 + (-1)3 + 8R = 9 – 1 + 8R = 16

COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisionesexactas.

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 125De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.

Forma General:axax mm

donde Zm

CASO 1:ax

ax mm

es cociente notable cuando “m” es impar

CASO 2:ax

ax mm

es cociente notable cuando “m” es par

CASO 3:ax

ax mm

no es cociente notable

CASO 4:ax

ax mm

es cociente notable para cualquier valor de “m”

Desarrollo de C.N. :ax

ax

55

= x4 – x3a + x2a2 – xa3 + a4

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.

Forma General :

ax

ax mm

= xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1

t(k) = (signo) xm-k . ak-1

Regla para el signo: Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es posi-

tivo. Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un

lugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.

CEPU 2011

-II


ejemplo:Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :

23

100150

ax

ax

solución:

23

502503 )()(

ax

ax

t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1

t(40) = -x30 . a78

PROBLEMAS:

1. El resto de la división:

1

163).2().1( 21

x

nxnxnnx nnn

a) 17 b) 13 c) 15 d) 21 e) 19

SoluciónPor teorema del resto tenemos que: x = 1

1631).2(1).1(1. 21 nnnnR nnn

16321 nnnnR13R Rpta. B

2. Hallar el residuo de:

1

32

450100

x

xxx

a) 4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.

CEPU 2011

-II


Solución

1

32

450100

x

xxx=

1

32

22252502

x

xxxtomamos x2 = y

=1

322550

y

yyy

Por teorema del resto y = 1

R = 150 + 125 – 12 +3R = 1 + 1 – 1 + 3R = 4 Rpta. A

3. El resto de la división :

ax

axax

2

)( 777

a) 128a7 b) –127a7 c) 127a7 d) –126a7 e)126a7

SoluciónPor teorema del resto:

==> 777 )2(2 aaaaR

777 128 aaaR 77 127aaR

77 127aaR 7126aR Rpta. E

4. Para que la expresión:

mn

mn

yx

yx

33

sea cociente notable y su se-

gundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.

CEPU 2011

-II

128 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSoluciónSabemos que: 1

)( .. kkmk BAsignot |

1223

)2(

mn yxt

mn yxt .)2( mn yxyx .. 22

Entonces n = 2 , m = 2.422 mn Rpta. B

5. Determinar el valor de “m” para que el cocientemm

mm

yx

x

32

516

sea

cociente notable.a) 3 b) –3 c) 2 d) – 4 e) 4Solución

Por propiedadm

m

m

m 5

32

16

m

m

m

m

5

32

16

532

16

m

m

)32(516 mm151016 mm

m416 4m Rpta. E

6. Hallar el resto de dividir)1)(2(

7)1()2( 20002001

xx

xx

a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) 2x+4Solución

Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x)Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene la

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 129forma de:R(x) = ax + bReemplazando:

baxxqxxxx )().1)(2(7)1()2( 20002001

Si x = 2 : ba 2.07)1(0 2000

ba 27182 ba ........ (*)

Si x = 1 : ba 1.070)1( 2001

ba 716 ba .........(**)

Resolviendo (*) y (**):82 ba

6 baa = 2 b = 4

Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rpta. E

7. Hallar el resto en:

54

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1Solución

=54

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

=144

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

=

1)2(

7)2.()2(3)2(5)2.()2(4)2(2

2122312412

x

xxxxxx

Hacemos que (x + 2)2 = y

CEPU 2011

-II


=1

7)2.(35)2.(4 123141

y

xyyxyy

Por el teorema del resto: y = -1

7)2).(1(3)1(5)2.()1(4)1(Re 123141 xxsto7)2(35)2(41Re xxsto

7635841Re xxsto1Re xsto Rpta. E

8. Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x–1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3Solución

Aplicando teorema del resto a:

1

5323

x

mxxx x =1: 53111 mR

mR 371

2

5323

x

mxxx x =2: 56482 mR

mR 6172 Por dato del problema: R1 = 2R2

7 – 3m = 2(17 – 6m)7 – 3m = 34 – 12m

9m = 27m = 3 Rpta. E

9. Hallar el resto de dividir )6)(5)(4)(3)(2)(1( xxxxxx

entre 1172 xxA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 131Solución

117)6)(5)(4)(3)(2)(1(

2

xx

xxxxxx

Multiplicando lo indicado tenemos:

117)127)(107)(67(

2

222

xx

xxxxxx

Hacemos que xx 72 = y

=11

)12)(10)(6(

y

yyy

Por el teorema del resto: y = -11)1211)(1011)(611(Re sto

)1)(1)(5(Re sto5Re sto Rpta. E

10. Calcular el valor numérico del término central del cociente nota-ble originado al dividir:

44

100100

)()()()(

yxyx

yxyx

para x = 3, y = 22 .

A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000Solución

44

100100

)()()()(

yxyx

yxyx

=

44

254254

)()()()(

yxyx

yxyx

El término central ocupa el 132

125

término, entonces k = 13.

Aplicando la Ec.:

CEPU 2011

-II

132 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG1

)( .. kkmk BAsignot |

113413254)13( )(.)(

yxyxt

124124)13( )(.)( yxyxt

4848)13( ).()( yxyxt

48)13( )).(( yxyxt

4822)13( yxt

Reemplazando los valores de “x” e “y” 4822

)13( )22()3( t

4889

4811

Rpta. A


1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el resto de1)3)(x(x

)(

xP

A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

2. Calcular A+B si la división12

2522

234

xx

BAxxxxes exacta.

A)146 B)164 C)116 D)46 E)16

3. Hallar el término 21 en el siguiente cociente notable:20

2

11

2

x

xx.

A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1

4. Señalar "m" para que 222

732

mm

mm

ba

basea un cociente notable. De m2 +

m+1.

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 133A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.

