stefiiu.files.wordpress.com · Web viewUnidad Educativa Santa María Eufrasia. Primero de...

I

Unidad Educativa Santa María Eufrasia

Primero de Bachillerato “E”

Cuaderno de Física

2012-2013

II

“Lizeth MartínezAlisson Murgueitio

Melanny DávilaJennyfer Manzano

Karlita MoraRomina Sotomayor

Luis VillacisByron Pérez”

IIIDedicado a todos aquellos que tuvieron y tienen la valentía de arriesgarse a estudiar y a aprender más del

Un agradecimiento especial a nuestro querido maestro Edgar Casanova que ha sido una guía indispensable en este camino y además de lo académico ha sabido enfocarse en el alma y mente nuestra.

IV

ContenidoMagnitudes y Unidades................................................................................................................8

Magnitudes Fundamentales.....................................................................................................9

Magnitudes Derivadas..............................................................................................................9

Transformaciones de unidades....................................................................................................9

Ejercicio de transformación de unidades...........................................................................10

Método de conversión:..........................................................................................................10

Deberes..................................................................................................................................10

Deber: 01............................................................................................................................10

Deber: 02............................................................................................................................11

Actividad en Clase..............................................................................................................12

Lección Física......................................................................................................................14

Notación científica.....................................................................................................................15

Deber: 03............................................................................................................................15

Deber: 04............................................................................................................................17

Operaciones de notación científica........................................................................................18

Suma y resta.......................................................................................................................18

Deber: 05............................................................................................................................19

Trabajo en clase: 02............................................................................................................21

Operaciones combinadas de suma y resta de notación científica..........................................21

Deber: 06............................................................................................................................22

Multiplicación y división en notación científica..................................................................24

Deber: 07............................................................................................................................24

Principales prefijos.....................................................................................................................26

Deberes..................................................................................................................................27

Deber: 01............................................................................................................................27

Deber: 02............................................................................................................................30

Deber: 03............................................................................................................................32

Repaso de trigonometría............................................................................................................34

Dedicado a todos aquellos que tuvieron y tienen la valentía de arriesgarse a estudiar y a aprender más del

V

Funciones trigonométricas.....................................................................................................34

Teorema de Pitágoras............................................................................................................34

Deber: 04............................................................................................................................36

Deber: 05............................................................................................................................42

Vector.........................................................................................................................................46

Coordenadas rectangulares....................................................................................................47

Coordenadas geográficas.......................................................................................................47

Coordenadas polares..............................................................................................................48

Descomposición de un vector................................................................................................49

Ángulos directores y Cosenos directores...........................................................................50

Vectores base:............................................................................................................................51

Vector unitario:..........................................................................................................................51

Dirección y sentido:....................................................................................................................52

Formas deexpresar unvector.................................................................................................53

Coordenadas rectangulares....................................................................................................53

Función de los vectores base.................................................................................................53

Coordenadas polares..............................................................................................................53

Coordenadas geográficas.......................................................................................................53

Función de su modulo y unitario............................................................................................54

Operaciones entre vectores.......................................................................................................54

Deber: 06............................................................................................................................54

Deber: 07............................................................................................................................56

Deber: 08............................................................................................................................61

Actividad en clase...............................................................................................................66

Operaciones entre vectores.......................................................................................................70

Suma de vectores...................................................................................................................70

Ejercicios de adición de vectores por método analítico .......................................70

Método gráfico.......................................................................................................................72

Método del paralelogramo................................................................................................72

Método del polígono..........................................................................................................75

Ejercicio de aplicación por los 2 métodos gráficos y el método analítico...............................76


Resta de vectores...................................................................................................................79

Producto de un vector por un escalar....................................................................................80

Actividad en Clase..............................................................................................................82

Exposiciones de la casa abierta de física......................................................................................5

VI

Prueba quimestral......................................................................................................................12

Cinemática.................................................................................................................................12

Movimiento rectilíneo uniforme............................................................................................25

Deberes..................................................................................................................................31


Movimiento rectilíneo uniformemente variado.....................................................................37

Lección de física..................................................................................................................50

Actividad grupal..................................................................................................................52


Caída libre de los cuerpos......................................................................................................83

Tiro vertical hacia arriba.........................................................................................................84

Problemas..........................................................................................................................85

Deberes..............................................................................................................................91

Deber#:1.............................................................................................................................91

Deber#:2.............................................................................................................................93

Movimiento parabolico..........................................................................................................94

Problemas..........................................................................................................................97

8

Introducción a la física La física es la ciencia experimental que se encarga del estudio de los fenómenos que ocurren en la naturaleza, la física pertenece al mundo de las ciencias naturales, pero como trata de cuantificar los fenómenos utiliza la matemática como herramienta primordial.

Los fenómenos que ocurren en la naturaleza son el movimiento de los cuerpos, el calor, la electricidad, que se pueden medir, por ejemplo a la temperatura se la mide con un aparato llamado termómetro, la velocidad con el velocímetro, entre otros.

Para poder llegar a cuantificar los fenómenos se debe seguir un proceso llamado método científico y consta de los siguientes pasos:

1. Observación2. Formulación de hipótesis3. Experimentación y comprobación4. Formulación de leyes5. Este proceso consiste en primer lugar en observar en una forma directa el fenómeno

físico, registrar todas las características de dicho fenómeno para luego plantear varias preguntas del porqué de dicho fenómeno; lo que nos ayuda a formular hipótesis que son respuestas tentativas del fenómeno, dichas respuestas, no todas pueden ser validas, incluso, ninguna puede resultar cierta; en dicho caso se debe regresar al paso anterior.

Otro paso es la experimentación que consiste en repetir intencionalmente el fenómeno físico tomando en cuenta varias condiciones (lugar, clima, entre otro). Tras realizar la experimentación se va comprobando si el fenómeno se repite de igual manera para todas las condiciones establecidas. Si se repite el fenómeno se puede llegar a plantear una ley física (leyes de Newton, etc.)

Si el fenómeno no se repite para todos los casos se debe regresar al primer paso y repetir el proceso, razón por la cual no se puede decir ley.

Magnitudes y UnidadesMagnitud es todo aquello que se pude medir, entr4e las principales magnitudes tenemos longitud, velocidad, tiempo, y para poder diferenciar una magnitud de otra se tiene las unidades que son características especiales de una magnitud, de la longitud, el metro, velocidad, el metro sobre segundo y el tiempo Ej.:

20ms Velocidad, Rapidez

20cm3Volumen

Distancia

Altura

9

20m Longitud

20cm2 Área, superficie

20ms2 Aceleración

20 Kg Masa

Las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas

Magnitudes FundamentalesMagnitud Símbolo Unidad S.I. Otras unidadesLongitud L M Km, Hm, dm, Dm, cm,

mm….Tiempo t s Min, Horas, Días……Masa m Kg gr, librasTemperatura T Grados, kelvin,

Fahrenheit

0C, oF

Las magnitudes derivadas son la combinación de las magnitudes fundamentalesº1

Magnitudes DerivadasMagnitud Símbolos Unidades S.I. Otras unidadesSuperficie A m2 Km2,Hm2,Dm2,dm2,cm2….Volumen V m3 Km3,Hm3,Dm3,dm3,cm3,

pie3…Velocidad v m

skmh, cms, dms, mmin

, millash

Aceleración a ms2

cms2, dms2, Kmh2

Fuerza FKgms2 =N Gr

cms2

,Kgf

Transformaciones de unidadesComo cada magnitud tienen su equivalencia en otras unidades se puede transformar de una

unidad a otra por ejemplo 1200K g, 36kH

ms a metros sobre segundos entre otros.

Para ello es necesario conocer las equivalencias de las unidades.

Tabla de equivalencia de unidades

1m=100cm=1000mm 1litro=1000cm3

1km=1000m 1dm3=1litro

1m=3.281pie 1galón=3.785litros

1pie=30.48cm 1kgf=9.8N

Profundidad

10

1pulg=2.54cm 1lbf=0.454kgf

1milla=5280pie=1.609km=1609m 1ton=1000Kg

1libra=454gr 1h=60min=3600s

1Kg=2.2libras

Ejercicio de transformación de unidadesPara la transformación de unidades se utiliza el método de conversión que consiste en simplificar la unidad que queremos cambiar, formando una fracción donde el equivalente ira ya sea en el numerador o en el denominador dependiendo del espacio que queda en blanco

Método de conversión:

3.5Hm= |100m1Hm

∨¿=350m

Deberes

UNIDAD EDUCATIVA SANTA MARIA EUFRASIA

Deber: 01Nombre:

Fecha: 10/09/2012

Parcial: 1

Curso: 1ro Bach “E”

Quimestre: 1

Transformar:

2m a cm

11

2m |200 cm

2m∨¿200 cm

5kmh a

ms

5 kmh |

5000m5km |

1h3600 s |=1,3

ms

12000kmh2 a

ms2

12000kmh2 |

1000m1km | 1h

3600 s| 1h3600 s

∨¿=0,092ms2

18 dm3 a m3

18 dm3 |0.1m1dm |

0.1m1dm

∨0.1m1dm |=0,018m3

120m2 a Hm2

120m2|1Hm100m| 1Hm

100m|=0,012H m2

50kmh a

ms

50kmh

∨50000m50km

∨ 1h3600 s

∨¿13,8 ms

5ms2 a kmh2

5ms2 |

1km1000m|

3600 s1h

∨3600 s1h

∨¿= 64800 kmh2

18pies a

ms

18pies |

1m3,281 pie |=5,48

ms

2,1h a min

2,1h |60minh |=126min


12

Deber: 02Nombre:

Fecha: 11/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Transformar:

7,2 ms2 a

kmh2

7,2 ms2 | 1km

1000m|3600 s1h |3600 s

1h |=93312 kmh2

180 kmh a ms180 kmh |1000m

1km | 1h3600 s

∨¿50 ms

10 m3 a cm3

10 m3 |100 cm1m |100 cm

1m |100 cm1m |=10000000m3

0,15 kgfcm2 a N

m2

0,15 kgfcm2∨

9.8N1kgf

∨ (100 cm)2

(1m )2∨¿14700 N

m2

1500 kgm3 a

grcm3

0.65 kgm3 ∨

1000gr1kg

∨(1cm )3

(100m )3∨¿1,49 gr

cm3

18 pulgsa ms

18 grcm3 ∨

1m39,37 pulg

∨¿0,45 ms

18 m3

sa litross

18 m3

s∨

(10dm)3

(1m)3 ∨1 litro1dm3 ∨¿18000 litros

s

13

300 Hm a Km

300Hm |1Km

10Hm∨¿30 km


Actividad en Clase Fecha: 13/09/2012

Nombre: Parcial: 1


Quimestre: 1 Transformación de unidades:

0,65 grcm3 a

kmm3

0.65 grcm3∨

1kg1000gr

∨ (100 cm )3

(1m)3∨¿650 kg

m3

72000kmh2 a

ms2

72000kmh2 |

1000m1km | 1h

3600 s| 1h3600 s

∨¿= 5,55ms2

0.05 kg . ms2 a gr .

cms2

0.05 kg . ms2∨

1000 gr1kg

∨1000 cm1m

∨¿5000gr . cms2

2m a cm

2m |200 cm

2m∨¿200 cm

340 grcm3 a

lbdm3

340 grcm3 ∨

1lb454 gr

∨ (1cm )3

(10dm )3∨¿7.48 X 10−4 lb

dm3

0,003 m3 a cm3

0,003 m3 |100cm

1m |100 cm

1m∨ 100cm

1m |= 3000c m3

0,012 Hm a cm

14

0,012Hm|100m1Hm |100cm

1m | =120cm 65 gr

litrosa kgm3

340 grlitros

∨ 1kg1000 gr

∨1000 litros(1m)3

∨¿65 kgm3

72kmmin2 a

ms2

72 kmmin2 |

1000m1km | 1min2

60 s2 |= 20ms2

340 grdm3 a

lbmm3

340 grdm3 ∨

1lb454 gr

∨ (1dm )3

(100mm )3∨¿7.48 X10−7 lb

mm3

15


Lección FísicaNombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Transformar:

0,65 grcm3 a

kgm3

0.65 grcm3∨

1kg1000gr

∨(100 cm )3

(1m)3∨¿650 kg

m3

32kmh a

piess

32kmh |

1000m1km |3,281 pies

1m | 1h3600 s

∨¿= 29,16 piess

120000kmh2 a

ms2

120000kmh2 |

1000m1km | 1h

3600 s| 1h3600 s

∨¿=9,25ms2

0.00005 kg . ms2 a gr .

cms2

0.00005 kg . ms2∨

1000 gr1kg

∨1000cm1m

∨¿5gr . cms2

0,003 dm3 a mm3

0,003 d m3 |100mm

1dm |100mm

1dm∨100mm

1dm |= 3000mm3

140000 grcm3 a

lbmm3

140000 grcm3 ∨

1lb454 gr

∨ (1cm )3

(100mm )3∨¿0,30 lb

mm3

0,85 ms a

millash

16

0,85 ms | 1milla1609,34m|3600 s

1h∨¿1,90 millas

h

15 Dm2 a dm2

15Dm3 |1m

1Dm2 |1Dm2

1m∨¿= 1500 d m2

Notación científicaNotación científica

En física existen magnitudes que trabajan con valores muy grandes por ejemplo la distancia entre las galaxias, distancia entre los planetas, el número de átomos que tiene un cuerpo, entre otros.

También existen magnitudes que trabajan con valores muy pequeños por ejemplo la masa de las partículas elementales

27000000000000000m=2.1×1016

0.0000000000000000016m=1.6×10−18

La notación científica nos permite abreviar las cantidades ya sean muy grandes o muy pequeñas y es la base de la escritura que tenemos en cantidad para poder abreviar una cantidad de notación científica se debe formar un numero decimal recorriendo la coma hasta formar en la parte entera 1 solo digito comprendido del 1-9 (excepto el cero) mientras que la parte decimal se puede tener 2 o más cifras decimales multiplicados por la base 10 elevados a un exponente que depende hacia donde recorra la coma o punto decimal así si es hacia la izquierda va aumentar mientras si es hacia la derecha va disminuyendo

Ejemplos

0.00287=2.87×10−3

0.0356787=3.567×10−2

50000=5×104

8500000=8.5×105

7=7×100


Deber: 03Nombre:

17

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Cambiar a notación científica las siguientes cantidades:

0,001= 1X 10−3

43=4,3X 101

6300=6,3X 10−3

0,00011=1,1X 10−4

454=4,5X 102

0,12=1,2 X10−1

2012=2,01X 103

0,000032=3,2X 10−5

2100000=2,1X 106

9=9X 100

0,0098=9,8X 10−3

200=2X 102

15=1,5X 101

0,000000012= 1,2X 10−8

1340=1,34 X 103

25400=2,54X 104

0,00011=1,1 X10−4

38000000=3,8X 107

4480=4,48X 103

560=5,6X 102

18


Deber: 04Nombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1 Cambiar a notación científica los números:

0,00038=3,8X 10−4

728000000=7,28X 108

2,9000000=29 X 107

0,000672=6,72X 10−4

100000=1 X 106

52900000=5,29 X 107

0,0000329=3,29X 10−5

0,007289=7,28X 10−3

7982000000=7,98X 109

0,00033=3,3X10−4

1857000000000=1,85X 1012

98000000=9,8X 107

25000000=2,5X 107

0,0007259=7,258X 10−4

0,000322=3,22X 10−4

0,000003515=3,5X 10−6

0,0025=2,5X 10−3

43920000=4,39X107

32000000000=3,2X 1010

52000000000=5,2X 1010

19

Operaciones de notación científica Operaciones con notación científica

Para realizar operaciones en notación científica cada cantidad debe estar expresada correctamente en notación científica y las operaciones que se pueden realizar son

Suma y resta Suma/Resta

El procedimiento es el mismo para las 2 operaciones

1) Escribir en notación científica las cantidades a ser sumados o restados2) Revisar que cantidad escrita en notación científica tiene el mayor exponente3) El resto de cantidades hay que igualar al exponente mayor, es decir hay que recorrer la

coma o punto decimal para que aumente el exponente4) Agrupamos todos los números decimales multiplicados por la base 10 y el exponente

sacando factor común5) Realizamos las operaciones respectivas(suma, resta)6) Revisamos que la respuesta este escrita estrictamente en notación científica, si no lo

está hay que recorrer la coma para que quede estrictamente en notación científica

Ejemplos:

Resolver los siguientes ejercicios

1.- 83000+580000+1200000

8.3×104+5.8×105+1.2×106

0.083×106+0.58×106+1.2×106

(0.083+0.58+1.2)×106

1.863×106

2.-0.0000071+0.000022+0.00049+0.000080

7.1×10−6+2.2×10−5+4.9×10−4+8×10−5

0.071×10−4+0.22×10−4+4.9×10−4+0.8×10−4

(0.071+0.22+4.9+0.8)×10−4

5.991×10−4

20


Deber: 05Nombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Operaciones en notación científica:

2500 + 38000 + 1602,5X 103 +3,8X 104+1,6X102

(0,25+3,8+0,016)X 104

4,066 X104

0,066 + 0,0043 + 0,236,6 X 10−2+4,3 X10−3+2,3X 10−1

(0,66+0,043+2,3 )10−1

3,003 X 10−1

230+5100+132,3 X 102+5,1 X103+1,3 X 101

(0,23+5,1+0,013)X 103

5,343 X 103

1600 + 470 + 34501,6 X 103+4,7 X102+3,45 X 103

(1,6+0,47+3,45 ) X103

5,17 X 103

1100 + 300 + 220001,1 X 103+3 X103+2,2X 104

¿2,34 X 104

0,0041+0,00072+0,0184,1 X 10−3+7,2 X 10−4+1,8 X10−2

(0,41+0,072+1,8 ) X 10−2

2,282 X 10−2

500 + 10 + 30005 X 102+1 X101+3 X 103

¿3,51 X 103

0,031+0,15+0,00233,1 X 10−2+1,5 X 10−1+2,3 X10−3(0,31 + 1,5 0,023¿10−11,833X 10−1

21

0,3 + 0,004 + 0,00073 X 10−1+4 X 10−3+7 X 10−4

(3+0,04+0,007)10−1

3,047 X 10−1

60 + 8000 + 7006X 101+8 X 103+7 X 102

(0,06+8+0,7)X 103

8,76 X 103

0,041 + 0,2 + 0,00714,1X10−2+2 X 10−1+7 X 10−3

(0,41+2+0,071 ) 10−1

2,481 X 10−1

93+150+37009,3 X 101+1,5 X 102+3,7 X 103

(0,093+0,15+3,7)X 103

3,943 X 103

0,012 + 0,00086 + 0, 00000541,2X10−2+8,6 X10−4+5,4 X10−6

(1,2+0,086+0,00054 ) X 10−2

1,28654 X 10−2

5100 + 38000 + 19005,1 X 103+3,8 X104+1,9 X 103

(0,51+3,8+0,19 )X 104

4,5 X104

0,075 + 0,81 + 0,27,5X10−2+8,1 X 10−1+2 X 10−1

(0,75+8,1+2 )X 10−1

10,85 X 10−1

22


Trabajo en clase: 02Nombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Resolver en notación científica:

1) 700000 + 28000 + 3500007X 105+2,8 X 104+3,5 X 105

(7+0,28+3,5)X 10510,78 X 105

2) 0,07 + 0,0086 + 0,000717 X 10−2+8,6 X10−3+7,1X 10−4

(7+0,86+0,071 ) X10−2

7,931 X10−2

3) 0,000048 + 0,0025 + 0,0764,8 X10−5+2,5 X10−3+7,6 X 10−2

(0,0048+0,25+7,6)X 10−2

7,8548 X 10−2

4) 2700 + 300 + 252,7 X 103+3 X 102+2,5 X 101

(2,7+0,3+0,025)X 103

3,025 X 103

5) 0,0021 + 0,3 + 0,0272,1 X 10−3+3 X 10−1+2,7 X 10−2

(0,021+3+0,27)X 10−1

3,291 X 10−1

Operaciones combinadas de suma y resta de notación científica Operaciones combinadas entre suma y resta en notación científica

1.-0.73-0.002+0.048+0.92

7.3×10−2-6.2×10−3+4.8×10−2+9.2×10−1

0.73×10−1-0.062×10−1+0.48×10−1+9.2×10−1

(0.73-0.062+0.48+9.2)×10−1

10.348×10−1

1.0348×100

2.-760000+870000+28000+5300

23

7.6×105+8.7×105+2.8×104+5.3×103

7.6×105+8.7×105+0.28×105+0.053×105

16.633×105 = 1.6633×106


Deber: 06Nombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1


Quimestre: 1

Operaciones en notación científica:

1) 0,066 – 0,0043 + 0,23

6,6 X 10−2−4,3 X 10−3+2,3 X 10−1

(0,66−0,043+2,3)X 10−1

2,917 X 10−1

2) 1600 + 470 – 3450

1,6 X 103+4,7 X102−3,4X 103

(1,6+0,47−3,4)X 103

−1,33 X 103

3) 0,0041 + 0,00072 + 0,018

4,1 X 10−3+7,2 X 10−4+1,8 X10−2

0,41 X 10−2+0,072 X 10−2+1,8 X 10−2

−1,33 X 10−2

4) 0,031 - 0,15 – 0,0023

3,1X 10−2−1,5 X10−1−2,3 X 10−3

0,31 X 10−1−1.5 X 10−1−0,0023 X10−1

−1,213 X 10−1

5) 60 – 8000 + 7000

6X 101−8 X103+7 X102

0,06 X 103−8 X103+0,7 X 103

24

−7,24 X 103

6) 93 – 150 +3700

25

9,3 X 101−1,5 X 102+3,7 X 103

0,093 X 103−0,15 X 103+3,7 X103

3,943 X 103

1) 5100 – 38000 -1900

5,1 X 103−3,8 X 104−1,9X103

0,51 X 104−3,8 X104−0,19 X104

−3,48 X 104

2) 2500 + 38000 + 160

2,5 X 103+3,8 X 104+1,6 X 102

0,25 X 104+3,8 X104+0,016 X 104

4,066 X104

3) 230 - 5100 +13

2,3 X 102−5,1 X 103+1,3 X101

0,23 X 103−5,1 X 103+0,013 X 103

−4,857 X103

4) 1100 – 300 – 22000

1,1 X 103−3 X 102−2,2 X 104

0,11X 104−0,03 X 104−2,2 X104

−2,21 X 104

5) 500 + 10 +3000

5 X 102+1 X101+3 X 103

0,5 X 103+0,001 X 103+3 X103

3,51 X 103

6) 0,3 + 0,004 – 0,0007

3 X 10−1+4 X 10−3−7 X10−4

3 X 10−1+0,04 X10−1−0,007 X 10−1

3,033 X 10−1

7) 0,041 + 0,2 + 0,0071

26

4,1X 10−2+2 X 10−1+7,1 X 10−3

0,41 X 10−1+2 X 10−1+0,071 X10−1

2,481 X 10−1

8) 0,012- 0,00086 – 0,0000054

1,2 X 10−2−8,6 X10−4−5,4 X 10−6

1,2 X 10−2−0,086 X10−2−0,00054 X 10−2

1,11346 X10−2

9) 0,075 + 0,81 + 0,2

7,5 X 10−2+8,1 X 10−1+2 X10−1

0,75 X 10−1+8,1 X 10−1+2 X 10−1

10,85 X 10−1

1,085 X 100

Multiplicación y división en notación científica Multiplicación y División en Notación Científica

Tanto la multiplicación y la división siguen el mismo procedimiento

1. Escribir en notación científica.2. Agrupar los números decimales multiplicando por la base 10(si es multiplicación se

suman los exponentes mientras que si es división se restan los exponentes).3. Se realizan las operaciones respectivas se multiplica o se divide.4. Revisar que la respuesta esté escrita estrictamente en notación científica.

Ejemplos:1)(0,000071×4500 )÷(350000×0.076) (7.1×10−5×4.5×103 ¿÷(3.5×105×7.6×10−2){(7.8×4.5 )×10−5+3 }÷ {(3.5×7.6 )×105−2 }(35.1×10−2)÷ (26.6×103 )(3.51×10−1)÷ (2.66×104 )(3.51÷2.66 )×10−5

1.31×10−5

Deber: 07Nombre:

Fecha: 15/09/2012

Parcial: 1

27


Quimestre: 1

28

Multiplicación en notación científica:

110 X 300 X 5000

(1,1 X 3 X5)X 107

16,5 X 107

1,65 X 108

56 X 8000 X 700

(5,6 X 8 X 7)X106

313,6 X 106

3,136 X 108

0,051 X 0,0034 X 0,00028

(5,1 X 3,4 X 2,8)X 10−9

4,8552 X 10−8

680 X 5100 X 74

(6,8 X 5,1 X7,4 )X 106

2,56632 X 108

0,07 X 0,1 X 0,003

(7 X 1 X 3)X 10−6

21 X 10−6

41 X 6300 X 7500

(4,1X 6,3 X 7,5)X108

1,93725 X 1010

310 X 5300 X 90

(3,1 X 5,3 X 9)X 106

1,4787 X 108

11 X 0,072 X 800

(1,1 X 7,2X 8)X 101

6,336 X 102

200 X 17 X 4800

(2 X 1,7 X 4,8)X106

29

1,632 X107

110 X 0,013 X 0,00023

(1,1 X 1,3 X2,3)X 10−4

3,289 X 10−4

Principales prefijosPrefijos utilizados en el sistema internacional

En el sistema internacional de medidas se tiene múltiplos y submúltiplos que bajo la abreviación de un símbolo llaman prefijo a una equivalencia de base se lo puede abreviar en cantidades.

