E L E M E N T O S DE MATEMATICA

Publicación didáctico científica de la Universidad CAECE - Trimestral

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ELEMENTOS D E MATEMATICA

P U B L I C A C I O N D I D A C T I C O C I E N T I F I C A de la UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN IV NUMERO XIV Diciembre 1989

SUMARIO

Editorial 3

L a teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas - II Parte Gregorio Klimovsky 5

L a computación como recurso Prof. Elena García 14

L o s problemas matemáticos en @! aula Prof. María EstherS. de Hernández 21

Propuesta didáctica Lic. Lucrecia Delia iglesias 27

L a Modelizacidn en la ensefíama media Beatriz V. Batesteza - Nicolás D. Patetta 31

Noticias 39

Diagramación e impresión: Dharma Gráfica

San José 133 - Tel. 38-5807 (1076) Capital

ISSN 0326-8888

Editorial

Es este el último número de este transitado año de 1989 que a todos nos ha sensibilizado de manera más o menos profunda. Es sin embargo la docencia, cuyo grado de afectación no vamos a discutir ni ponderar, la que no baja los brazos y responsablemente se autoalimenta en sus sagradas convicciones. Vaya para todos nuestros sufridos colegas el deseo sincero de la mayor de las suertes en el año que se inicia, en todos los alcances posibles.

Estamos en deuda con nuestros lectores respecto de tres cuestiones, sino comprometidas, al menos anticipadas en números anteriores. Dos se refieren a trabajos a publicar: los relativos a factorización de polinomios del Dr. Natalio H. Guersenzvaig, y a la matemática integrada del Prof. Jorge E. Bosch. El tercero es la implementación de la red de corresponsales en todo el país a partir del primer número del año próximo daremos información concreta sobre tales temas.

El presenter número contiene, como siempre, las secciones fijas, a cargo de los mismos titulares.

Se publica además la segunda parte del importante trabajo del Prof. Gregorio Klimovsky sobre "La Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas", cuya primera parte se incluyó en el número anterior.

Por último, se incorpora un nuevo e interesante tema relativo a "Modelización" de los licenciados Beatriz Batesteza y Nicolás Patetta, que abre nuevos caminos en la didáctica de la matemática y sobre el cual esperamos nuevos aportes de los autores.

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La Teoría de Conjuntos y ios fundamentos de fa matemática

PARTE (I

Por Gregorio Klimovsky

Cuando el siglo veinte comienza, cuatro descubrimientos inician un proceso que modifica de modo radical la metodología de las matemáticas. El primero es la aparición de la teoría de conjuntos, consecuencia de los trabajos de Georg Cantor (alrededor del año 1880) y de los aportes de Gottlob Frege (también datados en las dos últimas décadas del siglo anterior). No cabe duda de que ella constituye el marco teórico básico y general de toda investigación matemática contemporánea. Ya sea desde un punto de vista notacional como estructural, la idea de "conjunto" y las que de ella derivan están en el centro del discurso matemático en todas sus manifestaciones actuales.

El segundo hallazgo es el método axiomático, cuyas características se han descrito ya en estas páginas. Lo que parece oportuno señalar aquí es que un sistema axiomático presupone una lógica "subyacente". Aunque tal sistema no sea otra cosa que un lenguaje puramente formal, sin significado fijo, al cual es menester agregar interpretaciones si se quiere "aplicarlo", de todos modos se requiere lógica para poder discriminar entre las distintas categorías de signos, para poder combinar estos signos correctamente según las reglas gramaticales o morfológicas, y para deducir consecuencias (teoremas) a partir de los "axiomas" o "cuasi proposiciones" que se eligieron como punto de partida. Esta lógica subyacente es en principio arbitraria, pero en vista de las aplicaciones corrientes de la matemática se la elige conteniendo la teoría de conjuntos. Es decir, en los sistemas axiomáticos usuales, no es posible desarrollar in-vestigación alguna, más aun, no es factible siquiera formularlos, si no se posee ya como instrumento conceptual la teoría de conjuntos.

El tercer descubrimiento fue "la aritmetización de la matemática". Como ya hemos visto, ésta consiste en construir todas las entidades matemáticas a partir de la noción de número natural. Ya hemos indicado que, en general, estas reducciones son efectuadas usando no una sino dos

nociones fundamentales: "número natural" y "conjunto". De ser cierta la tesis de los miembros de la "escuela logicista" (Frege, Russell, etc.), la propia noción de "número natural" es reductible a la de "conjunto", que sería finalmente el concepto fundamental para la edificación de toda la matemática. Por consiguiente, también en este caso la teoría de conjuntos desempeña un papel central en el desarrollo y constitución de la disciplina matemática.

El cuarto hallazgo es la invención de la lógica matemática por parte de Boole, Frege, Peano y Russell. Se trata de una metodología básica acerca del manejo de todo discurso científico, que ocupa una posición aún anterior a la de la teoría de conjuntos. Como vamos a discutir con algún detalle la cuestión de las relaciones entre la lógica y la ciencia de los conjuntos, por ahora es suficiente llamar la atención hacia el hecho de que las notaciones básicas del lenguaje matemático, en lo relativo a la combinación de proposiciones, al uso de variables y al empleo de cuantificadores para poder efectuar afirmaciones que empleen opera-dores como "todo", "algún" o "ningún", son del dominio de este campo metodológico.

En una palabra, no es posible comprender como se investiga en matemática y en qué ella consiste, sin entender qué son los conjuntos y qué propiedades tienen. Esta es la cuestión que deseamos analizar ahora. Pero antes, permítasenos todavía una disgresión más.

En la primera parte de este trabajo formulamos cuatro preguntas de índole filosófica acerca de las matemáticas, que valoramos como espe-cialmente importanes. A esta algura de la discusión y luego de haber marcado la ubicación central de la teoría de conjuntos en la disciplina matemática, puede ser oportuno ensayar cuatro respuestas, tal como las propondría en especial un partidario del constructivismo reduccionista.

A la primera pregunta, la de cuál es la naturaleza de los objetos o entidades de las que se ocupan las matemáticas, la contestación es que se trata de conjuntos o de estructuras construidas en conjuntos, sin olvidar que las "estructuras" no son otra cosa que conjuntos especiales.

A la segunda cuestión, la de por qué hay que admitir las afirmaciones de los matemáticos, la respuesta es que esto debe hacerse cuando tales afirmaciones puedan deducirse de los principios de la teoría de conjuntos. Si el interrogante se desplaza al tema de por qué creer en ellos, podría aducirse que constituyen "principios lógicos", lo cual involucra, en cierto modc. que la teoría de conjuntos es un capítulo de la lógica que acepta —ncipios especiales. No admitirlos sería como rechazar el principio de

el ce no contradicción o el de tercero excluido: sin ellos no - i - — - ~A

- i r res r-ensar.

En cuanto a cuáles son los procedimientos que permiten hacer progre-sar el conocimiento matemático, está claro que, cualesquiera ellos sean, descansan en nuestra capacidad de construir conjuntos, relacionarlos, estructurarlos, analizarlos, combinarlos, etc. Desde un punto de vista pedagógico, cuanto más honda sea la preparación en temas de metodolo-gía conjuntística mayor será la capacidad analítica en todos los tópicos de la matemática. De paso sea dicho, comparando la matemática contem-poránea con la anterior, y considerando las actuales técnicas básicas como isomorfismos, homomorfismos, relaciones de equivalencia, pro-ductos cartesianos, cocientes por subestructuras, etc,. etc., es necesario admitir que mucho de cierto hay en esta opinión.

La última pregunta, que apasiona a los cinetíficos desde la época de Pitágoras, es la de cuál es la relación entre las matemáticas y la realidad concreta. La respuesta, curiosamente, también usa ideas de la teoría de conjuntos. Lo que sucede, se diría, es que la realidad es isomórfica a ciertas estructuras conjuntísticas. El papel del matemático es establecer cuáles son las estructuras posibles, y el del físico y demás científicos fácticos es averiguar a qué estructuras posibles, y el del físico y demás científicos fácticos es averiguar a qué estructuras del almacén del matemático son isomórficas las estructuras factuales. Esto permite insi-nuar que la familiaridad con las técnicas conceptuales de la matemática es útil y quizá indispensable también para los científicos naturales. En particular, ciertas partes básicas en la teoría de conjuntos parecerían constituir un elemento inevitable de la formación metodológica de todo estudioso o investigador, cualquiera sea su campo.

Como se ve, la necesidad de aclarar qué estructura tiene la teoría de conjuntos se ha hecho patente. Este es el momento de indicar de modo nítido y explícito qué son los conjuntos y qué propiedades tienen.

En este punto se cruzan ciertas cuestiones de lógica con la problemática de la teoría de conjuntos. Pues, para estudiar a los conjuntos y develar su naturaleza, necesitamos un lenguaje que nos posibilite hacerlo con rigor. Como se comprende, si queremos evitar círculos viciosos, ese lenguaje no debe hacer uso de la noción de "conjunto". Si de veras deseamos hacer una fundamentación de 4a tería de conjuntos, no es posible que en el discurso que presuponemos para semejante tarea empleemos ya la propia noción que intentamos justificar.

Aquí es tentador hacer notar que la mayoría de los textos de lógica matemática (como, por ejemplo, los excelentes volúmenes de Mendel-son, Monk, Bell y Machover, etc.) cometen ese error o, al menos, ese círculo metodológico. Desarrollan el cálculo proposicional, la teoría de la cuantificación, la metodología axiomática, para por fin poder exponer

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la teoría de conjuntos. Pero, para todo esto, emplean un lenguaje (o, más correctamente, un "metalenguaje") que contiene ya la idea de "conjunto" y admite fortísimas suposiciones acerca de los conjuntos y las estructuras. Tal vez todo ello pueda verse como si la matemática se contemplara a sí misma. En ese caso, la lógica matemática que esos libros desarrollan no sería otra cosa que una estructura matemática más de las que los matemáticos estudian, junto a los grupos, los anillos o los espacios topológicos. Pero, para un filósofo o un fundamentador, esto no vale. El discurso presupuesto no debe contener ni la idea ni los principos de la teoría de conjuntos.

Por fortuna, la lógica contemporánea proporciona un lenguaje mínimo que permite hablar de objetos sin hacer presuposición alguna acerca de su naturaleza o propiedades. Se trata de la "lógica elementa! de predi-cados" (o como también se la denomina, "lógica elemental de la cuan-tificación", o aun "lógica de predicados de orden uno"). Vamos a recordar algunas características de este lenguaje.

Como todo discurso, código o lenguaje que nos ayude a describir o afirmar hechos, este lenguaje lógico contiene lo que los gramáticos denominan "oraciones" o, más precisamente, "oraciones declarativas". Son las expresiones que pueden ser veraderas o falsas, como "llueve", "Juan vino", "Buenos Aires es la capital de la Argentina", etc. Los lógicos prefieren hablar de "proposiciones" -cosa que nosotros también hare-mos-, o, con más precisión, "sentencias" o "enunciados". De ahora en adelante usaremos letras como ¡2, q, r, etc., para indicar proposiciones cualesquiera.

En la lógica elemental de predicados existen maneras de formar proposiciones complejas a partir de otras más simples. Por ejemplo, si tenemos "truena" y también "llueve", podemos afirmar "truena y llueve". También podemos enunciar "no llueve". Palabras como "y", "o", "no", o las combinaciones "si... entonces—" y ".. .si y sólo si—" se denominan "conectivas" y, como dijimos, sirven para construir proposiciones de es-tructura cada vez más compleja. Cuando los matemáticos simbolizan es-tas expresiones, acostumbran a usar signos como a, v, ~ _» y o para los cinco casos que recién ejemplificamos (aunque, por desgracia, hay variedad de notaciones). Así "¡2-»q" deberá entenderese como "si ¡> entonces g", "£<->a" como "¡2 si y sólo si a", y "<*> ¡2" como "no p_".

El estudio de las conectivas es el tema de una parte muy reducida de la lógica elemental de predicados, la que se conoce como "lógica proposi-cional". Pero hay otros aspectos. Por de pronto, en nuestro lenguaje se admite que tenemos "nombres propios" o, más bien, "constantes indi-viduales" , que son símbolos o palabras que permiten mencionar o hablar

de una entidad determinada. Así, constante individual es "Jorge", que nos permite referimos a nuestro amigo Jorge, o "0", que en la teoría de conjuntos sirve para representar o nombrar a la clase nula. Hay otro tipo de símbolos, que sirven para expresar propiedades o relaciones entre objetos. Así "bueno" nos permite aludir a cierta propiedad que algunos seres humanos tienen y otros no. "Mayor que" indica cierta relación entre números, una relación que entre ciertos números se cumple y entre otros no. Llamaremos " predicados" a los símbolos o palabras que tienen tal uso. El "grado" de un predicado es el número de objetos involucrados en la predicación, en el sentido por el cual "bueno" tiene grado uno (porque, cuando lo predicamos, es de una persona que estamos afir-mando que es buena), en tanto que "mayor que" tiene grado dos (porque una afirmación que lo emplee es de dos números y es cierto que afirmamos que se da la correspondiente relación). Si este uso de los números uno y dos preocupa, advertimos al lector que no es esencial, es puramente didáctico, y todo lo que digamos puede prescindir de él.

No toda entidad posee nombre o denominación. Es cierto que puede aducirse que si no tiene nombre podemos dárselo pero, por desgracia, los lógicos y los lingüistas saben que no es posible en principio hacer que un lenguaje tenga signos para todas las entidades.Como, por otra parte, debido al deseo de los científicos de poder formular "leyes naturales", deseamos poder hacer afirmaciones acerca de todos los objetos, o acerca de todos los objetos de un cierto género o tipo, es necesario recurrir a un procedimiento indirecto. Para ello, el lenguaje de la lógica elemental introduce otra especie más de signos, las "variables individuales", que ejemplificamos con letras como "x", "y", "z", etc. No son constantes in-dividuales, pero en cierto sentido lo parecen. Las constantes individuales nombran cada una de ellas un objeto. Las variables individuales no, pero admiten "valores". Dado un lenguaje elemental de predicados, es necesario indicar si las variables individuales se toman "restringidas" o no. En el último caso, cualquier objeto o individuo del universo o de la realidad puede ser tomado como un posible valor de las variables individuales. Si el lenguaje es "restringido", hay que indicar un "domi-nio" , que no es otra cosa que un tipo o especie de objetos caracterizado por una propiedad peculiar determniada; en tal caso sólo pueden ser valores de las variables los objetos que tengan el tipo en cuestión. Por diversas razones, los lógicos prefieren manejar generalmente lenguajes restringidos. No obstante, y para los propósitos de este trabajo, vamos a suponer que nuestras variables no están restringidas.

Si tenemos una proposicieon como "Juan es bueno", es posible su-primir la constane "Juan" y poner en su lugar la variable individual "x?.

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Obtendremos así la expresión "x_es bueno", que no es una proposición, sino más bien una horma o molde de la que pueden obtenerse proposi-ciones, por ejemplo poniendo "Rosita" o "Atila" en lugar de "x". Ten-dríamos así "Rosita es buena" o "Atila es bueno", que sí son proposiciones completas que pueden ser verdaderas o falsas según el caso. Sustituir 'V' por una constante individual no es más que un caso del procedimiento de asignar un "valor" a la variable; si esto consiste en pensar a 'V' como nombre propio provisorio, entonces "x.es bueno" se hará verdadero o falso según el valor. Y ello, esto es lo interesante, aunque el valor no esté representado por un nombre o "constante individual" en el lenguaje.

Finalmente, el lenguaje de la lógica elemental de predicados posee un procedimiento para hacer afirmaciones generales. Consiste en anteponer a una expresión que contenga una variable el llamado "cuantifícador universal", que es la locución "Para todo valor de x" (si es que 'V' es la variable pertinente). Así, si se desea tomar ".x es bueno" como "ley" de validez universal (una opinión optimista acerca del mundo, digamos), diríamos: "Para todo valor de x, x. e s bueno", proposición que es verdadera únicamente si no hay valor de "x" que invalide bueno", y falsa en caso contrario. De modo análogo se tiene el "cuantifícador existencial", "Para algún valor de x", que antepuesto a la expresión "x es bueno" da la proposicón "Para algún valor de x, x es bueno" (opinión filosófica y sociológicamente más prudente), que es falsa si todos los valores invalidan "x_ es bueno", y verdadera en caso contrario.

Las expresiones que contienen variables y se transforman en proposi-ciones sustituyendo la variable por el nombre de alguno de sus valores, se suelen denominar "funciones preposicionales" (o "de enunciado"). Pueden tener estructura interna muy complicada y hasta contener varios cuantificadores. De modo que la lógica elemental de predicados tiene un poder expresivo muy grande. No obstante lo cual no puede efectuar afirmaciones de cualquier tipo ya que, por ejemplo, no posee símbolos para hablar de "propiedades de propiedades" ni tiene cuantificadores que permitan hacer aserciones sobre todas las propiedades. Este lenguaje es sólo capaz de hablar de los individuos, afirmando cosas acerca de ellos y haciendo aserciones sobre todos ellos. Como se ve, no es un lenguaje prejuicioso para la teoría de los conjuntos, ya que no presupone que hay conjuntos, no contiene afirmaciones sobre todos los conjuntos ni se basa en principios conjuntísticos. Los únicos principios lógicos que hay que respetar se refieren a la verdad y a la falsedad de las proposiciones o al uso de los cuantificadores. Son los principios llamados "clásicos", como el de no contradicción o el que dice que "lo que vale para todos vale para cualquiera". Sea dicho de paso, para abreviar pondremos (x) en lugar de

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"Para todo valor de x", y (Ex) en lugar de "Para algún valor de x". Aunque no es imprescindible para la fundamentación de la teoría de

conjuntos, vamos a suponer que contamos con un predicado diádico que representa la identidad entre individuos y que, como es habitual, vamos a simbolizar "=". Así, "x=y" simboliza que el individuo x es el mismo individuo que y. Admitiremos que valen los principios lógicos habituales para la identidad, como la reflexividad, la simetría y la transitividad, y también el de sustitución, que permite deducir que si x=y y además vale la proposición ...x..., entonces vale también ...y.... No exponderemos de manera formal estos principios, pero diremos que constituyen lo que se llama "lógica elemental de predicados con identidad". Este es el lenguaje con el que se fundamenta la teeoría de conjuntos.

