CON REGLA Y COMPÁS

Pitágoras de Samos (570-480 a.C.) inventor de complicaciones (Heráclito de Efeso) 

Es en el agua dijo Tales, es en el aire dijo Anaxímenes; no, es en el fuego el principio de todo lo que es dijo Heráclito, sin embargo, es lo indeterminado dijo Anaximandro.

El discípulo los corrigió para decirlo claramente: es el número; la realidad es numérica y geométrica y Todo es matemáticas (aprendizajes). Tuvieron que pasar 2500 años para que los compuestos computacionales de software empaquetado, pesado y comercializado le dieran la razón.

El jonio era hijo de un mercader de Tiro y con aquel viajó aprendiendo de los ilustrados de Siria, luego se empapó en matemática y doctrinas religioso-filosóficas de Egipto y Babilonia y tuvo por maestros a Tales y Anaximandro de Mileto. Luego de viajes y peripecias Pitágoras fundó en Crotona (la calabria italiana) la Hermandad Pitagórica, secta elitista y perfeccionista del mundo antiguo. Entonces siendo todo Número, el Número se expresaba en la aritmética, geometría, música y astronomía. Los pitagóricos impusieron la concepción de tetraktys sobre década: el 10 número   perfecto   reunía   1+2+3+4   formando   un   triángulo 

perfecto

Y el símbolo órfico que misteriosamente sigue hoy presente en diversos lugares poco comunes entre sí,  la estrella de cinco puntas inscripta en un pentágono o pentalfa (estrella de cinco alfas) era la geometrización del número aúreo -luego llamado Phi en honor a Fidias y no de Pitágoras- : la relación existente entre una diagonal y un lado del pentágono y que siempre es la misma: 1,6180339… la Razón Dorada.  Pentágono invertido interior de la pentalfa inscripta en pentágono exterior. y en  la estrella roja revolucionaria y en el  edificio militar del Pentágono en Virginia.  Vida, poder, fuerza e invulnerabilidad.

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El pueblo finalmente destruyó a la secta prendiendo fuego la casa de Milón y asesinando a Pitágoras (que mediante metempsicosis debe haber regresado e ido varias veces de entre los de nuestra especie desde entonces).

Todas estas ideas cuajarán dos siglos después en la grandiosidad de la Idea platónica frente a la realidad que nuestros sentidos perciben pero que nunca podrá por sí misma lograr su trascendencia. 

_Pitágoras inventó la palabra Filosofía como Amor por la Sabiduría._Pitágoras   inventó   la   palabra   Matemática,   es   matemático   todo aprendiz del Número que todo lo rige._Pitágoras comenzó los estudios más primigenios de acústica y en su   pentagrama   se   registran   y   matematizan   los   eventos   del   sonido   en   su   relación   con   la   amplitud   (intensidad)   en   la coordenada Y sobre el transcurso del tiempo coordenada X. Todo esto 2000 años antes de Descartes y las coordenadas cartesianas. La Armonía Musical y el metrónomo lo son todo, las oscilaciones de las cuerdas recorriendo el campo espacial nuestro mayor deleite 

   http://www.youtube.com/watch?v=KyjpHKOR-u8 

_Cuando los pitagóricos se toparon con el problema de los números irracionales y su falta de orden sucumbieron. Dicho acontecimiento comenzó con la raíz cuadrada de 2 presente en el teorema que nos dice que la suma de los catetos al cuadrado resulta en el cuadrado de la hipotenusa. La raíz cuadrada de 2 o diagonal del cuadrado mostró los irracionales, un muy duro golpe para los pitagóricos del que nunca se repusieron, π los aturdió y el número aúreo los noqueó. La tetraktys todo perfecta se topaba con imperfectos que no se pueden delimitar. Los pitagóricos no supieron entender que en lo entero está contenido lo fraccionario y en los límites de lo primero lo ilimitado de lo segundo. La esfera continente que todo lo circunda -forma primordial de organización arquitectónica de lo materioenergético- y delimita con su membrana y que es perfección de Unidad, su fórmula 4/3 de π x radio al cubo.

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Un poco de historia 

El problema de la trisección del ángulo es uno de los tres problemas clásicos: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

En los tres casos se afirma la imposibilidad de resolverlos mediante regla y compás. ¿Por qué esos dos instrumentos?

Para los griegos, en particular para Platón, las dos curvas perfectas eran la recta y la circunferencia, y ambas se dibujan mediante la regla y el compás. Por tanto, para ellos la única Geometría admisible es la que involucra estos dos instrumentos y ninguno más. Además, hay que añadir que la regla no era graduada y el compás no guardaba la medidas, es decir, al levantarlo del papel se cerraba.

Es difícil dar una fecha exacta en cuanto a cuando apareció el problema de la trisección un ángulo primero, sabemos que  Hipócrates, que hizo la primera contribución principal a los problemas de ajustar un círculo y de duplicar el volumen de un cubo, también estudió el  problema de la trisección de un ángulo.

Hay que advertir que la imposibilidad de trisecar algunos ángulos mediante regla y compás no quiere decir que no se puedan trisecar por otros procedimientos. De hecho Arquímedes lo logró empleando la espiral que lleva su nombre, y nosotros presentamos a continuación un procedimiento que entra por los ojos y se apoya en que la suma de la serie

de término general   es 

ProfundizaAunque es un problema clásico, realmente hasta 1.837 Pierre Wantzel no demostró de forma rigurosa que existen ángulos no trisecables con regla y compás.

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Pero ¿por qué? Veámoslo.

Con una regla y un compás se pueden hacer dos construcciones geométricas: trazar la recta que pasa por dos puntos y dibujar una circunferencia dado su centro y su radio.

Simplemente con esas dos operaciones podemos sumar, restar, multiplicar e incluso dividir longitudes de segmentos, es decir,  podemos dibujar segmentos cuya longitudsea un número racional cualquiera.

Sin embargo, con estas dos operaciones también podemos construir números que no son racionales, por ejemplo, 2√, ya que es la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1. Esto muestra que mediante una regla y un compás podemos extender los números racionales. Para seguir avanzando necesitamos introducir nueva terminología.

Definición:  Dados dos cuerpos K y K′, se dice que K′ es una extensión de K si K⊂K′ y las operaciones de K son las de K'.Por ejemplo, Q(2√), que es el cuerpo más pequeño que contiene a Q y 2√  es una extensión de QAún necesitamos alguna definición más:

Definición:  Se define el grado de una extensión K⊂K′  y se simboliza por [K′:K] como la dimensión de K' considerado como espacio vectorial sobre K. 

Siguiendo con nuestro ejemplo, los elementos de Q(2√) son de la forma a+b2√  con  a,b∈ Q, por lo que claramente  tiene dimensión dos como espacio vectorial sobre Q. Por tanto el grado de la extensión es igual a 2. 

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Yendo un poco más allá se comprueba que esa dimensión como espacio vectorial coincide con el grado del polinomio irreducible con coeficientes en Q que tiene por raíz a  . En nuestro ejemplo, el polinomio irreducible es x2−2. Una vez más comprobamos que el grado de la extensión es 2. Esto es así en general, y no sólo en este ejemplo.Además, se comprueba muy sencillamente la llamada transitividad del grado, que afirma que dadas extensiones de cuerpos K1⊂K2⊂K3, se cumple que 

[K3:K1]=[K3:K2]⋅[K2:K1].Las longitudes de los segmentos que los griegos sabían dibujar mediante regla y compáss son números irracionales α con la propiedad de que [Q(α):Q] es una potencia de 2. Veamos qué irracionales aparecen al intentar trisecar el ángulo de amplitud π3. Denotamos A=π9.Hagamos alguna cuenta:

 

cos(π3)=cos(3A)=cos(2A+A)=cos(2A)cos(A)−sen(2A)sen(A)=

(cos2(A)−sen2(A))cos(A)−2sen(A)cos(A)sen(A)=cos3(A)−sen2(A)cos(A)−2sen2(A)cos(A)=

cos3(A)−cos(A)+cos3(A)−2cos(A)+2cos3(A)=4cos3(A)−3cos(A)

 

Por tanto, u=cos(π9) debería satisfacer la ecuación 4x3−3x−12=0, es decir, debería ser raíz de un polinomio irreducible con coeficientes en Q. Por tanto, la extensión Q⊂Q(u) es de grado 3.

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La pregunta que surge inmediatamente es ¿se puede conseguir con regla y compás alguna extensión de grado tres?

Con regla y compás podemos construir nuevos puntos a partir de otros construidos previamente mediante una de estas tres operaciones:

1. La intersección de dos rectas que unen puntos previamente construidos. En este caso las coordenadas del punto de intersección satisfacen un polinomio de grado uno, y por tanto, no hay extensión propiamente dicha.

2. La intersección de una recta que une dos puntos ya construidos y una circunferencia cuyo centro se construyó anteriormente y cuyo radio mide una longitud ya dibujada. En esta caso las coordenadas de los dos puntos de intersección son raíces de un polinomio de grado uno o dos.

3. La intersección de dos circunferencias. Este caso coincide con el anterior, pues la intersección de dos circunferencias coincide con la intersección de cualquiera de ellas con el eje radical de ambas, que es la recta que une los puntos de intersección.

Observamos que cada vez que añadimos un punto a nuestro cuerpo, obtenemos o el mismo cuerpo o una extensión de grado dos.

Por tanto, si vamos añadiendo puntos a Q,  tendremos las extensionesQ⊂Q(P1)⊂Q(P1,P2)⊂⋯⊂Q(P1,…,Pn−1,Pn),

Q(Pi) es el cuerpo que contiene Q y a las dos coordenadas del punto Pi

Cuya traducción en grados es: [Q(P1,…,Pn−1,Pn):Q]=∏j=1n[Q(P1,…,Pj−1)(Pj):Q(P1,…,Pj−1)]Resulta por tanto, que el grado de la extensión será:  [Q(P1,…,Pn−1,Pn):Q]=2t  con t ≤ n+1 

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 Sin embargo, ya hemos demostrado que la extensión Q⊂Q(P), donde P es uno de los puntos en que la circunferencia de centro el origen y radio 1 corta a la recta que pasa por el origen y forma ángulo de π9con el eje horizontal tiene grado 3, que no es potencia de 2. Esto demuestra la imposibilidad de trisecar mediante regla y compás el ángulo de π3.

REFERENCIA http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/indice.html

Construcciones derivadas de la proporcionalidadIntroducciónHay muchas construcciones clásicas con regla y compás basadas en la Proporcionalidad.Sin duda una de las más conocidas es la división de un segmento en n-partes iguales, sin embargo, vamos a mostrar otras que siempre han formado parte de la Geometría y que hoy han desaparecido del mundo escolar de las Matemáticas para pasar al mundo escolar del Dibujo Técnico, como ha pasado con algunas cuestiones ya vistas como el arco capaz. Entre ellas tenemos:

Construcción de la cuarta proporcional

Construcción de la tercera proporcional

Construcción del segmento producto de otros dos

Construcción del segmento cociente de otros dos

Construcción de la media proporcional

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Construcción del segmento raíz cuadrada de uno dado

Cuarta Proporcional

Se llama Cuarta Proporcional de 3 valores no nulos a, b y c a un valor r que cumpla:

 En realidad, cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro valores que aparecen en una proporción.(RE.1)Una vez realizado el dibujo es fácil comprobar, directamente por relaciones de proporcionalidad o indirectamente a través de triángulos semejantes, que el segmento construido cumple lo que queremos.

En el Applet adjunto vemos paso a paso el procedimiento constructivo y su justificación matemática.

Tercera Proporcional

Se llama Tercera Proporcional de 2 valores no nulos a y b a un valor r que cumpla:

(RE.2)La Tercera Proporcional es un caso particular de Cuarta Proporcional en el que, los dos valores intermedios son iguales.

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Su construcción la vemos en el Applet adjunto y es la misma que la de la Cuarta Proporcional tomando como iguales los valores intermedios de la proporción.

Producto de Segmentos

Otro resultado derivado de la Cuarta Proporcional, es la construcción del segmento producto de otros dos dados.Observa la expresión anterior de la Cuarta Proporcional e imagina que a es la unidad y que b y c son los números que quieres multiplicar.En el Applet adjunto vemos el proceso.

Cociente de SegmentosUna nueva consecuencia de la Cuarta Proporcional es la del segmento cociente de otros dos dados. Comentamos entonces que se llamaba cuarta proporcional a cualquiera de los términos de una proporción. El proceso constructivo lo hicimos para el denominador de la segunda razón pero dijimos que sería un ejercicio interesante efectuar la construcción para los demás términos pues se trataba de una pequeña variante. Ahora colocamos los dos segmentos de los que queremos calcular su cociente en la primera razón: a/b y en la segunda razón colocamos como denominador la unidad: 

 

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El objetivo es construir el numerador de la segunda razón y vemos el proceso en el Applet adjunto.

Media ProporcionalDefinición:Se llama Media Proporcional de 2 valores no nulos a y b a un valor r que cumpla:

 [LaTeX] (RE.3)La situación cambia ahora ligeramente sobre las construcciones anteriores y, el proceso es diferente. Lo vemos en el Applet.

Raíz de un SegmentoUna consecuencia casi inmediata que se deriva de la Media proporcional es la construcción del Segmento Raíz cuadrada de uno dado. Basta hacer que uno de los segmentos de los que queremos calcular la media proporcional sea la unidad, por ejemplo b= u y obtendremos lo que queremos.

División de un segmento en n-partes iguales

Esta es quizá la conclusión más evidente del Teorema de Thales que puedes visualizar en el Applet adjunto.  El proceso consiste en:

trazar una semirrecta a partir de un vértice del segmento que queremos dividir de modo que forme un ángulo cualquiera con el mismo. En esta semirrecta, comenzando desde su origen, hacemos tantas divisiones iguales de medida arbitraria como partes 

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queramos hacer en nuestro segmento. Unimos el último punto obtenido en la semirrecta auxiliar con el otro extremo del segmento inicial mediante una rectas. Realizamos la proyección paralela a s desde la semirrecta auxiliar al segmento inicial y obtendremos lo que buscamos.

El número aúreo El número aúreo o número de oroo número de oro 

es uno de los tres famosos números que tiene como nombre, una letra:

El número π del que hablaremos más adelante. El número e. El número aúreo: φ ó Φ : 

El motivo de ello es que son números irracionales y tienen y han tenido una importancia capital en las matemáticas.

Que un número sea irracional quiere decir que no se puede expresar como razón de dos números enteros; lo que es equivalente a decir que tiene infinitos decimales y que, además, esos infinitos decimales no responden a ninguna regla de repetición, no tiene periodo.La importancia de la divina proporción se ha plasmado a lo largo de la historia en artes plásticas y en la arquitectura. Históricamente se la ha considerado la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

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La introducimos aquí como un exponente importante en la aplicación de la proporcionalidad.

Extrema y Media razónAparece en el Libro VI de las Elementos de Euclides la siguiente definición:Se dice que un segmento ha sido cortado en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.Otra manera de expresarlo sería: El todo es a la parte mayor como ésta es a la menorTraduzcamos la definición anterior a lenguaje algebraico observando la relación entre los dos segmentos que hemos obtenido en la división:

1. Consideremos un segmento de longitud l2. Lo dividimos en dos partes a una de las cuales, la mayor, la llamamos a y la menor b.3. El segmento total es pues de longitud a + b4. El segmento total es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor:

 

Concluimos entonces que, cualquier segmento dividido en Media y Extrema razón, independientemente de su longitud, siempre cumple que la razón entre el todo y el trozo mayor es igual a la razón entre el lado mayor y el menor y este cociente es: uno más raiz de 5, dividido por 2. A este número se le llama número aúreo ó número de oro y se le representa por la letra griega φ ó su mayúscula Φ. Como consecuencia, si dos valores cualesquiera están en razón aúrea, también estarán en razón aúrea el menor y la diferencia entre ambos: 

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Algunas observaciones numéricas muy interesantes de φ son: 

 

División clásica de un segmento en Media y extrema razón

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La manera clásica de dividir un segmento en Media y Extrema razón es una aplicación rápida del Teorema de Pitágoras: Un triángulo rectángulo cuyo cateto menor sea la mitad del cateto mayor b cumple que, la hipotenusa, es: (b√5)/2 . Lo vemos en el Applet adjunto.