Múltiplos

PRINCIPALESNOMBRES

PREFIJOSÍMBOLO

S.IFACTOR NUMERICO

FACTOR EXPONENCIAL

Peta P 1000000000000000 1015

Tera T 1000000000000 1012

Giga G 1000000000 109

Mega M 1000000 106

Kilo K 1000 103

Hecto H 100 102

Deca D 10 101

Submúltiplos

PRINCIPALESNOMBRES

PREFIJOSÍMBOLO

S.IFACTOR NUMERICO

FACTOR EXPONENCIAL

deci D 0.1 10−1

centi C 0.01 10−2

mili M 0.001 10−3

micro U 0.000001 10−6

nano N 0.000000001 10−9

pico P 0.000000000001 10−12

fento F 0.000000000000001 10−15

Para expresar las unidades utilizando los prefijos, dichas cantidades se trabajan en notación científica y luego se compara con la tabla de los prefijos considerando cual se puede cambiar.

Ejemplos:

1. 345000m=3.45×105

0.345×106

30

0.345Mm2. 0.000000075=7.5×10−8

75×10−9

75nm

DeberesUnidad Educativa “Santa María Eufrasia”

Nombre:

Deber: 01Curso: Primero de Bachillerato “E”

Fecha: 22/10/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

1.-Utilizar prefijos en las siguientes unidades:

0.00000000023m

2.3 x10−10m

0.23 x10−9m=¿0.23nm

0.000000045m

4.5 x 10−8m

4.5 x 10−9m=¿45nm

89000000m

8.9 x107m

89 x108=¿89Mn

0.0000183m

1.83 x10−5m

18.3 x10−6m=¿18.3Mn

1200m

31

1.2 x103m=¿1.2Km

0.00000000343m

3.43 x10−9=¿3.43nm

3m

0.3 x101m=¿0.3Dm

350m

3.50 x102m=¿3.50Hm

0.00000000000019m

1.9 x10−13m

0.19 x10−12=¿0.19 pm

0.000000823m

8.23 x10−7m

0.823 x10−6=¿0.823mm

0.00025m

2.5 x10−4m

0.25 x10−3=¿0.25mm

0.00000000000000023m

2.3 x10−16m

0.23 x10−15=¿0.23 fm

22300000000000m

2.23 x1013m

32

22.3 x1012=¿22.3Tm

452300m

4.523 x 105m

0.4523 x106m=¿0.4523Mn

300000000m

3 x108m

0.3 x109=¿0.3Gm

0.00000000001m

1 x10−11m

0.01 x10−9=¿0.01nm

0.000000000008923m

8.923 x10−12m=¿8.923 pm

20m

2 x101=¿2Dm

33

Unidad Educativa “Santa María Eufrasia”

Nombre:


Fecha: 24/10/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

0.00031m

3.1 x10−9

0.31 x10−3=¿0.31mm

1900000m

1.9 x106=¿1.9Mm

350000000000m

3.5 x1011

0.35 x1012=¿ 0.35Tm

0.0000000052m

5.2 x10−9=¿5.2nm

34

180000000000000m

1.8 x1014

35

0.18 x1015=¿0.18Pm 0.0024m

2.4 x 10−3=¿2.4mm

8300000m

8.3 x106=¿8.3Mm

67000000m

6.7 x107

67 x106=¿67Mm

4800m

4.8 x 103=¿ 4.8Km

260000000000m

2.6 x1011

0.26 x1012=¿0.26Tm

0.0038m

3.8 x10−3=¿3.8mm

0.0000000000000018m

1.8 x10−15=¿1.8 fm

400000m

4 x105

0.4 x 106=¿0.4Mm

7200m

7.2 x103=¿7.2Km

36

0.21m


Nombre:


Fecha: 22/10/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

Dar prefijos en las siguientes unidades:

0.00000000023m

2.3 x10−10m

0.23 x10−9m=¿0.23nm

0.000000045m

4.5 x 10−8m

4.5 x 10−9m=¿45nm

89000000m

8.9 x107m

89 x108=¿89Mn

0.0000183m

1.83 x10−5m

18.3 x10−6m=¿18.3Mn

1200m

1.2 x103m=¿1.2Km

37

0.00000000343m

3.43 x10−9=¿3.43nm

3m

0.3 x101m=¿0.3Dm

350m

3.50 x102m=¿3.50Hm

0.00000000000019m

1.9 x10−13m

0.19 x10−12=¿0.19 pm

0.000000823m

8.23 x10−7m

0.823 x10−6=¿0.823mm

0.00025m

2.5 x10−4m

0.25 x10−3=¿0.25mm

0.00000000000000023m

2.3 x10−16m

0.23 x10−15=¿0.23 fm

22300000000000m

2.23 x1013m

22.3 x1012=¿22.3Tm

38

Repaso de trigonometría Repaso de Trigonometría

Resolución de triángulos

Un triángulo rectángulo se caracterizó por:

Para ser considerado como triángulo rectángulo debe cumplir con ciertas características

- 3 lados- Angulo recto de 90°

- Los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo de 90°.- La hipotenusa es el lado del triángulo que se encuentra frente al ángulo recto

- Los otros dos ángulos que forman el ángulo rectángulo son complementarios a la suma de los dos, forman 90°.

- A los lados del triángulo se les denota nombre con letra minúsculas- A los lados del triángulo rectángulo se les da el nombre que reciben el nombre de su

lado opuesto, los nombres son con letras MAYUSCULAS.

Funciones trigonométricas Para resolver los triángulos rectángulos se utilizan las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, además del teorema de Pitágoras.

Seno catetoopuestohipotenusa

Coseno catetoadyacentehipotenusa

b

B

B

A

b = c = a =

B

D C

dc

e

39

Tangente cateto opuestocatetoadyacente

Teorema de Pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de sus catetos.

Sen. A = ac

a c

Despeje de formulas

A= sen−1 ac

B= tan−1 ba

B= cos−1 ac

Ejercicio:

En el triángulo rectángulo C, D, E hallar

a) E en términos de C,cb) C en términos de d, Ec) D en términos de c, Ed) D en términos de c, ee) E en términos de d, e

Cos A = bc

Tan A = ab

Sen b = bc

Cos. B = ac

Tan. B = ba

f) C= tan−1 ce

40

f) C en términos de e, c

Siempre que existe una letra mayúscula se debe utilizar una función trigonométrica, sino existe ninguna letra mayúscula se debe utilizar el teorema de Pitágoras.

Ejercicio:

Resolver el siguiente triangulo rectángulo

Encontrar el resto de elementos que conforman el triángulo rectángulo


Nombre:


Fecha: 22/10/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

1. En el triángulo rectángulo CDE hallar:

a. c en términos de E, e

e d

C

a) e = ctanC

b) c = d× cosE

c) d = ccosE

d) d2=√c2+e2

e) E= sen−1 ed

E=sin−1 715

E=27.82°

C=cos−1 715

C=62.18°c

e=7cm

b=15cm

E

CB sinC= c

b

sin 62.18×15=c

C=13.27

41

b. C en términos de d, e c. c en términos de d, ed. d en términos de E, ce. E en términos de e, d

a. tanE= ec

c= etanE

b. cosC= ed

C=cos−1( ed )c. √d2−e2

d. cosE= cd

d= ccosE

e. sin E= ed

E=sin−1( ed )2. En el triángulo rectángulo ABC hallar:

a. a en términos de C, b b. C en términos de a, b c. C en términos de b, cd. b en términos de a, ce. c en términos de A, b

42

a. cosC=ab

a=b .cosE

b. cosC=ab

C=cos−1( ab )

c. sinC= cb

C=sin−1( cb )d. c=√c2+a2

e. cos A=ac

C= acos A

3. En el triángulo rectángulo PQR hallar:

a. p en términos de r, R b. R en términos de r, p c. P en términos de q, rd. q en términos de r, pe. q en términos de P, r

f. sin E= ed

qP R

Q

pr

43

a. tanR= rp

p= rtanR

b. tanR= rp

R=tan−1( rp )

c. cosP= rq

P=cos−1( rq )d. q=√r2+ p2

e. cosP= rq

R= rcosP

4. En el triángulo rectángulo RST hallar:

a. t en términos de R, s b. T en términos de t, s c. s en términos de R, td. R en términos de r, se. s en términos de r, t

a. cosR= ts

t=s .cosR

r

s

t S

T

R

44

b. sinT= ts

T=sin−1( ts )

c. cosR= ts

S= tcosR

d. sin R= rs

R=sin−1( rs )e. s=√t 2+r2

5. En el triángulo rectángulo DEF hallar:

a. D en términos de d, f b. F en términos de e, f c. d en términos de e, fd. d en términos de F, fe. e en términos de D, d

a. tanD=df

d

f e

D

FE

45

D=tan−1( df )

b. sin F= fe

F=sin−1( fe )

c. d=√e2−f 2

d. tanF= fd

d= ftanF

e. sin D=de

e= dsin D

6. En el triángulo rectángulo MNP hallar:

a. M en términos de n, m b. P en términos de p, m c. n en términos de m, pd. M en términos de m, pe. p en términos de P, m

m

p n

M

PN

46

a. cosM= pn

M=cos−1( pn )

b. tanP= pm

P=tan−1( pm )c. n=√ p2+m2

d. tanM=mp

M=tan−1(mp )e. tanP= p

m

pm

=tan P

p=m. tan P


Nombre:


47

Fecha: 01/11/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

Resolver los siguientes triángulos rectángulos

A=90 °

C=50

B=90°b=5cm

40

sin 40= a5cmS . sin 40=a3.21=a

cos 40= c5 cm5. cos40=c3.83=c

35 E=35°D=90°C=55 °e=4cm

sin 35= 4cmd

d . sin35=4cmd= 4sin 35d=6.97

√d2−e2√6.972+42c=5.70

b=5cm

C

BA

D

C

E

d=6.97

c=5.70

h=6.70

f=6cmg=9cm

FG

H

48

h=√g2−f 2 h=√81−36h=√45h=6,70

sin F=6cm9cm

F=sin−1( 23 )E=41.81

cosH=6 cm9cm

H=cos−1( 23 )H=48,18

b=5cm

A B

C

49

C=34 °B=90° A=56 °

sin 56= a5cm5cm .sin 56=a4.14=a

cos56= c5cm5cm .cos56=c2.79=c

E=56 °F=90 °G=34 °

e=4.44

g=3cm

G

E F

50

tan56= e3cm3cm . tan 56=e4.44=e

f=√32+4.442f=√9+19.71f=5.35

Vector Vectores

Un vector es una magnitud física que tiene modulo, dirección y sentido, el modulo es el valor numérico y gráficamente es la distancia entre un punto inicial (generalmente es el punto de intersección de los ejes coordenados x, y) y un punto final que puede estar ubicado en cualquier posición del plano, la dirección es el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x y el sentido es la flecha o saeta ubicada en la posición final.

51

A los vectores se les da el nombre o se denota con una letra mayúscula o minúscula y en la parte superior una flecha, mientras que en el módulo del vector es una letra mayúscula sin flecha

A⃗= Vector A

A = Modulo del vector

Los vectores se representan gráficamente en 3 tipos de coordenados: coordenados rectangulares, coordenados polares, coordenadas geográficas

Coordenadas rectangularesCoordenadas Rectangulares

Tiene dos ejes perpendiculares entre sí siendo un eje horizontal conocido como eje de las abscisas, o eje x y el otro eje vertical conocido como eje de las coordenadas o eje de las y. se grafica primero el eje de las x y luego el eje de las y, ya que viene expresado como par ordenado en el eje de la x hacia la derecha positiva y hacia la izquierda negativa, en el eje de las y hacia arriba positiva y hacia abajo negativa.

Ejemplos:

La intersección de los ejes coordenados x, y divide al plano en cuatro cuadrantes así:

θ

Punto final

ModuloDirección

Punto inicial

4

-3

(-;-) (+;-)

(-;+) (+;+)

40°

52

Coordenadas geográficas Coordenadas Geográficas

Para representar gráficamente el vector en coordenadas geográficas se lo debe hacer a partir de un par ordenado cuya primera componente es el radio vector (modulo) y la segunda componente que es el rumbo (es la combinación de los puntos cardinales norte, sur, este, oeste).

Los puntos cardinales se encuentran ubicados en los ejes coordenados:

Este: eje de las x positivas Oeste: eje de las x negativas Norte: eje de las y positivas Sur: eje de las y negativas

N

O E

Para representar gráficamente el rumbo debe tener como punto cardinal el norte o el sur acompañado de un ángulo medio desde el eje vertical es decir desde el norte o desde el sur hacia el este o hacia el oeste.

Las coordenadas geográficas y polares son similares por lo tanto se puede pasar de coordenadas geográficas a polares y viceversa.

Ejemplos:

A⃗=(3 cm ;N 40 ° E)

S

53

Coordenadas polares Coordenadas Polares

Un vector se representa en coordenada polares con un par ordenado cuya primera componente es el radio vector (modulo) y la segunda componente es el ángulo que gira en sentido anti horario (positivo).

Este ángulo se forma entre el eje positivo de las x (eje polar) y el vector.

Ejemplos:

A⃗=(3cm ;120°)

Descomposición de un vector Descomposición de un Vector

Descomponer un vector significa determinar o encontrar todas las partes de un vector (modulo, dirección y las componentes en x y en y utilizando las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y el teorema de Pitágoras)

A⃗= VectorA= Modulo del vector AAx= Componente xAy= componente yθ=dirección

3cmθ=120°

θ θ

3) θ1=tan−1 AyAx

θ=180°+θ1

θ

A⃗ Ax 2) θ1=tan−1 AyAx

θ=180°−θ1 θ

A⃗Ax

Ay

4) θ1=tan−1 AyAx

θ=360°−θ1

54

A en términos Ax, Ay

A=√A x2+A y2Fórmula para encontrar el módulo θ en términos Ax, Ay

Tanθ=AxAy

θ=tan−1(AyAx

¿

Ax en términos A, θ

Cosθ=AxA

Ax = Cosθ * A

Ay en términos A, θ

Senθ=AxA

Ay = Senθ * A

Ángulos directores y Cosenos directores

La dirección se trabaja con la función tangente pero hay que considerar para cada cuadrante su propia ecuación

1) 3)

2) 4) 2)

Ax

Ay

A⃗ 1) θ=tan−1 Ay

Ax

Ax

Ay

A⃗

Ay

αβ α

β

α

βα

i⃗ = (1; 0)

j⃗=(0 ;1)

55

Nota: cuando se utiliza la función ten, para determinar la dirección de un vector las componentes al ser remplazados en la formula se considera positivas debido a que el ángulo que se encuentra es un ángulo agudo (- de 90°)

Ángulos Directores: son 2 ángulos que forman el vector α con el eje positivo de las “x” y β con el eje positivo de las “y” estos ángulos deben estar entre los 0° y 180°, siempre son positivos ya sea que giren en sentido horario o en sentido anti horario

Vectores base:Son aquellos vectores que sirven de referencia para diferenciar los ejes coordenados “x” y “y” estos vectores base son i⃗ eje “x” y j⃗ eje “y” gráficamente tenemos:

Para escribir un vector en coordenadas rectangulares en función de sus vectores bases se realiza lo siguiente:

A⃗=(Ax ; Ay) A⃗=(Ax i⃗; Ay j⃗) = (3 ; -4) A⃗=(3 i⃗ ;−4 j⃗)

B⃗=(4 ;5) A⃗=(4 i⃗ ;+5 j⃗)

C⃗=(−2;−4) A⃗=(−2 i⃗ ;−4 j⃗)

Vector unitario:Un vector unitario nos permite determinar si 2 o más vectores tiene la misma dirección y sentido, esto sucede cuando elvector unitario de los vectores es igual

β

α

θ1=tan−1 85

θ=360°−57.99°

θ=302°

56

U⃗A=U⃗B

Dirección y sentido:Para determinar el vector unitario se divide el vector expresado en función de sus vectores base para su modulo así:

U⃗A=( Ax i⃗+Ay j⃗A

) U⃗A=( Ax i⃗A

+ Ay j⃗A

)

Ejercicios:

1.-Un vector A parte del origen y llega al punto (5; -8) m

Determinar:

A. Las componentes del rectangulares del vector( Ax y Ay)B. Modulo ( A )C. La dirección ( θ)D. Los ángulos directores( α y β)E. El vector en función de los vectores bases ( i⃗ eje “x” y j⃗ eje “y)F. El vector unitario (U⃗ )G. Rumbo

A. Ax=5 y Ay=-8 C.

B. A=√(5)2+(−8)2

A=9.43

D. α=cos−1 AxA β=cos−1 Ay

A

α=cos−1 59.43 β=cos−1 −8

9.43

α=57.97949743 β=148.0333401

E. A⃗=(5 i⃗ ;−8 j⃗)

F.U⃗A=( 5 i⃗−8 j⃗9.43

)

U⃗A= (0.53 i⃗ ;−0.84 j⃗)

G. S32° E

2.- La componente de un vector A⃗ según el eje y es -33 cm y lops angulos directores ∝=160 ° y β=110° Determinar:

a) El modulo del vector

β

∝=160 °

β=110°

57

b) La componente rectangular en xc) Las coordenadas del punto extremod) La direccióne) El vector en función de los vectores basef) Vector unitario

Datos:

Ay:-33cm

∝=160 °

β=110°

Solución

a) A=cos110−33A

A=¿96.44

b) cos160= AxA

cos160×96.49=Ax90.67=Ax

c) (-90.67;-33)

d) θ1=tan−1 −33−90.67

θ=20

θ=180°+θ1

θ=200 °

e) A⃗=(−90,67 i⃗ ;−33 j⃗)

f) U⃗A= (0.94 i⃗ ;−0.34 j⃗)

Formas deexpresar unvectorExisten 5 formas de expresar un vector y estos son:

Coordenadas rectangularesA⃗=(Ax ; Ay)

A⃗=(−3 ; 4)cm

Función de los vectores baseA⃗=(Ax i⃗; Ay j⃗)

A⃗=(3 i⃗+4 j⃗)

Coordenadas polaresA⃗=(A ;θ)

∝=160 °

58

A⃗=(5 cm ;150° )

Coordenadas geográficasA⃗=(A ;Rumbo)

A⃗=(5 cm ;N 40 °O)

Función de su modulo y unitario A⃗=(A ;U⃗a)A⃗5cm (A ; (0.53 i⃗ ;−0.84 j⃗))

Operaciones entre vectoresEntre vectores se pueden realizar los siguientes vectores

Suma: A⃗+ B⃗ Resta: A⃗−B⃗ Producto de un vector por un escalar: K A⃗ Producto escalar o producto punto A⃗ ∙ B⃗ Producto vectorial o producto cruz A⃗× B⃗


Nombre:


Fecha: 20/11/12

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

Un vector B parte del origen y llega al punto (-6;-8) m. Determina:

a) Las componentes rectangulares del vector b) El móduloc) La dirección

59

d) Los ángulos directorese) El vector en función de los vectores basef) El vector unitariog) El rumbo

a) Bx=−6mBy=−8m

b) B=√Bx2+By2B=√36=69B=10m

c) tanθ=ByBxθ1=tan−1 8

6θ1=53,13 °θ=180°−θ1θ=126.87 °

d) cos α= 810α=cos−1 −8

10 α=143.13

e) cos β= 610β=cos−1 −6

10 β=126.86

f) B⃗=(−6 i⃗−8 j⃗ )m

g) U⃗B=(−6 i⃗−8 j⃗ )m

10mU⃗B=(−0.6 i⃗−0.8 j⃗)m

60

h) Rumbo= S36 °O


Nombre:


Fecha: 20/11/21

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

Un vector A parte del origen y llega al punto (4;-5) cm. Determina:

a) Las componentes rectangulares del vectorb) El móduloc) La direcciónd) Los ángulos directores e) El vector en función de los vectores basef) El vector unitario’g) El rumbo

61

a) Ax=4 cmAy=−5cmb) A=√Ax2+Ay2A=√16+25A=6,40cm

c) tanθ1= AyAxθ1=tan−1 5

4θ1=61.39 °θ=360°−51,34 °θ=308,66 °

d) cos α= 46,40

α=cos−1 46,40α=51,31 °

e) cos β= −56,40

β=cos−1 −56,40 β=141.37 °

f) A⃗=(4 i⃗−5 j⃗ )cm

g) U⃗A=(4 i⃗−5 j⃗ )cm

6,40U⃗A=(0,62 i⃗−0,78 j⃗ )cm

h) Rumbo S38,66 ° E

62

Un vector B parte del origen y llega al punto (-2; 4) cm. Determina:

a) Las componentes rectangulares del vectorb) El móduloc) Los ángulos directoresd) Vector en función de sus vectores basee) Vector unitariof) Rumbo

a) Bx=−2cmBy=4 cm

b) B=√Bx2+By2B=√4+16B=4,47 cm

c) tanθ=ByBxθ1=tan−1 2

1θ1=63,43 °θ=180°−θ1θ=116.57°

d) cos α= 24,47

α=cos−1 −24,47α=116.57°

63

e) cos β= 44,47

β=cos−1 44,47 β=26.51 °

f) B⃗=(−2 i⃗+4 j⃗ )cm

g) U⃗B=(−2 i⃗+4 j⃗ )cm

4.47 cmU⃗B=(−0.44 i⃗+0.89 j⃗ )

h) Rumbo= N 26 °O

Un vector C parte del origen y llega al punto (-4; -3) cm. Determina:

a) Las componentes rectangulares del vectorb) El móduloc) Los ángulos directoresd) Vector en función de sus vectores basee) Vector unitariof) Rumbo

a) Cx=−4 cmCy=−3cmb) C=√Cx2+Cy2C=√16+9C=5 cm

64

c) tanθ1=CyCxθ1=tan−1 3

4θ1=36,86 °θ=180°+38,86 °θ=216,86 °

d) cos α= 45α=cos−1 −4

5 α=143.13 °

e) cos β=−35β=cos−1 −3

5 β=126.86 °

f) C⃗=(−4 i⃗−3 j⃗ ) cm

g) U⃗C=(−4 i⃗−3 j⃗ )cm

5cmU⃗C=(−0,8 i⃗−0,6 j⃗ )cm

h) Rumbo S53.13° O


Nombre:


Fecha: 23/11/21

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

1. Indicar sin dibujar, en qué cuadrantes están situados los puntos:

A. (11 ,−2 ) IV cuadranteB. (9 ,−5 ) IV cuadrante C. (−1,1 ) II cuadranteD. (−2 ,−2 ) III cuadrante E. (−3,1 ) II cuadranteF. (9,3 ) I cuadranteG. (−7 ,−6 ) III cuadrante H. (8,1 ) I cuadrante I. (−10,9 ) II cuadrante

2. Sin dibujar, indicar en qué cuadrante están localizados los puntos

A. 65cm ,110 ° II cuadranteB. 20cm ,280 ° IV cuadrante

65

C. 92cm ,35 ° I cuadranteD. 86Kgf ,340 ° IV cuadrante E. 19Kgf ,230 ° III cuadrante F. 73Kgf ,181° IV cuadranteG. 33m ,72 ° I cuadrante H. 7m ,275 ° IV cuadranteI. 65m ,165 ° II cuadrante

3. Indicar sin dibujar, en qué cuadrantes están localizados los puntos

87m;NE I cuadrante 63m ,S55 °O III cuadrante 7m ,N 18 °O II cuadrante 28cm ,SE IV cuadrante 32cm, N 37 ° E I cuadrante 45 cm,S72 °O III cuadrante 75Kgf , S35° E IV cuadrante 98Kgf ,NO II cuadrante 17Kgf , S80 ° E IV cuadrante

4. Resuelve los triángulos

En el triángulo rectángulo CDE hallar:

a. c en términos de E, e b. C en términos de d, e c. c en términos de d, ed. d en términos de E, ce. E en términos de e, d

a. tanE= ec

c= etanE

c

ed

C

ED

66

b. cosC= ed

C=cos−1( ed )c. √d2−e2

d. cosE= cd

d= ccosE

e. sin E= ed

E=sin−1( ed )

En el triángulo rectángulo ABC hallar:

a. a en términos de C, b b. C en términos de a, b c. C en términos de b, cd. b en términos de a, ce. c en términos de A, b

a. cosC=ab

a=b .cosE

c

B

b

A

67

b. cosC=ab

C=cos−1( ab )

c. sinC= cb

C=sin−1( cb )

d. c=√c2+a2

e. cos A=ac

C= acos A

En el triángulo rectángulo DEF hallar:

a. D en términos de d, f b. F en términos de e, f c. d en términos de e, fd. d en términos de F, fe. e en términos de D, d

a. tanD=df

d

f

e

D

FE

68

D=tan−1( df )

b. sin F= fe

F=sin−1( fe )

c. d=√e2−f 2

d. tanF= fd

d= ftanF

e. sin D=de

e= dsin D

35 E=35°D=90°C=55 °e=4cm

sin 35= 4cmd

d . sin35=4cmd= 4sin 35d=6.97

√d2−e2√6.972+42c=5.70

d=6.97

D

C

E

69

G

e=4.44

g=3cmE F

70

E=56 °F=90 °G=34 °

tan56= e3cm3cm . tan 56=e4.44=e

f=√32+4.442f=√9+19.71f=5.35

Actividad en clase


Nombre:

Actividad en clase

Curso: Primero de Bachillerato “E”

Fecha: 23/11/21

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

Dados los vectores:

A⃗ (−3 ;−7 ) cm B⃗ (4 ;9 ) C⃗ (−2 ;5 ) D⃗ (4 ;−5 )

Encontrar para cada vector

a) Módulob) Direcciónc) Ángulos directoresd) Vector unitario

71

e) Rumbo

A⃗ (−3 ;−7 ) cm

a) A=√−32+−72

A=7,61

b) tanθ1= AxAy

θ=tan−1 37

θ1=23.19 °θ=203,19°

c) cos α= AxAα=cos−1 −3

7,61α=113.21°

d) cos β= AyAβ=cos−1 −7

7,61 β=156,90 °

e) U⃗A=(−3 i⃗−7 j⃗ )cm

7,61U⃗A=(−0,39 i⃗−0,91 )cm

f) Rumbo S25 °O

B⃗ (4 ;9 )cm

a) B=√42+92B=9,84 cm

b) tanθ1=BxBy

θ=tan−1 94

θ1=66,03 °θ=113.97°

c) cos α= BxBα=cos−1 4

9,84α=66,01 °

d) cos β= ByBβ=cos−1 9

9,84 β=23,84 °

72

e) U⃗B=( 4 i⃗+9 j⃗ )cm

9,84U⃗A=(0,40 i⃗+0,94 )cm

f) Rumbo N 23,84 ° E

C⃗ (−2 ;5 ) cm

73

a) B=√42+92B=9,84 cm

b) tanθ1=BxBy

θ=tan−1 94

θ1=66,03 °θ=113.97°

c) cos α= BxBα=cos−1 4

9,84α=66,01 °

d) cos β= ByBβ=cos−1 9

9,84 β=23,84 °

e) U⃗B=( 4 i⃗+9 j⃗ )cm

9,84U⃗A=(0,40 i⃗+0,94 )cm

f) Rumbo N 23,84 ° E

Operaciones entre vectores1) Suma A⃗+ B⃗2) Resta A⃗−B⃗3) Producto de un vector1 por un escalarK × A⃗

1 Magnitud física que contiene módulo, dirección y sentido.

74

4) Producto escalar2 o producto punto punto A×B5) Producto vectorial o producto cruz A⃗× B⃗

Suma de vectoresPara sumar dos o más vectores se lo puede realizar por el método analítico y por el método gráfico (método del paralelogramo y el método del polígono).

Método analítico

Para sumar dos o más vectores por el método analítico, dichos vectores deben estar expresados en función de sus vectores base3.

Una vez que los vectores están expresados en función de sus vectores base se suman componente a componente, es decir, se suman todos las componentes en “x” y sumamos todas las componentes en “y”; esta suma es algebraica debido que las componentes pueden ser positivas o negativas.

Así:

A⃗=(Ax i⃗+Ay j⃗ ) A⃗=(3 i⃗−4 j⃗ )

B⃗=(Bx i⃗+By j⃗ ) B⃗=(5 i⃗+2 j⃗ )

A⃗+ B⃗=[(Ax+Bx) i⃗+(Ay+By) j⃗ ] A⃗+ B⃗=[(3 x+5 x)i⃗+(−4 y+2 y ) j⃗ ]

Rx=Ax+Bx Rx=3x+5 x

Ry=Bx+By Ry=−4 x+2 y

R⃗=(Rx i⃗+Ry j⃗ ) R⃗=(8 x i⃗−2 y j⃗ )

Ejercicios de adición de vectores por método analítico . 1. Dados los vectores:

A⃗=(5cm;N 40 °O )

B⃗=( 4cm ;225° )

C⃗=(3 ;−4 )

1.1. Resolver: A⃗+ B⃗+C⃗

A⃗=(5cm;N 40 °O ) A⃗=¿)

2 Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y tiene el mismo valor para todos los observadores3 Revisar como se transforman los vectores en función de sus vectores base, pg. 3

Al vector resultante ( R⃗ ) se le debe expresar en coordenadas polares, para comprobar con los métodos gráficos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Observador

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

75

A⃗=[ ( Ax=(cos130 ° )×5 ); ( Ay= (sen130 ° )×5 )]

A⃗=(−3.21 i⃗+3.83 j⃗)

B⃗=( 4cm ;225° )

B⃗=[ (Bx=(cos 225° )×4 ) ; (By=(sen225 ° )×4 )]

B⃗=(−2.82 i⃗−2.82 j⃗ )

C⃗=(3 ;−4 ) θ1=tan−1( AyAx ¿)¿

C⃗=(3 i⃗−4 j⃗ ) θ1=tan−1( 3.032.99 ¿)¿

R⃗=(−3.03 i⃗−2.99 j⃗ )θ1=224.62 °

R=√Ax2+Ay2

R=√3.032+2.992

R=4.25 cm .

R⃗=(4.25 cm;224.62° )

R⃗=(4.25cm; S45.38 °O)

2. Dados los vectores:

A⃗=(6cm;N 60 °O )

B⃗=( 4cm ;310° )

C⃗=(−3 ;6 )

2.1. Resolver: A⃗+ B⃗+C⃗

A⃗=(6cm;N 60 °O ) A⃗=¿)

A⃗=[ ( Ax=(cos150 ° )×6 ) ; (Ay=(sen150 ° )×6 )]

A⃗=(−5.19 i⃗+3 j⃗ )

B⃗=( 4cm ;310° )

A

B

C

76

B⃗=[ (Bx=(cos310 ° )×4 ) ; (By=(sen310 ° )×4 )]

B⃗=(2.57 i⃗−3.06 j⃗ )

C⃗=(−3 ;6 ) θ1=tan−1( AyAx ¿)¿

C⃗=(−3 i⃗+6 j⃗ ) θ1=tan−1( 5.625.94 ¿)¿

R⃗=(−5.62 i⃗+5.94 j⃗ )θ1=43.41 °

R=√Ax2+Ay2θ1=180−43.41

R=√5.622+5.942θ1=136.59 °

R=8.17 cm.

R⃗=(8.17 cm;136.59° )

R⃗=(4.25cm; N 43.41 °O)

Método gráfico Método del paralelogramoPara sumar dos o más vectores por este método, se grafican dichos vectores en coordenadas polares. Se suman de dos en dos, formando un paralelogramo

(cuadrilátero). Para ello los vectores se transportan a los puntos finales de cada vector.

Siendo la diagonal principal el vector resultado, si existen más vectores se repite el procedimiento anterior hasta que la última diagonal es el vector resultante.

Por último se mide la longitud (módulo, ángulo, dirección) razón por la cual queda expresado en coordenadas polares.

Ejemplo

B

A

Ç

77

Por el método del paralelogramo sumar los siguientes vectores:

A⃗=(4 cm: S30 °O ) A⃗=(4cm ;240° )

B⃗=(5cm;340 °)

http://www.google.com.ec/url?sa=i&rct=j&q=suma+de+vectores+por+el+metodo+del+paralelogramo+ESCUADRA&source=images&cd=&cad=rja&docid=Lhh14GLiPs4G1M&tbnid=GAcPYXDWkgn0uM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.youtube.com/watch?v=XmxCp4ELGJM&ei=qAm5UfjYEo3w8ATvwYGwBw&bvm=bv.47810305,d.eWU&psig=AFQjCNGGBQ96FjstPeLD82UZ-PJ93XW5Ug&ust=1371167469958996

78

A⃗=(−2 i⃗−3.46 j⃗)

B⃗=(4.69 i⃗−1.36 j⃗)

R⃗=(2.69 i⃗−4.82 j⃗)

R⃗=(5.51 cm;299.17 ° )

Por el método del polígono resolver: A⃗+ B⃗+C⃗

A⃗=(4 cm :N 20 ° E )

B⃗=(5CM−150 °)

C⃗=(4 cm :180 ° )

79

A⃗=(1.36 i⃗+3.75 j⃗ )

B⃗=(−4.33 i⃗+2.5 j⃗ ) R⃗=(9.22 cm;138.11°)

C⃗=(−4 i⃗+0 j⃗) R⃗=(−6.97 i⃗+6.25 j⃗)

Método del polígonoEs un método grafico que sirve para sumar dos o más vectores y consiste en graficar el primer vector y al final de este primer vector se traza un eje de coordenadas auxiliares en donde se grafica el segundo vector, este proceso se repite hasta graficar todos los vectores. El resultante es el vector que une el punto de intersección de los ejes coordenados con el punto final del último vector graficado. Así:

Ejemplos

A⃗=(5cm ;50° )

B⃗=(4 cm;125 °)

C⃗=(4 cm ;200 °)

80

A⃗=(3.21 i⃗+3.58 J⃗ )

B⃗=(−2.29 i⃗+3.27 j⃗)

C⃗=(−3.75 i⃗−1.36 j⃗)

R⃗=(−2.83 i⃗+5.74 j⃗)

R⃗=(6.4 cm;123 °)

Ejercicio de aplicación por los 2 métodos gráficos y el método analítico Suma los siguientes vectores de las 3 formas

A⃗=(4cm ;N 30 °O)

B⃗=(5cm;Oeste)

C⃗=(5cm; S60 °O)

81

A⃗=(−2 i⃗+3.46 J⃗ )

B⃗=(−5 i⃗+0 j⃗)

C⃗=(−4.33 i⃗−2.5 j⃗)

R⃗=(−11.33 i⃗+0.96 j⃗)

R⃗=(11.37 cm;175.16 °)

Actividad en clase


Nombre:

Actividad en clase

Curso: Primero de Bachillerato “E”

Fecha: 28/12/21

Quimestre: Primero

Parcial: Segundo

82

Resolver por el método del paralelogramo

A⃗+ B⃗+C⃗

A⃗=(4 cm;310 ° )≫ A⃗= (2,57 i−3,06 j⃗ )cm

B⃗=(5cm ; N 80° E ) ≫ B⃗=(4,92 i+0,86 j⃗ )cm

83

C⃗=(5cm; 90° )≫ C⃗=(0 i+5 j⃗ )cm

R=(7,49 i⃗+2,80 j⃗ )

Comprobar por el método analítico

R⃗=(8cm;21 ° )

m=√7,492+2,802m=√69,94m=7,99cm

θ=tan−1 2,807,49θ=20,45°

R⃗=(7,99cm;20,45 ° )

Resta de vectores Conocida también como diferencia de vectores, se la define como la suma de un vector positivo con un vector negativo. Este vector analíticamente se multiplica por -1, esto significa que cambia el signo de cada componente, mientras que gráficamente cambia su sentido, por ejemplo en vez de ir hacia la derecha, va hacia la izquierda, o en vez de ir hacia arriba va hacia abajo.

Al igual que en la suma se lo puede resolver por el método analítico, del paralelogramo, o el método del polígono.

Ejemplo

Resta los siguientes vectores

A⃗+(−B⃗)

A⃗=(Ax i⃗+Ay j⃗)

B⃗=(Bx i⃗+By j⃗)

−B⃗=(−Bx i⃗−By j⃗)

A⃗=(5 i⃗+7 j⃗)

B⃗=(−3 i⃗+4 j⃗)

A⃗+(−B⃗)

A⃗=(5 i⃗+7 j⃗)

84

−B⃗=(+3 i⃗−4 j⃗)

R⃗=(8 i⃗+3 j⃗)

A⃗=(−2 i⃗+3.46 J⃗ )

B⃗=(−5 i⃗+0 j⃗)

C⃗=(−4.33 i⃗−2.5 j⃗)

R⃗=(−11.33 i⃗+0.96 j⃗)

R⃗=(11.37 cm;175.16 °)

Producto de un vector por un escalar Sea A⃗ un vector expresado en función de sus vectores base y K un escalar (número que pertenece a los números Reales). El producto de un vector por un escalar se define como las veces que aumenta, disminuye o cambia el sentido del vector original.

Para resolver el escalar se multiplica por cada componente del vector:

Sea A⃗=(Ax i⃗+Ay j⃗)

K un escalar (k ϵ R)

K A⃗=(KAx i⃗+KAy j⃗)

Ejemplo

A⃗=(4 i⃗+5 j⃗) →(6.4 cm;51.34 ° )

K=3

3 A⃗=(12 i⃗+15 j⃗)→(19.2cm;51.34 ° )

85

Dados

A⃗=(4 cm; S20 °O )→A⃗=(−1.36 i⃗−3.75 j⃗)

B⃗=(5cm ;170° )→B⃗=(−4.92 i⃗+0.86 j⃗)

C⃗=(3;−4)→C⃗=(3 i⃗−4 j⃗)

Resolver: 2 A⃗−13B⃗+0.8C⃗

2 A⃗=(−2.72 i⃗−7.5 j⃗)

−13

=(1.64 i⃗−0.28 j⃗)

0.8 C⃗=(2.4 i⃗−3.2 j⃗)

R⃗=(1.32 i⃗−10.98 j⃗)

R⃗=(11.05 ;276.85 ° )

Módulo diferente, misma dirección y sentido.

Si se multiplica por un numero menos decrece y si se multiplica por un número mayor crece. Si K es negativa cambia la dirección del vector.

86


Nombre:


Fecha: 02/01/13

Quimestre: Primero

Parcial: Tercer

Ejercicio N° 1A⃗=(4cm ;520° E) A⃗(4cm ;290 °) A⃗(1,36 i⃗−3,75 j⃗)

B⃗=(5cm;210 °) B⃗=(−4,33 i⃗−2,5 j⃗)

C⃗=(6 i⃗ ;−8 j⃗)cm C⃗=(6 i⃗−8 j⃗) C⃗=(10cm;306,86 °)

A⃗(1,36 i⃗−3,75 j⃗)

B⃗=(−4,33 i⃗−2,5 j⃗)

C⃗=(6 i⃗−8 j⃗)

R⃗=(3,03 i⃗−14,25 j⃗)

R⃗=(14,56 cm ;282,01°)

m=√(3,03)2+(−19,25¿¿2)¿

m=√212,29

m=19,56 cm


Nombre:

Actividad en ClaseCurso: Primero de Bachillerato “E”

Fecha: 20/12/12

Quimestre: Primero

Parcial: Tercer

θ1=tan−1 AyAx

θ1=77,99 °

θ=282,01°

87

Ejercicio N°2A⃗=(3 cm ;N 40 ° E) A⃗(3 cm;50 °) A⃗(1,92 i⃗+2,29 j⃗)

B⃗=(5cm;125 °) B⃗=(−2,86 i⃗+4,09 j⃗)

C⃗=(4 i⃗ ;−2 j⃗) C⃗=(4 i⃗+2 j⃗) C⃗=(4,47 cm ;26 ;56°)

A⃗(1,92 i⃗+2,29 j⃗)

B⃗=(−2,86 i⃗+4,09 j⃗)

C⃗=(4 i⃗+2 j⃗)

R⃗=(8,92 cm ;69,90°)

θ1=tan−1 AyAx

θ=69,99

m=√9,36+70,22

m=√79,58

m=8,92


Nombre:


Fecha: 09/01/13

Quimestre: Primero

Parcial: Tercer

1

Ejercicio N°3Dados los vectores:A⃗=(5 cm ;120° ) A⃗(−2,5; 4,33)cm

B⃗=(4 cm; N 40 ° E) B⃗=(2,57 ;3,06 )cm

C⃗=(3 cm;520 °O) C⃗=(−1,02;−2,81)cm

D⃗=(4 cm;530 ° E) D⃗(2 ;−3,46)cm

E⃗=(6 cm;300 °) E⃗=(3 ;−5,19 )cm

F⃗=(5cm;Oeste) F⃗=(−5; 0)cm

Resolver: Método Analítico1. A⃗+ B⃗+C⃗A⃗(−2,5; 4,33)cm

B⃗ (2,57 ;3,06 ) cm R⃗ (4,67cm ;101,92° ) C⃗ (−1,02;−2,81)cm

R⃗ (−0,94 ; 4,58 ) cm

2. B⃗− A⃗B⃗ (2,57 ;3,06 ) cm A⃗(−2,5; 4,33)cm R⃗ (5,07 ;−1,27 ) cm

3. C⃗−E⃗C⃗ (−1,02;−2,81)cm R⃗ (4,64 cm;149,91° ) E⃗ (3 ;−5,19 )cm R⃗ (−4,02 ;2,38 ) cm

4. A⃗+ B⃗−F⃗A⃗(−2,5; 4,33)cm B⃗ (2,57 ;3,06 ) cm R⃗ (8,95cm;55,54 ° ) F⃗ (−5 ;0)cm R⃗ (5,07 ;7,39 ) cm

5. C⃗+ D⃗−E⃗C⃗ (−1,02;−2,81)cm

D⃗(2 ;−3,46)cm R⃗ (7,29cm;208,13 ° )E⃗ (3 ;−5,19 )cm

R⃗ (−2,02 ;−1,08 )cm

2

6. A⃗−B⃗+ C⃗A⃗(−2,5; 4,33)cm B⃗ (2,57 ;3,06 ) cm R⃗ (6,86cm;194,89 ° )C⃗ (−1,02;−2,81)cm

R⃗ (−6,09 ;−1,54 ) cm

7. C⃗+ D⃗−E⃗C⃗ (−1,02;−2,81)cm

D⃗(2 ;−3,46)cm R⃗ (2,24cm ;208,13° )E⃗ (3 ;−5,19 )cm

R⃗ (−2,02 ;−1,08 )cm

8. D⃗+ E⃗−F⃗D⃗(2 ;−3,46)cm R⃗ (13,22cm;320 ° )E⃗ (3 ;−5,19 )cm

F⃗ (−5 ;0)cm R⃗ (10 ;−8,65 ) cm

9. B⃗+C⃗−D⃗B⃗ (2,57 ;3,06 ) cm

C⃗ (−1,02;−2,81)cm R⃗ (3,73cm;96,97 ° )D⃗(2 ;−3,46)cm

R⃗ (−0,45 ;3,71 ) cm

10.D⃗+ E⃗−F⃗D⃗(2 ;−3,46)cm

E⃗ (3 ;−5,19 )cm R⃗ (13,22cm;320 ° )F⃗ (−5 ;0)cm R⃗ (10 ;−8,65 ) cm

3

Ejercicio N° 4.1. En el triángulo rectángulo ABC.

a) b en términos a, Cb) c en términos a, bc) C en términos de a, cd) A en términos de a, b

a. cosC=ab

b= acosC

b. c=√b2−a2

c. tanC= ca

C ¿ tan−1( ca)

d. sin A=ab

A=sin−1( ab

) 2. Resolver los siguientes triángulos rectángulos.A= 40 °B= 90 °C= 50 °b= 5cm

sin 40 °= a5cm

5cm−sin 40=a 3,21=a

sin 50°= a5 cm

5cm−sin 50 °=a 3,83=c

n=√m2+ I 2 n=√4cm2+5cm2

A B

C

c

ba

A

B

C

C=3,83 cm

b=5 cm

a=3,21 cm

MNl=4 cm

4

n=√18+25 n=√41 n=6,40

sinM=mn

sinM= 5cm6,40 cm

M=sin−1( 56,40

) M=51 °22 '

tanL= 1M

tanL=4cm5cm

L=tan−1( 45

) L=38 ° 39 '

3. Graficar los siguientes vectores

A⃗=(3cm ;135°)

B⃗=(2cm;N 20 ° E)

C⃗=(4cm ;530 °O)

D⃗=(3 ;5)

4. Escribir los vectores en coordenadas polares y geográficasCoordenadas Polares:

A⃗=(3cm ;65 °)

B⃗=(5cm;145 °)

C⃗=(4 cm ;290 °)

D⃗=(3cm ;200°)

E⃗=(5cm ;135°)

F⃗=(2cm ;40 ° )

G⃗=(7 cm ;235° )

L

n=6,40cm

m=5cm

5

H⃗=(3 cm ;340 ° )

Coordenadas Geográficas:

A⃗=(3 cm ;N25 ° E)

B⃗=(5cm;N 55 °O)

C⃗=(4 cm ;520 ° E)

D⃗=(3cm ;570 °O)

E⃗=(5cm ; N 45 °O)

F⃗=(2cm ; N50 ° E)

G⃗=(7 cm ;535°O)

H⃗=(3cm ;570 ° E)

Ejercicio N°51. A⃗=(9 cm;520 ° E)

B⃗=(5cm;210 °) C⃗=(6 i⃗−8 j⃗)cm

R⃗=A⃗+B⃗+ C⃗

A⃗=(6 cm;N 20° E)

sin 20°= x9 cm

1,36=x

sin 70°= y4 cm

-3,75=y

A⃗=(1,36 i⃗−3,75 j⃗ )cm

B⃗=(5cm;210 °)

sin 30°= y5 cm

-2,5=y

6

sin 60 °= x5cm

-4,33=x

B⃗=(−9,33 i⃗+2,5 j⃗)

R⃗ (−5,47 ;−10,58 )

m=√(−5,97)2+(−10,58)2 m=√29,92+111,93 m=√141,85 m=11,91

θ1=tan−1 5,4710,58

θ1=27,02

θ=180°−θ1

θ=152,92

R⃗ (11,91cm;152,92 ° )

2. A⃗=(3 cm ;N 40 ° E)

B⃗=(5cm;125 °) C⃗=(4 i⃗+2 j⃗)cm

R⃗=A⃗+B⃗+ C⃗

A⃗=(3 cm ;N 40 ° E)

sin 40°= x3 cm

1,92=x

sin 50°= y3 cm

2,29=y

A⃗=(1,92 i⃗+2,29 j⃗)

B⃗=(5cm;125 °)

7

sin 35°= x5 cm

-2,86=x

sin 55°= y5 cm

4,09=y

B⃗=(−2,86 i⃗+4,09 j⃗)

R⃗ (3,06 i⃗+8,38 j⃗ )

m=√3,062+8,382 m=√9,36+70,22 m=√79,58 m=8,92

θ1=tan−1( 2,864,09

)

θ1=34,60°

θ=360°−θ1

θ=325,40

R⃗ (8,92cm;325,40 ° )

Exposiciones de la casa abierta de física Unidad Educativa Santa María Eufrasia

Informe:1Fecha:2013/04/20 Curso:1ero bachillerato E

Nombre: Quimestre:2do Parcial:2do

Casas abiertas:

Agujeros negros:

Es una región finita del espacio en cuyo interior existe una concentración de masa lo suficientemente elevada para generar un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de ella. Sin embargo, los agujeros negros pueden ser capaces de emitir radiación,sin embargo del propio agujero negro sino de su disco de acreción.

8

La gravedad de un agujero negro, o «curvatura del espacio-tiempo», provoca una singularidad envuelta por una superficie cerrada, llamada horizonte de sucesos. Esto es previsto por las ecuaciones de campo de Einstein. El horizonte de sucesos separa la región del agujero negro del resto del universo y es la superficie límite del espacio a partir de la cual ninguna partícula puede salir, incluyendo los fotones. Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general, la que predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio. Se conjetura que en el centro de la mayoría de las galaxias, entre ellas la Vía Láctea, hay agujeros negros superlativos.

La existencia de agujeros negros está apoyada en observaciones astronómicas, en especial a través de la emisión de rayos X por estrellas binarias y galaxias activas.

Clases de agujeros:

Agujero blanco:

Es el término propuesto para definir una solución de las ecuaciones del campo gravitatorio de Einstein, cuya existencia se cree imposible, debido a las condiciones tan especiales que requiere trata de una región finita del espacio-tiempo, visible como objeto celeste con una densidad tal que deforma el espacio pero que, a diferencia del agujero negro, deja escapar materia y energía en lugar de absorberla. De hecho ningún objeto puede permanecer en el interior de dicha región durante un tiempo infinito. Por ello se define un agujero blanco como el reverso temporal de un agujero negro: el agujero negro absorbe a su interior a la materia en cambio el agujero blanco la expulsa.

Agujero de gusano:

También conocido como un puente de Einstein-Rosen y en las traducciones españolas «agujero de lombriz», es una hipotética característica topológica de un espacio-tiempo, descrita por las ecuaciones de la relatividad general, la cual es esencialmente un «atajo» a través del espacio y el tiempo. Un agujero de gusano tiene por lo menos dos extremos, conectados a una única «garganta», pudiendo la materia 'desplazarse' de un extremo a otro pasando a través de ésta. Hasta la fecha no se ha encontrado ninguna evidencia de que el espacio-tiempo conocido contenga estructuras de este tipo, por lo que en la actualidad son sólo una posibilidad teórica.

La naturaleza:

Es la mejor herencia que podemos dejarle a nuestros hijos

Recursos naturales:

Son aquellos recursos que proporciona la naturaleza y que una sociedad puede utilizar para llevar a cabo un emprendimiento un recurso natural lo podes definir en varias formas como lo que la naturaleza nos da sin hacer nada

Recursos no renovables:

Estos se forman por procesos geológicos hacen miles de años los recursos no renovables son el petróleo, el carbón, el hierro, la plata y otros minerales.

Recursos renovables:

Se regeneran constante mente como: suelos fértiles, vegetación natural y fauna útil al hombre. Los recursos renovables son los que se obtienen de los bosques, el mar y la selva.

http://es.wikipedia.org/wiki/Materia

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

http://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_general

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Nathan_Rosen

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

9

Recursos inagotables:

Son los recursos que no se agotan. América cuenta con grandes recursos naturales renovables y no renovables, que dan alimentación, energía y sustento económico a los países del continente en esta región se puede encontrar inmensas zonas boscosas ricas en madera, suelos aptos para la producción etc.

El calentamiento global:

El calentamiento global es un término utilizado para referirse al fenómeno del aumento de la temperatura media global de la atmosfera terrestre y de los océanos que posiblemente alcanzo el nivel de calentamiento de la época medieval a mediados del siglo xx. No lo echemos a perder los planetas como el nuestro son difíciles de encontrar la prueba es que hasta ahora es el único que existe.

Efecto invernadero:

Se llama efecto invernadero al fenómeno por el que determinados gases componentes de una atmosfera planetaria retienen parte de la energía que el suelo emite al haber sido calentado por la radiación solar afecta a todos los cuerpos planetarios dotados de atmosfera este fenómeno evita que la energía del sol recibida contantemente al espacio produciendo a escala planetaria un efecto similar al observado en un invernadero.

Consecuencias del efecto invernadero:

Cambios climático, el deshielo de los casquetes polares lo que provocaría el aumento del nivel del mar , las temperaturas regionales y los regímenes de lluvia también sufren alteraciones lo que afecta a la agricultura , aumento de la desertificación ,cambio en las estaciones lo que afecta a la migración de las aves a la reproducción de los seres vivos etc.

¿Podemos hacer algo para reducir la emisión de gases de invernadero y las consecuencias del calentamiento global?

Todos podemos hacer algo para reducir la emisión de gases de invernadero y las consecuencias del calentamiento global como: reducir la basura, reducir el uso de la energía eléctrica, limitar el consumo de agua, hacer mayor uso de la energía solar sembrar árboles, reciclar, etc.

Variación solar:

Las variaciones en la radiación solar han sido la causa de cambios climáticos en el pasado el efecto de los cambios en el forzamiento solar en las ultimas décadas es incierto aunque algunos estudios muestran un efecto que otros estudios sugieren un ligero efecto de calentamiento.

Cambios de temperatura:

Además del calentamiento global el cambio climático implica cambios en otras variables como lluvias y patrones la cobertura de nubes y todos los demás elementos del sistema atmosférico , la complejidad del problema y sus múltiples interacciones hacen que la única manera de evaluar estos cambios sea mediante el uso de modelos computacionales que simulan la física de la atmosfera y de los océanos .

Reciclaje:

10

El reciclaje es un proceso físico químico o mecánico o trabajo que consiste en someter a una materia o un producto ya utilizado (basura)a un ciclo de tratamiento total o parcial para obtener una materia o un nuevo producto o también se podría definir como la obtención de materiales primas a partir de desechos introduciendo los de nuevo en el ciclo de vida y se produce ante la perspectiva del agotamiento de recursos naturales, marco económico y para eliminar de forma eficaz los desechos de los humanos que no necesitamos.

Las 4 R:

Recicla: significa hacer una selección selectiva de los residuos generados por nosotros mismos luego son tratados en plantas especializadas creando productos para otros usos o igual de menor calidad.

Recuperar: se relaciona con los procesos industriales y consiste en recuperar materiales o elementos que sirvan como materia prima.

Reducir: consiste en evitar la compra de productos que realmente no son necesarios y que además llevan consigo elementos que en muy poco tiempo van a ser basura como por ejemplo productos con un exceso de embalaje.

Reutilizar: implica dar un segundo uso a aquellos productos que ya no te sirven para la tarea que lo adquiriste o bien repararlos para que puedan seguir cumpliendo.

Diferentes contenedores ¡diferentes usos!

Color azul: papel y cartón

Color amarillo: plásticos y latas

Color verde: vidrio

Color rojo: desechos peligrosos

Color gris: resto de residuos

Energía geotérmica:

Es aquella energía que puede obtenerse mediante el aprovechamiento del calentamiento de la tierra. Esta energía se manifiesta por medio de procesos geológicos como volcanes en sus fases póstumas, aguas termales geiseres que expulsan agua caliente.

Usos de la energía geotérmica:

Balnearios, aguas termales que tienen aplicaciones para la salud , calefacción y agua caliente, electricidad, extracción de minerales se obtienen de los manantiales azufre, sal común, ácido sulfhídrico, agricultura y acuicultura: para invernaderos y criaderos de peces.

Ventajas de la energía geotérmica:

Es una fuente que evitaría la dependencia energética del exterior, los residuos que produce son mínimos y ocasionan menor impacto ambiental que los originados por el petróleo carbón.

Desventajas de la energía geotérmica:

La contaminación térmica es el deterioro del paisaje , no se puede transportar

Basura materia prima transformada en energía:

11

El proceso consiste en transformar materia orgánica como residuos agrícolas e industriales, desperdicios varios, agua negras, residuos municipales, residuos ganaderos, trancos de árbol o restos de árboles, etc.

Conversión termoquímica y biológica:

La conversión térmica utiliza vegetales y desechos orgánicos para producir calor mediante la combustión. En la conversión biológica se aprovecha el color que se obtiene de la descomposición de las bacterias aeróbicas.

Desechos orgánicos urbanos, energía del futuro:

El ejemplo más conocido de utilización de la biomasa es la madera ya que es la fuente de energía más antigua que conoce la humanidad. Para producir color durante la combustión de la madera y se libera dióxido.

Desventajas:

No obstante de una energía renovable, , no es exactamente una energía limpia, ya que la combustión de la biomasa emite componentes químicos que perjudican las condiciones naturales de la atmosfera.

Luz Electricidad:

Es cualquier dispositivo capaz de producir luz por medio del flujo de una corriente eléctrica. Es la manera con la que se ilumina casi todo el mundo industrializado, usándose tanto para iluminar la noche como para disponer de luz adicional durante el día. Estas luces normalmente se alimentan de la red de suministro eléctrico, pero también pueden alimentarse de forma autónoma o local a través de baterías o generadores eléctricos para servicios de emergencia en hospitales u otros locales donde la falta de luz puede ser un grave problema, o para iluminación de puntos remotos, donde la red eléctrica no llega, siendo un ejemplo típico de esta iluminación autónoma las linternas.

La energía del futuro:

La energía del futuro puede ser basada en la basura primero necesitamos una botella y dejar la basura por unos 2 a 3 semanas y después convertirla en energía quemándola

Paneles de energía solar:

Son paneles que nos ayudan con al energía eléctrica su energía es basada con los rayos del sol esa es su energía.

Efecto Curie:

Lo primero es hacer la estructura. Puedes atornillar, clavar o pegar las maderas. El imánlo

puedes pegar con cola. También puedes colocar otro imán detrás de la madera, a modo que lo

atraiga y queden “pegados” magnéticamente. Otra opción, es colocar un par de clavos en ese

sector, y dejar que el imán se adhiera allí.

Sobre la otra madera vertical debes colocar un tornillo, allí oscilará el péndulo. El mismo

péndulo puedes hacerlo con alambre de hierro, aunque sería mejor que lo hagas con alambre

http://es.wikipedia.org/wiki/Linterna

http://es.wikipedia.org/wiki/Generador_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/Bater%C3%ADa_(electricidad)

http://es.wikipedia.org/wiki/Red_de_suministro_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Luz

12

de cobre o aluminio. En un extremo debes hacer un pequeño gancho, para poder colgarlo del

tornillo. En el otro extremo debes colocar un pequeño anillo de alambre de hierro o la

arandela, como ya dijimos. Sólo falta colocar la vela. La llama de la misma no debe tocar el

imán, ni estar muy cerca de él, pues sólo “soportan” una temperatura de 80°C. La vela debe

estar justo debajo del anillo o la arandela, cuando ésta es atraída por el imán. Para hacer

funcionar este motor o péndulo de curie sólo debes encender la vela y esperar un par de

segundos.

Brújula Casera

Si utilizas un material como por ejemplo el telgopor, corta un pequeño trozo circular con la

tijera. Ahora toma la aguja y frota uno de sus extremos sobre una de las caras del imán. Para

terminar, coloca la aguja sobre el objeto flotante y ponlo sobre el agua. Verás que la aguja

siempre se orienta en la misma dirección, por mas que nosotros intentemos girarla. Cuando

frotamos la aguja sobre el imán, estamos magnetizando la misma. Es decir, la aguja se

transforma en un pequeño imán. La colocamos sobre un objeto flotando en el agua, debido a

que la resistencia que ofrece un líquido a la rotación del mismo es muchas veces menor que,

por ejemplo, si lo hubiésemos colocado sobre la mesa.

Timbre Casero

El tornillo sobre el cual se enrolla el alambre de cobre, debe aislarse primero, cubriéndolo con

cinta adhesiva. Tanto el trozo de alambre que utilizamos para hacer el contacto, como el

pedazo de chapa que golpea con el tarro, deben estar libre de pintura o cualquier otra cosa

que pueda aislar la electricidad. Recuerda que debes quitar el esmalte de los extremos del

alambre de cobre, ya que el mismo es un aislante eléctrico. Necesitarás hacer varias pruebas

en cuanto a la posición del contacto hecho con alambre, la longitud y forma del trozo de

chapa, hasta que tu timbre casero funcione correctamente. Cuando una corriente eléctrica

circula por un conductor, genera un campo magnético, fenómeno que llamamos

electromagnetismo. Generalmente las corrientes que circulan por los conductores son

pequeñas, lo que hace que el campo magnético generado sea muy débil. Pero cuando

arrollamos muchas vueltas de conductor (alambre de cobre en nuestro caso) estamos

“concentrando y sumando” todos esos campos magnéticos débiles, logrando así uno mas

fuerte. El núcleo de nuestro electroimán (así se llama al dispositivo que fabricamos) es de

acero. Este material, tiene la propiedad de ser permeable a los campos magnéticos. Eso da

13

como resultado, que todo el campo magnético generado por nuestra bobina se “concentre” a

través de él. Si no tendríamos el núcleo de material ferromagnético (así se llama) el campo

magnético resultante parecería más débil, aunque en realidad lo que sucede es que esta mas

disperso. Como ya sabemos, para que la corriente eléctrica circule, el circuito debe estar

cerrado. En nuestro timbre casero, los electrones salen del polo negativo de la batería. Se

dirigen mediante el conductor hacia el trozo de chapa, el cual a su vez está tocándose con el

contacto superior de alambre. Éste contacto de alambre está directamente conectado a uno

de los extremos del electroimán. Al salir de la bobina, los electrones se dirigen al polo positivo

de la batería.

Generador eléctrico casero:

Una lectora de CD o DVD contiene dos motores eléctricos, uno que hace girar el disco, y otro

que abre la bandeja de la misma. Nosotros necesitamos el segundo, así que debes desarmar la

unidad y quitarlo. Ta darás cuenta fácilmente cual es cual. Para que nuestro generador de

electricidad casero gire, vamos a fabricar un sencillo mecanismo. Pega sobre el CD o DVD, un

trozo de goma eva (conocido también como foamy o foam). Con esto nos aseguramos que no

habrá “patinaje” o deslizamiento entre el disco y el eje del motor. Necesitamos un eje

alrededor del cual girará nuestro disco compacto. Así que toma una tapa plástica de una

botella, y has un pequeño orificio en el centro de la misma, para que pueda pasar el tornillo.

Terminado ésto, pega la tapa en el centro del CD/DVD.La manija la haremos pegando un trozo

de bolígrafo en el borde del disco. El eje de este sistema, se consigue al colocar el tornillo por

el orificio que realizamos en la tapa, colocando las tuercas y arandelas como se detalla en el

video. Para seguir con nuestro experimento de física, pegamos el motor sobre la madera. Una

vez que ha secado, montamos manualmente el sistema que fabricamos con el disco, como se

muestra en el video, y marcamos el centro. Allí haremos un pequeño orificio con el taladro,

para luego enroscar el tornillo. Para terminar nuestro generador casero de corriente continua,

colocamos un diodo led en los terminales del motor de la lectora, hacemos girar, y veremos

cómo el mismo se enciende gracias a la corriente eléctrica que estamos generado. Recuerda,

que un diodo led sólo tiene una polaridad, es decir, si lo conectas al reves no encenderá. Así

que si tu generador eléctrico parece no funcionar, es probable que tengas que conectarlo a la

inversa de como lo hiciste ( o también puedes hacer girar el disco en el otro sentido)

Puente hidráulico:

Son unos puentes que se basan en la presión del agua lo que producía su movimiento.

14

Brazo hidráulico:

Se basa en la presión del agua que se producía su movimiento y también se aplica en la vida en las gatas que se usan para levantar los autos.

Faro:

Un faro en miniatura que conectado con una pila y un procesador producía energía.

Gota agravatoria con aceite de olivo:

En una copa de porcelana al poner alcohol la moléculas se unen y se forma una gota compacta de aceite que flota.

Cañón de imanes con tres imanes y bolitas de metal:

Si se suelta desde arriba la bolita en un plano inclinado se va a trasmitir por el golpe la fuerza que llevaba esa bolita y su velocidad a las otras bolitas en los otros imanes .Fuerza en un plano horizontal al lanzar las bolitas con impulso en un plano horizontal la fuerza y velocidad se duplican

Electromagnetismo:

El globo por su campo magnético atrae al aluminio pero si este está dentro de una jaula de metal o jaula de Faraday este aluminio no es atraído por el globo

Tención molecular en un globo:

Si pones con aceite una aguja por su parte superior puedes penetrarlo sin que se reviente por que la tención superficial allí es menor Transformador eléctrico cambia la corriente eléctrica, la disminuye para que los artefactos no se quemen

Cohete a presión:

El agua por su fuerza molecular no permite que el aire se mezcle lo que provoca presión dentro de la botella y explota soltando el tapón y volando.

La fotocelda:

Permite tomar en cuenta la luz del dia o la noche para prender o apagar un foco asi funciona el alumbrado eléctrico cuando ay menos luz se prenden los focos.

Rifle de aire comprimido:

Comprimido utiliza la presión del aire para lanzar proyectiles. Esta echo con tubos y una llave de paso.

Prueba quimestralSegundo quimestre Cinemática Cinemática

15

La cinemática es una rama de la física y que forma parte de la mecánica y que se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos

El movimiento de los cuerpos se clasifica de acuerdo a su trayectoria en movimientos rectilíneos, circulares y parabólicos.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

(MRU)

Este movimiento se caracteriza por tener una trayectoria rectilínea, en sentido horizontal, recorre espacios iguales en tiempos iguales, es decir que si por ejemplo 3m recorre en un tiempo de un segundo, 6m recorrerá en 2 segundos y así sucesivamente.

3m 3m 3m

1s 1s 1s

6m

2s

9m

3s

Clasificacion de los movimientos de

acuerdo a su trayectoria

Movimientos rectilineos

moviemiento rectilineo uniforme

(MRU)

movimiento rectilineo uniformemente variado (MRUV)

Caida libre de los cuerpos (CLC)

Tiro vertical hacia arriba (MCVV)

Movimiento Parabolico

16

En el MRU la rapidez o velocidad es constante esto quiere decir que no cambia durante el tiempo que demora en recorrer dicha distancia.

Magnitudes Escalares

S .I. (Sistema internacional)

la relacion de la distancia recorrida y el tiempo en que

se demora en recorrer se lo conoce con el

nombre de rapidez

rapidez o velocidad constante

MRU se trabaja con magnitudes

escalares y vectoriales

Magnitud

Distancia

Tiempo

Rapidez

Simbolo d

t

v

Unidad SI

(m)

(s)

(m/s)

Otras Unidade

s

(Km, Hm, Dm, dm, cm,

mm,pulg...)

(min, h, dias, semanas,

meses,años...)

(Km/h, cm/s, millas/h, pies/s...)

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Magnitudes Vectoriales

S .I. (Sistema internacional)

La distancia es el modulo del vector desplazamiento

La rapidez es el modulo del vector velocidad

Formulas escalares y vectoriales

El vector desplazamiento y el vector velocidad gráficamente se dirigen en la misma línea recta, esto significa que tienen la misma dirección y sentido, esto se comprueba analíticamente encontrando sus vectores unitarios y comprobando que son iguales.

Ar

v

ᶿ

Magnitud

Desplazamiento

Velocidad

SimboloAr

v

unidad SI(m)

(m/s)

Otras unidades

(Km, Hm, Dm, dm, cm, mm,

pulg...)

(Km/h, cm/s, millas/h, pies/s...)

foemulas escalares v=d/t

d=v*t

t=d/v

formulas vectoriales

v= Ar/t

Ar=v*t

18

El vector desplazamiento es la recta que une dos puntos que se les conoce como posición inicial y posición final. Dicha recta viene a ser la distancia que recorre la particula entre los dos puntos.

Yf = Posición Final

Ar

d

ᶿ

ro + Ar = rf

Ar =rf – ro

Graficas de MRU

1) Graficar de la posición en función del tiempo 2) Graficar de la rapidez en función del tiempo

La grafica de la distancia en función del tiempo da como resultado una línea recta inclinada cuya pendiente representa la rapidez o velocidad constante.

tiene

n la

mism

a di

recc

ion

y se

ntido

Uv=UAr

Uv= v/v

UAr=Ar/d

19

d(m)

t(s)

La grafica de la rapidez en función del tiempo da como resultado una línea horizontal paralela al eje de las “x” que de igual manera representa la rapidez y la velocidad constante.

v(ms )V−t

t(s)

Problemas

1. Una partícula con una velocidad constante de (15 i⃗+18 j⃗) ms durante dos minutos.

Determinar el desplazamiento realizado, la distancia recorrida, el vector unitario del desplazamiento y velocidad.Datos

V⃗=(15 i⃗+18 j⃗) ms

t=2min→120 s

Incógnitas Grafico a) A⃗r A⃗r b) d V⃗c) U⃗vd) U⃗Ar

Solución

a) A⃗r=V⃗ ×t

A⃗r=(15 i⃗+18 j⃗)ms×120 s

A⃗r=(1800 i⃗+2160 j⃗ )mb) d=√¿¿

V constante

V constante

Deben estar en el mismo tipo de unidad

20

d=2811,7m

c) U⃗Ar= A⃗rd

U⃗Ar=(1800 i⃗+2160 j⃗)m

2811,7mU⃗Ar=(0,64 i⃗+0,72 j⃗)

d) U⃗v= v⃗v

U⃗v=(15 i⃗+18 j⃗) m

s

23,43ms

U⃗Ar=(0,64 i⃗+0,77 j⃗ )

2. Una partícula recorre 0,450Km con una velocidad constante de (12 i−9 j ) ms Hallar el

tiempo empleado, el desplazamiento realizado, el vector unitario y el desplazamiento de la velocidad.

Datos Graficod=0,450Km→450m v⃗

V⃗= (12 i−9 j )ms

V=15 ms

Incógnitasa) tb) A⃗rc) U⃗Ard) U⃗v

Solución

a) t=dv

t=450m

15 ms

t=30 sb) A⃗r=V⃗ ×t

A⃗r=(12 i−9 j ) ms×30 s

A⃗r=(360 i⃗−270 j⃗ )m

21

c) U⃗Ar= A⃗rd

U⃗Ar=( 360 i⃗−270 j⃗ )m

450mU⃗Ar=(0,8 i⃗−0,6 j⃗)

d) U⃗v= v⃗v

U⃗v=(12 i−9 j)m

s

15ms

U⃗Ar=(0,8 i⃗+0,6 j⃗)

3. Una partícula situada en el punto (−8 ,2 )m se mueve con velocidad constante hasta el punto

de (4 ,6 )m en dos segundos. Calcular desplazamiento realizado, la velocidad empleada y la distancia recorrida.Datos Grafico

r⃗o= (−8 i⃗+2 j⃗ )m r⃗o A⃗rr⃗f=(4 i⃗+6 j⃗ )m r⃗f

t=2 s

Incógnitasa) A⃗rb) v⃗c) d

Solucióna) A⃗r=r⃗f−r⃗or⃗f=(4 i⃗+6 j⃗ )mr⃗o= (−8 i⃗+2 j⃗ )mA⃗r=(12 i⃗+4 j⃗ )m

b) V⃗= A⃗rt

V⃗=(12 i⃗+4 j⃗ )m

2 s

V⃗=(6 i⃗+2 j⃗) ms

V=6,4 ms

c) d=√¿¿d=12,65m

22

4. Una partícula animada de MRU, parte del punto (14 ,−3 )m con una rapidez de 18 Kmh

y luego de un determinado tiempo llega al punto (2 ,6 )m. Determinar el desplazamiento realizado, la distancia recorrida, el tiempo empleado y la velocidad.

Datos Grafica

r⃗o= (14 i⃗ ,−3 j⃗ )m r⃗f

V=18 Kmh→5m

s A⃗r

r⃗f=(2 i⃗+6 j⃗ )m d r⃗oIncógnitas

a) A⃗rb) dc) td) v⃗

Solucióna) A⃗r=r⃗f−r⃗or⃗f=(2 i⃗+6 j⃗ )mr⃗o= (14 i⃗ ,−3 j⃗ )mA⃗r=(−12 i⃗+9 j⃗ )m

b) d=15m

c)t= 15m

5 ms

t=3 s

d) V⃗=(−4 i⃗+3) ms

v=5ms

5. Una partícula parte del punto (−5 ,3 )m y se mueve con una velocidad constante de

(4 i⃗+7 j⃗) ms durante 7 s. Determinar el desplazamiento realizado, la posición alcanzada por la

partícula y la distancia.

Datos Grafica

r⃗o= (−5 i⃗ ,3 j⃗ )m r⃗o

V⃗= (4 i⃗+7 j⃗ ) ms v⃗

t=7 s

Incógnitasa) A⃗r

23

b) r⃗fc) d

Solucióna) A⃗r=(28 i⃗+49 j⃗ )mb) r⃗o= (−5 i⃗+3 j⃗ )m

A⃗r=(28 i⃗+49 j⃗ )mr⃗f=(23 i⃗+52 j⃗ )m

c) d=56,85m

6. Un móvil con una rapidez constante de 32,4 Kmh parte del punto (45 ,18 )m

moviéndose rectilíneamente llega al punto (−12 ,−31 )m. Determinar el desplazamiento realizado, distancia y tiempo.

Datos Grafica

V=32,4 Kmh→9 m

s r⃗o

r⃗o= (45 i⃗+18 j⃗ )m

r⃗f=(−12 i⃗−31 j⃗ )m

r⃗f

Incógnitasa) A⃗rb) dc) t

Solución a) r⃗f=(−12 i⃗−31 j⃗ )m

r⃗o= (−4 i⃗−13 j⃗ )mA⃗r=(−57 i⃗−46 j⃗ )m

b) d=73,24mc) t=8,13 s

7. Un móvil que va por una carretera recta con velocidad constante de (−14 i−18 j )ms

se encuentra en el punto (5 ,−8 )m en t=15 s. Determinar desplazamiento realizado, la posición que tuvo el móvil en t=3,5 s y la distancia recorrida.

Datos Grafica

V⃗= (−14 i−18 j )ms A⃗r

r⃗f=(5 i⃗−8 j⃗ )en t=15 st=12s r⃗f en f⃗t=15 s

24

(15 s−3 s=12 s) v⃗

Incógnitas

a) A⃗rb) r⃗o en t=3 sc) d

Solución

a) A⃗r=V⃗ ×t

A⃗r=(−14 i−18 j )ms×12 s

A⃗r=(−168 i⃗−216 j⃗ )mb) r⃗f=(5 i⃗−8 j⃗ )m

A⃗r=(−168 i⃗−216 j⃗ )mr⃗o= (173 i⃗+208 j⃗ )m

c) d=273,64m

Problemas Escalares

1. Dos puntos A y B están separados 10Km desde A parte hacia B un móvil con una

rapidez constante de 4 Kmh , simultáneamente desde B parte otro móvil hacia A con

una rapidez constante de 3 Kmh . Hallar donde y cuando se encuentran.

Datos GraficadAB=10Km dAB=10Km

vA=4 Kmh v⃗A v́B

vA=3 Kmh

dA=x Simultáneamente tA=tB=t

IncógnitasdAdBtAtB

Solución

25

dAB=dA+dB dA=v× t dB=v ×t 10−4 t=3 t10=x+dB x=4×t 10−x=3×t −4 t−3 t=−1010−x=dB x=4 t 10−x=3 t t=1,43 s

t=1,43 s se remplaza en las formulasdA=5,75dB=4,2tA=1,43tB=1,4

2. Un coche inicia un viaje de 495Km a las ocho y media de la mañana con una rapidez

constante de 90 Kmh ¿a qué hora llegara a su destino?

Datos Incógnitad=495Km tf

v=90 Kmh Grafica

¿=8,5h d=495Km ¿=8,5h tf

Solución

t=dv tf=¿+t

t=495Km

90 Kmh

tf=8,5+5,5

t=5,5h tf=14h

3. Dos vehículos parten de la misma estación, el uno a 40 Kmh y el otro a 60 Km

h , si

recorren durante 55min, con rapidez constante. Determinar la distancia que los separa si avanza en el mismo sentido.

Datos Grafica

vA=40 Kmh d 1

vB=60 Kmh d 2

Simultáneamente d 12tA=tB=t

26

t=55min→0,92h

IncógnitasdAB

Solución dAB=dA+dB dA=v× t dB=v ×t dAB=36,3+55,2 dA=40×0,92 dB=60×0,92 dAB=91,5Km dA=36,3 Km dB=55,2Km

4. Dos puntos A y B están separados 30Km. Desde A parte hacia B un móvil con una

rapidez constante de 25 Kmh , una hora después y de B parte hacia con una rapidez

constante de 18 Kmh . Determinar donde y cuando se encuentran.

Datos GraficadAB=30Km A dAB=30KmB

vA=25 Kmh dB=x−30

vB=18 Kmh dA=x

TiempotA= ttB=t−1hdA=x

IncógnitasdAdBtAtB

Solución dAB+dB=dA dB=v ×t dA=42,75m 30+dB=x x−30=18(t−1) dB=12,75m dB=x−30 25 t−30=18 t−18 tA=1,71 s 7 t=12 tB=0,70 sdA=v× t t=1,71 sx=25 t

27

5. Desde un mismo punto parten dos móviles con una rapidez constante de 15 Kmh y

21 Kmh respectivamente. Si llevan misma dirección y sentido y el primero sale 30min

antes. Hallar donde y cuando se encuentran.

Datos Grafica

vA=15 Kmh dx=30 (30min)

vB=21 Kmh

−30min→0,5h v1v 2

dA=dBIncógnitasdAdBtA=t−0,5htB=t

SolucióndA=dB dB=v ×t 15 t+7,5=21 tdA=v×(t−0,5) dB=21×(1,25) 6 t=7 sdA=15 t+75 dB=26,25m tB=1,2h dB=21×t dB=21 ttA=1,75hdA=18m

6. Desde un mismo punto parten dos partículas con una rapidez constante de 108 Kmh y

22ms respectivamente. Si el primero sale 3min antes que el segundo. Calcular la

distancia que los separa a las 0,08h de haber salido el segundo cuando:a) Llevan la misma dirección y sentido contrariob) Llevan la misma dirección y sentido

Datos

vA=108ms

vB=22 ms

tA=t+180 s

tB=t

tT=288 s

28

Solución

dA1=30×180 dA1=5400

dA 2=30×280dA 2=8400 db1=22,28mdB2=6336m

Movimiento rectilíneo uniformeActividad en clase de mruv

Cuando se aplican los frenos de un auto animado de movimiento rectilíneo, su velocidad es de

(−12 i→

−39 j→)km/h. Si el auto se detiene en 4s, determinar la aceleración producida por los

frenos y el desplazamiento realizado

Datos:

Vo= (−12 i→

−39 j→)km/h. = (−20 i

→

−10 j→)m/s

Vo=22.36

V=(o i→+0 j→)

V=0

T=4 solucion:

A= v−vot

A= −22.36t

A=-5.59m/s2

A= vo→

vo

29

A= (−20 i→

−10 j→ )

22.36

A=(−0.88 i→

−0.44 j→ ) (−5.59 )

A=(−4.97 i→

+2.45 j→)

D= ( vo−v

2¿ t

D= ( 22,36

2¿ 4

D=44.72

Ar→

=(−0.88 i→

−0.44 j→) ( 44.72 )

Ar→

=(−39.80 i→

−19.67 j→ )

Un móvil animado de movimiento rectilíneo tiene una velocidad de (12m/s30E), se le comunica una desaceleración de modulo 3m/s2 durante 3s, determinar la velocidad final, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Datos:

Vo=(−0.26 i→

−11.99 j→ )

Vo=11.99

A=-3

T=2

Solución:

V=vo+at

V=11,99+(-3)(2)

V=5.99

v→

=(2.99 i→

−5.19 j→ )

D=( vo−v

2¿ t

D=( 11.99+5.99

2¿2

D=17.98

Ar→

=(8.99 i→

−15.58 j→ )

30

Un móvil que tienen movimientos rectilíneo freno con una aceleración de (−1.4 i→

+1.6 j→) m/

s2 durante 3s. Si durante el frenado recorre una distancia de 45m, determinar qué velocidad llevaba el móvil antes de com3enzar a frenar, el desplazamiento realizado y la velocidad final

Datos:

A=(1.4 i→

−1.6 j→ )

A=-2.12

T=3

D= 45

Solución :

Vo= 2d−a t 2

2 t

Vo=90+19.08

2t 6

Vo= 18.18

V= 16.18-6.36

V=11.82

D= 45

vo→

=(−11.99 i→

+13.70 j→)

v→

=(−7.80 i→

+8.91 j→)

ar→

=(−29.7 i→

+33.93 j→)

31


Lección de física Un tren va a 72m/h cuanto tiempo y a que distancia antes de llegar s la estación deberá el maquinista aplicar los frenos si la aceleración que estos producen es 3600m/min2

Datos:

Vo: 20m/s

A=-1

V=0

Solución:

T= (v−voa

¿

T= (−20−1

¿

T=20s

D=(vo+v

2¿ t

D=(202

¿20

D=20m

Un móvil parte del reposo y durante 5s acelera a razón de 4m/ s2y luego desacelera durante 8s hasta que se detiene. Hallar la distancia recorrida

Datos:

Vo=0

T1=5

A=4

-a=??

T2=8

32

V=0

D=??

Solución:

V=vo+at

V=0+(4)(5)

V=20

D1=(vo+v

2¿ t

D1=(202

¿5

D1=50m

A= v−vot

A= 0−20

8

A=-2.5

D2=vo+v

2¿ t

D=20(8)+1/2(-2.5)(4)

D= 160-80

D=80 m

Dr= 80 +50

Dr=130 m

En una competencia dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con una rapidez de 8m/s y de 12m/s y con una aceleración de 4m/s2 y 2m/s2.¿en que instante se vuelve a encontrar?

D1=d2

Vot+1/2at 2 = Vot+1/2at 2

8t +1/2(4)t 2 = 12t+1/22t 2

8t+2t 2 = 12t+t 2

t 2 =4t

t 2 -4t=0

T(t-4) =0

33

T=4

Dos móviles se encuentran sobre una pista rectilínea, ubicados en un mismo punto, si ambos parten al mismo tiempo con una aceleración constante de 3m/s2 y 5m/s2 y en el mismo sentido. En qué tiempo estarán distanciados entre sí en 144m

Db=da+ds

Vot+1/2at 2 = Vot+1/2at 2+144

5t 2 = 3t2

2+144

5t 2 = 6 t2

2+288

5t 2 = 3 t 2+288

2t 2= 288

√ t2=√144

T= 12 s

Actividad grupal

Primero de bachillerato

Un móvil con una rapidez constante de 32.4Km/h parte del punto (45,-18)m y moviéndose rectilíneamente llega al punto (-12.31)m. Determinar el tiempo empleado , el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Ar→

=812.319+(−45+18)

Ar→

=(−57+49)

D= 75.16

T=d/v

T= 75.160/9

T= 8.35 s

Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad constante (−14 i→

−18 j→ )m/s se

encuentra en el punto (5,-8)m en t= 15s. Determinar la posición que tuvo el móvil en t= 5s , el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Ar→

=(−14 i→

−18 j→) (10 )

Ar→

=(−140 i→

−180 j→ )

34

Ro= ¿ (5 i→−8 j→)−(−140 i

→

−180 j→)

Ro= ¿ (145 i→

−172 j→)m

D=228.03m

La distancia entre A y B es de 3200km.Un avión sale de A hacia B a las 8 a.m a un velocidad de 500km/h. A las 9 a.m sale otro avión de B hacia A con una velocidad de 400km/h. Hallar a que distancia de B se encontraran y a que h0ora

Dos coches salen a su encuentro uno de Quito y otro de Guayaquil. Sabiendo que a distancia entre ambas capitales es de 443km y que sus velocidades respectivas son de 78km/h y 62km/h y que el coche de quito salió hora y media más tarde, calcular tiempo que tardan en encontrarse y ¿a qué distancia de Quito lo hacen?

Dt =d1 + d2

443=788t-1.5) +62t

443=78t-117t+62t

443=140t -117

560=140t

4=t

D1=78(4-15)

D1= 7882.5)

D1=195 km

Dos puntos A y B están en la misma horizontal. Desde A parte hacia b un móvil con una velocidad constante de 60km/h. simultáneamente y desde B parte hacia A otro móvil con una rapidez constante de 12.5m/s si se encuentra a las 3 horas de haber partido ¿ cuál es la distancia entre A y B ?

Deberes


Actividad en clase Una partícula recorre 1.080 km con una velocidad constante de (-12 i

→

+9 j→

) m/s. Hallar el

tiempo empleado, el desplazamiento realizado el vector unitario del desplazamiento y la velocidad

Datos:

D= 1080m

35

v→

=(-12 i→

+9 j→

) ❑⇒ 15ms

Solución :

T= d/v

T= 1080/15

T=72

Ar→

=(-12 i→

+9 j→

)(72)

Ar→

=(-864 i→

+648 j→

)

uAr→

=(-864 i→

+648 j→

)/ 1080

uAr→

=(-0.8 i→

+0.6 j→

)

uv→

=(-12 i→

+9 j→

)/15

uv→

=(-0.8 i→

+0.6 j→

)

Un viajero sorprendido por una tormenta ve el relámpago de una descarga eléctrica a (4.08km;S250) y oye el trueno a los 12s. Determinar la velocidad y la rapidez del sonido, el vector unitario del desplazamiento y de la velocidad

Una partícula parte del punto (5,-3) m y se mueve con una velocidad constante de (14 i→

−17 j→

)

m/s durante 7s. Determinar el desplazamiento realizado, la posición alcanzada por la partícula y la distancia

Datos:

ro→

= (5,-3)

v→

= (14 i→

−17 j→

)

T=7

Solución:

Ar→

= (14 i→

−17 j→

) (7)

Ar→

= (98 i→

−119 j→

)

rf→

= (5,-3) (98 i→

−119 j→

)

rf→

(103 i→

−122 j→

)

D= 154.15

36

Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad constante de (-14 i→

−18 j→

)m/s se

encuentra el punto (5,-8)m en t = 15s. Determinar el desplazamiento realizado , la posición que tuvo el móvil en t =6s y la distancia recorrida

ACTIVIDAD EN CLASE

1. Una partícula animada de MRU, parte del punto (9,-3) m con una rapidez de 18K/h y luego de un determinado tiempo llega al punto (7,-6) m. Determina el desplazamiento realizado, la distancia recorrida, el tiempo empleado y la velocidad empleada.Datosro = (9,-3) mV = 18 Km/n ~ 5m/srf = (7,-6) m

Ar = (7,-6) m - (9-3) mAr = (-2, -3) md = 4 + 9 md = 3, 60mt = 3, 60m ÷ 5m/st = 0, 725

v = (-2i - 3j) m / 0, 72sv (-2, 77i - 4,16j) m/s

2. Una partícula parte del punto (-5; 3)m y se mueve con una velocidad de (4i - 7j) m/sdurante 7 segundos. Determinar la posición alcanzada por la partícula, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida.Ar = (4i - 7j) m/8 (7) 8Ar = (28i - 49j) md = 3185d = 56, 43m

rf = (-5i + 3j) + (28i - 49j)rf = (23i - 446j) m

3. Dos puntos A y B están separados 100Km, desde A parte un móvil a B con una raides constante de 50Km/h simultáneamente y desde otro móvil con el mismo sentido de A con una rapidez constante dd 20Km/m. Hallar donde y cuando se encuentran.

37

dAB = 100KmVA = 50Km/m12B = 20Km/m 100Km 20Km/mA----------------B-------------->da = dAB + dB50t = 100 + 20b30t = 100t = 3.33hdA = (50Km/b) - (3.33h)dA = 166.5Km

4. Un deportista sale de su casa en bicicleta a las seis de la mañana . Al llegar a un cierto lugar, se ke estropea la bicicleta y ha de volver andando. Calcular a que distancia ocurrio el percance, sabiendo que la rapidez del desplazamiento ha sido de 30Km/h en bicicleta y 6 Km/h andando y que llego a su casa a la una de la tardet1 + 0 + td = 1.16ht2 = 7 - td = 5.83hd1 = V1 - t1

30 (0d1 = - 1, 16d1 = 34. 8Kmd2 = 6 - 5, 83d2 = 34, 9Km

d1 = d230 (0+ta) = 6 (7 - td)0 + 30td = 42 - 6td36td = 4ta = 1, 16hd = 34, 9Km

5. Un deportista recorre una distancia de 1000Km, parte en moto, parte en bicicleta. Sabiendo que las velocidades han sido de 120Km/h en la moto y 20Km/h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido de 15 horas, calcular los recorridos hechos en moto y en bicicleta.tt = 15ht1 = 15h - tbt2 = tbdm = 120 - 7

38

Ddm = 840Kmdb = 160Km

dt = d1 + d21000 = 120:(15-16) + 20 (tb)1000 = 1800 - 120tb + 20tb-800 = -1000tb8"= tbUNIDAD EDUCATIVA SANTA MARIA EUFRASIADEBER:Nº10

1. Dos atletas salen corriendo simultáneamente con el mismo nivel en el mismo sentido con rapidez constante de 10m/s 15m/s respectivamente. Calcular el tiempo para el cualestaran separados 200mDatosV1=10m/sV2=15m/sa=200mIncógnitast=??Soluciond2=d1+d2d2=×+200d1=v1 t1X=10t

d2=v1-t2X+200=15st

10t+200=15t200=15t-10t200=st=40s

2. Dos puntos A y B estan el la misma horizontal, desde A parte hacia B un movil con una rapidez constante de 60km/h, simultáneamente y desde B parte hacia A otro movil con una rapides constante de 12, 5m/s, si se encuentra a las 3 horas de haber partido cual es la distancia de A y B.Datos

39

V1 = 60 Km/hV2 = 12, 5m/sta = tb = t = 3hSOLUCIÓNda = va × tada = (60) (3)da = 180 Kmdb = vb×tb db = (45) (3)db = 135KmdAB = 315Km3. Dos moviles van al encuentro en sentido contrario con rapidez constante de 90 m/s y 60m/s. Respectivamente calcular la distancia que los separa si el tiempo que emplea en encontrarse es de 10sDATOSv1 = 90m/sv2 = 60m/sT = 10sSOLUCIÓNd= v×td = 90×10d = 900m d = 60×10d = 600m

d= 900 - 600 d = 300m

40

Movimiento rectilíneo uniformemente variado Movimiento rectilíneo uniformemente variado(MRUV)Este movimiento se caracteriza por tener una trayectoria rectilínea en sentido horizontal o inclinado, en este movimiento la rapidez o velocidad cambia en transcurso del tiempo, por causa de la aceleración.Cuando la velocidad o rapidez aumenta, la aceleración es de signo positivo y al movimiento se lo considera acelerado.Cuando la rapidez o velocidad disminuye es porque la aceleración es de signo negativo, razón por la cual se considera como movimiento desacelerado o retardado. Las magnitudes tanto escalares como vectoriales son:

Magnitudes escalares

41

Magnitudes Vectoriales

Magnitud

Distancia

Tiempo

Rapidez Inicial

Rapidez Final

modulo de la aceleracion

Simbolo d

t

Vo

V

a

Unidad SI

(m)

(s)

(m/s)

(m/s)

(m/s)²

42

Para resolver problemas se utilizan tanto formulas escalares como formulas vectoriales

Formulas Vectoriales Formulas Escalares V⃗=V⃗o+a⃗×t v=vo+a×t

A⃗r=( V⃗o+V⃗2

)t v2=vo2+2ad

A⃗r=V⃗o t+ 12a⃗ t2 d=( vo+v

2) t

V⃗m=( V⃗o+ V⃗2

) d=vo ∙ t+ 12a ∙ t2

Vm=( vo+v2

)

Con las formulas escalares se puede determinar el tiempo. Cada una de las formulas tiene 4 magnitudes razón por la cual se debe tener 3 datos numéricos y una incógnita para utilizar cualquiera de las formulas así:

vo v a t d

v=vo+a×t x x x x x

v2=vo2+2ad x x x x x

d=( vo+v2

) t x x x x x

d=vo ∙ t+ 12a ∙ t2 x x x x x

Las graficas del movimiento rectilíneo uniforme variado son: la distancia en función

Magnitud

Desplazamiento

Velocidad inicial

Velocidad Final

Aceleracion

SimboloAr

Vo

V

a

unidad SI(m)

(m/s)

(m/s)

(m/s)²

43

d (m) v ms

a es constante

t ( s ) t (s )

a ms

2

a es constante

t (s )

En la parte vectorial, los vectores: velocidad inicial, velocidad final, aceleración y desplazamiento, se dirigen en la misma línea recta, es decir tienen la misma dirección y sentido, razón por la cual los vectores unitarios son iguales.

Movimiento Acelerado

v⃗

A⃗r

v⃗o

a⃗

U⃗Ar=U⃗a=U⃗vo=U⃗v Tienen la misma direccion y sentido

Movimiento Retardado

v⃗

v⃗o A⃗r

a⃗

U⃗Ar=U⃗a=U⃗vo=U⃗v La aceleracion cambia de sentido

Despeje de Formulas

44

v=vo+a ∙ t v2=vo2+2ad d=vo ∙ t+ 12∙ a ∙ t2

vo=v−a∙ t vo=√v2−2ad vo=d− 1

2∙ a ∙ t2

t

a= v−vot a= v

2−vo2

2d a=

2(d−vo ∙t )t 2

t= v−voa d= v

2−vo2

2a

d=( vo+v2 ) tt=( 2d

vo+v )vo=2d−vt

t

v= 2dt

−vo

Problemasa) Un cuerpo parte del reposo en una carretera recta, adquiere una velocidad de

(−64 i⃗−88 j⃗ ) msen10 s.Determinar

a) La aceleración producidab) La velocidad mediac) La rapidez mediad) Desplazamiento realizadoe) Distancia recorrida

Datos Grafica

v⃗=(−64 i⃗−58 j⃗)ms

45

t=10 s

v⃗o=(0 i⃗+0 j⃗)ms inicio movimiento

Reposo vo=0 v⃗

Incógnitas

a) a⃗b) U⃗mc) Umd) A⃗re) d

Solución

a) a⃗= v⃗− v⃗ot

a⃗=(−64 i⃗−58 j⃗) m

s−(0 i⃗+0 j⃗)m

s10 s

a⃗=(−64 i⃗−58 j⃗) m

s10 s

a⃗=(−6,4 i⃗−0,8 j⃗)ms

2

b) U⃗m= v⃗o+v⃗2

U⃗m=(−64 i⃗−58 j⃗)m

s−(0 i⃗+0 j⃗ )m

s2 s

U⃗m=(−32 i⃗−29 j⃗) ms

2

c) Um=√1024+841

Um=43,18 ms

d) A⃗r=(−32 i⃗−29 j⃗) ms

2

×10 s

A⃗r=(−320 i⃗−290 j⃗)me) d=√(−320)2+(−290)2

d=431,85m

b) Un móvil arranca y recorre 125mcon una aceleración de (−1,1 i⃗+1,4 j⃗)ms

2

por una

trayectoria rectilínea. Determinar :a) Tiempo empleado

46

b) Desplazamiento realizadoc) Velocidad finald) Velocidad mediae) Rapidez media

Datos Grafico

d=¿125m

a⃗=(−1,1 i⃗+1,4 j⃗)ms

2

v⃗o=(0 i⃗+0 j⃗)ms a⃗

vo=0ms

Incógnitas

a) tb) A⃗rc) v⃗d) U⃗me) Um

Solución

a) d=vo ∙ t+ 12∙ a ∙ t2

125=12

(1,78)t 2

2(123)1,78

= t2

t=11,85 s

b) A⃗r= v⃗o ∙t+12∙ a⃗∙ t 2

A⃗r= 12∙(−1,1 i⃗+1,4 j⃗)(11,85)2

A⃗r=(−77,24 i⃗+98,31 j⃗)mc) v⃗=v⃗o+a⃗ ∙ t

v⃗=(−1,1 i⃗+1,4 j⃗ )(11,85)

v⃗=(−13,04 i⃗+16,54 j⃗) ms

d) U⃗m= v⃗o+v⃗2

U⃗m=(−13,04 i⃗+16,54 j⃗)U⃗m=(−6,52 i⃗+8,21 j⃗ )

47

e) Um=10,48

Problemas de movimiento rectilíneo uniformemente variado

1. Una partícula arranca y cuando ha recorrido 0,749 Km por una trayectoria rectilínea,

su velocidad es (−18 i⃗+15 j⃗ )ms . Calcular la aceleración producida, el tiempo

transcurrido y el desplazamiento realizado.

Datos Grafico

v⃗o=(0 i⃗+0 j⃗)ms

vo=0ms v⃗

d=0,749Km→749m

v⃗o=(−18 i⃗+15 j⃗ ) ms

Incógnitasa) a⃗b) tc) A⃗r

Solución

a) v=23,43ms

U⃗v=(−0,76 i⃗+0,64 j⃗)

a= v2−vo2

2d

a= 23,432

2(749)

a=0,37 ms

2

a⃗=a ∙ U⃗a

a=0,37 ms

2

×(−0,76 i⃗+0,64 j⃗)

a⃗=(−0,28 i⃗+0,23 j⃗) ms

2

b) t= v−voa

t=23,43−00,37

48

t=63,32 sc) A⃗r=d ∙U⃗ArA⃗r=749 ∙(−0,76 i⃗+0,64 j⃗)A⃗r=(−569,24 i⃗+479,39 j⃗)m

Problemas de movimiento rectilíneo uniformemente variado (retardado)

1. Cuando un móvil viaja por una carretera con una velocidad de (80 i⃗−95 j⃗) ms se

aplican los frenos durante 8 s los mismos que producen una aceleración negativa de

modulo 0,7 ms

2

. Hallar la velocidad alcanzada, el desplazamiento realizado y la

distancia recorrida durante el frenado.

Datos Grafico

v⃗o=( 80 i⃗−95 j⃗ ) msvo=124,19m

s

t=8 s

a=−0,7 ms

2

v⃗o

U⃗vo=(0,64 i⃗−0,74 j⃗)

Incógnitas

a) v⃗b) A⃗rc) d

Solución

a) v=vo+a ∙ tv=124,19+(−0,7)∙8

v=118,6 ms

v⃗=v ∙U⃗v

v⃗=(75,9 i⃗−90,14 j⃗ )ms

b) A⃗r=d ∙U⃗ArA⃗r=(621,57 i⃗−739,39 j⃗)m

49

c) d=( vo+v2 ) t

d=( 124,19+118,62 )t

d=968,02m

Problemas MRUV Escalares

1. Un automóvil inicialmente en reposo puede desarrollar una rapidez de

180 Kmhen10 s, determinar el tiempo que demora en recorre los siguientes 240m,

con la misma aceleración. t 1=10 s t 2=?

vo=0240m

aA= v−vot v2B=vo2+2ad

aA=50−010 v2B=502+2 (5 )(240)

aA=5 ms

2

v2B=2500+2400

vB=√4900

vB=70 ms

t= v−voa

t=70−505

t=4 s

2. Un móvil que parte del reposo recorre 30m durante los dos primeros segundos. Cuanto recorrerá en los 2 s siguientes.

Datos Grafico

voA=0ms

voB=30 ms 30m

d=30mt=2 s

Incógnita

50

dB

Solución

a=2(d−vo ∙t )t 2

vB=vo+a∙ t

a=2(30−0 ∙2)22 vB=0+15∙2

a=15ms

2

vB=30 ms

d=vo ∙ t+ 12∙ a ∙ t2

d=30∙2+ 12∙15 ∙22

d=90m

3. Un móvil que parte del reposo pasa por un primer punto una rapidez de 10 ms y por un

segundo punto esta 100m del primero 30 ms . Determinar el espacio total recorrido.

Datos Grafica

vA=10ms vo=0v=10 v=30

vB=30 ms dB=100

dB=100m

Incógnita

dAB=?

Solución

d= v2−vo2

2a a= v

2−vo2

2d

d=102−02

2(4) a= 302−102

2(100)

d=12,5m a=4 ms

2

dT=112,5m

Problemas Escalares de dos Cuerpos

51

1. Dos estaciones de ferrocarril se encuentran separados 200m en línea recta. Si parten simultáneamente dos trenes en sentido contrario, uno de cada estación. El primero

parte del reposo con aceleración constante de 8ms2 y el segundo con rapidez constante

de 20 ms2 . Hallar donde y cuando se encuentran

Datos GraficodAB=200m 200m

voA=0ms tA= t

a=8 ms2 vo=ov=8 tB=t

vB=20 ms dA=x v=20

SimultáneamentetA=tB=tdA+dB=200dB=200 – x

Incógnitastd

SoluciónMRUV MRU

d=vo ∙ t+ 12∙ a ∙ t2 d=vo ∙ t

x=0,5+8∙ t 2 200−x=20 ∙tx=4 t 2

200−4 t 2=20 t−4 t2−20t+200=0

x=−b±√b2−4ac2a

x=20±√(−20)2−4 (200 )(−20)2(−4)

x=20±60−8

x1=−10x2=5

MRUV

MRU

52

2. Dos vehículos están separados 100m uno delante de otro. Parten del reposo

simultáneamente y en el mismo sentido, el primero con una aceleración de 4ms2

y el

segundo con aceleración de 6ms2 . ¿En qué instante el segundo vehículo alcanza al

primero?

Datos Graficad=100m d=100m

voA=0ms a=4 vo=0

voB=0 ms dB=x+100

a=4 ms2

voB=100 a=6

a=6 ms2 tB=t

SimultáneamentetA=tB=t

dB=dA+100dB=x+100

Solución

d=vo ∙ t+ 12∙ a ∙ t2

dA=vo ∙ t+ 12∙ a ∙t 2 dB=vo ∙ t+1

2∙a ∙ t 2

x=0,5 (4) t 2 dB=0,5(6) t 2

x=2 t2 dB=3 t2

2 t2+100=3 t2

100=3t 2−2 t 2

100= t2

t=√100

t=10 s

Actividad en clase de mruv

53

Cuando se aplican los frenos de un auto animado de movimiento rectilíneo, su velocidad es de

(−12 i→

−39 j→)km/h. Si el auto se detiene en 4s, determinar la aceleración producida por los

frenos y el desplazamiento realizado

Datos:

Vo= (−12 i→

−39 j→)km/h. = (−20 i

→

−10 j→)m/s

Vo=22.36

V=(o i→+0 j→)

V=0

T=4 solucion:

A= v−vot

A= −22.36t

A=-5.59m/s2

A= vo→

vo

A= (−20 i→

−10 j→ )

22.36

A=(−0.88 i→

−0.44 j→ ) (−5.59 )

A=(−4.97 i→

+2.45 j→)

D= ( vo−v

2¿ t

D= ( 22,36

2¿ 4

D=44.72

Ar→

=(−0.88 i→

−0.44 j→) ( 44.72 )

Ar→

=(−39.80 i→

−19.67 j→ )

Un móvil animado de movimiento rectilíneo tiene una velocidad de (12m/s30E), se le comunica una desaceleración de modulo 3m/s2 durante 3s, determinar la velocidad final, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

54

Datos:

Vo=(−0.26 i→

−11.99 j→ )

Vo=11.99

A=-3

T=2

Solución:

V=vo+at

V=11,99+(-3)(2)

V=5.99

v→

=(2.99 i→

−5.19 j→ )

D=( vo−v

2¿ t

D=( 11.99+5.99

2¿2

D=17.98

Ar→

=(8.99 i→

−15.58 j→ )

Un móvil que tienen movimientos rectilíneo freno con una aceleración de (−1.4 i→

+1.6 j→) m/

s2 durante 3s. Si durante el frenado recorre una distancia de 45m, determinar qué velocidad llevaba el móvil antes de com3enzar a frenar, el desplazamiento realizado y la velocidad final

Datos:

A=(1.4 i→

−1.6 j→ )

A=-2.12

T=3

D= 45

Solución :

Vo= 2d−a t 2

2 t

Vo=90+19.08

2t 6

Vo= 18.18

V= 16.18-6.36

55

V=11.82

D= 45

vo→

=(−11.99 i→

+13.70 j→)

v→

=(−7.80 i→

+8.91 j→)

ar→

=(−29.7 i→

+33.93 j→)


Lección de física Un tren va a 72m/h cuanto tiempo y a que distancia antes de llegar s la estación deberá el maquinista aplicar los frenos si la aceleración que estos producen es 3600m/min2

Datos:

Vo: 20m/s

A=-1

V=0

Solución:

T= (v−voa

¿

T= (−20−1

¿

T=20s

D=(vo+v

2¿ t

D=(202

¿20

D=20m

56

Un móvil parte del reposo y durante 5s acelera a razón de 4m/ s2y luego desacelera durante 8s hasta que se detiene. Hallar la distancia recorrida

Datos:

Vo=0

T1=5

A=4

-a=??

T2=8

V=0

D=??

Solución:

V=vo+at

V=0+(4)(5)

V=20

D1=(vo+v

2¿ t

D1=(202

¿5

D1=50m

A= v−vot

A= 0−20

8

A=-2.5

D2=vo+v

2¿ t

D=20(8)+1/2(-2.5)(4)

D= 160-80

D=80 m

Dr= 80 +50

Dr=130 m

En una competencia dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con una rapidez de 8m/s y de 12m/s y con una aceleración de 4m/s2 y 2m/s2.¿en que instante se vuelve a encontrar?

57

D1=d2

Vot+1/2at 2 = Vot+1/2at 2

8t +1/2(4)t 2 = 12t+1/22t 2

8t+2t 2 = 12t+t 2

t 2 =4t

t 2 -4t=0

T(t-4) =0

T=4

Dos móviles se encuentran sobre una pista rectilínea, ubicados en un mismo punto, si ambos parten al mismo tiempo con una aceleración constante de 3m/s2 y 5m/s2 y en el mismo sentido. En qué tiempo estarán distanciados entre sí en 144m

Db=da+ds

Vot+1/2at 2 = Vot+1/2at 2+144

5t 2 = 3t2

2+144

5t 2 = 6 t2

2+288

5t 2 = 3 t 2+288

2t 2= 288

√ t2=√144

T= 12 s

Actividad grupal Primero de bachillerato

Un móvil con una rapidez constante de 32.4Km/h parte del punto (45,-18)m y moviéndose rectilíneamente llega al punto (-12.31)m. Determinar el tiempo empleado , el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Ar→

=812.319+(−45+18)

Ar→

=(−57+49)

D= 75.16

T=d/v

T= 75.160/9

58

T= 8.35 s

Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad constante (−14 i→

−18 j→ )m/s se

encuentra en el punto (5,-8)m en t= 15s. Determinar la posición que tuvo el móvil en t= 5s , el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Ar→

=(−14 i→

−18 j→) (10 )

Ar→

=(−140 i→

−180 j→ )

Ro= ¿ (5 i→−8 j→)−(−140 i

→

−180 j→)

Ro= ¿ (145 i→

−172 j→)m

D=228.03m

La distancia entre A y B es de 3200km.Un avión sale de A hacia B a las 8 a.m a un velocidad de 500km/h. A las 9 a.m sale otro avión de B hacia A con una velocidad de 400km/h. Hallar a que distancia de B se encontraran y a que h0ora

Dos coches salen a su encuentro uno de Quito y otro de Guayaquil. Sabiendo que a distancia entre ambas capitales es de 443km y que sus velocidades respectivas son de 78km/h y 62km/h y que el coche de quito salió hora y media más tarde, calcular tiempo que tardan en encontrarse y ¿a qué distancia de Quito lo hacen?

Dt =d1 + d2

443=788t-1.5) +62t

443=78t-117t+62t

443=140t -117

560=140t

4=t

D1=78(4-15)

D1= 7882.5)

D1=195 km

Dos puntos A y B están en la misma horizontal. Desde A parte hacia b un móvil con una velocidad constante de 60km/h. simultáneamente y desde B parte hacia A otro móvil con una rapidez constante de 12.5m/s si se encuentra a las 3 horas de haber partido ¿ cuál es la distancia entre A y B ?

59


Actividad en clase Una partícula recorre 1.080 km con una velocidad constante de (-12 i

→

+9 j→

) m/s. Hallar el

tiempo empleado, el desplazamiento realizado el vector unitario del desplazamiento y la velocidad

Datos:

D= 1080m

v→

=(-12 i→

+9 j→

) ❑⇒ 15ms

Solución :

T= d/v

T= 1080/15

T=72

Ar→

=(-12 i→

+9 j→

)(72)

Ar→

=(-864 i→

+648 j→

)

uAr→

=(-864 i→

+648 j→

)/ 1080

uAr→

=(-0.8 i→

+0.6 j→

)

uv→

=(-12 i→

+9 j→

)/15

uv→

=(-0.8 i→

+0.6 j→

)

Un viajero sorprendido por una tormenta ve el relámpago de una descarga eléctrica a (4.08km;S250) y oye el trueno a los 12s. Determinar la velocidad y la rapidez del sonido, el vector unitario del desplazamiento y de la velocidad

Una partícula parte del punto (5,-3) m y se mueve con una velocidad constante de (14 i→

−17 j→

)

m/s durante 7s. Determinar el desplazamiento realizado, la posición alcanzada por la partícula y la distancia

Datos:

ro→

= (5,-3)

v→

= (14 i→

−17 j→

)

T=7

Solución:

12002000500

ddd

60

Ar→

= (14 i→

−17 j→

) (7)

Ar→

= (98 i→

−119 j→

)

rf→

= (5,-3) (98 i→

−119 j→

)

rf→

(103 i→

−122 j→

)

D= 154.15

Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad constante de (-14 i→

−18 j→

)m/s se

encuentra el punto (5,-8)m en t = 15s. Determinar el desplazamiento realizado , la posición que tuvo el móvil en t =6s y la distancia recorrida

Unidad Educativa Santa María EufrasiaDeber#: 1 Fecha: Curso: 1ero bachillerato ¨E¨

Nombre: .. Quimestre: 2do Parcial: 2do

1. La distancia entre A y B es de 3200km un avión sale de A hacia B a las 8am a una velocidad de 500km/h A las 9am sale otro avión de B hacia A con una velocidad de 400km/h. Hallar a que distancia de B se encontraran y a qué hora

Datos: Solución:

Va=500km/h da=500(tf-8) db =400(tf-4)

Ta= tf-8 da=500tf-4000 db=400tf-3600

Da=???

Vb=400km/h

Tb=tf-4

Vb=??

Dos coches salen a su encuentro, un de Quito y otro de Guayaquil sabiendo que la distancia entre ambos capitales es de 443km y que sus velocidades respectivas son 78km/h y 62km/h y que el coche de Quito salió hora y media más tarde calcular tiempo que tardara en encontrase lo y a qué distancia de Quito lo hacen?

Datos: Solución:

3200=dΔ+dbdb=500 tf−85dΔ=500 tf−4000

32=500 tf−400 ct+400 tf−360010800=900 tf10800900

=tf

12am=tf

db=400 (tf−a )db=400tf−3600

1800

360

dd

61

Dos puntos Ay B están en la misma horizontal .Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez contante de 60km/h simultáneamente y desde B parte hacia A otro móvil con una rapidez contante de 125m/s si se encuentran a las 3 horas de haber partido ¿Cuál es la distancia entre a y b?

Datos: Solución:

db=45 (3 )db=135d 1mb=315Km //

62


Nombre: .. Quimestre: 2do Parcial: 2do

Formulas

d=(Vo+V2 ) t(Vo+V2 ) t=d(0+V ) t=2d

t=2dVotv

(Vo+V2 ) t=d(Vo+V ) t=2d

Vo+V=2dt

Vo=2dt

−V

(Vo+V2 ) t=d(Vo+V ) t=2d

Vo+V=2dt

V=2dt

−Vo

Vo=Vo2+2adVo=√Vo2+2ad

a=V2−Vo2

2d

a=V2−Vo2

2a

V=Vo+atV=Vo−at

a=V−Vdt

t=V−Voa

d=Vo. t+12at2

Vo . t+12at 2=d

Vo=d−1

2at 2

t

Vo . t+12at

2=d

12at

2=d−Vo−t

a=(d−Vo−t )2

t 2

63

Unidad Educativa Santa María EufrasiaDeber#:3 Fecha: Curso: 1ero bachillerato ¨E¨

Nombre: .. .. Quimestre: 2do Parcial: 2do

Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad (-8i+6j) m/s recorre 21,6m con una aceleración de módulo 0.8m/s2Determinar la velocidad alcanzada, el tiempo empleado y el desplazamiento realizado

Datos: Solución:

Un cuerpo que se mueve por una trayectoria rectilínea con una aceleración contante de (-1.1i-1.4j)m/s2, recorre una distancia de 0.275km entre dos puntos Ay B en 12s calcular la velocidad inicial en A la velocidad final en B y desplazamiento

Datos: Solución:

a=(−1,1 i−1,4 j )ms2→

a=1,78

d=0,275km⇒

275m

T=125

Incógnitas

U⃗vo=(−8 i+6 j⃗ )10

u⃗=(−0 . 8 i⃗+0 .6 j⃗ ) (21. 6 )Δ⃗R=(−17 .28 i⃗+12. 96 j⃗) //

V⃗o=(−8 i+6 j⃗ )ms

Vo=10d=21. 6m

a=0 .8ms

Incognitast=??V⃗=??ΔR=??

V=√Vo2+2ad=V=√102+2 (0 .8 ) (21.6 )V=√100+11. 6 x21 .6V=√100+34 .56V=11.6

t=(11.6−100 .8 )←t=V .Vo

at=25 //

U⃗aR=(−1. 1 i⃗−1. 4 )1 . 78 → V⃗aR=

a⃗a

U⃗aR=(−0 .61 i⃗−0 .78 j⃗ )→U⃗v=V⃗o−U⃗ΔRΔ⃗R=275 (−0 .6 i⃗−0. 78 j⃗ )Δ⃗R=(−167 .75 i⃗−214 .5 j⃗ ) //

64

VOA=??→

VB=? ?→

VR=? ?→

VO¿ 2d−a+22a2+¿¿

vo=2 (275 )−¿¿

vo=d 550−206,3224

vo=293.6824

vo=12,23

vo=(−0,0→−0,78 )(12,23)

❑

vo= (-7,46 i→

-9,53)

Un móvil parte del reposo en una carretera recta con una aceleración de (1.44i+2.63j)m/ s2 que mantiene durante 3s determinar la velocidad final y el desplazamiento realizado

Datos: Solución:

a)

b)

Una partícula parte con una rapidez de 3m/s por una trayectoria rectilínea y con una aceleración de módulo 1.4m/s2 cuando la velocidad es (-16i+19j) m/s calcular el tiempo empleado en alcanzar esta velocidad, la aceleración, la velocidad inicial el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

V⃗=V⃗o+a−1V⃗=(1. 44 i⃗+2 . 6311⃗ )(3)

V⃗=(4 . 32 i⃗+7 . 893 1⃗)ms

ΔR=(Vo+V2 )ΔR=(4 .32 1⃗+7 .893

2 )(3 )

ΔR=(6 . 48 1⃗+11. 84 1⃗ )

a⃗=(1 . 44 1⃗+2 .631 1⃗)ms2

d=3 s

V⃗o=(0 1⃗+0 1⃗)ms

Vo=0ms

IncognitasV⃗=??Δ⃗ R=??

65

Datos: Solución:

t=V−Voa

t=24 .83−31. 4

t=15.59 s //

N⃗V=(−0 .044 i⃗+0 .705 j⃗ )ms

d=216 . 99m //

a⃗=d . V⃗Va⃗=1.4 (−0 .04 i⃗+0. 70 j⃗ )

a⃗=(−0 . 89 i⃗+1 .06 j⃗ )ms2

V 2=Vo2+2ad616 . 528=9+12. 8 (d )607 . 57828

=d

d=216 . 97

a⃗=(−0. 90 i⃗+1. 05 j⃗ )ms2

V⃗o=(−1 . 93 i⃗+2 .26 j⃗ )ms

Δ⃗o=(139. 72 i⃗+165 . 98 j⃗ )

V⃗o=Vo .V⃗voV⃗o=3 (0 . 64 i⃗+0. 76 j⃗ )

V⃗o=(−1 . 92 i⃗+2 .28 j⃗ )ms

Vo=3ms

d=1. 4ms

V⃗=(−10 i⃗+19 j⃗)ms

Incognitast=??a⃗=??V⃗o=??Δ⃗R=??d=??

)115,55135,24()5)(103,11187,5(

2

)189,047,0(99,4

)141,435,2(5

)110()07,22174,11(

)141,417,11(

RR

vvoR

Naa

aa

aS

a

avvova

66



Un móvil arranca provisto de una aceleración de (-1.3i+0.7j)m/s2y se mueve por una trayectoria recta durante 0.45 min. Calcular la velocidad final, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida

Datos:

∂=1,47

Solución:

(27)

Un cuerpo que parte del reposo en una carretera recta, adquiere una velocidad de (25m/s; S28° E) en 5s. Determinar la aceleración producida y el desplazamiento realizado.

Datos: Solución:

V⃗o=(0 1⃗+0 1⃗)m

Vo=0ms

a⃗=(−1 .3 1⃗+0 . 71⃗ )ms2

+= 0 ,45 min→27 sIncognitasV⃗=??Δ⃗ R=??d=??

V⃗o=V⃗o .∂⃗ .+

V⃗o=(−1,3 1⃗+0 ,⃗71 )ms.275

V⃗o=(−35 ,11⃗+18 ,9 1⃗)ms

V⃗o=√ v⃗V=39 ,9V⃗=V⃗o+a+

V⃗=(−0 ,87 j⃗+ 0 ,47 1⃗)→V⃗V

d=vo+v (+)2

d=0+392

d=538 ,65Δ R⃗=(−468 ,621⃗+253 ,17 j⃗ )

V⃗o=(0 .1⃗+0 1⃗ )ms

Vo=0

V=(1 ,ms;5280 E )+5 s

↓(1 ,74 1⃗−22 ,07 1⃗ )Incognitasa⃗=??Δ⃗ R=??

)115,55135,24()5)(103,11187,5(

2

)189,047,0(99,4

)141,435,2(5

)110()07,22174,11(

)141,417,11(

RR

vvoR

Naa

aa

aS

a

avvova

67

Una partícula arranca y cuando ha recorrido 1200m por una trayectoria rectilínea, su velocidad es (50m/s; N35 °E).Calcular la aceleración producida, el tiempo transcurrido y el desplazamiento realizado.

Datos: Solución:

Un móvil arranca y recorre 100m con una aceleración de (2m/s2; S22O) por una trayectoria rectilínea. Determinar el tiempo empleado, el desplazamiento realizado y la velocidad final.

Datos: Solución:

d=1200m

V⃗=(50m sn35° 3)V⃗=(32 .14 i⃗+4096 j⃗ )V⃗o=(0 i⃗+0 j⃗ )V⃗o=0V=52.06Incognitast=??Δ⃗R=??

t=2dVotV

t=2 (1200 )52 .06

t=46 .10 //

U⃗aR=(32 .14 i⃗+40.96 j⃗40.10 )

U⃗aR=( 0 .69 i⃗+0 .88 j⃗ )U⃗aR=( 0 .69 i⃗+0 .88 j⃗ )1200Δ⃗R=(828 i⃗+1056 j⃗ )

t=V−Voa

t=202

t=10 s

V⃗=V . U⃗VV⃗=20 (−0 .38 i⃗−0 .93 j⃗ )V⃗= (−7 .6 i⃗−18 .6 j⃗ )

Incognitast=??Δ⃗R=??V⃗=??

V⃗o=(0 i⃗+0 j⃗ )Vo=0d=100m

a⃗=(2ms2522 ° 0)a⃗=(−0 .79 i⃗−1 .85 j⃗ )2 x ( 0 .79 i⃗−1 .85 j⃗ )a=19 . 99Δ⃗R=d .VΔΔ⃗R=100−( 0. 38 i⃗−0 . 03 j⃗ )Δ⃗R=(38 i⃗−93 j⃗ )

V=√Vo2 2ajV=√2(2)(100 )V=√4 (100)V=√400V=20

68

La velocidad de un móvil animado de movimiento rectilíneo pasa de (11.25i-9.92j)m/s a (30i-26.45j) m/s por la acción de una aceleración de módulo 0.6m/s2. Determinar el tiempo empleado, la velocidad media y el desplazamiento realizado

Datos: Solución:

Un móvil va por una carretera recta con una rapidez de 5m/s, es la acelerado durante 10s, tiempo en el que realiza un desplazamiento de (65i+84j) m. determinar la aceleración producida, la velocidad inicial y la velocidad final

Datos: Solución:

V⃗m=V⃗o+ V⃗2

V⃗m=(11. 25 i⃗−9 . 92 j⃗ )+(30 i⃗−26 .45 j⃗ )2

V⃗m=( 41. 25 i⃗−36 . 37 j⃗ )2

V⃗m=(20 . 63 i⃗−18 .19 j⃗ )

t=V−Voa

t=39 . 99−14 . 990 . 6

t=250 . 6

t=41. 66 s

V⃗o=(11.25 i⃗−9. 92 j⃗ )ms

V⃗= (30 i⃗ 26 .45 j⃗ )m

a=0 .6ms

t=??V⃗m=??Δ⃗R=??

a=(d−Vo . t )Y 2−t

2

d2=(106 .21−5 .10 )102

a=56 . 2150

a=1. 12

V⃗o=Vo .U⃗VoV⃗o=5 (0 .61 i⃗+0 .79 j⃗ )V⃗o=(3 .05 i⃗+3 .95 j⃗ ) //

V⃗=V⃗o+a⃗tV⃗= (3. 05 i⃗+3 .95 j⃗ )+ (0 . 68 i⃗+0 .68 ) (10 )V⃗= (4 . 9 i⃗+12. 75 j⃗ )

Vo=5ms

t=10 sΔ⃗ R=(65 i⃗+84 j⃗)d=100. 21Incognitasa=??V⃗o=??V⃗=??

69



Cuando un cuerpo tiene una trayectoria de (28i+35j) m/s frena uniformen te hasta alcanzar el reposo en una distancia de 150. Calcular la aceleración producida por los frenos, cuánto tiempo se necesita para que el cuerpo llegue al reposo y el desplazamiento realizado.

Datos: Solución:

Al aproximarse un tren a la estación por una vida recta, la velocidad es de (-15i-18j) m/s en ese momento el maquinista desconecta la locomotora produciéndose una desaceleración de módulo 0.5/s. Determinar el desplazamiento realizado del tren hasta su parada, la distancia recorrida y el tiempo empleado.

Datos: Solución:

Cuando se aplican los frenos de auto animado de movimiento rectilíneo, su velocidad es de (-65i-78j) km/h. Si el auto se detiene en 3.5s, determinar la aceleración producida por los frenos y el desplazamiento realizado.

U⃗vo= v⃗ovo =(28 i⃗+35 i⃗ )44 . 82

a⃗=(0 . 62 i⃗+0 .98 i⃗) (−6 . 69 )a⃗=(−4 .15 i⃗−5 . 22 i⃗ ) //

a=V 2

−Vo2

2d

a=( 44 .82 )2

2(150)

a=2008 .82300

a=−6 .69 //

Δ⃗ R=(0 .62 i⃗+0 . 78 i⃗ ) (150 )Δ⃗ R=(93 i⃗+1171⃗ ) //

V⃗o=(28 1⃗+35 1⃗)ms

Vo=44 .82d=150mV=0V⃗=(0 1⃗+0 1⃗)Incognitas+=??Δ⃗ R=??a=??

+=V−Voa

+=−44 . 82−6 .69

+=6 .69 //

Δ⃗ R=( v⃗o+v2 )+Δ⃗ R=(−15 i⃗+18 i⃗

2 )46 .86

Δ⃗ R=(−7 . 5 i⃗−9 i⃗ ) ( 46 .86 )Δ⃗ R=(−351 . 45 i⃗−421 .79 i⃗ ) //

+=V −Vo

+=−(23. 43 )−0 .5

+=−23 . 43−0 .5

+= 46 .86 //

d=√ Δ⃗Rd=√(−351 . 38 )+(−421 . 65 )2

d=548.89 //

V⃗o=(−15 1⃗−18 1⃗)ms

Vo=23 .43m

a=−0 . 5m

s 2

V=0V⃗=(0 1⃗+0 1⃗)IncognitasΔ⃗ R=??d=??T=??

??

??

5.3)00(

021.28

67.2106.18

7865

)135128(

R

a

Incognitast

jiV

VVo

jiVo

jiVos

mVo

70

Datos: Solución:

Un móvil que tiene movimiento rectilíneo con una aceleración de (1.3i-1, 6j) m/ s2 durante 3s. Si durante el frenado recorre una distancia de 45m, determinar qué velocidad llevaba el móvil antes de comenzar a frenar, el desplazamiento realizado y la velocidad final.

Datos: Solución:

a=V −Vot

a=−28 . 213 .5

a=−8 . 06 //

d=(Vo−V2 ) t

d=(28 . 22 )3 .5

d=49 .36 //

a⃗=V⃗V =(−18 . 06 i⃗−21. 67 i⃗ )28 .21

a⃗=(−0 .69 i⃗−0 . 76 i⃗ ) (−8. 06 )a⃗=(5 .16 i⃗+6 .13 i⃗ )

Δ⃗R=(−0 . 64 i⃗−0 . 76 j⃗ ) (49 .36 )Δ⃗R=(−31 .59 i⃗−37 .51 j⃗ )

U⃗a= a⃗a =(1. 3 i⃗+1 . 6 )−2. 06

U⃗a= (−0 .63 i⃗+0 . 78 i⃗ ) //Δ⃗R=d−N⃗ΔRΔ⃗R=45 (−0 . 63 i⃗+0. 78 i⃗ )Δ⃗R=(−28 .35 i⃗+35 .1 i⃗ ) //

V⃗o=18 . 09 (−0 .63 i⃗+0 .78 i⃗ )V⃗o=(−11. 39 i⃗+14 .11 i⃗ )V⃗o=(−11. 39 i⃗+14 .11 i⃗ )V⃗=V⃗o+a .+V⃗=(−11. 39 i⃗+14 . 11 i⃗ )+(1. 3 i⃗−1 .6 i⃗ ) (3 )V⃗=(−11. 39 i⃗+14 . 11 i⃗ )+(3 . 9 i⃗−4 . 8 i⃗ )V⃗=(−7 . 99 i⃗+9. 31 i⃗)

a⃗=(1. 31 i⃗−16 i⃗ )+= 3d=45IncognitasV⃗o=??Δ⃗R=??V⃗=??