Tenemos así la lógica subyacente. Cabe preguntarse qué signos admiti-mos como primitivos, además de la identidad. Por de pronto, no hay constantes individuales, aunque, algunas serán introducidas por defini-ción, posteriormente (pero, insistimos, no son primitivas). En cuanto a los predicados, se aceptan como primitivos solamente dos. El primero es "M", que corresponde ala idea intuitiva de conjunto ("Menge", en alemán -atendiendo al credor de la teoría, Georg Cantor-). "Mx" se entenderá como "x_ es un conjunto". El otro es "e ", que expresa la relación de pertenencia: "x e y" significa "x es elemento de y". Con esto ya dispo-nemos del vocabulario primitivo necesario, y sólo resta preguntarse cuáles son los principios que inician la teoría y la constituyen como cuerpo de doctrina. Hay que entender que, por el momento, no estamos ante un sistema axiomático en el sentido moderno, sino que se trata más bien de algo parecido a una "ciencia demostrativa" en el sentido aristo-télico. Es decir, sabemos de qué estamos hablando (¡de los conjuntos!) y los principios son las verdades más simples y evidentes acerca de ello. Su papel es totalmente análogo al de los principios lógicos y, en realidad, eso es exactamente lo que son, si se admite como acertada la afirmación de que la teoría de conjuntos es, en ralidad, una parte de la lógica. Más adelante se discutirá esto con más detenimiento.

Cantor no indicó de manera explícita cuáles son los principios o postulados de la teoría de conjuntos. Frege sí lo hizo, de un modo que, según opinión generalizada, corresponde de manera apropiada al verda-dero pensamiento de Cantor. Se trata de dos principios que, por comodi-dad de notación, denominaremos "teoría clásica de conjuntos". En la próxima sección de esta serie de trabajos, indicaremos cómo se pueden derivar algunas de las ideas básicas de la matemática a partir de estos principios. Y además, eso es lo importante, que es necesario modificar-los, pues así como fueron formulados son inapropiados y plantean serias

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dificultades. El primer principio, conocido como "de extensionalidad", se basa en

una idea clásica, muy en boga en los tiempos medioevales, según la cual los conceptos tienen "intensión" (que ahora se escribe con "s" para distinguirla de "intención", que en la corriente filosófica llamada "feno-menología" posee otro significado) y "extensión". La intensión corres-ponde a propiedades o rasgos expresados por la idea, en tanto que "extensión" sena el conjunto de los individuos a los que la idea se puede aplicar. Es claro que dos ideas diferentes pueden tener igual extensión. Y, lo importante, que dos extensiones constituidas por los mismos objetos son en realidad la misma extensión. Es decir, los conjuntos quedan unívocamente constituidos si los elementos del conjunto están indicados. Es bueno señalar, sin embargo, una diferencia con la lógica medioeval. Para aquélla, las extensiones no son objetos (son clases de objetos, algo así como áreas o provincias de la realidad, pero no objetos en sí mismos). Para la teoría de conjuntos, las extensiones, los conjuntos, son tan objetos o individuos como Juan, la ciudad de Buenos Aires o un zapallo. Hay diferencias de categoría; los conjuntos son objetos más abstractos, formales o platónicos que los cuerpos o entidades físicas (Cantor mani-festaba, sin aclararlo mucho, que "son objetos del pensamiento"); pero son objetos, y por ello son posibles valores para variables como "j¿\ "y" o "¿1- El primer principio dice, pues, que dos conjuntos que tienen iguales elementos son idénticos. En la notación de la lógica elemental de predicados esto puede decirse así: (Principio de extensionalidad)

(x)(z)((Mx A M y a (z.)(2-G x o z j e y ) ) ->x_=y) El otro principio corresponde de algún modo a la creencia de que, para

toda propiedad o idea, a cada intensión le corresponde una extensión. Aparentemente, es una suposición obvia. Si se da una propiedad, au-tomáticamente el universo queda dividido en dos zonas, la de los objetos que no tienen esa propiedad y la de los objetos que síla tienen. La segunda zona sería la extensión. En términos conjuntísticos, como una función proposicional cualquiera, por complicada que sea,.. .x. . . , establece una condición que ciertos valorescumplen (haciendo verdadera a .. .x...) y otros no, deberá haber una extensión constituida por todos los objetos que hacen verdadera a. . ._x... Es decir, para toda función proposicional existe el conjunto de todos los individuos que satisfacen la función. Hemos dicho que éste es un postulado, que llamaremos "Principio de existen-cia", pero en realidad es un "esquema de axioma" que dice que, para una función cualquiera, se cumple que existe el conjunto aludido. Es decir que, para cada función .. .x..., se admite el siguiente principio:

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(Principio de existencia) ( E y ) ( M y a ( % ) ( x _ e o . . , x _ . . . ) o sea, existe un y_ que es conjunto y es tal que cualquiera sea x, jxserá un miembro de y si y sólo si x_satisface la función proposicional.. .x...

Como ya dijimos, la "teoría clásica de conjuntos" está basada en estos dos postulados o, para hablar más exactamente, en los infinitos principios obtenidos tomando el principio de extensionalidad junto con todos los casos del principio de existencia.

Que toda la matemática, sin excepción, pueda derivarse de estos dos presupuestos es un hecho muy asombroso. Pero, como veremos en la próxima parte, así como está la teoría es defectuosa, más aún, peligrosa, y es necesario efectuar drásticas correcciones. Cuáles son esas co-rrecciones, he ahí un motivo de discrepancias que han dado origen a distintas posiciones en el campo de la filosofía y de la fundamentación de la matemática. Prometemos examinar y comparar esos puntos de vista.

GRAGEAS

Sobre la cuadratura del círeul©

El problema consiste en construir un cuadrado que tenga la misma áreaque un círculo dado. Alrededordel año 1800 a.J.C. los antiguos egipcios resolvieron en forma práctica y aproximada este problema tomando el lado del cuadrado igual a los ocho novenos del diámetro del círculo, lo que equivale a asignar a k un valor aproximadamente igual a 3,16. Se sabe que el primer pensador griego que se ocupo del problema fue Anaxágoras, en el siglo 52

a.J.C., pero no nos ha llegado ninguna noticia acerca de la naturaleza de su contribución. Hipócrates de Kíos, contempo-ráneo de Anaxágoras, tuvo éxito en la cuadratura de ciertas "Lunas" especiales, limitadas por dos arcos de circunferencia. Algunos años más tarde, siempre en el siglo 5e, Hippias de Elis inventó la curva lamada "cuadratriz", que resuelve la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, pero que no puede con-struirse con regla y compás. Parece que Hipias la usó únicamente para trisecar el ángulo, y que fue Dinostrato (en el siglo 4S a.J.C.) quien la aplicó a la cuadratura del círculo; por eso algunos autores la llaman "cuadratriz de Dinostrato"; los datos que se poseen acerca de esta cuestión de prioridad histórica no son concluyen-tes. Arquímedes, en el siglo 32, inventó la famosa espiral que lleva su nombre y la aplicó con éxito también, según se cree, a la cuad-ratura del círculo. Pese a la fascinación que continuó ejerciendo este problema (y que ejerce todavía) nada significativo se añadió en los 21 siglos siguientes. Se llegó, eso sí, a clarificar la cuestión: el problema reside en dar lo que se llama una "solución euclídea"

continúa en pág. 20

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La computación como recurso

Prof. Elena García

Búsquedas secuencia! y binaria en arreglos

La recuperación o búsqueda de información dentro de un con-junto de datos es una de las tareas más frecuentes en los procesos computacionales.

Generalmente la búsqueda o selección de la información re-querida se hace a través de uno de ios campos de los registros sobre los que se representan cada uno de los elementos del conjunto; dicho campo recibe el nombre de clave o llave de búsqueda.

La información puede estar en archivos almacenados en discos o cintas (memoria externa) o en tablas u otras estructuras almace-nadas en la memoria de la computadora. Porsupuesto las estrate-gias de búsqueda son diferentes para uno y otro caso.

Trataremos en ese artículo las estrategias para la llamada búsqueda interna, o sea aquellaque se realiza sobre conjuntos de datos almacenados en la memoria de ia computadora.

Ei problema de la recuperación de ia información se reduce casi exclusivamente al de la localización de la clave o llave que identifica a dicha información dentro del conjunto. Por esto nos limitaremos a comentar las estrategias básicas para la locali-zación de datos dentro de conjuntos finitos. Estas estrategias dependen de la forma en que han sido organizados esos datos en la memoria.

Búsquedas en arreglos

Supongamos que tenemos un conjunto finito de datos represen-tado sobre un arreglo V de N elementos y pretendemos determinar si un dato X pertenece o no al conjunto.

Consideremos primero el caso en que los elementos del arreglo V no están ordenados.

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1. Búsqueda lineal o secuencial

La forma más sencilla de búsqueda es recorrer uno a uno los elementos del arreglo V y compararlos con el dato buscado X. La búsqueda termina cuando encontramos un elemento del arreglo V que coincide con X o cuando hemos recorrido por completo el arreglo V sin encontrar algún elemento coincidente con X. Esta estrategia conocida como búsqueda lineal o secuencial puede ser descriptaatravésdediferentesalgoritomos; algunos de ios cuales discutiremos a continuación.

El léxico común a estos algoritmos será: N: número entero no negativo (indicará cantidad de elementos

de! arreglo) V: arreglo de N elementos X: dato buscado (del mismo tipo que los elementos de V) y las variables auxiliares I: entero Encontrado: booleana

Consideramos además que el arreglo V y e! dato X ya están almacenados en memoria y que por fin de proceso nos limitare-mos a emitir una leyenda indicando si el dato X está o no en el arreglo V.

12 Algoritmo

Acción "Búsqueda binaria -1" es

r—comienzo l<- 1

r mientras k N a V (|) ^X hacer l<- l+ 1

-f mientras

Si V(l) = X entonces emitir "Dato existente en arreglo" sino emitir "Dato no existente en arreglo"

— fin

Observemos la expresión booleana que controla la continua-ción no no del ciclo iterativo

E, ( l ,N,X): l<N a V ( I ) * X (1)

Es necesario que I sea menor que N, o sea no haber llegado al último elemento del arreglo y no haber encontrado hasta ese momento ningún elemento del arreglo V que coincida con x para que la búsqueda continúe.

Este ciclo sólo se interrumpirá cuando no se satisfaga la

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expresión booleana (1) o sea cuando

I = N v V(l) = X

Por lo que damos por terminada la búsqueda cuando llegamos al último elemento del arreglo (I = N) o cuando encontramos un elemento de V, el i-ésimo; que coincide con el dato buscado (V(I)=X).

Si el ciclo se interrumpe por haber llegado al último elemento del arreglo puede suceder que este elemento el V(N) coincida o no con el dato buscado, por lo cual es imprescindible al terminar el ciclo iterativo controlar esta situación y lo hacemos mediante el condicional.

Si V ( l ) = X entonces ...

Analicemos ahora el siguiente algoritmo

Acción Búsqueda-linieal-con-error es

— Comienzo

l<- 1 — mientras l< N a V(I) * X hacer

l<- l+ 1 l—f mientras

Si l> Nentonces emitir "Dato no existente en arreglo" sino emitir "Dato existente en arreglo"

— fin

El error de este algoritmo recide en la expresión booleana que controla el ciclo iterativo. Si el dato buscado no está en el arreglo la expresión

( 2 ) E2(l, N, X ) : l<N a v (I) * X resulta verdadera

para I = N

pues N < N a V (N) * X, por lo que no se interrumpe la interacción, la variable I es incrementada en una unidad y al intentar evaluar nuevamente la expresión (2) para i = N+1 se invoca a un elemento inexistente en el arreglo V al consultar por V (N+1) * X, lo que en algunas implementaciones de algunos lenguajes provoca una cancelación del programa en tiempo de ejecución.

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2S Algoritmo

El algoritmo 1 puede mejorarse simplificando la expresión booleana que controla el ciclo iterativo, esto puede hacerse definiendo el arreglo V con un elemento más. Si el conjunto de datos tiene N elementos, se lo representa sobre un arreglo de N + 1 componentes. Este arreglo contendrá en sus primeros N ele-mentos a los datos del conjunto y en el elemento N + 1 al dato a buscar. Veamos el algoritmo correspondiente:

Acción Búsqueda-lineal-2 es

-comienzo V(N+ 1 ) 4 - X ;

i— mientras V (I) * X hacer

l<- l+ 1

' - f mientras

Si l<N entonces emitir "Dato existente en arreglo" sino emitir "Dato no existente en arreglo"

—fin

Podemos utilizar esta expresión lógica, más simple que la del algoritmo 1, para controlar el ciclo iterativo pues sabemos que por lo menos una vez será falsa: cuando I sea igual a N + 1, (siempre y cuando el dato buscado no se encuentre entre los elementos del arreglo y el ciclo se interrumpa antes de llegar a elemento V (1+1)).

A esta estrategia se la conoce como búsqueda lineal con centinela. Centinela es el nombre que se da al último elemento agregado.

2. Búsqueda binaria

La búsqueda lineal resulta ineficaz cuando el arreglo sobre el que se representa al conjunto de datos está ordenado. En este caso resulta conveniente una estrategia que tenga en cuenta el orden del arreglo.

El método conocido como búsqueda binaria consiste en reducir los espacios de búsqueda en cada una de las iteraciones de ia siguiente forma:

Consideremos un arreglo V ordenado en forma creciente

V(I)<V(J) si I > J; con1> I A J > N

Y sea X el dato buscado

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Se toma el elemento que ocupa la posición media en el arreglo

* n + N~ K = parte entera —-—

Se compara V(K) con X: Si V(K)=X la búsqueda terminó Si V(K)<X la búsqueda en la próxima iteración se restringe al

subarreglo (V(K+1) ... V(N)) Si V(K)>X la búsqueda en la próxima iteración se restringe al

subarreglo (V(1) ... V(K-1))

Se repite nuevamente el proceso hasta encontrar el elemento buscado o cuando el subarreglo sobre el cual debería realizarse la próxima búsqueda resulte vacío.

Acción "Búsqueda Binaria" es

comienzo

Encontrado 4- falso; INF 1; SUP N;

mientras INF < SUP ^no Encontrado hacer

MEDIO 4- parte entera (SUP + INF)/2;

Si V(MEDIO) < X entonces INF <- MEDIO + 1 si no si V(MEDIO) > X

entonces SUP <- MEDIO -1 si no Encontrado 4 - Verdadero

f mientras;

Si Encontrado entonces emitir "Dato existente en arreglo" si no emitir "Dato inexistente en arreglo"

— fin

Ejemplo

Sea N = 7 y V = (4, 12, 18, 25, 36, 45, 98) a) Dato buscado X = 12

INF SUP MEDIO ENCONTRADO 1a iteración 1 7 4 falso 22 iteración 1 3 2 CyérdadercP)

en arreglo

18

b) Dato buscado X = 98

INF SUP MEDIO ENCONTRADO 1a iteración 1 7 4 falso 2a iteración 5 7 6 falso 3a iteración 7 7 7 C^verdadero^)

Dato existente en arreglo

c) Dato buscado X = 3

INF SUP MEDIO ENCONTRADO 1a iteración 2® iteración 3a iteración 42 iteración

1 1 1 1

7 3 1 0

4 2 1

falso falso falso

se Dato no existente en arreglo pues

INF > SUP

Análisis del número de comparaciones en la búsqueda binaria

Para los elementos existentes en el arreglo

dato Iteraciones

4 3 12 2 18 3 25 1 36 3 45 2 98 3

Para datos que no pertenecen al arreglo el número de itera-ciones necesarias para dar porterminada la búsqueda es siempre 3 en este caso.

Consideraciones sobre los métodos de búsqueda lineal y binaria presentados

Si el arreglo no está ordenado sólo se pueden aplicar los algoritmos 1 y 2. El número medio de iteraciones en ambos en

N + 1 pues el dato puede estaren la 12, 2 9 . . . o N lugar necesi-2 tando entonces 1, 2, 3, . . . o N iteraciones.

19

El número medio de iteraciones es entonces:

1 + 2 + 3 + . . . + N N(N+1) N + 1 N 2N 2

El algoritmo 2 resulta más rápido que el 1 por ser más simple la expresión booleana que controla el ciclo iterativo.

En el método de búsqueda binaria el número máximo de iteraciones está en relación a la cantidad máxima de subarreglos a explorar.

En la 12 iteración el arreglo a explorar tiene N elementos, en la

2S tiene a lo sumo N + 1 elementos, en la 3e tiene a lo sumo 2

Ü ± 1 elementos, así en la última iteración posible el arreglo

tendrá 1 sólo elemento. Por lo tanto el número máximo de iteraciones es log2 (N+1).

continuación de pág. 13

de la cuestión, es decir, una solución que pueda construirse con regla y compás solamente. Recién en la segunda mitad del siglo XIX quedó totalmente resuelto el problema, en forma negativa. En primer lugar se estableció la siguiente proposición: La medida de cualquier segmento que se construya con regla y compás a partir de una unidad dada, es un número algebraico. (Recor-demos que un número algebraico es todo aquél que sea raíz de una ecuación algebraica, o sea de un polinomio con coeficientes racionales igualado acero). Yporfin.en 1882.C.L.F. Lindemann, demostró que % es trascendente (es decir, no algebraico), de lo cual se deduce de inmediato que y ? también es trascendente. Y como el lado de un cuadrado que tenga (a misma área que un círculo de radio 1 debe tener medida y i " , quedó demostrada la imposibilidad de hallar una solución euclídea del famoso problema.

La paradoja de Russel

Conocida es la paradoja de Bertrand Russel, consistente en definir el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento. Se han dado versiones "populares" de esta paradoja, como por ejemplo la del bibliotecario que recibe la orden de redactar un catálogo de todos los catálogos que no se citen a sí mismos. Pero en realidad la formulación más sencilla (con la deducción del absurdo correspondiente) es la que se obtiene haciendo uso de unos pocos símbolos de Lógica y Teoría de Conjuntos. En efecto: definamos el conjunto R (de Russell) del siguiente modo:

R = { X / X es conjunto y X í X } continúa en pág. 38

20

: Los p roblemas matemáticos en el aula

Los p roblemas matemáticos en el aula

Prof. María Esther S. de Hernández

Congruencia módulo m Z.

1. Probar que para todo número entero n>0 se verifica que

3 2 n + 3 + 2 2 n + 3 e s divisible por 7.

2. Hallar el resto de la división de n por a en los casos

a) n = 78566432y a = 11; b) n = 1323x 2741 y a = 8

Numeración y divisibilidad

3. Un cierto número n se excribe 4 x 3 en el sistema de numeración de base 5 y en el sistema de base 9 se escribe x30. a) Determinar la cifra x; b) Expresar el número dado en el sistema decimal.

4. Hallar el conjunto de los números que se escriben cdu en el sistema decimal y que poseen las dos propiedades siguientes en forma simultánea: a) disminuyen en 99 unidades si permutan las cifras u y c; b) disminuyen en 45 unidades si se permutan las dos últimas cifras.

5. Averiguar si existe un entero x tal que a + x2 sea igual al cuadrado de un número entero b, en los casos:

a = 37 ; a = 65 ; a = 130

6. Determinar las cifras x e y tales que el número n = 28xy5 escrito en el sistema de numeración decimal sea divisible por 11 y por 25.

Ecuaciones de segundo grado y el plano cartesiano

7. Sea el plano referido aun sistema de coordenadas cartesiano ortogonal. A cada punto M del plano con coordenadas (p, q) se le

21

puede asociar la ecuación en Z:

z2 + 2pz + q = 0 (1)

cuyas raíces pueden ser reales o complejas. Recíprocamente: a cada ecuación del tipo (1) se le puede asociar el punto del plano cuyas coordenadas son (p, q).

Determinar y representar sobre una misma figura los conjuntos A, B y C de los puntos del plano tales que la ecuación (1) asociada tiene:

a) dos raíces complejas; b) dos raíces reales y distintas; c) una raíz doble.

Dos problemas sobre cuestiones de trigonometría

8. Probar que si en un triángulo ABC se verificas que:

sen C - 2 sen B eos A = 0

entonces ABC es isósceles. 9. Se considera un triángulo equilátero ABC cada uno de cuyos

lados tiene longitud a y el punto P, simétrico de C respecto de B. UnarectadquepasaporPcortaaABenB'yaACenC'.Sea °c la medida del ángulo agudo que forman las rectas d y PC.

1) C a l c u l a r a n función de « y de a, las longitudes x e y de los segmentos BB' y CC' respectivamente.

2) Hallar una relación entre x e y que no dependa de «= . 3) DeterminarC'de modo que lostriángulosPBB'yAB'C'tengan

igual área.

Resolución de problemas del número anterior

1. El problema de determinar el día de la semana en que ocurrió un hecho determinado, cuando se conoce cuál es el día de la semana en que se cumple cierto aniversario del hecho, admite una resolución de tipo general, aplicable por lo tanto a cada situación particular comprendida en los lineamientos del problema, basada en la congruencia módulo 7 en Z.

Recordemos (Vol III. Ne XII de la Revista) que el criterio de asignar nombres distintos a cada día de la semana equivale a clasificar los días del mes, del año o de un período determinado en 7 clases distintas, de modo que dos días transcurridos entre las fechas F y F' correspondientes atales días es un múltiplo de 7, esto es, si y sólo si dicho número es congruente con 0 módulo 7.

En cualquier caso, suponiendo que F es fecha posterior a F, expresamos por F - F' al número de días transcurridos entre ambas y se tiene que:

F - F'= r (mód 7) donde r es el resto de dividir por 7 a F - F'

22

osea: F- F' = r 0(mód 7) relación que puede expresrse en forma

(F-r)-F'= 0 (mód 7). De aquí y por lo expresado más arriba, se deduce que el día de la semana correspondiente a F' es el mismo que el que corresponde a la fecha que resulta restando r días a la fecha posterior F.

Teóricamente, entonces, el problema consistirá esencialmente en 2 pasos: determinar el número F- F'de días transcurridos entre ambas fechas y luego hallar el resto de dividir por 7 a ese número. Veremos que, en la práctica, el primer paso no es necesario. __ En efecto: supongamos que se trata de un n-ésimo aniversario. Entonces el número de días transcurridos en n por 365, que es el número de días de un año común, más 1 día porcada año bisiesto habido en el período. Si hubo b bisiestos, resulta

F - F ' = nx 365 + b

De acuerdo con esta iguaidad, el resto r buscado, es el resto de dividir por 7 al número n x 365 + b. Si los restos de dividir a n y a b por 7 son rny r respectivamente, y como el resto de dividir por 7 a 365 es 1, resulta, de acuerdo con las propiedades de restos (o de la congruencia módulo m en Z) que

n x 365 + D = r + r. n b

Por lo tanto, el resto buscado es el resto de dividir por 7 a la suma de rn + r lo cual hace innecesario el cálculo previo del número n x 365 + b.

Observación: Es necesario, en cambio, el cálculo de b, o sea el número de años bisiestos que hubo en el período. Puede hacerse "a dedo" contando el número de tales años que, como es sabido, son los que se expresan por números divisibles por 4 (basta con que lo sea el formado por las dos últimas cifras) excepto aquellos cuyas cifras de las unidades y de las decenas son ceros, o sea, excepto los que corresponden a años que son comienzo de un nuevo siglo. El inconveniente de este recurso es que entraña una apreciable pérdida de tiempo si el periodo es largo. El cálculo puede abreviarse en base al siguiente razonamiento: si a y {son el primero y último años bisiestos registrados en el período, el total de ellos estará formado por a y los producidos en el lapso I - a; en este lapso,elnúmerodebisiestos,obviamente, eselcocienteentero q entre I - a y 4, menos, si los hubiera, el número de los que corresponden a comienzo de siglo. El número total en el periodo es b = 1 + q - p, donde p indica el número de años que, en dicho período, inician un siglo.

Aplicación: Problema 1. a) se trata de determinar en qué día de la semana cayó el 9 de julio de 1816, sabiendo que el 9 de julio de 1989 fue domingo.

1s) Cálculo de b, número de años bisiestos entre ambas fechas;

23

en ese período el primer bisiesto fue en 1920 y el último en 1988. 1988 - 1820 = 168 y el cociente entre 168 y 4 es 42. Hay que

descontar p = 1 pues 1900 no fue bisiesto.

de b = 1 + q - p resulta b = 42.

29) n = 1989- 1816 = 173. Resultar = 5 y r = 0 r + r = 5 r - a n _ •» b n b Entonces r = 5

Por lo tanto, el día de la semana pedido es igual al día correspondiente al 4 de julio de 1989, o sea, martes.

3. Se trata de probar que de los tres enteros consecutivos x, x+1 y x+2, hay uno y sólo uno cuya clase de congruencia módulo 3 es la clase del 0.

De acuerdo con lo visto anteriormente (operaciones en ZJ , en x + 1 = x + 1 y como 1 * 0 resulta x + 1 * x

x + 2 = x + 2y como 2 * 0 resulta x + 2 * x

A su vez: 1 * 2 y por lo tanto x + 1 * x + 2

O sea los tres números pertenecen a clases distintas módulo 3 y como éstas son 0,1,2 hay uno y sólo uno de ellos que pertenece a la clase del 0 módulo 3.

Para lo segundo habráque probarque al menos uno es congru-ente con 0 módulo 2, o sea, al menos uno cuya clase de congruencia módulo 2 es la clase del 0. En Z2:

x + 1 = x + 1 y corno 1 resulta x + 1 * x x + 2 = x + ¿ ! - x + U = x

Luego x y x + 2 pertenecen a la misma clase módulo 2 y x + 1 pertenece a una clase disjinta. Entonces:

a) x y x + 2 pertencen a 0 y x + 1 el x y x+2 son múltiplos de2 b) x y x + 2 pertenecen a 1 y x + 1 eü x + 1 es múltiplo de 2 4. De la sucesión de restos potenciales de 2, módulo 7, o sea,

de la sucesión de los restos de la división por 7 de las potencias 1,2, 22, 23, 24, 25,...

n = 1 2 22 23 24 25 26...

r = 1 2 4 1 2 4 1 ...

surge que tales restos se repiten periódicamente y:

2n = 1 mód 7 si n es múltiplo de 3 y, en los casos restantes

2n = 2 mód 7 (1) ó 2n= 4 mód 7 (2)

24

Si se verifica (1): entonces 22n = 2nx 2n = 4 mód 7 y por lo tanto:

22n + 2n + 1 = 4 + 2 + 1=0 mód 7

Si se verifica (2): entonces 22n = 2n x 2n = 16 = 2 mod 7 y entonces

22n + 2n + 1 = 2 + 4 + 1 = 0 mód 7

O sea: si n no es múltiplo de 3, 22n+ 2n+ 1 es divisible por 7. 5. Se pide demostrar que si a + 1 = 0 mód m, entonces 1)a2n-