El rectángulo aúreo. Propiedades

Llamamos rectángulo aúreo a aquél en el que la razón entre el lado mayor a y el lado menor b es la razón aúrea: 

 Los Rectángulos Aúreos tienen la siguiente propiedad:Si a un rectángulo aúreo le quitamos el cuadrado determinado por su lado menor, el rectángulo resultante también es aúreo. (RG.4)Lo comprobamos el el Applet adjunto, aunque es una conclusión inmediata de los visto en (RG.2)En los próximos apartados vamos a ver la manera de construir un rectángulo aúreo conocido su lado menor. El proceso de construir un rectángulo aúreo conocido su lado mayor lo dejamos como ejercicio aunque es muy sencillo ya que, hemos visto que, si dividimos un segmento en media y extrema razón, el segmento dado es al fragmento mayor (media razón) como éste es al fragmento menor (extrema razón). En consecuencia, dado el lado mayor de un rectángulo aúreo, lo dividimos en media y 

extrema razón y el fragmento mayor será el lado menor del rectángulo aúreo buscado. Además, utilizando la propiedad de los rectángulos aúreos que acabamos de enunciar, podemos también construir un rectángulo aúreo a partir de su lado mayor de la siguiente forma:

Construimos el rectángulo aúreo que tiene el segmento dado como lado menor.

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Le quitamos el cuadrado determinado por el lado menor El rectángulo que queda es el que buscábamos que tiene al segmento dado como lado mayor.

Construcción del Rectángulo aúreo conocido su lado menor (1)El problema consiste en, dado un segmento, obtener otro de modo que la razón entre éste último y el dado sea la razón aúrea. El proceso de construcción que describimos en el Applet adjunto consistirá en:

Construir un triángulo rectángulo con el segmento dado y su mitad. A la diagonal de este triángulo le sumamos la mitad del segmento dado. El segmento así obtenido es al dado como la razón aúrea.

Construcción del Rectángulo aúreo conocido su lado menor (2)

Si analizamos en detalle este proceso de construcción que describimos en el Applet adjunto podemos ver que, hacemos lo mismo que en el proceso anterior:

Construimos un triángulo rectángulo con el segmento dado y su mitad.

A la diagonal de este triángulo le sumamos la mitad del segmento dado El segmento obtenido es al dado como la razón aúrea.

El Pentágono regular y la razón aúreaEl Pentágono regular y el número aúreo tienen una relación muy estrecha ya que podemos encontrar la razón aúrea entre de varios de los elementos implicados en él. En particular hemos detallado los dos casos más interesantes que son básicos para justificar las construcciones del Pentágono regular dado el lado y dado el radio.

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Relación entre diagonal y lado en el Pentágono regular

En un Pentágono regular la razón entre la diagonal y el lado es la razón aúrea. 

La demostración de lo que buscamos la vemos gráficamente y comentada en el Applet adjunto razonando en términos de Ángulos , Proporcionalidad y Semejanza de triángulos.A partir de aquí otra conclusión evidente es que, lamando d a la diagonal y l al lado: 

Triángulo aúreo Mayor y Triángulo aúreo Menor

Cualquier triángulo cuyos ángulos sean 108º, 36º y 36º, se llama Triángulo aúreo Mayor y verificará que la relación entre su lado mayor y cualquiera de los otros dos es la razón aúrea. (RG9.a)La conclusión es evidente a partir del resultado anterior ya que, la diagonal de un Pentágono regular forma, con los lados del Pentágono, un triángulo cuyos ángulos son 108º, 36º y 36º.Cualquier triángulo cuyos ángulos sean 36º, 72º y 72º, se llama Triángulo aúreo Menor y verificará que la relación entre cualquiera de sus lados mayores y su lado menor es la razón aúrea.

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Otras relaciones aúreas en el Pentágono Regular

En un Pentágono regular se pueden encontrar muchas relaciones aúreas. Ya hemos mencionado la existente entre la diagonal y el lado      . Vamos ahora a destacar dos relaciones interesantes que nos permitirán, entre otras cosas, justificar uno de los procedimientos habituales de construcción del Pentágono regular dado el radio.En un Pentágono regular inscrito en una circunferencia trazamos un radio que divida en dos partes iguales a uno de los lados y llamemos ( G ) al punto de corte del radio con la circunferencia.

Si unimos G con uno cualquiera de los vértices contiguos del Pentágono ( T ), el radio es al segmento resultante GT como la razón aúrea Es interesante observar que, el segmento mencionado, es precisamente el lado del Decágono regular inscrito. 

Si unimos G con uno cualquiera de los vértices siguientes a los contiguos del Pentágono ( P ), el segmento resultante GP es al radio como la razón aúrea. 

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Construcción de un Pentágono Regular dado el ladoAcabamos de ver que, en un pentágono regular, la diagonal y el lado están en proporción aúrea. También hemos visto la manera de construir un rectángulo aúreo dado el lado menor. Si disponemos ahora del lado del pentágono, la diagonal coincidirá con el lado mayor de un rectángulo aúreo de lado menor igual al lado del pentágono. Una vez tenemos ambas medidas, la construcción del pentágono partiendo del lado es inmediata y, éste es el método de construcción usado en los ejercicios de Dibujo. En el Applet adjunto vemos el método de construcción comentado y observaremos que coincide con lo que acabamos de exponer.

Construcción de un Pentágono regular dado el radio

Este proceso constructivo se basa en las relaciones, ya vistas, RG.10a y RG10.b. La utilización de ambos resultados hace el poceso más elegante aunque, también sería posible la construcción utilizando sólamente RG.10b

Partimos de un radio de la circunferencia en la que vamos a inscribir el pentágono.

Construimos un segmento de modo que la razón del mismo con el radio sea la razón aúrea.

Hecho esto, es inmediato dibujar el pentágono buscadocomo vemos detalladamente el el Applet adjunto

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La Proporción ÁureaParte I . La Geometría

Su nombre tiene algo de mítico porque suena mucho más de lo que realmente se le conoce. Se le llama también divina proporción, número de oro, regla dorada, etc. Su construcción y uso no es nada complicado, lo que pasa es que es mucho más inmediato hacer una proporción estática, basada en la igualdad, como dividir algo por un número entero, lo mismo que establecer un ritmo de crecimiento a partir de por ejemplo la duplicación: 1, 2, 4, 8, 16... En el mundo de la informática es lo usual, y cuando nos condicionan factores materiales, espaciales, físicos, la cuadrícula es la forma más cómoda de adaptarse a estos condicionantes. Sin embargo en la naturaleza se manifiestan otras organizaciones formales y principios proporcionales mucho más interesantes como modelo para el trabajo creativo.

La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.El segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al 

segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi como ésta es  a la suma AB.

Igual de simple es hacer la operación inversa, es decir, averiguar de qué medida es sección áurea el segmento AB. Formamos el mismo triángulo que antes, pero en lugar de restar a la hipotenusa el cateto menor, se le suma. AB es sección áurea de Afi, y este segmento es 

la suma de AB y su sección áurea hallada en el esquema anterior, por supuesto.

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Un rectángulo áureo es aquel en que sus lados están en razón áurea. Se puede construir rápidamente a partir de un cuadrado: cogemos el punto medio de la base, tomamos con un compás la distancia hasta uno de los vértices superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de la base. El rectángulo ampliado es áureo, como también la ampliación, si suprimimos el cuadrado inicial, tiene esta misma proporción:

A veces vemos estas otras construcciones, pero hacen lo mismo que la anterior, definir un triángulo rectángulo con un lado y la mitad de otro, restar la mitad a la hipotenusa y aplicar la diferencia como ampliación del cuadrado:

A continuación comento algunas curiosidades geométricas, pero quien sólo le interese el trazado y hacer alguna prueba, puede saltar esta parte.

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La (pseudo)espiral logarítmica

Del gráfico anterior, deducimos que a cualquier rectángulo áureo se le puede restar por su lado menor o bien añadir por su lado mayor un cuadrado, y el resultado sigue siendo un rectángulo áureo. En gnomónica diríamos que el cuadrado es el gnomon del rectángulo áureo (traduzco: gnomon es aquella figura que añadida a otra le proporciona más superficie sin cambiar la forma). Esta propiedad se ilustra frecuentemente con esta espiral logarítmica:

Lo de espiral logarítmica hay que matizarlo, es una pseudo-espiral porque se forma con arcos de 90º de circunferencia inscritos en cada cuadrado y enlazados entre sí, mientras que en una verdadera espiral hay un cambio de curvatura constante, no cambios puntuales. Pero crece en proporción geométrica, por eso lo de logarítmica.

Su valor numéricoSi hacemos la construcción del rectángulo áureo hacia los dos lados de un cuadrado, el total es un rectángulo Raiz de cinco (sus lados están en proporción 1:R5)

Se ve aún más claro si ponemos un doble cuadrado. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que su diagonal mide Raiz de 5, y es el doble que el radio utilizado en las construcciones anteriores. Así que realmente lo que estábamos haciendo con aquel triángulo era sumar o restar 0'5 a la hipotenusa que es 1/2 de R5.

La fórmula por tanto es fi = R5+1 / 2 = 1'61803398    Y su inversa (sección áurea) fi = R5-1 / 2 = 0'61803398

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Se ve perfectamente que forman una serie aditiva, porque entre los dos valores está el factor 1.

FibonacciLa relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci (s.XVI) es que éste matemático indicó a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear, como también la pareja inicial. Así que cada previsión es la suma de la anterior más su producción. A estas series, en que cada término es la suma de los dos anteriores, se les llama desde entonces series de Fibonacci. Pues bien, resulta que el límite de cualquiera de estas series es la razón áurea: 1,618033989. Es decir, tomamos dos números cualquiera como 2 y 6. Si iniciamos una serie los siguientes términos serían 8, 14, 22, 36, etc. Si observamos la razón entre cada término y el anterior veremos que comienza en 3, sigue en 4/3, y va oscilando aproximándose cada vez más a un valor que en 7 u 8 pasos ya es indistinguible de 1,618En todo caso, la progresión en razón áurea es la única que reúne dos características: ser serie de Fibonacci (aditiva) y geométrica. Cada término es la suma de los dos anteriores y es media proporcional entre el anterior y el siguiente.

Su nombre y nomenclaturaLa Divina Proporción es el título de un tratado sobre las propiedades de esta razón y su presencia en los poliedros regulares, debido a Fra Luca Pacioli, con el interés añadido de que la obra estuvo ilustrada por Leonardo da Vinci. En el siglo XIX y principios del XX hubo un interés muy grande por esta proporción, y desde entonces se suele indicar con la legra griega fi, unos dicen que en honor de Fidias y otros que en relación con Fibonacci.

En orden creciente, se dice que cada término es "sección" áurea del siguiente, mientras que el valor nominal fi es el factor de progresión 1,618. Así que la mejor manera para no confundirse es esta:

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Su relación con el pentágono y dodecágono regulares

Comenté en algún articulillo anterior que hay tres grandes familias geométricas, regidas por tres raíces: R2, R3 y R5. La R2 regula la estructura del cuadrado, la duplicación. R3 rige las propiedades del triángulo equilátero y el hexágono. En base a cualquiera de las dos podemos organizar en red todo el plano, resolviendo lo que comentaba antes, de "acatar" las limitaciones físicas

La tercera familia, de Raíz de 5, la proporción áurea y el pentágono, no ofrece utilidades inmediatas, con ella es imposible generar estructuras isótropas que cubran todo el espacio. No se accede a sus propiedades por simple deducción visual, sino a costa de una observación activa, intencionada. Desde la admiración de los pitagóricos por el pentágono estrellado hasta la construcción de cúpulas geodésicas derivadas del icosaedro, siempre ha tenido ese carácter oculto, contemplativo, abstracto, tan atractivo para los amantes de la geometría y las matemáticas.

Sin embargo, es un sistema muy compacto; allí donde aparece está en todas partes. Para construir el pentágono regular, bien a partir del lado base, bien circunscrito en una 

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circunferencia, siempre tenemos que recurrir a la proporción áurea: se ve claramente que las operaciones son las mismas que vimos antes:

Esto es porque todos los elementos están relacionados entre sí por esta proporción:

A- El lado es sección áurea de la diagonal.B- Cada diagonal divide a otras dos según la sección áurea.C- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado mayor, la diagonal es igual al lado del pentágono, y el lado menor igual al lado del decágono.

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D- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado menor, la diagonal mide igual que la diagonal del pentágono.E- El radio es sección áurea del diámetro de la circunferencia inscrita, que es el doble de la apotema.F- La altura h del pentágono mide R5 en relación a la apotema.

El Pentagrama pitagórico

Los pitagóricos adoptaron como símbolo el Pentágono regular estrellado. Se le llamó también Pentagrama y Pentalfa (cinco puntas en forma de alfa). Aparte de la simbología de su número, su propiedad geométrica es que todos los segmentos están en progresión áurea.

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El triángulo del pentalfa, también llamado Triángulo Sublime y Triángulo áureo mayor, tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 1:2:2. Aparece en diversas formas en el pentágono y el decágono:

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Su complementario, el Triángulo Divino o Triángulo áureo menor, también es isósceles, también tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 3:1:1. Aparece en el Pentágono:

De hecho, si dividimos un pentágono usando vértices y cruces de diagonales siempre lo descompondremos en varios triángulos de ambos tipos. Si partimos uno de estos triángulos desde un vértice a la sección áurea del lado contrario, la 

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división dará un triángulo de cada tipo. A la inversa, adosando a uno de ellos el contrario, se puede agrandar la superficie del primero. Por lo tanto, cada uno es gnomon del otro.

Las superficies de los triángulos así divididos guardan la proporción áurea. El área del Pentágono regular, como vemos en la última figura, es R5 veces el del triángulo central. La proporción se manifiesta en todas partes, como un sistema perfectamente coherente.

Su presencia en el Dodecaedro y el Icosaedro

Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción áurea en diversas cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la 

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arista es sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura total. Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios, están en razón áurea.

En el Icosaedro podemos inscribir tres rectángulos áureos perpendiculares entre si, lo que significa que la arista es sección áurea de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre un vértice, los tramos de las alturas siguen la razón áurea, como también, visto desde arriba sobre una cara, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios.

 REFERENCIA

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http://roble.pntic.mec.es/jarran2/index.htm

POLÍGONOS: POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.  Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.

Cada uno de los segmentos se denomina lado.El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres.

Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante.

 

Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.

Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales.

El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales)

Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo 

(cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2

No regular

 

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Algunas propiedades de los polígonos:La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

  En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.  

 Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2

 

     

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS. Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

En un polígono regular de n lados:Angulo central =360/nAngulo interior = 180 - 360/nÁrea = Perímetro x Apotema /2; A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a(L/2)2 + a2 = r2 por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

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CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.

No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta.

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

N=3

Triangulo Equilátero

N= 4 

Cuadrado .

N=5

Pentágono Regular

N=6

Hexágono Regular

N=8

Octógono Regular.

N=10

Decágono Regular

N=15

Pentadecágono Regular

N=17

Heptadecágono Regular

 

Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados  esto es, de lados N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4). También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.

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En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

 

Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados.

En la imagen ampliada se observa la aproximación.

 

 

A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.

 

 

Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico.

 

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POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.

No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO ESTRELLADO 8/3   ESTRELLA FORMADA POR DOS CUADRADOS.

 

 

Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres.Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.

 También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

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Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.

 Ejercicios:

1.- ¿Cual es la suma de los ángulos interiores de un decágono?

2.- ¿Que Polígono regular tiene ángulo central  45º?

3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?

4.- ¿Cuanto vale el ángulo interior de un eneágono regular?

 

PAGINAS CON INFORMACIÓN SOBRE POLÍGONOS

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm Con Descartes.

 Paginas sobre Gauss

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm de la Página de Antonio Pérez.

http://www.geocities.com/grandesmatematicos/cap14.html Página Los Grandes Matemáticos.

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