RECTAS Y PLANOS ENE EL ESPACIO

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DEL PLANO

POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS

Dependiendo de la forma en que nos den las ecuaciones se utilizan los siguientes métodos:

1. Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

Se plantean la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A* y se comparan sus rangos:

Posición r r'

Se cruzan 3 4Secantes 3 3Paralelos 2 3

Coincidentes 2 2

2. Rectas definidas por un punto y un vectorSi la recta r viene determinada por A(x1, y1, z1) y u⃗¿ u1, u2, u3) la recta s por B (x2, y2, z2) y v⃗ (v1, v2, v3 ) la posición relativa de r y s viene dada por la posición de .A⃗B ,u⃗ , y v⃗Si

hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes si

.

 2. Rectas paralelas si

.

 

Si

hay otras dos posibilidades:3. Rectas secantes si

4. Rectas que se cruzan si

.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS

Escribimos las ecuaciones generales de los dos planos y resolvemos el sistema mediante determinantes estudiando los rangos.

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r' = rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos planos vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r r' RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES

Secantes 2 2

Paralelos 1 2

Coincidentes 1 1

POSICIÓN RELATIVA ENTRE TRES PLANOS

Escribimos las ecuaciones generales de los dos planos y resolvemos el sistema mediante determinantes estudiando los rangos.

Dados los planos:

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r' = rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:

r r' Relación entre coeficientes  Posición

3 3   1. Planos secantes en un punto

2 3   

2.1 Planos secantes dos a dos.   2.2 Dos planos paralelos y, el tercero secante.

2 2

   3.1 Planos secantes y distintos.

  3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

1 2

   4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.

  4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.

1 1   5. Planos coincidentes.

Interpretación gráfica de la tabla

1. Planos secantes en un punto

r=3, r'=3

2.1 Planos secantes dos a dos.

r = 2, r' = 3

Los tres planos forman una superficie prismática.

2.2 Dos planos paralelos y, el tercero secante

r = 2, r' = 3

Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

3.1 Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante

r = 2, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos

r = 1, r' = 2

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

r = 1, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

5. Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Dependiendo de la forma en la que nos den las ecuaciones del plano y de la recta emplearemos varios métodos:

1. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta:

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r' = rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r r'Recta contenida en el plano 2 2

Recta y plano paralelos 2 3Recta y plano secantes 3 3

2. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector u⃗. y un plano cuyo rector normal es n⃗. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición Punto A

Recta contenida en el plano = 0 πRecta y plano paralelos = 0 πRecta y plano secantes ≠ 0

Recta contenida en el plano

Recta y plano paralelos

Recta y plano secantes

HAZ DE PLANOS

1. Haz de planos paralelos

Dos planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son proporcionales; pero no lo son sus términos independientes.

Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuación de la forma:

Ejemplo

Hallar el plano que pasa por el punto (3, −1, 2) y es paralelo a π : x + 2y - 3z – 5 = 0

2. Haz de planos de eje r

Se llama haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r.

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

Si dividimos por λ y hacemos, k=μλ la ecuación del haz resulta:

Ejemplo

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, −3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta:

CÁLCULO DE DISTANCIAS

1. Distancia de un punto P a una recta r

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

1. Hay que hacer e producto vectorial entre el vector director de la recta y el vector que se forma entre un punto de la recta y el punto que nos da el problema.

2. El módulo de vector halado3. Dividir el módulo hallado entre el módulo de vector director de a recta

Ejemplo

Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta r :{ x=2+3 λy=−1+3 λz=1−2 λ

2. Hallar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta .

2. Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Se halla como la distancia desde un pinto a una recta.

3. Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común.

Sea runa recta de la que se conoce un punto A y u⃗ y la recta s de la que se conoce un punto B yv⃗

Los vectores A⃗B , u⃗ , y v⃗ determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

El volumen de un paralelepípedo es V = Ab h.

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

Ejemplo

Hallar la mínima distancia entre las rectas:

4. Distancia de un punto a un plano o distancia de una recta a un plano

La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

Si lo que me piden es la distancia entre una recta y un plano halo un punto de la recta

1. Se halla el valor absoluto de la sustitución de punto en la ecuación de plano2. Se halla el módulo del vector norma de vector.3. Se dividen ambos datos.

Ejemplo

Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos y

.

1. Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano

.

5. Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

También se puede calcular de esta otra forma:

Ejemplo

Calcular la distancia entre los planos

.

Los dos planos son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

CÁLCULO DE ÁNGULOS

1. Ángulo entre dos rectas

El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

1. Calculo el producto escalar entre los vectores directores de las rectas2. Calculo los módulos de los vectores directores y hago el producto3. Divido

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ejemplos

Hallar el ángulo que forman las rectas:.

Hallar el ángulo que forman las rectas:

En este problema as rectas vienen dadas por la intersección de dos planos, para sacar el vector director tengo que hacer e producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.

Hallar el ángulo que forman las rectas:

2. Ángulo entre dos planos

El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.

1. Hago el producto escalar entre os vectores normales de los planos2. Calculo los módulos de ambos vectores3. Divido.

Dos planos son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.

Ejemplo

Hallar el ángulo que forman los planos:

3. Ángulo entre recta y plano

El ángulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.

1. Hacemos e producto escalar entre el vector director de la recta y el vector norma de plano.

2. Hacemos el producto entre los módulos de ambos vectores.3. Dividimos.

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Ejemplos

Determinar el ángulo que forman la recta r : x−12

= y+11

= z2 y el plano

2. Hallar el ángulo que forman la recta r :{ x+3 y−z+3=02x− y−z−1=0 y el plano

.

Como la recta viene dada como a intersección de dos planos hay que hallar su vector director y lo hacemos mediante e producto vectorial de los vectores normales de los planos.

Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes: