CORPORACION UNIVERSITARIA REMINGTON

GUIA DE TRABAJO MATEMATICAS GENERALES

CONCEPTOS DE ECUACION,SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, INECUACIONES, RAZONES TRIGONOMETRICAS, LEY DEL

SENO, LEY DEL COSENO

ING. MARIA ESTELA SEVERICHE PATERNINA

Ecua c ión

Una e cuac ión es una igualda d que se cumple para a lgunos va lore s de

las letr as .

x + 1 = 2 x = 1

Los mie mbros de una ecuac ión son cada una de la s expres ione s que

apar ecen a a mbos lado s de l s igno igual .

Los términos son los sumando s que fo rma n lo s miembros .

Las incógni ta s son la s letr as que apa recen en la e cuac ión. Las so luc iones

son l os valore s que debe n toma r las letra s pa ra que la ig ualdad sea c ierta .

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

E l grado de una ecuac i ón es e l ma yor de los gra dos de los monomios

que forman sus miembros .

T ipos de e cuac ione s se gún su grado

5x + 3 = 2x +1 Ecua c ión de pr imer gra do.

5x + 3 = 2x 2 + x Ecua c ión de seg undo grado.

5x 3 + 3 = 2x +x 2 Ecua c ión de te rcer gra do .

5x 3 + 3 = 2x 4 +1 Ecua c ión de cuart o grado.

CLASIFICACION DE ECUACIONES

Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuac i ones po l inómi cas son de l a forma P( x) = 0 , donde P(x ) es un

po l inomio.

Grado de una ec uac ión

E l grado de una ecuac i ón es e l ma yor de los gra dos de los monomios

que forman sus miembros .

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Tipos de e cuac ione s pol inómica s

1 .1 Ecua c iones de pr imer gra do o l ineale s

Son de l tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0 , ó cua lqu ier ot ra ecuac ión en l a que a l

oper ar , t rasponer términos y s impl ificar adoptan esa expres ión .

(x + 1 ) 2 = x 2 - 2

x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1 .2 Ecua c iones de seg undo grado o cua drática s

Son ecuac i ones de l tipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0 .

Ec uac iones de seg undo g rado inc ompletas

ax 2 = 0

ax 2 + b = 0

ax 2 + bx = 0

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

1.3 Ecua c iones de te rcer gra do

Son ecuac i ones de l tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0 .

1.4 Ecua c iones de cuar to grado

Son ecuac i ones de l tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0 .

1.5 Ecua c iones de gra do n

En gener a l , las ecuac iones de grado n son de la for ma:

a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0

2 . Ecua c iones pol inómicas rac io nales

Las ecuac i ones po l inómi cas son de l a forma , donde P(x ) y Q(x )

son po l inomi os .

4. Ecua c iones no pol inómicas

4 .1 Ecua c iones exponenc ia les

Son ecua c iones en la que la incógni ta a pare ce en e l e xpone nte.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

4.2 Ecua c iones loga r í tmica s

Son ecuac i ones en l a que l a incógn i ta aparece a fectada por un logar i tmo.

4.3 Ecua c iones t r igono mé tr icas

Son las ecuac iones en las que la i ncógn i ta está a fectada por una func ión

t r igonométr ica . Como éstas son per iód icas , habrá por l o genera l infin i tas

so luc i ones .

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

1. Sustitución 2. Igualación

3. Reducción

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Sea el sistema

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x

y=11-3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado

5x-(11-3x)=13

Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos

5x-11+3y=13

5x+3x=13+11

8x=24

x=3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=11-3x

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

y=11-9

y=2

 

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

 

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

Sea el sistema

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11-3x=-13+5x

8x=24

x=3

Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y

y=11-9

y=2

 

 

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

Sea el sistema

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema

8x=24

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2

También podemos utilizar el método de los determinantes (Regla de Cramer), que utiliza principios básicos teóricos de algebra lineal a través del estudio de matrices

La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el calculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.

Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.

Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.

