ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN CON CUERPOS GEOMÉTRICOS1

Análisis de una propuesta de trabajo para la sala de cinco

Adriana Castro

1. INTRODUCCIÓN

El presente capítulo tiene como objetivo ofrecer a los docentes, en primera instancia, y a cualquiera otro observador de una actividad de matemática en el marco del jardín de infantes, herramientas para el análisis de un proyecto de trabajo en el área. Entiendo que lo importante de este proceso de análisis no es la implementación de una didáctica "de moda" sino la obtención de fundamentación a favor de asumir posiciones didácticas más comprometidas con la enseñanza de conocimientos, aun en la enseñanza vinculada con niños pequeños. Pretendo, además, hacer un aporte -desde la práctica- de una secuencia de actividades de geometría. La idea es mostrar un camino posible y, desde allí, asumir parte de la gran dificultad para construir nuevas propuestas para la enseñanza de los primeros abordajes geométricos.

En el apartado 2, "Una propuesta para trabajar cuerpos y figuras en el jardín", describo una secuencia de actividades con cuerpos geométricos, secuencia en la que he venido trabajando en los dos últimos años probándola en diferentes contextos institucionales. Su versión final es la que se incluye a continuación y fue llevada a la práctica por dos docentes de una institución del partido de Moreno, provincia de Buenos Aires. En este mismo punto incluyo, además, el análisis de la secuencia fundamentando las decisiones tomadas para su construcción tanto en el marco teórico de la didáctica de la matemática como en la puesta en práctica mencionada. De esta manera intento demostrar que en la elaboración de una propuesta de trabajo se ponen en juego las intenciones de enseñanza desde un marco teórico particular, que es preciso tener presente al momento de realizar la planificación didáctica.

En el apartado 3, "La secuencia en acto", intento hacer una referencia más concreta a la práctica. En efecto, en esta parte se revelan las relaciones entre el conocimiento que se pretende enseñar, los procedimientos de resolución de los alumnos al vincularse con la propuesta y las decisiones tomadas por el docente, las que tomó antes de la puesta en marcha de la secuencia y durante dicho proceso.

Por último, en el punto 4, "La didáctica de la matemática", intento caracterizar con mayor precisión teórica el enfoque didáctico de la propuesta planteada. En este sentido, se desarrollan algunas ideas relevantes que permitirán al lector observar las relaciones entre el marco teórico y las decisiones de enseñanza tomadas antes, durante y después de la puesta enmarcha de lo planificado. Para finalizar, propongo que se observen los límites que encuentra un planteo teórico tan complejo en el contexto del nivel inicial.

2. UNA PROPUESTA PARA TRABAJAR CUERPOS Y FIGURAS EN EL JARDÍN

La siguiente secuencia de actividades ha sido inspirada en una actividad publicada en la revista Lápiz y Papel,2 que adapté a los requerimientos de aprendizaje buscado para un grupo de alumnos de una sala de cinco años.

1 Castro, A (2000): “Actividades de Exploración con cuerpos geométricos. Análisis de una propuesta de trabajo para la sala de cinco” en: Malajovich (comp): Recorridos didácticos en la educación Inicial. Editorial Paidós. Bs. As.2 G. Zorzoli: "Cuerpos y figuras", Lápiz y Papel, año 1, n° 2.

Una secuencia didáctica consiste en una serie de actividades con un progresivo nivel de complejidad en cuanto a las aproximaciones que lo alumnos deberán realizar para la resolución del problema dado.

En efecto, las actividades propuestas suponen una coordinación de acciones por parte de los alumnos para adaptarse a las restricciones que presenta la situación. Cada actividad incluye el trabajo realizado en la anterior, por lo tanto, es importante respetar el ordenamiento dado.

Con frecuencia se recurre al término "secuencia" para aludir al clásico ordenamiento lineal de lo simple a lo complejo en el que muchas veces se fundamentan las actividades en el jardín. No es en este sentido que utilizo el término, ya que en cada actividad de la secuencia se plantea un problema, entendiendo por tal una situación en la que el alumno deberá resolver algo. Cada una de las actividades posee su complejidad. Dado que cada una de las actividades involucra un obstáculo a resolver, y esto implica siempre una acción de búsqueda por parte de los alumnos, es importante que los docentes las repitan por lo menos dos veces. Es importante, además, recordar que en la reiteración de las actividades los niños logran superar resoluciones del tipo ensayo-error para pasar a otras que requieren un mayor control en la coordinación de sus acciones para el logro de un objetivo particular.

2.1. Ficha didáctica. Formas geométricas: sellado con cuerpos

• Materiales - Una colección variada de cuerpos geométricos de madera o material similar que no

deforme la rectilineidad de aristas y respete los ángulos de las caras de los cuerpos. Cada grupo (por mesa) dispondrá de una bandeja con cubos, prismas rectangulares y

triangulares, esferas de diferentes tamaños, pirámides y conos. - Almohadillas de sellado mojadas en témperas de distintos colores. - Hojas de papel de distintos tamaños (blancas).

• Objetivo para el alumno - Sellar las caras de los cuerpos logrando distintas formas geométricas o composiciones con

figuras.

• Objetivo de la secuencia para el docente - Descubrir las relaciones entre una forma geométrica tridimensional y las figuras (relación

tridimensional-bidimensional).

- Analizar las propiedades geométricas que se conservan en el traslado al plano de las caras de los cuerpos.

- Interpretar referencias geométricas dadas a través de figuras (relación bidimensional-tridimensional).

2.1.1. Primera fase: sellado libre de las caras de los cuerpos

• Organización de la sala Los alumnos se sentarán en grupos de cuatro niños. Cada mesa dispondrá de una variada cantidad de cuerpos geométricos que se ubicarán en

una bandeja en el centro de la mesa para favorecer que los niños exploren sus formas y demanden a sus compañeros el préstamo de los materiales.

Las almohadillas de diferentes colores estarán al alcance de los niños en cantidad y colores suficientes como para que la elección del color no se transforme en la discusión central del

grupo.

• Consigna "Cada uno de ustedes va a apoyar en las almohadillas con témpera las caras de los

diferentes cuerpos como si fueran sellos y los van a estampar en las hojas que les di. Pueden armar las formas que quieran y usar los papeles que deseen. "

• Desarrollo de la actividad Es importante que los chicos tengan a su disposición diferentes tamaños de hojas para

poder hacer una exploración más rica. Al finalizar el sellado libre, el docente provocará un intercambio entre los trabajos de los

alumnos; éstos podrían contar cómo lograron realizar su trabajo, qué cuerpos eligieron, etc. Al hablar de los cuerpos, los niños utilizarán denominaciones espontáneas que el docente respetará. El maestro sí usará los nombres correspondientes a los cuerpos mencionados cada vez que él mismo necesite nombrarlos. Inclusive podrá decir el nombre adecuado cuando algún niño lo requiera. No obstante esto, no esperará que se generalicen esas denominaciones ni corregirá cuando se produzca un intercambio entre niños.

2.1.2. Segunda fase: reproducción de un dibujo geométrico dado

• Organización de la sala Los alumnos trabajarán en parejas.

• Materiales Los modelos a reproducir son diferentes figuras geométricas. Se disponen espacialmente

dos o tres rectángulos de distintos tamaños, un círculo, un cuadrado y uno o dos triángulos en diferentes posiciones.

Se muestra a continuación un modelo que eventualmente se podría presentar a los alumnos.

• Consigna "Voy a darle a cada grupito (parejas) un dibujo y ustedes deberán co-piarlo con los sellos

con los que ya trabajaron antes. Fíjense bien qué cuerpos van a elegir para que los sellados que ustedes hagan queden lo más parecido posible al dibujo que yo les di. "

• Desarrollo de la actividad A cada pareja de niños se le dará un modelo a reproducir.

Las bandejas con los cuerpos geométricos se ubicarán en el centro de la mesa como en la actividad anterior y cada pareja podrá extraer de ella los cuerpos que necesiten. Los niños deberán copiar dicho modelo en una hoja en blanco tamaño carta u oficio a través del sellado, escogiendo los cuerpos que les parezcan más adecuados.

2.1.3. Tercera fase: confrontación de las producciones

Dado que muchas parejas de diferentes mesas tuvieron el mismo modelo para reproducir, el docente elegirá algunos trabajos y preparará la sala de tal modo que queden claramente expuestos, ante el grupo entero, el modelo dado y las producciones de los alumnos respecto de ese modelo. Los alumnos compararán lo realizado, dirán qué cuerpos eligieron, hablarán de

los problemas que tuvieron para su realización y cómo los resolvieron.

El docente guiará la discusión hacia la comparación entre el modelo y las producciones. Algunas preguntas orientadoras para el logro de ese objetivo podrían ser: qué observan en este trabajo, cómo deberían haber sellado para producir tal forma, qué cuerpos se pueden usar para hacer éste, etcétera.

Será importante tener a mano los cuerpos geométrico s que usaron en la fase de producción para que los mismos niños apelen a ellos cuando fundamenten las decisiones tomadas.

A partir de esta primera confrontación, el docente analizará lo realizado para la conformación de las nuevas parejas o tomará la decisión de mantener las que ya se habían conformado, y volverá a iniciar la actividad de reproducción. En dicho análisis podría observar, por ejemplo, si los niños pudieron intercambiar puntos de vista o bien un niño dominó sobre otro, si hubo la suficiente cantidad de cuerpos por grupos, si las parejas pudieron reconocer sus producciones cuando las mostraban al grupo y si pudieron hablar de cómo las resolvieron. También es importante analizar si todos los niños comprendieron la tarea o si algunos necesitan alguna explicación específica que tal vez el trabajo con otro compañero podría resolver.

Como se puede ver, el análisis se centra en las observaciones que el docente realizó durante la actividad y, por lo tanto, es preciso reconocer que ésa es su principal función: es un observador atento de los procedimientos de resolución de sus alumnos y un intérprete de dichas acciones en tanto que comprende que las acciones de sus alumnos son intencionadas y no azarosas.

También se puede proponer un modelo para reproducir por parejas, pero la producción de los trabajos (copia) se resolverá de forma individual. Esta actividad es interesante ya que puede permitir observaciones de trabajos y comparaciones en el momento en que se están realizando. Para la realización de la nueva propuesta, se tendrán en cuenta los comentarios realizados por los alumnos. El maestro recordará de forma explícita algunos acuerdos abordados (si los hubo).

2.1.4. Cuarta fase: sellado de una superficie geométrica dada

• Primera actividad Pintar sellando una superficie (figuras geométricas) dada.

• Organización de la sala Trabajo individual.

• Consigna "Hoy van a pintar con los sellos -ustedes ya saben que se llaman cuerpos geométricos- un

dibujo que les vaya dar. Van a recibir la hoja, van a pensar con qué cuerpos los van a sellar para que queden totalmente pintados y después les vaya entregar las almohadillas de colores para que los pinten sellándolos. "

• Desarrollo de la actividad Luego de discutir cómo eligieron los sellos (cuerpos) para la actividad anterior, la maestra le ofrecerá a cada nene una figura para pintar. Los niños tendrán que pintar la forma dada sellando, una vez más, con las caras de los cuerpos. Para esto, los alumnos deberán elegir los sellos/cuerpos más adecuados para que esas formas queden totalmente pintadas. A continuación, se describen algunos modelos3 posibles de ser presentados a cada alumno.

Figura 1 Figura 2

El maestro observará de qué manera los alumnos anticipan su acción.

Si se muestran los dibujos entre ellos, si observan semejanzas a pesar de tamaños y posiciones en las que estén dispuestas las figuras geométricas en la hoja, si se ubican en alguna posición en particular para analizar la forma resultante del sellado, etcétera.

2.1.5. Quinta fase: institucionalización de los aspectos trabajados

El docente organizará una situación grupal en la que se expongan trabajos de los alumnos desde los primeros a los últimos. Sintetizará algunos acuerdos alcanzados que hayan permitido una evolución en las producciones de los alumnos.

Los niños contarán al resto del grupo cómo realizaron el pintado, los cuerpos que usaron, por

3 Los modelos propuestos son formas que deberán servir a modo de ejemplo. El docente deberá presentar sus modelos al grupo, respetando los tamaños reales de las caras de los cuerpos con los que estuvo trabajando para las actividades de esta secuencia.

qué los eligieron, etc. El docente preguntará si podrían haber elegido otros diferentes de los usados; preguntará a sus alumnos si determinado trabajo -que eligió previamente- podría haberse resuelto con otros cuerpos diferentes de los que usó el compañero.

Así también, formulará correctamente los términos espacio-geométricos utilizados en este intercambio. Por ejemplo, si los alumnos señalaran que "este palito tenés que ponerlo así para que pinte con esa forma", el docente podrá reformular lo dicho en términos de uso social.

Se repetirá la actividad de pintado incluyendo los comentarios realizados. Es decir el docente recordará aquello que se dijo en la puesta en común.

2.2. Análisis de la secuencia

2.2.1. El conocimiento en funcionamiento: construcción de los primeros significados del conocimiento geométrico

Esta secuencia pretende iniciar a los niños en el análisis de los atributos geométrico s de cuerpos y figuras a partir de su reconocimiento.

Históricamente, el trabajo de estos aspectos en el jardín de infantes se centraba en el reconocimiento a partir de los nombres de las figuras. Inicialmente se mostraban los cuerpos (que se nombraban como figuras), se describían a partir de preguntas que se hacían a los alumnos para que ellos formularan dicha descripción y luego se informaba acerca de sus nombres. Más adelante, se demandaba que los niños señalaran las figuras cuando se las nombraban, es decir que los diferenciaran o distinguieran a partir de escuchar sus denominaciones. Es así como los alumnos se enfrentaban a tareas como las de pintar triángulos, por ejemplo, reconociéndolos entre varias figuras.

Es posible que aún hoy encontremos este tipo de actividades de enseñanza directa de una noción y de un vocabulario específico. Podríamos preguntamos, entonces, si son instancias de aprendizaje, es decir, si son actividades de enseñanza de un conocimiento nuevo o bien evalúan aquello que los niños saben.

En la secuencia presentada traté de involucrar el "reconocimiento" de atributos geométrico s pero, a diferencia de lo que sucedía anteriormente, partiendo de la observación y el análisis de los cuerpos en aspectos tales como tipos de caras (caras planas y curvas), ángulos formados por la unión de aristas, caras circulares o rectangulares y su ubicación en el plano de la hoja.

Los alumnos se enfrentan al nuevo conocimiento (reconocimiento de los atributos geométricos) a partir de resolver un problema planteado por el docente. El nuevo conocimiento funciona en la secuencia, se presenta ante los niños como una herramienta que deberán utilizar para resolver el problema. Los alumnos, en interacción con dicho conocimiento y confrontando sus ideas espontáneas con las de sus pares, construyen el sentido de los conocimientos, su significado, contextualizándolo en una particular situación.

A partir de la frecuencia en la interacción con la situación o contexto, los alumnos van acercándose a una idea más formalizada del objeto de conocimiento. De aquí en más se deberán presentar nuevos problemas, nuevos contextos de utilización del conocimiento para que los alumnos amplíen el sentido del conocimiento construido.

La fase exploratoria del sellado libre funciona como un primer acercamiento de los niños a los conocimientos mencionados anteriormente, ya que dichos aspectos geométricos no están presentes en la vida cotidiana como lo están los números y las medidas. En el sellado sin

restricciones los niños construyen sus primeras ideas sobre estos objetos y a partir de esas primeras ideas, se planteará un nuevo problema que les permitirá precisar lo aprendido a partir de la exploración.

2.2.2. La acción del niño: la tarea individual y sus interacciones grupales

Como se dijo, la fase exploratoria es una fase importante en tanto que provoca una aproximación a los conocimientos que se quieren enseñar. Los conocimientos que los niños obtengan en esa fase estarán ligados a su experiencia personal, es decir, a las posibilidades individuales de aprender a partir de las acciones realizadas en este trabajo. Pero los conocimientos no proceden únicamente de la acción.

En efecto, la construcción de nuevos conocimientos requiere de acciones interiorizadas; entonces, desde la perspectiva de la didáctica de la matemática es requisito fundamental incluir en la situación nuevos obstáculos que desafíen lo conocido, lo establecido. Una intervención interesante que posibilite la problematización ante una situación conocida, el abordaje grupal que permita compartir las decisiones tomadas, las reflexiones generales, son, entre otros, algunos ejemplos de situaciones que hacen posible la interiorización de las acciones. Es así como se intentará asegurar los aprendizajes en todos los alumnos, provocando la evolución de los conocimientos desde las primeras aproximaciones.

La reproducción de modelos o las fases finales -pintar sellando- plantean otro tipo de obstáculo al alumno: requieren que anticipen sus acciones y que pongan a prueba sus conocimientos sobre cuerpos y figuras construidos en fases anteriores. De este modo los niños no sólo deberán actuar como en la fase exploratoria sino que también deberán pensar previamente cómo hacerlo.

Esta anticipación de la acción es el objetivo buscado. Los niños deberán ajustarse a las restricciones del problema y construir modos de controlar las acciones realizadas. Es decir, después de efectuar la copia del modelo o el pintado, podrán evaluar por sus propios medios las decisiones tomadas.

La situación incluye fases de análisis de lo realizado que permitirán a los alumnos, en una nueva ocasión de resolución del problema, retomar lo analizado y precisar sus acciones.

Los niños decidirán sobre:

- los cuerpos que tienen que usar teniendo en cuenta la forma dada (figuras geométricas); - la posición (arriba de, abajo de, al medio de, etc.), es decir, cómo ubicar los cuerpos para que

sellen de determinada forma; - las distancias (proximidad, vecindad) y el uso del espacio de la hoja para distribuir las formas; - la secuencia de figuras a ubicar: por cuál empezar, cómo seguir, etc.

La interacción entre alumnos permitirá que tomen todas estas decisiones compartiendo sus razonamientos con los demás niños, defendiendo su posición o aceptando la resolución de algún compañero cuyos argumentos hayan sido más convincentes que los propios.

Sólo a través del trabajo colectivo en pequeños grupos o en parejas logramos que los alumnos formulen sus ideas, acepten las de los otros y expliciten sus marcos conceptuales.

En este sentido, esperamos que el docente observe a sus alumnos y registre sus modos de resolución ya que a partir de esto podrá tomar nuevas decisiones sobre:

a) La conformación de los grupos. b) La conveniencia de la repetición de las actividades.

c) El tipo de problema a presentar: si la tarea presentada representa un desafío para estos alumnos o no.

d) Los modos de intervención.

2.2.3. Objetivo de las puestas en común y la fase de institucionalizacián

En esta fase se prevé una puesta en común para provocar la reflexión sobre lo producido. Se formularán los conocimientos usados: se llegará a acuerdos, se provocarán las discusiones y se informará sobre los lenguajes convencionales necesarios para, por ejemplo, hacer una indicación a un compañero o pedir uno de los cuerpos para trabajar.

Tanto en las puestas en común como durante la fase de institucionalización, el rol docente es fundamental ya que, por un lado, preparará los trabajos sobre los que se va a discutir y, por el otro, será el encargado de formalizar e instituir los conocimientos nuevos.

El objetivo de retomar las actividades luego de esta puesta en común es ofrecer a los niños una nueva oportunidad de trabajo para poner en marcha los acuerdos a los que hayan llegado y para que utilicen lo aprendido en un nuevo trabajo. Para el docente, es una nueva instancia de observación y análisis que le permitirá evaluar la evolución de los aprendizajes en sus alumnos y sus futuras intervenciones.

3. LA SECUENCIA EN ACTO

La propuesta se realizó en un jardín de infantes de la provincia de Buenos Aires entre los meses de septiembre y octubre de 1997. Las salas que la llevaron a cabo fueron dos salas de cinco años de treinta niños (turno mañana y turno tarde, respectivamente) con un docente a cargo en cada turno. En algunas oportunidades contábamos con la ayuda de la preceptora o del personal directivo para registrar la información obtenida mediante las observaciones de lo realizado.

La población que concurre a la escuela en la que se llevó a cabo la experiencia se podría describir como mayoritariamente proveniente de sectores medios-bajos y bajos. Será importante tener en cuenta estas características al analizar el lenguaje utilizado para describir ciertas formas geométricas o bien para interpretar sus explicaciones.

3.1.1. Los materiales como variable didáctica

Decidimos utilizar los siguientes cuerpos de madera: algunos bloques Dienes en buen estado y agregamos esferas, pirámides, prismas triangulares distintos de los que vienen en el material de bloques, prismas rectangulares de bases cuadradas, cubos cuyas caras tuvieran las mismas dimensiones que las caras cuadradas del prisma anterior, etc. También se pueden utilizar equipos de cuerpos geométricos que suelen tener las escuelas primarias o el equipo Smith-Hill, Los materiales son una' variable que condiciona los procesos de resolución de los alumnos y, en consecuencia, tuvimos que pensar con cierta precisión qué cuerpos pondríamos en las bandejas.

Inicialmente trabajamos con cuerpos de telgopor, pero con el paso del tiempo, las aristas fueron deteriorándose y los vértices, redondeándose; los sellados y las formas resultantes no eran fieles a las caras de los verdaderos cuerpos geométricos. En consecuencia, la exploración de las formas resultantes de los distintos sellados, que era el objetivo de enseñanza propuesto, no podía cumplirse.

Otro aspecto vinculado a los materiales que es importante comentar es el de los colores de las almohadillas. Si sólo se ofrece un color, como lo hicimos inicialmente, y una sola hoja grande, los sellados van superponiéndose y, en consecuencia, las formas pintadas no son identificables.

Los diferentes colores ayudaron a distinguir las figuras, resultado de los sellados, a pesar de la superposición.

Sin embargo, al observar el tipo de formas que los niños lograban en esta fase exploratoria, aun con las almohadillas de diferentes colores, decidimos incluir hojas de distinto tamaño, ya que al cubrir la hoja tamaño oficio o carta con distintos sellos les resultaba imposible recuperar, posteriormente, con qué sellos habían trabajado para obtener determinadas figuras.

Las hojas pequeñas generaron la necesidad de elegir un cuerpo, sellar y dar por finalizado el trabajo, obteniendo de inmediato información acerca de la relación cuerpo-figura. Las hojas con forma de banda (rectángulos angostos) les permitían armar secuencias de figuras o guardas; repetían sucesivamente un mismo sello pero en distintas posiciones, rotándolos. Con respecto a las caras curvas, los niños dejaban rodar las esferas, conos y cilindros tanto en las hojas grandes como en las bandas.

Al volver sobre la actividad del sellado libre, pero enriquecida con el nuevo material, se produjeron los primeros comentarios reflexivos (espontáneos, ya que aún no había nada en la situación planteada que provocara la necesidad de describir y nombrar los cuerpos con los que habían trabajado). Los chicos pedían algunos cuerpos a sus compañeros: "Pasá- me la bolita (esfera)", "¡Mirá! Con el rodillo (cilindro) pinté todo esto (bandas de diferentes colores que se cruzaban)", "Éste (el prisma triangular) pinta techitos".

En ocasiones, algunos niños dibujaban una forma imaginada a partir de los cuerpos dados y requerían de formas específicas; un niño dibujaba muñecos con diferentes cuerpos y, por ejemplo, buscaba en las mesas de otros grupos: "¿Quién tiene una de esas 'carpas' (cono)?" Sabía que la cabeza del muñeco podía lograrse con la cara circular de ese cuerpo.

3.1.2. Las actividades de sellado con un modelo dado (segunda fase)

Los primeros modelos dados generaron diferentes dificultades de resolución.

• Problemas en la disposición espacial de las figuras En la primera reproducción, algunos niños seleccionaron correctamente los cuerpos

correspondientes a la forma dada pero invirtieron el orden en que los presentaban. Por ejemplo: una pareja recibe el siguiente modelo:

Su reproducción fue la siguiente:

El problema presentado es sobre qué forma colocar el círculo. Inicialmente sellaron la forma que percibieron globalmente: el rectángulo y el triángulo (una forma parecida a un pino), y luego el círculo no les entraba en esa configuración. Decidieron ponerlo entre el rectángulo y el triángulo.

En otro caso (véase figura B, en pág. 190), en el modelo se observa que la pareja ha podido respetar el orden dado y logró seleccionar correctamente los cuerpos para el sellado de la forma dada. El problema que se les presenta es el de la rotación del cuadrado que los lleva a

repensar el trabajo.

En la puesta en común, ambos dijeron que cuando vieron "esa" (el cuadrado ubicado entre el triángulo y el rectángulo pequeño) no sabían qué sello elegir y que probaron cuál entraba sin pintar. Así eligieron el prisma rectangular con dos caras cuadradas. Agreguemos a este comentario que, al momento de decidir el sellado, no tuvieron en cuenta la rotación de esa cara.

Con relación al orden, los comentarios realizados por los docentes referidos al desarrollo de la actividad en esta fase de la secuencia (copiado en parejas) fueron que muchas veces ocurría que los niños preparaban los cuerpos antes de sellar y los ponían en orden. Pero al no tener todos los cuerpos necesarios para realizar su trabajo, porque otros grupos los estaban usando, comenzaban el sellado dejando el lugar para el sello que faltaba y, al momento del sellado, el lugar que habían guardado les resultaba insuficiente.

Tal vez esto explique la superposición de círculo en el primer ejemplo.

Modelo dado Modelo reproducido

Otra pareja de niños recibe el mismo modelo que la primera pareja mencionada:

Modelo dado Modelo reproducido

Al observar el modelo resultante un integrante de la pareja se molesta porque las figuras "quedaron despegadas". Es decir, observando la proximidad entre las figuras, este niño determina que su trabajo no corresponde al modelo dado.

• Problemas en la reproducción de la forma dada al trabajar en pareja Fue frecuente encontrar sellados repetidos de un solo modelo dado, en los primeros momentos de la actividad. Es el caso de una pareja que, una vez que identificaron los cuerpos a sellar, repetían cada vez el modelo dado en forma sucesiva, una vez cada uno, hasta terminar con la témpera del sello.

Otra situación frecuente se dio cuando un integrante de la pareja comenzaba el sellado mientras que la otra observaba. Cuando se producía algún desfase o error en la producción, enseguida la parte observadora intentaba enmendar lo realizado. Es así como encontramos varias producciones superpuestas intentando "corregir" lo realizado.

3.1.3. La actividad de sellado de una superficie dada (cuarta fase)

Con respecto a esta fase no se observaron mayores dificultades en su realización. Los niños conocían bien los cuerpos que querían pedir, y la situación a decidir en relación con la cantidad de veces que sellarían en la hoja en blanco no se presentaba en esta fase ni tampoco la decisión sobre la posición. Esto, en algún sentido, facilitó la tarea a realizar.

El nuevo problema que se les presentaba era cubrir totalmente la superficie del modelo dado y, en este sentido, cada uno debería observar dos aspectos fundamentales en los cuerpos: la forma proyectada en el modelo y el tamaño.

Recordemos que en el material se incluían cuerpos iguales de diferentes tamaños y cuerpos que podían formar otras figuras; por ejemplo, sellando con la cara cuadrada del prisma rectangular dos veces se podía llenar la superficie de un rectángulo. Otro ejemplo se dio con los prismas triangulares (caras triangulares de triángulos rectángulos) y su relación con los cuadriláteros.

Los niños, para resolver este nuevo problema, adoptaban en todos los casos una posición

corporal: trabajaban parados. Necesitaban mirar la figura desde arriba antes de sellar para finalmente pintar. Algunos niños necesitaban hacer sus pruebas sin mojar el cuerpo en la témpera o consultarle a algún compañero.

En las primeras aproximaciones a esta actividad, la docente dispuso de una mesa, alejada de las mesas de trabajo de los alumnos, con hojas en blanco y almohadillas para que los alumnos que lo necesitaran hicieran una prueba antes de pintar. Posteriormente, esta mesa se retiró. Esto sirvió para recordar la figura resultante del sellado, para que probaran en qué posición sellar, etc. Pero la intención de alejar esta mesa "de prueba" de las mesas de los alumnos fue la de provocar una reflexión sobre la acción y que la producción final no estuviera necesariamente ligada a una acción mecánica.

4. LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. FUNDAMENTOS PARA LA PUESTA EN MARCHA DE UN PROYECTO DE ENSEÑANZA

Las investigaciones en didáctica de la matemática que se conocieron en los últimos años, en particular las que se desarrollaron en las últimas décadas en los Institutos de Investigación de Enseñanza de la Matemática en Francia, han tenido una gran difusión bibliográfica pero aún no podemos afirmar que esta gran aceptación en la comunidad docente haya influido lo suficiente como para provocar cambios significativos en las prácticas diarias. En efecto, cuando la mirada se focaliza en el análisis de lo producido en un salón de clase o en una sala de jardín, el nuevo enfoque se ve ensamblado con lo ya establecido, conformando una trama difícil de desentrañar cuando intentamos responder qué se quiso enseñar y qué aprendieron los alumnos.

En consecuencia, pretendo ofrecer un marco de análisis que permita establecer relaciones entre las decisiones tomadas tanto para la confección de una propuesta didáctica como para la puesta en escena del trabajo con formas geométricas, en el contexto de una sala de jardín.

4.1. La concepción de aprendizaje escolar

La didáctica de la matemática adopta la posición constructivista e interaccionista desde la perspectiva de la psicología genética. Según este marco epistemológico, se intentará responder a la cuestión de las transformaciones de los conocimientos necesarias para su transmisión, en el marco de un proyecto social y de una institución encargada de esto: la escuela. Es decir, la adecuación de los conocimientos a enseñar a las exigencias de un sistema y, dentro de éste, a las de un grupo de alumnos.

Desde el punto de vista de los alumnos que aprenden en ese sistema, las investigaciones didácticas están ligadas a los interrogantes piagetianos, ya que se preguntan sobre cómo aumentan los conocimientos de los sujetos, cómo evolucionan en organizaciones sucesivas y, en este contexto, se preguntan acerca de las condiciones que provocan los aprendizajes de conceptos, nociones y demás aspectos que se quieren enseñar.

Algunas de estas investigaciones se centraron en la confección de situaciones de enseñanza en las que la acción del sujeto -en tanto acción progresivamente interiorizada- en interacción con la situación de aprendizaje, fuera la principal fuente de aprendizaje de nuevos conocimientos. Es decir, se asume que los conocimientos que van a aprender los alumnos derivan de la adaptación del sujeto a un medio particular; entonces, una situación didáctica será el medio que provoque los desequilibrio s en el sujeto para generar el aprendizaje deseado.

Desde el punto de vista de la didáctica, una situación se define como el conjunto de relaciones ligadas a un particular conocimiento.

Estas relaciones deben ser tales que ese conocimiento es necesario para su realización o para su mantenimiento, por ejemplo, esas relaciones pueden ser un juego en el que la puesta en funcionamiento del conocimiento en cuestión es el único medio de asegurar al jugador una estrategia ganadora (Brousseau, 1990, pág. 261).

Éste es el marco de la interacción sujeto-conocimiento.

4.2. ¿Cómo se modifican las relaciones entre el conocimiento a enseñar, el alumno y el docente según esta perspectiva didáctica?

Según analiza Brousseau, el trabajo intelectual del alumno debe ser comparable con la actividad científica.

Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría que actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que las cambie por otras, que reconozca las que se adaptan a su cultura, que recurra a las que son útiles, etc. Para hacer posible tal actividad, el profesor debe entonces imaginar y proponer a sus alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima, y posible de ser descubierta, de los problemas planteados (Brousseau, 1993, pág. 2).

Desde esta perspectiva es fundamental seguir analizando qué roles deberán desempeñar los docentes, el conocimiento escolar y los alumnos. y qué nuevas responsabilidades se asumen para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en el contexto escolar.

4.2.1. La tarea docente

A propósito de la teoría de las situaciones de Brousseau, R. Douady (1984) observa:

[ ... ] las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio permanente con los problemas en los que son puestos y en el curso de los cuales los conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados.

Es el docente quien provoca intencionalmente el contacto del alumno con los conocimientos a través de ofrecer situaciones didácticas (interacción con un medio) en las que funcione un particular concepto, noción o vocabulario. Estas situaciones son, para los alumnos, problemas que deberán resolver con lo que ya saben, pero también son lo suficientemente ricas como para desafiarlos a que amplíen sus conocimientos o los rechacen a partir de la construcción de nuevos sentidos.

En la secuencia descrita, pretendemos poner a los alumnos en contacto con ciertos objetos de conocimiento (cuerpos y figuras geométricas). Los niños, a partir de sus acciones de resolución, construyen sus primeras ideas acerca de los conocimientos en juego. En este sentido, las acciones de los alumnos cobran protagonismo, ya que son acciones provistas de sentido, la respuesta a un problema planteado.

Es importante reiterar que dichos conocimientos sólo aparecen como objetos de reflexión a la edad de nuestros alumnos, en la escuela y, en consecuencia, las actividades propuestas son fundamentales a la hora de generar las primeras aproximaciones a conceptos densos y complejos.

La acción del docente es una acción mediadora, ya que crea las condiciones para el aprendizaje, no sólo porque plantea las situaciones u ocasiones de utilización de esas nociones y de un vocabulario específico, sino también porque ofrece a sus alumnos la posibilidad de ayudarlos a hallar nuevos significados de ese concepto, vocabulario o noción al ofrecer nuevas oportunidades de utilización en la resolución de nuevos problemas.

En la secuencia, cada actividad es una nueva ocasión de resignificar lo aprendido en la actividad anterior. Se podría analizar la posibilidad de continuar esta secuencia en otro momento del año ampliando y diversificando lo aprendido a través de nuevas actividades: forrar cuerpos con papel, cortar etiquetas con la forma de las caras de los cuerpos, proyección de sus sombras, dictado de figuras geométricas, etcétera.

En síntesis, de nada habría servido si el docente hubiera ofrecido ejercicios en los que los alumnos debieran nombrar o señalar talo cual cuerpo o figura, marcando elementos y recitando sus propiedades. Este modo de enseñanza directa de las nociones a enseñar las descontextualiza, las parcializa y, en consecuencia, aleja a los alumnos de toda posibilidad de integrar lo aprendido con nuevos conocimientos.

Como se podrá observar, definir el rol docente como un rol mediador equivale a asumir una posición respecto de los aprendizajes escolares de los alumnos. En efecto, desde esta posición didáctica se afirma que la enseñanza directa de los conocimientos no es posible, ya que esto determinaría la destrucción de los diferentes sentidos que tiene dicho conocimiento, y aprender matemática es justamente construir sentidos.

En el marco de la didáctica de la matemática, y según la concepción de aprendizaje asumida por esta línea de investigación, el docente deberá concebir el aprendizaje de sus alumnos en términos de cambios de estados del conocimiento y no de superposición o yuxtaposición de estados finales del conocimiento.

A partir de la afirmación anterior es importante reconocer que la investigación didáctica está intentando ofrecer a los docentes explicaciones sobre las relaciones entre conocimientos nuevos y conocimientos viejos, aunque aún estas investigaciones sean escasas (Brousseau, 1990).

Sintéticamente, la tarea del docente prevista en la secuencia presentada en este capítulo se podría resumir, siguiendo lo dicho anteriormente, en los siguientes puntos:

• Selecciona el problema que llevará a los alumnos a una interacción autónoma e independiente con el conocimiento que deberá ser aprendido. Contextualiza el conocimiento en una situación didáctica.

• Se abstiene de dar indicaciones acerca de la resolución exitosa del problema, es decir, no interviene directamente en la relación alumnos-conocimiento.

• Elige las condiciones necesarias para provocar las interacciones entre niños. Formula acuerdos y crea las condiciones que llevaron a los alumnos a discutir sus soluciones.

• Ofrece los instrumentos para que los alumnos reconozcan en la experiencia una parte del conocimiento cultural, es decir, descontextualiza el conocimiento enseñado y le da un nuevo status, para que los alumnos lo recontextualicen en nuevas situaciones de aprendizaje. A este proceso se lo denomina "proceso de institucionalización". Asistido por su función social, el docente institucionaliza el conocimiento usado.

Como se podrá observar, las condiciones de comunicación del conocimiento se basan en la gestión por parte de los alumnos y no en una comunicación directa del docente hacia ellos. Esta gestión del conocimiento intenta poner a los alumnos en instancias que reproducen el

proceso de producción cultural de saberes, es decir, en instancias semejantes a las de los científicos que los producen.

4.2.2. Acerca del sentido de los conocimientos

Históricamente, se creía que los alumnos aprendían un concepto a partir de explicaciones y ejemplos que el maestro mostraba (enseñanza directa). El docente presentaba la noción y el alumno, luego de "entenderla" globalmente, pasaba a aplicarla en problemas similares a los que el docente había considerado en su explicación.

Se podría afirmar que el modelo en vigencia se reducía a un esquema "escucho-aplico" o bien "miro-aplico", esquema que pone demasiada confianza en las aptitudes perceptivas de los alumnos, produciendo un aprendizaje reproductivo de lo enseñado, con adquisiciones muy ligadas a las situaciones o los problemas presentados por el docente.

La didáctica de la matemática rechaza toda posición empirista de la transmisión de conocimientos desde la perspectiva constructivista ya planteada e incluye, además de la actividad del sujeto en la construcción de conocimientos, la influencia de otros contextos implicados en la enseñanza (los medios masivos de comunicación social, la interacción cultural dentro y fuera del contexto familiar, etc.) a quienes muchas veces se los describe como los responsables de ofrecer los primeros significados respecto de algunos conceptos matemáticos que históricamente se aprenden en la escuela. Por ejemplo, cuando los números decimales son objeto de enseñanza sistematizada, los alumnos ya han construido algunas ideas sobre ellos, porque han tenido oportunidad de usados en problemas de su entorno diario. Estas primeras aproximaciones al significado de un particular conocimiento que se enseña intencionalmente se ponen de manifiesto en la escuela a la hora de estudiar sus propiedades y se transforman en posibilitadores u obstaculizadores de su aprendizaje según el tipo de problema que se presente.

Las primeras aproximaciones a los significados de un conocimiento forman una parte importante en la resolución de problemas; constituyen el patrimonio de conocimientos que ya poseen los alumnos al enfrentarse a un problema. A partir de estos primeros aprendizajes los niños van construyendo nuevos significados de un concepto o noción. La reflexión sobre ellos, la discusión, el trabajo entre pares, las intervenciones del docente y los nuevos problemas que se ofrecen para la reutilización o recontextualización de una noción, concepto o vocabulario serán los encargados de provocar el avance deseado.

A propósito de la construcción de nuevos conocimientos, se reconoce que un concepto posee distintos sentidos que los alumnos abordan a lo largo de un costoso y lento proceso en los que muchas veces los tiempos escolares tienden a hacer mínimos. Acerca de este punto, Vergnaud (1994) dice: "La teoría de los Campos Conceptuales apunta esencialmente a definir un objeto que sea de un tamaño razonable, y a comprender cómo se desarrollan los procesos a lo largo de varios años". Más adelante funda- menta que se piensa en un proceso a largo plazo porque hay niños que son mucho más rápidos que otros, y que si no hay una visión del "largo término de la conceptualización ", el docente no será capaz de proponer a sus alumnos una multiplicidad de situaciones de aprendizaje para que todos se acerquen a los distintos significados de ese concepto.4

De más está decir que la densidad argumentativa de la teoría mencionada no se agota en una fundamentación basada en la diversidad de un grupo de alumnos, pero es interesante este señalamiento para instalar una mirada complejizadora del fenómeno educativo en la escuela,

4 Así se refirió a la "larga duración de la construcción de un concepto" en un reportaje realizado por la revista Novedades Educativas, n° 76, 1997.

cuestión que también llevará un largo proceso. En efecto, un concepto o una noción particular o un tipo de práctica no se aprende con la lección del día ni aun resolviendo varios problemas en un tiempo acotado; es necesario entender que habrá que volver a enseñar estas cuestiones con distintos niveles de complejidad, en distintos momentos de la vida escolar del alumno. Por ejemplo, podríamos afirmar que el concepto de número natural logra construirse al finalizar el primer ciclo de la escuela primaria. Sin embargo, los primeros abordajes significativos se dieron a lo largo de sus primeros años de vida, iniciando en jardín de infantes las primeras experiencias reflexivas, es decir, sus primeras aproximaciones a la consideración de los números como objeto de conocimiento.

Con respecto a los conocimientos geométricos podríamos decir que poseen relación con los conocimientos espaciales de base que los niños hayan podido construir en su entorno diario, aunque el tipo de relación que se establece entre ambos es aún motivo de estudio y de investigaciones.

Tomo la definición de "conocimientos espaciales de base" del trabajo de Berthelot y Salin (1995):

Entendemos por esto el lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos, la toma de conciencia de los fenómenos vinculados a los cambios de puntos de vista, la elaboración y utilización de representaciones del espacio- entorno, etc.

En cambio, cuando hablamos de geometría estaríamos apelando a un espacio conceptualizado con propiedades distintas del espacio-entorno que acabo de definir.

Las consecuencias didácticas provenientes de estas definiciones son categóricas a la hora de definir qué enseñar en el jardín: las situaciones espaciales son fundamentales y deberían cobrar un protagonismo mayor que el que actualmente tienen, pero las situaciones geométricas no pueden estar ausentes ya que le permiten al alumno iniciar un camino en la concepción y el análisis de otro tipo de espacio en el que los razonamientos y las deducciones superan las comprobaciones empíricas (objetivo a largo plazo).

Siguiendo con las implicancias didácticas, los autores citados utilizan el término "conocimientos espacio-geométricos" para referirse a los conocimientos de los que la escuela debería ocuparse. Éstos se definen como los "surgidos del saber geométrico y puestos en juego en la resolución de ciertos problemas de espacio". Creo que esta definición es sumamente útil a la hora de definir las situaciones de enseñanza que presentaremos para que los niños aprendan según el enfoque aquí explicitado.

4.2.3. La organización grupal y el rol del alumno en la situación

En diferentes momentos del presente trabajo se mencionó la organización del trabajo grupal como un aspecto central en el aprendizaje por parte de los alumnos. En efecto:

El significado de los conocimientos que adquieren los alumnos proviene también del carácter que adoptan las actividades en las que se los produce.

Resulta sustancial provocar la reflexión de los alumnos sobre sus producciones y conocimientos y para ello, la herramienta principal es la organización de las actividades de discusión, de confrontación, en las que hay que comunicar, probar, demostrar [ ... ] actividades que involucran el trabajo en pequeños grupos o en la clase total ordenando la participación en función de finalidades bien establecidas y claras para todos (Parra, Sadovsky y Saiz, 1994b, pág. 12).

En la secuencia analizada se prevén dos instancias que ejemplifican este intercambio entre alumnos y de éstos con el conocimiento: el trabajo en parejas y las confrontaciones colectivas. Las resoluciones grupales aseguran instancias de fundamentación, reflexión y verbalización de las decisiones que se toman en el momento de resolver la situación planteada.

Las confrontaciones colectivas o puestas en común aseguran un trabajo reflexivo por parte de los alumnos en momentos distintos de la acción. Crean, además, la situación grupal propicia para que los niños aprendan a escucharse, a hablar sobre 10 realizado, a respetar la decisión de otros y no sólo a escucharse a sí mismos o al maestro.

En la cita anterior las autoras describen este difícil proceso entre la tarea individual y la gestión grupal del conocimiento. La colaboración grupal, la discusión sobre procedimientos de resolución, la argumentación en la defensa de una decisión tomada, la organización de las ideas para comunicar un modo particular de resolución, son requisitos del trabajo en que se quiso enseñar. Estas condiciones se establecen y formalizan sólo si el docente las produce.

5. A MODO DE CIERRE: LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA EN EL JARDÍN DE INFANTES. POSIBILIDADES Y LÍMITES

A lo largo de este trabajo, he sostenido que las condiciones para el aprendizaje escolar del conocimiento de matemática basadas en la resolución de problemas son posibles en el marco del jardín de infantes.

También he argumentado que dichas condiciones no se establecen sólo por involucrar a los niños en situaciones grupales sino que se necesitan pautas precisas para ese trabajo grupal que enriquezcan el significado del concepto trabajado. Para esto, la situación de enseñanza seleccionada cumple un rol fundamental.

Hemos desarrollado una idea que espero crezca en el contexto escolar: la de proceso a largo plazo para la construcción de conceptos.

En el caso de la secuencia descrita, intenté respetar este proceso en la propuesta de trabajo. Se previeron momentos de acción y momentos de reflexión, exhaustivamente pensados con anticipación, que respetaran los tiempos de los alumnos para la adquisición de un nuevo conocimiento. Los momentos de confrontación colectiva se desprenden necesariamente de los trabajos realizados y se deja al docente la responsabilidad de la institucionalización sin caer en formulaciones precoces que los alumnos no podrían comprender.

Todas estas previsiones acerca de las condiciones del trabajo en matemática que, como hemos visto, no son exclusivas del trabajo con niños pequeños, merecen continuar bajo un análisis exhaustivo en el contexto del jardín. En efecto, la edad de los alumnos y ciertos usos o costumbres en la transmisión cultural de conocimientos en el nivel inicial ponen algunos límites a momentos clave dentro de esta teoría, particularmente a los momentos de reflexión y formulación de los conceptos en uso.

Quienes nos dedicamos a observar estas cuestiones en el jardín hemos podido analizar que muchas veces la abundancia de instancias de verbalización modifica el contacto de los niños con el conocimiento que se pretende enseñar. Es frecuente observar cierto apuro en los docentes para formalizar conceptos y vocabularios cuando no ha habido la suficiente interacción entre los niños y ellos.

Otro aspecto a advertir es el traspaso de algunas actividades o secuencias pensadas para cierta edad hacia otras salas sin tener en cuenta qué se puede y se debe asegurar en cada una de las salas con las que trabajamos. Por ejemplo, en las salas de cinco años se establecen condiciones para el trabajo grupal y para adquirir conocimientos que tal vez no tengan oportunidad de adquirirlos luego en contextos similares; por ejemplo, el aquí planteado para trabajar con formas geométricas. Así mismo, en las salas de tres años hay aspectos a trabajar mucho más importantes que las propiedades de las formas geométricas.

La descripción realizada sólo pretende ser una breve reflexión, a modo de cierre, acerca del cuidado que tanto los profesionales que proponemos trabajos para realizar con niños pequeños como la institución escolar, deberemos tener si consideramos que el nivel inicial merece tanto respeto y cuidado como los demás niveles de enseñanza (¿tal vez más?). Esto último nos convoca a dedicarle más investigaciones y estudios analíticos de las prácticas para generar una reflexión profunda sobre qué significa enseñar contenidos en este nivel.

BIBLIOGRAFÍA

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