FUNCIONES

La Construcción de un Concepto

Concepto de función

Introducción: medidas directas e indirectas

Las dependencias funcionales o funciones son de vital importancia. Permiten calcular (medidas indirectas) los valores que toman las magnitudes de un cuerpo o de un fenómeno sabiendo los valores (mediante medidas directas) de otras. He aquí un ejemplo en el que el cuerpo en cuestión es nuestro planeta Tierra.

La única medida directa que podemos hacer es la de la longitud de un meridiano. ¡Y eso con bastante esfuerzo! (Véase Eratóstenes y la historia de metro) A partir de este valor es posible CALCULAR (mediante fórmulas) los valores de otras magnitudes fundamentales de la Tierra.

Para que estos cálculos sean posibles tenemos que encontrar las fórmulas de las dependencias funcionales correspondientes. Aquí ejemplificamos alguno de estos logros del talento humano.

CUERPO MAGNITUDES DEPENDENCIAS FUNCIONALES

Longitud del Meridiano Medida Directa 40.000 km (definición de metro)

Diámetro Diámetro = f (Longitud del Meridiano) = L/π (definición de π)

Radio Radio = f (Diámetro) = D/2 (definición de radio)

Volumen Volumen = f (Radio) = (4/3) π R3 (volumen de una esfera)

Superficie Superficie = f (Radio) = 4 π R2

Masa Masa = f (Radio, g) = g R2/G (“Pesando la Tierra”)

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Densidad Media Densidad Media = Masa/Volumen = 5,5153 g/cm³  La definición del metro

Las enormes dificultades para realizar esta nueva medición están relatadas con maestría por  Denis Guedj, matemático y profesor de historia de las ciencias en la Universidad de París. ("El metro del mundo". Editorial Anagrama. 2003).

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La definición de π

= L/D cuenta cuántas veces cabe el diámetro D de una circunferencia en la longitud L de su perímetro.

Arquímedes fue el primero que científicamente calculó el número π mediante aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico (ver figura), dando como valor:

223/71 < π < 220/70es decir

3,140845 < π < 3,142857

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Con sólo unos 40 decimales del número pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

Volumen de una esfera

Como todo el mundo sabe (o debería) el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe también al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió. Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia  d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:

Cilindro: circunferencia de radio R.

Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente

figura y usando el teorema de Pitágoras tenemos

que r2+d2=R2.

Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos

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Concepto de función

se ve aquí el radio es d.

Por tanto tenemos:

Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono

Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:

Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono

Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Por tanto:

De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:

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Pesando la Tierra

El primer hombre que midió la fuerza de la gravedad con masas situadas en un laboratorio fue Henry Cavendish (1731-1810) utilizando un aparato como el esquematizado en la figura.

Cavendish midió la fuerza directa entre dos grandes bolas fijas de plomo y dos bolas más pequeñas de plomo en los extremos de un brazo suspendido de una fibra muy fina, conocida como fibra de torsión. Midiendo cuánto se tuerce la fibra se puede estimar la magnitud de la fuerza, verificar que depende del cuadrado de la distancia y determinar su intensidad. De las medidas de Cavendish se dedujo que la constante G debe valer 6.67·10 -

11 si las masas se expresan en kg y las distancias en metros.

Bueno, si sustituimos ahora en la expresión, podemos hallar la masa de la Tierra como

¿Y si nuestra ley estuviera completamente equivocada? Veamos si la masa de la Tierra obtenida tiene un valor razonable. Vamos al calcular la densidad media del planeta dividiendo esta masa por el volumen de la esfera terrestre,

lo que significa que cada cm3 del material terrestre debe de pesar, en término medio, unos 5.4 g. 1 cm 3 de agua pesa aproximadamente 1 gramo y 1 cm3 de hierro, unos 7.9 g, con lo que nuestra estimación está en algún lugar intermedio entre las densidades del agua y del hierro, lo que significa que el valor que hemos obtenido para la masa de la Tierra es al menos consistente con la de los materiales que la componen, un dato para el optimismo.

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La Ley del Péndulo

Por último me gustaría enseñar al lector un método más preciso para medir la aceleración de la gravedad. Se trata de utilizar un péndulo, es decir, un peso atado a un cordel. Se puede observar en la figura 14, que la aceleración que va en la dirección del movimiento de la masa viene dada como ga = g · sen a. Si el ángulo a es pequeño, el seno del ángulo puede sustituirse aproximadamente por el ángulo expresado en radianes. Si además tenemos en cuenta que el arco de circunferencia que barre el peso es s = l · a, donde l es la longitud del cordel, nos queda en definitiva que:

Cuando tengamos una expresión donde la aceleración del movimiento es proporcional al espacio recorrido, estamos ante un movimiento de tipo oscilatorio (como el del péndulo) con un periodo (o tiempo en el que tarda en ir y volver) dado por

Por tanto, si hacemos algunas medidas con un péndulo, y calculamos el tiempo de ida y vuelta, podremos hacer una estimación de la aceleración de la gravedad como:

de donde se puede obtener un valor tan preciso como 9.81 m/s2 para la aceleración de la gravedad. Sustituyendo este valor en nuestra estimación de la masa de la Tierra obtenemos 5.98·1024 kg.

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:

Al gebraicas

Trascendentes

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ENUNCIADO

Variable dependiente= f(Variable independiente)

TABLA

xu x yu y

FÓRMULA

y = f(x)GRÁFICA

Y

Xx

yPolinómicas

Racionales

Irracionales

Lineales

Cuadráticas...............

ConstanteProporcionalidad DAfín

6

1 Concepto de función

2 3

4 5

7

8

9

10

Concepto de función

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos magnitudes variables (variables), de tal manera que a cada valor de la primera (variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda (variable dependiente o función) Es decir, es una relación que permite calcular el valor de una magnitud variable conociendo el valor de la otra.

2. ENUNCIADO Carrera de taxi

Precio de una carrera de taxi = f (La duración de la misma)

Como podemos observar la función relaciona dos (magnitudes) variables: el precio y la duración .

La duración es la variable independiente (la escoges tú)

El precio es la variable dependiente  (depende de los minutos que dure el viaje)

Hay tres formas de dar una relación funcional:

Duración 10 20 30 minPrecio 8 13 18 €

 

El precio del viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

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Duración (min)

Coste (€)

3. TABLA

4. FÓRMULA5. GRÁFICA

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6. De

ENUNCIADO a TABLA

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente.

Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:

7. De TABLA a GRÁFICA

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja

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Tiempo t (s)

Distancia d (m)

,0 0,0

0,5 0,1

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

Concepto de función

representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano.

8. De GRÁFICA a FÓRMULA

También puede utilizarse una regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t2,donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Ç ç

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PRIMER EJEMPLO: ALQUILER DE UN COCHE

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DEPENDENCIA FUNCIONAL

Coste del alquiler = f(Duración del alquiler)

TABLA

D0123días C305070150€

FÓRMULA

y = 20x+30GRÁFICA

C

D1

50

Polinómica

Lineal----Afín y = a x + b 30

a

ba = constate de proporcionalidad o pendiente de la gráfica

b = ordenada en el origen

Concepto de función

SEGUNDO EJEMPLO: CAÍDA LIBRE

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DEPENDENCIA FUNCIONAL

Espacio recorrido = f(Tiempo transcurrido)

TABLA

t00,20,40,6 0,88s e00,20,781,763,1m

FÓRMULA

y = 4,9 t2

GRÁFICAe

t1

4,9

PolinómicaCuadrática y = a x2 + b x + c

(0,0) 0 = a . 0 + b . 0 + c

(0,2, 0,2) 0,2 = a . (0,2)2 + b . 0,2 + c

(0,4, 0,78) 0,78 = a . (0,4)2 + b . 0,4 + c

Concepto de función

METODOLOGÍA: EN BUSCA DE FÓRMULAS

Tenemos una situación problemática: en un círculo de radio igual a 4 cm podemos dibujar figuras como ésta. Se trata de un sector circular. Nos planteamos la necesidad de encontrar una fórmula que nos permita calcular su área midiendo otra variable : el ángulo x. ¿Es posible?

Identificamos las variables :

x = ángulo que forman los dos radiosy = área del sector circular

Identificamos la dependencia funcional y = f(x) , así:

El área del sector circular = f (Ángulo del mismo)

Identificamos (si podemos) qué clase de función es f (ver clasificación):

f es un función lineal o directamente proporcional

porque a doble valor de x le corresponde doble valor de y, a triple x, triple y…

Si tenemos un dato podemos hacer una tabla (en otro caso, tendremos que medir experimentalmente)

Ángulo 360º 180º 90º 45º ºÁrea del sector 16π 8π 4π 2π cm2

Hacemos una gráfica

Obtenemos la fórmula y = ax: a es la constante de proporcionalidad (=y/x)(lo que vale y cuando x es 1)

y = (2π/45) x

1

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Ángulo (º)

Área (cm2)

2π 45

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OTRO EJEMPLO

Queremos construir un aparato sencillo para pesar cuerpos. Se trata de un muelle elástico con una argolla: el dinamómetro.

Identificamos las variables :

x = peso del cuerpo que colgamos y = alargamiento del muelle

Identificamos la dependencia funcional y = f(x), así:

El alargamiento del muelle = f (Peso colgado)

Identificamos (si podemos) qué clase de función es f (ver clasificación):

f es un función lineal o directamente proporcional

porque a doble valor de x le corresponde doble valor de y, a triple x, triple y…

Medimos experimentalmente para hacer una tabla (ver figura)

Peso 0 10 20 30 40 gAlargamiento 0 1 2 3 4 cm

Hacemos una gráfica

Obtenemos la fórmula y = ax: a es la constante de proporcionalidad (=y/x)(lo que vale y cuando x es 1)

y = 0’1 x

1

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Peso (g)

Alargamiento (cm)

1 10

Concepto de función

CONSTRUYENDO FÓRMULAS

CUESTIONES

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DEPENDENCIA FUNCIONAL

Área del triángulo equilátero = f (longitud del lado)

FÓRMULA

A =

ÁLGEBRA

Polinómica--------

Cuadrática y = a x2 + b x + c

xA

x

x/2

h

Concepto de función

(Ver la gráfica en el reverso de la hoja)

Fíjate en el montaje experimental que se muestra en la figura. Éste es un buen ejemplo para que practiques todos los objetivos de aprendizaje del tema: medir, recoger resultados en una tabla, hacer una gráfica, interpretar la gráfica y encontrar la fórmula. Si la encuentras, estarás en disposición de predecir resultados, ¡que es de lo que se trata!

Calentamiento del agua:

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¿Qué fenómeno estamos estudiando? ¿Qué dos variables estamos relacionando? Enuncia la dependencia funcional. ¿Qué significa que entre estas dos variables haya

una dependencia funcional? Haz un relato de lo que se muestra en la gráfica.

¿Cómo se llaman este tipo de funciones? Lectura de valores: calcula T(1), T(7) Encuentra la fórmula. Predice resultados: ¿en qué instante se alcanza

la temperatura de 71ºC?

Concepto de función

Enfriamiento del agua:

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Concepto de función

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Concepto de función

9. De FÓRMULA a ENUNCIADO

Un móvil que se desplaza con velocidad recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Estudiaremos dos casos:

El

movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es

constante.

Problema 1 

Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.

Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s. Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los

tramos AB y BC. 

Problema 2

Un automóvil parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 4 m/s2, y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil decelera a razón de 8 m/s2 hasta que se detiene.

Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total.

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a=0v=ctex=x0+v⋅t

a=ctev=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+1/2⋅a⋅t2

v2=v20+2a(x−x0)

Concepto de función

Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo.

Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil.

10. Clasificación de las funciones

1. Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

1.1 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funcion constante : f(x)= k

Función proporcionalidad D : f(x) = mx

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Concepto de función

Función afín : f(x) = mx +n

Funciones cuadráticas : f(x) = ax² + bx +c

Funciones a trozos : Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto .Función parte entera de x .Función signo .

1.2 Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x

que anulan el denominador.

1.3 Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los

valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

2. Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

2.1 Función exponencial

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Concepto de función

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real   x  le hace corresponder la potencia  ax  se llama función exponencial de base a y exponente x.

2.2 Función l ogarítmica

UN POCO DE RIGOR AL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B  en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real. Es decir:

f : D      x   f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función . Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente .

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x) . Luego

y= f(x)

Dominio: El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x     /   f (x)}

Conjunto imagen o recorrido: El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x   D}

Ejemplo:x       

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Concepto de función

Conjunto inicial  Conjunto final

Si f es una función real,  a cada par (x, y)  = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y)  = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función .

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 4 6 8 10

Sistema de coordenadas cartesianasUn sistema de coordenadas

cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas . A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

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Concepto de función

Grafo de una función

Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.

G(f) = {x, f(x) /x   D(f)}

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica enteraEl dominio es R, cualquier número real tiene imagen.f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al

denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice imparEl dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice parEl dominio está formado por todos los valores que hacen

que el radicando sea mayor o igual que cero.

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Concepto de función

Dominio de la función logarítmicaEl dominio está formado por todos los valores que hacen

que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencialEl dominio es R.

Dominio de la función senoEl dominio es R.

Dominio de la función cosenoEl dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

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Concepto de función

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funcionesSi realizamos operaciones con funciones, el dominio de la

función resultante será:

Funciones reales. Ejercicios y problemas

1Calcular el dominio de las funciones polinómicas:1 

2

2Calcular el dominio de las funciones racionales:

1 

2

3 

4

5 

3Calcular el dominio de las funciones radicales:

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Concepto de función

1 2

3 

4

5 

6

7

8

9

10

114Calcular el dominio de las funciones exponenciales:1 

2

5Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:1 

2

6Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:

1 

2

7Estudia la simetría de las siguientes funciones:1 f(x) = x  6 + x  4  - x  2

2f(x) = x5+ x3 - x3 f(x)= x |x|4f(x) = |x| − 1

8Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

1f(x) = 5x² - 3x + 1  en x = 1

2

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Concepto de función

9Hallar las funciones inversas de:1

24

10Dadas las funciones:

Calcular:1234567Probar que: 

11Dadas las funciones:

Calcular:12

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