5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que esde tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) ycarece de término cuadrático?A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9

6. Calcular el 7mo. Término del cociente: 25

3075

yx

yx

A) 1540 yx B) 1240 yx C) 2040 yx D) 3040 yx E) 1218 yx

7. Dado el cociente notablecb

a

yx

yx

12

, el término de lugar “k” de su

desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20y a3 + c3 = 5840. Calcular k.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Cuando el polinomio DCxBxAxx 23415 se divide entre35 2 xx , se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de

uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. HallarA+B-C+2DA) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0

9. El resto de dividir)1)(3(1923)2( 2

xx

xx n

, es:

A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9

10. Hallar el resto en:1

)1(2

122

xx

xx nn

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.

CEPU 2011

-II

- 134 -

XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS

MÉTODOSFACTORIZACIÓN

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multipli-cación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizarsignifica convertir una suma algebraica en producto de factores.

METODOS DE FACTORIZACIÓN

1.- FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos: factor común monomio factor común polinomio factor común por agrupación

a) Factor Común Monomio: Cuando el factor común a todos los térmi-nos del polinomio es un monomio.

ejemplo: Factorizar:

15a2b + 10a4b2 – 20a4b4

el factor común es: 5a2b 15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)

b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es unpolinomio.ejemplo: Factorizar:

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z)el factor común es: xy – z

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)

c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 135que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio.

ejemplo: Factorizar:xy – zy + xw – zw

agrupamos de la forma siguiente:

xy - zy + xw - zw

y(x – z) + w(x – z)(x – z) (y + w)

2. METODO DE IDENTIDADES

a) Diferencia de Cuadrados: Es una diferencia de cuadrados perfectos.

a2n – b2n = (an + bn) (an – bn)

Ejemplo: Factorizar: x6 – y8

x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2

= (x3 + y4) (x3 – y4)

b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:

a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s

ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4

x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2

= (x4 + 3y2)2

c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos:

a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)

a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)

CEPU 2011

-II


8x - 2x - 32

2x 1

4x -3

4x

- 6x

- 2x

ejemplo: Factorizar: x9 + 8

x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22]

= (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)

3. METODO DEL ASPA

c) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

ax2n bxn c x2n bxn c

PROCEDIMIENTO: Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplica-

das los vuelve a reproducir. Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este último

debe coincidir con el término central. Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.

ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x - 3

)34()12()( xxxP

d) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

ax2n bxnyn cy2n dxn eyn f

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntérmino se completa con coeficiente cero. También el método de aspa

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 137doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x – 11y – 10

6x + 7xy - 3y + 11x - 11y - 102 2

3x - y -2

2x 3y 5

III III

Verificando los términos

I IIIII 9xy- 2xy

+7xy

: - 5y- 6y

-11y

: 15x- 4x

11x

:

Luego la expresión factorizada es:

E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)

Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de laforma general:

ax4 bx3 cx2 dx e

PROCEDIMIENTO:

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus facto-res primos con signos adecuados.

Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta ma-nera se obtiene un término de 2do. grado.

A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al tercer término.

Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer términodel polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente.ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9

CEPU 2011

-II

138 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGsolución:

x - 10x + 19x - 18x + 94

x 9

x 1

3 2

2

2

9x

x

10x

2

2

2

Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2

Se descompone 9x2 en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y4to. término.

X X

- X 1X

- 9 92

2

I II

Verificando los términos:

- XX X

X

X X- 9 - 9

- 9

- 10 - 18

3I II

La expresión factorizada es:

E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1)

4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fac-tores de primer grado de forma:

x B ; A x BEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)

Procedimiento:- Se determina por lo menos un cero del polinomio- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o

factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor ob-

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 139tenido mediante la regla de RUFFINI.

Ejm:Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6Sol: Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x =

1, 2, 3, 6 Para x = – 1

P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡

Luego (x + 1) es el factor del polinomio Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:

1 6 11 6-1 -1 -5 -6 1 5 6

Luego el polinomio factorizado es: ( x – 1)(x2 +5x + 6)

Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)

5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULOa) Reducción a diferencia de cuadrados

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una di-ferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8

Solución:Se observa que los extremos son cuadrados perfectosEntonces:E = 49x4 + 5x2y4 + y8

E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2

E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )

CEPU 2011

-II

140 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGb) Método de Sumas y Restas

Consiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que seforme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:

x2 + x + 1 ó x2 – x + 1

algunas veces también se completa el PolinomioEjm: Factorizar : E = x5 + x – 1

Solución:Sumando y restando x2

]1)1()[1(

)1()1)(1(

)1()1(

)1(

1

22

222

232

225

225

xxxxE

xxxxxxE

xxxxE

xxxxE

xxxxE

)1)(1( 232 xxxxE

c) Cambio de Variable:

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obten-ga una forma de factorización mas simple.

Ejm:Factorizar:

38)242)(32(

38)6)(4)(3)(1(22

xxxxE

xxxxE

haciendo: x2 – 2x = a

)52)(222(

)5)(22(

11027

387227

38)24)(3(

22

2

2

xxxxE

aaE

aaE

aaE

aaE

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 141PROBLEMAS:

1. Factorizar: 1)1)(2()1)(2)(3( xxxxxx

a) 2)3)(1( xx b) )3)(2( xx c) )1()2( 2 xx d) )3()1( 2 xx

e) 22 )3()1( xx

Solución

(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)(x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1](x+1)[x2+5x+6+x+3](x+1)[x2+6x+9](x+1)(x+3)2 Rpta. A

2. Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1a) (x+y+1)(x+y)2 b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1)d) (x+y+1)(x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)

Solución1333 xyyx

133333 223223 xyxyyxyxyyxxxyxyyxyx 3331)( 223 xyxyyxyx 3331)( 223

)1(31)( 3 yxxyyx

)1(31)()()1( 2 yxxyyxyxyx

xyyxyxyxyx 312)1( 22 )1)(1( 22 yxyxyxyx Rpta. C

3. Uno de los términos independientes de los factores simples de:6104 245 xxxxE es:

a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3

CEPU 2011

-II

142 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSolución

Por método de RUFFINI tenemos:1 4 0 -10 -1 6

1 1 5 5 -5 -6

1 5 5 -5 -6 /1 1 6 11 6

1 6 11 6 /-1 -1 -5 -6

1 5 6 /-2 -2 -6

1 3 /

Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3)El términos independientes buscado es 3. Rpta. C

4. Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xya) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)(2x+y)(x+y) e) N.A.Solución

xyyxxyxyyxE )()(22

xyxyxyxyyxE 2222

xyyxE 322 22 xyxyyxE 422 22

)2(2)2( xyyyxxE )2)(2( yxyxE Rpta. B

5. Calcular el término independiente de uno de los factores de:504)4)(6)(7)(5( xxxx

A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12

CEPU 2011

-II

División, teorema del resto, cocientes notables 143Solución

504)4)(6)(7)(5( xxxx =

Multiplicando lo indicado tenemos:504)42)(20( 22 xxxx

Hacemos que xx 2 = y504)42)(20( yy

504840622 yy

336622 yy)6)(56( yy

Reemplazando el valor de y)6)(56( 22 xxxx

)2)(3)(7)(8( xxxxRpta. D.

6. Un factor de: )464(12 432232 yxyyxyxx A) 221 yxy B) 122 yx C) 221 yxy D) 2221 yxy E) 122 2 yxySolución

)464(12 432232 yxyyxyxx =

= )464(12 43223442 yxyyxyxxxx )464(12 43223424 yxyyxyxxxx

422 )()1( yxx

2222 )()1( yxx 2222 )()1(.)()1( yxxyxx 222222 21.21 yxyxxyxyxx 222 21221 yxyxyxy

Rpta. A7. El factor de grado uno respecto a “x” en

3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH es:A) x-y B) x+y-z C) y+z D) x-y+z E) x+z

CEPU 2011

-II

144 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGSolución

3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH 3223);;( yzyzxxyzxzyxH

2233);;( zyzxxyzyxzyxH

)())(();;( 2222 yxxyzyxyxyxzyxH ))(();;( 22 zyxyxyxzyxH Rpta. D

8. Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es:A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1 D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2

Solución2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 22a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2

Comprobando:

aaa

bbb

ababab

34

523

56

Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2)Rpta. E

9. Al factorizar el polinomio 44 814);( yxyxP , y evaluar uno de

sus factores para x = y = 2 , se tiene:A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34Solución

44 814);( yxyxP 224224 3681364);( yxyyxxyxP

22222 36)92();( yxyxyxP 2222 )6()92();( xyyxyxP

xyyxxyyxyxP 692.692);( 2222

CEPU 2011

-II


evaluando los factores para x = y = 2

* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx= 1012184

* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx= 3412184

Rpta. E

10. Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:1014744 22 bababa

A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13Solución

1014744 22 bababa = 1014744 22 bababa

= 10272 2 babaHaciendo a+2b=x= 1072 xx= )2)(5( xxReemplazando el valor de x= 2252 baba

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; lasuma es 7.

Rpta. B


1. Factorizar: 656128 23 xxxA) 3)52( x B) 3)132( x C) )1344)(52( 2 xxx D) 3)52( x

E) )1344)(52( 2 xxx

2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es:A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.

CEPU 2011

-II


3. Si: 3333 )()()()( cabacabaR . Hallar la suma de loscoeficientes de uno de los factores.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

4. Al factorizar la expresión pqqxpyxyzzxyE )()( 23 ; uno delos factores es:A) zyx 22 B) qzxy 2 C) qzxy 2 D) pyzx 2 E) xyz - q

5. Factorizar 3333)();:( zyxzyxzyxP , e indique el númerode factores lineales primos.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

6. Factorizar 1234)( 246 nnnnnF , e indicar el producto de loscoeficientes de uno de los factores.A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9

7. Si )32(3)4)(1()( 22 yyyyT , entonces la suma de los facto-res es:A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A.

8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es:A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1 E) x3+x2+1

9. En el polinomio 4222 24)(14)();( yyxxyyxxyxP , señaleuno de los factores primos.A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A.

10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes deuno de los factores es:A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.

CEPU 2011

-II

- 147 -

XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO

COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓN

I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-MIOS

Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPO-NENTE.

Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con suMAYOR EXPONENTE.Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B

1)(y5)(x8)(x

5)(x8)(x1)-(x93

357

B

A

Sol :

1)(y5)(x8)(x1)-(xB)(A,

5)(x8)(xB)(A,957

33

MCM

MCD

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomina-dor donde este último es a lo menos de primer grado.Por ejemplo

6

7*

y-

32*

5

52

-x

x

x -x

CEPU 2011

-II

148 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGIII. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se fac-

toriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunesque aceptan.

Ejm : Simplificar :

a

x -E

xa

x -E

ax

x -xE

22

3)-(22)-(x)3(

6a-2652

Operaciones con Fracciones algebraicas :* Suma y Resta:

Tener presente los siguiente:- Simplificar las fracciones si es necesario.- Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de

los denominadores.- Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y

se multiplica por el numerador respectivo.- Finalmente simplificar la fracción obtenida.

* Multiplicación y División : Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y

denominadores y luego multiplicar estos entre si. Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa co-

mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 1. :

Efectuar12x-

3

1-

222

xx

Solución :

2

2

2

2

1)-(1)(15

1)-(1)(332-2

1)-(1)(1)(31)-(2

1)-(3

1)-(1)(2

xx

x

xx

xx

xx

xx

xxx

Ejemplo 2.Efectuar :

2xy-

y2xyx*

xy-

2-2

22

2

2

xx

yxy

Solución :

2

2

2

xy)(x

2y)-(y)(y)(x)2-(

2y)-(y)(x

*y)(

)2-(

y

xxxx

yxy

xxxx

yxy

CEPU 2011

-II

Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 149

PROBLEMAS:

1. Hallar el Máximo Común Divisor de:234 6xxxA y xxxxB 12167 234

a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2

Solución)2)(3()6(6 222234 xxxxxxxxxA

223234 )2)(3()12167(12167 xxxxxxxxxxxB

MCD(A,B) = x(x+2)Rpta.B

2. Calcularnmc

mkaE

b

b

, siendo )4(3 11 mn yxA ;

)8(2 11 mn yxB . Además el MCM de A y B es 4ycxa y el MCD

de A y B es .5 bykxa) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15

Solución

1111 12)4(3 mnmn yxyxA1111 16)8(2 mnmn yxyxB

MCD(A,B) = 114 mn yx por dato del problema

MCD(A,B) = .5 bykx

Entonces : 114 mn yx = bykx5

k = 4n – 1 = 5 ==> n = 6m – 1 = b

MCM(A,B) = 1148 mn yx por dato del problema

MCM(A,B) = 4ycxa

Entonces : 1148 mn yx = 4ycxa

c = 48

CEPU 2011

-II

150 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGn + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7

m + 1 = 4 ==> m = 3reemplazando en la Ec. : m – 1 = b

3 – 1 = b ==> b = 2

Por tanto:nmc

mkaE

b

b

6348

3472

2

E

45

48E

15

16E Rpta. E

3. Simplificar:22

2

)()1(

1

xbbx

bM

a)x1

1b)

21

1

xc)

21

1

xd)

x1

1e)

1

1

xSolución

)1)(1(

1 2

xbbxxbbx

bM

)1)(1(

1 2

xbbxxbbx

bM

4. Simplificar a su mínima expresión:

2

222

xxy

yxy

xy

yxE

a) x2 b) x – 2y c) x d)xy

yxy 22e)

y

x

Solución

)(

)(22

xyx

yxy

xy

yxE

CEPU 2011

-II


)(

)(22

xyx

xyy

xy

yxE

x

y

xy

yxE

22

xy

yyxE

222

xy

xE

2

y

xE Rpta. E

5. Si la expresiónqnx

qmxE

2

, es igual a 1; hallar el valor de

mq

nF

2

, sabiendo que “x” toma un solo valor.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8Solución

Por dato del problema: 12

qnx

qmx

qnxqmx 2

022 qnxmx

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y tambiénpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces:Para que “x” tenga una solución debe cumplir: 042 acb

Reemplazando tenemos:02..4)( 2 qmn

mqn 82

Finalmente:mq

nF

2

CEPU 2011

-II


mq

mqF

8

8F Rpta. E

6. Descomponer en fracciones parciales:

cz

C

bz

B

az

A

zzz

zz

652

261523

2

. La suma “A + B + C”

es igual a:a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1Solución

cz

C

bz

B

az

A

zzz

zz

)2)(3)(1(

26152

231)2)(3)(1(

26152

z

C

z

B

z

A

zzz

zz

)2)(3)(1(

)3)(1()2)(1()2)(3(

)2)(3)(1(

26152

zzz

zzCzzBzzA

zzz

zz

)3)(1()2)(1()2)(3(26152 zzCzzBzzAzzDando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3)

-12 = -6AA = 2

Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5)10 = 10B

B = 1Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5)

- 60 = 15CC = -4

Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4= -1 Rpta. E

7. Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es el

CEPU 2011

-II

Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 153MCD de P y Q, hallar el cociente B/A.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Solución

Sean: 1),(4)(

2)(2

2

xQPMCD

BxAxxQ

BxAxxP

Entonces P y Q son divisibles por x-1Entonces x – 1 = 0

x = 1* En P(x)A(1)2 + 2(1) – B = 0A – B = -2 ……. (1)* En Q(x)A(1)2 - 4(1) + B = 0A + B = 4 …….. (2)

Resolviendo Ec. (1) y (2):A – B = -2A + B = 42A = 2

A = 1B = 3

Por lo tanto 31

3

A

B

3A

B

Rpta C

8. Efectuar y simplificar:2233

2

yxyx

x

yx

xy

. El numerador es:

A) x(y-x) B) x(x+y) C) x-y D) x+y E) xy(x-y)Solución.

2233

2

yxyx

x

yx

xy

=

2222 ))((

2

yxyx

x

yxyxyx

xy

CEPU 2011

-II


=))((

)(222 yxyxyx

yxxxy

=))((

222

2

yxyxyx

xyxxy

=))(( 22

2

yxyxyx

xxy

=))((

)(22 yxyxyx

xyx

El numerador es: x(y-x)Rpta. A

9. Hallar M + N para que se tenga:35152

62

y

N

y

M

yy

y

A) 11/8 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8Solución.

35152

62

y

N

y

M

yy

y

)3)(5(

)5()3(

152

62

yy

yNyM

yy

y

)3)(5(

53

)3)(5(

6

yy

NNyMMy

yy

y

Simplificando denominadores tenemos:NNyMMyy 536

NMyNMy 53)(6 Entonces:

M + N = 1-3M +5N = -6

653

333

NM

NM

8N = -3

8

3N

CEPU 2011

-II


8

11M

Por lo tanto: 18

8

8

3

8

11 NM

1 NM

Rpta. D

10. Reducir la expresión:

yx

y

yx

yx

yxyx

xy

K

2

21

8

8

24

82

33

33

22

A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2Solución

yx

y

yx

yx

yxyx

xy

K

2

21

8

8

24

82

33

33

22

yx

yyx

yx

yx

yxyx

xyyxyx

K

2

22

8

8

24

8248

33

33

22

22

yx

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

K

2

2

)2(

)2(

24

248

33

33

22

22

yx

yx

yyxxyx

yyxxyx

yxyx

yxyx

K

2

2

).2)2)((2(

).2)2)((2(

24

)24(2

22

22

22

22

CEPU 2011

-II


yx

yx

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yxyx

K

2

2

)24)(2(

)24)(2(

24

)24(2

22

22

22

22

)2)(24)(2)(24(

)2)(24)(2)(24(22222

2222

yxyxyxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxK

Simplificando la Ec. Anterior tenemos:

2KRpta. E


1. El MCD de ;)( 22yxy 322 32 yxyyx ; 43 ayyax ; 32 yyx ;es:A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.

2. Efectúe y simplifique:

abb

aba

abb

ababa 2

2

2

222 )( . El denomi-

nador es:A) 22 ba B) 22 ba C) 22 ab D)a+b E)a(a-b)

3. Simplifique .1212

11

nn

nn

xyyx

xyyxE

A) nn yx B) nn yx C) 1 nn yx D) 1

nn yx E)

2 1 nn yx

4. Reducir la expresión:

x

E

33

33

33

CEPU 2011

-II


A)32

)2(2

x

xB)

32)2(3

x

xC)

322

x

xD)

32

x

xE)

322

x

x

5. Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su

mínima expresión:12

ABC

BCACABJ

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

6. Calcular: TW Si:

...1

11

ba

baT y

...1

11

ab

abW

A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b

7. Calcular el MCD de 673 aaM y 32 24 aaNA) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1

E) a2+1

8. Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x)= 6x4

A) zyx 3312 B) 23412 zyx C) 23472 zyx D) 22436 zyx E) N.A.

9. ;4)1( 626 xxAB 222 4)1(),(),(

xxBAMCD

BAMCM . Uno de los

factores del MCD(A,B) es:A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1

10. Simplificar la expresión:xx

xxxxE

1648163

3

234

.

A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3

CEPU 2011

-II

- 158 -

XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR,

ECUACIONES E INECUACIONES

I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”,llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad“A”, llamada radicando.En general :

nrAr n A

Leyes de Signos :

real) valor tienenoraizesta(imaginaria*

r*

r*

r*

par

par

impar

impar

A

A

A

A

Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.

Ejm 1. : Hallar 4 82016 zy16x

Signo radical

raízradicandoíndice

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 159

2544 82016 zy2xzy16 x

Ejm 2. : Hallar 3 31812 zy27x

zy3x-zy27 643 31812 x

Raíz Cuadrada de un polinomioProcedimiento :- Se ordena y se completa- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha.- Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser

un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-mio.

- Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y sellama polinomio dado, eliminándose la primera columna.

- Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pri-mer termino de la raíz.

- El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segun-do término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términosque se habían bajado.

- Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio : 420-2910- 234 xxxxSolución :

(2)2)10x-(2x

10x-2x)5x-x(2

(-5x)5x)-x2(

2x)x(2

25x- x

___

4-20x4x-

420x-4x0

25-10-

2910-0

x-

420-2910-

2

22

2

22

2

2

2

23

23

4

234

xx

xx

xxxx

CEPU 2011

-II


25x- x420x-29x10x-x 2234

Radicales Dobles:

Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por lasoperaciones de suma o resta.

Forma general : BA

Transformación de radicales dobles en radicales simples :

Caso1 : Radicales de la forma BAEste caso se podrá transformar en radicales simples solo si :

cierto,esestosiexacta,raízesCDondeCB-2 A

Entonces :

2

CA

2

CAB

2

CA

2

CAB

A

A

Ejm : Descomponer en radicales simples : 32 Solución : A = 2 ; B = 3

Entonces :

Por tanto :1

3-43-2

B-2

2

C

C

AC

2

1

2

332

2

12

2

1232

CEPU 2011

-II


Caso 2 : Radicales de la forma : baab2b a

Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples : 21210

Solución : 21210 tiene la forma de segundo caso entonces buscamosdos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. dichos números quecumplen son 7 y 3. entonces :

3721210

Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : 12011Solución :

12011 = 30 x411

= 6X556

30211

= 56

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 21624 Solución :

21624 = 21624

= 22.(8)24

= 64.2224

= 16x8816

128224

= 816 = 4 + 24x

= 4 + 22

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equi-valente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos

CEPU 2011

-II


1er Caso .- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

n ka

A

Procedimiento:Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión

de la forma: n kna que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE

Es decir:

n kn

n kn

knkn a

a

a

A

a

A

.

=n kkn

a kn

a

aA

=a

aA

a

aAknn

n n

n kn

Ejem : Racionalizar3 3

3

33

3 3

3

3 23

3

3 2

3 2

39

3

93

3

93

3.3

93

3

3.

3

3

2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se ra-cionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De laforma:

ba

A

Ejm. : Racionalizar :27

3

27

3

22 27

273

2727

273

CEPU 2011

-II


5

273

27

273

3er caso : Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyosradicales son de tercer orden.

33 ba o 3 233 2 baba Nota.- Recordemos que

3322 babababa

3322 babababa Ejm.:

Racionalizar:33 25

7

E

3 2333 233 2

3 23323

33 22.5525

)22.55(7

25

7

E

=

3 33 3

3 233 2

25

22.557

=

7

)41025(7

25

410257

333333

333 41025

4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índi-ces iguales pero mayores que 3, de forma: nn ba

Ejem. Racionalizar

55 310

14

E

CEPU 2011

-II


4535525255354555

45355252553545

33.10310310.10310

33.103.103.101014

E

5555

45355252553545

310

33.103.103.101014

E

7

33.103.103.10101445355252553545

E

Simplificando:

)81270900300010000(2 552555 E

II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaroperaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermina-ción.Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

,25

1522

2

x

xxE para x = 5

Solución:Sustituyendo x = 5 en la fracción

0

0

255

155.252

2

E , es indeterminado

factorizando el numerador y denominador tenemos

25

1522

2

x

xxE

55

35

xx

xxE

CEPU 2011

-II


5

3

x

xE

Reemplazando nuevamente tenemos:

10

8

55

35

E

5

4E

Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:

2

122

x

xxE , para x = 4

Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos0

0E

2

122

x

xxE

2.2

2.34

xx

xxxE

4

2342

x

xxxE

4

234

x

xxxE

23 xxE

Reemplazando seremos:E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2)E = ( 7 ) ( 4 ) = 28

CEPU 2011

-II


III. ECUACIONES

Es una igualdad de dos expresionesalgebraicas que queda satisfechasolo para algunos valores asignadosa sus letras.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESA. Según que sus incógnitas estén

afectadas o no de radicales lasecuaciones pueden ser:

1. Ecuaciones Racionales.-cuando sus incógnitas no estánafectadas de radicales.

2

1

5

1

xx

2. Ecuaciones Irracionales.-Cuando al menos una de susincógnitas está afectada de ra-dical

3 xx

B. Según el número de Raíces osoluciones, las ecuaciones pue-den ser:

1. Ecuaciones Compatibles.-Cuando tienen solución. a suvez pueden ser:

- Compatibles Determinadas:Cuando el número de raíces eslimitado

Ejm:25

3xx

10x

- Compatibles Indeterminadas:cuando el número de raíces eslimitado:

Ejm.: 54254)12( xxxx

33 xx

2. Ecuaciones Incompatibles oabsurdas.- cuando no tiene so-lución

Ejm.:

610)3(35)13( xxxxx

65

C. Según el tipo de coeficientes:

1. Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes sonnúmeros

Ejm: 0652 xx

2. Ecuaciones Literales.- cuan-do al menos uno de sus coefi-cientes es letra

Ejm.: dcxbax , dondex es la incógnita

D. Según el grado:1. Primer grado 915 x2. Segundo grado

0652 xx3. Tercer grado: 083 x

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 167ECUACIONES DE PRIMERGRADOFormula General

Siendo a y b coeficientes, x es laincógnita. La solución es

Ejm: Resolver: 482 xxSolución:

x

x

xxx

xx

xx

8816

8168

8168

84

84

22

222

2

Reemplazando x = 3 en la ecuaciónanterior llegamos 2 = 4

La ecuación es incompatible.

ECUACIONES DE SEGUNDOGRADOEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formasiguiente:

Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:

Se resuelve mediante dos formas:

a) Resolución por factorizaciónEjm: Resolver 0452 xx

04

014

x

xx

4x 1x

b) Resolución por fórmula GeneralSea la ecuación:

02 cbxax

Entonces

FormulaGeneral

Ejm.: Resolver 0452 xx

Identificando: a=1; b= -5: c=4

2

352

16255

1.2

4.1.4255

2

42

x

x

x

a

acbbx

4,1., SC

0 bax

a

bx

3x

02 cbxax

01x

a

acbbx

2

42

12

2

2

35

42

8

2

35

x

x

CEPU 2011

-II

168 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGDiscusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado

La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valordel Discriminante ().Donde =b2 – 4acAnalicemos los 3 casos:

a) sí 0 , las dos raíces son reales y desigualesb) si ,0 las dos raíces son iguales y realesc) si ,0 las dos raíces son complejas y conjugadas

Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. 02 cbxax sus raíces son:

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

Entonces:

a)a

bxx

21

b)a

cxx 21.

Formación de una Ecuación de segundo grado.-

Sea 1x y 2x raices de ecuaciónEntonces la ecuación se formará así:

021212 xxxxxx

IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos númerosreales y que nos indica que tienen diferente valor.

Si: bababa /, ó ba

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta pormedio de Intervalos.

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 1691. Clases de Intervalos:

Intervalo abierto: bxa . ba, ó ba, ó ba,

Intervalo cerrado: bxa ba,

Intervalos mixtos: bxa ba, ó ba, ó ba,bxa ba, ó ba, ó ba,

2. Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma

0 bax ó 0 bax

3. Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma

02 cbxax ó 02 cbxax

4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayoro igual que tres.

OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior serecomienda usar el método de puntos críticos.

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES:

Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y queluego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:

* 021 naxaxax puede ser 0,0,0 donde ia son diferentesentre si

0

.......

.......

21

21

m

n

bxbxbx

axaxaxtambién 0,0,0 donde ia y ib

son todos diferentes entre si

Nota: En lugar de ax puede ser acx pero 0c

CEPU 2011

-II

170 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGPROCEDIMIENTO:1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los facto-

res, ordenando en forma creciente sobre la recta real.2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en for-

ma alternada de derecha a izquierda.3. La solución de la inecuación estará dada por: Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es ó Zonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es ó

4. Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es

ó de lo contrario no serán parte de la solución

OBSERVACIÓN: En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea

positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundomiembro figure el cero

Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-presentan “Puntos Críticos”

Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por launidad

En el cociente 0

b

alos valores críticos provenientes del

denominador no forman parte de la solución (son abiertos) Sea Zn

0002 abba n 000.2 abba n

000.2 abba n 000.2 abba n

0012 abba n 00.12 abba n

0012 abba n 0012 abba n

Ejemplo 1:

Resolver: 07

402223

xx

xxx

Solución:

7

542

07

402223

xx

xxx

xx

xxx

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 171Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7

+ + +-7 -5 0 2 4

Como la inecuación es “ ” se toma los “negativos” 4,20,57, x

Ejm. 2

Resolver: 65

x

x

Solución:

0

5

65

05

305

05

305

05

306

05

56

065

x

xx

xx

xx

xxx

xxx

x

Valores críticos : 6 y 5

+ +5 6

Tomamos los negativos:

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Transformar a radicales simples:3 3610

6,5.. xSC

CEPU 2011

-II


a) 13 b) 23 c) 15 d) 13 e) 15 Solución

yx 33 108103610

A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C

3 2 BAC 3 108100 C

C = -2 CxxA ..34 3

10 = 4x3 - 3x(-2)4x3 + 6x –10 = 02x3 + 3x –5 = 0por tanteo x = 1

y = x2 - Cy = 12 – (-2)y = 3

Por lo tanto:

3136103

= 1 + 3 Rpta. D

2. Racionalizar:224

2333

3

a) 123 b) )14(3 c) 143 d) )12(3 e) 123 Solución

222

23323

3

Hacemos x3 2 ==> 2 = x3

Reemplazando tenemos:

CEPU 2011

-II


)1)(1)(42)(2(

)1)(42(3

)1)(2(

3

2

322

22

2

xxxxxx

xxxxx

xx

x

xx

x

)1)(2(

)444222(3333

223234

xx

xxxxxxxxx

)1)(8(

)423(333

234

xx

xxxxx

)1)(8(

)423(333

2345

xx

xxxxx

)1)(8(

)423..(333

23323

xx

xxxxxxx

)12)(82(

)422.322(3 22

xxxx

)3)(6(

)66(3

x

18

)1(18

x

)1( x

)12(3 Rpta. D

3. La solución de la Inecuación:01892 xx es:

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)

Solución01892 xx

(x-6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6

+ - +

3 6

Como la inecuación es < se toma los negativos.C.S. = (3,6) Rpta. B

CEPU 2011

-II


4. En 21

xx ; el valor de x correcto es:

a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2Solución

21

xx

021

x

x

0212

x

xx

10)1( 2

xx

x

01

x0x Rpta. B

5. Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:

53

1

3

52

xxpara ;5x

a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

SoluciónMultiplicando por 3:2x – 5 < 1 – x + 15

3x < 21x < 7

Entonces: 7;5x Rpta B.

6. Determinar el valor de “m” para que la ecuación02 22 mmxx tenga raíces iguales.

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la for-

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 175ma: ax2+bx+c=0.Se cumple: b2 – 4ac = 0

b2 = 4ac(2m)2 = 4.1.m2

4m2 = 4m2

m puede tomar cualquier número real.Rpta. A

7. Efectuar:625

6

1228

34

1829

23

E

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) N.A.Solución

625

6

1228

34

1829

23

E

232326263636

625

6

1228

34

1829

23

xxxx

E

23

6

26

34

36

23

E

)23)(23(

)23(6

)26)(26(

)26(34

)36)(36(

)36(23

E

23

)23(6

26

)26(34

36

)36(23

E

1

)23(6

4

)26(34

3

)36(23

E

)23(6)26(3)36(2 E

1218618612 E0E

Rpta. D

CEPU 2011

-II


8. Calcular el verdadero valor de 2422

x

xE , cuando x = 0.

A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6Solución

2422

x

xE

24

22

2222

xx

xxE

24

22

2222

xx

xE

2422

22

xx

xE

2422

xx

xE

2422

1

xE

22

24

xE

Reemplazando el valor de x

22

24

E

22

24E

2ERpta. B

9. La diferencia de las raíces de la Ecuación 016,232 xx , es:A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16

CEPU 2011

-II

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 177Solución.

016,232 xx

0100

21632 xx

0100

21632 xx

025

5432 xx

multiplicando la Ec. Anterior por 25.0547525 2 xx0)65)(95( xx

5

9x

5

6x

Por tanto: 6,05

3

5

6

5

9

Rpta. 0,6

10. Hallary

xen

10

20

yxyx

yxyx

A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125

Solución

10

20

yxyx

yxyx

302 yx

15 yx

225 yx ......... (1)Tenemos:

CEPU 2011

-II


10

20

yxyx

yxyx

Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:

10

20

yxyx

yxyx

102 yx

5 yx

25 yx .......... (2)De la Ec. (1) y (2):

25

225

yx

yx

2502 x125x100y

Por lo tanto:4

5

100

125

y

x

4

5

y

x

Rpta. B


1. Determinar el valor de “x” en: 4253 42 xx

A) x<3 B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4 E) x>3

2. Al Reducir: 627292547 ; se obtiene ba ; a>b.

Hallar a+b.A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

CEPU 2011

-II


7)4()3()4()3(

22

33

xx

xx; Hallar el valor de 2a+3b.

A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3

4. Al racionalizara

abba , se obtiene:

A) bab 4 B) bab C) ab D) ab E) bb 4

5. El conjunto de solución de:1

2011

11

2

x

x

x

x

x

x, es:

A) 5 B) 4 C) 0 D) 4 E) 5

6. Resolver: 0235 2 xx . El intervalo solución es:A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] E)N.A.

7. Resolver: 3112

x

x. El intervalo de solución es:

A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1] D) [-2;-1] E)N.A.

8. Hallar el verdadero valor dex

xxH

33 11 , cuando x=0.

A) 0 B) C) D) 2/3 E) 3/2

9. Hallar el verdadero valor de4

83

x

xpara x = 64, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Resolver: 62

2

xx

x

A) 2,x B) ,3x C) ,32,xD) 3,x E) ,2x

CEPU 2011

-II

- 180 -

XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y

FUNCIONESVALOR ABSOLUTO:

1. VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real xa un número no negativo, definido por:

0,

0,

xsix

xsixx

2. TEOREMAS:

Para todo x, y tenemos:

a) 00 xx

b) xx

c) yxxy

d) 22xx

e) 22 xx

f) xx 2

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

bx bxóbxyb 0

Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolveráestá determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.Ejemplo:Resolver: 425 xx

CEPU 2011

-II

Valor absoluto, relaciones y funciones 181SoluciónEl universo está determinado:

2x – 4 > 02x > 4

x > 2===> ,2[x

425425 xxóxx

139 xóx

319 xóx

=> 31,9 Observamos que Universo9 y Universo 3

1

Por lo tanto el conjunto de solución es:C.S. = {9}

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Sean : Rax , , entonces:

)()0( axayaax

axóaxax

TEOREMAS:

Dados a y b en los reales, se cumple:- 0))(( bababa

- 0))(( bababa

Ejemplo:Resolver: 5x

Solución:Como 5 > 0 entonces:

- 5 < x < 5

C.S. = 5,5x

CEPU 2011

-II

182 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGRELACIONES

1. Pares ordenados, Producto Cartesiano: Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera

componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a,b).

El producto cartesiano A x B; se define:

A x B = { (a,b) / aA y bA }

Donde A y B son dos conjuntosEjm:

Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b }

Entonces:A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}

Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-pectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos.

2. Relación:

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.