1= 0 mód m y 2) a2n+1 + 1 s Omódm(aeZ) Basta observar que en el caso 1) el primer miembro es una

diferencia de potencias de exponente paryque en el caso 2) es una suma de potencias de exponente impar. Ambos, entonces, son divisibles por la suma de las bases, o sea:

a2n - 1 = (a + 1). á a2n+1 = (a + 1). a"

donde indicamos con a' y a" a los respectivos cocientes (a', a"e Z) De la hipótesis 3 + 1 = 0 mód m, surge que 3 ke Z tal que a + 1 = km Luego: a2rv1 - 1 = kma' y a2n+1 + 1 = kma" o sea a2n"1 - 1 y a2n+1 + 1 son múltiplos de m, y

a2n~1 - 1 = 0 mód m y a2n+1 + 1=0 mód m 8. En la progresión aritmética 3, ..., 23 ... , 59 el número de

términos que hay entre 3 y 23 es la mitad del número de los que hay entre 23 y 59, entonces, si llamamos x al número de términos comprendidos entre 3 y 23, el número de términos entre 23 y 59 es 2x y el número total: n + x + 2x + 3 = 3x + 3(1) Además: en la subprogresión 3,..., 23 hay x +2 términos y por lo tanto

23 = 3 + r (x + 1) o sea rx + r = 20 (2)

en la subprogresión 23, ...,59 hay 2x + 2 términos y entonces

59 = 23 + r (2x + 1), es decir 2rx + r = 36 (3) 1 R

De (3) y (2) rx = 16 ó x = — y reemplazando en (2)

16 + r = 20, de donde

r = 4 y x = 4

Reemplazando en (1) n = 15

De la fórmula de la suma en una progresión aritmética resulta S = 615

25

9. si los lados del triángulo rectángulo están en progresión aritmética, llamando x a la longitud de uno de los catetos y d a la diferencia de la progresión, el otro cateto tiene longitud x - d y la hipotenusa tiene longitud x + d, para d > 0. (Si d > 0, se permutan los dos últimos valores y la situación no modifica el resultado correspondiente a d > 0).

Como el área del triángulo es de 54 m2

Además, de la relación pitagórica

(x + d)2 = (x - d)2 + x2, resulta x2 - 4dx = 0 (2)

De (2) y (1): 3dx = 108 o sea dx = 36 Reemplazando en (1)

Las longitudes de los catetos son 9 y 12, y la de la hipotenusa es 15.

10. a) Del sistema

De (1) x = 8 + y y reemplazando en (2):

y2 + 8y- 128 = 0

ecuación que admite las raíces 8 y -16 de las cuales hay que descartar necesariamente segunda. Entonces se tiene la solu-ción

x(x - d) = 108 o sea x2 - dx = 108 (1)

x2 = 144

x = 12 y d = 3

y = 8 x = 16

b) del sistema

y 2 se obtiene que • logx(y + 9 ) = 2

y2 = 9 - x (1)

x2 = y + 9 (2)

De (1): y = 81 +x2 -18x y reemplazando en (2)

x2 = 90 + x2 -18x o sea 10 - 2x = 0 o bien

x = 5 y por lo tanto y = 16

26

Propuesta Didáctica

Lic. Lucrecia Delia Iglesias

Las que siguen son actividades centradas en una exploración del espacio que nos permitirán ilustrar con un ejemplo concreto, un modelo teórico que intenta describir aspectos evolutivos del desarrollo del pensamiento goemétrico. Este modelo, concebido por los profesores holandeses Dina van Hiele-Geldofysu esposo, Fierre Marie van Hiele, y que fue presentado en trabajos de 1984, consiste en cinco niveles de comprensión y establece que, con ayuda de experiencias de aprendizaje adecuadas, los estudiantes pasan sucesivamente desde el nivel más bajo a cada uno de los siguientes, pudiendo algunos de ellos llegar al más alto nivel concerniente a los aspectos formales de la deducción. Su utilidad manifiesta para quienes encaran la enseñanza de la geometría consiste en proponerles un medio de identificar ei nivei de madurez geométrica de sus alumnos. Claro que ello involucra el desafío de que cada docente diseñe materiales y estrategias que ayuden a los alumnos a progresar de nivel en nivel.

Hagamos una descripción suscinta del modelo.

0. Mivel de visualización (básico)

En este nivel, los conceptos geométricos son globales: no hay diferenciación de componentes o atributos. Es posible aprender nomenclaturas asociadas a formas específicas, que permita iden-tificarlas y aun reproducirlas.

1. Nivel de Análisis

Al interactuarcon representaciones objetivas de entes geomé-tricos, observando, explorando, registrando los resultados de esas actividades, aparecen como evidentes a la intuición propie-dades ligadas a características de sus elementos, propiedades que sirven, después, para conceptualizar clases de figuras.

27

2. NIveS de Deducción informas

Ahora se traía de la posibilidad de relacionar propiedades internas de unafigurayestablecercomparaciones que evidencien propiedades comunes y no comunes entre distintas figuras, de organizar clases que se incluyen o no, de formular y comprender definiciones; de formular y comprender justificaciones; de refutar mediante contraejemplos. Pero estos procesos reflexivos se expresan con enunciados que aún no pueden ser discriminados por su diferente rol (accioma, postulado, teorema, colorario) en una teoría deductiva de la geometría.

3. Nivel de Deducción formal

En este nivel se aicanza la comprensión de un sistema formal, la interrelación entre enunciados de diferente "status" lógico; se pueden construir demostraciones alternativas; se logran diferen-ciar condiciones necesarias y suficientes o el enunciado de una propiedad y su recíproca.

4. Nivel de Rigor

En este nivel se trata de ia comprensión de los sistemas formales, tomados como objeto de conocimiento: su compara-ción; el análisis de la independencia de los axiomas; la consisten-cia; la completitud; la construcción de sistemas alternativos...

Se trata de un nivel que escapa al quehacer de la escuela secundaria. Si bien es deseable que en el ciclo superior los alumnos alcancen el nivel 3, la propuesta que sigue intenta ayudar al profesor en el diagnóstico de la situación real de sus alumnos, ya que las actividades admiten respuestas en niveles crecientes de comprensión.

ACTIVIDADES

1. Organizar grupos que dispongan de diferentes materia-les para formar cuerpos poliédricos (sus "esqueletos" o sus "envolturas").

a) cubos b) juegos de "maderitas de construcción" c) pajitas de refrescos, tijeras, limpiapipas ch) polígonos regulares de cartón provistos de aletas para

poder unirlos con banditas elásticas, banditas elásticas. 2. Hacer cinco o seis construcciones libres de cuerpos

poliédricos, en forma sucesiva pero cuidando de registrar la mayor cantidad de características posibles de cada cuerpo.

3. En cada grupo elegir uno de los cuerpos descriptos y escribir un mensaje para que, con la descripción y el material correspondiente, otro grupo pueda construirlo. Intercambiar

28

materiales y mensajes con otro grupo. Comparar los resulta-dos.

4. Agrupar todos los cuerpos según diversos criterios: regularidad, convexidad, conexión de las caras,...

5. En cada conjunto, registrar:

número de caras

"c

número de vértices

nv

número de aristas

na

i e e

i i i a •

•

6. Observar regularidades en ia tabla. Comparar, para cuerpos de la misma ciase, nc + nv con na. Graficar la suma en función de na.

7. a) ¿A qué clase pertenece cada uno de los cuerpos que siguen, construidos con cubos?

29

b) ¿Cumplen estos cuerpos la relación nc + nv = na + 2? Si no ¿A qué atribuye la falla? Se trata de fijar en qué condiciones es válida la relación.

8. Consultar la exposición del Teorema de Descartes en FRÉCHET, M. y KY FAN, Introducción a la topología combinatoria y relacionar con las conclusiones propias al-canzadas en el trabajo anterior.

30

La Modelización en la enseñanza media

Beatriz V. Batesteza Nicolás D. Patetta

Sumario En ¡os últimos tiempos entre los conceptos que se mencionan

para desarrollar en el nivel medio figura el de modelización. El presente artículo plantea ei esquema general de la modeli-

zación en forma simplificada, ejemplificándolo mediante el análisis de un problema suficientemente sencillo.

1. introducción Ultimamente, dentro de los términos que han aparecido alred-

edor de la enseñanza de ia matemática en la escuela media, encontramos el de modelización; generalmente acompañado de expresiones como "ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA A TRAVES DE APLICACIONES"; "TECNICAS DE RESOLUCION DE PROBLEMAS" etc, los cuales se han incorporado entre otras razonesparasatisfacereirequerimientode conectar el mundo real con el de las matemáticas.

A fin de darle cierta precisión al término modelización que esta-mos empleando, podemosdecirque un modelo matemático es una colección de objetos matemáticos y relaciones seleccionadas pa-ra representar aspectos de un área extramatemática que podrí-amos denominar realidad. El proceso de construcción de un mode-lo maemático es lo que se denomina modelización. Debemos des-tacar que este proceso de construcción es complejo y consta de varias etapas, asociadas a la investigación del contexto extrama-temático, su representación matemática y la confrontación del mo-delo así obtenido, a ¡os efectos de aceptarlo o rechazarlo, mo-dificándolo si fuera posible.

Antes de comenzar a estudiar este proceso es conveniente con-trastaresteconceptode modelización identificadocon un proceso, con lo que habitualmente denominamos aplicación de la ma-temática, que consiste en un cuerpo de conocimientos y técnicas que se ha encontrado y son de uso adecuado para abordar un problema determinado. En este contexto, por ejemplo podríamos

31

identificar a la mecánica newtoniana con una aplicación, a la estadística con otra, etc. Podríamos agregar que una aplicación de la matemática está asociada al reconocimiento de un problema planteado dentro de ©standares establecidos, mientras que la mo-delización pretende establecer una técnica aplicable en nuevas situaciones.

2. Proceso de modelización

Podemos esquematizar el proceso de modelización de un problema del mundo real mediante las siguientes etapas: 1) Examen y descripción del problema del mundo real, lo cual re-

quiere conocimiento del contexto extramatemático en que se encuentra.

2) Descripción matemática: (modelo matemático). Debemos reali-zar hipótesis, definir variables y establecer relaciones matemá-ticas entre ellas, esto es plantear ecuaciones.

3)Solución de las ecuaciones mediante técnicas matemáticas. 4) Interpretación de los resultados. 5)Convalidación del modelo matemático previa confrontación de

las interpretaciones realizadas con el problema real. 6) Utilización del modelo.

Debemos destacar que eventualrnente estas etapas deben ser reiteradas para obtener resultados compatibles con la realidad ob-servada y poder afirmar que hemos constrído un modelo mate-mático del problema.

El siguientediagramaexpresaelsecuenciamientode las etapas:

32

Observaciones

1. En este diagrama e! primer ciclo pone en evidencia una posibilidad en el proceso de modelización y es que una buena descripción del modelo conduzca a ecuaciones que no podemos resolver, ante lo cual puede ser razonable reformular algunas hipótesis a fin de simplificar el modelo matemático.

2. Ei segundo ciclo refleja algo ya anticipado, la confrontación con la realidad para convalidar el modelo. Realizada esta confron-tación llegamos a la etapa final: utilizar el modelo, esencialmente para realizar predicciones sobre la evolución del problema real.

3, Ejemplo de modelización

A fin de ejemplificar este proceso de modelización considere-mos el siguiente problema:

Una ruta al atravesar un pueblo presenta dos desviaciones importantes, A y B.

cola en el semáforo

Dada la intensidad del tránsito se desea colocar un semáforo en el esvío A, siempre y cuando no perturbe el flujo de tránsito por e! desvío B, esto es, la cola de automóviles detenidos en A se haga tan larga que obstruya al desvío B ¿Es posible habilitar el semáforo?

12 Etapa Describamos adecuadamente el problema: en primer lugar, po-

demos observar que la longitud de la cola de automóviles que se forme en el semáforo dependerá de la cantidad de vehículos que circulan por la ruta en un cierto lapso, digamos por minuto y de la capacidad de la ruta de absorber una cierta cantidad de vehículos a lo largo de la misma. A partir de estos datos debemos determinar si la longitud de la cola que se formaría supera o no la distancia d entre los desvíos. Según se supere o no esta distancia concluire-mos la imposibilidad o posibilidad de instalar el semáforo.

2S Etapa Habiendo establecido el problema real, debemos ahora intro-

ducirlo definiendo variables, relaciones entre ellas, y esta-bleciendo los datos necesarios.

33

En primer lugar llamaremos q al flujo de tránsito medido en cantidad de vehículos por minuto que circulan por la ruta. Este es un dato necesario y razonablemente medible; supongamos que se ha establecido un valor de q=18 vehículos/minuto.

Además debemos tener en cuenta la cantidad de vehículos por unidad de longitud de ruta que son contenidos por la misma; llamaremos a esta variable concentración de vehículos.

Como surge de la experiencia cotidiana la concentración ob-servable de vehículos no es la misma en ruta libre que cuando se conforma la cola frente al semáforo. Denotaremos con Cr la concentración en ruta libre y con C ¡a concentración de vehículos en la cola.

Estos valores son datos necesarios y factibles de ser medidos. Aceptamos como valores de Gr y Cr a:

C = 15 vehículos/Km CP = 122 vehículos/Km

Otro dato que necesitamos, es el tiempo de encendido de las luces del semáforo. Supongamos que éste sea de 2 minutos de luz verde y un minuto de luz roja. Finalmente, supongamos que la distancia entre los dos desvíos es de 200 metros. Para configurar nuestro modelo matemático nos resta calcular la longitud de la cola a partir de alguna de las variables que hemos considerado (eventualmente pueden ser necesarias todas).

Al encenderse la luz roja comenzarán a arribar y detenerse q vehículos/minuto, en A Í minutos se detendrán q .A t vehículos. Si deseamos obtener la longitud de la cola ocasionada por estos q .A t vehículos debemos tener en cuenta la concentración de ve-hículos c vgtlicyjgg definida anteriormente;— nos establece

p km cp

la cantidad de Km ocupados por cada vehículo, por lo que la longitud de la cola L será

L = q At - L cp

y éste es nuestro elemental modelo matemático.

3e Etapa Nuestro modelo matemático es muy sencillo y lo utilizaremos

para calcular L. si q = 18 vehículos/minuto

At = 1 minuto (tiempo de encendido de luz roja) y

q _ 122 vehículos p km

34

resulta

L = 18 vehículos 1 m i n . _1 k m _ = 0,147 = 147 metros minutos 122 vehículo

4 Etapa (Interpretación) Dado que la distancia entre los desvíos es de 200 metros

podemos afirmar que es posible colocar el semáforo sin obstruir el desvío A.

Confrontación con la realidad Podemos simular el comportamiento del tránsito o menos

sutilmente interrumpir el tránsito durante el tiempo de 1 minuto, para reemplazar la acción del semáforo. Si realizado unacantidad adecuada de veces este procedimiento verifica nuestra afirma-ción podemos convalidar el modelo; sin embargo no deberíamos sorprendernos si en la primera oportunidad el atascamiento fuese tai que nuestro modelo es inaceptable.

Ante esta circunstancia debemos volver a analizar el problema y caeremos en la cuenta de que no hemos considerado el hecho de que cada vehículo ocupe lugar y por ende, a medida que los vehículos comienzan a detenerse, el final de la cola retrocede dejando menos espacio para los vehículos que van arribando.

Reformularemos entonces nuestro modelo; para ello observa-mos que si V es la velocidad relativa con que la cola avanza hacia atrás, entonces a pariirde ella podemos determinar la rapidez con que los vehículos se agregan a la cola de dos maneras distintas.

En primer lugar, calculemos la cantidad de vehículos que se agregan a lacola en el lapso A t. Este número será igual al espacio V . At multiplicado por la concetración Cp, esto es:

N2 de vehículos = V . C p . A t

Luego, la velocidad con que se agregan los vehículos será:

V. At

I V.CpAt cantidad <̂ e vehículos

• • • D D K | | Final de la cola

Final de la cola en el instante t en el instante t +At

35

Además podemos considerar esta rapidez de otra forma: la cantidad de vehículos que se agregan a la cola son la suma de los que yacen entre los punios finales de la cola en los instantes t y t + At , que se encuentran distribuidos de acuerdo con la concentración de ruta libre y se calculan como CrV. At y que se calculan como q .At En total será

qAí4- Cr V

• • • • • • ¿ • • • I S ]

luego la velocidad con que se agregarán vehículos será:

At + cr.V.At At = q.+ C,V.

igualando esta expresión de la velocidad de adición de vehículos con la antes hallada resulta:

de donde y _ ^

V.Cp = q + C f.V

C p - C r

36

y 1a magnitud de ia cola será

L = V.At = qAt

C -C p '

q.At

Si recalculamos la longitud de la cola será:

L = 1min = 0,219 km = 219 metros

122-Vehíc

km _ 4 0 Vehíc

km

lo cual evidentemente nos indica una obstrucción del desvío A. Podríamos entonces convalidar este nuevo modelo que soporta

más adecuadamente su confrontación con la realidad. Una vez convalidado el modelo podemos pasar a utilizarlo

(etapa final) o sea realizar predicciones a partir de él; podemos, por ejemplo, intentar predecir la longitud de la cola ante diferentes alternativas de tiempo de encendido del semáforo o proponer modificaciones de C (modificando normas de tránsito), etc.

Antes de concluir este ejemplo debemos hacer notar que el modelo, es aún imperfecto, ya que no tiene en cuenta que al prenderse la luz verde, no se ponen en marcha simultáneamente todos los vehículos, sino que esto se hace paulatinamente; debe-mos corregir el modelo teniendo en cuenta este efecto, pero esto será otra historia.

4. Reflexiones finales

Hemos ejemplificado el proceso de modelización a través de un ejemplo de muy reducida dificultad de la herramienta matemática.

Observemos sin embargo que este esquema se aleja de ¡a tradicional ejemplificación o aplicación de conceptos previamente establecidos. No es simple elaborar problemas adecuados para ser llevados a! aula. Pero aún los problemas más sencillos, como el que hemos establecido en este artículo, si son profundizados ¡levan a la utilización de herramientas matemáticas muy sofisti-cadas, lo cual brinda un buen motivo para inculcar la necesidad de no complicar la descripción de ios problemas más allá de lo que nos es necesario para obtener una solución razonablemente satisfactoria. No podemos dejar de destacar la importancia de un adecuado entrenamiento de los profesores interesados en intro-

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ducir esta metodología en el aula.

Bibliografía

BURKHARDT H. Application, Modeling and Teacher Education. Proceeding of the Fourth International Congress on Mathematical Education. Verkeley 1980.