Así si partimos del sistema:

Tendremos que las incógnitas valdrán:

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:

y para el calculo de la y:

Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:

el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero.

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero la x:

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:

REPRESENTACION GRAFICA (SOLUCION GRAFICA)

La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Para nuestro caso, en un sistemas de ecuaciones 2x2 debemos graficar cada una de las rectas, y así determinar el punto de corte, que sería un par coordenado encontrando así el valor de x y el valor de y, de lo contrario sucedería que el sistema es incompatible como es explicado en el párrafo anterior, y cuando las rectas se superponen en su totalidad encontraremos que este sistema con esta cualidad tiene infinitas soluciones.

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos

miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuac ión es e l conjunto de valores de la

var iable que ver i f ica la inecuacíón .

Podemos expresar la so luc ión de la inecuac ión mediante:

1. Una representación gráf ica.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

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2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8         x < 4

( -∞, 4)

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8         x ≤ 4

( -∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8         x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8         x ≥ 4

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

[4, ∞)

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que, para dos números reales cualesquiera a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes propiedades:

Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos números reales, a y b: o Si entonces

o Si entonces

Transitiva Para tres números reales, a, b y c:

o Si y entonces

o Si y entonces

o Si y entonces

o Si y entonces

Adición y sustracción

Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la cantidad no varia.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Para tres números reales, a, b, y c: o Si ; entonces y

o Si ; entonces y

Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

Para tres números reales, a, b, y c:

o Si es positivo y entonces y

o Si es positivo y entonces y

o Si es negativo y entonces y

o Si es negativo y entonces y

Nota:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad CAMBIA, pero siempre hay que tener en cuenta que el resultado debe cumplir la condición dada.

Aplicando una función a ambos miembros

Puede aplicarse cualquier función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.

Valor absoluto o módulo

SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Existen dos métodos para resolver inecuaciones método grafico y método analítico, la solución grafica de un sistema de inecuaciones de primer grado es la intersección de las soluciones graficas de cada inecuación del sistema.

TRIGONOMETRIA

Introducción

En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser información y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente trabajo abordaremos temas de gran importancia en la matemáticas específicamente en el área de trigonometría en donde estudiaremos sus funciones y algo mas.Dentro de los puntos que abordaremos están los siguientes:

Razones TrigonométricasTeorema de PitágorasLey de los SenosLey del Coseno

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Seno

El seno de l ángu lo B es l a razón entre e l cateto opuesto a l ángulo y

la hipotenusa .

Se denota por sen B .

Coseno

El coseno de l ángu lo B es l a razón entre e l cateto contiguo a l

ángulo y la h ipotenusa .

Se denota por cos B .

Tangente

La tangente de l ángu lo B es la razón entre e l cateto opuesto al

ángulo y e l cateto contiguo al ángulo .

Se denota por tg B .

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Cosecante

La cosecante de l ángu lo B es la razón inversa del seno de B .

Se denota por cosec B .

Secante

La secante de l ángu lo B es la razón inversa del coseno de B .

Se denota por sec B .

Cotangente

La cotangente de l ángu lo B es la razón inversa de la tangente de B .

Se denota por cotg B .

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electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pi tágoras es tablece que en un tr iángulo

rectángulo, e l cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los cate tos . El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica

exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la

hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.

Empleo del teorema de P itágoras

Conoc iendo los lados de un t r i ángu lo , aver iguar s i es rec tángu lo

Pa r a qu e un t r iángu lo s ea rectángulo e l c ua d r a do d e l a d o ma yo r ha d e s e r

i gu a l a l a s um a d e l o s cua d r a do s d e l o s d o s men o re s .

D e te r m i n a r s i e l t r i á ng u l o e s r ec t á ng u l o .

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Conoc iendo los dos ca tetos ca l cu lar l a h ipotenusa

L os catetos de u n t r iángu lo rec tángu lo m i den en 3 m y 4 m

r es pe c t i v a ment e . ¿C uá n to m i de l a hipotenusa ?

