Vólumenes de Sólidos de Revolución I

VOLMENES DE SLIDOS DE

REVOLUCIN

1. Definicin

2. Mtodos para resolver el volumen

3. Ejercicios Desarrollados

4. Ejercicios Propuestos

Lic. Mat. Arnaldo EDDSON Chuquilin Carrera

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA

INDUSTRIAL

ANLISIS MATEMTICO II

CICLO II - GRUPO B

Lic. Mat. Arnaldo Eddson Chuquilin Carrera

SLO ESTUDIA. DIOS HACE LO DEMS.

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Definicin 1:

Un slido de revolucin est generado por la rotacin de una regin plana alrededor de una recta

fija contenida en el plano. La recta fija se llama eje de revolucin. Estudiemos algunos mtodos

para hallar el volumen de un slido de revolucin.

A) MTODO DE LOS DISCOS:

Sea f (x) una funcin continua en el intervalo [a, b], con f (x) 0 en todo x de [a, b]. Hagamos girar, en torno al eje x, la regin acotada por la curva y = f (x) y el eje x en a x b. Se genera as un slido de revolucin.

Podemos calcular su volumen haciendo en l cortes perpendiculares al eje x cuyas secciones son

discos circulares de radio r = f (x). Entonces el volumen del slido viene dado por:

Como las secciones de este slido de revolucin son todas discos circulares, nos referimos a este

mtodo como el mtodo de discos.

Ejemplo 1: (clculo del volumen por el mtodo de los discos)

Calcular el volumen del slido generado al hacer girar la curva y = x , en el intervalo [0, 4], en

torno al eje x.

.. (I)



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Solucin: Es importante hacer un esbozo de la regin y del slido que genera con el fin de tener una idea clara

de cual es el radio de las secciones circulares. En las figuras (1a) y (1b) vemos que el radio de cada

seccin circular es r = x y el volumen por la frmula dada es:

Figura (1a) Figura (1b)

Anlogamente, si g (y) 0 y g es continua en el intervalo [a, d], al hacer girar la regin acotada por la curva x = g (y) y el eje y, en c y d, en torno al eje y, se genera un slido de revolucin (figura 2a y figura 2b). Como muestra la figura 2b, las secciones son discos circulares de radio r =

g(y). Lo nico que ha cambiado es el papel de las variables x e y. As, pues, el volumen de este

slido viene dado por:

Figura (2a) Figura (2b)

.. (II)



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Ejemplo 2: (El mtodo de los discos con y como variable independiente)

Calcular el volumen del slido resultante al girar la porcin de las curvas y = 2 - 2

2

x, entre x = 0 y

x = 2, en torno al eje y.

Solucin:

Las figuras (a) y (b) muestran la regin que gira y el slido generado.

Figura (a) Figura (b)

B) MTODO DE LAS ARANDELAS

Respecto de los visto hasta ahora, en el clculo del volumen se pueden presentar dos

dificultades adicionales. En primer lugar, podemos estar interesados en calcular el volumen de un slido que tiene un hueco o cavidad en su interior. Y, en segundo lugar, a veces se hace girar una cierta regin respecto de una recta que no es ni el eje x, ni el eje y. En ambos casos,

una mirada a las figuras apropiadas ensea que no suponen obstculos insalvables. Ilustremos

esos casos en los ejemplos siguientes:



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Ejemplo 3: (volumen de slidos con y sin cavidad interior)

Sea R la regin acotada por la grficas de y = x2, x = 0 e y = 1. Calcular el volumen de los slidos generados al girar R en torno a: (a) el eje y, (b) el eje x, (c) la recta y = 2.

Solucin:

(a) La figura (1) muestra la regin R y la figura (2) el slido generado por R al girar en torno al eje y.

Figura (1) Figura (2)

Entonces el volumen ser:

(b) Esta parte es distinta de todo lo anterior, porque al girar en torno al eje x, la regin R deja una cavidad dentro del slido. Las figuras (1) y (2) muestran una grfica de R y

el slido generado.

Figura (1)

Figura (2)



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ESTRATEGIAS PARA HALLAR EL VOLUMEN:

1. Calcular el volumen del slido completo (como si no tuviera cavidad). 2. Restar el volumen de la cavidad.

OBSERVACIN: Antes de hacer clculos observe la geometra del problema. La superficie exterior

del slido de forma haciendo girar la recta y = 1 en torno al eje x. La cavidad se

forma haciendo girar la curva y = x2 en torno al eje x.