NISS M. Problem solving. Modelling and Applications Proceedings of the sixth International Congress on Mathematical Education. Budapest 1988.

DREW D. Queve Lenght at a Trafile Light via Flow theory Modules in Applied Mathematics Vol. 1 Springer Verlag 1983.

HERSEE J. Modelling versus applications. Mathematical Modelling courses John Wiley and Sons 1987.

continuación de pág. 20

Usando cuidadosamente esta definición, supongamos que Re R; entonces, sustituyendo X por R en la propiedad que define a R, se tiene: R í R . De aquí inferimos la implicación: Re R => R é R. Supongamos ahora que RgR. Entonces R no cumple la propiedad que sirve para definirlo, es decirque negando X «é X y sustituyendo X por R se obtiene: Re R. De aquí se define la implicación: R é R => R e R. Ambas implicaciones demuestran la equivalencia lógica. R e R <=> RgR, que es un absurdo. La aparición de esta paradoja señaló la crisis de la teoría "intuitiva" de conjuntos edificada por Cantor y por Frege (independientemente cada uno del otro). Se vio que no es posible aceptar que cualquier propiedad (aunque aparente poseer un sentido muy claro) define un conjunto. Se introdujeron a partir de entonces severas restric-ciones en la aceptación de conjuntos, lo cual condujo a las teorías axiomáticas, abandonando la idea intuitiva de que los conjuntos pueden definirse "de cualquier manera". Existen en la actualidad varias teorías axiomáticas de conjuntos, en las cuales la paradoja de Russel no se presenta; pero no hay hasta ahora garantías de que tales teorías estén exentas de contradicción.

Un sistema matemático en miniatura

El excelente libro "An Introduction to the History of Mathemat-ics", de Howard Eves, propone el siguiente sistema de axiomas: A1. Todo abba es una colección de dabbas. A2. Hay por lo menos 2 dabbas. A3. Si p y q son dos dabbas, hay un abba y sólo uno que contiene

a p y q . A4. Si L es un abba, existe al menos un dabba que no pertecece

aL. A5. Si L es un abba y p es un dabba que no pertenece a L. existe

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ducir esta metodología en el aula.

Bibliografía

BURKHARDT H. Application, Modeling and Teacher Education. Proceeding of the Fourth International Congress on Mathematical Education. Verkeley 1980.

NISS M. Problem solving. Modelling and Applications Proceedings of the sixth International Congress on Mathematical Education. Budapest 1988.

DREW D. Queve Lenght at a Traffic Light via Flow theory Modules in Applied Mathematics Vol. 1 Springer Veriag 1983.

HERSEE J. Modelling versus applications. Mathematical Modelling courses John Wiley and Sons 1987.

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Usando cuidadosamente esta definición, supongamos que Re R; entonces, sustituyendo X por R en la propiedad que define a R, se tiene: R £ R. De aquí inferimos la implicación: Re R =s> R g R. Supongamos ahora que R g R . Entonces R no cumple la propiedad que sirve para definirlo, es decir que negando X £ X y sustituyendo X por R se obtiene: Re R. De aquí se define la implicación: R é R => R e R. Ambas implicaciones demuestran la equivalencia lógica. R e R <=> R £ R, que es un absurdo. La aparición de esta paradoja señaló la crisis de la teoría "intuitiva" de conjuntos edificada por Cantor y por Frege (independientemente cada uno del otro). Se vio que no es posible aceptar que cualquier propiedad (aunque aparente poseer un sentido muy claro) define un conjunto. Se introdujeron a partir de entonces severas restric-ciones en la aceptación de conjuntos, lo cual condujo a las teorías axiomáticas, abandonando la idea intuitiva de que los conjuntos pueden definirse "de cualquier manera". Existen en la actualidad varias teorías axiomáticas de conjuntos, en las cuales la paradoja de Russel no se presenta; pero no hay hasta ahora garantías de que tales teorías estén exentas de contradicción.

Un sistema matemático en miniatura

El excelente libro "An Introduction to the History of Mathemat-ics", de Howard Eves, propone el siguiente sistema de axiomas: A1. Todo abba es una colección de dabbas. A2. Hay por lo menos 2 dabbas. A3. Si p y q son dos dabbas, hay un abbay sólo uno que contiene

a p y q. A4. Si L es un abba, existe al menos un dabba que no pertecece

aL. A5. Si L es un abba y p es un dabba que no pertenece a L. existe

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NOTICIAS

RECIPROCIDAD ACADEMICA

En un acto celebrado en la Universidad CAECE, el 31 de octubre ppdo, se procedió a la firma del convenio de cooperación entre esta Universidad y la Politécnica de Madrid, estableciéndose vínculos para homologar los estudios de ambas instituciones, tanto en el nivel cuaternario como en ei terciario.

Estuvieron presentes el secretario de Ciencias y Técnica, Dr. RAUL MATERA, los rectores de ambas universidades, prof. JORGE E. BOSCH y Dr. RAFAEL PORTAENCASA BAEZA, vicerrectores y secretario general de la Politécnica de Madrid, autoridades del CAECE, el consejero de la Embajada de España, don JOSE MIGUEL MURO, profesores, alumnos e invitados especiales.

Tras suscribirse el convenio, el profesor BOSCH señaló que la Universidad CAECE prevé la organización de un Hmáster" de ingeniería del conocimiento y otro de ingeniería dei "software", análogos a los de ia Universidad Politécnica de Madrid. Luego el Dr. PORTANCASA BAEZA advirtió sobre la importancia de con-venios como el ahora firmado para las respectivas casas de estudio y también para la colaboración científica y tecnológica entre España y la Argentina. A continuación el doctor MATERA habló sobre la educación universitaria y ei desarrollo de las ciencias.

DOCTORADO HONORSS CAUSA

El 31 de octubre último, en la SOCIEDAD CIENTIFICA ARGEN-TINA, se llevó a cabo el acto académico de la Universidad CAECE con motivo del otorgamiento dei título de Doctor Honoris Causa al rector de la Universidad Politécnica de Madrid, Dr. RAFAEL PORTAENCASA BAEZA.

Presidió el acto el ministro de Educación y Justicia, Prof. ANTONIO F. SALON IA, a quien acompañaban ei el estrado el rector de la Universidad CAECE Prof. JORGE E. BOSCH, el mencionado rector de la Universidad Politécnica de Madrid y el consejero cultural de ¡a Embajada de España, don JOSE MIGUEL MURO, en representación del señor Embajador. Entre los asisten-tes se encontraban Sos vicerrectores de la Universidad española, doctores MANUEL LOPEZ QUERO y FRANCISCO JAVIER LOPEZ DE ELORRIAGA, el secretario general de dicha Univer-sidad, Dr. JOSE MAMUEL HERRERO MARZAL, el presidente de

la Sociedad Científica Argentina , Ing. LUCIO BALLESTER, auto-ridades de la Universidad CAECE, los rectores de la Universidad del Norte Sto. Tomas de Aquino, fray Dr. PEDRO ANIBAL FOS-BERYy de la Universidad de Morón, Dr. OMAR LIMA QUINTANA, representantes de otras universidades, profesores, alumnos distin-guidos y egresados con diploma de honor de la Universidad CAECE, e invitados especiales.

Tras escucharse los himnos nacionales de la Argentina y de España, hizo uso de la palabra el profesor JORGE E. BOSCH, quien se refirió a distintos aspectos de la personalidad del galar-donado. Luego de señalar que el doctro PORTAENCASA BAEZA ostentaba cuatro títulos otorgados por la Universidad Politécnica de Madrid, añadió que también era acreedor de varias distinciones y nombramientos en universidades y centros tecnológicos de todo el mundo. Más adelante, al referirse al avance tecnológico regis-trado hasta la actualidad, el profesor BOSCH expresó estos conceptos: "El pensamiento tecnológico, abandonado a sí mismo, puede desembocar en una civilización de altísima complejidad, en la que cada uno esté ocupado todas las horas de su trabajo en hacer funcionar a la perfección una maquinaria inmensa, cuya extructura nadie conoce y cuyos objetivos nadie comprende".

A continuación se hizo entrega del diploma y la medalla corre-spondiente al doctor PORTAENCASA BAEZA, el cual luego de agradecer la distinción de que era objeto, disertó sobre el encuen-tro de dos culturas al conmemorarse, en pocos años más, el quinto centenario de ¡a llegada de Cristóbal Colón al continente ameri-cano.

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un abba y sólo uno que contiene a p y no contienen a ningún dabba que pertenzca a L.

A continuación el autor propone el siguiente ejercicio: (a) ¿Cuá-les son los términos primitivos de ese sistema axiomático? (b) Mostrar que el sistema es consistente (o compatible), (c) Es-tablecer la independencia de los axiomas A3 y A5 con respecto al sistema formado por los cuatro restantes en cada caso, (d) De-mostrar los siguientes teoremas: Todo dabba pertenece por lo menos a dos abbas. Todo abba contienen al menos dos dabbas. Existen por lo menos 4 dabbas distintos. Existen por lo menos 6 abbas distintos. Podemos agregar una quinta propuesta, en forma de pregunta: ¿A qué se parece, desde el punto de vista intuitivo, este sistema axiomático?

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