Vo=d−1

2a+2

+

Vo=45−1

2(−2.06113 )2

3

Vo=45−1

2(−18 .54 )

3

Vo=459.273

Vo=18 . 09

//40.622.3

2240.62

//2.3240.6

dxd

d

VVod

a

a

a VoV

//97.399.4

40.662.078.0

//99.149.2

2.362.078.0

40.65

jiR

iiR

jia

iia

iVVoa

71

Un móvil animado de movimiento rectilíneo tiene una velocidad de (3 1⃗+4 j⃗)m/s. se le comunica una desaceleración de módulo 2.5m/s2 durante 1.5s, determinar la velocidad final, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida.

Datos: Solución:

Un automóvil se desplaza por una carretera con una velocidad de (-5i-4j) m/s. Cuando se aplica los frenos para en 2s. Calcular la aceleración producida, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida hasta detenerse

Datos: Solución:

A un cuerpo que avanza por una carretera con una velocidad de (20m/s; S15°E), se le comunica una desaceleración de módulo 4m/s2, en sentido opuesto al de la velocidad durante 4s, determinar el desplazamiento realizado, la distancia recorrida y la velocidad final del cuerpo.

Datos: Solución:

V⃗=V⃗oV =

(3 i⃗+4 i⃗ )5

V⃗=(0 .6 i⃗+0.8 j⃗ ) (1 .25 )V⃗=(0 .75 i⃗+1 j⃗ )

Δ⃗R=(0 . 01 i⃗+0 . 8 j⃗ ) (4 .68 )Δ⃗R=(2 .8 i⃗+3 .74 j⃗ ) //

V=Vo+atV=s+ (2. 5 ) (1.5 )V=1 .25 //

d=(Vo−V2 ) t

d=(5+1 . 252 )1 .5

d=4 .68 //

V⃗o=(3 i⃗+4 j⃗)ms

V=5

a=−2 .5m

s2

t=1 .5 sIncognitasV⃗=??Δ⃗ R=??d=?

V=0V⃗=(0 i⃗+0 j⃗)V⃗o=(−5 i⃗−4 j⃗)Vo=6 . 40+= 25Incognitasd=??Δ⃗ R=??d=??

72

Un móvil que avanza por una carretera recta con una carretera recta con una velocidad de (12m/s; N35°0) se le comunica una desaceleración de módulo de 1.5m/ s2 , en sentido opuesto al de la velocidad durante 4s, determinar el desplazamiento realizado, la distancia recorrida y la velocidad fina del cuerpo.

Datos: Solución:

Un móvil animado de movimiento rectilíneo tienen una velocidad de (12m/s; SE), se le comunica una desaceleración de módulo 3m/s2 durante 2s, determinar la velocidad final, el desplazamiento realizado y la distancia recorrida.

V⃗=V⃗V

=(5. 17−19. 31 )19. 99

V⃗=(0 .26 i⃗−0 . 97 j⃗ ) (3. 99 )V⃗=(1 .03 i⃗−3 . 881 j⃗ )

Δ⃗R=(0 . 26 i⃗−0 .97 j⃗ ) (39. 98 )Δ⃗R=(10 .39 i⃗−38 .78 j⃗ ) //

V=Vo+atV=19 . 99+(−4 ) (4 )V=3. 99 //

d=(Vo−V2 ) t

d=19. 992

( 4 )

d=39. 98 //

V⃗o=20ms515 ° E

V⃗o=(5 .17 i⃗−19 .31 i⃗ )Vo=19.99m

a=−4m

s2

t=4 sIncognitasΔ⃗ R=??d=?V⃗=??

V=Vo+atV=12+(−1.5 ) (4 )V=12−6V=6 //

Δ⃗R=(V⃗o−V⃗2 ) tΔ⃗R=((−6 .89 i⃗+9 . 83 j⃗ )+(−3 . 42 i⃗+4 .92 j⃗ )

2 )4

Δ⃗R=((−10.31 i⃗+14 . 75 j⃗ )1 )2

Δ⃗R=(−20 . 62 i⃗+29 .5 j⃗) //

V⃗o=12mV⃗o=(−6 .88 i⃗+9. 821 j⃗ )Vo=11.99m

a=−1 .5m

s2


73

Datos: Solución:

V=Vo+atV=11.99+(−3 ) (2 )V=11.99−6V=5 .99 //

d=(Vo+V2 )td=11.99+5 .99

2(2 )

d=17 .98 //

V⃗=(8 .48 i⃗−8 . 48 j⃗ )11.99

V⃗=(0 .71 i⃗−0 .71 j⃗ ) (5 .99 )V⃗=( 4 .26 i⃗−4 .26 j⃗ )Δ⃗R=(0 .71 i⃗−0 .71 j⃗ ) (17 . 98 ) //

V⃗o=(12msSE)

V⃗o=(8 . 48 i⃗−8 .481 j⃗ )Vo=11.99

a=−3m

s2


74



Un móvil va por una carretera recta con una velocidad de 5m/s es acelerado durante los tiempos en el realiza un desplazamiento de (60i+80j) m. Determinar la aceleración producida, la velocidad inicial y la velocidad final

Datos: Solución:



1. Un móvil parte del reposo y al cabo de 10s su rapidez es de 72km/h. Calcular su aceleración y el espacio recorrido.

a=2 (10−5 . 10 )102

a=2 (100−50 )10

a=2 (50 )100

a=1

U⃗=(60 i⃗+80 j⃗ )10

U⃗=(0 . 6 i⃗+0.8 j⃗)V⃗o=(3 i⃗+4 j⃗ ) //V⃗=(0 . 6 i⃗+0.8 j⃗ ) (5 )V⃗=(9+2 j⃗) //Δ⃗R=(0 . 6 i⃗+0 . 8 j⃗ ) (1 )Δ⃗R=(0 . 6 i⃗+0 . 8 j⃗ ) //

V=5ms

t=10 sΔ⃗R=(60 i⃗+80 j⃗ )d=10 //IncognitasV⃗o=??a=?V⃗=??

75

Incognitas

a) b)

2. Un móvil parte con una rapidez de 20m/s, su rapidez aumenta uniformemente y en 10s esta llega a ser 60m/s. ¿Cuál es la aceleración del móvil y la distancia recorrida en dicho tiempo)

Datos Solución

3. Calcular la aceleración del móvil cuya rapidez aumenta de 20km/h a 80km/h en 10min. Hallar el espacio recorrido.

Datos Solución

4. La rapidez de un móvil disminuye de 300om/min a 10m/s en 4s. Calcular la aceleración y el espacio recorrido.

Datos Solución

5. La rapidez de despegue de un avión es de 300km/h.Si la longitud de la pista es de 1500m. Que aceleración debe producir el motor y cuanto tardara el avión en despegar.

d=(V +Vo2 ) t

d=202

(10 )

d=100 //

a=V−Vot

a=20−010

a=2 //

Vo=0ms

t=10 s

V=72Km=20m

s

d=(V +Vo2 ) t

d=20+602

(10 )

d=802

(10 )

d=400 //

a=V−Vot

a=60−2010

a=4010

a=4 //

Vo=20ms

t=10 s

V=60m

sIncognitasa⃗=??s=??

d=(Vo−V2 )td=(5 . 56+22. 2

2 )600

d=(827 . 262 )600

d=83. 28m //

a=V−Vot

a=22 .2−56600

a=0 .028ms2

//

Vo=20Km→5.56ms

t=10 min→600 s

V=80Km→22. 23m

sIncognitasd=??a=??

d=(Vo+V2 ) td=(50+10

2 )4

d=(602 )4

d=120m //

a=V−Vot

a=10−504

a=−404

a=−10ms2 //

Vo=3000mmin

→50ms

t=4 s

V=10m

sIncognitasd=??a=??

76

Datos Solución

6. En que tiempo adquirirá un cuerpo una rapidez de 45km/h si parte con una rapidez de 10cm/s y se mueve con una aceleración de 2,5m/s2

Datos Solución

7. Con que aceleración recorre un cuerpo una distancia de 1000m en 10s si parte del reposo y que rapidez tendrá al cabo de los 10s

Datos Solución

8. Un móvil que parte del reposo son MRUV presenta al cabo de 2,5s una rapidez de 36km/h. Calcular el valor de su aceleración

Datos Solución

V=3000Kmh→83. 33

d=1500m

Vo=0m

s2

Incognitasa=??t=??

t=V−Voa

t=83 .33−02 .31

t=36 .07 //

a=V2−Vo2

ad

a=(83 .33 )2− (0 )2

2(1500)

a=6943 .883000

a=2 .31ms2 //

t=V−Voa

t=12 .5−0012 .5

t=12 . 42 .5

t=4 . 96 //

V=45Kmh→12 .5m

sVo=10cm s→6ms

a=2 .5m

s2

Incognitast=??

V=Vo+at

V=200ms

a=2d−2Vott 2

a=2 (1000 )−2 (0 ) (0 )(10 )2

a=2000100

a=20ms2 //

d=1500mt=10 s

Vo=0m

s2

Incognitasa=??

a=V−Vot

a=10−02 .5

a=102 .5

a=4ms2 //

Vo=0m

s2

t=2 .5 s

V=36Kmh→10m

sIncognitasa=??

77

9. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante cuyo valor es de 20cm/ s2. Calcular el tiempo que se demora en recorrer un espacio de 40m

Datos Solución

10. La rapidez de un vehículo aumenta uniformemente de 20m/s a 50m/s en 15s. Calcular para este tiempo el espacio recorrido y el valor de la aceleración.

Datos Solución

11. Un auto que parte del reposo con MRUV aumenta su rapidez en 9m/s cada 3s. Calcular su rapidez y el espacio recorrido al cabo de 10s.

Datos Solución

12. Una locomotora necesita 10s para alcanzar su rapidez normal que es 60km/h. Suponiendo que su movimiento es uniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y que espacio ha recorrido antes de alcanzar la rapidez regular?

V 2=Vo2+2adV 2=(0 )2+2 (0 . 2 ) (40 )V 2=0+16√V 2=√16V=4 //

t=2dVo+V

t=2 (40 )4

t=804

t=20 //

Vo=0m

s2

a=20 cms2

d=40mIncognitast=??

d=(V +Vo2 ) t

d=(20+502 )15

d=(702 )15

d=525m //

a=V−Vot

a=50−2015

a=3015

a=2ms2 //

Vo=20m

sV=50m

st=15 sIncognitasd=??a=??

d=Vot+20 t2

d=3x 1002

d=3002

d=150

V=Vo+atV=0+3 x10V=30

Vo=0

d=9ms

a=3ms2

t=10 s

78

Datos Solución

13. Un cuerpo posee una rapidez inicial de 12m/s y una aceleración de 2m/ s2¿Cuánto tiempo tardara en adquirir una rapidez de 144km/h?

Datos Solución

14. Un móvil lleva una rapidez de 8cm/s y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado cuya aceleración es igual a 2cm/s2. Calcular el tiempo que ha tartado en recorrer 2,10m

Datos Solución

15. Se deja corre un cuerpo por un plano inclinado de 18m de longitud. La aceleración del móvil es de 4m/s2calcular a) tiempo que tarda el movil en recorrer la rampa b) rapidez que lleva al finalizar el recorrido inclinado.

Datos Solución

Vo=0

V=60kmh=10 .67m

st=10 sIncognitasd=??a=??

d=(Vo+V2 ) td=(0+16. 67

2 )10

d=(16 . 672 )10

d=83. 35m //

a=V−Vot

a=16 .67−010

a=16 .6710

a=1.68ms2 //

Vo=12ms

a=2m

s2

V=144 Kmh→40m

sIncognitast=??

t=V−Voa

t=40−122

t=282

t=14 //

V 2=Vo2+2adV 2=0 . 0064+0 . 04 x2 x10V 2=0 . 084+0 .0064√V 2=√0.09V=0.3 //

t=Vo−Va

t=0 .3−0 .080 .02

t=11 //

Vo=8cm

s→00 .8m

s2

a=20cms2→0 .02m

s2

d=2.10mIncognitast=??

V 2=Vo2+2adV 2=0+2 (4 ) (8 )V 2=144√V 2=√144V=12 //

t=V−Voa

t=12−04

t=3 //

Vo=0

a=4m

s2

d=18mIncognitast=??V=??

79

16. Un auto que parte del reposo son MRUV en 10s adquiere una rapidez de 90m/s. Determinar el espacio recorrido al cabo de 20s,

Datos Solución

17. Un tren va a 72km/h.cuanto tiempo y a qué distancia antes de llegar a la estación deberá el maquinista aplicar los frenos si la aceleración que estos producen es 3600m/

min2

Datos Solución

18. Un móvil que presenta una desaceleración de 2m/s2 en 12s. Calcular el valor de su rapidez al inicio del recorrido (R.15m/s).

Datos Solución

V 2=Vo2+2adV 2=0+2 (4 ) (8 )V 2=144√V 2=√144V=12 //

t=V−Voa

t=12−04

t=3 //

Vo=0

a=4m

s2

d=18mIncognitast=??V=??

d=(Vo+V2 ) td=(0+90

2 )10

d=(902 )10

d=450m //

Vo=0

V=90m

st=20 s−10 s=10 sIncognitasd=??

d=V2+Vo2

2a

d=02−202

2 (1 )

d=−4002

d=200m //

t=2dVo+V

t=2 (200 )20+0

t=40020

t=200 //

Vo=72kmh=20m

s

d=3600mmin2=1m

s2

V=0Incognitast=??d=??

a=−1ms2

d=36mt=12 s

V=3ms

IncognitasVo=??

Vo=d−1

2at2

2

Vo=36−0.5 (−2 ) (12 )2

12Vo=15 //

80

19. El velocímetro de un auto marca 45m/h cuando se aplican los frenos. Si el auto se detiene en 2,8s Cuales han sido la aceleración y la distancia recorrida. (R.4.46m/s 2; 17; 5m)

Datos Solución

20. La rapidez de un tren de reduce uniformemente en un espacio de 32m de 12m/s a 4m/s. Que distancia adicional recorre hasta detenerse. (R4m)

Datos Solución

21. Un auto disminuye su rapidez a razón de 2m/s, cada segundo, hasta detenerse; entonces la distancia recorrida en los últimos 10s que su trayectoria será (R...10m)

Datos Solución

22. Un tren viaja a razón de 144km/h aplican los frenos produciendo una desaleración de 4m/s2. ¿En que tiempo se detiene el tren y que distancia con respecto al punto de frenado? (R.10s; 200m)

Datos Solución

d=(Vo+V2 ) td=(12 .5+0

2 )2 . 8

d=(12 .52 )2 .8

d=17. 5m //

a=V−Vot

a=0−12. 52 .8

a=−12 .52 .8

a=4 . 46ms2 //

Vo=45Kmh→12 .5

V=0m

st=2 .8 sIncognitasd=??a=??

d=Vo+V2

d=82

16

d=6416

d=4m //

Vo=0

V=8m

sd=32m

a=8m

sIncognitasd=??

d=(Vo+V2 ) td=(2+0

2 )10

d=(22 )10

d=10m //

Vo=2m

s2

t=10 sV=0Incognitasd=??

t=V−Voa

t=0−40−4

t=404

t=10 //

Vo=144kmh=40m

s

a=4ms2


81

23. Cuando aplican los frenos de un auto animando de movimiento rectilíneo; su rapidez es de 101; 5km/h. si el auto se detiene en 3; 5s; determinar la aceleración producida por los frenos; el desplazamiento realizado y la rapidez media. (R.-8; 05m/s2; 49; 33m)

Datos Solución

t=V−Voa

t=0−40−4

t=404

t=10 //

Vo=144kmh=40m

s

a=4ms2


d=(Vo+V2 ) td=(40+0

2 )10

d=(402 )10

d=200m //

ΔR=(Vo+V2 ) tΔR=(28 .19

2 )3 .5

ΔR=49 .33m //

Vo=101. 5Kmh→28 .19

V=0m

st=3 .5 sIncognitasa=??ΔR=??Vm=??

Vm=(Vo+V2 )=(28. 092 )=14 . 04

a=V−Vot

a=0−28 .193 .5

a=−28 .193 .5

a=−8 . 05ms2 //

82



1. Un móvil que parte del reposo pasa por un primer punto a una rapidez de 10m/s y por segundo punto que distancia 100m del primer a 30m/s. Determinar el espacio total recorrido (R.122; 5m)

2. Un trolebús parte del reposo se mueve durante 15s con una aceleración de 1m/s 2. Se suprime la corriente y continúa moviéndose durante 10s con movimiento retardado a causa de la fricción, con una aceleración de 5cm/s2. Finalmente se aplica los frenos y se detiene en 5s. Calcular la distancia total recorrida. (R.296, 25m)

d=v2−vo2

2d

d=102−02(4 )

d=9008

d=12,5d=12,5+100d=112 ,5m

a=v2−vo2

2d

a=302+102

2(100)

a=900−100200

a=4

Vo1=0V=10d2=100V 1=10V 2=30Incognitasd=??

d=v2−vo2

2t

d=(14 ,+02

)

d=36 ,25d=(36 ,25+112 ,5+147 ,5)d=246 ,25

V=vo+atV=1 (15 )V=15V=vo+atV=15+0 ,05(10)V=14 ,5

Vo=0t=15 s

a=1ms

t=10Vo=0t=sIncognitasd=??

d=v2−vo2

2

d=(152

)5

d=112 ,5

d=(v2−v2

2)t

d=(15+1432

)10

d=147 ,5

83

3. Un automóvil parte del reposo, acelerando a razón de 5m/s2y frena con una desalerecion constante de 2m/s2, si estuvo en movimiento 28s. Determinar la rapidez máxima que alcanza (R.40m/s)

4. Un automovilista que viaja a 30m/s aplica los frenos, adquiriendo una desalerecion de 2m/s2, cual es el espacio recorrido durante el cuarto segundo. (R.104m)

DATOS: SOLUCION:

V=vo+atV 1=vo1+(a1.+1 )μmax=0 t (5 . t )μmax=5 tV 2=V max+(−2 )(28−t )0=5 t−56+2 t0=7 t−5656=7 t367 =t

t=8

Vo=0a=5V=0V=−2t=28 sIncognitasV 1=Vo2V max V=vo+at

0=0+5 . 8

0=40ms

d=vot 12at 2

d=(30 )( 4 )−12

(2 )(4 )

d=120−16d=104

V=30a=−2a=4

84

5. Un móvil posee movimiento acelerado recorre durante el quinto segundo de su movimiento 27m. Determinar su rapidez inicial. Si su aceleración es de 4m/s2. (R. 9m/s)

DATOS:

6. Un cuerpo se mueve durante 4s con MRUV recorriendo 64m, cesa entonces la aceleración y durante los 5s siguientes recorre 60m con MRUV. Cual es la aceleración en el primer tramo. (R.-2m/s2)

DATOS:

t=4a=4

t=sd=−27ma=4mVo??

Vo=d12dt2

Vo=27−(12

)( 4 )(4 )

Vo=25ms

Vo=d 2t2

V 2=t2

V=R

a=V 1−Vot 1

a1=12−204

a=−2m

MRVV

Vo=2dt1

−v1

Vo=2(644

)−1

Vm=20

MRVV={t=45d=54

MRV={t=5d=60

a=??

85



1. En una competencia dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con rapidez de 8m/s y 12m/s y con aceleraciones de 4m/s2 y 2m/s2 respectivamente. ¿En que instante se vuelve a encontrar?

2. Dos móviles se encuentran sobre una pista rectilínea volviendo en un mismo punto, si ambos parten al mismo tiempo con aceleraciones constante de 3m/s2 y 5m/s2 y en el mismo sentido. En que tiempo estarán distanciados entre si .144.

DATOS:

3. Dos móviles van al encuentro uno del otro partiendo simultáneamente del reposo de dos ciudades A y B con las aceleraciones constantes de 3m/s2 y 7m/s2. Si ala distancia AB es de 8cm .En que tiempo se encuentra.

d2=vot+12at2

d2=212

(2) t2

d2=12 t+1 t2

d1=vot+12at 2

d1=812

(4 )t2

d1=8 t+2t2

Vo=8Vo=12a=14a2=2t 1=t 2=t

8 t+2t2=2t+1 t2

2 t2−1 t2=−8 t+12tt2=4

d1=vot+12at 2

x=12

(3 ) t2

x=1,5+t2

d1=vot+12at 2

x=12

(5 ) t2

x=144+2,5 t2

t=t2a=3a2=5d 12=144

1,5 t2+144=2,5 t2

144=2,5 t2−1,5 t2

144=t 2

√144=t12=t

86

4. Dos puntos AyB están en una carretera recta en la misma horizontal desde a parte del reposo hacia B un móvil con una aceleración de 1,28m/s2. Simultáneamente y desde B parte hacia A otro móvil con una rapidez de 5m/s y una aceleración de modulo 1,2m/s 2. Si se cruzan alos cuales la distancia entre AyB.

d=vot+12at 2

d=12

(7) t 2

d=3,5+t2

a=3m /s2

a2=7m / s2

d 12=80m

d1=vot+12at2

d=12

(3) t2

d=1,5+ t2

80−1,5 t2=3,5 t2

80=5 t805 =t2

16=t2

√16= t4= t

a1=1 ,28vo=5a2=10

d=vot+12at 2

d=12

(5)102

d=64d+d2=d 1264+110=d12174=d 12

d2=vot+12at 2

d=5(10)+12

(1,2 )(102)

d2=50+60d2=110

87

5. Un leopardo africano se puede lograr desde el reposo una aceleración de 8m/s 2 si cae la cesa de una gacela que puede lograr una aceleración de 4m/s2 y si esta inicia la huida desde el reposo en el mismo instante en el que el leopardo esta a 18m de ella cuanto tardara el leopardo en atrapar la rapidez llevara el leopardo al atrapar la gacela.

d2=vot+12at 2

18+x=12

(8) t2

18+x 4 t2

d 12=18vo=08a=a2=4

V=Vo+atV=8(3)V=24

18+2 t2=4 t 2

18=−2t2+4 t 2

18=2t2

182

=2t 2

9=t2

√9=t3=t

d=vot+12at2

x=12

( 4 )t2

x=2 t2

88



1. Un móvil animado de movimiento rectilíneo tiene una velocidad de (12m/s; 530 E) se comunica una deceleración de modulo 3m/s2 durante 2s determinar la velocidad final; el desplazamiento realizado y la distancia recorrida.

2. Un móvil tiene movimiento rectilíneo frena con una aceleración de (1,41+16m/s2) durante el frenado recorre una distancia de 45m determinar qué velocidad llevaba el móvil antes de comenzar a frenar, el desplazamiento realizado la velocidad final.

d=(11 ,99=5 ,992

)2

d=17 ,98mΔR=(8 ,99 1⃗−15 ,46 1⃗)

V=11 ,99t (−3x 2)v=5 ,99⃗⃗Vo=(2 ,95 1⃗−5 ,151⃗ )

N a⃗=( 0 ,66 1⃗−0 ,75 1⃗ )Δ⃗R=(29 ,7 1⃗+33 ,475 1⃗)

Vo=4212

(−2 ,121(3 )2÷3

Vo=18 ,19V⃗o=(12 1⃗+13 ,64 1⃗)Vo=18 ,19+(−2 ,12 )(3)V=11 ,83V=0V⃗=(7 ,78 1⃗−8 ,85 , 1⃗)

89



1. Un va a 72km/h Cuanto tiempo y a qué distancia antes de llegar a la estación deberá el maquinista aplicar los frenos.

2. Un móvil parte del reposo y durante 5s acelera a razón 4m/s2 y luego desacelera durante 8s hasta se detiene hallar la distancia recorrida.

3. En una competencia 2 móviles parten simultáneamente de un mismo punto un rapidez de 8m/s y 12m/s aceleración de 4m/s2 y 2m/s2 respectivamente ¿En qué instante se vuelven a encontrar?

Vo=72 km/h=20ms

a=3600=1av=0

d=v+vo2

+

d=20(20)2

d=200m

t=v−vo−∂

t=−201

t=20

d=(v+vo2

)+

d=(202

)(5)

d=50

a=v−vot

a=0−208

a=208

a=−25

d2=( vo+v2

) t

d=20.8+12

.−2,5. t 4

v=0t=55a=4−a=??t 2=85v=0d=??v=vo+a⃗v=(0+4 .5)v=0

90

4. Dos móviles se encuentran sobre una pista rectilínea ubicados en mismo punto si en ambos parten al mismo tiempo una aceleración es constante de 3m/s2 y 5m/s2 y el mismo sentido. En que tiempo estarán distanciados entre si 144m.

Δv=8ms

a=4ms2

Bv=12m s

a=4ms2

t=(t−4 )=0t−4=0t=4

vot+12a+2

=12 t+12

(2) t2

¿12 t+1 t2

dΔ=dB

vot+12a+2

8+12

(4 ) t2

8 t+2t2−12t−1 t2=0−4+1 t2=0t 2−4 t=0

db=ddt s

vot+12a+2

vot+12a+2t 149m

5122

=3122

t 144

512=6+22

+288

512=312+2882 t2=t 298t 2=√144t=125

91

Caída libre de los cuerposCaída libre de un cuerpo (C.L.C)

Este movimiento se caracteriza por tener una trayectoria rectilínea en sentido vertical cuyo movimiento va de arriba hacia abajo. Se considera como un movimiento acelerado debido a que tiene el mismo sentido de la aceleración gravitacional (gravedad).

Magnitudes

Fórmulas

vo

rapidez inicial

m/s

v

rapidez final

m/s

t

tiempo

s

h

altura

m

g

gravedad

+2gh

h=)t

vo

vo

t

vo

v=vo+gt

h=vot+g

g

g

vo

g

vo=v-gt g

t=

g

vo=

vo=

vo=

g=

t

h

v

t=

h=

v=-vo

92

Tiro vertical hacia arribaTiro vertical hacia arriba (T.V.H.A)

Este movimiento se caracteriza por tener una trayectoria rectilínea en sentido vertical cuyo movimiento es de abajo hacia arriba, se considera como un movimiento retardado debido a que será en sentido contrario a la gravedad (g=-9.8m/s2).Los 2 movimientos C.L.C y T.V.H.A son complementarios debido a que un cuerpo que es lanzado hacia arriba va disminuyendo su velocidad hasta llegar a 0 y luego el cuerpo va en caída libre.Las magnitudes y formulas son las mismas de las anteriores.

Consideraciones:

1. C.L.C: Cuando un cuerpo se suelta o se deja caer su rapidez inicial es 0 mientras que si se lanza su rapidez inicial es diferente de 0.

2. T.V.H.A: Su rapidez inicial siempre debe ser diferente de 0. 3. El tiempo que un cuerpo tarda en subir es el mismo tiempo al que tarda al bajar.4. T.V.H.A: La velocidad que alcanza el cuerpo cuando llega al punto más alto es igual a 0.5. La velocidad con la que se lanza un cuerpo hacia arriba es la misma velocidad con la

que regresa al punto de lanzamiento.

Problemas

1. Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial ¿al cabo de cuánto tiempo su velocidad será de 45 km/h?

Datos Solución

vo= 0 m/s a) t= v−vog

v= 45 km/h 12.5 m/s t=12.59.8

g=9.8 m/s2 t= 1.28 sa) t=??

2. Desde una altura de 78.4 m se deja caer un cuerpo. Calcular el tiempo que se demora en caer y la velocidad con la que llega al suelo.

Datos Incógnitas Solución

h=78.4 m a) v=?? a) v2¿v o2+2 gh b) t= v−vog

vo=0 m/s2 b) t=?? v2=2(9.8)(78.4) t=39.29.8

g=9.8 v2=1536.4 t= 4 s √v2=√1536.4 v= 39.2 m/s

93

3. Una bola es lanzada verticalmente desde una ventana a 10 m/s y cae al suelo al cabo de 5 s. ¿Qué altura tiene la ventana del edificio?

Datos Solución

vo=10m/s a) h=vot+ 12g t2

t=5 s h=10 (5 )+12

(9.8)(52)

g= 9.8 m/s2 h= 172.5 m a) h=??

4. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49 m/s. calcular el tiempo que demora en subir y la máxima altura. Datos Solución

vo= 49 m/s a) t= v−vog b) h=( vo+v2 )tg=-9.8 m/s2 t= −49

−9.8 h=( 492 )5

v= 0 m/s t= 5s h= 122.5 m a) t=?? b) h=??

5. Un tornillo cae accidentalmente, desde la parte superior de un edificio. 5 s después golpea el suelo. ¿Cuál es la altura del edifico y cuál es la velocidad final?

Datos Solución

vo= 0m/s a) h=vot+ 12g t2 b) v=vo+gt

t=5 s h=12

(9.8)¿ v=(9.8)(5)2

g=9.8 m/s2 h= 122.5 m v= 49 m/s a) h=?? b) v=??

6. Se deja caer un cuerpo desde un edificio de 300 m de altura, calcular la velocidad y el tiempo que tarda en llegar al piso.

Datos Solución

94

vo= 0m/s a) v2¿v o2+2 gh b) t= v−vog

h= 300 m v2=2(9.8)(300) t=76.68

9.8g= 9.8 m/s2 v2=5880 t = 7.82 s

a) v=?? √v2=√1536.4b) t=?? v=76.68 m/s

7. Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 20 cm/s. ¿Cuál será su velocidad 5 s después y que espacio habrá recorrido en ese tiempo?.

Datos Solución

vo= 0 m/s a) v=vo+gt b) h=( vo+v2 )t v=20 cm/s 0.2 m/s v=(9.8)(5)2 h=( 49.2

2 )5t=5s v= 49.2 m/s h= 123 mg= 9.8 m/s2

a) v= ?? en t = 5 s b) h=??

8. Se lanza un objeto hacia abajo, con velocidad inicial de 10 m/s, desde una altura de 300 m. Calcular la velocidad con la que llega al suelo.

Datos Solución vo= 10 m/s a) v2¿v o2+2 ghg=9.8 m/s2 v2¿102+2(9.8)(300)h= 300 m v2=5988a) v=?? √v2=√5988 v= 77.33 m/s

9. Desde un helicóptero en reposo se deja caer un cuerpo durante 10 s. Determinar la velocidad al final de los 10 s y la altura recorrida.

Datos Solución

vo= 0 m/S a) v=vo+gt b) h=( vo+v2 )t t= 10 s v=(9.8)(10) h=( 98

2 )10

g=9.8 m/s2 v=98 m/s h= 490 ma) v= ??b) h=??

95

10. Desde 100 m de altura se deja cae libremente un cuerpo. Determinar con qué velocidad choca contra el suelo, en qué tiempo, qué velocidad lleva cunado ha descendido 50 m y el espacio cuando lleva una velocidad de 25 m/s.

Datos Solución

vo= 0 m/s a) v2¿vo2+2gh b) t= v−vog

h= 100 m v2=2 ( 9.8 )(100) t=44.279.8

g=9.8 m/s2 v2=1960 t= 4.52 s

a) v=?? √v2=√5988b) t=?? v= 44.27 m/sc) v=?? en 50 m

d) h=?? con v= 25 m/s c) v2¿vo2+2gh d) h= v2−vo2

2g

v2=2 ( 9.8 )(50) h= 252

2(9.8)

v2=980 h=31.89 m

√v2=√980 v= 31.3 m/s

11. Un cuerpo lanzado hacia abajo, adquiere una velocidad de 84 m/s en 7s. Determinar ¿Con qué velocidad fue lanzado, cuál fue el espacio recorrido en los 7 s?

Datos Solución

v= 84 m/s a) vo=v-gt b) h=( vo+v2 )t t=7s vo=84-(9.8) (7) h=( 15.4+84

2 )7

g=9.8 m/s2 vo= 15.4 m/s h= 347.9 ma) vo=??b) h=??

12. Se lanza un objeto, situado inicialmente en el origen, hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. Calcular la máxima altura que alcanza.

Datos Solución

vo= 60 m/s a) h= v2−vo2

2g

g= -9.8 m/s2 h= −602

2(−9.8)v=0 m/s h= 183.67 ma) h=??

vos= 31.3 = vb

vs= 0 = vob

96

13. Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que choca contra el suelo.

Datos Solución

h= 120 m b)v2¿vo2+2gh) a) t= v−vog

vo= 5 m/s v2¿52+2 (9.8 )(120) t=48.75−5

9.8g= 9.8 m/s2 v2=2377 t= 4.46 s

a) t=?? √v2=√2377b) v=?? v= 48.75 m/s

14. Desde un helicóptero a 1600 m de altura se lanza una granada, hacia abajo con una velocidad inicial de 20 m/s, hallar la velocidad y la altura de la granada a los 10 s, el tiempo y la velocidad al tocar el suelo.

Datos Solución

h= 1600 m a) v= vo+gt b) h=vot+ 12g t2

g= 9.8 m/s2 v= 20+ (9.8)(10) h=20(10)+12

(9.8)(10)2

vo= 20 m/s v= 118 m/s h= 690 ma) v=?? en t=10 s

b) h= en t = 10 s d) v2¿vo2+2gh c) t= v−vog

c) t=?? v2¿202+2 (9.8 )(1600) t=178.21−20

9.8

d) v=?? v2=31760 t= 16.14 s

√v2=√31760 v= 178.21 m/s15. Si queremos que un cuerpo suba 50 m verticalmente. ¿Con qué velocidad se debe

lanzar? ¿Cuánto tiempo tardará al caer de nuevo a tierra?

Datos Solución

h= 50 m a) vo=√v2+2 gh b) t= v−vogt= v−vo

g

g=-9.8 m/s2 vo=√2(9.8)(50) t=−31.3−9.8

t= 31.39.8

v= 0 m/s vo=√980 t= 3.19 s t=3.19sa) vo=?? vo=31.3 m/s b) t=?? tt= 3.29+3.19 tt= 6.38 s

16. Luego de 8 s de haber sido lanzado verticalmente hacia arriba una bala, regresa al

lugar del lanzamiento. Calcular la velocidad de que se lanzó la bala y la altura máxima que recorrió.

t1= 4st2= 4s

tt= 8s

g=9.8t=5s

vo=12

v=0 vo=0

g=-9.8

97

Datos Solución

tt= 8 s a) vo= v-gt b) h=( vo+v2 )tg= -9.8 m/s2 vo= - (-9.8)(4) h=(39.2

2 )4

v= 0 m/s vo= 39.2 m/s h= 78.4 mt1= 4st2= 4s a) vo=??b) h=??

17. Se dispara vertical un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se disparó y la altura alcanzada.

Datos Solución

g=-9.8 a) vo =v-gt b) h=( vo+v2 )ttt= 10 s vo=-(-9.8)(5) h=(49

2 )5t1= 5s vo= 49 m/s h= 122.5 mt2=5s v= 0m/s a) vo=??b) h=??

18. Un estudiante parado en la azotea de un edificio, lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Si la pelota llega al suelo 5s mas tarde. Calcular la altura máxima, que altura tiene el edificio y con qué velocidad llega al suelo.

Datos Solución

g= -9.8m/s2 t 1= v−vogt 2=5−t 1

vo = 12 m/s t 1= −12−9.8

t 2=5−1.22

tt= 5s t1= 1.22 s t2= 3.78 sv= 0 m/s

a) Altura máxima=?? a) h2=vot+ 12g t 2 b) h1=( vo+v2 ) t

b) he=?? h2= 12

(9.8)(3.78)2 h1=( 122 )1.22

c) v=?? h2= 70.01 m h1= 7.32 m

he= h2-h1

c) v=vo+gt he= 70.01-7.32

Altura máxima

hAB= 140 m

hB

hA

vo= 10 m/s

g=9.8

vo= 40 m/s

g=-9.8

98

v=(9.8)(3.78) he= 62.69 m

v=37.04 m/s

19. El punto A está 14 m sobre el punto B. Desde A se lanza un móvil con una velocidad de 10 m/s. Simultáneamente y desde B se lanza otro móvil con una velocidad de 40 m/s. Calcular donde y cuando se encuentran.

Datos hAB= 140 mvoA= 10 m/stA=tB=tvoB= 40 m/s gA=9.8 m/s2

gb=-9.8 m/s2

hA=??Donde hB=??

tA=??Cuándo tB=??

hAB= hA+hB

140=x+hB

140-x=hB

h=vot+ 12g t2

hA=10 t+ 12

(9.8) t2 hB=40 t+12

(−9.8) t 2

x=10 t+4.9 t2 140− x=40 t−4.9 t 2 140−(10 t+4.9 t2)=40t−4.9 t2

140−10t−4.9 t2=40 t−4.9 t 2

140=40 t+10 t 140= 50t

t= 2.85

x=10(2.85)+4.9(2.85)2

x=10(2.85)+4.9(2.85)2 x= 68.3 hB= 140 -68.3 hB= 71.7

99

Deberes Unidad educativa santa Maria Eufrasia

Deber#:1Desde la misma altura sobre el suelo y simultáneamente se deja caer una partícula A desde el reposo , mientras que otra B se lanza hacia abajo con una velocidad inicial de 2m/s. En que instante la distancia es de 18m.

D2=d1+18

2t+4.9t 2=4.9t 2+18

2t=18

T=9

Dos cuerpos A y B, situados sobre una misma vertical y separados por una distancia de 100m, son arrojados uno contra el otro con una velocidad de 30m/s, respectivamente. Cuando y donde se chocan

100=da+db

100=30t +4.9t 2+20t-4.9t 2

100=50t

2=t

Se deja caer una bomba desde un helicóptero suspendido en el aire a una altura de 200m. En el mismo instante se dispara una bala desde tierra con una velocidad de 100m/s . A que altura del suelo impactara la bala en la bomba

200=da+db

200= 4.9t 2+100t-4.9t 2

200=100t

2=t

Db=200-19.6

Db=180.4

En que instante pasara un proyectil por un punto situado a 200m d altura, si la velocidad con la que fue lanzado es de 220m/s

v2=484+390

v2=9200

V= 95.91

100

T=v−vog

T=12.66

Desde lo alto de un edificio de 200m de altura se deja caer un cuerpo y simultáneamente desde la parte baja del edificio se lanza verticalmente hacia arriba otro cuerpo con una velocidad de 180km/h. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse y la velocidad que tiene cada cuerpo en el momento que se encuentran

200=h1+h2

200=4.9t 2+50t-4.9t 2

200=50t

4=t

V1= 33,2

V2= 50-49.2

V2=10.8

Unidad educativa santa Maria Eufrasia

Deber#:2Desde la misma altura sobre el suelo y simultáneamente se deja caer una partícula A desde el reposo , mientras que otra partícula B se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 3m/s. En que instante la distancia entre ellas es 18m

Db=da+18

Da= vot +1/2(9.8)t 2

101

Da= 4.9t 2

3t+4.9t 2=4.9t 2+18

3t=18

T=6

Dos cuerpos Ay B , situados sobre una misma vertical y separados por una distancia de 100m son arrojados uno contra el otro con una velocidad de 20m/s y 30m/s, respectivamente. Estando A en la parte alta cuando y donde se chocan

ha=20t+1/2(9.8) t 2

ha=20(2)+49(22)

ha= 59.6

100-20t=30t+1/2(9.8) t 2

100=5t

25=t

Db=30(2)+1/2(9.8) 2

Db=40.4

Dab=59.6+40.4

Dab=100

Se deja caer una bomba desde un helicóptero suspendido en el aire a una altura de 300m. En el mismo instante se dispara una bala desde tierra con una velocidad de 100m/s . A que altura del suelo impactara la bala en la bomba

300=da+db

300= 4.9t 2+100t-4.9t 2

300=100t

3=t

Ha=4.41(32 ¿

Ha=44.1

hb=100(3)+1/2(-9.8)t 2

Hb=255.9

El punto A esta a 150m sobre el punto B. Desde A se lanza un móvil hacia abajo con una velocidad de 10m/s simultáneamente y desde B se lanza otro móvil hacia arriba con una velocidad de 40m/s. Calcular donde y cuando se encuentran

150-x=40t+0.5(-9.8)t 2

102

150-x=40t+(-4.9)t 2

150-10t--4.9t 2=40t--4.9t 2

150=50t

3=t

X=10t+0.5(9.8)t 2

150-741.1=75.9

Hb=75.9

LECCION DE FISICA1. Desde la misma altura sobre el suelo y simultáneamente se deja caer una particula A desde el reposo, mientras que otra particula B se lanza verticalme hacia abajo on una velocidad inicial de 3 /s. En que instante la distan ia entre ellas es de 18m.db = da +48m

F3t + 4.gt2 = 0 + 4.gt2 + 18t = bs

2. Dos cuerpos, A y B, situados sobre una misma vertical y separados por una distancia de 100m, son arrojados uno contra el otro con velociddes de 20m/s y 30m/s, respectivamente. Estando A en la parte alta. Cuando y donde se chocan.100 = da + db100 = Vot + 1/2at2 + Vot + 1/2at2100 = 2at + 30t - 4.gt2100 = 50t2s = t

Movimiento parabolico

Movimiento parabólico Se le conoce también con el nombre de movimiento de proyectiles, es un movimiento compuesto que se mueve en el plano (x;y), en el eje de las x tiene un movimiento rectilíneo uniforme ( velocidad constante), mientras que en el eje de las y tiene un movimiento rectilíneo uniformemente variado ( tiro vertical hacía arriba o caída libre de los cuerpos).El movimiento tiene una forma de parábola y se debe determinar fórmulas tanto para el eje de las x como el eje de las y.

y

Movimiento parabólico

x

y

Movimiento parabólico

x Ɵ

y

x

P1(x;y) P3(x;y)

P2(x;y)

yy y

103

Para que exista un moviento parabolico su velocidad inicial debe ser diferente de 0 , debe tener un angulo de inclinación cuyo valor debera ser mayor que 00 pero menor que 900.

Fórmulas del movimiento parabólico

1) Como la velocidad inicial tiene módulo y dirección se debe determinar sus componentes.

Componentes de vo

Vox= vo.cosƟ Vox= vo.senƟ

2) Como la partícula en el movimiento parabólico se mueve en el plano “x,y” significa que avanza al mismo tiempo tanto en el eje “x” como en el eje “y”.

x= voy. t y=voyt−12g t2

p= (x; y) en

vo≠0

00<Ɵ<900

x

x

Ascendente

Vy (+)

vx

vy

Vy = 0 (punto más alto)

vy= v vx= v

v

104

3) La velocidad de la partícula es tangente al movimiento razón por la cual se deben encontrar sus componentes.Cuando la componente en y en la velocidad es de signo positivo significa que la partícula está ascendiendo, si y es igual a 0 significa que está en el punto más alto mientras que si la componente en y de la velocidad es de signo negativo significa que está descendiendo.

vx= vox vy=voy-g.t

v=√v x2+vy2

tan∝= vyvx

4) El tiempo de subida es el tiempo de subida es el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto más alto.

ts= voyg

ts=tiempode subida

5) Es el tiempo que tarda la partícula en completar la trayectoria siempre que llega al mismo nivel del cual fue lanzado como el tiempo que tarda en subir es el mismo tiempo que tarda en regresar el tiempo de vuelo es el doble de tiempo de subida

vx

ts

ts

x

A

y y y yHm

x

vo=120 m/s 105

tv=2 ts

tv=2 voyg

6) La altura máxima es la mayor distancia vertical que alcanza un cuerpo

Hm= voy2

2g

7) El alcance es la mayor distancia horizontal que alcanza el cuerpo que siempre llega al mismo nivel del cual fue lanzado.

Problemas 1. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 120 m/s y una inclinación

360 con respecto a la resultante. Determinar:

a) Posición y velocidad del proyectil en t= 6s b) Posición y velocidad del proyectil en t= 10s c) Tiempo de vuelo del proyectil d) La altura máxima e) El alcance horizontal

Datos

vo= 120 m/s

Ɵ= 360

a) P = (x;y)

y

Ɵ

106

v=?? en t= 6s a) P = (x;y)

v=?? en t= 10s b) tv=??c) Hm=??d) A=??

Solución

vox= vo. cos Ɵ voy=vo. sen Ɵ

vox= 97.08 voy=70.53

a) x=vox. t y=voyt− 12g t2

x= 97.08.6 y=(70.53)(6)− 12(9.8)¿

x= 582.48 y= 246.78 p= (582.48; 246.78)

v=√v x2+v y2 v=√97.082+11.732 v= 97.78 m/s

vy= vox vy= voy-gt

vy= 97.08 m/s vy= 70.53-9.8(6)

vy= 11.73 m/s

b) x=vox. t y=voyt− 12g t2

x= 97.08.10 y=(70.53)(10)− 12(9.8)¿

x= 970.8 y= 215.3 p= (970.8; 215.3)

v=√v x2+v y2 v=√97.082+(−27.47)2 v= 100.89 m/s

vy= vox vy= voy-gt

vy= 97.08 vy= 70.53-9.8(10)

vy= -27.47

107

c) tv=2 voyg

tv=2 (70.53)9.8

tv= 14.39

d) Hm= voy2

2g e) A=vox.tv

Hm=(70.53)2

2(9.8) A=97.08 (14.39)

Hm: 253.80 A= 1396.98

2. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de ¿ m/s. Calcular:a) La posición del proyectil en t=2sb) Tiempo de vueloc) Alcance horizontald) La velocidad del proyectil cuando este en la altura máxima

Datos vox= 5m/svoy= 8m/sa) P= (x;y) en t=2sb) tv=??c) A=??d) v=??

Solución

a) x=vox. t y=voyt− 12g t2

x= 5.2 y=(8)(2)− 12(9.8)¿

x= 10 y= -3.6 p= (10; -3.6)

b) tv=2 voyg

tv=2 (8)9.8

tv =1.63 s

108

c) A=vox . tvA= (5)(1,63)A= 8.15 m

d) ts= voyg

ts= 89.8

ts= 0.81 s

v=√v x2+v y2 v=√52+¿¿ v= 5.0003 m/s

vx= vox vy= voy-gt

vx= 5 m/s vy= 8-9.8(0.81)

vy= -0.062 m/s

3. Se lanza un proyectil con un ángulo de inclinación de 400, alcanza una altura de 420 m (altura máxima). Calcular: a) Velocidad del lanzamientob) Alcance horizontalc) En que instante su altura es de 300 md) Velocidad en t=10s

Datos Hm= 420 mƟ= 40 0

g=9.8 m/s2

a) vo=??b) A=??c) t1

t2 300 md) v=?? en t=10s

Solución

a) Hm= voy2

2g vox= vo. cos Ɵ voy=vo. sen Ɵ

Hm=(vo . senƟ)2

2 g vox= 141.15. cos 400 voy=141.15. sen 400

109

√ Hm.2gsenƟ=vo vox= 108.2 m/s voy=90.72 m/s

vo= 141.15 m/s

b) A= vo2 . sen2Ɵg

A=141.152 . sen (2x 40)9.8

A= 2002.10 m

c) y=voyt−12g t2

300=90.72t−12

(9.8)t 2 t=−b±√b2−4 ac2a

300=90.72t−4.9 t2 t=90.72±√90.722−4(4.9)(300)2(4.9)

300−90.72t+4.9 t 2=0 t1= 14.2 s t2= 4.31s

d) v=√v x2+v y2 v=√108.122+¿¿ v= 108.36 m/s

vx= vox vy= voy-gt

vx= 108.12 m/s vy= 90.72-9.8(10) vy= -7.28 m/s

4. Se dispara un proyectil con velocidad inicial de 100 m/s. Determinar a) El alcance horizontal con un ángulo de 300

b) El alcance horizontal con un ángulo de 450

c) El alcance horizontal con un ángulo de 600

Datos Solución vo= 100 m/s

g=9.8 a) A= vo2 . sen2Ɵg

a) A=?? con Ɵ= 300 A=1002 . sen (2x 30 °)

9.8b) A=?? con Ɵ= 450 A= 883.69 mc) A=?? con Ɵ= 600

b) A= vo2 . sen2Ɵg

c) A= vo2 . sen2Ɵg

110

A=1002 . sen (2x 45° )9.8

A=1002 . sen (2x 45 ° )9.8

A= 1020.40 m A= 883.69 m

5. Un proyectil es disparado con una velocidad de ¿ . Si después de icerto tiempo la velocidad es ¿ m/s. Determinara) El tiempo transcurridob) La posición del proyectil en ese instante

Datos vox= 40 m/s voy= 120 m/svx= 40 m/svy= -20 m/s a) t=??b) p=(x;y) en t

Solución

a) vy= voy-gt

-20=120-(9.8)t

−20−120−9.8

=t

t= 14.28 s

b) x=vox. t y=voyt−12g t2

x=40 . 14.28 y=(120)(14.28)−12(9.8)¿

x= 571.2 y= 714.4 p= (571.2; 714.4)

6. Se lanza un cuerpo con una rapidez de 18 m/s y un ángulo de inclinación de 36°, sobre la horizontal. Si el cuerpo choca contra una pared situada a 25 m de distancia del punto de lanzamiento. Calcular :a) El tiempo que el cuerpo se mantiene en el aireb) A qué altura golpeó con la paredc) Con qué velocidad choca contra la pared

111

Datos Solución

vo=18 m/s vox= vo. cos Ɵ voy=vo. sen Ɵ

Ɵ= 36° vox= 18. cos 36° voy=18. sen 36° x=25m vox= 14.56 m/s voy= 10.58 m/s

a) x=vox. t xvox

=t

2514.56

=t

t= 1.71

b) y=voyt− 12g t2

y=(10.58)(1.71)−12

(9.8)¿

y= 3.56

c) v=√v x2+v y2 v=√14.562+¿¿ v= 15.81 m/s

vx= vox vy= voy-gt

vx= 14.56 m/s vy= 10.58-9.8(1.71)

vy= -6.17 m/s

Trabajo en grupo 1. Se dispara un proyectil de un ángulo de inclinación de 37° sobre la horizontal el

cual choca en la pared vertical separada 400 m de distancia y justo en un punto a 175 m por encima del nivel de donde partió el proyectil. Calculara) Rapidez inicial

112

Datos Ɵ= 37°x= 400 my=175 m

d) vox= vo. cos Ɵ x=vox. t y=voyt−12g t2

voy=vo. sen Ɵ 400= vo. cos 37° t 175=vo . sen 37° t− 12(9.8) t 2

400

vo .cos37 °=t

175=vo . sen 37° ( 400vo .cos37 °

)−4.9( 400vo .cos37 °

)2

175=301.42−4.9( 400vo .cos37 ° )

2

175=301.42−4.9¿¿

175=301.42−1229189.46vo2

175−301.42=−1229189.46vo2

−126.42=−1229189.46vo2

vo2=−1229189.46−126.42

vo2=9723.06

√vo2=√9723.06 vo=98.60

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