Intente visualizar todo esto con claridad en las figuras (1) y (2).

El radio exterior extr es la distancia de la recta y = 1 al eje x, es decir 1extr .

El radio interior intr es la distancia de la curva y = x2 al eje x, es decir 2

intr x .

Luego aplicando (I) dos veces, vemos que el volumen buscado viene dado por:

(c) Ahora, al girar la regin R en torno a la recta y = 2, se forma un slido con un hueco cilndrico que lo atraviesa por su centro. La figura (1) y figura (2) muestran la regin

y el slido que genera.




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OBSERVACIN: En los apartados (a) y (b) del ejemplo 3 estudiado, hemos calculado el volumen restando un

volumen interior del volumen exterior para tener en cuenta el hueco que haba dentro del slido.

Esta tcnica es una generalizacin del mtodo de los discos, que llamaremos mtodo de las

arandelas, debido a la forma que tiene cada seccin del slido.

Ejemplo 4: (una regin que gira respecto a distintas rectas)

Sea R la regin acotada por y = 4 x2 e y = 0. Calcule el volumen de los slidos generados por R al girar en torno a: (a) el eje y. (b) la recta y = -3, (c) la recta y = 7, (d) la recta x = 3.

Solucin:

(a) Las figuras (1) y (2) muestran la regin R y el slido de revolucin generado.




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En ellas vemos que la seccin es un disco circular de radio igual a la distancia entre la

grfica de y = 4 x2, y el eje y, es decir, x. Despejando x, se tiene x2 = 4 y, es decir:

x = 4 y , donde hemos elegido x positivo, ya que x representa una distancia.

Luego por (I), el volumen del slido viene dado por:

Un error frecuente es tomar 2 4 y como radio. No se consigue ningn volumen.

(b) Las figura (1) y (2) muestran la regin R y el slido de revolucin generado.

Figura (2)

Figura (2)

Las secciones tienen aspecto de arandelas. Vemos adems que el radio exterior extr es

la distancia al eje de giro y = -3 de la curva y = 4 x2. Esto es:



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(c) La situacin, con la recta y = 7 como eje de giro, es parecida a la parte (b). La regin y el slido generado pueden verse en las figuras (1) y (2) de esta parte:

Figura (1)

Figura (2)

Luego aplicando (I), el volumen ser:

(d) La regin y el slido que genera al girar en torno a la recta x = 3, se pueden ver en las figuras (1) y (2). En este caso, las secciones son arandelas, pero los radios

exterior e inferior son algo ms difciles de determinar. Mirando con cuidado las

figuras ya mencionadas, se observa que el radio exterior es la distancia entre la recta

x = 3 y la mitad izquierda de la parbola, mientras que el radio interior es la distancia

entre la recta x = 3 y la mitad derecha de la parbola. La parbola tiene ecuacin:

y = 4 x2, es decir, x2 = 4 y, as que:



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OBSERVACIN: Para este tipo de grficas se recomienda hacer uso un computador.



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En los siguientes ejercicios, calcular el volumen del slido generado por la rotacin de la

regin R, alrededor de la recta L.

1) L: eje X, R: y = ex, x = 0, x = 1, y = 0 2 3. 12

R e u

2) L: eje Y, R: y = arcsenx, y = 0, x = -1 2

3.4

R u

3) L: eje X, R: y = x2, y = x , x = 2 3.5R u

4) L: y = 6, R: y = x2, y = 4x x2 364

.3

R u

5) L: eje X, R: y = x2, y = 4x 32048

.15

R u

6) L: y = 0, R: y = x3 5x2 + 8x 4, y = 0 3.105

R u

7) L: y = 0, R: x2 + (y - 2)2 = 1 .6R

8) L: y = 4, R: y2 = 4(2 - x); x = 0 3128

.3

R u

9) L: eje X, R: y = senx, y = 0, x = 0, x = 2

3.

4R u

10) L: x = 4, R: x2 + y2 = 1 2.8R

11) L: x = -2, R: y2 = x, y = x2 349

.30

R u

12) L: y = -1, R: y = arcosx, y = arcsenx, x = 1 2

32 2 24 2

u

13) L: x = 0, R: y = cosx; y = 0, x = 0; x = 2

3. 2R u

14) L: x = 0, R: y = 2 10x , x = 3, x = 4 34. 26 26 19 193

R u

15) L: y = 0, R: y = -x2 3x + 6 ; x + y 3 = 0 31792

.15

R u

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