Prácticas de Matemáticas con Mathematica .

Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil.

Práctica nº 9. Integrales múltiples.

Departamento de Matemática Aplicada.E.P.S. de Zamora

Universidad de Salamanca

Ejemplo 1: Calcule el volumen limitado por las superficies cuyas ecuaciones cartesianas son: z = x2+ y2,

z = 4 x2+ 4 y2, y = x2, y = 3 x .

La región limitada por los dos parabolides, el cilindro recto de base la parábola, y el plano dado está dibujadaa continuación.

curvas = ParametricPlot3D@88t, t^2, t^2 + t^4<, 8t, t^2, 4 Ht^2 + t^4L<, 8t, 3 t, 10 t^2<,

8t, 3 t, 40 t^2<<, 8t, 0, 3<, BoxRatios ® 81, 1, 1.5<,

PlotStyle ® 88Red, Thickness@0.01D<<D;

lineas1 = Graphics3D@8Red,

Table@Line@88t, t^2, t^2 + t^4<, 8t, t^2, 4 Ht^2 + t^4L<<D,

8t, 0, 3, 0.1<D<D;

lineas2 = Graphics3D@8Red, Table@Line@88t, 3 t, 10 t^2<, 8t, 3 t, 40 t^2<<D, 8t, 0, 3, 0.1<D<D;

lineafinal = Graphics3D@8Red, Thickness@0.01D,

Line@88t, 3 t, 10 t^2<, 8t, 3 t, 40 t^2<< �. t ® 3D<D;

Show@curvas, lineas1, lineas2, lineafinalD

0

1

2

30

2

4

6

8

0

100

200

300

En el plano OXY la región proyectada consiste en la zona limitada por la recta y la parábola

Plot@83 x, x^2<, 8x, 0, 3<D

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

2

4

6

8

Resulta así, que la región cuyo volumen queremos calcular se puede expresar como una región elemental enel espacio dada por :

0 £ x £ 3, x2£ y £ 3 x, x2

+ y2£ z £ 4 x2

+ 4 y2

y por tanto el volumen se obtiene mediante una integral triple

à0

3

àx2

3 x

àx2+y2

4 x2+4 y2

1 âz ây âx

9477

35

2 9 FM III (8-11-2012) Volúmen intersección de superficies.nb

Ejemplo 2: Calcule el volumen en el primer octante limitado por las superficies cuyas ecuaciones carte-sianas son: z = x2

+ y2, z = 2 x2+ 2 y2, x y = 1, x y = 4, y = x, y = 5 x .

La proyección sobre el plano OXY de la región cuyo volumen queremos calcular está dada por la zonacomprendida entre dos rectas y dos hipérbolas:

d1 = RegionPlot@y £ 4 � x && y £ 5 x && y ³ 1 � x && y ³ x, 8x, 0, 2.5<, 8y, 0, 5<D;

d2 = Plot@8x, 5 x, 1 � x, 4 � x<, 8x, 0, 2.5<D;

Show@d1, d2D

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

1

2

3

4

5

Por tanto, la región cuyo volumen queremos calcular no se puede expresar como una única región elementalen el espacio de la forma

a £ x £ b, F1 HxL £ y £ F2 HxL, Y1 Hx, yL £ z £ Y2 Hx, yLResulta más fácil calcular el volumen pedido tras hacer una cambio de variables. Por la forma que tienen las

ecuaciones de las superficies es fácil proponer un cambio de la forma

z

x2+ y2

= u, x y = v,y

x= w

La región de integración se simplifica enormemente, pero a cambio, hay que calcular el determinantejacobiano de la transformación. Para ello despejamos las variables x,y,z en términos de las nuevas variables u,v,w:

SolveB: z

x2 + y2� u, x y � v,

y

x� w>, 8x, y, z<F

::x ® -v

w, y ® - v w , z ®

u v I1 + w2Mw

>,

:x ®v

w, y ® v w , z ®

u v I1 + w2Mw

>>

9 FM III (8-11-2012) Volúmen intersección de superficies.nb 3

El determinante de la matriz jacobiana es

OuterBD, : v

w, v w ,

u v I1 + w2Mw

>, 8u, v, w<F �� MatrixForm

0 1

2 v w-

v

2 w3�2

0 w

2 v

v

2 w

v I1+w2Mw

u I1+w2Mw

2 u v -u v I1+w2M

w2

DetBOuterBD, : v

w, v w ,

u v I1 + w2Mw

>, 8u, v, w<FFv

2+

v

2 w2

Y el volumen pedido se obtiene mediante la integral triple

à1

2

à1

4

à1

5

1v

2+

v

2 w2âw âv âu

18

4 9 FM III (8-11-2012) Volúmen intersección de superficies.nb