R es una relación de A en B RA x B 2

Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.R1 = { (5,2)}R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones:R1 = { (x,y) A x A / x < y }R2 = { (x,y) A x A / x +y = 5 }

CEPU 2011

-II

Valor absoluto, relaciones y funciones 183

Hallar R1 R2

Sol:

A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }

R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) }R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}

Por tanto: Hallar R1 R2 { (1,4)(2,3) }

3. Dominio y rango de Relaciones

Sea R una relación de A en B; es decir RA x B: Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras

componentes de los pares ordenados de R. Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundas

componentes de los pares ordenados de R.

Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

Entonces:Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 }Rang (R) = { 1, 2, 3 }

4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d =d(R,T) es:

2122

12 yyxxd

FUNCIONES

1. Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.Se distingue lo siguiente:

CEPU 2011

-II

184 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG- Conjunto de partida- Conjunto de llegada- Regla de correspondencia.

Ejm: Dados :

A = { 1, 3, 5 }B = { 3, 7, 1 }

Hallar y graficar la función f = A B definida por y = 2x +1

Solución:

si x = 1 y = 3si x = 3 y = 7si x = 5 y = 11

f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

gráficamente

13

A

fB

5

3

711

2. Dominio y rango de una función

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los paresordenados de dicha función, Dom(f) = { xA, y B / y = f(x) }A

Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los paresordenados de dicha función. Rang(f) = { yB / x Dom fA } B

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}

CEPU 2011

-II


3. Gráfica de funciones Si f es una función (de valor) real de una variable real se llama la

GRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es consi-derado como un conjunto de puntos del plano.

Ejm:

Trazar la gráfica de la siguiente función:

f = { (x, y) x / y = x2 + 1 }

y hallar el Dominio y Rango de f.

Sol:

x ....... -2 -1 0 1 2 .......y ....... 5 2 1 2 5 .......

1

1- 1

2

2- 2

3

4

5

y

x

Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función

f = { (x, y) R x R / y = x2 + 1 }

CEPU 2011

-II

186 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGHallar el dominio y rango de f

Sol:

Dom(f) = RRang(f) = [1, + >

x -2 -1 0 1 2y 5 2 1 2 5

1

1- 1

2

2- 2

3

4

5

y

x

La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variablereal; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lomás en un punto.

Ejm:y y

x x

no es función no es función

a) b)

y y

x x

si es función si es función

c) d)

Nota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.

CEPU 2011

-II


COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La función compuesta fog es aquella función tal qe: Dom(fog) = {(xDom g / g(x) Dom f} (fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es:a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7Solución

f(2) = 22 + 2.2 + c = 04 + 4 + c = 0

c = -8 Rpta. D

2. Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x).a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2

Solución

[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16[g(x) + 1]2 = [x – 4]2

g(x) + 1 = x – 4g(x) = x – 5 Rpta. A

3. Hallar f(0) Si f(2x-1) = xa) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1Solución:

f(2x-1) = xTomamos 2x-1 = y

2x = y + 1

2

1

yx

CEPU 2011

-II

188 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBGEntonces:

2

1)(

yyf

2

10)0(

f

2

1)0( f Rpta. C

4. Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una fun-ción, la suma de los elementos del rango de dicha función es:

a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10

Solución

Mediante unicidad(1,2a) = (1,3a-5)2a = 3a –5 ==> a = 5

Sustituyendo el valor de a.R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}

Rango = {10, 7, 1, 9}

91710Elemento = 27 Rpta. C

5. Sea la función .6)( 2 xxxf Hallar ).()( fRangfDom

a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [-2;0> e) [-2;0]

Solución

Observamos que se debe cumplir:

-x2 + x + 6 > 0x2 - x - 6 < 0

(x – 3)(x + 2) < 0

CEPU 2011

-II


Puntos críticos: 3 y –2

+ - +

-2 3

Entonces: Dom(f) = [-2;3]

Para hallar el rango:Tabulando y graficando tenemos.

Rang(f) = [0,5/2]

Por tanto:)()( fRangfDom = [-2;3] [0,5/2]

= [0,5/2]

Rpta. B


1. Si1212

)(

x

xxf y

122

)(

x

xxg . Hallar:

)1().2(1)1()2(

gf

gfE

A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3

2. Dado2

1)(

xxf y 1)( 2 xxxg , hallar fog(3).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Resolver xx 1836

A) 2,3 B) 3,3 C) 7,2 D) 3 E) 2,1

CEPU 2011

-II


4. Dada la función 2)( xxf , hallar )()( fRanfDom .

A) [0,+> B) [-2,+> C) [2,+> D) <0,+> E) N.A.

5. Sabiendo que xxxxG 273)3( 23 , calcular G(-7).A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170

6. La gráfica de 12)( xxF pasa por los puntos:A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10)D) (-4,2); (0,1) E) N.A.

7. Hallar el dominio y el rango de

xx

xxxf

1,

1,23)(

2

A) (2,3) y (-,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (-,) y (-,) D) R y R+

E) N.A.

8. Si 8,6,4,2A y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos deRang(R).A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.

9. Resolver 8215 xx

A) –3<x<1 B) –3<x<1 C) –4<x<2 D) –3<x<1 E)N.A.

10. Resolver 41

13

x

x

A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.

CEPU 2011

-II

- 191 -

BIBLIOGRAFÍA

TEORÍA ELEMENTAL DE LOS NÚMEROS William Le VequeARITMÉTICA (Curso Superior) Rey PastorPROBLEMAS DE ARITMÉTICA García ArduraTEORÍA DE LOS NÚMEROS Ruiz Arango, IsidroARITMÉTICA Farfán Alarcón, Oscar RaúlÁLGEBRA Goñi Galarza, JuanÁLGEBRA (Tomo I) Quijano Hiyo, JorgeÁLGEBRA (Tomo II) Quijano Hiyo, JorgeMATEMÁTICA BÁSICA Venero B. ArmandoÁLGEBRA Lehman, Charles

CEPU 2011

-II

Aritmética y algebra

Education

Transcript of Aritmética y algebra