Conoc iendo la h ipotenusa y un cateto , ca lcu lar e l o tro ca teto

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

L a hipotenusa de u n t r iángu lo rec tángu lo m i de 5 m y un o de s u s

catetos 3 m . ¿ Cu á n t o m i d e o t r o cateto ?

Ejercic ios

U na es c a le ra d e 1 0 m d e l o n g i t ud es tá a p o ya d a s ob r e l a pa r ed . E l p i e

de l a e s c a le ra d i s t a 6 m d e l a pa r ed . ¿ Q ué a l tu ra a l ca nz a l a e s c a l e r a

s o b r e l a pa r ed ?

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Teorema o ley del seno

Los lados de un tr iángulo son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

“Nunca descubrí nada con mi mente racional. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la

electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

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Teorema o ley del coseno

En un tr iángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del

producto de ambos por el coseno del ángulo que forman .

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

 

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EJERCICIOS DE APLICACIONResolver las siguientes preguntas y ejercicios de acuerdo al contenido de la guía y de las explicaciones realizadas en las tutorías ofrecidas en el semestre:

1. Ubicar en la recta numérica los siguientes números: ,- , , -2, 5

2. Aplica propiedades y operaciones pertinentes para encontrar el valor de:

a. b.

c. d.

3. Racionaliza la siguiente expresión

4. 4.1 Explica en qué consiste las siguientes reglas e ilustra cada una de ellas con un ejemplo. a. Teorema del residuo b. División sintética o regla de Ruffini

c. Productos y cocientes notables

4.2 Dados los po l inomios :

P(x ) = 4x 2 − 1

Q(x ) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2

R(x ) = 6x 2 + x + 1

S( x) = 1/2x 2 + 4

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Ca lcu la r :

1P(x ) + Q (x )

2P(x ) − S (x )

3P(x ) + R (x )

42P(x ) − R (x )

5S(x ) + R (x ) + Q(x )

5. Relaciona los ejercicios de la parte izquierda con las respuestas de la parte derecha y justifique:

6. Resuelve las siguientes operaciones:

a. b .

7. ¿Por qué la simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores?, mencione un ejemplo.

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electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

8. Una fracción algebraica compuesta o compleja contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen, en ese orden de ideas realice el siguiente ejercicio aplicando al final la famosa ley de la oreja en la que se multiplican extremos con extremos y medios con medios respectivamente.

9. Consulta el concepto de función , rango y dominio e identifica las clases de funciones a través del concepto y un ejemplo, con esta información responde las siguientes preguntas:

9.1 Halla el dominio de las siguientes funciones:

a. b.

9.2 Determina el vértice, el dominio y el rango de la función , trazar

su gráfica correspondiente.

9.3 Menciona las características de la función exponencial , es decir, rango y

dominio, si es continua o no, creciente, decreciente

10. Los sistemas de ecuaciones son alternativas en la vida diaria para cada uno de los problemas, en ellos se utilizan las diferentes variables que podemos resolver a través de un respectivo análisis, de acuerdo a esto, resuelve el siguiente sistema utilizando un arreglo matricial que permita obtener el valor de las incógnitas o variables pedidas (regla de Cramer)

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electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.

11. Resuelve el anterior sistema por cualquiera de los otros métodos mostrados en la guía y verifica al final su resultado con la anterior respuesta, que encontraste?

12. Resolver la siguiente inecuación:

Qué pasa con el sentido de la desigualdad, explique

13. Al hablar de trigonometría estamos hablando de la medición de triángulos para lo cual tenemos diferentes tipos de triángulos como el equilátero, el acutángulo, el isósceles, el triangulo rectángulo, del cual sabemos su uso y su importancia al utilizar teoremas como el de Pitágoras y las razones trigonométricas antes descritas, para ello se hace fundamental resaltar que existe la ley del seno y la ley del coseno, estas leyes en qué tipo de triángulos son aplicables e ilustra dichas leyes bajo un ejemplo.

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electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein.