EL MOVIMIENTO

 

Desde hace muchos años el hombre se ha interesado en la razón del por qué las partículas se mueven en la forma como lo hacen.

Un cuerpo se mueve si su posición varía con respecto a un sistema de referencia que se considera fijo. Luego antes de cualquier estudio, es preciso elegir un sistema de referencia (observador) con respecto al cual se estudiará el movimiento.

 

Inicialmente se analizó el carácter relativo del movimiento, estableciendo lo que se llama marco o sistema de referencia, para luego verlo desde el punto de vista cuantitativo; para entenderlo con éxito necesitamos construir tres cantidades físicas: posición, velocidad y aceleración.

 

2.1 MARCOS DE REFERENCIA

 

Para saber si un objeto se mueve, debemos analizar su relación con otro cuerpo que se considera fijo, con respecto al cual se describirá el movimiento de un cuerpo. A ese " fijo" se le da el nombre de marco de referencia. Si miramos a nuestro alrededor, ¿qué nos puede "probar" que nuestro planeta se traslada alrededor del Sol y gira sobre sí mismo? es lógico que nuestros antepasados creyeran, durante muchos años, que la Tierra era un centro inmóvil del Universo, y que la teoría heliocéntrica de Copérnico produjera en su momento una revolución en el pensamiento del hombre.

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana:

 

En un tren, una señora dice a su hijo: Alejandro "quédate quieto en el puesto"; el niño, mientras tanto, puede pensar que aunque esté sentado y "quieto" se está moviendo con el tren, es más, cualquiera de los dos puede decir que el auxiliar del maquinista se acercó o se alejó de ellos, y que una señora se puso de pie y fue a la parte delantera del tren, o que a una niña se le cayó la muñeca, al hacer este tipo de afirmaciones, ellos se están considerando fijos, estáticos y están haciendo una descripción de los movimientos que ven, sin tener en cuenta el movimiento del tren.

 

Al considerar estos ejemplos y otros parecidos, se puede ver que el estar en reposo o en movimiento, son hechos relativos, ya que son estados que dependen del origen escogido; también, como se mueven en determinado momento es relativo.

 

Si se deja caer una gota de agua, observamos que cae en "línea recta", perpendicular al piso, pero si observáramos la gota de agua desde el Sol, su trayectoria sería una curva.

 

Una persona dentro de un ascensor en movimiento, está en reposo con respecto al ascensor, pero está en movimiento con respecto al piso del edificio y a su vez con respecto a los movimientos del planeta.

 

De vez en cuando los sentidos nos engañan. Se percibe, por ejemplo, al planeta en reposo; y seguramente a todos nos ha sucedido que estando en un automóvil detenido en un semáforo, "sentimos" que el nuestro empieza a retroceder, y realmente era el auto vecino el que se movía hacia adelante, nosotros estábamos en "reposo con respecto a la Tierra".

 

Otro ejemplo es el de un recipiente que contiene agua, aparentemente el agua está "quieta" dentro del recipiente, pero si se analiza mejor, se puede llegar a la conclusión de que sus moléculas están en

continuo movimiento.

 

En conclusión, es fijando el origen como se sabrá si un cuerpo está en reposo o en movimiento. Si no se menciona el origen, se asume que es un origen fijo sobre la Tierra. Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es, o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él. La cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características, mientras que la dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos.

2.2 POSICIÓN, DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO

Siempre que se habla de movimiento es necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante. Se trata, de nuevo, de establecer un sistema de referencia adecuado para lo que necesitamos estudiar. Por ejemplo, si se habla de una dimensión, imaginemos tener un cuerpo que se mueve por una recta, es decir, que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Analicemos de acuerdo con lo anterior, el siguiente ejemplo:

 

 

Para averiguar el lugar preciso en que se halla el vehículo A, especificamos su posición relacionándola con cualquier otro punto de la escala, como el punto cero o con el vehículoB. La escala muestra que la separación entre el punto cero y el vehículo A es de 1.0 m, lo que significa que A está 1.0 m a la izquierda del cero y la posición con respecto al vehículo B está 9.0 m a la derecha del vehículo A. Al hacer cero o al vehículo B el punto de referencia, se ha elegido un sistema de referencia. También pudo haberse elegido cualquier vehículo, o cualquier punto a la izquierda de ambos, o a la derecha, o entre ellos. En cada caso la separación entre el vehículo A y el punto de referencia, sería diferente.

La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.

La posición de un objeto es la separación entre el objeto y el punto de referencia; usaremos el símbolo d para representar la posición.

El desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la fina

l.

El desplazamiento se considera como una cantidad vectorial, así:x = xf -xi

Las unidades de desplazamiento son de longitud m, cm, km, ft, etc.Nomenclatura:

 = letra griega (delta), se utiliza para representar el incremento de una determinada cantidad y siempre está dada por la diferencia entre un estado final y un estado inicial.

x = vector desplazamiento.

xi = posición inicial.

 

Por otro lado, si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir, que se mueve por un plano, se requiere de dos coordenadas para saber su ubicación en un momento dado.

Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano, se pueden establecer utilizando como referencia un sistema de coordenadas cartesianas, o un sistema de coordenadas polares. En el caso de las coordenadas cartesianas, se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-).

 

En la figura se muestra la representación del punto P(2,1). Para evitar confusiones se acordó escribir primero la coordenada x y después la coordenada y, separadas por una coma. El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del origen y para la coordenada y, cuando está por debajo del origen. Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.

 

 

En la figura se muestra el punto P(2,40°), lo que significa que la distancia r vale 2 y que el ángulo es de 40°.En tres dimensiones el movimiento se realiza por un espacio, necesitaríamos tres coordenadas para determinar su posición en un instante dado. También en este caso se pueden utilizar coordenadas polares y coordenadas cartesianas. Teniendo en cuenta que el movimiento es el cambio de la posición con el tiempo, aparte de conocer la posición, nos interesa saber el instante en el que el cuerpo ocupa dicha posición.

2.3 TRAYECTORIA

 

Todo cuerpo al moverse sigue un camino, que si se analiza en una dimensión, describe una línea llamada trayectoria del movimiento.

 

 

La trayectoria depende del observador, es por esto que tiene diferentes formas: recta, circular, parabólica, elíptica y que son las encargadas de darle el nombre a las diferentes clases de movimientos:

 

Rectilíneo: si la trayectoria es una línea recta, por ejemplo: la caída de un cuerpo en el vacío, el movimiento de un auto por una carretera recta, un objeto deslizándose por un plano inclinado con una rapidez constante.

 

 

Circular: si la trayectoria es una circunferencia, por ejemplo: el movimiento de las ruedas de un auto, el movimiento de las manecillas del reloj.

 

 

Parabólico: si la trayectoria es una parábola, por ejemplo: cuando es lanzada una pelota en forma oblicua, cuando se dispara un cañón con cierto grado de inclinación.

 

 

 

Elíptico: si la trayectoria es una elipse, por ejemplo: el movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

Debido a la continua confusión que existe entre los conceptos de trayectoria y desplazamiento, mostraremos algunos ejemplos.

 

Cuando una persona sube y baja una escalera, se considera que su desplazamiento es cero, mientras que su trayectoria es igual a dos veces la distancia de la escalera (una de subida y la otra de bajada).

En un autódromo, en una carrera cuando los autos parten, tanto su trayectoria como desplazamiento van aumentando, pero en el momento en que completan una vuelta el desplazamiento es cero, porque tanto la posición inicial como la final son iguales (aplicando la expresión obtenemos que x = 0). Pero su trayectoria es igual a la medida de la pista.

 

2.4 VELOCIDAD Y RAPIDEZ DE UNA PARTÍCULA

 

Rapidez media. La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un automóvil es 80km./h, esto quiere decir

que el automóvil recorre una distancia de 80 km. en cada hora.Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo. Por ejemplo, si un automóvil recorre 200 km. en 4 horas, su rapidez media es: 200 km./ 4h = 50 km./h. ¿Podrías calcular la distancia que recorrería el auto anterior en media hora?

Queremos calcular la distancia que recorrerá en media hora un vehículo que circula con una rapidez media de 50 km./h. Como rapidez media = distancia / tiempoSi despejamos la distancia, será: distancia = rapidez media · tiempo = 50 km./h · 0,5 h = 25 km.

Velocidad Media. La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.

Una manera de simbolizar la idea de tomar un desplazamiento muy pequeño es utilizar un símbolo dx que significa "una variación muy pequeña de X" (recordar que X significa una variación de X no necesariamente pequeña). El símbolo dt significa un intervalo muy pequeño de t. Podemos condensar la definición de velocidad instantánea como:

(leer dx sobre dt). A cada instante, el vector velocidad depende del tiempo.

 

Los matemáticos afirman que el símbolo dx se debe usar solamente cuando el desplazamiento tiende a cero. En física, el límite cero nunca se puede alcanzar.

Conociendo bien la diferencia entre distancia y desplazamiento, podemos realizar la siguiente actividad:

Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y avanza de nuevo para alcanzar el punto D. Calculemos su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico:

Cálculo de la rapidez media

Tramo A - B distancia recorrida = 350 m. tiempo empleado = 3 min.

Tramo B - C distancia recorrida = 200 m. tiempo empleado = 2 min.

Tramo C - D distancia recorrida = 450 m. tiempo empleado = 5 min.

Movimiento completo distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1 000 m. tiempo = 10 min.rapidez media = distancia/tiempo = 1 000 m/10 min. = 100 m/min.

Cálculo de la velocidad media Para la velocidad sólo nos interesa el inicio y el final del movimiento. Desplazamiento = posición final - posición inicial = -100 m - 500 m = -600 m. Como la duración del movimiento es 10 min., tenemos:

velocidad media = desplazamiento/tiempo = -600m/10 min. = -60 m/min.

Rapidez, es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo empleado.

Si se considera una distancia constante que puede ser recorrida por tres personas, cada una de las cuales demora intervalos de tiempo diferentes, esto puede ocurrir y es causado porque las tres personas poseen diferente rapidez; la persona que tarda menos tiempo en recorrer esta distancia, posee mayor rapidez y el que tarda más tiempo posee menos rapidez.

Este análisis nos permite plantear una proporcionalidad indirecta entre la rapidez y el tiempo, así:

Vl / t

Para plantear esto en forma de una expresión matemática, debemos incluir una constante de proporcionalidad que en este caso es la distancia, obteniendo:

d / t

 

La expresión anterior representa el concepto general de rapidez en función de la distancia d y el tiempo t.

Las unidades en que está dada, son de longitud sobre tiempo (m/s, cm/s, ft/s, km./h, etc.). Y tiene carácter de cantidad escalar, siendo a su vez la magnitud de la velocidad que si es vector.

Hasta el momento, se ha hablado de la rapidez y muy poco de la velocidad, pues bien todo lo que anteriormente se dijo, es valido para la velocidad, pero es de aclarar que el concepto de distancia se reemplaza por el valor de desplazamiento, porque en la velocidad el concepto de distancia carece de significado, debido a que ésta no especifica la dirección en la que es aplicada, mientras que el desplazamiento aparte de dar la distancia da el sentido, gracias a su carácter vectorial ofrece a la rapidez el carácter de vector:

 

Sus unidades son: m/s, cm/s, ft/s, km./h.

A pesar de ser muy parecidas las expresiones para la rapidez y la velocidad, cabe notar que una es un escalar y la otra un vector.

Ejemplo:

Cuando se dice que un auto tiene una velocidad de 60 km./h, lo que en realidad se da es la rapidez, puesto que no se indica el sentido de aplicación. Para que sea velocidad debe tener la forma: 60 km./h hacia el norte, 60 km./h a 90°, etc.

 

VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y RAPIDEZ INSTANTÁNEA

 

La velocidad media no describe el movimiento en cada instante, por consiguiente no es adecuada para una descripción precisa del movimiento. Por ejemplo, si un vehículo recorre sin parar, de una manera uniforme, una ruta de 500 km. en 10 horas, se dirá que su velocidad media es de 50 km./h. Mientras que si otro vehículo recorre la misma distancia pero parando y acelerando en el mismo tiempo, se dirá también que su velocidad media es 50 km./h y obviamente los dos movimientos no son iguales.

El único medio de conocer el movimiento de un cuerpo en cada instante, es medir su velocidad media para desplazamientos muy pequeños durante intervalos de tiempo también muy pequeños a cada momento.

Tomemos como ejemplo el corredor olímpico que recorre 100 m en 10 s. Con ayuda de buenos cronómetros electrónicos medimos el tiempo que demora el corredor en efectuar los últimos 50 m, 10 m, 2 m y 1 m. Encontramos:

 

d (m) 100 50 10 2 1t (s) 10,0 4,17 0,81 0,18 0,08v (m/s) 10 12,0 12,3 12,5 12,5

Queremos saber ahora, ¿cuál es la velocidad del corredor exactamente sobre la línea final?

Se nota que si los desplazamientos y los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, la velocidad media se acerca en un valor que no varía mucho y que aquí es 12,5 m/s. En otras palabras, se dice que la velocidad media llega a un límite. Si a partir de cierta posición y de cierto tiempo, se efectúa un desplazamiento muy pequeño, el intervalo de tiempo lo será también. Se puede definir el vector velocidad instantánea, o simplemente velocidad a un momento dado, a la razón del desplazamiento, al intervalo de tiempo correspondiente, cuando éste tienda a cero.

Matemáticamente, se dice que la velocidad instantánea es el siguiente límite:

(léase límite de X sobre t cuando dt tiende a 0)

Si un auto realiza un viaje de 300 km. y tarda cuatro horas en recorrer esa distancia, se puede decir que su rapidez media ha sido de 75 km./h. Es posible que durante el viaje el conductor se haya detenido a echar gasolina o a comer algo y sabemos que al atravesar los pueblos se ha viajado más lento que en los tramos de carretera. La rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km./h, sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido

de 0 km./h mientras ha estado detenido. Esto obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:

Rapidez instantánea: la rapidez en un instante cualquiera. Rapidez media: es la media de todas las rapideces instantáneas y se calcula dividiendo la distancia entre el tiempo. Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil, calculando su rapidez media para un pequeño intervalo y usando esta aproximación como rapidez instantánea. Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.

El "velocímetro" de un vehículo no mide la velocidad instantánea si no la rapidez instantánea, puesto que no dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.

Velocidad media

A partir de la definición de velocidad se puede llegar a la expresión para la velocidad media reemplazando x:

x = xf -xi

Como es obvio, en la posición inicial se tiene un tiempo inicial y del mismo modo en la posición final, por lo que podemos hablar de un delta de tiempo (diferencia entre el final y el inicial), si lo reemplazamos en la expresión anterior se obtiene:

Las dos expresiones representan la velocidad media; las unidades en que se da la velocidad media, son iguales a la rapidez o velocidad vistas antes, (km./h, cm/s, m/s, etc.).

Esta velocidad es aplicable en un estudio a groso modo, puesto que se consideran los momentos inicial y final únicamente.

Para realizar un estudio más estricto, se debe considerar qué ocurre en los instantes intermedios del recorrido. Es aquí donde aparece el concepto de velocidad instantánea, de la expresión se define como la variación del delta de desplazamiento sobre el delta de tiempo, cuando éste tiende a tiempos demasiados cortos, lo ideal es que sea cero lo que físicamente no es posible, pero matemáticamente se puede hacer la consideración escribiéndose:

 

Esta expresión es utilizada en cursos superiores.

Ejemplos:

Un corredor en una competencia ganó la carrera de los 100 m en 10.54 s. Suponiendo que estos 100 m se midan con una aproximación de 0.1 m, ¿cuál fue su velocidad media en m/s y km./h?

El desplazamiento: d = + 100.0 m, el intervalo de tiempo t = 10.54 seg.

Velocidad media: = ?

Ecuación: v = d/t

Reemplazando:

v = d/t = +100 m / 10.54 s = +9.488 m/s

+90488 m/s (3 600s/h / 1 000m/km) = +34.16 km./h

Esto significa que el atleta corrió a razón de +9.488 m en un segundo, o +34.16 km. en una hora. En la carrera de los 200 m, su velocidad media fue de 200.0 m /21.34 s = +9.372 m/s, así que su velocidad media fue mayor en la carrera de los 100 m.

 

Sobre una línea recta, un auto recorre 200 km. en 4 horas, ¿cuál es su velocidad media?

El vector velocidad media está en la dirección del movimiento y es v = 200/4 = 50 km./h.

 

Un tren rápido viaja de una ciudad a otra con una velocidad media de +227 km./h. El viaje dura 2.00 h, ¿qué distancia hay entre dichas

ciudades?

La velocidad media: v = +227 km./h.

El desplazamiento: d = ?

Ecuación: v = d/t.

Tiempo: t = 2.00 h.

Reemplazando: d = v/t.

d = ( +227 km./h ) / ( 2.00 h ) = +454 km.